Міністерство освіти і науки України Державний вищий навчальний заклад

«Запорізький національний університет»

На правах рукопису

ГРАБКО ОЛЕНА ВАЛЕРІЇВНА

УДК 539.3:620.179.118

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СТАТИЧНИХ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ З УРАХУВАННЯМ ШОРСТКОСТІ

ПОВЕРХОНЬ ВЗАЄМОДІЮЧИХ ТІЛ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Науковий керівник Александров Олександр Іванович, кандидат технічних наук, доцент

Запоріжжя – 2015

2

ЗМІСТ

ВСТУП............................................................................................................... 4

РОЗДІЛ 1 ОГЛЯД ДОСЛІДЖЕНЬ В ОБЛАСТІ МЕХАНІКИ

КОНТАКТУ ПРУЖНИХ ТІЛ, ЯКІ МАЮТЬ ШОРСТКІ

ПОВЕРХНІ........................................................................................................ 9

1.1. Теоретичні дослідження у механіці контакту шорстких тіл........... 9

1.2. Аналітичні методи розв’язання задач про контакт пружних

шорстких тіл............................................................................................... 18

1.3. Чисельні методи розв’язання задач про контакт пружних

шорстких тіл……....................................................................................... 21

1.4. Висновки до розділу 1........................................................................ 25

РОЗДІЛ 2 ПОСТАНОВКА СТАТИЧНИХ ЗАДАЧ ПРО КОНТАКТНУ

ВЗАЄМОДІЮ ПРУЖНИХ ШОРСТКИХ ТІЛ............................................... 27

2.1. Граничні умови контактних задач..................................................... 27

2.1.1. Контактні задачі без урахування тертя.......................................... 34

2.1.2. Контактні задачі з урахуванням тертя........................................... 35

2.2. Врахування шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл..................... 40

2.3. Зведення контактних задач до розв’язання нелінійних

інтегральних рівнянь.................................................................................. 54

2.4. Теореми існування і єдиності розв’язку........................................... 61

2.5. Висновки до розділу 2........................................................................ 69

РОЗДІЛ 3 ЗАДАЧІ ПРО КОНТАКТ ПРУЖНИХ ШОРСТКИХ ТІЛ ПРИ

ВІДСУТНОСТІ ТЕРТЯ МІЖ НИМИ............................................................. 70

3.1. Дискретизація інтегрального рівняння контактної задачі.............. 70

3.2. Ітераційні процеси для розв’язування дискретизованого

рівняння....................................................................................................... 74

3.3. Розв’язування задачі про контакт параболічного штампу з

пружним півпростором.............................................................................. 83

3

3.4. Розв’язування задачі про вдавлювання циліндричного штампу з

плоскою основою в пружний півпростір.................................................

87

3.5. Розв’язування задачі про контакт пружних куль, які мають

шорсткі поверхні........................................................................................

92

3.6. Розв’язування задачі про стискування пружних циліндрів............ 98

3.7. Висновки до розділу 3........................................................................ 100

РОЗДІЛ 4 ЗАДАЧІ ПРО КОНТАКТ ПРУЖНИХ ШОРСТКИХ ТІЛ ПРИ

НАЯВНОСТІ ТЕРТЯ МІЖ НИМИ................................................................. 101

4.1. Дискретизація інтегральних рівнянь контактної задачі.................. 101

4.2. Ітераційні процеси для розв’язування дискретизованих рівнянь... 109

4.3. Розв’язування задачі про вдавлювання пружної кулі в шорсткий

пружний півпростір.................................................................................... 111

4.4. Розв’язування задачі про вдавлювання циліндричного штампу з

плоскою основою в пружний півпростір................................................. 116

4.5. Розв’язування задачі про вдавлювання прямокутного штампу з

плоскою основою в пружний півпростір................................................. 121

4.6. Висновки до розділу 4........................................................................ 126

ВИСНОВКИ...................................................................................................... 128

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ......................................................... 130

4

ВСТУП

Актуальність теми. В останні десятиріччя увагу науковців привертає

проблема розв’язання контактних задач теорії пружності, що зумовлено

значними потребами у якісних інженерних розрахунках взаємодіючих

елементів механічних систем. Ці розрахунки пов’язані з проектуванням

основ і фундаментів висотних будинків, дорожніх та аеродромних покрить,

розробкою деталей в машинобудуванні. Складність розв’язання контактних

задач теорії пружності значно зростає, якщо враховується шорсткість

поверхонь взаємодіючих тіл та спричинене нею тертя. Можна констатувати,

що на даний час існує дуже мало загальних ефективних методів визначення

контактних напружень і зон контакту для таких задач. Це дає підставу

вважати, що обрана тема дисертації, яка присвячена розробці ефективних

способів розв’язання задач теорії пружності про контакт шорстких тіл, є

актуальною.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційне дослідження проведено на кафедрі математичного аналізу

Державного вищого навчального закладу «Запорізький національний

університет» Міністерства освіти і науки України у рамках науково-дослідної

роботи за держбюджетною темою «Дослідження напружено-деформованого

стану істотно багатошарових пружних основ з дефектами в шарах»

(№ державної реєстрації 0109У002520), яка фінансувалась Міністерством

освіти і науки України.

Мета і задачі дослідження. Розробити алгоритм розв’язання

статичних задач про контактну взаємодію пружних шорстких тіл і

застосувати його для з'ясування того, як урахування шорсткості впливає на

розподіл контактних напружень зазначених задач. При цьому задачі, які

розглядаються, мають усі найбільш складні елементи граничних умов, а саме

невизначеність і неканонічність зони контакту, зон зчеплення і

5

проковзування, використання закону тертя Кулона в найбільш загальній

формі.

Об'єкт дослідження – напружено-деформований стан пружних

шорстких тіл, які перебувають в умовах контактної взаємодії.

Предмет дослідження – нормальні та дотичні контактні напруження,

розміри та форма площинок контакту, зон зчеплення і проковзування.

Методи дослідження. В дисертації застосовувались:

метод межових нелінійних інтегральних рівнянь з використанням

лінійних операторів впливу поверхневих навантажень на поверхневі

зміщення тіл;

метод граничних елементів;

методи наближеного обчислення інтегралів;

ітераційні методи розв’язання систем скалярних рівнянь з багатьма

невідомими;

методи нелінійного функціонального аналізу та теорії нерухомих

точок операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна

одержаних в дисертаційному дослідженні результатів полягає в наступному:

граничні умови статичних контактних задач теорії пружності з

врахуванням шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл представлено у формі

рівностей;

отримано нелінійні інтегральні рівняння для задач контактної

взаємодії пружних шорстких тіл у припущенні, що оператори впливу

поверхневих навантажень на поверхневі переміщення мають інтегральний

вигляд;

доведено теореми існування розв’язків для деяких типів статичних

контактних задач, в яких закон зминання мікронерівностей, що утворюють

шорсткість, враховувався в найбільш загальному вигляді;

запропоновано збіжні ітераційні процеси, що дозволяють за

допомогою комп’ютера достовірно визначати невідомі заздалегідь границі

6

розділу крайових умов (граничний контур поверхні контакту, границю

розділу зон проковзування та зчеплення) та контактні напруження для

статичних контактних задач теорії пружності;

вперше розв’язана статична задача про контакт пружних шорстких

тіл з урахуванням тертя і зім’яття та зсуву поверхневих мікровиступів тіл з

використанням нелінійних законів деформування мікровиступів як в

нормальному, так і у дотичному напрямках.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений у

дисертації алгоритм можна застосовувати для визначення напружено-

деформованого стану тіл, поверхні яких є шорсткими, тобто для здійснення

розрахунків на міцність реальних шорстких тіл. Отримані результати,

зокрема, розподіл напружень на контактній поверхні взаємодіючих тіл,

можуть бути використані для розрахунків на міцність деталей машин та

взаємодіючих елементів механічних конструкцій.

Особистий внесок здобувача.

Запропоновано спосіб врахування деформації поверхневих

мікронерівностей тіл в нормальному і дотичному напрямках.

Отримано систему нелінійних інтегральних рівнянь, до якої

зводиться задача про контакт пружних шорстких тіл з врахуванням тертя при

заздалегідь невідомій площинці контакту.

Доведено існування і єдиність розв’язку для вище зазначених задач.

Отримано чисельні розв’язки різних задач про контакт шорстких тіл

без врахування тертя. Для задачі про контакт пружних шорстких куль

знайдені умови, при виконанні яких впливом шорсткості на контактні

напруження можна знехтувати.

Отримано чисельні розв’язки різних задач про контакт шорстких тіл

з врахуванням тертя при наявності зім’яття і зсуву поверхневих

мікронерівностей.

Основні результати дисертаційної роботи містяться у 15 публікаціях

[1-15]. Значна кількість опублікованих робіт виконана у співавторстві з

7

науковим керівником, доцентом О.І. Александровим [1-3, 6, 8-10, 12-13, 15].

У цих роботах автору дисертації належить обґрунтування та реалізація

пропонованих підходів, розробка алгоритмів та програм їх чисельної

реалізації, чисельні розрахунки, а керівникові – пропозиція ідей алгоритмів,

участь у аналізі отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації.

Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися та

обговорювалися на: VIІІ Всеукраїнській науковій конференції молодих

дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики»

(м. Запоріжжя, 2010 р.); VI Міжнародній науковій конференції «Актуальні

проблеми механіки деформівного твердого тіла» (сел. Мелекіно, м. Донецьк,

2010 р.); Міжнародному молодіжному форумі «Ломоносов – 2011»

(м. Москва, 2011 р.); ІІ Всеукраїнській, ІХ регіональній науковій конференції

молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та інформатики»

(м. Запоріжжя, 2011 р.); XVII Міжнародній конференції з обчислювальної

механіки та прикладних програмних систем (м. Алушта, 2011 р.); II

Міжнародній конференції молодих вчених «Інженерна механіка та

транспорт» (м. Львів, 2011 р.); ІІІ Всеукраїнській, Х регіональній науковій

конференції молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та

інформатики» (м. Запоріжжя, 2012 р.); IV Міжнародній науково-технічній

конференції «Актуальні проблеми прикладної механіки та міцності

конструкцій» (м. Запоріжжя, 2012 р.).

Дисертація в цілому розглядалася на науковому семінарі відділу

математичних проблем контактної механіки Інституту прикладних проблем

механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом

д.ф.-м.н., с.н.с. Р.М. Мартиняка (м. Львів, 2015 р.); на науковому семінарі

«Актуальні проблеми механіки деформівних тіл і конструкцій»

Дніпропетровського національного університету ім. Олеся Гончара при

Придніпровському центрі та науковій раді з механіки деформівного твердого

тіла НАН України під керівництвом д.т.н., професора А.П. Дзюби

8

(м. Дніпропетровськ, 2015 р.); на науковому семінарі «Актуальні проблеми

прикладної математики і механіки» Запорізького національного університету

під керівництвом д.т.н., професора В.З. Грищака (м. Запоріжжя, 2015 р.).

Публікації. Основні результати за темою дисертації викладено у 15

опублікованих роботах, серед яких 5 статей у наукових журналах і збірниках,

що входять до переліків фахових видань, затверджених МОН України [1, 3,

5-7], 1 стаття в іноземному журналі з наукометричних баз РІНЦ та Google

Scholar [8], 2 статті у наукових виданнях [2, 4], 7 тез доповідей у збірниках

праць наукових конференцій [9-15].

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі

вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (190

джерел на 21 сторінці), 20 рисунків, 2 таблиць. Повний обсяг дисертації

становить 150 сторінок.

9

РОЗДІЛ 1

ОГЛЯД ДОСЛІДЖЕНЬ В ОБЛАСТІ МЕХАНІКИ КОНТАКТУ

ПРУЖНИХ ТІЛ, ЯКІ МАЮТЬ ШОРСТКІ ПОВЕРХНІ

В даному розділі представлено огляд досліджень у механіці контакту

пружних тіл. Розглянуто роботи як з врахуванням деформації

мікронерівностей шорсткості, так і без такого врахування. Описано

постановки контактних задач без врахування тертя, з врахуванням тертя при

повному проковзуванні та з врахуванням тертя в найбільш загальному

вигляді. Представлено основні підходи до доведення існування та єдиності

розв’язку контактних задач. Описано аналітичні та чисельні методи, які

найчастіше використовують для розв’язування задач про контакт пружних

шорстких тіл.

1.1. Теоретичні дослідження у механіці контакту шорстких тіл

Контактні задачі, або задачі визначення напружено-деформованого

стану взаємодіючих твердих тіл являють собою один з найбільш складних

розділів механіки деформівного твердого тіла. Вперше контактна задача була

поставлена та розв’язана Генріхом Герцом наприкінці XIX сторіччя.

Великий внесок у розвиток теорії контактних задач, а також в розробку

точних і наближених аналітичних методів їх розв’язання внесли Л.О. Галін

[16-18], І.Я. Штаєрман [19], М.І. Мусхелішвілі [20], В.І. Моссаковський

[21-26], І.І. Ворович [27-29], В.М. Сеймов [30], М.О. Кильчевський [31],

В.Л. Рвачев [32], Г.Я. Попов [33], В.М. Александров [28, 29, 34-41],

К. Джонсон [42-44], J.J. Kalker [45-47], С.М. Мхитарян [37, 48], І.Г. Горячева

[49-51] та інші дослідники [17, 29, 52, 53].

10

Великий внесок у розвиток контактних задач зробили українські

дослідники. В.Д. Кубенко [54-59] досліджує методики аналізу і управління

нестаціонарними процесами деформування тіл. О.М. Гузь, В.Б. Рудницький

[60-63] вивчають контактну взаємодію пружних тіл з початковими

напруженнями. В.І. Острик, А.Ф. Улітко [64-68] розв’язують контактні

задачі методом Вінера-Хопфа. А.К. Приварников [69-71] займається

дослідженням контактних задач для багатошарових основ. Р.М. Мартиняк

[72-75] вивчає контактну поведінку тіл з локальними геометричними

неузгодженостями поверхонь і приповерхневими неоднорідностями.

В.І. Пожуєв, Т.А. Зайцева [76-78] вивчають контактні задачі для некругових

штампів. В.І. Кузьменко, Г.Й. Михальчук [79-81] досліджують напружений

стан тіла в контактних задачах руху. О.І. Александров [82, 83] займається

розв’язуванням контактних задач з використанням нелінійних інтегральних

рівнянь.

Контактні задачі в класичній постановці базуються на припущенні, що

поверхня взаємодіючих тіл є ідеально гладкою. Але в реальній природі таких

тіл не існує. Тому з практичної точки зору доцільно при дослідженні

процесів контактування тіл враховувати шорсткість їхніх поверхонь. Дійсно,

шорсткість поверхні твердих тіл впливає на характер їхньої контактної

взаємодії. Шорстка поверхня – це поверхня, що має мікронерівності, які в

процесі взаємодії частково або повністю зминаються. Тому абсолютні

значення переміщень поверхонь взаємодіючих тіл при врахуванні шорсткості

виявляються більшими, ніж ті їх значення, які дає класична теорія

контактних задач.

Спроба врахувати шорсткість поверхонь тіл в постановці контактних

задач вперше була зроблена І.Я. Штаєрманом [19] в 1949 році. Розвиток

досліджень у цьому напрямку проводився Г.Я. Поповим [33], І.Г. Горячевою

[49-51], М.М. Добичіним [50, 53], В.М. Александровим [28-29, 35, 37, 41],

І.В. Крагельським [84-85], К. Джонсоном [42-44], Н.Б. Демкіним [86],

О.С. Кравчуком [87-90], С.М. Мхитаряном, А.Л. Шекяном, Л.А. Шекяном

11

[48], H. Chyanbin, C.W. Fan [91] та іншими дослідниками. Багато робіт

вітчизняних та іноземних механіків присвячені створенню математичних

моделей контактної взаємодії шорстких тіл, а також комп’ютерному

моделюванню поведінки контактуючих шорстких поверхонь [53, 92-101].

У абсолютній більшості досліджень врахування шорсткості поверхонь

взаємодіючих тіл здійснюється за рахунок введення доданків у вирази

відносних зміщень протилежних поверхневих точок тіл і подальшому

використанні уточнених таким чином відносних зміщень для формулювання

граничних умов контактної задачі. Ці доданки задають зім’яття та зсув

мікровиступів тіл, що утворюють шорсткість. Доданки, які враховують

зім’яття мікронерівностей в нормальному напрямку мають вигляд степеневої

або експоненціальної функції від контактного тиску [19, 37, 41, 42, 49-51, 84,

102-106] (але при розв’язуванні контактних задач у більшості випадків

використовується степенева функція [37, 41, 42, 49-51, 84, 102-106]).

Доданки, які враховують зсув мікронерівностей в дотичному напрямку є

складними нелінійними функціями від контактного тиску та дотичної

складової розподіленого контактного навантаження. Вигляд цих функцій,

який запропоновано Н.Б. Демкіним [86] (для контакту тіл з однакового

матеріалу) та К. Джонсоном [42] (для контакту тіл з різних матеріалів) було

отримано на основі сферичної моделі мікровиступів за допомогою

аналітичного розв’язку Р.Д. Міндліна [107] задачі про контакт кулі з

півпростором. Використання несферичних мікровиступів [108] ускладнює

вирази доданків, враховуючих зсув мікронерівностей.

Слід зазначити, що у більшості досліджень контакту пружних тіл [43,

50-51, 84-85, 103, 109-112] зсув мікронерівностей враховувався за допомогою

лінійних виразів [43, 103, 110-111] або не враховувався зовсім [50-51, 84-85,

109, 112]. Це означає, що у більшості випадків врахування шорсткості

взаємодіючих тіл здійснювалося лише за рахунок наявності зім’яття

мікронерівностей тіл при нехтуванні зсуву цих мікронерівностей.

12

Із розвитком ідей та методів варіаційного числення і нелінійного

функціонального аналізу виявилося можливим отримати результати, які

стосуються проблеми існування розв’язків різних контактних задач теорії

пружності [41, 48, 89, 103, 113-121]. Врахування шорсткості тіл в контактних

задачах сприяло отриманню багатьох нових результатів у цьому напрямку.

Взагалі, врахування деформації мікронерівностей поверхонь тіл іноді

спрощує процес доведення існування та єдиності розв’язку контактних задач,

адже наявність доданку, який враховує деформацію мікронерівностей, іноді

взагалі робить контактну задачу коректно поставленою.

Питання існування і єдиності розв’язку задач про контакт шорстких тіл

без врахування тертя розглядалось в роботах [2, 48, 89, 113, 122].

Н.М. Д’яченко, Є.В. Шашкова та К.В. Шашков [113] довели існування і

єдиність розв’язку задач за допомогою принципу стискаючих відображень.

Ці дослідники всі можливі значення коефіцієнтів шорсткості розбивали на

«великі» та «малі» і розглядали проблему існування розв’язку контактної

задачі окремо для кожного випадку. Принцип стискаючих відображень також

використовували С.М. Мхитарян, А.Л. Шекян та Л.А. Шекян [48].

Б.А. Галанов [122] при доведенні існування і єдиності розв’язку задачі

використовував монотонність нелінійного інтегрального оператора, який

міститься у правій частині рівняння контактної задачі. О.С. Кравчук

розглядав проблему існування розв’язку контактної задачі, використовуючи

варіаційну постановку цієї задачі [89]. У роботі [2] для доведення існування

розв’язку контактної задачі було використано теорему Шаудера [123].

Якщо при контакті тіл враховується тертя, виникають додаткові умови,

які значно ускладнюють доведення існування і єдиності розв’язку задачі.

Згідно з законом тертя Кулона кожна точка контактної поверхні має бути в

одному з двох станів. Перший стан – зчеплення, для якого немає жодного

відносного руху і модуль дотичного навантаження є меншим, ніж p , де

– коефіцієнт тертя і p – нормальний тиск [114]. В зоні зчеплення модулі сил

тертя обмежені граничними величинами дотичних навантажень, які

13

визначаються контактним тиском. І другий стан – проковзування, слідством

якого є відносний рух і дотичне навантаження, модуль якого дорівнює p ,

протилежне миттєвому напряму ковзання [115]. В цій моделі тертя [116]

контактні навантаження залежать від стрибка тангенціальної швидкості.

Детальний аналіз інших некулонових законів тертя для розрахунку великих

деформацій знаходиться в роботі [117].

Питанням існування та єдиності розв’язку контактної задачі про

взаємодію пружних шорстких тіл за наявності тертя між ними присвячені

роботи [2, 41, 103, 109, 118-120]. Для закону Кулона у класичній формі

проблема існування розв’язку контактної задачі була вирішена за допомогою

принципу Шаудера [2, 41], принципу стискаючих відображень [109],

варіаційному методу [103]. У роботах [118-120] для доведення існування та

єдиності розв’язку контактної задачі були зроблені спроби модифікувати

закон тертя Кулона.

Потреби практичного використання теорії контактних задач для

проведення інженерних розрахунків сприяли розвитку методів розв’язання

цих задач, який почався задовго до того, як було поставлено перші проблеми

існування розв’язків. Багато в чому ці проблеми покривалися завдяки

відомим (отриманим у межах класичної теорії пружності) точним та

наближеним аналітичним розв’язкам контактних задач [16, 19, 21-22, 107],

які було підтверджено багаточисельними експериментальними

дослідженнями.

Основи механіки контактної взаємодії було закладено Г. Герцем у

1881 р. Розглядаючи задачу про два параболоїда, що стикаються один з

одним [124], він отримав формули, які описують форму площадки контакту

та розподіл контактних тисків. З моменту опублікування Г. Герцем своїх

результатів розвиток аналітичних методів розв’язання контактних задач у

постановці, відмінної від герцевської, припинився приблизно на 60 років.

Протягом цього періоду зусилля механіків були спрямовані головним чином

на експериментальну перевірку теорії Герца та на її застосування в

14

інженерній справі (праці А.Н. Динника [125], Н.М. Беляєва [126-127] та ін.).

Новий етап у математичному розвитку проблеми почався в 40-х – 60-х роках

минулого сторіччя головним чином завдяки роботам І.Я. Штаєрмана [19] та

Л.О. Галіна [18], які перші запропонували враховувати мікрогеометрію

поверхонь взаємодіючих тіл. Але до цього часу шорсткість поверхонь

взаємодіючих тіл у постановках контактних задач ще не враховувалась.

Отримані аналітичні розв’язки контактних задач без врахування

шорсткості дозволили для багатьох важливих для практичного використання

випадків визначити розміри і форму контактної плями, розташування і форму

зон проковзування і зчеплення, характер розподілу тисків і напружень не

тільки для статичних задач [16, 107, 128], але і для задач про стаціонарне

кочення тіл [22, 42-43, 129]. Отримати подібні аналітичні розв’язки для тих

же контактних задач при врахуванні шорсткості взаємодіючих тіл до

теперішнього часу, нажаль, не вдалося (лише В.М Александровим [35-36,

130] побудовано розв’язок задачі про контакт параболічного штампа з

пружним півпростором без врахування тертя в замкненій формі для одного

спрощеного варіанту вхідних параметрів задачі). Причиною тому служить те,

що методи, які використовуються для розв’язання контактних задач без

врахування шорсткості важко поширити на випадок врахування шорсткості,

оскільки в постановці задачі додається ще одна нелінійність, пов’язана з

урахуванням деформації поверхневих мікронерівностей, які утворюють

шорсткість. Тому очевидно, що для отримання розв’язку контактних задач,

ускладнених врахуванням шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл, доцільно

використовувати чисельні методи.

У роботах Л.А. Галiна [18], І.Г. Горячевої [49] наведено чисельні

розв’язки плоских та осесиметричних контактних задач з врахуванням

шорсткості і за відсутності тертя. При чому шорсткість поверхонь

взаємодіючих тіл було враховано за допомогою степеневого закону. Згідно з

отриманими розв’язками задач про вдавлювання параболоїдного штампу в

пружний півпростір, для більш шорстких поверхонь збільшується радіус

15

площинки контакту і зменшується тиск у її центрі. Для задачі з плоским

штампом встановлено, що при зростанні навантажень на штамп поглиблення

штампа збільшуються, причому тиск у всіх точках площадки контакту є

обмеженим, на відміну від випадку гладкого півпростору, де існує

особливість на границі (окрім того, тиск у центрі площинки контакту

більший, ніж для випадку гладкого півпростору).

О.С. Кравчук [88] отримав чисельний розв’язок задачі про взаємодію

циліндричної труби та вкладеного в неї суцільного циліндра, на який діє сила

перпендикулярно до вісі цього циліндра без врахування тертя. В цій задачі

шорсткість поверхонь взаємодіючих тіл враховувалась за допомогою

степеневого закону. Було встановлено, що за наявності шорсткості площинка

контакту збільшується в порівнянні з випадком відсутності шорсткості, а

контактні напруження зменшуються.

В.М. Александровим та Д.А. Пожарським [41] отримано чисельний

розв’язок просторової задачі про контакт параболічного штампу з пружним

півпростором з врахуванням тертя при повному проковзуванні. При цьому

шорсткість поверхні враховувалась лише в нормальному напрямку за

допомогою степеневого закону. Встановлено, що при одному і тому ж

значенні стискаючої сили поглиблення штампу більше для менш

відшліфованої поверхні, та зі зростанням поглиблення стискаюча сила також

зростає.

V. Pauk [111] отримав чисельний розв’язок контактної задачі про

вдавлювання плоского штампу з прямокутною основою в пружний

півпростір з врахуванням тертя у вигляді, запропонованому в [107]. В

постановці задачі також було прийнято припущення, що тертя не впливає на

розподіл нормальних напружень. Шорсткість поверхні півпростору

враховувалась в нормальному і дотичному напрямках за допомогою

лінійного закону. Виявлено, що при зменшенні коефіцієнта тертя

зменшуються дотичні навантаження і зона зчеплення.

