Очна школа УФМЛ КНУ ім....

Очна школа УФМЛ КНУ ім. Т.Шевченка

Лекція 3

Раціональні вирази. Дії з раціональними дробами. Раціональні рівняння.

Раціональні рівняння з параметрами.

Означення:Цілими виразами називають вирази, де змінна міститься лише в

чисельнику.

Наприклад, х у ; 2

a b; 2 22т т п ;

14

3х ; п пх у ;

4 7

с d ; у ; 7.

Означення:Дробовими виразами називаються такі, що містять дію ділення на

вираз зі змінними.

Наприклад, 2а

хb

; :х у х у ;

a

bc

d

; 4

х.

Означення: Об’єднання множин цілих і дробових виразів є множина

раціональних виразів.

Якщо в раціональному виразі замінити змінні числами, то отримаємо числовий

вираз. Проте ця заміна можлива лише тоді, коли вона не призводить до

ділення на нуль.

Наприклад, вираз 2

21

а

а

при 1а не має змісту, тобто числового значення

такого виразу не існує. При всіх інших значеннях а цей вираз має зміст.

Означення: Областю визначення виразу з однією змінною називають множину

значень змінної,при яких цей вираз має зміст. Елементи цієї множини називають

допустимими значеннями змінної.

Означення: Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких допустимих

значеннях змінних, називають тотожно рівними.

Означення: Рівність, яка виконується при будь-яких допустимих значеннях

змінних, називають тотожністю.

Наприклад, рівність 2

12

а

а

є тотожністю, оскільки вона виконується при всіх

допустимих значеннях а , тобто при всіх а , крім 2а .

Основна властивість дробу: Якщо чисельник і знаменних раціонального

дробу помножити на один і той самий многочлен, який тотожно не дорівнює

нулю, то отримаємо дріб, тотожно рівний даному.

А А С

В В С

,

де , ,А В С ‒ многочлени, причому многочлени В і С тотожно не дорівнюють

нулю.

Скороченням дробу на множник С називають обернене тотожне

перетворення, коли вираз А С

В С

можна замінити на тотожно рівний дріб

А

В.


Приклад1: Відомо, що 3 4

22

а b

a b

. Знайдіть значення дробу

3 2 2 3

3 3 2

6 12

18 6

а а b ab b

b a a b

.

Розв’язання. Якщо 0b , то 3 4 3 3

2 2 2

а b a

a b a

, що суперечить умові. Отже, 0b

. Поділимо чисельник і знаменник дробу, значення якого ми шукаємо, на 3b : 3 2

3 2 2 3

3 23 3 2

6 126 12

18 618 6

a a a

а а b ab b b b b

b a a b a a

b b

.

З умови 3 4

22

a b

a b

випливає, що 3 4 4 2 6 6

aa b a b a b

b . Тоді

шукане значення дорівнює 3 2

3 2

6 6 6 6 12 1

18 6 6 6 3

.

Приклад 2:Побудувати графік функції2 1

1

ху

х

.

Розв’язання. Областю визначення даної функції є

множина | 1D y x x . Маємо

2 1 111

1 1

х хху х

х х

. Отже, шуканим

графіком є пряма 1у х за винятком однієї точки,

абсциса якої дорівнює 1.

Приклад 3: Для кожного значення а розв’яжіть рівняння 2 9 3а х а .

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у вигляді 3 3 3а а х а і

розглянемо три випадки.

1) 3а .

Тоді отримуємо рівняння 0 6х , яке не має коренів.

2) 3а .

У цьому випадку отримуєморівняння 0 0х , коренем якого є будь-яке число.

3) 3а і 3а .

Тоді

3 1

3 3 3

ах

а а а

.

Відповідь: якщо 3а , то рівняння не має коренів; якщо 3а , то коренем є

буд-яке число; якщо 3а і 3а , то1

3х

а

.


Дії з раціональними дробами

1 Щоб додати раціональні дроби з однаковими знаменниками, треба

додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий.

А В А В

С С С

2 Щоб відняти раціональні дроби з однаковими знаменниками, треба від

чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник

залишити той самий.

А В А В

С С С

3 Щоб додати(відняти) дроби з різними знаменниками, треба звести дроби

до спільного знаменника(використайте для цього основну властивість дробу) і

виконати дії вже для дробів з однаковими знаменниками.

А С A D C B A D C B

В D B D D B B D

;

А С A D C B A D C B

В D B D D B B D

4Добутком двох раціональних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює

добутку чисельників даних дробів, а знаменник ‒ добутку їх знаменників.

А С A C

В D B D

5Часткою двох раціональних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює

добутку чисельника діленого і знаменника дільника, а знаменник ‒ добутку

знаменника діленого і чисельника дільника.

