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5장 1/42

Chapter 5

강체의 평형(Equilibrium of a rigid body)

5. 1 강체의평형조건(Conditions for Rigid-Body Equilibrium)3장에서질점의평형을위한필요충분조건은질점에작용하는힘의 합력이 0이라는 점을 확인하였다. 그러나 이 조건은 강체의 평형을위한필요조건일뿐충분조건은아님을곧알게될것이다.Fig. 5-1에서 보는 바와 같이 n개의 질점으로 구성된 강체가 평형을유지하고있다고하자. 따라서이강체의 i번째질점( mi )도평형을유지하고있다. 뉴턴의운동법칙으로부터

n, iii 2,1 0, f F ==+

mi에작용한합외력

강체의외부로부터mi에작용한힘의합력

합내력

강체 내부에서 작용한 힘의합력 즉, 질점들 사이의 상호작용에의한힘의합력

5장 2/42

주의

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ

m

Fig. 5-1

mi

힘이 강체라는 계의 안에서 발생했느냐, 밖에서 발생했느냐에 따라 내력과외력으로구분한다.

5장 3/42

강체 내의 모든 질점의 평형방정식 즉, n개의 평형방정식을모두합하면

따라서강체내의모든내력의총합은 0이다.따라서식 (*)은 이된다.

즉강체가평형을이루고있다면합외력(외력의합력)은 0이다. 결국 합외력이 0이란 조건은 강체의 평형을 위한 필요조건임이증명되었다.

)(1 1

∗=+∑ ∑= =

0fFn

i

n

iii

0000

ffffff

=+++=

++++==∑ ∑ ∑= =

≠=

311321121 1

)(1

n

i

n

i

n

ijj

iji

mi에작용하는힘(내력과외력)의임의의점 O에대한모멘트를생각해보자.

(강체가평형을이루고있으므로)

n개의방정식을모두합하면

, n, , iiiiiiii 21)( ==×+×=+× 0,frFrfFr

∑=

=n

ii

10F

ijfjif

im

jm

∑≠=

=n

ijj

iji

)(1

ff

여기서뉴턴의운동제 3법칙에의하면 jiij ff −=

0 =

)( 0frFr ∗∗=×+×∑ ∑n n

iiii= =i i1 1

0M∑=

5장 4/42

+×+×+×+×=

×=×=× ∑ ∑ ∑ ∑∑=

≠= =

≠==

313131212121

1)(

1 1)(

11

frfrfrfr

frfrfr

n

i

n

ijj

n

i

n

ijj

ijiiji

n

iii

0frr

=×−= 1221 )( 0=

∑=

=×∴n

iii

10fr

1m

2m21f

12f2r

1rO

즉강체에작용하는내력의모멘트의총합은 0이다.따라서식 (**)은즉평형을유지하는강체에작용하는외력의모멘트의총합은 0이다.결국 와 (5-1)는강체의평형을위한필요조건임을확인하였다. 이조건은충분조건이기도하다.

∑∑==

==×n

iOi

n

iii

110Mfr

∑ = 0F ∑ = 0MO

주의

편의를위해 를힘평형방정식, 를모멘트평형방정식이라고부른다.∑ = 0F ∑ = 0MO

5장 5/42

식 (5-1)을만족하면강체가평형상태에있음을증명하든지강체가평형상태에있지않으면식 (5-1)을 만족하지 않음을 증명하면 된다. 후자를 위하여 강체가 평형상태에 있지 않으면서식 (5-1)을만족한다고 가정하고이것이 모순임을증명하면된다. 현재 평형을 이루고있지않으므로평형을이루기위해서는추가의힘 과 이요구된다(여기서 과 는동시에 0은아니다.). 필요조건으로부터

합력

합모멘트

식 (5-1)이만족되므로 이성립한다. 따라서추가의힘과모멘트가동시에0은아니라는가정에모순되므로증명이완성되었다.

