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집합
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19세기 칸토어(G. Cantor: 1845-1918)에 의
해 처음으로 도입된 집합 개념은 그 이후 수학의
전 분야의 기본 개념이 되어왔다.
명확히 구별되는 어떤 대상(object)들의 모임
(collection)을 집합(set)이라 하고,
집합을 이루는 대상 하나하나를 주어진 집합의
원소(element), 또는 元이라 한다.
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집합은 일반적으로
대문자 A,B,C, ⋅ ⋅ ⋅ ,X, Y,Z 등으로 나타내고,
집합의 원소는
소문자 a, b, c, ⋅ ⋅ ⋅ , x, y, z 등으로 표시한다.
x ∈ A는 x가 집합 A의 원소임을 뜻하고,
x ∉ A는 x가 집합 A의 원소가 아님을 의미한다.
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집합을 나타내는 방법으로는 집합을 구성하고
있는 원소들을 모두 나열하는 원소나열법과
집합을 구성하는 원소의 성질을 기술하여 나타내
는 조건 제시법 두 가지가 사용된다.
예를 들어 자연수 전체의 집합 ℕ은
다음과 같이 나타낼 수 있다.
ℕ = {1, 2, 3, 4, ⋅ ⋅ ⋅} (원소 나열법)
ℕ = {x ∣ x는 자연수} (조건 제시법)
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두 집합 A,B에서 A의 모든 원소가 또한 B의 원소일 때,
A는 B의 부분집합(subset)이라 하고,
A ⊂ B로 나타낸다. 명제 “x ∈ A ⇒ x ∈ B”
가 항상 참일 때 집합 A는 B의 부분집합이다.
집합A, B가 A ⊂ B, B ⊂ A 를 동시에 만족할 때
A와 B는 상등(identical) 또는 같다(equal)고 하고,
A = B로 나타낸다. A 와 B가 같은 집합일 때
명제 “x ∈ A ⇔ x ∈ B”는 항상 참이다.
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집합 A,B에서 A ⊂ B이나 A ∕= B일 때
A는 B의 진 부분집합(proper subset)이라 한다.
(참고: 집합 A가 집합 B의 부분집합일 때
집합 A가 집합 B와 같을 수도 있음을
강조하는 의미에서 A ⊆ B로 나타내기도 한다.)
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집합 X의 원소로서 어떤 성질 P를 만족하는 부분집
합을 생각할 때 이 주어진 집합 X를 전체집합
(universal set)이라 한다.
전체집합 X의 부분집합 A, B 사이의 연산(operation)
합집합(union), 교집합(intersection), 차집합
(difference), 대칭차집합(symmetric difference)
를 다음과 같이 정의한다.
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합집합(union), A ∪ B = {x ∈ X ∣ x ∈ A 또는 x ∈ B}, 교집합(intersection), A ∩ B = {x ∈ X ∣ x ∈ A 그리고 x ∈ B}, 차집합(difference), A − B = {x ∈ X ∣ x ∈ A 그리고 x /∈ B}, 대칭차집합(symmetric difference) A▽B = (A − B) ∪ (B − A).
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원소를 하나도 갖지 않는 집합을
공집합(empty set, null set)이라 하고, ∅ 또는 { }
로 나타낸다.
집합 A, B가 있어서 A ∩ B = ∅이면 이 두 집합은
서로 소(disjoint)라 한다
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주어진 집합 X의 부분집합 A에 대하여 다음과
같이 정의된 부분집합을
전체집합 X에 관한 A의 여집합(complement)
즉, 𝑨𝑪 = X − A = {x ∈ X ∣ x /∈ A}.
주어진 집합 A의 부분집합 전체의 집합을
A의 멱집합(power set)라 하고, P(A) 또는 𝟐𝑨로
나타낸다.
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정 리 1.1.
전체집합 U , 공집합 ∅ , 부분집합 A, B, C와 이들
의 여집합에 대하여 다음과 같은 연산 법칙이 성립
한다.
