Το Προσφυγικόν Πρόβλημα Από Ιστορικής, Νομικής Και Κρατικής Απόψεως
Το Πρόβλημα Μεταφοράςtsantas/DownLoadFiles/OR...• Το πρόβλημα...
Transcript of Το Πρόβλημα Μεταφοράςtsantas/DownLoadFiles/OR...• Το πρόβλημα...
1
Το Πρόβλημα Μεταφοράς
• Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς
παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο
δυνατό κόστος.
• Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
προγραμματισμού με ειδική δομή.
• Για την επίλυσή του έχουν αναπτυχθεί αποτελεσματικές τεχνικές
(παραλλαγές της μεθόδου Simplex).
• Το πρόβλημα ήταν γνωστό από το 1941 (Hitchcock, 1941) και
ως π.γ.π. θεμελιώθηκε και λύθηκε από τον Dantzig το 1951.
• Ως ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς μπορούν να
θεωρηθούν μια μεγάλη σειρά πρακτικών προβλημάτων, που δεν
αναφέρονται στις μεταφορές, και για το λόγο αυτό η μέθοδος
επίλυσής του είναι ένα σπουδαίο εργαλείο για την εν γένει
Επιχειρησιακή Έρευνα.
• Ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων δικτυωτής ανάλυσης.
2
Παράδειγμα 1
Κάποιος γεωργικός συνεταιρισμός της Κρήτης έχει στις τρεις αποθή-
κες του 35, 50 και 40 τόνους πορτοκαλιών. Τέσσερις λαχαναγορές της
χώρας θέλουν να αγοράσουν 45, 20, 30 και 30 τόνους πορτοκαλιών
αντίστοιχα. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται το κόστος μεταφοράς
(χ.μ. ανά τόνο) από τις τρεις αποθήκες Α1, Α2, Α3 στις τέσσερις
λαχαναγορές Λ1, Λ2, Λ3, Λ4 :
Προς
Από
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4
ΠΡΟΣΦΟΡΑ
Α1 800 600 1000 900 35
Α2 900 1200 1300 700 50
Α3 1400 900 1600 500 40
ΖΗΤΗΣΗ 45 20 30 30
Το πρόβλημα είναι τώρα να προσδιορίσουμε πως θα γίνει η μεταφορά
από τις αποθήκες στις λαχαναγορές έτσι ώστε το συνολικό κόστος
μεταφοράς να είναι ελάχιστο.
3
Το παραπάνω πρόβλημα εύκολα μπορούμε να το γενικεύσουμε. Σε m
σταθμούς προέλευσης S1, S2, ..., Sm υπάρχει ένα προϊόν σε ποσότητες s1,
s2, ..., sm αντίστοιχα. Το προϊόν πρέπει να μεταφερθεί σε n σταθμούς
προορισμού D1, D2, ..., Dn, που έχουν ανάγκη από d1, d2, ..., dn ποσότητες
αντίστοιχα. Αν το κόστος μεταφοράς μιας μονάδας του προϊόντος από τον
Si σταθμό προέλευσης στον Dj σταθμό προορισμού είναι cij χρηματικές
μονάδες, επιζητούμε να προσδιορίσουμε την ποσότητα xij που πρέπει
μεταφέρεται ανάμεσα σ’ αυτές τις θέσεις ώστε να ελαχιστοποιείται το
συνολικό κόστος μεταφοράς και συγχρόνως να ικανοποιούνται οι ανάγ-
κες όλων των σταθμών προορισμού.
minimize z c xij ijj
n
i
m
===∑∑
11
με τους περιορισμούς
∑=
=≤n
jiij misx
1
...,,2,1 (προσφορά)
∑=
=≥m
ijij njdx
1
...,,2,1 (ζήτηση)
xij ≥ 0 για όλα τα i, j
4
Το πρόβλημα μεταφοράς είναι πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης
Πίνακας προβλήματος μεταφοράς (παρουσιάζει με εύχρηστο τρόπο τα στοιχεία του προβλήματος και
ταυτόχρονα διευκολύνει τις πράξεις της μεθόδου επίλυσης)
5
Δίκτυο και πίνακας προβλήματος μεταφοράς για το παράδειγμα 1
6
Αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη λύσης στο πρόβλημα μεταφοράς είναι το σύνολο των διαθέσιμων ποσοτήτων να ισούται με το σύνολο των απαιτούμενων:
s di jj
n
i
m
===∑∑
11
(ισορροπημένο πρόβλημα μεταφοράς)
Στην περίπτωση αυτή, όλοι οι περιορισμοί είναι ισότητες:
minimize z c xij ijj
n
i
m
===∑∑
11
με τους περιορισμούς
∑=
==n
jiij misx
1
...,,2,1 (προσφορά)
∑=
==m
ijij njdx
1
...,,2,1 (ζήτηση)
xij ≥ 0 για όλα τα i, j
Κάθε βασική εφικτή λύση του πρότυπου μεταφοράς (ισορροπημένο πρόβλημα),
έχει ακριβώς m+n-1 βασικές μεταβλητές, δηλαδή το πολύ m+n-1 μεταβλητές
xij είναι θετικές, ενώ οι υπόλοιπες έχουν τιμή 0.
Μη εκφυλισμένη λύση: ακριβώς m+n-1 θετικές μεταβλητές.
Εκφυλισμένη λύση: οι θετικές μεταβλητές είναι λιγότερες από m+n-1.
7
Ανάπτυξη του συστήματος των περιορισμών:
• Όλοι οι συντελεστές των μεταβλητών xij στους περιορισμούς είναι 0 ή 1, ενώ κάθε μία από αυτές εμφανίζεται με συντελεστή 1 σε δύο ακριβώς από τους περιορισμούς, σ’ αυτόν που αντιστοιχεί στον σταθμό παραγωγής Si και σ’ εκείνον που αντιστοιχεί στον σταθμό προορισμού Dj.