0FF =′+= ∑0MM =′+= ∑ OO

F′ F′OM′ OM′

0M0F =′=′ O,

충분조건의 증명

5장 6/422차원평형

5.2 자유물체도(Free-Body Diagrams)질점의 경우와 마찬가지로 강체의 평형방정식을 정확하게 적용하기 위해선 물체에 작용하는 외력이 모두 표시된 자유물체도를 그리는 것이 편리하다. 따라서 평형방정식을 적용하기 위한 예비단계인 자유물체도를 그리는 방법을 습득하는 것은 역학문제를 푸는 매우중요한단계라고할수있다.•지지반력 : 평형상태의 강체는 통상 외부환경에 지지되어 있으므로 이 환경으로부터의

힘즉지지반력에대한이해는자유물체도를정확히그리기위해꼭필요하다.주의

지지가 어떤 주어진 방향으로 병진을 방해한다면 그 방향으로 부재에 힘(지지반력)을작용하고 있다는 것을 의미하고, 회전을 방해한다면 부재에 우력모멘트(지지반력)가작용하고있다는것을의미한다.

• 외력과내력(자유물체도의경계를기준으로구분한) :내력은늘크기가같고방향이반대이며동일직선상에서작용하는힘의쌍으로써구성되므로내력이강체의운동상태에아무런영향을미치지않는다. 따라서자유물체도를그릴때내력은표시하지않는다.

5장 7/42

주의

두 물체 A와 B가 상호작용하고 있는 경우를 생각해보자. 물체 A의 자유물체도에는 물체 B와 주변환경이 물체 A에 작용하는 힘 즉 A의 외력만 나타낸다. 물체 A가 물체 B에작용하는 힘은 물체 B의 자유물체도에 나타내야 한다. 두 물체의 상호작용 즉 두 물체를분리해보면외력인것이하나의계로통합하면내력이된다는점을유의해야한다.

Table 5-1 Supports for Rigid Bodies Subjected to Two-Dimensional Force Systems

One unknown. The reaction is a force which acts perpendicular to the slot.

One unknown. The reaction is a force which acts perpendicular to the surface at the point of contact.

One unknown. The reaction is a force which acts along the axis of the link.

One unknown. The reaction is a tension force which acts away from the member in the direction of the cable.

Types of Connection Reaction Number of Unknowns5장 8/42

One unknown. The reaction is a force which acts perpendicular to the rod.




Three unknowns. The reactions are the couple moment and the two force components, or the couple moment and the magnitude anddirection of the resultant force.

Two unknowns. The reactions are the couple moment and the force which acts perpendicular to the rod.

Two unknowns. The reactions are two components of force, or the magnitude and direction of the resultant force. Note that and are not necessarily equal [usually not, unless the rod shown is a link as in (2)].

Types of Connection Reaction Number of Unknowns

φ θφ

φ

5장 10/42

5장 11/42

• 무게와무게중심 : 한강체내의질점들에작용하는무게는평면력계를이룬다. 즉분포력인이힘계의합력(집중력)의작용점을무게중심(G)이라고한다.물체가균질하다면무게중심은물체의기하학적중심과일치하며물체가균질하지않으면문제에주어질것이다.

물체의 여러 중심(기하학적 중심, 질량중심, 무게중심)을 구하는 방법을 제 9장에서 소개할것이다.

주의

• 이상화된모델 : 공학문제를해결하는데에있어서실제상황과가장근접한결과를얻을수있는이상적모델을구성하는것이중요하다. 복잡한상황에서는여러가지서로다른해석모델들이제시될수있는데어느경우든지이러한선택과정에서기술과경험이요구된다.

•자유물체도를그리는순서1. 물체를주변환경으로부터고립된것으로생각해서대강의형태를그린다.2. 물체에작용하는모든외력과우력모멘트를표시한다.3. 힘의모멘트를계산하는데필요한물체의치수를나타내고힘과우력의크기나방향이미지수인경우에는문자를사용해서나타낸다.

5장 12/42

•예제 5-1 ( Problem 5-3)Draw the free-body diagram of the beam supported at A by a fixed support and at B by a roller. Explain the significance of each force on the diagram.(see Fig. 5-7b.)

ft2

6021

340

340

12033

40340

3

0

230

3

0

330

=

=⋅=

=⋅=

==

∫

∫

∫∫

xxdx

xxdxx

dAxdA

x

Prob. 5-3

lb 60)3(4021

=ft2

ft4

ft3

AMxA

yA

BN

°30

미지수 : Ax, Ay, MA, NB, 4개

5장 13/42

•예제 5-2 ( Problem 5-6)Draw the free-body diagram of the smooth 20-g rod which rests inside the glass. Explain the significance of each force on the diagram.(see Fig. 5-7b)

미지수 : : 3개Byx NAA , ,Prob. 5-6

xA

xA

yA

yA

m275.0

m1375.0

N)81.9(02.0

BN

5장 14/42

5.3 평형방정식(Equations of Equilibrium)

여기선평면힘계(동일평면력계)의경우만을생각하므로강체의평형방정식은

(5-2)

이된다.

