رثا يمومع تاصشم - Sediq Afghan · 6 زيمآ رارسا تابعکم و تاعبرم...

مربعات و مکعبات اسرار آميز 1

عمومي اثر مشخصات

مبرميت اثر :مرکز تحقيقاتي رياضي فلسفي جهان پژوهش پيرامون عرصه

هاي مختلفه علوم که ايجاب تحقيق را نمايد مورد بررسي و مطالعه تحقيقي قرار

ميدهد. اثر علمي )مربعات و مکعبات اسرار اميز( چنانچه از نام آن پيداست مربعات

کعبات نوع مذکور را به پژوهش گرفته است.اسرار آميز و همان گونه م

مربعات اسرار آميز از قرون وسطي بدين سو مورد مطالعه رياضي دانان

قرار داشته است ولي تا آنجايي که دايره المعارف هاي رياضي معلومات بدست

ارايه n=8و n= 3 ،n=4يعني صرف براي n 3ميدهند مربعات اسرار آميز را براي

د و همچنان تصريح گرديده است که تيوري عمومي مربعات اسرار آميز داشته ان

وجود ندارد.

بر مبناي آنچه تذکار شد مربعات اسرار آميز ضرورت آن را دارد تا مورد

اعداد شامل اعداد )جفت و تاق( خصوصيات آن (n)پژوهش قرار داده شود و براي

و تيوري عمومي مربعات اسرار و نحوه ترتيب مربعات اسرار آميز به آن حاصل آيد

آميز نيز توضيح گردد.

يکي از ويژه گي هاي اثر علمي مربعات و مکعبات اسرار آميز در اين است

که مربعات اسرار آميز را در اشکال مکعبي آن نيز به پژوهش گرفته و تيوري عمومي

اعداد شامل اعداد جفت و تاق ارايه نموده است. (n)آن را براي

ثر :هدف اهدف اثر مربعات و مکعبات اسرار آميز را ارايه تيوري عمومي مربعات و

مکعبات اسرار آميز ، نحوه جابجا سازي اعداد در مربعات اسرار آميز و مکعبات

مذکور ، ارايه نتايج حاصله از پژوهش سطوح مرئي و نامرئي در مکعبات اسرار آميز،

ده در سطوح ظاهري مکعبات اسرار طرز بدست آوردن حاصل جمع اعداد جابجا ش

آميز و ارايه نتايج حاصله از پژوهش موضوعات فوق ، تشکيل ميدهد.


ميتود پژوهش :( يعني مجموعه هاي پژوهش انجام شده در اثر بر مبناي ارايه )

رياضي استوار بوده و براي سهولت ارايه اعداديکه در هر يک از خانه هاي مربعات

اعداد شامل (n)قواعد تيوريکي آن درج گرديده است که براي جابجا مي گردند

اعداد جفت و تاق در هر دو حالت يعني مربعات و مکعبات آن ها صدق مينمايد.

چون پژوهش انجام شده کار منحصر به فرد بنيان گذار مرکز تحقيقاتي رياضي

جابجا سازي ( هاي ارايه شده و ساير قواعد مربوط بهفلسفي جهان ميباشد بناً )

اعداد و حاصل جمع عمودي ، افقي و قطري اعداد ، هکذا بدست آوردن سطوح

مرئي و نامرئي در مکعبات اسرار آميز و غيره موارد آن مختص به ايشان ميباشد.

نتايج جديد علمي : اراية تيوري عمومي مربعات اسرار آميز براي تمامي اعداد جفت و تاق (1

ت اسرار آميز براي تمامي اعداد جفت و تاقاراية تيوري عمومي مکعبا (2

اراية رابطة که متبني بر آن حاصل جمع اعداد مندرج يک دور )افقي ، (3

عمودي و قطري( در مکعبات بدست مي آيد.

قاعده عمومي دريافت تعداد مربعات سطوح ظاهري مکعبات که اعداد در (4

آن درج ميگردد.

ات و مبتني بر آن اثبات معين ارايه رابطه سطوح مرئي و نامرئي در مکعب (5

( بودن قيمت )

ارايه قاعده عمومي جابجا سازي اعداد در مربعات سطوح مرئي مکعبات و (6

متبني بر آن تثبيت موقعيت حد نهايي اعداد در سه بعدي.


ارزش عملي:ارزش عملي تحقيقات انجام شده بصورت اخص حاوي موارد آتي

رياضيکي است :

ر آميز که مبادي تيوريک آن از قرون وسطي بدين سو نزد مربعات اسرا

رياضي دانان مبهم بود ارايه گرديده و روزنه بعدي تحقيقات رياضي دانان

را پيرامون جوانب مختلفه آن باز مينمايد ، ارايه مبادي تيوريک و قواعد

عمومي مربعات اسرار آميز خود حل يکي از مشکل ترين ابهام در رياضي

ميباشد.

با پژوهش و ارايه مبادي تيوريک و عملي مکعبات اسرار آميز عمالً رياضي

را در ارايه اشکال هندسي آن بصورت زنده تضهيم و بزرگترين دريچه را

براي بسط رشد رياضي فراهم مي آورد.

در مکعبات اسرار آميز جديد ترين قاعده در علم رياضي که همانا بدست

لوم ميباشد عملي گرديده که خود دستاورد آوردن چندين مجهول از يک مع

بکر و منحصر به فرد در علم رياضي است.

جابجا شدن اعداد در سطوح ظاهري مکعبات به شکل بسته )سکل( منظم

قرار ميگيرد ميتواند آغاز ارايه مبادي maxدر مقابل عدد minکه عدد

باشد.فزيکي براي مطالعه نظام کهکشانها و جيولوجي پيدايش آن ها

( مبادي تيوريک و عملي مکعبات اسرار آميز مستدل مينمايد که منحيث )

( را ميتوان بصورت معين کميت ناشناخته و نامعلوم رياضي نيست بلکه )

محاسبه کرد.

ارايه پژوهش :

( 11تحقيقات انجام شده پيرامون مربعات و مکعبات اسرار آميز طي )

( 5( کنفرانس در پوهنتون کابل ، )4تان ، )کنفرانس در اکادمي علوم افغانس


کنفرانس در پوهنتون روشان و ساير مراکز اکادميک داخل کشور و همچنان طي يک

( کنفرانس در مجامع علمي و 11سفر دو ماهه به جمهوري اسالمي ايران در طي )

اکادميک تهران باالخص پوهنتون تهران ارايه گرديده و در مورد جوانب مختلفه

حقيقات انجام شده روشني انداخته شده است.ت

ساختار و حجم پژوهش :اثر تحقيقي ـ پژوهشي مربعات و مکعبات اسرار آميز متشکل

( 142است از پشنويس تنظيم کننده ، مقدمه مولف و دو فصل ميباشد که حاوِي )

( شکل ميباشد.41( جدول و )433صفحه بوده و داراي )

ام شده کار منحصر به فرد پروفيسور محمد صديق از آنجايي که پژوهش انج

)افغان( بنيانگذار مرکز تحقيقاتي رياضي فلسفي جهان ميباشد و در ترتيب آن از

فهرست ،کدام اثر علماي متقدم بعلت عدم موجوديت معلومات پيرامون موضوع

آثار استفاده شده درج نگرديده است.

محتوي اساسي اثر

مقدمه :ر قبلي رياضي چون فرهنگ دايره المعارف شوروي تاليف اثر از آثادر

مسکو ، فرهنگ دايره المعارف رياضي تاليف 1895ا.م پروخورف طبع سال

مسکو و مندرجات آن در باره مربعات اسرار آميز و 1899ي . و پروخورف طبع سال

فرهنگ هاي مذکور گرديده قواعدي که تا کنون در زمينه مربعات اسرار آميز درج

بصورت مستند ياد آوري گرديده است.

همچنان در مقدمه فشرده از نام پژوهش هاي انجام شده در اثر با توضيح

خصوصيات قسمي آن ها به ارايه گرفته شده است.

که بصورت اخص به مربعات اسرار آميز و پژوهش هاي مربوط به در فصل اول :

ن مربعات و مبادي مقوله اي کار برده شده در اثر آن اختصاص يافته پيرامو

توضيحات داده شده است.


اثر پژوهشي مربعات و مکعبات اسرار اميز در فصل اول براي توضيح

مبادي تيوريک و عملي مربعات اسرار آميز ، مربعات متذکره را قرار ذيل تقسيم

بندي نموده است :

جفت را در دو حالتي که بدست مي آيند الف : مربعات اعداد جفت : مربعات اعداد

بررسي مينمايد.

مربعات براي اعداد جفتي که از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد جفت بدست – 1

شامل اعداد طبعي باشد تعداد nبوده و nϵNو n<>0مي آيند يعني در صورتيکه

مربعات را در سطر و ستون مربع حسب تصاعد ذيل مطالعه مينمايد:

)1.....(..............................41

in

i

متکي بر آن براي هر يک از مربعات داخلي تصاعد هاي آن ها را مورد مطالعه قرار

داده و مبادي تيوريک را براي تمامي اينگونه اعداد جفت در يک جدول عمومي

در چهار خانه يي با ارايه تصاعد براي هر يک از خانه هاي مربعات توضيح چهار

جدول هاي مربعات اسرار آميز (i)براي قيمت هاي مختلفه داشته است و ضمناً

ترتيب و پژوهش گرديده است که حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر ، هر

ستون و قطر مربع با هم مساويست.

11 14 2 7

9 1 13 12

5 4 16 8

11 15 3 6

خانه يي (4x4)مثال مربع اسرار آميز


ز حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد تاق بدست مي آيند براي اعداد جفتي که ا -2

شامل اعداد طبعي باشد تعداد مربعات را nو nϵNو n<>1يعني در صورتيکه

در سطر و ستون مربع حسب تصاعد ذيل مطالعه مينمايد:

)........().........12(21

IIin

i

آن يعني يک (min)براي ارايه مبادي تيوريک اينگونه مربعات اعداد جفت براي

مربع اسرار آميز شش در شش خانه يي براي هر کدام از مربعات داخلي آن تصاعد

هاي آن ارايه گرديده است. در ينصورت ارايه تصاعد براي مربعات داخلي در دو

مربعات داخلي از آغاز جدول )مربع مورد نظر( بوده و هم در (min)لتي که عدد حا

قرار ميگيرد (max)در برابر عدد (min)حالتي که در وسط مربعات داخلي عدد

صورت پذيرفته است.

براي توضيحات بيشتر پيرامون تحقيقات انجام شده براي همين نوع

( باشد مربع اسرار آميز ده در ده خانه يي مجدداً مورد i=3اعداد جفت در صورتيکه )

ارزيابي قرار داده شده و براي تمامي مربعات داخلي اين نوع مربع اسرار آميز در دو

در آغاز مربعات داخلي بوده و هم در حالتي که در وسط (min)حالت که عدد

6 35 3 34 32 1

25 11 29 27 9 12

24 21 16 15 17 18

13 14 22 21 23 19

7 28 8 11 26 31

36 2 33 4 5 31

( خانه يي6*6مثال مربع اسرار آميز )


صاعد هاي قرار ميگيرد ت (max)در برابر عدد (min)مربعات داخلي عدد

جدول هاي مربعات (i)آن پژوهش گرديده است و ضمناً براي قيمت هاي مختلفه

اسرار آميز ترتيب شده است که حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر، هر

ستون و قطر هاي مربعات با هم مساويست.

شامل اعداد طبيعي باشد nو n< ،nϵN>0ب: مربعات اعداد تاق : در صورتيکه

داد مربعات هر سطر و ستون يک مربع اسرار آميز حسب تصاعد ذيل حاصل تع

ميگردد :

)....().........12(1

IIIin

i

مربعات اسرار آميز آن ترتيب گرديده و (i)در پژوهش هذا براي قيمت هاي مختلفه

باشد جـدول عمـومي (i=n)براي ارايه مبادي تيوريک اينگونه مربعات در صورتيکه

داد در مربعات داخلي مربعات اسرار آميز پژوهش گرديده و تصـاعد جابجا سازي اع

اعداد ارايه شده است که حاصل جمع اعداد (n)هاي هر يک از مربعات داخلي براي

هر سطر ، هر ستون و قطر هاي مربع با هم مساوي ميباشد.

15 22 8 16 3

2 14 21 9 21

18 1 13 25 7

6 19 5 12 24

23 11 17 4 11

( خانه يي5x 5مثال مربع اسرار آميز )


در فصل دوم :که به پژوهش پيرامون مکعبات اسرار آميز اختصاص دارد در مرحله نخست

توضيحات در باره اينکه مربعات اسرار آميز را ميتوان در اشکال مکعبي آن نيز

اره مطالعه نمود داده شده است و چنانچه مکعبات ذکر شده تداوم پژوهش در ب

مربعات اسرار آميز است بناً مکعبات مذکور را مانند مربعات اسرار آميز براي اعداد

جفت در دو حالت اعداد جفتي که از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد جفت بدست

مي آيند و اعداد جفتي که از حاصل ضرب اعداد جفت دراعداد تاق بدست مي آيند

لعه قرارداد شده است.و همچنان براي اعداد تاق مورد مطا

الف : مکعبات اسرار آميز اعداد جفت :

براي ارايه پژوهش در قدم اول مطالعه مکعبات اسرار آميز براي اعداد جفتي که – 1

از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد جفت بدست مي آيند پرداخته شده است و

در اشکال هندسي جهت پيشبرد پژوهش اين نوع مکعبات که خود ارايه از رياضيات

ميباشد مدل مکعبي موافق به تصاعد ذيل به بررسي گرفته شده است:

)....(....................)2(............168421)2(

).....()2(.........)2()2()2()2()2()2(

3333333

0

334333231303

0

V

IV

mjm

j

mjm

j

درينجا بگونه مثال پنج حد اول تصاعد فوق تحت مطالعه قرار داده شده است و

تعداد مکعبات براي هر کدام از حد هاي تصاعد فوق محاسبه و ترسيم گرديده و

خانه يي چه تعداد (16x16x16)ده است که بداخل يک مکعب ضمناً ارايه گردي

( خانه يي و چه 4x4x4خانه يي و بداخل آن چه تعداد مکعبات ) (8x8x8)مکعبات

خانه يي بداخل آن جا دارد و نيز بداخل آن چه تعداد (2x2x2)تعداد مکعبات

خانه يي ميتواند قرار داشته باشد. (1x1x1)مکعبات

ش در مورد اينکه حاصل جمع اعداد در يک دور طولي ضمن آنکه پژوه

)افقي( عمودي و قطري مکعبات همگون مربعات اسرار امير با هم مساويست و در

تمامي حاالت ذکر شده حاصل جمع يک دور اعداد مندرج سطوح ظاهري مکعبات

مسايست به :


A= (6j

2 +1) . 2j ……………. (VI)

اول تصاعد مورد مطالعه ، پژوهش بعمل آمده در مدل مورد نظر براي هر پنج حد

است که در چه تعداد سطوح ظاهري هر کدام از مکعبات ذکر شده اعداد جابجا

شده ميتواند )البته اعداد جابجا شده قابل ديد يامرئي ميباشند(.

حاالت قابل ديد ) مرئي ( و غير قابل ديد )نامرئي( سطوح مکعبات يکي از

(16x16x16)وهش است ، زيرا در سطوح ظاهري مکعبات مبحث هاي اساسي پژ

خانه يي که مرئي اند اعداد جابجا گرديده و تعداد ديگر از سطوح مکعبات مذکور

نامرئي بوده که تعداد سطوع مرئي مکعبات حسب ذيل حاصل مي آيد:

و سطوح نامرئي مکعبات بر کل سطوح مسايست به :

از اهميت خاصي (j)امرئي مکعبات براي قيمت پژوهش تعداد سطوح مرئي و ن

برخوردار است زيرا که در اينصورت تعداد سطوح مرئي مساويست به :

01

j

lLim

j

و تعداد سطوح نامرئي مساويست به :

111

jLim

j

jLim

j

jLim

jjj

بزرگ و بزرگتري دو حالت فوق بيانگر آنست که در صورتيکه ما مکعبات

داشته باشيم تعداد سطوح مرئي آن صفر و تعداد سطوح نامرئي آن مساوي به يک

است و لي اينموضوع با واقعيت آن مغايرت کامل دارد زيرا در صورت احجام بزرگ

ما سطوح مرئي قابل ديد بزرگ ميداشته باشيم که درينصورت پژوهش مکعبات فوق

).(..........6

63

2

VIIj

l

j

j

).(..........1

6

)1(63

2

VIIIj

j

j

jj


( به مفهوم کميت نامعلوم نميتواند درينجالت وجود داشته باشد ميرساند که )

بلکه به هر پيمانه که احجام بزرگ و بزرگتري داشته باشيم قيمت نهائي آن براي

جابجا سازي اعداد در سوح ظاهري مکعبات قابل محاسبه بوده و در يک شکل

مينمايد: اخذ موقع (min)معين جابجا سازي اعداد در مقابل عدد

جابجا سازي اعداد در سطوح ظاهري مکعبات نيز يکي از مبحث هاي اساسي

پژوهش را تشکيل ميدهد و البته قابل ذکر است که براي مکعبات اعداد جفت حاصل

شده از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد جفت براي جابجا سازي اعداد در سطوح

ار آميز نوع مذکور استفاده برده ميشود و ارايه ظاهري آن از جدول مربعات اسر

خانه يي ميتواند (4x4x4)موقعيت هاي مختلفه اعداد جابجا شده براي يک مکعب

حالت را اختيار نمايد. (!4)اضافه از

اعداد جابجا شده در سطوح ظاهري مکعبات داراي خصوصيات آتي ميباشند:

ستون و قطر بزرگ مربعات حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر ، هر

هر سطح دلخواه در هر کدام مکعب ها با هم مساويست.

حاصل جمع دوراني اعداد جابجا شده در هر سطر هر ستون و قطر سطوح

مربعي مکعبات با هم مساويست.

يي( خانه 4x4x4مثال مکعب )


تمام اعداد جابجا شده در سطوح ظاهري مکعبات کميت هاي مختلف را

دارد و مکرر نميباشند.

ر آميز براي اعداد جفتي که از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد ( مکعبات اسرا2

تاق حاصل ميگردند همگون با مکعبات اعداد جفت در جفت بوده و همچون مربعات

( برويت رابطه ذيل اجرا و عملي iاعداد نوع مذکور نظر به قيمت هاي مختلفه )

ميگردد:

).......(..................................................).........12(21

IXin

i

مکعبات اسرار آميز آن i=1 ،i=2 ،i=3 ،i=4راي که بدين ترتيب در پژوهش ب

ترتيب گرديده است که جابجا سازي اعداد در سطوح ظاهري مکعبات مذکور تابع

جدول مربعات اسرار آميز نوع مذکور بوده و به همان ترتيب عملي مگيردد ، هکذا در

بي گرديده پژوهش پيرامون تعداد مکعبات که يکي بداخل ديگر جابجا ميباشند ارزيا

و همچنان حاصل جمع اعداد يک دور در هر سطر ، هر ستون و قطر بزرگ مربعات

سطح مکعب نيز مطالعه شده است که با هم هر کدام مساويست.

ساير حاالت مربوط به مکعبات نوع مذکور مشتمل بر حاصل جمع اعداد ،

ه از حاصل تعداد سطوح مرئي و نامرئي همگون با مکعبات اسرار آميز حاصل شد

ضرب اعداد جفت در جفت ميباشد که قبالً در مورد آن معلومات ارايه گرديده است.

( خانه یی6x6x6مثال مکعب )


ز اعداد تاق:ميب: مکعبات اسرار آ

مطالعه مربعات اسرار آميز اعداد تاق متکي بر تصاعد

)12(1

in

i

ميز اعداد تاق آن نيز يکي از بخش هاي اساسي پژوهش بود که مکعبات اسرار آ

همرديف آن مطالعه و پژوهش گرديده است.

جابجا سازي اعداد در سطوح ظاهري مکعبات اسرار آميز اعداد تاق برويت جدول

جابجا سازي اعداد در سطوح مربعات اسرار اميز اعداد تاق عملي ميگردد که اعداد

مساويست و نيز جابجا شده در هر سطر، هر ستون و قطر بزرگ مکعبات با هم

خصوصيات مکعبات اسرار آميز اعداد تاق شامل تمامي خصوصيات مکعبات اسرار

آميز اعداد جفت ميباشد.

