0 ןובשח ילאיצנרפיד ילרגטניאו1 -ל וסנכ יה ואדי ו ןוטרסב...

0

www.GooL.co.il-כנסו לידאו היבסרטון ולפתרון מלא

חשבון

דיפרנציאלי

ואינטגרלי

II

גיא סלומון

סטודנטים יקרים

1


©גיא סלומון–כתב ופתר

ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהוראת

באוניברסיטה, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי באוניברסיטת תל אביב

.במכללת שנקר ועוד, הפתוחה

הרצון להאיר את שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את

.הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה

והוא מתאים) 2א "חדו( 2בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הספר עוסק

.אוניברסיטאות או מכללות –לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה

בהתאם לתוכניות, הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד

ל בקורס זה חשיבות יוצאתּורגִת ון מלמד כי להניסי. הלימוד השונות

.ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו, דופן

www.GooL.co.ilלכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר

שאתםכך ,המלווים בהסבר קולי פלאשבסרטוני יםמוגש הפתרונות

ממש כפי, שיטתית ופשוטה, התהליכים בצורה מובניתאת יםרוא

הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך .שנעשה בשיעור פרטי

.חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה

:www.GooL.co.il/hedva2.htmlדוגמאותל

דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם- רהשספר זה ישמש מו, תקוותי היא

.להצלחה

גיא סלומון

...ִּבְשִביל הִתרגּול, גּול

2



תוכן

3 .......................................................................................מקלורן/טורי טיילור- 1פרק

8 ........................................................................................יםמיידי אינטגרלים- 2פרק

9 ............................................................אינטגרציה בחלקיםבשיטת יםאינטגרל- 3פרק

10 ...............................................................................בשיטת ההצבהיםאינטגרל- 4פרק

11 .......).......................פירוק לשברים חלקיים(אינטגרלים של פונקציות רציונליות - 5פרק

12 ................)......וסכום רימן כולל אי שוויונים עם אינטגרלים( האינטגרל המסויים- 6פרק

15 .....................................)..חישוב שטח ואורך קשת(שימושי האינטגרל המסויים - 7פרק

21 .....................................)ושטח מעטפתחישוב נפח (שימושי האינטגרל המסויים - 8פרק

23 ..................)................................גזירת האינטגרל(א "המשפט היסודי של החדו- 9פרק

24 ................................................................................ם לא אמיתייםאינטגרלי- 10פרק

25 .............נגזרותחלקיות, עקומות שוות ערך –פונקציות בשני משתנים לכלכלנים - 11פרק

27 ..................................................................משפטאוילר ,פונקציות הומוגניות- 12פרק

29 .................................................גבולות ורציפות, פונקציות של מספר משתנים- 13פרק

31 ...................................................כלל השרשרת בפונקציות של מספר משתנים- 14פרק

33 ........................................................שימושיםגיאומטריים, תפונקציותסתומו- 15 פרק

35 ).......................................................רגיל(קיצון של פונקציה של שני משתנים - 16פרק

37 ..........................).'כופלי לגרנג(קיצון של פונקציה של שני משתנים תחת אילוץ - 17פרק

39 ..................)'כופלי לגרנג(קיצון של פונקציה של שלושה משתנים תחת אילוצים - 18פרק

41 .................................קיצון של פונקציה בשני משתנים בקבוצה סגורה וחסומה- 19פרק

42 ....................................................................דיפרנציאביליות, נגזרות חלקיות- 20פרק

45 ...........................הדיפרנציאל השלם, נוסחת טיילור לפונקציה של שני משתנים- 21פרק

47 .................................................................................................דפי נוסחאות -נספח

3



1פרק –תרגילים

מקלורן/טור טיילור

0xמצא את הפיתוח לטור טיילור סביב ) 1( :של הפונקציות הבאות) טור מקלורן(=

.שבעמוד האחרוןבפיתוחים הידועים לטור מקלורן המופיעיםבנספח תוכל להיעזר*

2 4

2 2

2 2

2 4

2

( ) sinh (3 ( ) (2 ( ) sin 2 (1

( ) 2 (6 ( ) cos (5 ( ) sin (4

( ) arcsin (9 ( ) ln(2 3 ) (8 ( ) cos(4 ) (7

1 3 1( ) (12 ( ) (11 ( ) (10

1 9 1 1

1( ) (15 ( ) (14 ( ) (13

9 4 1 5

( )

x

x

f x x f x x e f x x

f x f x x f x x

f x x f x x x f x x x

f x f x f xx x x

x xf x f x f x

x x x

f x

−= = =

= = =

= = − + =

= = =+ − +

= = =+ + −

=2 2 2

2

2

1 7 1 3(18 ( ) (17 ( ) (16

(1 ) 3 2 1 2

1( ) ln (21 ( ) ln(1 ) (20 ( ) ln(1 ) (19

1

( ) arctan( / 3) (24 ( ) (23 ( ) ln(5 ) (22(1 2 )

xf x f x

x x x x x

xf x f x x f x x

x

xf x x f x f x x

x

−= =

+ + − + −

+= = − = +

−

= = = −−

.עליך להכיר את הנושא פירוק לשברים חלקיים 16,17לפתרון סעיפים : תהערו

עליך להכיר את הנושא גזירה ואינטגרציה 18,19,23,24לפתרון סעיפים

. של טורי מקלורן

0xמצא את הפיתוח לטור טיילור סביב ) 2( x= של הפונקציות הבאות:

( ) ( ) ( )0 0 02

1( ) sin (3 2 ( ) (2 1 ( ) ln (1x f x x x f x x f x x

x

π= = = = = =

בפיתוח לטור מקלורן של הפונקציות , השונים מאפס, מצא את ארבעת האיברים הראשונים) 3(

):נדרש ידע בכפל וחילוק של פולינומים(הבאות

2sin( ) (3 ( ) tan (2 ( ) cos (1x

x

xf x f x x f x e x

e

−= = =

4



:חשב את סכום הטורים הבאים) 4(

0 0 0

0 0 0

10 0 0

1 ( 1) 2 1(3 (2 (1

2 ! ! !

( 1) ( 1) 1(6 (5 (4

(2 1)! 2 1 !

( 1) ( 1) ( 1)(9 (8 (7

2 ( 1) 1 (2 )!

n n

nn n n

n n

n n n

n n n

nn n n

n n n

n

n n n

n n n

∞ ∞ ∞

= = =

∞ ∞ ∞

= = =

∞ ∞ ∞

+= = =

−⋅

− − ++ +

− − −+ +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

:ל בתרגילים הבאיםחשב את ערך הגבו) 5(

316

3 3 50 0 0

sinsin (1 ) arctanlim (3 lim (2 lim (1

x

x x x

x x xe x x x x x

x x x→ → →

− +− + −

: 0.001 -חשב בשגיאה הקטנה מ) 6(

1arctan 0.25 (3 sin 3 (2 (1

e

°

בפיתוח לטור מקלורן והערך את השגיאה ) שונים מאפס(איברים ראשונים nחשב בעזרת) 7(

:בחישוב

( ) ( ) ( ) 14 ln1.5 (3 1 cos 4 (2 3 (1n n n

e

°= = =

)8(

שגיאה המקסימלית בקירוב מהי ה. א3

sin3!

xx x≅ |עבור − |

6x

π≤.

ln(1מהי השגיאה המקסימליתבקירוב . ב )x x+ |עבור ≅ | 0.01x <.

מהי השגיאה המקסימליתבקירוב . ג2 4

cos 12! 4!

x xx ≅ − |עבור + | 0.2x ≤.

)9(

, xעבור אילו ערכי . א3

sin3!

xx x≅ . 0.001 -בשגיאה הקטנה מ −

, xעבור אילו ערכי . ב3 5 7

arctan3 5 7

x x xx x≅ − + . 0.01 -בשגיאה הקטנה מ −

5



.ε - קטנה מחשב בקירוב את האינטגרלים הבאים בשגיאה ה) 10(

( ) ( )

( )

0.1 0.2

0 0

0.5

2

0

ln(1 ) sin0.001 (2 0.0001 (1

1 cos0.0001 (3

x xdx dx

x x

xdx

x

ε ε

ε

+= =

−=

∫ ∫

∫

'נוסחת השארית של לגרנג

)3נוסחת טיילור מסדר שני לפונקציה את רשום ) 11( ) 64f x x= סביב +0 0x =,

3את הנוסחה שקיבלת חשב בעזרת. ' כולל שארית לגרנז .והערך את השגיאה בקירוב66

)לפונקציה ראשוןנוסחת טיילור מסדר את רשום ) 12( ) tanf x x= סביב0 0x =,

.והערך את השגיאה בקירוב1.0tanאת הנוסחה שקיבלת חשב בעזרת. ' כולל שארית לגרנז

)לפונקציה שניסדר נוסחת טיילור מאת רשום ) 13( ) 4f x x= 0סביב + 0x =,

.והערך את השגיאה בקירוב5את הנוסחה שקיבלת חשב בעזרת. ' כולל שארית לגרנז

)4לפונקציה שנינוסחת טיילור מסדר את רשום ) 14( )f x x= 0סביב 16x =,

4את הנוסחה שקיבלת חשב בעזרת. ' כולל שארית לגרנז .והערך את השגיאה בקירוב15

:הערה לגבי קירובים

שהערך המוחלט , אז עלינו לדרוש, ספרות אחרי הנקודה n - מדויק לאם מבקשים קירוב שהוא

0.5 -ה קטן משל השגיאה יהי 10 n−× . למשל דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה משמעותו

30.5 - שהערך המוחלט של השגיאה יהיה קטן מ 10 0.0005−× = .

