0 | 第 0 章 基 礎 編

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内積や外積あるいは空間ベクトルと幾何

さらに行列や rank を知っていますか?

本書は，「読むだけでわかる数学再入門 線形代数（本編」」

に準拠した，簡易な力試しの練習問題と少々高度な演習問題につ

いて，問題と解答をまとめている．本編での問題の答え合わせに，

また，解答方法の確認などにご活用され，本編の内容のさらなる

理解を深めるようにして頂けたらと存じます．

π π 線形代数

練習問題・演習問題 編

読むだけでわかる

M a t h e m a t i c s R e - v i s t e d

今井 博 著

数学再入門

0 | i

はじめに

本書は，「読むだけでわかる数学再入門・線形代数編」に記載された練習問題・演習問題を中心に

問題と解答を記載した演習書です．

「読むだけでわかる数学再入門 線形代数編」は，線形代数？ それって，なんだっけ，という読者，

仕事や研究でベクトルや行列・行列式について必要になったが，どの本で勉強したらよいかわからな

い読者をはじめとして，また，数学の授業でどうもよく意味が分からないという理工系の学生のため

に，懇切丁寧に，手取り足取り説明しています．ただし，宅配の如くお宅まで出張しませんが (笑)，

線形代数学は分かり易く言えば，線状に式が連結された代数学の一部門で，ベクトル空間およびそ

の 1 次変換に関する理論を扱う代数学の一部門，そして，行列や行列式に関する理論を体系化した代

数学の一部門，の総称とでも言う学問体系です，要は，高校で習う，ベクトルや行列などを扱う分野

のことで，数学の専門用語で線形代数と呼びます，という事です．最近は，ベクトルや行列などを習

わない生徒もいるようで，是非，ここで，線形代数の問題と解答を見て体験して下さい．

さて，理学系・工学系の大学や大学院に入って，数学科を卒業した先生の，いかにも「難しいのだ！」

という印象を植え付けるような講義で，うんざりですよね．分かります．というか，実は，これが私

の実体験です（T_T）．色々苦労したからこそ私は書きました．数学科を出た先生の書いた教科書は，

プライドからか，いかにも難しそうに，しかも途中の式変形を省略し，「どうだ，すごいだろう．お

まえらにはできないだろう」という書き方をしているようにしか私には思えません．しかし，実は，

その講義内容は，そのほとんどが数学の先生がご自身で構築した数学体系ではなく，数 100 年前に確

立した数学体系のコピーであり，それを恰も自分が組み上げたかのように，偉そうに講義しているの

です．ちょっと言い過ぎかな？ そんなステレオタイプ的で分かりにくい授業を受けて苦労している，

高校生や大学生や，社会人に読んでもらいたいのです．どうせ書くなら，もっと，分かりやすく書け

ばいいのにと思います．

「読むだけでわかる数学再入門 線形代数編」のコンセプトは「読むだけでわかる」ように書くこ

とです．かと言って，漫画本のようにすらすらドラマを見るように読めるわけではありません．ある

程度の高校生の数学知識レベルが必要になります．本書では，基礎的なあるいは実用的と考えられる

問題を扱いいます．とにかく，難しくないじゃん！，と思ってください．私が書いているくらいです

から（^_^）．簡単すぎる問題の解答は「略」としています．ご容赦ください．本書を読み，皆さんが

さらに高度なレベルへととステップアップして頂けたら幸甚に思います．

さて，一番大事なのは，定義と定理をよく理解した上で，問題と解答を最後まで読むことです．ここ

で「読む」とは，数式の流れを目で見て，なるほど，と納得することです．解答は読むだけで理解で

きるはずです，と思います．本書でも，式の変形は，目で追えるように，できる限り省略しないよう

にしています．ふむふむと流れを追ってください．

Let’s get started !

2019 年 10 月

著者

ii |

目 次

基 礎 編 ................................................................................................................................................................................... 1

1. 線形代数 I ............................................................................................................................................................................... 2

1.1. 線形代数とは ................................................................................................................................................................... 3

1.2. べクトル I ....................................................................................................................................................................... 7

1.3. 行列 I ............................................................................................................................................................................. 12

1.4. 行列式 I ......................................................................................................................................................................... 15

1.5. ベクトル II .................................................................................................................................................................... 18

1.6. 連立 1 次方程式 ............................................................................................................................................................. 19

演習問題 第 1 章 ................................................................................................................................................................. 21

応 用 編 ................................................................................................................................................................................. 23

2. 群・環・整域・体 ................................................................................................................................................................. 24

2.1. 群 .................................................................................................................................................................................... 25

2.2. 環・整域・体 ................................................................................................................................................................. 28

演習問題 第 2 章 ................................................................................................................................................................. 31

3. 線形代数 II ............................................................................................................................................................................ 32

3.1. 行列 II ............................................................................................................................................................................ 33

3.2. 固有値 I ......................................................................................................................................................................... 34

3.3. ケーリー・ハミルトンの定理 ..................................................................................................................................... 36

3.4. 複素行列 ........................................................................................................................................................................ 36

3.5. 2 次形式 .......................................................................................................................................................................... 39

演習問題 第 3 章 ................................................................................................................................................................. 41

4. 線形代数 III........................................................................................................................................................................... 42

4.1. ベクトル空間の基礎 ..................................................................................................................................................... 43

4.2. ベクトル III ................................................................................................................................................................... 45

4.3. テンソル ........................................................................................................................................................................ 47

4.4. 行列空間 ........................................................................................................................................................................ 48

4.5. 写像 ................................................................................................................................................................................ 48

4.6. ベクトル IV .................................................................................................................................................................. 50

演習問題 第 4 章 ................................................................................................................................................................. 52

5. 線形代数 IV .......................................................................................................................................................................... 53

5.1. 行列 III .......................................................................................................................................................................... 54

5.2. 階数 ................................................................................................................................................................................ 56

5.3. 逆行列とクラーメルの式 ............................................................................................................................................. 57

演習問題 第 5 章 ................................................................................................................................................................. 58

6. 線形代数 V ............................................................................................................................................................................ 59

6.1. 行列式 II ........................................................................................................................................................................ 60

演習問題 第 6 章 ................................................................................................................................................................. 62

7. 線形代数 VI 補足 ............................................................................................................................................................... 63

7.1. ベクトル IV 微分 ......................................................................................................................................................... 64

7.2. 直線内挿 ........................................................................................................................................................................ 65

7.3. 平面内挿 ........................................................................................................................................................................ 66

7.4. 曲線内挿 ........................................................................................................................................................................ 66

7.5. ベクトル V 幾何問題 ................................................................................................................................................ 67

7.6. 固有値 II ........................................................................................................................................................................ 67

7.7. 内積空間 II .................................................................................................................................................................... 67

演習問題 第 7 章 ................................................................................................................................................................. 68

練習問題 解答 .......................................................................................................................................................................... 69

第 1 章 .................................................................................................................................................................................... 70

第 2 章 .................................................................................................................................................................................... 75

目次 i

0 | iii

第 3 章 .................................................................................................................................................................................... 76

第 4 章 .................................................................................................................................................................................... 80

第 5 章 .................................................................................................................................................................................... 83

第 6 章 .................................................................................................................................................................................... 84

第 7 章 .................................................................................................................................................................................... 85

演習問題 解答 .......................................................................................................................................................................... 87

第 1 章 .................................................................................................................................................................................... 88

第 2 章 .................................................................................................................................................................................... 90

第 3 章 .................................................................................................................................................................................... 91

第 4 章 .................................................................................................................................................................................... 93

第 5 章 .................................................................................................................................................................................... 95

第 6 章 .................................................................................................................................................................................... 97

第 7 章 .................................................................................................................................................................................... 98

付録 公式集 ............................................................................................................................................................................. 101

目次 ii

0 | 1

基 礎 編

2 | 第 1 章 線形代数 I

1. 線形代数 I

線形代数 I

分かっているつもりでも分からないのが最も基本的なことです．

ここでは，まず． 線形代数とは，一体，どのような数学形態なのか，概略を示して簡単

に説明したいと思います．演算は，単なる数字の加減乗除だけではありません．要は，高

校時代に習ったベクトルや行列などに関する表式の復習と計算方法の拡張と言えば分かる

でしょうか？ 内容的には，なんら変わりませんし，前に習ったことがある読者は，最初

の部分は飛ばしても結構かと思います．最近は，線形代数を高校で習わない読者もいるそ

うで，そんな読者にも入門書として読んで頂けたらと思います．

ここで，申し上げますが，ベクトルの添え字で， zyx ,, は 3 次元で， zxy 軸への対応で，

n,,2,1 はn次元で，一般的な説明で使用します．後者は，Σ記号を使う場合に便利な

場合にも使います．すなわち， 3,2,1 zyx のように対応するということです．

また，証明で数学的帰納法については，十分承知されているということが前提で，説明な

しに用います．数学的帰納法とは，整数 nが用いられている式，例えば，数列の n 項まで

の和を求める式を証明するとき．まず， 1n ，または， 1n および 2n で与式が成立

することを確かめたのちに， kn のときに与式が成立すると仮定し， 1 kn の場合も

成立するならば，与式が証明できた，とする例の定番の方法です．もう一つ．複素数の複

素共役をご存知でしょうか？ 敢えて書くと， )1( iibaz と書く複素数の複素

共役は )1( iibaz と書きます．ここで，高校レベルの言葉の準備ができました．

その他の定義などは本文で紹介します．お楽しみに！

さあ，have a nice trip.

1.1 線形代数とは | 3

1.1.線形代数とは

まずは，本書で用いる数学記号を紹介します．特に断らないで使用します．ただし，詳

細の説明が必要な場合はそこで説明します．他の教科書とは統一性がないのでご注意を！

1）「数」関連記号

K：代数的数全体の有限的な部分集合

P：素数(prime number)の全体，空間など

N：自然数(natural number)の全体； ：正の整数

Z：整数(独: Zahlen)の全体；Q：有理数(Quotient)の全体

A：代数的数(algebraic number)の全体，アフィン空間 (affine space)

C：複素数(complex number)の全体； ：実数部(real)； ：純虚数(imaginary)

：実数部(real part)； ：虚数部(imaginary part)

：複素数 次元ベクトル空間(総称)； ： 次元ベクトル空間(総称)

：群(group)； ：巡回群； ：半群(semigroup)； ：部分群； ：単位群,

：環(ring)； ：零環； ：整域； ：体(field)； ：単位的環； ：部分体

2）「集合(set）」関連記号（流儀で異なる）

＝：集合の一致(equal all elements)

：部分集合(subset)； ：部分集合の否定(not subset)

⊊：真部分集合(proper subset)； ：真部分集合(proper subset)

：元(element)； ：非元(not element)；φ：空集合(要素がない) (empty set)

：全称記号「全ての」(for all, for any)； ：存在記号(for some, exsiting)

：共通集合(intersection)； ：和集合(union)

∨：結び(join)；∧：交わり(meet)

3) 「演算」関連記号

≈ ， ，≒：約，ほぼ(nearly equal to）； ：根号； ： 乗根

≦または ：以下(not greater than)；≧または ：以上(not smaller than)

≪：よりかなり小さい(fairly small)；≫：よりかなり大きい(fairly large)

≠：等しくない(not equal)；≡：合同(congruence)； ：角 ( ：直角)

∞：無限大(infinity)；∽：相似(similarity)；∝：比例(proportion)

//， ：平行(parallel)；∦：非平行(non-parallel)； ：直角(right angle)

∴：故に，したがって(therefore)； ∵：何故なら(because)

：論理和(logical sum)； ：論理積(logical product) ； ：ウェッジ積(wedge)

：直和(direct sum)； ：直積(direct product)； ：ベクトルのノルム(norm)

：コンボリューション(convolution)； ：内積； ：ベクトル積(外積)

：ナブラ(nabla)； ：ラプラシアン(Laplacian)；□：ダランべリアン(d’Alemberian)

：総和記号，シグマ記号(summation)； ：総乗記号，パイ記号(power)

dim：次元；rank：階数；ord：位数；sup：上限(supremum)；inf：下限(infimum)

mod(n ≡ m (mod d) は n と m が d を法として合同であることを示す

Re Im

G

R

k k

R

||

IR FSF

SGCG HG UG

0R

i iA i iA

x

nnCnV n

4 | 第 1 章 線形代数 I

スカラー（scalar）

単なる数や関数の代表である文字を用いた表式 等をスカラーと呼ぶ．

ベクトル（vector）

いくつかのスカラーや関数を括弧で括った形式をベクトルあるいは有向線分と呼ぶ．

形式は複数あり，大きさ（長さ）と向きを持ち，括弧で括られた表式を要素と呼ぶ．

行列

いくつかの数や文字や関数やベクトルを括弧で括った形式を行列（matrix）と呼ぶ．

行列式

絶対値を表す縦棒 2 本の中に要素を縦横同数並べた形式を行列式（determinant）と

呼ぶ．

練習問題 1.1.1-1 次の表式は，スカラーか，ベクトルか，行列かを答えよ．

(1) a={0}, (2) 1, (3) A={0}, (4) |3|, (5) ||0||

1 次結合あるいは線形結合

変数

あるいは複数の関数

があり，その係数 が

スカラーであるとき，

のように，あるいはまた，ベクトル や行列 が

のような，直線的な連結を，1 次結合あるいは線形結合（linear combination）と言う．

1 次独立あるいは線形独立

定義 5 で，スカラーの係数が

のときのみ成り立つ場合，

変数 ，関数 ，ベクトル ，あるいは，行列 は，1 次独立で

ある，あるいは，線形独立である，と言う．

mnm

n

aa

aa

1

111

A

xfxf

xfxf

mnm

n

1

111

A

，あるいは，

，あるいは，

,,,, ea

,,,, δφea

nixfi ~1

A,, xfa

niai ~1

02211 nnxaxaxa

02211 xfaxfaxfa nn

0aaa nnaaa 2211

OAAA nnaaa 2211

nixi ~1

0~1 niai

ix xfi nii ~1a nii ~1A

ia iA

,,,, ΔΦΕA

,,,, ΔΦΕA

nn xxxpppb ,,,,,,,,, 2121

αpa

nnn

n

bb

bb

1

111

B

xx

xx

nnn

n

1

111

B

1.1 線形代数とは | 5

練習問題 1.1.2-1 3 個の要素を持つベクトル

が 1 次独立であることを示せ．

練習問題 1.1.2-2 3 個の要素を持つベクトル

が 1 次独立であるための の条件は何か？

練習問題 1.1.2-3 1 つのベクトル がスカラー係数 によって と書く場合，

ベクトル が 1 次独立であるか，1 次従属であるか，について論じよ．

1 次従属

次の 1 次結合

で，スカラーの係数 の中の少なくとも１つ， 0 でない係数がある場合，

その係数を （「 」は，この右辺と左辺は等しくない，という記号）

とすれば，式 1.1.3-1 は次式のように表すことができる．

ここで，

とするならば，式 1.1.3-2 は，

と表せる．このとき，

は 1 次従属であるという．

練習問題 1.1.3-1 ベクトル について， のとき，

を満たすベクトル の要素を求めよ．

練習問題 1.1.3-2 ベクトル が 1 次独立

であることを示せ．

練習問題 1.1.3-3 次のことを証明せよ

（1）1 次独立なベクトルから幾つかのベクトルを取っても 1 次独立であること．

（2）1 次従属なベクトルに幾つかのベクトルを加えても 1 次従属であること．

練習問題 1.1.4-1 と書くとき，その意味を記せ．

a

a 0a

a

cba ,, TT231,312 ba

0cba 2 c

TTT110,101,011 cba

a//b

1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 eee

02211 xfaxfaxfa nn

niai ,,2,1

nkak 1,0

xfa

axf

a

axf

a

axf

a

axf n

k

nk

k

kk

k

k

k

k

1

11

11

1

nkkjaab kjj ,,1,1,,2,1

xfbxfbxfbxfbxf nnkkkkk 111111

xfxfxfxfxf nkkk ,,,,,, 111

1,0,0,0,1,0,0,0, cba a

6 | 第 1 章 線形代数 I

練習問題 1.1.4-2 2 次元ベクトル x について， と書くとき，その幾何的意味を記せ．

練習問題 1.1.4-3 と書くとき，その意味を記せ．ただし， は素数全体である．

練習問題 1.1.4-4 を簡単にせよ．

練習問題 1.1.4-5 ∽ と書くとき，その意味を記せ．

練習問題 1.1.4-6 集合 および集合 があって， と書くとき，その意味を記せ．

練習問題 1.1.4-7 集合 および集合 があって， と書くとき，その意味を記せ．

練習問題 1.1.5-1 奇数は自然数 を用いて， と表せる．実際， に 1，2，

3，…，のように代入すると．1，3，5，…，が得られる．そこで，奇数の 項までの和を

求めよ．また，偶数 の 項までの和を求めよ．

練習問題 1.1.5-2 次式を計算せよ．

練習問題 1.1.5-3 次式が成り立つことを示せ．

練習問題 1.1.5-4 次式が成り立つことを示せ．

練習問題 1.1.5-5 次式が成り立つことを示せ．

練習問題 1.1.5-6 5 個の 1～5 にあてはまる数学記号を書け．

1) 直線 と直線 が平行であることを 1 と書き，直交する場合は 2 と書く．

2) である について，大きさが 3 である場合 4 0 であり，

大きさが 5 である場合は， 4 0 である．

Pa P

3 27

Nnn 12 n 12 n

n

Nnn2 n

m m m

Znm, nm , m n nm

m n mn

n

j

n

i

ij

n

i

n

j

ij aa1 11 1

34

11

1 1

nnij

n

j

j

i

n

j

j

i

i1 1

niaaa i

n

i

i

n

i

i ,,2,1:01

2

2

1

PQRABC

1x

1.2 べクトル I | 7

ブール代数の演算の公理

以下の公理を有する演算形式が成り立つ代数形式をブール代数と呼ぶ．

（1） （交換律） （2）

（3） （同一律） （4） （5） （交換律）

（6） （7） （同一律） （8）

（9） （補元律） （10） （補元律）（11）

1.2.べクトル I

ベクトルとスカラー

1）ベクトルとは，位置，速度，加速度の時間変化や力の変化のように，大きさと向きを持

っている量を表す表式で，有向線分（directed segment）とも言う．本書での表式は のよ

うに小文字で太文字を使う．因みに，加速度の時間変化を躍度または加加速度という．

2）スカラーとは，大きさのみを持つ量で，長さや質量，温度や湿度，時間などを示す「数

値」や数字を表す「関数」のことである．表式はaや のように細文字を使う．

位置ベクトルの表式 である を用いて，

練習問題 1.2.1-1 4 点 につ

いて，ベクトル と が直交する条件を で示せ．

練習問題 1.2.1-2 任意の 角形

があって，ベクトル

を

頂点 から頂点

に向かうベクトル，また，ベクトル を頂点 から頂点 に

向かうベクトル，と定義するとき，

であることを証明せよ．（例題 1.2.2-1

参照）

ベクトルの長さ（ノルム norm という）

次元実ベクトル の数学的な「長さ」は，2 本の二重線 || ||

を用いて，以下のように，

と書いて （えるつう）ノルムと呼ぶ．

abba cbacba

aa 0 aaa abba

cbacba aa 1 aaa

0aa 1aa

a

Nn n

yxxCyByxAO ,0)0,(,,0,,,0,0

yx,

n

n

2L

あるいは，

niai ,,2,1 a

n

iin aaaa

1

2222

21 a

iA 1iA na

Tn

n

aaa

a

a

a

21

2

1

a nai ,,2,1 a

nAAA 21 1,,2,1 nii a

0a i

i

1AnA

OA

BC

f

8 | 第 1 章 線形代数 I

関数のノルム

定義域 で定義された関数 があって，その積分が存在すると仮定する．こ

のとき，負でない の平方根を関数 のノルムと言う場合がある．

練習問題 1.2.3-1 ベクトル ， について，以下に示すベクト

ル を要素表示せよ．

(1) ，(2) ，(3) ，(4)

練習問題 1.2.3-2 ベクトル ， について，以下に示すベクト

ル の ノルム， を，小数点 3 位以下を四捨五入し小数点 2 位まで計算せよ．

(1) ，(2) ，(3) ，(4)

