giaovienvietnam.com · Web viewCÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC

SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT CÁC LOẠI TỨ GIÁC

TỨ GIÁC

HÌNH THANG

HÌNH THANGVUÔNG

HÌNH CHỮ NHẬT

HÌNH THANGCÂN

HÌNH BÌNHHÀNH

HÌNH THOIHÌNH VUÔNG

3 góc vuông 4 cạnh bằng nhau

2 cạnh đốisong song

- các cạnh đối song song

- các cạnh đối bằng nhau

- 2 cạnh đối song song và bằng nhau

- các góc đối bằng nhau

- 2 đường chéo cắt nhau tại

trung điểm của mỗi đường

2 góc kề một đáy bằng nhau2 đường chéo bằng nhau góc

vuông2 cạnh bên song song

1 góc vuông

2 cạnh bênsong song

1 gócvuông 2 đ.chéo

bằng nhau

- 2 cạnh kề bằng nhau

- 2 đường chéo vuông góc

- 1 đường chéo là đường

phân giác của một góc

1 gócvuông

2 đ.chéobằng nhau

- 2 cạnh kề bằng nhau

- 2 đường chéo vuông góc

- 1 đường chéo là đường

phân giác của một góc

I. ĐƯỜNG GẤP KHÚC VÀ CHU VI CÁC HÌNH

1.Một đường gấp khúc gồm ba đoạn. Đoạn thứ nhất dài 15cm và bằng trungbình cộng

số đo độ dài của hai đoạn còn lại. Nếu khép kín đường gấp khúc đó thành một hình tam

giác thì chu vi hình tam giác đó là bao nhiêu ?

2.Một đường gấp khúc gồm năm đoạn. Hai đoạn đầu bằng nhau và mỗi đoạnso với

đường gấp khúc thì dài hơn là 3cm. Ba đoạn sau bằng nhau vàmỗi đoạn dài 7cm. Nếu

khép kín đường gấp khúc đó thành một hình có năm cạnh thì chu vi hình đó là bao

nhiêu xăng-ti-mét ?

3. Một hình gồm năm cạnh có chu vi là 30cm (độ dài các cạnh không bằng nhau). Tìm

độ dài mỗi cạnh, biết cạnh lớn nhất dài gấp đôi cạnh bé nhất và số đo mỗi cạnh theo

xăng-ti-mét là số tự nhiên.

4. Có 50 đoạn que và độ đài lần lượt mỗi đoạn là : 1cm, 2cm, 3cm, 48cm, 49cm, 50cm.

Hỏi có thể xếp nối tất cả các đoạn que đó thành :

a) Một hình vuông được không ?

b) Một hình chữ nhật được không ?

c) Một hình có 5 cạnh bằng nhau được không ?

(Khi xếp nối, không làm thay đổi hình dạng và kích thước các đoạn que)

5. Có 3 đoạn que, mỗi đoạn dài 6cm ; 4 đoạn que, mỗi đoạn dài 4cm ; 5 đoạn que, mỗi

đoạn dài 2cm ; 2 đoạn que, mỗi đoạn dài 8cm.

Hỏi có thể xếp nối tất cả các đoạn que thành một hình vuông được không ? (Khi xếp

nối, không làm thay đổi hình ùạng kích thước các đoạn que).

6. Có 20 đoạn que gồm :

4 đoạn que, mỗi đoạn dài 1cm ; 4 đoạn que, mỗi đoạn dài 2cm; 7 đoạnque, mỗi đoạn

dài 3cm ; 5 đoạn que, mỗi đoạn dài 4cm.

Hỏi phải bỏ đi đoạn que nào để có thể xếp nối 19 đoạn que còn lại thànhmột hình

vuông ? Hãy nêu ra một cách xếp nối đó. Tính độ dài cạnh hìnhvuông đã được xếp nối.

7. Cho hình bên với :

MA = MB ; NA = NC ; DM = BD ; GM = GP ;

HN = HP ; KN = KC ; BE = EP =PI = IC.

AMPN, MDEG, HIKN là các hình chữ nhật.

Em hãy xem để đi từ B đến C theo đường gấp khúc BAC hoặc BMPNC hoặc

BDEGPHIKC thì đi đường nào ngắn hơn ?

8.Cho hình vẽ, với AB = 5cm, các hình tam giác có trong hình đều là các hình tam giác

có ba cạnh bằng nhau.

Tính tổng chu vi của :

a) Tất cả các hình tam giác ở trong hình ?

b) Tất cả các hình tứ giác có cạnh bằng nhau ở trong hình.

9. Cho hình vẽ, với hình tam giác ABD có cạnh AD bằng cạnh BD, hình tam giác ACE

có cạnh AE bằng cạnh CE. O là trung điểm cạnh BC.

a) So sánh chu vi hình tam giác ADO với chu vi hình tam giác AOE.

b) Tính chu vi hình tam giác ADE, biết BC = 45cm.

c) Tổng chu vi hai hình tam giác ABD và AEG hơn chu vi hình tam giác ABC bao nhiêu

xăng-ti-mét, biết BC = 45cm, DE = 20cm.

10. Bạn An cắt một đoạn dây thép thành 2 phần bằng nhau. Từ một phần, bạn đó uốn

được một hình vuông và từ phần kia một hình tam giác có 3 cạnh bằng nhau. Cạnh

hình nàv dài hơn cạnh hình kia là 5cm. Em hãy tìm chu vi mỗi hình uốn được.

11. Một miếng bìa hình tam giác có chu vi là 120cm. Bạn Bình cắt miếng bìa đó theo

một đường thẳng qua một đỉnh tam giác thành hai hình tam giác có tổng chu vi là

168cm. Em hãy tính độ dài đoạn vết cắt trên miếng bìa đó.

12. Một miếng bìa hình tam giác có hai cạnh bằng nhau và cạnh thứ ba cóđộ dài 15cm.

Qua đỉnh chung của hai cạnh bằng nhau bạn Mai đã cắtmiếng bìa đó theo một

đườngthẳng thành hai hình tam giác mà hiệu chu vi của chúng là 3cm. Hỏi vết cắt đã

chia cạnh thứ ba thành hai đoạn thẳng có độ dài mỗi đoạn bao nhiêu xăng-ti-mét ?

13. Cho hình vẽ. Biết chu vi hình tam giácABC là 120cm, tổng chu vi của hai hình tam

giác ABN và ACM là 180cm.

Tính chu vi hình tam giác AMN.

14. Vẽ hình tam giác ABC, gọi nó là tam giác thứ nhất. Nối các trung điểm các cạnh của

hình tam giác ABC ta được tam giác thứ hai. Nối các trung điểm các cạnh của tam giác

thứ hai ta được tam giác thứ ba. Và tiếp tục vẽ như vậy.

a) Hãy tính số hình tam giác có trong hình khi vẽ như vậy đến hình tam giác thứ 50 ?

b) Phải vẽ đến hình tam giác thứ mấy để nó có chu vi là 4cm, biết chu vi hình tam giác

ABC là 128cm.

15. Tìm chu vi của một hình tứ giác, biết tổng lần lượt ba cạnh liền nhau của hình tứ

giác đó là 38cm, 41cm, 46cm, 43cm. Độ dài cạnh lớn nhất, cạnh bé nhất của hình tứ

giác là bao nhiêu xăng-ti-mét ?

II – CHU VI HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT

16. Có một miếng bìa hình vuông, cạnh 24cm. Bạn Hoà cắt miếng bìa đó dọc theo một

cạnh được hai hình chữ nhật mà chu vi hình này bằng chu vi hình kia. Tìm độ dài

các cạnh của hai hình chữ nhật cắt được.

17. Có một miếng bìa hình vuông, cạnh 6cm. Bạn Bình cắt thành các hình vuông n.hỏ

cạnh 1cm thì vừa hết miếng bìa. Sau đó bạn Bình lại ghép tất cả các hình vuông nhỏ

thành một hình chữ nhật mới. Hỏi chu vi hình chữ nhật mới có thể là bao nhiêu xăng-ti-

mét ? Có nhận xét gì về chu vi hình chữ nhật với chu vi hình vuông ban đầu ?

18. Nếu ghép một hình chữ nhật với một hình vuông có cạnh bằng chiều dài hình chữ

nhật; ta được một hình chữ nhật mới có chu vi 26cm. Nếu ghép hình chữ nhật đó với

một hình vuông có cạnh bằng chiều rộng hình chữ nhật, ta được một hình chữ nhật

mới có chu vi 22cm. Hãy tìm chu vi hình chữ nhật ban đầu.

19. Cho hình vuông ABCD. Nối trung điểm các cạnh của hình vuông ABCD ta được

hình vuông EGIH. Nối trung điểm các cạnh hình vuông EGIH ta được hình vuông

MNPQ. Hãy so sánh tổng chu vi các hình vuông với tổng chu vi các hình tam giác có

trong hình.

20. Một hình chữ nhật có chu vi gấp 3,6 lần chiều dài. Hỏi chu vi đó gấp mấy lần chiều

rộng ?

21. Một hình chữ nhật có chu vi tăng lên 1,6 lần khi chiều dài tăng lên gấp đôi còn chiều

rộng không đổi. Hỏi nếu chiều dài không đổi còn chiều rộng tăng lên gấp đôi thì chu vi

tăng lên bao nhiêu lần ?

22. Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 72cm. Người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông

bằng nhau ở bốn góc.

a) Tìm chu vi hình miếng bìa còn lại.

b) Nếu phần chiều dài còn lại của miếng bìa hơn phần chiều rộng còn lại của miếng bìa

là 12cm thì độ dài các cạnh của miếng bìa hình chữ nhật ban đầu là bao nhiêu xăng-ti-

mét ?

23. Một hình chữ nhật có chu vi gấp 5 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều dài thêm 3m,

chiều rộng thêm 9m thì được một hình vuông. Tìm các cạnh hình chữ nhật đã cho ?

24. Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu bớt chiều dài 3m, bớt

chiều rộng 2m, thì được một hình chữ nhật mới có chu vi gấp 10 lần chiều rộng.

Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu.

25. Một hình chữ nhật và một hình vuông có chu vi bằng nhau. Có một hình tam giác

mà ba cạnh lần lượt bằng chiều dài, chiều rộng (của hình chữ nhật) và bằng cạnh hình

vuông. Em hãy tính chu vi hình chữ nhật nếu biết chu vi hình tam giác là 45cm.

26. Bạn An đem xếp 120 miếng nhựa hình vuông cạnh lcm thành một hình chữ nhật có

chu vi là 44cm. Hãy tính các cạnh của hình chữ nhật đó.

27. Một thửa vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Người ta làm

đường đi (phần tô màu đen trong hình) tạo thành bốn mảnh đất hình chữ nhật bằng

nhau ở trong vườn để trồng hoa. Tìm chu vi thửa vườn, biết tổng chu vi của bốn mảnh

đất trồng hoa là 984m và mặt đường đi rộng bằng chiều rộng thửa vườn.

28. Ba lần chu vi một hình chữ nhật bằng tám lần chiều dài của nó. Nếu tăng chiều rộng

thêm 8m, giảm chiều dài đi 8m thì hình chữ nhật trở thành hình vuông.

Tìm độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật đó.

29. Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi là 100cm. cắt dọc theo một cạnh của nó, ta

được một hình vuông và một hình chữ nhật mới. Hãy tìm độ dài các cạnh của hình chữ

nhật ban đầu, biết chu vi của hình chữ nhật mới là 60cm.

30. Có một miếng bìa hình chữ nhật. Dọc theo chiều rộng, bạn Bình cắt được hai hình

vuông và còn thừa hình chữ nhật (A) nhỏ hơn mỗi hình vuông. Sau đó bạn Binh lại cắt

hình chữ nhật (A) được hai hình vuông và còn thừa một hình chữ nhật (B) nhỏ. Cuối

cùng bạn Bình cắt hình chữ nhật (B) được vừa đúng hai hình vuông, mỗi hình vuông

này có chu vi là 4cm.

Em hãy tính tổng chu vi của tất cả các hình vuông đã cắt được.

III. DIỆN TÍCH HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT

31. Ở trong một mảnh đất hình vuông, người ta xây một cái bể cũng hình vuông. Diện

tích phần đất còn lại là 216 . Tính cạnh của mảnh đất, biết chu vi của mảnh đất gấp 5

lần chu vi cái bể ?

32. Có hai tờ giấy hình vuông mà số đo các cạnh là số tự nhiên. Đem đặt tờ giấy nhỏ

nằm trọn trong tờ giấy lớn thì diện tích phần còn lại không bị che của tờ giấy lớn là 63

. Tính cạnh mỗi tờ giấy.

33. Một hình chữ nhật có diện tích 36 . Nếu giảm chiểu dài một số nguyên xăng-ti-

mét, đồng thời tăng thêm chiều rộng cùng một số nguyên xăng-ti-mét như thế, ta được

một hình vuông. Tìm diện tích hình vuông đó.

34. Bằng các miếng nhựa hình vuông cạnh lcm, bạn An đã ghép được hai hình vuông

mà hiệu diện tích của hai hình vuông đó là 100 . Tính tổng số miếng nhựa mà bạn

An đã dùng để ghép được hai hình vuông trên.

