133

هاي فصل پنجم تستتشريحي پاسخ

1- )4(

xابتدا : آوريم دست مي بهy را در دستگاه داده شده حذف كرده و يك معادلة ديفرانسيل براساس ′

t t

x y e x y e

x y tx y t

×−

×

⎧ ⎧′ ′+ = ⎯⎯⎯→ ′ ′− − = −⎪ ⎪⇒ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎨ ⎨

′ ′+ =⎪′ ′⎪ + = ⎯⎯→ ⎩⎩

3

1

4 3 12 3

3 133 13

دستگاه داده شده

( )t t ty e t y e t dt e t c′ = − + ⎯⎯⎯⎯→ = − + = − + +∫

2

1

13 3 3

2

)براي ارائة جواب كامل، ، ولي مارا تشخيص داد )) 4(گزينة (توان گزينة صحيح جا مي همين )x t را نيز محاسـبه

: كنيم مي

( )t ty e t c y e t I′= − + + ⎯⎯→ = − +

2

1

13 3

2

t t tx y e x e t e′ ′ ′+ = ⎯⎯⎯⎯→ − + =4 12 اول معادلة : 4

t tx e t x e t c′⇒ = − ⎯⎯⎯⎯→ = − +2

213 4 13 2

)؟( - 2

با توجـه اي اين منظور را به كمك دستگاه حذف كنيم بر y هستند، واضح است كه بايد xها برحسب چون گزينه

: كنيم را از معادلة اول محاسبه كرده و در معادلة دوم جايگذاري ميyبه روش حذفي،

x x y

y y x

′ = +⎧⇒ ⎨

′ = +⎩

2

2

دستگاه داده شده

( )y x x y x x y x x I′ ′ ′ ′′ ′⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −1 1 1 1

22 2 2 2

معادلة اول

y y x x x x x x′ ′′ ′ ′= + ⎯⎯⎯⎯⎯→ − = − + ⎯⎯⎯⎯⎯→1 1 1 1

2 22 2 2 2

معادلة دوم :

x x x x x x x x′′ ′ ′ ′′ ′− = − + ⇒ − − =4 2 3 0

توجـه كنيـد . ها درست نيـستند كدام از گزينه ها وجود ندارد و درنتيجه هيچ واضح است كه معادلة فوق در گزينه

)، عامل )3(كه هرچند در معادلة مشخصة متناظر با گزينة )m m− −

22 ارز دسـتگاه داريم ولي اين گزينه هم 3

دسـت اسـت، در حاليكـه معادلـة بـه 3يك معادلة مرتبة ) 3(زينة در واقع گ . تواند صحيح باشد فوق نيست و نمي

. است2از مرتبة فوق ةآمد

3 - )4(

yاز معادلة دوم،ر براي اين منظو. كنيم از روش حذفي استفاده مي : دهيم را محاسبه و در معادلة اول قرار مي′

x ty t

tx y x

′ ′+ =⎧⎨

′ ′− = −⎩

2

دستگاه داده شده :

( )y tx x x t tx x t′ ′ ′ ′⇒ = + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + + = معادلة دوم2

xحذف ′ جمع معادالت

گيري انتگرال

مشتق

)جايگذاري )I

گيري انتگرال

)جايگذاري )I ×2 دو طرف

اولجايگذاري در معادلة

معادالت ديفرانسيل 134

( )p t ( )q t

Wi

معادلة خطي مرتبة اول ( )

( )t tt

t x tx t x x

t t

÷ +′ ′⇒ + + = ⎯⎯⎯⎯→ + =

+ +

212

2 2

21 2

1 1

| |( )

( ) ( )

tdt ln tp t dt

tM t e e e t+

+⎯⎯⎯⎯⎯→ = = = = +

∫∫2

2

1 11

21 2 21

( ( ) ) ( ) ( ) (( ) ) ( )t t

M t x M t q t t x tt t

′ ′⎯⎯⎯⎯→ × = × ⇒ + × = + × =

+ +

1 1

2 22 2

2 2

2 21 1

1 1

t

t x dt t c x t t c

t

⎯⎯⎯⎯→ + × = = + + ⇒ + = + +

+

∫2 2 2 2

2

21 2 1 1 2 1

1

( )t

x c t

−÷ +

⎯⎯⎯⎯→ = + +

21

1 2 22 1

براي ارائة جواب ، ولي)تواند صحيح باشد ن گزينه مي تنها اي (صحيح است ) 4(توان فهميد كه گزينة همين جا مي

