1

Το υπόδειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης του Solow σχεδιάστηκε προκειµένου να δείξει πως η µεγέθυνση του κεφαλαίου, του εργατικού δυναµικού αλλά και οι µεταβολές στην τεχνολογία αλληλεπιδρούν σε µια οικονοµία, και επηρεάζουν µε αυτό τον τρόπο την συνολική παραγωγή προϊόντων και υπηρεσιών µιας οικονοµίας.

Ας δούµε τώρα πως το εν λόγω υπόδειγµα µεταχειρίζεται τη συσσώρευση κεφαλαίου.

2

Η συνάρτηση παραγωγής αντανακλά τον µετασχηµατισµό των εισροών (εργασία (L), κεφάλαιο (K), τεχνολογία παραγωγής) σε προϊόντα(τελικά αγαθά και υπηρεσίες για µία δεδοµένη χρονική περίοδο).

Η αλγεβρική απεικόνιση είναι:

Y = F ( K , L )

Η Συνάρτηση ΠαραγωγήςΗ Συνάρτηση Παραγωγής

Ας αναλύσουµε τώρα την προσφορά και ζήτηση αγαθών, και ας δούµε πόσο προϊόν παράγεται σε κάθε δεδοµένη χρονική στιγµή και πως το προϊόν αυτό κατανέµεται µεταξύ εναλλακτικών χρήσεων.

Υπόθεση κλειδί: Σταθερές αποδόσεις κλίµακας.

z zz

3

Αυτή η υπόθεση µας επιτρέπει να αναλύσουµε όλες τις ποσότητες σε σχέση µε το µέγεθος του εργατικού δυναµικού. Έστω z = 1/L.

Y/ L = F ( K / L , 1 )

Προϊόν ανά Προϊόν ανά εργάτηεργάτη

Κεφάλαιο ανά Κεφάλαιο ανά εργάτηεργάτη

Οι σταθερές αποδόσεις κλίµακας υπονοούν ότι το µέγεθος της οικονοµίας εκφρασµένο από τον αριθµό των εργατών δεν επηρεάζει τη σχέση µεταξύ του προϊόντος ανά εργάτη και του κεφαλαίου ανά εργάτη. Έτσι λοιπόν, από εδώ και στο εξής, ας συµβολίσουµε όλες τις ποσότητες ανά εργάτη µε µικρά γράµµατα.Οπότε, εδώ είναι η συνάρτηση παραγωγής µας:

, όπου f(k)=F(k,1).y = f ( k )

4

MPK = f (k + 1) – f (k)

yy

kk

f(k)

Η συνάρτηση παραγωγής δείχνει πως η ποσότητα του κεφαλαίου ανά εργάτη k προσδιορίζει την ποσότητα του προϊόντος ανά εργάτη y=f(k).Η κλίση της συνάρτησης παραγωγής είναι το οριακό προϊόν του κεφαλαίου: εάν το kαυξηθεί κατά µία µονάδα, τότε το προϊόν, y, αυξάνεται κατά MPK µονάδες.

1MPK

5

y = c + iy = c + i1)

c = (1-s)yc = (1c = (1--ss)y)y2)

y = (1-s)y + iy = (1y = (1--ss)y + i)y + i3)

4) i = syi = i = ssyy Επένδυση = αποταµιεύσεις. Ο ρυθµός αποταµίευσης s είναι το ποσοστό του εισοδήµατος που πηγαίνει στην επένδυση.

6

Εδώ υπάρχουν δύο δυνάµεις που επηρεάζουν το απόθεµα κεφαλαίου:

• Επένδυση•Απόσβεση

Η επένδυση ανά εργάτη ισούται µε i = s y.Αντικαθιστώντας στη συνάρτηση επένδυσης το y, έχουµε:

i = s f(k)

Η εξίσωση αυτή σχετίζει τι υπάρχον απόθεµα κεφαλαίου k µε τη συσσώρευση νέου κεφαλαίου i.

