Розділ IV ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

4.1. Відмінності математики вищої від елементарної.

В елементарній математиці дослідження геометричних фігур, чисел або числових послідовностей мали переважно статичний характер. Ці об′єкти не розглядалися в русі. Лише з систематичним введенням у дослідженнях Ньютона і Лейбніца, а згодом і їх послідовників (Лагранж, Коші, Гаусс, Грін, Остроградський, Стокс та ін.), поняття функціональної залежності, приростів функції та її аргумента, границь та граничних відношень і сум безмежно малих у математику, яку згодом назвали вищою, увійшов рух (Фрідріх Енгельс, “Діалектика природи”).

Перехід математики до якісно нового стану був викликаний як розвитком фундаментальної науки, так і початками науково-технічної революції. Справа в тому, що з винайденням парової машини та її постійними вдосконаленнями, які дали людині потужне джерело енергії високого рівня, розпочалась промислова революція та перехід до капіталістичних ринкових відносин. З іншого боку, пояснення руху планет та інших небесних світил, необхідність розвитку навігації також вимагали якісно нової математики.

Слід також зауважити, що накопичені раніше багатьма поколіннями відомих та невідомих вчених тисячолітні знання з геометрії, алгебри, астрономії, механіки (Архімед, Арістотель, Гіппарх, Птолемей, Браге, Кеплер, Галілей) підготували надійну основу переходу до вивчення закономірностей поведінки спочатку функцій однієї змінної, а згодом – векторного і матричного (тензорного) аналізу. Саме це якраз і мав на увазі Ньютон, коли говорив: “Якщо я і бачив далі за інших, то лише тому, що стояв на плечах гігантів”.

4.2. Дійсні числа та їх геометричне тлумачення. Неперервність числового континууму.

Числова пряма утворюється множиною дійсних чисел, яку позначатимемо буквою R. Ця множина складається з двох принципово різних підмножин: раціональних (Q) та ірраціональних (I) чисел. Раціональні числа утворюються діленням довільних цілих чисел , де {m,n} можуть дорівнювати і т.д. При цьому, якщо n ділиться на 2 і 5, то десятковий дріб скінченний. Якщо ж ні,

102

то він буде нескінченним, але періодичним. Скінченний дріб також можна вважати періодичним з періодом нуль.

Числа ірраціональні виникають зовсім інакше. Вперше люди зустрілись із ними в геометрії (рис.24). Такими є, наприклад, , ,

і т. д., число π. Вони також виникають в деяких випадках,

наприклад, при обчисленні для безмежно великих n виразу .

При цьому десятковий дріб також є нескінченним, але вже неперіодичним. Важливо, що ніякої можливості передбачити наперед якими будуть наступні числа при збільшенні точності обчислень ірраціонального числа не існує. Звідси і їх назва - ірраціональні, оскільки для математиків древньої Греції відкриття таких чисел було повною несподіванкою.

Важливою особливістю чисел раціональних, яка відрізняє їх від чисел ірраціональних, є принципова можливість перерахунку, або нумерації. На рис.25 показано, як це можна зробити: рядки безмежної таблиці нумеруємо індексом n, а стовпчики – індексом m. Тоді кожній клітині таблиці відповідатиме своє раціональне число.

103

Рис.24. Геометрична побудова ірраціонального числа.

Рис.25. Спосіб перерахунку множини раціональних чисел.

Ламана лінія показує, як виконувати перерахунок раціональних чисел. Зазначимо, що для чисел ірраціональних така процедура неможлива. З іншого боку, оскільки при наближенні ірраціонального числа десятковим дробом числа в кожному наступному розряді з′являються на відміну від раціональних чисел хаотично, то звідси можна зробити висновок, що чисел ірраціональних має бути значно більше, ніж раціональних[16].

Теорема 1. Між будь-якими двома раціональними числами завжди можна знайти хоча б одне раціональне число.

Доведення: Нехай - дані два довільні раціональні числа.

Тоді відстань між ними d= - теж раціональне

число (як і її половина або будь-яка ще менша ціла частина). Тоді

- шукане раціональне число. £

Наслідок: Між будь-якими двома раціональними числами можна знайти безліч інших раціональних чисел.

Із сказаного можна зрозуміти зміст поняття числового континууму (continue – продовжувати) як неперервної множини дійсних чисел, що повністю заповнюють собою числову пряму, не залишаючи можливості для “дірок” на ній. При цьому головну роботу виконують ірраціональні числа, однак наближатись до них ми можемо лише через числа раціональні. Справа в тому, що вимірювання будь-якої реальної фізичної величини означає порівняння з деякою її одиницею, а далі з 1/10 одиниці, 1/100 одиниці і т.д. (звичайно, основою наближення можна взяти і не десяткову систему, як це зроблено в комп’ютерній схемотехніці на основі двійкової системи). Згадаємо, наприклад, як ми вимірюємо довжину столу за допомогою метра із сантиметровими та міліметровими поділками. Однак доведена нами теорема вказує на принципову можливість досягнення будь-якої точності наближення до числа ірраціонального за допомогою чисел раціональних. Її збільшення означає підвищення чутливості відповідного вимірювального приладу.

