ВІСНИК ЛЬВІВ. УН-ТУ

Серія мех, -мат. 2003.Bun. 62. С.89-94 VïSNYK LVÏV umv.

S er. M eck-Math. BOOS. Vol Ô&P.89-M

УДК о 17.524'

ПРО З Р О С Т А Н Н Я ЦІЛОГО Р Я Д У ДІР ЇХЛЕ

З НЕВІД "ЄМНИМИ КОЕФІЦ ІЄНТАМИ

Оксана М У Л Я В А Ч Петро Ф ІЛБВЙЧ 2

1 Дрогобицький державний- педагогічний університет імені Івана Франка,

вул. Стрийська, $ Дрогобич, Львівська обл.. Україна 2Львівський національний університет імені [ваші Франка,

вул. Універс/атепіська, 1 79000 Львів.. Україна

Визначено необхідну та достатню умову sa опуклу функцію Ф, за якої для довільного а і лого ряду Діріхяе Fis) = , * = + & такого., що ая > 0 і еослїдозність (An) е зростаючою до -Н». виконується рівність

lïiFicf) \n£t\<?3 ü/n — — - = і ils і —гг-т-і ar-i-î-OO «Piff J ff-»-Ї-Oü ф{ ï-T )

де й(я) = sup{e<"" Ех,* о* •: X > В). Кл-гичс.&ї слова; ні лик ряд Дірїхле. максимальний ч-WK, искіральлдо: індекс, Ф-тіш.

Нехай 5_l. - клас цілих (абсолютно збіжних в С] рядів Діріхле

о:; f ( s j = V ( i / \ > = r;; -r tf (З)

таких, що 5г 0 .для.всіх цілих к ^ 0 і йгї > 0 для безлічі п, а послідовність А = (Хп} € зростаючою до ч-сс і Àq = 0.

Для ряду F € S+ вигляду (1) приймемо J}; = Й„, ГЦ:) = V;Xi->T. Д„ і Д і » = аир{Г(я)е" : а- > 0}.. Тоді [1]

F { a ) - F { ü ) = а ГT{x)e^~dx: m J о

Д И ^ F i » <: F(û) -f + с) (ус > G). (3)

Hexai L - клас неперервних, несналних, необмежених зверху на (-ос: -f oc} функ-цій,, a Ü • клас неперервно диференцшовних., опуклих на {-оо: -foc) функцій Ф та-ких, ЩО <7 ~ о(Ф(<г}}, <7 -foc. Зрозуміло, ЩО Ф* Є Іч якшо Ф € П, і In F Є fï. ЯКЩО F € Slf.

© Мул ява Оксана, Фіяевкч Петро, 2003

90 О К С А Н А М У Л Я В А, П Е Т Р О Ф І Л Е В И Ч

Для функції Ф € Ü і ряду F Є $+ аедячину

Тфіп = С Щ !

назвемо (див., Щ) Ф-тниим ряду F і приймемо

м л = ш Щ . —' - -х: ФЬСГ;

Як бачимо, з (3) Їф(-Р) > ІФІГ). Розглянемо задачу про визначення умов виконання рівності Тф{.Р) = t § ( F ) . Доведемо таку теорему.

Т е о р е м а . Нехай ф Є ft. Для того щоб Тф{Р) = ІФ{Р) для кожного цілого ряду

Діріхм. F € S + . необхідно і достатньо* щоб In Ф'(ст) — о{Ф(сг)}.. & ч- + о с .

Для доведення теореми нам потрібна така лема, в якій не передбачається загалом цілість ряду (1), а на послідовності {а,,} і Л — (Л:, І відповідно комплексних і дійсних чисел не накладено жодних умов, за винятком зростання послідовності А до -foe.

Л е м а . Нехай Б Є (—oc:-f оо]. Якщо для ряду Дірйме (1) їсп^і: зиостп*>ча послідов-

ність пееід-'емнт цілих чисел таш. що

ап = 0 (и < пь); а;ч, ф 0 ік £ 0):

Xk . = — ; я \к -T-OCJ;

M { ъ ф * ^ « - ^ Іп Є ( п к : п к ^ , ) , к -> 0).

