LaserphysikPhysikalische Grundlagen des Laserlichts und seine Wechselwirkung mit MaterievonProf. Dr. Hans-Jörg Kull

Oldenbourg Verlag München

Prof. Dr. Hans-Jörg Kull promovierte 1981 an der TU München, wurde 1991 an der TU Darmstadt habilitiert und ist seit 1994 Professor an der RWTH Aachen. Er verbrachte Forschungsaufenthalte am Landau-Institut in Moskau, am Institute for Fusion Studies in Austin und am Laserzentrum CELIA in Bordeaux. Sein Arbeitsgebiet ist die Theorie und numerische Simulation der Wechselwirkung hochinten-siver ultrakurzer Laserstrahlung mit Materie.

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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. © 2010 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertungaußerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässigund strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kristin Berber-Nerlinger Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Grafik + Druck GmbH, München ISBN 978-3-486-58023-5

Vorwort

Dieses Buch gibt eine Einfuhrung in die physikalischen Grundlagen des Laserlichts undseiner Wechselwirkung mit Materie. Es entstand aus einer Reihe von Vorlesungen desAutors an der RWTH und am Fraunhofer Institut fur Lasertechnik in Aachen mitder Intention, interessierten Studierenden eine zusammenhangende und dem Kenntnis-stand nach den Grundvorlesungen des Physikstudiums entsprechende Darstellung diesesGebiets zu vermitteln. An einigen Stellen wird bewusst auf Inhalte der Theoriekursein Mechanik, Elektrodynamik und Quantenmechanik eingegangen, da die Erfahrungzeigt, dass eine Auseinandersetzung mit konkreten physikalischen Fragestellungen ausder Optik und Quantenoptik oft auch zu einem vertieften Verstandnis der Grundlagender Theoretischen Physik beitragt.

Die Auswahl der Themen aus dem umfangreichen Gebiet der Laserphysik ist notwen-digerweise mit Einschrankungen verbunden. Es wurde versucht eine an den grundsatz-lichen physikalischen Prinzipien und mathematischen Methoden orientierte Auswahlzu treffen. Auf die Darstellung unterschiedlicher Lasersysteme und deren vielfaltigerAnwendungen musste dabei weitgehend verzichtet werden. Die Beschrankung des Um-fangs soll andererseits der besseren Lesbarkeit und Zuganglichkeit des Stoffes dienen.Einzelne Kapitel sind weitgehend in sich abgeschlossen und sollten sich im Studiumauch als Grundlage fur Seminare oder Hausarbeiten eignen. Abschnitte mit allgemei-nen Grundlagen oder erganzenden Gesichtspunkten sind mit einem Stern gekennzeich-net und konnen gegebenenfalls ubersprungen werden.

Im Mittelpunkt des ersten Teils steht die klassische makroskopische Elektrodynamik furLichtwellen in einem Medium. Die Eigenschaften des Lichts im Medium werden durchdie Dielektrizitatsfunktion bestimmt. Zunachst werden homogene Medien mit einer fre-quenzabhangigen, danach inhomogene Medien mit einer ortsabhangigen Dielektrizitats-funktion behandelt. Dabei wird auch auf Methoden, wie die Fourier-Transformation, denEikonalansatz der geometrischen Optik, die Methode der Strahltransfermatrizen sowieauf Losungsmethoden fur die Wellengleichung im inhomogenen Medium eingegangen.Die charakteristischen Eigenschaften der Dielektrizitatsfunktion werden im Rahmen desklassischen Lorentz-Modells behandelt. Das Lorentz-Modell wird ausfuhrlich dargestellt,da es physikalisch anschaulich ist und oft als Vergleichsstandard fur genauere quanten-mechanische Theorien dient. Auch die Emission und Absorption von Licht kann hierin einer zur Quantenmechanik weitgehend analogen Form diskutiert werden. Als Uber-gang zur Quantenmechanik wird die relativistische Bewegung eines freien Elektrons imLaserfeld im Rahmen der klassischen Hamilton-Mechanik betrachtet.