Приклад 1. Записати у вигляді звичайного дробу раціональне число 1) , 2) .

Розв’язання. Раціональними є всі нескінченні періодичні дроби. Згідно з правилом перетворення нескінченних дробів у звичайні маємо:

1) , 2) .

104

Приклад 2. Знайти всі раціональні значення числа , для яких є раціональним число .

Розв’язання. Припустимо, що і - раціональні числа. Тоді їх різниця є також раціональним числом. Виразимо через .

, , ,

.

Покажемо тепер, що є раціональним числом, якщо де

- довільне раціональне число, відмінне від нуля. Справді,

.

Цей вираз є раціональним .Приклад 3. Вказати два ірраціональні числа, для яких сума є

числом раціональним.Розв’язання. Розглянемо, наприклад, два ірраціональні числа

і : ; . Їх сума є періодичним дробом, а отже, раціональним числом, тоді як самі числа і є ірраціональними, бо зображаються неперіодичними дробами.

Приклад 4. Довести, що не існує раціонального числа такого, що .

Розв’язання. Доведення проведемо від супротивного. Нехай

існує нескоротний дріб такий, що . Тоді ,

тобто число є парним. Позначимо . Тоді , або . Отже, і - парне число, тобто число є скоротним дробом, що суперечить припущенню. Таким чином, не є раціональним числом.

Перелічимо властивості множини дійсних чисел:[17]1. Впорядкованість: якщо а<b, b<c, то а<c.2. Між будь-якими двома дійсними числами міститься безмежна

кількість дійсних чисел (щільність множини дійсних чисел).3. Неперервність: будь-яке число а ділить множину дійсних чисел

на нижній та верхній класи, причому при а належному до нижнього верхній не матиме нижньої границі і навпаки: якщо а належить до верхнього класу, то нижній не матиме верхньої границі. Це твердження називають також теоремою Дедекінда. У

105

символах вона виглядає так: R=]- ; a] ]a;+ [ або R=]- ; a[[a;+ [ , тобто третього не дано.

4. Число 0 задає початок відліку, а число 1 – його масштаб, а також вказує на позитивний напрям відліку числової прямої.

Завдання для перевірки знань1. Серед даних чисел знайти раціональні і записати їх у вигляді

звичайних дробів: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) .2. Знайти всі раціональні значення числа , для яких є

раціональним число .

Відповідь: , де і .

3. Серед даних тверджень знайти правильні:1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .Відповідь: Правильними є твердження 1), 2) і 5).4. Вказати два ірраціональні числа, для яких добуток є числом

ірраціональним.5. Довести, що: 1) не існує раціонального числа такого, що: а) , б) ;2) сума і різниця раціонального числа та ірраціонального

числа є числа ірраціональні;3) число є ірраціональним;4) добуток і частка , де , а є числа

ірраціональні.

4.3. Функція однієї змінної та способи її задання. Неявно задана та параметрично задана функції.

Функція однієї змінної – це відображення однієї множини дійсних чисел х (область визначення функції, аргументи) на іншу множину у (множина значень функції) за певним правилом. При цьому кожному даному х має відповідати не більше одного у. Зворотне відображення множини у (тепер ця множина стає областю визначення) на множину х (множина значень) називають оберненою функцією. Важливо зазначити, що далеко не кожна функція має обернену для незмінних множин х та у.

106

Задати функцію однієї змінної можна за допомогою: 1) таблиці; 2) графіка; 3) формули, тобто алгебраїчного алгоритму; 4) за описом алгоритму переведення аргументів х у множину значень у.

Приклад 5. Складемо таблицю залежностей проекцій точки одиничного кола від її кута α, який відраховуватимемо від горизонтальної вісі проти годинникової стрілки (рис.26). Проекції кута на горизонтальну вісь назвемо косинусом, а на вертикальну вісь – синусом.

Тоді таблиця для цих двох функцій виглядатиме так:

Кут α 0 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 120˚ 135˚ 150˚Синус 0 1/ 1 1/

Косинус 1 1/ 0 - - 1/ -

За даною таблицею можна побудувати графік, однак третього способу – формули – вивести не вдасться (позначення sin та cos – це лише символи!). Створюючи таблицю і графіки для цих основних тригонометричних функцій, ми фактично спиралися на четвертий спосіб задання функції.

Приклад 6. Виразити об'єм циліндра, вписанного в кулю радіусом , як функцію його висоти .

107

Рис.26. Приклад означення функції за описом (тригонометричні функції).

Розв’язання. Об’єм циліндра з радіусом основи дорівнює . За теоремою Піфагора , отже,

. Згідно умови задачі ,

тому . Отже, .

Функцію однієї змінної можна також задати неявно. Наприклад, рівняння визначає коло радіусом 1. Звідси у як функція х не може бути записана однозначно: потрібні

дві формули, тобто у= . Тому аналітичний неявний спосіб задання функції у багатьох випадках зручніший і навіть буває єдино можливим. Загальний запис неявно заданої функції однієї змінної такий: f(x, y)=0.