تعداد سطوح مرئي و نامرئي مکعبات اسرار آميز اعداد تاق نيز همانند مکعبات

مکعبات اسرار آميز اعداد جفت بوده و براي اختصار موضوع از مکرر آن در تداوم

عمل آمده است.باسرار آميز اعداد تاق جلوگيري

انه ييخ (5x5x5)مثال مکعب


نتيجه گيري:از پژوهش انجام شده پيرامون مربعات اسرار آميز و مکعبات آن چنين نتيجه حاصل

مي آيد که :

بر اساس پژوهش انجام شده براي کليه اعداد جفت و تاق مربعات اسرار آميز – 1

که اراية آن متکي بر مبادي تيوريک ارايه شده و مکعبات آن را ميتوان ترتيب نمود

عملي ميگردد که خود دستاورد بزرگي در علم رياضي محسوب ميگردد زيرا که از

قرون وسطي بدين سو اين مبحث به شکل نا شناخته آن باقيمانده بود.

در پژوهش چنانچه ارايه گرديده براي يکي از اعداد جفت و يا تاق مربع اسرار -2

يا مکعب آن ترتيب ميگردد که صرف يک معلوم بدست است ولي تعداد آميز و

مجهول هايي که بايد بدست آيد به مراتب بيشتر است بناً بدست آوردن چندين

مچهول از يک معلوم يکي از دستاورد هاي بکر پژوهش حاضر است که ميتواند

رهگشاي حل بسا مسايل حل ناشده رياضي گردد.

( خانه يي( ما به 16x16x16رار آميز )طور مثال مکعب )در يک مکعب در اس -3

( خانه يي ميداشته باشيم که بدست آوردن اعداد 1x1x1( مکعب )4186تعداد )

خانه يي آن اعم از (1x1x1)جابجا شونده هر شش سطح هر يک از مکعبات

سطوح مرئي و نامرئي آن اين نتيجه را ميرساند که ميتوان رياضي را بصورت زنده

درک و از آن تعداد کثيري از مکعبات با قيمت هاي حاصل جمع مساوي را بدست

آورد.

قواعد جابجا سازي اعداد در سطوح مربعات داخلي مربع اسرار آميز و يا در -4

يا از عددي که (min)سطوح ظاهري مکعبات اسرار آميز ميرساند که همواره عدد

آن در مقابل آن (max)اعداد يا عدد آغاز جابجا سازي اعداد شروع ميگردد و ختم

قرار مي گيرد که خود يکي از دستاورد ديگر اين پژوهش است که از لحاظ موقعيت

اعداد به هر پيمانه که اعداد بزرگ و بزرگتري داشته باشيم قابل محاسبه بوده و در

قرار ميگيرد و آن عبارت از تثبيت موقعيت حد نهايي اعداد (min)مقابل عدد

يعي در سه بعدي است.طب

پژوهش در مورد سطوح مرئي و نامرئي در صورت مکعبات اسرار آميز بزرگ و -5

بزرگتر ما سطوح مرئي بزرگتري ميداشته باشيم که در صورت هاي ارايه شده


( را کميت محدود و اليتناهي به مفهوم درست آن معرفي شده نميتواند بناً ميتوان)

و اينکه درينصورت اليتاهي مفهوم واقعي فزيکي را بدست محاسبه شونده شناخت

نميدهد خود بازگشايي دريچه بسوي رشد علم رياضي محسوب ميگردد.


مقدمه تنظيم کنندهاثر حاضر که به دسترس خوانندگان گرامي قرار دارد چهارمين کار کرد

از روي پژوهشي دانشمند گرامي محمد صديق )افغان( ميباشد که توسط اينجانب

دستنويس هاي تحقيقي ايشان گرد آوري گرديده است. ايشان طي بيشتر از دو

دهه تحقيق و پژوهش در عرصه هاي مختلف علم رياضي موفق به کسب دستاورد

هاي منحصر به خويش چون دريافت قاعده جديدي براي جذر سوم اعداد ، ترتيب

ي تمام اعداد اوليه و ..... نايل عکس قاعده بينوم نيوتن ، فاعده قابليت تقسيم باال

آمده است و با اساس گذاري رياضي فلسفي علم رياضي را در عرصه هاي تطبيقي

وارد مکتب جديدي نمود که متکي بر آن پژوهش هايي پيرامون نظم قران مجيد از

گاه رياضي هاي پنجگانه از ديدديدگاه رياضي فلسفي ، کار برد اعداد در اداي نماز

ر ابعاد علوم اسالمي به انجام رسانيده است.فلسفي د

مربعات اسرار آميز که در کتاب حاضر مورد مطالعه و پزوهش قرار دارد از

ساليان متمادي بدين سو مورد مطالعه رياضي دانان بود ولي ترتيب مربعات اسرار

حل ام و تيوري مربعات اسرار اميز از زمره مسايل (n)يز براي کليه اعداد تا حد مآ

ناشده و مبهم رياضي محسوب بود که اين جوانب در اين اثر مورد ارايه قرار گرفته

و از اهميت زيادي البد در عرصه علم رياضي برخوردار ميباشد.

يکي ديگر از جهات بکر اثر هذا عبارت از مطالعه مربعات اسرار آميز براي

بوده و خاصتاً ارايه اعداديکه ( ام در اشکال مکعب مربعي آن ها nکليه اعداد تا حد )

در سطوح ظاهري در مکعبات داخل به داخل هم جابجا ميگردند ميباشد.

ارايه خصوصيات آن ها نيز نقطه عطف ديگريست که مورد توضيح و تحقيق قرارداده

شده است.

گردهم آوري و تنظيم توضيحات تحقيقي دوست عزيزم محمد صديق

آميز و مکعبات آن ها مستلزم رهنمايي هاي ايشان )افغان( در مورد مربعات اسرار

بود و درين زمينه همواره اينجانب را رهنمايي و مساعدت فرموده اند که از ايشان

اظهار امتنان مينمايم.

انجنير محمد نقي )بخشي(

1886مارچ 31


مقدمه د مربعات اسرار اميز از ساليان متمادي که قدامت آن به قرون وسطي ميرسد مور

مطالعه رياضي دانان قرار داشته ، بآنهم معلومات پيرامون آن تا کنون اندک است.

بناً در وهلة نخست ضرور است تا در مورد مربعات اسرار آميز معلومات ارايه گردد

که مربع اسرار آميز چيست؟

ميتوان پاسخ را در توضيحات فرهنگ دايره المعارف شوروي تاليف ا.م.

ورد :پرو خورف بدست آ

تقسيم شده باشد که در (n)مربعي که نظر به سطر و ستون به اندازه هاي مساوي »

n)هر خانه بدست آمده آن اعداد طبيعي طوري جابجا شود که در مربع اولي 2)

باشد، حاصل جمع اعداد مذکور نظر به هر سطر ، هر ستون و قطر هاي بزرگ مربع

1«ميباشد n=3ربع اسرار آميز براي يک عدد معين را بدست ميدهد. مثال ذيل م

2 8 4

7 5 3

6 1 9

( طبع سال 475اف ، جلد سوم صفحه )ددايره العمارف رياضي تاليف اي.ام. و ينوگر

چاپ مسکو نيز در باره مربعات اسرار آميز معلوماتي را ارايه داشته و آنچه در 1892

عمومي مربعات اسرار آميز تيوري»متن آن قابل دقت است عبارت از تذکار اينکه

معلوم (n)تعداد عمومي مربعات اسرار آميز ترتيب »مي نگارد که يزنو «وجود ندارد

«.نيست

در باره 1899فرهنگ دايره المعارف رياضي تاليف ي.و. پروخورف سال

چنين مينگارد:

1 (737، مسکو ، صفحه ) 5891ف ا.م. پروخورف ، طبع سال يتال يره المعارف شورويفرهنگ دا


nالي 1( براي تمام اعداد از nxnمربع );jaجدول "ابقت با شرايط ذيل را تط 2

دارد:

n

i

n

j

n

i

ini

n

i

iiijij Saaaa1 1 1

1,

1

در اينصورت مجموع اعداد در هر کدام ستون ها ، در هر کدام سطر ها و دو قطر

بزرگ مربع با هم مساويست :

2

)1( 2

nnS

عبارت از شماره مربع اسرار آميز مي باشد. (n)عدد

)در شکل طرف چپ مربع n3آميز را براي به اثبات رسيده که ميتوان مربع اسرار

( ترتيب نمود. n=4و n=3اسرار آميز را براي

12 54 55 8 63 61 6 1

48 15 14 52 5 2 64 58

13 51 51 16 4 7 57 62

56 11 11 53 59 61 3

9

41 33 28 29 49 22 18 41

27 31 34 38 43 17 24 46

26 31 35 39 21 47 42 21

37 36 32 25 19 44 45 23

در قرون وسطي سلسله ترتيب دادن مربعات اسرار آميز شماره تاق معلوم بود.

مربعات اسرار آميز مطابق تصاعد با شروط اضافي وجود دارد ، بطور مثال مربع

عدد (16))شکل طرف راست( که آن را ميتون به چهار مربع داراي n=8اسرار آميز

6 7 2

1 5 8

9 3 4

4 54 51 5

8 7 6 51

1 55 51 9

56 1 3 53


نمود که مجموعة اعداد هر سطر ، هر ستون و يا قطر مربع کوچک طوري تقسيم

=(131هاي بزرگ آن ها مساوي باشد )

در هند و تعدادي از کشور هاي ديگر مربعات اسرار آميز با کيفيت طلسم

وجود داشت.

( حتي 1897بصورت عموم تيوري عمومي مربعات اسرار آميز وجود ندارد )

معلوم نيست. (n)رة تعداد عمومي مربعات اسرار آميز شما

1864پوستنيکوف م.م ـ مربعات اسرار آميز . مسکو

1868گوريويچ اي .ي ـ اسرار طلسمات قديم. مسکو" ()"

(NEW STANDARD DICTIONARY OF THE ENGLISH LANGUAGE) مربع اسرار آميز را

چنين تعريف نموده است:

مربع اسرار آميز يا جادوئي : "

6 7 2

1 5 8

9 3 4

اعداد در اين مربع قسمي تنظيم ميگردند که مجموعه آنها بشکل افقي، عمودي – 1

ميباشد. اگر محتويات 15و قطري ثابت بماند،مانند مثال فوق که مجموعه اعداد

مربع اسرار آميز عين چيز يعني ثابت باشد طوريکه مجموع ارقام ستون تحتاني

مجموعه ارقام ستون دست چپ معادل ستون مطابق به ستون فوقاني باشد و نيز

دست راست هر دفعه گردد در اين صورت اين مربع کامل گفته ميشود. در غير آن

مربع مذکور غير کامل و يا عادي گفته ميشود.

MATEATИЧECKИИ ЭHЦИKЛΟПΕДИЧECKИИ CЛΟBAPb

MOCKBA (COBETCKAЯ ЭHЦИКЛОПΕДИЯ ), 1988 Ю.B.Пpoxopob

.و. پروخورفي 1988( ، يره المعارف شوروي، مسکو )دا ياضيره المعارف ريفرهنگ دا -1


با توسعه يک مربع مشابه طوريکه مجموع ارقام و يا محصول ستون هاي افقي -2

رتيب گردد که يک کلمه و يا عبارت را ت يطور عين چيز باشد و يا اينکه حروف

"( 2)بشکل که از جهات مختلف خوانده شود عين چيز را بدهد.

مطالعه مربعات اسرار آميز براي تمامي اعداد جفت و اعداد تاق مشتمل بر کليه

( هايي براي اعداد در هر مراحل ترتيب مربعات اسرار آميز با اراية مجموعه )

ر و همچنان مطالعه مربعات اسرار آميز در حاالت مکعبات خانه از مربعات مذکو

مربعي براي تمامي اعداد جفت و اعداد تاق شامل تمام مراحل ترتيب مکعبات

( هايي براي اعداد مندرج در هر خانه از سطوح اسرار آميز و ارايه مجموعه )

که از بيروني مکعبات ، ارايه خصوصيات آن ها از موارد جديدي درين عرصه است

طرف اينجانب پژوهش گرديده و به پايه اکمال رسيده است.

مطالعه و بررسي حاالت مختلفه مکعبات اسرار آميز بالخصوص تعداد

سطوح مرئي و نامرئي مکعباتي که شامل آن مي باشند نقط عطف درين زمينه مي

باشد.

آرزومندم تا پژوهش هاي انجام شده پيرامون مربعات اسرار آميز و

کعبات اسرار آميز به وسيله اينجانب ممد راه پژوهشگران عرصه هاي مختلفه م

علوم قرار گيرد.

و من اهلل توفيق

محمد صديق )افغان(

1391حمل 11

2 FUNK & WAGNALLS NEW STANDARD DICTIONARY of the

ENGLISH LANGUAGE PAGE (1488) , YEAR (1947).


مربعات اسرار آميز در سطحمربع عبارت از شکل هندسي است که داراي طول و عرض با هم مساوي

قابل استفاده مي باشند ، بناً به منظور بوده و در پرکتيک اشکال مربعي در سطوح

توضيح بهتر مربعات اسرار آميز آن را تحت نام )مربعات اسرار آميز در سطح(

مطالعه مينمائيم :

مربعات درينجا طوري مورد مطالعه قرار ميگيرند که يک مربع به چندين مربعات

مربعات کوچک کوچک نظر به طول و عرض منقسم گرديده باشند و نظر به موقعيت

( ، مربعاتي که در يک 1آن ها را به مربعاتي که در يک سطر قرار دارند) شکل

( 3( و مربعاتي که در قطر هاي بزرگ قرار دارند )شکل 2ستون قرار دارند )شکل

ميتوان تفکيک نمود.

(3شکل ) (2شکل ) ( 1شکل )

( مربعات کوچک در سطر و ستون دو ، دو مربعات اند که آن را بنام 1شکل )در

( تعداد مربعات در سطر و ستون سه 2( دوي در دو خانه اي و در شکل )2x2مربع )

( تعداد 3( سه در سه خانه يي و در شکل )3x3سه مي باشند آن را بنام مربع )

چک اند بناً آن را بنام مربع مربعات در سطر و ستون داراي چهار چهار مربعات کو

(4x4( چهار در چهار خانه يي ناميده ميشود که در حالت شکل )تعداد مربعات 1 )

( که يک مربع 2( عدد مربع و در شکل )4( خانه يي مساوي به )2x2کوچک مربع )

(3x3 ( خانه يي است تعداد مربعات کوچک آن مساوي به )عدد مربع و در شکل 8 )

( 16(خانه يي است تعداد مربعات کوچک آن مساوي به ) 4x4)( که يک مربع 3)

عدد مربع مي باشد.


( خانه يي و 3x3( خانه يي ، ) 2x2در اشکال فوق ديده ميشود که مربع )

(4x4) ( 4خانه يي بوده که متبني بر قواعد عام مربعات اسرار آميز بالترتيب در هر )

( اعداد 3( مربع شکل )16در هر )( مربع شکل دوم و 8( در هر )1مربع شکل )

تحرير ميشود که حاصل جمع اعداد مندرجه نظر به هر سطر ، هر ستون و هر قطر با

هم مساوي مي باشد که مقدم بر توضيح و ارايه تصاعد هاي که بر اساس آن اعداد

ميتواند بداخل مربعات تحرير شود ضرور است تا دانسته شود چگونه و براي چه

)جفت و يا تاق( مربعات مذکور ترتيب شده ميتواند: نوع اعداد

اعداد جفت اسرار آميز مربعاتچون اعداد جفت بدو حالت بدست مي آيند نخست آنکه از حاصل ضرب

اعداد جفت در اعداد جفت حاصل ميگردد و ثانياً آنکه از حاصل ضرب اعداد جفت در

م آن ها ميپردازيم :اعداد تاق حاصل ميشود که درينجا به مطالعه هر کدا

: مربعات اعداد جفتي که از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد جفت بدست مي 1

آيند :

شامل اعداد طبيعي باشد nيعني n ϵ Nباشد و 0n در صورتيکه

خانه يي آن مطابق تصاعد ذيل است: (nxn)تعداد مربعات در سطر و ستون يعني

;41

in

i

عد فوق را در مثال هاي ذيل مورد مطالعه قرار ميدهيم:تصا

a - هرگاهn=1 : باشد درينصورت

41441

1

xii

( مربع 16( خانه يي مي باشد که داراي ) 4x4مربع مورد نظر ) i=1درينصورت براي

کوچک است.


b – هرگاهi=2 نصورت:يباشد در

82442

2

xii

( مربع 64) يبوده که دارا يي( خانه 8x8مربع مورد نظر ) i=2 ينصورت برايرد

باشد.ير اعداد ميتحر يکوچک برا

51 54 11 15 58 62 2 7

16 8 53 52 9 1 61 61

13 12 56 48 5 4 64 57

51 55 11 14 59 63 3 6

35 39 26 31 43 46 19 23

32 25 37 36 24 17 45 44

28 29 41 33 21 21 49 41

34 38 27 31 42 47 18 22

11 14 2 7

9 1 13 12

5 4 16 8

11 15 3 6


( خانه 4x4مورد نظر را به چهار مربع ) ييخانه (8x8)توان مربع يدر صورت فوق م

ز حاصل جمع اعداد در هر سطر ، ستون و قطر ها در ينجا نيمنقسم نمود که در يي

يم يبا هم مساو ييخانه (4x4)و ييخانه (8x8) يعنيهر دو حالت مربعات

د.باشن

c- هرگاهi=3 نصورت :يباشد ، در

ييخانه (12x12)( مربع مورد نظر i=3) ينصورت برايدر

يا جابجا سازير و يتحر ي( مربع برا144) يبوده که دارا

باشد.ياعداد م

84 121 15 61 83 121 16 61 89 125 11 56

68 6 112 113 71 7 111 112 65 2 116 117

42 33 138 76 43 34 139 75 39 28 143 91

95 131 24 51 94 128 25 52 98 134 21 47

88 126 11 55 85 122 14 58 81 119 19 63

64 1 117 119 69 5 113 114 72 8 118 111

37 29 144 91 41 32 141 77 45 36 136 73

81 135 18 46 96 131 23 51 92 127 27 54

82 118 17 62 87 124 12 57 86 123 13 59

71 9 111 111 66 3 115 116 67 4 114 115

44 35 137 74 38 31 142 78 41 31 141 79

93 129 26 53 99 133 21 49 97 132 22 48

123443

3

xii


( خانه 4x4( مربع )8مورد نظر را به ) يي( خانه 12x12توان مربع )يفوق مدرصورت

مربع يستون و قطر ها، منقسم نمود که حاصل جمع اعداد در هر سطر يي

(12x12) و هر مربع ييخانه(4x4) است. يبا هم مساو ييخانه

ه از ک ياعداد جفت يگردد که برايجه حاصل مين نتيفوق چن ياز مثال ها

( مربعات minند حد اقل )يآ يبدست محاصل ضرب اعداد جفت در اعداد جفت

(4x4 خانه )ر اکه قبالً تذک ييباشد از آنجايم ي( مربع داخل16) يده که داراوب يي

مربع جفت يمربعات داخل يشد حاصل جمع اعداد در هر سطر ، هر ستون و قطر ها

يکه در هر مربع داخليد که اعداديآ يان ميبم ياند ، سوال يدر جفت با هم مساو

ده( چگونه است؟ير گريجابجا شده )تحر

گردند يدر مربعات که از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد جفت حاصل م

تمام ين جدول برايد و ايآ يل بعمل مياعداد حسب جدول ذ يجابجا ساز

:يعني( را داشته باشد 4عدد ) يم بااليت تقسيکه قابلياعداد

4j .4j = 16j يدر طول و عرض داخل يمربع يعبارت از تعداد خانه ها jباشد و 2

مربع باشد صادق است.


ninjn

i

5)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

1

nin

i

61

nin

i

71

nin

i

01

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

41

nin

i

31

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2 ni

n

i

21

nin

i

51

) 1-1جدول )

شامل اعداد n و i ،jباشد و يسطح م ييعدد نها - n،ـ شروع شماره سطح iنجا ـ يادر

i=n=1آن يک سطح مطالعه گردند برايکه مربعات مورد نظر در يبوده و در صورت يعيطب

باشد. يم

j – نصورت يباشد که دريدر طول و عرض مربع م يمربع يتعداد خانه هاj=4 .است

j

j


جدول (8x8)مربعات يم و برايدر سطح مطالعه نمود (4x4)مربعات ي( را برا 1-1ل )جدو

ي( مرتبه ا8( جدول مذکور با تکرار ) 12x12مربعات ) يو برا ي( مرتبه ا4مذکور با تکرار )

ابد.ي يب ادامه مين ترتير مربعات به هميسا يگردد و برايم يآن عمل

يهر مربع داخل يوجود دارد برا ي( مربع داخل16) ( که در آن 4x4) ( مربعات1-1جدول )

