- thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)

8/16/2019 - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)

http://slidepdf.com/reader/full/-thi-ap-an-hsg-12-tp-hcm-2011-2012 1/13

Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPTThành phố Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ

________________ Năm học 2011 2012 (khoá ngày 14/3/2012)MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút ________________

ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1. (4 điểm)

Giải các phương trình sau : a) sin 2 cos2 tan 2 x x x

b)3

sin 2 sin4

x x

Bài 2. (4 điểm)

Giải các phương trình sau :a)

33 2 2

10 2 7 23 12 x x x x x

b)2

(3 2) 2 3 2 3 6 x x x x Bài 3. (4 điểm)

a) Cho 3 số dương , ,a b c thoả điều kiện 1abc . Chứng minh :

1 1 11

1 1 1a b b c c a

b) Cho các số thực , , 1;2a b c và 0a b c . Chứng minh :

2 2 2

6a b c Bài 4. (3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh đều bằng a . Gọi M là một điểm trên cạnh

CD sao cho1

.3

CM CD Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AMB

Bài 5. (2 điểm)

Cho các số thực , , (0;1) x y z và 1. xy yz zx Chứng minh

2 2 2

3 3

1 1 1 2

x y z

x y z

Bài 6. (3 điểm)

Giải hệ phương trình :

2 2 2

2 2 2

2 4 7

2 6 3

x y y xy

x y y xy

HẾT



Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPTThành phố Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ

________________ Năm học 2012 2013 (khoá ngày 14/3/2013)MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút ________________

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1. (4 điểm)Giải các phương trình :

a)2

8( 3) 1 22 7 0 x x x x b)

2 2

sin (4 cos 1) cos (sin cos sin3 ) x x x x x x Bài 2. (4 điểm)

Giải hệ phương trình :

2

2

2

1

16 1

xy y x x

xy y

x y y y x

Bài 3. (3 điểm)

Cho 3 số dương , ,a b c thoả điều kiện 2 2 2

3a b c . Chứng minh rằng:

1 1 1 32 2 2a b c

Bài 4. (3 điểm)

Tìm mđể phương trình:4 3 2

( 1) 2 1 0 x mx m x x không có nghiệmthực.

Bài 5. (4 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a . Gọi M là trung điểm củaCD.

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC. b) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AMC

Bài 6. (2 điểm)

Tính:1 0 2 1 3 2 4 3 2011 2010 2012 2011

2011 2011 2011 2011 2011 20112 2 2 2 2 2

...

1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 2012.2013

C C C C C C A

HẾT



HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2011 – 2012 (Ngày thi 14/3/2012)

Bài 1 : a/ sin2x + cos2x + tanx = 2 (1) đ/k : cosx 0

Cách 1 :2 2

2 2 2 2

2sin cos cos sin(1) tan 2

cos sin cos sin

x x x x x

x x x x

2

2 2

2 tan 1 tantan 2

1 tan 1 tan

x x x

x x

Đặt tanx = t t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0 (t – 1)3 = 0 t = 1

tanx = 1 4

x k

, k z

Cách 2 : Do cosx = 0 không là nghiệm đặt t = tanx ta có :

2

2sin2

1

t x

t

,

2

2

1cos2

1

t x

t

Phương trình trở thành t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0 (t – 1)3 = 0 t = 1

b/ 3sin 2 sin

4 x x

. Ta có :

1sin sin cos

4 2 x x x

33 1

sin sin cos4 2 2

x x x

Pt (sinx – cosx)3 = 4sinx(sin2x + cos2x) = 4sin3x + 4sinxcos2x

sin3x – 3sin2xcosx + 3sinxcos2x – cos3x = 4sin3x + 4sinxcos2x

3sin3x + sinxcos2x + 3sin2xcosx + cos3x = 0

cosx = 0 không thỏa phương trình 3tan3x + 3tan2x + tanx + 1 = 0

tanx = – 1 4

x k

(k z)