7

Επένδυση, s f(k)

Προϊόν, f (k)c

i

Ο ρυθµός αποταµίευσης s προσδιορίζει την κατανοµή του προϊόντος µεταξύ κατανάλωσης και επένδυσης. Για κάθε επίπεδο k, το προϊόν είναι f(k), η επένδυση είναι s f(k), και η κατανάλωση f(k) – sf(k).

yy

kk

8

Επίπτωση της επένδυσης και της απόσβεσης πάνω στο απόθεµα κεφαλαίου: ∆k = i –δk

Η επένδυση ισούται µε την αποταµίευση, οπότε:∆k = s f(k) –δk

δk

kk

δk

Η απόσβεση είναι συνεπώς αναλογική του αποθέµατος κεφαλαίου.

9

Επένδυση και Απόσβεση

k

i* = δk*

k*k1 k2

Στο k*, η επένδυση ισούται µε την απόσβεση και το κεφάλαιο δεν µεταβάλλεται µέσα στο χρόνο.

Κάτω από k*, η επένδυση

υπερβαίνει την απόσβεση, έτσι το απόθεµα κεφαλαίου

µεγεθύνεται.

Κάτω από k*, η επένδυση

υπερβαίνει την απόσβεση, έτσι το απόθεµα κεφαλαίου

µεγεθύνεται.

Επένδυση, s f(k)

Απόσβεση, δ k

Πάνω από k*, η απόσβεση υπερβαίνει την επένδυση, έτσι το απόθεµα κεφαλαίου µειώνεται.

Πάνω από k*, η απόσβεση υπερβαίνει την επένδυση, έτσι το απόθεµα κεφαλαίου µειώνεται.

10

Επένδυσηκαι

Απόσβεση

k

i* = δk*

k1* k2*

Απόσβεση, δ k

Επένδυση, s1f(k)

Επένδυση, s2f(k)

Το υπόδειγµα του Solow δείχνει ότι εάν ο ρυθµός αποταµίευσης είναι υψηλός, η οικονοµία θα έχει µεγάλο απόθεµα κεφαλαίου και υψηλό επίπεδο προϊόντος. Εάν ο ρυθµός αποταµίευσης είναι χαµηλός, η οικονοµία θα έχει µικρό απόθεµα κεφαλαίου και χαµηλό επίπεδο προϊόντος.

Μια αύξηση στον ρυθµό αποταµίευσης

προκαλεί αύξηση του αποθέµατος κεφαλαίου

σε µία καινούρια σταθερή

κατάσταση.

Μια αύξηση στον ρυθµό αποταµίευσης

προκαλεί αύξηση του αποθέµατος κεφαλαίου

σε µία καινούρια σταθερή

κατάσταση.

11

Το επίπεδο κεφαλαίου σταθερής κατάστασης k που µεγιστοποιεί την κατανάλωση καλεί-ται ο Χρυσός Κανόνας του Κεφαλαίου. Προκειµένου να βρούµε την κατανάλωση σταθε-ρής κατάστασης ανά εργάτη, ξεκινάµε από την εθνικολογιστική ταυτότητα:

και τη γράφουµε ως εξής:c = y - i.

Η εξίσωση αυτή υποδηλώνει ότι η κατανάλωση είναι το προϊόν µείον την επένδυση. Επειδή θέλουµε να βρούµε την κατανάλωση σταθερής κατάστασης, αντικαθιστούµε τις τιµές σταθερής κατάστασης για το προϊόν και την επένδυση. Το προϊόν σταθερής κατά-Στασης ανά εργάτη είναι f (k*) όπου k* είναι το κεφάλαιο σταθερής κατάστασης ανάεργάτη. Επιπρόσθετα, επειδή το κεφάλαιο δεν µεταβάλλεται στο steady state, η επένδυσηισούται µε την απόσβεση δk*. Άρα µπορούµε να γράψουµε την κατανάλωση Σταθερής κατάστασης ανά εργάτη ως εξής:

c*= f (k*) - δ k*.

y = c + i

12

c*= f (k*) - δ k*.Σύµφωνα µε αυτή την εξίσωση, η κατανάλωση σταθερής κατάστασης είναι ότι αποµένει από το προϊόν σταθερής κατάστασης αφού ληφθεί υπόψη η απόσβεση. Επιπρόσθετα, δείχνει ότι µία αύξηση στο steady-state κεφάλαιο έχει δύο αντιτιθέµενες επιδράσεις πάνω στην κατανάλωση. Από την µια πλευρά, περισσότερο κεφάλαιο σηµαίνει περισσότερο προϊόν. Από την άλλη µεριά όµως περισσότερο κεφάλαιο σηµαίνει επίσης ότι περισσότερο προϊόν πρέπει να χρησιµοποιηθεί για να αντικαταστήσει τον υφιστάµενο κεφαλαιουχικό εξοπλισµό που απαξιώνεται.