⇒⎭⎬⎫

==

=+=

∑ ∑∑ ∑ ∑

0kM

0jiF

OzO

yx

M

FF

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

==

∑∑∑

0

00

Oz

y

x

M

FF

• 다른형태의평형방정식비록식 (5-2)가평면힘계와관련된강체의평형문제를해결하기위해가장많이사용되긴하지만, 세개의독립방정식을달리표현한다음의두종류의평형방정식도사용될수있다.

①(5-3)

여기서점 A와 B를통과하는직선이축 a에수직하지않도록두점을잡아야한다.

∑∑∑

===

00

0

B

A

a

MMF

5장 15/42

증명(식 (5-3)이평형의충분조건임)i) 제 4.8절에서 평면힘계는 점 A에 작용하는합력 FR과 합우력모멘트 MRA(외력의 점A(합력의 작용점)에 대한 합모멘트가 합우력모멘트가된다. 따라서

로대체할수있다. 식 (5-3)의 조건에따라 가성립한다.

ii) 에따라 FR은 a축에수직한방향이어야한다.

iii) 점 B가 FR 의 작용선상에 있지 않음에도 불구하고 가만족되면 FR =0임을의미한다. 결국강체의평형조건 FR =0와를 만족하므로 식 (5-3)을 만족하는 물체는평형상태에있다.(증명끝)

) k Fr

MM

∑∑∑

=×=

=

A

iAi

ARA

M

∑ = 0AM∑ = 0M A

∑ = 0aF

∑ = 0BM∑ =M A

(a)

(b)

(c)

0

Fig. 5-12

② (5-4)여기서점 A, B, C는동일직선상에있지않도록잡아야한다.∑ ∑ ∑ === 0 ,0 ,0 CBA MMM

증명(식 (5-4)가평형의충분조건임)i) 1의 i)에서와같이 에의해가성립한다.

ii) 에의해 FR 의작용선은점 B를통과해야한다.

iii) AB선상에있지않은점 C에대한모멘트에의해 FR =0이성립한다.

결국 FR =0와 를만족하므로식 (5-4)를만족하는물체는평형상태에있다. (증명끝)

∑ = 0AM ∑ = 0M A

∑ = 0BM

∑ = 0CM

∑ = 0M A

Fig. 5-13

5장 16/42

주의

세 종류(식 (5-2), (5-3), (5-4)) 중 어느 것을 사용하든지 식의 수는 3개 이므로 미지수의수가 3보다클수는없다.

5장 17/42

•예제 5-3 ( Problem 5-28)The articulated crane boom has a weight of 125 lb and mass center at G. If it supports a load of 600lb, determine the force acting at the pin A and the compression in the hydraulic cylinder BC when the boom is in the position shown.

Prob. 5-28

∑

∑∑

=−−°+°=

=−−°+==°+=

0)9(600)4(125)1(40sin)1(40cos

060012540sin040cos

BBA

Byy

Bxx

FFM

FAFFAF

kip97.1kip213ib3208

kip194ib4188

−=−=−=

==

y

x

B

A.A

.F

모멘트중심점을점 B나 G나 C에잡으면어떻게될까?

주의

xA

yA°40

BFG C

6008

4

1

1

125

주의

지금쯤, 가장많은힘이작용하는점(혹은작용선이통과하는점)을모멘트중심점으로잡는것이편리하다는걸깨달았을것이다.

5장 18/42

•예제 5-4 ( Problem 5-34)

Prob. 5-34

The picnic table has a weight of 50 lb and a center of gravity at GT. If a man weighing 225 lb has a center of gravity at GM and sits down in the centered position shown, determine the vertical reaction at each of the two legs at B. Neglect the thickness of the legs. What can you conclude from the results?

225

620 20

50

A B

AN2 BN2

lb38.40)40(2)20(50)6(225

−=∴=+−=∑

B

BA

NNM

음의 NB 를지탱하기위해선지면에서 B의다리를붙잡아줘야하는데지금상황은그렇지가 않으므로 (즉 양의 NB 만 지탱하도록 되어 있다.) table은 뒤집힌다.(모멘트평형을유지하지못한다.)

5장 19/42

5.4 두힘부재와세힘부재(Two-and Three-Force Members)두힘이나세힘이작용하는평형문제는보다쉽게해결된다.