(1) A ∪ ∅ = A, A ∩ X = A [항등원]
(2) A ∪ A = A, A ∩ A = A [멱등법칙]
(3) A ∩ U = A, A ∪ U = U
(4) A ∪ 𝑨𝑪 = U, A ∩ 𝑨𝑪 = ∅
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(5) { 𝑨𝑪 }𝑪 = A, 𝑼𝑪 = ∅, ∅𝑪 = U
(6) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A [교환법칙]
(7) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [결합법칙]
(8) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) [배분법칙]
(9) ( A ∪ B )𝑪 = 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪, ( A ∩ B )𝑪 = 𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪
[ 드 모르간의 법칙]
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[증명] (6), (8) 이외의 증명은 각자에게 맡긴다.
(6) A ∪ B = {x ∣ x ∈ A 또는 x ∈ B}
= {x ∣ x ∈ B 또는 x ∈ A} = B ∪ A.
(8) A ∪ (B ∩ C) = {x ∣ x ∈ A ∪ (B ∩ C)}
= {x ∣ x ∈ A 또는 x ∈ (B ∩ C)}
= {x ∣ x ∈ A 또는 [ x ∈ B 그리고 x ∈ C]}
= {x ∣ [x ∈ A 또는 x ∈ B ] 그리고 [x ∈ A 또는 x ∈ C]}
= {x ∣ x ∈ A ∪ B 그리고 x ∈ A ∪ C}
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
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집합을 이루는 원소의 개수가 유한인 집합을 유한집합
(finite set)이라 한다. 그리고 유한이 아닌 집합을 무한집합
(infinite set)이라 한다.
유한집합 A의 원소의 개수를 n(A)로 나타내면 다음 등식
이 성립한다.
(1) n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B)
(2) n(𝑨𝑪) = n(U)−n(A)
(3) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B)
−n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
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원소가 단 하나뿐인 집합 {x ∣ x = a}를
단집합(singleton set)이라 하고, {a}로 나타
낸다.
x = a 또는 x = b인 원소 x 들로만 이루어진
집합을 {a, b}로 나타낸다.
집합{a, b}는 a, b의 순서에 무관한 모임으로
순서가 없는 쌍(unordered pair)이라 한다.
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원소 a, b에 대하여 집합
(a, b) ={{a}, {a, b}}, (b, a) = {{b}, {a, b}}을
a와 b의 순서쌍(ordered pair)이라 한다.
순서쌍 (a, b)와 (b, a)는
a = b인 경우를 제외하고는 같지 않다.
만약 a ≠ b이면 {b} ∉ {{a}, {a, b}}이고
{{a}, {a, b}} ≠ {{b}, {a, b}}이므로
(a, b) ≠ (b, a)이다.
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정 리 1.2.
원소 a, b, c, d에 대하여 (a, b) = (c, d)가 성립할 필요
충분 조건은 a = c, b = d 가 되는 것이다.
[증명] (a, b) = (c, d)일 필요충분조건은
{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}이고
이것은 {a} = {c}, {a, b} = {c, d}
일 필요충분조건이다.
따라서 (a, b) =(c, d)일 필요충분조건은
a = c, b = d 이다.
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집합 A, B 의 순서쌍 전체의 집합 {(a, b) ∣ a ∈ A,
b ∈ B}를
A와 B의 카테시언 곱(Cartesian product)이라 하
고, A × B 로 나타낸다.
A = ∅ 이거나 B = ∅이면 순서쌍은 존재하지 않으므
로 A × B = ∅ 이다. 또한 이의 역도 성립한다.
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정 리 1.3. 집합 A, B, C에 대하여 다음 식이 성립
한다.
(1) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
(2) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(3) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)
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[증명]
(1) 모든 (x, y) ∈ A×(B ∪C)에 대하여
x ∈ A 이고 y ∈ B ∪C이다.
y ∈ B∪C 이면 y ∈ B 또는 y ∈ C이다.
이는 “ ‘x ∈ A 이고 y ∈ B이다.’ 또는
‘x ∈ A 이고 y ∈ C이다.’ “ 와 같은 명제이다.
따라서 (x, y) ∈ (A×B)∪(A×C).
즉, A×(B∪C) ⊂ (A×B)∪(A×C).
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역으로 (x, y) ∈ (A×B)∪(A×C)이면
(x, y) ∈ A×B 또는 (x, y) ∈ A×C 이다.
그러므로 x ∈ A이고 y ∈ B∪C이다.
따라서 (x, y) ∈ A × (B ∪ C),
(A × B) ∪ (A × C) ⊂ A × (B ∪ C)이다.