35. Hình bên gồm hai hình vuông mà tổng chu vi hai hình đó là 340cm, độ dài đường

gấp khúc IABCDEGH là 235cm.

Tìm diện tích hình tạo bởi đường gấp khúc khép kín IABCDEGHL.

36. Một vườn trường hình chữ nhật có chu vi gấp 8 lần chiều rộng của nó. Nếu tăng

chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 2m thì diện tích vườn trường tăng thêm

144 . Tính diện tích vườn trường trước khi mở rộng.

37. Một hình chữ nhật có chu vi 200m. Nếu tăng một cạnh thêm 5m, đồng thời giảm

một cạnh đi 5m, thì ta được một hình chữ nhật mới. Biết diện tích hai hình chữ nhật cũ

và mới hơn kém nhau 175 , hãy tìm cạnh hình chữ nhật ban đầu.

38. Cho một hình chữ nhật có chiều rộng 3m, người ta cắt dọc theo một cạnh của nó để

có hai hình chữ nhật mà diện tích hình lớn so với diện tích hình nhỏ thì gấp 2 lần, còn

chu vi hình lớn so với chu vi hình nhỏ thì gấp 1,5 lần. Tìm diện tích hình chữ nhật ban

đầu.

39. Cho hình vuông ABCD với các đường kẻ tạo thành 4 hình vuông bằng nhau ở bốn

góc như hình vẽ.

a) Đếm trong hình có tất cả bao nhiêu hình vuông ?

b) Biết diện tích hình vuông PQRO bằng diện tích hình vuông ABCD và giả sử tổng

diện tích tất cả các hình vuông đếm được bằng 450 , hãy tính chu vi hình vuông

ABCD.

40. a) Một hình vuông và một hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình nào có diện

tích lớn hơn ?

Em vẽ hình minh hoạ rồi giải thích.

b) Một hình vuông và một hình chữ nhật có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi

lớn hơn ?

Em vẽ hình minh hoạ rồi giải thích.

41. Hai hình chữ nhật ABCD và AMNP có phần chung là hình vuông AMOD. Tìm diện

tích hình vuông AMOD, biết hai hình chữ nhật ABCD và AMNP có diện tích hơn kém

nhau 120 và có chu vi hơn kém nhau 20cm.

42. Dọc theo một cạnh hình chữ nhật, bạn Bình kẻ hai đường thẳng chia hình chữ nhật

đó thành 3 phần : 1 hình vuông, 1 hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và 1

hình chữ nhật có chiều rộng bằng chiều dài. Tính xem diện tích hình vuông có thể

bằng mấy phần diện tích hình chữ nhật đã cho ban đầu.

43. Trên một mặt bàn hình chữ nhật, người ta lát các viên gạch men hình vuông cạnh

10cm. Tất cả các viên lát ở ngoài sát mép cạnh hình chữ nhật có màu xanh, các viên

còn lại ở trong có màu trắng. Tính diện tích mặt bàn, biết rằng số viên gạch màu xanh

bằng số viên gạch màu trắng và các viên gạch men lát vừa đủ mặt bàn.

44. Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi 150cm. Dọc theo chiều rộng, bạn Bình lần

lượt cắt được 5 hình vuông và còn thừa ra một hình chữ nhật nhỏ hơn hình vuông đó.

Tính chiều dài hình chữ nhật ban đầu, biết số đo cạnh của các hình theo xăng-ti-mét

đều là số tự nhiên.

45. Một băng giấy hình chữ nhật có chu vi 72cm. Nếu cắt băng giấy này dọc theo chiều

rộng thành các hình vuông thì còn thừa một hình chữ nhật nhỏ hơn mỗi hình vuông ấy.

Biết rằng chiều rộng hình chữ nhật nhỏ này là 4cm. Em hãy tính diện tích băng giấy ban

đầu. (Số đo các cạnh là số tự nhiên).

46. Dọc theo chiều rộng hình chữ nhật (A), bạn An cắt được một số hình vuông và còn

thừa ra hình chữ nhật (B) nhỏ hơn hình vuông, sau đó lại cắt hình chữ nhật (B) được

một số hình vuông và thừa ra một hình chữ nhật (C) nhỏ hơn hình vuông, cuối cùng

chia đôi hình chữ nhật (C) được hai hình vuông.

Tổng tất cả các hình vuông cắt được (cả lớn và nhỏ) là 6 hình. Hãy vẽ tất cả các cách

chia có thể được và tính diện tích hình chữ nhật ban đầu ứng với mỗi cách chia, biết

cạnh hình vuông nhỏ nhất là 12cm.

47. Người ta muốn mở rộng một mảnh vườn hình chữ nhật để có diện tích tăng lên 3

lần. Nhưng chiều rộng chỉ có thể tăng lên gấp đôi nên phải tăng thêm cả chiều dài. Khi

đó vườn trở thành hình vuông. Hãy tính diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng, biết chu

vi mảnh vườn lúc đầu là 42cm.

48. Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABMN có chung cạnh AB và không có phần diện

tích chung. Một hình có chiều dài gấp đôi chiều rộng hình còn lại có chiều dài gấp 3 lần

chiều rộng của nó. Tính diện tích hình chữ nhật MNDC, biết AB = 6cm (vẽ hình với mỗi

trường hợp có thể xảy ra).

49. Cho hình chữ nhật ABCD, E là điểm trên cạnh AB sao cho: AE = 2EB. Hãy xác định

vị trí điểm H trên phần kéo dài của cạnh AD sao cho hình chữ nhật AEGH có diện tích

gấp 1,5 lần diện tích hình chữ nhật ABCD.

50. Cho hình chữ nhật ABCD. E là điểm nằm trên cạnh AB. Hãy vẽ hình chữ nhật

AEGH có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ABCD.

IV. DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC, HÌNH THANG VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH CÁC HÌNH ĐÓ

51. Cho hình tam giác ABC có góc A là góc vuông, AB = 30cm, AC = 45cm. M là một

điểm trên cạnh AB sao cho AM = 20cm. Từ M kẻ đường thẳng song song với cạnh BC

và cắt cạnh AC tại điểm N. Tính diện tích hình tam giác AMN.

52. Cho hình tam giác ABC có diện tích là 12 . Cạnh AB = 8cm và AC = 5cm. Kéo

dài thêm AB đến M và ẠC đến N sao cho BM = CN = 2cm. Hỏi diện tích hình tam giác

AMN là bao nhiêu xăng-ti-mét vuông ? (Không làm thay đổi góc được tạo bởi hai cạnh

AB và AC).

53. Cho hình tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 7,5cm. Em đã kéo dài cạnh AB thêm

1cm, hỏi sau đó phải rút ngắn cạnh AC bao nhiêu xăng-ti-mét để được một hình tam

giác mới có diên tích bằng diện tích hình tam giác ban đầu ?

54. Có một hình tam giác ABC, An giảm cạnh AB đi của nó, sau đó lại tăng cạnh AC

thêm của cạnh này. Sau khi tính cẩn thận, An thấy diện tích hình tam giác mới lại

nhỏ hơn diện tích hình tam giác ban đầu là 2 . Hãy tính diện tích hình tam giác lúc

đầu chưa thay đổi các cạnh.

55. Một mảnh vườn hình tam giác diện tích 39 . Người ta muốn ngăn ra ở một góc

8 để nuôi gà. Trên cạnh thứ nhất lấy 3m, còn cạnh kia bớt đi của nó thì vừa đủ.

Hỏi cạnh thứ nhất dài bao nhiêu mét ?

56. Cho hình tam giác ABC ; M và N là trung điểm của cạnh BC và CA. Các đường

thẳng AM và BN cắt nhau tại O. Đường thẳng CO cắt AB tại P.

a) So sánh độ dài các đoạn AP và PB.

b) So sánh độ dài các đoạn AO và OM.

57. Một mảnh vườn hình tam giác ABC, có diện tích 90 , cạnh AB dài 10m. trên cạnh

BC có điểm M sao cho BM = 2MC. Người ta muốn kẻ đường thẳng qua M cắt cạnh AB

tại điểm N sao cho diện tích tạm giác BMN bằng 15 . Hỏi điểm N cách B bao nhiêu

mét ?

58. Cho hình tam giác ABC có cạnh AB bằng 9cm và có diện tích là 36 . Trên BC,

lấy điểm M sao cho BM = 3MC. Qua M người ta vẽ một đường thẳng cắt BA kéo dài tại

điểm K sao cho diện tích hình tam giác KBM cũng bằng 36 .

a) Tính độ dài đoạn AK.

b) AC và MK cắt nhau tại điểm O. So sánh diện tích hai hình tam giác OAK và OCM.

59. Cho hình tam giác ABC với M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm đoạn MB, P là

trung điểm cạnh AC, Q là trung điểm đoạn PC. Tính diện tích hình tứ giác MNQP nếu

biết diện tích hình tam giác ABC bằng 16 .

60. Cho hình tam giác ABC và một điểm O nằm trong hình tam giác, đường thẳng AO

cắt cạnh BC tại M. Đường thẳng BO cắt CA tại N. Cho biết diện tích hình tam giác AOB

là 3 , diện tích hình tam giác BOM và diện tích hình tam giác AON đều bằng 1 .

Hãy tính diện hình tích tam giác ABC.

61. Cho hình tam giác ABC và điểm O nằm trong hình tam giác. Biết rằng diện tích hình

tam giác AOB bằng 6 , diện tích hình tam giác BOC bằng 8 , diện tích hình tam

giác COA bằng 2 . Đường thẳng OA chia hình tam giác ABC thành hai phần. Tính

diện tích hai phần đó.

62. Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC và trên cạnh

CA lấy điểm N sao NC = NA. Đường thẳng MN cắt cạnh AB kéo dài tại điểm K.

a) Đường thẳng MN chia hình tam giác ABC thành hai phần. Tính diện tích các phần đó

nếu biết diện tích hình tam giác ABC bằng 36 .

b) So sánh các đoạn KA và KB.

63. Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho AP = PB, trên cạnh AC

lấy điểm N sao cho CN = NA và trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC. Các

đường thẳng AM và BN cắt nhau tại H. Đường thẳng CP cắt NB tại I và cắt AM tại K.

Em hãy so sánh diện tích hình tam giác HIK với tổng diện tích của ba hình tam giác

APK, BMH và CIN.

64. Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EB,

trên cạnh AC lấy điểm M, N sao cho AM = MN = NC. Tính diện hình tam giác ABC nếu

biết diện tích hình tứ giác DEMN bằng 6 .

65. Cho hình tam giác ABC có AB = 1,5cm. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho BM =

3MC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 2NC. Đường thẳng MN và đường thẳng

AB cắt nhau tại P.

a) Tính đoạn thẳng AP.

b) So sánh độ dài đoạn thẳng MP và MN.

66. Cho hình tam giác ABC và o là một điểm nằm trong hình tam giác. Đường thẳng

AO cắt cạnh BC tại điểm M, đường thẳng BO cắt cạnh AC tại N. Biết rằng AO = OM và

BO gấp 5 lần NO. Đường thẳng co cắt cạnh AB tại P. Hãy so sánh các đoạn thẳng :

a) OP và CO.

b) BM và MC.

67. Cho hình tam giác ABC có diện tích 420 . N là trung điểm cạnh CA. P là điểm

nằm trên cạnh AB sao cho AP = 3PB. Các đoạn thẳng BN và CP cắt nhau tại K. Hãy

tính diện tích hình tam giác BKC.

68. Cho hình tam giác ABC, M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC. N là điểm trên

cạnh CA sao cho CN = 3NA ; AM cắt BN tại O. Hãy tính diện tích hình tam giác ABC

nếu biết diện tích hình tam giác AOB bằng 20 .

69. Cho hình tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC.

a) Hãy so sánh diện tích hình tam giác ADE với diện tích hình tam giác ABC.

b) M là một điểm bất kì trên BC. Đoạn thẳng AM cắt đoạn thẳng DE tại I. Hãy so sánh

AI và IM.

70. Cho hình tam giác ABC có diện tích là 72 . Hai điểm D, E lần lượt là trung điểm

các cạnh AB, AC. Trên cạnh BC ỉấy hai điểm M, N sao cho MN = BC. Đường thẳng

DE cắt các đoạn thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm P, Q.

Tính diện tích hình tứ giác MNQP.

71. Cho hình tam giác ABC, D là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AD = AB ;

E là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AE = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt đoạn

thẳng DE tại I và cắt cạnh BC tại M.

a) So sánh diện tích các hình tam giác ADE và ABC.

b) So sánh các đoạn thẳng AI và AM.

72. Trên cạnh AB của hình tam giác ABC lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EB.

Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = MN = NC. Trên cạnh AC lấy 2 điểm p, Q

sao cho CP = PQ = QA. Tia AM cắt các đoạn thẳng DQ và EP lần lượt tại U, V. Tia AN

cắt các đoạn thẳng DQ và EP lần lượt tại X, Y.