練習問題 1.2.3-3 ベクトル について， ノルムを記せ．

練習問題 1.2.3-4 ベクトル について， について

をそれぞれ，直交する 軸および 軸の図を用いて説明せよ．

練習問題 1.2.4-1 ベクトル が， であるときの演

算方法を とします．ここで，3 次元単位ベクトル について，

(1) を示せ． (2) を示せ

練習問題 1.2.4-2 3 次元ベクトルを単位ベクトルの 1 次結合で表わせ．また，

である場合，ベクトル を要素表示せよ．

練習問題 1.2.4-3 ベクトル および 3 次元単位ベクトル

およびクロネッカーのデルタ により，

と書けるとすると，①，②に入るのは のうちどれか．

また，ベクトル が 次元ベクトルの場合，上式はどのように書けるか答えよ．

練習問題 1.2.5-1 三角形 の頂点で作るベクトル および とするとき， を

ベクトル および で表せ．

bxa

2,1,0a 1,2,1 b

c

bac bac bac 5.0 bac 4.23.0

2,1,0a 1,2,1 b

p

0L

b

T1,6,2a

a n

ABC

p

bap bap bap 4.23.0 bap 5.0

0 xzzyyx eeeeee 1 zyx eee

zyx ba eeeb 42

ba ,

iibaba

TTbbbaaa 321321 ,,,,, ba

zyx eee ,,

Taaa 321a

3

1

3

1① ②①②①② ea a

321 ,, eee

ji ,

AB

AC

CB

AB

AC

T6,0,3,5,0a

21 , ppp LLL ,, 21

1)3(,1)2(,1)1( 21 LLL

1p 2p

2L

xf p

xfxf pp xf p

b

apppp xfxfxfxf

2

1.2 べクトル I | 9

練習問題 1.2.5-2 三角形 の頂点A を起点とするベクトル および を用いて辺

の中点を表せ．

ベクトルの和差

あるいは，

内積

ベクトルa および の内積とは， ba と書き，その定義は，3

次元ベクトルが， の場合

1）要素による定義：

2）幾何的な定義：

です． および はそれぞれ，ベクトルa とベクトル の長さ ノルムであり，

であり，また， はベクトル とベクトル とがなす角である（図 1.2.6-2 参照）．

ベクトル積

ベクトル および のベクトル積とは， と書き，その定義は，3 次元ベクトルを

とすれば，

1）要素による定義：

ここで， は単位ベクトルである（項 1.2.4 参照）．

2）幾何的な定義：（図 1.2.6-3 参照）

ここで， は単位ベクトルで，ベクトル とベクトル で

構成する平面に垂直であり，その方向はベクトル からベク

トル へと回転させた右ねじが進む方向とする．

練習問題 1.2.6-1 互いに同じ平面に無い 3 つのベクトルで構成する平行六面体の体積がス

カラー三重積で表せることを幾何的に証明せよ．

練習問題 1.2.6-2 で構成する平行六面体の表面積および

体積を計算せよ．

ABC

BC

b

b 2L

a b

a b

a b

a

b

TTbbbaaa 321321 ,,,,, ba

ba

ベクトル積

ba

a

b

Sa

b

sinb

321 ,, eee

332211 bababa ba

cosbaba

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

2 ,: bbbaaaL ba

a b

baebaba ,sin

b,ae

122133113223321 babababababa eeeba

cosb

a

b

a

ベクトルの内積

TTbbbaaa 321321 ,,,,, ba

33

22

11

ba

ba

ba

ba

AB

AC

1,2,3,0,2,0,0,0,1 cba

niba ii ,,2,1, ba

10 | 第 1 章 線形代数 I

練習問題 1.2.6-3 ベクトル について，次の計算をせよ．

（1） の大きさ （2） の大きさ （3） （4）

練習問題 1.2.6-4 ベクトル について，定義 13 にしたがっ

て内積 を計算せよ．また，その結果がスカラーかベクトルかを記せ

練習問題 1.2.6-5 ベクトル について，定義 14 にしたが

って，ベクトル積 を計算せよ．また，その結果がスカラーかベクトルかを記せ．

ただし，3 次元単位ベクトルを とする．

練習問題 1.2.7-1 ベクトル の内積を計算せよ．

練習問題 1.2.7-2 ベクトル について， で，始点が同じで，間の角

である場合， を計算せよ．

練習問題 1.2.7-3 直線 に垂直なベクトル を求めよ

練習問題 1.2.7-4 直線 に垂直なベクトル を求めよ．

練習問題 1.2.8-1 位置ベクトル について，内積 ，およびベ

クトル積 をそれぞれ求めよ．

練習問題 1.2.8-2 空間にすべて異なる 4 点

が作る平行六面体の体積 は，次式で表されることを示せ．

練習問題 1.2.9-1 3 次元ベクトルを として，以下を証

明せよ

(1)

(2) ベクトル が直交する場合，

a a b b ba ba

ba

ba

ba , 2,3 ba60 ba

42 yx

0 cbyax

TT3,1,0,0,1,1 ba ba

ba

V

ba ,

TTbbbaaa 321321 ,,,,, ba

321321321321 ,,D,,,C,,,B,,,A dddcccbbbaaa

1,4,4,4,2,1 ba

1,2,2,2,3,1 ba

zyx eee ,,

1111

3333

2222

1111

dcba

dcba

dcba

V

1,2,2,2,3,1 ba

p

1,2,2,2,3,1 ba

p

bababa ,0

0bababa ,

1.2 べクトル I | 11

練習問題 1.2.9-2 3 次元ベクトルを として，以下を証

明せよ

(1)

(2)

練習問題 1.2.9-3 ベクトル ba , について， を示せ．

練習問題 1.2.9-4 ベクトル ba , について， を示せ．

練習問題 1.2.9-5 ベクトル dcba ,,, について，次式が成り立つことを示せ．

練習問題 1.2.10-1 ベクトル 4,0,3a の方向余弦 を求めよ．また，方向余弦の 2

乗和が であることを示せ．

練習問題 1.2.10-2 であるベクトル が， 軸と ， 軸と ，

軸と という方向余弦関係にあるとき，ベクトル の座標 を

求めよ．

練習問題 1.2.12-1 位置ベクトル について，ベクトル を 3：

2 に内分する点，および，ベクトル を 3：2 に外分する点への位置ベクトル ををそ

れぞれ求めよ．

練習問題 1.2.12-2 三角形 があって，その重心 の位置ベクトル を，三角形の各

頂点 に対する位置ベクトル で表せ．

練習問題 1.2.12-3 点 を通り，ベクトル により定義する直線のベクトル方程式

を， ， ， の各座標で， を消

去して表せ．ただし， とし，ここで， は媒介変数で とする．

練習問題 1.2.12-4 外に凸の四角形 があって辺 の中点を ，辺 の中点を

，辺 の中点を ，辺 の中点を とする．このとき四

角形 （右図）は平行四辺形となることをベクトルで示せ．

練習問題 1.2.12-5 原点を起点とする 2 つのベクトル

について， であるとき， となる

ベクトル は，ベクトル のなす角を 2 等分することを示せ．

bbaababa

baabbaba 22

nm,,

1222 nm

a

a

TT3,1,0,0,1,1 ba ab

ab c

ABC G

CB,A, c,b,a

a

t

t 0t

ABCD AB P BC

Q CD R DA S

PQRS

ba ,

baba ,

c ba ,

TTbbbaaa 321321 ,,,,, ba

6a yx 3/2cos x 3/1cos y

0bacacbcba

A

B

C

D

P

Q

R

S

zyxP ppp ,,r zyx aaa ,,a zyx ,,r

z ),,( zyx aaa32cos z

arr tP

0zyx cba

g

)( PP r

bac

abbaabba ,

0 bbaaba

12 | 第 1 章 線形代数 I

1.3.行列 I

行列

型の行列とは， ，または，次式，

のように書く．

練習問題 1.3.2-1 以下の行列 と行列 について，和と差をそれぞれ計算せよ．

練習問題 1.3.2-2 以下の行列 と行列 について，可換（ ）であることを示せ．

練習問題 1.3.2-3 以下の行列 と行列 について，積 は， であることを示

せ．ただし， は の虚数解の１つである．

練習問題 1.3.2-4 以下の行列 と行列 について， となる 2×2 の行列 を求め

よ．また， であることを確かめよ．

練習問題 1.3.2-5 計算可能な行列 ついて であることを示せ．

練習問題 1.3.3-1 以下の行列 が直交行列であることを示せ

nm

A B

A B BAAB

A B AB AAB

013 x

A E EAX X

EAX

CBA ,, BCACAB

R

46

42,

43

21BA

46

42,

43

21BA

1

1,

1

1 2

2BA

cossin

sincosR

10

01,

12

31EA

nj

mi

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

mnmjmm

inijii

nj

nj

,,2,1

,,2,1,

21

21

222221

111211

A

njmiaij ,,2,1;,,2,1 A

1.3 行列 I | 13

練習問題 1.3.3-2 練習問題 1.3.3-1 の行列 の n 乗が次式になることを証明せよ．

練習問題 1.3.3-3 任意の正方行列 による以下の行列 は対称行列であることを示せ．

練習問題 1.3.3-4 任意の正方行列 による以下の行列 は交代行列であることを示せ．

練習問題 1.3.3-5 次の行列 に対し， となる行列B を求めよ．また，求めた

行列B を用いて， および を求めよ．

練習問題 1.3.4-1 2 次の正方行列 および行列 を

とするとき， および を計算し，比較せよ．

練習問題 1.3.4-2 行列 および行列 を

とするとき，アダマール積 および を計算し，可換であることを示せ．

練習問題 1.3.4-3 行列 および行列 を

とするとき，クロネッカー積 および を計算し，可換ではないことを示せ．

R

A S

A T

A OBA

A

A B

BA AB

A B

BA AB

013

13

i

iiA

nn

nnn

cossin

sincosR

TAAS

2

1

TAAT

2

1

k12AE AE k12

k12E

31

21,

12

01BA

31

21,

12

01BA

10

1, 12

2221

1211 kk

aa

aaEA

TAB 6T

AB

14 | 第 1 章 線形代数 I

行列のトレース

次の正方行列 について，主対角線上の成分の和をトレースと呼び，

，あるいは， と書いて，その計算は次式で行う：

また， と書く場合がある．（行列の対角線 diagonal に由来）

練習問題 1.3.5-1 次の行列 について， を示せ．

練習問題 1.3.5-2 次の行列 について， であることを示せ．

練習問題 1.3.5-3 次の行列 について， であること

を示せ．

行列ノルム

行列ノルム（matrix norm）は誘導ノルム（induced norm）あるいは作用素ノルム（operator

norm）と呼ばれ， 次の正方行列の場合，誘導ノルム．作用素ノルムあるいはスペクトル

ノルムはベクトルの ノルムに対応して，

と書かれる．ここで，特に， の場合，

と書く，という文献があるが，この表式が正しいのかは著者は分からない．また，

と書く定義もある．

さらに，正方行列かつ に対してユークリッドノルム（長さ）を考えた場合には誘

導された行列ノルムはスペクトルノルム (spectral norm) と呼ばれ，行列 の最大固有値

（後述） の平方根を用いた「 ノルム」は， と書く．

行列の成分ごとのノルムは， 行 列の行列を 成分のベクトルと見なして、ベ

クトルの通常のノルムを考えたもので，

n

Atr Atrace

A AA trtr T

BA , BAAB trtr

CBA ,, BCACABABC trtrtr

n

AA

2L

m n nm

43

21A

87

65,

43

21BA

2221

1211

2221

1211

2221

1211,,

cc

cc

bb

bb

aa

aaCBA

および，

AAA max2

2p

p

p

p

p x

AxA

0x max

m

i

ijnj

a1

11maxA

n

j

ijmi

a1

1maxA

pp ,1

AA

max

0, AA ija

n

i

ii

n

ji

ijij aa11),(

tr A

Adiag

AxAx 1

max

1.4 行列式 I | 15

において，特に， の場合はフロベニウスノルム (Frobenius norm) または，ヒルベル

ト＝シュミットノルム (Hilbert–Schmidt norm) と呼ばれ，次のように書く．

練習問題 1.3.6-1 行列 のノルムに関して， の意味を説明せよ．

練習問題 1.3.6-1 行列の のノルムに関して， であることを示せ．

1.4. 行列式 I

行列式

次の正方行列 について， と書いて，行列式と呼び，具体的な表式は，

である．行と列の要素数が 個のとき， 次の行列式と呼ぶ．特に， である行列を

正則行列（regular matrix）と呼ぶ．

練習問題 1.4.1-1 以下の行列式をサラスの方法で計算せよ．

（1） （2）

練習問題 1.4.1-2 以下の行列式をサラスの方法で計算し，整数で答えよ．ただし，

は の 3 つある解のうち 以外の解の 1 つとする．

（1） （2）

練習問題 1.4.1-3 以下の問いに答えよ．

（1） 1，2，3 で作る順列で，偶順列および奇順列を全て答えよ．

（2）（4，2，3，1）なる順列を基準順列にするための転倒数を答えよ．

A

BA , BABA

n

n n 0A

13 x 1x

1

12

A

1

1

1

2

2

2

A

987

654

321

A23

01A

2p

nmMink

i

i

m

i

n

j

ijFa

,

1

2

1 1

2

tr AAA

AAAA ,,,

21 p

pm

i

n

j

p

ijpa

/1

1 1

A

ijaA

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

A

16 | 第 1 章 線形代数 I

練習問題 1.4.2-1 次の行列 について，余因子 を計算せよ．ただし，（2）に用いられ

ているとは の 3 つある解のうち 以外の解の 1 つとする．

（1） （2）

練習問題 1.4.2-2 行列式 のとき， を計算せよ．

練習問題 1.4.2-3 式 1.4.1-3 で扱った行列式 について，

（1） を計算せよ．

（2） を計算せよ．

（3） 式 1.4.1-3 と本問（1）および（2）の結果とを比較せよ

練習問題 1.4.3-1 ベクトル

を

である 3 次元ベクトルとするとき，

が成立することを確かめよ．

また，行ベクトルを 1 回，2 回，3 回と入れ替えた場合，および，列ベクトルを 1 回，

2 回，3 回と入れ替えた場合，行列式の符号がどのように変わるか答えよ．

練習問題 1.4.3-2 次の行列式 ，

を で偏微分すると， の余因子 となることを証明せよ．すなわち，

練習問題 1.4.3-3 1 次の行列式は展開すると 1 項である．2 次の行列式は展開すると 2 項の

1 次結合となる．しかし，3 次の行列式を展開すると 6 項の 1 次結合になる．では，4 次

の行列式は展開すると，何項の 1 次結合になるか答えよ．さらに， 次の行列式を展開

A

13 x 1x

1A a

A

n

321

321

321

ccc

bbb

aaa

c ba

nnn

n

aa

aa

1

111

A

ijaija ija~

A

ij

ij

aa

~

A

TTTcccbbbaaa 321321321 ,,,,,,,, cba

112

413

212

A

11

1

11

2

2

A

112

13

212

a

A

131312121111~~~ aaaaaa

313121211111~~~ aaaaaa

31~a

cba ,,

1.4 行列式 I | 17

すると，何項の 1 次結合になるか答えよ．ただし，いずれの場合も，各項は相殺などせ

ず，計算後の項数は減らないものとする．

例 3 次の行列式を展開すると 6 項の 1 次結合になる

練習問題 1.4.4-1 以下の行列 について， を示せ．

練習問題 1.4.4-2 適当な 3 次の正方行列を用いて以下の式を示せ．

練習問題 1.4.5-1 次の行列式を和形式の分離の方法で解け．

練習問題 1.4.5-1 次の行列式を和形式の分離の方法で解け．

（補足）

練習問題 1.4.6-1 行列式の性質（

）について， 次の行列式 で，2 つの行または列

が等しいと であることを証明せよ．

練習問題 1.4.6-2 行列式の性質（

）について， 次の は，行列式 で，1 つの行

（または，列）の要素すべてを 倍した行列式は， であることを証明せよ．

n A

0A

n A A

k Ak

D3

D4

nmaakakaakji

nn

kji

nkmmji

1

21

),,,(

2121

A

n

kji

nkmji

n

kji

nkmji aakaakji

naakaa

kji

n

),,,(

221

),,,(

121

2121

n

kji

nkmji

n

kji

nkmji aaaakji

nkaaaa

kji

nk

),,,(

212

),,,(

211

2121

n

kji

nkmji aaaakji

nk

),,,(

21

2

1

21

cbbacbaA k

43

21A

AT

AA

329

216

113

A

42

31A

322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A

322113332112322311 aaaaaaaaa

18 | 第 1 章 線形代数 I

練習問題 1.4.6-3 行列式の性質（

）について，行列式

の和 が，行列式 であることを証明せよ．

練習問題 1.4.6-4 行列式の性質（

）について，ベクトル 作る次の行列式の式：

を証明せよ．

練習問題 1.4.6-5 ヴァンデルモンドの行列式 について，例題 1.4.6-2 の方式による方法

と式 1.4.6-36 による方法で答えが同じであることを確かめよ．

1.5.ベクトル II

練習問題 1.5.1-1 図 1.5.1-2 で示す，3 つのベクトルで構成する平行六面体の体積がスカラ

ー三重積で表せることを幾何的に証明せよ．

練習問題 1.5.1-2 で構成する平行六面体の体積を計

算せよ．

練習問題 1.5.1-3 ベクトル を 3 次元ベクトルとして と を，要素

表示で比較せよ．

練習問題 1.5.1-4 次の 4 点

が同一平面上にある場合の十分条件が，次式であることを示せ．

練習問題 1.5.1-5 正則行列な行列 P について を求め，

となることを示せ．ただし，行列P を次のように書くものとする．

練習問題 1.5.2-1 式 1.5.2-4 について，3 次元

ベクトル を単位ベクトル と置き換えて計算せよ．また，同様に，

式 1.5.2-5，式 1.5.2-6 も計算せよ．

baqbap BA ,

BA baqp

cba ,,

1,2,3,0,2,0,0,0,1 cba

cb a ,, cba cab

1P EPP 1

cba ,, zyx eee ,,

3333222211110000 ,,,,,,,,,,, zyxPzyxPzyxPzyxP

0

030303

020202

010101

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

D5

D6

Θ4

cbacbba k

2221

1211

pp

ppP

cbabaccbabcacba

3

4

3

3

3

2

3

1

2

4

2

3

2

2

2

1

43214

1111

aaaa

aaaa

aaaaΘ

1.6 連立 1 次方程式 | 19

練習問題 1.5.2-2 で表されるベクトルを用い

て， をそれぞれ計算せよ．

練習問題 1.5.2-3 次の 4 点

が同一平面上にある場合の十分条件を求めよ．

1.6.連立 1 次方程式

練習問題 1.6.2-1 次の 2 元 1 次方程式をクラーメルの式を用いて解け．

練習問題 1.6.2-2 次の正則な行列

の要素が係数となっている次の 3 元 1 次方程式をクラーメルの式により，行列式形式

で答えよ．

練習問題1.6.2-3 を の 以外の解の1つとするとき，次式を満たす 解

を求めよ．

練習問題 1.6.2-4 次の行列 ，ベクトル があって，

について，方程式 の解 を議論せよ．

練習問題 1.6.2-5 次の正則な行列 ，零ベクトルでないベクトル があって，

について，方程式 の解が，次のクラーメルの式で表されることを示せ．

9,8,7,6,5,4,3,2,1 cba

bacacbcba ,,

A

13 x 1x

A px ,

pxA x

A px ,

pxA

ただし， である． 11211 byaxa

22221 byaxa 021122211 aaaa

0

333231

232221

131211

AA

aaa

aaa

aaa

1313212111 bxaxaxa

2332222121 bxaxaxa

3333232131 bxaxaxa

1 zyx

12 zyx

12 zyx

zyx ,,

3333222211110000 ,,,,,,,,,,, zyxPzyxPzyxPzyxP

2

1

2

1,,0

p

p

x

xabc

ca

bapxA

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

,,

p

p

p

x

x

x

aaa

aaa

aaa

pxA

TTxxx AAAAAAx 321321

20 | 第 1 章 線形代数 I

練習問題 1.6.3-1 次の 2 次の正方行列

が正則行列であって，

(1) 行列 の余因子行列 ，および，逆行列 を要素で表せ．また，

を要素を用いて確かめよ．

(2) 上記，正則行列 について， を確かめよ．

練習問題 1.6.3-2 次の 2 次の正方行列 を

で表し，ともに正則行列であるとき，次式を 要素を用いて証明せよ

(1) (2)

(3) (4)

(5)

練習問題 1.6.3-3 次行列 BA , は正則行列であって，適当な行列 YX , により，

が成り立つとき， ならば， であることを示せ．

練習問題 1.6.4-1 式 1.6.4-4 を導出する別の方法を試行せよ．

練習問題 1.6.4-2 次の方程式を掃き出し法で解け．

練習問題 1.6.4-3 次の 2 つ方程式を掃き出し法で同時に解け．

P P~ 1

P

EPP 1

P PP ~

QP ,

n

12 321 xxx

2321 xxx

2321 xxx

2221

1211

pp

ppP

2221

1211

2221

1211,

qq

qq

pp

ppQP

BAAB YX

PP 11)(111)( PQPQ11 )()( TT

PP PPP11)

~(

11 PP

BYABAX ,

1

1

42

)2(

1

3

02

)1(

321

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

0 演習問題 第 1 章 | 21

演習問題 第 1 章

1-1. ブール代数において， を証明せよ．

1-2. 空間にある互いに平行ではなく，零ベクトルでもないベクトル に関する結合法則

を成分表示を用いず，幾何的に証明せよ．

1-3. ベクトルのノルムに関して，以下の式を証明せよ．ただし， とする．

(1) (2)

