СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НАУЧНЫХ...

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Методические указания к проведению практических занятий

и лабораторных работ по дисциплине «Статистические методы в научных исследованиях» для направления 140400

«Электроэнергетика и электротехника», профиль «Электропривод и автоматика» квалификация «магистр».

Составитель М. В. Петрова

Ульяновск УлГТУ 2015

2

УДК 001.891.3(076) ББК 22.172я73 С 78

Рецензент доктор технических наук Кузнецов А.В., кафедрыа «Электроснабжение» энергетического факультета Ульяновского государственного технического университета

Рекомендовано научно-методической комиссией энергетического

факультета в качестве методических указаний

Статистические методы в научных исследованиях: методические указания /сост. М. В. Петрова. – Ульяновск : УлГТУ, 2015. – 44 с.

Методические указания предназначены для студентов дневной формы

обучения, обучающихся по направлениям 140400 «Электроэнергетика и электротехника», профиль «Электропривод и автоматика» квалификация «магистр» для оказания помощи в выполнении лабораторных работ и практических занятий по дисциплине «Статистические методы в научных исследованиях». Целью дисциплины является формирование мировоззрения и развитие системного мышления студентов. Задачей изучения дисциплины является приобретение студентами практических навыков в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы.

Результаты эксперимента для инженера-исследователя были и остаются главным критерием при решении практических задач и при проверке теоретических гипотез. Однако при этом важно не только умело спланировать и поставить эксперимент, но и грамотно обработать его результаты.

Работа подготовлена на кафедре «Электропривод и автоматизация промышленных установок».

УДК 001.891.3(076) ББК 22.172я73

Учебное издание

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Методические указания

Составитель : ПЕТРОВА Марина Валерьевна

Редактор Н. А. Евдокимова

Подписано в печать 10.06.2015. Формат 6084/16. Усл. печ. л. 2,79. Тираж 75 экз. Заказ 533.

Ульяновский государственный технический университет 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32

© Петрова М. В., составление, 2015 © Оформление, УлГТУ, 2015

С 78

user

Машинописный текст

ЭИ № 481.

3

СОДЕРЖАНИЕ 1. Статистическая обработка данных экспериментальных

исследований..........................................................................................

4 2. Практическое занятие № 1

Числовые характеристики непрерывного и дискретного распределения электроэнергетических случайных величин и свойства характеристик........................................................................


Интервальное оценивание неизвестных параметров случайных величин, свойственных процессам энергетики, точность оценки....


Проверка статистических гипотез при решении задач электротехники.........................................................................................


Методы корреляционного анализа для определения взаимной связи и влияния случайных энергетических величин........................


Дисперсионный анализ..........................................................................

9 7. Практические занятия № 6,7

Методы обработки экспериментальных данных и регрессионного анализа при решении электроэнергетических задач...........................

10

8. Практические занятия № 8,9Графическое представление вероятностей и проверка допущений о распределениях.................................................................................... 10

9. Методические указания по подготовке к практическим занятиям и оформлению расчетного задания...........................................................

12

10. Задачи для расчетного задания............................................................. 1311. Лабораторные работы............................................................................ 24

Вопросы для подготовки к зачету......................................................... 42 Список литературы................................................................................ 44

4

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Методика выполнения прямых измерений с многократными

независимыми наблюдениями состоит из ряда последовательно выполняемых этапов:

определение точечных оценок параметров, описывающих законы распределения результатов измерений;

оценка закона распределения по статистическим критериям согласия; определение доверительных интервалов случайной погрешности; определение границ не исключенной систематической погрешности

результата измерений; определение доверительной границы погрешности результата

измерения; формирование результата измерений.

Погрешности измерений

Результаты измерения используются в случае, когда известна погрешность или степень достоверности этого измерения. Измерение не может быть выполнено абсолютно точно, его результат всегда содержит некоторую ошибку.

В задачу измерений входит не только измерение контролируемой величины, но и оценка допущенной при измерении погрешности. Причиной возникновения погрешностей являются инструментальные, методические и субъективные измерения.

Инструментальные погрешности – этот вид погрешностей зависит от погрешностей применяемых средств измерений, от изменений внешних условий. Они являются следствием недостатков конструкции измерительных приборов, несоблюдением технологии их изготовления, несовершенства применяемых материалов, трением в механизмах и т.п. Данные погрешности могут быть частично устранены регулировкой прибора. Инструментальная погрешность находится в допустимых пределах, если приборы подвергаются поверке.

Методические погрешности являются следствием неточности метода измерения или недостаточного знания всех обстоятельств, сопровождающих измерение. Данные погрешности установить заранее нельзя.

Субъективные погрешности зависят от индивидуальных особенностей лица, производящего измерение (недостаточно точное отсчитывание показаний, отвлечение во время снятия показаний и т. п.). Данные ошибки невозможно прогнозировать.

5

Представление экспериментальных данных Методология исследования массовых статистических явлений в

зависимости от полноты охвата изучаемого объекта или явления различает сплошное и не сплошное наблюдение. При сплошном наблюдении изучаются все объекты совокупности, например, перепись населения, охватывающая все население страны. Разновидностью не сплошного наблюдения является выборочное, которое в условиях развития современных выборочных отношений находит все более широкое применение. Под выборочным наблюдением понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части (выборке) на основе положений случайного отбора.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1

Тема: «Числовые характеристики непрерывного и дискретного распределения электроэнергетических случайных величин и свойства характеристик»

1.1. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики

Студент должен знать: понятие непрерывной случайной величины; числовые характеристики непрерывной случайной величины; свойства числовых характеристик непрерывных случайных величин.

Студент должен уметь:

решать задачи на определение числовых характеристик случайных величин;

решать задачи на вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.

Вопросы по разделу

1. Дайте определение функции распределения вероятностей случайной величины.

2. Перечислите свойства функции распределения вероятностей случайной величины и объясните их смысл.

3. Дайте определение плотности распределения вероятностей случайной величины.

4. Перечислите свойства плотности распределения вероятностей случайной величины и объясните их смысл.

5. Чему равен интеграл от плотности распределения вероятностей по всей области задания случайной величин?

6

6. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины?

7. Как определяется дисперсия непрерывной случайной величины? 8. Что такое мода и медиана и как их определить? 9. Что такое асимметрия и эксцесс закона распределения и как они

определяются? 1.2. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики

Студент должен знать: понятие дискретной случайной величины; числовые характеристики дискретной случайной величины; свойства числовых характеристик дискретных случайных величин.


решать задачи на вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин;

решать задачи на вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный интервал.


1. Дайте определение случайной величины. 2. В чем различие непрерывной и дискретной случайных величин? 3. Что называется законом распределения вероятностей дискретной

случайной величины? 4. Какими способами можно задать дискретную случайную величину? 5. Перечислите числовые характеристики дискретной случайной

величины. 6. Перечислите свойства математического ожидания дискретной

случайной величины. 7. Запишите формулу для определения математического ожидания

дискретной случайной величины. 8. Чему равно математическое ожидание числа появления событий в

независимых испытаниях? 9. Перечислите свойства дисперсии дискретной случайной величины. 10. Запишите формулу для определения дисперсии дискретной

случайной величины. 11. Как определить дисперсию числа появления событий в независимых

испытаниях? 12. Что потребовало введения понятия «среднее квадратическое

отклонение»? 13. Формула для определения начальных теоретических моментов.

7

14. Какая числовая характеристика случайной величины является ее начальным моментом первого порядка?

15. Чему равен центральный момент первого порядка случайной величины?

16. Чему равен центральный момент второго порядка случайной величины?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2 Тема « Интервальное оценивание неизвестных параметров

случайных величин, свойственных процессам энергетики, точность оценки»

Студент должен знать: определение точечных и интервальных оценок неизвестных

параметров; определение ошибок первого и второго рода.


строить доверительные интервалы.

Вопросы по разделу 1. Что такое интервальная оценка параметра? 2. Как определить доверительные интервалы параметров нормального распределения? ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3

Тема «Проверка статистических гипотез при решении задач электротехники»

Студент должен знать: понятие выборки; понятие вариационного ряда; понятие эмпирического закона распределения вероятностей; понятие эмпирических числовых характеристик; определение точечных и интервальных оценок неизвестных

параметров; понятие статистической гипотезы; определение ошибок первого и второго рода.