그러므로 (1)의 등식이 성립한다.
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1.2 사상
집합 A, B 의 카테시언 곱 A × B의 부분집합 f 가
다음의 조건을 모두 만족할 때,
{A, B, f}를 함수라 한다.
(1) 모든 x ∈ A 에 대하여 (x, y) ∈ f 이 되는
y ∈ B가 존재한다.
(2) (x, 𝒚𝟏) ∈ f이고 (x, 𝒚𝟐) ∈ f이면 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐이다.
이때 f 를 집합 A 에서 집합 B 로의 함수(function)
또는 사상(mapping)이라 하고, f : A → B로 나타낸다.
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위의 정의에서 (x, y) ∈ f를 y = f(x)로 나타내고,
y 를 f 에 의한 x 의 상(image)이라 한다.
조건 (1)은 집합 A의 각 원소 x의 상이 반드시 존재
함을 뜻하고,
(2)는 상은 오직 하나뿐임을 의미한다.
즉, A의 임의의 원소 x에 대하여
y = f(x)인 B의 원소 y가 존재하고
오직 하나 뿐일 때,
f 는 집합 A에서 집합 B로의 사상이다.
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사상 f : A → B에서 집합 A를 사상 f 의 정의
역(domain), 집합 B를 공역(codomain)이라 한다.
사상 f : A → B의 f 에 관한 상들 전체의 집합
f(A) = {f(x) ∣ x ∈ A}를 f의 치역(range)이라 한다.
치역의 원소 y는 f(x) = y가 되는 A의 원소 x가 반
드시 존재한다는 뜻이다. 집합 B의 원소 b에 대하
여 집합 𝒇−𝟏(b) = {a ∈ A ∣ f(a) = b}를
b의 원상(inverse image)이라 한다.
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두 개의 사상 f, g : A → B에서 모든 x ∈ A에 대하여 f(x) = g(x)이 성립하면 f와 g는 같다(equal)고 하고, f = g 로 나타낸다. 사상 f 와 g 가 같기 위해서는 두 사상의 정의역, 공역이 각각 같고 대응값이 같아야 한다. 모든 원소 a ∈ A에 대하여 I(a) = a인 사상 I : A → A를 집합 A 위의 항등사상(identity mapping, unity mapping)이라 한다. 이 항등사상은 두 가지의 중요한 의미를 갖는다.
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치역 I(A) = {a ∣ a ∈ A} = A이고 ,
I(a) =I(b) 이면 a = b 이다.
이러한 성질을 일반화하여 보자.
사상 f : A → B에서 𝑰𝑰f (= f(A))가 B와 같을 때
f 는 위로의 사상(onto mapping)
또는 전사사상(surjective mapping)이라 한다.
사상 f : A → B가 전사 일 필요충분조건은
임의의 b ∈ B에 대하여
f(a) = b인 A의 원소 a가 존재하는 것 이다. 즉,
∀b ∈ B, ∃a ∈ A s.t. f(a) = b.
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사상 f 의 정의에서 a = b이면
f(a) = f(b)는 항상 성립한다. 그러나
이의 역이 항상 성립하는 것은 아니다.
명제 “ f(a) = f(b)이면 a = b이다. ”
가 항상 참일 때,
사상f는 A에서 B로의 1대1사상(one to one mapping)
또는 단사사상(injective mapping)이라 한다.
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전사이면서 동시에 단사인 사상을 1대1대응사상
(one to one correspondence mapping) 또는 전단
사사상(bijective mapping )이라 한다.
항등 사상은 전단사 사상이다.
두 집합 사이에 1대1대응사상이 존재할 때,
이 두 집합은 일대일 대응관계
또는 동형관계(isomorphic relation)에 있다 고 한다.
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[예 제] 1.4.
정의역과 공역이 모두 구간 A = [−1, 1]인 다음과 같
이 정의된 사상 f, g, h 가 전사, 단사, 전단사 사상인
지를 판별하여 보아라.
(1) f(x) =𝒙𝟐, (2) g(x) = 𝒙𝟑, (3) h(x) = cos x.
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A = [−1, 1] f :A ->A
[풀이]
(1) f(x) =𝒙𝟐
(i) −1 ∈ A이지만
f(x) = −1 인 x ∈ A가 존재하지 않는다.
