國立臺灣海洋大學機械與機電工程學系 PDE 期末報告

學生：葉昱廷學號：19972029

指導老師 : 陳正宗 終身特聘教授

題目： Laplace 方程是什麼 ?

拉普拉斯方程 （ Laplace's equation ）定義 ( 二維 ) ：

又可寫作 或簡寫作

2 2

2 20

x y

2 0

0

拉普拉斯運算子 (Laplace operator) 稱為拉普拉斯運算子

定義為梯度的散度

2 2

2 2x y

2f f f

拉普拉斯運算子的旋轉不變性旋轉不變性： 在數學裡，給予一個定義於內積空間的函數，經過任意旋轉，其參數值可能會改變，但是函數值仍舊保持不變，則稱此性質為旋轉不變性。

例如，將 xy-平面繞著 z-軸旋轉，函數 的值不變 2 2,f x y x y

二維的拉普拉斯方程兩個自變數的拉普拉斯方程具有以下形式

解析函數的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程

那麼 是解析函數的充要條件是 ，

可微，且滿足下列柯西 - 黎曼方程

0x x y y

, ,f z u x y iv x y

,u x y

,v x y

f z

x yu vx yv u

由上述的方程繼續求導可得到

所以 滿足拉普拉斯方程，類似的計算可以推得 同樣滿足拉普拉斯方程

y y x y xy xxu v v u

uv

二維的拉普拉斯方程

在流場中的應用設 u 、 v 分別為滿足定常流動、不可壓縮和無旋場條件的流體速度場的 x 和 y 方向分量（這裡僅考慮二維流場），那麼不可壓縮條件為：

無旋條件為：

若定義一個純量函數 ，使其微分滿足

0x yu v

0x yv u

d vdx udy

在流場中的應用 ( 續 )那麼不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。

積分的結果函數 稱為流函數，因為它在同一條流線上各點的值是相同的。

的一階偏導函數為：

x v y u

在流場中的應用 ( 續 )無旋條件即令  滿足拉普拉斯方程。 的共軛調和函數 稱為速度勢。 柯西 - 黎曼方程要求

所以每一個解析函數都對應著平面內的一個定常流動不可壓縮無旋流場。解析函數的實部為速度勢函數，虛部為流函數。

x u y v

在電磁學中的應用Maxwell's equations ，二維空間中不隨時間變化的電場 (u,v) 滿足：

和

其中 為電荷密度。第一個Maxwell‘s equations 便是下列微分式的可積條件

, 0x yu v v u ,u v

d udx vdy

在電磁學中的應用 ( 續 )

所以可以構造電勢函數φ使其滿足

第二個 Maxwell's equations 即

這是一個 Poisson's equation

x u y v

x x y y