Bài 2 :

a/33 2 2

10 2 7 23 12 x x x x x

Cách 1 : 33 2 2 26 13 10 7 23 12 7 23 12 pt x x x x x x x

3 3 2 2

2 2 7 23 12 7 23 12 x x x x x x

Xét f(t) = t3 + t f ’(t) = 3t2 + 1 0 tR f(t) đồng biến trên R

3 2

( 2) 7 23 12 f x f x x

3 2

7 23 12 2 x x x

4

3 5

2

3 52

x

x

x



Cách 2 : Đặt3 2

2

7 23 12

u x

v x x

3 2

3 2

7 22 10

7 22 10

u x x v

v x x u

3 3u v v u 2 2

1 0u v u uv v

2 2 2

1 0 ( 3 4 0)u vu uv v voâ nghieäm vì v

3 2

2 7 23 12u v x x x (Cách giải giống trên)

b/ 23 2 2 3 2 3 6 x x x x

Cách 1 : Đặt2

32 3 0

2

t x t x

Phương trình trở thành t4

– 3t3

+ 9t2

– 13t + 6 = 0 t = 1 x = 2Cách 2 : Đặt 2 3 0 x t phương trình 2 2

3 2 2 3 x t x x t

2 22 2 2 3 0t x t x x ,

228 16 4 0 x x x

2 3

1

t x

t x

Với2

2 3 02 3 2 3 2 3

2 3 4 12 9

xt x x x

x x x

2

3

24 10 12 0 /

x

x x v n

Với2

1 01 2 3 1

2 3 2 1

xt x x x

x x x

2

12

4 4 0

x x

x x

Bài 3 :

a/ a, b, c 0 thỏa abc = 1. Chứng minh :1 1 1

1 (1)1 1 1a b b c c a

.

Đặt a = x3

, b = y3

, c = z 3

với xyz = 1

3 3 3 3 3 3

1 1 11

x y xyz y z xyz x z xyz

Ta có : x3 + y3 xy(x+y) thật vậy x3 + y3 xy(x+y) x2 – xy + y2 xy

x2 – 2xy + y2 0 (x – y)2 0 đúng. x3 + y3 + xyz xy(x + y) + xyz = xy(x + y + z)



Tương tự :

3 3

3 3

3 3

1 1

1

1

z

x y z xy x y z x y xyz

x

x y z y z xyz

y

x y z x z xyz

cộng vế với vế

3 3 3 3 3 3

1 1 11

x y xyz y z xyz x z xyz

đpcm

b/ a, b, c [ – 1; 2] và a + b + c = 0. Chứng minh : a2 + b

2 + c

2 6

a [ – 1; 2] a – 2 0 , a + 1 0 (a – 2)(a + 1) 0 a2 a + 2

Tương tự : b2 b + 2 , c2 c + 2

a2 + b2 + c2 a + b + c + 6 = 6 đpcm

Bài 4 :

Gọi O là hình chiếu của S trên ABCD.Từ GT ABCD là hình vuông, O là tâm

của hình vuông. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho AC Ox , BD Oy , SO z

2 2 2

;0;0 , 0; ;0 , ;0;02 2 2

a a aC B A

2

22 2 2 22 2 2

0;0;2 2 2 2

a a a a

SO SC OC a a S

2 2; ;0

3 6

a a M

, Gọi I là tâm của cầu ngoại

tiếp chóp S.AMB.Giả sử I (x,y,z) Ta có :2

2 2 2 2

22 2 2 2

22 2 2 2

2 22 2 2 2

22

22

22

2 2 2 36

9 3 2

a IA x a x y z

a

IB x y a y z

a IS x y a z z

a a a IM x x a y y z

MO

D

B C

A

Sz

y

x



2

7

15 2 9 67

15 2 9 62 2 7

723 9

15 2 9 6

a x

IA IB x ya

IA IS x z y

IA IM a x aaa x a y

z

Tâm I và R.

Bài 5 : x, y, z (0, 1) và xy + yz + zx = 1

Chứng minh :2 2 2

3 3

21 1 1

x y z

x y z

Cách 1 : Xét hàm số f(t) = t – t3 t (0,1) f ’(t) = 1 – 3t2

f’(t) = 0

3t

2

= 1

1

3t

Bảng biên thiên

2 3

9 f t đẳng thức xảy ra

1

3t

Với x = t

22 2

2

2 3 1 9 3 31

9 22 31 1

x x x x

x x x x

2

2

2 391

x x x

. Tương tự 2

2 23 3 3 3,

2 21 1

y z y y z

Cộng vế với vế

2 2 2

2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 2 21 1 1

x y z x y z xy yz zx

x y z

Đẳng thức xảy ra 1

3 x y z

Cách 2 :

2 2 22

2 232 1 12

2 13 3

x x x x x

t

f '(t)

f(t)

1 0

+ 0

2 3

9

1

3



2

2 2 2 28 42 1 1 x x x x

2 2

2

2 3 31

23 3 1

x x x x

x

Tương tự :

2 2

2 2

3 3 3 3,

21 1

y z y z

y z

Cộng vế với vế đpcm.