:A C A D

B D B C

Приклад 4: Спростити вирази:

1) 8

2

6416

8:

648

122

nnn

n

n

n

n;

2)

94

3

9124

2

94

188

32

3222

3

aaa

a

a

aa

a;

3) 2

2 3

3 8 1 4 28 4

2 4 2 8 4

а а а

а а а а

;

4)

2:

x

y

y

x

x

y

y

x;

5)

nnnn

nn

baba

ba 11:

22

.

Розв’язання:

1) Пронумеруємо арифметичні дії у виразі 1 2 3

2 2

1 8 2:

8 64 16 64 8

n n

n n n n n

і послідовно виконаємо їх.

1 2

1 1

8 64 8 8 8

n п

n n п п п

.


Помножимо чисельник і знаменник першого виразу на 8п , отримаємо:

8 8 8

8 8 8 8 8 8 8 8

п п п п

п п п п п п п п

.

2

2

22

8 88 8 8 8: :

8 8 16 64 8 8 8 8 88

пп п

п п п п п п п п пп

8

8

п

п п

.

3

8 2

8 8

п

п п п

.

Помножимо чисельник і знаменник другого виразу на п , отримаємо:

88 2 8 2 8 1

8 8 8 8 8

пп п п п п

п п п п п п п п п п п

.

2) Пронумеруємо арифметичні дії у виразі 33 2 1

2 2 2

3 8 18 2 3

2 3 4 9 4 12 9 4 9

a a a

a a a a a

і послідовно виконаємо їх.

1

2 3 2 3

22 2

2 3 2 3

4 12 9 4 9 2 3 2 32 3

а аa а

a a a а аа

2

2 2 2 2

2 2 3 3 2 3 4 6 6 9

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

а а а а а а

а а а а а а а а

2 2

2 2

4 6 6 9 4 9

2 3 2 3 2 3 2 3

а а а а

а а а а

.

2

2 23 2

2 22 2

2 4 9 4 98 18 4 9

4 9 2 3 2 3 4 9 2 3 2 3

а а аа а а

а а а а а а

2

2 2 3 2 3 2

2 32 3 2 3

а а а а

аа а

.

33 2 3 2 2 3

12 3 2 3 2 3 2 3

а а а

а а а а

.

3) Пронумеруємо арифметичні дії у виразі 2

2 3

1 2 33 8 1 4 28 4

2 4 2 8 4

а а а

а а а а

і

послідовно виконаємо їх.

1 , 2

2

2 3

2 2 4

2 2

3 8 1 4 28

2 4 2 8

3 8 1 4 28

2 4 2 2 2 4

а а аа а

а а а а

а а

а а а а а а


2

2 2 2

3 8 2 2 4 4 28

2 4 2 2 2 4 2 2 4

а а а а а

а а а а а а а а а

2 2 2

2 2

3 8 6 16 2 4 4 28 4 8 16

2 2 4 2 2 4

а а а а а а а а

а а а а а а

2

2

4 2 4 4

22 2 4

а а

аа а а

.

3

2 4 2 24 42

2 4 4 2

а ааа

а а

.

4) Пронумеруємо арифметичні дії у виразі 1 4 2 3

: 2x y x y

y x y x

і послідовно

виконаємо їх.

1 2 2 2 2х у х у х ух у х у х у

у х ху ху ху ху

.

2 , 3

22 2 2 22 22

х уху х ух у х у ху х у ху

у х ху ху ху ху ху

.

4

2

2:

х у х у х у х у х у ху х у

ху ху х уху х у

.

5) Пронумеруємо арифметичні дії у виразі 2 2 2 11 1:

n n

n n n n

a b

a b a b

і послідовно

виконаємо їх.

1 1 1

n nb a n n n n

п n n n n n n n

b a b a

а b a b a b a b

.

2

2 2

:

n n n n n nn n n nn n

n n n n n n n n

a b a b a bа b a ba b

a b a b a b a b

.

Відповідь: 1) 1

п ; 2) 1 ; 3) 2а ; 4)

х у

х у

; 5) n na b .

Приклад 5: Побудувати графіки:

1) 2 26 9 5

3

х х х ху

х х

; 2)

2

2

1 1

4 2 2

ху

х х х

.


1) Функція у складається з двох раціональних дробів 2 6 9

3

х х

х

і

25х х

х

,

перший з яких не має змісту при 3х , а другий ‒ при 0х . Запишемо область

допустимих значень змінної х :

| 3 0D y x x i x .


Маємо,

22 2 3 56 9 5

3 3

х х хх х х ху

х х х х

3 5 2 2х х х .