Зауваження 1. Зазвичай виразити через при неявному заданні функції не так просто, як в наведеному прикладі. Але часто і не вимагається виражати функцію явно.

В багатьох випадках допомагає параметричне задання функції у=f(x) за допомогою деякого третього змінного параметра t. Так, наприклад, те ж саме одиничне коло можна задати за допомогою двох виразів: та , причому параметр (t вимірюємо в радіанах). Ще раз варто підкреслити, що далеко не завжди складну функцію можна задати явним виразом у=f(х). А от параметрично її вдається задати значно частіше. Це, зокрема, можна пояснити тим, що всі реальні вимірювані величини залежать від часу t як від параметра. Загальний вигляд параметрично заданої функції такий: x=x(t); y=y(t) .

Завдання для перевірки знань1. Сума внутрішніх кутів плоского випуклого многокутника є

функцією від числа його сторін. Задати аналітично цю функцію. Яких значень може набувати аргумент?

Відповідь: Всі числа натурального ряду, крім . Якщо сума кутів , а число сторін , то .

2. Виразити площу рівнобічної трапеції з основами і як функцію кута при основі . Побудувати графік функції при

.

Відповідь: .

108

Рис.27. До прикладу 6.

3. Обчислити значення функцій і у тих

точках, в яких .Відповідь: .

4. Дано функцію . Знайти

. Чи існує ?Відповідь: У точках функція не визначена, оскільки

ділення на нуль неможливе.

.

5. Записати в явному вигляді неявно задану функцію наступними рівняннями:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

; 7) .

Відповідь: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

; 5) ; 6) ; 7)

, де .

6. Скласти таблицю значень функції цілочисельного аргумента для .

Відповідь:

7. Вежа має наступну форму: на прямий круглий зрізаний конус з радіусами основ (нижнього) і (верхнього) і висотою поставлено циліндр радіуса і висоти ; на циліндрі – півсфера радіуса . Виразити площу поперечного перерізу вежі як функцію відстані х перерізу від нижньої основи конуса. Побудувати графік функції .

Відповідь: При ; при ; при . Поза інтервалом функція

не визначена.8. Побудувати криву, задану параметричними рівняннями

.

а) б)

1 2 3 4 5 6y 1

109

4.4. Елементарні функції та їм обернені. Загальні властивості функцій.

Серед безмежного класу функцій однієї змінної виділяють найпростіші або елементарні функції, з яких будуються всі інші. Такими є:

1) степенева функція хn, де n - ціле (її комбінації – поліноми або многочлени та дробно-раціональна функція як відношення двох многочленів);

2) показникова ах, де а>0 (сюди можна віднести аналоги

тригонометричних - гіперболічні функції як комбінації показникових; випадок а<0 виключають, оскільки функція може набувати комплексних значень (наприклад (-1)1/2).

3)тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс, котангенс).

110

Рис.28. Степеневі функції з парним та непарним n.

Рис.29. Два типи показникової функції (a>0; a<0).

3) гіперболічні функції: синус гіперболічний ; косинус

гіперболічний ; тангенс гіперболічний ;

котангенс гіперболічний .Кожній з перечислених елементарних функцій можна віднести у

відповідність обернену функцію (обернена степенева, логарифм, аркфункції тригонометричні та гіперболічні), графік якої одержують відображенням початкової функції відносно бісектриси у=х. При цьому важливо, щоб новому аргументу відповідало лише одне єдине число з множини значень нової функції.

Означення 1. Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається областю визначення функції.

111

Рис.30. Тригонометричні функції

Приклад 7. Знайти область визначення функції

.

Розв’язання.

Відповідь: .Означення 2. Функція називається парною (непарною),

якщо для будь-якого х з її області визначення виконується умова .

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо існує хоча б однин х такий, що .

Приклад 8. - парна функція (графік функції симетричний відносно осі ординат), бо ;

- непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат), бо ; - ні парна, ні непарна, бо .

Означення 3. Функція називається періодичною, якщо існує число , що для всіх виконується умова

, де - період функції.Приклад 9. - періодична функція з мінімальним

періодом , бо .Означення 4. Функція називається обмеженою на

множині , якщо існує дійсне число М таке, що для всіх виконується умова , де - деяке скінченне число.

Приклад 10. - обмежена функція для всіх , бо .

Означення 5. Функція називається монотонно зростаючою (спадною) на множині , якщо для всіх більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто для будь-яких і таких що виконується нерівність

.Приклад 11. - монотонно спадна функція при , а

при - монотонно зростаюча.

112

Оберненими до елементарних (їх теж відносять до елементарних) є: степенева з дробовим степенем,

логарифмічна , де , , як обернена до показникової

та аркфункції ( ) – обернені до тригонометричних.

113

Рис.33. Логарифм як обернена до показникової функція.