Cách 3 : Đặt tan , tan , tan tan , tan , tan 0;12 2 2 2 2 2

A B C A B C x y z

A, B, C là 3 góc của 1 tam giác 00 A, B, C 90

0

bđt tan tan tan 3 3 (*) A B C

Theo côsi ta có 3tan tan tan 3 tan .tan .tan A B C A B C

3tan tan tan 27 tan tan tan A B C A B C

(Vì tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC) tan tan tan 27 3 3 A B C đpcm.

Cách 4 : Ta luôn có2

6 3(*)

21

x x

x

Thật vậy 2(*) 2 6 3 1 x x x

2

36 3 3 0

3 x x

đúng

Tương tự cộng vế với vế :

6 3 3 36 3 3 3 3

2 2 2

xy xz yz x y zVT

Cách 5 : Ta luôn có :

2

1 3 3(1) 0;1

21 x

x x

Thật vậy : 2

2 2 221 1 1

273 3 x x x x

3

2 2 22 2 21 1 2 1 1 42 1 12 2 3 27

x x x x x x đúng.

2

22

1 3 3 3 3

2 11

x x

x x x

Tương tự : 2 2

2 2

3 3 3 3,

2 21 1

y z y z

y z

. Cộng vế với vế đpcm.

Bài 6 :

2 2 22 2 2

2 22 2 2

4 4 2 32 4 7

2 3 22 6 3

x y xy y xy x y y xy

x y y xy x y y xy



2 2

2 2

2 3 2 (1)

22 (2)

3

xy xy y

x y xy

y

(do y = 0 không là nghiệm)

Từ (1) và (2)

2

2 2 22 3 23

x y xy y y

.Vì y 0 chia 2 vế cho y2 ta được

22 2 2

2 2

2 3 2

3

x y xy y

y y

22

1 23 2

3 3

x x

y y

Đặt

22

4 223 2 4 27 22 0

3 3

x t t t t t t

y

21 2 3 11 0t t t t

1

2

t

t

Với 1 1 x

t x y y

Thay vào (1) 2

2 2 22 3 2 x x x

2

2 22 x x

2 2

2 2

1

2 2 0 2

12 2 02

x

x x x x x

x x x x x x

nghiệm của hệ : ( – 1, 1) , (2, 2) , (1, 1) , ( – 2, – 2)

Với 2 2 2 x

t x y y

thay vào (1)

1 5

2

1 5

2

y

y

1 5

1 5

x

x



HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013 (Ngày thi 14/3/2012)

Bài 1 : Giải phương trình

a) 28 3 1 22 7 0 1 x x x x

Cách 1:

2

2

3 01 3 4 1 0 3 4 1

6 9 16 16

x x x x x

x x x

2

3 35

510 25 0

x x x

x x x

Cách 2 :

Đặt 1 0 x t t

4 3 21 8 24 32 16 0t t t t 2 2

2 4 4 0 2t t t t

Với t = 2 1 2 5 x x

b) 2 2sin 4 1 cos s cos sin3 x cos x x inx x x

sin 4 4 1 2 sin 4 14

x cos x x

4 22 8 24 4sin 4

34 24 2

4 4 4 2

k x x k

x k k

x k x

Bài 2 :

2

2

2

11

16 1 2

xy y x x

xy y

x y y y

x

Điều kiện:

2

0

10

1 0

x

y x

xy y

3 2 2 21 0 x y x y x xy x y

20 1 0 x y x y x y x x y x y x y x

2

3

1 0 4

x y

x y x

x = y thay vào (2) 2 16 1 1 6 x x x x x x x x

x x

1 1 16 x x x

x x x



Đặt

2 2 31

0 6 6 02

t L x t t t t t

t N x

Với t = 2 21 2 34 4 1 0

2 3

x x x x

x x

Nghiệm của hệ 2 3,2 3 , 2 3,2 3

22

22

1 11 0

116 1

6 1

y x y x x x

x y y y x y y y x

x

vô nghiệm vì2

10 0 x

x

Bài 3 : , , 0a b c thỏa 2 2 23.a b c Chứng minh

1 1 13

2 2 2a b c

Cách 1: Từ giả thiết0 2

0 2

0 2

a

b

c

(*)

Xét hàm số: 22 0 f t t t t

, ' 2 2 0 1 f t t t

BBT:

Từ BBT 1 0 f t t .Đẳng thức xảy ra 1t

Áp dụng cho , ,a b c ta có:2

2 2 2

22 1 ( *)

22

aa a a do a

aa a

Tương tự 2

2

bb

b

,

2

2

cc

c

Cộng vế với vế ta được

2 2 23

2 2 2

a b ca b c

a b c

1 1 1 6

2 2 2

a b c

a b c

2 2 2 1 1 1

6 32 2 2 2 2 2a b c a b c

(đpcm).