( )يت هاير موقعين جدول را با تغيده شده است و ايمربوط به آن گنجان (ها در سا )ر ي

ل :ي( مرتبه نوشت ، قرار ذ !4توان )يم يمربعات داخل يخانه ها

nin

i

71

ninjn

i

5)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

ni

n

i

01

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

1

nin

i

61

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

21

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

51

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

41

nin

i

31

ninjn

i

)1(1

2


ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

61

nin

i

31

nin

i

21

nin

i

71

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

51

nin

i

01

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

1

nin

i

41


ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

71

ninjn

i

3)1(1

2

ni

n

i

21

nin

i

41

ninjn

i

5)1(1

2

ni

n

i

1

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

31

ninjn

i

2)1(1

2

ni

n

i

61

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

4)1(1

2

ni

n

i

51


ninjn

i

6)1(1

2

ni

n

i

31

ninjn

i

)1(1

2 ni

n

i

41

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

61

ninjn

i

4)1(1

2 ni

n

i

1

nin

i

21

ninjn

i

7)1(1

2 nin

i

51

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

71

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

5)1(1

2


ninjn

i

5)1(1

2

ni

n

i

41

ninjn

i

0)1(1

2 ni

n

i

1

nin

i

71

ninjn

i

6)1(1

2 ni

n

i

21

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

)1(1

2 nin

i

51

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

ni

n

i

31

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

61


ninjn

i

6)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2 nin

i

21

nin

i

51

nin

i

41

nin

i

31

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

71

nin

i

01

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2 nin

i

1

nin

i

61


nin

i

71

ninjn

i

5)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

41

nin

i

31

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

21

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

51

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

1

nin

i

61

ninjn

i

4)1(1

2


nin

i

61

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

31

nin

i

1

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

41

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

51

nin

i

01

ninjn

i

)1(1

2

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

21

nin

i

71

ninjn

i

6)1(1

2


nin

i

51

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

21

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

71

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

0)1(1

2

ni

n

i

41

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

1

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

31

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

61


ninjn

i

2)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

61

nin

i

31

nin

i

71

nin

i

21

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

01

nin

i

51

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

1

nin

i

41


ninjn

i

3)1(1

2

ni

n

i

71

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

21

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

51

nin

i

61

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

31

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

1

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

41

ninjn

i

0)1(1

2


ninjn

i

2)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

71

nin

i

01

nin

i

61

nin

i

1

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

21

nin

i

51

nin

i

31

nin

i

41

ninjn

i

6)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2


nin

i

41

ninjn

i

6)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

31

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

71

nin

i

01

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

1

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

61

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

21

nin

i

51

ninjn

i

7)1(1

2


ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

1

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

41

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

61

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

31

nin

i

01

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

51

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

71

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

21

ninjn

i

6)1(1

2


ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

51

nin

i

21

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

01

nin

i

71

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

41

ninjn

i

)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

31

nin

i

1

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

61


ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

41

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

1

nin

i

21

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

71

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

51

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

31

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

61


nin

i

51

ninjn

i

)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

31

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

01

nin

i

61

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

21

ninjn

i

6)1(1

2

ninjn

i

0)1(1

2 ni

n

i

41

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

71

nin

i

1

ninjn

i

5)1(1

2


ninjn

i

)1(1

2

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

51

nin

i

01

nin

i

41

nin

i

1

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

31

nin

i

61

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

21

nin

i

71


nin

i

31

ninjn

i

2)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

61

nin

i

51

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

41

ninjn

i

5)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

71

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

1

nin

i

21

ninjn

i

3)1(1

2


ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

61

nin

i

31

nin

i

21

nin

i

71

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

1

nin

i

41

nin

i

51

nin

i

01

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2


nin

i

51

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

31

nin

i

21

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

41

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

61

nin

i

01

ninjn

i

2)1(1

2

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

1

nin

i

71

ninjn

i

5)1(1

2


ninjn

i

0)1(1

2

ni

n

i

51

ninjn

i

7)1(1

2

nin

i

21

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

71

nin

i

41

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

31

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

1

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

61

ninjn

i

3)1(1

2


ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

21

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

51

nin

i

71

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

01

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

41

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

31

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

1

ninjn

i

2)1(1

2

nin

i

61


nin

i

71

ninjn

i

2)1(1

2

ninjn

i

5)1(1

2

nin

i

01

nin

i

21

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

0)1(1

2

nin

i

51

ninjn

i

3)1(1

2

nin

i

61

nin

i

1

ninjn

i

4)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

nin

i

31

nin

i

41

ninjn

i

)1(1

2


يکه از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد تاق بدست م يمربعات اعداد جفت( 2

ند:يآ

باشد تعداد يعيشامل اعداد طب n يعني nNباشد و 1n که يدر صورت

ل يهر سطر و هر ستون مربع مطابق رابطه تصاعد ذ يداخل يمربع ها يخانه ها

د:يآ يبدست م

م:ينمائي مطالعه مالًيچند مثال ذ يحال رابطه فوق را ط

a ـ هرگاهi=2 باشد

نصورت :ي، در

يمربع داخل (36) يبوده که دارا ييخانه (6x6)مربع مورد نظر i=2 ينجا برايدر ا

باشد. يم

6 35 3 34 32 1

25 11 29 27 9 12

24 21 16 15 17 18

13 14 22 21 23 19

7 28 8 11 26 31

36 2 33 4 5 31

بزرگ يدر هر سطر ، هر ستون و قطر ها يحاصل جمع اعداد مربعات داخلنجا يدر ا

شروع شماره عبارت از iباشد. که يم i=n=1نصورت يبوده ، در ا يمربع با هم مساو

);12(21

in

i

632)12.2(2)12(22

2

xii


عبارت از شماره مربعات jسطح مربع است و ييعبارت از عدد نها nسطح و

است نحوه (j=6)نظر ک ستون بوده که در حالت مورديا يک سطر و يدر يداخل

ل نشان داده شده است که يدر جدول ذ يهر مربع داخل ياعداد برا يجابجا ساز

در مربعات يچ عدد طور تکراريباشد و هي( م1اول از عدد ) يآغاز آن در مربع داخل

باشد:ينم

n

i

ni1

5

n

i

ninj1

2 ])1([

n

i

ni1

2

n

i

ninj1

2 ]2)1([

n

i

ninj1

2 ]4)1([

n

i

ni1

0

n

i

ninj1

2 ]11)1([

n

i

ni1

10

n

i

ninj1

2 ]6)1([

n

i

ninj1

2 ]9)1([

n

i

ni1

7

n

i

ni1

11

n

i

ninj1

2 ]12)1([

n

i

ninj1

2 ]16)1([

n

i

ni1

15

n

i

ni1

14

n

i

ni1

16

n

i

ninj1

2 ]17)1([

n

i

ni1

12

n

i

ni1

13

n

i

ninj1

2 ]14)1([

n

i

ninj1

2 ]15)1([

n

i

ninj1

2 ]13)1([

n

i

ni1

17

n

i

ni1

6

n

i

ninj1

2 ]7)1([

n

i

ni1

8

n

i

ni1

9

n

i

ninj1

2 ]10)1([

n

i

ninj1

2 ]6)1([

n

i

ninj1

2 ]0)1([

n

i

ni1

n

i

ninj1

2 ]3)1([

n

i

ni1

3

n

i

ni1

4

n

i

ninj1

2 ]5)1([

( 1-2جدول )

گردد.ي( آغاز م1مربعات از عدد ) ياعداد در خانه ها ي( جابجا ساز1-2در جدول )


که (max)( است در مقابل عدد 1که عبارت از عدد ) minفتن عدد رهر گاه قرار گ

مدنظر باشد يي( خانه 6x6) يداخل يباشد در وسط مربع ها ي( م36عبارت از عدد )

يل صورت ميآن به اساس جدول ذ يبعات داخلرداد در ماع ينحالت جابجا سازيدر

بوده باشد: j=6 و i=n=1که يتررد آنهم در صويگ

n

i

ni1

15

n

i

ninj1

2 ]16)1([

n

i

ninj1

2 ]12)1([

n

i

ninj1

2 ]17)1([

n

i

ni1

16

n

i

ni1

14

n

i

ninj1

2 ]8)1([

n

i

ni1

10

n

i

ninj1

2 ]11)1([

n

i

ni1

11

n

i

ni1

7

n

i

ninj1

2 ]9)1([

n

i

ni1

2

n

i

ninj1

2 ])1([

n

i

ni1

5

n

i

ni1

0

n

i

ninj1

2 ]4)1([

n

i

ninj1

2 ]2)1([

n

i

ninj1

2 ]3)1([

n

i

ni1

n

i

ninj1

2 ]0)1([

n

i

ninj1

2 ]5)1([

n

i

ni1

4

n

i

ni1

3

n

i

ni1

8

n

i

ninj1

2 ]7)1([

n

i

ni1

6

n

i

ninj1

2 ]6)1([

n

i

ninj1

2 ]10)1([

n

i

ni1

9

n

i

ninj1

2 ]14)1([

n

i

ni1

3

n

i

ni1

12

n

i

ni1

17

n

i

ninj1

2 ]13)1([

n

i

ninj1

2 ]15)1([

( 1-3)جدول

b – هرگاهi=3 نصورت :يباشد ، در

3

3

1052)132(2)12(2i

xxi


( 5( ضرب در عدد تاق )2( از حاصل ضرب عدد جفت )11در فوق عدد جفت )

بوده و تعداد مربعات يي( خانه 10x10مربع مورد نظر )( i=3) يبدست آمده و برا

باشد.يم ) 111آن ) يداخل

10 99 3 94 5 96 7 98 92 1

81 19 88 87 16 15 84 83 12 20

80 72 28 27 75 76 24 23 29 71

61 62 38 37 65 66 34 33 39 70

60 49 53 54 46 45 47 48 52 51

41 59 43 44 56 55 57 58 42 50

40 32 68 67 36 35 64 63 69 31

21 22 78 77 25 26 74 73 79 30

11 89 13 14 86 85 17 18 82 90

100 2 93 4 95 6 97 8 9 91

بزرگ مربع با هم يز حاصل جمع اعداد هر سطر هر ستون و قطر هاينصورت نيدر

(min)از عدد ياعداد در مربعات داخل ياست ، در جدول مذکور جابجا ساز يمساو

j=10که ياعداد در صورت ين جابجا سازيده که اياست آغاز گرد (1)به يکه مساو

ن يباشد ، در يگاشته شده مل ني( که در ذ1-4باشد مطابق جدول ) i=n=1و

امده است:ين ياز اعداد بصورت تکرار يکيچ يز هيجدول ن


(1-4جدول )


شود. ي( آغاز م1که از عدد ) ييخانه (10x10)اعداد مندرج مربعات يجدول تصاعد

وشته کرد و به مرتبه ن ((!4ت اعداد آن اضافه از ير موقعيتوان با تغيجدول فوق را م

ب نمود.يرا ترت (10x10)ت آن جدول مربعات يرو

اعداد يجابجا ساز ييخانه (10x10) يبه صورت عموم در جدول مربع

يجابجا ساز يرد که آن را بنام جدول عموميگيل صورت ميذ يحسب جدول عموم

م:ينمائياد مي (10x10)اعداد در مربعات

(1-5جدول )

( maxدر برابـر عـدد ) (min)اعداد به گونه که عدد ي( جابجا ساز1-5جدول ) در

باشد.يرد ميگيقرار م


جابجا گردد عدد ي( اعداد در مربعات داخل11*11مربع ) يبر جدول عموم ياگر متبن

(min) ( است در مقابل عدد 1که عبارت از عدد )(max) ( 111که عبارت از عـدد )

ـ رد همچنـان نظـر بـه تغ يگيقرار ماست در قطر بزرگ مربع ـ ر موقعي ي( هـا ت )ي

( بار نوشت. 2را )( 10x10بعات )رم يتوان جدول عموميم يمربعات داخل

بزرگ مربـع يقابل تذکار است که حاصل جمع اعداد هر سطر ، هر ستون و قطر ها

هـا نآ يت هاير موقعيمرتبه تغ (2)ن قاعده در ين همياست و ع يمذکور با هم مساو

باشد. نظر به قاعـده يک مربع نميدر يد و اعداد در آنها بصورت تکرارينمايق مصد

ل است.ياعداد مندرج آن قرار ذ (10x10)مربعات يجدول عموم

46 54 53 48 61 51 52 49 47 45

65 37 39 62 61 71 38 33 34 66

75 27 29 72 91 71 28 23 24 76

16 97 99 18 91 21 12 93 94 15

5 84 3 88 11 1 82 89 7 86

85 4 83 2 111 81 8 9 87 6

96 14 13 98 11 81 92 19 17 95

25 77 79 22 21 31 78 73 74 26

36 67 69 32 41 31 68 63 64 35

56 44 43 58 41 51 42 59 57 55


c ـ هرگاهi=4 نصورت يباشد ، در

4

4

1472)142(2)12(2i

xxi

اعداد را يبوده مانند قبل جابجا ساز ييخانه (14x14)نحالت مربع مورد نظر يدر ا

م:يدهيدر دو شکل آن نشان م يآن حسب آت يدر مربعات داخل

الف :

14 185 3 196 5 199 7 181 8 182 11 194 184 1

168 27 191 178 24 23 176 175 21 18 172 171 16 28

169 156 41 38 158 161 36 35 163 164 32 31 41 155

141 142 54 53 145 146 51 48 148 151 46 45 55 154

141 68 128 131 66 65 133 134 62 61 67 68 128 127

113 93 115 116 91 78 118 121 76 75 81 82 114 126

112 111 86 85 113 114 82 81 117 119 88 87 97 99

95 96 111 118 98 81 116 115 83 84 102 101 111 98

94 125 73 74 122 121 77 79 119 117 123 124 72 71

57 138 58 61 136 135 63 64 132 131 137 138 58 70

56 44 152 151 52 51 149 147 49 47 144 143 153 43

28 31 166 165 33 34 162 161 37 39 158 157 167 42

15 191 17 19 179 177 21 22 174 173 25 26 170 182

186 2 195 4 197 6 198 9 181 11 193 12 13 183


ب:

92 104 103 95 96 100 112 99 97 87 88 108 107 91

119 79 80 116 115 83 113 126 114 82 81 75 76 120

133 65 66 130 129 69 140 127 128 68 67 61 62 134

50 146 145 53 54 142 141 154 55 45 46 150 149 49

36 160 159 39 40 156 168 155 41 31 32 164 163 35

176 23 24 179 180 27 169 28 16 171 172 19 20 175

7 188 5 186 3 195 14 1 184 194 11 192 9 190

189 6 187 4 185 2 196 183 13 12 193 10 191 8

21 177 178 18 17 181 15 182 170 26 25 173 174 22

162 34 33 165 166 30 29 42 167 157 158 38 37 161

148 51 52 151 152 44 56 43 153 143 144 47 48 147

63 135 136 60 59 139 57 70 58 138 137 131 132 64

77 121 122 74 73 125 84 71 72 124 123 117 118 78

106 90 89 109 110 86 85 98 111 101 102 94 93 105

اعداد يشود که برا يجه حاصل مين نتيفوق چن يه مثال هايجا از ارانيدر ا

جفت در اعداد تاق حاصل آمده باشند ، حد اقل که از حاصل ضرب اعداد يجفت

(min ( آن مربعات )6x6 خانه )باشند ، که حاصل جمع اعداد هر سطر ، يم يي

باشد. يم يآن با هم مساو ير هاقطستون و


Note : تاق ضرب در عدد (2)که از حاصل ضرب عدد جفت يفتجن عدد يکوچکتر

د ين مربع مورد نظر بايد کوچکترين مبنا باي( است بد2د عدد )يآ ي( بدست م1)

(2x2 خانه )که:يدر صورت يعنياست يمربع داخل )4) يباشد که دارا يي

i=1;

2 1

4 3

آن ياعداد مندرج در مربعات داخل يينه ( خا 2x2شود که در مربع )يده ميدر فوق د

حاصل جمع اعداد هر سطر و هر ستون را ندارد و صرف حاصل ينظم و قانونمند

ن اصل عدم مطابقت يبر هم يست. متکيبزرگ آن با هم مساو يجمع اعداد قطر ها

ياضيره المعارف ريحاصل جمع اعداد در سطر ها و ستون ها است که در فرهنگ دا

است:نگاشته شده

به ( 3)«. ب نمودي...... ترت 3 jيز را برايتوان مربع اسرار آميده است که ميبه اثبات رس»

(min)ا يحد اقل ( i=2ن نوع اعداد جفت )يا يد براين اساس است که بايهم

محسوب گردد.

( 333، صفحه ) 5899وخورف ، چاپ مسکو ، سال . و پر يف ي، تال ياضيره المعارف ريـ فرهنگ دا 3

n

i

xxi1

222)112(2)12(2


اعداد تاق اسرار آميز مربعات يطبعشامل اعداد n يعني nϵNباشد و n<>0که يدر صورت

ت تصاعد يبرو ييخانه (nxn)ک مربع يباشد تعداد مربعات سطر و ستون آن در

گردد:يل محاصبه ميعدد ذ

n

i

i1

);12(

ل مورد مطالعه قرار يذ ي( در مثال ها i) هلفتمخ يمت هايق يحال تصاعد فوق را برا

م:يدهيم

نصورت :يباشد ، در i=1ـ هرگاه 1

1

1

1112)12(i

xi

باشد. يم يي( خانه 1( مربع مورد نظر ) i=1) ينصورت برايدر

1

نصورت:يباشد ، در i=2هرگاه -2

2

2

314)122()12(i

xi

باشد: يم يعدد مربع داخل (9) يبوده و دارا ييخانه (3x3)مربع حاصله i=2 يبرا

9 1 6

3 5 7

4 8 2


نصورت:يباشد ، در i=3هرگاه -3

باشد. يم ي( مربع داخل25) يبوده و دارا يي( خانه 5x5مربع حاصله ) i=3 يبرا

15 22 8 16 3

2 14 21 9 21

18 1 13 25 7

6 19 5 12 24

23 11 17 4 11

باشد ، i=nکه يدر صورت

n

i

i1

قنه صدين تاق در زميتمام اعداد مع يبرا )12(

د.ينمايم

يمت هايق يتمام ي( برا i=1مت )يدون قفوق ب يدر صورت ها

(i) يتواند که حاصل جمع اعداد مندرجه مربعات داخليب شده ميمربعات مذکور ترت

باشد و يم يبزرگ مربع با هم مساو يآن ها در هر سطر ، هر ستون و قطر ها

شود ي( انجام م 1-6ن مربعات مطابق جدول )يا ياعداد در هر کدام از مربعات داخل

نصورت :يا که در

516)132()12(3

3

xii


)12( jj يو عرض يعبارت از تعداد مربعات به شکل طول

n وi لترتيب اب(max) و (min) صفحات بوده که در صورت مطالعه مربع در سطح

i=n=1 در يل طور آتيذ يمت هاير نمودن جدول قيص تحرياست به منظور تلخ

نظر گرفته شده است:

n

i

zjiyj

mj

1

22

)1(;2

1;

2

1


اعداد در مربعات تاق يجابجا ساز يجدول عموم

( 5-6جدول )


زيمکعبات اسرار آمد ياعداد جفت و اعداد تاق تا اکنون مطالعه گرد يز برايمربعات اسرار آم

از وجوه خاص اثر حاضر يز در اشکال مکعب مربعيمطالعه مربعات اسرار آم يول

م و ينمائيح ميز توضيمتحت نام مکعبات اسرار آدرست آن را ةيارا ياست. برا

باشند يرا دارا م يشکل مکعب مربع ين مکعبات از لحاظ هندسيواضح است که ا

ز يآماعداد جفت و اعداد تاق همگون با مراحل مطالعه شده مربعات اسرار يکه برا

گردد.يمطالعه م

ز اعداد جفتيمکعبات اسرار آمکه اعداد جفت از يداد جفت را در دو حالتاع يز برايمکعبات اسرار آم

ا از حاصل ضرب اعداد يو حاصل ضرب عدد جفت در عدد جفت )جفت در جفت(

م:ينمائيند مطالعه ميآ يتاق( بدست م درتاق در اعداد جفت )جفت

اعداد جفت در جفت : يز برايمکعبات اسرار آم

( ضلع 12) ، يشش سطح مربع يداست هر مکعب مربع دارايچنانچه هو

م گردد.يتواند ترسيات منيکار د هدر س ي( کنج بوده و از لحاظ حجم9و ) يمساو

1

5

3

2 6

4


م ضرور است يه نمائياعداد جفت در جفت را ارا يز براينکه مکعبات اسرار آميا يبرا

م :يمکعبات مذکور را داشته باش يد مدليتا مقدم بر همه با

ل باشد:يذ يما موافق به تصاعد هندس يمدل مکعبم که يئنمايبگونه مثال فرض م

m

j

mj

0

43210 2.........222222

مکعب رام آنيتصاعد فوق بدان يک از حد هايآنکه تعداد مکعبات را در هر يبرا

م که :ينموده دار

m

j

mj0

334333231303 )2(............)2()2()2()2()2()2(

m

j

mj0

3333333 )2(..............168421)2(

کعب و مربع آن عدد تام باشد همزمان جذر م هک يشود اعداديده مينجا ديدر ا

م گردند.يتنظ يتواند در شکل مکعب مربعيم

پنج حد يما به بررسشوند يکه مطالعه م يل شدن حد هاياز طو يريجلوگبه منظور

م:يپردازياول تصاعد ذکر شده فوق م

طول و يست و دارايم که کوچکتر از آن ممکن نيک مکعب دارينصورت ما يـ در 1

يشش سطح م ين واحد است و دارايمت معيو ق يبا هم مساو و ارتفاع عرض

باشد.