строить гистограмму и полигон; строить эмпирическую функцию распределения вероятностей;

8

вычислять эмпирические числовые характеристики; строить доверительные интервалы; использовать наиболее распространенные критерии проверки

статистических гипотез.

Вопросы по разделу 1. Укажите основные задачи математической статистики. 2. Что называется выборкой случайной величины? 3. Дайте определение вариационного ряда. 4. Что такое объем выборки? 5. Как построить эмпирическую функцию распределения вероятностей? 6. Что такое полигон и гистограмма эмпирического распределения? 7. Запишите формулу для определения выборочной дисперсии. 8. Запишите формулу для определения генеральной дисперсии по

выборочной дисперсии. Что такое точечная оценка параметра? 9. Что такое интервальная оценка параметра? 10. Как определить доверительные интервалы параметров нормального

распределения? 11. Что называется статистической гипотезой. 12. Что такое конкурирующая гипотеза? 13. Что называется статистическим критерием? 14. Дайте определение ошибок первого и второго рода. 15. Что такое критическая область? 16. Какие виды критических областей различают? 17. Чем отличаются односторонняя и двухсторонняя критические

области? 18. Перечислите основные критерии проверки статистических гипотез?

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4 Тема «Методы корреляционного анализа для определения

взаимной связи и влияния случайных энергетических величин»

Студент должен знать: понятие корреляционной связи; виды корреляций; задачи, решаемые при проведении корреляционного анализа; свойства коэффициента корреляции; способы вычисления выборочного коэффициента корреляции; алгоритм проведения корреляционного анализа.

9

Студент должен уметь: проводить корреляционный анализ по исходным данным.


1. Какие задачи решает корреляционный анализ? 2. Что характеризует выборочный коэффициент корреляции? 3. Обнаруживает ли коэффициент корреляции нелинейную связь между

переменными? 4. Что такое корреляционная таблица? 5. Какой коэффициент корреляции используется, если выборка

распределена по нормальному закону? 6. Какой коэффициент корреляции используется, если выборка

распределена по нормальному закону? 7. Какой коэффициент корреляции используется, если вид

распределения выборки неизвестен? 8. Дайте характеристику пассивному эксперименту. 9. Дайте характеристику активному эксперименту.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5 Тема «Дисперсионный анализ»

Студент должен знать:

понятие фактора; основные предпосылки дисперсионного анализа; алгоритм проведения однофакторного дисперсионного анализа.


проводить дисперсионный анализ по имеющимся исходным данным.

Вопросы по разделу 1. Какую задачу решает дисперсионный анализ? 2. Изложите основную идею дисперсионного анализа. 3. Когда дисперсионный анализ называют «многофакторным»? 4. Изложите основные предпосылки дисперсионного анализа. 5. Изложите основную гипотезу при проведении дисперсионного

анализа. 6. В чем заключается альтернативная гипотеза при проведении

дисперсионного анализа? 7. Изложите алгоритм проведения дисперсионного анализа.

10

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №6,7

Тема «Методы обработки экспериментальных данных и регрес-сионного анализа при решении электроэнергетических задач»

Студент должен знать: аналитическую форму уравнения регрессии и определение

параметров регрессии; взаимосвязи результативного признака и факторов.

Студент должен уметь: задавать аналитическую форму уравнения регрессии и определять

параметры регрессии; определять в регрессии степени стохастической взаимосвязи

результативного признака и факторов; производить проверку общего качества уравнения регрессии; производить проверку статистической значимости каждого

коэффициента уравнения регрессии и определять их доверительные интервалы.


1. Какие задачи решает регрессионный анализ? 2. Дайте характеристики активному и пассивному эксперименту. 3. Что такое «регрессионная модель»? 4. Изложите порядок проведения регрессионного анализа. 5. Почему все результаты регрессионного анализа требуется проверять

с помощью статистических гипотез? ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №8,9 Тема « Графическое представление вероятностей и проверка допущений о распределениях»

Студент должен знать:

понятие полной группы событий; условия применения формулы полной вероятности; понятие гипотезы при использовании формулы Байеса; условия применения формулы Байеса; основные законы распределения случайных величин; параметры, характеризующие основные законы распределения

случайных величин; свойства случайной величины, распределенной по нормальному

закону.

11

Студент должен уметь: решать задачи на вычисление полной вероятности случайного

события; решать задачи по формуле Байеса (определение вероятности

гипотезы при известном исходе испытания); решать задачи на определение параметров основных законов

распределения случайных величин.

Вопросы по разделу 1. Запишите формулу полной вероятности события. 2. Каким условиям должны удовлетворять гипотезы в формуле полной

вероятности? 3. Запишите формулу Байеса. 4. Каким условиям должны удовлетворять гипотезы в формуле Байеса? 5. Требует ли формула полной вероятности, чтобы испытание было

произведено, и исход его был известен? 6. Когда случайная величина имеет биномиальный закон распределения? 7. Как определить математическое ожидание случайной величины,

распределенной по биномиальному закону? 8. Как определить дисперсию случайной величины, распределенной по

биномиальному закону? 9. Когда случайная величина имеет закон распределения Пуассона? 10. Как определить математическое ожидание случайной величины,

распределенной по закону Пуассона? 11. Как определить дисперсию случайной величины, распределенной по

закону Пуассона? 12. Когда случайная величина имеет геометрическое распределение? 13. Как определить математическое ожидание случайной величины,

распределенной по геометрическому закону? 14. Как определить дисперсию случайной величины, распределенной по

геометрическому закону? 15. Что такое гипергеометрическое распределение? 16. Приведите пример случайной величины, имеющей

гипергеометрическое распределение. 17. Перечислите характеристики равномерного закона распределения. 18. Перечислите характеристики показательного закона распределения. 19. Изобразите график кривой распределения, если случайная величина

имеет показательный закон распределения. 20. Запишите плотность вероятности случайной величины,

распределенной по нормальному закону. 21. Как определяется математическое ожидание и дисперсия случайной

величины, распределенной по нормальному закону?

12

22. Почему коэффициенты асимметрии и эксцесса других законов распределения сравнивают именно с нормальным законом распределения?

23. Чему равна вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал?

МЕТОДИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ

К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И ОФОРМЛЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

Подготовка к практическим занятиям, наряду с изучением

теоретического материала, предполагает решение набора типовых задач по темам учебной программы. Оформляется отчет по выполненным расчетным заданиям.

Отчет по выполненному расчётному заданию представляет собой набор решенных задач с необходимыми пояснениями и расчетами. При выполнении задания могут быть использованы математические пакеты программ для ПЭВМ.

К сессии допускаются студенты, выполнившие расчётное задание и получившие на него положительную рецензию.

Расчетное задание выполняется на листах формата А 4. Задание может быть написано «от руки» или напечатано. Обязательно наличие титульного листа, на котором указывается:

а) название учебного заведения (федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ульяновский государственный технический университет»);

б) название курса, по которому выполнено расчетное задание (Расчетное задание по курсу «Статистические методы в научных исследованиях»);

в) группа, ФИО студента, ФИО преподавателя, которому сдается расчетное задание;

г) год выполнения задания. Расчетное задание формируется исходя из тем практических занятий.

По каждой теме студент должен решить задачи своего варианта. Каждая новая тема расчетного задания начинается с новой страницы. Название темы, по которой решается задача, указывать обязательно, условие задачи писать обязательно.

Расчетное задание должно содержать все необходимые пояснения, формулы и чертежи. Листы расчетного задания нумеруются внизу страницы по центру. Титульный лист не нумеруется.

13

ЗАДАЧИ ДЛЯ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

Формула полной вероятности. Вычислить вероятность события, пользуясь формулой полной вероятности и/или формулой Байеса.

Вариант 1. На заводе 30% деталей производится цехом №1, 45% цехом №2 и 25% цехом №3. Вероятность изготовления бракованной детали для 1-го цеха равна 0,05, для 2-го 0,01 и для 3-го 0,04. Наугад выбранная из общей массы деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она изготовлена 1-м цехом.