• Κάθε π.γ.π. που προσαρμόζεται σ’ αυτή την ειδική διαμόρφωση είναι πρόβλημα μεταφοράς, άσχετα από το φυσικό του πλαίσιο.
8
Ιδιόμορφες καταστάσεις Αν η προσφορά είναι μεγαλύτερη από τη ζήτηση, αν δηλαδή
s dii
m
jj
n
= =∑ ∑
1 1
τότε εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού Dn+1 ο οποίος απαιτεί ποσό-
τητα ίση με
d s dn ii
m
jj
n
+= =
= −∑ ∑11 1
Το κόστος μεταφοράς cin+1 (i=1, 2, ..., m) εξαρτάται από το συγκεκριμένο κάθε
φορά πρόβλημα. Αν π.χ. οι επιπλέον ποσότητες μπορούν να παραμείνουν
στους αντίστοιχους σταθμούς προέλευσης χωρίς επιπλέον κόστος τότε cin+1 = 0
Αν όμως υπάρχουν αποθήκευτρα, τότε cin+1 είναι ακριβώς αυτά τα ποσά.
Αν η προσφορά είναι μικρότερη από τη ζήτηση, αν δηλαδή
s dii
m
jj
n
= =∑ ∑
1 1≺
τότε εισάγουμε έναν εικονικό σταθμό προέλευσης Sm+1 ο οποίος παράγει πο-
σότητα ίση με
s d sm jj
n
ii
m
+= =
= −∑ ∑11 1
Το υποθετικό κόστος μεταφοράς cm+1j εξαρτάται πάλι από το συγκεκριμένο
κάθε φορά πρόβλημα. Για παράδειγμα cm+1j μπορεί να είναι η αποζημίωση που
δίνεται στο σταθμό προορισμού Dj για τη μη αποστολή μιας από τις dj μονάδες
του προϊόντος που ζητήθηκαν αρχικά.
9
Στις πιο πολλές εφαρμογές οι διαθέσιμες και απαιτούμενες ποσότητες si και dj
έχουν ακέραιες τιμές πράγμα που σημαίνει ότι και οι ποσότητες που μεταφέ-
ρονται (τα xij δηλαδή) πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί. Ευτυχώς, η δομή του
προτύπου είναι τέτοια που αν το πρόβλημα έχει κάποια εφικτή λύση θα έχει
και βέλτιστη ακέραια λύση. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οι συντε-
λεστές των μεταβλητών στους περιορισμούς είναι ίσοι με 1 ή 0.
Αν δεν υπάρχει μέσο μεταφοράς από ένα σταθμό παραγωγής Si στον Dj
σταθμό προορισμού, για να φέρουμε το πρόβλημα στη μορφή επίλυσής του
υποθέτουμε ότι υπάρχει μεν μέσο μεταφοράς αλλά το αντίστοιχο κόστος cij
είναι Μ, όπου Μ αυθαίρετα μεγάλος θετικός αριθμός. Αφού ζητάμε το ελάχι-
στο κόστος, αν στην άριστη λύση του προβλήματος είναι xij > 0, τότε το πρό-
βλημα δεν έχει στην πραγματικότητα εφικτές λύσεις.
Υπάρχουν προβλήματα μεταφοράς στα οποία ενδιαφερόμαστε να βρούμε τη
λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Αφού
( ) ,minmaxi ji j∑∑∑∑ −−= ijijijij xcxc
σε μια τέτοια περίπτωση, εφαρμόζουμε τη διαδικασία με κόστος ijij cc −=′ .
Το πρότυπο γραμμικού προγραμματισμού για το πρόβλημα μεταφοράς μπορεί
να χειριστεί και τις περιπτώσεις στις οποίες υπάρχουν για κάποια διαδρομή
είτε περιορισμοί χωρητικότητας του μεταφερόμενου υλικού ijij Lx ≤ , είτε πε-
ριορισμοί ελάχιστου υποχρεωτικού φορτίου ijij Mx ≥ .
10
Διαδικασία επίλυσης του προβλήματος μεταφοράς
1ο Βήμα: Εντοπισμός μια αρχικής βασικής εφικτής λύσης 2ο Βήμα: Πρόκειται για την άριστη λύση;
ΕΑΝ ΝΑΙ, τέλος ΕΑΝ ΟΧΙ, πήγαινε στο 3ο Βήμα 3ο Βήμα: Εντοπισμός μιας καλύτερης λύσης. Πήγαινε στο 2ο Βήμα.
11
Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Όπως και στο γενικό γραμμικό πρότυπο έτσι και στο πρόβλημα μεταφοράς το
πρώτο βήμα στην εύρεση της βέλτιστης λύσης του είναι η ύπαρξη μιας αρχι-
κής μη εκφυλισμένης βασικής εφικτής λύσης.
Λόγω της ειδικής μορφής του συστήματος των περιορισμών του προβλήματος
έχουν προταθεί αρκετές απλές σχετικά τεχνικές για την εύρεση μιας βασικής
εφικτής λύσης του.
Η μέθοδος Vogel αν και υπολογιστικά επίπονη, δίνει μια αρχική βασική εφι-
κτή λύση που (συνήθως) χρειάζεται έναν μικρό αριθμό βελτιώσεων/επαναλή-
ψεων για να καταλήξει στην άριστη.
Η κεντρική ιδέα της μεθόδου είναι να επιβάλλεται μια ποινή όταν δεν χρησιμο-
ποιούμε το δρομολόγιο με το μικρότερο κόστος.
Για να την υπολογίσουμε προσθέτουμε στο tableau του προβλήματος μεταφο-
ράς μια ακόμη στήλη και μία γραμμή. Σ’ αυτές γράφουμε τη διαφορά των δύο
πιο μικρών στοιχείων κόστους της κάθε στήλης και γραμμής του tableau.
Προσδιορίζουμε στη συνέχεια τη μεγαλύτερη διαφορά που υπάρχει (για γραμ-
μές και στήλες). Στο κελί της συγκεκριμένης στήλης ή γραμμής με το μικρότε-
ρο κόστος μεταφοράς εκχωρούμε όσες δυνατό περισσότερες μονάδες προϊόν-
τος επιτρέπεται από την αντίστοιχη προσφορά και ζήτηση :
xij = minsi, dj
Αν ικανοποιείται σταθμός προέλευσης, τότε το dj θα πρέπει να μειωθεί κατά si.
Αν ικανοποιείται σταθμός προορισμού, τότε το si πρέπει να μειωθεί κατά dj. Το
σταθμό που ικανοποιήσαμε δεν τον παίρνουμε υπόψη στη συνέχεια που επανα-
λαμβάνουμε την ίδια διαδικασία.
12
100 300 300 200
200 800
x11
600
x12
1000
x13
900
x14
35
200
900
x21
1200
x22
1300
x23
700
x24
50
400
1400
x31
900
x32
1600
x33
500
x34
40
45 20 30 30
Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 400 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο
κόστος είναι το c34=500. Επομένως θέτουμε
x34 = min(40, 30) = 30. Τότε x14 = x24 = 0
Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχημα-
τίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τέταρτη στήλη:
100 300 300
200 800
x11
600
x12
1000
x13
35
300
900
x21
1200
x22
1300
x23
50
500
1400
x31
900
x32
1600
x33
10
45 20 30
Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 500 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο
κόστος είναι το c32=900. Επομένως θέτουμε
x32 = min(10, 20) = 10. Τότε x31 = x33 = 0
13
Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχημα-
τίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τρίτη γραμμή:
100 600 300
200 800
x11
600
x12
1000
x13
35
400
900
x21
1200
x22
1300
x23
50
45 10 30
Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 600 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο
κόστος είναι το c12=600. Επομένως θέτουμε
x12 = min(35, 10) = 10. Τότε x22 = 0 Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχημα-
τίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την δεύτερη στήλη:
100 300
200 800
x11
1000
x13
25
400
900
x21
1300
x23
50
45 30
Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 400 και στην αντίστοιχη γραμμή το μικρότερο
κόστος είναι το c21=900. Επομένως θέτουμε
x21 = min(50, 45) = 45. Τότε x11 = 0
14
Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχημα-
τίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την πρώτη στήλη:
1000
x13
25
1300
x23
5
30
από το οποίο ορίζονται μονοσήμαντα οι τιμές των υπόλοιπων μεταβλητών:
x13 = 25, x23 = 5
Επομένως η βασική εφικτή λύση που βρήκαμε είναι η
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4
A1 800
0
600
10
1000
25
900
0
35
A2
900
45
1200
0
1300
5
700
0
50
A3
1400
0
900
10
1600
0
500
30
40
45 20 30 30
15
Χάρη συντομίας, μπορούμε να καταγράψουμε όλες τις εκχωρήσεις σε ένα μόνο tableau :
100 300 100 600 300 100 300 300 100 300 300 200 Ζήτηση (si)
200
200
200
200800
600
10
1000
25
900
35
35
35
25
25
400
300
300
200
900
45
1200
1300
5
700
50
50
50
50
5
500
400
1400
900
10
1600
500
30
40
10
0
Προσφορά (dj) 45 45 45 45 0
20 20 10 0
30 30 30 30 30
30 0
16
Το πρόβλημα της μεταφοράς
είναι ένα π.γ.π. με m+n περιορισμούς και m×n μεταβλητές. Υπολογιστικά απαγορευτική η χρήση της Simplex. Η ειδική μορφή των περιορισμών του προβλήματος επέτρεψε την ανάπτυξη μιας ιδιαίτερα αποτελεσματικής παραλλαγής της μεθόδου Simplex,
τη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων (ΜΟDI)
για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του.
∑∑= =
=m
i
n
jijij xc
1 1
zminimize
κάτω από τους περιορισμούς
∑=
==n
iiij misx
1
,,2,1 …
∑=
==m
jjij njdx
1
,,2,1 …
17
18
Αρχικά χρειαζόμαστε μια βασική (μη εκφυλισμένη) βασική εφικτή λύση. Ας θεωρήσουμε την
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4
A1
800
35
600
0
1000
0
900
0
35
A2
900
10
1200
20
1300
20
700
0
50
A3
1400
0
900
0
1600
10
500
30
40
45 20 30 30
Η λύση είναι μη εκφυλισμένη αφού έχει ακριβώς 3+4-1=6 θετικές συνιστώσες Το αντίστοιχο κόστος μεταφοράς είναι R0=118,000. Σχηματίζουμε τις εξισώσεις u v ci j ij+ = για τις βασικές μεταβλητές x11, x21,
x22, x23, x33 και x34. Τότε έχουμε
u1+v1 = 800u2+v1 = 900u2+v2 = 1200u2+v3 = 1300u3+v3 = 1600u3+v4 = 500
που για u1=0 δίνουν διαδοχικά v1=800, u2=100, v2=1100, v3=1200, u3=400, v4=100
19
Τοποθετούμε στη συνέχεια τις τιμές των ui και vj που υπολογίσαμε στο tableau
vu
800 1100 1200 100
0
800
35
600
1000
900
35
100
900
10
1200
20
1300
20
700
50
400
1400
900
1600
10
500
30
40
45 20 30 30
και υπολογίζουμε τις διαφορές δij=ui+vj-cij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές:
δ12=u1+v2-c12 = 0+1100-600=500 δ24=u2+v4-c24 = 100+100-700=-500 δ13=u1+v3-c13 = 0+1200-1000=200 δ31=u3+v1-c31 = 400+800-1400=-200 δ14=u1+v4-c14 = 0+100-900=-800 δ32=u3+v2-c32 = 400+1100-900=600
Γράφουμε τις τιμές αυτές στην πάνω αριστερή γωνία των αντίστοιχ τετραγών
vu
800 1100 1200 100
0
800
35
500 600
200 1000
-800 900
35
100
900
10
1200
20
1300
20
-500 700
50
400
-200 1400
600 900
1600
10
500
30
40
45 20 30 30
Αφού υπάρχουν θετικές διαφορές δij η λύση δεν είναι άριστη.
20
Διαλέγουμε να μπει στη βάση η μεταβλ. με τo μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας:
max : max , ,δ δ δij ij 0 500 200 600 600 32= = =
δηλαδή τη μεταβλητή x32. Στη μεταβλητή αυτή δίνουμε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή έστω +θ. Αν όμως x32=+θ πρέπει να έχουμε x33=10-θ ώστε να ικανοποιείται ο περιορι-σμός δυναμικότητας της 3ης γραμμής. Ανάλογα θα πρέπει x23=20+θ (3η στήλη), x22=20-θ (2η γραμμή). Ο κλειστός βρόχος σημειώνεται με γραμμή στο tableau του προβλήματος μεταφοράς,
vu
800 1100 1200 100
0
800
35
500 600
200 1000
-800 900
35
100
900
10
1200 -
20-θ
1300 +
20+θ
-500 700
50
400
-200 1400
600 900 +
θ
1600 -
10-θ
500
30
40
45 20 30 30
Για να είναι εφικτή και η νέα λύση θα πρέπει η τιμή του θ να είναι τέτοια ώστε καμία από τις βασικές μεταβλητές να μην παίρνει αρνητική τιμή:
ϑ = =min ,10 20 10
21
Η λύση που έχουμε τώρα είναι η
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4
A1 800
35
600
0
1000
0
900
0
35
A2
900
10
1200
10
1300
30
700
0
50
A3
1400
0
900
10
1600
0
500
30
40
45 20 30 30
κι έχει κόστος μεταφοράς R1 = 112,000 (=R0-θδ32). Ολοκληρώθηκε μια πλήρη εκτέλεση της διαδικασίας MODI. Θα πρέπει να ελέγξουμε αν η νέα βασική εφικτή λύση είναι η άριστη. Βρίσκουμε και πάλι τα δυναμικά ui και vj καθώς επίσης και τις διαφορές δij. Το νέο tableau είναι τότε το εξής:
vu
800 1100 1200 700
0
800
35
500 600
200 1000
-200 900
35
100
900
10
1200
10
1300
30
100 700
50
-200
-800 1400
900
10
-600 1600
500
30
40
45 20 30 30
Αφού υπάρχουν θετικές διαφορές δij η λύση δεν είναι άριστη.
22
Διαλέγουμε να μπει στη βάση η μεταβλ. με τη μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας:
max : max , ,δ δ δij ij 0 500 200 100 500 12= = =
Επομένως πρέπει να συνδέσουμε το τετράγωνο (1,2) με τα βασικά τετράγωνα (2,2), (2,1), (1,1) θέτοντας διαδοχικά + και -.
vu
800 1100 1200 700
0
800 -
35-θ
500 600 +
θ
200 1000
-200 900
35
100
900 +
10+θ
1200 -
10-θ
1300
30
100 700
50
-200
-800 1400
900
10
-600 1600
500
30
40
45 20 30 30
Η ελάχιστη τιμή των xij των τετραγώνων που έχουν - είναι η: ϑ = =min ,10 35 10
Έτσι η νέα βασική εφικτή λύση του προβλήματος δίνεται στο tableau :
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4
A1 800
25
600
10
1000
0
900
0
35
A2
900
20
1200
0
1300
30
700
0
50
A3
1400
0
900
10
1600
0
500
30
40
45 20 30 30
Το νέο κόστος μεταφοράς ανέρχεται σε R2 = 107,000 (=R1-θδ12).
23
Θα πρέπει να ελέγξουμε πάλι αν η νέα βασική εφικτή λύση είναι η άριστη. Βρίσκουμε και πάλι τα δυναμικά ui και vj καθώς επίσης και τις διαφορές δij. Το νέο tableau είναι τότε το εξής:
vu
800 600 1200 200
0
800
25
600
10
200 1000
-700 900
35
100
900
20
-500 1200
1300
30
-400 700
50
300
-300 1400
900
10
-100 1600
500
30
40
45 20 30 30
Εδώ όλες οι διαφορές δij είναι μη θετικές εκτός από την δ13=200>0. Άρα η λύση δεν είναι η άριστη. Βρίσκουμε μια νέα βασική εφικτή λύση κάνοντας βασική τη μεταβλητή x13. Εν συνεχεία συνδέουμε το τετράγωνο (1,3) με τα βασικά τετράγωνα (2,3), (2,1), (1,1) θέτοντας διαδοχικά + και -:
vu
800 600 1200 200
0
800 -
25
500 600
10
200 1000 +
0
-700 900
0
35
100
900 +
20
-500 1200
0
1300 -
30
-400 700
0
50
300
-300 1400
0
900
10
-100 1600
0
500
30
40
45 20 30 30
Η ελάχιστη τιμή xij των τετραγώνων που έχουν - είναι η ϑ = =min ,30 25 25 και
οδηγεί στη λύση
24
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4
A1 800
0
600
10
1000
25
900
0
35
A2
900
45
1200
0
1300
5
700
0
50
A3
1400
0
900
10
1600
0
500
30
40
45 20 30 30
με κόστος μεταφοράς R3 = 102,000 (=R2-θδ13). Αυτή είναι η βέλτιστη (όλες οι διαφορές δij είναι ≤0)
vu
600 600 1000 200
0
-200 800
600
10
1000
25
-700 900
35
300
900
45
-300 1200
1300
5
-200 700
50
300
-500 1400
900
10
-300 1600
500
30
40
45 20 30 30 (Αξιοσημείωτο είναι ότι τη λύση αυτή την προσδιoρίσαμε ως αρχική λύση του προβλήματος με τη μέθοδο Vogel).
25
Επισημάνσεις • Οι τιμές των δij που εμφανίζονται στα κενά κελιά του βέλτιστου tableau μεταφοράς, αντιστοιχούν στην επιβάρυνση για το συνολικό κόστος, αν μια μονάδα του προϊόντος μεταφερθεί μ’ αυτό τον τρόπο.
• Ο προσδιορισμός του μονοπατιού ανακατανομής είναι το πιο δύσκολο στάδιο στην επίλυση του προβλήματος μεταφοράς: ο βρόχος που δημιουρ-γείται δεν είναι πάντοτε εμφανής, κι ούτε φυσικά δημιουργείται από τέσσερα κελιά όπως στο παράδειγμα που αναπτύξαμε. Για την εύρεσή του έχουν αναπτυχθεί ιδιαίτεροι, αποκλειστικοί αλγόριθμοι. Σ’ ένα tableau μικρού με-γέθους όμως, μπορούμε να εντοπίσουμε αυτό το μονοπάτι με μια διαδικασία της μορφής «δοκιμής και λάθους».
• Αν στο tableau της άριστης λύσης του προβλήματος μεταφοράς υπάρχει μη βασικό τετράγωνο (i, j) με δij=0, τότε το πρόβλημα έχει εναλλακτική άριστη λύση που βρίσκεται κάνοντας βασικό το τετράγωνο (i, j).
• Εκφυλισμένες λύσεις.
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
26
ΤΤοο ππρρόόββλληημμαα μμεεττααφφοορράάςς ττηηςς εεττααιιρρεείίααςς ««ΜΜαακκεεδδοοννιικκήή»»
Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης
Το προϊόν παράγεται σε τρεις παραγωγικές μονάδες
Μεγάλες ποσότητες αποστέλλονται μία φορά την εβδομάδα σε
τέσσερις πόλεις - κέντρα διανομής ανά την Ελλάδα
Το σχετικό κόστος μεταφοράς ανά κιβώτιο εξαρτάται από την
απόσταση, το χρόνο, τα απαραίτητα καύσιμα, το κόστος ασφάλισης,
τη συντήρηση οχημάτων, τις αμοιβές του προσωπικού κλπ
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
27
Μοναδιαία κόστη μεταφοράς
Εργοστάσια: πηγές, προελεύσεις (προσφορά)
Πόλεις: προορισμοί (ζήτηση)
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
28
Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (Vogel)
Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,800
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
29
Εύρεση των τιμών ui, vj και δij
vu
8 5 5 6
0
-2 10
5
200
5
150
0 6
350
1
9
50
-1 7
6
200
7
200
450
-3
5
400
-7 9
-4 6
-2 5
400
450 200 350 200
Συνολικό κόστος = 6,800 μονάδες = άριστη (δij ≤ 0 ∀ i, j) Υπάρχει εναλλακτική βέλτιστη λύση (δ14 = 0)
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
30
Εντοπισμός εναλλακτικής άριστης λύσης
v
u
-2 10
5
200
5 -
150
0 6 +
350
9
50
-1 7
6 +
200
7 -
200
450
5
400
-7 9
-4 6
-2 5
400
450 200 350 200
Βασική πρέπει να γίνει η μεταβλητή x14
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
31
Εναλλακτική άριστη λύση
v
u
10
5
200
5
0
6
150
350
9
50
7
6
350
7
50
450
5
400
9
6
5
400
450 200 350 200
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
32
Μη ισορροπημένα προβλήματα
α) Η συνολική ζήτηση ξεπερνά τη συνολική προσφορά προσθήκη
εικονικής προέλευσης (προσφοράς δηλαδή σειράς)
β) Η συνολική προσφορά ξεπερνά τη συνολική ζήτηση προσθήκη
εικονικού προορισμού (εικονικής ζήτησης δηλαδή στήλης)
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
33
Αύξηση της προσφοράς του Ε1 στα 400 κιβώτια (+50)
Π1 Π2 Π3 Π4 Εικονική Ε1
10
5
200
5
200
6
0
400
Ε2
9
50
7
6
150
7
200
0
50
450
Ε3
5
400
9
6
5
0
400
450 200 350 200 50 Η αρχική λύση (που βρέθηκε με τη μέθοδο του Vogel) είναι η βέλτιστη Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,750
Όχι κατ’ ανάγκη Εξαρτάται από το πρόβλημα
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
34
Αύξηση της ζήτησης του Π1 στα 500 κιβώτια (+50)
Π1 Π2 Π3 Π4 Ε1
10
5
200
5
150
6
350
Ε2
9
50
7
6
200
7
200
450
Ε3
5
400
9
6
5
400
Εικονική
0
50
0
0
0
50
500 200 350 200 Η αρχική λύση (που βρέθηκε με τη μέθοδο του Vogel) είναι η βέλτιστη Συνολικό κόστος μεταφοράς = 6,800
Όχι κατ’ ανάγκη Εξαρτάται από το πρόβλημα
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
35
Εκφυλισμένες λύσεις
• Κάποια βασική μεταβλητή έχει μηδενική τιμή.
• Οι μη μηδενικές είναι λιγότερες από n+m-1
• Προκαλεί πρόβλημα στη διαδικασία ανακατανομής των εκχω-
ρήσεων κατά την επίλυση
• Τοποθετούμε μία μηδενική εκχώρηση στην κατάλληλη θέση για
να χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια ως βασική μεταβλητή όπως οι
υπόλοιπες βασικές.
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
36
Υπάρχουν δύο περιπτώσεις κατά τις οποίες μπορεί να εμφανιστεί εκφυλισμένη λύση. 1. Κατά την κατάρτιση του αρχικού πίνακα μεταφοράς (εύρεση
αρχικής λύσης), όταν η προσφορά και η ζήτηση σε κάποιο στάδιο
εκχώρησης είναι ίσες.
2. Στη διαδικασία ανακατανομής των εκχωρήσεων του κύριου
τμήματος της μεθόδου μεταφοράς όταν προκύπτει ισοβάθμιση
στην επιλογή του εξερχόμενου κελιού.
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
37
Περίπτωση 1. Η ζήτηση της πόλης Π2=350 και της Π3= 200.
Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (Vogel)
4 2 1 1
0 10
x11
5
x12
5
x13
6
x14
350
1
9
x21
7
x22
6
x23
7
x24
450
0
5
x31
9
x32
6
x33
5
x34
400
450 350 200 200
Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 4 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος
είναι το c31=5. Επομένως θέτουμε
x31 = min(450, 400) = 400. Τότε x32 = x33 = x34 = 0
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
38
Συνεχίζουμε με το επόμενο tableau του προβλήματος μεταφοράς που σχη-
ματίζεται από το προηγούμενο αφού πρώτα διαγράψουμε την τρίτη γραμμή:
1 2 1 1
0 10
x11
5
x12
5
x13
6
x14
350
1
9
x21
7
x22
6
x23
7
x24
450
50 350 200 200
Η μεγαλύτερη διαφορά είναι 2 και στην αντίστοιχη στήλη το μικρότερο κόστος
είναι το c12=5. Επομένως θέτουμε
x12 = min(350, 350) = 350. Τότε x11 = x13 = x14 = 0 αλλά και x22 =0 (προφανώς για τη συνέχεια βρίσκουμε ότι x21 = 50, x23 = 200, x24 = 200)
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
39
Ο πίνακας μεταφοράς με τη μηδενική βασική μεταβλητή
Π1 Π2 Π3 Π4 Ε1
10
5
350
5
6
350
Ε2
9
50
7
0*
6
200
7
200
450
Ε3
5
400
9
6
5
400
450 350 200 200
Υπάρχουν 5 θετικά στοιχεία αντί των αναμενόμενων 3 + 4 - 1 = 6 (συνεχίζουμε ως το στοιχείο x22 να ήταν θετικό –βασική μεταβλητή–) Η λύση που έχουμε είναι η βέλτιστη.
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
40
Περίπτωση 2. Μείωση της προσφοράς Ε3 κατά 100 (Ε3= 300)
Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (όχι με Vogel)
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
41
Τρίτη επανάληψη της MODI
v 10 5 4 10
u Π1 Π2 Π3 Π4
0 Ε1
10 -
250
5 +
100
5
6
350
2
Ε2
9
7 -
100
6
350
7 +
450
-5
Ε3
5 +
200
9
6
5 -
100
300
-10
Εικονική
0
0
0
0
100
100
450 200 350 200
Η ελάχιστη τιμή των xij των τετραγώνων που έχουν - είναι η: min 100, 250, 100 100ϑ = =
κι αντιστοιχεί στα κελιά (2, 2) και (3, 4)
δ24 = 5
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
42
Ο πίνακας μεταφοράς μετά την τρίτη επανάληψη
Π1 Π2 Π3 Π4 Ε1
10
150
5
200
5
6
350
Ε2
9
7
0*
6
350
7
100
450
Ε3
5
300
9
6
5
300
Εικονική
0
0
0
0
100
100
450 200 350 200
Υπάρχουν 6 θετικά στοιχεία αντί των αναμενόμενων 4 + 4 - 1 = 7 (συνεχίζουμε ως το στοιχείο x22 να ήταν θετικό –βασική μεταβλητή–)
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
43
Βέλτιστη λύση του προβλήματος
Π1 Π2 Π3 Π4 Ε1
10
5
200
5
150
6
350
Ε2
9
50
7
6
200
7
200
450
Ε3
5
300
9
6
5
300
Εικονική
0
100
0
0
0
100
450 200 350 200
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
44
Προβλήματα μεγιστοποίησης
• εφαρμόζουμε τη διαδικασία με κόστος ijij cc −=′ .
• ή
⇒ μετατροπή του κριτηρίου επιλογής εισερχομένου κελιού:
επιλέγεται εκείνο με το μικρότερο από τα αρνητικά δij, και
⇒ μετατροπή του κριτήριου αριστότητας: η διαδικασία ολο-
κληρώνεται όταν όλα τα δij είναι ≥ 0.
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
45
Παράδειγμα 2
Η βιομηχανική επιχείρηση “Ultracom” παράγει προϊόντα υψηλής τεχνολογίας. Η ζήτηση για τα προϊόντα της είναι μεγάλη, ιδιαίτερα για την οικογένεια των επεξεργαστών 500ZZX που εγκαθίστανται σε βιομηχανικούς servers.
Θέλει να καταρτίσει ένα γενικό πρόγραμμα παραγωγής για την οικογένεια προϊόντων 500ΖΖΧ, για τους πρώτους τρεις μήνες του έτους. Η ζήτηση, σύμφωνα με τις παραγγελίες που έχουν εξασφαλιστεί και τις προβλέψεις του τμήματος μάρκετινγκ, αναμένεται να είναι, για τους μήνες Ιανουάριο, Φεβρουάριο και Μάρτιο, 50, 70 και 80 χιλιάδες τεμάχια αντιστοίχως.
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
46
Δεδομένα άσκησης συνέχεια Παραγωγική δυναμικότητα = 50000 τεμάχια το μήνα Αρχικό απόθεμα = 40000 τεμάχια. Υπεργολάβος = 25000 τεμάχια (Ιανουάριο και Μάρτιο μόνο) Διατήρηση αποθεμάτων δυνατή Ικανοποίηση ζήτησης άμεση Τελικό απόθεμα = 5000 τεμάχια. Κόστος πρώτων υλών, εργασίας, διανομής και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία κόστους για κάθε επεξεργαστή είναι συνολικά 6000χμ για τους μήνες Ιανουάριο και Μάρτιο.
Το Φεβρουάριο, το κόστος αναμένεται να μειωθεί κατά 20% Κόστος διατήρησης αποθέματος 200χμ ανά τεμάχιο ανά περίοδο Οι επεξεργαστές που αγοράζονται από τον υπεργολάβο κοστίζουν στον επιχείρηση 10% επιπλέον.
Να εντοπίσετε το πρόβλημα της εταιρείας να το διαμορφώσετε ως πρόβλημα μεταφοράς και να το λύσετε.
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
47
Εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης (όχι με τη Vogel)
δ63 = 4
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
48
z =9580000
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
49
z =9540000
δ14 = 4
δημιουργία: http://macedonia.uom.gr/~acg επεξεργασία: Ν.Τσάντας
50
z =9520000 βέλτιστη
51
Ανάλυση Ευαισθησίας για το πρόβλημα μεταφοράς Αυτή είναι η βέλτιστη του 1ου παραδείγματος
vu
600 600 1000 200
0
-200 800
600
10
1000
25
-700 900
35
300
900
45
-300 1200
1300
5
-200 700
50
300
-500 1400
900
10
-300 1600
500
30
40
45 20 30 30 Συνολικό κόστος μεταφοράς R = 102000 Θα μελετήσουμε την επίδραση στη βέλτιστη λύση από μεταβολές
• στο κόστος cij κάποιου κελιού • στις παραμέτρους si / dj
52
Μεταβολές στο κόστος cij Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
• το κελί (i, j) είναι μη βασικό (xij = 0) • το κελί (i, j) είναι βασικό (xij > 0)
Αναζητάμε ένα διάστημα τιμών για το cij, ώστε η τρέχουσα βέλτιστη λύση να παραμείνει βέλτιστη.
53
Μεταβολές στο κόστος cij 1η περίπτωση: το κελί (i, j) είναι μη βασικό (xij = 0) ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΑΡΙΣΤΟΤΗΤΑΣ του cij Οι τιμές των ui, vj δεν μεταβάλλονται. Μεταβάλλεται όμως η τιμή του δij:
ij i i ijˆ ˆδ u +v -c=
όπου ijc η νέα τιμή για το κόστος μεταφοράς στο κελί (i, j).
Π.χ. έστω ότι μεταβάλλεται το κόστος μεταφοράς c11 στο κελί (1, 1). Ας είναι 11 11c =c +Δ (=800+Δ) . Τότε
11 1 1 11ˆ ˆ (0 600) (800 ) 200u v cδ = + − = + − + Δ = − −Δ
Συνεπώς, η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη εάν 11δ 0≤ , δηλ εάν
-200-Δ ≤ 0 → Δ ≥ -200 → c11 ≥ 600 Γενικά, για τιμές του cij στο διάστημα [ui + vj, ∞), η βέλτιστη λύση παραμένει αμετάβλητη. Αυτό είναι το διάστημα αριστότητας του cij. Για τιμές του c11 έξω από αυτό το διάστημα, η τρέχουσα λύση παύει να είναι η βέλτιστη. Τότε η διαδικασία συνεχίζεται με εισερχόμενο κελί το (1, 1).
54
Μεταβολές στο κόστος cij 2η περίπτωση: το κελί (i, j) είναι βασικό (xij > 0) Μεταβάλλονται οι τιμές των ui, vj και δij:
ij i i ijˆ ˆˆ ˆδ u +v -c=
Οπότε, εάν ijδ 0≤ " (i, j) η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη. Διαφορετικά
συνεχίζουμε τον αλγόριθμο κατά τα γνωστά. Π.χ. έστω ότι μεταβάλλεται το κόστος μεταφοράς c13 στο κελί (1, 3) κι έχουμε
13 13c =c +Δ (=1000+Δ) . Για τον υπολογισμό των ui, vj λύνουμε το σύστημα:
u1 + v2 = 600 u1 + v3 = 1000 + Δ u2 + v1 = 900 u2 + v3 = 1300 u3 + v2 = 900 u3 + v4 = 500 Για u1 = 0 έχουμε u2 = 300 – Δ, u3 = 300, v1 = 600 + Δ, v2 = 600, v3 = 1000 + Δ, v4 = 200. Για να παραμείνει βέλτιστη η παρούσα λύση θα πρέπει ijδ 0≤ " (i, j),
δηλ: 11 1 1 11δ u +v -c 200 0= = Δ − ≤ 14 1 4 14δ u +v -c 700= = −
22 2 2 22δ u +v -c 300 0= = − −Δ ≤
24 2 4 24δ u +v -c 200 0= = − −Δ ≤
31 3 1 31δ u +v -c 500 0= = − + Δ ≤
33 3 3 33δ u +v -c 300 0= = Δ − ≤
Συνεπώς, για -200 ≤ Δ ≤ 200 → 1000-200 = 800 ≤ c11 ≤ 1000+200 = 1200 η παρούσα λύση εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη.
55
Μεταβολές στις παραμέτρους si / dj Λόγω της φύσης του προβλήματος μεταφοράς, η μεταβολή μιας μόνο εκ των παραμέτρων si, dj δεν είναι δυνατή. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
• οι ποσότητες sp, dq γίνονται αντίστοιχα sp+Δ, dq+Δ (αύξηση της ζήτησης του Dq κατά Δ και ανάλογη αύξηση της προσφοράς του Sp)
• οι ποσότητες st, sr γίνονται αντίστοιχα st+Δ, sr-Δ (αύξηση της προσφοράς του St κατά Δ και ανάλογη μείωση της προσφοράς του Sr)
• οι ποσότητες df, dg γίνονται αντίστοιχα df+Δ, dg-Δ (αύξηση της ζήτησης του Df κατά Δ και ανάλογη μείωση της ζήτησης του Dg).
Αναζητάμε ένα διάστημα τιμών της ποσότητας Δ, ώστε η τρέχουσα βάση να παραμείνει η ίδια (: βασικά να είναι τα ίδια κελιά)
56
Μεταβολές στις παραμέτρους si / dj 1η περίπτωση: οι ποσότητες sp, dq γίνονται αντίστοιχα sp+Δ, dq+Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ’ ένα από τα βασικά κελιά της p-γραμμής και συνεχίζουμε με διαδοχικές –Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με +Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της q-στήλης. Προφανώς εάν το κελί (p, q) είναι βασικό, αρκεί μόνο μια προσαρμογή +Δ στο συγκεκριμένο κελί. Π.χ. s2 = 50+Δ, d2 = 20+Δ
vu
600 600 100 200
0
-200 800
600
10+Δ
1000
25-Δ
-700 900
35
300
900
45
-300 1200
1300
5+Δ
-200 700
50+Δ
300
-500 1400
900
10
-1200 1600
500
30
40
45 20+Δ 30 30 Αν η νέα λύση είναι εφικτή, τότε θα είναι η βέλτιστη λύση του νέου προβλή-ματος. Αρκεί επομένως 10+Δ, 25-Δ, 5+Δ ≥ 0 ή ισοδύναμα -5 ≤ Δ ≤ 25. Το συνολικό κόστος μεταφοράς ισούται με 102000+900Δ κι άρα ο ρυθμός μεταβολής της τιμής ανά μονάδα μεταβολής του Δ στο διάστημα [-5, 25] είναι 900 (= u2 + v2).
57
Μεταβολές στις παραμέτρους si / dj 2η περίπτωση: οι ποσότητες st, sr γίνονται αντίστοιχα st+Δ, sr-Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ’ ένα από τα βασικά κελιά της t-γραμμής και συνεχίζουμε με διαδοχικές –Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με -Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της r-γραμμής. Ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι ut - ur Μεταβολές στις παραμέτρους si / dj 3η περίπτωση: οι ποσότητες df, dg γίνονται αντίστοιχα df+Δ, dg-Δ Ξεκινάμε με μια προσαρμογή +Δ σ’ ένα από τα βασικά κελιά της f-στήλης και συνεχίζουμε με διαδοχικές –Δ, +Δ προσαρμογές. Τελειώνουμε με -Δ σε κάποιο από τα βασικά κελιά της g-στήλης. Ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους μεταφοράς είναι vf – vg
58
Το πρόβλημα «εκχώρησης» • ανάθεση εκτέλεσης εργασιών σε άτομα (: ένα άτομο μία μόνο εργασία).
• πλήθος ατόμων ίσο με πλήθος εργασιών (αλλιώς …). • εντοπισμός της ιδανικής αντιστοίχισης (: εκχώρησης). • σύνηθες κριτήριο η ελαχιστοποίηση κόστους (χρόνου, κλπ) ή η μεγιστοποίηση κέρδους (ικανοποίησης, κλπ)
• ειδική περίπτωση του προβλήματος μεταφοράς, όπου η ζήτηση και προσφορά είναι μονάδες:
o για ένα πρόβλημα με m εργασίες που πρέπει να εκτε-λεστούν από m άτομα, υπάρχουν m! δυνατά σενάρια διεκπεραίωσης.
o στη λύση υπάρχουν m κελιά με τιμή 1 και m-1 με τιμή 0. o εκφυλισμένες λύσεις.
• ο Ουγγρικός Αλγόριθμος.
59
Παράδειγμα 3 Μια οικοδομική εταιρεία χρησιμοποιεί τέσσερα συνεργεία για να φέρει σε πέρας έναν ίσο αριθμό έχουν αναληφθεί. Κάθε συνεργείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε έργο, όχι όμως εξίσου ικανοποιητικά: Χρόνος 1ο έργο 2ο έργο 3ο έργο 4ο έργο 1ο συνεργείο 14 5 8 7 2ο συνεργείο 2 12 6 5 3ο συνεργείο 7 8 3 9 4ο συνεργείο 2 4 6 10 Ζητούμενο είναι η εκχώρηση σε κάθε συνεργείο ενός εκ των έργων σε τρόπο ώστε ο συνολικός χρόνος απασχόλησης να είναι ο ελάχιστος δυνατός. Βέλτιστη λύση (με συνολικό χρόνο ίσο με 15): 1ο συνεργείο 2ο έργο 2ο συνεργείο 4ο έργο 3ο συνεργείο 3ο έργο 4ο συνεργείο 1ο έργο