.אך יש המשתמשים בו, אני בספר לא השתמשתי בניסוח זה

6



1פרק –פתרונות

)1(

1(

( )

2 1 2 1

0

2( 1)

(2 1)!

n nn

n

x

n

x

+ +∞

=

−+

−∞ < < ∞

∑

2(

( )

2

0

4( 1)

!

n nn

n

x

n

x

+∞

=

−

−∞ < < ∞

∑

3(

( )

2 1

0 (2 1)!

n

n

x

n

x

+∞

= +

−∞ < < ∞

∑

4(

( )

2 1 21

1

2( 1)

(2 )!

n nn

n

x

n

x

−∞+

=

−

−∞ < < ∞

∑

5(

( )

2 1 2

0

1 2( 1)

2 (2 )!

n nn

n

x

n

x

−∞

=

+ −

−∞ < < ∞

∑

6(

( )0

(ln 2)

!

n n

n

x

n

x

∞

=

−∞ < < ∞

∑

7(

( )

2 4 1

0

4( 1)

(2 )!

n nn

n

x

n

x

+∞

=

−

−∞ < < ∞

∑

8(

( )

1

10

1ln 2 1

2 1

1 1

n

nn

x

n

x

+∞

+=

− + + − ≤ <

∑

9(

( )

2 1

1

1 3 ... (2 1)

2 4 ... 2 2 1

1 1

n

n

n xx

n n

x

+∞

=

⋅ ⋅ ⋅ −+ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ +

− < <

∑

10 (( )0

| | 1 ( 1)n n

n

x x∞

=

< −∑ 11 (( ) 4

0

| | 1 3 n

n

x x∞

=

< ∑

12 (( ) 213

0

| | ( 1) 9n n n

n

x x∞

=

< −∑ 13 (( ) 10

1| | 5

5

n

nn

x x∞

+=

−< ∑

14 (( ) 114

0

| | ( 1) 4n n n

n

x x∞

+

=

< −∑ 15 (( )2 1

10

| | 3 ( 1)9

nn

nn

xx

+∞

+=

< −∑

16 (( )1

10

( 1)| | 1 1

2

nn

nn

x x+∞

+=

−< −

∑ 17 (( ) ( )1

30

| | 2( 1) 3n n n

n

x x∞

=

< − −∑

18 (( ) 1 1

1

| | 1 ( 1)n n

n

x n x∞

+ −

=

< − ⋅ ⋅∑ 19 (( )1

0

( 1)1 1

1

n n

n

xx

n

+∞

=

−− < ≤

+∑

20 (( )1

0

1 11

n

n

xx

n

+∞

=

− ≤ < −+

∑ 21 (( )2 1

0

2| | 1

2 1

n

n

xx

n

+∞

=

<+

∑

22 (

( )1

10

5 5 ln 55 ( 1)

n

nn

xx

n

+∞

+=

− ≤ < −+∑

23 (( ) 212

0

| | 2 ( 1)n n

n

x n x∞

+

=

< +∑

24 (

( )2 1

2 10

| | 3 ( 1)3 (2 1)

nn

nn

xx

n

+∞

+=

≤ −+∑

7



)2(

1 (

( )

1

0

( 1) ( 1)

1

0 2

n n

n

x

n

x

+∞

=

− −+

< ≤

∑ 2 (

( )

10

( 1) ( 2)

2

0 4

n n

nn

x

x

∞

+=

− −

< <

∑ 3 (

( )

2

2

0

( 1) ( )

2 !

n n

n

x

n

x

π∞

=

− −

−∞ < < ∞

∑

)3(

1 (2 4 63 25 3312 24 720

1 ..x x x− + − + 2 (3 5 72 17

3 15 315...x x xx + + + + 3 (2 3 51 1

3 30 ..x x x x− + − +

)4(

1 (e 2 (2e− 3 (e 4 (2e 5 (/ 4π 6 (sin1 7 (cos1 8 (ln 2 9 (32

ln

)5(

1 (1/120 2 (1/3 3 (1/3

)6(

1 (53/144 2 (/ 60π 3 (47/192

)7(

1 (58

1 -בשגיאה הקטנה מ 48

-בשגיאה הקטנה מ 1) 2 4050π π⋅ 3 (77

1921 -בשגיאה הקטנה מ

160

)8(

1 (5( / 6) / 5!π 2 (2(0.01) / 2 2 (6(0.2) / 6!

)9(

1 (5| | 3 / 25x < 2 (9| | 9 /100x <

)10(

1 (449 / 2250 2 (39 / 400 3 (143 / 576

8




)אינטגרל מיידי(האינטגרל הלא מסויים

:חשב את האינטגרלים הבאים

4

2

10

2 2 23

4

2 42

2

2 10 10

5

4

1(3 (2 4 (1

14 (6 (5 (4

3( 1) (9 ( 2 ) (8 (2 1) (7

1 1 2(12 (11 ( 1)( 2) (10

4(15 ( 2 1) (14 (4 1) (13

( 2)

10(18 (17 4 1

( 1) 2 4

dx x dx dxx

x dx dx xdxx x

x dx x dx x x dxx

x x xdx dx x x dx

xx

dx x x dx x dxx

xdx dx x

x x

+ + − +

+ + ++ +

− + +−

−− +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

3

22

4

2 32

1

3 4

2

2 22

0 (16

1(21 (20 (19

4 1 1 1

1 1 1(24 (1 ) (23 (22

4 1

4 1 3( ) (27 (26 (25

2 2

1 2 4 104 (30 (29 (28

5

1 1(33 (32

1 1 44

x x

x x xx x

xx

dx

xdx dxdx

x x x x

x xdx dx dx

x x x

x xe e dx dx dx

x x

e dx dx e dxe

xdx dx dx

x xx

−

+

+ + − −

+ ++

−

+ ++

+ +

+ ++

− +−

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (31

2sin 4 cos (36 sin (35 cos 4 (342

xx xdx dx xdx+∫ ∫ ∫

!בדוק תשובתך על ידי גזירה*

9




)אינטגרציה בחלקים(האינטגרל הלא מסויים

:את האינטגרלים הבאים חשב )1(

4

2 2

2 4

3

5

2 2

2

2 2

sin (3 ln (2 (1

sin 4 (5 cos2 (4 ( 2 3) ln (4

1ln (8 ln (7 (6

ln 2 (11 arcsin (10 arctan (9

lnarctan (14 (13 (12

cos

ln(17 ln (16 ln(

x

x

x xdx x xdx xe dx

x xdx x xdx x x xdx

dx xdx x e dxx

x x dx x x

x xx x dx dx

x x

xdx xdx x x

x

−

+ +

⋅ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ 2

2 2

4 2

2

1) (15

1 (20 sin 4 (19 cos (18

( 1) 2 tan (22 (21( 1)

x x

x

dx

x dx e xdx e xdx

xex x dx x xdx dx

x

+

−

+ ⋅ ++

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

nמצא נוסחת נסיגה עבור . א )2( xx e dx∫ באשרn 4חשב . ב.טבעי x

x e dx∫.

cosnמצא נוסחת נסיגה עבור . א )3(xdx∫ באשרn 4חשב . ב.טבעיcos xdx∫.

sinnמצא נוסחת נסיגה עבור . א )4(xdx∫ באשרn 4חשב . ב .טבעיcos xdx∫.

מצא נוסחת נסיגה עבור . א )5(

( )2

1

1n

dxx+

חשב. ב.טבעי nבאשר ∫

( )42

1

1dx

x+∫.


10




)שיטת ההצבה( האינטגרל הלא מסויים

:)הצבות רגילות( חשב את האינטגרלים הבאים )1(

( )

23

33 5

22 2

4 22

3

23 2 14 2 4

33

8 2

2 2(3 4 (2 (1

1 1

1 1(6 (5 (4

ln 11 ln

1(9 (8 (7

(1 )

cos (ln )(12 (3 1) (11 cos(2 1) 4 (10

1(15 ln (14 1 (13

2

ln ln(l

x

x

x x

x xdx x x dx dx

x x

edx dx dx

x x ex x

dx e dx e x dxx x

xdx x x dx x x dx

x

x dxxdx dx

x x

dx

x x

+ ⋅+ +

+−

+

− + ⋅

++

⋅ ⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 4

2

7

4 22

35 3

3

arctan ln(18 (17 (16

n ) 1

(21 (20 arctan (19(1 )1

11 (24 (23 cos(ln ) (22

(1 )

x

x xdx dx

x x x

dx xdx dx xdx

xe

x x dx dx x dxx x

+

−+

⋅ ++

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

.תידרש לאינטגרציה בחלקים, לאחר ההצבה, בחלק מהתרגילים:הערה


11




)פונקציות רציונליות(האינטגרל הלא מסויים

:רלים הבאיםחשב את האינטג )1(

( ) ( )4 22 2

2

3 2 2

2

2 4 2 3

2 2 3 2 3 2

2

2 5 1(3 (2 (1

4 42 1

1 2(5 (4 (4

5 6 5

8 10 6 4 6(8 (7 (6

( 2) ( 2) 13 36 7 6

9 36 5(11 (10 (9

( 2 1)( 4 4) 6 9

2 1

(

dx x xdx dx

x xx x

x x x xdx dx dx

x x x x x x

x x x xdx dx dx

x x x x x x

dx x xdx dx

x x x x x x x x x

x x

+ +

− −− +

+ − −− + + +

+ −− + − + − −

+ −− + − + + + +

+ −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 2 2

2

2 2 2 2 2

4 3 2 3 2 2

2 2

4 2 4 3 2

2

1 1(14 (13 (12

1)( 3) 1 2 3

1 3 2 2 1(17 (16 (15

( 1) ( 1)( 4) ( 1)( 2)

2 10 8 3 5 4 2 25(20 (19 (18

4 1 ( 1)( 4)

4 1 2(23

4 (

dx dx dxx x x x x x

x xdx dx dx

x x x x x x

x x x x x x x xdx dx dx

x x x x

x x x x x x xdx

x

+ − + + + +

+ +

+ + + + +

+ − − − + −+ − − +

− + + − + +−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫3 2

2

12 11 6 1(22 (21

1) 4 1

x x xdx dx

x x

− + −− −∫ ∫

:חשב את האינטגרלים הבאים )2(

3 34

3 2

1(3 (2 (1

1 1

11 (6 (5 (4

1 1

x

x

dx dxdx

x x x x x

xe dx dx dx

e x

+ − + −

++ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


12




האינטגרל המסויים

:חשב את האינטגרלים הבאים) 1(

1 2 4

2

2

0 1 1

4 42

2

0 1 1

4 1(3 (2 ( 4 1) (1

2 5

1 lncos 10 (6 (5 (4

4 1

x

e

xxe dx dx x x dx

x x

xxdx dx dx

x x x

π

− +− +

+ +

+ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

7 (4

0

( )f x dx∫ כאשר

2

0 1

( ) 11

x x

f xx

x

≤ <

= ≥

.8 (4

1

4 | 1 |x dx−

+ −∫.