따라서
(ii) f(1) = f(−1) = 1이지만 1 ≠ −1이므로
f는 단사사상이 아니다. 전사사상이 아니다.
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A = [−1, 1] g : A ->A
(2) g(x) = 𝒙𝟑
(i) g(A) = A이므로 g는 전사사상이다.
(ii) f(a) = f(b), 즉 𝒂𝟑= 𝒃𝟑이면 a = b이다.
따라서 g는 단사사상이다.
(iii) 전사이면서 단사인 사상이므로
전단사사상 이다.
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A = [−1, 1] h: A −>A
(3) ) h(x) = cos x
(i) cos x = 0인 x (= 𝟑𝝅𝟐 )는 구간 A의 원소가 아니므로
h는 전사사상이 아니다. (𝝅 =3.14…)
(ii) 𝝅𝟒 ,- 𝝅
𝟒 ∈ A이고 cos 𝝅
𝟒 =cos( - 𝝅
𝟒) = 𝟏
𝟐이지만
𝝅𝟒 ≠ - 𝝅
𝟒 이므로 단사사상이 아니다.
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사상 f : A → B 와 g : B → C의 합성(composition) f와 g는 사상이므로 명제 “임의의 a ∈ A에 대하여 f(a) ∈ B가 단 하나 존재한다”와 “b = f(a) ∈ B에 대하여 g(b) = g(f(a)) ∈ C가 단 하나 존재한다”를 얻는다. 그러므로 이들의 합성명제 “임의의 a ∈ A에 대하여 h(a) = c, c = g(f(a))인 C 의 원소 c가 오직 하나 존재한다” 를 얻는다. 따라서 대응 h : A → C는 하나의 사상이다. 이를 h = g ∘ f : A → C로 나타내고, 사상 f : A → B와 g : B → C의 합성사상(composition mapping)이라 한다.
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[예 제] 1.5. 집합 A, B에 대한 항등사상 𝑰𝑨 , 𝑰𝑩와
사상 f : A → B에 대하여 f ∘ 𝑰𝑨= 𝑰𝑩∘ f 이 성립한다.
[풀이] ∀ a ∈ A,
(f ∘ 𝑰𝑨)(a) = f((𝑰𝑨)(a)) = f(a),
(𝑰𝑩 ∘ f)(a) = 𝑰𝑩(f(a)) = f(a).
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[예 제] 1.6.
사상 f : A → B, g : B → C에 대하여
f 와 g가 동시에 1대1이면
합성사상 g ∘ f도 1대1이고,
이들이 동시에 전사이면 g ∘ f도 전사이다.
따라서 일대일대응사상의 합성은
또한 일대일대응 이다.
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정 리 1.7.
사상 f : A → B, g : B → C에 대하여
다음이 성립한다.
(1) g ∘ f 가 단사이면 f 도 단사이다.
(2) g ∘ f가 전사이면 g 도 전사이다.
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사상 f : A → B, g : B → C 에 대하여
(1) g ∘ f 가 단사이면 f 도 단사이다.
[증명] (1) f 가 일대일임을 보이기 위하여
a, b ∈ A, f(a) = f(b)라고 가정하자.
이 식의 양변에 사상 g를 시행하면
g(f(a)) = g(f(b)), (g ∘ f)(a) =(g ∘ f)(b).
그런데 g ∘ f가 단사이므로 a = b이다.
따라서 사상 f : A → B는 단사이다.
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사상 f : A → B, g : B → C에 대하여
(2) g ∘ f 가 전사이면 g도 전사이다.
[ 증명](2) g ∘ f가 전사이면
임의의 c ∈ C에 대하여 (g ∘ f)(a) = c인
a ∈ A가 존재한다.
그러면 g(f(a)) = (g ∘ f)(a) = c에서
b = f(a)는 g(b) = c를 만족하는 B의 원소이다.
따라서 사상 g는 전사이다.
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정 리 1.8.
사상 f : A → B에 대하여 다음이 성립한다.
(1) f 가 단사이기 위한 필요충분조건은
g ∘ f = 𝑰𝑨 인 사상 g : B → A가 존재하는 것이다.