Вариант 2. Три спортсмена одновременно выстрелили по мишени, в которой затем обнаружили лишь одно попадание. Определить вероятность того, что попал первый спортсмен, если вероятности попадания для спортсменов 0,4; 0,35 и 0,3 соответственно.

Вариант 3. В урне находятся 2 белых и 4 черных шара. Из урны извлекают 2 шара, цвет которых остается неизвестным, и откладывают их в сторону. Затем извлекают третий шар. Какова вероятность, что он белый.

Вариант 4. В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытыми дефектами, второго 10% и третьего 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазине находится 30% телевизоров первого завода, 20% второго завода и 50% третьего?

Вариант 5. В тире имеется 5 ружей, вероятность попадания из которых 0,5; 3 ружья с вероятностью попадания 0,7 и два ружья с вероятностью попадания 0,8. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если ружье выбрано наугад.

Вариант 6. В двух урнах находятся белые и красные шары, в первой 4 белых и 5 красных, во второй 7 белых и три красных. Из второй урны взяли наудачу шар и переложили в первую урну. После этого взяли наудачу шар из первой урны. Какова вероятность, что он будет белым?

Вариант 7. В двух ящиках находятся детали, в первом 10 деталей, из них 3 бракованных, во втором 20 деталей, их которых 8 бракованных. Из каждого ящика взяли наудачу по одной детали, а затем из этих двух наудачу выбрана одна. Какова вероятность, что выбранная деталь стандартная?

Вариант 8. В среднем из 100 клиентов банка 60 обслуживается первым оператором и 40 вторым. Вероятность того, что клиент будет обслужен оператором без помощи заведующего, составляет для первого оператора 0,9 и для второго 0,75. Найти вероятность полного обслуживания клиента (без помощи заведующего) первым оператором.

Вариант 9. На склад поступает обувь с трех фабрик. Первая и вторая

14

фабрики поставляют соответственно 25% и 35% всей обуви. На первой фабрике обувь первого сорта составляет 45%, на второй 10% и на третьей 20%, вся остальная обувь – высшего сорта. На складе наугад выбрали коробку с обувью. Какова вероятность, что она первого сорта?

Вариант 10. На склад поступает обувь с трех фабрик. Первая и вторая фабрики поставляют соответственно 25% и 35% всей обуви. На первой фабрике обувь первого сорта составляет 45%, на второй 10% и на третьей 20%, вся остальная обувь – высшего сорта. На складе наугад выбрали коробку с обувью и, оказалось, что это обувь первого сорта. Какова вероятность того, что выбранная пара изготовлена на третьей фабрике?

Повторение испытаний. Вычислить вероятность события, пользуясь формулами Бернулли и Пуассона, теоремами Лапласа.

Вариант 1. Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью 0,99 получить хотя бы один отказ?

Вариант 2. Вероятность изготовления детали отличного качества равна 0,8. Какова вероятность того, что из 10 деталей 9 окажутся отличного качества?

Вариант 3. Статистикой установлено, что из каждой 1000 детей в среднем рождается 485 девочек и 515 мальчиков. В семье 4 ребенка. Найти вероятность того, что это 3 девочки и 1 мальчик.

Вариант 4. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 2 раза (вероятность выпадения герба 0,5).

Вариант 5. Стрелок сделал 14 выстрелов по мишени, причем вероятность его попадания в мишень 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и его вероятность?

Вариант 6. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя выстрелами, если сделано 5000 выстрелов.

Вариант 7. Станок-автомат штампует детали. Вероятность то, что изготовленная деталь окажется бракованной, составляет 0,02. Найти вероятность того, что из 100 деталей бракованных окажется не менее 2 и не более 4.

Вариант 8. Игральная кость бросается 12 000 раз. Найти вероятность того, что число выпадений одного очка будет от 1900 до 2150 раз.

Вариант 9. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,005. Найти вероятность того, что, имея 100 билетов, можно выиграть по двум из них.

15

Вариант 10. Контрольный тест состоит из 40 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 ответа, верен только один. Какова вероятность правильного ответа на 20 вопросов, если отвечать наудачу?

Дискретные случайные величины. Задан закон распределения

дискретной случайной величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить график функции распределения вероятностей случайной величины X.

16

Вариант 1

X 10 10,1 10,3 10,6 11

P 0,6 0,1 0,1 0,1 0,1

Вариант 2

X 10 10,2 10,4 10.7 11,1

P 0,5 0,2 0,1 0,1 0,1

Вариант 3

X 10,3 20,3 20,7 21,3 22,1

P 0,4 0,3 0,1 0,1 0,1

Вариант 4

X 10,6 20,6 21 21,6 22,4

P 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1

Вариант 5

X 11 21 21,4 22 22,8

P 0,2 0,2 0,3 0,2 0,1

Вариант 6

X 11,5 21,5 21,9 22,5 23,3

P 0,1 0,1 0,3 0,4 0,1

Вариант 7

X 12,1 22,1 22,5 23,1 23,9

P 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1

Вариант 8

X 12,8 22,8 23,2 23,8 24,6

P 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Вариант 9

X 13,6 23,6 24 24,6 25,4

P 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1

Вариант 10

X 14,5 24,5 24,9 25,5 26,3

P 0,3 0,4 0,1 0,1 0,1

Непрерывные случайные величины. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения (варианты 1-5) или плотностью распределения вероятностей (варианты 6-10).

Требуется найти: плотность распределения (варианты 1-5) или функцию

распределения вероятностей (варианты 6-10); математическое ожидание; дисперсию; среднее квадратическое отклонение; вероятность того, что случайная величина отклонится от своего

математического ожидания не более чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой величины;

построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.

17

№ вар.

Функция распределения

1. ( ) = 0 при ≤ 0 4 при 0 < ≤ 21 при > 2

2. ( ) = 0 при ≤ 344 − 3 при 34 < ≤ 11 при > 1

3. ( ) = 0 при ≤ 233 − 2 при 23 < ≤ 11 при > 1

4. ( ) = 0 при ≤ 02 sin при 0 < ≤ 61 при > 6

5. ( ) = 0 при ≤ 0√ при 0 < ≤ 11 при > 1

№ вар.

Плотность распределения

6. ( ) = 0 при ≤ 0 и > 42 cos 2 при 0 < ≤ 4

7. ( ) = 0 при ≤ 0 и > 132 √ при 0 < ≤ 1

8. ( ) = 0 при ≤ 1 и > √2 при 1 < ≤ √

9. ( ) = 0 при ≤ 0 и > 39 при 0 < ≤ 3

10. ( ) = 0 при ≤ 0 и > 3cos 2 при 0 < ≤ 3

Система двух случайных величин. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей.

Требуется: определить одномерные законы распределения случайных величин X

и Y; найти условные плотности распределения вероятностей величин; вычислить математические ожидания; вычислить средние

квадратические отклонения; вычислить коэффициент корреляции. Возможные значения случайных величин выбрать по номеру варианта.

y1 y2 y3 y4 y5

x1 0,04 0,04 0,03 0,03 0,01

x2 0,04 0,07 0,06 0,05 0,03

x3 0,05 0,08 0,09 0,08 0,05

x4 0,03 0,04 0,04 0,06 0,08

18

Вариант 1. X= (1, 2, 3, 8); Y= (9, 11, 13, 16, 18) Вариант 2. X= (2, 1, 1 ,3); Y= (6, 8, 12, 14, 16) Вариант 3. X= (1, 2, 4, 6); Y= (5, 7, 9, 11, 14) Вариант 4. X= (2, 3, 5, 8); Y= (7, 9, 10, 11, 13) Вариант 5. X= (3, 2, 2, 7); Y= (8, 10, 12, 14, 16)

Вариант 6. X= (2, 1, 2, 4); Y= (3, 5, 10, 12, 15) Вариант 7. X= (1, 4, 7, 8); Y= (4, 7, 9, 10, 11) Вариант 8. X= (3, 1, 1, 4); Y= (6, 7, 10, 12, 14) Вариант 9. X= (1, 1, 3, 6); Y= (3, 5, 8, 10, 12) Вариант 10. X= (4, 2, 2, 4); Y= (5, 7, 9, 11, 13)

Статистическая обработка экспериментальных данных. Оценка

параметров. Проверка статистических гипотез По заданной выборке случайной величины X вычислить основные

эмпирические характеристики: выборочную среднюю; выборочную дисперсию; исправленное значение выборочной дисперсии; среднее квадратическое отклонение; построить доверительный интервал для оценки математического

ожидания. Считать надежность оценки равной 0,95; построить доверительный интервал для оценки дисперсии. Считать

надежность оценки равной 0,95. Построить по данным выборки полигон и гистограмму. Подобрать подходящий теоретический закон распределения вероятностей. Проверить гипотезу о соответствии эмпирического закона распределения выбранному теоретическому закону при уровне значимости =0,05.