Для знаходження функції (якщо вона існує), оберненої до даної , необхідно виразити через , тобто , а потім записати

отриману функцію в звичайному вигляді: . Оскільки при оберненні функції х та у міняються місцями, то графік оберненої завжди симетричний відносно бісектриси у=х по відношенню до своєї прямої функції. Якщо при цьому виявляється, що даному х

114

Рис.34. Обернені до тригонометричних функції: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

починають відповідати одразу два або більше у, то “зайву” частину графіка відкидають. Так, наприклад, для функції arcsin з областю визначення залишають лише множину значень , інакше функція стає багатозначною. Можна взяти будь-яку іншу гілку первинного графіка, тобто функції sin. Головне, щоб не виникала багатозначність. Тому для квадратного кореня як оберненої функції до квадратної параболи можна брати як додатню, так і від′ємну гілки, але не одночасно дві.

Приклад 12. Оберненою для функції буде функція .

Завдання для перевірки знань

1. Знайти області визначення функцій та побудувати їх графіки:а) Відповідь: б) Відповідь: в) Відповідь:

г) Відповідь:

д) Відповідь: 2. Знайти множину значень функцій:а) ; б) ; в) ; г) ; д)

; е) ; є) .

Відповідь: а) . Вказівка: ; б) .

Вказівка: координати вершини параболи: . Гілки

параболи направлені вниз. в) ; г) ; д) ;

е) ; є) 0. Вказівка: область визначення функції: , отже множина її значень – одне число .

3. Визначити, яка з заданих функцій парна чи непарна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) непарна, б) парна, в) ні парна, ні непарна, г) парна.

4. Знайти функцію, обернену до даної:

115

1) , 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Відповідь: 1) , 2) ; 3) ; 4) ; 5)

.5. Які з функцій будуть періодичними? Визначити період.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

; 6) ; 7) ; 8) .

Відповідь: 1) неперіодична. Вказівка: ; 2)

; 3) ; 4) ; 5) . Вказівка:

; 6) . Вказівка:

; 7) . Вказівка: ; 8) . Вказівка:

.

4.5. Границя числової послідовності.

Означення 6. Будь-який впорядкований (занумерований) дискретний набір чисел називають числовою послідовністю: , , тобто послідовність – функція натурального аргументу[14].

Приклади:

1) , тобто утворюється множина .

2) , тобто {2; ; ; …}.

3) - арифметична прогресія, де , р – сталі числа (перший член та знаменник арифметичної прогресії).4) - геометична прогресія, де , q – сталі числа (перший член та знаменник геометичної прогресії).

Означення 7. Число А називається границею числової послідовності { }, пишуть , якщо для будь-якого ε>0 знайдеться таке натуральне N, що для всіх n>N виконається умова

. Геометрично це означає, що всі наступні після елементи послідовності з номерами обов′язково попадуть в ε-окіл точки А числової прямої (рис.).

116Рис.35. До поняття границі числової послідовності: ε – окіл точки А.

Приклади: 1) послідовність не має границі, оскільки для ε<1 умова означення не виконується.2) , де . Дійсно, з умови ε= маємо: . Звідси слідує, що всі n>N (наприклад, для ε=0,1 всі n>N, де N=10) дають

, де А=0.3) Сума геометричної прогресії S= b1+ b2 +…+ bn +… має скінченну границю, якщо її знаменник q<1. Дійсно, розглянемо скінченну кількість перших доданків вказаної вище суми (Sn – так звані частинні суми прогресії), тобто: Sn=b1+ b2+…+ bn. Домножимо останнє рівняння на q і додамо до лівої та правої частини b1. Тоді маємо: b1+qSn=b1+q(b1+b2+…+bn)+ . Звідси для частинної суми з будь-яким скінченним n маємо:

.

Оскільки при q<1 , то .

Приклад 13. Довести за означенням, що границею послідовності є число а=2.

Доведення. Задамо довільне число , тоді.

З рівності знаходимо, що . Тоді для всіх n>N нерівність виконається £.

Означення 8. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Загальні властивості збіжних послідовностей.Теорема 1: Єдиність границі послідовності. Якщо

послідовність має границю, то вона єдина.Теорема 2: Необхідна умова збіжності послідовності. Якщо

послідовність збіжна, то вона обмежена.Теорема 3: Якщо і , то існує такий номер ,

що при всіх виконується нерівність .

117

Приклад 14. Послідовність у розгорнутому вигляді

така: ; . Для

номерів усі члени послідовності будуть менші за 2.

Теорема 4: Границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто .

Теорема 5: Граничний перехід у нерівності. Якщо для будь-якого n виконується нерівність і , - збіжні, то

.Теорема 6: Про границю проміжної послідовності. Якщо для

будь-якого n і , то .Теорема 7. (Вейєрштрасса): Про границю монотонної й

обмеженої послідовності:1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена згори, то

вона збіжна;2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то

вона збіжна.

Безмежно мала величина та її властивостіОзначення 9. Послідовність називається безмежно малою

величиною, якщо і безмежно великою, якщо .Розглянемо деякі властивості таких послідовностей.Теорема 8. Зв’язок між б.в. і б.м.1. Якщо - безмежно мала (б.м.) і , то обернена їй

послідовність буде безмежно великою (б.в.), і навпаки.