1-4. 三角形 の辺 ， ， を任意に同比 に分ける点をそれぞれ とす

るとき，三角形 および三角形 の重心が一致することを示せ．

1-5. 三角形 の各頂点 の位置ベクトルを，それぞれ とするとき，三角形

の内心 の位置ベクトル を位置ベクトル で表せ．

1-6. 単位ベクトル について，1 次独立であること，ま

た であることをそれぞれ示せ．

1-7. 個の要素を持つ単位ベクトル について，直交性

すなわち， であることを示せ．

1-8. 零ベクトルでないベクトル が同一平面上にあって，起点を同じくして三角形の２辺で

ある場合，そのなす角を とするとき，第 2 余弦定理をベクトル を用いて表せ．また，

そのベクトルの要素を とするとき，内積に関する式を要素で示

したとき， であることを示せ．

1-9. 長方形を 5 等分，7 等分，また，9 等分する方法を考えよ．

1-10. 次の行列 について， である行列 は の行列であり，その 成分 が

行列 の要素により， であることを示せ．

1-11. 3 正方行列 について， （式 1.4.4-10 参照）であることを示せ．

1-12. 次の正方行列 について，積 ，また， を求め

よ．ただし， であり， はクロネッカーのデルタである．

1-13. 1 次独立な 3 つの 3 次元ベクトル について，

であることを要素表現で証明せよ．

1-14. ベクトル について，次式を証明せよ．

1-15. 例えば，3 次の行列式を展開すると項数は 9 つである．では， 次の行列式を展開した場

合，項数はいくつあるかを で表せ．

cbacaba

cba ,,

cbacba

k

aa kk baba ≦

ABC BC CA AB nm : RQP ,,

ABC PQR

ABC CBA ,, cba ,,

ABC I i cba ,,

n

ba,

ba,

BA , CAB C m

BA ,

BA , ABD6

n AΔ ΔA

cba ,, acbbcacba

dcba ,,,

n

n

1,0,0,0,1,0,0,0,1 zyx eee

xzzyyx eeeeee ,,

1,,0,0,0,,1,0,0,,0,1 21 neee

njnijiji ,,1;,,1; ee

2211 baba ba

n

nn

nm

mnm

n

bb

bb

aa

aa

1

111

1

111

, BA

ijc

,,1;,,11

jmibacn

kkjikij

dbcb

dacadcba

njniaij ,,1;,,1, A

ij ijΔ

ji,

第 1 章演習問題

2121 ,,, bbaa ba

22 | 第 1 章 線形代数 I

1-16. 行列の積の逆行列について， を証明せよ．

1-17. 次の正方行列 について，その逆行列 を行列 の要素 の余因子 を用い

て， を確かめよ．

1-18. 次の正方行列 の主対角線上の要素 の和 を行列 のトレース（跡）と呼

び， で表す．このとき， 次の正方行列 について，次式を証明せよ．

1-19. 3 頂点が である三角形について，その面積 をその頂点の

座標（ ）を用いて，行列式形式で表せ．

1-20. 行列 （式 1.3.4-4）の性質を調べよ．

1-21. 次の行列式の値を求めよ．ただし， は の解で，1 以外の虚数解とする．

（1） （2）

1-22. 行列 について可換である場合， であることを証明せよ．ただ

し， である．

1-23. 空間の同じでない 4 点 が作る三角錐（4 面体）の体積 が次式で

表されることを示せ．

1-24. 次の正方行列 について，以下を満たす を で表せ．

11111 ABYZYZAB

n 1A A

EAAAA 11

n A

Atr n BA ,

S

13 x

BA , 2222 BABABA

2AAA

V

n OCBA ,,, 1P OCBA ,,,

と書くとき，

BO

CAP

EO

OEPP

1

4321

4321

4321

1111

6

1

zzzz

yyyy

xxxxV

ijE

ijaA ija ija~

333222111 ,P,,P,,P yxyxyx

321 P,P,P

1

1

1

2

2

2

3 ω

23

32

32

32

4

1

1

1

1

ω

4,3,2,1,, izyxP iiii

0trtrtr BAABBAAB

ijaA iia n

iia

第 1 章演習問題

i

1

1

01

1

1

10

1

1

ijE

j

i

j

0 0

00

0 0

0

0

0

0

0

00 0

00

00

0 演習問題 第 1 章 | 23

応 用 編

24 | 第 2 章 群・環・整域・体

2. 群・環・整域・体

群・環・整域・体

分かっているつもりでも分からないのが最も基本的なことです．

ベクトルや行列は，第 1 章で見てきたように，ベクトルや行列に関して加法（減法も含

める），乗法（除法も含める）の演算法の定義を行いました．そして，ベクトルや行列に

は，「数」のような性質をもち，また，ある場合には「数」のようでない性質を持ってい

ることがお分かりになったと思います．このような性質をある「集合」の性質として考え，

その諸性質を一般的な考えでまとめることは，演算の複雑さを整理することにほかなりま

せん．以下で述べる中には，読者にとって，聞いたことがない言葉もあるでしょうけれど，

単なる，決め事あるいは定義であって，恐れるに足らずと思って，ああ，そうなんですか！

と読み流していただければ良いと思います．初めて知る方にとっては，逆に面白いかもし

れませんよ．

ここでちょっとコメントさせてください．本章では「要素」と「元」が混在しています

が，本質的にはなんら違いはありません．使い分けは，著者の「なんとなく」の感覚で使

い分けしている部分もありますが．．．（笑），慣例に従って用いているとご理解くださ

い．例えば．方程式関連では，2 元 1 次方程式のように，「元」を未知数の数（かず）の意

味で使います．因みに，2 要素 1 次方程式とは言いませんよね（笑）．ベクトルや行列では，

要素と呼び，元とは言いません．ここで紹介する問題はややこしい問題は避け，基本問題

を集めました．

では，Bon voyage！

2.1 群 | 25

2.1.群

有限集合・無限集合

集合 A を，n個の要素を持つ集合，すなわち， である場合，A

は有限集合（finite set）と呼び， とも書く．それに対して，無限個の

要素を持つ集合を無限集合（infinite set）と呼ぶ．

群

集合（set） の任意の要素 について，演算により一意的に集合 の要

素 が存在する 場合， と書いて要素の「和」と呼び， と書い

て要素の「積」と呼ぶ．一般的に，積は必ずしも可換（→アーベル群）ではない．このと

き，

（条件 1Ｇ）集合 の任意の要素 について，積 は集合 の要素として存在する．

これを， と書く．

例：1.5 と 4.0 は実数で，その積 6.0 も実数．

（条件 2Ｇ） について，結合法則 が成立する．

例：1.5，4.0，2.0 は実数で，(1.5×4.0)×2.0＝1.5×(4.0×2.0)が成立．

（条件 3Ｇ） について， となる右単位元 （right unit element）が，

少なくとも 1 つ，集合 の要素として存在する．

これを， と書く．

例：2.5×1.0＝2.5 で，1.0 が右単位元である．

（条件 4Ｇ） について， （右単位元）となる右逆元 （right inverse

element）が少なくとも 1 つ，集合 の要素として存在する．

これを， と書く．

例：2.5×0.4＝1.0 で，2.5 の右逆元が 0.4（= 2.5-1）．

という条件が成立する集合 は群 をなす，と言う．

可換群，加群

（条件 5Ｇ）集合 の任意の要素，例えば， について， である場合，集合 は

可換群（commutative group）あるいはアーベル群（Abelian group）を成す，と言う．このと

き，可換群の要素は互いに交換可能（commutable）である，と言う．また，加法に関して

交換可能（ ）な場合は，特に，加群（additive group）を成す，と言う．

有限群，位数，無限群

（条件 6Ｇ）集合 が有限個の要素で群 を成すとき，群 は有限群（finite group）と呼

ばれ，その要素数 を nG または Gord と書いて群 の位数（order）と呼ぶ．また，

集合 の要素が無限個の要素で群 を成す場合，群 を無限群（infinite group）と呼ぶ．

S Sbaba ,, S

p Sp bap abp

S ba , ab S

SabSba ,

Scba ,, cbacba

Sa aea R eR

S

SeaeaSa RR ,

Sa eax R xR

S

SaxexaSa RRR 1,

S G

S ba , baab S

abba

S G G

n G

S G G

G

AG

niaA i ,,2,1 　

),,2,1( niAai

26 | 第 2 章 群・環・整域・体

巡回群

群 の全ての要素が， （整数）である群 を巡回群（cyclic group）と

呼ぶ．巡回群は可換群である．

ここで，特に，aを巡回群 の生成元（generating element）と呼ぶ．

半群

集合 の任意の要素 で についての演算：

を満足する集合 は半群 （semigroup）を成す，と言う．

群要素

（条件 6Ｇ）群 の要素で， に対して， を満たす が存

在する（ ）．

有限群

（条件 7Ｇ）有限群 について，要素 が である場合，任意の に対して，

である．これを簡約法則（cancellation law）と呼ぶ．

アーベル群

ある集合 があって，その任意の元 に対し，以下のように，記号「＊」によ

り，二項演算が定義され，

（ ） に対して，結合法則 が成り立つ

（ ） に対して，交換法則 が成り立つ（可換です）

（ ）単位元 があって， が成り立つ

（ ） の逆元 があって， が成り立つ

アーベル群での加法

ある集合 があって，その任意の元 に対し，記号「+」で加法が定義され，

（ ） に対して，結合法則 が成り立つ

（ ） に対して，交換法則 abba が成り立つ （可換）

（ ）零元 があって， が成り立つ

( ） のマイナス元 があり， が成り立つ

練習問題 2.1.2-1 なる について または aaa ならば，いずれの場合も

ea であることを示せ．

練習問題 2.1.2-2 なる について， ならば であるこ

とを示せ．

S Scba ,,

S

G Gba , byabax , yx ,

Gyx ,

G Gba , ba x

xbxabxax ,

Φ Φba ,

Φcba ,, cbacba

Φba , abba

Φe aaeea

Φa Φa 1eaaaa 11

Φba ,

Φcba ,, cbacba

Φba ,

Φ0 aaa 00

Φa Φa 0 aaaa

Ga a aaa

Gcba ,, cba ,, acab cb

A1

A4A3A2

A3

A4

CG nGa C

n ;CG

CG

A1

A2

HG

Sba

Scbacba

2.1 群 | 27

練習問題 2.1.2-3 なる について， ならば， あるいは

であることを示せ．

練習問題 2.1.2-4 なる について， を示せ．

練習問題 2.1.2-5 群の位数 (order) はその濃度，すなわち，その集合に入っている元の個

数である．単位群 の位相．また，群 の位数をそれぞれ答えよ．

部分群

群を成す集合Θの空 でない部分集合 が と同じ計算方法に関して群となるとき，集

合 は群Θの部分群 （subgroup）を成す，と言う．集合論では， ΘΦ と書く．

単位群

群 が持つ単位元 e だけが要素の部分群を単位群 （unit group）と呼ぶ．

集合 S が集合G の部分集合であり，集合 S が群G の部分群 であるための条件は，

（条件 ）

（条件 ）

であることである．

集合 S が集合G の部分集合であり，集合 S が群G の部分群 であるための条件は，

（条件 ） SbaSba 1,

であることである．

剰余類

が群 の部分群である場合，要素 について，

および

と書いて，それぞれ， に関する右剰余類(right coset)および左剰余類(left coset)と呼ぶ．

共役

群 の について，

の場合， は共役であるという．

Gba , ba, eab 1ab1 ba

Ga a

eE 3,2,1G

G

P G Ga

PppaPa | PpapaP |

P

G Gba ,

Gxaxxb 1

Gba ,

SaSa 1

SabSba ,

SG

SG

SG1

SG2

SG3

aa 11

SG

SG

UGUG

28 | 第 2 章 群・環・整域・体

共役部分群

を群 の部分群とするとき， に対して，

で表される群は群 の部分群であり，共役部分群と言う

練習問題 2.1.3-1 が群 の部分群である場合， の単位元 は群 の単位元 に

等しいことを証明せよ．

練習問題 2.1.3-2 が群 の部分群である場合， の逆元 は， の逆元に等

しいことを証明せよ．

2.2.環・整域・体

環

集合 の任意の要素 に対して，加法「＋」および乗法「・」の演算が存在し，

（条件 1R）加法+についてアーベル群（項 2.1.3）であり， で加群をなし，

（条件 2R）乗法・について， であり，結合法則が成立し，

（条件 3R）分配法則について および が成立する，

という条件を満たすとき，集合 は に対し，加法「+」および乗法「・」

の演算に関して は環（ring）をなす，と言う，

環 における交換法則

である について

が成立する場合は，集合 は可換環（commutative ring），と言う．

環 における乗法の単位元

に対して，

なる が存在するとき（ ）はただ 1 つあって， を単位元（unit element），と言う．

環 における零因子（zero-factor）

環 において， および であっても， となる場合に， を零因子と

呼ぶ．ここで，零因子ではない元は正則である（regular），または，非零因子（non-zero-divisor）

という．非零因子（non-zero-divisor）は，非自明な零因子（nontrivial zero divisor）とも呼ぶ．

P G Ga

G

P G P G

P G

R

R ba ,

abba

bcacab

bcaccba cbcabac

R Rcba ,,

R

R

Rba , ba ,

R

R

Ra

e Re e

R

R 0ab ba ,

1pPp Gp

baab

aeaae

0a 0b

PppaaPaa |11

PeGe

2.2 環・整域・体 | 29

環 における加法の零元および逆元

加法に関する単位元を と書いて零元，と言う．また， について， が存在

し，これを加法に関する逆元，と言う．

部分環

環を成す集合 の空でない部分集合 が環 と同じ計算方法に関して環を成し，しか

も，環 の単位元を含むとき，集合 は環 の部分環 を成す，と言う．

零環または自明環

零環 または自明環とは，1 つの元からなる（同型を除いて）唯一の環として定義

され，一元集合 において演算「 」および「 」を，

と ，

したがって，

で定義したものを言う．

整域

単位元を持つ可換環で，その任意の非零元の積は零とならない環を整域 と言う．

言い換えれば，零因子のない可換環，あるいは，自明環でない可換環を，整域と言う．

体

0 以外の要素を持つ環 において，要素全体の積が群 を成すとき，

であり，また，分配法則 が成り立つ，

さらに，

（加法および乗法の逆元が存在する），

となる場合，体 を成す，という．

単位的環

の二項ないし三項の加法・乗法の演算（ +および・（省略可能））を持つ

代数系であり，

条件 1UR）加法の可換性: に対して が成立

条件 2UR）加法の結合性: に対して が成立

条件 3UR）加法単位元: が存在し， に対して， を満す

条件 4UR）加法逆元: となる

R

0 Ra a

Θ Φ Θ

Θ Φ Θ

000 000

0000000

R G

cabacbacbcacba ,

RaRaRa 1;0

F

Λ

Λcba ,,

abba

cbacba

Λ0 Λa aaa 00

0 aaaa Λa

SR

RabRba 00,0

IR

0

F

SR

GabRba 0,0

00 R

IR

30 | 第 2 章 群・環・整域・体

条件 5UR）乗法の可換性: が成立

条件 6UR）乗法の結合性: ， が成立

条件 7UR）乗法単位元: ， に対し， を満す

条件 8UR）左右分配性: あるいは が成立

および， あるいは が成立

部分体

体を成す集合Θの部分集合 がΘと同じ計算方法に関して体を成し， Θa )0(

について， Θa 1 のとき，集合 は体 Θの部分体 を成すと言う．

abba

cbacba bcacab

Λ1 Λa aaa 11

cabacba acabcba

cbcacba bcaccba

Φ

SF

SF

0 演習問題 第 2 章 | 31

演習問題 第 2 章

2-1. 集合論において，集合 ，集合 および集合 について，

ならば であることを示せ．

2-2. 集合論において，集合 および集合 について，次式を示せ．

（1） （2）

2-3. 群をなす集合 があって， について であり， につ

いて，

が成立することを示せ．

2-4. 群をなす について， なる について， を満たす は一意的に

存在することを示せ．

2-5. 群 G において，以下が成り立つことを示せ

（1） （2）

（3）

2-6. 2 つ元を持つ集合 は群をなすことを示せ

2-7. 環 において， のとき，次式を証明せよ．

（1） （2） （3）

2-8. （実数）に対して，次の形式の 2 次の行列は環を成すことを示せ．また，

この環について左単位元は無限にあることを示せ．

また，次の形式の 2 次の行列は環を成すことを示せ．また，この環について右単位元は

無限にあることを示せ．

2-9. に対して，次の形式の 2 次の行列の集合 ，例えば，

は，体 を成し，集合 における単位元 があって， であるとき

により逆元が集合 にあることを示せ．

2-10. 可換環の場合，右零因子および左零因子は等しいことを示せ．

2-11. 環 における について，簡約法則（cancellation law）

が成り立つことと，環 R に零因子がないことが同じであることを示せ．

2-12. 補題：例えば，群G の要素aについて， nmaa nm の場合， ea nm （ eは

G の単位元）となる自然数が存在し， )min( nm なる があって， をaの位数

と呼ぶ場合がある．これを踏まえて，群G の要素aの位数を とし， Zk があって，

eak となるための必要十分条件は k が で割り切れることであることを証明せよ．

A B C

CBBA CA

A B

BBAABA BABBAA

Gba , Gab

G Gba , ba, bax x

R Rcba ,,

000 aa abbaba )( abba ))((

qp,

qp, Θ

F Θ E

Θ

R

bacbcaorbcac

00

qpΨ

0

0

q

pΦ

pq

qpΦ

10

01E

0p

0;,, cRcba

1,1 G

G

cabbca

Gcba ,,

aaGa 11)(111)( ababGa

GepapaaapGpGa ,

第 2 章演習問題

32 | 第 3 章 線形代数 II

3. 線形代数 II

線形代数 II

分かっているつもりでも分からないのが最も基本的なことです．

行列は，第 1 章で見てきたように，行列に関して加法（減法も含める），定数倍，乗法

の演算法の定義を行いました．そして，行列は，「数」のような性質を持ち，また，ある

場合には「変数」や「関数」となる性質も持っていることがお分かりになったと思います．

ところで，気が付いている読者はいらっしゃいますか？ 本書ではベクトル積は要素が 3

つ，すなわち， のベクトルにだけ限定しています．2 つのベクトル の

「外積」と「ベクトル積」は，3 次元空間を扱う，物理やベクトル解析の教科書では，2 つ

の言葉を，特に断らず，特に区別せずに，というよりは隠蔽して（これは言い過ぎ，（笑）），

同一のものであるとして使っています．

実は，そうではないのです．本来，4 次以上の高次のベクトルを扱う数学の世界では，「外

積」と「ベクトル積」は別々の概念であり，実際 4 次元以上の空間では異なった表式を用

います．「外積代数（exterior algebra）」とか「グラスマン代数（Grassman algebra）」（古

典幾何学を 4 次元以上の 次元幾何学へと一般化した『広延論』の中で述べられている）

という代数体系があります．それらは，工学や理学ではお目にかかることはなく，本書の

読者や著者にとっては 3 次元ユークリッド幾何学空間（非ユークリッド幾何やアインシュ

タインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではない空間）で十分ではないでしょ

うか．3 次元ユークリッド幾何学空間の分野だけでも，多くの難しい世界が広がっているの

です．これらを知っていることだけでも読者自身の宝になります．

请做一个好的旅程．

3Va 3, V ba

n

3.1 行列 II | 33

3.1.行列 II

零因子（zero divisor）

零行列 ではない 2 つの行列 があって， となる場合，行列 は行列 の

左零因子と呼ぶ．逆に，行列 は行列 の右零因子と呼ぶ．

練習問題 3.1.1-1 次の行列 および行列 について

であるとき， および であることを示せ．

練習問題 3.1.1-2 行列 について零行列 ではない右零因子の１つを示せ．

練習問題 3.1.1-3 行列 および行列 が 型である場合，互いに零因子になっている

場合，行列 および行列 の例を示せ．

練習問題 3.1.1-4 次の行列 の右零因子行列が次の行列 であることを示し，行列 は左

零因子行列にはならないことを示せ．

練習問題 3.1.2-1 次の 2 次の正方行列 について，

であることを示せ．ただし， は 2 次の単位行列， は 2 次の零行列である．

練習問題 3.1.2-2 次のn次の正方行列 について，

であることを示せ．ただし， はn次の単位行列， はn次の零行列である．

練習問題 3.1.3-1 次の行列 について，

および をそれぞれ要素の表式で求め．等しいことを示せ．

O BA , A B

B A

A B

OA 2 OAB

A O

A B 22

A B

A B B

BA ,

E O

BA ,

E O

BBO

AE

OAB

42

21A

10

00,

00

01BA

BBO

AE

21

63,

62

31BA

CAB BCA

12

34,

11

11,

43

21CBA

CBA ,,

34 | 第 3 章 線形代数 II

練習問題 3.1.3-2 次の行列 について，

および をそれぞれ要素の表式で求め．等しいことを示せ．

3.2.固有値 I

固有ベクトル

次の正方行列 および， 次のベクトル があって，

を満たすスカラー がある場合，ベクトル をスカラー に関する行列 の固有ベクトル

（eigen vector）と言う．

固有値

行列 が 次の正方行列であるとき，行列式 はスカラー に関するn 次の

方程式であって，

を満たすスカラー を行列 の固有値（特性値，eigen value），また，式 3.2.2-1 を行列

の固有方程式（特性方程式 ）characteristic eqation と呼ぶ．

練習問題 3.2.2-1 次の 2 次行列 の固有値 と固有ベクトル を求め， が成り

立つかを確かめよ．

行列の相似

行列 が 次の行列であるとし，同じ 次の任意の正則行列 により，

という式で表すことができるとき，行列 は互いに相似（similitude）であるという．

練習問題 3.2.5-1 次の行列 について， を計算し， すな

わち， となることを示せ．

n A n 0pp

A

A n 0 EA

A A

A p pAp

BA , n n P

APPB1

BA ,

PA , APPB1 111 BPPA

1 PBPA

0 EA

11

02,

43

21PA

pAp

p

02

20)2(,

01

10)1( AA

2221

1211

2221

1211

2221

1211,,

cc

cc

bb

bb

aa

aaCBA

CBA ,,

CAB BCA

3.2 固有値 I | 35

練習問題 3.2.5-2 次の行列 が，正則な 次の行列 について，相似ならば，

も相似であることを示せ．また，行列 の整式 について，

は相似であることを示せ．

練習問題 3.2.6-1 行列 が相似であるとき， であることを示せ．

練習問題 3.2.6-2 次の正方行列 A について， は列A の第 列目を要素とするベクト

ルであることを確かめよ．ただし， は，第 j 行目が 1 で，他の要素が全てが 0 である単

位ベクトルである．すなわち， を表す．

練習問題 3.2.6-3 つぎの行列 ，

の固有値および固有ベクトルを求め，

固有ベクトルを縦ベクトルとする により， を計算し，

行列 が対角行列になっていることを示せ．

練習問題 3.2.6-4 つぎの行列A ，

の固有値および固有ベクトルを求め，

固有ベクトルを縦ベクトルとする により， を計算し，

行列 が対角行列になっていることを示せ．

練習問題 3.2.7-1 次式の「 」を埋めよ．

練習問題 3.2.7-2 例題 3.2.6-3 の固有（列）ベクトルを交換し，すなわち，

を計算し，例題 3.2.6-3 の結果と比較せよ．

n BA , n P

BA , A

BA , BA

n

A

P APP1

A

P APP1

A

AQQ1

je

BA ff ,

Af

2122

1112

12

2221

1211

2121 ,,,pp

pp

qq

qqppqqQppP

jAe j

T

jnj

j )0,,0,1,0,,0(

1

e

20

07

100

035

5

1

11

32

51

64

21

31

5

11 APP

12

41A

03

21A

36 | 第 3 章 線形代数 II

練習問題 3.2.7-3 次の行列 ：

について，固有値，固有ベクトルを求め，固有ベクトルで構成する行列 で，行列

が演算 によって対角化されることを示せ．また，練習問題 3.2.7-2 と同様，

行列 の列（行列 の固有ベクトル）を入れ替えた行列 ，すなわち，

すなわち，とするとき， AQQ1

を計算し， APP1

の結果を比較せよ．

3.3.ケーリー・ハミルトンの定理

ケーリー・ハミルトンの定理

次の正方行列 があって，行列 の固有値 ，単位行列 とで構成する行列式

を固有値 の関数 と考えたとき， となる．

練習問題 3.3.3-1 次の行列 について，ケーリー・ハミルトンの定理を用い

て を計算せよ．

練習問題 3.3.3-2 次の行列 について，ケーリー・ハミルトンの定理を用い

て を計算せよ．

3.4.複素行列

複素ベクトルの内積 （エルミート内積）

複素数

について，

と計算する．ここで．＊は随伴を意味し，転置して共役とすることを意味する

複素数ベクトルの内積の性質

複素数ベクトルを とするとき，以下が成り立つ

1）交換法則

2）分配法則

3）結合法則（定義 48 による） babababa TT

babababa TT

4）長さ

A

P A

APP1

P A Q

n A A E

EA OA

2A

3A

43

21A

03

21A

03

21A

2122

1112

12

2221

1211

2121 ,,,pp

pp

qq

qqppqqQppP

abba

cacacbacbcacba ;