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AU, UV, VM.

b) So sánh diện tích hình tứ giác UVYX với diện tích hình tam giác ABC.

73. Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = MB, trên cạnh

AC lấy điểm N sao cho AN = NC. Hai tia BN và CM cắt nhau tại điểm O.

a) So sánh diện tích hai hình tam giác OBC và ABC.

b) So sánh độ dài các đoạn thẳng BO và ON.

74. Cho hình tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm P sao cho AP = 2PB. Trên cạnh BC

lấy điểm M sao cho MB = 2MC, trên cạnh CA lấy điểm N sao cho CN = 2NA. AM và BN

cắt nhau tại E; CP cắt AM tại G và cắt BN tại D.

So sánh diện tích các hình tam giác DEG và ABC.

75. Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB. Hai đường chéo AC và BD cắt

nhau tại điểm O.

a) So sánh các đoạn thẳng OB và OD, OA và OC.

b) Tính diện tích các hình tam giác OAD và DCO, nếu biết diện tích hình thang ABCD

bằng 32 .

76. Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB. Các cạnh bên AD và BC kéo

dài cắt nhau tại P.

a) So sánh các đoạn thẳng PA và PD, PB và PC.

b) Tính diện tích hình thang nếu biết rằng diện tích hình tam giác PAB bằng 4 .

77. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. AC và BD cắt nhau tại O. M là trung

điểm cạnh đáy AB. Đường thẳng OM cắt cạnh đáy CD tại N. So sánh đoạn CN và ND.

78. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. AC và BD cắt nhau tại O. Qua O có

đường thẳng cùng song song với hai đáy, cắt AD tại P, cắt BC tại Q. So sánh đoạn OP

và OQ.

79. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. AC và BD cắt nhau tại O. Các cạnh bên

kéo dài cắt nhau tại K. Đường thẳng KO cắt AB tại M và cắt CD tại N. So sánh các

đoạn thẳng MA và MB, các đoạn thẳng ND và NC.

80. Cho hình thang ABCD, đáy là AB và CD, M là 1 điểm bất kì trên AB, N là điểm bất

kì trên CD.

a) So sánh tổng diện tích hai hình tam giác CMD và ANB với diện tích hình thang

ABCD.

b) AN và DM cắt nhau tại E ; CM và BN cắt nhau tại G. So sánh tổng diện tích hai hình

tam giác AED và BGC với diện tích hình tứ giác MENG.

81. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD ; M và N lần lượt là trung điểm cạnh BC và

AD ; AM cắt BN tại E, CN cắt DM tại G.

a) So sánh tổng diện tích hai hình tam giác MAD và NBC với diện tích hình thang

ABCD.

b) So sánh diện tích hình tứ giác MENG với tổng diện tích hai hình tam giác AEB và

CGD.

82. Cho hình thang ABCD đáy AB = 30cm và CD = 45cm. AC và BD cắt nhau tại O.

Cho biết diện tích hình tam giác OAB là 180 . Hãy tính diện tích hình thang.

83. Cho hình thang ABCD hai đáy AB và CD. Các cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau

ở K. Cho biết diện tích hình tam giác KCD gấp 1,5 lần diện tích hình tam giác KAC.

Tính các cạnh đáy của 1hình thang đó nếu biết diện tích hình thang là 375 và chiều

cao của nó là 10cm.

84. Cho hình vuông ABCD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

Các đường thẳng AN và CQ cắt các đường thẳng BP và DM tạo thành hình tứ giác

GHIK.

a) Em hãy so sánh diện tích hình tứ giác GHIK với tổng diện tích của bốn hình tam giác

nhỏ lần lượt có một đỉnh là A, B, C, D.

b) Tính diện tích hình tứ giác GHIK nếu biết cạnh hình vuông là 20cm.

85. Cho hình chữ nhật ABCD. M và N là hai điểm nằm trên cạnh AB sao cho

MN = AB ; P, Q là hai điểm trên cạnh CD sao cho PQ = CD ; Hai đường thẳng MO

và NQ cắt nhau tại điểm O nằm trong hình chữ nhật.

Biết rằng diện tích hình tam giác OPQ lớn hơn diện tích hình tam giác OMN là 1,5 .

Hãy tính diện tích hình chữ nhật đã cho.

86. Cho hình chữ nhật ABCD. E và G lần lượt là trung điểm cạnh AD và BC. M, N lần

lượt là hai điểm bất kì nằm trên các cạnh AB và CD. Đoạn thẳng MN cắt đoạn thẳng

EG tại I. So sánh :

a) Diện tích mỗi hình tứ giác ABGE, EGCD với diện tích hình chữ nhật ABCD.

b) Độ dài các đoạn thẳng MI và IN.

87. Cho hình chữ nhật ABCD. E, G lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC. M, N là

hai điểm bất kì nằm trên hai cạnh AB và CD. MN và EG cắt nhau tại I.

a) Cho biết diện tích hình thang AMND gấp đôi diện tích hình thang MBCN, hãy so sánh

hai đoạn thẳng EI và IG.

b) Ngược lại, cho biết EI = 2IG, hãy so sánh diện tích hai hình thang AMND và MBCN.

88. Cho hình tứ giác ABCD. I là trung điểm cạnh AB. Cho biết diện tích các hình tam

giác ACD và BCD lần lượt băng 12 và 18 . Hãy tính diện tích hình tam giác ICD.

89. Cho hình tứ giác ABCD. M và N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và CD sao

cho AM = 2MB ; CN = 2ND. AN cắt DM tại P, BN cắt CM tại Q. So sánh diện tích hình

tứ giác PMQN với tổng diện tích hai hình tam giác APD và BQC.

90. Cho hình tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AC, BD cắt nhau tại điểm O. Cho biết diện

tích các hình tam giác OAB, OBC và OCD lần lượt bằng 4 ; 3,5 và 5,25 .

Hãy tính diện tích hình tứ giác ABCD.

91. Cho hình tứ giác ABCD có diện tích là 34 . Cạnh CB kéo dài về phía B và cạnh

DA kéo dài về phía A thì cắt nhau tại P. Biết diện tích hình tam giác PAB bằng 18cm và

diện tích hình tam giác ABC bằng 6 . Hãy tính diện tích các hình tam giác ABD và

BCD.

92. Cho hình tứ giác ABCD có diện tích bằng 47 . Cạnh CB kéodài về phía B, cạnh

DA kéo dài về phía A cắt nhau tại điểm P.

Hãy tính diện tích hình tam giác PAB nếu biết rằng hình tam giác ABC và hình tam giác

BCD lần lượt có diện tích bằng 12 và 24 .

93. Cho hình tứ giác ABCD và M, N, p, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD

và DA, MP và NQ cắt nhau tại I.

Hãy so sánh các đoạn thẳng MI và IP.

94. Cho hình tứ giác ABCD, trên AB lấy điểm E sao cho AE = EB. Trên BC lấy điểm

H sao cho BH = HC. Trên CD lấy điểm N sao cho CN = CD. Trên DA lấy điếm P,

sao cho DP = DA. EN và PH cắt nhau tại điểm O.

So sánh EO và ON.

95. Cho hình tứ giác ABCD có diện tích 300 biết:

AM = MN = NB ;

DP = PQ = QC.

Tính diện tích hình MNQP.

96. Cho hình tứ giác ABCD có diện tích là 900 , biết :

AM = MN = NB ; BE = EG = GC ;

DP = PQ = QC ; AK = KH = HD.

Tính diện tích hình RSTO.

V. CHU VI, DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN

97. Trong hình vẽ

Tổng chu vi bốn hình tròn nhỏ có bằng chu vi hình tròn lớn không? Giải thích vì sao?

98. Cho hình sau, ABCD là hình chữ nhật. Cạnh AB = 4cm.

a) So sánh diện tích hình 1 với diện tích hình 2, nếu biết diện tích hình chữ nhật bằng

nửa diện tích hình tròn tâm A, bán kính AB.

b) Tính đoạn thẳng EG.

99.Một con kiến đi từ A đến D theo đường gấp khúc ABCD, hoặc theo hai nửa đường

tròn AmEnD thì đi theo đường nào sẽ ngắn hơn ? (ABCD là hình chữ nhật).

Tính diện tích phần hình chữ nhật không bị hai nửa hình tròn che lấp, biết bán kính mỗi

đường tròn là 5cm.

100.Cho hình vuông ABCD. Diện tích hai hình tròn trong hình vẽ hơn, kém nhau mấy

lần ?

HƯỚNG DẪN, BÀI GIẢI

1.

Chu vi hình tam giác do đường gấp khúc khép kín tạo thành bằng tổng độ dài ba đoạn

thẳng của đường gấp khúc đó.

- Độ dài của hai đoạn còn lại là :

15 x 2 = 30 (cm).

- Chu vi của hình tam giác là :

30 + 15 = 45 (cm).

2.

Chu vi hình năm cạnh do đường gấp khúc khép kín tạo thành bằng tổng độ dài năm

đoạn thẳng của đường gấp khúc đó.

- Biểu thị độ dài đường gấp khúc là 5 "phần" bằng nhau thì độ dài hai đoạn đầu bằng :

2 "phần" + 6cm.

- Độ dài ba đoạn sau là :

7 x 3 = 21 (cm).

Ta có sơ đồ :

- Độ dài 3 "phần" là :

21 + 6 = 27 (cm).

Độ dài đường gấp khúc hay chu vi hình năm cạnh là :

27 : 3 x 5 = 45 (cm).

3.

Gọi độ dài các cạnh theo thứ tự từ lớn dến bé là a, b, c, d, e. Ta có các số tự nhiên :

a > b > c > d > e và a = e x 2.

Ta có sơ đồ:

Nếu cắt bớt ở 3 cạnh b, c, d, cho bằng cạnh bé nhất thì 6 lần cạnh bé nhất bé hơn 30.

Vì 5 x 6 = 30 nên cạnh bé nhất bé hơn 5 (e < 5). Nếu thêm vào ba cạnh b, c, d cho

bằng cạnh lớn nhất ta được 9 lần cạnh bé nhất. Vậy 9 lần cạnh bé nhất lớn hơn 30. Vì

3 x 9 = 27 < 30 nên cạnh bé nhất lớn hơn 3 (e > 3).

Như vậy chỉ có thể e = 4 (cm) và a = 4 x 2 = 8 (cm). Giữa 4 và 8 chỉ có 3 số tự nhiên 5,

6, 7 nên ta có b = 7cm, c = 6cm, d = 5cm.

Đáp số: 8cm, 7cm, 6cm, 5cm, 4cm. Thử lại đúng.

4.

Xếp nối theo đề bài thì số đo mỗi cạnh theo xăng-ti-mét phải là số tự nhiên, do đó chu

vi của hình vuông (nếu xếp được) phải là số chia hết cho 4, chu vi của hình chữ nhật

(nếu xếp được) phải là số chia hết cho 2 (vì chu vi bằng 2 lần tổng độ dài 2 cạnh).

Tổng độ dài của 50 đoạn que là :

1 + 2 + ... + 49 + 50 = (1 + 50) + (2 + 49) + ... + (25 + 26)

= 51 x 25

= 1275 (cm)

1275 không chia hết cho 2, không chia hết cho 4 do đó không thể xếp nối các đoạn que

thành hình vuông hoặc hình chữ nhật được.

1275 có thể phân chia thành 25 cặp tổng mỗi cặp là 51 chẳng hạn :

1275 = (1 + 50) + (2 + 49) + ... + (24 + 27) + (25 + 26)

Lấy 5 cặp nào đó ta xếp được 1 cạnh của hình có 5 cạnh bằng nhau. Do đó có thể xếp

nối các đoạn que thành hình có 5 cạnh bằng nhau, mỗi cạnh dài

51 x 5 = 255 (cm).

5.

Tổng độ dài tất cả các đoạn que là

6 x 3 + 4 x 4 + 2 x 5 + 8 x 2 = 60 (cm).

- Nếu xếp được hình vuông thì số đo cạnh hình vuông là

60 : 4 = 15 (cm)

- Vì mỗi đoạn que có số đo theo xăng-ti-mét là một số chẵn nên dù xếp thế nào số đo

mỗi cạnh hình vuông (nếu xếp được) phải là số chẵn. Mà 15 là số lẻ. Vậy không thể

xếp nối các đoạn que thành một hình vuông được.

6.

- Tổng độ dài 20 đoạn que là :

1 x 4 + 2 x 4 + 3 x 7 + 4 x 5 = 53 (cm).

- Nếu bớt một đoạn 2cm, hoặc 3cm, hoặc 4cm thì ta còn tổng độ dài 19 que là : 51cm,

hoặc 50cm, hoặc 49cm đều là các số không chia hết cho 4, nên đoạn que bớt đi chỉ có

thể là đoạn 1cm (53 - 1 = 52, 52 chia hết cho 4).

- Chẳng hạn ta có thể xếp được hình vuông có 3 cạnh đầu mỗi cạnh gồm một đoạn

2cm, một đoạn 4cm, một đoạn 1cm và hai đoạn 3cm, còn cạnh thứ tư gồm một đoạn

2cm, một đoạn 3cm và hai đoạn 4cm. Khi đó độ dài cạnh hình vuông là

52 :4 = 13 (cm).