2. Якщо - б.в., то обернена їй послідовність - б.м.

Теорема 9. Сума двох б.м. є б.м.Наслідок. Алгебраїчна сума скінченого числа б.м. є б.м.Теорема 10. Добуток обмеженої величини на б.м. є б.м.Теорема 11. Добуток двох б.м. є б.м.Наслідок. Добуток скінченого числа б.м. є б.м.Теорема 12. Для існування границі а послідовності необхідно

і достатньо, щоб послідовність була б.м.Наслідок. Якщо , то , де - б.м.Розглянемо приклади виразів, у яких виникають б.в. або,

відповідно, б.м. числові послідовності, а також способи їх обчислення (розкриття).

118

Приклад 15.

.

Відповідь:

Приклад 16. Знайти

Розв’язання. .

Відповідь:

Завдання для перевірки знань1. Довести, що при n → ∞ послідовність

має границею число 2.2. Довести, що при n → ∞ послідовність

має границею число 1,5.Знайти границі послідовностей:

3. Відповідь: 0.

4. Відповідь: .

5. Відповідь: 0.

6. Вказати формулу загального члена послідовності:а) 1, 4, 9, 16, 25, … Відповідь: .б) Відповідь: .в) Відповідь: .

г) Відповідь: .

д) 2, 5, 8, 11, 14, … Відповідь: .

є) Відповідь: .

4.6. Границя функції. Теореми про границі. Ліва та права границі.

119

Означення 10. Число А називають границею функції y=f(x), тобто , якщо для будь-якого ε>0 знайдеться таке δ>0, що як тільки її аргументи х попадають у δ-окіл точки х0, так одразу відповідні у=f(x) попадають в ε-окіл точки А. Іншими словами, при виконанні умови обов′язково виконується нерівність

[18].При цьому кажуть, що функція “прямує” до А за умови, що її

аргументи х наближаються все ближче до х0. Важливо, що сама функція в точці х0 може бути і не заданою. Вона лише “прямує” (надалі лапки ставити не будемо) до числа .

Означення 11. Число В називають границею функції y=f(x), коли , тобто , якщо для будь-якого ε>0 існує число

таке, що з нерівності випливає нерівність .Розглянемо односторонні границі для функції , тобто

коли з одного певного боку. При цьому домовимось, що позначення означає наближення зліва, а позначення - відповідно справа.

Означення 12. Правостороння границя функції:.

Означення 13. Лівостороння границя функції:.

Теорема 13. Для існування необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова .

Приклад 18. Довести, що не існує.

Розглянемо односторонні границі:

а) ліворуч = ;

б) праворуч = .

Отже, не існує, бо односторонні границі хоча й

існують, але не рівні між собою.Приклади. 1) .

2) .3) (безмежно віддалена точка).

120

В останньому прикладі функція при π/2=90˚ не існує, однак можна однозначно сказати, куди функція прямує, якщо попередньо домовитись, з якого боку підходити до точки х0=π/2 – зліва чи справа. Відповідно говорять про ліву границю (пишуть

), або про праву границю ( ). Малі добавки вказують таким своєрідним чином, з якого боку здійснюється підхід.

Зауваження 3. Послідовність за означенням є функцією, хоча і дискретною. Тому границю послідовності можна розглядати як окремий випадок границі функції. З іншого боку, границю функції можна розглядати через наближення числовою послідовністю.

Теореми (про границі функції). Якщо , , то

; ; .В останньому випадку має виконуватись умова В 0. Дійсно, якщо окремі доданки-функції або множники-функції якогось виразу прямують до одного і того ж х0, то і відповідна комбінація границь цих функцій має їх там “чекати”. Границю функції можна обчислювати прямою підстановкою , однак при цьому доволі часто виникають так звані невизначеності. Розглянемо деякі загальні рекомендації щодо дослідження таких невизначених виразів типу

, обмежуючись поки що лише алгебраїчними

функціями.

1. Невизначеність для раціональних функцій.

Спочатку нагадаємо деякі положення алгебри многочленів. Многочленом називають вираз

.Теорема 14 (Безу). Остача від ділення многочленна на

двочлен типу , дорівнює значенню многочлена при , тобто .Наслідок. Якщо число - корінь многочлена , тобто

, то многочлен ділиться без остачі на двочлен .Приклад 19. Розкласти на множники многочлен

. Помічаємо, що . Отже, х=1 - корінь многочлена ,

тому ділиться без остачі на . Тоді, виконавши ділення многочленів, одержимо:

.

121

Розглянемо , де такі многочлени, що

, .За наслідком з теореми Безу чисельник і знаменник діляться без

остачі на , тобто чисельник і знаменник мають спільний множник . Отже, матимемо

.

Степінь многочленів як у чисельнику, так і у знаменнику зменшився на одиницю. Якщо після виконання нового граничного

переходу знову буде невизначеність , то наведений алгоритм

повторюють. Зауважимо, що скорочення дробу на множник під знаком

границі можливе, бо за означенням границі функції змінна як завгодно близька до числа , але .

Приклад 20.

.