2

0 aaaaa0aT

CCn ,,, cba

C w,z coswzwzwz T

3.4 複素行列 | 37

転置行列, 複素共役行列, 随伴行列の性質

それぞれ， 型， 型の複素行列 および である複素数， で

ある実定数について，以下の式が成り立つ．

1） 2） 3） 4）

であり，複素行列 が，行列の型など和・積が定義できる場合，

5） 6） 7） 8）

9） （ は実行列） 10） 11）

12） 13）

練習問題 3.4.1-1 次の複素行列 について， であることを示せ．

練習問題 3.4.1-2 次の複素行列 A について， あることを示せ．

練習問題 3.4.1-3 次の複素行列 について， あることを示せ．

練習問題 3.4.1-4 複素ベクトルの内積を と定義するとき，

を証明せよ．

また，複素ベクトルの内積を と定義すると，どうなるか？

練習問題 3.4.1-5 2 次の複素行列 について，

要素の行列配置を用いて， を示せ．

練習問題 3.4.1-6 2 次の複素行列 について，

要素の行列配置を用いて， を示せ．

練習問題 3.4.1-7 2 次の複素行列

および複素数 について，要素の行列配置を用いて， を示せ．

nm n BA , Cp k

BA ,

AA A BABA AA

ABBA

AA pp

n BA ,

n AA

n BA , ABAB

baλλbabaλbλa ,T

wzwz

BA ,

BAAB

BA ,

ABAB

A

Cp AA pp

AA pp

2221

1211

2221

1211,

ww

ww

zz

zzBA

2221

1211

2221

1211,

ww

ww

zz

zzBA

AA TT TTT

BABA TTTABAB TT

kk AA

AA BABA BAAB

wzwzT

2221

1211

zz

zzA

BABAT

38 | 第 3 章 線形代数 II

エルミート行列 (Hermitian matrix)

複素行列A があって，その随伴行列

A との関係において，

AA あるいは， AA T

を満たす行列をエルミート行列 (Hermitian matrix) という．自己随伴行列（self-adjoint

matrix）とも言います．

練習問題 3.4.2-1 次の実行列 が， （交代行列）であるとき，行列 は，

エルミート行列であることを示せ．

練習問題 3.4.2-2 以下の行列 はエルミート行列であるか？

（1） （2）

交代エルミート行列，反エルミート行列あるいは歪エルミート行列

行列 があって，その随伴行列 に対して，

あるいは，

を満たす行列を交代エルミート行列（alternative-Hermitian matrix），反エルミート行列

（anti-Hermitian mtrix）あるいは，歪エルミート行列（skew-Hermitian matrix）と呼ぶ．

練習問題 3.4.3-1 次の実行列 が， （対称行列）であるときは，行列 は，

交代エルミート行列であることを示せ．

練習問題 3.4.3-2 以下の行列 は交代エルミート行列であるか？

（1） （2）

ユニタリー行列

正方行列 が，正則行列 であって

である場合， をユニタリー行列（Unitary Matrix）と呼ぶ．

練習問題 3.4.4-1 行列 がユニタリー行列であることを示せ．

練習問題 3.4.4-2 行列 （1）について，①行列 がエルミート行列であることを示し，②

固有ベクトル を計算し，③以下の（2）を満たすユニタリー行列 を求めよ．

（1） （2）

n A AA T Ai

A

A

AA AA T

n A AA TAi

A

U

U

1

1

2

1

i

iU

1

1

i

iA

0

2

i

iiA

1

1

i

iA

0

2

i

iiA

TUUU 1

0U

1

1

i

iH

H H

21 , pp

00

02HUU

U

A

3.5 2 次形式 | 39

練習問題 3.4.4-3 次の行列 がユニタリー行列であることを示し，次のベクトル があっ

て， を計算せよ．

練習問題 3.4.4-4 次のユニタリー行列 の 個の固有ベクトルが互いに直交することを

示せ．

練習問題 3.4.4-5 行列 がユニタリー行列であれば， もまた，ユニタリー行列である

ことを示せ．

正規行列

行列 があって，

あるいは，

を満たす行列を正規行列（normal matrix）と呼ぶ．

練習問題 3.4.5-1 要素が実数の対称行列は正規行列であることを示せ．

練習問題 3.4.5-2 ユニタリー行列 は単位円上に固有値を持つ正規行列であることを示せ．

練習問題 3.4.5-3 ある正方行列 がユニタリー行列 で対角化可能で ：

3.5. 2 次形式

2 次形式

n次の複素ベクトル x およびn次の正方行列 について，

で表す表式を 2 次形式（quadratic form）と呼び，スカラーかスカラー関数となる．

エルミート行列の 2 次形式

要素が複素数であるエルミート行列， あるいは について，複素ベクト

ル x があるとき，

と書いて，単に，エルミート形式（Hermitian form）と呼び，常に実数を得る．

U x

UxxTP

U

U

A AAAA

TTAAAA

U

A U

A

HHT

HH

HxxTH

U

AxxTQ

ii

i 1,

0

0xU

n n

n

0

01

40 | 第 3 章 線形代数 II

複素ベクトル x について，エルミート行列 による

エルミート形式の値 は，常に実数である．

交代エルミート行列の 2 次形式

行列 を交代エルミート行列とし，複素ベクトル x により

と構成される形式を，単に，交代エルミート形式（Skew-Hermitian form）と呼ぶ．

複素ベクトル x について，交代エルミート行列 による交代エルミート

形式の値は純虚数かまたは 0 である．

練習問題 3.4.6-1 複素ベクトル について，エルミート行列 によるエルミート形式

の値は常に実数であることを示せ．

練習問題 3.4.6-2 複素ベクトル について，交代エルミート行列 による交代エルミート

形式 の値は純虚数かまたは 0 であることを示せ．

H

HxxTH

J

JxxTJ

J

x H

HxxTH

x J

JxxTJ

01

12

i

iiJ

11

12

i

iH

0 演習問題 第 3 章 | 41

演習問題 第 3 章

3-1. 次のエルミート行列 の固有値と固有ベクトルを求めよ．

3-2. 次の行列 のついて， と表すとき， を示せ．

3-3. 以下の複素ベクトル があって，

とするとき，（1）内積 ，（2） ，をそれぞれ要素で示せ．

3-4. 次エルミート行列 の行列式 は実数であることを示せ．

3-5. 次エルミート行列 とユニタリー行列 で作る はエルミート行列であ

ることを示せ．

3-6. 次任意の複素正方行列 は，複素行列 による次の和の形式，すなわち，

として表せた場合，行列 はエルミート行列であることを示せ．

3-7. 次のユニタリー行列 の行列式の絶対値は 1 であることを示せ．

3-8. 次のエルミート行列 が実行列の場合，対称行列であることを示せ．

3-9. 次のユニタリー行列 が実行列の場合，直交行列であることを示せ．

3-10. 次の行列 がユニタリー行列で，単位行列 について， である場合，

で表す行列 がエルミート行列であるであることを示せ．

3-11. 次の交代エルミート行列 は，正規行列であることを示せ．

3-12. 次の正方行列 がユニタリー行列 により実対角行列 となるとき， はエル

ミート行列であることを示せ．

3-13. 次のユニタリー行列 の全体は乗法に関して群を成すことを示せ．

3-14. 2 次形式 が表すグラフを試作せよ．

3-15. 3 次の行列 およびベクトル により 2 次形式 の具体的な表式を

示せ．

H

A EA OA

ba ,

ba T

ba n H H

n H U UHU

n P

n U

n U

n U

n U E 0UE

1 UEUEA i A

n A

n H U Φ H

n U

A Tzyx ,,x xQ

21 QQP i

21 , QQ

1

1

i

iH

10

12A

njiCwz

w

w

w

z

z

z

ji

nn

,,2,1.|,;,2

1

2

1

ba

111

111

111

A

21 , QQ

0, 22 dcxybyaxyxF

第 3 章演習問題

42 | 第 4 章 線形代数 III

4. 線形代数 III

線形代数 III

分かっているつもりでも分からないのが最も基本的なことです．

ベクトルは，第 1 章で見てきたように，ベクトルや行列に関して加法（減法も含める），

定数倍，乗法（除法も含める）の演算法の定義を行いました．そして，ベクトルや行列は，

「数」のような性質をもち，また，ある場合には「数」のようでない性質を持っているこ

とがお分かりになったと思います．ここでは，このような性質を，ある集合の性質として

考え，その諸性質を一般的な考えでまとめます．このことは，演算の複雑さを整理するこ

とにほかなりません．以下で述べる「ベクトル空間」の説明の中には，読者にとって，聞

いたことがない言葉もあるでしょうけれど，単なる，決め事あるいは定義であって，恐れ

るに足らずと思って，読み流していただければ良いと思います．逆に，初めて知る方にと

っては面白いかもしれませんよ．因みに，「空間」は何かの隙間とか，宇宙という 3 次元

空間ではなく，数学的に定義で決められた 次元の概念で構成し，その中で演算が設定で

きる集合のことです．

ここで，線形代数のさらなる理解を希望します．何か，天皇陛下の言葉のようですが，

著者の言葉です(笑)．

では，Buon viaggio!

n

4.1 ベクトル空間の基礎 | 43

4.1.ベクトル空間の基礎

ベクトル空間 V

数体 を や とし，ベクトルの集合 があって，以下の 1V から 9V までの条件を満

たすとき，ベクトルの集合 は，数体 の上のベクトル空間 （vector space）と呼ぶ．

任意のベクトルを ，任意のスカラー係数を とし，それらの演

算がベクトル空間を定義する条件は，

（ ）ベクトルの和 が定義できて： が成立，

（ ） が成立，

（ ）任意の について， である零ベクトル が存在，

（ ）すべての について， なる が として存在，

（ ）実数のスカラー とベクトル について が定義可能，

（ ）実数のスカラー とベクトル により， が成立，

（ ）実数のスカラー とベクトル により， が成立，

（ ）実数のスカラー とベクトル により， が成立，

（ ） なる演算が成立，

ベクトル部分空間

数体 上のベクトル空間 の （空）でなく，ベクトル空間 の零ベクトルを含む，

部分集合 が，以下の条件を満たすとき， は のベクトル部分空間（vector subspace）

あるいは線形部分空間（linear subspace）と言う．べクトル がベクトル部分空間 の

要素である場合，

（ ） ならば，

（ ） ならば，

である．

共通ベクトル部分空間

べクトル空間 の部分空間1W および

2W について，1Wa であり，

2Wa であるベ

クトル は，21 WWW と表すベクトル空間 を張り，

2121 ,| WWWWW aaa

と書いて，ベクトル空間 を部分空間1W および

2W の共通ベクトル部分空間と呼ぶ．

ベクトル空間の直和

ベクトル空間の和空間とは，べクトル空間V の部分空間1W および

2W について，

2

2

1

121

21 ,| WWWWW aaaa

で定義され，特に， 21 WW である場合，

21 WWW と書いて，

ベクトル部分空間の直和（direct sum）と呼ぶ．

K C V

V K V

V cba ,,

ba abba

cbacba

a a0a 0

a 0xa x ax

, ba , ba ,

, a aaa

ba , baba

, a aa

0aaa 0,1

K V V

W W V

ba , W

W ba, Wba

KW ,a Wa

V

a W

W

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V8

V9

W2

W1

K ,

44 | 第 4 章 線形代数 III

練習問題 4.1.5-1 は，5 次のベクトル空間

の部分空間であることを示せ．

練習問題 4.1.5-2 べクトル空間 の部分空間 1W および 2W について，和空間 21 WW は

べクトル空間 の部分べクトル空間であることを示せ．

ベクトル空間の次元

数体 上のベクトル空間 の基底ベクトルが有限個であるとき を有限次元ベクトル

空間と呼び，このとき，（1 次独立な）基底ベクトルの個数（基底ベクトルのとり方には

よらない）をベクトル空間 の次元（dimension）と呼び，ベクトル空間 を構成する基

底ベクトルの個数が である場合は， と書く．特に，零（ベクトル）空間 で

は， と定義する．基底ベクトルは，単に，空間の「基」と称する場合がある．

ベクトル空間 の基底ベクトルが， である場合，

と書く表式があります．もちろん，このときは， である．

練習問題 4.1.6-1 ベクトル が張るベク

トル空間 の次元 を求めよ．

練習問題 4.1.6-2 の行列 の張る空間 の次元と基の 1 種を考えよ．

練習問題 4.1.6-3 が張るベクトル空間 （ベクトル空間

の部分空間）について，その次元を答えよ．

練習問題 4.1.6-4 が張るベクトル空間 （ベクトル

空間 の部分空間）について，その次元を答えよ．

ベクトル空間と次元 その 1

であるベクトル空間 の部分空間 について， とし，部分

空間 の基底ベクトルを とするとき，適当にベクトル

を加えて，n個のベクトル を作り，ベクトル空間 の

基底ベクトルとすることができる．

ベクトル空間と次元 その 2

ベクトル空間 の部分空間を とするとき，

である．

V

V

K V V

V V

n nV dim

V

nV dim

Wdim

nm A nmV

2R V

3R

V

nV dim V W nrW dim

W

V

V

nrr eee ,,, 21

2121 ,, xxxxx

21 , VV

212121 dimdimdimdim VVVVVV

neee ,,, 21

nV eee ,,, 21

321321 ,,,, xxxxxxx

OV

0dim OV

321321 ,,|,0,,0, xxxxxxW x5V

111,100,011 321 aaa

W

reee ,,, 21

nrrr eeeeee ,,,,,,, 2121

4.2 ベクトル III | 45

ベクトル空間と次元 その 3

ベクトル空間 の部分空間を とするとき，

である．

練習問題 4.1.7-1 ベクトル空間 において， および

であるとき，部分ベクトル空間 および は で

あることを示せ．

練習問題 4.1.7-2 ベクトル空間 において，部分ベクトル空間 の につ

いて， の場合， なるベクトル は， で

あるベクトル の和 として一意的に表されることを示せ． ただし，ベクト

ル空間V は，体 K 上のベクトル空間である．

4.2.ベクトル III

ベクトルの大きさ

3 次元べクトル空間 で， に対し， ノルムに関して

なる式が成立する．

ベクトルの直積

m次とn次のベクトル に対して， あるいは と書いて，

直積（direct product）と呼び， で表す．その結果は 型の行列となる．

練習問題 4.2.2-1 ベクトル空間 における単位ベクトル

について， を計算し，3 次の任意の行列 に対し，積 およ

び を計算し，結果を比較せよ．

練習問題 4.2.2-2 ベクトル について，

を計算せよ．

練習問題 4.2.2-3 ベクトル について，直

積が可換かを議論せよ．

V

nV ,,,,,, nVcba

ba

nV

3V 3,, V cba2L

nVba,T

ba Tab

nm

3V

A AΡ

AΡ

ab

ba

T2121 eeeeΡ

TT0,1,0,0,0,1 21 ee

Tn

T

n aaabbb ,,,,,,, 2121 ab

Tn

T

n bbbaaa ,,,,,,, 2121 ba

cba ,,2 W ca ,1 W 21 WW

21 , WW

1

1

1

111

dimdimdimn

i

i

i

k

k

n

i

i

n

i

i WWWW

niWi ,,2,1

21 WW

2222cbacba

0dim 21 WW 21 WW p p2211 , WW pp

21 pp 21 , pp

46 | 第 4 章 線形代数 III

練習問題 4.2.2-4 3 次の任意の行列 に対し，歪単位行列 を右から乗じた結果と左

から乗じた結果を比較せよ．

練習問題 4.2.2-5 複素ベクトル の直積で得られる行列 の要素は複素ベクトル の

各成分と の各成分の複素共役との積が成分となる．すなわち， とする．

そこで，複素ベクトル の要素表示を， とし，各要素を

とする場合，直積 の表式を要素 で表せ．

ウェッジ積

を用いて，2 つの直積の差を計算した結果をウェッジ積 （wedge product）

と呼び，果たしてその表式は，

である．ここで，ウェッジ積は楔（くさび）積とも言う，

ウェッジ演算定理

さて，ウェッジ積の持つ性質は， とするとき，

①

② （交代行列）

③

④

練習問題 4.2.3-1 ベクトル について，

1） を示せ．

2） を示せ．

練習問題 4.2.3-2 2 ベクトル について

を要素を用いて示せ．

外積代数

外積代数とは，ベクトル空間の一種であり，ベクトル間のウェッジ積の演算表式を「∧」

で定義し，ベクトル 間でこの演算を繰り返すことで得られるすべての元，すなわち，

などを基底とするベクトル空間を扱う式形態を，代数空間とする．

特に，ベクトル 3 つの場合，ウェッジ積の交換法則を，

と表す．ここで， は左辺の式， の符号を決める係数である．

A

vu , A u

v uvvu

vu ,

vu

3, V ba

abbaba

,,,, nVcba

Oaa

abba

cbcacba

abba T

0trtr abba

abba

321 eeeeee ijkkji

ijk321 eee

20

33E

TT bbbaaa ),,(,),,( 321321 ba

abba trtr

TT bbaa ),(,),( 2121 ba

Cvvuu 2121 ,,,

TTvvuu 2121 ,,, vu

2121 ,,, vvuu

,,, kjijii eeeeee ie

4.3 テンソル | 47

外積代数で表される演算方法

交換法則

結合法則

分配法則

練習問題 4.2.4-1 ベクトル について，定理

15 の式 4.2.4-7（分配法則） を証明しなさい．

練習問題 4.2.4-2 ベクトル について，係数を とする

とき， を計算しなさい．

4.3.テンソル

2 階のテンソル

2 階のテンソルとは，ベクトル空間 の要素 について，関数

があって，

ベクトル および係数 に対して，

を満たすとき を 2 階のテンソル，または，単にテンソルと呼ぶ．

テンソルの演算の公理

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

テンソルの内積

テンソル があって，ベクトル に対して，内積を，

とする．

cabacba

Vc,b,a ,,,,,

V Va

V ba , K

jkkj eeee

kjikji eeeeee

kijikji eeeeeee

baaccbcba

STSTST 1

V, ba

aababa TTTTT ,

aT

T

3

1

3

3

1

2

3

1

1

j

jj

j

jj

j

jj aTaTaTaT

3

1

3

3

1

2

3

1

1

i

ii

i

ii

i

ii TbTbTbTb

TSST

PSTPST

TT

STST

TTT

TTTTT 000 ,,1

321 ,,i,jTij T

nicba iii ,,2,1,, cba

48 | 第 4 章 線形代数 III

対称・交代 テンソル

任意のテンソル があって，

1）対称テンソル（symmetric tensor）を以下のように書く：

2）交代テンソル（alternating tennsor）を以下のように書く：

ここで， は転置テンソル（transposed tensor）で， のとき， です．

4.4.行列空間

行列空間 M

数体 を や とし，行列の集合 があって，以下の 1M から 9 M までの条件を満た

すとき，行列の集合 は，数体 の上の行列空間 （matrix space）と呼ぶ．

行列を とし，任意のスカラー係数を とし，それらの演算を

規定する公理は，

（1M） M BA のとき， ABBA が成立，（交換法則）

（2M） が成立，（結合法則）

（3M） であるとき， MO である．

（4M） が成立するとき， MX である．このとき， AX と書く

（5M） B,A , が定義可能，

（6M） が成立，

（7M） が成立，

（8M） が成立，

（9M） M OE, について， OOAAEA , なる行列演算が成立，

4.5.写像

写像

2 つの集合 があって，規則 によって， に対し が対応する場合

と書いて規則 による写像（mapping）と呼び，ここで， を規則 の定義域， を規則

の値域と呼ぶ．また， が規則 により に対応するとき,

と書き， は の による像（image）あるいは値（value）という．

K C M

M K M

M CBA ,, K ,

CBACBA

AOA

OXA

AAA

BABA

AA

BA, f Aa Bb

BAf :