: كنيم محاسبه مينيز را y در يكي از معادالت، xكامل، با جايگذاري

( )

( )x c t

x ty t c t t ty t

−

−

= + +′ ′ ′+ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − + + =

1

2 23

2 1 2 22 1 معادلة اول : 2

( ( ) ) ( )y t ct t c tt

− −

′⇒ = + + = + + ⎯⎯⎯⎯⎯→

3 3

2 22 21

2 1 2 1

( ( ) ) ( )y c t dt t ct t− −

= + + + +∫3 1

2 22 22 1 2 1

tبراي حل انتگرال فوق از تغييرمتغير(*): sinh x=كنيم صورت زير استفاده مي و به :

( )

( ) ( )

t sinh x dx cosh x dx

sinh x cosh x

cosh x dxdtt dt

t cosh x

− = ⇒ =

+ =

+ =

+

∫ ∫ ∫2 2

3

2 2

3 31

2 22 2

1

1

t sinh xcosh x sinh x sinh x t

dx sech x dx tanh xcosh x

cosh x sinh x t

=

= = = = =

+ +

∫ ∫2

3 2 21 1

4 - )1(

: دهيم موردنظر نمايش مييابتدا دستگاه را به فرم ماتريس

( ) ( )

( ) ( )

t tD x D y e x y x y e

D x D y x y x y

− −⎧ ⎧ ′ ′+ + + = + = − − +⎪ ⎪⇒⎨ ⎨

′ ′− + + = + = −⎪ ⎪⎩ ⎩

2 1 2 2 2

3 7 3 1 0 3 3 7

دستگاه داده شده :

(*)tx x e

y y

−⎡ ⎤′ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎯⎯⎯⎯⎯→ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 1 1 2

3 3 7 1 0

ساز عامل انتگرال

جواب معادله

گيري انتگرال

گيري انتگرال

نمايش ماتريسي

W

(*)حل انتگرال

135

هاي فصل پنجم تستتشريحي پاسخ

A

B

Wصورت حال براي اينكه نمايش فوق به AW B= +

i

W تبديل شود، بايـد دو طـرف را در معكـوس مـاتريس i

. ضرب كرد

ماتريس: يادآوريa b

c d

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

adپـذير اسـت هرگـاه معكوس bc− ابـر اسـت صـورت معكـوس آن بر و در ايـن 0≠

باd b

ad bc c a

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦

1بنابراين معكوس ماتريس.

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

2 1

3 3

: برابر است با

−

− −

= = − − −

11

12 1 3 11 3

6 33 3 3 2 21

3

: حال داريم

t

eW W

−

× −−

− − − −

→ = + − − −

11

3

21

3

1 11 1

1 23 3

2 7 1 2 01 1

3 3

i

(*)

t

t

e

W W A

e

−

−

− − − −

⇒ = + ⇒ = −

10 5 10 5

3 3 3 3

17 4 17 4

3 3 3 3

i

5- )3(

)ادلة ديفرانسيل مربوط بهكنيم و مع استفاده ميDاز روش اپراتور )x tآوريم دست مي را به :

( ) ( ) t

t

D x D y e

D x Dy e

− + + =

+ =

2

2 2

1 1

3

دستگاه داده شده :

| | ( )D D

D D D D D DD D

Δ

− +⇒ = = − − − = − +2 3 2 3

2

1 1

| | ( ) ( ) ( )

t

t t t t t t t

xt

e DD e D e e e e e e

e D

Δ+

= = − − = − + = −

2

2 2 2 2 2 2 2

2

1

3 3 2 3 2 7

3

: بنابراين داريم

| |

( ) ( )| | ( )

tx te

x D D x e I

D D

Δ

Δ

−

= = ⇒ + =

− +

2

3 2

3

77

: آوريم دست مي له را بهدرادامه جواب خصوصي و عمومي معاد

: جواب خصوصي) 1

( ) t t

pI x e e

D D

×

→ = =

+

2 2

3

7 7

10

روش اپراتور معكوس

te=

22

te=

26

141

هاي فصل پنجم تستتشريحي پاسخ

( )p t( )q t

k

: طور مستقيم حل كنيم دوم دستگاه، آن را به

tمعادلة خطي مرتبة اول x x

t

÷

′⎯⎯⎯→ + =2

معادلة اول1

( )