Данные выборки выбирать по номеру варианта.

Вариант 1

1,6 1,5 2,4 4,9 2,6 3,2 1,0 0 2,8 0,3 2,2 0,8

0,1 3,2 8,0 0,7 4,1 0,2 0,3 0,7 3,3 3,4 4,6 0,6

0,5 4,2 3,7 0,1 0,4 1,2 4,5 1,6 1,2 1,5 9,6 4,0

0,3 0,7 7,3 2,5 2,1 2,7 0,3 0,9 4,9 0,1 0,5 0,3

1,4 2,8 0,6 1,4 0,8 1,1 0,9 0,4 1,2 0,2 0,1 0,8

19

Вариант 2

1,4 0,6 3.6 3,6 3,4 3,7 3,7 3,6 5,8 0,6 8,3 0,6

5,6 3,8 3,4 2,0 3,3 3,6 0,6 7,0 1,2 0,7 2,1 3,0

7,5 1,2 5,1 5,7 4,5 3,0 1,3 2,1 3,7 6,4 1,0 3,7

3,7 0,9 2,2 2,4 3,4 1,3 5,7 1,4 1,2 0,6 3,6 3,4

0,7 3,7 1,6 1,1 1,3 2,2 3,7 3,5 2,3 3,2 2,7 1,4 Вариант 3

0,1 1,2 0,5 2,4 2,6 4,9 3,2 1,0 0,1 0 2,8 0,3

2,2 0,8 3,2 0,7 1,5 0,2 0,3 0,7 3,3 3,4 4,6 0,6

0,5 4,2 3,7 0,1 0,4 1,2 4,5 0,6 0,1 1,6 1,5 7,6

4,2 0,3 0,7 7,3 2,5 2,1 2,7 0,3 0,9 4,9 0,2 1,5

1,8 0,5 2,1 0,9 1,4 0,2 1,1 0,4 5,2 0,5 1,7 1,2 Вариант 4

0,0 0,4 1,5 0,7 2,9 0,3 2,1 0,6 0,2 0,3 7,4 0,2

0,1 1,3 1,5 0,3 1,0 0,1 2,5 1,2 3,5 5,2 1,3 1,0

3,3 2,5 9,6 1,6 0,5 3,1 0,8 1,9 0 0,5 1,5 2,1

3,0 2,3 1,0 2,3 1,5 2,2 1,4 0,3 0,9 1,2 2,3 0,3

1,1 2,0 0,2 1,3 0,4 0,1 6,2 4,4 1,4 0,9 1,7 0,5 Вариант 5

0,2 0,1 1,7 0,8 4,9 0,2 2,5 0,3 2,4 0,2 1,9 0,5

1,6 1,8 0,2 2,6 1,0 0,8 4,3 1,1 0,9 2,7 0,9 5,8

1,9 0,3 2,6 1,0 0 1,2 1,1 2,6 1,5 2,6 0,4 0,5

0,5 0,2 2,6 1,3 0,4 0 2,3 0,3 1,2 0,2 2,0 1,1

0,8 1,7 3,9 1,8 2,9 0,4 2,3 3,5 0,7 4,1 1,5 0,5 Вариант 6

1,8 0,4 1,5 1,7 0,2 2,4 1,0 0,7 4,0 1,1 0,9 2,5

0,8 5,4 1,8 0,3 2,4 0,9 0 1,1 1,0 2,5 1,4 2,5

0,2 0,5 0,4 0,2 2,4 1,2 0,4 0 2,2 0,3 1,1 0,2

1,9 1,0 0,8 1,6 0,8 1,1 1,3 0,9 1,6 0,3 0,3 0,8

0,1 0,1 3,6 3,0 0,3 0,7 1,3 0,8 1,2 2,6 1,3 1,1

20

Вариант 7

0,1 6,5 0,7 0,2 1,6 2,5 7,0 0,7 4,6 5,2 4,0 2,5

0,8 1,6 3,2 5,9 0,5 3,2 0,9 0,1 3,1 3,0 2,9 3,2

3,3 3,1 5,3 0,1 7,8 0,2 5,1 3,3 2,9 1,5 2,8 3,1

3,2 0,4 1,7 1,9 2,9 0,8 5,5 0,9 0,7 0,1 3,1 2,9

0,2 3,2 1,1 0,6 0,8 1,7 3,0 1,8 2,7 2,2 0,9 5,1 Вариант 8

3,3 0,8 2,9 3,2 0,3 4,5 1,8 1,4 7,5 2,0 1,6 4,7

1,5 9,8 3,4 0,5 4,6 1,7 0,1 2,1 1,9 4,6 2,7 4,6

0,3 0,39 0,8 0,4 4,5 2,3 0,7 0 4,0 0,6 2,0 0,3

3,5 2,0 1,4 3,0 1,4 2,2 2,5 1,8 3,0 0,5 0,5 1,5

0,3 0,2 6,7 5,6 0,6 1,3 2,5 1,5 2,3 4,8 2,5 2,1 Вариант 9

4,1 1,5 3,1 1,8 1,7 1,2 2,9 1,9 3,3 1,6 3,5 2,8

2,3 2,1 2,2 5,5 3,5 4,6 6,0 2,1 1,4 1,3 1,2 4,7

2,9 3,4 3,5 2,3 5,1 3,2 1,8 6,1 2,2 5,5 3,4 3,5

2,3 1,2 1,2 1,3 2,5 1,8 7,8 5,6 3,5 3,0 1,5 1,5

3,4 4,2 5,0 3,5 7,0 6,4 5,0 3,5 2,8 7,3 2,7 3,5

Вариант 10

2,9 0,7 2,5 2,8 4,0 0,3 1,6 1,2 6,6 1,8 1,4 4,2

1,4 9,0 3,0 05 4,1 1,5 0,1 1,9 1,7 4,1 2,4 4,1

0,3 0,8 0,7 0,3 4,0 2,0 0,6 0 3,6 0,5 1,8 0,3

3,1 1,7 1,3 2,6 1,3 1,9 2,2 1,6 2,6 0,5 0,4 1,4

0,2 6,0 0,2 2,0 0,6 1,2 2,2 1,3 2,0 4,3 2,2 1,9 Дисперсионный анализ Сделано по пять измерений случайной величины X на каждом из

четырех уровней фактора F.

Методом дисперсионного анализа проверить гипотезу о том, что фактор F не влияет на математическое ожидание величины X. Уровень значимости α принять равным 0,05. Сделать вывод.

21

Вариант 1

Номер испытания i

Уровни фактора j

F1 F2 F3 F4

1 5 4 7 9

2 3 8 6 5

3 7 8 2 6

4 9 3 4 4

5 3 4 6 6

Вариант 2



F1 F2 F3 F4

1 4 7 6 3

2 9 3 6 5

3 6 5 4 9

4 4 8 7 5

5 5 4 6 6 Вариант 3



F1 F2 F3 F4

1 2 6 9 4

2 6 7 5 4

3 2 3 2 9

4 4 5 9 8

5 6 8 6 7 Вариант 4



F1 F2 F3 F4

1 3 7 2 5

2 9 5 6 5

3 4 5 2 8

4 2 3 5 4

5 6 9 5 8

Вариант 5



F1 F2 F3 F4

1 7 5 5 8

2 5 4 7 5

3 2 6 6 3

4 9 6 4 9

5 4 9 3 5 Вариант 6



F1 F2 F3 F4

1 4 2 8 5

2 3 4 9 8

3 4 6 3 4

4 9 5 6 5

5 8 3 5 4

Вариант 7



F1 F2 F3 F4

1 3 4 5 8

2 2 5 4 6

3 2 7 3 7

4 9 3 1 4

5 1 2 4 5

Вариант 8.