(2) f가 전사이기 위한 필요충분조건은
f ∘ h = 𝑰𝑩 인 사상 h : B → A가 존재하는 것이다.
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[증명] 항등사상 𝑰𝑨, 𝑰𝑩 는 전단사이므로
(1), (2)의 역은 정리 1.7에 의하여 성립한다.
사상 f : A → B가 단사이면
f(A)의 원소 b에 대하여 f(a) = b인 원소 a ∈ A가
단 하나 존재한다.
고정된 원소 q ∈ A에 대하여 다음과 같이 정의된 사
상 g : B → A를 생각하여 보자.
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⎧ a, b ∈ f(A), g(b) = ⎨ q, b ∉ f(A) ⎩ 임의의 a ∈ A에 대하여 (g ∘ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = a. 이는 g ∘ f = 𝑰𝑨임을 뜻한다. f : A → B가 전사이면 f(A) = B이므로 임의의 b ∈ B에 대하여 f(a) = b인 a ∈ A가 존재한다. 그러므로 {a ∈ A ∣ f(a) = b} ≠ ∅. 이 집합의 특정한 원소 하나를 택하여 𝑎𝑏라 하고, h(b) = 𝑎𝑏 로 주어진 사상을 h : B → A라 하자. 그러면 (f ∘ h)(b) = f(h(b)) = f(𝑎𝑏) = b. 따라서 f ∘ h = 𝑰𝑩 가 성립한다.
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정리 2.7에서
g : B → A를
f : A → B의 좌역사상(left inverse mapping),
h : B → A를
f : A → B의 우역사상(right inverse mapping)
이라 한다.
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정 리 1.9. 사상 f : A → B가
일대일대응이기 위한 필요충분조건은
g ∘f = 𝑰𝑨, f ∘ g = 𝑰𝑩 를 만족하는
사상 g : B → A가 오직 하나 존재하는 것이다.
![Page 44: 집합 - elearning.kocw.netelearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/Chungbuk/OhWontae/2.pdf · 집합 X의 원소로서 어떤 성질 P를 만족하는 부분집 합을 생각할](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022041501/5e21e383ba7f301ba7539c8f/html5/thumbnails/44.jpg)
정리 2.8의 사상 g : B → A를 사상 f : A → B의 역사상
(inverse mapping)이라 하고, 𝒇−𝟏로 나타낸다.
그러면 𝒇−𝟏 ∘ f = 𝑰𝑨, f ∘ 𝒇−𝟏 = 𝑰𝑩 이다.
사상 f : A → B 와 g : B → C가 일대일대응이면
합성사상 g ∘ f도 일대일대응이다.
이 때, g ∘ f 의 역사상 ( g ∘ f )−𝟏 은 𝒇−𝟏 ∘ 𝒈−𝟏 이다.
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[예 제] 1.10. 다음 함수 f, g의 역함수를 구하여라.
(1) f(x) = 2x − 3,
(2) g(x) = 𝒙𝟑 + 5, (x >5 )
(3) h(x) = 𝒙−𝟑𝒙−𝟐
(x ≠ 2)
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[풀이] (1) y = f(x), x = 𝒇−𝟏(y)에서 x = 𝒚+𝟑
𝟐
즉 𝒇−𝟏(y) = 𝒚+𝟑𝟐
가 되고
여기서 x와 y를 교환하면 𝒇−𝟏(x) = 𝒙+𝟑𝟐
이다. [풀이] (2) y = g(x), x = 𝒈−𝟏(y)에서 x = 𝒚 − 𝟓𝟑 (y>5) 즉 𝒇−𝟏(y) = 𝒚 − 𝟓𝟑 가 되고 여기서 x와 y를 교환하면 𝒇−𝟏(x) = 𝒙 − 𝟓𝟑 (x>5)이다.
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(3) h(x) = 𝑥−3𝑥−2
(x ≠ 2 )
[풀이]
(3) y = h(x), x = 𝒉−𝟏(y)에서 x = 𝒚−𝟑𝒚−𝟏
(y≠ 𝟏)
즉 𝒉−𝟏(y) = 𝒚−𝟑𝒚−𝟏
가 되고
여기서 x와 y를 교환하면 𝒉−𝟏(x) = 𝒙−𝟑𝒙−𝟏
(x ≠ 1)이
다.