(2)در صورت حد دوم تصاعد فوق که -23

ي( عـدد مکعـب کـه دارا 8است ما )

يـي خانه (2x2x2)ک مکعب يم که در واقع يواحد باشد دارفاع تو ار طول و عرض

ت.ل شده اسيتشک يي( خانه 1x1x1( عدد مکعب )9بوده که از )

(4)در صورت حد سوم تصاعد فوق که -3ـ (64)است ما 3 يکـه دارا يعـدد مکعب

يي( خانه 1x1x1( عدد مکعب )64ن )يم که ايطول ، عرض و ارتفاع واحد است دار

ـ جابجا بوده و ا يي( خانه 2x2x2( عدد مکعب )9در ) ـ ن در ي (4x4x4)ک مکعـب ي

جابجا است. ييخانه


(8)که فوق حد چهارم تصاعد تدر صور – 4( 1x1x1عدد مکعب ) (512)است ما 3

( عدد 9، ) ييخانه 2x2x2( عدد مکعب 64ست به )يمساونحالت يکه در ييخانه

ده است.يجابجا گرد ييخانه 8x8x8ک مکعب يکه در ييخانه 4x4x4مکعب

(16)که در صورت حد پنجم تصاعد مورد مطالعه ما -53

عدد (4096)است ما

، ييخانه 2x2x2عدد مکعب (512)ست به يکه مساو ييخانه 1x1x1مکعب

ک ي، که در ييخانه 8x8x8( عدد مکعب 9و ) ييخانه 4x4x4عدد مکعب ( 64)

ده است.يجابجا گرد ييخانه 16x16x16مکعب

مکعبات تا يه را براين عمليم که ايتوانيم 32m د.يوسعت بخش

که ين مکعب مدل ما است و طوريبزرگتر ييخانه 16x16x16ه فوق مکعب يدر ارا

( 2x2x2، ) ييخانه (4x4x4)، ييخانه (8x8x8)ذکر شد به داخل آن مکعبات


مکعبات ذکر شده يمربع يقرار دارد که در خانه ها ييخانه (1x1x1)و ييخانه

، يز حاصل جمع طولينصورت نيز دريه مانند مربعات اسرار آمگردد کياعداد جابجا م

بزرگ هر کدام از يز حاصل جمع قطر هاين ونتو هر س هر سطر يو ارتفاع يعرض

، هر سطر ، هر يارتفاع و ي، عرض يسطوح مکعب و همچنان حاصل جمع طول

ست.يبزرگ هر شش سطح مکعب با هم مساو يستون و قطر ها

مکعبات يا ستون هايدرجه هر کدام از سطر ها و حاصل جمع اعداد من

است: يد قرار آتينمايار ميک دور را بخود اختيفوق که شکل

يشش سطح )شش خانه( م يکه دارا ييخانه 1x1x1ک مکعب ي( در 1

ک دور اعداد مندرج يا حاصل جمع ي( نمبر را درج نمود ، آ6توان )يباشد صرف م

؟ا ستون آن چگونه است يسطر و

( عدد را دارد و 6ش درج )يگنجا يبگونه مثال چون مکعب ما دارا

م :يل داشته باشياعداد طور ذ يجابجا ساز يبرا يما تصاعد1+2+3+4+5+6

ل با هم جمع و در سطوح مکعب جابجا نمود:يتوان اعداد مذکور را قرار ذيم(1+6)+(2+5)+(3+4)

م که هر يگردد و فرض نمائين محسوب ميرکوچک ت ييخانه 1x1x1چون مکعب

ک دوريبوده و حاصل جمع j=1نصورت يم ، درينشان ده jک از اضالع آن را به ي

4

5 6 2

3

1

j

j

1

4

5

2

3 6


شود که يل حاصل ميبر رابطه ذ يا ستون متبنيسطر نظر به (A)اعداد مندرج مکعب

نصورت : يدر

142.71.2).11.6(

2)16(

2

2

A

jjA

A – ا ستون يج سطوح مکعب نظر به سطر ک دو اعداد مندريعبارت از حاصل جمع

است.

ييخانه (1x1x1)( عدد مکعب 9که در آن ) ييخانه 2x2x2ک مکعب يدر - 2

تواند که در مجموع يعدد نوشته شده م (4)مکعب حباشد در هر سط يجابجا م

ک دور يآنکه حاصل جمع يگردد ، برايعدد جابجا م (24)مکعب مذکور سطوح

م آن را از لحاظ يا ستون جمع نموده باشيبه سطر نظر کور رااعداد مندرج مکعب مذ

يمکعب قرار م يعقب يکه در نما ها يدير قابل ديوضاحت سطوح غ يبرا يهندس

م :ينمائ يم ميل ترسيرند قرار ذيگ

نصورت:يدر اj=2

10022)126(2)16( 22 xxxjxjA

j

j


ييخانه 2x2x2ستون مکعب ک يد حاصل جمع اعداد مندرج يکه حاصل گرديطور

آن يتمام سطر ها و ستون ها يت برالاحن يباشد. که ا يم )111به ) يفوق مساو

د.ينمايصدق م

ک دور اعداد يباشد ، حال جمع يم (j=4)که ييخانه 4x4x4ک مکعب يدر -3

است به : يمندرج سطوح مکعب مساوj=4

77642)146(2)16( 22 xxxjxjA

رابطه (`j=m) يعني فهمختل يمت هايق يشود برايده ميچنانچه د

jjA 2).16( 2 مکعبات مورد مطالعه در سطر و يک دو اعداد مندرج سطوح ظاهريحاصل جمع

باشد. يستون م


گردد :يمکعب که در آن اعداد درج م يسطوح ظاهر يمربع يتعداد خانه هاک مکعب يز مورد نظر ما يب اسرار آمکه قبالً تذکار شد مدل مکعيطور

(16x16x16) آن يبرا يعنيباشد يم ييخانه(j=16) ن مکعب ياست و ا

(16x16x16) ( عدد مکعب 9ست به )يمساو ييخانه(8x8x8) ( 64، ) ييخانه

( 4186ا )يو ييخانه (2x2x2)عدد مکعب )512، ) ييخانه (4x4x4)عدد مکعب

هر مرحله يعنيت دارند يگر موقعيکديکه بداخل يي( خانه 1x1x1عدد مکعب )

ت يبر اصول قابل يمتک يو ارتفاع ي، عرض يمکعبات فوق بدو قسمت از لحاظ طول

)سطوح مربعات کوچک ( ييتعداد خانه ها يده اند ، وليم اعداد منقسم گرديتقس

سم منقگردد ، يشوند در هر مرحله از انقسام آن دو چند ميکه در آن نمرات درج م

گر اعداد را نداشته و صرف يد يم بااليت تقسيگر قابليکه دينمودن مکعبات تا زمان

يکه دارا يي( خانه 1x1x1م را داشته باشد )مکعبات يت تقسي( قابل1عدد ) يباال

شود.يم يعمل طول ، عرض و ارتفاع واحد است

عدد مکعب (4096)مورد مطالعه ما ييخانه (16x16x16)در مکعب -1

(1x1x1) 16ن مکعب يدر ا يباشد ول يجابجا م ييخانهx16x16 صرف ييخانه

يسطح مربع (16x16=256) يآن که هر سطح مکعب دارا يرونيب يسطح ها

ح از لحاظ ون سطيا ييخانه 16x16x16ده که در شش سطح مکعب کوچک بو

ست به :يتعداد مساو16 x 16 =16

2 x 6 =1536

توان اعداد را جابجا يم ييخانه 16x16x16عب کوچک مک ي( سطح مربع1536در )

ح يتوض يبعد يهر کدام سطوح در پرگراف هااعداد در ينمود که طرز جابجا ساز

گردد.يم

(1x1x1)عدد مکعب (512)باشد يم (j=8)که ييخانه (8x8x8) در مکعب -2

دد ( ع9به تعداد ) ييخانه 8x8x8) (داشته باشد ، چون مکعبات يم جا ييخانه

ک مکعب يک سطح يم بناً در يدار ييخانه 16x16x16ک مکعب يبداخل

(8x8x8) کوچک از مکعبات يسطح مربع (64) ييخانه(1x1x1) ده يد ييخانه

سطح x 6=384 (x 8 8) ييخانه (8x8x8)ک مکعب يشود و در شش سطح يم


ييخانه (8x8x8)( عدد مکعب 9اعداد وجود دارد که در ) يجابجا ساز يبرا يمربع

ست به:يمت مساوين قيا384 x 8 = 3072

يسطح مربع (3072) ييخانه (8x8x8)( عدد مکعب 9شود در )يده ميکه ديطور

مکعبات ياعداد وجود دارد که دوبرابر سطوح مذکور برا يجابجا ساز يبرا

(16x16x16 خانه )باشد. يم يي

خانه (4x4x4)دد مکعب ( ع9حسب فوق ) ييخانه (8x8x8)ک مکعب يبداخل -3

(8x8x8)بوده که در تمام مکعبات (j=4)که درينصورت تواند جابجا باشديم يي

x 8=4 8) ييخانه 3که در باشد. يجابجا م ييخانه (4x4x4)عدد مکعب (64=

اعداد يجابجا ساز يکوچک برا يعبتعداد سطوح مر ييخانه (4x4x4)ک مکعب ي

ست به : يمساو(4.4) x 6=16 x 6=96

x 96=6144 64ست به: يمت مساوين قيا ييخانه (4x4x4)و در تمام مکعبات

ييخانه (8x8x8)مکعبات يمت براين قيبه دو برابر هم يمت حاصله فوق مساويق

:يعنيباشد يم

3072 x 2=6144

عدد مکعب (8)ما ييخانه (4x4x4)ک مکعب يم در ينظر به آنچه گفته آمد -4

(2x2x2) که در آن يينه خا(j=2) ک مکعب يتواند جابجا باشد ، چون در ياست م

(2x2x2) باشد و در تمام يکوچک م يسطح مربع (4) يک سطح آن داراي ييخانه

x 6=24 4ت به : يمت مساوين قيا ييخانه 2x2x2ک مکعب ي

خانه (2x2x2)اعداد در تمام مکعبات يجابجا ساز يکه برا يمربعتعداد سطوح

ست به :يد مساويآ يست مبد يي(8.64)x24=512x24=12288

يجابجا ساز يبرا يسطوح مربع يمت حاصله فوق که عبارت از تعداد مجموعيق

ن يباشد دو برابر هم يمورد نظر ما م ييخانه (2x2x2)اعداد در تمام مکعبات

است: ييخانه (4x4x4)مکعبات يمت برايق6144x2 = 12288


جا ييخانه (1x1x1)عدد مکعب )9) يي( خانه 2x2x2)بع ک مکعب مريدر – 5

تواند البته يداشته که در مکعبات مذکور در هر شش سطح آن نمرات جابجا شده م

يسطوح يگردد. در صورت حاضر تعداد مجموعيک عدد جابجا ميدر هر سطح آن

ست به :ياعداد است مساو يجابجا ساز يکه براj=1

;8x512=4096 ييخانه 1x1x1مکعبات يتعداد مجموع

(8.512)x6=4096.6=24576

ن يست به دو چند ايمساو ييخانه (1x1x1)حاصله مکعبات يتعداد سطوح مربع

: يعني ييخانه (2x2x2)مکعبات يمت برايق12288x2=24576

ت يگر قابلين مرحله از مکعبات بوده و ديآخر ييخانه (1x1x1) يحالت مکعب

کوچک شدن را ندارند.


زيدر مکعبات اسرار آم يو نامرئ يسطوح مرئتواند شامل يم (j)م و يداشته باش (j)طول ، عرض و ارتفاع يدارا يهرگاه مکعب

کعب مذکور ک سطح مي( باشد ، تعداد مربعات ) يال (1)مختلف از يمت هايق

(j.j=j2ست به ين مربعات مساويبوده و در تمام سطوح مکعب مذکور تعداد ا (

(6j2) .

واحد باشد و (j=1)که در آن يو اگر مکعب مورد نظر را به مکعب ها

6j) (نصورت مايم دريکوچکتر از آن قابل انقسام نباشد جدا سازرا يسطوح مربع 3

د ( اند بر کل ي)قابل د يمکعبات که مرئ يعم ، بناً نسبت سطوح مربينمائيحاصل م

شامل همان مکعب عبارت از ييخانه (1x1x1)مکعبات يسطوح مربع

jj

j 1

6

63

2

باشد.يم

6j) که تمام سطوح مکعبات يياز آنجا 3 ياست و تعداد سطوح مرئ (

6j)مکعبات 2 ست به :يمساو ييا نامريد يباشد پس سطوح ناد يم (

)1(666 223 jjjj ست به :يبر کل سطوح مساو ينصورت نسبت سطوح نامرئيدر

:يعنيست به کل همان مکعب يمساو يو نامرئ يحاصل جمع نسبت سطوح مرئ

111

j

j

j

j

j

مدل ييخانه 16x16x16مکعب ييو نامر يمرئ يوضوح بهتر سطوح مربع يبرا

م:يدهيش را مورد مطالعه قرار ميخو

آن يبوده و تعداد تمام سطوح مکعب (j=16)، ييخانه (16x16x16)ر مکعب د

ست به :يمساو

و اما :

j

j

j

jj 1

6

)1(63

2

1536256.6)16.(66

245764096.6)16.(66

22

33

j

j


خانه (1x1x1)مکعبات ي( سطح مربع1536در ) ييخانه 16x16x16در مکعب

مکعبات مذکور ياند و تعداد سطوح نامرئ يگردند و مرئينمرات )اعداد( جابجا م يي

ست به:يمساو

گر:يا بعباره دي16

11

j

16

15

16

1161

j

j

:يعني

24576153623040

2304024576.16

15

153624576.16

1

) ييخانه 16x16x16گردد که در مکعب يجه حاصل مينجا نتياز ا16

1( قسمت

و ) يمتشکله آن مرئ يسطوح مربعات ، مکعب ها16

15باشد ، يم ينامرئ( قسمت آن

يمکعب ها يمکعبات را برا يو نامرئ يتوان تعداد سطوح مرئيهکذا حسب فوق م

(8x8x8) ييخانه (4x4x4) ييخانه ،(2x2x2) و ييخانه(1x1x1) ييخانه

محاسبه نمود.

2304015362457666 23 jj


: j فهمختل يمت هايق يبرا يو نامرئ يسطوح مرئ يم برايبدان (j) فهمختل يمت هايق يبرارا يو نامرئ ينکه تعداد سطوح مرئيا يبرا

(j) م:ينائيآن محاسبه م يرا برا يو نامرئ يداده و مرئ فهمختل يمت هايق

باشد : j=1که ي. در صورت1

يت هايکه بر اساس قواعد قابل ييخانه (1x1x1)مکعب يبرا يعنينصورت يدر

بوده و در آن يخود را دارد. هر شش سطح آن مرئ يم بااليت تقسيم ، قابليتقس

در آن وجود ندارد. يشود ، و تعداد سطوح نامرئياعداد مربوط درج م

باشد: j=2که ي. در صورت2

باشد : j=3که ي.در صورت3

01

111

11

11

j

j

j

2

1

2

121

2

11

j

j

j

3

2

3

131

3

11

j

j

j



باشد: j=5که ي. درصورت5


:باشد j=7که ي. در صورت7


4

3

4

141

4

11

j

j

j

5

4

5

151

5

11

j

j

j

6

5

6

161

6

11

j

j

j

7

6

7

171

7

11

j

j

j

8

7

8

181

8

11

j

j

j



j=2که ي. در صورت11j :باشد

(2-j)+(1-2

-j)=1

آن چگونه يبرا يو نامرئ يد تعداد سطوح مرئيتقرب نما (j)که يو اما در صورت

باشد :يم

0 يتعداد سطوح مرئ11

lim

jj

يتعداد سطوح نامرئ

يعنيد يآ يان ميتناقض موضوع بم (j)مت يق يشود که برايده مينجا ديدر ا

(1)به يمساو ينصورت وجود ندارد و تعداد سطوح نامرئيدر يتعداد سطوح مرئ

مکعبات با سطوح (j)يمت هايق ين نبوده و برايک چنير پراکتد ياست ول

ز يآن ن يم و به همان منوال سطوح نامرئيداشته باشيم يبزرگ و بزرگتر يمرئ

ادتر باشد.يتواندزيم

16

15

16

1161

16

11

j

j

j

j

jj

j

j

j

j

j

j

j

j

212

1

2

2

2

121

22

11

10111

limlimlim

jj

j

j

j

jjj


زيمکعبات اسرار آم ياعداد در سطوح ظاهر يجابجا ساز.و. يف ي، تالچاپ مسکو ياضيره المعارف ريبر فرهنگ دا يتنبکه قبالً ميطور

ب نمود و مدل يترت (j3) يتوان برايز را ميافت مربعات اسرار آميخورف تذکار وپر

ل است:يمورد مطالعه ماحسب تصاعد ذ

m

j

mj

0

3333333 )2(...168421)2(

ز در قدم نخست با ياعداد در سطوح مکعبات اسرار آم يه جابجاسازيارا يبرا

خانه (8x8x8)، ييخانه (4x4x4) اعداد را در مکعبات يجابجا ساز (j3)ت يرعا

ين مکعب مورد مطالعه مدل ما است بررسيکه بزرگتر ييخانه (16x16x16)و يي

(1x1x1)و ييخانه (2x2x2)اعداد در مکعبات يه جابجا سازينموده سپس به ارا

شود:يپرداخته م ييخانه

: ييخانه (4x4x4)اعداد در مکعبات يجابجا سازکه تعداد خانه ير مکعباتيو سا ييخانه (4x4x4)د در مکعبات اعدا يجابجا ساز

ب يا ضريرا داشته باشد و (4)عدد يم بااليت تقسيآن قابل يهر سطح مربع يها

گردد:يم يل عمليت جدول ذيدر آن داخل باشد برو (4)


( 1-1جدول )

ninjn

i

5)1(1

2

ninjn

i

2)1(1

2

ni

n

i

1

nin

i

61

nin

i

71

nin

i

01

ninjn

i

3)1(1

2

ninjn

i

4)1(1

2

nin

i

41

nin

i

31

ninjn

i

0)1(1

2

ninjn

i

7)1(1

2

ninjn

i

6)1(1

2

ninjn

i

)1(1

2

nin

i

21

nin

i

51

مکعبات يک سطح مربعيکوچک در يسطوح مربع يتعداد خانه ها jنجا: يدر ا

است. j=4 ييخانه (4x4x4)مکعب يباشد که برايم

n سطوح مکعب است که يا تعداد صفحات مربعيـ تعداد سطوح مکعب

تواند.يمت گرفته مي( بخود ق6) يال (1)از (n)نصورت يدر

ت تصاعد يعداد حاصل شده بروباشد ا n=1که يدر جدول فوق در صورت

هر شش سطح مکعب يب برايک سطح مکعب و باال ترتي ي( برا1-1جدول ) يها


(n=6) حاصله در هر شش يمت هاينصورت قيتواند که دريمت اخذ نموده ميق

است. يسطح مکعب با هم مساو

(4x4=16)در هر سطح مکعب مربع ييخانه (4x4x4)ک مکعب يدر

اعداد وجود دارد که در شش سطح مکعب يجابجا ساز ياعدد مربع کوچک بر

x 16=96 6 ست به:يمت مساوين قيمذکور ا

عدد مکعب مربع (64)به تعداد ييخانه (16x16x16)که در مکعب يياز آنجا

(4x4x4) جابجا يکه برا يياد خانه هانصورت تعديداشته باشد که دريجا م ييخانه

ست به:يآن قرار دارد مساو ياعداد در سطوح ظاهر يساز96 x 64=6144

تواند جابجا شوند ، و ي( عدد مکعب م64) يعدد در تمام سطوح ظاهر (6144) يعني

قه يحسب درطر ييخانه (4x4x4)اعداد در مربعات مورد نظر مکعبات يجابجا ساز

رد:يگ يل صورت ميذ

a تواند اعداد جابجا گردد و يکه م يسطوح مربع ينصورت تعداد مجموعيدرـ

شود يم ييخانه 4x4x4مکعب يک سطح مربعي يم تعداد مربعات ظاهريتقس

:يعني

614416=384

b مکعبات يـ تعداد مجموع(4x4x4) ( است به تعداد سطوح 46را که ) ييخانه

م:ينائي( سطح است ضرب م4ک مکعب که عبارت از )ي يمکعب64 x 6=384

که ييخانه (4x4x4)مکعبات يدر هر دو حالت فوق تعداد سطوح مربع

گر يا بعباره دياست (n=384) يد به مربعات کوچک تر منقسم باشد مساويبا

(n=384) سطوح مکعبات يعبارت از تعداد اعظم(4x4x4) باشد که هر يم ييخانه

ده و در هر کدام آن اعداد جابجا يردم گيتقس ييخانه (4x4)سطح آن به مربعات

گردند.