( )dtp t dt ln ttM t e e e t⎯⎯⎯⎯⎯→ = = = =

∫∫2

2 2

( ( ) ) ( ) ( ) ( )M t x M t q t t x t t′ ′⎯⎯⎯⎯⎯→ × = × ⇒ × = × =2 2 2

1

tt x t dt t c x t c t

÷ −

⎯⎯⎯⎯⎯→ × = = + ⎯⎯⎯→ = +∫2

2 2 3 2

1 1

1 1

3 3

توجـه . نيـست yتواند صحيح باشد و ديگر نيازي به محاسبة مي) 1(بينيم كه تنها گزينة ها، مي جه به گزينه با تو

آيـد كـه دست مي بهyدست آمده در معادلة دوم، يك معادلة خطي مرتبة اول براساس بهxكنيد كه با جايگذاري

. شود به سادگي حل مي

15 - )3(

جديـد از معادالت حذف شده و يك معادلـة tسيم دو معادله بر هم، پارامتر توان فهميد كه با تق با كمي دقت مي

: آيد دست مي بهy و xبرحسب

dx t tdxdt xy dx x x dx dyxydt

dy t dy xy y x ydy tdtdt xx

⎧=⎪⎪

⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⇒ = = ⇒ =⎨⎪ =⎪⎩

2

22

دستگاه داده شده

expdx dyln x ln y lnc lncy x cy y x y kx

x y c⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⇒ = + = ⎯⎯⎯→ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫

1

16- )4(

: آوريم دست مي را بهxابتدا با استفاده از روش حذفي

x x y

y x y

′ = +⎧⇒ ⎨

′ = +⎩

2

3 4

دستگاه معادلة داده شده

( )y x x y x x I′ ′ ′′ ′⇒ = − ⇒ = −2 معادلة اول 2

y x y x x x x x′ ′′ ′ ′= + ⎯⎯⎯⎯⎯→ − = + −3 4 2 3 4 معادلة دوم : 8

( )( )x x x m m m m′′ ′⇒ − + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ − + = ⇒ − − =2

6 5 0 6 5 0 1 5 0

,

t tm m x c e c e⇒ = = ⇒ = +

5

1 2 1 21 5

tتوجه كنيد كه چون حاصل حدود e و t

eنهايت، نامتنـاهي هـستند و بـا توجـه بـه شـرط اوليـه هر دو در بي 5

xدانيم كه مي c، پس بدون محاسبة ضرايب0≠1

c و2

: توان نوشت هم مي

|| ( ) || || ( ) ||t t t

tx t ae x tlim lim lim

→ + → + → +∞ ∞ ∞

≥ = +∞ ⇒ = +∞

ساز عامل انتگرال

جواب معادله

گيري انتگرال

معادلة اول

معادلة دوم

گيري انتگرال

پذير تفكيك

براي راحتي به اين صورت نوشتيم

)جايگذاري )I

معادله مشخصه

معادالت ديفرانسيل 142

17 - )2(

: كنيم ياز روش حذفي استفاده م

x x y

y x y

′ = +⎧⇒ ⎨

′ = +⎩

2 3

2

دستگاه داده شده

( ) ( ) ( )y x x y x x I′ ′ ′′ ′⇒ = − ⇒ = −1 1

2 23 3

معادلة اول

y x y x x x x x′ ′′ ′ ′= + ⎯⎯⎯⎯⎯→ − = + −1 2 1 2

2 23 3 3 3

معادلة دوم :

x x x x x x x x×

′′ ′ ′ ′′ ′⎯⎯⎯→ − = + − ⇒ − − = ⎯⎯⎯⎯⎯→3

2 6 2 3 4 0

( )( ) , ( )t tm m m m m m x c e c e II

−

− − = ⇒ + − = ⇒ = − = ⇒ = +2 4

1 2 1 23 4 0 1 4 0 1 4

: كنيم دست آمده را در معادلة اول جايگذاري مي حال جواب به

( )

( ) ( )II t t t t

y x x c e c e c e c e− −

′⇒ = − − + − −4 4

1 2 1 2

1 12 4 2 2

3 3 معادلة اول

t ty c e c e

−

⇒ = − +4

1 2

2

3

: بنابراين، جواب دستگاه برابر است با

t t t tx c

X c e e c e k ey

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 42

1 1

1 3 1 3

31 2 1 2

)جايگذاري )I

)جايگذاري )I

k

x ′