Відповідь:

Отже, невизначеність при для раціональних функцій

розкривається діленням многочленів у чисельнику і знаменнику на двочлен .

2. Невизначеність для ірраціональних функцій.

Для розв’язання задач у цьому випадку рекомендується звільнитись від тих ірраціональних множників у чисельнику і знаменнику дробового виразу, які перетворюються на нуль при виконанні граничного переходу. Для звільнення від радикалів використовують формули скороченого множення, заміну змінної та деякі інші штучні прийоми.

Приклад 21.

122

Відповідь:

Приклад 22.

Відповідь:

3. Невизначеність .

Цей тип невизначеності зводиться до невизначеностей або

; наприклад, зведенням виразу до спільного знаменника, множенням на спряжений вираз .

Приклад 23.

.

Відповідь:

Приклад 24.

.

Відповідь: .

Завдання для перевірки знань

1. Знайти Відповідь: .

2. Знайти Відповідь: -1.

3. Знайти Відповідь: .

123

4. Знайти Відповідь: .

5. Знайти Відповідь: .

6. Знайти Відповідь: .

7. Знайти Відповідь: 3.

8. Знайти Відповідь: .

9. Знайти Відповідь: 1, якщо .

-1, якщо 10. Знайти Відповідь: .

11. Знайти Відповідь: 0.

12. Знайти Відповідь: 0.

13. Знайти Відповідь: .

14. Знайти Відповідь: .

15. Знайти Відповідь: -0,1.

16. Знайти Відповідь: -2,5.

17. Знайти Відповідь: 1,5.

4.7. Дві визначні границі.

Теорема 15 (перша важлива границя).

Має місце вираз: .

Доведення: Нехай . З рис.36 видно, що відрізки АВ=sin x, CD=tg x, дуга ВС=х (в радіанах). З порівнянь площ трикутників ОСВ, ОСD та сектора ОСВ маємо: .

З іншого боку, , ,

. Тоді

124

Рис.36. До теореми 15.

sin x < x < tg x .

Звідси, . Оскільки , то дійсно . £

Зауваження 4. Для необхідно скористатися парністю функції .

Границі-наслідки першої визначної границі:

1. . 2. . 3. . 4. .

Зауваження 5. За допомогою першої визначної границі можна

досліджувати невизначеності для виразів з тригонометричними

функціями.

Приклад 25.

Розв’язання. .

Відповідь:

Приклад 26.

Розв’язання. У цьому випадку маємо невизначеність . Для

того щоб скористатися першою визначною границею, потрібно виконати таку заміну змінної , щоб нова змінна прямувала до нуля, наприклад

Відповідь:

Теорема 16 (друга визначна границя, без доведення). Існує наступна границя, яку позначають е:

.

125

На користь існування числа е можна привести такі не дуже

строгі міркування. Дослідимо вираз , скориставшись

формулою бінома Ньютона , де -

біноміальні коефіцієнти. Запишемо скінченну суму виду

,

яка при зростанні n зберігатиме той же вигляд. Тоді як наближення до шуканої границі можна записати вираз:

Тоді, скориставшись виразом для відповідної геометричної прогресії, можемо виконати верхню оцінку даної суми:

< .

Таким чином, можна очікувати, що має місце подвійна нерівність:

2 < < 3. Беручи достатньо великі n, число е можна

обчислити з будь-якою точністю за допомогою комп′ютера. Дійсно, при n=100 маємо е=2,70481; при n=1000 відповідно е=2,71692; n=10000 дає е=2,71815; для n=10000 маємо е=2,71827; для n=1000000 одержимо е=2,71828. Порівнюємо ці результати з більш точними даними для е: 2,7182818.

Границі-наслідки другої визначної границі:

1. . 2. . 3. . 4.

. 5. . 6. .

Зауваження 6. За допомогою другої чудової границі та її

наслідків можна досліджувати невизначеності .

Приклад 27.

Розв’язання. Виділимо другу важливу границю

Тоді

126

Відповідь:

Приклад 28.

Розв’язання. Скористаємось наслідком 1 для другої важливої

границі: . Тоді

=

Відповідь:

Приклад 29.

Розв’язання. .

Відповідь: Обчислення границь в умовах невизначеностей типу

.Розглянемо загальний спосіб розкриття таких невизначеностей -

логарифмування.

Приклад 30.

Розв’язання. Невизначеність . Спочатку знайдемо границю не самої функції, а логарифму за основою е цієї функції:

=6 =

= = .

Якщо , то

Відповідь: .

Приклад 31.

Розв’язання. Невизначеність . Спочатку знайдемо границю не самої функції, а її логарифма за основою е цієї функції:

.

127

Якщо 1, то

Відповідь: .

Завдання для перевірки знань1. Знайти Відповідь: .

2. Знайти Відповідь: .

3. Знайти Відповідь: .

4. Знайти Відповідь: .

5. Знайти Відповідь: 2.

6. Знайти Відповідь: .

7. Знайти Відповідь: .

8. Знайти Відповідь: 0.

9.Знайти Відповідь: 1.

10.Знайти Відповідь: .