خانه (4x4x4)مکعبات يسطح مربع (384)اعداد در تمام يجابجا ساز

و (n=384)، (j=4) يکه در آن برايشود طوريانجام داده م (1-1)حسب جدول يي

(i) يال (1)از (i=n) مت ي( سطح را با ق384) ما نصورتيدر که مت داده شوديق

م.يآور يبدست م ييخانه (4x4x4)مطابق مربعات يمساو يها


را در شش سطح که اعداد آن وفق ييخانه (4x4x4)از مکعبات يکيل يدر ذ

م:يدهيده است نشان مي( جابجا گرد1-1جدول )

يي( خانه 4x4x4( عدد مکعب )64اعداد در سطوح ) يهکذا جابجا ساز

شود:يالً نشانداده ميحده ذيطور علباشد يسطح م (384)به يکه مساو


299 2876 4321 4715

5198 3837 2582 672

5473 3553 2219 1156

1441 1924 3168 5957

1369 3241 5161 2521

5545 2136 216 4383

1752 5828 4118 611

3625 894 2814 4777

2141 5641 998 3721

3336 1273 6124 1657

4499 121 4972 2918

2425 5256 515 4114

5232 4191 2933 145

2448 528 4949 4464

3312 6111 813 2165

1287 1691 3686 5616

2664 3187 4248 2291

5117 1512 361 5411

744 5795 4633 1129

3965 1986 3149 3491

941 2761 3769 4821

3394 5314 1225 2377

1883 73 5699 4536

6172 4152 1618 457

2315 395 5376 4224

4619 4882 1 2698

3456 6144 1153 1537

1821 768 5761 3941

3121 5141 1499 2641

1114 3124 3515 4657

2256 336 5425 4273

5918 3998 1972 721

1211 5712 5329 48

3419 1868 2353 4561

1595 3782 4176 2737

6186 917 433 4844

3172 3941 4883 394

3457 1821 1536 5377

1152 5761 3173 2314

4618 769 2699 4225

5933 1949 3813 686

1191 3528 3111 4691

2232 5448 312 4287

3145 1464 5165 2616

5736 4594 1845 25

1561 418 6121 4211

1177 2328 3432 5352

3916 4869 783 2713


4753 1119 624 5815

2829 3611 3895 1776

4368 2161 2544 3217

241 5521 5137 1382

2411 3361 5291 1248

491 6149 4129 1633

4512 2117 87 5664

4986 965 2795 3744

5219 3299 2473 1321

2957 837 4924 3672

168 2198 4441 5582

4156 5876 553 1715

3861 2852 5113 264

649 4728 2569 4345

1911 3577 1416 5487

5991 1132 3183 2194

3671 1322 5581 1716

4923 2474 4438 554

839 3297 2181 5875

2959 5217 171 4155

3862 647 5992 1788

5114 2567 3184 1415

263 4346 2193 5489

2851 4731 1131 3579

3123 1113 4659 3516

5142 3122 2638 1497

335 2255 4274 5426

3981 5911 718 1971

1289 5231 5615 146

3311 2451 2166 4463

1692 4178 3685 2934

5888 531 814 4947

4716 4322 2875 297

1155 2217 3554 5474

671 2581 3839 5181

5959 3171 1923 1438

3938 2681 5758 2

771 4881 1822 4617

1539 4223 1154 5375

6143 396 3455 2316

3814 1947 5934 685

2888 3831 1178 4692

311 5451 2231 4289

5166 1463 3146 2615

6118 1846 784 3431

4188 26 2714 5351

1562 5735 3915 1179

411 4593 4867 2331


4175 5327 2738 50

1586 1202 3791 5711

434 2354 4943 4559

6095 3407 818 1970

3071 3842 4994 383

4610 767 2687 4226

1151 5762 3074 2303

3458 1919 1535 5378

3626 2903 4778 983

1751 4010 599 5930

1367 5162 2519 3242

5546 215 4394 2135

3335 6023 890 2042

1274 1658 3719 5639

5255 4103 2810 122

2426 506 4871 4487

239 4370 2159 5522

2927 4754 1007 3602

3986 623 5906 1775

5138 2543 3218 1391

6047 482 4127 1634

866 4895 2786 3743

2018 4511 98 5663

3359 2402 5279 1250

3383 5303 2378 1226

842 2762 4919 3767

6071 4151 458 1610

1994 74 4535 5687

2279 5402 3098 1511

4250 359 2663 5018

1127 3482 5786 1895

4634 3047 743 3866

4779 4395 982 2134

598 2518 5931 3243

2902 214 3627 5547

4011 5163 1750 1366

3123 5043 2638 1486

1102 3022 4659 3507

5811 3891 718 1870

2254 334 4275 5427

4846 4462 2835 147

915 2067 3694 5614

531 2451 4078 5230

5998 3310 1683 1299

2763 843 4918 3766

5302 3382 2379 1227

75 1995 4534 5686

4150 6070 459 1611


4174 1587 6094 435

2739 3790 819 4942

51 5710 1971 4558

5326 1203 3406 2355

3286 5206 2475 1323

939 2859 4822 3670

2091 171 4438 5590

5974 4054 555 1707

3915 5067 2998 310

1846 1462 3531 5451

694 2614 4683 4299

5835 3147 1078 2230

2926 3987 5139 238

3603 1774 1390 5523

1006 5907 3219 2158

4755 622 2542 4371

4102 507 6022 1659

5254 2427 3334 1275

123 4486 2043 5638

2811 4870 891 3718

2691 4222 5374 3

4990 387 2307 4606

771 6142 3454 1923

3838 1539 1155 5758

1438 5091 5475 286

3171 2590 2206 4323

1822 3939 3555 2974

5859 670 1054 4707

5787 742 3867 1894

1126 4635 3046 3483

2278 4251 358 5403

3099 2662 5019 1510

3459 3070 5379 382

1150 4611 2302 4227

1918 3843 1534 4995

5763 766 3075 2686

3195 5883 1030 2182

1414 1798 3579 5499

5115 3963 2950 262

2566 646 4731 4347

3430 5350 1179 2331

795 2715 3814 4966

1947 27 5734 4582

6118 4198 1563 411

2019 5662 3358 1251

4510 99 2403 5278

867 3742 6046 1635

4894 2787 483 4126


2541 621 5140 3988

4372 4756 237 2925

3220 5908 1389 1773

2157 1005 5524 3604

940 2860 4821 3669

3285 5205 2476 1324

2092 172 4437 5589

5973 4053 556 1708

1461 5452 5068 309

3148 2229 2613 4300

1845 3532 3916 2997

5836 1077 693 4684

6093 1588 4173 436

820 3789 2740 4941

1972 5709 52 4557

3405 1204 5325 2356

2404 3357 4509 2020

5277 1252 100 5661

484 6045 4893 868

4125 1636 2788 3741

3580 1029 5500 2181

1797 5884 1413 3196

2949 4732 261 4348

3964 645 5116 2565

3813 1180 1564 5733

4965 2332 412 4581

796 3429 6117 1948

2716 5349 4197 28

2685 765 4996 3844

4228 4612 381 3069

3076 5764 1533 1917

2301 1149 5380 3460

3381 5301 1228 2380

844 2764 3765 4917

1996 76 5685 4533

6069 4149 1612 460

1101 3021 3508 4660

3124 5044 1485 2637

2253 333 5428 4276

5812 3892 1869 717

4845 4461 2836 148

532 2452 4077 5229

916 2068 3693 5613

5997 3309 1684 1300

5932 1749 4012 597

3244 1365 5164 2517

2133 5548 213 4396

981 3628 2901 4780


2661 3100 5020 1509

741 5788 3868 1893

4252 2277 357 5404

4636 1125 3045 3484

2692 4221 5373 4

3837 1540 1156 5757

772 6141 3453 1924

4989 388 2308 4605

5092 3940 2973 285

2589 669 4708 4324

3172 5860 1053 2205

1437 1821 3556 5476

4101 2812 5253 124

508 4869 2428 4485

1660 3717 1276 5637

6021 892 3333 2044

3221 5141 1388 2540

1004 2924 3605 4757

2156 236 5525 4373

5909 3989 1772 620

2381 461 5300 4148

4532 4916 77 2765

3380 6068 1229 1613

1997 845 5684 3764

2660 5021 3101 1508

4253 356 2276 5405

740 3869 5789 1892

4637 3044 1124 3485

2405 485 5276 4124

4508 4892 101 2789

3356 6044 1253 1637

2021 869 5660 3740

4685 4301 2996 308

692 2612 3917 5069

1076 2228 3533 5453

5837 3149 1844 1460

1301 5612 5228 149

3308 2069 2453 4460

1685 3692 4076 2837

5996 917 533 4844

2972 3941 5093 284

3557 1820 1436 5477

1052 5861 3173 2204

4709 668 2588 4325

5348 3428 2333 1181

2717 797 4964 3812

29 1949 4580 5732

4196 6116 413 1565


6092 1589 4172 437

3404 1205 5324 2357

1973 5708 53 4556

821 8788 2741 4940

5933 1748 4013 596

980 3629 2900 4781

2132 5549 212 4397

3245 1364 5165 2516

5636 4484 2045 125

1661 509 6020 4100

1277 2429 3332 5252

3716 4868 893 2813

3509 4661 3020 1100

1484 2636 5045 3125

5429 4277 332 2252

1868 716 3893 5813

4820 3668 2861 941

2477 1325 5204 3284

4436 5588 173 2093

557 1709 4052 5972

5765 764 1148 4613

1916 3845 3461 3068

3077 2684 2300 4229

1532 4997 5381 380

1411 3198 5502 2179

5118 2563 259 4350

1795 5886 3582 1027

3966 643 2947 4734

2180 4349 3197 2564

5501 260 1412 5117

1028 4733 5885 644

3581 2948 1796 3965

5 2693 4220 5372

4604 4988 389 2309

1925 773 6140 3452

5756 3836 1541 1157

1566 5731 1182 3811

414 4579 2334 4963

6115 1950 3427 798

4195 30 5347 2718

5382 2299 4230 379

3462 1147 4614 3067

1915 5766 763 3846

1531 3078 2683 4998

102 5659 2790 3739

4507 2022 4891 870

5275 1254 4123 1638

2406 3355 486 6043


1974 822 4555 4939

3403 6091 2358 438

5707 3787 54 2742

1206 1590 5323 4171

3606 4758 1003 2923

1387 2539 3222 5142

5526 4374 2155 235

1771 619 5910 3990

1326 2478 5203 3283

3667 4819 2862 942

1710 558 4051 5971

5587 4435 174 2094

1123 4638 3043 3486

5790 739 3870 1891

3102 2659 5022 1507

2275 4254 355 5406

6 5755 5371 1158

4603 1926 2310 3451

2694 3835 4219 1542

4987 774 390 6139

307 2995 4302 4686

5454 3534 2227 1075

5070 3918 2611 691

1459 1843 3150 5838

1483 2635 5046 3126

3510 4662 3019 1099

5430 4278 331 2251

1867 715 3894 5814

283 5094 3942 2971

4326 2587 667 4710

2203 3174 5862 1051

5478 1435 1819 3558

3331 894 2046 6019

5251 2814 126 4099

1278 3715 5635 1662

2430 4867 4483 510

150 2838 5227 4075

5611 3691 1302 1686

4459 4843 2454 534

2070 918 3307 5995

595 5934 1747 4014

4782 979 3630 2899

4398 2131 5550 211

2515 3246 1363 5166

78 5299 4147 2766

5683 1230 1614 3763

1998 3379 6067 846

4531 2382 462 4915


823 4938 2743 3786

6090 439 4170 1591

3402 2359 5322 1207

1975 4554 55 5706

2274 1122 4255 4639

3103 5791 2658 738

5407 3487 354 3042

1506 1890 5023 3871

1386 2538 5143 3223

3607 4759 2922 1002

1770 618 3991 5911

5527 4375 234 2154

5682 1999 4530 79

3762 847 4914 2767

1615 6066 463 4146

1231 3378 2383 5298

103 5274 4122 2791

4506 2407 487 4890

2023 3354 6042 871

5658 1255 1639 3738

2431 1279 5250 3330

4866 3714 2815 895

4482 5634 127 2047

511 1663 4098 6018

3666 4818 943 2863

1327 2479 3282 5202

5586 4434 2095 175

1711 559 5970 4050

210 2898 5167 4015

5551 3631 1362 1746

4399 4783 2514 594

2130 978 3247 5935

378 4999 3847 3066

5383 1530 1914 3463

2298 3079 5767 1146

4231 2682 762 4615

282 5479 2970 3559

4327 2202 4711 1050

5095 1434 3943 1818

2586 3175 666 5863

306 5455 5071 1458

4303 2226 2610 3151

2994 3535 3919 1842

4687 1074 690 5839

7 2695 4602 4986

5754 3834 1927 775

5370 4218 2311 391

1159 1543 3450 6138


1183 2335 5346 3426

3810 4962 2719 799

5730 4578 31 1951

1567 415 4194 6114

1866 5431 1482 3511

714 4279 2634 4663

5815 2250 3127 1098

3895 330 5047 3018

1794 3967 642 5887

3583 2946 4735 1026

5503 258 4351 2178

1410 5119 2562 3199

1409 5120 3200 2561

1793 3968 5888 641

5504 257 2177 4352

3584 2945 1025 4736

2480 1328 5201 3281

4817 3665 2864 944

4433 5585 176 2096

560 1712 4049 5969

535 5994 1687 4074

4842 919 3690 2839

4458 2071 5610 151

2455 3306 1303 5226

4760 3608 2921 1001

2537 1385 5144 3224

4376 5528 233 2153

617 1769 3992 5912

8 2696 4601 4985

5369 4217 2312 392

5753 3833 1928 776

1160 1544 3449 6137

1481 2633 3128 5048

3512 4664 1097 3017

5432 4280 2249 329

1865 713 5816 3896

737 3872 1889 5792

2657 5024 1505 3104

4256 353 5408 2273

4640 3041 3488 1121

6065 464 848 4913

1616 4145 3761 2768

3377 2384 2000 4529

1232 5297 5681 80

104 5273 4121 2792

5657 1256 1640 3737

2024 3353 6041 872

4505 2408 488 4889


209 5168 5552 1361

4400 2513 2129 3248

2897 4016 3632 1745

4784 593 977 5936

3848 5000 761 2681

3065 377 4616 4232

1913 1529 5768 3080

3464 5384 1145 2297

1208 3401 5321 2360

5705 1976 56 4553

1592 6089 4169 440

3785 824 2744 4937

3809 4961 2720 800

1184 2336 5345 3425

5729 4577 32 1952

1568 416 4193 6113

305 2993 3920 5072

4304 4688 689 2609

2225 1073 5840 3152

5456 3536 1841 1457

5633 1664 1280 3713

4481 512 2432 4865

2048 6017 3329 896

128 4097 5249 2816

537 4072 1689 5992

2457

5224 1305 3304

4456 153 5608 2073

4840 2841 3688 921

3944 5096 665 2585

2969 281 4712 4328

1817 1433 5864 3176

3560 5480 1049 2201

536 4073 1688 5993

4841 2840 3689 920

4457 152 5609 2072

2456 5225 1304 3305

4144 5296 465 2385

2769 81 4912 4528

1617 1233 6064 3376

3760 5680 849 2001

5433 1864 1480 3513

4281 712 2632 4665

2248 5817 3129 1096

328 3897 5049 3016

208 2896 4401 4785

5169 4017 2512 592

5553 3633 2128 976

1360 1744 3249 5937


1408 3201 5121 2560

5505 2176 256 4353

1792 5889 3969 640

3585 1024 2944 4737

2680 1528 5001 3081

4617 3465 3064 1144

4233 5385 376 2296

760 1912 3849 5769

4960 3808 2721 801

2337 1185 5344 3424

4576 5728 33 1953

417 1569 4192 6112

1281 2433 3328 5248

3712 4864 897 2817

5632 4480 2049 129

1665 513 6016 4096

5865 664 1048 4713

1816 3945 3561 2968

3177 2584 2200 4329

1432 5097 5481 280

105 2793 4120 5272

4504 4888 489 2409

2025 873 6040 3352

5656 3736 1641 1257

304 5073 3921 2992

5457 1456 1840 3537

2224 3153 5841 1072

4305 2608 688 4689

736 3873 1888 5793

4641 3040 3489 1120

4257 352 5409 2272

2656 5025 1504 3105

9 5368 5752 1161

4600 2313 1929 3448

2697 4216 3832 1545

4984 393 777 6136

3609 4761 2920 1000

1384 2536 5145 3225

5529 4377 232 2152

1768 616 3993 5913

4048 5200 561 2481

2865 177 4816 4432

1713 1329 5968 3280

3664 5584 945 2097

1209 5320 3400 2361

1593 4168 6088 441

5704 57 1977 4552

3784 2745 825 4936


10 2698 5367 4215

5751 3831 1162 1546

4599 4983 2314 394

1930 778 3447 6135

735 5794 1887 3874

4642 1119 3490 3039

4258 2271 5410 351

2655 3106 1513 5026

1666 5631 1282 3711

514 4479 2434 4863

6015 2050 3327 898

4095 130 5247 2818

1383 2535 5146 3226

3610 4762 2919 999

5530 4378 231 2151

1767 615 3994 5914

1594 4167 442 6087

3783 2746 4935 826

5703 58 4551 1978

1210 5319 2362 3399

5482 2199 4330 279

3562 1047 4714 2967

1815 5866 663 3946

1431 3178 2583 5098

3466 4618 1143 3063

1527 2679 3082 5002

5396 4234 2295 375

1911 759 5770 3850

303 5074 3922 2991

4306 2607 687 4690

2223 3154 5842 1071

5458 1455 1839 3538

178 5199 4047 2866

5583 1330 1714 3663

2098 3279 5967 946

4431 2482 562 4815

1186 2338 5343 3423

3807 4959 2722 802

1570 418 4191 6111

5727 4575 34 1954

1023 4738 2943 3586

5890 639 3970 1791

3202 2559 5122 1407

2175 4354 255 5506

106 5655 5271 1258

4503 2026 2410 3351

2794 3735 4119 1642

4887 874 490 6039


2631 1479 5050 3130

4666 3514 3015 1095

4282 5434 327 2247

711 1863 3898 5818

82 5679 2770 3759

4527 2002 4911 850

5295 1234 4143 1618

2386 3375 466 6063

207 2895 4402 4786

5554 3634 2127 975

5170 4018 2511 591

1359 1743 3250 5938

206 5555 5171 1358

4403 2126 2510 3251

2894 3635 4019 1742

4787 974 590 5939

3131 1094 2246 5819

5051 3014 326 3899

1478 3515 5435 1862

2630 4667 4283 710

2074 922 4455 4839

3303 5991 2458 538

5607 3687 154 2842

1306 1690 5223 4071

5582 2099 4430 179

3662 947 4814 2867

1715 5966 563 4046

1331 3278 2483 5198

83 5294 4142 2771

4526 2387 467 4910

2003 3374 6062 851

5678 1235 1619 3758

923 4838 2843 3686

5990 539 4070 1691

3302 2459 5222 1307

2075 4454 155 5606

1766 5531 1382 3611

614 4379 2534 4763

5915 2150 3227 998

3995 230 5147 2918

302 5459 2990 3539

4307 2222 4691 1070

5075 1454 3923 1838