•두힘부재 : 우력모멘트는작용하지않고힘이단지두지점에서만작용하는부재는두힘의크기와작용선이같고방향이반대이므로힘의크기(유일한미지수)만결정하면된다.

증명두 A와 B의각각에작용하는합력을 FA와FB라두자. 힘의평형( )을위해이두힘은크기는같고방향이반대이어야하고모멘트의평형( )을위해이두힘은동일직선상에있어야한다. 따라서평형상태에있는두힘부재에작용하는힘의작용선은두점을잇는선으로정해지므로힘의크기만결정하면된다.

∑ = 0F

∑ = 0M

주의

Fig. 5-22Fig. 5-21핀으로연결된부재의힘해석을단순화시키는데유용하다.

5장 20/42

증명: 세힘부재에작용하는두힘의작용선이점 O에서만난다고하자. 점 O에대한모멘트평형 를만족시키기위해서세번째힘마저점 O를통과해야하므로이힘계는공점력계가된다. 평행한힘계도일종의공점력계라고볼수있으므로(왜?) 증명끝

∑ = 0OM

Fig. 5-23

•세힘부재 : 한 부재에 동일평면내의 세 힘이 작용한다면 이 부재가 평형을 이루기 위해서는 이 세 힘은 공점력계(concurrent force system)이거나 평행한 힘계(parallel force system)이어야한다.

공점력계인 세힘부재는 모멘트평형조건을 스스로 만족하므로 힘평형조건와 만만족하면된다. 평행한힘계인세힘부재는 을스

스로만족하므로 와 만만족하면된다.∑ = 0xF ∑ = 0yF

주의

∑ = 0xF∑ = 0OM∑ = 0yF

5장 21/42

•예제 5-5 ( Example 5-13)•자유물체도 : 무게가무시되므로부재BD는 두힘부재이고 부재 ABC는 세힘부재이다. 따라서 부재 BD에 작용하는힘의 방향은 주어졌으므로 크기 F(음일지도 모른다.)만 구하면 된다. 이 힘과 크기가 같고 방향이 반대인 힘이 부재 ABC의점 B에작용하므로(왜?) 점 A에 작용하는 힘 FA(음일지도 모른다.)의방향도결정된다(왜?).F와 FA의작용선의각도는각각

이다.

°==°== −− 3.604.07.0tan,45

2.02.0tan 11

AFF θθ

Fig. 5-24

두힘부재나 세힘부재의 특성을 이용하지 않고 해석할 수 있는 방법을생각해보자.

주의

•평형방정식(세힘부재는힘평형만만족하면되므로) :

∑∑

=°−°==+°−°=

045sin3.60sin040045cos3.60cos

FFFFFF

Ay

AxkN32.1kN07.1 , ==∴ FFA

5장 22/42

•예제 5-6 ( Problem 5-60 )Determine the magnitude and direction of the minimum force P needed to pull the 50-kg roller over the smooth step.

(끌어올리는순간 A에선들리므로)

θ

문제의 요지 : P를 의 함수로 구한 뒤 P의

도함수즉 일때의 와 P를구한다.

θ

0=θd

dP °=−−=°== − 44.362090,56.336.05.0cos 1 ϕαϕ

Prob. 5-60

θ

y

ϕϕα

−=−−=

702090

)81.9(50Pθϕ −

θ

6.0 1.0

BN

°20

5.06.0 ϕ

0=AN

°20

5장 23/42

∑ =−−°= 0)6.0)(56.33cos()6.0(44.36cos)81.9(50 θPM B

0)56.33(cos

)56.33sin(44.36cos)81.9(50)56.33cos(44.36cos)81.9(50

2 =−

−⋅−=

−=

θθ

θ

θ

ddP

P

N39556.33

0)56.33sin(

===∴

=−∴

Pϕθθ

즉 P가 NB와수직을이룰때 P가최소가된다. (직관에부합한다. 왜?)

주의

롤러가매끈하지(smooth) 않다면어떻게될까?

5장 24/42

3차원평형5.5 자유물체도(Free-Body Diagrams)

Table 5-1 Supports for Rigid Bodies Subjected to Two-Dimensional Force Systems



One unknown. The reaction is a force which acts away from the member in the known direction of the cable.

Types of Connection Reaction Number of Unknowns

Five unknowns. The reactions are two force and three couple-moment components.