11. Знайти Відповідь: 9/4.

12. Знайти Відповідь: -1/2.

13. Знайти Відповідь: -1/2.

14. Знайти Відповідь: -2.

15. Знайти Відповідь: .

16. Знайти Відповідь: 1.

17. Знайти Відповідь: .

18. Знайти Відповідь: .

128

19. Знайти . Відповідь: .

20. Складіть просту комп′ютерну програму, яка б обчислювала число е з точністю 0,1% (за вказаною вище оцінкою).

4.8. Безмежно мала та безмежно велика функції. Порівняння безмежно малих.

Означення 15. Функція у=f(х) називається безмежно малою в точці х0, якщо .

Означення 16. Функція у=f(х) називається безмежно великою в точці х0, якщо .

Приклади. 1) y=sinx є безмежно малою в точці х0=0, оскільки sin0=0.2) у=1/х при наближенні до х0=0 стає безмежно великою. При

цьому границі зліва та справа не співпадають: ;

.Важливо зазначити, що одна і та ж функція, навіть достатньо

проста, може для різних х0 бути як безмежно малою, так і безмежно великою. Так, наприклад, бісектриса 1-го та 4-го квадрантів, тобто функція у=х, для х0=0 стає безмежно малою, в той час як для х0= вона ж – безмежно велика.

Означення 17. Нехай функції у1(х) та у2(х) – безмежно малі в деякій точці х0. Тоді у1(х) називають безмежно малою більш

високого порядку, ніж у2(х) в точці х0, якщо . Відповідно

у1(х) називають безмежно малою більш низького порядку, ніж у2(х) в

точці х0, якщо .

Означення 18. Нехай функції у1(х) та у2(х) – безмежно малі в деякій точці х0. Тоді у1(х) та у2(х) називають еквівалентно малими в

точці х0, якщо .

Приклад 32. Порівняти функції у1(х)=sin 3x та у2(х)=tg 5x поблизу х0=0.

Скористаємось першою чудовою границею та теоремами про границі. Тоді маємо:

129

(тут враховано, що ). Отже, в точці х0=0 дані функції є еквівалентно малими.

Виходячи з наслідків першої та другої визначних границь, можна записати таку шкалу еквівалентних б.м. при :

~ ~ ~ ~ ~ ~ .

Як наслідок звідси випливає, наприклад, що при буде: ~ ; ~ і т.п.

Використовується шкала б.м. при дослідженні невизначеностей

типу .

Приклад 33.

.

Відповідь: .

Теорема. Різниця двох еквівалентно малих дає безмежно малу функцію більш високого порядку.

Приклад 34. Нехай у1(х)=1/x та у2(х)=1/(x-1). Тоді для маємо:

у2-у1 = 0 як безмежно мала функція більш високого

порядку.

Завдання для перевірки знань1. Довести, що при безмежно малі величини і

будуть еквівалентними.

130

2. Показати, що при функції і - еквівалентні безмежно малі. Скористатися цим для наближеного обчислення коренів: 1) , 2) , 3) , 4) . Знайти значення цих же коренів за логарифмічними таблицями. Порівняти результати.

Відповідь: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.9. Неперервність функції.Означення 19. Функція у=f(x) називається неперервною у точці , якщо [2].Виходячи з означення границь функції, поняття неперервності

функції в точці можна зобразити так: : =

: = .Означення 20. Функція у=f(x) називається неперервною у точці , якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу

відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто: =

: = .Означення 21. Функція у=f(x) називається неперервною у точці , якщо границя функції дорівнює функції від границі аргументу

при , тобто: =

: = .

Означення 22. Функція у=f(x) називається неперервною у точці , якщо односторонні границі функції зліва й справа у цій точці

існують, рівні між собою і дорівнюють значенню функції у цій точці, тобто

: =

: = .Таким чином, поняття неперервності функції у точці задається

кількома, хоча і рівноправними, але різними за формулюванням означеннями. Використання конкретного означення неперервності функції в точці визначається специфікою задачі.

Класифікація точок розриву функційОзначення 23. Функція у=f(x) називається розривною в точці

х=х0, якщо порушується хоча б одна з умов рівності

131

.

Розрізняють точки розриву 1-го і 2-го роду. Розриви 1-го роду бувають усувні й неусувні; розриви 2-го роду – завжди неусувні.

Означення 24. Точка називається точкою розриву 1-го роду (розрив неусувний) для функції у=f(x), якщо існують скінченні односторонні границі (зліва і справа) функції у цій точці, але не рівні між собою, тобто

.

Означення 25. Точка називається точкою розриву 1-го роду (розрив усувний) для функції у=f(x), якщо існують скінченні односторонні границі функції у цій точці, рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції у цій точці, або функція у цій точці взагалі не існує, тобто

.

Зауваження 8. Точка усувного розриву відзначається тим, що існує , але . Тому існує можливість на основі функції побудувати іншу функцію , яка в буде неперервною:

Означення 26. Точка називається точкою розриву 2-го роду для функції у=f(x), якщо в цій точці не існує, або дорівнює нескінченності хоча б одна з односторонніх границь , тобто

та, відповідно, або не існує.Всі три описані випадки показані на рис. (Зліва направо: точка

усувного розриву, точка розриву 1-го роду, точка розриву 2-го роду).