2606 3155 686 5843

1211 3398 5702 1979

5318 2363 59 4550

1595 6086 3782 827

4166 443 2747 4934


278 5099 3947 2966

5483 1430 1814 3563

2198 3179 5867 1046

4331 2582 662 4715

1283 2435 5246 3326

3710 4862 2819 899

5630 4478 131 2051

1667 515 4094 6014

395 6134 1547 4214

4982 779 3830 2699

4598 1931 5750 11

2315 3446 1163 5366

1526 2678 5003 3083

3467 4619 3062 1142

1910 758 3851 5771

5387 4235 374 2294

2174 1022 4355 4739

3203 5891 2558 638

5507 3587 254 2942

1406 1790 5123 3971

350 3038 5027 3875

5411 3491 1502 1886

4259 4643 2654 734

2270 1118 3107 5795

3924 5076 685 2605

2989 301 4692 4308

1837 1453 5844 3156

3540 5460 1069 2221

107 2795 4502 4886

5654 3734 2027 875

5270 4118 2411 491

1259 1643 3350 6038

3806 4958 803 2723

1187 2339 3422 5342

5726 4574 1955 35

1571 419 6110 4190

1980 4549 3397 2364

5701 60 1212 5317

828 4933 6085 444

3781 2748 1596 4165

1381 2533 3228 5148

3612 4764 997 2917

5532 4380 2149 229

1765 613 5916 3996

5965 564 948 4813

1716 4045 3661 2868

3277 2484 2100 4429

1332 5197 5581 180


349 5028 5412 1501

4260 2653 2269 3108

3037 3876 3492 1885

4644 733 1117 5796

396 4213 1548 6133

4981 2700 3829 780

4597 12 5749 1932

2316 5365 1164 3445

3948 5100 661 2581

2965 277 4716 4332

1813 1429 5868 3180

3564 5484 1045 2197

325 2245 4284 5436

3900 5820 709 1861

5052 3132 2629 1477

3013 1093 4668 3516

1308 3301 5221 2460

5605 2076 156 4453

1692 5989 4069 540

3685 924 2844 4837

3709 4861 2820 900

1284 2436 5245 3325

5629 4477 132 2052

1668 516 4093 6013

2340 1188 5341 3421

4957 3805 2724 804

4573 5725 36 1956

420 1572 4189 6109

205 2893 4020 5172

4404 4788 589 2509

2125 973 5940 3252

5556 3636 1741 1357

84 5293 4141 2772

5677 1236 1620 3757

2004 3373 6061 852

4525 2388 468 4909

4620 3468 3061 1141

2677 1525 5004 3084

4236 5388 373 2293

757 1909 3852 5772

108 2796 4501 4885

5269 4117 2412 492

5653 3733 2028 876

1260 1644 3349 6037

637 3972 1789 5892

2557 5124 1405 3204

4356 253 5508 2173

4740 2941 3588 1021


4044 5196 565 2485

2869 181 4812 4428

1717 1333 5964 3276

3660 5580 949 2101

636 3973 1788 5893

4741 2940 3589 1020

4357 252 5509 2172

2556 5125 1404 3205

324 5053 3012 3901

4285 2628 4669 708

5437 1476 3517 1860

2244 3133 1092 5821

4188 5340 421 2341

2725 37 4956 4572

1573 1189 6108 3420

3804 5724 805 1957

1309 5220 3300 2461

1693 4068 5988 541

5604 157 2077 4452

3684 2845 925 4836

397 4212 1549 6132

2317 5364 1165 3444

4596 13 5748 1933

4980 2701 3828 781

204 5173 4021 2892

5557 1356 1740 3637

2124 3253 5941 972

4405 2508 588 4789

2580 1428 5101 3181

4717 3565 2964 1044

4333 5485 276 2196

660 1812 3949 5869

2220 4309 3157 2604

5461 300 1452 5077

1068 4693 5845 684

3541 2988 1836 3925

4860 3708 2821 901

2437 1285 5244 3324

4476 5628 133 2053

517 1669 4092 6012

1981 5700 829 3780

3396 1213 6084 1597

4548 61 4932 2749

2365 5316 445 4164

3469 4621 3060 1140

1524 2676 5005 3085

5389 4237 372 2292

1908 756 3853 5773


5533 1764 1380 3613

4381 612 2532 4765

2148 5917 3229 996

228 3997 5149 2916

109 5268 5652 1261

4500 2413 2029 3348

2797 4116 3732 1645

4884 493 877 6036

85 2773 4140 5292

4524 4908 469 2389

2005 853 6060 3372

5676 3756 1621 1237

2531 1379 5150 3230

4766 3614 2915 995

4382 5534 227 2147

611 1763 3998 5918

110 2798 5267 4115

5651 3731 1262 1646

4499 4883 2414 494

2030 878 3347 6035

348 3036 4261 4645

5029 3877 2652 732

5413 3493 2268 1116

1500 1884 3109 5797

635 5894 1787 3974

4742 1019 3590 2939

4358 2171 5510 251

2555 3206 1403 5126

86 5675 5291 1238

4523 2006 2390 3371

2774 3755 4139 1622

4907 854 470 6059

347 3035 4262 4646

5414 3494 2267 1115

5030 3878 2651 731

1499 1883 3110 5798

1859 5822 707 3902

1475 3134 2627 5054

5438 2243 4286 323

3518 1091 4670 3011

1934 782 4595 4979

3443 6131 2318 398

5747 3827 14 2702

1166 1550 5363 4211

182 5579 2870 3659

4427 2102 4811 950

5195 1334 4043 1718

2486 3275 566 5963


3566 4718 1043 2963

1427 2579 3182 5102

5486 4334 2195 275

1811 659 5870 3950

1451 3158 5462 2219

5078 2603 299 4310

1835 5846 3542 1067

3926 683 2987 4694

38 5339 4187 2726

5723 1190 1574 3803

1958 3419 6107 806

4571 2342 422 4955

1982 830 6083 3395

5699 3779 1598 1214

62 2750 4163 5315

4547 4931 446 2366

1523 2675 5006 3086

3470 4622 3059 1139

5390 4238 371 2291

1907 755 3854 5774

1694 4067 542 5987

3683 2846 4835 926

5603 158 4451 2078

1310 5219 2462 3299

250 2938 5127 3975

5511 3591 1402 1786

4359 4743 2554 634

2170 1018 3207 5895

203 5174 4022 2891

4406 2507 587 4790

2123 3254 5942 971

5558 1355 1739 3638

1286 2438 5243 3323

3707 4859 2822 902

1670 518 4091 6011

5627 4475 134 2054

495 6034 1647 4114

4882 879 3730 2799

4498 2031 5650 111

2415 3346 1263 5266

1906 5391 1522 3471

754 4239 2674 4623

5775 2290 3087 1138

3855 370 5007 3058

5722 1959 4570 39

3802 807 4954 2727

1575 6106 423 4186

1191 3418 2343 5338


202 5559 2890 3639

4407 2122 4791 970

5175 1354 4023 1738

2506 3255 586 5943

1311 3298 5602 2079

5218 2463 159 4450

1695 5986 3682 927

4066 543 2847 4834

2242 1090 5823 3135

5439 3519 1858 1474

322 3010 3903 5055

4287 4671 706 2626

1426 2578 5103 3183

3567 4719 2962 1042

1810 658 3951 5871

5487 4335 274 2194

783 4978 2703 3826

6130 399 4210 1551

3442 2319 5362 1167

1935 4594 15 5746

87 2775 4522 4906

5674 3754 2007 855

5290 4138 2391 471

1239 1623 3370 6058

183 5194 4042 2871

4426 2487 567 4810

2103 3274 5962 951

5578 1335 1719 3658

346 5415 5031 1498

4263 2266 2650 3111

3034 3495 3879 1882

4647 1114 730 5799

3706 4858 903 2823

1287 2439 3322 5242

5626 4474 2055 135

1671 519 6010 4090

3231 994 2146 5919

5151 2914 226 3999

1378 3615 5535 1762

2530 4767 4383 610

1599 6082 447 4162

1215 3394 2367 5314

5698 1983 4546 63

3778 831 4930 2751

1834 3927 682 5847

3543 2986 4695 1066

5463 298 4311 2218

1450 5079 2602 3159


64 5313 2752 4161

4545 2368 4929 448

5697 1216 3777 1600

1984 3393 832 6081

2440 1288 5241 3321

4857 3705 2824 904

4473 5625 136 2056

520 1672 4089 6009

1521 2673 3088 5008

3472 4624 1137 3057

5392 4240 2289 369

1905 753 5776 3856

1168 3441 5361 2320

5745 1936 16 4593

1552 6129 4209 400

3825 784 2704 4977

249 5128 5512 1401

4360 2553 2169 3208

2937 3976 3592 1785

4744 633 1017 5896

4024 5176 585 2505

2889 201 4792 4408

1737 1353 5944 3256

3640 5560 969 2121

496 4113 1648 6033

4881 2800 3729 880

4497 112 5649 2032

2416 5265 1264 3345

2241 5440 1089 3520

3136 1473 5824 1857

4288 321 4672 3009

2625 5156 705 3904

184 5193 4041 2872

5577 1336 1720 3657

2104 3273 5961 952

4425 2488 568 4809

88 2776 4521 4905

5289 4137 2392 472

5673 3753 2008 856

1240 1624 3369 6057

225 2145 4384 5536

4000 5920 609 1761

5152 3232 2529 1377

2913 993 4768 3616

345 3033 3880 5032

4264 4648 729 2649

2265 1113 5800 3112

5416 3496 1881 1497


1449 5080 3160 2601

1833 3928 5848 681

5464 297 2217 4312

3544 2985 1065 4696

4720 3568 2961 1041

2577 1425 5104 3184

4336 5488 273 2193

657 1809 3952 5872

6105 424 808 4953

1576 4185 3801 2728

3417 2344 1960 4569

1192 5337 5721 40

497 4112 1649 6032

2417 5264 1265 3344

4496 113 5648 2033

4880 2801 3728 881

5393 1904 1520 3473

4241 752 2672 4625

2288 5777 3089 1136

368 3857 5009 3056

2080 4449 3297 2464

5601 160 1312 5217

928 4833 5985 544

3681 2848 1696 4065

65 1985 4544 5696

4160 6080 449 1601

5312 3392 2369 1217

2753 833 4928 3776

4184 5336 425 2345

2729 41 4952 4568

1577 1193 6104 3416

3800 5720 809 1961

248 2936 4361 4745

5129 3977 2552 632

5513 3593 2168 1016

1400 1784 3209 5897

1448 3161 5081 2600

5465 2216 296 4313

1832 5849 3929 680

3545 1064 2984 4697

185 2873 4040 5192

4424 4808 569 2489

2105 953 5960 3272

5576 3656 1721 1337

224 5153 2912 4001

4385 2528 4769 608

5537 1376 3617 1760

2144 3233 992 5921


1169 5360 3440 2321

1553 4208 6128 401

5744 17 1937 4592

3824 2705 785 4976

344 5033 3881 3032

5417 1496 1880 3497

2264 3113 5801 1112

4265 2648 728 4649

4088 5240 521 2441

2825 137 4856 4472

1673 1289 6008 3320

3704 5624 905 2057

89 5288 5672 1241

4520 2393 2009 3368

2777 4136 3752 1625

4904 473 857 6056

2120 4409 3257 2504

5561 200 1352 5177

968 4793 5945 584

3641 2888 1736 4025

3569 4721 2960 1040

1424 2576 5105 3185

5489 4337 272 2192

1808 656 3953 5873

138 5239 4087 2826

5623 1290 1674 3703

2058 3319 6007 906

4471 2442 522 4855

2081 5600 929 3680

3296 1313 5984 1697

4448 161 4832 2849

2465 5216 545 4064

2240 4289 3137 2624

5441 320 1472 5057

1088 4673 5825 704

3521 3008 1856 3905

90 2778 5287 4135

5671 3751 1242 1626

4519 4903 2394 474

2010 858 3367 6055

1351 3258 5562 2119

5178 2503 199 4410

1735 5946 3642 967

4026 583 2887 4794

343 5034 3882 3031

4266 2647 727 4650

2263 3114 5802 1111

5418 1495 1879 3498


2082 930 5983 3295

5599 3679 1698 1314

162 2850 4063 5215

4447 4831 546 2466

1554 4207 402 6127

3823 2706 4975 786

5743 18 4591 1938

1170 5359 2322 3439

1423 2575 5106 3186

3570 4722 2959 1039

5490 4338 271 2191

1807 655 3954 5874

1759 5922 607 4002

1375 3234 2527 5154

5538 2143 4386 223

3618 991 4770 2911

3391 834 1986 6079

5311 2754 66 4159

1218 3775 5695 1602

2370 4927 4543 450

1471 3138 5442 2239

5058 2623 319 4290

1855 5826 3522 1087

3906 703 3007 4674

1063 4698 2983 3546

5850 679 3930 1831

3162 2599 5082 1447

2215 4314 295 5466

2034 882 4495 4879

3343 6031 2418 498

5647 3727 114 2802

1266 1650 5263 4111

2671 1519 5010 3090

4626 3474 3055 1135

4242 5394 367 2287

751 1903 3858 5778

247 2935 4362 4746

5514 3594 2167 1015

5130 3978 2551 631

1399 1783 3210 5898

42 5719 2730 3799

4567 1962 4951 810

5335 1194 4183 1578

2346 3415 426 6103

186 5575 5191 1338

4423 2106 2490 3271

2874 3655 4039 1722

4807 954 570 5959


5622 2059 4470 139

3702 907 4854 2827

1675 6006 523 4086

1291 3318 2443 5238

1806 5491 1422 3571

654 4339 2574 4723

5875 2190 3187 1038

3955 270 5107 2958

342 5419 3030 3499

4267 2262 4651 1110

5035 1494 3883 1878

2646 3115 726 5803

43 5334 4182 2731

4566 2347 427 4950

1963 3414 6102 811

5718 1195 1579 3798

883 4878 2803 3726

6030 499 4110 1651

3342 2419 5262 1267

2035 4494 115 5646

1171 3438 5742 1939

5358 2323 19 4590

1555 6126 3822 787

4206 403 2707 4974

475 6054 1627 4134

4902 859 3750 2779

4518 2011 5670 91

2395 3366 1243 5286

246 5515 5131 1398

4363 2166 2550 3211

2934 3595 3979 1782

4747 1014 630 5899

3091 1134 2286 5779

5011 3054 366 3859

1518 3475 5395 1902

2670 4627 4243 750

1854 3907 702 5827

3523 3006 4675 1086

5443 318 4291 2238

1470 5059 2622 3139

1734 4027 582 5947

3643 2886 4795 966

5563 198 4411 2118

1350 5179 2502 3259

1699 5982 547 4062

1315 3294 2467 5214

5598 2083 4446 163

3678 931 4830 2851


2371 1219 5310 3390

4926 3774 2755 835

4542 5694 67 1987

451 1603 4158 6078

2214 1062 4315 4699

3163 5851 2595 678

5467 3547 294 2982

1446 1830 5083 3931

2142 990 5923 3235

5539 3619 1758 1374

222 2910 4003 5155

4387 4771 606 2526

1469 5060 3140 2621

1953 3908 5828 701

5444 317 2237 4292

3524 3005 1085 4676

1349 5180 3260 2501

1733 4028 5948 581

5564 197 2117 4412

3644 2885 965 4796

187 2875 4422 4806

5574 3654 2107 955

5190 4038 2491 571

1339 1723 3270 5958

5693 1604 1220 3773

4541 452 2372 4925

1988 6077 3389 836

68 4157 5309 2756

476 4133 1628 6053

4901 2780 3749 860

4517 92 5669 2012

2396 5285 1244 3365

164 5213 2852 4061

4445 2468 4829 548

5597 1316 3677 1700

2084 3293 932 5981

2141 5540 989 3620

3236 1373 5924 1757

4388 221 4772 2909

2525 5156 605 4004

677 3932 1829 5852

2597 5084 1445 3164

4316 293 5468 2213

4700 2981 3548 1061

188 2876 4421 4805

5189 4037 2492 572

5573 3653 2108 956

1340 1724 3269 5957


44 5333 4181 2732

5717 1196 1580 3797

1964 3413 6101 812

4565 2348 428 4949

245 2933 3980 5132

4364 4748 629 2549

2165 1013 5900 3212

5516 3596 1781 1397

365 2285 4244 5396

3860 5780 749 1901

5012 3092 2669 1517

3053 1133 4628 3476

1940 4589 3437 2324

5741 20 1172 5357

788 4973 6125 404

3821 2708 1556 4205

6005 524 908 4853

1676 4085 3701 2828

3317 2444 2060 4469

1292 5237 5621 140

1268 3341 5261 2420

5645 2036 116 4493

1652 6029 4109 500

3725 884 2804 4877

4084 5236 525 2445

2829 141 4852 4468

1677 1293 6004 3316

3700 5620 909 2061

3884 5036 725 2645

3029 341 4652 4268

1877 1493 5804 3116

3500 5420 1109 2261

1421 2573 3188 5108

3572 4724 1037 2957

5492 4340 2189 269

1805 653 5876 3956

477 4132 1629 6052

2397 5284 1245 3364

4516 93 5668 2013

4900 2781 3748 861

5805 724 1108 4653

1876 3885 3501 3028

3117 2644 2260 4269

1492 5037 5421 340

1348 3261 5181 2500

5565 2116 196 4413

1732 5949 4029 580

3645 964 2884 4797


2140 4389 3237 2524

5541 220 1372 5157

988 4773 5925 604

3621 2908 1756 4005

364 5013 3052 3861

4245 2668 4629 748

5397 1516 3477 1900

2284 3093 1132 5781

1221 2373 3388 5308

3772 4924 837 2757

5692 4540 1989 69

1605 453 6076 4156

165 2085 4444 5596

4060 5980 549 1701

5212 3292 2469 1317

2853 933 4828 3676

5493 1804 1420 3573

4341 652 2572 4725

2188 5877 3189 1036

268 3957 5109 2956

1269 5260 3340 2421

1653 4108 6028 501

5644 117 2037 4492

3724 2805 885 4876

676 3933 1828 5853

4701 2980 3549 1060

4317 292 5469 2212

2596 5085 1444 3165

1468 3141 5061 2620

5445 2236 316 4293

1852 5829 3909 700

3525 1084 3004 4677

1941 5740 789 3820

3436 1173 6124 1557

4588 21 4972 2709

2325 5356 405 4204

244 5133 3981 3932

5517 1396 1780 3597

2164 3213 5901 1012

4365 2548 628 4749

189 5188 5572 1341

4420 2493 2109 3268

2877 4036 3652 1725

4804 573 957 5956

45 2733 4180 5332

4564 4948 429 2349

1965 813 6100 3412

5716 3796 1581 1197


5422 2259 4270 339

3502 1107 4654 3027

1875 5806 723 3886

1491 3118 2643 5038

1083 4678 3003 3526

5830 699 3910 1851

3142 2619 5062 1467

2235 4294 315 5446

2014 862 4515 4899

3363 6051 2398 478

5667 3747 94 2782

1246 1630 5283 4131

3291 934 2086 5979