/ 2 4

24 40 0

sin sin(2 (1

1 cossin cos

x x xdx dx

xx x

π π

++∫ ∫

:הוכח. fנתונה פונקציה רציפה) 3(

זוגית אזי fאם . א 0

( ) 2 ( )a a

a

f x dx f x dx−

=∫ ∫.

)זוגית אזי -אי fאם . ב ) 0a

a

f x dx−

=∫.


4 1

2 3 5

4 1

sin 1 cos(2 (1

1

x xdx

x x x− −

+

+ +∫ ∫

13



:הוכח את אי השוויונים הבאים )5(

22 2 3

4 2

4

0 4 1

/ 2 4 10

10

2 30 3 0

1 1

2

3

0 0 1

22 2 (3 6 1 6 17 (2 4 (1

41 1

1(6 0.9 1 (5 1 (4

14 3 4sin 6 2 10ln

sin 1 ln 1 2 2arctan (9 sin (8 (7

4 6 2 1 2 9 8 7

x

x

dxe dx e x dx

x

dx dx edx e dx

x xx

x x dxx dx x dx

x x x

ππ π

− −

−−

π 4

−

≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤+

≤ ≤ ≤ ≤ < <+ +

π ≤ − ≤ ⋅ ≤ ≤ ≤ + + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

:חשב את הגבולות הבאים) 6(

4 4 4 4

3

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3/2

1 2 3 ...lim (1

1 2sin sin ... sin

lim (2

1 1 1lim ... (3

1 2

lim ... (41 2

1 1 1lim ... (5

1 2

1 2 ... 2lim (6

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n n

n

n n n n

n n n

n n n n

n n n n

n n n

n

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

+ + + +

+ + +

+ + + + + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + + + +

14



):של רימן(חשב את האינטגרלים הבאים על פי ההגדרה ) 7(

1 1 1

3 2

0 0 0 0

sin (1 (3 (2 (1xdx x dx x dx xdx

π

∫ ∫ ∫ ∫

:תוכל להיעזר בזהויות הבאות*

2 2 2 2

3 3 3 3 2 2

12 2

2

1 2 3 ... 0.5 ( 1)

11 2 3 ... ( 1)(2 1)

6

11 2 3 ... ( 1)

4

sin sinsin sin 2 ... sin

sin

n n

n n n

n n n n

n n n

nα

α αα α α

+

+ + + + = +

+ + + + = + +

+ + + + = +

+ + + =

15



7פרק

)שטח ואורך קשת(שימושי אינטגרל המסוים

חישוב שטחים

:נתונות שתי פונקציות ) 1(2

2

( ) 4 6

( ) 4 14

f x x x

g x x x

= + +

= − +

.מצא את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות. א מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של . ב

שתי

ועל ידי הישרים x -על ידי ציר ה, הפונקציות

2 =x 2 -ו - =x )השטח המקווקו בציור.(

2נתונה הפונקציה )2( 6 5y x x= − + ).ראה ציור( − מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של . א

.הפונקציה מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה . ב

?בנקודת המקסימום שלה מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק . ג

על ידי הצירים ועל ידי , בנקודתהמקסימום

).השטח המקווקו בציור(גרףהפונקציה

)3(

)2נתונה הפונקציה ) ( 2)f x x= ונתון הישר −

0.5 0.5y x= מצא את השטח). ראה ציור( +

x -הישר וציר ה, המוגבל על ידי גרף הפונקציה ).השטח המקווקו בציור(

x

y

-2 2

x

y

x

y

16



:נתונות הפונקציות ) 4(2

2

( )

( ) 18

f x x

g x x

=

= − +

B -ו Aהפונקציות נחתכים בנקודות הגרפים של ).ראה ציור(

.B -ו Aשל הנקודות x -מצא את שיעורי ה. א חשב את השטח ברביע הראשון המוגבל על . ב

ידי

x - על ידי ציר ה, הגרפים של שתי הפונקציות ועל

. x = 4ידי הישר

:נתונות שתי פונקציות )5(

2

3

3 2

3 2

y x x

y x x

= − + +

= − +

של נקודות החיתוך בין x -מצא את שיעורי ה. א

.הגרפים של שתי הפונקציות מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של . ב

שתי

.השטח המקווקו בציור, הפונקציות

)6(

)2נתונה הפונקציה )f x x ax= − +.

ראה ( A(2,8)הפונקציה עוברת דרך הנקודה ).ציור

. aמצא את ערך הפרמטר . א

O(0,0)בנקודה xהפונקציה חותכת את ציר . ב

.Bמצא את שיעורי הנקודה . Bובנקודה חשב את השטח המוגבל על ידי גרף . ג

ועל ידי ציר ABעל ידי המיתר ,הפונקציה

. x - ה

x

yA

BO

x

y

AB

4

x

y

17



)7 ( :בציור שלפניך נתונות שתי הפונקציות

2( )

( )

x

x

f x e

g x e

− +=

=

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם . א

ציר

y . .מצא את נקודת החיתוך בין הפונקציות. ב

1חשב את היחס . ג

2

S

S ).ראה ציור(

)2נתונה הפונקציה )8( ) xf x e

−=.

העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה

1x = ).ראה ציור( − .מצא את משוואת המשיק. א ,חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה. ב

השטח (על ידי המשיק ועל ידי הצירים

).המקווקו בציור

)9(

cos2yנתונה הפונקציה x= 0בתחום 4x≤ ≤ ).ראה ציור(

ישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה 4

xπ

=.

.מצא את משוואת המשיק . א ,מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה. ב

. y - העל ידי המשיק ועל ידי ציר

x

y

S1

S2

x

y

x

y

18



חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) 10(

1

2 1y

x=

−3xועל ידי הישרים 1y -ו = =

).השטח המקווקו בציור(

)2נתונה הפונקציה )11( ) x xf x e e= −.

.לפונקציה יש מינימום כמתואר בציור

של נקודת המינימום של x -מצא את שיעור ה. א

.הפונקציה מנקודת המינימום של הפונקציה העבירו אנך . ב

המוגבל על ידי גרף, נתון כי השטח. x - לציר ה

על ידי האנך ועל, x -על ידי ציר ה, הפונקציה

23 -שווה ל, x=aידי הישר a ae e− ,כאשר

ln0.5a . aמצא את הערך של . >

)12(

נתונה הפונקציה 1

2( )x

f x e

+

).ראה ציור( =

, Aהמשיק לגרף הפונקציה בנקודה , שיפוע הישר

הוא 2

2

e.

. Aמצא את שיעורי הנקודה . א מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה. ב

.Aבנקודה ,חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה. ג

. y - על ידי המשיק ועל ידי ציר ה

)13 (

x

y

x

y

x

y

19



נתונה הפונקציה 8

( ) 2f xx

= 0xבתחום − >.

מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה

(2,2)A )ראה ציור.( .מצא את משוואת המשיק. א ,חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה.ב

השטח ( x - על ידי המשיק ועל ידי ציר ה המקווקו

).בציור

)14(

:הפונקציות נתונות

( ) sin ; 0

( ) cos2 ; 0

f x x x

g x x x

π

π

= ≤ ≤

= ≤ ≤

.תאר במערכת צירים את הגרפים של שתי הפונקציות הנתונות. א .קווקוו את השטח המוגבל בין הגרפים של שתי הפונקציות הנתונות וחשב את גודלו. ב

)15(

)2נתונה הפונקציה )f x tg x= 0בתחום2

xπ

− < ≤.

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה . א4

xπ

= −.

2הראה כי . בtg xdx tgx x c= − על ידי, ומצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ∫+

. x - המשיק ועל ידי ציר ה

2פרבולה העבירו משיקים ל A(8,0)דרך הנקודה )16( 10 25y x x= − +.

.מצא את משוואות המשיקים. א . חשב את השטח הכלוא בין שני המשיקים והפרבולה. ב

x

y

A

20



)17 (

)נתונה הפונקציה ) 4f x x x= בתחום +

0x ≥. )ראה ציור( מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה. א

.ומשיק לגרף הפונקציה הנתונה (0,0) חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה. ב

. y -על ידי המשיק ועל ידי ציר ה, הנתונה

)18(

)3חשב את הנגזרת של הפונקציה . א ) cosf x x=.

2cosנקציה ועל ידי גרף הפו x - חשב את השטח המוגבל על ידי ציר ה. ב siny x x= ⋅

בתחום 1 3

2 2xπ π≤ ≤.

.ענו על סעיף ב ללא סעיף א, לסטודנטים במקצועות ריאליים*

)19(

2חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה y x= 6yוהישר − x= +.

)20(

2ין הפרבולה חשב את השטח הכלוא ב 2x y= 8yוהישר + x= −.

2. א: חשב את האינטגרלים הבאים) 21( 2

0

a

x a dx−∫ .2. ב 2

a

a

a y dy−

−∫.