7.

Đường gấp khúc BAC = BA + AC

Đường gấp khúc BMPNC = BM + MP + PN + NC

Đường gấp khúc BDEGPHIKC bằng

BD + DE + EG + GP + PH + HI + IK + KC

Vậy ba đường gấp khúc BAC, BMPNC và BDEGPHIKC dài bằng nhau.

8.

a) Tổng chu vi (CV) tất cả các hình tam giác có trong hình là :

CV(AHD) + CV(AIC) x 3 + CV(AKB) x 9

= 5 x 9 + 5 x 6 x 3 + 5 x 3 x 9

= 270 (cm).

b) Các hình tứ giác có cạnh bằng nhau ở trong hình là :

AKOB, KBOI, IKOG, HIOG, IOEG,

COGE, COED, OECB, KOCB (gồm 9 hình).

Tổng chu vi của các hình tứ giác đó là :

5 x 4 x 9 = 180 (cm)

9.

a) Chu vi hình tam giác AOD = AO + AD + DO

= AO + BD + DO (vì AD = BD)

= AO + BO (1)

Chu vi hình tam giác AOE = AO + OE + EA

= AO + OE + EC (vì AE = EC)

= AO + OC (2)

So sánh (1) và (2) với BO = OC, ta thấy chu vi hình tam giác AOD bằng chu vi hình tam

giác AOE.

b) Chu vi hình tam giác ADE = AD + DE + AE

= BD + DE + EC (vì AD = BD, AE = EC)

= CB = 45 (cm).

c) Tổng chu vi hai hình tam giác ABD và AEC bằng :

(AB + BD + DA) + (AE + EC + AC) = AB + AC + (BD + DA + EC + AE)

= AB + AC + BD x 2 + EC x 2

= AB + AC + (BD + EC) x 2

= AB + AC + (45 -20) x 2

= (AB + AC) + 50cm(1)

- Chu vi tam giác ABC = (AB + AC) + 45cm (2)

- So sánh (1) và (2) ta thấy tổng chu vi hai hình tam giác ABD và AEC hơn chu vi hình

tam giác ABC là :

50 - 45 = 5 (cm)

10.

Chu vi hình vuông bằng chu vi hình tam giác có 3 cạnh bằng nhau, ta có thể biểu thị

theo hình sau :

- Chu vi hình tam giác gồm 3 cạnh hình vuông và đoạn dài 15cm (5x3 = 15). Do đó 1

cạnh hình vuông là 15 cm.

- Chu vi hình vuông bằng chu vi hình tam giác và bằng :

15 x 4 - 60 (cm)

11.

Giả sử có miếng bìa hình tam giác ABC với vết cắt là đoạn AD.

Xét tổng chu vi hai hình tam giác ABD và ADC :

(AB + BD + AD) + (AD + DC + AC)

= AB + (BD + DC) + AC + AD x 2

= (AB + BC + AC) + AD x 2

Như vậy tổng chu vi 2 hình tam giác ADC và ABD so với chu vi hình tam giác ABC thì

hơn là 2 lần đoạn AD. Vậy đoạn AD là :

(168 - 120) : 2 = 24 (cm).

12.

Miếng bìa là hình tam giác ABC có cạnh AB bằng cạnh AC ; BC = 15cm và vết cắt là

đoạn AD. Cạnh BC bị cắt thành 2 đoạn BD và DC :

Giả sử BD > DC.

Hiệu chu vi 2 hình tam giác ABD và ADC là :

(AB + BD + AD) - (AD + DC + AC) = BD - DC (vì AB = AC và AD chung).

Từ đó : BD - DC = 3 (cm) ;

BD + CD =15 (cm) ;

Do đó : BD = (3 + 15) : 2 = 9 (cm) ;

DC = 15 - 9 = 6 (cm).

13.

Tổng chu vi hai hình tam giác ABN và ACM bằng :

(AB + BN + AN) + (AC + CM + AM)

= (AB + AQ + (AN + AM) + (BN + CM)

= (AB + AC + BC) + (AN + AM + MN)

= 120cm + Chu vi hình tam giác AMN.

Từ đó 120cm + Chu vi hình tam giác AMN = 180cm

Chu vi hình tam giác AMN = 180 - 120 = 60 (cm).

14.

a) Xem hình vẽ:

b) Hình tam giác thứ nhất có chu vi là 128cm

Hình tam giác thứ hai có chu vi là 64cm

Hình tam giác thứ ba có chu vi là 32cm

Hình tam giác thứ tư có chu vi là 16cm

Hình tam giác thứ năm có chu vi là 8cm

Hình tam giác thứ sáu có chu vi là 4cm

Vậy, vẽ đến hình tam giác thứ sáu thì chu vi của nó là 4cm.

15.

Gọi hình tứ giác ABCD, theo đầu bài chẳng hạn có :

AB + BC + CD = 38 (cm)

BC+ CD + DA = 41 (cm)

CD + DA + AB = 46 (cm)

DA + AB + BC = 43 (cm)

Như vậy 3 lần tổng độ dài 4 cạnh là

38 + 41 +46 + 43 = 168 (cm).

Chu vi hình tứ giác là : 168 : 3 = 56 (cm)

Độ dài cạnh lớn nhất là : 56 - 38 = 18 (cm)

Độ dài cạnh bé nhất là : 56 - 46 = 10 (cm).

16.

Giả sử từ hình vuông ABCD (hình vẽ), bạn Hoà cắt A được hình chữ nhật AMND và

MBCN. Tổng chu vi hai hình chữ nhật này bằng:

= cạnh hình vuông x 6 = 24 x 6 = 144 (cm).

Biết tổng chu vi hai hình là 144 cm, tỉ số chu vi của chúng là . Ta có :

Chu vi hình AMND là : 144 : 9 x 4 = 64 (cm)

Cạnh AM là : (64 - 24 x 2) : 2 = 8 (cm)

Cạnh MB là: 24-8 = 16 (cm).

Vậy, hình chữ nhật AMND có chiều rộng là 8cm và chiều dài là 24cm. Hình chữ nhật

MBCN có chiều rộng 16cm và chiều dài 24cm.

17.

Số hình vuông nhỏ (cạnh 1cm) cắt được là :

6 x 6 = 36 (hình)

Ta có: 36 = 1 x 36 = 2 x 18 = 3 x 12 = 4 x 9 = 6 x 6.

Như vậy có thể xếp các hình vuông nhỏ thành một hình chữ nhật theo 4 cách :

1. Chiều rộng 1cm, chiều dài 36cm thì chu vi hình chữ nhật là :

(1 + 36) x 2 = 74 (cm).


(18 + 2) x 2 = 40 (cm).


(3 + 12) x 2 = 30 (cm).


(4 + 9) x 2 = 26 (cm).

Nhận xét : Các hình chữ nhật trên có cùng diện tích với hình vuông (gồm 36 hình vuông

nhỏ) và đều có chu vi lớn hơn chu vi hình vuông.

(Chu vi hình vuông bằng 6 x 4 = 24 (cm)).

18.

Theo đầu bài :

Chu vi hình chữ nhật AEGD là 22cm. Chu vi hình chữ nhật ABHI là 26cm.

Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đã cho D là a, b, thì :

Tổng chu vi 2 hình chữ nhật AEGD và ABHI là :

(b + a + b) x 2 + (a + b + a) x 2 = (a + b) x 6

Từ đó (a + b) x 6 = 22 + 26 = 48 (cm)

(a + b) = 48 : 6 = 8 (cm).

Hiệu chu vi hai hình chữ nhật ABHI và AEGD là :

(a + b + a) x 2 - (b + a + b) x 2 = (a - b) x 2

Từ đó (a - b) x 2 = 26 - 22 = 4 (cm)

a - b = 4 : 2 = 2 (cm).

Biết tổng và hiệu hai cạnh của a và b, ta có :

Chiều dài hình chữ nhật đã cho là :

a = (8 + 2) : 2 = 5 (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật đã cho là :

b = 8 - 5 = 3 (cm)

Ghi chú : Cũng có thể tính :

Chu vi AEGD = (a + b + b) x 2 = 22 (cm)

Chu vi ABHI = (a + a + b) x 2 = 26 (cm)

Hay : a + b x 2= 11

b + a x 2 = 13

Từ đó tính được a = 5, b = 3.

19.

Tổng chu vi 4 hình tam giác AIE, BEG, CGH và DHI bằng đúng tổng chu vi hai hình

vuông ABCD và EGHI.

- Tổng chu vi 4 tam giác EMN, GNP, HPQ và IMQ đúng bằng tổng chu vi hai hình

vuông EGHI và MNPQ.

- Như vậy tổng chu vi 8 hình tam giác có trong hình bằng tổng chu vi 3 hình vuông có

trong hình cộng với chu vi hình vuông EGHI. Vậy tổng chu vi các hình tam giác có trong

hình lớn hơn tổng chu vi các hình vuông có trong hình.

20.

Chu vi hình chữ nhật gấp 3,6 lần chiều dài thì nửa chu vi của nó gấp 1,8 lần chiều dài

(3,6 : 2 = 1,8).

Biểu thị chiều dài là 10 "phần" thì nửa chu vi là 18 "phần". Khi đó chiều rộng là

8 "phần" : (18 -10 = 8) và chu vi là 36 "phần" (18 x 2 = 36).

- Chu vi hình chữ nhật so với chiều rộng gấp một số lần là :

36 : 8 = 4,5 (lần).

21.

Chiều dài tăng lên gấp đôi, chiều rộng không đổi, thì chu vi hình chữ nhật đã tăng thêm

2 lần chiều dài. Nếu biểu thị chu vi hình chữ nhật ban đầu là 10 "phần" thì chu vi hình

chữ nhật mới là 16 "phần’ (do tăng thêm 1,6 lần). Do đó 2 lần chiều dài (tăng thêm) là 6

"phần" (16 - 10 = 6). Chiều dài hình chữ nhật là 3 “phần”. Khi đó chiều rộng hình chữ

nhật là :

10 : 2 - 3 = 2 (phần).

- Chiều rộng tăng lên gấp đôi, chiều dài không đổi thì chu vi hình chữ nhật đã tăng thêm

2 lần chiều rộng của nó (tức là tăng thêm : 2 x 2 = 4 "phần"). Theo trên, chu vi hình chữ

nhật mới sẽ gồm :

10 + 4 = 14 (phần).

So với chu vi hình chữ nhật ban đầu thì chu vi hình chữ nhật mới đã tăng lên.

14 : 10= 1,4 (lần).

22.

Chu vi hình miếng bìa còn lại (OPEGQHIRKMSN) bằng đúng chu vi hình chữ nhật

ABCD là 72 cm (các cạnh hình vuông ở 4 góc bằng nhau).

- Chiều dài PQ hơn chiều rộng PS là 12cm, thì chiều dài AB hơn chiều rộng AD cũng là

12cm (số bị trừ và số trừ cùng thêm một số thì hiệu không thay đổi).

Biết tổng :

AB + AD = 72 : 2 = 36 (cm).

Từ đó chiều dài hình chữ nhật đã cho là :

(36 + 12) : 2 = 24 (cm).


36 – 24 = 12 (cm).

23.

So sánh chu vi và chiều rộng theo sơ đồ sau :

Ta thấy 2 lần chiều dài bằng 3 lần chiều rộng. Nếu xem chiều dài là 3 phần thì chiều

rộng là 2 phần.

- Số phần chiều dài hơn chiều rộng là :

3 – 2 = 1 (phần)

- So sánh chiều dài với chiều rộng theo sơ đồ sau :

Ta thấy chiều dài hơn chiều rộng là :

9-3 = 6 (m).

Suy ra 1 phần là 6m. Vậy :

Chiều dài hình chữ nhật đã cho là :

6 x 3 = 18 (m).


6 x 2=12 (m).

24.

Chu vi hình chữ nhật ban đầu so với chiều rộng của nó gấp :

(3 + 1) x 2 = 8 lần.

Chiều rộng cũ bằng chiều rộng mới + 2m, do đó chu vi hình chữ nhật cũ bằng 8 lần

chiều rộng mới + 16m (2 x 8 = 16)

- Chu vi hình chữ nhật cũ hơn chu vi hình chữ nhật mới là :

(3 + 2) x 2 = 10 (m).

- Ta có sơ đồ (mỗi đoạn nhỏ bằng nhau là 1 lần chiều rộng mới).

Ta thấy : 2 lần chiều rộng mới thì bằng : 16 - 10 = 6 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật mới là : 6 : 2 = 3 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật cũ là : 3 + 2 = 5 (m)

Chiều dài hình chữ nhật cũ là : 5 x 3 = 15 (m)

Chu vi hình chữ nhật cũ là : (5 + 15) x 2 = 40 (m).

25.

Vì chu vi hình chữ nhật bằng chu vi hình vuông nên nửa chu vi hình chữ nhật (tổng

chiều dài và chiều rộng) bằng 2 lần cạnh hình vuông.

Từ đó tổng của chiều dài, chiều rộng và cạnh hình vuông (hay chu vi hình tam giác)

bằng 3 lần cạnh hình vuông.