Το προϊόν της οικονοµίας χρησιµοποιείται για κατανάλωση ή για επένδυση. Στο steady state, η επένδυση ισούται µε την απόσβεση. Συνεπώς, η steady-state κατανάλωση είναι η διαφορά µεταξύ προϊόντος f (k*) και απόσβεσης δk*. Η Steady-stateκατανάλωση µεγιστοποιείται στο Golden Rulesteady state. Το Golden Rule κεφάλαιο ορίζεται ωςk*gold, και η Golden Rule κατανάλωση ως c*gold.

δk

kk

δk

Output, f(k)

c *gold

k*gold

13

Ας εξάγουµε τώρα µια απλή συνθήκη η οποία χαρακτηρίζει το Golden Rule επίπεδοκεφαλαίου. Υπενθυµίζεται ότι η κλίση της συνάρτησης παραγωγής είναι το οριακό Προϊόν του κεφαλαίου MPK. Η κλίση της γραµµής δk* είναι δ. Επειδή οι δύο κλίσεις είναι ίσες στο k*gold, ο Χρυσός Κανόνας µπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση:

MPK = δ.

Στο επίπεδο κεφαλαίου του Χρυσού Κανόνα, το οριακό προϊόν του κεφαλαίου ισούται µε το συντελεστή απόσβεσης.

Θα πρέπει ωστόσο να έχουµε υπόψη µας ότι η οικονοµία δεν πάει αυτόµατα στο Golden Rule steady state.Εάν επιθυµούµε ένα συγκεκριµένο steady-state, όπως αυτό του Χρυσού Κανόνα,χρειαζόµαστε ένα συγκεκριµένο ρυθµό αποταµίευσης για να το πετύχουµε.

14

Το βασικό υπόδειγµα Solow δείχνει πως η συσσώρευση κεφαλαίου, από µόνη της δεν µπορεί να εξηγήσει τη διαρκή οικονοµική µεγέθυνση: υψηλοί ρυθµοί αποταµίευσης οδηγούν σε αυξηµένη µεγέθυνση προσωρινά, αλλά τελικά η οικονοµία προσεγγίζει ένα steady state στο οποίο το κεφάλαιο και το προϊόν είναι σταθερά.

Προκειµένου να εξηγήσουµε τη διαρκή οικονοµική µεγέθυνση, πρέπει να επεκτείνουµε το υπόδειγµα του Solow προκειµένου να λάβουµε υπόψη µας τις άλλες δύο πηγές της οικονοµικής µεγέθυνσης.

Ας προσθέσουµε πληθυσµιακή µεγέθυνση στο υπόδειγµα µας. Θα υποθέσουµε ότι ο πληθυσµός και το εργατικό δυναµικό µεγεθύνονται µε έναν σταθερό ρυθµόn.

15

Όπως και µε την απόσβεση, η πληθυσµιακή µεγέθυνση είναι µία από τις αιτίες που το κεφάλαιο ανά εργάτη φθίνει. Εάν n είναι ο ρυθµός πληθυσµιακής αύξησης και δ είναι ο ρυθµός απόσβεσης, τότε (δ + n)k είναι η επένδυση η οποία απαιτείται προκειµένου το απόθεµα κεφαλαίου να παραµείνει σταθερό.

Επένδυση

kk*

(δ + n)k

s f(k)

Η επένδυση sf(k) πρέπει να αντισταθµίσει τις επιπτώσεις της απόσβεσης και της αύξησης του πληθυσµού (δ + n)k. Το σηµείο αυτό δίνεται από την τοµή των δύο καµπυλών. Μία αύξηση στο ρυθµό αποταµίευσης κάνει το κεφάλαιο να αυξηθεί και την οικονοµία να πάει σε ένα καινούριο steady state.

Η επένδυση sf(k) πρέπει να αντισταθµίσει τις επιπτώσεις της απόσβεσης και της αύξησης του πληθυσµού (δ + n)k. Το σηµείο αυτό δίνεται από την τοµή των δύο καµπυλών. Μία αύξηση στο ρυθµό αποταµίευσης κάνει το κεφάλαιο να αυξηθεί και την οικονοµία να πάει σε ένα καινούριο steady state.