)קשת(עקום חישוב אורך

:הבאים בסעיפיםחשב את אורך העקום הנתון ) 22(

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5 42 /3

3 2

2/3 2 /3 2 3/2

2 3/2

1 11 2 (3 1 8 (2 1 2 (1

15 4 8 4

1 21 8 4 (6 0 3 (3 ) (5 0 3 (1 ) (4

3 3

1 2 (9 1 2 ln (8 0 4 3 1 (7

x xx y x y x x y

x x

x x y x y x x x y x

x y x x y x y x y

≤ ≤ = + ≤ ≤ = ≤ ≤ = +

≤ ≤ + = ≤ ≤ = − ≤ ≤ = +

≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ = −

x

y

21



8פרק

שימושי אינטגרל המסוים

)ונפח של גוף שטח מעטפת של גוף סיבוב, חישובנפח גוף סיבוב(

גוף סיבובשל נפח

בשיטת הדיסקות, yוסביב ציר xסביב ציר , רשום את הנוסחאות לחישוב נפח גוף סיבוב) 1(

(cavalieri)ובשיטת הקליפות הגליליות.

2השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ) 2(y x= 2 - וy x= מסתובב סביב צירx.

:חשב את נפח הגוף המתקבל בשתי דרכים

. (cavalieri)שיטת הדיסקות. א

.הגליליותשיטת הקליפות . ב

2השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ) 3(y x= 2 - וy x= מסתובב סביב צירy.

:חשב את נפח הגוף המתקבל בשתי דרכים

. (cavalieri)שיטת הדיסקות. א

.שיטת הקליפות הגליליות. ב

)3השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ) 4( ) 1f x x= −

:והציריםמסתובב סביב

1yהישר . ב. xציר . א = 2yהישר . ג. − =.

1xהישר . ה. yציר . ד = 2xהישר . ו. − =.

?מתקבל המהו נפח הגוף

.נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח גליל) 5(

.נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח חרוט) 6(

.נסח והוכח את הנוסחה לחישוב נפח כדור) 7(

)גרף הפונקציה השטח הכלוא בין) 8( )2siny x=

:והישרים3

,6

ππ== xx,0y מסתובב =

. מהו נפח הגוף המתקבל. yסביבציר

x

y

y = -1

y = 2

x = -1 x = 2

x

y

22



גרף הפונקציה השטח הכלוא בין) 8(2x

y e=

:והישרים3

,6

ππ== xx,0y מסתובב =

. מהו נפח הגוף המתקבל. yסביבציר

)יה צפונקההשטח הכלוא בין גרף) 9( ) lnf x x x= ,

)משיק לגרף בנקודהה , )e e צירוxמסתובב סביב

?מהו נפח הגוף המתקבל . xציר

שטח מעטפת של גוף סיבוב

. yוסביב ציר xרשום את הנוסחאות לחישוב שטח מעטפת של גוף סיבוב סביב ציר ) 10(

24yהפונקציה)11( x= 1עבור − 1x− ≤ . xסתובבת סביב ציר מ ≥

?מהו שטח המעטפת של הגוף שנוצר

.נסח והוכח את הנוסחא לחישוב שטח מעטפת של חרוט )12(

.נסח והוכח את הנוסחא לחישוב שטח מעטפת של כדור )13(

29xהפונקציה )14( y= 2עבור , − 2y− ≤ yבת סביב ציר מסתוב ≥

?מהו שטח המעטפת של הגוף שנוצר

חישוב נפח

. aובסיסה הוא ריבוע שאורך צלעו hאשר גובהה , מצא נוסחה לחישוב נפח פירמידה ישרה) 15(

. cהוגובה b -ו aמצא נוסחה לחישוב נפח פירמידה שבסיסה משולש ישר זויתשניצביו) 16(

x

y

x

y

23



9פרק

גזירת האינטגרל

.א"של החדו )השני(צטט את המשפט היסודי ) 1(

)על סמך המשפט היסודי הוכח כי אם )2( )f x רציפה ו - ( ), ( )a x b x אזי, ותגזיר:

( )

( )

( )

1) ( ) ( ) '( ) ( ( )) '( )

2) ( ) ( ) '( ) ( ( )) '( ) ( ( )) '( )

b x

a

b x

a x

I x f t dt I x f b x b x

I x f t dt I x f b x b x f a x a x

= ⇒ =

= ⇒ = −

∫

∫

:גזור את הפונקציות הבאות) 3(

2 3 3

2

3

242 1 2

ln( ) (4 ( ) ln (3 ( ) (2 ( ) (1

1

x x x x x

t

x

dt tI x I x t tdt I x dt I x e dt

tt

+−= = = =

+∫ ∫ ∫ ∫

:חשב את הגבולות הבאים )4(

2

20

3 24 0 04 0

cos1lim (3 lim sin (2 lim (1

4 sin

x

x x

t

x x x

tdt

txe dt tdt

x x x→ → →−

∫∫ ∫

4חקור את הפונקציה )5( 10

0

( ) ( 1) ( 1)x

F x t t dt= + :לפי הפירוט הבא ∫−

.נקודות פיתול ותחומי קמירות וקעירות, נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה, תחום הגדרה

24



10פרק

)מוכללים( אינטגרלים לא אמיתיים


2

1 1

2 2 220 0 1 1

2 2

2 2

1 1 1

1(4 sin (3 (2 (1

(1 )(1 )1

1(8 (7 (6 (5

5x x

dx dx dx xdx

x x xx xx x

x e dx xex

x

x

∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞− −

−∞

⋅+++

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

:האינטגרלים הבאיםאו התבדרות התכנסותאת בדוק )2(

( )

2 2

4 3 2 4 22 23 1 1 1

2 3 32

2 4

0 2 1

sin ln arctan 2 1 2 1(4 (3 (2 (1

1 4 5 4 54

1 1(8 (7 (6 1 (5

1 1

x

x x x x x x xdx dx dx dx

x x x x xx x

e xdx dx dx x x dx

x x x

∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

−∞

⋅ + + + ++ + + + +−

++ −

+ +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

2xחשב את השטח בין גרף הפונקציה ) 3(y e= , 1הישרx 1xעבור xוציר = ≤.

חשב את השטח בין גרף הפונקציה ) 4(1

yx

5xוהישר x - ציר ה, y -ציר ה, = = .

25



11פרק -תרגילים

פונקציות בשנימשתנים לכלכלנים

נגזרות חלקיות,עקומות שוות ערך

עקומות שוות ערך

תו ושרטט אתשרטט או, תחום הגדרהמצא , עבור כל אחת מהפונקציות הבאות) 1( .של הפונקציה עקומות שוות ערך/קווי הגובהמפת

2 2 2 2

2

( , ) ln ln (2 ( , ) (1

( , ) 1 (4 ( , ) (3

( , ) (6 ( , ) ln( ) (5

yf x y x y f x y

x

f x y x y f x y x y

f x y x y f x y x y

= + =

= − − = +

= = −

)2(

:2שרטט את מפת העקומות שוות הערך של .א , ( , ) 100 5 2f f x y x y→ = − −R R .

. fבאיזה כיוון עליך לזוז מעקומה לעקומה על מנת להגדיל את הערך של

נגדיר .ב3

( , )4

x y y xf x y

x y x

+ >=

≤,הנח כי . 0x y ≥ .

)שרטט את העקומות שוות הערך , ) 4,12f x y .עבור הפונקציה הנתונה =

}שרטט את מפת העקומות שוות הערך של .ג }2: , ( , ) min ,3

xf f x y y+ +→ =R R .

)3(

0תהי , 0 , ( , ) ( )( )y x u x y x p y q≥ ≥ = + .פונקצית תועלת של פרט+

,(1,6)הנקודות (3,2), .מונחות על אותה עקומת אדישות(0,14)

.הצב אותם בפונקצית התועלת. q-וpמצא את .א

?מהי משוואת עקומת האדישות עליה מונחות הנקודותהנתונות .ב

.שרטט את עקומת האדישות. עליך להגיע למשוואה מפורשת

26



נגזרות חלקיות

:ותחשב את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון של הפונקציותהבא) 4(

( )( )

( ) ( )

3 2 2

5

2 4

2

2 3

2

2

( , ) 4 3 2 3 (1

( , ) ln (2

5lnonly ( , ) (3

5

( , ) 2 3 (4

3( , ) (5

x y

f x y x x y x y

f x y x y

x y y yf f x y

y y y

f x y x y x y

x yf x y

x y

= − + +

=

+=

+ +

= + ⋅ +

−=

+

:חשב את הנגזרות החלקיות מסדר שני של הפונקציותהבאות) 5(

2 2 2

4

( , ) 4 4 10 (1

( , ) ln (2

( , , ) (3

f x y x x y x y

f x y x y

f x y z xyz

= − + +

=

=

27



תרגילים - פרק 12 משפט אוילר, פונקציותהומוגניות

1שאלה

הוכח כי פונקציתהתועלת .א

1/1 1

( , )2 2

m

m mu x y x y = + הנח כי.הומוגניתmקבוע חיובי.

)כי,חישוב ישיר של הנגזרות ללא,הוכח .ב , ) (1,1)y y

u a a u= .

(2,2)כי, ללא חישוב ישיר של הנגזרות, הוכח.ג (1,1) 1x y

u u+ = .

2שאלה

)תהי , )f x yפונקציההומוגנית מסדרm(6,3)המקיימת 243f (2,1)- ו= 27f = .

. m,הומוגניותמצא את סדר ה .א

)בנקודה .ב המשיק הוא. ל"ע בנקודה הנ"מעבירים משיק לעש. fע של"עוברת עש6,3(

2 3 21x y+ (2,1)מצא את. = , (2,1) , (1,0.5)x y x

f f f .

3שאלה )תהי )g tפונקציה של משתנה אחד.

(4)ידוע כיgעל הפונקציה 5 , (1) 3 , (8) 2g g g′= = = .

)תלוי במשתנים החיובייםtהמשתנה ),x y4:כך y

xt = .

)כפונקציה של המשתניםuמגדירים תועלת ),x yבאופן הבא:4

( , ) ( )y

xu x y g t g

= =

.

.1באיור שלפניך קרן עם שיפוע .א

?תועלת בנקודות המסומנות על הקרןמה הערך של ה

4הוכח כי הקרן .ב 0y x− .היא עקומת אדישות של התועלת=

.צייר את הקרן הזאת ורשום באיור מה הערך של התועלת

?מהו סדרההומוגניות. הוכח כי התועלת היא פונקציה הומוגנית .ג

,1)הוכח כי .ד 2) 16x

u = − .

28



4שאלה )הפונקציה , )f x y3הומוגנית מסדר .

.הנתונים בשרטוט

. Bמצא את שיעורי הנקודה.א

(4,8)מצא אתערך הסכום.ב 2 (4,8)x yf f+ .

)נגדיר פונקציה חדשה.ג , )u x yעל ידי( )2( , ) ( , )u x y f x y=

לפי כללי הגזירה מתקיים.1.ג( , ) 2 ( , ) ( , )x xu x y f x y f x y= ⋅ ⋅

.הסבר זאת בקצרה.

)הוכח כי.2.ג )2( , ) ( , ) 6 ( , )x yx u x y y u x y f x y⋅ + ⋅ . fובנתונים על1 -היעזר ב. =

A

2

B

4

f=2

f=16

29




גבולות ורציפות, פונקציות של מספר משתנים

ו ושרטט אתשרטט אות, תחום הגדרהמצא , עבור כל אחת מהפונקציות הבאות )1(

).משטחי הרמהתאר את 8 - ו 7בסעיפים (של הפונקציה רמה/קווי הגובהמפת

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

( , ) ln ln (2 ( , ) (1

( , ) 1 (4 ( , ) (3

( , ) (6 ( , ) ln( ) (5

( , , ) (8 ( , , ) (7

yf x y x y f x y

x

f x y x y f x y x y

f x y x y f x y x y

f x y z z x y f x y z x y z

= + =

= − − = +

= = −

= − − = + +

:חשב את הגבולות הבאים) 2(

3

2 2 3( , ) (3,2) ( , ) (0,0)

2 2

( , ) (1,2)( , ) (0,0 )

( , ) (1,2) ( , ) (1 ,1 )

( ,

sin( 6) sin( )lim (2 lim (1

36

arctan( 3)lim ( ) ln( ) (4 lim (3

ln( 2)

2 3 1 sin( 2 3)lim (6 lim (5

2 4 2 3

lim

x y x y

x yx y

x y x y

x y

xy x y

x y x y

x yx y x y

x y

x y x y

x y x y

+

+ +

→ →

→→

→ →

−−

+ −+ +

+ −

+ − − + −

+ − + −

( )2 2 2

2, ) (0,1,2) ( , ) (1,1)

sin ( )(8 lim (7

z x y

x y z xy y

xy x y→ →

+ −

−

:חשב את הגבולות הבאים)3(

2 2 2

4 20 00 0

3 2

2 20 00 0

3 2

6 2 4 20 00 0

2 4 4 2 20 00 00

( )lim | | (2 lim (1

lim (4 lim (3

lim (6 lim (52

sin( )lim (8 lim (7

x

x xy y

x xy y

x xy y

x xy yz

x yy

x y

x x y

y x y

x y x y

x y x y

xyz xy

x y z x y

→ →→ →

→ →→ →

→ →→ →

→ →→ →→

++

++

+ +

+ + +

30



:חשב את הגבולות הבאים )4(

3

2 4 2 2( , ) ( , ) ( , ) (0,0)

4 4

2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)

2 2 2 2 2 2

2 22 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)3

3 3 3

2( , , ) (0,0,0)

lim (2 lim (1

sin( )lim (4 lim (3

sin( ) 3 3lim (6 lim (5

lim

x y x y

x y x y

x y x y

x y z

x y x y

x yx y x y

x y xy

x y x y

x y x x y y

x yx y

x y z

x y

→ ∞ ∞ →

→ →

→ →

→

−+ + +

++ +

+ − +++

+ ++

2 2

2 2 ( , ) (0,0)(8 lim ln( ) (7

x yy x y

z →+

+

.(0,0)בדוק את רציפות הפונקציות הבאות בנקודה)5(

האם ניתן להגדיר אותה כך שתהייה, במידה והפונקציה אינה רציפה בנקודה

?רציפה בנקודה

2 2

2 2

3 3

2 2

sin( )( , ) (0,0)

( , ) (1

2 ( , ) (0,0)

( , ) (0,0)( , ) (2

0 ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x y

x y

x yx y

f x y x y

x y

+≠

= + =

+≠

= + =

13פרק - תרונותפ

)1 (1 (0x ,y .2 (0שור ללא ציר המי, ≠ 0x y> .הרביע הראשון ללא הצירים, <

2) 4. כל המישור ) 3 21x y+ 2) 5. עיגול היחידה, ≥

y x<

6 (0y .כל המרחב -. ה.ת) 8. כל המרחב -ה .ת) 7. חצי המישור העליון, ≤

)2 (1 (12(11) 6אינסוף ) 05) 14) 123

27 (2 8 (5.

. 0) 8 0) 7 0) 36) 05) 04) 03) 02) 1) 4. (בכל הסעיפים אין לפונקציה גבול )3(

(0,0)נגדיר אם . הפונקציה לא רציפה) 1 ) 5( 1f .הפונקציה רציפה) 2. הפונקציה תהיה רציפה=

31




לפונקציה של מספר משתנים כלל השרשרת

.הנח שכל הנגזרות הרשומות קיימות, בתרגילים בפרק זה*

2נתון )1( 2ln( )z x y= −,2 32 ,x u v y u v= − = .חשב .+ ,u vz z

2נתון )2( 24 , 4 , u vv t k u t m z e −= + = + ,חשב .= ,z z z

t m k

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

.

2נתון) 3( 2( )z f x y= 0xהוכח.− yy z x z⋅ + ⋅ =.

)נתון) 4( )z f xy=.0הוכחx yx z y z⋅ − ⋅ =.

נתון) 5(x

z fy

0xהוכח . = yx z y z⋅ + ⋅ =.

)נתון ) 6( , )z f x y y x= − 0xהוכח . − yz z+ =.

)נתון )7( , , )w f x y y z z x= − − 0xהוכח. − y zw w w+ + =.

sinנתון) 8( (sin sin )u x f y x= + cosהוכח.− cos cos cosx yu y u x x y+ =.

2נתון )9( 2( )z y f x y= ⋅ הוכח . −2

1 1x y

zz z

x y y+ =.

נתון ) 10(y

z xy xfx

= xהוכח. + yx z y z xy z⋅ + ⋅ = +.

)2נתון) 11( , , ) ,y z

u x y z x fx x

= 2xהוכח.⋅ y zxu yu zu u+ + =.

)נתון) 12( , ) ( ) ( )h x y f y ax g y ax= + + 2וכח ה .−xx yyh a h= ⋅.

)נתון ) 13( , ) ( sin ) ( sin )x xu x y f e y g e y= − .

. א: הוכח 2

.sinxx x

xx yy

u uu u

y

−+ .. ב = xy yxu u=

,1). ג: חשב )xyu π (0)' - אם ידוע ש 2, '(0) 1f g= =.

32



sinנתון ) 14( , cos , ( , )y r x r u f x yθ θ= = =.

)הוכח . א ) ( ) ( ) ( )2 22 2

2

1x y ru u u u

r θ+ = +.

2הוכח . ב 2cos 2 cos sin sinrr xx xy yyu f f fθ θ θ θ= + +.

הוכח . ג 2

1 1xx yy rr rf f u u u

rr θθ+ = + +.

)נתון ) 15( , )z h u v= ונתון כי( , ) , ( , )u f x y v g x y= מקיימות את מישוואת =

x,כלומר מקיימות, רימן-קושי y y xu v u v= = − .

:הוכח כי

u,. א vכלומר . מקיימות את משוואת לפלס. 0 , 0xx yy xx yyu u v v+ = + =

). ב ) ( ) ( )2 2. xx yy x x uu vvh h u v h h

+ = + +

sinhנתון ) 16( , cosh , ( , )y r s x r s u f x y= = =.

)הוכח כי ) ( ) ( ) ( )22 2 2

2.

1x y r su u u u

r− = −

14פרק - פתרונות

. −e.ג) 13(

33




פונקציות סתומות , מערכת של פונקציות סתומות, שימושים גיאומטריים

מערכת של פונקציות סתומות, פונקציות סתומות

2כאשר y'מצא את )1( 5 1x y xy+ = . y(0)'חשב את . +

2כאשר y(1)'מצא את )2( 2 5 4x ye x y x+ = − .

'מצא את )3( '( ) , '( )y e y e 2כאשרln ln 1x y+ = .

נתון )4(2 22 ( )sin 0x yz e x y z+− + + = ( )( , ) 0z z x y= ≥ .

,(0,0):חשב את (0,0)z z

x y

∂ ∂∂ ∂

.

נתון )5(2 22 4( )sinx yz e x y z e+− + + = − ( )( , ) 0y y x z= ≥ .

,(0,0)חשב את (0,0)x zy y .

3נתון )6( 2 0z xz y− + = ( )( , ) 0z z x y= . xxz(1,1)מצא . ≤

3נתונה משוואה )7( 3 4z xyz− ,2,1)קודהונ= 2)− .

(2,1):מצא (3 (2,1) (2 (2,1) (1yy xy xxz z z .

2אם ) 8( 3u v x y− = 22 -ו + 2u v x y− = − ,

,מצא את , ,x x y yu v u v.

2אם ) 9( 2 3 3, ,x u v y u v w u v= + = + = x,מצא את , + yw w .

34



)מישור משיק וישר נורמלי למשטח( שימושים גיאומטריים

י הפונקציה "נתון משטח המוגדר ע )10(2 2

2 34 9

x zy+ + = ( )0z <.

,2בה Pמהי משוואת מישור משיק למשטח בנקודה 1x y=− =.

8xyzמצא משוואה של מישור משיק למשטח ) 11( )בנקודה = 2,2, 2)− וכן −

.ישר הפרמטרי הניצב למשטח הנתון בנקודה זומשוואה של ה

2מצא מישור המשיק למשטח )12( 2 28 21 27x y z+ = המקביל למישור −

8 18 0x y z+ + = .

xלמשטח )13( y z a+ + .שור המשיק בנקודה כלשהימעבירים מי =

,מישור זה חותך את הצירים ,x y z בנקודותA,B,C נסמן . בהתאמה

O .OA + OB + OC = aהוכח. =(0,0,0)

).מוכיחים שסכום הקטעיםאינו תלוי בנקודת ההשקה למעשה(

15פרק -פתרונות

2 3

4

1'(0) (1)

5

'(1) 5 (2)

2 6'( ) , ''( ) (3)

sin1(0,0) (0,0) (4)

2

1(0,0) 0, (0,0) (5)

2

(1,1) 16 (6)

(2,1) (2,1) 1, (2,1) 4 (7)

1 12 4 2 2 3 4 1, , , (8)

1 8 1 8 1 8 1 8

x y

x z

x

xx xy yy

x y x y

y

y

y e y ee e

z z

y ye

z

z z z

v v u uu u v v

uv uv uv uv

w

=

=

= − =

= = −

= =

= −

= = =

− − − − − −= = = =

− − − −3 , 1.5( ) (9)

3 6 2 18 0 (10)

6 0 , ( 2,2, 2) (1, 1,1) (11)

8 18 21 , 8 18 21 (12)

x yuv w u v

x y z

x y z t

x y z x y z

= − = +

− + + =

− + + = − − + −

+ + = + + = −

35



16פרק - תרגילים

)רמה רגילה( משתנים בשניקיצון של פונקציה

,עבור כל אחת מהפונקציות הבאות מצא נקודות קריטיות וסווג אותן למקסימום .מינימום או אוכף

2 2

3 2

3 3

3 3

3 2 4

4

2

2 2

( , ) 8 12 3 18 (1)

( , ) 3 12 20 (2)

( , ) 3 4 (3)

( , ) 3 2 (4)

( , ) (5)

( , ) 6 (6)

8( , ) (7)

( , ) cos (8)

y x y

x

f x y x xy y x

f x y x y x y

f x y x y xy

f x y x x y y

f x y e

f x y y x y x y

x y x yf x y

xy

f x y e y

− −

= + + −

= + − − +

= + − +

= − − +

=

= − − +

− +=

=

3נתון משטח )9( 3 3 4z x y xy+= − + .

.האופקיים למשטחהמשיקים המישורים תומצא את משווא

חשב את ממדי התיבה ששטח , ק"סמ32מבין כל התיבות הפתוחות שנפחן)10(

.הפנים שלה הוא מינימלי

2למישור (1,2,3)מצא את המרחק הקצר ביותר מהנקודה) 11( 2 0x y z− − + =

.ל"בה ביותר לנקודה הנוכן את הנקודה על המישור הקרו

36



.בארץ ובסין, יצרן מוכר מחשבונים) 12(

.8$מחשבון בסין היאייצור ועלות 6$מחשבון בארץ היאהייצור של עלות

2Qלמחשבון בארץ ואת הביקוש 1Qמנהל השיווק עומד את הביקוש

:למחשבון בסין על ידי

, צריכה החנות לקבוע את מחירי המחשבונים כיצד1Pו-

2P , על מנת למקסם

?מהו רווח זה ? אתהרווח


. מינימום(3-,1.5); אוכף (0.5,1-)) 1(

.וכףא(2-,1), (2 ,1-); מקסימום (2-,1-); מינימום (2 ,1)) 2(

. מינימום(1,1); אוכף (0,0) ) 3(

.אוכף(1- ,1), (1,1), (0 ,1-); מקסימום (0 ,1); מינימום (1- ,1-)(1 ,1-) ,) 4(

.מקסימום(4 ,4) ) 6. (מקסימום(2 ,0)) 5(

.אין נקודות קריטיות) 8( . מקסימום(4 ,0.5-) ) 7(

)9 (z = 3 , z = 4 .)10 ( מ"ס 2גובה , מ"ס 4אורך , מ"ס 4רוחב .

. (1/3,4/3,10/3)נקודה קרובה ביותר . יחידות אורך 1מרחק מינימלי הוא ) 11(

)12 (P1=10$, P2=12$ , 288$רווח מקסימלי .

1 1 2

2 1 2

116 30 20

144 16 24

Q P P

Q P P

= − +

= + −

37




)'כופלי לגרנג(ץ של פונקציה של שני משתניםקיצון תחת אילו

פונקציות של שני משתנים

:א את המקסימום והמינימום של הפונקציות הבאות בכפוף לאילוץ הנתוןמצ

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

( , ) ; 2 3 1 2 (1)

( , ) ; 1 (2)

( , ) 4 6 ; 13 (3)

( , ) ; 2 6 (4)

f x y x y x xy y

f x y x y x y

f x y x y x y

f x y x y x y

= + + = −

= − + =

= + + =

= + =

}נתונה בעיית הקיצון )5( } . . 3 12Max xy s t x y+ =

.גרפי לבעייהפתרון הבא. ב. בעיהפתור את ה. א

}נתונה בעיית הקיצון )6( }2 . . 9Max x y s t x y+ + =

.גרפי לבעייהפתרון הבא. ב. פתור את הבעיה. א

3מבין כל הנקודות הנמצאות על הישר ) 7( 12x y+ מצא את זו שמכפלת, =

. יה מקסימלישיעור

2מבין כל הנקודות שעל העקומה ) 8( 22 3 1 2x xy y+ = מצא את הנקודות −

שמרחקיהן מראשית הצירים הוא מינימלי ואת הנקודות שמרחקן מראשית

.הצירים הוא מקסימלי

3מצא את המרחק הקצר ביותר מהישר )9( 6 4 0x y− + לפרבולה =2 22 4 0x xy y y+ + + =.

מרחק הנקודה :רמז0 0

( , )x y 0מהישרax by c+ + 0הוא = 0

2 2

ax by c

a b

+ +

+.

38



התועלת מצריכת הסל . ג עגבניות"ק y - ג מלפפונים ו"ק xקונה בשוק מוישלה)10(

( , )x y נתונה על ידי( , ) ln lnu x y x y= +.

.ח"ש 2ג עגבניות "מחיר ק. ח"ש 1ג מלפפונים "קמחיר

והוא מעוניין להשיג זאת ln16קובע לעצמו להשיג רמת תועלת מוישלה

.מוישלהאת בעיית ופתור נסח .בעלותמינימאלית

ריכת הסל התועלת מצ. ג עגבניות"ק y -ג מלפפונים ו"ק xקונה בשוק דני )11(

( , )x y נתונה על ידי( , )u x y xy= .

.ח"ש 3ג עגבניות "מחיר ק. ח"ש 1ג מלפפונים "קמחיר

.דניאת בעיית ופתור נסח . ח"ש 12לדניתקציב של

2היא Yואננס Xעקומת התמורה בין מנגו ) 12( 2 13x y+ =.

)לדני תועלת , ) 4 6f x y x y= +.

)) = מנגו,אננס(דני מחפש את הסל , )x y , המביא , על עקומת התמורה

.נסח ופתור את הבעייה. למקסימום את התועלת שלו מצריכת מנגו ואננס

Qלייצרן פונקציית ייצור ) 13( k L= הם L -ו Kהמחירים ליחידת . +

2, 1K LP P= והוא מחפש את הצירוף 100היצרן נמצא ברמת תפוקה . =* *( , )K L אל תפתור(נסח את בעיית היצרן . המביא למינימום את העלות.(


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

{ }

0, 1 min 1,0 (2) 1, 1 min 1 / 7, 1 / 7 (1)

2,1 min 2,1 (4) 2,3 min 2, 3 (3)

9,36 (6) 6, 2 (5)

1, 1 min 1 / 7 , 1/ 7 (8) 6, 2 (7)

min , (10) 7 / 45 (9)

2,3 (12) 6, 2 (11)

min 2 ; 100 (13)

32 8

Max Max

Max Max

Max Max

Max

Max Max

K L K L

± ± ± ± ±

± ± − −

± ± ±

+ + =

∓

∓

39




)'כופלי לגרנג(של פונקציה של שלושה משתנים קיצון תחת אילוצים

תחת אילוץ משתנים לושהפונקציות של ש

חשב את ממדי התיבה ששטח , ק"סמ32מבין כל התיבות הפתוחות שנפחן)1(

.הפנים שלה הוא מינימלי

2מצא על פני הכדור ) 2( 2 2 36x y z+ + ביותר את הנקודות הקרובות =

. (1,2,2)ואת הנקודות הרחוקותביותר מהנקודה(1,2,2)נקודהל

2למישור (1,2,3)מצא את המרחק הקצר ביותר מהנקודה. א) 3( 2 0x y z− − + =.

2על המישור 'מצא נק. ב 2 0x y z− − + .(1,2,3)'יא הקרובה ביותר לנקשה =

.י חישוב המרחק בעזרת הנוסחה למרחק בין נקודה למישור"בדוק תשובתך ע. ג

2מצא את הנקודות על המשטח )4( 1z xy= .הקרובות ביותר לראשית +

מצא את המרחק הגדול ביותר והקטן ביותר מהאליפסואיד) 5(2

2 2

961

xy z+ + =

3למישור 4 12 288x y z+ + =.

0מרחק הנקודה :רמז 0 0( , , )x y z 0מהמישורax by cz d+ + + 0הוא = 0 0

2 2 2

ax by cz d

a b c

+ + +

+ +.

תחת אילוצים משתנים לושהפונקציות של ש

2תוך הגליל מצא מרחק מינימלי ומקסימלי בין העקום המתקבל מחי)6( 2 1x y+ =

zוהמישור x y= .לבין ראשית הצירים+

האליפסואידמצא מרחק מינימלי ומקסימלי בין העקום המתקבל מחיתוך )7( 2 2 2

14 5 25

x y z+ + zוהמישור= x y= .לבין ראשית הצירים+

40



הערה חשובה

אנו מסיקים שנקודה קריטית היא נקודת קיצון משיקולים ,בית התרגילים בפרק זהבפתרון מר

. פיסיקלייםאו גיאומטרייםהיות ומדובר בבעיות מעשיות

ברוב מוסדותאך מאחרולא נהוג ללמד אותן , ישנן דרכים מתמטיות מתקדמות להוכיח פורמלית

.הסתפקנו בכך, הלימוד


. מ"ס 2גובה , מ"ס 4אורך , מ"ס 4רוחב ) 1(

,2)הנקודה הקרובה ביותר היא הנקודה) 2( 4,4) .

)הנקודה הרחוקה ביותר היא הנקודה 2, 4, 4)− − −.

101נקודה קרובה ביותר. יחידות אורך 1מרחק מינימלי הוא ) 3( 43 3 3( , , ) .

)4 ((0,0,1) , (0,0, 1)−.

256מרחק קצר ביותר) 5(320מרחק ארוך ביותר . 13

13 .

.3מרחק מקסימלי . 1מרחק מינימלי ) 6(

75מרחק מינימלי) 7( .10מרחק מקסימלי . 17

41




מוחלט של פונקציה רציפה בקבוצה סגורה וחסומהקיצון

חשב את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של) 1(

( , ) 3 6 3 7f x y xy x y= − − בצורת, הוא התחום הסגור Rכאשר , Rבתחום +

.(0,0),(3,0),(0,5): משולש שקודקודיו הם

ט ואת המינימום המוחלט שלחשב את המקסימום המוחל) 2(

2 2( , ) 3 2 6f x y x y x y= − − בצורת, הוא התחום הסגור Rכאשר , Rבתחום +

,(2,0)ריבוע שקודקודיו הם (2,2),(0,2),(0,0).


2 2( , ) 2f x y x y x= + 2הוא העיגול Rכאשר , Rבתחום − 2 4x y+ ≤.


2 2( , )f x y x y xy x y= + − + , הוא התחום הסגור Rכאשר , Rבתחום +

{ }( , ) | 3 , 0, 0R x y x y x y= + ≥ − ≤ ≤.


2 2( , ) 12 16f x y x y x y= + − , וא התחום הסגורה Rכאשר , Rבתחום +

{ }2 2( , ) | 1, 3R x y x y x y= + ≤ ≥ −.


. - 11מינימום מוחלט . 7מקסימום מוחלט ) 1(

. - 1מינימום מוחלט . 3מקסימום מוחלט ) 2(

33מקסימום מוחלט) 3(1מינימום מוחלט . 4

4− .

. - 1ימום מוחלט מינ. 6מקסימום מוחלט ) 4(

101מקסימום מוחלט) 5( 101מינימום מוחלט . +6 6− .

42




דיפרנציאבליות, נגזרות חלקיות

:הבאות ותחשב את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון של הפונקצי) 1(

( )( )

( ) ( )

( )

3 2 2

5

2 4

2

2 3

2

2

2 3

( , ) 4 3 2 3 (1

( , ) ln (2

5lnonly ( , ) (3

5

( , ) 2 3 (4

3( , ) (5

( , ) sin (6

( , ) arctan(2 3 ) (7

( , ) cos (8

( , , ) (9

( , , ) sin (10

x y

uv

f x y x x y x y

f x y x y

x y y yf f x y

y y y

f x y x y x y

x yf x y

x y

f x y xy

f x y x y

f r r

f x y z xy z

f u v t e ut

θ θ

= − + +

=

+=

+ +

= + ⋅ +

−=

+

=

= +

=

=

=

:הבאות ותחשב את הנגזרות החלקיות מסדר שני של הפונקצי )2(

( )

2 2 2

4

( , ) 4 4 10 (1

( , ) ln (2

( , ) sin 10 4 (3

( , , ) (4

f x y x x y x y

f x y x y

f x y x y

f x y z xyz

= − + +

=

= +

=

43



.(0,0)חשב את הנגזרות החלקיות של הפונקציה הבאה בנקודה) 1 )3(

? (0,0)האם הפונקציה רציפה בנקודה) 2

?בהכרח רציפה היא האם פונקציה גזירה חלקית ) 3

2 2( , ) (0,0)

( , )

0 ( , ) (0,0)

xyx y

x yf x y

x y

≠+=

=

(0,0)בנקודה )3(בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה משאלה )4(

:בדוק את דיפרנציאביליות הפונקציות הבאות בנקודה )5( (0,0)

( )

3 3

2 2

2 2

2 2

( , ) (0,0)( , ) (12

0 ( , ) (0,0)

1sin ( , ) (0,0) (2

( , )

0 ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x y

x y

x y x yf x y x y

x y

+≠

= + =

+ ≠ = +

=

בתחום הגדרתהבדוק את דיפרנציאביליות הפונקציה הבאה )6(

2 2

1

( , ) (0,0)

( , )

0 ( , ) (0,0)

x ye x y

f x y

x y

−+

≠

= =

:הערת סימון

1 2

2 2

11 222 2

2 2

12 21

( , )

x y

xx yy

xy yx

f ff f f f

x y

f ff f x y f f f f

x y

f ff f f f

y x x y

∂ ∂= = = =∂ ∂

∂ ∂= ⇒ = = = =

∂ ∂

∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂

44




( )

( ) ( )

2 2 2

54

4

2

2 3 2 2 3

2 2 2 2

2 22 2

2 2

6 3 12 6 2 (1 (1)

5 ln (2

5ln2 (3

5

6 12 3 6 6 2 (4

3 3 2 2 3(5

cos( ) cos( ) (6

3 2(7

1 (2 3 ) 1 (2 3 )

y x

y x

x y

y x

y x

y x

y x

f x y f x xy

xf f x y

y

y y yf x

y y y

f xy y x f x xy y

x y x y x xy yf f

x y x y

f xy x f xy y

f fx y x y

fθ

= − + = − +

= =

+=

+ +

= + + = + +

− + − + += =

+ +

= ⋅ = ⋅

= =+ + + +

=

[ ]

2 2 3 2 3

2 2

2 2

2 3

4 4

2

3

sin cos (8

3 2 (9

cos sin sin cos (10

8 2 8 2 4 (1 (2)

2 2 10

4 4

12 ln 4 ln (2

4

r

z y x

uv uv uv

t v u

xx x

yy y

yx xy

xx x

yy y

yx xy

r f

f xy z f xyz f y z

f u e ut f u e ut f e v ut t ut

f y f x xy

f x f x y

f xy f xy

f x y f x y

x xf f

y y

xf f

y

θ θ− =

= = =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = +

= − = − +

= − = − +

= − = −

= =

= − =

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

34

100sin 10 4 10cos 10 4 (3

16sin 10 4 4cos 10 4

40sin 10 4 40sin 10 4

0 (4

0

0

xx x

yy y

yx xy

xz xy xx x

yz yy yx y

zz zy zx z

x

y

f x y f x y

f x y f x y

f x y f x y

f y f z f f yz

f x f f z f xz

f f x f y f xy

=

= − + = +

= − + = +

= − + = − +

= = = =

= = = =

= = = =

.שוות אפס (0,0)הנגזרות החלקיות בנקודה) 1 )3(

.(0,0)הפונקציה לא רציפה בנקודה )2

.פונקציה גזירה חלקית אינה בהכרח רציפה )3

.לא דיפרנציאבילית )4(

.דיפרנציאבילית )2לא דיפרנציאבילית )1) 5(

.דיפרנציאבילית )6(

45




הדיפרנציאל השלם, פונקציה בשני משתניםנוסחת טיילור של

נוסחת טיילור

) פתח את הפונקציות הבאות לטור טיילור עד סדר שני סביב הנקודה ),a b :

( )

( )

( )

( )

2 2

2

4

2

32

, (1,2) ( , ) 3 2 (1)

, (0,0) ( , ) (1 ) ln(1 ) (2)

, (0,0) ( , ) (3)

, (2,1) ( , ) (4)

y x y

a b f x y x y y

a b f x y y x y

a b f x y e

x ya b f x y

x y

− −

= = + −

= = + + −

= =

−= =+

. ln(1.5)חשב בקירוב את , 2בעזרת התוצאה של תרגיל )5(

. 3e חשב בקירוב את, 3בעזרת התוצאה של תרגיל )6(

3 חשב בקירוב את, 4בעזרת התוצאה של תרגיל )7( 2 .

הדיפרנציאל השלם

.וגובהומחשבים את הנפח של גליל על סמך תוצאות המדידה של רדיוסו ) 8(

,%2 ידוע שהשגיאה היחסית במדידת הרדיוס אינה עולה על

. 4% ושהשגיאה היחסית במדידת הגובה אינה עולה על

.הערך את השגיאה היחסית המקסימלית האפשרית בנפח המחושב

10: במלבן נתונות שתי צלעות )9( , 24cm cma b= = .

של אורך ) בעזרת דיפרנציאל(חשב את השינוי המדוייק ואת השינוי המקורב

. 1mm -יקצרו ב bואת הצלע 4mm -יאריכו ב aאלכסון המלבן אם את הצלע

46



השגיאה היחסית בכל . את רוחבה ואת גובהה, מודדים את האורך של תיבה )10(

הערך את השגיאה היחסית המקסימלית האפשרית . %5מדידה אינה עולה על

.המחושב לפי תוצאות המדידה, באורך של אלכסון התיבה

24מצא בקירוב את הערך של ,בעזרת הדיפרנציאל השלם ) 11( 15.09 (0.99)+ .


2

2 2

2 2

2

38

10181

( , ) 6 4( 1) 4( 2) 2( 1) 2( 1)( 2) (1)

1 3( , ) 2 (2)

2 2

( , ) 1 4 14 (3)

1 1 7 1( , ) 1 ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)( 1) (4)

3 3 81 9

(5)

19 (6)

(7)

8% (8)

f x y x y x x y

f x y x y x xy y

f x y y x y

f x y x y x x y

= + − + − + − + − −

= − − + −

= + − +

= + − − − − − + − −

.0.06153שינוי מקורב , 0.06472שינוי מדויק ) 9(

)10 (5%.

)11(732002

47



נוסחאות – גבולות

0

1 1 1 1 10 , 0

0 0

______________________________________________________________________

0 1

______________________________________________________________________

ln

0

x

yx

y e e e e

y x

x x x

+ −

−∞ ∞

= = = ∞ = −∞ =−∞ ∞

= = = = ∞

= − −−

→−∞ → →∞

ln(0 ) ln( )

______________________________________________________________________

arctan atan( ) atan(0) 0 atan( )2 2

_____________________________________________________________________

,x

y x

y a

π π

+ = −∞ ∞ = ∞

= −∞ = − = ∞ =

= 0

00 1

1 0 1

, 1 0

_____________________________________________________________________

sin sin 0 0

_____________________________________________________________________

cos

xa

a a a a

y a a a a

y x

y

−∞ ∞

−∞ ∞< <

> = = = ∞

= = ∞ = =

= − −− = − −−

= cos0 1

_____________________________________________________________________

sin0 1 0

_____________________________________________________________________

tan1

_________________________

x

xy

x

xy

x

− −− = − − −

=

= − −− − − −

1

33 3

(from right)

____________________________________________

11 1

(1 ) 1

_____________________________________________________________________

0 0

0 0

__________________

x

x

y e ex

y x e

y x

y x

+

= +

= + − −−

= − − − = ∞ = ∞

= −∞ = ∞ = ∞

0 0

___________________________________________________

Defined Limits:

, ( ) , , , ( ) , / ( )

Undefined Limits :

0, , , 0 , 1 , 0 ,

0

a a a

∞

∞⋅∞ = ∞ ∞ −∞ = −∞ ∞+∞ = ∞ ∞± = ∞ ∞⋅ ± = ±∞ ∞ ± = ±∞

∞∞−∞ ⋅∞ ∞

∞

48



נגזרות–נוסחאות

2

2

2

1. ' 0

12. ' '

3. ' '

4. ' ' ln

15. ln ' '

6. sin ' cos '

7. cos ' sin '

18. tan ' '

cos

19. cot ' '

sin

110. arcsin ' '

1

11. ar cos '

y a y

n ny f y n f f

f fy e y e f

f fy a y a f a

y f y ff

y f y f f

y f y f f

y f y f

f

y f y f

f

y f y f

f

y f y

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

= =−= = ⋅ ⋅

= = ⋅

= = ⋅ ⋅

= = ⋅

= = ⋅

= = − ⋅

= = ⋅

= = − ⋅

= = ⋅−

= =

( ) ( )

2

2

2

2

2

18. ( ) ' ( ) ( ( ) ln( ( )) '

1'

1

112. arctan ' '

1

113. ar cot ' '

1

14. sinh ' cosh '

15. cosh ' sinh '

116. tanh ' '

cosh

117. coth ' '

sinh

g x g xy f x y f x g x f x

f

f

y f y f

f

y f y f

f

y f y f f

y f y f f

y f y f

f

y f y f

f

→

→

→

→

→

→

→= = ⋅ ⋅

− ⋅−

= = ⋅+

= = − ⋅+

= = ⋅

= = ⋅

= = ⋅

= = − ⋅

49



אינטגרלים–נוסחאות

1 11 ( )1 ( ) 1

1 1

1 1 1ln | | ln | |

1

1ln ln

1cos sin cos( ) sin( )

sin

n nn n

x x ax b ax b

xax b

xax b

adx ax c

x ax bx dx c n ax b dx c n

n a n

dx x c dx ax b cx ax b a

e dx e c e dx e ca

k kk dx c k dx ck a k

xdx x c ax b dx ax b ca

xd

+ +

+ +

++

= +

+= + ≠ − + = + ≠ −

+ +

= + = + ++

= + = +

= + = +

= + + = + +

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

2 2

2

1cos sin( ) cos( )

1tan ln | cos | tan( ) ln | cos( ) |

1cot ln | sin | cot( ) ln | sin( ) |

1 1 1tan tan( )

cos cos ( )

1cot

sin

x x c ax b dx ax b ca



dx x c dx ax b cx ax b a

dx x cx

= − + + = − + +

= − + + = − + +

= + + = + +

= + = + ++

= − +

− − − −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

2 2 2 2

2 2

1 1cot( )

sin ( )

1 1 1 1ln | tan | ln | cot |

cos cos sin sin

1 1 1 1arctan ln

2

1arcsin

dx ax b cax b a

dx x c dx x cx x x x

x x adx c dx c

x a a a x a a x a

xdx c

aa x

= − + ++

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

= + + = − +

− = + = + + − +

= + −

− − − − − − − − − −

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2 2

2 2

2

3

2

1ln | |

' 1ln | | '

2

' cos ' sin( )

'sin ' cos( ) 2

2' ' '

3

f f

dx x x a cx a

fdx f c f f dx f c

f

e f dx e c f f dx f c

ff f dx f c dx f c

f

f f dx f c u v dx u v u vdx

= + ± +±

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − −

= + ⋅ = +

⋅ = + ⋅ = +

⋅ = − + = +

⋅ = + ⋅ = ⋅ − ⋅

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

50



ריגוט –נוסחאות

2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

sin cos 1

sintan

cos

coscot

sin

sin 2 2sin cos

cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1

11 tan

cos

11 cot

sin

1sin (1 cos2 )

2

1cos (1 cos 2 )

2

1sin cos sin( ) sin(

2a

α α

αα

αα

αα

α α α

α α α α α

αα

αα

α α

α α

α β β α

+ =

= =

=

= − = − = −

+ = + =

= − = +

= + +( )

( )

( )

)

1sin sin cos( ) cos( )

2

1cos cos cos( ) cos( )

2

2sin sin

( ) 2

2cos cos

2

tan tan

cot cot

sin 0

cos 02

a

a

x kx

x k

x kx

x k

x x k

x x k

x x k

x x k

β

α β β α β

α β β α β

α πα

π α π

α πα

α π

α α πα α π

ππ

π

−

= − − +

= + + −

= += ⇒ = − +

= + = ⇒

= − + = ⇒ = +

= ⇒ = += ⇒ =

= ⇒ = +

51



אלגברה –נוסחאות

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

3 3 2 2 3 3 3 2 2

3 3 2 2 3 3

4 4 3 2 2 3 4

4 4 3 2 2 3 4

( ) 2 ( ) 2

( ) 2 ( )( )

( ) 3 3 ( )( )

( ) 3 3

( ) 4 6 4

( ) 4 6 4

a b a ab b a b a b ab

a b a ab b a b a b a b

a b a a b ab b a b a b a b ab

a b a a b ab b a b

a b a a b a b ab b

a b a a b a b ab b

+ = + + + = + −

− = − + − = − + + = + + + + = + + −

− = − + − − + = + + + + − = − + + +

( )

3 2 2

4 4 2 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2

0

1

2

( )( )

( ) 2

( )( )

0, 0

ln ln ln

ln ln l

( )

1

1

,

ln

m n m n

mm n

n

nm mn

n n n

n n

n

n

n

m

n m n

x

a b a b ab

a b a b a b

a b a b a b

a ba a a

a b aba

aa a b

a a

ab a b

a a

b b

a

aa

a a a a

a b x b

+

−

−

= − + + + = + − − = − +

> > = + = = − = =

= = = = = = = ⇒ =

ln

ln

2

n

ln1 0 , ln 1

ln

ln ln ( 0)

ln

0| |

0

| | | | | |

| |

| |

| |

| |

n

n

x

b b a

k

a

b

e

e n

x n x x

e x

a e

x k x e

a if aa a

a if aa b

a d b c a b a bc d

a a

b ba b c

x a a x ae f d f d ed e f a b c

x a x a or x ah i g i g hg h i

= = = = > =

=

= ⇒ =

≥ = = − < = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅

= < ⇔ − < < = − +

> ⇔ < − >

52



של פונקציות חשובות טורי מקלורן -נוסחאות

מקלורן טור תחום התכנסות

1 2 3

0

2 1 3 5 7

0

2 2 4 6

0

1 2 3 4

0

1 ...! 1! 2! 3!

sin ( 1) ...(2 1)! 3! 5! 7!

cos ( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!

1 1ln(1 ) ( 1) ...1 2 3 4

arctan

nx

n

nn

n

nn

n

nn

n

x x x xxe

n

x x x xx x x

n

x x x xx x

n

x x x xxx x

n

x

∞

=

+∞

=

∞

=

+∞

=

−∞ < < ∞= = + + + +

= − = − + − + −∞ < < ∞+

= − = − + − + −∞ < < ∞

− < ≤+ = − = − + − ++

=

∑

∑

∑

∑

2 1 3 5 7

0

1 2 3

0

1

2 3

1 1( 1) ...2 1 3 5 7

11 ... 1 1

1

1 1 ( 0)( 1) ... ( 1)(1 ) 1

1 1 ( 1 0)!

1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 2)1 ...

0,1,2,3,...2! 3!

nn

n

n

n

m n

n

x x x xxx

n

x x x x xx

x mm m m nx x

x mn

x mm m m m mmx x x

m

+∞

=

∞

=

∞

=

− ≤ ≤− = − + − ++

= = + + + + − < <−

− ≤ ≤ >− ⋅ ⋅ − ++ = + − < ≤ − < <

− < < ≤ −− − −= + + + +≠

∑

∑

∑

0 ןובשח ילאיצנרפיד ילרגטניאו1 -ל וסנכ יה ואדי ו ןוטרסב...

Documents

Transcript of 0 ןובשח ילאיצנרפיד ילרגטניאו1 -ל וסנכ יה ואדי ו ןוטרסב...