dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · Web viewPerhatikan gambar daerah rata dibawah ini R adalah...
Transcript of dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · Web viewPerhatikan gambar daerah rata dibawah ini R adalah...
BAB IV
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral
tertentu.
2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan
integral tertentu.
3. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda dengan menggunakan
integral tertentu.
4. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur dengan menggunakan integral
tertentu.
Bab V dalam buku ini membahas aplikasi integral tertentu untuk: (1) luas
suatu luasan, (2) volume benda putar (3) luas permukaan, dan (4) menentukan
panjang busur.
5.1 Luas Suatu Luasan
a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-107
R
adalah
bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik
Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan
Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai
negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral
tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam
bentuk
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-
langkah sebagai berikut :
a) Gambar daerah yang bersangkutan
b) Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu
c) Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang
d) Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut
e) Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh
integral tertentu.
Perhatikan contoh-contoh berikut:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-108
1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan
integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
Persamaan garis AC dapat dinyatakan dengan rumus
Diperoleh persamaan
Sehingga luas yang dicari dinyatakan den
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu
koordinat.
Jawab
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-109
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :
Luasan R dibatasi oleh grafik-grafik
.
Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x
dinyatakan dalam bentuk
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas
bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai
integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:
Perhatikan contoh-contoh berikut:
1. Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(-3,0) dan C(-3,-7). Dengan menggunakan
integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu
koordinat.
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis
b. Daerah antara 2 Kurva
Perhatikan kurva-kurva dan dengan pada selang
, seperti gambar berikut :
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-110
Sehingga luas luasannya dinyatakan dengan:
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah
kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
Soal-soal
1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = dan
y =
2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x, y = 2x dan
y = 5 – x
3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = dan y = -x + 6
4. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x + 6, y = x3 dan
2y + x = 0. Kemudian hitunglah luasnya.
4.2 Volume Benda Putar
a. Pemutaran mengelilingi sumbu X
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-111
b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
1.
2.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-112
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan
besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung.
Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas
alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar
adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung
menggunakan integral tentu sebagai berikut :
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah
diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode
yaitu metode cakram dan kulit tabung.
Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan sumbu
putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan
memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga
cakram yang berpusat di titik-titik pada selang .
Misal pusat cakram dan jari-jari . Maka luas cakram dinyatakan :
Oleh karena itu, volume benda putar :
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan
diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
Bila daerah yang dibatasi oleh , untuk setiap
diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-113
Bila daerah yang dibatasi oleh untuk setiap
diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : dan
diputar mengelilingi
a. sumbu X.
b. sumbu Y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang .
Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
b. Pada selang
Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh
2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :
dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di dan Pada selang berlaku
.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-114
Jarak kurva terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat
dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah dan
.
Sehingga volume benda putarnya adalah:
Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume
benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan
metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan
jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung
adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian
berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut
dan , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
Bila daerah yang dibatasi oleh diputar mengelilingi
sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari dan tinggi
tabung Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
Misal daerah dibatasi oleh kurva
diputar mengelilingi
sumbu Y. Maka volume benda putar
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-115
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan
diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
diputar mengelilingi
sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama
dibawah parabola
Jawab
dan di atas parabola diputar mengelilingi sumbu Y.
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian
yaitu : pada selang dibatasi dan sumbu Y sedang pada
selang dibatasi
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-116
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh ,
sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi
benda pejal, dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ),
( 1 + x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
4.3 Luas Permukaan Benda Putar
4.4 Panjang Busur
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-117