f A f B

f Aa f Bb

afb

b a f

TT ijTT

3,2,1, jiTijT

ATTTTTT

ATT

A

2222

TTT

TT

T

STTTT

STT

S

222

TT

TT

T

ji

T TT

4.5 写像 | 49

線形写像（linear mapping ）

2 つのベクトル空間 があって，規則 によって， と表すとき， を

の部位分空間， を の部分空間とすれば，集合論的には，

と書き，規則 により，写像は，

と書く．ただし， は，規則 の像（像空間）（image）と呼ぶ．逆に，

，あるいは，

それをまとめて，

と書く．ここで， は規則 の核（核空間）または，カーネル（Kernel）と呼ぶ．

線形写像（linear mapping）

ある規則 があって，その写像が線形であるとは，

が成り立つことである．

線形写像（linear mapping）

ある 型の行列 があって，ある写像 により，例えば，ベクトル につ

いて， のように書けることを線形写像あるいは 1 次変換と呼ぶ．

写像の種類

①単射（injection, one-to-one mapping）全単射（bijective function, bijection）

集合 BA, があって， で， のとき，

である場合を単射と呼ぶ．もちろん， のとき，

と書く場合があり，論理式でいう「対偶(contraposition)」に相当する．

集合 BA, があって， が定義され，全要素が単射の場合，全単射という．

特に，集合 から集合 への全単射のことを恒等写像と呼び，集合 から集合

への全単射のことを，その性質から，置換写像（substitution）と呼ぶ場合がある．

②逆写像（inverse mapping）

集合 BA, があって， BAf : で Bafb のとき， Abf 1 ならば，

ABf :1 と書いて，以下の規則 による B の原像（preimage，逆像）と呼ぶ．

BafbAabf |1

ゆえに，逆写像を定義するときには，規則 が単射である（前提条件）．

Vfff bababa ,

KcVcfcf ,aaa

A A A B

VV , VVf : W

V W V

f

BAf :2121 ,, aaAaAa

2121 ,, afafBafBaf

2121 ,, aaAaAa

2121 ,, afafBafBaf

f

f

nVp

BAf :

f

nm A

App f

f

f

fIm f

Vff 0

1Ker

fKer f

VVVfVVff aa |;Im

0aa0 fVff |Ker 1

VWVW ,

0aa fVf |Ker

50 | 第 4 章 線形代数 III

③中への写像（into-mapping）

集合 BA, があって， BA のとき BAf : で表される写像において， Aa に

ついて， )(afb である写像で， ABf :1 の場合， bf 1 である場合があ

るとき， BAf : を中への写像と言う．（単射と意味は同じ）

④上への写像（onto-mapping, onto and one-to-one correspondence）

全射（surjection）とも言う． BAf : のとき， BafbAaaf | で

あるが，逆像 は存在するが一意的ではない．

行列の次元定理

行列 について，その列の数を とすると，階数と写像には以下の関係がある．

4.6.ベクトル IV

与えられた定義域で，ベクトル が微分可能であり, 定数

について，以下の式が成立する．

（1）

（2）

（3）

練習問題 4.6.1-1 定理 20 の（1）を証明せよ．

練習問題 4.6.1-2 定理 20 の（2）を証明せよ．

練習問題 4.6.1-3 式 を t で微分せよ．

ここで， は， 方向の単位ベクトルである．

練習問題 4.6.2-1 微分方程式 を解け．

練習問題 4.6.2-2 非同次の微分 を解け．

Abf 1

n AA Kerdimrank

A n

2xxdx

d p

p

Kk nVtt ba ,

tdt

dktk

dt

daa

tdt

dt

dt

dtt

dt

dbaba

t

dt

dttt

dt

dtt

dt

dbababa

zyx eee ,, zyx ,,

zyx cttbtat eeep sincos

xxdx

de

pcos

4.6 ベクトル IV | 51

内積空間

内積空間 とは，ベクトル空間 のベクトル V cba ,, ，定数 に

ついて，標準内積，すなわち，内積 が定義されて，

（ ） 交換法則

（ ） 分配法則

（ ） 定数倍

（ ） ノルムと零ベクトル

が成立するベクトル空間を内積空間と呼ぶ．ただし， である．

と定義される．ここで，（ ）を正定値性と呼ぶ．

内積空間の演算

ベクトル空間 から構成された内積空間 について． により，

（1）

（2）

（3） なる対称行列の場合，

であるから， が成立する．

直交補空間

内積空間 の部分空間が であるとき，

と書けるW を の直交補空間（orthogonal complement, perpendicular complement）と呼

ぶ．ここで，集合 は，集合 の部分集合である．

右・左直交補空間

直交補空間について，

で表す は に対して右直交（right orthogonal）と定義するとき， を右直交補空間

（right orthogonal complement）と呼ぶ．一方，

で表す は に対して左直交（left-orthogonal）と定義するとき， を左直交補空間

（left orthogonal complement）と呼ぶ．

練習問題 4.6.4-1 ベクトル空間 の上で， が，

である場合， を求めよ．

練習問題 4.6.4-2 がともにベクトル空間 の部分空間である場合， の共

通要素は零ベクトルのみであること．すなわち， であることを示せ．

V k

ba

abba

cabacbacbcacba ,

babababa kkkk2L

V I V 0a,

00a00a 00

TAA baAbaAAbaAba TTTT

bAaAba

u xWR

u xWL

3V Wba,

p

WW , VWW ,

0WW

3,1,,,1,2 pp ba

IP2IP1

IP3

IP4 0aaaaaa 0,02

2≧

aaa 2

Kkkk 22

aa

IV

IV

IW

0;0| xuuxux II WVW

0| uxux II

R WVW

0| xuux II

L WVW

IW

IVIW

IP4

52 | 第 4 章 線形代数 III

演習問題 第 4 章

4-1. 整数の全体 Z，有理数の全体 Q，実数の全体 ，複素数の全体 C， 自然数の全体

N ，それぞれについてアーベル群であるか議論せよ．

4-2. べクトル空間 のベクトル について，

1 次独立であることを示し， を求めよ．

4-3. べクトル空間 の部分空間 および について， とすると

き， となる について， を で表せ．

4-4. べクトル空間 の要素 について，

とする空間 は，べクトル空間 の部分空間となるか議論せよ．

4-5. であるベクトル空間の次元を求めよ．

4-6. ベクトル空間 の単位ベクトル について，基底ベクトルで

あり，その表し方は一通りであることを示せ．

4-7. 複素ベクトルwを， とするとき，ノルム を求めよ．

4-8. ベクトル空間 の実ベクトル について， となる があるか？

4-9. ベクトル空間 の単位ベクトル につい

て， とすると， であることを示せ

4-10. 2 次の歪単位行列について， が成り立つことを確かめよ

4-11. ベクトル空間 における単位ベクトル

について， をそれぞれ求めよ．

4-12. 4-11 の問題で求めた はそれぞれ交代行列であることを

示せ．

4-13. 4-11 の問題で求めた， を用いて，

とおくとき， も交代行列であることを要素レベルで証明せよ．

4-14. 線形写像 の および を求め，その次元を求めよ．

4-15. ベクトル空間 について， がともに の関数である場合，すなわち，

と表すとき，以下の式を証明せよ．

（1） （2）

4-16. ベクトル空間 について， 基底ベクトルを とするとき，

が の関数，すなわち， である場合，

を計算せよ．

3V2L

W Wdim2V

W2V

nV

Tibaiba w2V ba , Eba ba ,3V

3rank ~ E

3V

3V 3, V ba u

3V3Va u Tuuuuu 32 ,1,a

n

i Vni ,,2,1 e

1W2WV

Tyx ,u

bayxbyaxVW ,,,;0|2u

0|,, 3 zyxVzyxWT

w

2211 dim,dim rWrW

21 WWW 21 dim,dim WW

0,1,1,1,0,1,1,1,0 321 eee

TTT1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 eee

133221

~eeeeeeE

2,1,)1(0 jijiij eeE

TTT100,010,001 321 eee

133221 ,, eeeeee

133221 ,, eeeeee

133221123 eeeeeeE 133221 ,, eeeeee

123E

Tzyx

T

zyx ubububuauaua ,,,,, ba

du

d

du

d

du

d bab

aba

du

d

du

d

du

d bab

aba

dua

zyx eee ,,

xy

yx

y

xf

2:

fIm fKer

第 4 章演習問題

0 演習問題 第 4 章 | 53

5. 線形代数 IV

線形代数 IV

分かっているつもりでも分からないのが最も基本的なことです．

行列は，第 1 章でみてきたように，ベクトルや行列に関して加法（減法も含める），定

数倍，乗法（除法も含める）の演算法の定義を行いました．そして，ベクトルや行列には，

「数」のような性質をもち，また，ある場合には「数」のようでない性質を持っているこ

とがお分かりになったと思います．

ここでは，このような性質をある集合の性質として考え，微分や階数，逆行列などの諸

性質を一般的な考えでまとめることは，演算の複雑さを整理することにほかなりません．

以下で述べる内容には，読者が聞いたことがない言葉もあるでしょうけれど，単なる，決

め事あるいは定義であって，恐れるに足らずと思って，読み流していただければ良いと思

います．逆に，初めて知る方にとっては面白いかもしれませんよ．

では，Gute Reise !

54 | 第 5 章 線形代数 IV

5.1.行列 III

行列の基本演算

1） 型行列 ， 型行列 ， 型行列 があって，

結合法則

2） 型行列 ， 型行列 ， 型行列 があって，

分配法則

3） 型行列 ， 型行列 ， 型行列 があって，

転置法則

4） 型行列 ， 型行列 ，スカラー定数 があって，

定数法則

5） 次の正則行列 があって，その積の逆行列は，

逆行列法則

練習問題 5.1.1-1 定理 22 の 1）～3）を 3 次の要素レベルで証明をせよ．

練習問題 5.1.1-2 次の行列を用いて， および を計算して，比較せよ．

練習問題 5.1.1-3 型行列 ， 型行列 ，スカラー定数 があって，

を要素レベルで証明せよ

練習問題 5.1.1-4 定理 22 の 5）を 3 次の要素レベルで証明をせよ．

行列 を変数で偏微分

の行列 があるとき，変数 で偏微分するとは，

とすることである．

練習問題 5.1.2-1 次の式を証明せよ．

nm A n B k C

CBACAB )(

nm A nm B n C

BCACCBA

nm A nm B n CTTTTTT

BCACBAC )(

nm A n B

ABBABA

n BA ,

111 ABAB

AP TTAP

nm A n B

ABBABA

A

nm A

232221

131211

2221

1211,

ppp

ppp

aa

aaPA

x

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

xaa

aa

a

nnn

n

ij

nnn

n

ij

1

111

1

111A

A

10

ijij xx

EE

5.1 行列 III | 55

練習問題 5.1.2-2 次の式を証明せよ．

スカラー を行列 で偏微分

の行列 があるとき，スカラー を行列 で偏微分するとは，

とすることである．この場合，スカラー はスカラー関数でも同様である．

次の行列 があって，その余因子行列 について， である．

練習問題 5.1.4-1 次の行列式 を と で表せ．ただし， 行の 以外はすべて 0 と

する．または， 列の 以外はすべて 0 とする．

練習問題 5.1.4-2 次の行列 について，余因子に関する が成り立つことを

示せ．

練習問題 5.1.4-3 以下の 2 次の正則行列 について， となる の要素を求め，

であることを要素を用いて示せ．

A

nm A A

A

A EAB B

ABA ~

n BA ,

mnm

n

mnm

n

aa

aa

aa

aa

1

111

1

111

AA

BA~

,~

TTAA~

~

n ija ija~ i ija

jija

A

n

ABAB~~

~

EE

x

xi

2221

1211

aa

aaA

56 | 第 5 章 線形代数 IV

5.2.階数

階数（ランク rank）

（1rank）行列 を三角行列（階段行列）に変形したときの零ベクトルでない

行（または列）ベクトルの数

（2 rank）行列 の行（または列）ベクトルの 1 次独立なベクトルの最大個数

（3 rank）行列 の行（または列）ベクトルの張る線形空間の次元（dim）

（4 rank）値が 0 でない行列 の一部の要素で作成した行列式（小行列式）の最大次数

（5 rank）行列 の特異値の数

ランクの定理

（1 rankC）行列 の階数 と行列 の転置行列 の階数は同じ，すなわち，

（2 rankC）行列 に行または列を加えた行列 について

（3 rankC）行列 と行列 の階数と，それらの積の階数について

（4 rankC）行列 が nm 型，行列 が 次および が 次の正則行列のときは，

（5 rankC） 次の正方行列 について，以下の関係は同値である．

1．正方行列 は正則行列であること．

2． であること．

3．正方行列 を変形して階段行列にすると単位行列 になること．

4．連立方程式 は，ただ一組の解をもつこと（ ， 未知数， は定数）．

5．正方行列 を構成する全行ベクトルまたは全列ベクトルは 1 次独立であること．

ランク限界

次の正方行列 について， 次の小行列式が全て 0 であるとき， 次以上 次以

下の小行列式は全て 0 である．

行・列の入れ替えによるランク

行列 の列（または，行）の順序を入れ替えても，ランクは変わらない．

転置によるランク

次の行列 のランクは，行列 を転置しても変わらない．すなわち，

A

A

A

A

A

A r A TA

A B

A B

A B m C n

n A

A

nArank

A

bAx1 x b

A

n A 1r 1r n

A

n A A

nrT AA rankrank

BAAB rank,rankmin≦rank

ACBAA rankrankrank

BA rank≦rank

TAA rankrank

nE

bAx

5.3 逆行列とクラーメルの式 | 57

行・列の非零定数によるランク

行列 の行（または列）の各要素に 0 でない定数を乗じても，行列 のランクは変わら

ない．

行・列の付加によるランク

行列 について，1 つの列（または，行）の各要素に 0 でない定数を掛けて，他の列（ま

たは，行）に加えても行列 のランクは変わらない．

型行列 があって， である場合，その 1 次独

立な 個の行（または列）ベクトルによって，他の行（または列）ベクトルを 1 次結

合として表すことができる．

型行列 があって， である場合，行列 から

作る 個の列ベクトルの中には， 個の 1 次独立なベクトルが存在する．また，行ベ

クトルも同理である．

型行列 があって， である場合，行列 を

作る列（または，行）の中の 個 の 1 次独立な列（または，行）ベクトルを

用いて， （または， ）型の行列 を作れば， である．

型行列 があって， である場合， は行列

の行（または，列）が作る 1 次独立な行（または，列）ベクトルの数の最大値である．

行列 を作る列（または，行）ベクトルの中に 個の 1 次独立なベクトルがあっ

て，他の列（または，行）は，これらの 1 次結合で表されるとき， である．

行列のランクは正則な行列をかけても変わらない

5.3.逆行列とクラーメルの式

練習問題 5.3.2-1 逆行列に関する練習問題を自分で作って解答を書きなさい．

練習問題 5.3.2-2 次の 2 元 1 次方程式

を逆行列とクラーメルの式を用いてそれぞれ解答を書き，両者を比較せよ．

A A

A

A

nm A ),min(rank nmr A

r

nm A A

n r

nm A A

s

B sBrank

nm A r A

A r

rArank

),min(rank nmr A

),min(rank nmr A

),min(rank nmr A

rs

sm ns

42 yx

243 yx

58 | 第 5 章 線形代数 IV

演習問題 第 5 章

5-1. 型行列 および 型行列 について， それらの積 を行列 とするとき，

行列 の型と成分 の表式を示せ．

5-2. 次の正方行列 について， 次の正方行列 との積 を

求めよ．また， を求めよ．ただし， はクロネッカーのデルタである．

5-3. 以下の行列 ：

について， を要素レベルで証明せよ．

5-4. 以下の行列 ：

について， を要素レベルで証明せよ．

5-5. 以下の行列 ：

について， を要素レベルで証明せよ．

5-6. スカラー を次の行列で偏微分せよ．

5-7. 行列 Q,P を，それぞれ， 次および 次の正則行列とし，R を の行列と

するとき，

の逆行列 を求めよ．

5-8. 型行列 について， を計算し，その結果を， 次の歪単位行

列 で表せ．

5-9. 掃き出し法を利用して，次の行列 のランク（階数）を求めよ．

5-10. 次の方程式をクラーメルの式を用いて解け．

nm A n B AB C

C

n n

CBA ,,

BCACAB

CBA ,,

BCABCBA

BA ,

TTTABAB

m n nm

1A

22 2

A

ij

nnn

n

aa

aa

1

111

A ij

AΔ

ΔA

ijc

2221

1211

24232221

14131211

24232221

14131211,,

cc

cc

aaaa

aaaa

aaaa

aaaaT

CBA

2221

1211

2221

1211

2221

1211,,

cc

cc

bb

bb

aa

aaCBA

2221

1211

2221

1211,

bb

bb

aa

aaBA

22211211 aaaa

2221

1211

aa

aaA

QO

RPA

2221

1211

aa

aaA

A

A~

kij

0E

211

031

121

A

1

1

42

)2(

1

3

02

)1(

321

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

第 5 章演習問題

0 演習問題 第 5 章 | 59

6. 線形代数 V

線形代数 V

分かっているつもりでも分からないのが最も基本的なことです．

行列式は，第 1 章で見てきたように，行列式に関して加法（減法も含める），定数倍，

乗法の演算法の定義を行いました．そして，行列式には，「数」のような性質をもち，ま

た，ある場合には「変数」や「関数」となる性質も持っていることがお分かりになったと

思います．

ここで，その諸性質を，より高度で一般的な考えでまとめることは，演算の複雑さを整

理することにほかなりません．以下で述べるのは，これまで述べてきたことの拡張ですか

ら，読者にとって，聞いたことがない言葉もあるでしょうけれど，単なる，決め事あるい

は定義であって，恐れるに足らずと思って，読み流していただければ良いと思います．逆

に，初めて知る方にとっては面白いかもしれませんよ．章ごと同じような言葉ばかりです

が，強調しているのだ，と思ってください．

では， ¡Que tengas un buen viaje!

60 | 第 6 章 線形代数 V

6.1.行列式 II

練習問題 6.1.1-1 次の行列式を解け．

練習問題 6.1.1-2 次の方程式をクラーメルの公式を用いて解け．

複数行列行列式の操作

次の正方行列 ， 次の正方行列行列 ， 型の行列 について，

複数行列の行列式の演算

ただし，行列 の型は上記演算が成り立つ場合に限る．

次の行列 があって，その余因子行列 について， である

練習問題 6.1.3-1 次の 3 次の行列

について，要素 および に関して，余因子をそれぞれ答えよ

練習問題 6.1.3-2 次の 3 次の正方行列

について， が成立することを要素を用いて示せ．

m A n B nm C

WZYXDCBA ,,,,,,,

n BA , BA~

,~

ABAB~~

~

EAAA ~

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

13a 32a

DWCYDZCX

BWAYBZAX

WZ

YX

DC

BA

222

111

cba

cbaD

BO

CA

CA

BO mn1

6.1 行列式 II | 61

練習問題 6.1.3-3 次の (1) 2 次，および，(2) 3 次の，それぞれの正方行列

(1) (2)

について，1~

n

AA （nは次数）であることを要素を用いて示せ．

練習問題 6.1.3-4 次の 3 次の正方行列

について， であることを要素を用いて示せ． ABAB~~

~

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

333231

232221

131211

,

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

2221

1211

aa

aaA

62 | 第 6 章 線形代数 V

演習問題 第 6 章

6-1. 次の 次の対角行列

について，逆行列 を求め， を要素表現で示せ．

6-2. 次のn次の対角行列

について， であることを余因子展開の概念を用いた数学的帰納法で

証明せよ．

6-3. 型行列 ， 型行列 ， 型行列 ， 次の正方行列 があって，

のように行の移動を行う場合，行を入れ替える総数を答えよ．

6-4. 定理 38 で，行列 の演算を の正方行列で確かめよ．

6-5. 次の行列 があって， は零行列， は単位行列と

する．ここで，

となる 次の行列 を で表せ．

6-6. 6.5 の結果を用いて， 次の正方行列 について，

が成り立つとき，

であれば， の積に関して可換であることを示せ．

nm A m B n P Q

WZYXDCBA ,,,,,,, 22

n EORQPDCBA ,,,,,,,, O E

n RQP ,, EODCBA ,,,,,

n DCBA ,,,

CA ,

nna

a

a

00

0

0

00

22

11

A

n

i

iia1

A

n

nna

a

a

00

0

0

00

22

11

A

1A EAA 1

(a)

(b)

BA

QP

QP

BA

RO

QP

EC

OA

DC

BA

BABD

OA

BO

CA

CBADDC

BA

第 6 章演習問題

0 演習問題 第 6 章 | 63

7. 線形代数 VI 補足

線形代数 VI 補足

分かっているつもりでも分からないのが最も基本的なことです．

ベクトルについて，これまで，各章で見て来たように，加法（減法も含める），定数倍，

乗法の演算法の定義を行い，定理を示し，ベクトルが「数」のような性質を持つことを紹

介しました．そして，行列式についても，演算を定義することで，ベクトルと同様に，「数」

のような性質を持つことを示しました．また，ベクトルや行列が，それ自身，ある場合に

は，「変数」や「関数」となる性質も持っていることもお分かりになったと思います．

ここでは，補足として，その諸性質の具体的な応用を紹介することで，さらに，線形代

数の理解を深めて頂きたいと思います．それは，定義や定理，そして，演算方法を整理す

ることにほかなりません．以下で述べる中には，読者にとって，聞いたことがない新たな

言葉も出てくるでしょうけれど，単なる，決め事あるいは定義であって，恐れるに足らず

と思って，読み続けて頂ければ良いと思います．逆に，初めて知る方にとっては面白いか

もしれませんよ．

では，Приятного путешествия!