ото -член ^ r i^ } = т«х{|аГі:е'ГИ'- : п > 0} т а центральний індекс

i'r(a) -- max-;« > 0 - janje f f"v py[o)} 'нього ряду мізчачені для всіх а Є (—ос; В} і І) і-'р (<.т) = «о- а < xq; а ; го-fa-j . *>.дцо с t s /г 0: S)

ßF\o) — .«KUfö (5- < i j p f H = V ï ^ . ; ^ * » * » . ^ а д с € far^+i) і А- > 0.

Доведення. Зауважимо, що твердження З і 4 випливають з тверджень і і 2. Дове-демо І і 2.

Нехай € { — В в а ж а є м о , то с Є і £ —І.

Якшо п Є (пр;пР4-і] і р ^ А' -г L т о

f a - J e ^ " )а„ . «в**х " /-+І « - "і-^ —

V _ >e*,CXHf. + 1 -А.. > j j

а,, і

г— k -f 1 £

< j

^ 1 < Л ^ - Л« й 4 ! Î f f A , - ) e - Д (A : : - Af[ ) " •

ПРО ЗРОСТАННЯ ЦІЛОГО РЯДУ ДЇРІХЛЕ

тобто vpia) ^ Jik+i, якшо к ^ 0, і V'g w ) ~ щ. якщо /т < Якшо Ж Л € ІПр\ Пр+і)^ Р ^ А- І À: ^ 0. то

- л , } 1 1 е ^ ) I I -

= — : -<: 1. :

тобто VF\<t) > Отже, и f i a ) = rtk+i , якщо а Є \xk: хї^і) і к > 0. Лему доведено.

Доведеним теореми. Достатність. Нехай .in — о(Ф{&)). a -4 -і-оо. Доведемо, що Тф{Р) < Гф(.Р), звідки и випливатиме рівність T${F) — і ФІГ).

Оскільки Ф' Є L. то для деякого сто отримуємо Ф'(гг) > Ö, <т Зафіксуємо довільне сг ^ сто і розглянемо функцію Ы.7') = Ф'('7 4- х). Ця функція неопадна, неперервна і необмежена на інтервалі (0; 4-сс). а тому рівняння ій'х) — ~ має єдиний додатний розв'язок х ~ х(и). Тоді + x(/r}).r[öj = 1, <т ̂ <?.л. Отож,

4 х(<7)) - Ф(<х) = j &it)dt < H- Xi»).r<«r) = î .

тобто Ф(сг) Ф(ст -г ,г{.с7)}. (7 -4 4"ос. Тому, врахувавша другу з нерівностей (3), О ї римує?.; О

2 W > = I S 115 « cr-f+oc 4- <г-Н-эс Ф(СГ -т

*• Л • " 4(<T+ £{<?} \

що й вимагалось. Достатність доведено. Необхідність. Нехай = Ф'{<у) і умова — о(Ф!йг'ї). <г -4 4 ос не викону-

ється, тобто існує число с > 0 таке, шо

~— їв і M a ) hm ' > £. <4?

tf-j-foa ф(СП

Розглянемо довільну зростаючу до 4-ос послідовність Л таку, шо Aq = 0 і Ап4л - А» < с для всіх цілих її > Ö. де с - додатна стала, і покажемо, шо існує цілий ряд Діріхлє F Є 5'+ вигляду ( і ) , для якого Тф(Р) > t&(F).

Вважаємо (де не зменшує загальності}, шо ^ - зростаюча функція і ^(0) — 0. Приймемо щ ~ 0 і нехай

= min{n > пк 4-1 : А„. > А», 4 } . хк = ^ " Ч ^ ь + і }

ОКСАНА МУЛЯВ А, ПЕТРО ФІЛЕВИЧ

для кожного цілого к ^ 0 . Зрозуміло, ШО ПОСЛІДОВНОСТІ ( А г ї і . } , е з р о с т а ю -

чими ДО -roc і

Лй> + і/АПл ^ £ Лг;. + + с. А- 0. (о)

Нехай 7Ь = Т т = і. Для всіх цілих к ^ D приймемо

* it») Г * + 1 П ^ - , , ,

Г , = T k ^ ^ - ^ K п Є { и * : «м - і ) : (?)

і нехай а» — ТП — TWb ^ 0. Розглянемо ряд (1) з так означеними коефіцієнтами а-п і покажемо, що F Є S* і Тф/F) >

Насамперед зрозуміло, що а п > 0. « > 0, і якщо п € [ « д . ; » ^ ) та

m = m(n.) — max(p > 0 : 2Л«._ < Л , , } .

то згідно з (6) і (7).

0 ^ Х- - f - \ 4 ^ "" \ і Xu, - А t . , . -2 (А •••: - А » _ з ! х;, f Л - Л,.. .; /

1

л- і

.> мова n —> oc f? необхідною і достатньою Г"І : для того, шоб ряд Діріхле

( І ) був цілим- Отже. F € S+. Далі зауважимо, що або Д(«:т) = .7oe~'v\ або

= 8Пр{Г(лг)€РГ - * > 0} = S l i pSUp fT^ )^ " : Ля < ^ Лг,_ы} =

= sup Г_. ̂ ї є ^ " * 5 — m ах с 'т

тобто д{<т) — де ßa i^ } - максимальний член ряду Діріхлє

оо <?{*} = ]П :Г я е* А - .

»-5---Q

Згідно з лемою для всіх гг Є [ > f A - ) і к ^ 0. використовуючи позначення f/(<j) — отримуємо

' V i » — -Л-г.+2Т — Л^к+1 > У\(Г}

ЯРО ЗРОСТАННЯ ЦІЛОГО РЯДУ ДІРІХЛЕ S3

З {5} бачимо, що - Л Г і . к ос, тобто tpfa). а -•> Оскільки c.I82j?

inpG(^) ~ Іїі/ісп^о} = І " У.:

ТО при (7 +00

ІпД(сг) ~ hiMG'{«r) ~ / ~ £ 'V #(сг),

тобто t$ (F ) — 1.

З ІНШОГО боку, ще раз використавши лему, отримуємо Д(Хі-) — £<<?(>*«) ~ для всіх п Є {пі;»*+і). тому згідно з І'2) і (5)

F{xk) > / Tîx)^-dx > (Д!П.„; - Ай,. I inf > Л,., ""

> v^n,. шіп inf /Г^г)?*4'* = v/Ал,, mia Т^е*1" ' ' " =

- min f - ^ W i < ^ (8) ïl€i«l',»*._ I;

Враховуючи шо А„. ~ At,i6f> ~ ^(гт) . якщо а € м ) і к oc-, з (4) отримуємо

г— In А,,. ^ hm г-—-™- > £• (S) i - t x in^ i^ i

Оскільки я* — о(Ф(>ffe}). А: —> ос. то з (8) і (9) бачимо, шо T$.{F) ^ t- + 1 > M F ) . Теорему доведено.

1. Шеремета M. M. Про зростання цілого ряду Діріхле // Укр. мат. журн. -1999. - Т. 51. -JfrS. - С. 1149-1153..

2. Муллва О. M. Про класи збіжності рядів Діріхле // Укр. мат. жури. •••• 1999. -Т. 51. -3ft 11. - С. 1485-1494.

3. Леонтьев А, Ф. Ряды экспонент. - M.. 1976.

94 ОКСАНА М У Л Я В А, ПЕТРО ФІДЕВ.ИЧ

ON THE GROWTH OF ENTIRE ВІШСИЬЕТ SERIES WITH NONNEGATIVE COEFFICIENTS

Oksana Muliava*. Petro Filevych2

1 Ivan Ffanko State Pedagogic University of Drogobych,

Stryis'ka Str., S. Drogobyck. Uhrcirx 2 Ivan Franko National University of Lviv.

Universiietska Str.. 1, 79000 Lviv. Ukraine

For a convex fonction Ф necessary and sufficient condition із established in order that

Ш Hm M î l . с? + ф(/т) с ф \ a }

for every entire Dirichlet series Fis) — - « = о + it. such that a„. ^ ö and the sequence {Л«) is increasing to 4-cc, where ß(a) = s\ip{e*x ^ ü« : .г ^ О).

Âeî/ entire Dirichîer. series, maximum renn, centrai iudex. Ф-type

Статтл па.дшшла до редколегії 23..04.2002 Прийнята до друку 02.19.2003