Отже, шуканим графіком є пряма 2 2у х за

винятком двох точок, абсциси яких дорівнюють

відповідно 3 і 0 .

2) Функція складається з трьох дробів2

2

1 1, ,

4 2 2

х

х х х , перший з яких не має змісту при

2х , другий ‒ при 2х , третій ‒ при 2х .

Запишемо область допустимих значень змінної х :

| 2D у х x .

Маємо, 2 22

2

1 1

4 2 2

х хх

ух х х

2 2 2

2 2 2 2 2 2

х х х

х х х х х х

2 22 2 41

2 2 2 2

х х х х

х х х х

Отже, шуканим графіком є паралельна осі Ох

пряма 1у за винятком двох точок, абсциси яких

дорівнюють відповідно 2 і 2 .

Раціональні рівняння

Нехай задано функції у f x і у g x та поставлено задачу знайти

множину значень аргументу х , при яких значення функції f і g рівні. У такому

випадку кажуть, що треба розв’язати рівняння f x g x .

Означення: Областю визначення рівняння f x g x називають множину

значень змінної х , при яких мають зміст обидві частини рівняння.

З означення випливає, що областю визначення рівняння f x g x є множина

D f D g .

Розглянемо кілька прикладів:

- областю визначення лінійного рівняння ах b є множина всіх чисел;

- областю визначення рівняння 2 4

02

х

х

є множина | 2х x ;

- областю визначення рівняння 3

0х

х х

є множина | 0х x ;

Не зважаючи на те, що рівняння 2 2х не має коренів, його областю

визначення є множина всіх чисел.


Отже, для того, щоб значення змінної було коренем рівняння f x g x ,

необхідно виконання умови х D f D g .

Розглянемо рівняння 2 9х і 3х . Очевидно, що кожне з них має одні й ті

самі корені: 3 і 3 .

У таких випадках кажуть, що рівняння 2 9х і 3х рівносильні.

Означення: Рівняння 1 1f x g x і 2 2f x g x називають рівносильними,

якщо множини їх коренів рівні.

Теорема 1: Якщо до обох частин даного рівняння додати(або від обох

частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне

даному.

Теорема 2: Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння

в другу, змінивши при цьому знак на протилежний, то отримаємо

рівняння,рівносильне даному.

Теорема 3: Якщо обидві частини рівняння помножити(поділити)на одне й

те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, розв’яжемо рівняння 2 12

хх .

За теоремою 1 додамо до обох частин рівняння число 2, отримаємо рівносильне

рівняння 12

хх .

За теоремою 2 перенесемо доданок 2

х в іншу сторону з протилежним знаком.

Отримаємо рівносильне даному рівняння 1 12 2

х хх .

За теоремою 3 помножимо обидві частини рівняння на 2,отримаємо

рівносильне даному рівняння 2х .

Означення: Якщо множина коренів рівняння 2 2f x g x містить множину

коренів рівняння 1 1f x g x , то рівняння 2 2f x g x називають наслідком

рівняння 1 1f x g x .

Наприклад, рівняння 2 25х (2) є наслідком рівняння 21 1

255 5

хх х

(1)

,оскільки коренями рівняння (2) є 5х і 5х , а коренями рівняння (1) є лише

5х .

Ті корені рівняння-наслідку, які не є коренями заданого рівняння називають

сторонніми коренями заданого рівняння.

Означення: Рівняння, ліва і права частини якого є раціональними виразами,

називають раціональним.

Рівняння виду

0f x

g x

З властивостей дробів ви знаєте, що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли

чисельний дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тому є вірним наступне.


Рівняння

0f x

g x рівносильне системі

0

0

f x

g x

.

Приклад 6: Розв’язати рівняння 2 4

02

х

х

Розв’язання: Областю визначення рівняння 2 4

02

х

х

є множина | 2x x

оскільки при 2х знаменник у лівій частині рівняння буде рівний нулю.

Прирівнявши чисельник до нуля, отримаємо 2 4 0х (рівняння-наслідок) ,

коренями якого є 2 і 2 . Проте число 2 не належить області визначення даного

рівняння, тобто є стороннім коренем. Отже, число 2 є єдиним коренем даного

рівняння.

Приклад 7: Розв’язати рівняння 1) 132

54

23

79

х

х

х

х; 2)

241

4

12

12

12

12

хх

х

х

х

.


1) Віднімемо 1 від обох частин рівняння і запишемо ліву частину у вигляді

дробу. Маємо:

2 3 3 22 3 3 2

2 2 2

9 7 4 51 0;

3 2 2 3

9 7 2 3 4 5 3 2 2 3 3 20

3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2

18 14 27 21 12 15 8 10 6 9 4 60

2 3 3 2

5 50

2 3 3 2

х хх хх х

х х

х х х х х х

х х х х х х

х х х х х х х х х

х х

х

х х

Отримане рівняння рівносильне системі

5 5 0

2 3 0

3 2 0

х

х

х

Звідси

1

3

2

2

3

х

х

х

Отже, дане рівняння має один корінь 1х .