Vậy, cạnh hình vuông là :

45 : 3 = 15 (cm)

Chu vi hình vuông (hay chu vi hình chữ nhật) là :

15 x 4 = 60 (cm)

26.

Cách 1 :

Nhận xét : Cạnh hình chữ nhật có số đo là số tự nhiên, phân tích

120 = 1 x 120 = 2 x 60 = 3 x 40 = 4 x 30 = 5 x 24 = 6 x 20 = 8 x 15 = 10 x 12.

Tính chu vi cả 8 trường hợp hình chữ nhật có cặp cạnh là

(1, 120) ; (2, 60); (3, 40) ; (4, 30) ; (5, 24) ; (6, 20) ; (8, 15) ; (10, 12).

Ta thấy chỉ có trường hợp chiều dài 12cm, chiều rộng lOcm thì chu vi của nó là :

(12+ 10) x 2 = 44 (cm).

Cách 2 :

Nửa chu vi (hay chiều dài cộng với chiều rộng) là :

44 : 2 = 22 (cm).

Phân tích :

22 = 1 + 21 = 2 + 20 = 3 +19 = 4 + 18

= 5 + 17 = 6+16 = 7 + 15 = 8 + 14

= 9+ 13 = 10+ 12= 11 + 11.

Thử với các trường hợp chỉ có cặp 10 x 12 = 120 là thích hợp. Cạnh hình chữ nhật là

10 cm và 12cm.

(Có thể nhận xét 120 có tận cùng là 0 nên chỉ cần thử tính 2 x 20 hoặc 10 x 12 là đủ).

27.

Biểu thị chiều rộng là 1 phần thì chiều rộng gồm 63 phần, chiều dài 63gồm:

63 x 3 = 189 (phần).

Khi đó chiều rộng mỗi hình chữ nhật bé gồm :

(63 - 3) : 2 = 30 (phần).

Chiều dài hình chữ nhật bé gồm :

(189- 3): 2 = 93 (phần).

Từ đó 984m = (30 + 93) x 2 x 4 (phần).

Suy ra 1 phần = 1m.

Chu vi thửa vườn là :

(189 + 63) x 2 = 504 (m).

28.

Chiều dài hơn chiều rộng là :

8 + 8 = 16 (m)

Theo đầu bài : 3 lần chu vi = 8 chiều dài.

Hay là : 6 chiều dài + 6 chiều rộng = 8 chiều dài. Suy ra 6 chiều rộng = 2 chiều dài.

Như vậy, 2 chiều dài bằng 6 chiều rộng hay chiều dài gấp 3 lần chiều rộng :

Chiều dài hình chữ nhật là :

16 : 2 x 3 = 24 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật là :

24- 16 = 8 (m)

29.

Xét hiệu của chu vi chữ nhật ABCD với chu vi hình chữ nhật NMBC,

ta có hiệu đó là : (AM + DN)

Từ đó : AM + DN = 100 - 60 = 40 (cm);

AM x 2 = 40 (cm) ;

AM = 40 : 2 = 20 (cm).

Vậy chiều rộng hình chữ nhật ABCD là D 20 cm.

Chiều dài là :

100 : 2 - 20 = 30 (cm)

30.

Cạnh hình vuông số 1gấp 5 lần cạnh hình vuông số 3, nên chu vi của nó gấp 5 lần chu

vi hình vuông số 3. Chu vi hình vuông số 1 là :

4 x 5 = 20 (cm).

- Cạnh hình vuông số 2 gấp đôi cạnh hình vuông số 3 nên chu vi của nó gấp đôi chu vi

hình vuông số 3.

Chu vi hình vuông số 2 là :

4x2 = 8 (cm).

Tổng chu vi của tất cả 6 hình vuông là :

(4 + 8 + 20) x 2 = 64 (cm).

31.

Ta có thể xem là bể đặt chính giữa mảnh đất (hoặc ở một góc) cũng được.

- Chu vi mảnh đất gấp 5 lần chu vi cái bể nên cạnh mảnh đất gấp 5 lần cạnh bể (Hình

vẽ).

- Diện tích mảnh đất so với diện tíc thì gấp

5 x 5 = 25 (lần).

Diện tích phần đất còn lại so với c cái bể thì gấp

25 - 1 = 24 (lần).

Diện tích cái bể là :

216 : 24 = 9 ( )

Cạnh của bể là 3m vì :

3x3 = 9 ( )

Cạnh của mảnh đất là :

3x5= 15 (m).

32.

Có thể xem tờ giấy nhỏ đặt ở góc như hình vẽ bên dưới. Hình vuông nhỏ là ABCD.

Hình vuông lớn là AEGH.

Phần hình vuông lớn không bị che lấp gồm 2 hình chữ nhật DIGH và CIEB có 1 cạnh

bằng nhau (bằng hiệu 2 cạnh của 2 hình vuông), cạnh còn lại lần lượt bằng cạnh của 2

hình vuông.

Nếu ta ghép hình chữ nhật CIEB vào vị trí GIMN thì được 1 hình chữ nhật chiều dài

bằng tổng 2 cạnh của 2 hình vuông còn chiều rộng bằng hiệu 2 cạnh của 2 hình vuông.

Hình chữ nhật này có diện tích bằng 63 mà các cạnh có số đo là số tự nhiên, nên

kích thước của hình chữ nhật chỉ có thể là 1cm và 63cm, 7cm và 9cm, 3cm và 21cm

(63 = 1 x 63 = 7 x 9 = 3 x 21 cm).

- Trường hợp thứ nhất, cạnh hình vuông lớn là :

(1 + 63): 2 = 32 (cm).

Cạnh hình vuông nhỏ là :

32 - 1 = 31 (cm).

- Trường hợp thứ hai thì cạnh hình vuông lớn là :

(7 + 9) : 2 = 8 (cm).


9-8 = 1 (cm).

- Trường hợp thứ ba thì cạnh hình vuông lớn là :

(1 + 21) : 2 = 11 (cm).


21 - 12 = 9 (cm).

33.

Xem hình dưới đây.

Hình chữ nhật ban đầu là ABCD, chiều dài AB bớt đi đoạn BE bằng một số nguyên

xăng-ti-mét. Chiều rộng AD tăng thêm một đoạn DH cũng bằng một số nguyên xăng-ti-

mét như thế, ta được hình vuông AEGH.

Đặt cạnh hình vuông AE = AH = a, đoạn EB = DH = b thì a > b, và chiều dài hình chữ

nhật là tổng (a + b) ; chiều rộng hình chữ nhật là hiệu (a - b).

Cạnh hình vuông phải là số tự nhiên. Thật vậy, nếu là số thập phân (phần thập phân

khác 0) thì sau khi cộng và trừ một số nguyên xăng-ti-mét ta được hai cạnh của hình

chữ nhật là 2 số thập phân (có phần thập phân khác 0 và giống nhau). Như vậy thì diện

tích hình chữ nhật không thể là số tự 2 nhiên (36 ).

Thêm nữa, tổng và hiệu 2 số tự nhiên phải cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ.

Vì 36 = 1 x 36 = 2 x 18 = 3 x 12 = 4 x 9.

Với các nhận xét trên, thì cạnh của hình chữ nhật chỉ có thể là 2cm và 18cm.

Tức là : a + b = 18, a - b = 2.

Cạnh hình vuông là :

(18 + 2) : 2 = 10 (cm).

Diện tích hình vuông là :

10 x 10 - 100 ( ).

34.

Gợi ý : Giải như bài 32 nhưng cần chú ý rằng các cạnh của hình chữ nhật diện tích 100

là tổng và hiệu các cạnh của 2 hình vuông nên phải cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.

Vì : 100 = 1 x 100 = 2 x 50 = 4 x 25 = 5 x 20.

Theo nhận xét trên chỉ có trường hợp 2 x 50 là thích hợp.

Đáp số: 1252 miếng.

35.

Độ dài đường gấp khúc IABCDEGH gồm 3 cạnh hình vuông lớn IAGH bớt đi đoạn BE

(là 1 cạnh hình vuông nhỏ) rồi cộng thêm 3 cạnh hình vuông nhỏ. Như vậy 3 cạnh hình

vuông lớn và 2 cạnh hình vuông nhỏ bằng 235cm. (1)

Vì tổng chu vi 2 hình vuông là 340cm nên 2 cạnh hình vuông lớn và 2 cạnh hình vuông

nhỏ là :

340 : 2 = 170 (cm) (2)

Từ (1) và (2) so sánh ta thấy 1 cạnh của hình vuông lớn bằng :

235 - 170 = 65 (cm).

Hai cạnh hình vuông nhỏ bằng :

170 - 65 x 2 = 40 (cm).

Cạnh hình vuông nhỏ bằng :

40 : 2 = 20 (cm).

Diện tích hình tạo bởi đường gấp khúc khép kín IABCDEGHI là tổng diện tích 2 hình

vuông nên bằng :

65 x 65 + 20 x 20 = 4625 ( ).

36.

Nửa chu vi so với chiều rộng thì gấp :

8:2 = 4 (lần).

Nửa chu vi là một chiều dài và một chiều rộng nên chiều dài so với chiều rộng thì gấp :

4 – 1=3 (lần)

Giảm chiều dài AB một đoạn BE = 2m thì diện tích vườn giảm đi phần .

Tăng chiều rộng AD thêm một đoạn DH = 2m thì diện tích vườn tăng thêm phần .

Như vậy ta có lớn hơn là 144 .

Kéo dài các cạnh BC và HG cho gặp nhau tại K thì ta có hình vuông ICKG có cạnh

bằng 2m, nên có diện tích

= 2 x 2 = 4 ( ).

Như vậy tổng và lớn hơn là :

144 + 4 = 148 ( ).

Nhưng tổng và so với thì gấp 3 lần (vì là 2 hình chữ nhật có chiều rộng bằng

nhau (2m) và chiều dài HK gấp3lần chiều dài BC).

Diện tích là :

148 : (3 - 1) = 74 ( ).

Chiều dài BC tức chiều rộng ban đầu của vườn là :

74 : 2 = 37 (m).

Chiều dài ban đầu của vườn là :

37 x 3 = 111 (m).

Diện tích trước khi mở rộng là :

111 x 37 = 4107 ( ).

37.

Tăng một chiều 5m, giảm chiều kia cùng 5m thì chu vi của hình không đổi, tức là chu vi

mỗi hình chữ nhật (cũ hoặc mới) đều bằng 200m.

Ta phải xét 2 trường hợp :

+ Tăng chiều rộng, giảm chiều dài D thì AEGH là hình ban đầu.

+ Tăng chiều dài, giảm chiều rộng thì ABCD là hình ban đầu.

Tương tự bài 36, ta có diện tích

= 5 x 5 = 25 ( ).

Diện tích lớn hơn diện tích là 175 .

Diện tích cộng thêm lớn hơn diện tích là

175 + 25 = 200 ( ).

Diện tích cộng thêm bằng 5 x chiều dài AB.

Diện tích bằng 5 x chiều rộng BC của hình chữ nhật ABCD.

Suy ra chiều dài AB lớn hơn chiều rộng BC là :

200 : 5 = 40 (m).

Nửa chu vi hình chữ nhật là AB + BC thì bằng :

200 : 2 = 100 (m).

Chiều dài AB là :

(100 + 40): 2 = 70 (m).

Chiều rộng BC là :

70 - 40 = 30 (m).

Nếu hình chữ nhật ban đầu là ABCD.thì cạnh của nó là : 70m và 30m.

Nếu hình chữ nhật ban đầu là AEGH thì cạnh của nó là :

70 - 5 = 65 (m) và 30 + 5 = 35 (m)

38.

Nếu cắt dọc theo chiều dài (đường cắt là EG) thì 2 hình chữ nhật cắt ra có chiều dài

bằng nhau và bằng AB. Vì diện tích hình lớn gấp 2 lần diện tích hình nhỏ nên chiều

rộng hình lớn bằng 2 lần chiều rộng hình nhỏ (hình vẽ).

Chiều rộng hình nhỏ là :

3 : (2 + 1) = 1 (m).

Chu vi hình lớn là 2 lần AB cộng thêm 1 x 2 x 2 = 4 (m).

Chu vi hình nhỏ là 2 lần AB cộng thêm 1x2 = 2 (m).

1,5 lần chu vi hình nhỏ là :

2 x 1,5 = 3 (lần) AB cộng thêm 2 x 1,5 = 3 (m)

Nếu chu vi hình lớn bằng 1,5 lần chu vi hình nhỏ thì theo sơ đồ :

1 lần AB bằng 4 – 3=1 (m)

Điều này vô lí vì AB là chiều dài hình chữ nhật.

Vậy không thể cắt dọc theo chiều dài AB.

Nếu cắt theo chiều rộng BC thì cả hai hình cắt ra có một chiều là 3m, chiều thứ hai của

hình lớn là AE bằng 2 lần BE (hình bên dưới).

Chu vi hình lớn là 4 lần BE cộng thêm

3x2 = 6(m).