F1 F2 F3 F4

1 3 7 5 7

2 9 8 4 5

3 6 5 3 9

4 4 5 6 3

5 2 2 5 4

22

Вариант 9



F1 F2 F3 F4

1 4 3 2 9

2 3 5 6 5

3 7 8 2 7

4 9 3 4 6

5 4 6 3 5

Вариант 10



F1 F2 F3 F4

1 9 4 7 8

2 3 5 9 4

3 8 7 2 5

4 4 4 5 4

5 7 6 3 6

Регрессионный анализ При изучении зависимости между величиной X и величиной Y были

получены следующие значения (см. таблицу соответствующего варианта). Требуется:

построить график Y=f(X) и рассчитать параметры уравнения линейной регрессии методом наименьших квадратов;

оценить качество полученного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и найти коэффициент корреляции;

оценить значимость коэффициента корреляции и коэффициента регрессии b1 по критерию Стьюдента (t-критерий) при уровне значимости =0,05; сделать выводы.

Вариант 1

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 2,1 2,9 3,5 4,1 4,2 3,9 3,7 3,2 1,3 0,2 1,5 3,4 5,3 5,7 7,5

Вариант 2

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 1,2 1,8 2,7 3,4 3,6 2,9 2,4 2,1 0,4 1,1 2,8 4,6 6,5 6,4 8,3

Вариант 3

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 0,1 0,7 1,4 2,2 2,3 1,8 1,6 1,3 1,3 2,4 3,6 5,1 7,4 7,6 9,4

Вариант 4

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 0,6 1,5 2,0 2,7 2,8 2,4 2,2 1,7 0,2 1,7 3,1 4,8 6,8 7,4 9,1

23

Вариант 5

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 0,1 0,5 1,1 1,6 1,9 1,3 1,2 0,8 1,3 2,6 4,2 5,7 7,7 8,4 9,9

Вариант 6

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 0,1 0,2 0,8 1,2 1,4 1,5 1,3 1,1 0,7 0,2 0,4 1,4 2,4 3,6 5,1

Вариант 7

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 0,9 0,7 0,2 0,2 0,5 0,6 0,4 0,2 0,3 0,7 1,5 2,3 3,5 4,7 6,2

Вариант 8

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 1,8 1,7 1,1 0,7 0,5 0,4 0,6 0,9 1,4 1,8 2,4 3,4 4,6 5,8 7,1

Вариант 9

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 1,4 1,3 0,7 0,3 0,1 0,1 0,2 0,4 0,8 1,3 1,9 2,9 3,8 5,1 6,6

Вариант 10

X 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

Y 2,3 2,2 1,8 1,2 1,1 1,2 1,3 1,5 1,7 2,4 3,0 4,1 4,9 6,3 7,8

24

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

Моделирование случайных чисел

Цель работы: Изучить методы и алгоритмы моделирования случайных величин.

Теоретические сведения

Основные вероятностные понятия Случайным опытом, или экспериментом, называется процесс, при

котором возможны различные исходы, так что нельзя заранее предсказать, каков будет результат.

Величина X={xi}=x1, x2, …, xn, представляющая собой результат случайного опыта, называется случайной величиной. Непостоянство результата такого опыта может быть связано с наличием случайных ошибок измерений или со статистической природой самой измеряемой величины (например, процесс распада радиоактивного вещества).

Будем обозначать отдельные значения, которые принимает случайная величина (не обязательно численные), как xi, где i = 1, 2, …, n. Любая функция от xi будет также случайной величиной.

Под моделированием случайной величины Х принято понимать процесс получения на ЭВМ ее выборочных значений x1, ..., xn. На практике используются три основных способа генерации случайных чисел:

табличный (файловый) – ввод таблиц равномерно распределенных случайных чисел во внешнюю или оперативную память ЭВМ;

аппаратный (физический) – использование специального приспособления к ЭВМ – «датчика» случайных чисел, формирующего случайные величины путём физического моделирования некоторых случайных процессов (излучения радиоактивных источников, шумов электронных ламп и др.);

алгоритмический (программный) – использование псевдослучайных (квазислучайных) последовательностей, реализуемых программным генератором случайных чисел. Псевдослучайными числами называются числа, вырабатываемые ЭВМ

рекуррентным способом по специальным алгоритмам, когда каждое последующее число xi получается из предыдущих в результате применения некоторых арифметических и логических операций. Такая последовательность чисел удовлетворяет известным критериям случайности, хотя входящие в эту последовательность числа зависимы между собой.

25

Одним из недостатков этого метода является периодичность образованных программным способом псевдослучайных чисел, но для ряда задач, не требующих большого количества случайных чисел, длина периода является достаточной.

Первый способ. При решении задачи без применения ЭВМ чаще всего используют таблицы случайных чисел. Таблицы получают с помощью специальных приборов (типа рулетки) и заносят в память ЭВМ, используются по мере необходимости.

В таблицах случайных чисел случайные цифры имитируют значения дискретной случайной величины с равномерным распределением:

xi 0 1 2 3 … 9 pi 0,1 0,1 0,1 0,1 … 0,1

При составлении таких таблиц выполняется требование, чтобы каждая

из этих цифр от 0; 1; ...; 9 встречалась примерно одинаково часто и независимо от других с вероятностью pi = 0,1. Самая большая из опубликованных таблиц случайных чисел содержит 1 000 000 цифр.

Таблицы случайных чисел составить не так просто. Они требуют тщательной проверки с помощью специальных статистических тестов. Основной недостаток − необходимость в памяти достаточно большой емкости, затрудняющий решение «больших» задач, тем более что преимущество «случайных» таблиц перед «псевдослучайными» числами, получаемыми алгоритмически, никем не было доказано.

Во втором способе используются аппаратные датчики, основанные на некоторых физических процессах, случайных по своей природе (шумы в электронных и полупроводниковых приборах, процессы при радиоактивном распаде и т. п.). Или же при решении задач на ЭВМ для выработки случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;1), могут применяться генераторы случайных чисел.

Данные генераторы преобразуют результаты случайного физического процесса в двоичные числа. В качестве случайного физического процесса обычно используют собственные шумы (случайным образом меняющееся напряжение).

Основные недостатки − невозможность повторного получения одной и той же последовательности случайных величин для проверочных расчетов и невозможность гарантировать постоянную надежную работу датчика.

Третий способ. Получение псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения заключается в выработке псевдослучайных чисел. Псевдослучайные числа – это числа, полученные по какой-либо формуле и имитирующие значения случайной величины. Под словом «имитирующие»

26

подразумевается, что эти числа удовлетворяют ряду тестов так, как если бы они были значениями этой случайной величины.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел предложил Дж. Нейман. Это так называемый метод середины квадратов, который заключается в следующем:

6546,0

,09654628,0

,5353,0

,76535397,0

,9876,0

2

21

1

20

0

x

x

x

x

x

Метод середин квадратов фон Неймана является сравнительно бедным источником случайных чисел, так как последовательность стремится войти в привычную колею, т. е. короткий цикл повторяющихся элементов.

Назовем достоинства метода псевдослучайных чисел:

1. На получение каждого случайного числа затрачивается несколько простых операций, так что скорость генерирования случайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЭВМ.

2. Малый объем памяти ЭВМ для программирования. 3. Любое из чисел легко воспроизвести. 4. Качество генерируемых случайных чисел достаточно проверить один

раз. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные,

одномерные (зависящие от одной переменной) или многомерные (зависящие от двух и более переменных).

Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

Полной характеристикой случайной величины X с вероятностной точки зрения является ее закон распределения, т. е. заданная в той или иной форме связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Универсальной формой закона распределения (непрерывных и дискретных величин) является функция распределения вероятностей − это такая функция F(x), значение которой в точке x равно вероятности (P) того, что при проведении опыта значение случайной величины X окажется

27

меньше, чем x: F(x) = P(X<x). Основные свойства функции распределения вероятностей следующие: 1) числовые значения заключены в пределах 0≤F(x)≤1; 2) если x1≤x2, то F(x1)≤F(x2), т. е. F(x) − неубывающая функция; 3) F(x)→0 при x→−∞, F(x)→1 при x→∞.