Методика дослідження функції на неперервність.1. Знайти область визначення функції D(y).2. Визначити скінченні граничні точки D(y) і обчислити

односторонні границі функції у цих точках.

132

Рис.37. Точки розриву дійсних функцій дійсного змінного.

3. Зробити висновок про характер точок розриву (якщо вони є) і побудувати графік функції поблизу цих точок.

Приклад 35. Функція Хевісайда. Нехай функція задається наступним чином:

Тоді дана функція неперервна скрізь, окрім точки х=0, де вона здійснює стрибок величиною 1. Функцію Хевісайда використовують для моделювання ситуації подачі сигналу в теорії інформації або формування дискретних прямокутних імпульсів.

Приклад 36. Дослідити на неперервність функцію і з’ясувати характер точок розриву.

Розв’язання. Функція визначена і неперервна на інтервалах . Отже, розрив можливий тільки в точці Для

точки маємо:

тобто функція в точці має розрив другого роду (безмежний стрибок).

Відповідь: в точці функція має розрив другого роду.Приклад 37. Дослідити функцію на неперервність і побудувати

її графік:

Розв’язання. Функція визначена і неперервна на інтервалах , де вона задана неперервними

елементарними функціями. Отже, розрив можливий тільки в точках Для точки маємо:

тобто функція в точці має розрив першого роду.

Для точки знаходимо:

133

Рис.38. Розривна функція Хевісайда при x=0 має розрив 1-го роду (стрибок).

тобто в точці функція також має розрив першого роду. Графік даної функції зображено на рис.39.

Відповідь: в точках функція має розрив першого роду.

Неперервність функції на проміжку.Означення 27. Функцію у=f(x) називають неперервною на

проміжку , якщо вона неперервна в будь-якій точці х0 цього проміжку.

Властивості функцій, неперервних на проміжкуФункція, неперервна на проміжку , задовольняє наступні

властивості[11]:1) вона обмежена на (I теорема Вейєрштрасса);2) досягає на найменшого і найбільшого

значень (II теорема Вейєрштрасса);3) якщо і різних знаків, то існує така точка , що

(I теорема Больцано-Коші);4) для будь-якого А, що задовольняє нерівність існує

така точка , для якої (II теорема Больцано-Коші).Зауваження 10. Можна довести, що всі основні елементарні

функції будуть неперервними у кожному з проміжків своєї області визначення.

Приклад 38. Показати, що рівняння на проміжку має дійсний корінь, і знайти його значення з точністю до .Розв’язання. Оцінимо значення функції на кінцях

заданого проміжку: . Враховуючи, що на проміжку

Рис.39. Функція прикладу 37.

134

функція неперервна і на його кінцях набуває значень різних знаків, то згідно I теореми Больцано-Коші всередині цього проміжку існує принаймні одна точка, в якій функція перетворюється в нуль. Ця точка і буде дійсним коренем заданого рівняння.

Для його знаходження з заданою точністю проміжок розділимо точками і в кожній з них визначимо знак функції : ,

, , , , . Враховуючи, що , а , дійсний корінь заданого рівняння міститься між і .

Відповідь: .

Приклад 39. Чи обмежена функція на

відрізку ? Чи досягає вона найменшого і найбільшого значення на цьому проміжку?

Розв’язання. Задана функція неперервна на проміжку як сума трьох неперервних на цьому відрізку функцій. Тоді за теоремами Вейєрштрасса вона обмежена на цьому проміжку і досягає на ньому найменшого і найбільшого значення.

Завдання для перевірки знань1. Знайти точки розриву функції .Відповідь: х = 1, х = 5 – точки розриву 2-го роду.2. Який характер розриву функції в точці х = 1?Відповідь: х = 1 – точка розриву 2-го роду.3. Знайти точки розриву функції .Відповідь: х=3 – точка розриву 1-го роду; х=5 – точка розриву

2-го роду; х=0 – точка усувного розриву; - точки розриву 2-го роду.

4. Знайти точки розриву функції .Відповідь: х = 1, х = 2 – точки усувного розриву.5. Знайти точки розриву функції .Відповідь: Функція неперервна на всій числовій прямій

6. Дослідити функцію на сегменті: а) [2, 5];

б) [4, 10] , в) [0, 7].Відповідь: а) функція неперервна; б) має одну точку розриву 2-

го роду; в) має дві точки розриву 2-го роду.7. Дослідити на неперервність функцію на

сегменті: а) [6, 10]; б) [-2, 2]; в) [-6, 6].

135

Відповідь: а) функція неперервна; б) має дві точки розриву 2-го роду; в) має чотири точки розриву 2-го роду.

8. Знайти точки розриву функції Відповідь: х = 2 – точка розриву 1-го роду.9. Довести, що рівняння на проміжку має

дійсний корінь, і знайти його значення з точністю до .Відповідь: .

136