1,5 lần chu vi hình nhỏ là ba lần BE cộng thêm 9m.

(1,5 x 2 = 3 (lần), 1,5 x 6 = 9 (m)).

So sánh ta có :

1 lần BE bằng 9-6 = 3 (m).

Vậy hình nhỏ là hình vuông có diện tích là :

3x 3 = 9 ( ).

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là :

9 x (2 + 1) = 27 ( ).

39.

a) Các hình vuông có trong hình là :

Vậy tất cả 10 hình vuông.

b) (1)

Theo đầu bài ta có :

Thay vào (1) :

Diện tích bằng :

450 : (3 + 6) = 50 ( ).

Diện tích hình vuông lớn ABCD là :

50 + 50= 100 ( )

Vì 100 = 10 x 10 nên cạnh hình vuông ABCD là lOcm.

Chu vi hình vuông ABCD là :

10 x 4 = 40 (cm).

40.

a)

Giả sử trên hình vẽ hình vuông AEGH và hình chữ nhật ABCD có cùng chu vi :

(AE + EB) + BC + (CO + OD) + AD = AE + (EO + OG) + GH + (HD + AD)

Vì AE = DO = HG, AD = EO = BC nên

EB + CO = OG + HD

EB x 2 = DH x 2

EB = DH

Vì AH > DA nên DO > CB (AH = DO, DA = CB).

Hai hình chữ nhật DOGH và EBCO có 1 cạnh bằng nhau (EB = DH) mà cạnh còn

lại DO lớn hơn CB nên SDOGH > SEBOC-

Suy ra : Diện tích hình vuông AEGH lớn hơn diện tích hình chữ nhật ABCD (cùng cộng

thêm diện tích phần chung AEOD).

b)

Giả sử trên hình vẽ trên, hình vuông AEGH và hình chữ nhật ABCD có cùng diện tích :

Suy ra : và

Hai hình chữ nhật EBKG và DIGH có cạnh EG = HG, mà nên cạnh còn lại

EB > DH. Do đó chu vi hình chữ nhật ABCD lớn hơn chu vi hình vuông AEGH.

41.

AMOD là hình vuông nên chiều rộng của 2 hình chữ nhật ABCD và AMNP bằng nhau

Hiệu giữa hai nửa chu vi là :

20 : 2 = 10 (cm)

Hiệu này chính là hiệu giữa hai chiều dài.

Nếu đặt chập hình bé lên hình lớn để cho phần chung là toàn bộ hình bé thì phần diện

tích hơn kém nhau là diện tích một hình chữ nhật có một chiều bằng 10cm.

Chiều thứ hai cũng là cạnh hình vuông thì bằng :

120: 10= 12 (cm)

Vậy diện tích hình vuông AMOD là :

12 x 12 = 144 ( ).

42.

Hình chữ nhật của Bình có thể là một trong bốn dạng hình vẽ trên đây.

- Trường hợp 1

Cạnh hình vuông A là 1 phần thì chiều dài hình chữ nhật ban đầu là 6 phần.

Vì cùng chiều rộng nên diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữnhật ban đầu.

- Trường hợp 2

Cạnh hình vuông A là 2 phần thì cạnh hình chữ nhật ban đầu là 9 phần.

Diện tích hình vuông bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu.

- Trường hợp 3

Cạnh hình vuông là 3 phần thì cạnh hình chữ nhật ban đầu là 10 phần. Diện tích hình

vuông bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu.

- Trường hợp 4

Cạnh hình vuông là 6 phần thì cạnh hình chữ nhật ban đầu là 11 phần. Diện tích hình

vuông bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu.

43.

AB là chiều dài hình chữ nhật. Ta xếp 4 viên gạch xanh ở 4 góc (đánh số 1) lên các

viên gạch trắng đánh số 2 (ở 4 góc của phần lát gạch trắng).

Tiếp theo, ta xếp các viên gạch xanh nằm ở hai hình chữ nhật đánh số 4 lên các viên

gạch trắng nằm ở hai hình chữ nhật đánh số 5, các viên gạch xanh nằm ở hai hình chữ

nhật đánh số 6 lên các viên gạch trắng nằm ở hai hình chữ nhật đánh số 7.

Như vậy, thì có 8 viên gạch xanh đánh số 3 chưa được xếp, các viên gạch trắng nằm ở

hình chữ nhật đánh số 8 thì còn trống.

Vì 2 loại gạch có số viên bằng nhau, nên hình chữ nhật đánh số 8 phải xếp vừa đúng 8

viên gạch xanh còn lại. Thế thì hình số 8 gồm 1 hoặc 2 hàng gạch (hàng ngang) vì AB

là chiều dài.

- Nếu là 1 hàng thì hàng này có 8 viên, suy ra chiều dài hình chữ nhật gồm

8 + 4 = 12 (viên gạch), chiều rộng thì bằng 1+4 = 5 (viên gạch).

Số viên gạch tất cả là :

12 x 5 = 60 (viên)

Diện tích hình chữ nhật là

(10 x 10) x 60 = 6000 ( )

- Nếu là 2 hàng thì mỗi hàng có : 8 : 2 = 4 (viên).

Chiều dài hình chữ nhật gồm : 4 + 4 = 8 (viên).

Chiều rộng hình chữ nhật có : 2 + 4 = 6 (viên).

Số viên gạch có tất cả là : 8 x 6 = 48 (viên).

Diện tích hình chữ nhật là :

(10 x 10) x 48 = 4800 ( ).

44.

Theo đầu bài, chiều dài miếng bìa bị cắt thành 5 phần. Mỗi phần bằng chiều rộng, còn

dư một phần nhỏ hơn chiều rộng. Đặt chiều rộng là a, phần dư là b, như vậy, nửa chu

vi là :

a + a x 5+ b = a x 6 + b. (Với a và b là số tự nhiên, b < a).

Ta có phép chia : Số bịchia là nửa chu vi, số chia là a, thương là 6 và số dư là b.

Nửa chu vi là :

150 : 2 = 75 (cm).

Ta có : 75 = a x 6 + b.

Ta thử thấy : 75 = 12 x 6 + 3 (3 < 12)

và : 75 = 11 x 6 + 9 (9 < 11) là thích hợp.

- Nếu chiều rộng là 12 cm thì chiều dài bằng :

75 - 12 = 63 (cm).

- Nếu chiều rộng là 11 cm thì chiều dài là :

75 - 11 = 64 (cm).

45.

Nửa chu vi hình chữ nhật là :

72 : 2 = 36 (cm).

Cũng như bài trên, nửa chu vi được chia thành một số phần, mỗi phần bằng chiều rộng

và có số dư là 4 nhỏ hơn chiều rộng. Ta có phép chia.

36 = (chiều rộng) x (số phần) + 4

Trong đó chiều rộng lớn hơn 4, số phần bé nhất là 2 (và ít nhất là 1 hình vuông).

Suy ra : (chiều rộng) x (số phần) = 36 - 4 = 32 (cm)

Do nhận xét trên ta có 2 trường hợp sau là thích hợp :

8 x 4 = 32

Và 16 x 2 = 32

- Nếu chiều rộng là 8cm thì diện tích băng giấy là :

8 x (36 - 8) = 224 ( )

- Nếu chiều rộng là 16cm thì diện tích là :

16 x (36- 16) = 320 ( ).

46.

Số hình vuông nhỏ nhất là 2 hình, nên số hình vuông của 2 loại kia có thể là 1

và 3 ; 2 và 2 hoặc 3 và 1. Ta có 3 cách chia :

Cạnh của hình vuông nhỏ nhất là 12cm thì cạnh của hình vuông lớn hơn liền sau nó là :

12 x 2 = 24 (cm).

- Theo cách a) Cạnh hình vuông lớn nhất là :

12 + 24 = 36 (cm).

Diện tích hình chữ nhât ban đầu là

12 x 12 x 2 + 24 x 24 + 36 x 36 x 3 = 4752 ( ).

- Theo cách b) cạnh hình vuông lớnnhất là :

12 + 24 x 2 = 60 (cm).

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là :

12 x 12 x 2 + 24 x 24 x 2 + 60 x 60 x 2 = 8640 ( ).

- Theo cách c) cạnh hình vuông lớn nhất là :

12 + 24 x 3 = 84 (cm).

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là:

12 x 12 x 2 + 24 x 24 x 3 + 84 x 84 = 9072 ( ).

47.

Tăng chiều rộng 2 lần thì diện tích vườn mới tăng được 2 lần. Để diện tích tăng được 3

lần thì chiều dài phải tăng lên :

3:2= 1,5 lần

Khi đó vườn trở thành hình vuông ta có sơ đồ :

Theo đó chiều dài là 4 phần, thì chiều rộng là 3 phần và chu vi là :

(4 + 3) x 2 = 14 (phần).

Chiều rộng vườn cũ là :

42 : 14 x 3 = 9 (m).

Chiều dài vườn cũ là :

42 : 14x4= 12 (m).

Diện tích của vườn cũ là :

9 x 12 = 108 ( )

Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là :

108 x 3 = 324 ( ).

48.

Vì không có phần diện tích chung, nên CD và MN ở khác phía đối với AB. Do đó diện

tích MNDC là tổng diện tích 2 hình chữ nhật ABCD và ABMN :

Mặt khác, cạnh AB có thể là chiều dài của cả 2 hình, hoặc là chiều rộng của cả 2 hình,

hoặc là chiều dài hình này nhưng là chiều rộng của hình kia. Ta có trường hợp sau với

giả thiết ABCD có chiều dài gấp đôi chiều rộng. MNPQ có chiều dài gấp 3 chiều rộng.

(Nếu xét cả trường hợp ngược lại thì diện tích MNDC cũng như vậy, thực chất chỉ là

thay đổi tên gọi các điểm).

Cạnh AD trong trường hợp (1) và (3) thì bằng :

6:2 = 3 (cm).

Trong trường hợp (2) và (4) thì bằng :

6x2=12 (cm).

Cạnh AN trong trường hợp (1) và (4) thì bằng :

6:3 = 2 (cm).

Trong trường hợp (2) và (3) thì bằng :

6x3 = 18 (cm).

trong trường hợp (1) :

6 x (3 + 2) = 30 ( ).

Trong trường hợp 2 :

6 x (12 + 18) = 180 ( ).


6 x (3 + 18) = 126 ( )


6 x (12 + 2) = 84 ( ).

49.

AE = 2EB thì . Suy ra

Để có hình chữ nhật AEMN có diện tích bằng , ta kéo dài cạnh AD tới N sao cho

(tức là AD = 2DN).

Để có hình chữ nhật AEGH có diện tích gấp 1,5 lần ta kéo dài AN đến H sao cho

AH = 1,5 AN (tức là AN = 2NH).

50.

Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với AB, A đường thẳng này cắt cạnh DC tại điểm O.

- Vẽ đường thẳng đi qua AO, cắt phần kéo dài của cạnh BC tại điểm K.

- Từ K vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC cắt đường thẳng EO tại G, cắt

đường thẳng AD tại H.

Ta chứng tỏ như sau:

Hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau, nên

ta có :

Trong hình vẽ ta có :

Từ đó :

Mỗi hình chữ nhật này ghép với hình chữ nhật AEOD ta được các hình chữ nhật ABCD

và AEGH ; AEGH là hình chữ nhật phải tìm.

51.

= 30 x 45 : 2 = 675 ;

MB = AB - AM = 30 - 20 = 10 (cm)

= 10 x 45 : 2 = 225 .

Nhưng vì hai hình tam giác CMB và CNB có chung đáy BC và chiều cao hạ

từ M và từ N đến BC bằng chiều cao hình thang MNCB.

= 675 - 225 = 450 .

Chiều cao NA của hình tam giác NAB là :

450 x 2 : 30 = 30 (cm).

Diện tích hình tam giác AMN là :

20 x 30 : 2 = 300 .

52.

Cách 1 :

Chiều cao CH bằng :

12 x 2 : 8 = 3 (cm).

= (8 + 2) x 3 : 2 = 15 .

Chiều cao MK bằng :

15 x 2 : 5 = 6 (cm).

= (5 + 2) x 6 : 2 = 21 .

So sánh 2 hình tam giác CAM và CAB ta thấy :

Chiều cao chung là CH, các đáy

AB = 8 (cm)

AM = 8 + 2 = 10 (cm).

Suy ra :

= 3 x 10 : 2 = 15 .

So sánh 2 hình tam giác MAC và MAN ta thấy :

Chiều cao MK chung, các đáy AC = 5cm, AN = 5 + 2 = 7 (cm).

Suy ra là 5 phần thì là 7 phần.

Vậy = 15 : 5 x 7 = 21 .

53.

AB = 4cm

AD = 4 + 1 = 5 (cm)

Nếu là 4 phần, thì là 5 phần (vì chiều cao hạ từ C chung)

Khi đó bằng 2 phần (vì ), suy ra

Hai hình tam giác ADC và ADE có cùng đường cao hạ từ D đến AC nên đáy

AE = AC.

AE = 7,5 : 5 x 2 = 3 (cm)

EC = 7,5 - 3 = 4,5 (cm)

Vậy, cần thu ngắn cạnh AC đi 4,5cm.