Рис.1. Графическое изображение функции распределения вероятностей

Если случайная величина дискретна, то ее функция распределения представляет собой ступенчатую функцию (рис. 1,a), а у непрерывных случайных величин функция распределения также непрерывна (рис. 1,b ).

Функцию распределения вероятностей F(x) непрерывной случайной величины можно представить в виде интеграла от некоторой неотрицательной функции f(x):

.)()(

x

duufxF

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятности. Основные свойства плотности вероятности таковы:

;)(

)(')(dx

xdFxFxf ;)()(

x

duufxF

;1)(

duuf

Плотность вероятности пропорциональна вероятности события: ( ≤ ≤ + ).

28

Кроме закона распределения, случайную величину характеризуют

значениями некоторых параметров, определяющих наиболее существенные особенности ее распределения.

Наиболее часто используемыми параметрами распределения являются математическое ожидание или среднее значение случайной величины, а также дисперсия случайной величины.

Параметры случайной величины Основное назначение числовых характеристик случайной величины

состоит в том, чтобы в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности того или иного распределения.

Математическим ожиданием, или средним значением, дискретной случайной величины называется сумма всех возможных значений xi

случайной величины X, умноженных на соответствующие вероятности:

n

i

n

iiiii PxxXPxxXM

1 1

}{,

n

iii PxXM

1

22 )(}{,

2

1

2}){(

n

iii PxXM

. Заметим, что x является не случайной, а определенной,

детерминированной величиной. Так как функция от случайной величины является также случайной

величиной, то математическое ожидание функции Y = H(X) определяется следующим образом:

n

i

n

iiiii PxHxXPxHXHM

1 1

.)()()}({

Для непрерывных случайных величин будем иметь вид:

,)(}{

dxxxfxXM

.)()()}({

dxxfxHxXHM

Важной характеристикой отклонения или разброса случайной величины от ее среднего значения является дисперсия случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения

29

случайной величины X от своего среднего значения:

22222 }{}{}{)(}{ XMXMxXMXMXMXXD .

Положительный квадратный корень из дисперсии

)(2 X

называется стандартным или среднеквадратичным отклонением 1 . Среднеквадратичное отклонение количественно показывает, насколько сильно значения случайной величины X разбросаны вокруг среднего значения x.

Пример 1. В качестве примера дискретной случайной величины рассмотрим числа, выпадающие при бросании игрального кубика. Пусть N раз бросили игральный кубик и получили N1, N2, N3, N4, N5, N6 выпадений значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 соответственно. Тогда говорят, что вероятность выпадения какого-нибудь числа i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) приближенно равна

,N

NP i

i

т. е. Pi равна доле числа случаев, в которых выпало значение i, от полного числа бросаний. Знак приближенного равенства означает, что если повторить еще N бросаний, то получим, вообще говоря, другое значение Ni . Соотношение для вероятности становится точным в пределе, когда N→∞:

.limN

NP i

Ni

В нашем случае, если кубик «честный», вероятности выпадения значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны P1 = P2 = P3 = P4 = P5 = P6 = 1/6. Очевидно также, что

.11 6

1

6

1

i

ii

i PNN

Вычислим математическое ожидание M{X} и дисперсию D{X} для игрального кубика:

;5.36

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11}{ XM

1 Часто используют также эквивалентный термин квадратичное отклонение.

30

.917.2)5.3(6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11

}{}{}{

2222222

22

XMXMXD

Моделирование случайных событий

Получение равномерно распределенных случайных чисел При моделировании систем на ЭВМ программная имитация

случайных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. В качестве базового процесса примем последовательность случайных чисел {xi} = x1, x2, …, xn, представляющих собой реализации независимых, равномерно распределенных на интервале (0;1) случайных величин {ri} = r1, r2, …, rn.

Непрерывная случайная величина R имеет равномерное распределение на интервале (a; b), если ее функции плотности вероятности (рис. 2,а) и распределения (рис. 2,б) задаются следующим образом: ( ) = 1− , если ≤ ≤0 , в противном случае

.

b x 1,

bxa ,a-b

a-x

a x ,0

)(

xF

Легко можно вычислить, что:

,2

)(}{

b

a

abdxxxfxXM

b

a

abdxxf

abxXMXMXD .

12)(

2}{}{

222

В частном случае, когда a = 0 и b = 1, имеем равномерно распределенную на интервале (0;1) случайную величину, для которой математическое ожидание М(X)=1/2, а дисперсия D(X)=1/12. От последовательности случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;1), нетрудно перейти к последовательности случайных чисел с произвольным заданным законом распределения.

31

Пример 2. Получение равномерно распределенной в интервале (0;1)

случайной величины X может быть осуществлено следующим алгоритмом: xi+1 = {π · xi},

x0 = 0.1. Знак {} означает, что берется дробная часть произведения.

Вычисления дают такую последовательность: x0 = 0.1, x1 = 0.415926, x2 = 0.667, x3=0.54422, x4 = 0.97175, x5 = 0.28426 и т. д. К настоящему времени разработано множество алгоритмов получения

псевдослучайных чисел. Наиболее популярным для получения псевдослучайных чисел x1, x2,..., xn является метод вычетов (мультипликативный датчик), который можно записать в следующей форме:

xi+1 ={M · xi}, x0 = 2−m, где M − достаточно большое целое число, фигурные скобки

обозначают дробную часть, а m − число двоичных разрядов в мантиссе чисел в ЭВМ.

Методы выбора значений M, x0 и m разнятся для разных вариантов реализаций данного метода (это своя собственная «наука») и определяют основные свойства датчика случайных чисел (соответствие статистическим критериям, длину периода повторения последовательности и т. п.).

F(x)

x

0a b

1

f(x)

x0

a b

1/(b-a)

Рис. 2. Графическое изображение равномерно распределенной случайной величины X

а) б)

32

Моделирование нормально распределенных случайных величин В технике и природе наиболее распространенное распределение

случайных чисел – гауссовское, или нормальное. Нормальной (или гауссовской) называется случайная величина X, определенная на всей числовой оси (− ∞, ∞) имеющая плотность распределения вероятности:

.2

2}{

exp2

1)( D

XMx

Dxf

Здесь D=σ2 – дисперсия случайной величины, а M{X} –

математическое ожидание случайной величины X. Распространенный алгоритм моделирования таких величин основан

на центральной предельной теореме теории вероятностей. Рассмотрим алгоритм моделирования нормально распределенных

случайных величин. Известно, что если случайная величина X распределена равномерно в интервале (0;1), то ее математическое ожидание М(X)=1/2, а дисперсия D(X)=1/12.

Для практического использования можно считать, что случайная

величина

n

iixX

1 распределена нормально при n ≥ 8 (n – количество случайных величин) с математическим ожиданием M{X}=n/2, дисперсией D{X}=n/12 и среднеквадратичным отклонением:

= } = 12 . Величина М(X) характеризует центр тяжести распределения X и не влияет на форму кривой. Величина σ же характеризует разброс случайной величины X относительно ее среднего значения М(X) ( рис. 3).

Рис. 3. График нормального распределения случайных величин

33

Так как моделирование любого нормального распределения с параметрами (M{X}, σ) может быть осуществлено по очевидной формуле X=M{X}+σ·R, где R={r1, r2, …, rn}− сгенерированная в интервале [0;1) случайная величина, то нормально распределенные случайные величины с параметрами (0;1) можно вычислять по следующей приближенной формуле:

n

ii nr

nR

1

21

2

112

. При n = 12 эта формула заметно упрощается:

12

1

6i

irR.

Пример 3. 1. Разыграть 100 возможных значений случайной величины Х

распределенной нормально с параметрами M{X} = 0 и σ = 1. 2. Оценить параметры разыгранной случайной величины Х. Решение:

1. Выберем 12 случайных чисел распределенных равномерно в интервале (0;1) из таблицы случайных чисел, либо из компьютера. Сложим эти числа и из суммы вычтем 6, в итоге получим:

.99,06)67,0......09,01,0(612

11

iirRX

Поступая аналогичным образом, найдем остальные возможные значения X2, X3, …, X100. 2. Выполнив необходимые расчеты, найдем выборочную среднюю, которая является оценкой M{X} и выборочное среднее квадратичное отклонение (выборочная дисперсия), которое является оценкой σ.