5211 2854 166 4059

1318 3675 5595 1702

2470 4827 4443 550

963 4798 2883 3646

5950 579 4030 1731

3262 2499 5182 1347

2115 4414 195 5566

1942 790 6123 3435

5739 3819 1558 1174

22 2710 4203 5355

4587 4971 406 2326

1654 4107 502 6027

3723 2806 4875 886

5643 118 4491 2038

1270 5259 2422 3339

2571 1419 5110 3190

4726 3574 2955 1035

4342 5494 267 2187

651 1803 3958 5878

142 5619 2830 3699

4467 2062 4851 910

5235 1294 4083 1678

2446 3315 526 6003

190 2878 5187 4035

5571 3651 1342 1726

4419 4803 2494 574

2110 958 3267 5955

1371 3238 5542 2139

5158 2523 219 4390

1755 5926 3622 987

4006 603 2907 4774

243 5134 3982 2931

4366 2547 627 4750

2163 3214 5902 1011

5518 1395 1779 3598


1606 5691 1222 3771

454 4539 2374 4923

6075 1990 3387 838

4155 70 5307 2758

46 5715 5331 1198

4563 1966 2350 3411

2734 3795 4179 1582

4947 814 430 6099

1899 5782 747 3862

1515 3094 2667 5014

5398 2283 4246 363

3478 1131 4630 3051

143 5234 4082 2831

4466 2447 527 4850

2063 3314 6002 911

5618 1295 1679 3698

2282 1130 5783 3095

5399 3479 1898 1514

362 3050 3863 5015

4247 4631 746 2666

675 5854 1827 3934

4702 1059 3550 2979

4318 2211 5470 291

2595 3166 1443 5086

242 5519 2930 3599

4367 2162 4751 1010

5135 1394 3983 1778

2546 3215 626 5903

1223 2375 5306 3386

3770 4922 2759 839

5690 4538 71 1991

1607 455 4154 6074

2114 962 4415 4799

3263 5951 2498 578

5567 3647 194 2882

1346 1730 5183 4031

575 5954 1727 4034

4802 959 3650 2879

4418 2111 5570 191

2495 3266 1343 5186

2234 1082 4295 4679

3143 5831 2618 698

5447 3527 314 3002

1466 1850 5063 3911

1559 6122 407 4202

1175 3434 2327 5354

5738 1943 4586 23

3818 791 4970 2711


863 4898 2783 3746

6050 479 4130 1631

3362 2399 5282 1247

2015 4514 95 5666

338 5039 3887 3026

5423 1490 1874 3503

2258 3119 5807 1106

4271 2642 722 2655

1271 3338 5642 2039

5258 2423 119 4490

1655 6026 3722 887

4106 503 2807 4874

3191 1034 2186 5879

5111 2954 266 3959

1418 3575 5495 1802

2570 4727 4343 650

47 2735 4562 4946

5714 3794 1967 815

5330 4178 2351 431

1199 1583 3410 6098

1754 4007 602 5927

3623 2906 4775 986

5543 218 4391 2138

1370 5159 2522 3239

1369 5160 3240 2521

1753 4008 5928 601

5544 217 2137 4392

3624 2905 985 4776

290 2978 5087 3935

5471 3551 1442 1826

4319 4703 2594 674

2210 1058 3167 5855

2471 1319 5210 3290

4826 3674 2855 935

4442 5594 167 2087

551 1703 4058 5978

144 5233 4081 2832

5617 1296 1680 3697

2064 3313 6001 912

4465 2448 528 4849

3888 5040 721 2641

3025 337 4656 4272

1873 1489 5808 3120

3504 5424 1105 2257

3769 4921 2760 840

1224 2376 5305 3385

5689 4537 72 1992

1608 456 4153 6073


24 5353 2712 4201

4585 2328 4969 408

5737 1176 3817 1560

1944 3433 792 6121

289 5088 5472 1441

4320 2593 2209 3168

2977 3936 3552 1825

4704 673 1057 5856

576 4033 1728 5953

4801 2880 3649 960

4417 192 5569 2112

2496 5185 1344 3265

2281 5400 1129 3480

3096 1513 5784 1897

4248 361 4632 3049

2665 5016 745 3864

2040 4489 3337 2424

5641 120 1272 5257

888 4873 6025 504

3721 2808 1656 4105

265 2185 4344 5496

3960 5880 649 1801

5112 3192 2569 1417

2953 1033 4728 3576

3984 5136 625 2545

2929 241 4752 4368

1777 1393 5904 3216

3300 5520 1009 2161

577 4032 1729 5952

2494 5184 1345 3264

4416 193 5568 2113

4800 2881 3648 961

1248 3361 5281 2400

5665 2016 96 4513

1632 6049 4129 480

3745 864 2784 4897

5593 1704 1320 3673

4441 552 2472 4825

2088 5977 3289 936

168 4057 5209 2856

697 3912 1849 5832

2617 5064 1465 3144

4296 313 5448 2233

4680 3001 3528 1081

48 2736 4561 2945

5329 4177 2352 432

5713 3793 1968 816

1200 1584 3409 6097


( 1-1جدول ) يمختلفه اعداد جابجا شده وفق تصاعد ها يت هايه موقعيچون ارا

تواند بناً در مثال فوق چند حالت مختلف آن در يار نموده ميحالت را اخت (!4)اضافه از

نظر گرفته شده است.

که اعداد در آن ييخانه (4x4x4)ز يم که مکعبات اسرار آمينيب يحال م

برخوردار است: ياتيه خصوصده است از چيجابجا گرد

حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر ستون ، هر سطر و قطر بزرگ مربعات (1

ست.يهر سطح دلخواه در هر کدام مکعب ها با هم مساو

اعداد جابجا شده در هر سطر ، هر ستون و قطر يحاصل جمع دوران (2

د از مبداء که جمع يست چه قطر را بايمکعب با هم مساو يسطوح مربع

ابد.يابد به همان نقط انجام ي يعداد آن اغاز ما

( عدد مکعبات 64مربعات در ) يخانه ها (6144)تمام اعداد مندرج (3

(4x4x4) گردد.يمکرر نبوده و اعداد تکرار نم ييخانه

به شکل دلخواه انتخاب و به شکل ييخانه (4x4x4)( مکعب 64هرگاه ) (4

اعداد جابجا شده هر سطر وست قرار داده شود جمع يچهار مکعب با هم پ

ست.يآن با هم مساو ي، هر ستون و هر قطر انتخاب

مانند (8x8)فوق را به شکل ييخانه (4x4x4)( عدد مکعب 64هرگاه ) (5

م ، مجموع اعداد مندرج هر سطر ، هر ستون و يشطرنج قرار بدهشکل

ست.يآن با هم مساو يقطر انتخاب

مثال سطر در مکعب(4x4x4) ييخانه

مثال ستون در مکعب(4x4x4) خانه يي

مثال قطر در مکعب(4x4x4) خانه يي


: ييخانه (8x8x8)عبات اعداد در مک يجابجا سازجابجا ييخانه (4x4x4)عدد مکعب (8) ييخانه (8x8x8)در هر کدام از مکعبات

باشد. يم

( قسمت که 4را به ) ييخانه (8x8x8)مکعبات يتوان سطوح مربعيهم م يو از جانب

شود جدا نمود.يمت مسقخانه يي (4x4) مربع (4)ک به يهر

عدد مکعب (8) ييخانه (4x4x4)ب عدد مکع (64)ب ين ترتيبد

(8x8x8) مکعب ( عدد 8(د ، بنابر آن اگر ما ينمايرا احتوا م ييخانه(8x8x8) خانه

باشد و بنابر يم ييخانه (8x8) يسطح مربع (48) يم دارايرا مالحظه نمائ يي

خانه (4x4)قسمت (4)توان به يرا م ييخانه (8x8)تذکر فوق که هر سطح مربع

م يتقس ييخانه (4x4)قسمت مربعات 192توان به ينمود ، پس آن را م جدا يي

نمود.


مربعات يبرا (1-1)طبق جدول ييخانه (8x8x8)اعداد در مکعبات يجابجا ساز

(4x4) نصورت يق است ، که دريقابل تطب ييخانه(n=192) ،(j=4) ،(i=1) يال

(i=n) که مجموع سطوح قابل درج نمرات در حالت حاضر از يعنيرد يگ يمت ميق

شود و به اشکال يب ميترت (1-1)جدول ييخانه (4x4) يسطح جدول مربع (192)

تواند.يم هسطوح جابجا شد يمربع ير محالت اعداد در خانه هايتغ 2(!4)اضافه از

آمده در بر بدست ييخانه (8x8x8)ات مکعب يخصوصنصورت يادر

از آن تذکار بعمل ييخانه (4x4x4)مکعبات يباشد که برا يم ياتيرنده خصوصيگ

نجا صرف نظر بعمل يه مجدد آن دريل شدن از اراياز طو يريجلوگ يآمده است و برا

( 88 مراجعه شود به صفحه آمده است. )


: ييخانه (16x16x16)اعداد در مکعبات يجابجا سازـ ييخانه (16x16x16)د مطالعه ما مکعب در مدل مور ـ ترت ييد نهـا ح ب مکعبـات ي

(8x8x8)عدد مکعب (8) ييخانه (16x16x16)ک مکعب يباشد در يز مياسرار آم

جا دارد. ييخانه

سـطح (4)م بـه يتـوان يرا م يـي خانه (16x16x16)مکعبات يسطوح مربع

م کـه يقسـمت نمـائ يي خانه (4x4) يسطح مربع (16)ا يو ييخانه (8x8) يمربع

ـ (6) يدارا ييخانه (16x16x16)ک مکعب يبصورت عموم (16x16) يسطح مربع

ـ و ييخانه (8x8) يسطح مربع (24)ا يو ييخانه ـ (96) ا ي (4x4) يسـطح مربع

م.يب فوق قسمت نمائيم به ترتيتوانيباشد و آن را م يم ييخانه

جابجا (1-1)ت جدول يبرو يي خانه (16x16x16)ک مکعب ياعداد در يجابجا ساز

يصورت م ييخانه (4x4)ا مربعات يو ييخانه (4x4x4)اعداد در مکعبات يساز

رد.يگ

(i=n) ي( ال1از ) n=96 ،j=4 ،i ييخانه (16x16x16)در صورت مکعب

سطح (96)بل درج نمرات )اعداد( از اکه مجموع سطوح ق يعنيتواند يمت گرفته ميق

ـ تغ 3(!4)باشد که به اشکال اضـافه از يمتشکل م ييخانه (4x4)جدول مربعات ر ي

تواند.يسطوح مکعبات جابجا شده م يمربع يمکان اعداد در خانه ها

يـي خانـه (16x16x16)ات اعداد جابجا شده در سطوح مکعبات يخصوص

ـ يـي خانه (4x4x4) تات اعداد جابجا شده در سطوح مکعبايمطابق با خصوص يم

باشد.


: ييخانه (2x2x2)اعداد در مکعبات يجابجا سازـ يب دهيز را ترتيمم که مربعات اسرار آيتوانيم j≥3 يد که برايقبالً تذکار گرد يم ول

ـ را ن يـي خانـه (2x2x2)مکعبـات يدر اشکال مکعب ـ تـوان ترت يز مي ب نمـود کـه ي

ـ ز است کـه ذ يرا حا يزاتيات مکعبات مذکور استثناً تماينصورت خصوصيدر الً بـه ي

م :يپرداز يح آن ميتوض

جـا يـي خانه (2x2x2)عدد مکعب (8) ييخانه (4x4x4)ک مکعب يدر

د اعداد جابجـا يبا ييخانه (2x2x2)عدد مکعب (512)دارد که مطالعه مدل هذا در

مـورد بحـث يـي خانـه (2x2x2)اعـداد در تمـام مکعبـات يگردند. جابجا سـاز

(24x512=12288) تواند :يصورت گرفته م يد که حسب آتينماياحتوا م را عدد

هرگاه اعـداد بـه شـکل سـطوح ييخانه (2x2x2)( در سطوح مکعبات 1

جابجا گردند حاصل جمع اعداد جابجا شـده در مربعـات ييخانه (1x1x1)مکعبات

م( هر سطر ياد نمائيکل ير آنرا بنام سگا ايدر دور ) ييخانه ( 2x2x2سطوح مکعب )

ـ است و همچنان هر چهار عدد جابجا شده در ي، هر ستون با هم مساو ک سـطح ي

ر سـطوح يبا حاصل جمع اعداد جابجا شـده در سـا ييخانه 2x2x2مکعب يمربع

حاصل جمع اعداد جابجا شده در سـطوح مکعـب ياست. ول يمکعب مذکور مساو

باشد.ينم يک قطر مساويآنهم در يگ ولبزر يمذکور در قطر ها


ـ ن عدد مورد مطالعه کـه با ينصورت از بزرگترياعداد در يجابجا ساز ي( برا2 د در ي

را کم نموده و بـه عـدد (24)جابجا گردند عدد ييخانه (2x2x2)سطوح مکعبات

(min) بـر يم که مبتنينمائيشان جابجا م يم و بعداً آن ها را در جا هاينمائيعالوه م

توان اعداد را يگر مورد بحث را ميد ييخانه (2x2x2)عدد مکعب (512)آن سطوح

سـطح (24) يده که هر مکعـب دارا يآن انتخاب گرد يبرا (24)جابجا نمود ، عدد

اعداد دارد. يجابجا ساز يبرا يمربع

ـ توان با تغياعداد را م ييخانه (2x2x2)مکعبات يبرا ـ ر موقعي يت هـا ي

نوشت.مرتبه (!2)جابجا نمودن

: ييخانه (1x1x1)اعداد در مکعبات يجابجا ساز

کـه يـي خانـه (1x1x1)عـدد مکعـب (8) يـي خانـه (2x2x2)بداخل هر مکعب

ـ ن از آن قابليباشد و به پـائ يما م ين مکعب در مدل انتخابيکوچکتر ـ ت تجزي ه را ي

به تعداد ييخانه (16x16x16)مدل مکعب ب در تمام ين ترتيندارد جا دارد که بد

که هر مکعـب ييقرار داشته است ، از آنجا ييخانه (1x1x1)عدد مکعب (4096)

(1x1x1) ـ باشد و در هر سطح آن يم يشش سطح مربع يدارا ييخانه ک عـدد ي

بـه يـي خانه (1x1x1)نصورت در تمام سطوح مکعبات يتواند که دريجابجا شده م

گردد.يعدد جابجا م (4096x6=24576)تعداد


( خانه يي به دو طريقه ذيل عملي ميگردد :1x1x1جابجا سازي اعداد در مکبعات )

( خانه يي جابجا ميگردد بنـا 2x2x2( چون در قدم اول اعداد در سطوح مکعبات )1

( عـدد جابجـا شـده در 3خانـه يـي مـا ) (2x2x2)در سطوح هر کدام از مکعبات

خانه يي را داريم , بناً ضرور است. (1x1x1)مکعبات

تا اعداد سطوح مقابل دريافت گردد. بدين منظـور اعـداد سـطوح مقابـل مکعبـات

(1x1x1 خانه يي را طوري حاصل مينمائيم که ) ( عدد اعظمي 1سطح مقابل عدد )در

( است قرارداده جابجا مي سازيم و بقيه سطوح مکعب 24576که در صورت حاضر )

و منفي عدد معلوم نموده در سطح مربعـي مقابـل آن (24576+1)مذکور را حسب

خانه يي اعـداد را (1x1x1)جابجا مينمائيم. بدين ترتيب ميتوانيم در تمام مکعبات

جابجا بسازيم.

( خانه يـي در 1x1x1ـ درينصورت براي جابجا سازي اعداد در سطوح مکعبات ) 2

خانه (1x1x1)را در يکي از سطوح مکعب (1)يعني عدد (min)قدم نخست عدد

را کـه در صـورت (max), عـدد (min)يي جابجا نموده بعداً در سطح مقابل عدد

( است قرار داده ميشود , براي جابجا نمودن اعداد در ساير سـطوح 24576حاضر )

خانه يي بروفق تصاعد ذيل اقدام ميگردد : (1x1x1)مکعبات

8

1 24569


ه تصاعدي به قرار ذيل داشته باشيم:هرگا1+2+3+4+5+………+(j-1)+(j)+(j+1)

خانـه يـي متکـي بـر (1x1x1)براي جابجا سازي اعداد در ساير سطوح مکعبـات

عدد يک را (min)موازين تصاعد حسابي با عدد 1+(j+1)+2+(j)+3+(j-1)+4+(j-2) + …….

(1x1x1)وح مقابـل مکعـب را تفريق نموده در سط (1)عدد (max)جمع و از عدد

(1x1x1)خانه يي جابجا مينمائيم و بدين ترتيب عمليه را تا آخرين سـطح مکعـب

خانـه (1x1x1)خانه يي انجام ميدهيم که درينصورت اعداد در تمام سطوح مکعب

يي جابجا ميگردد.

2

1 24575


در سطوح ظاهري مکعبات اسرار آميزحاصل جمع اعداد جابجا شده حاصل جمع اعداد جابجا شده در سطوح مکعبات مورد مطالعه خويش را براي آنکه

بدست آورده باشيم براي بررسي هر يک از مکعبات مذکور در زمينه ميپردازيم:

خانه يي : (16x16x16)در مکعب -1خانه يي که مدل مورد مطالعه ما است هر سطح مکعب (16x16x16)در يک مکعب

سطح مربعي 6نه يي بوده که در مجموع حاوي خا (16x16)مذکور داراي مربعات

(16x16) : خانه يي ميباشد يعني j=16

6j2=6 . 16

2 = 1536

عـدد جابجـا (1536)خانـه يـي (16x16x16)درينصورت در تمام سطوح مکعب

گرديده است و حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر , هر سـتون و هـر قطـر

مکعب متذکره مساويست به :A=(6j

2+1).2j

A=(6.162+1).2.16 = (1536+1).2.16=49184

A=49184

خانه يي متذکره حاصل جمع (16x16x16)هرگاه در هر شش سطح مربعي مکعب

خانه (16x16)اعداد جابجا شده در هر سطر , هر ستون و قطر هاي بزرگ مربعات

يي الزم باشد چنين بدست ميآيد :

122962

1).16(6.16

2

1).n(6j

4

1).2j(6jA

222

باشد. (12296)د حاصله از حاصل جمع بايد درينصورت عد

خانه يي : (8x8x8)در مکعب -2خانه يـي جـا دارد (8x8x8)عدد مکعب (8)خانه يي (16x16x16) بدر يک مکع

که درينصورت:j= 8

6j2=6.8

2=384


خانه يي جابجا ميشود (8x8x8)( عدد مکعب 8تعداد اعداديکه در سطوح مربعي )

مساويست به :8.6j

2=8.6.8

2=3072

(8x8x8)حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر , هر ستون و قطر هاي مکعب

خانه يي با تفاوت عدد (16x16x16)خانه يي مساويست به همين کميت در مکعب

آن را احتـوا (1/8), در حاليکه بايد اين حاصل جمع نظر بـه کميـت حجمـي (16)

نمايد.A=(8.6j

2+1).2j=(48.8

2+1).2.8=49168

حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر هر ستون و قطـر هـاي بـزرگ

خانه يي مساويست به : (8x8x8)مربع , هر سطح مربعي مکعب

122924

49168

4

2)148( 2

jj

A

درينصورت عدد حاصله از حاصل جمع هر سطر , هـر سـتون و قطـر مکعـب هـاي

(8x8x8) جمع در سطوح مربعـي و همين حاصل (49168) به خانه يي مساويست

(8x8) است. (12292)خانه يي مساوي به عدد

: ييخانه (4x4x4)در مکعب -3جـا يـي خانه (4x4x4)عدد مکعب (8) ييخانه (8x8x8)ک مکعب يدر

(4x4x4)مکعـب (64)ما به تعـداد ييخانه (8x8x8)مکعب عدد (8)دارد که در

خانـه (4x4x4)که در سطوح مکعبات يب تعداد اعدادين ترتيجا داشته بد ييخانه

ست به :يده مساويگرد بجاجا ييj = 4

64 x 6j2=64 x 6 x 4

2=6144

عدد جابجا شده است و حاصل (6144) ييخانه (4x4x4)عدد مکعب (8)در يعني

خانه (4x4x4)ک مکعب يجمع اعداد جابجا شده در هر سطر، هرستون و هر قطر

ست به :يمساو ييA=(64.6j

2+1).2j=(64.6.4

2+1).2.4=49160

باشد. (49160)به عدد يد مساوين حاصل جمع باينصورت حاصل آمد که ايدر


هرگاه ضرور باشد تا حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر ، هر ستون و قطر

م که :يم دارياوريرا بدست ب ييخانه (4x4)از هر مربعات يکيبزرگ

باشد. يم (12290)به عدد يل جمع مساونصورت عدد حاصله از حاصيدر

خانه يي : (2x2x2)در مکعب -4خانه يـي جـا (2x2x2)عدد مکعب (8)خانه يي (4x4x4)در يک مکعب

خانه يي ميباشد (4x4x4)عدد مکعب (64)دارد , چون در مجموع مورد مطالعه ما

مکعـب عـدد (512)خانه يـي مـورد بحـث (2x2x2)لهذا تعداد مجموعي مکعب

(2x2x2) خانه يي ميباشد که درينصورت تعداد اعداد جابجا شده در تمام سـطوح

خانه يي مساويست به : (2x2x2)تمام مکعبات j=2 512.6j

2=512.6.2

2 =12288

(2x2x2)حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر , هرستون و هر قطر هر مکعب

:خانه يي مساويست به

A=(512.6j2+1).2j=(512.6.2

2+1).2.2=49156

هرگاه حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر , هرسـتون و قطـر هـاي

خانه يي را بخواهيم بدست بياوريم موافق (2x2x2)بزرگ هر سطح مربعي مکعبات

خانه (2x2)ايز خصوصيات موافق نميباشد زيرا که براي مربعات حبا ساير مربعات

را تـذکرداده کـه از آن قـبالً بصـورت j≥3ط يي فرهنگ دايره المعارف رياضي شر

مفصل تذکار بعمل آمد.