16

Επένδυση

Kk*1

s f(k)

(δ + n1)k

Μια αύξηση του ρυθµού πληθυσµιακής αύξησης µετακινεί τη γραµµή που αντανακλά τις πληθυσµιακές µεταβολές και την απόσβεση προς τα πάνω. Το νέο steady state σχετίζεται µε χαµηλότερο απόθεµα κεφαλαίου ανά εργάτη.

k*2

(δ + n2)k

Μια αύξηση από n1 σε n2 µειώνει το κεφάλαιο σταθερής κατά-στασης από k*1 σε k*2.

Μια αύξηση από n1 σε n2 µειώνει το κεφάλαιο σταθερής κατά-στασης από k*1 σε k*2.

17

Η µεταβολή στο κεφάλαιο ανά εργάτη είναι: ∆k = i –(δ+n)kΗ µεταβολή στο κεφάλαιο ανά εργάτη είναι: ∆k = i –(δ+n)k

Τώρα, ας αντικαταστήσουµε µε sf(k) όπου i: ∆k = sf(k) – (δ+n)k

Η εξίσωση αυτή δείχνει πως η νέα επένδυση, η απόσβεση και η πληθυσµιακή µεγέθυνση επηρεάζουν το απόθεµα κεφαλαίου ανά εργάτη. Η νέα επένδυση αυξάνει το k, ενώ η απόσβεση και η πληθυσµιακή αύξηση µειώνουν το k.

Τώρα, ας αντικαταστήσουµε µε sf(k) όπου i: ∆k = sf(k) – (δ+n)k

Η εξίσωση αυτή δείχνει πως η νέα επένδυση, η απόσβεση και η πληθυσµιακή µεγέθυνση επηρεάζουν το απόθεµα κεφαλαίου ανά εργάτη. Η νέα επένδυση αυξάνει το k, ενώ η απόσβεση και η πληθυσµιακή αύξηση µειώνουν το k.

18

Στο steady-state, η θετική επίπτωση της επένδυσης πάνω στο κεφάλαιο ανά εργάτη µόλις ισοσκελίζει τις αρνητικές επιδράσεις της απόσβεσης και της πληθυσµιακής µεγέθυνσης. Εφόσον η οικονοµία βρεθεί στο steady state, η επένδυση έχει δύο στόχους:

1) Κατά ένα ποσοστό (δk*), αντικαθιστά το απαξιωµένο κεφάλαιο, και

2) Το υπόλοιπο, (nk*), παρέχει στους νέους εργάτες το επίπεδο κεφαλαίου σταθερής κατάστασης.

kk*k*'

The Steady State

s f (k)

(δ + n) k(δ + n') k

Μια αύξηση στο ρυθµό πληθυσµιακής µεγέθυνσης θα µειώσει το επίπεδο προϊόντος ανά εργάτη.

s f (k)

19

• Στην µακροχρόνια περίοδο, η αποταµίευση µιας οικονοµίας προσδιορίζει το µέγεθος του k και άρα του y.

• Όσο µεγαλύτερος ο ρυθµός αποταµίευσης, τόσο υψηλότερο το απόθεµα του κεφαλαίου και τόσο υψηλότερο το µέγεθος του y.

• Μια αύξηση στο ρυθµό αποταµίευσης προκαλεί µια περίοδο ραγδαίας οικονοµικής µεγέθυνσης, αλλά τελικά αυτή η µεγέθυνση επιβραδύνεται καθώς προσεγγίζεται το καινούριο steady state.

Συµπέρασµα: αν και ένας υψηλός ρυθµός αποταµίευσης προκαλεί ένα υψηλό steady-state επίπεδο προϊόντος, η αποταµίευση από µόνη της δεν µπορεί να παράγει διαρκή οικονοµική µεγέθυνση.

Συµπέρασµα: αν και ένας υψηλός ρυθµός αποταµίευσης προκαλεί ένα υψηλό steady-state επίπεδο προϊόντος, η αποταµίευση από µόνη της δεν µπορεί να παράγει διαρκή οικονοµική µεγέθυνση.