54.

AB bằng 4 phần thì AD bằng :

4 – 1 = 3 (phần)

Hai hình tam giác ABC và ADC có chung chiều cao hạ từ C nên

- AC bằng 4 phần thì AE bằng :

4 + 1 = 5 (phần)

Hai hình tam giác ADE và ADC có chung chiều cao hạ từ D nên

Nếu biểu thị là 12 phần thì = 16 phần.

= 15 phần

- Khi đó hiệu diện tích hai hình tam giác ABC và ADE là

16 – 15 = 1 (phần)

Một phần là 2 nên diện tích hình tam giác ABC là :

2 X 16 = 32 ( ).

55.

AC là 3 phần thì AE bằng

3 – 1 = 2 (phần).

Suy ra là 2 phâng, do đó là 3 phần (vì chung đường cao hạ từ D tới AC)

= 8 : 2 x 3 = 12 ( ).

Đường cao hạ từ C tới AB là :

12 x 2 : 3 = 8 (m).

Cạnh AB là :

30 x 2 : 8 = 7,5 (m).

56.

Vì chung đường cao hạ từ A tới BC, các đáy BM = MC, nên

Tương tự,

vì cùng bằng

Cùng bỏ đi phần diện tích chung CMON ta được :

.

Mặt khác :

(vì là hai hình tam giác có chung chiều cao và cạnh đáy bằng nhau).

Từ đó . Hai hình tam giác AOC và BOC có chung đáy OC nên các đường

cao hạ từ A và từ B tới đường thẳng OC phải bằng nhau : AH = BK

a) Hai hình tam giác OAP và OPB có đáy chung OP và các đường cao AH và BK bằng

nhau, nên diện tích bằng nhau.

. Coi AP và PB là đáy, thì hai hình tam giác này có đường cao chung hạ từ

O tới AB, vậy các đáy phải bằng nhau : AP = PB.

b) Ta có

mà hai hình tam giác AOC và OMC có đường cao chung (hạ từ C tới AM)

nên AO = 2OM.

57.

Nếu đoạn BM là 2 phần thì BC bằng :

2 + 1 = 3 (phần).

Hai hình tam giác ABM và ABC có đường cao chung (hạ từ A tới BC) nên là 3

phần thì bằng 2 phần.

= 90 : 3 x 2 = 60 ( ) SABM so vói SBMN gấp

60 : 15 = 4 (lần)

Hai hình tam giác ABM và BNM có đường cao chung (hạ từ M tới AB) nên đáy AB so

với đáy BN cũng gấp 4 lần.

Vậy BN = AB : 4 = 10 : 4 = 2,5 (m).

58.

Đoạn thẳng BM là 3 phần thì cạnh BC bằng :

3 + 1 = 4 (phần)

Hai hình tam giác ABC và ABM có chung chiều cao hạ từ A tới BC nên là 4 phần,

thì bằng 3 phần.

cũng bằng 4 phần.

Suy ra

a) Hai hình tam giác KBM và ABM có chung đường cao hạ từ M tới BK

nên đáy

Nếu chia BK làm 4 phần thì đoạn AK = BK - BA

AK = 4 - 3 = 1 (phần) ;

AK = 9 : 3 = 3 (cm).

b) cùng bỏ đi phần diện tích chung là nên ta có :

59.

Hai hình tam giác APB và BPC có đường cao chung (hạ từ B đến AC) và đáy AP = PC

nên

= 16 : 2 = 8 .

Cùng với lí do như trên ta có :

= 8 : 2 = 4 ;

AB = 2BM và BM = 2BN.

nên AB so với BN thì gấp 2 x 2 = 4 (lần).

Hai tam giác QBA và QBN có đường cao chung (hạ từ Q tới AB) và các đáy AB = 4BN

nên

= 12 : 4 = 3

= 12 – 3 - 4 = 5

60.

= 3 + 1=4 .

so với thì gấp :

4 : 1 = 4 (lần).

Hai hình tam giác này có chung đáy BM, nên đường cao hạ từ A tới BM phải gấp 4 lần

đường cao hạ từ O tới BM.

Hai hình tam giác ABC và OBC có chung đáy BC và đường cao hạ từ A tới BC gấp 4

lần đường cao hạ từ O tới BC, vậy gấp 4 lần .

Tượng tự cũng gấp 4 lần .

Nếu là 4 phần thì và đều bằng 1 phần.

Vậy = 4 - 1 - 1 = 2 (phần).

Từ đó = 3 : 2 x 4 = 6 .

61.

so với thì gấp 6 : 2 = 3 (lần)

Hai hình tam giác này có đáy OA chung.

Vậy đường cao BK so với đường cao CI thì gấp 3 lần.

Hai hình tam giác BOP và COP có đáy OP chung, đường cao BK gấp 3 lần đường cao

CI nên so với thì gấp 3 lần.

so với thì gấp 3 + 1 = 4 (lần).

= 8 : 4 = 2 .

= 2 + 2 = 4 .

6 + (8 - 2) = 12 ,

hoặc

(6 + 8 + 2) – 4 = 12 .

62.

a) = 36 : 3 x 2 = 24 ;

b) Vì MC = 2MB nên (1)

(Hai hình tam giác chung đường cao hạ từ K tới BC)

Tương tự, vì nên

Mặt khác

và

Nên

hay (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Hai hình tam giác KMB và KMA có chung đường cao hạ từ M tới KA. Suy ra đáy KA =

6KB.

63.

So sánh mỗi hình tam giác sau với tam giác ABC ta có :

Hình tam giác ABC bị cắt thành 7 phần rời nhau, ta đánh số như hình vẽ. Ta có :

Nhưng

Từ đó ta có :

Hay

64.

Trong hình tam giác AME ta có :

(VÌ D là trung điểm cạnh đáy AE).

Tương tự:

Mà

Nên

.

Mặt khác,

Vì có chung đường cao hạ từ C tới AB và đáy .

Vậy : .

65.

a) (đường cao chung, đáy AN = 2NC)

(tương tự như trên)

Nếu là 1 phần thì bằng 2 phần và bằng 3 phần và

(phần)

Hai hình tam giác PAN và BAN có chung đường cao hạ từ N mà

Nên :

PA = 2AB = 2 x 1,5 = 3 (cm)

b) Vì PA = 2AB nên

và

suy ra

Vì BC = 4 MC nên

Từ đó

Hai hình tam giác CPN vằ CNM có chung đường cao hạ từ c nên đáy PN = 8NM. Hay

PM = PN + NM = 9MN.

66.

a) AM = 2OM nên

Hai hình tam giác này chung đáy BM nên đường cao hạ từ A gấp 2 lần đường cao hạ

từ O tới BM.

AH = 2OK

Hai hình tam giác ABC và OBC có chung đáy BC còn đường cao là AH và OK nên

Hay

Tương tự như vậy ta có

Nếu là 6 phần thì bằng 3 phần, bằng 1 phần mà

Nên bằng

6 – 3 – 1 = 2 (phần)

so với thì gấp

6 : 2 = 3 (lần)

Hai hình tam giác này có chung đáy AB nên đường cao hạ từ C so với đường cao hạ

từ O tới đáy AB thì gấp 3 lần.

Hai hình tam giác ACP và AOP có chung đáy AP mà đường cao hạ từ C gấp 3 lần

đường cao hạ từ O nên

Nếu coi PC và PO là hai đáy thì hai hình tam giác này có chung đường cao hạ từ A tới

CP nên

PC = 3PO.

CO = CP - OP = 2OP

b) Ở trên ta đã có là 2 phần, thì là 1 phần. Hai hình tam giác này có

chung đáy AO nên đường cao hạ từ B gấp 2 lần đường cao hạ từ C (tới AM).

Hai hình tam giác OBM và OCM có chung đáy OM và đường cao hạ từ B gấp đôi

đường cao hạ từ C (tới OM) nên :

Nếu coi BM và CM là đáy, thì hình tam giác này có chung đường cao hạ từ O tới BC.

Từ đó BM = 2CM.

67.

Hai hình tam giác ABN và NBC có đường cao chung (hạ từ B tới AC) còn đáy AN =

NC, nên

Tương tự :

suy ra

Hai hình tam giác ACP và AOP có chung đáy AP mà đường cao hạ từ C gấp 3 lần

đường cao hạ từ O nên

Nếu là 1 phần thì cũng là một phần và bằng 3 phần.

Như vậy

1 + 1 + 3 = 5 (phần)

5 = 420 : 5 = 84 .

68.

Ta có BM = 2MC

nên

suy ra

Vậy

Vì NC = 3NA

nên

suy ra

Vậy

10 + 20 + 60 = 90 .

69.

a) nên

(vì có chung đường cao hạ từ B tới AC còn đáy )

nên

(vì có chung đường cao hạ từ E tới AB còn đáy )

Từ đó

b) Giải thích tương tự:

Suy ra

Từ đó AK = MH,

Suy ra AI = IM.

70.

Theo bài 69 ta có P là trung điểm AM và Q là trung điểm AN.

Cũng theo bài 69 ta có

Hai hình tam giác AMN và ABC có đường cao chung (Hạ từ A tới BC) còn đáy

nên 72 : 3 = 24 ;

= 24 : 4 = 6 ;

24 – 6 = 18 .

71. Gợi ý:

a) nên

nên

Từ đó :

b)

mà và

Vậy .

là 9 phần, thì bằng 1 phần và bằng 3 phần.

Từ đó 3 – 1 = 2 (phần).

Vậy so với thì gấp 2 lần. Hai hình tam giác này có chung đáy DE nên

đường cao hạ từ M tới DE gấp 2 lần so với đường cao hạ từ A tới DE.

Từ đó so với thì gấp 2 lần.

Hai hình tam giác này có chung chiều cao hạ từ D tới AM nên đáy MI so với đáy AI

cũng gấp đôi : MI = 2AI

Vậy AM = AI + IM = 3AI hay

72.

Xét hình tam giác AEP, ta có D là trung điểm cạnh AE ; Q là trung điểm cạnh AP.

Theo bài 69, ta có

AU = UV và AX = XY

Xét hình tam giác AVY, cũng theo bài 69(a) ta có :

Xét hình tam giác ABC, ta có :

và

Theo bài 71(b) thì ta có và

Xét hình tam giác AMN, theo bài 71(a) ta có

a) Như vậy, nếu AU là 1 phần thì UV cũng là 1 phần và AM bằng 3 phần.

Vậy AU = UV = VM=

b) Nếu là 1 phần thì bằng 4 phần.

bằng 9 phần và = 4 – 1 = 3 (phần)

Mặt khác, vì nên

= 3 x 9 = 27 (phần).

Vậy so với thì gấp

27 : 3 = 9 (lần).

73.

nên

Hai hình tam giác có chung đường cao hạ từ C tới AB) và

hay

nên

Như vậy, là 6 phần thì bằng 3 phần, và bằng 2 phần.

Do đó :

= 6 + 3 + 2 = 11 (phần)

Vậy so với thì bằng

74.

Ta có

(đáy BC = 3MC, đường cao chung hạ từ G tới BC).

Cũng như vậy:

Mặt khác:

(vì là các cặp hình tam giác có đường cao chung còn đáy PA = 2PB).

Suy ra :

Như vậy, nếu coi là 1 phần, thì bằng 3 phần và

3 x 2 = 6 (phần).

Từ đó 6 + 1 = 7 (phần).

7 x 3 = 21 (phần).

Hoàn toàn tương tự, ta cũng tính được

6 phần, 6 phần.

Từ đó 21 - 6 - 6 - 6 = 3 (phần).

Diện tích hình tam giác ABC so với diện tích hình tam giác DEG thì gấp :

21 : 3 = 7 (lần)

75.

a) Hai hình tam giác ADC và ABC có đường cao bằng đường cao lunh thang, đáy CD =

3AB, nên

Nếu coi AC là đáy chung thì đường cao của 2 hình tam giác này là DE và BG, do đó

DE = 3BG.

Hai hình tam giác AOD và AOB có đáy chung là AO và các đường cao

là DE và BG nên

Nếu coi DO và OB là đáy, thì 2 hình tam giác này có đường cao chung hạ từ A tới DB

nên DO = 3OB.

Hoàn toàn tương tự ta có CO = 3OA.

b) Hai hình tam giác ACD và BCD có đường cao hạ từ A và từ B tới CD bằng nhau, đáy

CD chung, nên

Cùng bỏ đi phần diện tích chung OCD, ta có

Nếu coi là 1 phần thì và đều là 3 phần.

Hai hình tam giác AOD và DOC có đường cao DE chung và OC = 3OA nên

= 3 x 3 = 9 (phần)

Như vậy,

1 + 3 + 3 + 9=16 (phần)

32 : 16 x 3 = 6 ( ).

32 : 16 x 9 = 18 ( ).

76.

a)

Vì có đường cao hạ từ A tới CD và từ C tới AB bằng nhau nên đáy CD = 3AB.

Coi BC là đáy chung, ta có đường cao hạ từ D tới BC gấp 3 lần đường cao hạ từ A tới

BC.