Four unknowns. The reactions are two force and two couple-moment components which act perpendicular to the shaft.

Three unknowns. The reactions are three rectangular force components.


Five unknowns. The reactions are three force and two couple-moment components.




Six unknowns. The reactions are three force and three couple-moment components.


5장 28/42

•예제 5-6 ( Example 5-14 )Several examples of objects along with their associated free-body diagrams are shown in Fig. 5-25. In all cases, the axes are established and the unknown reaction components are indicated in the positive sense. The weight of the objects is neglected.

zyx ,,

The force reactions developed by the bearings are sufficient for equilibrium since they prevent the shaft from rotating about each of the coordinate axes.

Properly aligned journal bearings at A, B, C

주의

(a)축배열이 불량하면 모멘트

지지도고려해야한다.

5장 29/42

(b)

Moment components are developed by the pin on the rod to prevent rotation about the x and z axes.

Pin at A and cable BC.

Only force reactions are developed by the bearing and hinge on the plate to prevent rotation about each coordinate axis. No moments at the hinge are developed.

Properly aligned journal bearing at A and hinge at C. Roller at B.

(c)

5장 30/42

)(d

Thrust bearing at A and cable BC

Moment components are developed by the bearing on the rod in other to prevent rotation about the y and z axes.

5장 31/42

5.6 평형방정식(Equations of Equilibrium)•벡터방정식

(5-5)

•스칼라방정식

(5-6)

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑

=++=

=++=

0kjiM

0kjiF

OzOyOxO

zyx

MMM

FFF

∑∑∑∑∑∑

===

===

0,0,0

0,0,0

OzOyOx

zyx

MMM

FFF

5장 32/42

5.7 강체의구속(Constraints for a Rigid Body)강체의평형을보장하기위하여평형방정식을만족시킬뿐만아니라그물체는지지에의해적절히구속되어야한다. 적절한구속조건이충족되지않을때다음의세경우가발생할수있다.•과잉의구속(redundant constraints) : 부정정문제정정(靜定, statically determinate) 문제 : 물체에작용하는모든지지반력을평형방정식으로

부터구할수있는문제.부정정(不靜定, statically indeterminate)문제 : 평형방정식의 수보다 미지의 지지반력이 더

많은문제. 즉, 평형을유지하기위해필요한것보다더많은구속을가지는문제.)(a

)(b

Fig. 5-26

•부적당한구속(improper constraints) : 미지의지지반력의수와평형방정식의수가같지만지지의구속이부적당하여물체가불안정한경우.예 : ① 모든 지지반력의 작용선이 동일한 축과 교차하거나(Fig. 5-27(a), 3차원 문제) 한

점에서만날때(Fig. 5-27(b), 2차원문제)

)(a

5장 33/42

)(b

Fig. 5-27

②모든지지반력의방향이평행할때(Fig. 5-28(a), 3차원문제 ; Fig. 5-28(b), 2차원문제)

Fig. 5-28

)(a

)(b

5장 34/42

5장 35/42

Fig. 5-29

•부분구속(partial constraints) : 미지수인지지반력의수가평형방정식보다적은경우.

Fig. 5-29의 두 링크는 두힘부재이므로 지지반력 FA 와 FB의작용선은동일한수평선이다. 이두힘을적절히 택하면 이 작용선 상에 있지 않은 점 O에 대한모멘트평형 과수평력평형 은만족시킬수있지만수직력평형 는만족시킬수가 없으므로 이렇게 구속된 물체엔 어떠한 수직외력도가해질수가없다. 따라서물체가불안정하다.

∑ = 0OM ∑ = 0xF∑ = 0yF

주의

n = 미지의지지반력의수 –평형방정식의수n > 0 일때 : n차의부정정문제(과잉의구속), 문제를해결하기위해변형을고려해야한

다(고체역학).n = 0 일때 : 정정문제불안정한구속 부적당한구속(improper constraints) : n = 0(정정)인불안정.

부분구속(partial constraints) : n < 0인불안정.{

•예제 5-7 ( Problem 5-68)Due to an unequal distribution of fuel in the wing tanks, the centers of gravity for the airplane fuselage A and wings B and C are located as shown. If these components have weights WA=45000 lb, WB=8000 lb, and WC=6000 lb, determine the normal reactions of the wheels D, E, and F on the ground.