64 | 第 7 章 線形代数 VI 補足

7.1.ベクトル IV 微分

ベクトルを偏微分

次元ベクトル を偏微分するとは， とするとき，

と表す．すなわち，微分の結果は，ベクトルになる．また，ベクトル の要素は，関数ま

たは定数で，要素が の関数でなければ，その要素の偏微分は 0 である．

ここで， は，ベクトル空間 の基底ベクトルである．

練習問題 7.1.1-1 3, V ba について， xyzzyx ,,,,, ba のとき，

をそれぞれ計算せよ．

練習問題 7.1.1-2 3, V ba について， xyzzyx ,,,,, ba のとき

をそれぞれ計算せよ．

ベクトルで偏微分

次元ベクトル で偏微分するとは， とするとき，

として，スカラー ，関数 ，ベクトル ，行列 などに対して左から作用させ

ることを「ベクトルで偏微分する」と言う微分条件としては，定式化が可能なことである．

ここで， は，互いに直交し，各々の長さが 1 である単位ベクトルである．

練習問題 7.1.2-1 について， であるとする．

このとき， とするとき， を計算せよ．

練習問題 7.1.2-2 について， であるとする．

このとき， とするとき， を計算せよ．

n 3Va

a

x

nVV nn dim

n a

),,( zyxf v A

3, V ba xyzzyx ,,,,, ba

zyx ,,x xba

3, V ba xyzzyx ,,,,, ba

n

i i

i

n

naaaa 12

2

1

1 eeeea

naaa ,,, 21 a

neee ,,, 21

zyx

bababa,,

zyx

bababa,,

neee ,,, 21

naaa ,,, 21 a

x

a

x

a

x

a

x

nn

eee

a2

21

1

xba 2 zyx ,,x

7.2 直線内挿 | 65

7.2.直線内挿

回帰係数

回帰係数 は， のそれぞれの平均を として，

とする．ただし， は それぞれの標準偏差で，

練習問題 7.2.1-1 以下に示すベクトル x，行列Α ，ベクトル y ；

について，以下の式を証明せよ．

練習問題 7.2.1-2 次の について，

x 1.0 1.1 1.4 1.6 1.9 2.1 2.2 2.5 2.8 3.0

y 4.0 4.2 4.1 5.0 4.8 5.8 5.5 5.6 6.2 6.0

以下の問いに答えよ．

1）平均値 をそれぞれ求めよ．

2）分散 をそれぞれ求めよ．

3）相関係数 を求めよ．

4）回帰直線の式の傾きを求めよ．

5）回帰直線とデータに関するグラフを書け．

1 次内挿（線形内挿，線形補間）

異なる 2 点 を通る直線 上の任意の点 は， を与

えることで，

で求めることができる．この方法を 1 次内挿と呼ぶ．

r

r

222111 ,,, yxPyxP yxP ,21PP

11

12

12 yxxxx

yyy

x

yx ,

yx ,

yx ,

yx

n

i

ii yyxxn

r

1

1

yx ,

22 1

,1

yyn

xxn

iyix

yx,

yx, yx ,

TTyy

aa

aaxx 21

2212

1211

21 ,,

yAx

yAx

yAx TTT

66 | 第 7 章 線形代数 VI 補足

双 1 次内挿

双 1 次内挿とは，1 次内挿を 2 度用いる内挿法である．長さ

が 1 の格子があって各隅の値が， であ

るとき， における値 を求める

式は，次式で与えられる：

7.3.平面内挿

回帰係数行列式

回帰係数を要素に持つ

とする対称行列 の行列式を回帰係数行列式（regression coefficient determinant）と呼ぶ．

練習問題 7.3-1 3 次元空間に 個の点 があって，

とするとき，

であることを示せ．ただし， は の， は の， は の，各々の平均値である．

練習問題 7.3-2 上記，練習問題 7.3-1 の を要素とするベクトル：

について， であることを示せ．

7.4.曲線内挿

練習問題 7.4-1 図の 位置の値を双

三次内挿の方法を用いて求めよ．ただ

し， ，

R

n

6.0,4.0 st

vuP

,

1,1,1,1, ,,, jijijiji PPPP

10,10, vuvu

u

u

PP

PPvvP

jiji

jiji

vu

11

1,11,

,1,

,

1

1

1

xyyz

xyzx

zyzx

yyyxyz

xyxxxz

zyzxzz

rr

rr

rr

rrr

rrr

rrr

R

1,uP

0,uPjiP , jiP ,1

1,1 jiP1, jiP

u

v

10

1

vuP

,

niZZzYYyXXx iiiiii ,,2,1,, 　　　　　

niZYXA iiii ,,2,1 ，，　

nizyx iiii ,,2,1,, a

0a

n

i i1

stz ,

t0

1 s0

1

1,1 z1,0 z

1,1 z

1,2 z

0,1z

0,0z

0,1z

0,2z

1,1z

1,0z

1,1z

1,2z

2,1z

2,0z

2,1z

2,2z1,tz0,tz

1,tz

2,tz

求める内挿データ stz ,

i

j

ijz

3,2,5,4 1,21,11,01,1 zzzz

4,5,6,8 0,20,10,00,1 zzzz

8,7,3,6 1,21,11,01,1 zzzz

4,3,6,7 2,22,12,02,1 zzzz

0111

n

i

i

n

i

i

n

i

i zyx

XiX Y

iY ZiZ

iii zyx ,,

stz ,

7.5 ベクトル V 幾何問題 | 67

練習問題 7.4-2 曲線内挿の問題を新に作成し答えの確かめをせよ．

7.5.ベクトル V 幾何問題

練習問題 7.5-1 未知数 を持つ以下の行列式はどのような空間的な面を表す

かを記せ．ただし， である．

練習問題 7.5-2 未知数 を持つ以下の行列式はどのような空間的な面を表す

かを記せ．ただし， である．

7.6.固有値 II

練習問題 7.6-1 行列 が正則行列 により対角化できて，行列 になったとするとき，

行列 と行列 の固有値が等しいことを示せ．

7.7.内積空間 II

練習問題 7.7-1 実数をベクトル空間と考えたとき， について， は内積

空間を作ることができることを示せ．

A X Λ

A Λ

0

1

1

1

1

333

222

111

zyx

zyx

zyx

ppp

ppp

ppp

zyx

0

100

100

100

1

c

b

a

zyx

yx ,

zyx ,,

zyx ,,

cba ,,

zyxjipij ,,;3,2,1

z

68 | 第 7 章 線形代数 VI 補足

演習問題 第 7 章

7-1. と書くとき， をラプラシアンと呼びます．ラプラシアンを計算せよ．

7-2. 3 次元ベクトルx：

をベクトル xで偏微分せよ．

7-3. 次元ベクトル x：

をベクトル xで偏微分せよ．

7-4. スカラー に対して，

(1) 2

(2) 222 2

なる式をそれぞれ証明せよ．

7-5. なるベクトルについて，

を証明せよ．

7-6. 式 7.1.3-11 において，媒質の中には電流の湧き出しはなく，すなわち， を仮定

し，さらに，媒質内には電荷もない場合は と仮定できる．このような環境の下

で，式 7.1.3-5 から式 7.1.3-8 および式 7.1.3-9 などから式 7.1.3-12 を導出せよ．

7-7. 式 1.4.1-6，すなわち，

の， から任意に選んだ 2 つを交換した場合の の符号を議論せよ．

7-8. 行列 の固有値を とするとき，行列 の固有値は，

元の固有値の 乗となる，すなわち， であることを示せ．

7-9. 任意の 次の正方行列 について，その固有値を とするとき，

(1)

(2)

を証明せよ．

7-10. 前問，すなわち，問題 7-9 の 1）および 2）について，例題 3.2.5-2 の行列

を用いて確かめよ．

7-11. 次の正則行列 の積の逆数に関して， の余因子行列 を用いて

が成り立つこと示し，次式を証明せよ．

ただし， は全て 次の正則行列とする．

7-12. 3, Vyx について， とするとき，式 7.1.2-6 を参

考に，次式を計算せよ．

n

,

3Va

aaa2

0

A

A kk 1A

k

n A

A

n BA , BA , BA~

,~

111 ABAB

1111111 ABCXYZXYZABC

ZYXCBA ,,,,,, n

0J 0

第 7 章演習問題

51

64A

nii ,,2,1

nik

i ,,2,1

nnppp

n

aaappp

n

21 21

21

21

A

nppp ,,, 21

n ,,, 21

n 21An 21tr A

332211 eeex xxx

nnxxx eeex 2211

321321 ,,,,, yyyxxx yx

x

yx

0 演習問題 第 7 章 | 69

練習問題 解答

練習問題 解答

70 | 第 0 章 練習問題 解答

第 1 章

練習問題 1.1.1-1 (1) ベクトル, (2)スカラー, (3)行列, (4)スカラー, (5)スカラー|

練習問題 1.1.2-1 略

練習問題 1.1.2-2

練習問題 1.1.2-3 ベクトル が 1 次独立な場合は，定義によれば と書くとき のときに限

る．したがって，ベクトル が 1 次独立な場合は である．逆に， であるとき，

を成立させるためには でなければならない．結論として，ベクトル が 1 次独立であると

は， であることで，ベクトル が 1 次従属であるとは， であることである．

練習問題 1.1.3-1

練習問題 1.1.3-2 略（Hint: がとき 以外成り立たない必要十分条件

を示す）

練習問題 1.1.3-3 略（Hint: 定義にしたがって考える）

練習問題 1.1.4-1 ベクトル とベクトル は平行

練習問題 1.1.4-2 ベクトル について，そのノルムが 以上，1 以下である．2 次元ベクトル を

と書くならば， は だから，その幾何的

意味は，原点を中心とする等辺のひし形（ダイヤ型）の表面または内部を示してい

る．ちなみに，3 次元ベクトルに対するノルムは であり 幾何

的な意味は， であるから，正三角形 8 枚で構

成する，原点を中心とする正八面体の表面または内部，ということになる．

（練習問題 1.2.3-4 参照）

練習問題 1.1.4-3 素数全体の集合 の， を代表として，いかなる要素についても

練習問題 1.1.4-4 3（「-3」とか「±3」ではないことに注意）

練習問題 1.1.4-5 三角形 と三角形 とは相似である

練習問題 1.1.4-6 集合 は集合 の部分集合である．あるいは， について である．

練習問題 1.1.4-7 集合 は集合 の部分集合でない．あるいは， について である．

練習問題 1.1.5-1

練習問題 1.1.5-2

練習問題 1.1.5-3 略（Hint: を としてやってみる）

練習問題 1.1.5-4 略

練習問題 1.1.5-5

練習問題 1.1.5-6 １ //，２⊥，３≪，４ ，５≫

練習問題 1.2.1-1 （ や は間違いです．何故でしょう？）

練習問題 1.2.1-2 略（Hint: の位置ベクトルを とすると）

練習問題 1.2.3-1

a 0a 0

a 0a 0a 0a

0 a

0a a 0a

0cba nmk

a b

1

P

ABC PQR

a a

a a

1,2 nnn

ija 3,2,1,3,2,1 ji

yx

0a

T754c

iiiii AAa aa 11

ia

8.1,1.5,4.2)4(2,5.1,1)3(3,1,1)2(1,3,1)1( cccc

n

iinn

n

ii aaaaaaaa

1

222

2

2

12

21

2

1

}{

TTTTccc 0002312312 321

743,561,422 321 ccc

iA

yx yx

2

3

2

2

2

12xxx x

0 nmk

a

2161 nnn

x

練習問題解答

x

1x yx,x 11,11 yx

11,11,11 zyx

0 第 1 章 | 71

練習問題 1.2.3-2

練習問題 1.2.3-3 3 （0 でない要素が 3）

練習問題 1.2.3-4 の場合は， です．

この場合は， です．

の場合は， です

この場合は， です．

の場合は， です．

この場合は， です．

したがって, 図に書くと，

練習問題 1.2.4-1 (1) 略 (2) 略 （Hint: ）

練習問題 1.2.4-2 3 次元の単位ベクトルを とすれば，

および

練習問題 1.2.4-3 ① , ②

練習問題 1.2.5-1 ベクトルの向きに注意

練習問題 1.2.5-2

練習問題 1.2.6-1 略（Hint: 幾何的な定義式を用いる．ベクトル を 平面にあるとし，

ベクトル の外積の大きさは平行六面体の底面積，ベクトル の 軸へ

の射影は平行六面体の高さ）

練習問題 1.2.6-2 2 （Hint: 座標系で， および のなす角は 90°．

の 軸方向の射影は 1，あるいは， なる三重積）

練習問題 1.2.6-3

練習問題 1.2.6-4

練習問題 1.2.6-5

練習問題 1.2.7-1 0 （したがって， ）

練習問題 1.2.7-2 3

練習問題 1.2.7-3

練習問題 1.2.7-4

練習問題 1.2.8-1 ，

練習問題 1.2.8-2 略（Hint: 定義通り， はなにを示すか？ 平行六面体とは？）

練習問題 1.2.9-1 略(1), (2) （Hint: 定義通り）

練習問題 1.2.9-2 略(1), (2) （Hint: 定義通り）

c z

xyz 0,0,1a 0,2,0b

1,2,3c z

3,5,1,1,1,3,3,14 bababa

6262 ba

zyx eeeba 83

ba

1ba T133 ba

cba

ACAB

ba ,p

1,2p

ba ,

ba ,

321 62 eeea

)AB(AC21

i j

n

i

n

j

ijija1 1

ea

Tx

T

y

T

x 100,010,001 eee

Tx

T

y

T

x 100,010,001 eee

Tba 412 b

92.5)4(69.2)3(32.3)2(32.3)1( pppp

1p

2p

12 L1L

11 L

11 L

1L 1,max 21

ppp

1;1 221121 pppppp

12

2

2

1 pp

)11(1,1 21212 ppppp

1211 pppip

12 L 12

2

2

12 ppp

xy

ba

練習問題解答

72 | 第 0 章 練習問題 解答

練習問題 1.2.9-3 略（Hint: 公式，向きに注意； を示す）

練習問題 1.2.9-4 略（Hint: 公式，向きに注意； を示す）

練習問題 1.2.9-5 略（Hint: 公式，向きに注意）

練習問題 1.2.10-1 略（Hint: なので， ）

練習問題 1.2.10-2

練習問題 1.2.12-1 （Hint: 内分：式 1.2.11-2；外分：式 1.2.11-3）

，

練習問題 1.2.12-2 （Hint: 重心は各頂点から対辺の中心と結んだ線の交点）

練習問題 1.2.12-3

練習問題 1.2.12-4 略（Hint: を示す．例えば，点 に対する位置ベクトルを とおく．

このとき，

幾何を用いる簡単な証明は，中点連結定理を使うこと）

練習問題 1.2.12-5 略（Hint: ベクトル の作る図形は？）

練習問題 1.3.2-1

練習問題 1.3.2-2

練習問題 1.3.2-3 略（Hint: ）

練習問題 1.3.2-4

練習問題 1.3.2-5 略 (Hint: をそれぞれ とすれば，

練習問題 1.3.3-1 略 (Hint: 要素で確認)

練習問題 1.3.3-2 略 (Hint: 要素で確認； など 数学的帰納法)

練習問題 1.3.3-3 略 (Hint: 要素で確認 )

練習問題 1.3.3-4 略 (Hint: 要素で確認)

練習問題 1.3.3-5 (Hint: 要素で確認)

練習問題 1.3.4-1 略 (Hint: ， )

練習問題 1.3.4-2

可換である．

baab

baab

5a 8.05/4,05/0,6.05/3 nm

A a

ba ,

012

CBA ,, nmmk ,,

12 , kkRRRRRR

222121

221111

12akaa

akaakAE

2221

22122111

12aa

kaakaak AE

32

01

3112

2011

31

21

12

01BA

32

01

1321

0211

12

01

31

21AB

ABBA

T912c T8.114.0c

3cbag

4,2,4,, zyx aaaa

z

z

y

y

x

x

a

pz

a

py

a

px

1618

1210BAAB

SRPQ

5152

5351X

03

23,

89

61BABA

013

13

i

iiB

EAX

10

01

51565252

53535651

5152

5351

12

31

accbqbap

21etc.21,21 SRPQ

16,4 TTABAB

acbcbabaccbabacacbbacacbcba ,,

練習問題解答

0 第 1 章 | 73

練習問題 1.3.4-3

で可換ではない．

練習問題 1.3.5-1

練習問題 1.3.5-2

練習問題 1.3.5-3 略 (Hint: 要素で確認)

練習問題 1.3.6-1 略 (Hint: 定義で確認)

練習問題 1.3.6-2 適当なベクトル （ ）選んで， とすれば， はベクトルであり，

ベクトルのノルムが計算できる．ここで， を最大にするようなベクトル を とすれば，

行列ノルムの定義から， であり，果たして，

となる．

練習問題 1.4.1-1（1）2 （2）0

練習問題 1.4.1-2（1）-1（2）0

練習問題 1.4.1-3（1）偶順列：123，312，321；奇順列：132，213，231

（2）5（ ）

練習問題 1.4.2-1（1）

（2）

練習問題 1.4.2-2 2

練習問題 1.4.2-3 略（式 1.4.1-3 と（1）及び（2）はともに，

と同じ）

練習問題 1.4.3-1 略 (Hint: 行列式の値を とすると，行ベクトル，列ベクトルを 1 回，2 回，3 回

と入れ替えた場合は，行でも列でも同様に， となる．いずれにしても，負号，正

号，負号と変化する．）

練習問題 1.4.3-2 略 (Hint:

の余因子展開は である．）

練習問題 1.4.3-3 24， !n (Hint: 4 次の行列式を実際に余因子展開するのが簡単 (笑))

練習問題 1.4.4-1 略 (Hint: 要素で確認)

p

ppp ,,

A

3612

0301

2412

0201

12

013

12

01

12

012

12

01

12

01

31

21AB

3162

2142

0031

0021

31

21

31

212

31

210

31

21

31

21

12

01BA

ABBA

2111

11~ 3

2

13

31

a

624141

211~ 13

31

a

123421342314234124312314

TTTAAAAAA trtr541tr41tr

42

31,

43

21

4631

3423

43

21

87

65,

5043

2219

87

65

43

21BAAB

694623tr5019tr BAAB

1ρρ

ρ

ρBAq q

q MAXρ

i

ijijaa ~A

MAXρBABAρBA

BABρAρρBA MAXMAXMAX BABA

A

練習問題解答

74 | 第 0 章 練習問題 解答

練習問題 1.4.4-2 略 (Hint: 要素で確認)

練習問題 1.4.5-1

練習問題 1.4.5-2

練習問題 1.4.6-1 次の行列式 で，例えば，（ ）の性質から，同じ要素である１つの行に を

掛け，同じ要素を持つ行に加える．このとき，1 行全て要素が 0 である と同値な行列式がで

きる．その全て 0 の行で行余因子列展開することを考えれば， であることは明らかであ

る．列に関する場合も同様である． したがって，題意が証明された．

練習問題 1.4.6-2 次の行列式 で，例えば， 行の要素すべてを 倍した行列式を とすると，

を 行余因子列展開すると， の 行余因子展開した式全体に をかけた式となる．すな

わち， に をかけた式になる．また， の 列を 倍して 列余因子行展開した場合に

ついても同様である． したがって，題意が証明された．

練習問題 1.4.6-3 略（Hint:：余因子展開）

練習問題 1.4.6-4 略（Hint:：余因子展開）

練習問題 1.4.6-5 略（Hint:：例題 1.4.4-3 を参考に）

練習問題 1.5.1-1 略（Hint: 平行六面体の体積は底面積×高さ）

練習問題 1.5.1-2 2

練習問題 1.5.1-3

練習問題 1.5.1-4 （Hint: は に垂直

平面の方程式は ）

練習問題 1.5.1-5 は正則行列だから ．

余因子行列を求めると

である．そこで， を示す．

n A D6 1

A

0A

n A i k A

A i A i k

A k A j k j

ca bc ba

0 dcxbyax

P 021122211 ppppP

EPP 1

3020 PPPP

10PP

P

PPP

1122122121222221

1112121121122211

1121

1222

2221

12111

pppppppp

pppppppp

pp

pp

pp

pp

1121

1222~

pp

ppP

21122211

1121

1222

1

pppp

pp

pp

P

0

030303

020202

010101

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

であるから，逆行列は

0

323

212

111

3

32333

21222

11111

329

216

113

A

221

312

2211

31

42

31

A

練習問題解答

0 第 2 章 | 75

故に，題意は示された．

練習問題 1.5.2-1 略（Hint:：例えば， などとして計算）

練習問題 1.5.2-2 すべて 0

練習問題 1.5.2-3

練習問題 1.6.2-1 とするとき，

練習問題 1.6.2-2 とするとき，

練習問題 1.6.2-3

練習問題 1.6.2-4 略（Hint:：0 割に対する場合分けに注意する）

練習問題 1.6.2-5 略（Hint:：定義通り， は共通であるから，分子を実際の方程式に入れてみる）

練習問題 1.6.3-1 （1） （2）

練習問題 1.6.3-2 （1）略（2）略（3）略（4）略（5）略

練習問題 1.6.3-3 略（Hint:： ）

練習問題 1.6.4-1 略

練習問題 1.6.4-2

練習問題 1.6.4-3（1） ，(2)