Hai hình tam giác DPC và APC có đáy chung PC còn đường cao là 2 đường cao nói

trên nên

Nếu xem đáy là PD và PA thì 2 hình tamgiác này có chung đường cao hạ từ C tới PA,

vậy DP = 3PA.

Làm tương tự ta cũng có PC = 3PB.

b) PD = 3PA nên = 4 x 3 = 12( ).

12 – 4 = 8 ( )

8 ( ) (vì đáy AB chung và 2 đường cao bằng nhau)

8 x 3 = 24 ( )

8 + 24 = 32 ( )

77.

vì có đáy bằng nhau AM = MB và chiều cao bằng nhau,

(bằng chiều cao hình thang).

(vì đáy AM = MB và chiều cao chung hạ từ O tới AB)

Từ đó

Suy ra :

Hai hình tam giác DOM và COM có cạnh đáy OM chung, nên đường cao hạ từ C và từ

D tới OM phải bằng nhau.

- Hai hình tam giác ODN và OCN có đáy chung ON và đường cao là 2 đường cao nói

trên, vậy

- Hai hình tam giác này, xem DN và NC là đáy thì chiều cao hạ từ O tới CD là chung.

Vậy DN = NC.

78.

(đáy AB chung, chiều cao bằng chiều cao hình thang).

Cùng trừ đi phần diện tích chung ta có

(giải thích như trên).

Từ đó :

Tương tự trong hình thang DOQC.

Từ đó:

Như vậy ta có :

Hai hình tam giác này có đáy chung BD nên các đường cao hạ từ P và Q tới BD bằng

nhau.

Từ đó (đáy OD chung và đường cao nói trên).

Xem PO và OQ là đáy thì 2 hình tam giác này có đường cao chung hạ từ D tới PQ.

Vậy các đáy này bằng nhau tức là PO = OQ.

79.

Ta vẽ thêm đoạn thẳng PQ đi qua O, song song với các đáy.

Theo bài 78 ta có PO = QO nên

và

Vì là các hình tam giác có đáy bằng nhau, đường cao chung hoặc bằng nhau.

Từ đó :

Suy ra

Xem KO là đáy chung của 2 hình tam giác này, thì 2 đường cao hạ từ C và D tới KN

phải bằng nhau.

Hai hình tam giác ONC và OND có đáy chung ON và hai đường cao nói trên

nên

Xem DN và NC là đáy thì 2 hình tam giác này có đường cao chung hạ từ O tới CD. Vậy

2 đáy phải bằng nhau DN = NC.

Tương tự ta cũng có : AM = MB.

80.

a) Đường cao của mỗi hình tam giác CMD (đáy CD) và ANB (đáy AB) đều bằng đường

cao hình thang ABCD. Gọi đường cao này là h. Ta có :

CD x h : 2

AB x h : 2

CD x h : 2 + AB x h : 2

= (CD X h + AB X h) : 2

= (CD + AB) X h : 2

=

Vậy tổng diện tích 2 hình tam giác ANB và CMD bằng diện tích hình thang.

b) Kí hiệu như trên hình vẽ ta có :

Mà

Từ đó ta có:

81.

a) Gợi ý : (h.a)

(h.a)

Kéo dài AM cắt DC kéo dài tại I, thì

(theo SGK)

Do đó

Tương tự

Từ đó (h.a)

Cách khác câu a) : (h.b)

Suy ra

Nhưng

Mà

Vậy

hay

(h.b)

b)

(h.a)

Nhưng:

Suy ra

82.

Hai hình tam giác ADC và ABC có chiều cao bằng chiều cao hình thang, nên so

với thì gấp :

45 : 30 = 1,5 lần

Coi AC là đáy chung, thì đường cao hạ từ D đến AC so với đường cao hạ từ B đến AC

thì gấp 1,5 lần.

Hai hình tam giác DAO và BAO có chung đáy AO còn đường cao hạ từ D so với đường

cao hạ từ B thì gấp 1,5 lần nên :

x 1,5 = 180 x 1,5

- 180 + 270

= 450 ( )

x 1,5

x 1,5 = 450 x 1,5

= 675 ( )

= 675 + 450 = 1125 ( ).

83.

Tổng các cạnh đáy của hình thang là :

375 x 2 : 10 = 75 (cm)

Nếu là 3 phần thì là 2 phần. Do đó là 1 phần, và KD = 3AD.

Từ đó

x 3

Nhưng nên

Nếu là 9 phần thì

= 9 : 3 x 2 = 6 (phần)

và = 9 : 3 = 3 (phần),

= 6 : 3 = 2 (phần).

Hai hình tam giác ACD và ABD có chiều cao bằng chiều cao hình thang nên đáy AD là

3 phần thì đáy AB bằng 2 phần.

Tổng 2 đáy thì bằng 3 + 2 = 5 (phần).

Vậy CD = 75 : 5 x 3 = 45 (cm)

AB = 75 : 5 x 2 = 30 (cm).

84.

a) Các hình tam giác ABN, BCP, CDQ, DAM là các tam giác vuông, có 1 cạnh góc

vuông là cạnh hình vuông, cạnh góc vuông kia bằng cạnh góc vuông. Vậy mỗi tam

giác có diện tích bằng diện tích hình vuông.

Từ đó

Mặt khác :

Suy ra :

Hay

b) Ta tính :

AM x BN : 2 = (20 : 2) x (20 : 2) : 2 = 50 ( );

so với thì gấp

200 : 50 = 4 (lần).

Suy ra đường cao hạ từ D tới AN so với đường cao hạ từ M tới AN cũng gấp 4 lần. Từ

đó so với thì gấp 4 lần.

Hay x 5

= AD x AM : 2 = 20 x (20 : 2) : 2 = 100 ( ) ;

= 100 : 5 = 20 ( ).

Tương tự tính các diện tích ta được cùng kết quả đó. Vậy

= 20 x 4 = 80 ( ).

85.

Nếu chia cạnh AB của hình chữ nhật thành 6 phần bằng nhau thì MN bằng :

6 : 3 = 2 (phần)

và PQ = 6 : 2 = 3 (phần)

Hai hình tam giác NPQ và MNP có cùng đường cao (bằng BC) nên là 2 phần thì

bằng 3 phần.

= 1, 5 ( ) = 1 (phần)

Từ đó : 1,5 x 3 = 4,5 ( ) và = 4,5 x 4 = 18 ( ).

86.

a) Gợi ý : Bài này không sử dụng GE song song với hai cạnh.

Ta thấy và nên

hay

b)

(vì ).

Tương tự

Suy ra

Xem EG là đáy chung, thì hai đờng cao hạ từ M và N tới EG bằng nhau. Hai hình tam

giác MEI và NEI có đáy chung EI và hai đường cao nói trên nên

Xem MI và NI là đáy thì hai hình tam giác này có đường cao chung hạ từ E tới MN nên

2 đáy bằng nhau : MI = IN.

87.

(vì ).

Suy ra phần còn lại

Tương tự ta có :

a) Nếu thì .

Xem MN là đáy chung của 2 hình tam giác này thì ta có đường cao hạ từ E tới MN gấp

đôi đường cao hạ từ G tới MN. Các đường cao này cũng là đường cao của các hình

tam giác EMI và GMI

Vậy

Xem EI và IG là đáy, thì hai hình tam giác này có đường cao chung hạ từ M tới EG.

Vậy EI = 2IG.

b) Ngược lại nếu EI = 2IG thì

và

Suy ra

Theo phần chung ở trên

và

Vậy

88.

Gọi K là trung điểm cạnh CD ta có :

Từ đó

nhưng

Vậy

= 18 : 2 + 12 : 2 = 15 .

Cách khác :

(1)

(2)

Từ (1) và (2)

Từ đó :

89.

Hay :

Mặt khác

Vậy

90.

Hai hình tam giác OAB và OBC có đường cao chung hạ từ B tới AC nên diện tích của

chúng tỉ lệ thuận với các cạnh đáy.

Đoạn thẳng OA là 4 phần thì đoạn thẳng OC = 3,5 phần. Hai hình tam giác ADO và

OCD có đường cao chung hạ từ D tới AC nên diện tích OCD là 3,5 phần, thì diện tích

OAD bằng 4 phần.

Vậy = 5,25 : 3,5 x 4 = 6

= 4 + 3,5 + 5,25 + 6 = 18,75 .

91.

so với thì gấp 18 : 6 = 3 (lần).

Hai hình tam giác này có chung đường cao hạ từ A tới PC nên diện tích của chúng tỉ lệ

thuận với các cạnh đáy, do đó PB so với BC thì gấp 3 lần.

Và PC so với BC thì gấp 4 lần.

Hai hình tam giác DPC và DBC có chung đường cao hạ từ D tới PC nên so với

thì gấp 4 lần :

= 18 + 34 = 52

= 52 : 4 = 13

Và = 34-13 = 21

92.

so với thì gấp

24 : 12 = 2 (lần)

Xem đáy chung là BC thì đường cao hạ từ D tới BC so với đường cao hạ từ A tới BC

cũng gấp 2 lần (DK = 2AH)

Hai hình tam giác DPB và APB có đáy chung là PB và đường cao lần lượt là các đường

cao nói trên.

Vậy so với thì gấp 2 lần.

Coi là 1 phần thì

= 2 - 1 = 1 (phần)

Suy ra :

Ta có :

= 47 - 24 = 23 .

Vậy : = 23 .

93.

Gợi ý:

Theo cách làm ở bài 88, lần lượt xét các hình tứ giác ABNQ và QNCD. Ta có :

Mà và

nên

Hai hình tam giác này có đáy chung NQ, nên chiều cao hạ từ M và từ P tới NQ bằng

nhau.

Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai hình tam giác MQI và PQI nên

(đáy QI chung).

Xem MI và DP là đáy thì 2 hình tam giác này có chiều cao chung hạ từ Q tói MP.

Vậy MI = IP.

94.

Gợi ý : Làm tương tự như bài 93.

Vì

nên (1)

Tương tự:

Suy ra (2)

Vì

Từ (1) và (2) có

Hai hình tam giác NPH và EPH chung đáy PH nên đường cao từ N gấp đôi đường cao

từ E, từ đó :

Hai hình tam giác HON và HOE chung đường cao hạ từ H nên đáy

ON = OE x 2.

95.

Suy ra:

Nhưng và Suy ra :

= 300 : 3 = 100 .

96.

Theo bài 95 ta có :

= 900 : 3 = 300

Theo bài 94 ta có :

Nên ER = RO = ON.

Tương tự : GS = ST = TM.

Xét hình tứ giác EGMN, lại theo bài 95 ta có :

300 : 3 = 100 .

97.

Gọi đường kính các hình tròn nhỏ lần lượt là

Gọi đường kính hình tròn lớn là D.

Tổng chu vi 4 hình tròn nhỏ là :

Chu vi hình tròn lớn là : D x 3,14.

Vì tổng các đường kính của 4 hình tròn nhỏ đúng bằng đường kính của hình tròn lớn,

tức là nên chu vi hình tròn lớn đúng bằng tổng chu vi các hình tròn

nhỏ.

98.

a) Hai bán kính AB và AG có cung tròn BHG tạo thành hình tròn tâm A, bán kính

AB.

- Hai bán kính DC và DE và cung tròn CHE tạo thành hình tròn tâm D, bán kính DC.

Vì AB = DC nên 2 hình tròn trên có diện tích bằng nhau do đó tổng diện tích của 2 hình

nói trên (ABHGA và DCHED) bằng diện tích hình tròn tâm A, bán kính AB và bằng

diện tích hình chữ nhật ABCD.

Suy ra :

b) diện tích hình tròn bán kính AB là :

4 x 4 x 3,14 : 2 = 25,12 .

Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 25,12 nên cạnh AD là :

25,12 : 4 = 6,28 (cm)

Đoạn thẳng EG bằng = r x 2 - AD = 4 x 2- 6,28 = 1,72 (crn).

99.

a) Độ dài đường gấp khúc ABCD là :

AB + BC + DC = r + r x 4 + r = r x 6.

Độ dài hai nửa đường tròn AmE và EnD là

r x 2 x 3,14 = r x 6,28.

Vậy tổng độ dài 2 nửa đường tròn lớn hơn độ dài đường gấp khúc (vì r x 6,28 > r x 6).

b) Diện tích hình chữ nhật ABCD là :

5 x (5 x 4) = 100

Diện tích 2 nửa hình tròn là :

5 x 5 x 3,14 = 78,5 .

Diện tích phần hình chữ nhật nằm ngoài hai nửa hình tròn là

100 - 78,5 = 21,5 .

100.

Đặt OA = OB = OC = OD = R OM = ON = OP = OQ = r

Diện tích hình vuông ABCD là :

Hoặc

Từ đó R x R x 2 = r x r x 4 hay R x R = r x r x 2.

3,14 x R x R = (3,14 x r x r) x 2 (cùng nhân với 3,14).

Vậy diện tích hình tròn lớn gấp 2 lần diện tích hình tròn nhỏ.

giaovienvietnam.com · Web viewCÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC

Documents

Transcript of giaovienvietnam.com · Web viewCÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC