INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

Ing. M.Sc. Hernán Abarca V.

Octubre 2 007 V: 16.0

ING. HERNAN ABARCA V. 1

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

Índice

1.- Preliminares 003 – 011

2.- Prismas y paralelepípedos 012 - 022

3.- Cilindros 023 – 028

4.- Pirámides 029 - 035

5.- Conos 036 – 039

6.- Esferas 040 - 046

ING. HERNAN ABARCA V.2

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

CAPITULO 1

PRELIMINARES

PLANO: Es una figura geométrica en la cual se puede apreciar 2 dimensiones: largo y ancho. Un plano no tiene límites y puede extenderse en todas sus direcciones. El ejemplo clásico es la sombra que proyecta un objeto en una superficie cualquiera. Comúnmente se representa un plano como un paralelogramo

PLANO “P” PLANO “Q”

Se nombra un plano con una letra mayúscula o por las letras de dos vértices opuestos al paralelogramo respectivo.

Plano A, óPlano DB, óPlano ABCD

Un plano queda determinado por:

1) Tres puntos no colineales.

ING. HERNAN ABARCA V. 3

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

2) Una recta y un punto externo a la recta, también determinan un plano

AB = rectaC = punto externo

3) Por una recta en movimiento

El espacio puede limitarse por un número infinito de planos determinando un sólido geométrico

Dimensiones.- Es susceptible de medirse y por tanto posee dimensiones reales, que permiten calcular superficies y luego volúmenes.

ING. HERNAN ABARCA V.4

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

POSICIONES RELATIVAS:

Punto y Plano

Si un punto pertenece al plano se llama coplanar.

Si el punto NO pertenece al plano, es un punto externo al plano.

Recta – Plano

Si dos puntos son coplanares, la recta que los une pertenece al plano. Consecuentemente todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

Si sólo uno de los puntos de una recta es coplanar, la recta es secante al plano y por lo tanto la intersección de una recta y un plano es uno y solo un punto.

Si una recta y un plano NO tienen

ningún punto común, la recta es paralela al plano.

Plano – Plano

Si dos planos tienen tres puntos comunes, los planos son coincidentes.

ING. HERNAN ABARCA V. 5

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

Si dos planos tienen dos puntos comunes, los planos son secantes y la recta que une esos dos puntos representa la intersección entre los dos planos.

Si dos planos NO tienen puntos comunes, los planos son paralelos.

TEOREMAS DE LOS PLANOS PARALELOS CORTADOS POR PLANOS SECANTES

- Si dos o más planos paralelos son cortados por un plano secante los segmentos de planos determinados son proporcionales:

ING. HERNAN ABARCA V.6

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

a) Las intersecciones son rectas paralelas.

b) Si determinan segmentos proporcionales en el plano secante, también determinan segmentos proporcionales en cualquier otro plano que corta esos planos paralelos.

Recta – Recta (en el espacio)

Coplanares.- Estudiados en geometría plana. Las rectas pertenecen a un mismo plano.No coplanares.- Paralelos o se cruzan en el espacio. (proyección)

Proyección de un punto en el plano

Antecedente.- Solamente hablaremos de proyección ortogonal. Es el pie de la perpendicular bajada de un punto en el espacio a un plano cualquiera.

d = distancia de un punto a un plano.Corolario.- Desde un punto exterior al plano solo se puede trazar una y solo una perpendicular al plano, y esta representa la distancia del punto al plano.

Proyección de una recta en un plano

Si tomamos dos puntos cualesquiera, en el espacio, estos determinan una recta, la proyección de estos dos puntos en un plano determina la proyección de la recta en ese plano.

Pueden presentarse distintos casos:

a) Cuando un punto (A) de la recta no es coplanar con el plano.

ING. HERNAN ABARCA V. 7

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

b) cuando el punto A es coplanar

Cos = AB´ / AB AB´ = AB Cos

Como es ángulo agudo AB´ < AB

Angulo Recta – Plano

Es el ángulo medido entre la recta y la proyección de ella en el plano.

Si = 90º AB es perpendicular al plano P

La proyección de ésta, sobre el plano es el punto A´.

Si = 0º la recta es paralela al plano

La longitud de la recta es igual a su proyección

Para que una recta sea perpendicular a un plano es necesario que sea perpendicular en todas las rectas que pasan por el pie de la perpendicular.

ING. HERNAN ABARCA V.8

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

Si por el pie de la recta (DC) perpendicular a un plano se traza una perpendicular a una recta (A´B´ ) coplanar con el plano P. Entonces la recta trazada por el pie de esta segunda perpendicular (Q) a un punto cualquiera de la primera perpendicular, es perpendicular a la recta contenida en el plano.

Angulo Recta - Recta , que se cruzan en planos paralelos

El ángulo entre dos rectas pertenecientes a distintos planos paralelos: (rectas que se cruzan) es el ángulo agudo medido entre las rectas cuando la una se cruza sobre la proyección de la otra.

ANGULO DIEDRO

Es el ángulo que se forma por la intersección de dos planosElementos:

Medida del Diedro.- En un punto cualquiera (P) de la arista (AB) de un ángulo diedro, trazamos rectas perpendiculares a la arista, contenidas éstas en cada cara del diedro, entonces decimos que la medida del ángulo diedro “" es el ángulo medido entre esas perpendiculares.

ING. HERNAN ABARCA V. 9

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

AREA DE LA PROYECCIÓN DE UNA POLIGONAL SOBRE UN PLANO

ING. HERNAN ABARCA V.10

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

Angulo Poliedro

Es el que se forma por la intersección de varios planos que coinciden en un mismo punto, denominado vértice del poliedro.

Elementos:

ING. HERNAN ABARCA V. 11

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO PRELIMINARES

ING. HERNAN ABARCA V.12