Der zweite Teil wendet sich der semiklassischen Theorie der Wechselwirkung von Lichtmit Materie zu. Hierbei wird das elektromagnetische Feld klassisch, die Materie quanten-mechanisch beschrieben. Die semiklassische Theorie bildet die Grundlage zum Verstand-

Vorwort

nis der induzierten Emission, die das wichtigste Grundprinzip der Lichtverstarkungmit Lasern darstellt. Ausgehend von einleitenden Kapiteln zur Quantenmechanik liegtder Schwerpunkt bei der Behandlung von Atomen im Laserfeld. Die Wechselwirkungvon Licht mit Atomen wird fur verschiedene Modellsysteme, das quantenmechanischeLorentz-Modell, die zeitabhangige Storungstheorie und das optische Bloch-Modell einesZweiniveausystems dargestellt. Dabei werden sukzessive Erweiterungen der Modellie-rung erzielt. Bei der zeitabhangigen Storungstheorie wird die statische Oszillatorstarke,im Bloch-Modell die dynamische Besetzungsdifferenz, beim statistischen Ensemble dieLinienformfunktion eingefuhrt. Den Abschluss dieses Teiles bildet die Anwendung derErgebnisse zur semiklassischen Beschreibung des Einmodenlasers. Durch adiabatischeElimination werden aus den quantenmechanischen Grundgleichungen eines Zweiniveau-systems die Ratengleichungen fur die Besetzungen der Niveaus hergeleitet. Diese werdenerganzt durch Gleichungen fur die Amplitude und Phase einer Mode im Laserresonator.

Im dritten Teil werden die Grundlagen der Quantenoptik und der optischen Koharenzdargestellt. Die kanonische Quantisierung des Strahlungsfeldes wird ausgehend von derLagrange-Funktion uber die Hamilton-Funktion fur stehende und fortschreitende Wellendurchgefuhrt und die Quantenzustande des Strahlungsfeldes werden eingefuhrt. Beider Darstellung der Wechselwirkungsprozesse eines Atoms mit dem quantisierten Feldliegt der Schwerpunkt bei der Behandlung der spontanen Emission. Im Rahmen derWeisskopf-Wigner-Theorie wird der exponentielle Zerfall der Besetzung eines angeregtenNiveaus durch spontane Emission hergeleitet. Die Zerfallskonstante ist dabei der vonEinstein postulierte A-Koeffizient. Abschließend werden statistische Eigenschaften desLaserlichts und deren Charakterisierung durch Koharenzfunktionen dargestellt.

Schließlich sei erwahnt, dass in der Laserphysik gegenwartig viele interessante neueEntwicklungen stattfinden. Dazu gehoren z.B. die Laserkuhlung von Bose-Einstein-Kondensaten, die optische Frequenzmetrologie, die Entwicklung von Hochintensitats-lasern mit atomaren Feldstarken und die Erzeugung von ultrakurzen Femto- und Atto-sekundenpulsen. Die adaquate Darstellung dieser und anderer fortgeschrittener Spezial-gebiete ubersteigt aber den Rahmen dieser Einfuhrung.

Detaillierte Literaturhinweise konnten in der vorliegenden Ausgabe leider nicht mehrberucksichtigt werden. Wie bei Lehrbuchern ublich, wurde bei der Darstellung allgemeinbekannter Sachverhalte auf Quellennachweise verzichtet. Einige ausgewahlte Bucherzur Laserphysik, an denen sich dieses Buch teilweise orientiert, sind in einem kurzenLiteraturverzeichnis zusammengestellt.

An dem Zustandekommen dieses Buches sind naturlich viele Personen direkt oder indi-rekt beteiligt, die die personliche und wissenschaftliche Entwicklung des Autors gepragtoder Hilfestellungen geleistet haben. Stellvertretend erwahnt sei die langjahrige Zusam-menarbeit mit Prof. P. Mulser, welchem der Autor viele Anregungen verdankt. An dieserStelle mochte ich auch meiner Familie danken, die durch ihren steten Ruckhalt und ihrVerstandnis fur die zusatzliche Arbeitsbelastung viel zum erfolgreichen Abschluss desBuches beigetragen hat.

Mein Dank gilt außerdem allen Studentinnen, Studenten und Mitarbeitern, die durchDiskussionen, Anregungen und Korrekturen an diesem Buch mitgewirkt haben. Kor-rekturvorschlage von Simone Steinmetzer, Jens Brinkmann, Elmar Esser und AnsgarSchmidt-Bleker habe ich gerne berucksichtigt. Einige Ergebnisse aus der Diplomarbeit

VI

Vorwort

von Peer Mumcu habe ich in Abschnitt 11 ubernommen. Tatkraftige Unterstutzungerhielt ich von Thomas Pesch, der dankenswerter Weise die abschließende Durchsichtdes Manuskriptes mit großer Sorgfalt und viel eigenem Engagement ubernommen hat.

Hinweisen mochte ich schließlich auf die gute Kooperation mit den Mitarbeiterinnenund Mitarbeitern des Verlags Oldenbourg. Besonderer Dank gebuhrt hier Frau KathrinMonch, die dieses Projekt initiiert und es mit großer Geduld und viel Verstandnis uberverschiedene Phasen hinweg ausgezeichnet betreut hat. Ebenso bedanke ich mich beiFrau Kristin Berber-Nerlinger fur die sehr gute abschließende redaktionelle Zusammen-arbeit.

Aachen, Juli 2010 Hans-Jorg Kull

VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Grundprinzipien des Lasers 1

1.1 Licht im Hohlraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Atome im Laserfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Ratengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Lichtverstarkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Lichterzeugung mit Lasern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Grundgleichungen der klassischen Elektrodynamik 21

2.1 Mikroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Wellengleichung und Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Makroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Feldenergie und Feldimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Wellen im Medium 39

3.1 Dielektrizitatsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Komplexe Darstellung der Felder∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Ebene Wellen im homogenen Medium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Polarisationsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5 Wellenenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Laserpulse 57

4.1 Fourier-Transformation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Fourier-Darstellung von Laserpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

V

Inhaltsverzeichnis

4.3 Randwertprobleme∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Envelope und Chirp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5 Envelopengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6 Gauß-Pulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.7 Vorlaufer∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.8 Tunneln von Laserpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5 Lichtstrahlen und Resonatormoden 81

5.1 Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Paraxiale Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3 Laserresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4 Gauß-Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.5 Paraxiale Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6 Inhomogene Medien 107

6.1 Eben geschichtete Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2 WKB-Naherung∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3 Stokes-Gleichung∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.4 Resonanzabsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.5 Fresnel-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7 Klassisches Lorentz-Modell 145

7.1 Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.2 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.3 Anregung des ungedampften Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.4 Anregung des gedampften Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.5 Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.6 Lichtstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.7 Strahlungsdampfung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.8 Druckverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

X

Inhaltsverzeichnis

7.9 Doppler-Verbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8 Hamilton-Mechanik elektrischer Ladungen 177

8.1 Hamilton-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

8.3 Teilchenbewegung in einer elektromagnetischen Welle∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.4 Oszillation um das Schwingungszentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.5 Drift des Schwingungszentrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9 Grundlagen der Quantenmechanik 191

9.1 Grundpostulate der Quantenmechanik∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.2 Zeitentwicklung von Quantensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.3 Ortsdarstellung und Wellenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.4 Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

9.5 Schrodinger- und Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

9.6 Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.7 Ehrenfest-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

10 Semiklassische Licht-Materie-Wechselwirkung 211

10.1 Quantensysteme im klassischen Strahlungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.2 Potentiale in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.3 Impuls- und Energiesatz∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

10.4 Dipolnaherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

10.5 Volkov-Zustande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.6 Kramers-Henneberger-System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

11 Quantenmechanisches Lorentz-Modell 229

11.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11.2 Stationare Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11.3 Klassisches mikrokanonisches Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

11.4 Koharente Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

11.5 Verschiebungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

XI

Inhaltsverzeichnis

11.6 Angeregter harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

11.7 Einsteinsche Ratengleichungen des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . 248

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

12 Schwache Anregung von Atomen im Laserfeld 251

12.1 Zeitabhangige Storungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

12.2 Monochromatische Storung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

12.3 Kramers-Heisenberg Streuformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

12.4 Polarisierbarkeit und Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

12.5 Rayleigh-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

12.6 Raman-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

12.7 Ubergange im Strahlungsfeld einer Mode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

12.8 Ubergange im Strahlungsfeld mit kontinuierlichem Spektrum . . . . . . . . . . . 268

12.9 Ubergange im Strahlungsfeld mit diskretem Spektrum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 270

12.10 Einstein-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

13 Zweiniveausysteme 281

13.1 Optische Zweiniveausysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

13.2 Rabi-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

13.3 Resonanzfluoreszenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

13.4 Bloch-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

13.5 Optisches Bloch-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

14 Statistische Ensembles 305

14.1 Bloch-Gleichungen mit Dampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

14.2 Freier Induktionszerfall und Photon-Echo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

14.3 Statistischer Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

14.4 Dichtematrix-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

14.5 Populationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

14.6 Ensemble mit Phasenrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

14.7 Ensemble mit Anregungsprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

XII

Inhaltsverzeichnis

15 Semiklassische Lasertheorie 329

15.1 Quasistatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

15.2 Sattigung und Leistungsverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

15.3 Normalmodenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

15.4 Feldgleichungen des Einmodenlasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

15.5 Laserschwelle und stationare Laserstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

16 Quantisierung des freien Strahlungsfelds 345

16.1 Hamilton-Prinzip fur klassische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

16.2 Quantisierung stehender Wellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

16.3 Normalmodenentwicklung nach fortschreitenden Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . 351

16.4 Quantisierung fortschreitender Wellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

16.5 Vergleich zwischen stehenden und fortschreitenden Wellen∗ . . . . . . . . . . . . . 357

16.6 Energie und Impuls: Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

17 Quantenzustande des Strahlungsfelds 363

17.1 Fock-Zustande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

17.2 Koharente Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

17.3 Strahlung im thermischen Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

17.4 Strahlungsfeld mit klassischer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

18 Atome im quantisierten Feld 375

18.1 Hamilton-Operator der Licht-Atom-Wechselwirkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

18.2 Ubergangsraten fur Absorption und Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

18.3 A-Koeffizient der spontanen Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

18.4 Zweiniveausystem im quantisierten Einmodenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

18.5 Weisskopf-Wigner Theorie der spontanen Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

19 Optische Koharenz 391

19.1 Grundbegriffe der Statistik∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

19.2 Zeitliche Koharenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

19.3 Wiener-Khintchine-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

19.4 Raumliche Koharenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

19.5 Van Cittert-Zernike-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

XIII

Inhaltsverzeichnis

19.6 Koharenzfunktionen hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

19.7 Photonenstatistik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

XIV

Literaturverzeichnis 417

∗) Abschnitt mit vorwiegend einfuhrendem oder erganzendem Inhalt

Sachregister 419

1 Grundprinzipien des Lasers

• Normalmoden (Wellenvektor, Frequenz, Polarisation)

• Resonator (Modendichte, geschlossen, offen)

• Feldenergie, Photonen

• Absorptionsrate

• Emissionsraten (induziert, spontan)

• Ratengleichungen (Atome, Photonen)

• Verstarkung der spontanen Emission

• Laserprinzip (Besetzungsinversion, Schwellwertbedingung)

Als Einfuhrung werden einige wichtige Grundprinzipien des Lasers in anschaulicherForm vorgestellt. Detailliertere theoretische Darstellungen der einzelnen Themen erfol-gen in den nachfolgenden Kapiteln. Zunachst werden klassische und quantenmechani-sche Eigenschaften des Lichts zusammengefasst, danach wird die Wechselwirkung vonLicht mit Atomen betrachtet. Die Emissions- und Absorptionsprozesse werden durchRatengleichungen beschrieben und Kriterien fur die Lichtverstarkung durch induzierteEmission ohne und mit Resonator werden daraus abgeleitet.

1.1 Licht im HohlraumLicht ist ein elektromagnetisches Feld, das sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeitc ausbreitet. In welcher Form Licht von einer Lichtquelle abgestrahlt wird, hangt inkomplizierter Weise von den Emissionsbedingungen ab. So gibt es z.B. unterschiedlichezeitliche und raumliche Ausbreitungsformen sowie unterschiedliche Arten statistischerSchwankungen.

Um die Eigenschaften des Lichtes genauer definieren zu konnen, ist es zweckmaßig daselektromagnetische Feld zunachst als abgeschlossenes System ohne Wechselwirkung mitseiner Umgebung zu betrachten. Dazu nehmen wir an das Feld sei in einem Hohlraumeingeschlossen. Jedes so definierte Strahlungsfeld lasst sich nach sogenannten Normal-moden entwickeln, d.h. als eine Summe von elementaren Schwingungsformen darstellen.

2 1 Grundprinzipien des Lasers

Eine Normalmode ist eine monochromatische Schwingung des Feldes, die an der Ober-flache des Volumens vorgegebene Randbedingungen erfullt. Eine Analogie zu den Nor-malmoden des elektromagnetischen Feldes bilden die Schwingungen einer eingespanntenSaite. Neben der Grundschwingung treten hier harmonische Schwingungen auf, derenFrequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind.

Als Beispiel betrachten wir einen Wurfel der Kantenlange L mit periodischen Rand-bedingungen. Fur das elektrische Feld E(x) gilt also in jeder Koordinatenrichtung xi

E(xi + L) = E(xi). Die Normalmoden sind in diesem Fall ebene Wellen

E = E0 eik·x−iωt. (1.1)

mit Wellenvektor k und Kreisfrequenz ω. Aus mathematischen Grunden ist es oft vonVorteil komplexwertige Felder, wie in (1.1), zu verwenden. Die reellwertigen physikali-schen Felder werden dann durch den Realteil bzw. den Imaginarteil des komplexwertigenFeldes definiert.

Definition 1.1: Lichtperiode, Lichtfrequenz, Lichtwellenlange

Die Lichtperiode T und die Lichtfrequenz ν sind definiert durch ωT = 2π undνT = 1. Oft verwendet man auch die Beziehung ω = 2πν. Die Lichtwellenlange λwird definiert durch kλ = 2π, wobei die Wellenzahl k den Betrag vom Wellenvektork bezeichnet.

Die ebenen Lichtwellen besitzen folgende Eigenschaften. Aufgrund der periodischenRandbedingungen sind nur Wellenvektoren erlaubt, deren Komponenten die Bedingun-gen

eikiL = 1, i = 1, 2, 3, (1.2)

erfullen. Die Phasen kiL mussen also ganzzahlige Vielfache von 2π sein. Damit werdendie Wellenvektoren auf eine abzahlbare Menge eingeschrankt,

ki,ni=

2π

Lni, ni = 0,±1,±2, · · · . (1.3)

Zu jedem Wellenvektor wird die zugehorige Frequenz durch die Vakuum-Dispersions-relation

ω = ck oder c = λν (1.4)

bestimmt. Aufgrund dieser Beziehung breitet sich die Welle in Richtung des Wellenvek-tors unabhangig von ihrer Frequenz mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Die Lichtwelleist außerdem eine Transversalwelle. Da das elektrische Feld im Vakuum divergenzfreiist, muss der Feldvektor orthogonal zum Wellenvektor gewahlt werden,

k ·E = 0. (1.5)

Zu jedem Wellenvektor gibt es zwei linear unabhangige Polarisationsrichtungen fur denFeldstarkevektor E.

Da die Zahl der Moden abzahlbar ist, stellt sich die Frage nach der Zahl der Moden,die in einem bestimmten Frequenzintervall im Hohlraum auftreten konnen.

1.1 Licht im Hohlraum 3

Definition 1.2: Modendichte

Sei dN die Zahl der Moden pro Frequenzintervall dν und Volumenelement dV . Dannwird die Modendichte N (ν) definiert durch

dN = N (ν)dV dν . (1.6)

Die Modendichte kann im Grenzfall L →∞ einfach berechnet werden. Dazu betrachtenwir eine Kugelschale im k-Raum mit Radius k und Dicke dk (Abb.1.1). Wahlt mandas spezifische Volumen (2π/L)3 pro Wellenvektor sehr viel kleiner als das Volumen derKugelschale, so ergibt sich die Zahl der Moden innerhalb der Kugelschale und innerhalbdV aus dem Verhaltnis

dN = 24πk2dk

(2π/L)3dV

L3. (1.7)

Der Faktor 2 berucksichtigt die beiden unabhangigen Polarisationsrichtungen pro Wel-lenvektor. Substituiert man nun k durch 2πν/c so erhalt man die Modendichte,

N (ν) = 8πν2

c3. (1.8)

Ist das Volumen hinreichend groß, so ist die Modendichte unabhangig von der Form desVolumens und von den Randbedingungen. Die Modendichte (1.8) spielt in vielen Berei-chen der Physik eine wichtige Rolle, unter anderem beim Planckschen Strahlungsgesetzund bei der spontanen Emission von Licht.

Bei Lasern wird das diskrete Frequenzspektrum der Normalmoden genutzt um eine Mo-de einer bestimmten Frequenz zu selektieren und diese zu verstarken. In diesem Zusam-menhang wird der Hohlraum auch als Resonator bezeichnet. In einem dreidimensionalenResonator liegen die Moden allerdings so dicht, dass eine Selektion nicht aussichtsreichist. Setzt man dN = 1 in (1.6), so erhalt man fur den relativen Frequenzabstand derModen im Volumen V

∆ν

ν=

1VNν

=18π

( c

Lν

)3

=1π

(λ

2L

)3

. (1.9)

k

dk

2 /Lp

Abb. 1.1: Normalmoden eines Wurfelsmit periodischen Randbedingungen. Die k-Vektoren der Moden mit Frequenzen zwi-schen ν und ν + dν liegen in einer Kugel-schale mit dem inneren Radius k und auße-ren Radius k + dk. Fur L → ∞ wird derModenabstand 2π/L klein gegenuber derfesten Schalendicke dk.

4 1 Grundprinzipien des Lasers

Beispiel 1.3

In einem Hohlraum mit L = 1 cm Kantenlange besitzen die Moden mit der Wel-lenlange λ = 1 µm einen relativen Frequenzabstand von ∆ν/ν ≈ 4 · 10−14.

Um das Problem der hohen Modendichten zu umgehen, verwendet man beim Laseroffene Resonatoren. Sie bestehen im einfachsten Fall aus zwei planparallelen Spiegelnzwischen denen der Lichtstrahl umlauft. Alle Strahlen, die nicht parallel zur Resona-torachse verlaufen, werden nach wenigen Umlaufen aus dem Resonator austreten undbrauchen daher nicht berucksichtigt zu werden. Wir betrachten nun einen Resonatorder Lange L in z-Richtung mit ideal reflektierenden planparallelen Spiegeln bei z = 0und z = L. An den Spiegeloberflachen gelten die Randbedingungen

E(0) = E(L) = 0 . (1.10)

Die Normalmoden dieses Resonators sind stehende Wellen

E = E0 sin(kz)e−iωt, ω = ck . (1.11)

Die Wellenzahlen k und Frequenzen ν = ω/2π konnen hierbei nur die diskreten Werte

ks =π

Ls, νs =

c

2Ls, s = 1, 2, 3, · · · , (1.12)

annehmen. Die Lange 2L eines Umlaufs im Resonator ist ein ganzzahliges Vielfachesder Wellenlangen der Moden, 2L = sλs. Die Umlaufperiode T = 2L/c bestimmt dieFrequenz der Grundmode und den Frequenzabstand benachbarter Moden c/(2L).

Der Abstand zweier Moden ∆k = π/L ist bei stehenden Wellen nur halb so großwie der entsprechende Abstand ∆k = 2π/L bei fortschreitenden Wellen. Dafur ist beifortschreitenden Wellen jede Eigenfrequenz 2-fach entartet, da zu jeder Frequenz eineAusbreitung in z und -z Richtung moglich ist. Daher erhalt man in beiden Fallen eineentsprechende Anzahl der Moden.

Der relative Frequenzabstand zweier Moden einer Polarisationsrichtung ist,

∆ν

ν=

c

2Lν=

λ

2L. (1.13)

Die Lange eines optischen Resonators ist normalerweise sehr viel großer als die Licht-wellenlange. Der Vergleich von (1.9) mit (1.13) zeigt daher, dass ein dreidimensionalerResonator eine sehr viel großere Modendichte aufweist als ein eindimensionaler Resona-tor. Die geringere Modendichte des eindimensionalen Resonators erlaubt die Selektioneiniger weniger Moden, wie das folgende Beispiel zeigt.

1.1 Licht im Hohlraum 5

Beispiel 1.4

Ein He-Ne Laser hat die Wellenlange λ = 633 nm und Frequenz ν = c/λ = 4.7 · 1014

Hz. In einem Resonator mit der Lange L = 50 cm betragt der Frequenzabstand be-nachbarter Moden ∆ν = c/(2L) ≈ 300 MHz. Die Bandbreite des Verstarkungsprofilsist ∆νg ≈ 1500 MHz. Innerhalb dieser Bandbreite werden also maximal ∆νg/∆ν = 5Moden einer Polarisationsrichtung verstarkt. Die Polarisationsrichtung kann durchoptische Elemente ausgewahlt werden. Im stationaren Betrieb stellt sich diejenigeMode ein, die die hochste Verstarkung erfahrt.

Ein klassisches Strahlungsfeld kann durch die Angabe seiner Moden eindeutig festgelegtwerden. Fur jede Mode ist die Angabe der Modenzahlen fur den Wellen- und Polari-sationsvektor notwendig. Durch die Dispersionsrelation ist dann auch die Frequenz derMode festgelegt. Eine weitere unabhangige Große ist die Amplitude der Welle. Sie be-stimmt die Feldenergie. Die Feldenergie einer ebenen Welle (1.1) ist z.B.

W =V

8π|E|2 . (1.14)

Neben den Welleneigenschaften besitzt das Licht auch Teilcheneigenschaften, die sichin der Quantisierung der Energiewerte bemerkbar machen. In der Quantentheorie wirdein Quantenzustand des Strahlungsfeldes wie im klassischen Fall durch die Angabe derModenzahlen und der Energie festgelegt. Nach der Planckschen Quantenhypothese istdie Energie des Strahlungsfeldes jedoch quantisiert. Das Energiequant einer Mode istproportional zur Frequenz,

Eph = hν = ~ω, ~ =h

2π. (1.15)

Die Proportionalitatskonstante h wird als das Plancksche Wirkungsquantum bezeichnet.Das Energiequant wird einem Teilchen, dem Photon zugeordnet. Die Photonenenergiensind additiv, d.h. eine Mode, die mit n Photonen besetzt ist, besitzt die Energie

W = hν

(n +

12

). (1.16)

Der Beitrag hν/2 entspricht der Grundzustandsenergie. Sie wird haufig weggelassen,wenn es nur auf die Energiedifferenz zwischen verschiedenen Energiezustanden an-kommt.

Der Quantencharakter des Lichtes ist Gegenstand der Quantenoptik. Quantenzustande,die durch eine feste Energie und Photonenzahl definiert sind nennt man Besetzungs-zahlzustande. Im allgemeinen beobachtet man jedoch Superpositionen oder statistischeEnsemble von Besetzungszahlzustanden, die Schwankungen der Photonenzahlen zeigen.Anhand der Photonenstatistik lassen sich wichtige Unterscheidungsmerkmale zwischenklassischen und nichtklassischen Lichtzustanden sowie zwischen thermischem Licht undLaserlicht ableiten. Wahrend z.B. bei thermischem Licht die relativen Schwankungender Photonenzahl um den Mittelwert von der Großenordnung eins sind, gehen diese beiLaserlicht mit wachsender Photonenzahl gegen Null.