미지수가 RD, RE, RF로서 모두 3개이므로 적용할평형방정식도 3개이다.

kip7.13,kip6.22,kip6.22

0)27()4(6000)7(45000)4(80000)14()8(6000)14()6(8000

06000450008000

===

=−++==+−−==−−−++=

∑∑∑

FED

Fy

EDx

FEDz

RRR

RMRRM

RRRF

는 스스로 만족하므로 부분구속이라고 생각하기 쉽지만사실은그렇지가않다. 왜그럴까?왜양날개의무게는다른데양날개바퀴의반력은같을까?

∑ ∑ ∑ === 0,0,0 Zyx MFF

Prob. 5-68

FR

z

x yER

DR

800045000

6000

5장 36/42

주의

5장 37/42

•예제 5-8 ( Example 5-16)The windlass shown in Fig. 5-31a is supported by a thrust bearing at A and a smooth journal bearing at B, which are properly aligned on the shaft. Determine the magnitude of the vertical force P and must be applied to the handle to maintain equilibrium of the 100-kg bucket. Also calculate the reactions at the bearings.

Fig. 5-31

•자유물체도 : A와 B의베어링은축과 중심이잘맞으므로지지는힘반력만발생한다. 왜모멘트반력은없는가? 미지수가 Ax, Ay, Az, By, Bz, P로서 6개이므로사용할평형방정식도 6개이다.

5장 38/42

•평형방정식 :

∑∑∑∑∑∑

==−+−=

==+===

==−=

==++−===°−=

934,06.3779813.424

0,000

0,0)8.0(

3.424,0)4.0)(6.377()8.0()5.0(9816.377,0)30cos3.0()1.0(981

zzz

yyy

xx

yyz

zzy

x

BBF

BBFAF

AAM

AAMPPM

5장 39/42

•예제 5-9 ( Example 5-18)Rod AB shown in Fig. 5-33a is subjected to the 200-N force. Determine the reactions at the ball-and-socket joint A and the tension in cables BD and BE.

미지수는 Ax, Ay, Az, TD, TE로서 5개이므로 적용할평형방정식이 5개면충분하다.

백터해석 :

힘평형 :

kFjTiT

kjiF

200−===

++=

DD

EE

zyxA

TT

AAA

)( 310200,0,0

)200()()(

~ATATA

ATATA

zDyEx

zDyEx

DEA

0kji0FTTFF

=−=+=+

=−++++=+++=∑

)(a )(b

Fig. 5-33

5장 40/42

모멘트평형 :

이므로

풀면

∑ +×+×= )( DEBCA TTrFrM

kjirr 222 −+== CB

)6~4(02,01002,02200)2()1002()2200(

100221

)21(

0kji

kji

TTFrM

=−=+−=+−∴=−++−++−=

−−=

++×=∑

EDED

EDED

DE

DEBA

TTTTTTTT

TT

N200,N100,N50,N50,N100 =−=−=== zyxED AAATT

주의

미지수는 5개인데방정식은 6개이다. 이중어느한방정식은불필요하다. 어느것일까? 이 문제를 스칼라방법으로 해결해 보라. 이 문제의 경우 벡터방법과 스칼라방법 중 어느것이더편리한가?

•예제 5-10 (Problem 5-80)The circular door has a weight of 55 lb and a center of gravity at G. Determine the x, y, zcomponents of reaction at the hinge A and the force action along strut CB needed to hold the door in equilibrium. Set .°= 90θ

미지수 : Ax, Ay, Az, Mx, My, FCB

Prob. 5-80

5장 41/42

CBF

C

x

z

y

AzMzA

AyMyA

55=W

GxA

B

∑ =++= CBCBCBCB F uF WFAF ,

5장 42/42

ftlb 0 ft,lb 165 lb, 4.67

lb, 0 lb, 5.27 ,lb 5.27

))99(54

()54

18())55(3

5418

(

5500030

633033

54)(

)5554

6()

543

()54

3(

)633(541

633)6(33

222

⋅=⋅==

=−=−=

=−++−+−+=

−+++=

×+×+=

=−+++++=

++=

++

−−+=

−−

==

∑ ∑

∑

AzAyCB

zyx

CBz

CBy

CB

CBAzAy

GCBBcoupleA

CBz

CBy

CBx

CB

CB

CB

CBCB

MMF

AAA

FM

FM

F

FMM

FA

FA

FA

0kji

kjikjikj

WrFrMM

0kjiF

kji

kjirrrr

rr

u

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