Выборочное среднее:

.1

1

n

iin x

nx

Выборочная дисперсия:

.1

1

1

22

n

i

nin xxn

Величина nx называется выборочным средним, − выборочной

дисперсией случайной величины X. Значения nx и можно принять в качестве оценок математического ожидания M{X} и дисперсии D{X}

34

величины X, т. е.

nxxXM }{ , 22}{ nXD

. Приближенные равенства становятся точными в пределе, когда n→. Выборочное среднеквадратичное отклонение σn равно корню

квадратному из выборочной дисперсии

.2nn

Получим:

;05.0}{ nxXM 04.1

nD.

Как видим, оценки удовлетворительны, т. е. } близко к нулю, а близко к единице.

Если требуется разыграть значения нормальной ненормированной случайной величины с математическим ожиданием M{X} отличным от нуля и σ отличным от единицы, то сначала разыгрывают возможные значения ri нормированной случайной величины в интервале [0;1), а затем находят искомое значение по формуле:

Xi= M{X}+σ·ri,

которая получена из соотношения:

.XM

ii

Xr

Моделирование дискретных случайных величин Рассмотрим дискретную случайную величину X, принимающую n

значений x1, x2, ..., xn с вероятностями P1, P2,..., Pn. Эта величина задается таблицей распределения

n

n

PPP

xxxX

...

...

21

21

1

1

n

iiP

. или

X x1 x2 x3 … xn

P P1 P2 P3 … Pn

Для моделирования такой дискретной случайной величины разбивают отрезок [0;1] на n последовательных отрезков ∆1, ∆2,..., ∆n, длины которых равны соответствующим вероятностям P1, P2, ..., Pn. Тогда длины отрезков будут равны:

35

Длина .

Длина . .......................................................

Длина . Видно, что длина частичного интервала с индексом i равна

вероятности Р с тем же индексом. Длина i=Pi. Получают случайную величину R, равномерно распределенную в

интервале [0;1]. Таким образом, при попадании случайного числа ri в

интервал i случайная величина X принимает значение xi с вероятностью Pi.

Теорема: если каждому случайному числу ri(0≤ ri <1), которое попало в интервал i, поставить в соответствие возможное значение xi, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения. Рассмотрим алгоритм моделирования дискретных случайных величин. 1. Нужно разбить интервал [0;1) на n частичных интервалов: 1 – (0;P1), 2 – (P2;P1+ P2), …, n – (P1+P2 + … +Pn-1; 1). 2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел или в компьютере) случайное число ri из интервала [0;1]. Если ri попало в интервал i, то моделируемая дискретная случайная величина приняла возможное значение xi.

Пример 4. Смоделировать 8 значений дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения:

Решение:

1. Разобьем интервал (0;1) точками с координатами 0,25; 0,25+0,16=0,41 на три частичных интервала: 1=[0;0.25], 2=[0.25;0.41], 3=[0,41;1]. 2. Сгенерируем с помощью компьютера 8 случайных чисел, например, r1=0,10; r2=0,37; r3 = 0,08; r4 = 0,99; r5 = 0,12; r6 = 0,66; r7 = 0,31; r8 = 0,85. 3. Случайное число r1 = 0,10 принадлежит первому частичному интервалу, поэтому разыгрываемая случайная величина приняла возможное значение x1=3. Случайное число r2 = 0,37 принадлежит второму частичному интервалу, поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение x2=11. Аналогично получим остальные возможные значения дискретной случайной величины X.

36

Результат: последовательность смоделированных возможных значений дискретной случайной величины X такова: 3; 11; 3; 24; 3; 24; 11; 24.

Моделирование непрерывных случайных величин Может оказаться так, что алгоритм численного решения указанного

уравнения будет достаточно сложным или требовать заметных затрат времени на вычисления. Тогда могут быть использованы другие методы генерирования случайных величин. Среди этих методов отметим метод исключения.

Суть метода исключения (или метода Неймана) заключается в следующем.

Пусть случайная величина X определена на конечном интервале (a;b) и плотность ее распределения ограничена, так что f(x)≤M. Тогда, используя пару равномерно распределенных на интервале (0;1) случайных чисел R, осуществляем следующие действия для розыгрыша (моделирования) значения X: 1. Разыгрываем два значения r1 и r2 случайной величины R и строим случайную точку Q с координатами (см. рис. 4): X0=a+r1·(b-a), η=r2·M. 2. Если η>f(X0), то пару значений (r1, r2) отбрасываем и переходим к пункту 1; иначе принимаем X = X0.

Таким образом, определяются координаты случайной точки Q(X0,η) и, если точка окажется под кривой f(x), то абсцисса этой точки принимается в качестве значения случайной величины X=X0=a+r1·(b-a) с плотностью распределения f(x). В противном случае точка отбрасывается, определяются координаты следующей точки, и все повторяется.

Существуют и другие многочисленные способы формирования случайных величин с различными определенными законами распределения.

Рис. 4. Графическое изображение метода Неймана

37

Проверка гипотезы о законе распределения методом гистограмм Пусть в результате эксперимента получено n значений x1, x2, …, xn

случайной величины X и все они заключены в пределах a < xi < b. Суть проверки по гистограмме сводится к следующему. а) Выдвигается гипотеза о равномерности распределения чисел в

интервале (0;1). б) Затем интервал (a; b) разбивается на L равных подинтервалов

длиной Δj, тогда при генерации последовательности {xi} каждое из чисел x с вероятностью pj =1/L, = 1, , попадает в один из подынтервалов.

Всего в каждый j-й подынтервал попадает j чисел последовательности {xi}, = 1, , причем = ∑ . Относительная

частота попадания случайных чисел последовательности {xi} в каждый из

подынтервалов будет равна j /n. в) Над каждым из подынтервалов разбиения строится прямоугольник,

площадь которого равна частоте попадания {xi} в этот подынтервал. Высота каждого прямоугольника равна частоте, деленной на Δj. Полученную ступенчатую линию называют гистограммой.

г) Вид соответствующей гистограммы представлен на рис. 5, где пунктирная линия соответствует теоретическому значению pj, а сплошная

– экспериментальному j /n. Очевидно, что если числа {xi} принадлежат псевдослучайной равномерно распределенной последовательности, то при достаточно больших n экспериментальная гистограмма (ломаная линия на рис. 5) приблизится к теоретической прямой pj=1/L.

Гистограмма служит приближением к неизвестной плотности случайной величины X. Площадь гистограммы, заключенная между xi и xi+1, дает приближенное значение вероятности P{xi<X<xi+1}.

pj

0 1 xi

1/L

Рис. 5. Проверка равномерности последовательности

38

Порядок выполнения работы 1. Используя метод вычетов, сгенерировать последовательность из 1000 псевдослучайных чисел, результат вывести на экран.

1.1.Оценить математическое ожидание полученной последовательности, математическое ожидание и выборочную среднюю вывести на экран.

1.2. Оценить дисперсию полученной последовательности, дисперсию и выборочную дисперсию вывести на экран.

1.3. Построить таблицу 1 (количество L подынтервалов не менее 10), частотную таблицу вывести на экран.

1.4. Проверить гипотезу о законе распределения методом гистограмм, построить гистограмму, вывести ее на экран.

Таблица 1 Частотная таблица

Интервал Кол-во СВ (частота попаданий), выпавших в данный интервал

Относительная частота попадания

∆1 ν1 ν1/n ∆2 ν2 ν2/n … … … ∆L νL νL/n ∑ кол-во СВ

2. Смоделировать дискретную случайную величину, заданную таблицей 2, результат вывести на экран.

2.1. Оценить математическое ожидание полученной дискретной случайной величины, результат вывести на экран.

2.2. Оценить дисперсию полученной дискретной случайной величины, результат вывести на экран.

2.3. Построить частотную таблицу, вывести ее на экран. 2.4. Оценить закон распределения случайной величины по графику

частоты появления ее значений в результате экспериментов. 3. Смоделировать методом исключений непрерывную случайную величину с заданной плотностью распределения вероятности (таблица 3). Функции

для графика рассчитываются по формулам = или = − + .