16

Н.М. Д’яченко, Є.В. Шашкова [109] отримали чисельний розв’язок

задачі про контакт параболоїдного штампа з пружним півпростором при

врахуванні тертя за допомогою закону Кулона в найбільш загальному

вигляді. В постановці задачі було прийнято, що тертя не впливає на розподіл

нормальних напружень. Причому шорсткість поверхні півпростору

враховувалась лише в нормальному напрямку за допомогою лінійного

закону. Виявлено, що найбільші значення дотичних напружень досягаються в

точках, які лежать на границі області зчеплення, а найбільше значення

нормального тиску досягається в центрі площинки контакту. Встановлено

також, що зменшення коефіцієнта шорсткості призводить до зменшення

осадки штампа і відносного зсуву, зменшення розмірів областей

проковзування і зчеплення, збільшення найбільшого нормального тиску,

збільшення найбільшого дотичного напруження і значення дотичного

напруження в центрі площинки контакту. Зі зменшенням значення

тангенціальної сили збільшується розмір області зчеплення при незмінному

розмірі площинки контакту, збільшується осадка штампа, зменшується

відносне зміщення. При цьому функція нормального тиску не змінюється, а

функція дотичних напружень у всіх точках області зчеплення зменшує свої

значення. Крім того, при нульовій тангенціальній силі область зчеплення

займає всю площинку контакту, а функція дотичних напружень є нульовою.

В цій роботі показано, що при збільшенні коефіцієнта тертя збільшується

розмір області зчеплення при незмінному розмірі площинки контакту,

причому осадка штампа залишається незмінною, а відносне зміщення

зменшується, розподіл нормальних тисків не змінюється, а розподіл

дотичних напружень змінюється за рахунок зменшення значень цих

напружень в центрі площинки контакту.

Н.М. Д’яченко, Н.І.-В. Манько, Є.В. Шашкова [131] отримали

чисельний розв’язок задачі про контакт квадратного в плані штампа з

пружним півпростором при врахуванні тертя за допомогою закону Кулона в

найбільш загальному вигляді. В постановці задачі також було прийнято, що

17

тертя не впливає на розподіл нормальних напружень. В цій роботі шорсткість

поверхні півпростору враховувалась лише в нормальному напрямку за

допомогою лінійного закону. Виявлено, що зі збільшенням коефіцієнта

шорсткості розміри площинки контакту і зони зчеплення зменшуються та

виникає стабілізація форм площинки контакту та зон зчеплення і

проковзування. Встановлено, що зменшення коефіцієнту тертя призводить до

того, що розмір площинки контакту, функція тиску, осадка і кут повороту

штампа залишаються незмінними, в той час як область зчеплення

збільшується, при чому дотичне напруження зменшується. Також показано,

що зменшення тангенціальної сили призводить до збільшення осадки

штампа, зменшення кута його нахилу, збільшення розмірів його площинки

контакту та зони зчеплення, зменшення зони проковзування, при цьому

максимальні тиски і дотичні напруження зменшуються.

V. Pauk, B.W. Zastrau [110] отримали чисельні розв’язки контактних

задач про вдавлювання плоского штампу з круглою основою та

параболічного штампу в пружний півпростір з врахуванням тертя Кулона. В

постановці задачі було прийнято, що тертя не впливає на розподіл

нормальних напружень. При цьому шорсткість поверхні півпростору

враховувалась в нормальному і дотичному напрямках за допомогою

лінійного закону. У випадку параболічного штампу виявлено, що при

наявності шорсткості зона контакту і зона зчеплення збільшуються, а дотичні

напруження зменшуються в порівнянні з класичним випадком. Проте,

загальна поведінка розв’язків схожа на класичну. Однак у випадку плоского

штампу спостерігається зміна розподілу контактних напружень. На думку

авторів роботи [110] класичне формулювання не дозволяє отримати

розв’язок в умовах часткового проковзування для плоского штампу, однак

запропоноване формулювання забезпечує часткове проковзування для деяких

значень параметрів шорсткості і тангенціального навантаження.

Відмітимо, що у вище згаданих роботах [18, 41, 49-51, 88, 109-111, 131]

для отримання розв’язків контактних задач використовувались чисельні

18

методи. Таким чином, використання саме чисельних методів дозволяє

отримувати розв’язки для багатьох контактних задач з врахуванням

шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл у складній нелінійній постановці та

встановлювати різні механічні ефекти, які мають місце при контактуванні

шорстких тіл.

Виконаний аналіз теоретичних досліджень у механіці контакту

шорстких тіл свідчить про те, що в переважній більшості випадків задачі про

контакт шорстких тіл розв’язуються або без врахування тертя, або при дуже

спрощених варіантах його врахування. В той же час шорсткість є

першопричиною тертя і для поглибленого вивчення процесів контакту

шорстких пружних тіл доцільно враховувати тертя між ними, спираючись на

закон Амонтона-Кулона без будь-яких його спрощень.

1.2. Аналітичні методи розв’язання задач про контакт пружних

шорстких тіл

Застосування аналітичних методів для розв’язання контактних задач

пов’язано зі значними математичними труднощами. Тому робіт, в яких ці

методи застосовуються для знаходження розв’язку контактних задач у

складній нелінійній постановці порівняно небагато. Серед ефективних

методів розв’язання контактних задач теорії пружності без врахування

шорсткості можна виділити наступні. Метод, побудований на основі

використання теорії функцій комплексної змінної, був запропонований

С.О. Чаплигіним [132] для плоскої задачі про вдавлювання циліндра в

пружний півпростір. Згодом аналітичні методи з використанням теорії

функцій комплексної змінної були також запропоновані в монографіях

Л.О. Галіна [16] та М.І. Мусхелішвілі [20]. Метод ортогональних многочленів

бере свій початок з роботи П.І. Клубіна [133], в якій були використані

19

многочлени Чебишева і Лежандра. За допомогою конформних відображень

М.Л. Садовський [134] отримав розв’язок деяких плоских задач для штампів

з плоскою основою за відсутності тертя. Згодом цим же методом

В.І. Моссаковський, А.Г. Біскуп [26] розв’язали задачу про вдавлювання

плоского штампа з тертям і зчепленням під дією центрально прикладеної

сили. Асимптотичний метод вперше запропонований І.І. Воровичем,

Ю.А. Устиновим [27] для осесиметричної задачі без врахування тертя і далі

розвинутий для задач з тертям в роботах В.М. Александрова [34, 36, 40] та в

роботах В.І. Моссаковського, Н.Е. Качаловської, С.С. Голикової, А.Г. Біскуп,

Л.В. Моссаковської [24, 25]. Ю.А. Антипов, Н.Х. Арутюнян [135] побудували

розв’язок задачі для плоского штампа при наявності зон зчеплення і

проковзування, використовуючи підхід, запропонований В.М. Абрамовим

[136] і заснований на зведенні задачі за допомогою перетворення Мелліна до

векторної задачі Рімана.

Деякі з вище вказаних методів були застосовані для отримання

розв’язків задач про взаємодію тіл з шорсткими поверхнями [35, 48, 91,

137-138]. Завдяки проникненню в трибологію аналітичних методів опису

почались систематичні дослідження, які істотно розвинули галузь

некласичних контактних задач теорії пружності. Найбільша заслуга в цьому

належить І.В. Крагельському [84-85], який запропонував стержневу модель

мікровиступів шорсткості та досліджував вплив параметрів шорсткості на

контактні характеристики задач, зокрема на розміри площинки контакту та

зближення тіл.

Переважна більшість робіт, в яких використовуються аналітичні

методи розв’язання контактних задач про взаємодію пружних шорстких тіл,

присвячена дослідженню взаємодії тіл при відсутності тертя [35, 48, 137-139].

Одним з таких ефективних методів є метод теорії аналітичних функцій і

конформного відображення, згідно з яким шукані функції знаходяться у

вигляді степеневих рядів, коефіцієнти яких визначаються шляхом

розв’язання сукупності деяких нескінченних систем лінійних алгебраїчних

20

рівнянь. Цей метод був використаний в роботі Р.К. Калбієва [137] для

отримання аналітичного розв’язку просторової контактної задачі. На відміну

від цього методу С.М. Мхитарян, А.Л. Шекян та Л.А. Шекян [48] проводять

пошук аналітичного розв’язку статичної осесиметричної задачі за допомогою

теорії нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна із застосуванням

математичного апарату ортогональних многочленів Лежандра.

В.М. Александров, І.І. Кудиш [35] розвинули асимптотичний метод, який у

ряді випадків дозволяє отримати наближені аналітичні розв’язки задач з

невідомою площинкою контакту. С.О. Калоєровим, С.Ф. Шишкановою і

Н.М. Д’яченко [138] методом малого параметра була розв’язана задача про

вдавлювання штампу близького до круга, в пружний шорсткий півпростір.

При цьому в якості малого параметра прийнята величина, що характеризує

відхилення границі площадки контакту від круга. В роботі [139]

Д.А. Індейцевим, В.Н. Наумовим і Є.І. Проскуратовою методом перетворення

Лапласа отримано аналітичний розв’язок плоскої задачі теорії пружності для

шорсткої півплощини. За допомогою анізотропної теорії пружності і методу

аналітичного продовження для комплексних функцій H. Chyanbin та

C.W. Fan отримали аналітичні розв’язки плоских задач про вдавлювання

штампа в пружний півпростір, як без врахування тертя так і при повному

зчепленні [91].

Як свідчать перелічені вище роботи, аналітичні розв’язки задач про

контакт пружних шорстких тіл отримані лише для невеликої кількості

випадків. Причини цього полягають у складності форми поверхні контакту,

нелінійності законів тертя та у непередбачуваності конфігурації зон

зчеплення і проковзування (навіть для контактуючих тіл простої форми).

21

1.3. Чисельні методи розв’язання задач про контакт пружних

шорстких тіл

З розвитком обчислювальної техніки, починаючи з кінця 60-х років

минулого сторіччя, пов’язана поява великої кількості публікацій, автори яких

використовували чисельні методи для наближеного розв’язку контактних

задач теорії пружності. Відомі чисельні методи розв’язання контактних задач

теорії пружності, як з урахуванням шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл,

так і без цього урахування, можна умовно розділити на дві групи: варіаційні

та неваріаційні.

Варіаційні методи засновані на варіаційних принципах механіки,

включаючи формулювання цих принципів у формі варіаційних нерівностей

[47, 86, 102, 112, 140-152]. Основи варіаційного методу були закладені

Signorini [140], який в 1933 році розглянув випадок одностороннього

контакту пружного тіла з абсолютно твердою і гладкою опорою. В

подальшому задачу Signorini дослідив G. Fichera [141], який довів існування

розв’язку і вивчив питання багатозначності розв’язків. Контакті задачі з

граничними умовами, які враховують тертя, у варіаційній постановці вперше

були досліджені Г. Дюво, Ж.-Л. Лионс [142]. Застосуванню варіаційного

підходу до розв’язання контактних задач також присвячені роботи J.J. Kalker

[46], О.С. Кравчука [87, 143-144], А.А. Спектора [145], А.В. Вовкушевського

[146-147], П. Панагіотопулоса [148], та інших [149-152]. Деякі з цих

механіків продовжили свої дослідження в області контактних задач з тертям

при врахуванні шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл. Це насамперед

J.J. Kalker, F.M. Dekking, E.A.H. Vollebregt [47], О.С. Кравчук,

П. Нейттаанмяки [90], А.В. Вовкушевский [103] та Л.А. Розін [112].

Чисельні методи розв’язування контактних задач, які можна віднести

до варіаційних, використовують варіаційну постановку задачі і полягають у

розв’язанні дискретних аналогів задач шляхом мінімізації функцій багатьох

22

змінних з урахуванням обмежень відповідно до граничних умов задачі.

Математичний апарат для реалізації цих чисельних методів пов’язаний з

використанням різних алгоритмів мінімізації функцій багатьох змінних на

опуклих замкнених множинах скінченновимірного евклідового простору.

В основі неваріаційних методів лежить класична постановка контактної

задачі у вигляді системи обмежень у формі рівностей та нерівностей, що

описують умови контактної взаємодії тіл. Розв’язання задачі в цьому випадку

зводиться до пошуку таких розподілів нормальної та дотичної складової

контактного навантаження, які задовольняють усім обмеженням системи, що

розглядається [5-6, 8, 15, 18, 35, 41, 88, 104-105, 109, 118, 122, 153-171].

Таким чином, неваріаційні чисельні методи розв’язання контактних задач

полягають у дискретизації системи обмежень цих задач та у знаходженні

розподілу контактного навантаження, який визначається скінченною

кількістю невідомих параметрів.

Значну частину робіт, у яких використано неваріаційні чисельні

методи, присвячено розв’язанню статичних контактних задач без урахування

тертя з невідомою поверхнею контакту [18, 49, 113, 122, 168-172].

Різноманітність використаних алгоритмів свідчить про те, що багато

досліджень проводилося незалежно одне від одного. Деякі з цих методів

пройшли перевірку часом і з успіхом використовуються дотепер. Це перш за

все метод послідовних наближень, на основі якого будували свої алгоритми

Л.О. Галін [18], І.Г. Горячева [49], Б.А. Галанов [122] та Л.І. Турняк [168] для

розв’язання плоских і осесиметричних задач при невідомих площинках

контакту. Ефективний ітераційний метод запропонований у роботах

[169-171] А.С. Рабиновичем для плоских і осесиметричних задач з круговою

площинкою контакту. Високою ефективністю відзначається також алгоритм,

запропонований С.Ф. Шишкановою [173], що базується на методі чисельного

інтегрування і методі простих ітерацій, який було використано

С.І. Гоменюком, Н.М. Д’яченко, Є.В. Шашковою та К.В. Шашковим для

розв’язання задач про втискування штампу в шорсткий півпростір [105, 113].

23

В роботах [5-6, 8, 15, 41, 104, 109, 88, 153-158, 165] запропоновано

неваріаційні чисельні алгоритми розв’язання різних типів контактних задач з

урахуванням шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл та тертя Кулона.

Авторами цих робіт розв’язано задачі різного ступеня складності. Результати,

отримані ними, є доброю демонстрацією можливостей чисельного аналізу,

який може виявитися незамінним засобом у ситуаціях, коли застосовувати

аналітичні методи вкрай важко. Для розв’язування статичних контактних

задач з використанням закону тертя Кулона в найбільш загальному вигляді

найчастіше використовується метод послідовних наближень, який у своїх

роботах застосовували V. Pauk, B.W. Zastrau [110-111] для розв’язання

статичних задач про вдавлювання штампу в пружний шорсткий півпростір.

Н.М. Д’яченко, Є.В. Шашкова [109, 131] використовували алгоритм, який

був запропонований С.Ф. Шишкановою [173] та заснований на розкладенні

невідомого розподілу контактного навантаження за функціями Лежандра і

подальшому використанні метода послідовних наближень. Причому в

роботах [109-111, 131] вважалось, що тертя не впливає на розподіл

нормальних напружень. При умові повного проковзування квазістатичні

осесиметричні контактні задачі були досліджені В.М. Александровим,

Д.А. Пожарським [41] та Н.М. Д’яченко, Є.В. Шашковою [156-157] за

допомогою методу послідовних наближень. Також за умови повного

проковзування була розв’язана просторова контактна задача [113] з

використанням методів чисельного інтегрування і простих ітерацій.

Використовуючи метод розкладу шуканих функцій в ряд за функціями

Лежандра А.Є. Алексєєв [121] розв’язав просторову контактну задачу, в якій

окрім закону Кулона досліджуються і інші варіанти законів тертя, у тому

числі лінійні однопараметричні і нелінійні двопараметричні.

Серед неваріаційних методів розв’язання контактних задач окремої

уваги заслуговує група методів, характерною особливістю якої є те, що

систему співвідношень, які описують умови взаємодії пружних тіл у

класичній постановці задачі, зведено до еквівалентних нелінійних

24

інтегральних рівнянь відносно невідомих розподілів нормальної та дотичних

складових контактного навантаження [174, 122, 80, 175-177, 18, 35, 39, 41, 49,

51, 105, 109-111, 113, 120, 156-157, 168-171, 5-6, 8, 15]. Вигляд цих рівнянь не

залежить від конфігурації зон розділу крайових умов задачі і для складання

таких рівнянь необхідно лише вказати ділянки поверхонь взаємодіючих тіл,

які після прикладення зовнішнього навантаження будуть містити в собі

невідому заздалегідь поверхню контакту. Шляхом дискретизації цих

нелінійних інтегральних рівнянь контактна задача зводиться до

розв’язування системи нелінійних скалярних рівнянь з багатьма невідомими,

причому розв’язок цієї системи можна отримати за допомогою ітераційних

методів.

Використання нелінійних інтегральних рівнянь для опису контактної

взаємодії пружних тіл дозволяє позбавитися основної труднощі реалізації

варіаційних методів, яка полягає в розв’язанні задач нелінійного

програмування. Нелінійні рівняння такого типу вперше були використані в

роботах [112, 174-176] для розв’язання контактних задач без урахування

шорсткості, причому в роботі [112] було описано також дискретний варіант

рівнянь. Найбільш повно ці рівняння описані та вивчені в роботах

Б.А. Галанова [122, 174], але лише для тих задач контактної взаємодії

шорстких тіл, в яких не враховувалося тертя. В роботах [49, 105, 113] також

використовувались лінійні рівняння контактних задач без врахування тертя

при наявності шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл. В роботах

[41, 156-157] використано нелінійне рівняння контактної задачі з

урахуванням кулонового тертя та шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл,

однак це рівняння було отримане за спрощених граничних умов, які

відповідають повному проковзуванню тіл. А в роботах [109-111, 131] закон

Кулона використовувався в найбільш загальному вигляді, але вважалось, що

тертя не впливає на розподіл нормальних напружень та зона зчеплення має

кругову форму. Що стосується контактних задач, у яких одночасно закон

Кулона враховується в найбільш загальному вигляді, зони зчеплення та

25

проковзування мають непередбачувану конфігурацію та розподіл тисків

неможливо знайти незалежно від дотичних контактних напружень, то

нелінійні рівняння для їхнього розв’язання були вперше запропоновані

О.І. Александровим та використані ним для розв’язування багатьох

контактних задач [82, 83, 176-179]. Перевага цих рівнянь полягає у тому, що

їхній вигляд не залежить від конфігурації контактної поверхні та зон

зчеплення і проковзування, а також у можливості застосовувати збіжні

ітераційні процеси для розв’язання дискретного аналогу цих рівнянь.

Здійснивши невелику модифікацію цих рівнянь, їх можна використовувати

для розв’язування контактних задач з врахуванням шорсткості поверхонь

взаємодіючих тіл при наявності кулонового тертя між ними [5-6, 8, 15] зі

збереженням усіх вказаних вище переваг.

1.4. Висновки до розділу 1

Аналіз досліджень у механіці контакту пружних шорстких тіл, який

здійснено у цьому розділі, дозволяє зробити наступні висновки:

– аналітичні розв’язки контактних задач з врахуванням шорсткості

поверхонь взаємодіючих тіл отримані лише для дуже малої кількості

випадків;

– для всебічного і поглибленого дослідження процесів контактної

взаємодії шорстких пружних тіл необхідно застосовувати та розвивати

чисельні методи розв’язування контактних задач;

– більшість відомих чисельних методів розв’язання задач про контакт

пружних шорстких тіл заснована на варіаційній постановці цих задач і тому

не може задіяти сучасні досягнення нелінійного аналізу в таких його

розділах, як теорія операторів, наближені методи розв’язання операторних

рівнянь, теорія нерухомих точок неперервних відображень;

26

– в переважній більшості випадків задачі про контакт шорстких тіл

розглядаються без врахування тертя або при дуже спрощеному його

врахуванні, хоча шорсткість поверхонь тіл є першопричиною тертя між

ними;

– більшість досліджень контакту шорстких тіл виконана з урахуванням

лише зім’яття поверхневих мікронерівностей тіл при відсутності зсуву цих

мікронерівностей.

27

РОЗДІЛ 2

ПОСТАНОВКА СТАТИЧНИХ ЗАДАЧ ПРО КОНТАКТНУ

ВЗАЄМОДІЮ ПРУЖНИХ ШОРСТКИХ ТІЛ

В даному розділі наведено постановки статичних задач про контакт

пружних шорстких тіл у вигляді систем рівностей та нерівностей відносно

невідомих розподілів контактних напружень на поверхні можливого дотику.

Доведено теореми про еквівалентність цих систем різним нелінійним

інтегральним рівнянням. Запропоновано спосіб врахування шорсткості

поверхонь взаємодіючих тіл. Доведені теореми існування і єдиності розв’язку

для зазначених контактних задач. Ідея доведення цих теорем полягає у

використанні принципів нерухомої точки для нелінійних операторних

рівнянь, які описують контактну взаємодію тіл.

Основні результати цього розділу опубліковані в роботах [2, 9, 10, 12].

2.1. Граничні умови контактних задач

Наведемо постановки статичних контактних задач про взаємодію

пружних шорстких тіл в припущенні, що для контактуючих тіл відомі

оператори впливу поверхневого навантаження на пружні поверхневі

переміщення. Будемо вважати, що для взаємодіючих тіл виконані наступні

умови:

1) тіла виготовлені з лінійно-пружного і ізотропного матеріалу;

2) пружні переміщення точок взаємодіючих тіл є малими в порівнянні з

розмірами поверхні контакту;

28

3) геометрична поверхня кожного з тіл така, що будь-яка точка цієї

поверхні, що лежить в зоні можливого контакту, є регулярною [178] (в цій

точці існує єдина дотична площина до поверхні);

4) додаткові відносні пружні зміщення поверхонь взаємодіючих тіл,

обумовлені наявністю шорсткості, залежать лише від контактного

навантаження в цій точці.

Відзначимо, що перша умова не виключає випадку, в якому одне з

взаємодіючих тіл є абсолютно жорстким, а інше – пружним. Друга умова

дозволяє виключити з розгляду геометрично нелінійну постановку

контактної задачі та вважати, що оператори впливу для системи

взаємодіючих тіл не змінюються при зміні конфігурації цих тіл у процесі

навантажування. Третя умова дозволяє розкласти контактне навантаження,

що передається від одного тіла до другого, на нормальну та дотичну

складові. Четверта умова сприяє врахуванню шорсткості поверхонь

взаємодіючих тіл за рахунок внесення у відносні поверхневі зміщення тіл

доданків, що залежать від контактного навантаження і відповідають зім’яттю

та зсуву мікронерівностей, утворюючих шорсткість.

Розглянемо просторову статичну контактну задачу про взаємодію двох

пружних шорстких тіл, кожне з яких на деякій частині своєї поверхні

зчеплене з жорсткою опорою (рис. 2.1). Спочатку торкаючись в точці, тіла

входять в контакт в результаті того, що опора другого тіла здійснює

прямолінійне переміщення (без обертання та в одному напрямку) в деякій

зовнішній прямокутній декартовій системі координат xyz , в той же час опора

першого тіла залишається нерухомою. Після здійсненого переміщення тіла

входять в рівновагу. Граничні умови задачі будемо задавати на спільній для

тіл дотичній площині , що проходить через точку їхнього початкового

дотику. На площині виділимо обмежену замкнену область

, яка містить

у собі невідому заздалегідь «плоску» поверхню контакту тіл. Для кожної

точки s області визначимо пару точок і , що лежать на перетині

прямої лінії, яка проходить через

1s 2s

s перпендикулярно до площини , з

29

поверхнями першого і другого тіла відповідно. Нехтуючи відносним

тангенціальним зміщенням точок і при їхньому зближенні, будемо

вважати, що точка може увійти до контакту лише з точкою .

1s

zy

2s

1s 2s

Для опису контактної взаємодії тіл введемо нерухому прямокутну

декартову систему координат x , початок якої співпадає з точкою

початкового дотику тіл, а вісь z є ортогональною до площини і

спрямована всередину другого тіла (рис. 2.1). Вважатимемо, що в

позначеннях різних величин (координат, переміщень, навантажень) осі z

відповідатиме індекс 1, осі x – індекс 2, осі y – індекс 3.

Припустимо, що у момент початкового дотику тіл положення точок і

в просторі визначається координатами

1s

2s su1~ , su2

~ , su3 ~ і su1 , su2 ,

відповідно. Після стискання тіл ці точки займуть нове положення, яке

визначається координатами

su3

sv1~ , sv2

~ , sv3~ для і , , 1s v s1 sv2 sv3 для

. Величини 2s usui~ , і si si

~v , sv пов'язані співвідношеннями i

s

s

i

i

,3,2,1,

,~~

wsus

wsus

i

i

~

v

v

i

i

i (2.1)

в яких sw1~ , sw2 ~ , sw3

~ і sw1 , sw2 , s3w є переміщення точок і

відповідно в напрямку осей

1s 2s

z , x , y .

Оскільки співвідношення (2.1) виконуються для кожної точки s

області , то величини, що входять до них, можна вважати функціями, що

визначені в цій області.

Переміщення і swi~ swi для 3,2,1i можна визначити зі

співвідношень

30

,,,

,,,

,,,

,~~,,~~

,~~,,~~

,~~,,~~

3

1

*3312323

3

1

*2213222

3

1

*1132111

3

1312323

3

1213222

3

1132111

jsjj

jsjj

jsjj

jsjj

jsjj

jsjj

spBspspspgsw

spBspspspgsw

spBspspspgsw

pBspspspgsw

pBspspspgsw

pBspspspgsw

(2.2)

в яких функції , , sp1~ sp2

~ sp3~ і sp1 , sp2 , sp3

ij

представляють собою

розподіли нормальних і дотичних складових контактного навантаження, що

діє на перше і друге тіло відповідно; і ijB B~

( 3,1, i j ) є лінійними

операторами впливу поверхневих навантажень на поверхневі переміщення

першого і другого тіл відповідно; доданки spspspg 3211 ,,~ ,

, spspg 322 ,,~ sp1 s1psp2 ,sp3 ,g~2 і spspspg 3211 ,, ,

spspg 322 ,, , sp1 s, ps 12 ,psp3g2 задають зім'яття і зсув

поверхневих мікронерівностей першого і другого тіла відповідно і

враховують шорсткість; функції s*1 , s*

2 , s*3 представляють собою

розподіли нормальної і дотичних складових переміщень точок другого

тіла в припущенні, що це тіло, як жорстке, здійснює переміщення

2s

.

Оскільки вектори контактного навантаження, що діє в точках і на

перше і друге тіло відповідно, мають рівні модулі і протилежні напрями, то

для всіх

1s 2s

s виконуються рівності

31

Рисунок 2.1 – Схема контакту тіл

z

Тіло 2

Тіло 1

y

x

)(1 sp)(3 sp

)(2 sp

)(

~2 sp

)(~3 sp

)(~1 sp

s

1s

z y

x Опора 0

2s

Опора

32

3,2,1,~ ispsp ii . (2.3)

Визначаючи тепер різниці svsv ii~ для 3,2,1i з урахуванням

співвідношень (2.1), (2.2), (2.3), а також очевидних рівностей

0~~3322 susususu , отримаємо вирази

,

,,,~

,,,~

,,,~

3

1

*33123233

3

1

*22132222

3

1

*101321111

s

spAspspspfsvsv

spAspspspfsvsv

sspAspspspfsvsv

jsjj

jsjj

jsjj

(2.4)

в яких величина susus 110~ представляє собою початковий зазор між

тілами в напрямку осі z , а лінійні оператори впливу (ijA 3,1, ji )

визначаються із співвідношень:

3,2,1,;~ jiBBA ijijij . (2.5)

Функції spspspf 3211 ,, , spspspf 1322 ,, ,

задаються співвідношеннями spspspf 1232 ,,

.

,,,~,,,,

,,,~,,,,

,,,~,,,,

123212321232

132213221322

321132113211

s

spspspgspspspgspspspf

spspspgspspspgspspspf

spspspgspspspgspspspf

33

Співвідношення (2.4) дозволяють в простій формі записати умови контактної

взаємодії тіл [82, 181]. Проте використання цих співвідношень є доцільним

лише в тих випадках, коли оператори (ijA 3,1, ji ) задано в явному

вигляді. Відзначимо, що при апроксимації взаємодіючих тіл пружними

півпросторами 0z і 0z (див. рис. 2.1) оператори (ijA 3,1, ji )

можуть бути визначені у відповідності з розв’язками Буссінеска та Черутті

[182] і формулами (2.5) з наступних співвідношень:

,3,1,,,,

jissdspssKpA jijSjij (2.6)

.11

,2

211

2

211

,11

,

,,

,,,,,,

,,

,,

,,,,,

,,,,

2

22

1

113

2

22

1

112

2

22

1

21

1

22

3

231

33

23321331

3

323

3

231

22

12212

213

22

121

11

EEc

EEc

EEc

ssssss

ss

ssc

ss

cssK

ssKssKssKssKss

sssscssK

ss

ssc

ss

cssK

ssKssKss

sscssK

ss

sscssK

ss

cssK

yyxx

yy

yyxx

xx

yy

xx

(2.7)

У співвідношеннях (2.7) додатні параметри , і 1E 2E 1 , являють собою

модулі Юнга і коефіцієнти Пуассона для першого і другого тіл відповідно, а

2

34

xs , і , xs ys ys – абсциси и ординати точок s і s відповідно в системі

координат zyx .

Визначаючи функції s1 , s2 , s3 таким чином, що

, ss *22 , s*

3 s s s*1 s01 3 , запишемо

співвідношення (2.4) у вигляді:

3

2

1

s

v

v

v

.

s

s

,,,~

,,,~

,,,~

3312323

2213222

3

1132111

sAspspspfsv

sAspspspfsv

sspspspfsvs

jsj

jsj

jsj

3

1

3

1

1

A

p

p

p

j

j

j

(2.8)

У виразах (2.8) функції s1 , s2 , s3 містять у собі інформацію про

конфігурацію взаємодіючих тіл в зоні їхнього контакту та про умови

навантажування тіл.

2.1.1. Контактні задачі без урахування тертя. Сформулюємо

спочатку умови контактної взаємодії тіл при відсутності тертя. Ці умови

можуть бути виражені наступними співвідношеннями [181]:

.0

,0~

,0

,0~

32

111

1

11

sspsp

ssvsvsp

ssp

ssvsv

(2.9)

Перше зі співвідношень (2.9) виражає відсутність взаємного проникнення тіл

одне в одного. Друге співвідношення означає, що нормальний контактний

тиск не може бути розтягуючим. Третє співвідношення означає відсутність

35

контактного тиску за межами зони контакту. І, нарешті, четверте зі

співвідношень (2.9) виражає відсутність тертя між тілами.

Враховуючи рівності (2.8), а також четверте із співвідношень системи

(2.9), можна перші три співвідношення цієї системи записати в наступному

вигляді:

.,00,0,

,0

,00,0,

1111111

1

111111

sspAspfsp

sp

spAspf

s

s

(2.10)

Таким чином, контактну задачу про взаємодію пружних тіл без

урахування тертя зведено до знаходження невідомої функції sp1 , яка

визначена в області і задовольняє в кожній точці цієї області системі

співвідношень (2.10). Після знаходження невідомого контактного тиску

можна визначити поверхню контакту sp1 |0 s

00,0, 111111 spAs spf , а також прикладені до першого тіла сили

і моменти, дія яких призвела до появи цього тиску на поверхні . 0

2.1.2. Контактні задачі з урахуванням тертя. Врахування тертя в

контактних задачах призводить до появи дотичної складової контактного

навантаження, яке діє в точках області . При цьому точки і (див. рис.

2.1) після вступу їх в контакт можуть здійснювати відносні дотичні

зміщення, що визначаються із співвідношень (2.8). Позначимо через

1s 2s

svT

вектор відносного дотичного зміщення точок і , та через 1s 2s spT

2s

вектор

дотичної складової контактного навантаження, яке діє в точці . Тоді

spspspT 32 , , svsvsvsvT 322 v3s ~,~ . Невідому область

контакту можна розділити на зону зчеплення 0 C і зону проковзування

, які визначаються із співвідношень П

36

.0|

,0|

0

0

svs

svs

TП

TC (2.11)

У загальному випадку зони C і П заздалегідь невідомі.

В якості закону, що пов’язує вектор-функції svT і spT , зазвичай

приймається закон тертя Кулона, який може бути виражено наступними

співвідношеннями [181]:

.,то,0

,,

1

1

ssv

svspspsv

sspsp

T

TTT

T

якщо (2.12)

У співвідношеннях (2.12) додатна константа представляє собою коефіцієнт

тертя, а вектор-функція svT є швидкістю відносного дотичного

проковзування точок і . Для статичних контактних задач [183] у

співвідношеннях (2.12) швидкість відносного проковзування

1s 2s

svT можна

замінити відносним проковзуванням svT . В цьому випадку закон тертя

Кулона буде формулюватися так:

.,то,0

,,

1

1

ssv

svspspsv

sspsp

T

TTT

T

якщо (2.13)

Перше із співвідношень (2.13) означає, що в кожній точці зони

можливого контакту тіл модуль дотичного контактного навантаження не

перевищує добутку коефіцієнта тертя на значення контактного тиску в цій

точці. Зміст другої з умов (2.13) полягає у тому, що для всіх таких точок s

зони можливого контакту тіл, в яких модуль відносного проковзування тіл

37

відрізняється від нуля, має місце рівність spspT 1 , причому вектори

spT і svT мають протилежні напрямки.

Другу з умов в системі (2.13) можна замінити еквівалентною

векторною рівністю і записати цю систему в еквівалентній формі:

,,

,,

1

1

ssvspspsv

sspsp

TTT

T

де символом позначено нульовий двовимірний вектор.

Для формулювання розглядуваної контактної задачі з урахуванням

кулонового тертя визначимо оператори , , , аргументами яких є

функції , , , наступними співвідношеннями:

1F 2F 3F

sp1 sp2 sp3

.,,,,,

,,,,,

,,,,,

3

13312323213

3

12213223212

3

11132113211

sspAspspspfpppF

spAspspspfpppF

spAspspspfpppF

jsjjs

jsjjs

jsjjs

(2.14)

Тоді для вектор-функції svT буде виконаною рівність

sT pppFpppFsv 32133212 ,,,,, , (2.15)

яка дозволяє не використовувати цю функцію явно при постановці задачі.

Розглянемо спочатку загальний випадок статичної контактної задачі

про взаємодію тіл з урахуванням кулонового тертя, в якому невідома функція

38

sp1 не може бути знайдена незалежно від визначення функцій sp2 і

. Умови контакту в цьому випадку такі [181]: sp3

.,

,

,0~

,0

,0~

1

123

22

111

1

11

ssvspspsv

spspsp

svsvsp

sp

svsv

TTT

(2.16)

Перші три співвідношення системи (2.16) мають той же зміст, що і при

розгляді контактної задачі без урахування тертя. Останні два співвідношення

цієї системи виражають закон тертя Кулона (2.13).

Використовуючи співвідношення (2.8), (2.14) та (2.15) можна систему

(2.16) записати в наступному вигляді:

.

,0,,

,,,,

,0,,

,,,,

,

,0,,,0,0,,

32131

3212

33212

23

32121

3212

33212

22

123

22

3211113211

s

pppFsp

pppFpppFsp

pppFsp

pppFpppFsp

spspsp

pppFspsppppF

s

ss

s

ss

ss

(2.17)

Контактна задача у загальному випадку зводиться до знаходження

невідомих функцій , sp1 sp2 , sp3 , визначених в області і

задовольняючих в кожній точці цієї області системі співвідношень (2.17).

39

При цьому оператори та функції ijA si ( 3,1, ji ), що входять до

співвідношень (2.17), вважаються відомими.

Розглянемо тепер окремо випадок, при якому лінійні оператори ,

, , , що входять у вираз (2.14), є нульовими. Цей випадок має місце,

наприклад, при апроксимації взаємодіючих тіл пружними півпросторами, для

яких константа у виразах (2.7) дорівнює нулю. Рівність

12A

0

13A 21A 31A

2c 2 c є

справедливою при виконанні одного з наступних співвідношень між

пружними сталими взаємодіючих тіл:

1) ; 2121 , EE

2) 2

1,0

12

1

E

;

3) 2

1,0

11

2

E

;

4) 2

121 .

Рівність 0 перевіряється безпосередньо підстановкою цих

співвідношень у вираз для , наведений в (2.7).

2 c

2c

Якщо тепер припустити, що вираз spsps 32 ,,pf 11 не містить у

собі , , а залежить лише від sp2 sp3 sp1 , то у даному окремому випадку

невідому функцію може бути визначено незалежно від і sp1 s2p sp3 із

розв’язку наступної системи рівностей та нерівностей:

,0

1 s

.,01111

1

111111

spAsfsp

sp

spAspf

s

s

,0

11 p

Це випливає безпосередньо зі співвідношень (2.17) в силу того, що перші три

з них не залежать від sp2 і sp3 . Невідомі ж функції і sp2 sp3

визначаються із системи співвідношень

40

,

,0,~

,~

,~

,0,~

,~

,~

,

3231322

3322

23

3221322

3322

22

123

22

s

ppFspppFppFsp

ppFspppFppFsp

spspsp

sss

sss

(2.18)

в яких функція вважається відомою та оператори sp1 2~F , 3

~F визначаються

рівностями:

spApAspspspfppF sss 23232221322322 ,,,~ ,

spApAspspspfppF sss 33332321232323 ,,,~ .

Таким чином, контактна задача у окремому випадку, що розглядається,

зводиться до знаходження невідомих функцій sp2 , , які визначені в

області

sp3

і задовольняють в кожній точці цієї області системі співвідношень

(2.18). При цьому оператори ( 3ijA ,2, ji ) і функції , , sp1 s2 s3 , що

входять у дані співвідношення, вважаються відомими.

2.2. Врахування шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл

Наведемо деякі закони залежності зім’яття та зсуву поверхневих

мікронерівностей тіл від нормального навантаження P та дотичного

навантаження T .

Із розв’язку класичної задачі контакту двох еліпсоїдів за Г. Герцем

А.Н. Динник [125] та Н.М. Беляєв [126, 127] отримали, що зближення тіл

виражається формулою

41

3/122

1 4

95,0

PKInf ,

де – сума головних кривизн тіл; K

2221

21 11 EEI ;

2121 ,,, EE – коефіцієнти Пуассона і модулі Юнга взаємодіючих тіл;

n – коефіцієнт, що залежить від навантаження контактуючих поверхонь і

їх взаємного розташування.

Зокрема, для зближення параболоїдного штампа з пружним

півпростором справедливо

1

21*

3/2*

11

,8

32

Ek

kPf

.

Для зближення двох шорстких тіл А.П. Соколовським [184] отримана

формула

mpCf 1 ,

в якій p – тиск, , стала 5.03.0 m C для стальних зразків дорівнює 804 ,

для чавунних – . 13010

І.В. Крагельський [84, 85] моделював шорсткі поверхні набором

стрижнів, що пружно деформуються і мають лінійний закон розподілу висот.

Він отримав, що зближення задовольняє формулі

3/1

211

6

kq

f c ,

42

в якій через позначено контурний тиск, через cq21

21

KK

KKk

– коефіцієнт

жорсткості, )(r

EKi

i212

, через r – радіус плями контакту, через 21, –

тангенси гладкості взаємодіючих тіл [84, 85].

Також І.В. Крагельський наводить дослідження щодо вдавлювання і

зім’яття системи циліндричних та сферичних штампів у пружний півпростір.

У кожному випадку одержана степенева залежність зім’яття від тиску. Одна з

формул, отримана ним, має вигляд

12

2

12

1

max4max1

**

E

P

H

rKHf ,

12

2

*2

2

4

*)1(75,0

bKK .

Тут r – радіус сфери, що моделює мікровиступ, – максимальна висота

мікровиступу,

maxH

2* ,, Kb – коефіцієнти, що характеризують шорсткість

поверхні, які можна знайти в таблицях [84].

І.Т. Гусєв [106] провів розрахунок пружного деформування в контакті,

моделюючи шорсткість поверхні набором мікростовпчиків прямокутної

форми. Він отримав такі вирази для зближення двох шорстких поверхонь і

шорсткої поверхні з гладкою:

3max1 27.1EA

PHf

a

, 3max1 794.0EA

PHf

a

,

де – максимальна висота нерівностей; maxH

aA – номінальна площа;

43

– коефіцієнт, що враховує вплив макрогеометрії і понижену міцність

поверхневих шарів.

Н.Б. Демкін [86] провів аналіз поверхонь, які моделюються клинами,

пірамідами, стрижнями, конусами, сферами і еліпсоїдами. Експериментально

перевірялась відповідність встановленої закономірності незалежності розміру

плями контакту від прикладеного навантаження. Найбільш задовільними

моделями виявились стрижнева, клинова, сферична і еліпсоїдна. Моделі у

вигляді пірамід і конусів виявилися найменш придатними. Виступи у вигляді

клина, піраміди і конуса деформуються пластично, тому що в початковий

момент напруження на контакті нескінченно велике, а між тим поверхні з

високими класами шорсткості контактують пружно.

Таким чином, найбільш придатними є моделі у вигляді стрижнів, сфер і

еліпсоїдів. Найкращі результати дає сферична модель виступів і еліпсоїдна.

Сферична модель має перевагу, яка полягає в тому, що контактні задачі

деформації сфер краще розроблені, і сфера є частковим випадком еліпсоїда.

Це спрощує розрахункові формули [108].

Сферична модель в якості розрахункової використана Н.Б. Демкіним

для розрахунку всіх параметрів контакту шорстких і хвилястих поверхонь. В

роботі [86] Н.Б. Демкін запропонував враховувати деформацію мікросфер в

дотичному напрямку, використовуючи формулу, виведену Р.Д. Міндліном в

задачі про контакт кулі та півпростору [107]:

3

2

00 11

8

23~P

TP

GsT

,

де G – модуль зсуву;

– коефіцієнт Пуассона взаємодіючих тіл;

– коефіцієнт тертя;

0 – радіус площинки контакту на мікросфері.

44

К. Джонсон в роботі [44] отримав вираз для знаходження наближеного

дотичного зміщення мікросфери для випадку тіл, які мають різні модулі

зсуву та коефіцієнти Пуассона:

3

2

2

2

1

1

00 11

22

16

3~P

T

GG

PsT

.

Розглянуті вище закони деформування мікровиступів тіл можна

використати для отримання виразів доданків spspspf 3211 ,, ,

spspspf 1322 ,, , spspspf 1232 ,, , які містяться в (2.4) і задають

зім’яття та зсув мікровиступів тіл. Для отримання виразів цих доданків

зробимо деякі припущення.

Будемо вважати, що функції zyxf ,,1 , zyxf ,,2 задовольняють

наступним співвідношенням [6, 9, 12, 15, 41, 103]:

.0,,,

,,0:,,,,,

,

,lim,lim

,,

,

,,,,,

2

223222

1

11

121211121

11

311

zRzDDCzf

zyxzRzyxzyxfxzyxf

RCxf

xfxf

Rxxxfxfxx

Rxxfxf

Rzyxxfzyxf

xx

(2.19)

Умови (2.19) означають, що функція zyxf ,,1 залежить лише від x , є

неперервною, строго зростаючою, непарною та необмеженою відносно x на

всій дійсній числовій прямій R , а функція zf , , яка міститься у виразі

45

zyxf ,,2

є визначеною та неперервною на замкненій множині

zR 02zD , двовимірного евклідового простору 2R .

Ці припущення щодо функцій zyxf ,,1 , гарантують

виконання наступних закономірностей, яким підпорядковуються діючі в

точках можливої плями контакту нормальні і дотичні складові зовнішнього

навантаження і викликані дією цього навантаження зім’яття і зсуви

мікровиступів поверхонь взаємодіючих тіл [10, 12].

yxf ,,2 z

Вкажемо ці закономірності:

1) зім’яття мікровиступу не залежить від прикладеного до нього

дотичного контактного навантаження;

2) зім’яття мікровиступу дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли

прикладене до нього нормальне контактне навантаження дорівнює нулю;

3) напрям зім’яття мікровиступу співпадає з напрямом прикладеного

до нього нормального контактного навантаження;

4) при зростанні нормального контактного навантаження, діючого на

мікровиступ, зім’яття мікровиступу також зростає;

5) зім’яття мікровиступу неперервно залежить від нормального

контактного навантаження, діючого на цей мікровиступ;

6) при необмеженому зростанні нормального контактного

навантаження, діючого на мікровиступ, зім’яття цього мікровиступу також

необмежено зростає;

7) вектор зсуву мікровиступу неперервно залежить від вектору

дотичного контактного навантаження, діючого на цей мікровиступ;

8) напрямок вектору зсуву мікровиступу співпадає з напрямком

дотичного контактного навантаження, діючого на цей мікровиступ.

Виведемо конкретні вирази функцій xf1 , zyxf ,,2 , вважаючи, що

мікровиступи мають форму напівкулі (рис. 2.2).

46

Рисунок 2.2 – Схема контакту мікровиступів

Введемо позначення: – висота мікронерівностей, P – нормальна

сила, яка діє на виступи, 0s1p – тиск в точці , 0s 01 ~s – зім’яття

мікровиступів в точці . Тоді 0s 201p

P

s , і шукана залежність матиме

вигляд:

01101 ~

spfs .

Згідно теорії Герца жорстке зближення сферичних тіл має вигляд [185]:

3

2

2

22

1

212

0111

8255.0 ~

EE

lPs

3

2

013

2

2

22

1

212

118255.0 sp

EEl

.

У цьому виразі і – модулі Юнга взаємодіючих тіл, 1E 2E 1 і 2 – їхні

коефіцієнти Пуассона, і параметр l дорівнює 1, якщо лише одне з тіл є

шорстким, та l дорівнює , якщо обидва тіла є шорсткими. Отриману

рівність можна записати у вигляді

2

47

3

2

011 ~

sps ,

з якого випливає наступна рівність для xf1 :

,03

2

1 xxxf , (2.20)

де 3

2

2

22

1

212 11

8255.0

EEl

.

Якщо мікровиступи мають більш складну, а не сферичну форму, то

вираз матиме вигляд [19]: xf1

,01 xxxf K , 10 K ,

де значення показника K відповідає модифікованій формі мікровиступу.

Для отримання виразу функції zyxf ,,2 припустимо, що EEE 21 і

21 . Введемо позначення: – коефіцієнт тертя Кулона, 12

EG –

модуль зсуву тіл, 0 – радіус площинки контакту на мікросфері, yx TTT ,

– дотична сила, яка діє на взаємодіючі виступи, 03020~

,~~

ss sT –

відносне жорстке зміщення взаємодіючих мікровиступів в дотичному

напрямку, 03020 , spspspT

0s

– вектор-функція питомого дотичного

навантаження у точці , 0s2p , 03 sp – дотичні складові питомого

контактного навантаження вздовж осей x і в точці . Тоді y 0s 201

Psp ,

48

202

xTsp ,

203 yT

sp і відносне жорстке дотичне зміщення

взаємодіючих сферичних мікровиступів має вигляд [86]:

3

2

00 11

8

23~P

TP

GsT

, (2.21)

де вектори T і 0 ~

sT мають однакові напрямки [107].

Підставляючи 0 , яке згідно з розв’язком Герца [185] має вигляд

3

2

0

129086.0

ElP

, (2.22)

у співвідношення (2.21) отримаємо рівність

3

2

3

2

00 11~

P

TPsT

, (2.23)

де

3 2

3

0

12

9086.08

23

l

RG

E.

Оскільки вектори 0~

sT і 0spT мають однакові напрямки, то з

рівності (2.23) випливають співвідношення:

49

.11~

,11~

3

2

3

2

0

03003

3

2

3

2

0

02002

P

TP

sp

sps

P

TP

sp

sps

T

T

Здійснюючи у цих рівностях остаточний перехід від сил P , T до питомих

контактних навантажень 01 sp , 02 sp , 03 sp , отримаємо наступні

співвідношення:

.

11

~

,

11

~

3

2

01

0

3

2

01

0

3

1

0

033

223

1

003

3

2

01

0

3

2

01

0

3

1

0

023

223

1

002

sp

sp

sp

sp

sp

sps

sp

sp

sp

sp

sp

sps

T

T

T

T

T

T

Ці співвідношення можна записати з використанням функції : zyxf ,,2

,,,~

,,,~

010203203

010302202

spspspfs

spspspfs

(2.24)

і потім отримати вираз функції zyxf ,,2 у вигляді

50

,,0,,,,

,0якщо

,

11

,0якщо,0

,,

223

22

3

222

3

222

6

122

22

2

zyxzRzyxDzyx

zyx

zyx

zyx

yx

x

yx

zyxf

(2.25)

де 32

23

1

0 R .

Зазначимо, що при використанні дотичного закону (2.25) нормальний

закон врахування шорсткості необхідно вибирати згідно сферичної моделі

мікровиступів, а саме у вигляді (2.20). Для з’ясування виразів (2.20) і (2.25)

встановимо зв'язок між параметрами і , що входять до цих виразів:

1

249997.0 3. (2.26)

У загальному випадку, коли взаємодіючі тіла виготовлені із різних

матеріалів, можна також отримати вираз функції zyxf ,,2 . Для цього можна

скористатися наближеною рівністю [44]

3

2

2

2

1

1

00 11

22

16

3~P

T

GG

PsT

, (2.27)

51

яка характеризує контакт двох пружно-асиметричних куль за наявністю

кулонового тертя між ними. У цій рівності 1

11 12

EG , 2

22 12

EG , і всі

інші величини мають той же сенс, що і для рівності (2.21).

Якщо знайти 0 згідно з розв’язком Герца [185]

3

2

22

1

21

011

9086.0

EElP

(2.28)

і потім підставити це 0 у (2.27), то можна отримати рівність

3

2

3

2*

0 11~

0 P

TPsT

, (2.29)

у якій

3

2

22

1

21

2

2

1

1

*

119086.016

223

0

EEl

GG

.

Враховуючи очевидні рівності

420

23

420

22

22 spspTTT yx

02

0230

22

2 spspsp T ,

а також однаковість напрямків векторів 0~

sT і , можна з (2.29)

отримати наступні співвідношення

0spT

52

.

11

~

,

11

~

3

2

01

0

3

2

01

0

3

1

0

033

223

1*

03

3

2

01

0

3

2

01

0

3

1

0

023

223

1*

02

0

0

sp

sp

sp

sp

sp

sps

sp

sp

sp

sp

sp

sps

T

T

T

T

T

T

Якщо ці співвідношення записати з використанням функції та

поєднати їх із законом зім’яття мікронерівностей, то можна одержати

наступні рівності:

zyxf ,,2

.,,~

,,,~

,~

010203203

010302202

01101

spspspfs

spspspfs

spfs

(2.30)

В цих рівностях функція xf1 задається згідно з (2.20), а функція zyxf ,,2

має наступний вигляд:

53

,0якщо

,

11

,0якщо,0

,,

22

3

222

3

222

6

122

*

22

2

zyx

zyx

zyx

yx

x

yx

zyxf

zyxzRzyxDzyx 223 ,0,,,, , (2.31)

де 32

23

1*0

* .

Зв’язок між параметрами і , які містяться у (2.30), можна

встановити наступним чином:

*

221

212

2211123

*

11

22222224998.0

EE

EE. (2.32)

Таким чином, закон деформування мікронерівностей поверхонь

взаємодіючих тіл, який отриманий у вигляді рівностей (2.30), (2.20), (2.31) з

урахуванням припущень (2.19), можна використовувати у загальному

випадку статичного контакту двох пружних шорстких тіл при наявності

кулонового тертя між ними.

Наприкінці відмітимо, що при зроблених у цьому підрозділі

припущеннях (2.19) відносно функцій zyxfzyxf ,,,,, 21 використання

рівностей (2.8) буде узагальнювати основні прийняті на сьогодні способи

урахування шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл при розв’язуванні

контактних задач [19, 38, 41, 50, 86, 103].

54

2.3. Зведення контактних задач до розв’язання нелінійних

інтегральних рівнянь

Щоб вивести інтегральні рівняння поставлених вище контактних задач,

достатньо для кожної з цих задач систему співвідношень, з якої визначається

шуканий розподіл контактного навантаження, виразити в еквівалентній

формі у вигляді рівності або системи рівностей. Цього можна досягти,

використовуючи дійсні функції xh і zyxq ,, ( x , , y z0 ):

,0якщо,0

,0якщо,

x

xxxh (2.33)

.якщо,

,якщо,,, 22

22

22

zyxyx

zx

zyxxzyxq (2.34)

Сформулюємо і доведемо два відомих твердження про властивості

функцій і [82]. h q

Теорема 2.1. Для будь-яких дійсних чисел x , y співвідношення

0,0,0 yxyx (2.35)

еквівалентні рівності

yExhx , (2.36)

в якій E – будь-яке додатне число.

Доведення. Припустимо спочатку, що для x , y виконана рівність

(2.36). Доведемо, що x , y задовольняють умовам (2.35).

55

Із (2.36) випливає, що 0x , оскільки функція приймає лише

невід’ємні значення. Умову 0

h

yx також виконано. Дійсно, при 0x

рівність 0 yx є очевидною. Якщо ж 0x , то 0x і, отже,

, і yEx yExhx 0 0 yE , тобто 0y . Тому 0 yx навіть

якщо 0x .

Справедливість умови 0y доведемо методом «від супротивного».

Припускаючи 0y , отримаємо співвідношення 0 yE , 0 yEx ,

, з яких випливає, що 0 yE xxhyEx yE , 0y . Але рівність

0y суперечить припущенню про те, що 0y . Таким чином, умову 0y

виконано.

Припускаючи тепер, що для x , y виконані умови (2.35), доведемо

справедливість рівності (2.36). Як випливає із (2.35), для x можливі тільки

два взаємовиключні випадки: 0x і 0x . В першому випадку yEx 0 ,

. В другому – xyExh 0 0y , xyEx , xxhyExh .

З наведеного доведення еквівалентності умов (2.35) і (2.36) видно, що

воно може бути проведене для будь-якого додатного числа E . Теорему 2.1

доведено.

Теорема 2.2. Для будь-яких дійсних чисел , , , і 01x 2x 1y 2y z умови

0

,0

,

222

212

122

211

22

21

yzyyx

yzyyx

zxx

(2.37)

є еквівалентними рівностям

56

,,,

,,,

21122

22111

zEyxEyxqx

zEyxEyxqx (2.38)

в яких E – будь-яке додатне число.

Доведення. Запишемо співвідношення (2.37) та (2.38) в еквівалентній

векторній формі:

YzXYzX , , (2.39)

YEXQX z . (2.40)

У співвідношеннях (2.39), (2.40) вектори , X Y , є елементами

двовимірного евклідового простору

2R і задаються рівностями 21, xxX ,

, 21, yyY 0,0 . Відображення визначається наступним

співвідношенням:

2R2: Rz Q

.якщо,

,якщо,

,2

zpp

pz

zpp

pQRp z (2.41)

Для доведення теореми достатньо встановити еквівалентність

співвідношень (2.39) і (2.40). Нехай E – деяке додатне число. Для числа

можливі два випадки:

z

0z та 0z . Доведемо спочатку еквівалентність

умов (2.39) і (2.40) при 0z .

Нехай виконані умови (2.39). Тоді zX і X . Визначаючи

зі співвідношення (2.41) при 0 YEXQz z , отримаємо рівність

YEXQz . Таким чином, YEXQX z і рівність (2.40) є

виконаною.

57

Припустимо тепер, що виконується рівність (2.40). Тоді X ,

оскільки і YEXQX z YEXQz при 0z . Отже, zX 0 і

YYY 0 zXY . Таким чином, співвідношення (2.39) є

виконаними.

Наведемо тепер доведення теореми для випадку 0z . Припустимо, що

виконується рівність (2.40). З (2.41) випливає, що zp Qz для всіх .

Тому

2Rp

zYEXQX z , що означає виконання першої з умов (2.39).

Покажемо, що друга з цих умов також виконується.

Якщо 0Y , то другу з умов (2.39) виконано. Нехай 0Y . Тоді

zYEX , оскільки при zYEX є справедливими рівності

, YEXYEXQX z YE , 0Y . Останнє суперечить

прийнятому припущенню 0Y . З нерівності zYEX та співвідношень

(2.40), (2.41) випливає, що YEXX для YEXz . Але тоді

zX , 10 і YEX 1 . Остання рівність означає, що вектори

і X Y , модулі яких є відмінними від нуля, мають протилежні напрями (в

силу додатності E ). Отже, для цих векторів є справедливою рівність

Y

Y

X

X .

З цієї рівності і умови zX випливає, що YYzX . Таким чином, з

того, що 0Y , випливає рівність YzXY . А це означає виконання

другої з умов (2.39). Отже, доведення того, що рівність (2.40) тягне за собою

виконання умов (2.39), завершено.

Доведемо тепер, що із умов (2.39) випливає рівність (2.40).

Припустимо, що умови (2.39) є виконаними. Тоді XXQz в силу того, що

zX . Якщо 0Y , то є справедливими рівності XYEX ,

58

XXQYEXQ zz , з яких випливає (2.40). Якщо ж 0Y , то з другої

умови (2.39) та нерівності 0E випливають співвідношення:

1,,, XYEXXY

YzX 0 z . (2.42)

Із цих співвідношень випливає, що zzXYEX . Визначивши

з урахуванням нерівності YEXQz zYEX та співвідношень (2.42),

отримаємо:

Xz

Xz

X

Xz

YEX

YEX zYEXQz

.

Отже, рівність (2.40) виконано й для випадку, коли 0Y . Таким чином, з

умов (2.39) випливає рівність (2.40), що остаточно доводить еквівалентність

співвідношень (2.39) і (2.40). З наведеного доведення видно, що воно може

бути проведене для будь-якого додатного числа E . Теорему 2.2 доведено.

Доведені твердження дозволяють для кожної з поставлених вище

контактних задач отримати таке рівняння відносно невідомого контактного

навантаження, всі розв’язки якого (і тільки вони) будуть шуканими

розв’язками відповідної контактної задачі. Для задачі про контакт пружних

тіл за відсутності тертя отримаємо із системи (2.10) рівняння

,,11111111 ssspAssphsp pfE (2.43)

в якому E – довільна додатна константа, оператор впливу та функція

є заданими (відомими), а функція

11A

s1 sp1 – шуканою.

Вираз spf 11

у (2.43) використано для скороченого запису виразу

у (2.10). 0,0,11 spf

59

Нехтуючи впливом дотичного контактного навантаження на зім’яття

мікронерівностей тіл, отримаємо для задачі про контакт пружних тіл з

урахуванням кулонова тертя із системи (2.17) наступну систему рівнянь:

.

;

,,,

,,,

;

,,,

,,,

;

1

2

3

1213222

3

3

13123233

1

3

3

1312323

2

3

12132222

1

3

111111

s

sph

sspAspspspfEsp

sspAspspspfEspqsp

sph

sspAspspspfEsp

sspAspspspfEspqsp

sspAspfEsphsp

jjj

jjj

jjj

jjj

jjj

(2.44)

В системі (2.44) E – довільна додатна константа, оператори впливу і

функції для

ijA

sj 3,1, ji є заданими, а функції , і sp1 sp2 sp3 –

невідомими.

Для задачі про контакт двох пружних тіл з урахуванням кулонова тертя

при відомому розподілі нормального контактного тиску з системи (2.18)

отримаємо систему рівнянь

60

,

;

,,,

,,,

;

,,,

,,,

1

2

3

2213222

3

3

23123233

1

3

3

2312323

2

3

22132222

s

sph

sspAspspspfEsp

sspAspspspfEspqsp

sph

sspAspspspfEsp

sspAspspspfEspqsp

jjj

jjj

jjj

jjj

(2.45)

в якій E – довільна додатна константа, оператори впливу для ijA 3,2, ji і

функції , sp1 s2 , є заданими, а функції s3 sp2 , – невідомими. sp3

Відмітимо ще дві важливі особливості отриманих рівнянь. Перша з них

полягає у тому, що множина розв’язків рівняння (2.43) і кожної із систем

(2.44)-(2.45) не змінюється при зміні параметру 0E , що входить до них,

хоча праві частини цих рівнянь істотно залежать від параметра E . Друга

особливість полягає у тому, що вигляд цих рівнянь не залежить ані від

конфігурації контактної плями, ані від форми зон проковзування та

зчеплення, і для складання цих рівнянь необхідно лише вказати плоску

обмежену область простої форми (круг, квадрат, прямокутник). Потрібно

лише, щоб ця область містила в собі невідому заздалегідь пляму контакту.

При цьому, якщо розв’язок рівняння (2.43) і кожної з систем рівнянь (2.44)-

(2.45) знайдено, то шукана пляма контакту, а також зони проковзування та

зчеплення на ній можна легко визначити, знаючи цей знайдений розв’язок.

61

Якщо, наприклад, функції sp1 , sp2 , sp3 задовольняють на

системі рівнянь (2.44), то пляму контакту 0 , зону зчеплення та зону

проковзування

C

П можна отримати з наступних співвідношень:

,0,,,,|

,0,,,,|

,0|

3212

33212

20

3212

33212

20

1111110

ssП

ssC

s

pppFpppFs

pppFpppFs

spAspfs

де вирази spppF 3212 ,, , spppF 3213 ,, задаються рівностями (2.14).

2.4. Теореми існування і єдиності розв’язку

Для формулювання припущень відносно лінійного оператора впливу

системи взаємодіючих тіл розглянемо гільбертовий простір kL2 [186]

вектор-функцій, кожна із компонент яких є елементом простору k 2L

[123], і банаховий простір kC [2] вектор-функцій, кожна із компонент

яких є елементом простору

k

C [123]. Співвідношення для задання

скалярного добутку і норм елементів у вказаних просторах мають наступний

вигляд:

.max,,,,

,...,,,

,...,,,,...,,,

11

21

22121

k

jj

t

k

jkkjjk

kk

kkk

tppxxxdttytxyx

Ctptptptp

Ltytytytytxtxtxtx

62

Припустимо, що лінійний оператор впливу 32

32: LLA для

системи взаємодіючих тіл є обмеженим і задовольняє умовам

самоспряженості і додатності

,\0,

,,,,

323

3233

LxxxA

LyxyAxyxA (2.46)

де є нульовий елемент простору 32L .

Очевидно, існують такі, однозначно визначені оператором

лінійні обмежені оператори 32

32: LLA 22: LLAij , які

пов’язані з A співвідношеннями:

.3,1,

,,,,,,

3

1

32321321

ixAyxAy

Lyyyyxxxx

jjiji

(2.47)

Відносно кожного вхідного у співвідношення (2.47) лінійного

оператора 22: LLAij будемо припускати, що він діє також з C в

C , і що CCAij : є лінійний цілком неперервний оператор [123].

Окрім того будемо вважати виконаною наступну умову:

.0

,

,0

,,,3

11

123

22

1

321

ssxA

ssxsxsx

ssx

Csxsxsx

jjj (2.48)

63

Скрізь у цьому підрозділі будемо вважати, що всі сформульовані

припущення відносно операторів впливу є виконаними. ijA

Неважко переконатись у тому [123, 186], що при апроксимації

взаємодіючих тіл пружними півпросторами лінійний оператор впливу

і породжуючі його у відповідності з (2.47) лінійні

інтегральні оператори

32

32: LLA

22: LLAij будуть задовольняти всім

перерахованим тут вимогам.

Справедливі наступні твердження [2] про існування розв’язків рівнянь

(2.43), (2.45) і (2.44) в просторах 2, CC і 3C відповідно. Доведення

цих теорем суттєво спираються на всі припущення відносно операторів

впливу , які сформульовано у цьому підрозділі. Тобто всі ці припущення

не повторюються в умовах цих теорем і вважаються виконаними.

ijA

Теорема 2.3. Нехай функція xf1 є неперервною, строго зростаючою,

непарною та необмеженою на всій дійсній числовій прямій. Тоді для будь-

якої функції Cs1 рівняння (2.43) має єдиний розв’язок у просторі

C .

Доведення. Впевнимося в тому, що рівняння (2.43) еквівалентно

рівнянню

,,~

111111 ssspAhfsp (2.49)

в якому через позначена функція, обернена до xf1~ xf1 .

Рівняння (2.43) згідно теореми 2.1 еквівалентно трьом

співвідношенням:

01 sp , (2.50)

0111111 sspAspf , (2.51)

64

01111111 sspAspfsp . (2.52)

Оскільки функція xf1 строго зростаюча і непарна на всій дійсній

числовій осі, то співвідношення (2.50) еквівалентне співвідношенню

011 spf . (2.53)

З таких же причин рівність (2.52) еквівалентна наступній рівності:

.011111111 sspAspfspf (2.54)

Умови (2.51), (2.53) і (2.54), які еквівалентні умовам (2.50)-(2.52), в

свою чергу будуть еквівалентними рівності

,,1111111111 ssspAspfEspfhspf (2.55)

для будь-якого додатного числа E . Тому рівність (2.55) еквівалентна рівності

(2.43). При 1E рівність (2.55) матиме вигляд:

ssspAhspf ,111111 . (2.56)

Якщо подіяти на обидві частини рівняння (2.56) функцією sf1~

, то

можна отримати рівність, еквівалентну (2.56):

,,~

111111 ssspAhfsp

а це і є рівність (2.49). Отже, еквівалентність рівностей (2.43) і (2.49)

доведена.

65

До рівняння (2.49), записаного в операторній формі

111 pFp ,

можна застосувати другий принцип Шаудера [123]. Дійсно, із неперервності

функцій xf1~

[187] і xh на всій дійсній числовій прямій і повної

неперервності лінійного оператора CCA :11 випливає повна

неперервність оператора CCF1 : на всьому просторі C .

Оскільки ще функція xf1~

є строго зростаючою [187], а функція

неспадаючою, то можна показати, що оператор xh CCF :1

відображає обмежену замкнену опуклу множину CtxU

ssft 11 x~

0 простору C в U . Оскільки при цьому

множина є передкомпактною, то згідно другого принципу Шаудера

[123] оператор має нерухому точку на множині

UF1

1F U , яка і є розв’язком

рівняння (2.49). Отже, і рівняння (2.43) має хоча б один розв’язок у просторі

C .

Розв’язок рівняння (2.43) в просторі C є єдиним. Дійсно,

припустивши про існування двох різних розв’язків Cspsp **1

*1 ,

рівняння (2.43), можна із очевидних рівностей

,

,

1**

111**

11**

1**

1

1*111

*11

*1

*1

sspAspfEsphsp

sspAspfEsphsp

виконаних для кожного значення 0E [82], отримати оцінки

,02

1

**1

*111

**11

*11

**1

*1

2

1

**1

*1 EppApfpfEpppp

66

.0,

,0,,

1**

1*111

**1

*1

1**

1*111

**1

*11

**11

*11

**1

*1

ppApp

ppApppfpfpp

Остання з цих оцінок з урахуванням умов (2.46) означає, що функції

і рівні одна одній майже скрізь на sp*1 sp **

1 . Оскільки при цьому

функції і неперервні на sp*1 sp **

1 , то вони тотожно рівні одна одній на

і, отже, на . Отримана рівність суперечить припущенню про те, що

функції Csp **1sp*

1 , є різними і свідчить про єдиність розв’язку

рівняння (2.43) в просторі C .

Теорема 2.3 доведена.

Теорема 2.4. Нехай xzyxf ,,2 для всіх дійсних значень x , , y z ,

де є фіксоване додатне число. Тоді для будь-якого невід’ємного значення

і будь-яких функцій Cspss 132 ,, система рівнянь (2.45) має

єдиний розв’язок в просторі 2C .

Доведення. Вважаючи в системі рівнянь (2.45) /1E , запишемо цю

систему в еквівалентній операторній формі pFp ~~2 , де spsp 32 ,p~ є

невідомий елемент, шуканий в просторі 2C . Оскільки лінійні оператори

CCAij : цілком неперервні і функція zyx ,,q , яка породжує

оператор , неперервна на множині 2F ,0,,

тривимірного евклідового простору, то оператор 2:C 22 CF є цілком

неперервним. Оскільки ще для обмеженої опуклої множини

23

~2 , CsxU sx ss h sxsx 2

322 p1 простору

2C виконується включення UUF~~

2 , то згідно другого принципу

Шаудера [123] оператор має на 2F U~

хоча б одну нерухому точку. Це

означає, що система рівнянь (2.45) має хоча б один розв’язок в 2C .

67

Оскільки при виконанні умов даної теореми система (2.45) не може мати

різні розв’язки в просторі 22L [186], то вона не може мати різні розв’язки і

в просторі 2C . Таким чином, система рівнянь (2.45) має єдиний розв’язок

в просторі 2C .

Теорема 2.4 доведена.

Теорема 2.5. Нехай функція xf1 є неперервною, строго зростаючою,

непарною та необмеженою на всій дійсній числовій прямій, 10 і

xzyxf ,,2 для всіх дійсних значень x , , y z , де є фіксоване додатне

число. Тоді для будь-яких функцій Css 3s , 21 , система

рівнянь (2.44) має розв’язок в просторі 3C .

Доведення. Неважко переконатися в тому, що система рівнянь (2.44)

еквівалентна системі

,

;~

,1

,1

;~

,1

,1

;~

11

2

3

123

3

133

11

3

3

132

3

12

1

3

1111

s

ssphf

sspAsAqsp

ssphf

sspAsAqsp

sAhfsp

j

jjj

j

j

jjj

j

j

3

11

3

11

2

A

sp

A

sp

sp

jj

jj

jj

jj

jj

(2.57)

де є функція, обернена до xf1~ xf1 .

68

Розглядаючи еквівалентну операторну форму запису системи рівнянь

(2.57)

pFp 3 ,

в якій spspspp 321 ,, є невідомий елемент, шуканий в просторі

3C , легко встановити, що оператор 333 : CCF є цілком

неперервним на всьому просторі 3C . Внаслідок умови (2.34) і нерівності

10 цей оператор відображає обмежену замкнену опуклу множину

~,0,, 111

332 sfsxCsxsxs 1xG sxsxsx 1

23

22

s простору 3C в . Таким чином, згідно другого принципу

Шаудера [123] цей оператор має на множині нерухому точку. Тому

система рівнянь (2.57) і, отже, система рівнянь (2.44) має розв’язок в просторі

G

3F G

3C .

Теорема 2.5 доведена.

Для строгого математичного формулювання розглянутих контактних

задач потрібно визначитись з тим, у яких функціональних просторах

потрібно відшукувати розв’язки інтегральних рівнянь (2.43), (2.44), (2.45), до

яких зведені ці контактні задачі. Оскільки доведені теореми 2.3, 2.4, 2.5

свідчать про факт існування розв’язків вказаних інтегральних рівнянь у

просторах неперервних на замкненій обмеженій області функцій та

вектор-функцій, то доцільно при формулюванні контактних задач вважати,

що невідомі функції , sp1 sp2 , sp3 відшукуються саме у цих просторах.

Заради коректності постановок контактних задач достатньо ввести

припущення, що усі оператори впливу відображають простір ijA C в

C та задовольняють іншим умовам теорем 2.3, 2.4, 2.5, а всі функції

, , належать цьому простору. s1 s2 s3

69

2.5. Висновки до розділу 2

У цьому розділі запропоновано спосіб врахування шорсткості

поверхонь взаємодіючих тіл та отримано нелінійні інтегральні рівняння для

статичних задач про контакт пружних шорстких тіл. Наведено постановки

цих задач у вигляді систем рівностей та нерівностей на поверхні можливого

контакту, а також доведено теореми про еквівалентність таких систем різним

нелінійним інтегральним рівнянням. Вивчені властивості функцій, за

допомогою яких задано праві частини рівнянь.

Доведено можливість формулювання граничних умов статичних задач

про контакт пружних шорстких тіл у формі функціональних рівностей

незмінного вигляду, які розповсюджені на обмеженій плоскій області, що

охоплює невідому заздалегідь поверхню контакту. Завдяки цим рівностям

отримані нелінійні операторні рівняння відносно невідомих розподілів

нормальної та дотичної складових поверхневого контактного навантаження.

Ці рівняння характеризуються тим, що всі вони є операторними рівняннями

другого роду, їх вигляд не залежить від конфігурації зон розділу крайових

умов контактних задач і для складання таких рівнянь необхідно лише вказати

фіксовані ділянки поверхонь взаємодіючих тіл, які містять у собі невідому

поверхню контакту.

Доведені теореми існування і єдиності розв’язку для статичних

контактних задач про взаємодію пружних тіл, які мають шорсткі поверхні.

Ідея доведення цих теорем полягає у використанні принципів нерухомої

точки для нелінійних операторних рівнянь, які описують контактну

взаємодію тіл.

70

РОЗДІЛ 3

ЗАДАЧІ ПРО КОНТАКТ ПРУЖНИХ ШОРСТКИХ ТІЛ

ПРИ ВІДСУТНОСТІ ТЕРТЯ МІЖ НИМИ

В даному розділі запропоновано алгоритм чисельного розв’язування

нелінійного інтегрального рівняння, до якого зводяться статичні контактні

задачі про взаємодію пружних шорстких тіл при відсутності тертя між ними.

Запропоновано ітераційні процеси для розв’язання дискретизованого

рівняння контактної задачі, для яких доведені теореми про збіжність.

Розроблений алгоритм застосовано для отримання розв’язків різних

контактних задач при відсутності тертя.

Основні результати цього розділу опубліковані в роботах [1, 3, 4, 7, 11,

13, 14].

3.1. Дискретизація інтегрального рівняння контактної задачі

Запишемо рівняння (2.43) статичної задачі про контакт двох пружних

тіл при відсутності тертя

,,11111111 ssspAspfEsphsp (3.1)

в якому невідома функція sp1 відшукується в просторі C і являє собою

розподіл контактних тисків в заданій замкненій плоскій обмеженій області

, що містить в собі невідому площадку контакту і розташована в

загальній для тіл дотичній площині

0

, що проходить через точку їх

початкового дотику; E є довільна константа, функція є елементом s1

71

простору C , і лінійний обмежений інтегральний оператор впливу

CCA :11 у випадку апроксимації тіл пружними півпросторами

задається співвідношеннями

,,

,,, 1111

ts

ctsK

sdttptsKspA

(3.2)

де ts – відстань між точками s і t площини ;

12

22

11

21 11 EEc ;

2121 ,,, EE – коефіцієнти Пуассона і модулі Юнга взаємодіючих тіл.

Функції і в правій частині рівняння (3.1) задаються

співвідношеннями:

xh s1

,

,2

1

*101 sss

Rxxxxh

(3.3)

де R – множина всіх дійсних чисел;

00 s – зазор між тілами в момент їх початкового дотику, виміряний в

напрямку нормалі до площини ;

0*1 – зближення тіл, що розглядаються як абсолютно жорсткі, в

напрямку тієї ж нормалі.

Вираз spf 11 у рівнянні (3.1) задає зминання поверхневих

мікронерівностей, що утворюють шорсткість. Будемо вважати, що функція

у цьому виразі є неперервною, строго зростаючою, непарною і

необмеженою на всій дійсній числовій прямій.

xf1

72

Отримання точного або наближеного аналітичного розв'язку

інтегрального рівняння (3.1) пов'язане зі значними труднощами, головна з

яких полягає в тому, що плоска поверхня контакту тіл є заздалегідь

невідомою і може мати дуже складну конфігурацію. Тому для розв’язання

даного рівняння доцільно використовувати чисельні методи, які засновані на

його дискретизації.

Для дискретизації рівняння (3.1) введемо на площині декартову

систему координат з центром в точці початкового дотику тіл і задамо область

на у вигляді відкритого квадрата площі , обмеженого відрізками

прямих, паралельних координатним осям цієї системи. Далі для натурального

числа розіб'ємо область

m

d

на квадратних областей 2m m

m

m2,...,21 m ,

рівної площі, орієнтованих подібно квадрату , які не перетинаються.

Позначивши символом m об’єднання , наближений розв’язок

рівняння (3.1) будемо відшукувати у лінійному нормованому просторі

m2

1

m

k k

m кусково постійних на m функцій, що визначається наступними

співвідношеннями:

221 ,1:,...,, 2 miscspRcccMsp m

iimmm ,

m

s

spspspm

sup ,

де mM є множина усіх обмежених на m функцій.

Задамо оператор mmmA :11 і елемент mm s 1

наступними співвідношеннями:

73

,якщо,

,якщо,

,якщо,

,іякщо,,

,,

11

2

11

mi

mi

m

mi

mj

mi

mij

mj

mi

mij

m

mm

sss

jits

dt

d

cm

jiss

c

tstsK

dttptsKspA

mi

(3.4)

де символ тут і далі означатиме центр квадрата mis m

i .

Ці співвідношення отримані з міркувань близькості функцій tsK , та

у метриці простору tsK m , 1L та близькості функцій і s1 sm1

11A

у метриці простору [123]. Замінюючи в рівнянні (3.1) оператор на 1L

mA11

і функцію s1 на sm1

, отримаємо рівняння

, (3.5) mmm ssspAspfEsphsp ,111 11111

розв’язок якого будемо відшукувати у просторі sp1 m .

Неважко переконатися, що для оператора mA11 і елемента m1

, заданих

рівностями (3.4), інтегральне рівняння (3.5) зводиться до наступної системи

скалярних рівнянь з невідомими: 2m 2m

.,1, 2

11

2

mibxaxfExhx i

m

jjijiii

(3.6)

74

Зв'язок між невідомими і функцією 2...,,, 21 mxxx msp 1 , яка

задовольняє рівнянню (3.5), такий, що im xsp

1 для всіх m

is .

Параметри і , що входять в систему (3.6), визначаються з наступних

очевидних співвідношень:

ija ib

.,1,,, 212

mjisbm

da m

iim

ijij (3.7)

Таким чином, чисельне розв’язування інтегрального рівняння (3.1)

зводиться до знаходження розв’язку системи скалярних рівнянь (3.6), для

якої числові параметри і , задаються рівностями (3.7). ija ib

3.2. Ітераційні процеси для розв’язування дискретизованого

рівняння

Запишемо систему рівнянь (3.6) у вигляді:

.,1,1

1 nibxaxfExhx i

n

jjijiii

(3.8)

Будемо припускати, що матриця податливості njiijaA ,1, для системи

взаємодіючих тіл є симетричною та додатно визначеною, тобто

,,,

,,1,

n

jiij

RxxxxAx

njiaa

(3.9)

75

де 0 – деяке фіксоване додатне число;

yx, – скалярний добуток елементів x , -вимірного евклідового

простору

y n

nR [123].

Будемо також вважати, що функція xf1 , яка задана на R , є

неперервною, строго зростаючою, непарною і необмеженою на R . Тоді для

наближеного знаходження розв’язку системи (3.8) можна використовувати

один з ітераційних процесів

;...,2,1

,,1,

,...,,,

1

111

1

002

01

m

nibxaxfExhx

Rxxx

i

n

j

mjij

mi

mi

mi

nn

(3.10)

;...,2,1

,,1,~

,...,,,

1

111

1

002

01

m

nibxaxfExhx

Rxxx

i

n

j

mjij

mi

mi

mi

nn

(3.11)

....,2,1

,,1,

,,10

1

111

1

0

m

nibxaxfExhx

nix

i

n

j

mjij

mi

mi

mi

i

(3.12)

Для забезпечення збіжності цих процесів необхідно параметр E , що

входить в праві частини рівностей (3.10)-(3.12), вибирати наступним чином:

n

jij

niaL

E

11max

10 , (3.13)

де значення невід’ємної константи L залежить від вигляду функції xf1 .

76

З урахуванням всіх припущень можна довести наступні теореми про

збіжність цих процесів [3, 7, 13].

Теорема 3.1. Якщо для деякого додатного значення L функція xf1

задовольняє умові Ліпшиця

RyxyxLyfxf ,11 , (3.14)

то при виконанні нерівностей (3.13) ітераційний процес (3.10) збігається в

просторі nR до розв’язку системи рівнянь (3.8) для будь-якого початкового

вектора nn Rxx 00

2 ...,,x 01 , .

Доведення. Для доведення теореми будемо використовувати принцип

стискуючих відображень. Запишемо систему рівнянь (3.8) в операторній

формі:

BXAXFEXHX 1 , (3.15)

де оператори та елементи задаються наступним

чином:

nn RRFH :, 1nRBX ,

nxhxhxhXH ...,,, 21 , nxfxfxfXF 121111 ...,,, ,

, n RxxxX ...,,, 21n n

n RbbbB ...,,, 21 .

Нехай . Позначивши символом оператор у правій частині

рівняння (3.15), отримаємо з урахуванням нерозтягаючості оператору

nRYX , F

nn RRH : наступні оцінки:

YXAEYFXFEYXYFXF 11

YXAAEIYXAEYXAEYX XYXY *

,

77

тут виконання умови YXAYFXF XY 11 випливає з (3.14), –

додатно означена діагональна квадратна числова матриця, на головній

діагоналі якої знаходяться числа з проміжку , символ

XYA

L,0

*

AAEI XY означає спектральну норму [188] матриці

, індуковану евклідовою векторною нормою, та символом AAEI XY I

позначено одиничну матрицю (тут і нижче символ означає евклідову

норму вектора).

Очевидно, що матриця AAXY буде симетричною, а також додатно

означеною

nXY RZZZcZZAA ,, 0 , (3.16)

причому константа в (3.16) задовольняє нерівності 0c 0c .

Доведемо, що існує така стала 0E , що 1*

qAAEI XY для

будь-яких векторів і константа nRYX , 1,0q не залежить від YX , . При

*

1

ALE

маємо:

nXYXY RZZZAAEZZAAEI ,1,

*.

Оскільки матриця є симетричною, то XYA rAXY *

, де r – спектральний

радіус матриці [188]. Оскільки XYA Lr , то LAXY *

. Звідси випливає, що

**ALAAXY і 1

* AAXYE . Отже, 0

*1 AAE XY і тому при

*

1

ALE

матриця AAEI XY є додатно означеною. Використовуючи

рівність [188]

78

ZZAAEzAAEI XYZ

XY ,sup1

*

,

і враховуючи (3.16), отримаємо:

ZZAAEZAAEI XYZ

XY ,sup01

*

qEcEZZcEZZZ

11,,sup 001

.

Отже,

nRYXYXqYFXF , .

Таким чином, згідно принципу стискуючих відображень, система рівнянь

(3.8) має єдиний розв’язок в просторі nR .

Оскільки

n

jij

niaA

111max – матрична норма, індукована векторною

нормою ini

xX

11max , то

1ArA , де є спектральний радіус матриці Ar A

[188]. Тому з очевидної рівності ArA *

випливає нерівність

1

*

1

11max

ALaL

n

jij

ni.

Тобто, при виконанні умови (3.13) виконується також і умова

1*

0 ALE . Це означає, що умова (3.13) гарантує стискуючисть

оператора nn RRF : у правій частині рівняння (3.15). Тому з умови (3.13)

випливає, що ітераційний процес (3.10) збігається в просторі nR до розв’язку

79

системи рівнянь (3.8) для будь-якого початкового вектора

nn Rxxx 00

20

1 ...,,, .

Теорема 3.1 доведена.

Теорема 3.2. Нехай функція xf1 є неперервно диференційовною на

інтервалах , і хоча б одне із значень є строго

додатним. Нехай числа , ,

0, ,0 nbbb ...,,, 21

a b L і функція визначаються

співвідношеннями:

xf1~

,max,/,max,max,min0 *

01

*

bxa i

xni

i

1,

111*

1xfLaafLLx

baxi

ni

~

1

1

1

1

bf

xf

f

xf

**2

*1 ...,,, nxxx

,якщо,sign

,якщо,

,якщо,/

11 bxbbfbfxx

bxa

axxaa

де є розв’язок системи рівнянь (3.8).

Тоді при виконанні нерівностей (3.13) ітераційний процес (3.11)

збігається в просторі nR до розв’язку системи рівнянь (3.8).

Доведення. Доведемо спочатку існування єдиного розв’язку системи

рівнянь (3.8). Запишемо систему (3.8) в операторній формі (3.15). Оскільки

xxh для будь-якого Rx , то, позначаючи символом оператор у

правій частині рівняння (3.15), отримаємо оцінки:

F

BXAEXHBXAXFEXHXF 1

BEXAEIBEXAEI *

,

які виконуються для кожного елемента nn RxxxX ...,,, 21 з невід’ємними

координатами . nxxx ...,,, 21

80

При *

10

AE матриця AEI буде симетричною і невід’ємною.

Тоді EAEI 1*

, де 10 1 E . Отже,

11*1 rBErEBEXAEI ,

якщо

B

r1 . Звідси випливає, що при достатньо великих значеннях

оператор відображає множину

1r

F 1r

SKD , для якої

rXRXS nr ,

nkxRxxxK kn

n ,10...,,, 21 ,

у цю ж саму множину . Тобто D DDF при

B

r1 . Оператор

nn RRF : є неперервним, а множина – замкнена, опукла, обмежена і

непорожня в

D

nR . Тому, згідно принципу Брауера [123] оператор F має

нерухому точку **1

* ...,, nxxX *2 ,x в nR і компоненти вектора

задовольняють системі рівнянь (3.8).

*X

Розв’язок системи рівнянь (3.8) в просторі nR є єдиним. Дійсно,

припустивши про існування двох різних розв’язків цього рівняння,

можна із очевидних рівностей

nRX Y,

BXAXFEXHX 1 ,

BYAYFEYHY 1 ,

виконаних для кожного значення 0E , отримати оцінки:

81

02

112 EYXAYFXFEYXYX ,

0,, 11 YXAYXYFXFYX ,

0, YXAYX .

Остання з цих оцінок з урахуванням умов (3.9) означає, що вектори і X Y

рівні один одному в nR . Це суперечить тому, що вектори X і Y є різними і

свідчить про єдиність розв’язку системи рівнянь (3.8) в просторі nR .

Отже, якщо система рівнянь (3.8) має єдиний розв’язок при

*

10

AE , то і при

1

11max0

n

jij

niaLE вона також матиме єдиний

розв’язок в nR .

Функція xf 1~

задовольняє умові Ліпшиця на R с константою

, де a/afLL ,max 11

xfLbax

1,

1 max

, також вона є неперервною, строго

зростаючою, непарною і необмеженою на R , тобто задовольняє всім

умовам, які покладені на функцію

xf 1~

xf1 у теоремі 3.1. Таким чином, згідно

теореми 3.1 при виконанні нерівностей (3.13) ітераційний процес (3.11)

збігається в просторі nR до розв’язку системи рівнянь (3.8).

Теорема 3.2 доведена.

Теорема 3.3. Нехай для деякого додатного значення L функція xf1

задовольняє умові Ліпшиця

,,11 yxyxLyfxf , (3.17)

82

в якій

n

iib

1

2

min

1

( min є найменше власне значення матриці A ). Тоді

при виконанні нерівностей (3.13) ітераційний процес (3.12) збігається в

просторі nR до розв’язку системи рівнянь (3.8).

Доведення. Запишемо систему (3.8) в операторній формі (3.15).

Повторюючи дії, зроблені при доведенні теореми 3.2, неважко переконатись,

що оператор у правій частині рівняння (3.15) відображає непорожню

опуклу замкнену множину , яка визначається співвідношенням

F

D

n

jji

nn xnixRxxxD

1

221 ,,10...,,, , (3.18)

у ту ж саму множину . Окрім того, завдяки умовам (3.13) і (3.17) цей

оператор буде стискуючим на . Таким чином, згідно з принципом

стискуючих відображень ітераційний процес (3.12) збігається в просторі

D

F D

nR

до розв’язку системи рівнянь (3.8), оскільки початковий вектор цього

процесу належить множині вигляду (3.18). D

Теорема 3.3 доведена.

Теорема 3.4. Нехай функція xf1 є неперервно диференційовною на

всій дійсній числовій прямій R і стала L задана співвідношенням

xfL

x1

,max

,

в якому

n

iib

1

2

min

1

( min є найменше власне значення матриці A ). Тоді

при виконанні нерівностей (3.13) ітераційний процес (3.12) збігається в

просторі nR до розв’язку системи рівнянь (3.8).

83

Доведення. Згідно теореми Лагранжа про середнє значення, функція

задовольняє умові Ліпшиця xf1

,,11 yxyxLyfxf ,

де

xfLx

1,

max

.

Таким чином, згідно теореми 3.3 при виконанні нерівностей (3.13)

ітераційний процес (3.12) збігається в просторі nR до розв’язку системи

рівнянь (3.8).

Теорема 3.4 доведена.

Відмітимо, що при використанні, наприклад, степеневого закону

зім’яття мікронерівностей [41]

Kxxxf sign1 (3.19)

наведені теореми дозволяють отримувати наближений розв’язок контактної

задачі для випадку 10 K (теорема 3.2), для випадку 1K (теорема 3.1) і

для випадку 1K (теорема 3.3).

3.3. Розв’язування задачі про контакт параболічного штампу з

пружним півпростором

З метою апробації запропонованого алгоритму були отримані чисельні

розв'язки контактної задачі про вдавлювання силою Н36054P гладкого

параболічного штампу у пружний півпростір з шорсткою поверхнею [1] (таке

значення P отримано за результатами чисельного розв'язання задачі при

844*

1 1085.1 м). Початковий зазор yx,0 між взаємодіючими тілами

заданий співвідношенням

,,,2

yx22

,2

0 R

y

R

xyx

в якому 05.0R м.

Коефіцієнт Пуассона 2 і модуль Юнга півпростору прийняті

рівними 3 і МПа відповідно. Функція

2E

.0 210000 xf1 , за допомогою якої

враховується шорсткість, задана співвідношенням (3.19), в якому 4.0K ,

8.7107.1 м/(Па)0.4.

Чисельний розв’язок задачі побудовано на сітці, що складається з

квадратного граничного елемента, площа кожного з яких

дорівнює

26015151

104

1d

8 м2 ( м2). Числові параметри і ,

що входять в систему (3.8), обчислювалися за формулами (3.4), (3.7). Для

отримання результатів використовувався ітераційний процес (3.10), в якому

значення

61004.104,51 dn ija ib

E вибиралося найбільшим з усіх можливих значень, що задаються

співвідношенням (3.13). Значення константи L , що входить в (3.13),

знаходилось на основі чисельного експерименту. Воно вибиралось як

найменше з усіх можливих значень, що задовольняють нерівність

при Па. При реалізації ітераційного процесу

(3.10) після виконання ітерацій виконалась нерівність

0 xKL 1 80 10x

750m

3 K10

00035max

max

625,1

625,1

m

ii

mi

mi

i

x

xx.0

1

.

85

Позначивши через половину довжини сторони квадрата b ,

( ) знайдемо значення безрозмірних параметрів м005.0b 00 ,,,, rPAA з

наступних співвідношень [41]:

,,,

2,

2,

2 0

*1

200 b

ar

bb

PP

bA

R

bA

K

де 4.0K ;

222 12/ E ;

м004.0a – радіус контактної плями, знайдений за результатами

чисельного розв’язання задачі.

Ці значення такі: ; 05.00 A 3.0A ; 00199.00 P ; 037.0 ; 8.00 r .

У роботі [41] наведено результати розв’язання розглянутої контактної

задачі для випадку , 05.00 A 3.0A , 037.0 , 00199.00 P , який і був

обраний для апробації запропонованого алгоритму. Отримане в [41] значення

становить , що дуже добре відповідає розрахунковому значенню

Таким чином, відносна похибка у визначенні радіуса контактної плями

складає приблизно

0r 82.0 8.0 .

%5.2 .

Для більш повного аналізу отриманих чисельних результатів проведено

співставлення знайденого розподілу безрозмірної величини

2/,, 1 yxpb

y

b

xq

при 1/0,0 bxy з аналогічним розподілом,

представленим в роботі [41]. На рисунку 3.1 суцільною лінією зображено

графік функції безрозмірного контактного тиску, наведений в [41], а

кільцями – окремі точки графіка цієї функції, знайдені за результатами

чисельного розв’язку.

0,rq

86

4

310q

2

0

0 0.5 r 1

Рисунок 3.1 – Розподіл безрозмірного контактного тиску під параболічним

штампом

Аналіз залежностей 0,rq , зображених на рисунку 3.1, свідчить про

їхню добру відповідність. Найбільше взаємне ухилення порівнюваних

функцій не перевищує % по відношенню до найбільшого значення 7 0,0q ,

зазначеного в роботі [41].

Для оцінки достовірності отриманих результатів у зв’язку з можливою

чутливістю розв’язку контактної задачі до збурення вхідних даних було

отримано розподіл контактного тиску для поверхневих сіток з різною

площею квадратного граничного елемента. На рис. 3.2 суцільною лінією

зображено графік функції

1d

0,rq , наведений в [41], квадратиками – окремі

точки графіка цієї функції, знайдені для випадку м2, а кільцями –

точки графіка цієї функції для

81 1016 d

81 104 d м2. Всі ці дані відповідають

розглянутому вище варіанту розрахунку.

87

4

310q

2

0

0 0.5 r 1

Рисунок 3.2 – Розподіл безрозмірного контактного тиску під параболічним

штампом для сіток різної дрібності

Аналіз залежностей 0,rq , зображених на рисунку 3.2, свідчить про

добру відповідність порівнюваних функцій. Найбільше взаємне ухилення

порівнюваних залежностей не перевищує % для випадку 5.7 81 1016 d м2

та % для випадку 7 8101 4 d м2 по відношенню до найбільшого значення

, зазначеного в роботі [41]. Це означає, що використаний чисельний

алгоритм є досить стійким. Як і слідувало очікувати, згущення поверхневої

сітки призводить до уточнення результатів чисельних розрахунків.

0,0 q

3.4. Розв’язування задачі про вдавлювання циліндричного штампу

з плоскою основою в пружний півпростір

Розглянемо задачу [3] про вдавлювання силою P гладкого

циліндричного штампу з плоскою основою, радіус якої , у пружний

шорсткий півпростір. Коефіцієнт Пуассона

1R

2 и модуль Юнга

півпростору прийняті рівними 3 и

2E

.0 МПа210000 відповідно. Функція xf1 ,

за допомогою якої враховувалась шорсткість, задана співвідношенням (3.19).

88

Числовий розв’язок задачі отримано на сітці, яка складається з

квадратного граничного елемента, площа кожного з яких

дорівнює м2 (

26015151

.156

1d

81025 51n , 6100625.4064 d м2). Числові параметри

і були обчислені за формулами (3.4), (3.7). Для отримання результатів

використовувався ітераційний процес (3.10), в якому значення

jia ib

E обиралось

найбільшим з усіх можливих значень, що задаються співвідношенням (3.13).

При цьому у (3.13) значення aa /fL 1 та МПа1500a .

З метою апробації запропонованого алгоритму задача була розв’язана для

таких вхідних даних: Н6253P (таке значення P отримано за результатами

чисельного розв’язку задачі при м101091.0*1

3 ), , м10 31

R 4.0K ,

0.48.7 Пам10137.1 . Проведено співставлення знайденого розподілу

безрозмірної величини

22

21

11

1,,

Eyxp

R

y

R

xq

при 11/0,0 xy R з

аналогічним розподілом, наведеним для даної контактної задачі в роботі [189].

На рисунку 3.3 суцільною лінією зображено графік функції 0,rq

безрозмірного контактного тиску, наведений в [189], а кільцями – окремі точки

графіка цієї функції, знайденні за результатами чисельного розв’язку.

q

0.003

0.0025

0 0.5 r 1

Рисунок 3.3 – Розподіл безрозмірного контактного тиску під циліндричним

штампом

89

Аналіз залежностей 0,rq , зображених на рисунку 3.3, свідчить про

їхню добру відповідність. Найбільше взаємне відхилення цих функцій не

перевищує % по відношенню до найбільшого значення , вказаного

в роботі [189].

4.0 0,1q

Для оцінки достовірності отриманих результатів у зв’язку з можливою

чутливістю розв’язку контактної задачі до збурення вхідних даних було

отримано розподіл контактного тиску для поверхневих сіток з різною

площею квадратного граничного елемента. На рис. 3.4 суцільною лінією

зображено графік функції

1d

0,rq , наведений в [189], квадратиками – окремі

точки графіка цієї функції, знайдені для випадку м2, а кільцями

– точки графіка цієї функції для

81 10625 d

81 1025.156 d м2. Всі ці дані відповідають

розглянутому вище варіанту розрахунку.

q

0.003

0.0025

0 0.5 r 1

Рисунок 3.4 – Розподіл безрозмірного контактного тиску під циліндричним

штампом для сіток різної дрібності

Аналіз залежностей 0,rq , зображених на рисунку 3.4, свідчить про

добру відповідність порівнюваних функцій. Найбільше взаємне ухилення

порівнюваних залежностей не перевищує % для випадку 2.1 81 10625 d м2

90

та % для випадку 4.0 81 1025.156 d м2 по відношенню до найбільшого

значення , зазначеного в роботі [189]. Це означає, що використаний

чисельний алгоритм є досить стійким. Як і слідувало очікувати, згущення

поверхневої сітки призводить до уточнення результатів чисельних

розрахунків.

0,1q

Чисельний розв’язок розглянутої задачі отримано також і для

кН50P , м025.01 R , 3

2K , 3

1

03

8 xL , (значення МПа1.00 x

3

2K відповідає сферичній моделі мікровиступів, які утворюють

шорсткість). Коефіцієнти приймались рівними 32

Пам0 ;

323 м

32Па

101.0 ; 323

32101

Пам (що відповідає висоті

мікровиступів м0 , м10 616.17 , м10 66.171 ).

Для кожного із значень коефіцієнта знаходились значення

безрозмірного параметра max1*1max11 / fpf 1p , який характеризує

долю нелінійної нормальної деформації мікронерівностей по відношенню до

лінійної нормальної деформації тіл в найбільш напружено працюючій зоні і

може служити мірою фізичної нелінійності задачі (тут символ позначає

найбільше значення контактного тиску). Було отримано такі значення

max1p

: для

32

Па 0 , для 323

32Пам 101.0

0.0 27 , для м0

323

32Пам101

303.0 . Ці значення дозволяють вважати задачу

фізично лінійною для випадку 32

Пам0 , квазілінійною – для випадку

323

32Пам101.0

та істотно нелінійною – для випадку

323

32Пам101

. Отримані результати цих додаткових розрахунків

наведені на рис. 3.5.

91

Рисунок 3.5 – Розподіл контактних тисків під циліндричним штампом

На цьому рисунку результати представлені у вигляді розподілу

нормальних тисків , які діють на поверхні півпростору вздовж вісі 1p x

декартової системи координат xoy , розташованої на границі півпростору з

початком в центрі основи штампу (суцільна лінія відповідає випадку без

врахування шорсткості, квадратики – квазілінійному випадку і кільця –

істотно нелінійному випадку). Як і слідувало очікувати, на границі площинки

контакту функція розподілу тиску для випадку 0 є необмеженою. Але

при врахуванні шорсткості дана функція стає обмеженою і при зростанні

спостерігається значне зменшення найбільшого значення контактного тиску

(для істотно нелінійного випадку це значення приблизно в два рази менше,

ніж для квазілінійного випадку).

92

3.5. Розв’язування задачі про контакт пружних куль, які мають

шорсткі поверхні

Розглянемо просторову статичну задачу про контакт двох лінійно-

пружних куль, які мають шорсткі поверхні, при відсутності тертя між ними.

Така задача зводиться до розв’язування системи рівнянь [4, 14]

,

,,

1

*101111111

Pdssp

ssspAspfEsphsp (3.20)

в якій стискаюча сила P є відомою, а функція sp1 та параметр є

невідомими.

*1

В (3.20) функція 0 , яка задає собою форму взаємодіючих тіл,

визначається співвідношенням:

2222

22212100 , yxRyxRRRyxs ,

де , – радіуси взаємодіючих куль. 1R 2R

Функція , яка задає зім’яття поверхневих мікронерівностей куль,

визначається із співвідношення (3.19).

1f

Систему рівнянь контактної задачі за відсутності шорсткості по

аналогії з (3.20) можна записати у вигляді:

.~

,,~~~~

1

*1011111

Pdssp

ssspAEsphsp (3.21)

93

Дискретним аналогом системи рівнянь (3.20) є наступна система

скалярних рівнянь

.

,,1,

1

*1

11

Pxmes

nixaxfExhx

n

jjj

i

n

jjjiiii

(3.22)

В (3.22) є значення контактних тисків, які діють на граничних

елементах поверхневої сітки, що покриває область

nxxx ...,,, 21

, а jmes – площа j -

го граничного елементу.

В рівняннях (3.22) njijiaA ,1, є матрицею податливості для системи

взаємодіючих тіл. Будемо вважати, що ця дійсна квадратна числова матриця

A є симетричною і додатно визначеною.

Аналогічно, дискретний аналог системи (3.21) можна отримати у

вигляді:

.

,,1,~

1

*1

1

Pxmes

nixaExhx

n

jjj

i

n

jjjiii

(3.23)

Для пошуку наближеного розв’язку *121 ,...,,, nxxx системи рівнянь

(3.22) використаємо наступний ітераційний процес [4]:

94

....;...,,2,1,1;...,,2,1,0

,,1,

,

,,1,

,0

,,1,0

,1,0

1

,1

*1

1*1

*1

1

,1,11

,1,

0*1

0,0

MmkMmk

nixx

xmesPE

nixaxfExhx

nix

kMi

ki

n

j

kMjj

kk

ki

n

j

kmjji

kmi

kmi

kmi

i

(3.24)

Для реалізації цього процесу задамо параметри E , наступним чином: 1E

1

11max0

n

jij

niaLE , 4cE1 ,

в яких , , 10 KxKL МПа1.00 x 1

222

11

21 11 EEc .

Для пошуку розв’язку *121

~,...,,, nxxx системи рівнянь (3.23)

використаємо ітераційний процес [4]:

....;...,,2,1,1;...,,2,1,0

,,1,

,~~

,,1,~

,0~

,,1,0

,1,0

1

,1

*1

1*1

*1

1

,1,1,

0*1

0,0

MmkMmk

nixx

xmesPE

nixaExhx

nix

kMi

ki

n

j

kMjj

kk

ki

n

j

kmjji

kmi

kmi

i

(3.25)

95

Для реалізації процесу (3.25) параметри E , задамо так: 1E

1

11max0

n

jij

niaE , 4cE1 ,

де 12

22

11

21 11 EEc .

З метою дослідження впливу шорсткості поверхонь куль на розміри

площинки контакту та контактні тиски було здійснено чисельний

експеримент, у якому виконано 234 варіанти розрахунку. У всіх розрахунках

квадратна область розбивалась на 2500 квадратних граничних елементів

рівної площі. Значення параметрів

1 , 2 , , , , , 1E 2E 1R 2R P задавалися

відповідно до обмежень:

,3.021

МПа,2100001 E ,МПа210000 2 E

,м1.0 1 R ,м1.02 R

.кН4.2307кН24 P

Для різних значень K відповідні значення змінювались наступним чином:

:4.0K ,Пам1045Пам1002.0 4.08.74.08.7

:5.0K ,Пам1016Пам10007.0 5.05.85.05.8

:1K .Пам1080Пам10027.0 115115

За результатами проведеного чисельного експерименту були знайдені

значення безрозмірних параметрів 0,0~/0,00,0~111 ppp і

aaa ~/~ , які характеризують взаємне відносне відхилення наближених

96

розв’язків систем рівнянь (3.20) і (3.21), отриманих при одному й тому ж

значенні стискаючої сили P (тут 0,0

a

– точка початкового дотику куль, в

якій діє найбільший контактний тиск; і a~ – радіуси площинки контакту в

задачі з урахуванням шорсткості та без урахування шорсткості відповідно).

При цьому була проаналізована залежність параметрів і

від безрозмірного параметру 0,0/0,0 11*11 pff 1 p , який

характеризує відношення найбільшого зім’яття мікронерівностей до

сумарного лінійно-пружного переміщення точок куль, в яких діє найбільший

контактний тиск. Очевидно, характеризує степінь фізичної нелінійності

контактної задачі.

Всі точки , , знайдені за результатами розрахунків займають

заштриховану область, зображену на рис. 3.6 а), а всі точки , –

заштриховану область, зображену на рис. 3.6 б).

0.5 0.5

0.25

0.25

0

0

0 0.05 0.25 0.5 0 0.05 0.25 0.5

а б

Рисунок 3.6 – Результати чисельного розв'язання задачі про контакт пружних

куль

Рис. 3.6 а) свідчить про те, що при 1.0 виконується наближена

рівність 8.0 (незалежно від значень 1 , 2 , , , , , 1E 2E 1R R2 P , , K ,

що рівнісзабезпечують не ть 1.0 ). З рис. 3.6 б) випливає, що при 05.0

97

виконується наближена рівність 2 . Тобто вплив параметру

ру

на

н

відхилення розміру площинки к від значення цього розмі за

теорією Герца в два з половиною рази більший, іж його вплив на відхилення

найбільшого контактного тиску від значення цього тиску за теорією Герца.

Припустимо, що найбільше зминання

онтакту

0,011 pf мікровиступів не

перевищує висоту цих виступів. Тоді иметься наступна

нерівність:

виконуват

11

1

0,0

0,0

p

сперимен

*1

*1

1

f

pf. (3.26)

З проведеного чисельного ек ту видно, що жорстке

тіл бе

зближення

з врахування шорсткості не перевищує їх жорсткого зближення з

врахуванням шорсткості при однаковій стискаючій силі P , тобто

*1

*1

~

рівність

. ( .27)

оцінок (3.26) і (3.27) випливає не

3

З

*

1

*1

*1

~1

~

~

. (3.28)

цінка (3.28) означає, що за умови

09.0~*

1 О виконується нерівність

1.0 і відносна похибка при визнач шого контактного тиску,

ана ігноруванням шорсткості, не перевищує значення

енні найбіль

виклик *1

~9.0 .

Також оцінка (3.28) свідчить про те, що за умови 048.0~*

1

нерівність 05.0

виконується

і відносна похибка при визн у площинки

контакту, на ігноруванням шорсткості, не перевищує значення

аченні розмір

виклика

*1

~11.2 .

98

З вище проведених оцінок можна зробити висновок про те, що якщо

ввідношення исоти мікронерівностей

ах

до жорсткого зближення тіл

менш

*1

~

ти

е 05.0 , то врахування шорсткості є недоцільним; якщо ж це відношення

більше 1.0 , то шорсткість необхідно вр овувати. Для того, щоб застосува

сформульовані умови на практиці, необхідно знати лише жорстке зближення

тіл без ахування шорсткості *1

~ та висоту мікронерівностей вр їхніх

поверхонь. Ці параметри можна знайти в довідковій літературі, не

розв’язуючи контактну задачу. е, е розв’язуючи контактну адачу,

можна заздалегідь дізнатись про до ільність ч недоцільність врахування

шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл в даній задачі (параметри

Отж н з

ц и

і *1

~

можна визначити, знаючи клас чистоти обробки поверхонь куль, їхні пружні

характеристики та стискаючу силу).

3.6. Розв’язування задачі про стискування пружних циліндрів

Розглянемо задачу про стискування двох циліндрів з ортогональними

сями. Стискаюча сила

кН1101 P і кН1502 P

ають одн

о направлена вздовж спільної

нормалі до поверхонь тіл, яка проходить через точку їхнього початкового

дотику. Матеріали циліндрів м акові модулі пружності

Па10210 921 EE та коефіцієнти Пуассона 3.021

; радіус верхнього

циліндра кладає 0.47 м, а нижнь го – 0.3 . Закон врахування еформацій

рівностей нижнього тіл співвідношенням

(3.19), в якому 5.0

с

поверхневих мікроне

5 д о м

а заданий

K , а 5.05.10 Пам109.3 для сили 1P і

5.05.10 Пам102.4 для сили 2P . Циліндри апроксимувались пружними

півпросторами і ви і в ву

ули (3.7). ля розв’язання задачі було використано

ітераційний пр ес (3.10 Розв’язок римано на сітці розмірністю

для значення елементів матриц пли

використовувались форм Д

оц ). от

99

26015151 вузлів. На рис. 3.7 а) показано розміри і форма контактної

плями та розподіл нормальних контактних тисків на 0 zy (суцільна

дає розв’язку з врахуванням шорсткості, пунктирна – без

врахування шорсткості) для стискаючої сили 1P , а на б) – для

стискаючої сили 2P .

лінії

рис. 3.7

лінія відпові

а б

в

а – розподіл тисків при силі ; б – розподіл тисків при силі ;

в – площинка контакту при силі ; г – площинка контакту при силі

Рис ін рів

г

1P 2P

1P 2P

унок 3.7 – Результати розв’язання задачі про стискування цил д

100

у

розглянутій задачі не спричиняє суттєвого впливу на розміри контактної

плями

3.7. Висновки до розділу 3

цьому розділі розроблено алгоритм чисельного розв’язання

нелінійного інтегрального рівняння, до якого зводяться статичні контактні

задачі х

у

ких впливом шорсткості

повер

і л

Отримані результати свідчать про те, що врахування шорсткості

та на розподіл контактного тиску.

У

про взаємодію пружних шорстки тіл при відсутності тертя. Для цього

інтегрального рівняння запропоновано схему дискретизації, згідно з якою це

рівняння зводиться до системи нелінійних скалярних рівнянь відносно

невідомих значень контактного тиску, діючого на граничних елементах

поверхневої сітки, яка покриває область можливого контакту тіл.

Запропоновано ітераційні процеси для розв’язання дискретизованого

рівняння контактної задачі, для яких доведені теореми про збіжність.

Можливості розробленого алгоритм продемонстровано шляхом його

застосування для отримання розв’язків різних контактних задач. На основі

аналізу отриманих результатів розв’язування окремих контактних задач та

порівнянні цих результатів з відомими розв’язками [41, 189] можна зробити

висновок про коректність розробленого алгоритму.

В результаті аналізу отриманого розв’язку задачі про контакт пружних

куль були сформульовані умови, при виконанні я

хонь взаємодіючих тіл на контактний тиск і розміри площинки

контакту можна знехтувати. Для того, щоб застосувати сформульовані умови

на практиц , необхідно знати лише жорстке зб иження тіл без врахування

шорсткості та висоту мікронерівностей їхніх поверхонь. Ці параметри можна

знайти в довідковій літературі, не розв’язуючи контактну задачу.

101

РОЗДІЛ 4

ЗАДАЧІ ПРО КОНТАКТ ПРУЖНИХ ШОРСТКИХ ТІЛ

ПРИ НАЯВНОСТІ ТЕРТЯ МІЖ НИМИ

В даному розділі запропоновано алгоритм чисельного розв’язування

системи нелінійних інтегральних рівнянь, до якої зводяться статичні

контактні задачі про взаємодію пружних шорстких тіл при наявності

кулонова тертя між ними. Для даної системи наведено схему дискретизації,

згідно з якою ця система нелінійних інтегральних рівнянь зводиться до

системи нелінійних скалярних рівнянь відносно невідомих значень питомого

контактного навантаження, діючого на граничних елементах поверхневої

сітки, яка покриває область можливого контакту тіл. Запропоновано

ітераційні процеси для розв’язання дискретизованої системи рівнянь

контактної задачі як для випадку ідентичності матеріалів взаємодіючих тіл,

так і для відсутності такої ідентичності. Розроблений алгоритм застосовано

для отримання розв’язків різних контактних задач при наявності тертя: задачі

про контакт пружної кулі з пружним півпростором, задачі про вдавлювання

гладкого циліндричного та гладкого прямокутного штампів у шорсткий

півпростір.

Основні результати цього розділу опубліковані в роботах [5, 6, 8, 15].

4.1. Дискретизація інтегральних рівнянь контактної задачі

Запишемо систему рівнянь (2.44) статичної задачі про контакт двох

пружних шорстких тіл з урахуванням кулонова тертя в наступному вигляді:

102

.

;

,,,

,,,

;

,,,

,,,

;

1

2

3

1213222

3

3

13123233

1

3

3

1312323

2

3

12132222

1

3

111111

s

sph

sspAspspspgEsp

sspAspspspgEspqsp

sph

sspAspspspgEsp

sspAspspspgEspqsp

sspAspgEsphsp

jjj

jjj

jjj

jjj

jjj

(4.1)

В системі (4.1) невідома вектор-функція spspspsp 321 ,,

відшукується у просторі 3C [2] і задає розподіл нормальної sp1 і

дотичних , складових контактного навантаження, які діють в

заданій плоскій обмеженій області

sp2 sp3

, що містить в собі невідому площадку

контакту. Вектор-функція 3321 ,, Cssss характеризує

конфігурацію тіл і умови їхнього навантажування. Доданки g sp11 ,

, spg 122 , psp3 , s spspspg 1232 ,,

zyx ,,

, які задають зім’яття і зсув

поверхневих мікронерівностей тіл, задаються наступними співвідношеннями,

в яких функції та визначаються рівностями (2.33), (2.34): x qh

.,,,,,,

,,

,

11231322

1322

1111

sphsphspspqsphspspqf

spspspg

sphfspg

(4.2)

103

Будемо вважати, що функції xf1 та zyxf ,,2 задовольняють умовам

(2.19). В рівняннях (4.1) є коефіцієнт тертя, E є довільна додатна стала і

лінійні інтегральні оператори впливу CCAij : для всіх 3,1, ji

задані у відповідності до формул Буссінеска-Черутті [190] співвідношеннями

(2.6)-(2.7).

Якщо взаємодіючі тіла виготовлені з одного й того ж матеріалу, то

лінійні оператори CCAAAA :,,, 31211312 будуть нульовими і система

рівнянь (4.1) матиме вигляд:

.

;

,,,

,,,

;

,,,

,,,

;

1

2

3

2213222

3

3

23123233

1

3

3

2312323

2

3

22132222

11111111

s

sph

sspAspspspgEsp

sspAspspspgEspqsp

sph

sspAspspspgEsp

sspAspspspgEspqsp

sspAspgEsphsp

jjj

jjj

jjj

jjj

(4.3)

В цьому випадку невідому функцію sp1 можна визначити незалежно від

, , розв’язавши перше інтегральне рівняння системи (4.3).

Невідомі функції ,

sp2 sp3

sp2 sp3 можна знайти, розв’язавши систему двох

останніх інтегральних рівнянь системи (4.3), в якій функція є відомою і

знайдена попередньо з розв’язку першого рівняння цієї системи.

sp1

104

Отримання точного або наближеного аналітичного розв’язку системи

інтегральних рівнянь (4.1) пов’язане із значними труднощами, головна з яких

полягає в тому, що плоска поверхня контакту тіл та конфігурація зон

проковзування та зчеплення на цій поверхні є заздалегідь невідомими і

можуть мати досить складний вигляд навіть для випадку взаємодії тіл

канонічної форми. Тому для розв’язання цієї системи рівнянь доцільно

використовувати чисельні методи, які засновані на дискретизації рівнянь

(4.1).

Для дискретизації інтегральних рівнянь (4.1) контактної задачі задамо

область у вигляді відкритого квадрату площі , обмеженого відрізками

прямих, паралельних координатним осям декартової системи координат, яка

введена на спільній для взаємодіючих тіл дотичній площині. Вибравши

достатньо велике натуральне число , розіб’ємо

d

n на квадратних

областей рівної площі, які не перетинаються і орієнтовані

подібно квадрату .

2n

2,...,, 21n

Позначивши символом n об’єднання , наближений розв’язок

системи рівнянь (4.1) будемо відшукувати у лінійному нормованому просторі

2

1

n

k

nk

n3 кусково постійних на n вектор-функцій spspsp 321 ,, , який

визначається наступними співвідношеннями:

:...,,,,, 23213

3213 RcccMspspsp

nnn

233132231 ,1,, niscspcspcsp n

iiii ,

n

jj

s

spspspspspspspn

3321

3

1321 ,,sup,, .

105

Тут символом nM 3 позначена множина усіх вектор-функцій

spspsp 321 ,, , компоненти яких є визначеними та обмеженими на n

функціями.

Використовуючи визначений у третьому розділі лінійний нормований

простір n , задамо оператори nnnijA : і елементи

nnn ss 1

, n s 32

, наступними співвідношеннями:

,3,1,,якщо,

,,якщо,,

,,,якщо,,

,

,,

2

jisss

tsdttsKd

n

jitsssK

tsK

dttptsKspA

nl

nl

n

nl

nl

nj

ni

nk

nlij

nij

jn

ijjn

ij

ii

nl

(4.4)

де символом nls позначено центр квадрата n

l .

Співвідношення (4.4) отримані з міркувань близькості функцій tsKij ,

та у метриці простору tsK nij , 1L [123] і близькості функцій si та

у метриці простору sni 1L [123].

Замінюючи в рівняннях (4.3) оператори вигляду (2.6)-(2.7) на

оператори вигляду (4.4) і функції

ijA

nij

A si на функції вигляду (4.4),

отримаємо систему рівнянь

sni

106

,

;

,,,

,,,

;

,,,

,,,

;

1

2

3

1213222

3

3

13123233

1

3

3

1312323

2

3

12132222

1

3

11111 1

n

n

jj

nj

n

jj

nj

n

jj

nj

n

jj

nj

n

jj

n

s

sph

sspAspspspgEsp

sspAspspspgEspqsp

sph

sspAspspspgEsp

sspAspspspgEspqsp

sspAspgEsphspj

(4.5)

розв’язок якої , , sp1 sp2 sp3 будемо відшукувати у просторі n3 .

Неважко переконатися, що система інтегральних рівнянь (4.5)

зводиться до наступної системи k3 скалярних рівнянь з k3 невідомими

kxxx 321 ...,,, :

107

,,1

;,,,

,,,

;,,,

,,,

;

2313

3

11323313213

3

3

1323133233

233

3

132313323

13

3

1132331321313

23

3

1232312323

ki

xbxaxxxgEx

bxaxxxgExqx

xbxaxxxgEx

bxaxxxgExqx

bxaxgExhx

ii

k

jjjiiiii

i

k

jjjiiiiii

ii

k

jjjiiiii

i

k

jjjiiiiii

i

k

jjjiiii

(4.6)

в якій 2nk , а параметри і визначаються із співвідношень: ija ib

,,1,

,

,

33

213

123

kisb

sb

sb

nii

nii

nii

(4.7)

.2,0,,,1,

,,3333

lwkji

ssKd

ka n

jn

in

lwljwi (4.8)

Зв'язок між невідомими числовими параметрами системи

рівнянь (4.6) і вектор-функцією

nxxx 321 ...,,,

nspspsp 3321 ,, , яка задовольняє

системі рівнянь (4.5), такий, що 231 ixsp , 32 1 ixsp , для всіх

(

ixsp 33

nis ki ,1 ).

108

Якщо взаємодіючі тіла виготовлені з однакових матеріалів, то система

рівнянь (4.6) може бути розв’язана шляхом послідовного розв’язання двох

систем рівнянь

,,1

,~~

11

ki

bpapgEphp i

k

jjijiii

(4.9)

,,1

;,~~~~~,~,~~

,~~~~~,~,~~~

;,~~~~~,~,~~

,~~~~~,~,~~~

2

112212212

2

122122222

2

12212222

2

11221221212

12

12

ki

pbxapxxgEx

bxapxxgExqx

pbxapxxgEx

bxapxxgExqx

i

k

jjjiiiii

k

jijjiiiiii

i

k

jijjiiiii

k

jjjiiiiii

i

i

(4.10)

у яких , 23 ii xp 1312~

ii xx , ii xx 32~ , 2323

~ jiji aa , jiji aa 3322

~~ ,

13131212~~

jia jia , 133122~~

jia jia , jiji aa 313212~~

, 23~

ii bb ,

1312

~~ ii bb 32 ii bb ,

~~ (для всіх kji, ,1 ).

Очевидно, що системи скалярних рівнянь (4.9)-(4.10) є дискретними

аналогами системи інтегральних рівнянь (4.3).

Наприкінці підрозділу відзначимо, що чисельне розв’язування системи

інтегральних рівнянь (4.1) зводиться до знаходження розв’язку системи

скалярних рівнянь (4.6), а чисельне розв’язування інтегральних рівнянь (4.3)

– до знаходження розв’язків систем скалярних рівнянь (4.9) та (4.10). При

109

цьому числові параметри , , які містяться у системах скалярних рівнянь

(4.6), (4.9), (4.10) визначаються рівностями (4.7)-(4.8).

ija ib

4.2. Ітераційні процеси для розв’язування дискретизованих рівнянь

Для отримання наближеного розв’язку системи (4.6) будемо

використовувати ітераційний процес

,...,2,1,0,,1,,,

,,,

,

,3,10

231

3

231

13

123

0

mkixqx

xqx

hx

kix

mi

mi

mi

mi

mi

mi

mi

mi

mi

mi

i

(4.11)

для якого величини , mi

mi і m

i визначаються рівностями:

.,1,,,

,,,

,

3

1332313323

3

11323313213

3

1232323123

13

kibxaxxxgEx

bxaxxxgEx

bxaxgEx

k

ji

mjji

mi

mi

mi

mi

mi

k

j

mjji

mi

mi

mi

mi

mi

k

ji

mjji

mi

mi

mi

i

(4.12)

Будемо вважати, що константа E у виразах (4.12) задовольняє нерівності

1101

3

131max0

k

jij

kiaLE , (4.13)

в якій невід’ємне число L залежить від властивостей функцій xf1 та

. zyxf ,,2

Для отримання наближеного розв’язку системи (4.10) будемо

використовувати ітераційний процес

,...,2,1,0,,1,,~,~

,,~

,~

,2,10

12

112

0

mkipqx

pqx

kix

im

im

imi

im

im

imi

i

(4.14)

у якому величини і mi~

mi

~ визначаються рівностями:

.,1,~~~~,,

~

,~~~~,,~

2

1212222

2

112212212

2

12

kibxapxxgEx

bxapxxgEx

k

j

mjjii

mi

mi

mi

mi

k

j

mjjii

mi

mi

mi

mi

i

i

(4.15)

Вважатимемо, що константа E , яка входить в рівності (4.15), задовольняє

умові

12

121

~~max0

k

jij

kiaLE , (4.16)

де число L залежить від властивостей функцій xf1 та . zyxf ,,2

111

Значення параметрів , які містяться у рівностях (4.10) та

(4.14), знайдені шляхом наближеного розв’язування системи рівнянь (4.9)

шляхом використання ітераційних процесів, запропонованих у третьому

розділі.

kppp ...,,, 21

Як свідчить досвід використання ітераційних процесів (4.11)-(4.12) та

(4.14)-(4.15), можливість їх застосування суттєво залежить від значення

константи L у нерівностях (4.13), (4.16). Правильний вибір цієї константи

дозволяє ефективно використовувати ці процеси і отримувати завдяки ним

наближені розв’язки різних контактних задач з достатньою точністю. Слід

відзначити, що завдяки неперервності правих частин рівнянь (4.6) і (4.10) за

сукупністю змінних ітераційні процеси (4.11)-

(4.12) та (4.14)-(4.15) у разі їх збіжності будуть збігатися до розв’язків

систем рівнянь (4.6) та (4.10) відповідно.

kxxx 321 ...,,, , kxxx 221~...,,~,~

4.3. Розв’язування задачі про вдавлювання пружної кулі в

шорсткий пружний півпростір

Розглянемо просторову контактну задачу про вдавлювання пружної

кулі радіуса 3 м в шорсткий пружний півпростір при дії на кулю

стискаючої і зсувної сил [5, 15]. Тіла, які контактують, мають однакові

модулі пружності та коефіцієнти Пуассона

.0

zP xP

1 МПа10210 32 EE

3.021 . Коефіцієнт тертя 3.0 . Значення стискаючої сили

прийнято рівним , а для зсувної сили задавались різні значення:

, , .

zP

кН

кН

50

2.

xP

кН75.3 .7 кН 115

Урахування деформацій мікронерівностей, які утворюють шорсткість,

здійснювалось за допомогою сферичної моделі виступів з використанням

співвідношень (4.2), (2.20), (2.25), в яких значення коефіцієнта приймались

112

рівними 32

Пам0 , 323

35Пам108.0

, 323

35Пам108

, а

значення відповідно до рівностей 0 , 8128.0 .

Чисельний розв’язок задачі отримано на сітці, яка складається з

квадратного граничного елементу, площа кожного з яких рівна

(

1681

м

4141

1016 8 2м4106896.2,41 dn ). Контактні тиски визначались з

використанням ітераційного процесу (3.10), а невідомі значення питомого

дотичного контактного навантаження знаходились за

допомогою ітераційного процесу (4.14)-(4.15), в якому значення параметра

ip

336221 ...,,, xxx

E

вибиралось найбільшим з усіх можливих його значень, що задаються

співвідношенням (4.16) при 3

1МПа1.000

x3

8L , x .

Для кожного зі значень коефіцієнта знаходились значення

безрозмірного параметра max111 pfmax /11 pf , який залежить від

найбільшого значення контактного тиску і від жорсткого зближення

тіл . Значення

max1p

1 характеризує долю нелінійної нормальної деформації

мікронерівностей по відношенню до лінійної нормальної деформації тіл в

найбільш напружено працюючій зоні і може служити мірою фізичної

нелінійності задачі. Було отримано такі значення : для 32

Пам0

0 , для 32

Пам335

8.0 10 0265.0 , для 3

2335

Пам108

2621.0 . Ці значення дозволяють вважати задачу фізично лінійною для

випадку 32

Пам0 , квазілінійною для випадку

323

35Па10

м 8.0 та істотно нелінійною для випадку

32

м 335

Па108 . Отримані результати наведені на рис. 4.1-4.3.

113

а

б

а – квазілінійний випадок; б – істотно нелінійний випадок

Рисунок 4.1 – Розподіл дотичних напружень при кН75.3xP в задачі про

вдавлювання кулі в шорсткий півпростір

а

114

б

а – квазілінійний випадок; б – істотно нелінійний випадок

Рисунок 4.2 – Розподіл дотичних напружень при кН5.7xP в задачі про

вдавлювання кулі в шорсткий півпростір

а

115

б

а – квазілінійний випадок; б – істотно нелінійний випадок

Рисунок 4.3 – Розподіл дотичних напружень при кН2.11xP в задачі про

вдавлювання кулі в шорсткий півпростір

На рис. 4.1 результати представлені у вигляді розподілу дотичних напружень

zx , які діють на поверхні півпростору вздовж вісі x декартової системи

координат xoy , розташованої на границі півпростору з початком в точці

початкового дотику тіл (зсувна сила діє на шар в напрямку вісі xP x ). Рис.

4.1 а), рис 4.2 а) і рис. 4.3 а) відповідають квазілінійному випадку, а рис. 4.1

б), рис 4.2 б) і рис. 4.3 б) – істотно нелінійному випадку. На цих рисунках

суцільна лінія відповідає розв’язку контактної задачі без врахування

шорсткості [107], пунктирна лінія – розв’язку цієї задачі з урахуванням

деформації поверхневих мікронерівностей тіл лише в нормальному напрямку

( 0 ) і кільця – розв’язку задачі з врахуванням деформації поверхневих

мікронерівностей тіл в нормальному і дотичному напрямках ( .0 )8128 .

Наведені дані свідчать про те, що врахування шорсткості поверхонь тіл

в контактній задачі, яка розглядається, призводить до помітного зростання

радіуса зони зчеплення і до зменшення максимального значення дотичних

напружень zx у порівнянні з лінійним випадком, який характеризується

розподілом zx , що співпадає з розв’язком Міндліна [107]. Відмітимо, що для

116

істотно нелінійного випадку найбільше значення напружень zx помітно

знижується у порівнянні з лінійним випадком: на % при врахуванні

нормальної і дотичної деформації мікронерівностей (див. на рис. 4.2 б)

суцільну лінію і лінію кілець) і на % при врахуванні лише нормальної

деформації мікронерівностей (див. на рис. 4.2 б) суцільну і пунктирну лінії).

Аналогічний показник для квазілінійного випадку становить %16 (див. на

рис. 4.2 а) суцільну лінію і лінію кілець) та % (див. на рис. 4.2 а) суцільну

і пунктирну лінії).

9.49

2.28

2.

1.2

Зростання радіусу зони зчеплення на контактній плямі, яке є наслідком

урахування шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл, можна оцінити з

наведених рисунків, прийнявши до уваги, що межа зони зчеплення відповідає

точкам поверхні, у яких досягається найбільше значення дотичних

напружень zx . Найбільш помітно це зростання радіусу зони зчеплення для

істотно нелінійного випадку при одночасному врахуванні нормальної та

дотичної деформації мікронерівностей, і становить воно по

відношенню до лінійного випадку (див. на рис. 4.2 б) суцільну лінію і лінію

кілець).

%3.17

4.4. Розв’язування задачі про вдавлювання циліндричного штампу

з плоскою основою в пружний півпростір

Розглянемо просторову контактну задачу [6] про вдавлювання гладкого

кругового штампу з плоскою основою у шорсткий пружний півпростір при

дії на штамп стискаючої сили кН50P (відповідні значення поглиблення

штампу , які входять в рівняння (4.1), підбирались окремо для кожного

варіанту розрахунку). Радіус основи штампу

*1

м025.0~ R , модуль Юнга

117

півпростору , коефіцієнт Пуассона 3МПа10210 31 E .01 . Значення

коефіцієнту тертя змінювались від до . Врахування шорсткості

поверхні півпростору здійснювалось за допомогою виразів (4.2), (2.20),

(2.31), в яких значення параметру

05.0 1

приймались рівними м0 ,

, м6 103.137 61073.13 м

26 м105625

.

Чисельний розв’язок задачі отримано на сітці, яка складається з

квадратного граничного елементу, площа кожного з яких

дорівнює (

16814141

.1 41n , 26 м105625.2626 d

50432 ,x

). Невідомі значення

питомого контактного навантаження обчислювались за

допомогою ітераційного процесу (4.11)-(4.12), в якому значення параметру

1,x ..., x

E

приймалось найбільшим з усіх можливих його значень, які задаються

співвідношенням (4.13), при 310 x МПа103

2 L , .0x .

З метою апробації розробленого алгоритму проведено співставлення

знайденого розподілу безрозмірних дотичних напружень zxPR 2~~ при

, 0y 1~

/0 x R , отриманого для випадку м0 , 25.0 , з аналогічним

розподілом, який наведено в роботі [68]. На рисунку 4.4 суцільною лінією

зображено графік функції ~ , наведений в [68], а кільцями – окремі точки

графіка цієї функції, знайдені за результатами отриманого чисельного

розв’язку. Цей рисунок свідчить про хорошу відповідність величин, які

порівнюються.

118

~

-0.1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Rx

~/

Рисунок 4.4 – Розподіл безрозмірних дотичних напружень в задачі про

вдавлювання циліндричного штампу в пружний півпростір

За результатами чисельного розв’язку контактної задачі для різних

значень параметрів , обчислювалось значення відношення радіусу зони

зчеплення до радіусу основи штампу 1R R~

. Отримані дані наведені в таблиці

4.1, де перший рядок відповідає випадку відсутності шорсткості ( м0 ),

другий – випадку незначної шорсткості ( м1073.13 6 ) і третій – випадку

істотної шорсткості ( м103.137 6 ).

Таблиця 4.1 – Відношення радіусу зони зчеплення до радіусу основи

штампу

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 0 0 0 0 0 0 0.6 0.85 0.95 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0.05 0.6 0.85 0.95 1 1 1 1 1 1 3 0 0.05 0.05 0.05 0.1 0.15 0.7 1 1 1 1 1 1 1 1

Аналіз наведених даних свідчить про те, що при зростанні значення

від до 1 умови в зоні контакту змінюються від повного проковзування до

повного зчеплення (як при наявності шорсткості, так і при її відсутності).

При наявності істотної шорсткості спостерігається помітне зростання

розмірів зони зчеплення в інтервалі зміни значень

0

від до 4 (у

порівнянні з випадком відсутності шорсткості). Причому, якщо поява

зчеплення при відсутності шорсткості наступає при 2

06.0 .0

.0 , то у випадку

119

незначної шорсткості вона наступає при 1.0 , а у випадку істотної

шорсткості – вже при 06.0 .

Розподіл нормальних z та дотичних zx напружень для різних

значень параметрів , зображено на рисунках 4.5-4.8.

Рисунок 4.5 – Розподіл нормальних напружень при 1.0 в задачі про

вдавлювання циліндричного штампу в пружний півпростір

Рисунок 4.6 – Розподіл дотичних напружень при 1.0 в задачі про

вдавлювання циліндричного штампу в пружний півпростір

120

Рисунок 4.7 – Розподіл нормальних напружень при 3.0 в задачі про

вдавлювання циліндричного штампу в пружний півпростір

Рисунок 4.8 – Розподіл дотичних напружень при 3.0 в задачі про

вдавлювання циліндричного штампу в пружний півпростір

На рисунках 4.5-4.8 суцільною лінією зображено розподіл напружень без

врахування шорсткості, квадратиками – розподіл напружень у випадку

незначної шорсткості і кільцями – розподіл напружень у випадку істотної

шорсткості. Відмітимо, що значення напружень при відсутності шорсткості

та при її наявності достатньо близькі майже на всій контактній плямі, окрім

ділянок, розташованих поблизу меж цієї плями, де спостерігається значне

розходження порівнюваних величин.

121

4.5. Розв’язування задачі про вдавлювання прямокутного штампу з

плоскою основою в пружний півпростір

Розглянемо просторову контактну задачу [8] про вдавлювання гладкого

прямокутного штампу з плоскою основою у шорсткий пружний півпростір

при дії на штамп стискаючої сили кН57P (відповідні значення

поглиблення штампу , які входять в рівняння (4.1), підбирались окремо

для кожного варіанту розрахунку). Ширина основи штампу

*1

м006.02 a

МПа10200 3

,

довжина – , модуль Юнга півпростору ,

коефіцієнт Пуассона 3

м

1

024.02 b 1 E

.0 . Значення коефіцієнту тертя змінювались від

до 1. Врахування шорсткості півпростору здійснювалось за допомогою

виразів (4.2), (2.20), (2.31), в яких значення параметру

05.0

приймались рівними

м0 , , м61073.13 м103.137 6 .

Чисельний розв’язок задачі отримано на сітці, яка складається з

однакових прямокутних граничних елементів (сторони цих

елементів співвідносяться як 1:2), площа кожного з яких дорівнює

( ,

16535729

26 м10125.0 2n 9 26 м10625.206 d

504321 ...,,, xxx

). Невідомі значення питомого

контактного навантаження обчислювались за допомогою

ітераційного процесу (4.11)-(4.12), в якому значення параметру E

приймалось найбільшим з усіх можливих його значень, які задаються

співвідношенням (4.13), при 3103

2 xL , МПа1.00 x .

За результатами отриманого чисельного розв’язку контактної задачі

для різних значень параметрів , обчислювалось значення відношення

півширини зони зчеплення при 01a y до півширини основи штампу .

Отримані дані показані в таблиці 4.2, де у рядку 1 записані значення

a

aa1 ,

наведені в роботі [16] для відповідної плоскої контактної задачі, а у рядках 2,

122

3, 4 – ці значення, знайдені за результатами чисельного розв’язку. Перші два

рядки відповідають випадку відсутності шорсткості ( м0 ), третій –

випадку незначної шорсткості ( м1073.13 6

м6

) і четвертий – випадку

істотної шорсткості ( 103.137 ).

Таблиця 4.2 – Відношення півширини зони зчеплення до півширини

основи штампу

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1

1 0 0 0 0 0 0.037 0.366 0.695 0.868 0.942 0.974 0.993 0.9972 0 0 0 0 0 0 0.333 0.75 0.917 0.917 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0.083 0.417 0.75 0.917 1 1 1 1 4 0 0.083 0.083 0.083 0.167 0.167 0.667 1 1 1 1 1 1

Аналіз наведених даних свідчить про те, що при зростанні значення

від до умови в зоні контакту змінюються від повного проковзування до

повного зчеплення (як при наявності шорсткості, так і при її відсутності).

При наявності істотної шорсткості спостерігається помітне зростання

розмірів зони зчеплення в інтервалі зміни значень

0 1

від до 5 (у

порівнянні з випадком відсутності шорсткості). Причому, якщо поява

зчеплення при відсутності шорсткості наступає при 2

06.0

.0

.0

, то у випадку

незначної шорсткості вона наступає при 1.0 , а у випадку істотної

шорсткості – вже при 0.0 6 . Як і слідувало очікувати, наявність

шорсткості на поверхні півпростору сприяє розширенню зони зчеплення на

контактній площинці. Помітна розбіжність між відповідними значеннями

aa1 у перших двох рядках таблиці 4.2 вірогідно можна пояснити неповною

відповідністю граничних умов плоскої контактної задачі [16] (дані першого

рядка таблиці) та розглянутої у цьому підрозділі просторової контактної

задачі (дані другого рядка таблиці). Очікувана близькість даних першого і

другого рядків цієї таблиці ґрунтується на відповідності значення питомої

стискуючої сили b2PP1 для плоскої контактної задачі [16] значенню

123

стискуючої сили P для розглянутої у цьому підрозділі просторової

контактної задачі.

Розподіл нормальних z та дотичних zx напружень на поверхні

півпростору поздовж поперечної вісі симетрії контактної площинки а також

межові контури зон зчеплення на цій площинці (для різних значень

параметрів , ) зображено на рисунках 4.9-4.11.

а

б в

а – розподіл нормальних напружень; б – розподіл дотичних напружень;

в – межові контури зон зчеплення

Рисунок 4.9 – Результати розв’язання задачі про вдавлювання прямокутного

штампу в пружний півпростір при 1.0

124

а

б в

а – розподіл нормальних напружень; б – розподіл дотичних напружень;

в – межові контури зон зчеплення

Рисунок 4.10 – Результати розв’язання задачі про вдавлювання прямокутного

штампу в пружний півпростір при 2.0

125

а

б в

а – розподіл нормальних напружень; б – розподіл дотичних напружень;

в – межові контури зон зчеплення

Рисунок 4.11 – Результати розв’язання задачі про вдавлювання прямокутного

штампу в пружний півпростір при 3.0

На рисунках 4.9-4.11 суцільною лінією зображено розподіл напружень

та межу зони зчеплення при відсутності шорсткості, квадратиками – при

наявності незначної шорсткості і кільцями – при наявності істотної

шорсткості.

Наведені на рис. 4.9-4.11 результати свідчать про те, що значення

напружень z та zx при відсутності шорсткості несуттєво відрізняються від

значень z та zx при наявності шорсткості майже на всій площинці

контакту, окрім ділянок, розташованих поблизу меж цієї площинки та

поблизу меж між зоною зчеплення та зоною проковзування. Слід зазначити,

126

що розбіжність порівнюваних величин зростає зі зростанням значення

коефіцієнту тертя .

З рисунків 4.9 в) та 4.10 в) випливає, що розміри зон зчеплення,

отримані при відсутності шорсткості, можуть дуже сильно відрізнятися від

цих розмірів для випадку наявності істотної шорсткості. Це означає, що

якісні показники контактної взаємодії тіл можуть суттєво залежати від того,

чи враховується шорсткість поверхонь цих тіл, чи ні.

4.6. Висновки до розділу 4

У цьому розділі розроблено алгоритм чисельного розв’язування

системи нелінійних інтегральних рівнянь, до якої зводяться статичні

контактні задачі про взаємодію пружних шорстких тіл при наявності

кулонова тертя між ними. Для цієї системи інтегральних рівнянь

запропоновано схему дискретизації, згідно з якою ця система зводиться до

системи нелінійних скалярних рівнянь відносно невідомих значень питомого

контактного навантаження, діючого на граничних елементах поверхневої

сітки, яка покриває область можливого контакту тіл. Запропоновано збіжні

ітераційні процеси для розв’язання дискретизованої системи рівнянь

контактної задачі як для випадку ідентичності матеріалів взаємодіючих тіл,

так і для відсутності такої ідентичності.

Можливості розробленого алгоритму продемонстровано шляхом його

застосування для отримання розв’язків різних контактних задач з

врахуванням шорсткості: задачі про контакт пружної кулі з пружним

півпростором, задачі про вдавлювання гладкого циліндричного та гладкого

прямокутного штампів у шорсткий півпростір. На основі аналізу отриманих

результатів розв’язування різних контактних задач без врахування

шорсткості при наявності тертя та порівнянні цих результатів з відомими

127

розв’язками [16, 68, 107] можна зробити висновок про можливість

застосування розробленого алгоритму також і для задач про контакт

шорстких тіл. Обґрунтованість такого висновку підтверджується тим, що

виявлене в розрахунках зростання зон зчеплення при наявності шорсткості

природно обумовлено очевидними міркуваннями.

Аналіз чисельних розв’язків розглянутих задач свідчить про те, що

врахування шорсткості поверхонь взаємодіючих тіл може призводити до

суттєвого зростання площі зони зчеплення і до помітних змін у розподілах

нормальних та дотичних контактних напружень у порівнянні з випадком

взаємодії цих самих тіл при відсутності шорсткості їхніх поверхонь.

128

ВИСНОВКИ

Підводячи підсумок виконаним у дисертаційній роботі дослідженням,

сформулюємо основні отримані наукові результати:

розроблено алгоритм чисельного розв’язання просторових

статичних контактних задач про взаємодію пружних шорстких тіл при

наявності кулонова тертя і невідомій поверхні контакту;

для розглянутих контактних задач отримана система нелінійних

інтегральних рівнянь відносно невідомих розподілів нормального та

дотичного контактного навантаження;

встановлено, що вигляд цих рівнянь не залежить від конфігурацій

плями контакту, а також зон проковзування і зчеплення на цій плямі;

доведено нові теореми існування та єдиності розв'язку задач про

контакт пружних шорстких тіл;

отримано дискретні аналоги нелінійних інтегральних рівнянь

контактних задач для різних варіантів граничних умов;

запропоновано ітераційні процеси для розв’язання дискретних

аналогів рівнянь всіх розглянутих типів контактних задач і для більшості з

цих процесів доведені теореми про збіжність;

проведена апробація запропонованого алгоритму шляхом

співставлення отриманих чисельних розв’язків різних контактних задач з

відомими розв’язками цих задач;

виконано аналіз контактних напружень, що виникають при

стисканні пружних шорстких куль при відсутності тертя; встановлено, що

якщо відношення висоти поверхневих мікронерівностей тіл до жорсткого

зближення тіл менше 05.0 , то впливом шорсткості на контактні напруження

в розглянутій задачі можна знехтувати;

вперше отримано розв’язок тривимірної статичної задачі про

контакт пружної кулі і пружного півпростору (матеріали яких однакові) при

129

наявності кулонового тертя з урахуванням зминання і зсуву поверхневих

мікронерівностей тіл. Показано, що при істотній шорсткості найбільше

значення дотичних напружень знижується на %50 , а радіус зони зчеплення

збільшується на %17 порівняно з випадком відсутності шорсткості;

вперше розв’язані просторові задачі про вдавлювання

циліндричного та прямокутного штампів з плоскими основами в пружний

шорсткий півпростір при наявності кулонового тертя з урахуванням

зминання і зсуву поверхневих мікронерівностей тіл. Показано, що в цих

задачах при наявності істотної шорсткості спостерігається помітне

збільшення розмірів зони зчеплення в інтервалі зміни значень коефіцієнта

тертя від 06.0 до 4.0 .

  130

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Александров А.И. Численное решение статической контактной задачи

о взаимодействии упругих тел, имеющих шероховатые поверхности /

А.И. Александров, Е.В. Грабко // Науковий часопис НПУ імені

М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. – 2009. –

№ 10. – С. 57-63.

2. Александров А.И. Теоремы существования решения для контактной

задачи о взаимодействии упругих тел, имеющих шероховатые

поверхности / А.И. Александров, Е.В. Грабко // Вісник ЗНУ. Фізико-

математичні науки. – 2010. – № 2. – С. 5-11.

3. Александров А.И. Алгоритм численного решения пространственной

контактной задачи о взаимодействии упругих тел, имеющих

шероховатые поверхности / А.И. Александров, Е.В. Грабко // Проблеми

обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – 2011. – Вип. 17. –

С. 23-34.

4. Грабко О.В. Врахування шорсткості поверхонь в задачі про контакт

пружних куль / О.В. Грабко // Вісник ЗНУ. Фізико-математичні

науки. – 2011. – № 1. – С. 14-18.

5. Грабко Е.В. Численное решение статической задачи о контакте

упругих шероховатых тел при наличии кулонова трения / Е.В. Грабко //

Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – 2012. –

Вип. 18. – С. 39-47.

6. Александров А.И. Решение задач о контакте упругих шероховатых тел

с использованием нелинейных интегральных уравнений /

А.И. Александров, Е.В. Грабко // Методи розв’язування прикладних

задач механіки деформівного твердого тіла. – 2012. – Вип. 13. –

С. 14-21.

  131

7. Грабко О.В. Ітераційні процеси для розв’язання статичної задачі про

контакт пружних шорстких тіл / О.В. Грабко // Труды Института

прикладной математики и механики. – 2013. – Т. 27. – С. 104-112.

8. Александров А.И. Решение контактной задачи о вдавливании

прямоугольного штампа в упругое шероховатое полупространство при

наличии кулонова трения / А.И. Александров, Е.В. Грабко // Вестник

Самарского государственного технического ун-та. Сер. физ.-мат.

науки. – 2014. – Вып. 4(37). – С. 42-52.

9. Грабко Е.В. Постановка статической задачи о контакте упругих тел,

имеющих шероховатые поверхности / Е.В. Грабко, А.И. Александров //

8-ма Всеукраїнська наукова конференція молодих дослідників

«Актуальні проблеми математики та інформатики»: Матеріали конф.

29-30 квітня 2010 р. – Запоріжжя: ЗНУ, 2010. – С. 9-11.

10. Александров А.И. Нелинейные интегральные уравнения статической

задачи о контакте упругих тел, имеющих шероховатые поверхности /

А.И. Александров, Е.В. Грабко // VI Международная научная

конференция «Актуальные проблемы механики деформируемого

твердого тела»: Материалы конф. 8-11 июня 2010 г. – Донецк: Юго-

Восток, 2010. – С. 16-18.

11. Грабко Е.В. Метод нелинейных интегральных уравнений для решения

статической контактной задачи о взаимодействии упругих тел,

имеющих шероховатые поверхности [Электронный ресурс] /

Е.В. Грабко // Международный молодежный научный форум

«Ломоносов – 2011»: Материалы форума 11-15 апреля 2011 г. – М.:

МАКС Пресс, 2011. – 1 электрон. опт. диск (DVD-ROM); 12 см. –

Систем. требования: ПК с процессором 486+; Windows 95; дисковод

DVD-ROM; Adobe Acrobat Reader. Режим доступу: http://lomonosov-

msu.ru/archive/Lomonosov_2011/1258/32025_fede.pdf.

12. Грабко Е.В. Учет шероховатости поверхностей взаимодействующих

тел в контактных задачах теории упругости / Е.В. Грабко,

  132

А.И. Александров // 2-га Всеукраїнська, 9-та регіональна наукова

конференція молодих дослідників «Актуальні проблеми математики та

інформатики»: Матеріали конф. 28-29 квітня 2011 р. – Запоріжжя: ЗНУ,

2011. – С. 66-69.

13. Александров А.И. Итерационные процессы для решения дискретного

аналога пространственной контактной задачи о взаимодействии

упругих тел, имеющих шероховатые поверхности / А.И. Александров,

Е.В. Грабко // XVII Международная конференция по вычислительной

механике и современным прикладным программным системам:

Материалы конф. 25-31 мая 2011 г. – М.: МАИ-ПРИНТ, 2011. –

С. 272-274.

14. Грабко О.В. Статична задача про контакт пружних куль, що мають

шорсткі поверхні / О.В. Грабко // II Міжнародна конференція молодих

вчених «Інженерна механіка та транспорт»: Матеріали конф. 24-26

листопада 2011 р. – Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2011. –

С. 12-13.

15. Грабко Е.В. Статическая задача о контакте упругого шероховатого

шара и упругого полупространства с учетом трения кулона /

Е.В. Грабко, А.И. Александров // 3-тя Всеукраїнська, 10-та регіональна

наукова конференція молодих дослідників «Актуальні проблеми

математики та інформатики»: Матеріали конф. 26-27 квітня 2012 р. –

Запоріжжя: ЗНУ, 2012. – С. 71-74.

16. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости / Л.А. Галин. – М.:

Гостехиздат, 1953. – 250 с.

17. Развитие теории контактных задач в СССР / [под ред. Л.А. Галина]. –

М.: Наука, 1976. – 498 с.

18. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости /

Л.А. Галин. – М.: Наука, 1980. – 302 с.

19. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости / И.Я. Штаерман. –

М.-Л.: Гостехиздат, 1949. – 270 с.

  133

20. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической

теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1966. – 708 с.

21. Моссаковский В.И. Основная смешанная задача теории упругости для

полупространства с круговой линией раздела граничных условий /

В.И. Моссаковский // Прикл. мат. и мех. – М., 1954. – Т. 18, вып. 2. –

С. 16-22.

22. Моссаковский В.И. О перекатывании упругих тел / В.И. Моссаковский //

Труды ІІІ Всесоюзного математического съезда. – М.: Изд-во

АН СССР, 1956. – Т. 1. – С. 207.

23. Моссаковский В.И. Контактные задачи теории оболочек и стержней /

В.И. Моссаковский, В.С. Гудрамович, Е.М. Макеев. – М.:

Машиностроение, 1978. – 248 с.

24. Моссаковский В.И. Решение задачи о вдавливании штампа в упругую

полуплоскость с учетом микроскольжения методом малого параметра /

В.И. Моссаковский, А.Г. Бискуп, Л.В. Моссаковская. –

Днепропетровск: ДГУ, 1981. – 28 с.

25. Моссаковский В.И. Контактные задачи математической теории

упругости / В.И. Моссаковский, Н.Е. Качаловская, С.С. Голикова. –

Киев: Наук. думка, 1985. – 176 с.

26. Моссаковский В.И. Решение задачи Галина с помощью конформных

отображений / В.И. Моссаковский, А.Г. Бискуп // Ukr. – Pol. Semin.

“Тeor. Found. Civ. Eng.”. – Pridneprov. State Acad. Civ. Eng. And Archif.,

Warsaw Univ. Technol. Fac. Civ. Eng. – Warsaw. – 1997. – C. 159-164.

27. Ворович И.И. О давлении штампа на слой конечной толщины /

И.И. Ворович, Ю.А. Устинов // Прикл. мат. и мех. – 1959. – Т. 23,

вып. 3. – С. 445-455.

28. Ворович И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости /

И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. – М.: Наука,

1974. – 456 с.

  134

29. Механика контактных взаимодействий / [под ред. И.И. Воровича,

В.М. Александрова]. – М.: Физматлит, 2001. – 670 с.

30. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи / В.М. Сеймов. – Киев:

Наук. думка, 1976. – 283 с.

31. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар /

Н.А. Кильчевский. – Киев: Наук. думка, 1976. – 314 с.

32. Рвачёв В.Л. Контактные задачи теории упругости для классических

областей / В.Л. Рвачёв, В.С. Проценко. – Киев: Наук. думка, 1977. – 235 с.

33. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого

основания / Г.Я. Попов. – Киев-Одесса: Вища школа, 1982. – 168 с.

34. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах

теории упругости / В.М. Александров // Прикл. мат. и мех. – 1968. –

Т. 32, вып. 4. – С. 672-683.

35. Александров В.М. Асимптотический анализ плоской и

осесимметричной контактных задач при учете поверхностной

структуры взаимодействующих тел / В.М. Александров, И.И. Кудиш //

Изв. АН СССР, МТТ. – 1979. – № 1. – С. 58-70.

36. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах с

нелинейным трением / В.М. Александров, И.И. Кудиш // Прикл.

механика. – 1981. – Т. 17, № 6. – С. 76-84.

37. Александров В.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями

и прослойками / В.М. Александров, С.М. Мхитарян. – М.: Наука,

1983. – 487 с.

38. Александров В.М. Контактные задачи в машиностроении /

В.М. Александров, Б.Л. Ромалис. – М.: Машиностроение, 1986. – 176 с.

39. Александров В.М. Неклассические пространственные задачи механики

контактных взаимодействий упругих тел / В.М. Александров,

Д.А. Пожарский. – М.: Факториал, 1998. – 288 с.

  135

40. Александров В.М. Асимптотические методы в задачах механики

контактных взаимодействий / В.М. Александров // Прикл. механика. –

2003. – Т. 39, № 8. – С. 48-56.

41. Александров В.М. Трехмерные контактные задачи при учете трения и

нелинейной шероховатости / В.М. Александров, Д.А. Пожарский //

Прикл. мат. и мех. – 2004. – Т. 68, вып. 3. – С. 516-527.

42. Johnson K.L. The effect of a tangential contact force upon the rolling motion

of an elastic sphere on a plane / K.L. Johnson // Trans. ASME. J. Appl.

Mech. – 1958. – Vol. 25, № 3. – Р. 339-346.

43. Vermeulen P.J. Contact of non-spherical bodies transmitting tangential

forces / P.J. Vermeulen, K.L. Johnson // Trans. ASME, J. Appl. Mech. –

1964. – Vol. 31, № 1. – P. 338-340.

44. Джонсон К.Л. Механика контактного взаимодействия / К.Л. Джонсон. –

М.: Мир, 1989. – 510 с.

45. Kalker J.J. On the rolling contact of two elastic bodies in the presence of dry

friction. Doctoral Thesis / J.J. Kalker. – Netherlands: Delft, 1967. – 155 p.

46. Kalker J.J. A minimum principle for frictionless elastic contact with

application to non-Hertzian half-space contact problems / J.J. Kalker,

Y. van Randen // J. Eng. Math. – 1972. – Vol. 6, № 2. – P. 193-206.

47. Kalker J.J. Simulation of rough, elastic contacts / J.J. Kalker, F.M. Dekking,

E.A.H. Vollebregt // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1997. – № 2, v. 64. –

P. 361-368.

48. Мхитарян С.М. Вдавливание круглого штампа в упругое шероховатое

полупространство / С.М. Мхитарян, А.Л. Шекян, Л.А. Шекян // Изв.

РАН, МТТ. – 2009. – № 5. – С. 90-98.

49. Горячева И.Г. Плоские и осесимметричные контактные задачи для

шероховатых упругих тел / И.Г. Горячева // Прикл. мат. и мех. – 1979. –

Т. 43, вып. 1. – С. 99-105.

50. Горячева И.Г. Контактные задачи в трибологии / И.Г. Горячева,

М.Н. Добычин. – М.: Машиностроение, 1988. – 253 с.

  136

51. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия /

И.Г. Горячева. – М.: Наука, 2001. – 478 с.

52. Галахов М.А. Дифференциальные и интегральные уравнения

математической теории трения / М.А. Галахов, П.Л. Усов. – М.: Наука,

1990. – 278 с.

53. Bhushan B. Contact mechanics of rough surfaces in tribology: Single

asperity contact / В. Bhushan // AMR. – 1996. – Vol. 49, № 5. – P. 275-298.

54. Кубенко В.Д. Плоская несимметричная задача погружения жесткого

кругового цилиндра в жидкость / В.Д. Кубенко, В.В. Гавриленко //

Прикл. механика. – 1999. – Т. 35, № 8. – С. 61-70.

55. Кубенко В.Д. Нестационарная плоская контактная задача теории

упругости для согласованных цилиндрических поверхностей /

В.Д. Кубенко // Прикл. механика. – 2004. – Т. 40, № 1. – С. 72-82.

56. Кубенко В.Д. Удар затупленных тел о поверхность жидкости или упругой

среды / В.Д. Кубенко // Прикл. механика. – 2004. – Т. 40, № 11. – С. 3-44.

57. Кубенко В.Д. Плоска симетрична задача про удар твердого

циліндричного тіла по поверхні каверни при суперкавітаційному

обтіканні / В.Д. Кубенко, О.В. Гавриленко // Мат. методи та фіз.-мех.

поля. – 2007. – Т. 50, № 1. – С. 82-90.

58. Кубенко В.Д. Плоская задача нестационарного вдавливания

затупленного жесткого индентора в поверхность упругого слоя /

В.Д. Кубенко, Т.А. Марченко // Прикл. механика. – 2008. – Т. 44, № 3. –

С. 55-65.

59. Кубенко В.Д. Волновые процессы в упругой полуплоскости при ударе

затупленным твердым телом / В.Д. Кубенко // Изв. РАН, МТТ. – 2011. –

№ 2. – С. 118-129.

60. Гузь О.М. Контактна взаємодія тiл з початковими напруженнями /

О.М. Гузь, С.Ю. Бабич, В.Б. Рудницький. – Київ: Вища школа,

1995. – 304 с.

  137

61. Гузь А.Н. Контактные задачи для упругих тел с начальными

(остаточными) напряжениями / А.Н. Гузь, В.Б. Рудницкий. –

Хмельницкий: Печать ЧП Мельник А.А., 2004. – 622 с.

62. Гузь А.Н. Основы теории контактного взаимодействия упругих тел с

начальными (остаточными) напряжениями / А.Н. Гузь, В.Б. Рудницкий.

Хмельницкий: Печать ЧП Мельник А.А., 2006. – 710 с.

63. Гузь А.Н. Контактное взаимодействие упругих тел с начальными

напряжениями / А.Н. Гузь, С.Ю. Бабич, В.Б. Рудницкий // Развитие

идей Л.А. Галина в механике. К столетию со дня рождения ученого. –

2013. – С. 188-244.

64. Острик В.И. Равномерное вращение предварительно сжатых жесткого

и упругого дисков при учете сил трения в контакте / В.И. Острик,

А.Ф. Улитко // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня

рождения А.Ю. Ишлинского. – 2003. – С. 619-634.

65. Острик В.И. Контактное взаимодействие штампа с упругой

полуплоскостью при наличии трения и сцепления / В.И. Острик // Теор.

и прикл. мех. – 2004. – № 39. – С. 94-101.

66. Острик В.И. Метод Винера-Хопфа в контактных задачах теории

упругости / В.И. Острик, А.Ф. Улитко. – Киев: Наук. думка, 2006. – 328 с.

67. Острик В.И. Вдавливание штампа в упругую полосу при наличии

трения и сцепления / В.И. Острик // Изв. РАН, МТТ. – 2011. – № 5. –

С. 118-129.

68. Острик В.И. Контактное взаимодействие кругового штампа с упругим

полупространством при наличии трения и сцепления / В.И. Острик //

Теор. и прикл. мех. – 2011. – № 48. – С. 22-28.

69. Приварников А.К. Упругие многослойные основания /

А.К. Приварников, В.Д. Ламзюк. – Днепропетровск, 1985. – 162 с.

70. Александров А.И. Численное решение пространственных контактных

задач для многослойных оснований / А.И. Александров, Ю.О. Матузко,

  138

А.К. Приварников // Современные проблемы механики сплошной

среды. – Ростов-на-Дону, 2003. – С. 11-14.

71. Приварников А.К. Численное решение пространственной контактной

задачи о вдавливании штампа в двухслойное основание /

А.К. Приварников, А.И. Александров // Вісник Дніпропетровського ун-

ту. – 2011. – Т. 1, № 6. – С. 17-21.

72. Криштафович А.А. Контактное взаимодействие анизотропной

полуплоскости и жесткого тела с периодическим микрорельефом

поверхности / А.А. Криштафович, Р.М. Мартыняк, Р.Н. Швец // Трение

и износ. – 1994. – Т. 15, № 3. – С. 366-373.

73. Мартыняк Р.М. Контактная задача для анизотропной полуплоскости и

жесткого тела, имеющего неровную поверхность / Р.М. Мартыняк,

А.А. Криштафович // Прикл. механика. – 1994. – Т. 30, № 7. – С. 74-78.

74. Кіт Г.С. Вплив сил тертя на параметри термічного і дифузійного

контакту пружних тіл з регулярним рельєфом / Г.С. Кіт, Р.М. Мартыняк,

А.А. Криштафович, І.М. Мачишин // Машинознавство. – 2000. – № 3. –

С. 3-8.

75. Горячева И.Г. Контактное взаимодействие тел с периодическим

рельефом при частичном проскальзывании / И.Г. Горячева,

Н.И. Маланчук, Р.М. Мартыняк // Прикл. математика и механика. –

2012. – Т. 76, вып. 5. – С. 695-709.

76. Пожуев В.И. Вдавливание штампа в форме некругового кольца под

действием центральной силы / В.И. Пожуев, Т.А. Зайцева //

I Всесоюзная конференция «Технологические проблемы прочности

несущих конструкций»: Материалы конф. – 1991. – Т. 2. – С. 138-143.

77. Пожуев В.И. Определение давлений под штампом ограниченным в

плане кривыми близкими к квадратам / В.И. Пожуев, Т.А. Зайцева //

Изв. вузов. Строительство. – 1993. – Вып. 10. – С. 37-41.

  139

78. Зайцева Т.А. О решении пространственных контактных задач для

некругового штампа / Т.А. Зайцева, В.И. Пожуев // Изв. РАН, МТТ. –

1994. – №4. – С. 62-70.

79. Кузьменко В.И. Исследование напряженного состояния тела в

контактных задачах адгезионного движения / В.И. Кузьменко,

Г.Й. Михальчук // Вісник Дніпропетровського ун-ту. – 2004. – Т. 2,

№ 8. – С. 129-136.

80. Михальчук А.И. Компьютерный анализ процессов адгезионного

движения / А.И. Михальчук, В.И. Кузьменко // Проблеми

обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – 2011. – Вип. 17. –

С. 202-210.

81. Кузьменко В.І Контактні задачі руху пружних тіл уздовж твердих

поверхонь / В.І. Кузьменко, Г.Й. Михальчук // Мат. методи та фіз.-мех.

поля. – 2013. – Т. 56, № 1. – С. 84-93.

82. Александров А.И. Решение задач контактного взаимодействия упругих

тел с использованием нелинейных операторных уравнений /

А.И. Александров. – Днепропетровск, 1989. – 74 с. – (Препринт / АН

УССР. Ин-т технической механики; 89-2).

83. Александров А.И. Решение задач о контакте упругих тел с

использованием нелинейных интегральных уравнений /

А.И. Александров // Доповіді НАН України. – 2012. – № 11. – С. 47-52.

84. Крагельский И.В. Основы расчётов на трение и износ /

И.В. Крагельский, М.Н. Добычин, В.С. Комбалов. – М.:

Машиностроение, 1977. – 576 с.

85. Крагельский И.В. Трение и износ / И.В. Крагельский. – М.: Машгиз,

1962. – 384 с.

86. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей /

Н.Б. Демкин. – М.: Наука, 1970. – 227 с.

  140

87. Кравчук A.C. Решение нелинейных контактных задач с учетом трения

вариационными методами / А.С. Кравчук // Механика и научно-

технический прогресс. – 1988. – Т. 3. – С. 154-169.

88. Кравчук А.С. Контактное взаимодействие цилиндрических тел с

учетом параметров шероховатости поверхности / А.С. Кравчук //

Прикл. мех. и техн. физ. – 1999. – Т.40. – С.139-143.

89. Кравчук А.С. Нелокальный контакт шероховатых тел по

эллиптической области / А.С. Кравчук // Изв. РАН, МТТ. – 2005. –

№ 3. – С. 329-339.

90. Кравчук А.С. Решение контактных задач с использованием метода

граничных элементов / А.С. Кравчук, П. Нейттаанмяки // Прикл. мат. и

мех. – 2007. – Вып. 2, т. 71. – С. 329-339.

91. Chyanbin H. Contact problems of two dissimilar anisotropic elastic bodies /

H. Chyanbin, C.W. Fan // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1998. – V. 65,

№ 3. – P. 580-587.

92. Greenwood J.A. The contact of nominally flat surfaces / J.A. Greenwood,

J.B.P. Williamson // Proc. Roy. Soc (London). – 1966. – № 295. – P. 300-319.

93. Greenwood J.A. A unified theory of surface roughness / J.A. Greenwood //

Proc Roy. Soc (London). – 1984. – № 393. – P. 133-157.

94. Majumdar A. Characterizstion and modeling of surface roughness and

contact mechanics / A. Majumdar, B. Bhushan // Handbook of Micro/Nano

Tribology. – 1995. – P. 109-165.

95. Archard J.F. Elastic deformation and the laws of friction / J.F. Archard //

Proc. Roy. Soc (London). – 1957. – № 243. – P. 190-205.

96. Borodich F.M. Multilevel profile with hierarchical structure: self-affinity,

fractality and applications to contact problems / F.M. Borodich,

D.A. Onishchenko. – Departmemt of Mathematics, Glasgow Caledonian

University Report TR/MAT, 1997. – 85 p.

  141

97. Wang S. A fractal theory of the temperature distribution at elastic contacts

of fast sliding surfaces / S. Wang, K. Komvopoulos // Trans. ASME J.

Tribology. – 1995. – № 117. – P. 203-215.

98. Majumdar A. Fractal model of elastic-placstic contact between rough

surfaces / A. Majumdar, B. Bhushan // Trans. ASME J. Tribology. – 1991. –

№ 113. – P. 1-11.

99. Borri-Brunetto М. Lacunarity of the contact domain between elastic bodies

with rough boundaries / M. Borri-Brunetto, A. Carpinteri, B. Chiaia //

Probamat-21st Century: Probabilities and Materials. – 1998. – P. 45-64.

100. Borri-Brunetto M. Contact, closure and friction behaviour of rough crack

concrete surfaces / M. Borri-Brunetto, A. Carpinteri, B. Chiaia // H. (Ed.),

Framcos 3, Fracture of Concrete Structures. – 1998. – P. 122-134.

101. Sainsot P. Effect of surface coating in a rough normally loaded contact /

P. Sainsot, J.M. Leroy, B. Villechaise // Мech. Coatings: Proc. 16th Leed-

Lyon Symp. Tribol., Lyon, 1989. – Amsterdam etc. – 1990. – P. 151-156.

102. Barber J.R. Contact mechanics / J.R. Barber, M. Caivarella // Int. J. Solids

and Struct. – 2000. – V. 37, № 1-2. – P. 29-43.

103. Вовкушевский А.В. Вариационная постановка и методы решения

контактной задачи с трением при учете шероховатости поверхностей /

А.В. Вовкушевский // Изв. РАН, МТТ. – 1991. – № 3. – С. 56-62.

104. Ольшевский А.А. Решение тангенциальной контактной задачи для тел

с шероховатыми поверхностями в упругой постановке /

А.А. Ольшевский, К.В. Шевченко, Л.В. Винник / Динамика, прочность

и надежность транспортных машин. – 2003. – С.63-67.

105. Гоменюк С.И. Решение контактной задачи о штампе, в плане имеющем

форму квадратного кольца / С.И. Гоменюк, Н.Н. Дьяченко,

Е.В. Шашкова, К.В. Шашков // Теор. и прикл. мех. – 2005. – № 40. –

С. 54-62.

  142

106. Гусев И.Т. Исследование жёсткости консольно-горизонтально-

фрезерного станка: автореф. дис. на соискание уч. степени канд. техн.

наук / И.Т. Гусев. – М., 1950. – 19 с.

107. Mindlin R.D. Compliance of elastic bodies in contact / R.D. Mindlin //

Journal of Applied Mechanics. – 1949. – Vol. 16, № 3. – P. 259-268.

108. Чеповецкий И.Х. Механика контактного взаимодействия при алмазной

обработке / И.Х. Чеповецкий. – Киев: Наукова думка, 1978. – 228 с.

109. Дьяченко Н.Н. Контакт параболоидного штампа с упругим

шероховатым полупространством в условиях частичного

проскальзывания / Н.Н. Дьяченко, Е.В. Шашкова // Вісник ЗНУ.

Фізико-математичні науки. – 2010. – № 2. – С. 29-37.

110. Pauk V. Plane contact problems with partial slip for rough half-space /

V. Pauk, B.W. Zastrau // J.Theor. and Appl. Mech. – 2004. – Vol. 42,

№ 1. – P. 107-124.

111. Pauk V. Plane contact problems with partial slip for rough half-space /

V. Pauk // Journal of Polish Agricultural Universities. – 2006, – Vol. 9,

№ 1. – P. 14-23.

112. Розин Л.А. Контактная задача теории упругости с односторонними

связями и зацеплением / Л.А. Розин // Изв. вузов. Стр-во. – 2002. –

№ 10. – С. 52-56.

113. Shashkova Y. The solution of a contact problem of a square punch with

rough half-space at the sedate law of deformation of a roughness /

Y. Shashkova, N. Dyachenko, K. Shashkov // Mechanika. – 2005. –

P. 95-102.

114. Michalowski R. Associated and nonassociated sliding rules in contact

friction problems / R. Michalowski, Z. Mroz // Arch. Mech. – 1978. – V. 30,

№ 3. – P. 259-276.

115. Benson D.J. A single surface contact algorithm for the postbuckling analysis

of shell structures / D.J. Benson, J.O. Hallquist // Comput. Meih. Appl.

Mech. Engng. – 1990. – V. 78, № 2. – P. 141-163.

  143

116. Oden J.T. Models and computational methods for dynamic frictional

phenomena / J.T. Oden, J.A.C. Martins // Comput. Meth. Appl. Mech.

Engng. – 1986. – V. 52. – P. 527-634.

117. Соту T.F. Mathematical programming method for design of elastic bodies in

contact / T.F. Соту, A.A. Seireg // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 1971. –

V. 38, № 2. – P. 387-392.

118. Fiat O. Frottement solide / O. Fiat // Bull. Union phys. – 1997. – V. 91,

№ 798. – P. 1911-1924.

119. Давыдов В.С. Метод реализации модели контактного взаимодействия в

МКЭ при решении задач о формоизменении сплошных сред /

В.С. Давыдов, Е.Н. Чумаченко // Изв. РАН, МТТ. – 2000. – № 4. –

С. 53-63.

120. Ciavarella M. Elastic multiscale contact of rough surfaces: Archard's model

revisited and comparisons with modern fractal models / M. Ciavarella,

G. Demelio // Trans. ASME. J. Appl. Mech. – 2001. – V. 68, № 3. –

P. 496-498.

121. Алексеев А.Е. Нелинейные законы сухого трения в контактных задачах

линейной теории упругости / А.Е. Алексеев // Прикл. мех. и техн. физ. –

2002. – Т. 43, № 4. – С. 161-169.

122. Галанов Б.А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для

контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей

контакта / Б.А. Галанов // Прикл. мат. и мех. – 1985. – Т. 49, вып. 5. –

С. 827-835.

123. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович,

Г.П. Акилов. – М.: Наука, 1984. – 752 с.

124. Hertz H. Über berechung fester elastischer körper / H. Hertz // J. für reine

und angew. math. – 1882. – Bd. 92. – P. 156-171.

125. Динник А.Н. Удар и сжатие упругих тел / А.Н. Динник // Известия

киевского политехнического института. – 1909. – Кл. А. – С. 253-371.

  144

126. Беляев Н.М. Вычисление наибольших расчётных напряжений при

сжатии соприкасающихся тел / Н.М. Беляев // Труды по теории

упругости и пластичности. – М.: Гостехиздат, 1957. – С. 230-261.

127. Беляев Н.М. Местные напряжения при сжатии упругих тел /

Н.М. Беляев // Труды по теории упругости и пластичности. – М.:

Гостехиздат, 1957. – С. 31-145.

128. Cattaneo C. Sul contatto di due corpi elastici: distribuzione locate degli

sforzi / C. Cattaneo // Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei. –

1938. – № 27. – P. 342-348.

129. Carter F.W. On the action of a locomotive driving wheel / F.W. Carter //

Proc. Roy. Soc., Ser. A. – 1926. – Vol. 12. – P. 151-157.

130. Механика и научно-технический прогресс: в 4 т. / [под ред.

К.В. Фролова, Н.Х. Арутюняна, А.Ю. Ишлинского и др.]. – М.: Наука,

1988. – Т. 3: Механика деформируемого твердого тела. – 1988. – 272 с.

131. Дьяченко Н.Н. Задача контакта квадратного в плане штампа с

шероховатым полупространством в условиях частичного

проскальзывания / Н.Н. Дьяченко, Н.И.-В. Манько, Е.В. Шашкова //

Методи розв’язування прикладних задач механіки деформівного

твердого тіла. – 2012. – Вип. 13. – С. 159-168.

132. Чаплыгин С.А. Давление жесткого штампа на упругое основание.

Собрание сочинений. Том 3 / С.А. Чаплыгин. – Москва-Ленинград:

Гостехиздат, 1950. – 457 с.

133. Клубин П.И. Расчет балочных и круглых плит на упругом основании /

П.И. Клубин // Инженерный сборник ИМ АН СССР. – 1952. – Т. 12. –

С. 10-18.

134. Sadowski M.L. Zweidimensionale Probleme der Elastizitätstheorie /

M.L. Sadowski // Z. Angew. Math. Mech. – 1928. – Vol. 8, № 2. –

P. 107-121.

  145

135. Антипов Ю.А. Контактная задача теории упругости при наличии

трения и сцепления / Ю.А. Антипов, Н.Х. Арутюнян // Прикл. мат. и

мех. – 1991. – Т. 55, вып. 6. – С. 1005-1017.

136. Абрамов В.М. Проблема контакта упругой полуплоскости с абсолютно

жестким фундаментом при учете сил трения / В.М. Абрамов // Докл.

АН СССР. – 1939. – Т. 17, № 4. – С. 32-40.

137. Калбиев Р.К. Изгиб балки двухсвязного поперечного сечения с

шероховатостью / Р.К. Калбиев // Вестн. Саратов. гос. техн. ун-та. –

2006. – № 4. – С. 29-34.

138. Калоеров С.А. Вдавливание штампа, близкого к круговому в плане, в

упругое шероховатое полупространство / С.А. Калоеров,

С.Ф. Шишканова, Н.Н. Дьяченко // Теор. и прикл. мех. – 2003. – № 37. –

С. 59-65.

139. Indeitsev D.A. Dynamic stresses of elastic half-plane with rough boundary /

D.A. Indeitsev, V.N. Naumov, E.I. Prockuratova // Advanced Problems in

Mechanics: Proceedings of the 30 Summer School June 27 – July 6, 2002. –

St. Petersburg (Repino), 2003. – P. 280-285.

140. Signorini A. Sopra alcune questioni di elastostatica / A. Signorini // Atti Soc.

Ital. Progr. Sci. – 1933. – P. 513-533.

141. Fichera G. Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di

Signorini con ambigue al contorno / G. Fichera // Mat. Acad. Naz. Lincei,

ser. 8. – 1964. – Vol. 7. – P. 91-140.

142. Дюво Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионс. –

М.: Наука, 1980. – 383 с.

143. Кравчук А.С. К теории контактных задач с учётом трения на

поверхности соприкосновения / А.С. Кравчук // Прикл. мат. и мех. –

1980. – Т. 44, вып. 1. – С. 122-129.

144. Кравчук А.С. Решение некоторых пространственных контактных задач

с учётом трения на поверхности соприкосновения / А.С. Кравчук //

Трение и износ. – 1981. – Т. II, № 4. – С. 589-595.

  146

145. Спектор А.А. Вариационный метод исследования контактных задач с

проскальзыванием и сцеплением / А.А. Спектор // Докл. АН СССР. –

1977. – Т. 236, № 1. – С. 39-42.

146. Вовкушевский А.В. О решении контактных задач с трением /

А.В. Вовкушевский // Изв. Всесоюз. н.-и. ин-та гидротехн. – 1980. –

Т. 136. – С. 9-12.

147. Вовкушевский А.В. Расчёт массивных гидротехнических сооружений с

учётом раскрытия швов / А.В. Вовкушевский, Б.А. Шойхет. – М.:

Энергия, 1981. – 136 с.

148. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения.

Выпуклые и невыпуклые функции энергии / П. Панагиотопулос. – М.:

Мир, 1989. – 494 с.

149. Гольдштейн Р.В. Решение пространственных контактных задач

качения с проскальзыванием и сцеплением / Р.В. Гольдштейн,

А.Ф. Зазовский, А.А. Спектор и др. – М., 1979. – 37 с. – (Препринт / АН

СССР. Ин-т проблем механики; № 134).

150. Гольдштейн Р.В. Решение вариационными методами

пространственных контактных задач качения с проскальзыванием и

сцеплением / Р.В. Гольдштейн, А.Ф. Зазовский, А.А. Спектор,

Р.П. Федоренко // Успехи механики. – 1982. – Вып. 314. – С. 61-102.

151. Campos L.T. A numerical analysis of a class contact problems with friction

in elastostatics / L.T. Campos, J.T. Oden, N. Kikuchi // Comput. Meth.

Appl. Mech. and Eng. – 1982. – Vol. 34, № 1-3. – P. 821-845.

152. Главачек И. Решение вариационных неравенств в механике /

И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас и др. – М.: Мир, 1986. – 270 с.

153. Tabor D. Friction – the present state of our understanding / D. Tabor //

J. Lubr. Technology. – 1981. – V. 103. – P. 169-179.

154. Ольшевский А.А. Решение контактных задач с учетом шероховатости

поверхностей контакта методом конечных элементов с использованием

  147

трехмерных расчетных схем / А.А. Ольшевский // Динамика, прочность

и надежность транспортных машин. – 2002. – С.149-154.

155. Ольшевский А.А. Методика решения контактных задач для тел

произвольной формы с учетом шероховатости поверхности методом

конечных элементов: автореф. дис. на соискание уч. степени канд.

техн. наук: спец. 01.02.06 «Динамика, прочность машин, приборов и

аппаратуры» / А.А. Ольшевский. – Брянск, 2003. – 19 с.

156. Дьяченко Н.Н. Решение задачи о скольжении штампа с трением по

границе шероховатого полупространства с линейным законом

деформирования шероховатости / Н.Н. Дьяченко, Е.В. Шашкова //

Вісник ЗНУ. Фізико-математичні науки. – 2006. – № 1. – С. 25-33.

157. Дьяченко Н.Н. Задача о скольжении с трением параболоидного штампа

по границе упругого шероховатого полупространства / Н.Н. Дьяченко,

Е.В. Шашкова // Вісник ЗНУ. Фізико-математичні науки. – 2008. –

№ 1. – С. 66-75.

158. Takahashi S. A boundary element frexibility approach for solving contact

problems with and without friction / S. Takahashi, C.A. Brabbia // Eng.

Anal. Boundary Elem. – 1992. – Vol. 9, № 1. – P. 3-11.

159. Fischer U. Solution of contact problems with methods of the linger

optimization / U. Fischer // St. Ear. Solid Mech. Conf., Munchen. Abstr. –

S. 1, s. a. – P. 82.

160. Chol S.Y. Sensitivity analisis of the variational inequality for unilateral

contact of elastic body with enlarging contact zone / S.Y. Chol // Suhak. –

Math. – 1992. – № 4. – P. 18-22.

161. Zavarise G. A method for solving contact problems / G. Zavarise,

P. Wrigers, B.A. Shrefler // Int. J. Numer. Meth. Eng. – 1998. – Vol. 42,

№ 3. – P. 473-498.

162. Толок В.А. К развитию вычислительной процедуры алгоритмической

системы решения задач теории упругости в применении к контактным

  148

задачам / В.А. Толок, К.Э. Эшкуватов. – Запорожье: Запорож. ун-т,

1993. – 18 с.

163. Тариков Г.П. Метод электрического моделирования контактных

напряжений при вдавливании внецентральнонагруженного штампа в виде

параболоида вращения в упругое полупространство / Г.П. Тариков //

Пробл. прочн. – 1992. – № 1. – С. 57-60.

164. Tanaka N. Расчёт давления в эллиптическом контакте Герца / N. Tanaka //

Ninon kikai gakka ronbunshu. C. – Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. –

1999. – Vol. 65, № 638. – P. 331-333.

165. Hanus E. Pressure rolling contact: steady state flow analysis and comparison

with experimental data / E. Hanus, H. Maitournam, V.K. Dang // Int. J.

Solids and Struct. – 1996. – Vol. 33, № 25. – P. 3739-3753.

166. Дубошин Г.Н. Теория притяжения / Г.Н. Дубошин. – М.: Физматгиз,

1961. – 288 с.

167. Закорко В.Н. К контактной задаче теории упругости для

полупространства с прямоугольным штампом / В.Н. Закорко // Качеств.

вопр. геом. и анал. – Хабаровск: Хабар. гос. пед. ин-т., 1990. – С. 20-24.

168. Турняк Л.И. Задача Герца для негладких тел в проектных расчётах на

контактную прочность / Л.И. Турняк // Мат. моделир. и прочн.

элементов констр. – 1997. – С. 22-27.

169. Рабинович А.С. Плоская контактная задача для шероховатых упругих

тел / А.С. Рабинович // Изв. АН СССР, МТТ. – 1974. – № 3. –

С. 165-172.

170. Рабинович А.С. Осесимметричная контактная задача для шероховатых

упругих тел / А.С. Рабинович // Изв. АН СССР, МТТ. – 1975. – № 4. –

С. 134-142.

171. Рабинович А.С. О решении контактных задач для шероховатых тел /

А.С. Рабинович // Изв. АН СССР, МТТ. – 1979. – № 1. – С. 52-57.

  149

172. Григорьев И.П. О сдавливании круглого в плане

идеальнопластического слоя шероховатыми плитами / И.П. Григорьев,

Д.Д. Ивлев // Изв. РАН, МТТ. – 2000. – № 1. – С.129-140.

173. Шишканова С.Ф. О напряженном состоянии упругого пространства,

ослабленного плоской трещиной, близкой к кольцевой /

С.Ф. Шишканова // Прикл. механика. – 1990. – Т. 26, № 5. – С. 9-15.

174. Галанов Б.А. О приближённом решении некоторых задач упругого

контакта двух тел / Б.А. Галанов // Изв. АН СССР, МТТ. – 1981. –

№ 5. – С. 61-67.

175. Villagio P. A unilateral contact problem in linear elasticity / P. Villagio //

J. Elasticity. – 1980. – № 10. – P. 113-119.

176. Александров А.И. Об одном итерационном процессе решения задачи

взаимодействия упругих тел / А.И. Александров, В.Г. Боборыкин,

Ю.А. Мельников // Прикл. мат. и мех. – 1986. – Т. 50, вып. 2. –

С. 328-331.

177. Александров А.И. О единственности решения задачи контактного

взаимодействия упругих тел при наличии кулонова трения /

А.И. Александров // Вісник Дніпропетровського ун-ту. – 2009. – Т. 17,

№ 5. – С. 3-11.

178. Александров А.И. Регуляризирующий алгоритм для нелинейных

интегральных уравнений контактной задачи о взаимодействии упругих

тел при налички кулонова трения / А.И. Александров // Вісник ЗНУ. –

2009. – № 1: сер.: фізико-математичні науки. – С. 5-9.

179. Александров А.И. Метод нелинейных граничных интегральных

уравнений для решения пространственных контактных задач о

взаимодействии упругих тел при наличии трения / А.И. Александров //

Вісник Дніпропетровського ун-ту. – 2010. – Т. 18, № 5. – С. 26-39.

180. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и

инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1968. – 720 с.

  150

181. Kalker J.J. A survey of the mechanics of contact between solid bodies /

J.J. Kalker // ZAAM. – 1977. – V. 57, № 5. – P. 3-17.

182. Ляв А. Математическая теория упругости / А. Ляв. – М.: ОНТИ НКТП

СССР, 1935. – 674 с.

183. Кравчук А.С. К постановке краевых задач теории упругости с трением

на границе / А.С. Кравчук // Механика деформируемого твёрдого

тела. – Куйбышев: Изд-во Куйбыш. ун-та, 1976. – С. 102-105.

184. Соколовский А.П. Жёсткость в технологии машиностроения /

А.П. Соколовский. – М.: Машгиз, 1946. – 207 с.

185. Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов /

Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. – Киев: Наукова думка,

1988. – 736 с.

186. Александров А.И. Вопросы существования решений некоторых

нелинейных интегральных уравнений / А.И. Александров. –

Днепропетровск: ДГУ, 1991. – 48 с.

187. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1966. – 608 с.

188. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер. – М.: Наука, 1982. – 272 с.

189. Д’яченко Н.М. Задача контакту плоского кругового в плані штампу з

пружним шорстким півпростором при нелінійному законі зміни

шорсткості / Н.М. Д’яченко // Математичні проблеми механіки

неоднорідних структур. – 2000. – Т.2. – С. 110-113.

190. Александров А.И. Метод нелинейных граничных интегральных

уравнений для решения статических задач о контакте упругих тел при

отсутствии трения / А.И. Александров // Вісник ЗНУ. Фізико-

математичні науки. – 2010. – № 1. – С. 5-12.