如果 P 是圆所在平面内的一 点, d 表示 P 到圆心的距离, r...
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如果 P 是圆所在平面内的一点, d 表示 P 到圆心的距离,r 表示圆的半径,那么就有 r
O d<r P在圆内;
rO P
P
d=r P在圆上;
r
P
d>r P在圆外。
点和圆的位置关系:
定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆。
.
..
A
CB
O
C
A
B
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,
外接圆的圆心叫做三角形的外心,
三角形叫做圆的内接三角形。
问题 1:如何作三角形的外接圆?如何找三角形的外心?
问题 2:三角形的外心一定 在三角形内吗?
O
C
AB
∠C= 90°
O
C
AB
▲ABC是锐角三角形
O
C
A
B
▲ABC是钝角三角形
圆的轴对称性:
ED
BA
C
O
垂径定理: AB是直径 AB CD
CD=DB
AC=AD CE=DE
推论 1 :平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
推论 2 :平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
1 、如图 , 已知⊙ O 的半径 OA长为 5, 弦 AB 的长 8,OC AB⊥于 C, 则 OC 的长为 _______. O
A BC
3AC=BC
弦心距半径
半弦长
• 2 、如图, P 为⊙ O 的弦 BA 延长线上一点,PA = AB = 2 , PO = 5 ,求⊙ O 的半径。
M A关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。
PB
O
A
O
D
C
B
A
F
E
圆的中心对称性和旋转不变性:
圆心角定理:AOB= COD
AB =CD
AB=CD
OE=OF( OE AB于 E
OF CD于 F)圆心角定理:圆心角定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
O
C
B
A
A B
C
O
推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90 圆周角所对的弦是直径。
同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
也可以理解为:一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
知识回顾一、圆的周长公式二、圆的面积公式
C=2πr
S=πr2
180
rnr2
360
nl
2
360r
ns lrs
2
1或
三、弧长的计算公式
四、扇形面积计算公式
五 、大于半圆的弓形面积为 S 弓形 =S 扇形 +S△
六 、小于半圆的弓形面积为 S 弓形 =S 扇形 -S
△
l
r
h a
S侧=S扇形
S全=S侧+S底
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长,圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
rarala 22
1
2
1
2rra
1、扇形的面积是它所在圆的面积的 ,这个扇形的圆心角的度数是 _________°. 3
2
;
240°
2、 圆锥的母线为 5cm,底面半径为 3cm,则圆锥的表面积为 _______24πcm2
1. 如图 24-1 ,点 A、 B、 C都在⊙ O上,若∠ C=34° ,则∠ AOB 的度数为( ) A . 34° B . 56° C . 60° D . 68°
A B
CO
3. 如图 24-4 ,⊙ O的内接正方 ABCD ,,点 P在弧 BC 上移动(点 P不与点 B, C重合),则 的变化范围是 .
A
P
O
B C
D
ABC△
,
4. 在 中 ,如果 ,
圆 O的半径为 ,且经过点 B、 C,求线段 AO的长 .
5AB AC 3cos
5B
10
A
B C
5. 如图, C是以 AB为直径的⊙ O上一点,已知 AB=10 , BC=6 ,则圆心 O到弦 BC的距离是 ( )A.3 B.4 C.5 D.6
C
A BO
E
6. 如图, AB是圆 O的直径, BC是弦, OD⊥BC 于 E,交 BC于点 D. 则下列结论① BE=CE ;②∠ BDO=∠A ;③ AC∥OD ;④∠ A=2∠CBD 中 ,正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4
A
BC
D
O
E
7. 在直角坐标系中 ,已知⊙ O的半径为5,与 x轴的交点为 A(1,0),B(7,0) 那么圆心 O的的坐标是( )A. ( 4,0 ) B. ( 4,4 ) C. ( 4,-4 ) D. ( 4,4 )或( 4,-4 )
8. 我市某蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知 AB =16m , CD =4m ,则半径为 m .
D BA
O
C
9. 如图 , AB 是⊙ O的直径,点 C在⊙ O上,∠ BAC=30° ,点 P在线段 OB上运动 .设∠ ACP =x ,则 x的取值范围是 .
A BO
Cx
P
8mm
10. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是 10mm ,测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm ,如图所示,则这个小孔的直径是 mm .
O
11. 如图 ,A 是半圆上一个 三等分点 ,B是 AN 的中点 ,P是直径 MN上一个动点 , ⊙O的半径为 1,求 PA+PB 的最小值 .
⌒
NO
A
M
B
B′
P
A
B C
12. 已知圆内接△ ABC 中, AB=AC ,圆心 O到 BC 的距离为 3cm, 圆半径为 7cm, 求腰长 AB.
O
D
AB=2√35
B C
O
A
AB=2√14
D
已知: 在射线 AC上顺次截取 AD =3cm , DB =10cm ,以 DB 为直径作⊙ O交射线 AP于 E、 F两点,求圆心 O到 AP 的距离及 EF的长.
30PAC
OA D B C
E
FP
G
如图, 内接于⊙ O,过点 A的直线交⊙ O于点 P,交 BC的延长线点 D,AB2=AP·AD .( 1)求证: AB=AC ;( 2)如果⊙ O的半径为 1,且 P为弧AC的 中点,求 AD的长.
ABC△
已知:如图,在半径为 4的⊙ O中, AB,CD 是两条直径, M为 OB 的中点, CM的延长线交⊙ O于点 E,且 EM> MC .连结 DE, DE= .(1) 求证(2) 求 EM 的长;(3)求 sin∠EOB 的值 .
AM MB EM MC 15
.
BA
C
E
D
OM
F