( خانه يي حاصل جمع تمام اعداد 2x2x2ياد آوري ميگردد که در مکعبات )

خانه يي مساوي به همين حاصل (2x2x2)جابجا شده در يک سطح مربعي مکعب

الـت خانه يي مـي باشـد , در ح (2x2x2)جمع در هر يکي از سطوح ساير مکعبات

سطوح مربعي را در مکعبات (3072=512.6)مورد مطالعه اين مدل تحت بررسي

122904

49160

4

1).2j(64.6jA

2


(2x2x2) سطح باهم مساوي (3072)ي مخانه يي داريم که اين حاصل جمع در تما

اند.

خانه يي : (1x1x1)در مکعب - 5خانه يي جا دارد کـه در (1x1x1)عدد مکعب (8)خانه يي (2x2x2)در يک مکعب

خانه يي مساويست (1x1x1)خانه يي تعداد مکعبات (2x2x2)دد مکعب ع (512)

به:512.8=4096

خانـه يـي (1x1x1)درينصورت تعداد اعداد جابجا شده در سطوح مربعي مکعبات

مساويست به :4096.6j

2=4096.6.1

2=24576

(1x1x1)حاصل جمع اعداد جابجا شده در هر سطر , هر ستون و هر قطـر مکعـب

مساوي است به : خانه ييA=(4096.6j

2+1).2j=(4096.6.1

2+1).2.1=49154

مـي (49154)درينصورت عدد حاصله از حاصل جمع موارد فوق مسـاوي بـه عـدد

باشد.

خانه يي حاصل جمع اعداد جابجا شده در دو سـطح بـا (1x1x1)عالوتاًدر مکعبات

جابجـا شـده خانه يي مساوي به حاصل جمع اعداد (1x1x1)هم مقابل يک مکعب

خانه يي ميباشد. (1x1x1)در هر دو سطح مقابل دلخواه ساير مکعبات


اعداد جفت در تاق : يز برايمکعبات اسرار آمکه از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد تـاق ياعداد جفت يز برايمکعبات اسرار آم

اسرار ربعاتجفت در جفت با در نظر داشت مز همگون با مکعبات يند نيآ يبدست م

اعـداد يز بـرا يب مربعات اسرار آميترت يرامون چگونگيگردند. پيب ميز آن ترتيآم

اد يند در قبل مفصالٌ يآ يکه از حاصل ضرب اعداد جفت در اعداد تاق بدست م يجفت

باشند: يل ميز رابطه ذيبعمل آمده است که حا يآور

n

i

i1

)12(2

آن مطالعه يدر سطوح مربع (i)مختلفه يمت هايق يران مکعبات را بيبگونه مثال ا

م ، هرگاه :ينمائيم

4

4

3

3

2

2

1

1

14)7(2)142(2)12(24

10)5(2)132(2)12(23

6)3(2)122(2)12(22

2)1(2)112(2)12(21

i

i

i

i

xii

xii

xii

xii

(i=2) ي، بـرا ييخانه (2x2)ما مربعات (i=1) يفوق برا يدر صورت ها

(i=4) يو بـرا ييخانه (10x10)مربعات (i=3) ي، برا ييخانه (6x6)ما مربعات

م.يتوانيم هر بدست آوردياخ يب الين ترتيهمو به ييخانه (14x14)مربعات

ـ يمت هايبه ق يسطوح مربع يدارا يهرگاه مکعبات م ، يفـوق داشـته باش

ـ ناٌ مانند مکعبات اسرار آميمکعبات مذکور ع ياعداد در سطوح مربع يجابجا ساز ز ي

(2x2x2)مکعبـات (i=1) يگردد چنانچـه بـرا يم يت عملفاعداد جفت در ج يبرا

بعمل آمده است. ياد آوريگردد که قبالٌ از آن يم حاصل ييخانه


: ييخانه (6x6x6)مکعبات ياعداد در سطوح خارج يجابجا ساز يـي خانـه (6x6) ياز شش سطح مربع ييخانه (6x6x6)مکعبات يسطوح خارج

: يعنيل شده است يتشکj=6

6j2=6.6

2=216

تواند که يجابجا شده م عدد (216) ييخانه (6x6x6)ک مکعب ي يخارجدر سطوح

خانه (3x3x3)عدد مکعب (8) ييخانه (6x6x6)ک مکعب يب در داخل ين ترتيبد

(1x1x1)عدد مکعب (27) ييخانه (3x3x3)ک مکعب يجا دارد ، چون بداخل يي

(216)آن يـي خانه (6x6x6)تواند جا داشته باشد پس در تمام مکعب يم ييخانه

مکعبـات مـذکور اعـداد يرونيجا دارد و در سطوح ب ييخانه (1x1x1)عدد مکعب

شود.يجابجا ساخته م

يـي خانـه (1x1x1)مکعبـات ياعداد در سطوح خارج يچون جابجا ساز

ـ ياعداد را در سـطوح ب يده و جابجا سازيقبالٌ مطالعه گرد (3x3x3)مکعبـات يرون

م و در يمـائ نياعـداد تـاق مطالعـه م يز برايحسب قواعد مکعبات اسرار آم ييخانه

م:يپردازيم ييخانه (6x6x6)مکعب ياعداد در سطوح خارج ينجا به جابجا سازيا

بـر يمتک ييخانه (6x6x6)مکعب ياعداد در سطوح خارج يجابجا ساز

اعـداد در سـطوح يگردد ، جابجا سازيم يمرتبه آن عمل (6)با تکرار (2-1)جدول

يآن باال يکه تعداد خانه ها يباتآنعده مکع يبرا ييخانه (6x6x6)مکعب يخارج

فوق حاصـل جمـع يد. در صورت هاينمايم را داشته باشد صدق ميت تقسيقابل (6)

بـا ييخانه (6x6x6)مکعبات ياعداد جابجا شده در هر سطر ، هر ستون و قطر ها

ات مکعبـات جفـت در ين خصوصيز عيات آن ها نير خصوصياست و سا يهم مساو

د.ينمايجفت را صدق م


: ((3-1حسب جدول ييخانه (6x6x6)مکعب ياعداد در سطوح خارج يجابجا ساز


: ييخانه 10x10x10مکعبات ياعداد در سطوح خارج يجابجا سازتوانـد انجـام يم (5-1)و (4-1)اعداد وفق جـدول ينصورت جابجا سازيدر

عـدد يآن بـاال يمجوع يکه تعداد خانه ها يمکعبات يتمام ين حالت برايابد و اي

اعـداد در سـطوح يات جابجا سـاز يد. خصوصينمايم باشد صدق ميقابل تقس (10)

اعـداد در يات جابجا سازيموافق با خصوص ييخانه (10x10x10)مکعبات يخارج

باشد.يمکعبات جفت در جفت م يرونيسطوح ب


: (5-1)حسب جدول ييخانه 10x10x10اعداد در مکعبات يزمثال : جابجا سا


: ييخانه (14x14x14)مکعب ياعداد در سطوح خارج يجابجا سازخانه (7x7x7)عدد مکعبات (8)تواند يم ييخانه (14x14x14)در مکعبات

يـي خانه (1x1x1)مکعبات ييخانه (7x7x7) جا داشته باشد و بداخل مکعبات يي

(14x14x14)مکعبـات ياعداد در سـطوح خـارج يباشد و جابجا ساز ين ميجاگز

ـ (14)عدد يکه باالياعداد يتمام يتواند برايم ييخانه م باشـد صـدق يقابل تقس

د.ينما


(14x14x14)مکعبات ياعداد در سطوح خارج يات جابجا سازيخصوص

باشد که ما آن را قبالٌ يات مکعبات جفت در جفت ميبا خصوص همگون ييخانه

م.يمطالعه نمود


مکعبات اسرار آميز اعداد تاقـ ترت يم بـرا يداشته باش x(2i-1)x(2i-1)(2i-1)به شکل يهرگاه مکعب ب ي

ـ ياعـداد در سـطوح ب يز اعداد تاق و جابجا سـاز يمکعبات اسرار آم مکعبـات يرون

د البتـه طرزالعمـل آن ماننـد اسـتفاده از يآ ياستفاده بعمل م (6-1)مذکور از جدول

باشد.يمکعبات اعداد جفت م يجداول برا

م که اعـداد تـاق مشـتمل بـر تصـاعد يدانيمز ياز مطالعه مربعات اسرار آم

n

i

i1

خانـه (1x1x1)ز اعداد تاق مکعب يآم ن مکعب اسراريبوده و کوچکتر )12(

ز اعداد تاق ياز مکعبات اسرار آم يم و تعدادياست که ما آنرا قبالٌ مطالعه نموده ا يي

ل حاصل جمع اعداد جابجـا شـده در يحاالت ذ يم که در تماميريگ يرا به مطالعه م

ست و عالوتـاٌ يمکعبات نظر به سطر ها هر ستون و قطر با هم مساو يسطوح ظاهر

مکعبات که در مقابل هم قرار دارنـد بـا يحاصل جمع اعداد مندرج در سطوح ظاهر

ز احتـوا ياعداد جفت را ن يافته برايات تذکار ير خصوصياست. ضمناٌ سا يهم مساو

د.ينمايم

: ييخانه (3x3x3)مکعب يرونياعداد در سطوح ب يجابجا ساز است. j=3 , n=6نصورت : يدر


: ييخانه (5x5x5)مکعب ياعداد در سطوح خارج يسازجابجا است. n=6 ،j=5درينصورت :


: ييخانه (7x7x7)مکعب ياعداد در سطوح خارج يجابجا ساز

باشد.يم n=6 ،j=7 نصورت : يدر


بجا سازي اعداد در سطوح بيروني مکعبات تـاق بـراي تمـام براي جا (6-1)جدول

صدق مينمايد که به گونه مثال با اسـتفاده از آن x(2i-1)x(2i-1)(2i-1)قيمت هاي

ــات ــراي مکعب ــداد را ب ــازي اع ــا س ــن جابج ــات (5x5x5)، (3x3x3)اي و مکعب

(7x7x7).ارايه نموديم

پايان


مختصر يبيوگراف افغان( ق )ياسم و تخلص: محمد صد

رجب خان يولد: حاج

رحم خدا يولديت: حاج

يالديم 1958هـ ش مطابق مارچ 1336سال تولد: حوت

ت کابليمحل تولد: وال

رتبه علمي : سرمحقق پروفيسور

ي: دريلسان مادر

يليالت و مراجع تحصيتحصـ هـ ش متعلم مکتب سـلطان غ 1344سال يهـ ش ال 1342از سال -1 نياث الـد ي

فيشهر مزار شر

ت کابلير بچه خان واليسه ميهـ ش متعلم ل 1349سال يهـ ش ال 1344از سال -2

ـ سه قلعه مـراد ب يهـ ش متعلم ل 1352سال يهـ ش ال 1349از سال -3 ـ گ والي ت ي

کابل

شهر کابل يسه انصاريهـ ش متعلم ل 1355سال يهـ ش ال 1352از سال -4

بارنخست در يبرا ياختصاص هـ ش محصل 1351سال يهـ ش ال 1355از سال -5

ک کابليتخن يتوت پوليانست ياضيرشته ردر خ کشور يتار

فاکولتـه يداگوژيتوت پيهـ ش محصل انست 1361سال يهـ ش ال 1361از سال -6

.ياضيدر ر يپلوم ماستريو اخذ د يک نجاد شورويسپيشهر ل ياضير

ياکـادم يژداگويتوت پيهـ ش محصل انست 1318سال يهـ ش ال 1361از سال -1

.ياضيدوره دکتورا در رشته ر ينگراد برايدر شهر لن يعلوم شورو

در جهان و ثبت آن در يفلسف ياضيد ريهـ ش اساسگذار علم جد 1369از سال -8

ق افغان تبعه افغانستان.يوقت بنام محمد صد يک شورويو اکادم يمراجع علم

ف و محالت کار :يوظاـ يات لياضياستاد ر 1358سال يال 1351از سال -1 ن و يسه بـاختر، دارالمعلم

ف.يه شهر مزار شريسه سلطان رضيل

، پوهنتون يشوونح يات در حربياضياستاد ر 1361سال يال 1358از سال -2

کشور. يو مدافعه هوائ ييهوا


ـ 1991سال يال يالديم 1989از سال -3 ـ ياجـرا يالديم در يامـور پژوهش

.يفلسف ياضيد ريعرصه علم جد

ـ مشاور و عضو ا ن در خصـوص مفاهمـات ينجمـن دانشـمندان و متخصص

.کايو آمر يشورو

يهـان يعلـوم ک يه از صلح ، عضو اکادميحما ين الملليت جنبش بيمشاور

.يشورو

وقت يپسک شورويدر شهر ل يه استادان شورويترب يتوت عالياستاد انست

ن و ير موسسات اوکرايف و سايدر پوهنتون ک ياستاد لکچر معلومات عموم

سابق. يشورو يهنتون هاپو

ـ يبـرا يفلسـف ياضيد ريس علم جديتدر ( تـن دانشـمندان 88ش از )يب

سور و دکتورا بودند.يسن ، پروفياکادم يعلم يدرجه ها يکه دارا يخارج

جهـان يفلسف ياضير يقاتيانتقال مرکز تحق 1311سال يال 1318از سال -4

ـ ير يقاتياست مرکز تحقيبه شهر کابل و موظف ر جهـان در يفلسـف ياض

علوم افغانستان. يسه اکادميئات رئيعلوم افغانستان و عضو ه ياکادم

ـ ير يقـات يمرکز تحق يندگيس نمايتاس 1312سال يال 1311از سال -5 ياض

ياسـت شـورا يپسـت ر يجهان در شهر تاشکند و همزمان اجرا يفلسف

در ازبکستان. يفلسف ياضيمرکز ر يعلم

يجمهور يالت عاليات تحصاستاد رهنما و استاد لکچر در موسس

س آن کشور.يپول يازبکستان و اکادم

موف.يس جمهور کريرئ ياسي، س يمشاور علم

جهان. يفلسف ياضير يقاتيس مرکز تحقيرئ 1313سال يال 1312از سال -6

ـ ياز کشور اشتراک در کنفرانس ب يندگيبه نما يشـگفت ين الملل

رانس.ور و آن در شهر مشهد و کسب مقام اول کنفزمغ يها

راز و اشــتراک در يدر شــ يفلســف ياضــير ينــدگيس نمايتاســ

ران.يراز کشور ايپوهنتون ش يعلم يکنفرانس ها


جهان. يفلسف ياضير يقاتيس مرکز تحقيرئ 1388سال يال 1313از سال -1

علـوم افغانسـتان و يک اکادميتخنوک ي، فز ياضيس مرکز ريرئ

غانستان.علوم اف يت اول اکادميهمزمان سرپرست معاون

ـ 1383سـال يال 1388از سال ـ ير يقـات يس مرکـز تحق يرئ ياض

.يجهان و مشاور خاص اداره امور در امور فرهنگ يفلسف

: ي، پژوهش ي، آثار و کتب علم يعلم يکار هاـ بمثابـه علـم جد يفلسف ياضيجاد و ثبت ري، ا ياساس گذار -1 د در زمـره ي

.يعلوم جهان

ياضيام( اعداد در ر nو جذر ) د جذر سوم، جذر پنجميکشف قاعده جد -2

وتنينوم نيه بيکشف عکس قض -3

هيتمام اعداد اول يم بااليت تقسيقابل يقاعده عموم -4

تميلوگار يبرا يافت قاعده عموميدر -5

ـ ک معلوم در کمتر از ثانيمجهول از (n)افت يدر -6 ه بـر مـوازات و اصـول ي

.يو هندس يحساب يد تصاعد هايجد

يفلسف ياضيگاه رديد از دينظم قرآن مج -1

يفلسف ياضيگاه رديم از دياعجاز قرآن کر -8

و ييس در پوهنتـون هـوا يتدر ين برايوه نويبه ش ياضير ياصول مقدمات -9

.ييمدافعه هوا

کـه نز و طرح سـاختمان البراتـوار آ يپژوهش مربعات و مکعبات اسرار آم -18

ـ علوم افغانسـتان کاند يکتاب مذکور از جانب اکادم شـنهاد يزه نوبـل پ يد جـا ي

ده است.ينگرد يعمل يل اداريده بود که متئاسفانه بنابر داليگرد

.يفلسف ياضيگاه رياز د يعلوم اجتماع يها يخ جوامع و قانونمنديتار -11

يم بـر مبنـا يرامون حروف مقطعات در قرآن کـر يپ يپژوهش يل هايتحل -12

. يفلسف ياضيقواعد ر


و کنفرانس ها: يعلم يسفر هاتوت ين هـا ، انسـت يمکاتب ، درالمعلمدر س ده ها کنفران، ر و اشتراک يتدو -1

علوم افغانستان. ي، پوهنتون ها و اکادم يداگوژيپ

ر يعلوم ، سا يها يدر پوهنتون ها ، اکادم ياشتراک در ده ها کنفرانس علم -2

ـ ف و غيک ،نگراد ، ماسکو ، منسک ، اوراليلن يشهر ها يمراجع علم ره. و ي

د يان آن در جرايازبکستان که جرن قزاقستان ، يه ، اوکرايهمچنان بالروس

افته است.يمذکور انعکاس يون کشور هايزيو و تلوي، راد يمجالت علم

يها يشگفت ين الملليران و شرکت در کنفرانس بيبه کشور ا يسفر رسم -3

ران.يا ياسالم يمغزوروان در شهر مشهد جمهور

ـ مجـامع اکادم يعلم يو شرکت در کنفرانس ها يسفر رسم -4 ـ ي يک و علم

ران.يتهران ، اصفهان ، اهواز کشور ا ير هاشه

آلمان ، فرانسه و هالند جهت ساختمان البراتوار يبه کشور ها يسفر رسم -5

کـه خوشـبختانه يفلسف ياضيدگاه رياز د يتناهينظم کائنات ، ارائه رد ال

د.يدر شهر هامبورگ آلمان گرد يفلسف ياضير يندگيجاد نمايمنتج به ا

ـ يم بياشتراک در سمپوز -6 در يانکشـاف انسـان از جهـات معنـو ين الملل

وقت. ياتحاد شورو يهانيعلوم ک ياکادم

کشور ها: يمالقات با زعما وقت کشور. يس جمهوريمالقات با سردار محمد داود خان رئ -1

وقت افغانستان. يس جمهوريب اله رئيمالقات با دکتور نج -2

يحمد عمر زعماو مال م يسور رباني، پروف يمالقات با محترم استاد مجدد -3

افغانستان.

ـ يوقت ، فرانسوا م يس جمهور شورويمالقات با گرباچوف رئ -4 س يتـران رئ

ـ يس جمهور گرجسـتان و يرئ يواردنادزيجمهور فرانسه ، ش س يلسـن رئ

ه.يجمهور روس

س جمهور ازبکستان.يموف رئيمالقات با کر -5

ران.يا ياسالم يس جمهور جمهوريرئ يمالقات با رفسنجان -6


: يتباط جمعل اريوسا يفلمساز ينگراد فلم و موسسه هايه فلم مستند توسط افغان فلم و ولنيته -1

ق )افغان(.يمحمد صد يعلم يت هايلندن و فرانسه از کار و فعال

مختلـف يکشـور هـا يون هـا يزيبا تلو يونيزيصدها مصاحبه تلو ياجرا -2

جهان. يفلسف ياضير يقيتحق يعلم يرامون دستاورد هايجهان پ

ـ ير يقـات يمرکـز تحق ياحبه و کارکرد هانشر مص -3 جهـان در يفلسـف ياض

مختلف جهان. يکشور ها يصفحات صدها روزنامه و مجالت علم

در جهان: يفلسف ياضير يها يندگينما جهان در شهر مسکو يفلسف ياضير يندگينما -1

نگراديجهان در شهر لن يفلسف ياضير يندگينما -2

زبکستانا يجهان در جمهور يفلسف ياضير يندگينما -3

رانيا يجهان در جمهور يفلسف ياضير يندگينما -4

آلمان يجهان در جمهور يفلسف ياضير يندگينما -5

و من اهلل توفيق

رثا يمومع تاصشم - Sediq Afghan · 6 زيمآ رارسا تابعکم و تاعبرم...

Documents

Transcript of رثا يمومع تاصشم - Sediq Afghan · 6 زيمآ رارسا تابعکم و تاعبرم...