Đẳng thức xảy ra 1a b c

Cách 2:

Ta có 2

2 2 2 2

21 0 2 1 0 2 1

2

aa a a a a a

a a

t

f'(t)

f(t)

1

0

+

1

0

+



Trở lại cách giải bên trên

Bài 4: Tìm m để pt 4 3 21 2 1 0 x mx m x x không có nghiệm thực

4 3 2 22 1 0 x mx mx x x

24 21 1 0 x x x m x

Pt không có nghiệm thực 1 x

24 2 2 2

21 0 1 0

1 1 11

x x x x pt m m

x x x x

Đặt 2

;0 4;1

xt t

x

. Ta được 2

2 11 1

t t mt m

t

Đặt 2 2

2

1 1, ' 0 1

t t f t f t t

t t

BBT

Pt không có nghiệm thực17

24

m

Bài 5:Gọi O là tâm của đáy SO ABCD

, ,2 2

a aOM MC SC a

2 2

2 2 34 4a aSM a

2 2 22 3 2 2

4 4 4 2

a a a aSO SO

Cách 1: a) Từ C dựng đường thẳng song song AM

cắt AB tại M’

M’A = M’B,2

2 5'

4 2

a a M C a

Dựng ' 'OE M C SE M C ( đl3 đường vuông góc)

I K

M'M

O

D

B

C

A

S

E

F

z

t

f '(t) + +

f(t)

1

0+

0

0

1

2

4

+

+

17

4



Dựng 'OF SE OF SM C OF SC

' 'OF M C doM C SOE mà ' '/ / , M C AM d AM SC OF

.' ' . 2 2

' ' 5 2 5

2

a a

OE M O M O MC aOE

MC M C M C a

2 2 2 2 2 2

1 1 1 20 4 22 22

222

aOF

OF OE SO a a a

b) Gọi K là trung điểm của CM , qua K kẻ đường thẳng song song BC cắt BD tại I I

là tâm đường tròn ngoại tiếp AMC ( vì , IK MC IO AC )

IA = IC = IM mà 2 2 2 IC IK KC

2 2 2 223 3 9 5

4 4 16 16 8

a a a a IK BC IC

22 2 2 2

2 2 2 2 2 2 5

4 4 4 8 8

a a a a a IS SO IO

5 10

48

a a IS IC R

Cách 2: a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho , , AC Ox BD Oy OS Oz

2 2 2 2 20,0,0 , ,0,0 , 0,0, , , ,0 , ,0,02 2 4 4 2

a a a a aO A S M C

2 2 3 2 2 2,0, , , ,0 , ,0,0

2 2 4 4 2

a a a a aSC AM AC

2 2 2 3

3 2, , , , .

4 4 4 8

a a a aSC AM SC AM AC

33

24 4 4

2 2, . 8 228,

2211, 9

416 16 16

a aSC AM AC

ad AM SC

aSC AM a a a

b) Gọi I(x,y,z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD

Ta có:2 2

, , , , ,2 2

a a AI x y z SI x y z

2 2 2, , , , ,

4 4 4

a a a MI x y z CI x y z



2 2

2 22 2

2 2

2 2 0

22 2 2

2 4 402 2

a x a z x AI SI

a a a AI MI a x a x a y y

AI CI za x a x

2 40 100, ,0 ,4 8 4

a a a I AI R

Câu 6:

Xét 2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011

2011 2011 2011 2011 20111 ... f x x C C x C x C x C x

2011 0 1 2 2 3 3 2011 20112011 2011 2011 2011 2011

1 11 ...

2 2g x x x x C C x C x C x C x

2 2 2 22011 20111

12

f x dx g x dx x dx x x dx

- thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)

Documents

Transcript of - thi + áp án HSG 12 TP. HCM (2011-2012)