第 2 章

練習問題 2.1.2-1

または，

練習問題 2.1.2-2

練習問題 2.1.2-3

あるいは，

練習問題 2.1.2-4 であるから，

A1

eaeeaaaaaaaaa 11

aeeaeaaaaaaaa 11

cbecebacaabaacab 11

1111 abaebeaabaeab

1111 babaebebabeab

eaa 111 aaaaeaeaaa

1111111

EP

P

P

P

P

PP

10

0110

01

0

0

1

BABAABAAAABA111111

zzyyxx aaa eeea

0

1

1

1

1

333

222

111

000

zyx

zyx

zyx

zyx

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

AAA

3323

22221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1 ,,

bab

baa

baa

x

aba

aba

aba

x

aab

aab

aab

x

2221

1211

aa

aaA AA

221

111

2

222

121

1 ,ba

bax

ab

abx

1,0, zyx

1,1,1 321 xxx 1,1,1 321 xxx

1,1,2 321 xxx

練習問題解答

1121

1222~

pp

ppP

1121

1222

21122211

1 1

pp

pp

ppppP

76 | 第 0 章 練習問題 解答

練習問題 2.1.2-5 単位群 の位数は 1，群 の位数は 3

練習問題 2.1.3-1 略（Hint:： であり，しかも， である．したがって，

である． の両辺に左から をかけると， ）

練習問題 2.1.3-2 略（Hint:： を の逆元とすれば である [ 前問より ] ．群

で である．）

第 3 章

練習問題 3.1.1-1 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.1.1-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.1.1-3 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.1.1-4 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.1.2-1 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.1.2-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.1.3-1

練習問題 3.1.3-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.2.2-1（1） ， ，

（2） ， ，

練習問題 3.2.5-1 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.2.5-2 略（Hint:： とする）

練習問題 3.2.6-1 行列 が相似である場合，ある （ ）により， と書

る．

練習問題 3.2.6-2 行列 は 次の正方行列であり， は 型（ベクトル）だから，

は 型行列で， のベクトルは

であるので（下式），この縦ベクトルは行列 の第ｊ列の列ベクトルである．

練習問題 3.2.6-3 行列 の固有値は ，固有ベクトルは

練習問題 3.2.6-4 行列 の固有値は 3 ，固有ベクトルは

eE 3,2,1G

x

G

1

2

BA , P APPB1

A n 1n

1n

A

A 2,3

A

PPP eee GeP GeP 1

PPP eee 1

Pe Geee GPP 1

Pp GP eepxxp

Gepppp 11

nj

ij

j

nnnjnn

nj

nj

j

a

a

a

aaaa

aaaa

aaaa

1

21

222221

111211

0

1

0

Ae

Tnjjjj aaa 21Ae

jAe

TT11,11 pp

TT11,11 pp

TT11,11 pAp

TT22,22 pAp

je

niaijj ,,2,1 Ae

0 pP

BAAAPAPAPPB11 pp 1

TT32,11 21 pp

20

03

31

21, 1

21 APPppP

EAAAA nn

nn ccccf

1

1

10

j

22

22

22

22

43

21,

22

22

12

34

11

11BCACAB

練習問題解答

TT12,11 11 pp

0 第 3 章 | 77

練習問題 3.2.7-1 または，

練習問題 3.2.7-2

と比べると，対角要素が反対になっています．

練習問題 3.2.7-3

次に，

したがって， は の対角線の要素を入れ替えた対角行列になっている．

練習問題 3.3.3-1

AQQ1 APP

1

13

12,

31

21, 2121 qqQppP

6613

212

EA

27

614

21

31

5

1

11

32

42

217

5

1

TT

pp

pp32,11,, 2121

2221

1211

21

ppppppP

11

23

5

1

11

23

5

1,

11

23~,523 1

PPP

20

03

100

015

5

1

63

43

11

23

5

1

31

21

03

21

11

23

5

11APP

23

11

5

1,

23

11~,5

13

121

QQQ

30

02

150

010

5

1

36

34

23

11

5

1

13

12

03

21

23

11

5

11AQQ

20

031APP

2,302360613

212

EA

13

12,

31

21, 2121 qqQppP

23

11

5

1,

23

11~,5

13

121

QQQ

30

02

150

010

5

1

36

34

23

11

5

1

13

12

03

21

23

11

5

11AQQ

EAA 62

63

27

10

016

03

2162EAA

63

27

03

21

03

21

03

212

AA

練習問題解答

30

03

11

211

21 APPppP

78 | 第 0 章 練習問題 解答

練習問題 3.3.3-2

練習問題 3.4.1-1 略（Hint:：定義通り； ）

練習問題 3.4.1-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.4.1-3 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.4.1-4

と定義するとき，

および

と定義するとき，

のように，複素行列となる．

練習問題 3.4.1-5

練習問題 3.4.1-6 略（Hint:：

あとは，定義通り）

練習問題 3.4.1-7 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.4.2-1 故に，エルミート行列である．

練習問題 3.4.2-2 （1）エルミート行列である．

（2）エルミート行列ではない．

wzwzT

baλbaλbλabλa TT baλbaλλbaλba TT

Twzwz

AAAAA iiiii T

2561443

212

EA

EAA 252

EAAEAAAA 1027225525 23

11881

5437

10

0110

43

21273

A

TAA

AAAA

1

1

1

1

i

i

i

iT

11881

5437

43

21

2215

107

2215

107

43

21

43

21

43

2132

AAA

2212

2111

21

2

1

wzwz

wzwzww

z

zT

wzwz

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211,,

ww

ww

zz

zz

ww

ww

zz

zzBABA

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

wzwzwzwz

wzwzwzwz

ww

ww

zz

zzAB

BA

2221

1211

2221

1211

2222122121221121

2212121121121111

ww

ww

zz

zz

wzwzwzwz

wzwzwzwz

BAAB

2212

2111

2212

2111

2221

1211

2221

1211,,

ww

ww

zz

zz

ww

ww

zz

zzTT

BBAABA

練習問題解答

0 第 3 章 | 79

練習問題 3.4.3-1 故に，反エルミート行列である．

練習問題 3.4.3-2 （1）反エルミート行列ではない．

（2）反エルミート行列である．

練習問題 3.4.4-1

したがって，行列 はユニタリー行列である．

練習問題 3.4.4-2

①

②

③ 略 （ Hint:

）

AAAAA iiiii T

U

AAAA

0

2

0

2

i

ii

i

iiT

AAAA

1

1

1

1

i

i

i

iT

AAAA

0

2

0

2

i

ii

i

iiT

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

iiii

iiii

i

i

i

iUU

EUUE

10

01

20

02

2

1

HHHHHHH

1

1

1

1

1

1

i

i

i

i

i

iTT

0

20211

1

1

2

12

i

iEH

21

11

21

11

11 21

12

p

p

p

p

i

iHp

i

i

iiii

T

1

11111UUUU

ip

pipp

ppip

pipp 1

2

2

21

11

12111

212111

112111p

0

00

1

10

22

12

22

12

2p

p

p

p

i

iHp

ip

pipp

pip

ipp 1

0

0

22

12

22212

2212

2212p

00

0411

00

2211

1

1

1

1

ii

i

iii

i

i

iHUU

00

02

22

2

1

2

1

11

2

1HUUU

iiii

練習問題解答

80 | 第 0 章 練習問題 解答

練習問題 3.4.4-3

したがって，行列 はユニタリー行列である．次に， ですから，

練習問題 3.4.4-4 略（Hint:：ユニタリー行列Uの固有値 と固有ベクトル

について， を示す）

練習問題 3.4.4-5 であり,*

U はユニタリー行列．

練習問題 3.4.5-1 実行列 が対称行列とすると， である．また，行列 は実行列であるから，

である．また， である．ここで，

であるので，対称行列 は正規行列である．

練習問題 3.4.5-2 略（Hint:：固有値は？，定義通り）

練習問題 3.4.5-3 題意から，

，また，

と書けます．そこで，

したがって，行列 は正規行列である．

練習問題 3.4.6-1 略（Hint:：定義通り）

練習問題 3.4.6-2 略（Hint:：定義通り）

第 4 章

練習問題 4.1.3-1 であり， に対

して， ．したがって， は の部分空間である．

練習問題 4.1.5-1 ならば， と書ける．このとき，

である．また， に対し，

である．したがって， は の部分空間である．

練習問題 4.1.5-2 21 WWW と置く． W ba , であるベクトルを， と

書くとき， 21 ,,, WW sqrp としても一般性は失わない．このとき，

21 WW sqrpsrqpba （1）

U

EUUUUUUUU 111 TTTT

A A

A

A

30,,0,,0,, WvyuxvuyxTTT vu c

30,, WcycxcTu

3W 3V

AA T

AA 2AAAAAAA TT

AAAAAAAAAAAAAAAA TTTTTT

*******UΞUΞUΞEUΞUΞUUUΞUΞUUΞUAA

*******ΞUΞUUEΞΞUUUΞUΞUUΞUUΞUAA

n

0

01

* ΞAUU

*********UΞUUΞUUΞUAUΞUAΞAUU

2

2

1

0

0

n

ΞΞΞΞ

1

10

01

0

0

0

0

UUEUU

TT

i

i

i

i

iiT 11x

01

11

0

01

ii

ii

ii

iiP T

Uxx

nii ~1

nii ~1p jijiji

0pp

AAAA**

srbqpa ,

Wy 321321 ,,,0,,0, yyyyyyy

Wyxyxyx 332211 ,0,,0,yx

Wxxx 321 ,0,,0, x W 5V

練習問題解答

0 第 4 章 | 81

WWW 21

次に， KW ,a について， とするとき，

（2）

となる．したがって，和空間 WWW 21 はべクトル空間 の部分べクトル空間である．

練習問題 4.1.6-1 により， が成立する場合， でなければならないの

で， は 1 次独立である．一方， であるから，1 次従属である．

したがって， である．

練習問題 4.1.6-2 の行列 の要素が 個であるから，行列 が張るベクトル空間は

は 1 つずつ基が必要で， であり，その基の例は，

である．

コメント：この場合，次の を使えます．

行列 を用いると，行列

（ 型行列全般）は，

と表せる，このとき のときのみ，

であり， の行列全体を成すベクトル空間 は が基底と

なる．したがって， である．因みに，本書では， 次の正方行列に関し

ては，歪単位行列 をすでに紹介している（項 1.3.4（4）参照）

練習問題 4.1.6-3 2 つの要素を持つベクトルが空間を張る場合，1 次独立なベクトル（基底ベクトル）

が 2 つある．したがって，

練習問題 4.1.6-4 3 つの要素を持つベクトルが空間を張る場合，1 次独立なベクトル（基底ベクトル）

が 3 つある．したがって，

練習問題 4.1.7-1 ここで， とかけるから，

したがって， …①．また， と書け，さらに，

ですから， と書けるので， である．したがって， …②．

ここで，①および②により である．

練習問題 4.1.7-2 の基底ベクトルを，それぞれ， ， とすば，

であるから，これらすべてのベクトルは 1 次独立であるので，べクトル は，

と表される．ここで，仮定から， である．

V

nm A nm A nmR

nmR nm dim

A nm

nm V

nmV dim n

2dim 2 R

3dim 3 R

cbax 0

ba

m

n

i

j

000

0

1

0000

1

)(J ij

100

000

000

,,

000

001

000

,

000

000

100

,,

000

000

010

,

000

000

001

nm,, 0aa 21 m 0m

213 aaa 21 , aa

nmjiij ~1,~1,1 J

OJ ji

ijijk,

1

0ijk

ji

ijija,

1JA

nmjiij ~1,~1,1 J

2Wx

cbayy 2W

caxx 1W

cay

21 WW

21 WW

1Wy21 WW

1ijJ

（1）

10

ijE

21 , WW11

2

1

1 ,,, rwww 22

2

2

1 ,,, swww

0dim 21 WW

s

j

jj

r

i

ii

1

2

1

1

21 wwppp

Ksjrj ji ),,2,1(),,,2,1(

p

練習問題解答

21 , WW qpqpa

WWWWW 2121 , qpaqp

2dim W

82 | 第 0 章 練習問題 解答

このとき．仮に， なる係数で，ベクトル が

とあらわされたとする．ここで，式（1）から式（2）を差し引くと，

となるが， および であり，これらすべてのベクトル

が，1 次独立であるから， および であるから，

ベクトル は，ベクトル の和として一意的に表される．Q.E.D.

練習問題 4.2.2-1 略（Hint:：定義通り：

）

練習問題 4.2.2-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 4.2.2-3 略（Hint:：定義通り： の場合，

ですから， の場合，成り立たない．）

練習問題 4.2.2-4 略（Hint:：定義通り，直積を使うのが簡単）

練習問題 4.2.2-5

練習問題 4.2.3.-1 略（Hint:：定義通り）

練習問題 4.2.3-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 4.2.4-1 略（Hint:：定義通り）

練習問題 4.2.4-2

練習問題 4.6.1-1 略（Hint:：定義通り 式 4.6.1-6）

練習問題 4.6.1-2 略（Hint:：定義通り 式 4.6.1-6）

練習問題 4.6.1-3

あるいは，

cba

12121112

12111111

1211

12

11

12121112

12111111

1211

12

11;

abab

ababaa

b

b

baba

bababb

a

aabba

abba 2, V ba

0

0

0

000

001

010

3132

2122

1112

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

AP

000

001

000

000

000

010

010

0

0

1

2121

Teeee

2, V ba

（2）

Ksjrj ji ),,2,1(),,,2,1(

s

j

jj

r

i

ii

1

2

1

1

21 wwppp

p

0wwww

s

j

jj

r

i

ii

s

j

jj

r

i

ii

1

2

1

1

1

2

1

1

1

11

2

1

1 ,,, Wr www 2

22

2

2

1 ,,, Ws www

0ww

s

j

jjj

r

i

iii

1

2

1

1

riii ,,2,1 ),,2,1( sjjj

p 21 , pp

2212

2121

21

2

1

vuvu

vuvuvv

u

uuvvu

練習問題解答

dt

ctd

dt

tbd

dt

tad

dt

tdzyx eee

p

sincos

zyx ctata eee cossin

ctata

dt

td,cos,sin

p

0 第 5 章 | 83

練習問題 4.6.2-1 ここで， は となる任意の定数ベクトル．

練習問題 4.6.2-2 ここで， は となる任意の定数ベクトル．

練習問題 4.6.4-1 （ ）

練習問題 4.6.4-2 がともにベクトル空間 の部分空間であるから， である．

ここで， であるベクトル があるとき，

したがって，

第 5 章

練習問題 5.1.1-1 略 1), 2) 3)（Hint:：定義通り まずは，3×3 型でチェック）

練習問題 5.1.1-2 略（Hint:：定義通り は 型， は 型，ゆえに， 型）

練習問題 5.1.1-3 略（Hint:：定義通り 順に計算

例えば， ）

練習問題 5.1.1-3 略（Hint:：定義通り 計算力を試す問題．

実は，因子行列を用いると容易に計算できるがここは頑張って要素で！）

練習問題 5.1.2-1 略（Hint:：定義通り）

練習問題 5.1.2-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 5.1.3-1

練習問題 5.1.3-2 略（Hint:：定義通り，練習問題 5.1.3-1 参照）

練習問題 5.1.4-1 行の 以外はすべて 0 である場合は，

列の 以外はすべて 0 である場合も同じ，

練習問題 5.1.4-2 略（Hint:： を用いる）

ですから，

c 0c dxd

c 0c dxd

0, baba W

WW , V WW 0 WW a a

0WW

TP 23 T

A 22TT

AP 23

cep 1sin x

cp dxexexdxxdx 2

TTTTTTT

AAAEAAAAAAA ~~ ~ ~ ~

TTTTTTTTT

AAEAAAAAAAA~~~~

~~

EAAAAAAATTTTTTT

~~ ~ ~

EAAAAAAAAAAAAA ~~~~ 111

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

babababa

babababa

bb

bb

aa

aaAB

2222122121121111tr babababa AB

T

bb

bbbabababa

aa

aaBAB

A

2212

2111

2222122121121111

2221

1211tr

i ija ijij

jiaa ~1

A

jija ijij

jiaa ~1

A

TTT

AAA~ ~

n

k

kjikij bajmic1

~1,~1 AB

1p

練習問題解答

0aaaaa 002

84 | 第 0 章 練習問題 解答

練習問題 5.1.4-3 略（Hint: の要素を として， から， の要素を の

要素で表す．）

練習問題 5.3.2-1 略

練習問題 5.3.2-2

第 6 章

練習問題 6.1.1-1

別解答 与式は． として，いずれも 0 となるので（因数定理），

なる因数で因数分解可能であるから

と書ける．ここで， は主項は与式から であるから， であることが分る．

したがって，

練習問題 6.1.1-2

係数行列式を とし， とすれば，

1） の場合： は任意

2） の場合： 不定

B EAB B A

accbba ,,

accbba ,,)(

accbbakD )(

D 2bc 1k

accbbaD )(

zx ,

12yx

22211211 ,,, bbbb

111

11

11

p

p

D DDzDDyDDx 321 ,,

11110111

1

11

11

11

1

111

11

112

pppppppp

pp

p

D

13332211221

1

11

1

112

1

111

1

pppppppppp

ppD

12232221

1

11

11

12

1

121

11

112

2 ppppppppp

pp

p

D

1133312311

1

12

1

21211

1

1122

3

pppppppppp

ppp

p

D

1p 23,21 zxy

1p

0

0

111111

22222 bcbaca

cbca

cba

cbaD

accbbaba

cbca

cbbcaa

cbca

11

0

0

111

練習問題解答

0 第 7 章 | 85

3） の場合：

練習問題 6.1.3-1

練習問題 6.1.3-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 6.1.3-3 略（Hint:：定義通り）

練習問題 6.1.3-4 略（Hint:：定義通り）

第 7 章

練習問題 7.1.1-1

練習問題 7.1.1-2

練習問題 7.1.2-1

練習問題 7.1.2-2

yzxyxzyzxy zyx eee22

21132311

2321

131123

3231223221

3231

222131

13 1~,1~ aaaaaa

aaaaaaa

aa

aaa

z

yxz

y

yxz

x

yxzyxzzyx

2222 2222eee

xx

ba

yz

yx

zx

xz

xy

zy

xyz

zyx zyx

zyx

eee

eee

ba

yzxyxzyzxy

xyz

zyx zyx

zyx

eee

eee

ba22

x

zy

yz

xxzy 2,2,222

babababa

1p 1311131 ppppDDx

1211122 ppppppDDy

3111133 ppppDDz

zyx yxyx eeeba 2

zxzx zxzxzxy eeeeba

beeeeee 22222 zyxzyx xyzxyz

zyx yzyz eeeba 2

222222

yzxyxzyzxy bababa422422222 2242 xxzzzyzxyyx

zyxzyx

2222

bae

bae

bae

x

ba

zxxyzxxxzzyxyxxzzyxyx

232223222

2

444444ba

22222

2

424484 zxyzxzxyyzxyzyxy

ba

xzzyxzzxzzyxyzxzzyxyz

223222322

2

444444ba

練習問題解答

86 | 第 0 章 練習問題 解答

練習問題 7.2.1-1

練習問題 7.2.1-2

1）平均値 1.96， 5.12

2）分散 0.43， 0.60

3）相関係数 0.94

4）回帰直線の式の傾き 1.13

5）回帰直線とデータに関するグラフ

練習問題 7.3-1 略（Hint:：定義通り）

練習問題 7.3-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 7.4-1 4.766（Hint:：定義通り）

練習問題 7.4-2 略（Hint:：定義通り）

練習問題 7.5-1 略（Hint:：定義通り， は 3 軸上の実数）

練習問題 7.5-2 略（Hint:：定義通り， は点 の座標）

練習問題 7.6-1 とできるから， に注意すれば，

であるから題意は証明された．

練習問題 7.7-1 内積空間の定義に従い， について， ならば

したがって， は， と の内積である．したがって，題意が証明できた．

r

EXXXXE11

yx ,

xyyxxyyxxyxyyx ,

yzxzzyzxyzxzzyxzyx , zyzxzyx

00 2 xxxx yxxyyxyx

222112

221111

21

2

1

2212

2111

21yaya

yayaxx

y

y

aa

aaxx

TT

xxx

yAx

xyyx x y

iji

ΛAXX1

yx ,

練習問題解答

22211222211111

2

22211222211111

122211222211111

yayaxyayaxx

yayaxyayaxx

yayaxyayaxx

...2

1

2212

2111

222112

221111DEQ

y

y

aa

aa

yaya

yayaT

TTT

yAx

yAxyA

EAXEAXXEAX 11

EXXAXXEAXX111

EAEAXX 1

cba ,,

ijpiP

z

0 第 7 章 | 87

演習問題 解答

演習問題解答

88 | 第 0 章 演習問題 解答

第 1 章

1-1.

1-2. 略（Hint:：各ベクトルを位置ベクトル的な扱いにする．

例えば． とする）

1-3. 略（Hint:：（1） は が正負が有り得ることに注意（2）三角形を用いる方法もあり）

1-4. 略（Hint:：点 に対する位置ベクトルを ，三角形 の

重心の位置ベクトルを ，三角形 の重心の位置ベクトルを とするとき，例えば，線分

の中点 の位置ベクトル は であることなどを用いて，

および が，ともに，

となることを示せばよい．）

1-5.

（Hint:：例えば， の二等分線が線分 と交わる点 の位置ベクトルを とする

と， と表せる．このとき，ベクトル

は，次式の形式となる．）

1-6. 略

1-7. 略

1-8. 略（Hint:： などを用いる．）

1-9. 略（Hint:：三等分する方法を拡張する）

1-10. 略

1-11. 略

1-12. であり，単位行列 は，任意の行列と積に関して可換である．したがって，

． は，単位行列 であることに注意．

1-13. 略

1-14. 略 （Hint:： を用いる．）

1-15.

1-16. 数学的帰納法（Hint:： が成り立つならば，

はどうなるだろうか？）

1-17. 略（Hint:：余因子展開 を用いる．）

1-18. （Hint:： であるから， である）

cbapcba

OPOCOBOA ,,,

k k

RQPCBA ,,,,, CBA

PQR AB

M m 2ba

A BC P

apai t

E

AAΔAEEAΔA E

cbabcacba

n

jijij Aa

1

A

n

jjkijba

1

AB

n

i

n

jjiijba

1 1

tr AB

1

1

1

2

11

21

AAAAAA nn

1

121

nnAAAA

!n

ijΔ

11 bbbbbbbbb

aacacaacacaacbaa 1111

... DEQcbacaba

EΔ ij

baaccb

bacacbcbai

baac

acbaabacp

2

2

2

1

222,2cos aa abababa

g

gg

g

rqpcba ,,,,,

3cba

p

p

cabacabaacbaaacbaa 1

cbcbaacbcabaacbaabacaba

第 1 章 演習問題解答

0 第 1 章 | 89

1-19. （Hint:：例えば， ）

1-20. （Hint:：具体的に計算）

1-21. （1）0 （2）

1-22. 略

1-23. 略

1-24. （Hint:： とおいて， EPP 1を計算する）

1-25. とおくと，，

VU

YXP

1

1

111

1

BO

CBAAP

321

321

111

2

1

yyy

xxxS

3

第 1 章 演習問題解答

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

31231

22221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1

3

1,

1,

1

baa

baa

baa

Ax

aba

aba

aba

Ax

aab

aab

aab

Ax

90 | 第 0 章 演習問題 解答

第 2 章

2-1. 略（Hint:： とは， ならば， であること．）

2-2. 略（Hint:： や の要素に注意）

2-3. 略（Hint:： において， とすることで， を導く）

2-4. 略（Hint:： が成り立つとする．ここで， を示せば良い．）

2-5. (1)

(2)

(3)

2-6. 略（Hint:：定義 44 を用いて示せば良い．）

2-7. 略（Hint:： （1） など

（2） および（1）を使う

（3） および（2）を使う ）

2-8. 略（Hint:： ）

2-9. 略（Hint:：和や積が体の要素であること，交換法則が成立すること）

2-10. 略（Hint:： ）

2-11. 環 で，もし，零因子がなければ，与式は成り立つ．もし，零因子があれば，

となる場合があり，このとき， の場合， となるから

に反する．したがって，零因子がない．（⇒ 可換環ならば整域）

2-12. 補題：aの位数をとして， Zk に対して， eak であるとき,

とす

れば

であるから， ，すなわち，k はで割

り切れる．逆に，

の場合は， eaaappk となり，題意が証明された．

BA Ax Bx

BA BA

bxabax , xx

R

0b

ΦΦYΨXΨ

0

01

0

0,

0000

1

yq

pqpx

0;0,0 qaapa

00,0 abba

0000000 aaaaa

00 abbabaab

0))(())(( bababaa

ec cbabca baab

0a 0aab

111111111 )(,)()(, aaaaaaGeaaGaGa1111111 )()(, ababeaabbababGba

GepeaapapaaapGpGa )()(, 11

GepaaapaapaGpGa )()(, 11

第 2 章 演習問題解答

10 qqpk

0 qeaeaaaa qpqpqpk pk

pk

0 第 3 章 | 91

第 3 章

3-1. エルミート行列 の固有値 ，固有ベクトル ，

3-2.

3-3.

)2(

3-4. 行列 がエルミート行列ならば， であり， であるから，

は実数である．（ とおけば， ）

3-5.

であるから はエルミート行列

3-6. ここで， を とすれば である．

次に，この がエルミート行列であることを示す．

すなわち， はそれぞれエルミート行列である．

3-7. 1 （Hint:： ）

3-8. 略（Hint:：対称行列とは式 1.3.3-7 を参照）

3-9. 略（Hint:：直交行列とは式 1.3.3-9 を参照）

3-10. で，行列 に逆行列 が存在するということは，行列 が正則であ

ることを示している．したがって， である（仮定）．ここで，

であるから，

である．そこで，随伴を計算し，両辺に左から を乗ずれば，

となる．したがって， はエルミート行列である．

... DEQ

EUU UE 1UE UE

0UE

U

i2,

221

PPQ

PPQ21 , QQ

HUUUHUUHUHUUTTTTTT

HUUHUU HUU

THHH

H HHHH T

H )0,( babiaH )0,( babiaH

H 2,0

10

012

10

123

10

12

10

12

10

012

10

123

10

122

A

OA

00

00

20

02

30

36

10

34

n

i

ii

T

nn

T wzwwwzzz1

2121)1( baba

21 QQP i

21 , QQ

111111

2222QQQ

PPPPQQ

PPPPQ

TTT

TT

22222

2222QQ

PPPPQQ

PPPPQ

iiii

TTT

TT

21 , QQ

1EUU

EUUAUEUEUAUE ii

AAAUEUEAUEAEU 1ii

1 UEUEA i

UEUEAUEUEA ii

1 UEUEA i

Ti1p Ti 1p

njiwz

wzwzwz

wzwzwz

wzwzwz

www

z

z

z

ji

nnnn

n

n

n

n

T ,,2,1,

21

22212

12111

21

2

1

ab

第 3 章 演習問題解答

92 | 第 0 章 演習問題 解答

3-11. 行列 が交代エルミート行列ならば， であり，両辺に左側から を掛けると，

であるから題意は示された．

3-12. 次正方行列 がユニタリー行列 により実対角行列 になったとすると，

であり， （ は実の対角行列であるから対角線以外の要素は 0 である）こ

とに注意すれば， であるから

であり，したがって，正方行列 はエルミート行列である．

3-13. 次のユニタリー行列全体が作る集合を とし，その任意の 2 つの元を とする．すな

わち， であるとする．ここで， 次の単位行列も であるから，

単位行列も集合を の元と考えてよい．

さて，ユニタリー行列の定義（定義 21）から，

であるから，

であり，したがって， について，その積の条件：，

（条件 1Ｇ）

が成り立つ．

また，行列の結合法則が成り立つ（項 3.1.3）ので， について

（条件 2Ｇ）

が成り立つ．

また， に対して，

であり，したがって， について，その右単位元の存在条件

（条件 3Ｇ）

が成り立つ．

また， に対して，

であり，したがって， について，その右逆元の存在条件

（条件 4Ｇ）

が成り立つ．

したがって，ユニタリー行列は群を成す．

3-14. を計算すると，

A AA A

n H U Φ UHUΦ

Φ

UHUΦΦΦUHUUHUΦ TT)( HH

H

n Q

n EEEEE

Q

AAAAAAAAAAAA

AxxxTQ

zyx

zyx

zyx

zyx

z

y

x

zyx

111

111

111

zyxzzyxyzyxx

222 zyzzxyzyxyzxxyx

zxyzxyzyx 222222

21 , UU

EUUEUUUUUUUUUUUUUU

1111122112212121

ΦΦΦΦ TT

UUU 21 ,

UEUUUUUUUU

22221111

UUU 21

UUU 21 ,

UUUUEUUUU 1

1

1

11111

UU 1

UU 1

UU 1

1

UUUU 321 ,,

321321 UUUUUU

UEUEUUU 111

UU 1

UU 1

UE

第 3 章 演習問題解答

0 第 4 章 | 93

第 4 章

4-1. 略 （Hint:：整数の全体 Z，有理数の全体 Q，実数の全体 ，複素数の全体 C は全て通常の

加法に関してアーベル群である．一方，自然数の全体 N は加法（の逆演算としての減法）に関

して閉じていないのでアーベル群ではない．）

4-2. と置けば， で

あるから， は 1 次独立である．

4-3. であるから， ．したがって， ．

4-4. について， とする．

このとき， ならば，すなわち， のときは，

であるから，① ，すなわち，

次に， の場合，

であるから，② である．

さらに， の場合， について， であるから

③ である．したがって，①，②，③により

4-5. から， ですから， となり，ここで，

であり， および

が 1 次独立であることが自明である．したがって，

4-6. 略 （Hint:：定義通り 1 次独立であること）

4-7. ノルムは

4-8. ない （Hint:：ベクトル空間 のベクトルを とし， とすれば，

それらの直積 は，

である．ここで，要素の議論を行う）

4-9. 略（Hint:： ）

4-10.

Wu

Wc u

2V ba ,

ba

21 WWW

cbacba ,,;321 0eee

321 ,, eee 211: 22

321

2 eeeL

21 WW 21 dimdimdim WWW

00 cbacacbba

TTTyxyx 2221110 ,,,,0,0 uuu

0,0 yx 0,00 u

WT 0,00u000 babyax

TTyxyx 222111 ,,, uu

Tyx ,u

021212211 yybxxabyaxbyax W 21 uu

Tyx ,u 00 cbyaxccbycaxc

0 zyx zyx TTzyzyzyx ,,,,

TTTzyzyzy 10100101,, T0101

T1010 2dim W

22 baib

aibaT

wwwww

TTbbaa 2121 , ba

10

01

2212

2111

21

2

1Eabba

baba

bababb

a

aT

1

3

2

~

001

100

010

e

e

e

E

00

0101

0

1;

00

01)1( 11

0

11 eeE

00

1010

0

1;

00

10)1( 21

0

12 eeE

01

0001

1

0;

01

00)1( 12

0

21 eeE

10

0010

1

0;

10

00)1( 22

0

22 eeE

第 4 章 演習問題解答

94 | 第 0 章 演習問題 解答

4-11.

4-12. とすれば，

4-13.

4-14. とし，

で は 1 次独立であり，

4-15. （Hint:：定義通り （1）

4-16.

（2）

（ ：任意の定数ベクトル） c

xyzzy ubuaubuadu

d

du

deba

000

001

010

000

001

000

000

000

010

122121 eeeeee

010

100

000

010

000

000

000

100

000

233232 eeeeee

001

000

100

000

000

100

001

000

000

311313 eeeeee

133221 ,, eeReeQeeP

PPeeP

000

001

010

000

001

010

21

T

QQeeQ

010

100

000

010

100

000

32

T

RReeR

001

000

100

001

000

100

13

T

011

101

110

001

000

100

010

100

000

000

001

010

133221123 eeeeeeE

011

101

110

123

TE

TT

123123123123

000

000

000

011

101

110

011

101

110

EEOEE

ubuaubuaubuadu

d

du

dzzyyxx ba

ceeea

zyx uuuuuudu 24232

2

1

4

1

2

1

3

1

2

1

2

1,

1

1ba

10

11

30

11

21

11

2xy

yx

02

1

1

1

ba kk

2ImdimIm 2 fVf

0Kerdim0Ker ffba ,

第 4 章 演習問題解答

0 第 5 章 | 95

第 5 章

5-1. 型行列 および 型行列 を

とすると， 型と 型の積が行列 だから，行列 は 型となる．

は である．

5-2. 行列 の要素が であることから， であることに気が付けばよい，

したがって， である．

5-3. 略 （Hint:：定義通り）

5-4. 略 （Hint:：定義通り）

5-5. 略 （Hint:：定義通り

5-6.

5-7. 行列 が逆行列を持つことから，行列 は正則行列であり， である．あるいは，

である．ここで，行列 の行列を を とすれば，行列 は 次および

次の正則行列，行列 は ，行列 は 型の行列である．したがって，

と書くときの行列 を求めることになる．だだし， は．それぞれ，

次の単位行列である．上式から，

が得られる．これらの式から， に注意すれば

となり，逆行列 は

nm A n B

nm n C C m

AEAAEAA ΔΔ

A A 0A

A 1A ZX, m

n W mn Y nm

1A EEE

nmnm ,,

nmnm ,,

EQZOQWORZPYERWPXnm ,,,

0,0 QP11111 ,, RQPRZPYPXQZOW

1A

nnmnm

n

bb

bb

aa

aa

1

111

1

111

, BA

,,2,1;,,2,11

jmibacn

k

kjikijijc

ij E

10

01

Δ

AA

22211211 aaaa

11

11

22

22211211

21

22211211

12

22211211

11

22211211

a

aaaa

a

aaaa

a

aaaa

a

aaaa

0,00 QPQPQO

RPA

ZW

YXA

1

EEO

OE

QZQW

RZPYRWPX

ZW

YX

QO

RPAA

nm

n

m

1

1

111

1

QO

RQPP

ZW

YXA

第 5 章 演習問題解答

96 | 第 0 章 演習問題 解答

5-8.

5-9.

5-10. (1) (2)

22

2221

1211

21

2221

1211

12

2221

1211

11

2221

1211

2221

1211

2221

1211

~

a

aa

aa

a

aa

aa

a

aa

aa

a

aa

aa

aa

aa

aa

aa AA

AA

A

A

A

11

11

1001

0000

0000

1001

0

22

0

21

0

12

0

11

22

22

22

21

21

22

21

21

22

12

22

11

21

12

21

11

12

22

12

21

11

22

11

21

12

12

12

11

11

12

11

11

EE

EE

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2

000

110

121

rank

110

110

121

rank

211

031

121

rank

A

03

10

212rank A

1,1,1 321 xxx 1,1,1 321 xxx

第 5 章 演習問題解答

0 第 6 章 | 97

第 6 章

6-1. 略 （Hint:：定義通り）

6-2. 略 （Hint:：定義通り）

6-3. （Hint:：行列 の行数が ，行列 の行数が である）

6-4. 略 （Hint:：定義通り

6-5.

6-6. 6.5 の結果を用いると，

これらの，行列が含まれる行列の型は， の正方行列であることに注意すれば，与式（a）を用

いれば，

である．上式と与式（b）と比較すると， が成立するためには，

であるから， の積に関して可換である．

m A m P

n2

CA ,

RCQCP

AQAP

RO

QP

EC

OA

DC

BA

RCQDCPCAQBAPA ,,,

EPCPCAPA ,BAQAQB

1

BCADCQDRRCQD1

BCADRBAQEP11 ,,

BCADO

BAE

EC

OA

RO

QP

EC

OA

DC

BA1

1

BACAADBCADABCADO

BAE

EC

OA

DC

BA11

1

1

BACAADCBAD1

CAACACECAAACACAACAC 11

第 6 章 演習問題解答

98 | 第 0 章

第 7 章

7-1.

7-2. 題意の 3 次元ベクトルを とすると，

7-3. 題意の 次元ベクトルを とすると，

7-4. (1) 略（Hint:：定義通り，）

(2) 略（Hint:：定義通り）

7-5.

成分の証明ができた． 成分や， 成分も同様である．したがって，

7-6. 式 7.1.3-11 から， を仮定すれば， であり， だから，式 7.1.3-8 は，

となる．ここで式 7.1.3-12 は，時間で 2 次偏微分があるから，上式を時間で偏微分すると，

が得られる．ここで，式 7.1.3-6 は，式 7.1.3-10 により，

となるから，

n

x y z

zyxzyxzyxzyx eeeeee

zxyxxxzxyxxx eeeeee

zyyyxyzyyyxy eeeeee

zzyzxzzzyzxz eeeeee

ji

ji

zyxijji

:0

:12

2

2

2

2

2

ee

321 xxx zyx eeex

321

321

xxxxxx

zyxzyx eeeeeex

x

1

3

1

2

1

1

x

x

x

x

x

xzxyxxx

eeeeee

2

3

2

2

2

1

x

x

x

x

x

xzyyyxy

eeeeee

3

3

3

2

3

1

x

x

x

x

x

xzzyzxz

eeeeee

ji

ji

x

x

x

x

x

xijjizzyyxx

:0

:1

3

3

2

2

1

1 eeeeeeee 3

x

x

i

i

ia ex

nx

xx

x

n

j

n

i

ij

n

j

n

i

ij

i

j

ji

n

j

jj

n

i i

i

1 11 111

eeeex

x

0J 0

2

2

ttttttt

EEH

EEH

t

EEH

EH

1

t 00 EED

yzxzy

aaa

2

2

2

2

z

a

y

a

z

a

y

a

xx

a

z

a

zy

a

x

a

y

xxzyzxxy

xxxxxzyx

z

a

y

a

x

a

z

a

y

a

x

a

xaa

2

2

2

2

2

2

2

aaa2

第 7 章 演習問題解答

2

EJ ED

0 第 7 章 | 99

ここで，式 7.1.3-5 から， であり，したがって，

となる（演習 7.5 参照）ので， が得られる．

7-7.

となる場合の係数 について， と の間に 個（正数）の要素がある場合，交換は，

ということで， 回の交換をすることになる．これは，正数 をどのように選んでも奇

数となる．したがって， であり，符号は負となる．

7-8. 行列 の固有値は で求められ，その固有値 に対する固有ベク

トル は固有方程式 を満たす．ここで，一般的に と書

けば， である．これは，行列 の固有値が

である場合は， の固有値が であることを示している，ここで，

が成り立つと仮定すると， が成り立つ．

したがって，数学的帰納法により題意が証明された．

7-9. (1) 仮定より，

と表しても，一般性は失わない． はまた，余因子展開で，

ここで，

したがって，

式 1

EE2

m

12 m m

A 0 EA

xAx

xxAxxAAAxxA22 A

2A 2 1xxA

xxAxxAxAAxA11

2

2

2

21

tttt

EEE

EEE

2

22

tt

EEE

nii ,,2,1

nii ,,2,1 x xAx ii

000; EED

nji npjpippp

nji

aaaaappppp

nji

21 21

21

21

A

nij npipjppp

nij

aaaaappppp

nji

21 21

21

21

ipjp

ijmiiimiij pppppppp 11

jmiiijimii pppppppp 11

回m

回m１回

A

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

21

22221

11211

EA

次式の 211111112121111 nDaDaDaDa nn

次式の 32222

32

33332

22322

11

nDa

aaa

aaa

aaa

D

nnnn

n

n

次式の次式の 23222211 nnDaa

次式の 2222211 nDaa

次式の 22211 naaa nn

次式の 211 2211

11

naaa nn

nnnn

第 7 章 演習問題解答

個 m

100 | 第 0 章

一方

式 2

ここで，式 1 と式 2 を比較して

(2)

ここで， を 0 とすれば，

7-10. 与式の行列 の固有値は例題 3.2.5-2 で 2 および 7 と求まっている．したがって，

通常のトレース計算法では， であり，一方，固有値から計算する方法からでは，

である．したがって，両者は一致することが確かめられた．

また， であり，固有値から計算する方法からでは， で

ある．したがって，両者は一致することが確かめられた．

7-11. 次の正則行列 の余因子 を用いると， の逆行列は，

であり，したがって，例題 5.1.4-3 を用いて，

である．さて，上式を用いると

ということで題意が証明された．

7-12. を用いると

ですから

コメント とすれば，A は交代行列である．

A

927tr A

141654 A 1427 A

n BA , BA~

,~

BA ,

111 ~~ ABBAABABBAAB ~

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

21

22221

11211

EA

n21

nnnaaa 212211tr A

n 2100 AEA

954tr A

BBBAAA~

,~ 11

111111 XABCYZXYABCZXYZABC

111111111 ABCXYZABCXYZ

111111 ABCXYZ

第 7 章 演習問題解答

321321 ,,,,, yyyxxx yx

T

yy

xx

yy

xx

yy

xx

yyy

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0 第 7 章 | 101

付録 公式集

ここに掲げる公式は，それぞれが成り立つための条件を満しているものとします．

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(13)

(14)

(15)

(16)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22) (23)

(17)

付録 公式集

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102 | 第 0 章 付録 公式集

著者

今井 博 （いまい ひろし）

略暦

1978 年 3 月 北海道大学理学部地球物理学科卒

1980 年 3 月 東京大学大学院理学系研究科地球物理専門課程 修士課程修了

1983 年 3 月 東京大学大学院理学系研究科地球物理専門課程 博士課程修了

1983 年 3 月 理学博士号取得

1998 年 3 月 技術士（応用理学）取得

2019 年 5 月 現在

土木系コンサルタント会社物理探査業務に従事

早稲田大学 空間情報学 非常勤講師

昭和薬科大学 環境科学概論 元非常勤講師

土木学会地盤工学委員会火山工学研究小委員会 委員長

エンジニアリング協会 探査技術研究会 委員長

著書

「読むだけでわかる数学再入門 上・下」 山海堂

「耐震技術のはなし」（一部執筆）日本実業出版

「火山とつきあう Q & A 99」（一部執筆および編集） 土木学会

「火山工学入門」（一部執筆および編集） 土木学会

「火山工学入門 応用編」（編集） 土木学会

「時空間情報学」共著 インデックス社

「読むだけでわかる数学再入門 微分・積分編」インデックス社

「読むだけでわかる数学再入門 線形代数編」インデックス社

謝辞および著者プロフィール