以一有效率的方法來建構正交矩陣 (Orthogonal Matrix)

指導教授 ： 陳正宗

學 生 ： 李慶鋒

國立台灣海洋大學河海工程學系 4B中華民國八十八年六月十六日

河海工程系二館 307 室

邊界元素法期末報告

研 究 動 機研 究 動 機

BEM/FEM 特徵值問題 xxA ~~

yQx ~~ 令正交化

yyAQQ

yQyAQT ~~

~~

y~y~QQAQQQQ NNTT

NTN 1111

如何將 A 對角化及找 Q?

vvvv

IH T

T

~~~~

2

Householder 矩陣介紹Householder 矩陣介紹

定義：

特性：[A] HT=H[B] HHT=HTH=H2=I ( 單位矩陣 )

[C] yyHHPyH ~)~(~

22 矩陣映射 (Image) 關係圖

22 矩陣映射 (Image) 關係圖

x2 x2 v~

v~

Hv(v~)

x1 x

Hv(v~) 映射平面v~法向量 ( x1cos+x2sin=0 )

Cayley-Hamilton 定理與矩陣的餘式定理

Cayley-Hamilton 定理與矩陣的餘式定理

(1) Cayley-Hamilton 定理：存在一個 nn方陣 A，其特徵方程式為

f()=0(其中為特徵值)，則 A方陣滿足 f(A)=0。

(2) 矩陣餘式定理： 存在一個 nn方陣 A，A方陣滿足

f(A)=(anAn+an-1A

n-1+…+a1A+a0I )Q(A)+rn-1A

n-1+…+r1A+r0I

矩陣的相似定理矩陣的相似定理

存 在 一 個 n 階 方 陣 A ， 其 特 徵 值 為 1 ,

2 , … , n ， 相 對 應 的

特 徵 向 量 為 1 ,

2 … , n ， 則 滿 足 A C = C D ， A = C D C - 1 。

其 中

n

D

000

000

000

2

1

， nC 21

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係

vvvv

IH T

T

~~~~

2

存在一奇數階反實對稱矩陣 A( AT=-A) ，使得 eAt=-H ，且 A =0 。v~

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(1)

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(1)

AC=CD， A=CDC-1=TD

DA=

ni

ni

i

i

i

i

000000

000000

000000

000000

000000

000000

0000000

A= nnv DA Tnnv

De=

nti

nti

ti

ti

ti

ti

t

e

e

e

e

e

e

e

000000

000000

000000

000000

000000

000000

0000000

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(2)

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(2)

eAt= nnv De Tnnv

令 ==…=n=k ， t=/k( 其中 k 為實數 ) ，則可得到eAt=

= nnv D E A T Tnnv

= nnv {D 1 + D 2 } Tnnv

= - I + 2 v v T

= - H

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(3)

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(3)

DEAT=

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000002

D1=

1000000

0100000

0010000

0001000

0000100

0000010

0000001

D2=

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000002

因此 eAt=-H

故得證。

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(4)

奇數階反對稱矩陣 A 與 eAt 之關係導證過程(4)

利用 Cayley-Hamilton 及矩陣餘式定理導證33 矩陣 eAt 與 Householder 矩陣關係 (1)利用 Cayley-Hamilton 及矩陣餘式定理導證33 矩陣 eAt 與 Householder 矩陣關係 (1)

令 v~ =

c

b

a

，vv

vvIH

T

T

~~

~~2 =

2

2

2

2122

2212

2221

ccbca

bcbba

acaba

， 當 Tv~ v~ = 1

令 A =

0

0

0

ab

ac

bc

， 則 A 的 特 徵 值 為

0 , 222 cba , - 222 cba ， 則 利 用 矩 陣 的 餘 式 定 理 ， 則 可 得 到

IAtsin

Atcos

e At

22

1

其 中 222 cba = 1

當=1，t=時，則可得到

eAt=

1222

2122

2212

2

2

2

ccbca

bcbba

acaba

=-H

利用 Cayley-Hamilton 及矩陣餘式定理導證33 矩陣 eAt 與 Householder 矩陣關係 (2)利用 Cayley-Hamilton 及矩陣餘式定理導證33 矩陣 eAt 與 Householder 矩陣關係 (2)

實對稱矩陣 B 與 eiBt 之關係導證過程(1)

實對稱矩陣 B 與 eiBt 之關係導證過程(1)

B 為 一 對 稱 矩 陣 ， 存 在 一 向 量 v~ 使 得 B = v~ Tv~ ， 則i B = nnv 14321 D B T

nnv 14321

e i B t = nnv D E B T Tnnv 14321

nnv {D 3 - D 4 } Tnnv 14321

= I - 2 v v T

= H

因此eiBt= tivvT

e=H

DB=

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

000000

i

DEBT=

1000000

0100000

0010000

0001000

0000100

0000010

0000001

D3=

1000000

0100000

0010000

0001000

0000100

0000010

0000001

D4=

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000002

實對稱矩陣 B 與 eiBt 之關係導證過程(2)

實對稱矩陣 B 與 eiBt 之關係導證過程(2)

總結：奇數階反對稱矩陣判斷原則總結：奇數階反對稱矩陣判斷原則

正 交 矩 陣 t=

e A t, t R

H ou s eh old er 矩 陣

vv

vvIH

T

T

~~

~~2

奇數階反對稱方陣A

正 交 矩 陣 t =

e iB t, t R

H o u s e h o ld e r 矩 陣

vv

vvIH

T

T

~~

~~2

實對稱方陣B

總結：實對稱方陣判斷原則總結：實對稱方陣判斷原則