3.1. Оценить математическое ожидание полученной непрерывной случайной величины, результат вывести на экран.

3.2. Оценить дисперсию полученной непрерывной случайной величины, результат вывести на экран.

3.3. Построить частотную таблицу, вывести ее на экран. 3.4. Проверить гипотезу о законе распределения методом

гистограмм, построить и вывести на экран гистограмму.

39

Таблица 2 Таблица распределений

Вариант Таблица распределения

1 xi 5 7 17 19 21 25 55 pi 0.01 0.05 0.3 0.3 0.3 0.02 0.02

2 xi 1 3 7 10 15 18 23 pi 0.1 0.05 0.02 0.05 0.25 0.33 0.2

3 xi 2 3 5 12 21 33 44 pi 0.1 0.15 0.2 0.05 0.02 0.33 0.15

4 xi 5 8 13 16 21 24 29 pi 0.1 0.02 0.25 0.15 0.35 0.03 0.1

5 xi 2 3 5 8 11 15 20 pi 0.1 0.15 0.25 0.05 0.05 0.3 0.1

6 xi 1 8 17 23 37 42 50 pi 0.01 0.15 0.05 0.25 0.5 0.02 0.02

7 xi 1 4 12 16 25 33 37 pi 0.05 0.25 0.25 0.15 0.13 0.1 0.07

8 xi 1 10 15 23 29 38 42 pi 0.02 0.05 0.1 0.28 0.23 0.22 0.1

9 xi 2 3 7 12 19 23 30 pi 0.04 0.15 0.2 0.25 0.2 0.15 0.01

10 xi 1 5 7 14 21 26 31 pi 0.34 0.28 0.16 0.15 0.05 0.01 0.01

11 xi 3 5 8 14 27 29 35 pi 0.02 0.07 0.1 0.19 0.19 0.2 0.23

12 xi 7 16 28 33 39 46 56 pi 0.01 0.05 0.07 0.1 0.17 0.25 0.35

13 xi 5 6 8 13 19 26 36 pi 0.05 0.07 0.2 0.23 0.17 0.23 0.05

14 xi 3 9 18 23 29 27 45 pi 0.05 0.14 0.2 0.22 0.17 0.14 0.08

15 xi 13 16 28 33 39 47 52 pi 0.08 0.14 0.25 0.16 0.25 0.09 0.03

16 xi 1 6 8 13 19 24 27 pi 0.09 0.1 0.21 0.17 0.23 0.15 0.05

17 xi 4 6 10 14 16 20 24 pi 0.04 0.1 0.1 0.27 0.33 0.13 0.03

18 xi 2 6 12 16 22 26 32 pi 0.02 0.14 0.24 0.27 0.2 0.1 0.03

19 xi 3 6 9 13 19 27 31 pi 0.04 0.12 0.22 0.28 0.2 0.1 0.04

20 xi 1 3 8 11 19 29 33 pi 0.02 0.26 0.18 0.32 0.16 0.02 0.04

40

Таблица 3

№ вар.

Плотность распределения № вар.


1 6

2 7

3 8

4 9

5 10

41

Окончание таблицы 3 № вар.

Плотность распределения № вар.


11 16

12 17

13 18

14 19

15 20

42

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

1. Понятие испытания и события. Виды событий. Условия применимости и предмет теории вероятностей.

2. Виды случайных событий. Понятие полной группы событий. 3. Понятие вероятности наступления события. Свойства вероятностей.

Понятие пространства элементарных событий. 4. Классическое определение вероятности. Ограниченность

классического определения вероятности. 5. Статистический способ определения вероятности. Относительная

частота события. Устойчивость относительной частоты. 6. Геометрический способ определения вероятности события. 7. Основные формулы комбинаторики. 8. Действия над событиями. 9. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей

для зависимых и независимых событий. 10. Вероятность появления хотя бы одного события. 11. Формула полной вероятности. 12. Формула Байеса. 13. Повторение испытаний. Формула Бернулли. 14. Вероятность отклонения относительной частоты события от

вероятности его появления в независимых испытаниях. 15. Понятия дискретной и непрерывной случайной величин. Закон

распределения вероятностей дискретной случайной величины. 16. Математическое ожидание дискретной случайной величины. 17. Дисперсия дискретной случайной величины. 18. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной

величины. 19. Начальные и центральные теоретические моменты случайной

величины. 20. Функция распределения случайной величины. 21. Плотность вероятности непрерывной случайной величины. 22. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. 23. Биномиальный закон распределения случайной величины. 24. Закон распределение Пуассона. 25. Геометрическое распределение. 26. Равномерный закон распределения. 27. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. 28. Нормальный закон распределения. 29. Условное распределение составляющих двумерной дискретной

случайной величины.

43

30. Условная плотность вероятности составляющих двумерной непрерывной случайной величины.

31. Числовые характеристики двумерной случайной величины. 32. Понятие зависимых и независимых случайных величин. Понятие

ковариации и коэффициента корреляции. 33. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная

совокупности. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора.

34. Статистическое распределение выборки. 35. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

График накопленных частот. 36. Виды статистических оценок параметров распределения.

Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки. 37. Выборочная дисперсия. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая

и общая дисперсии. 38. Оценка генеральной дисперсии по выборочной дисперсии. Оценка

среднего квадратического отклонения по выборочной дисперсии. 39. Выборочная мода, выборочная медиана, моменты, асимметрия и

эксцесс вариационного ряда. 40. Доверительный интервал для оценки математического ожидания

нормального распределения при известном σ. 41. Доверительный интервал для оценки математического ожидания

нормального распределения при неизвестном σ. 42. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического

отклонения σ от нормального распределения. 43. Статистическая проверка статистических гипотез. Основные

понятия. Ошибки первого и второго рода. 44. Пример проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных

совокупностей, распределенных по нормальному закону. 45. Общая постановка задачи дисперсионного анализа. Основные

предпосылки дисперсионного анализа. 46. Однофакторный дисперсионный анализ. Алгоритм проведения

дисперсионного анализа. 47. Понятие корреляционной и регрессионной связей. Виды регрессий и

корреляций. Задачи корреляционного и регрессионного анализов. 48. Свойства коэффициента корреляции двух случайных величин. 49. Основные понятия регрессионного анализа. Модель регрессии. 50. Задачи регрессионного анализа. Алгоритм корреляционно-

регрессионного анализа.

44

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бирюкова Л. Г., Бобрик Г. И., Ермаков В. И. и др. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие. – М. : ИНФРА-М, 2010. – 287 с. – (Высшее образование).

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – 12-е изд., стереотип. – М. : Высшее образование, 2009. – 479 с.; ил. – (Основы наук).

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебное пособие. – 11-е изд., перераб. – М. : Высшее образование, 2006. – 404 с. – (Основы наук).

4. Золотаревская Д. И. Теория вероятностей. Задачи с решениями: учебное пособие. – 4-е изд., стереотип. – М. : КомКнига, 2006. – 168 с.

5. Королев В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник. – М. : ТК Велби, Проспект, 2006. – 160 с.

6. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 543 с.

7. Лисьев В. П. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие. Ч.2. Практикум. – М. : МЭСИ, 2006. – 199 с.

8. Прохоренкова А.Т. Курс лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая стстистика». Ч. 1. Теория вероятностей. – Смоленск : НОУ ВПО СИБП, 2008. – 100 с.

9. Прохоренкова А.Т. Курс лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая стстистика». Ч. 2. Теория вероятностей. – Смоленск : НОУ ВПО СИБП, 2008. – 96 с.

10. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах : учебное пособие /В. А. Ватутин, Г. И. Ивченко,Ю. И. Медведев и др. –2-е изд., испр. и доп. – М. : Дрофа, 2003. – 328 с.; ил.

11. Фадеева Л. Н., Лебедев А. В. Теория вероятностей и математическая статистика/ под ред. Л. Н. Фадеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Эксмо, 2010. – 496 с. – (Новое экономическое образование).

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НАУЧНЫХ...

Documents

Transcript of СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НАУЧНЫХ...