2) Маємо:


2 1 2 1 1

2 2

2 1 2 1 40

2 1 2 1 1 2 1 2

2 1 2 1 40

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

8 40

2 1 2 1

х хх х

х х х х

х х

х х х х х х

х

х х

Отримане рівняння рівносильне системі

8 4 0

2 1 0

2 1 0

х

х

х

Звідси

0,5

0,5

0,5

х

х

х

Отже, дане рівняння коренів не має.

Відповідь: 1) 1х ; 2) коренів немає.

Рівняння виду 0f x g x

Відомо, що добуток двох чисел дорівнює нулю, якщо хоча бодне з них дорівнює

нулю. Тому є вірним наступне.

Рівняння 0f x g x є рівносильним сукупності

0

0

f x

g x

.

Приклад 8: Розв’язати рівняння 2 21 2 1 0х х х


Дане рівняння рівносильне сукупності

2

22

1 1 01 0

2 1 0 1 0

х хх

х х х

Перше рівняння в свою чергу рівносильне сукупності

1 0 1

1 0 1

х х

х х

Отже, маємо

2

1 11

1 11

11 0

х хх

х хх

хх

Таким чином, початкове рівняння має два корені 1х і 1х .


Приклад 9: Побудуйте графіки рівняння: 1)

021

1

хх

yх; 2)

2 2 2 4 0х у х у ху


1) Рівняння має вигляд

0f x

g x , отже

рівносильне системі

1 0

1 2 0

x y

x x

Розв’яжемо її, отримаємо

1

1

2

у х

х

х

Отже, графіком заданого рівняння буде пряма 1у х за винятком двох

точок, абсциси яких відповідно рівні -2 і 1.

2) Рівняння має вигляд 0f x g x , отже

рівносильне сукупності

22 2

0

2 4 0 4 0

у хх у

х у ху х у

2 2 0

у х

х у х у

Друге рівняння рівносильне сукупності

2

2

у х

у х

Отже

2

2

у х

у х

у х

Таким чином, графіком заданого рівняння буде три прямі , 2, 2у х у х у х

Приклад 10: При кожному значенні параметра а розв’язати рівняння:

1)

01 2

х а

х х

; 2)

60

2

х

х а

.


1) Рівняння рівносильне системі


0

1 0

2 0

х а

х

х

Якщо 1а , то отримуємо

1 0

1 0

2 0

х

х

х

, і така система розв’язків не має,

Можна перевірити підставивши значення 1а прямо в рівняння, тоді

1 1

0 01 2 2

х

х х х

і таке рівняння дійсно не має коренів.

Якщо 2а , то отримуємо

2 0

1 0

2 0

х

х

х

, і така система також не має

розв’язків.

Якщо 1а і 2а , тоді маємо систему 1

2

х а

х

х

, яка має один корінь

х а .

Відповідь: якщо 2а або 1а , то рівняння розв’язків немає, якщо 1а

і 2а , то х а .

2) Рівняння рівносильне системі

6 0

2 0

х

х а

Якщо 2 6а , тобто 3а , то отримуємо 6 0

6 0

х

х

, така система не

має розв’язків.

Інакше, при 3а , отримуємо6

2

х

х а

, і така система має розв’язок

6х .

Відповідь: якщо 3а , то рівняння розв’язків не має; якщо 3а , то 6х .


ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ’ЯЗАННЯ

1. Спростити вираз:

1)

416:

4168 2

22

2

3

b

b

b

b

b

b

bb

b ;

2) 2222

2:

22 ba

b

ab

b

ba

ab

;

3)

19

1

169

3

19

327

13

1222

3

bbb

b

b

bb

b;

4)

xx

x

xx

x

xx

x

2

2

42

1

8

8

42 2

2

3

2

2.

2. Побудувати графік:

1) x

xx

x

xxy

22 2

5

2510

;

2) 4

4

8216

2242

xx

x

x

xy .

3. Розв’язати рівняння:

1) 223

3

52

92

х

х

х

х;

2) х

х

х

х

х

х

4

13

4

12

16

852

2

.

4. Побудувати графік:

1)

30

2 1

у х

х х

;

2) 2 22 4 0у х х у .

5. При кожному значенні параметра а розв’язати рівняння:

031

2

хх

ах

Очна школа УФМЛ КНУ ім....

Documents

Transcript of Очна школа УФМЛ КНУ ім....