Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 1 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и

ответ в бланке ответов № 2. Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.

Допускается использование гелевой или капиллярной ручки. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в

черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

sin2 𝛼𝛼 + cos2 𝛼𝛼 = 1 sin 2𝛼𝛼 = 2 sin𝛼𝛼 ⋅ cos𝛼𝛼

cos 2𝛼𝛼 = cos2 𝛼𝛼 − sin2 𝛼𝛼 sin(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = sin𝛼𝛼 ⋅ cos𝛽𝛽 + cos𝛼𝛼 ⋅ sin𝛽𝛽 cos(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = cos𝛼𝛼 ⋅ cos𝛽𝛽 − sin𝛼𝛼 ⋅ sin𝛽𝛽

Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Часть 1

В обменном пункте 1 гривна стоит 3 рубля 90 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили 3 кг апельсинов по цене 11 гривен за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Ответ: ___________________________. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода в Казани не выпадало осадков.

Ответ: ___________________________.

1

2

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 2 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Ответ: ___________________________. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,18. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Ответ: ___________________________. Найдите корень уравнения

log5(7 − 𝑥𝑥) = log5(3 − 𝑥𝑥) + 1.

Ответ: ___________________________.

В треугольнике 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 проведена биссектриса 𝐴𝐴𝐴𝐴 и 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴. Найдите меньший угол треугольника 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________________________. Прямая 𝑦𝑦 = 9𝑥𝑥 + 5 является касательной к графику функции 18𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 7. Найдите 𝑏𝑏, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Ответ: ___________________________.

3

4

5

6

7

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 3 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

Часть 2 Найдите

ℎ(3 + 𝑥𝑥) + ℎ(3 − 𝑥𝑥), если ℎ(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥9 + √𝑥𝑥 − 69 .

Ответ: ___________________________.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время 𝑡𝑡 падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле ℎ = 5𝑡𝑡2, где ℎ — расстояние в метрах, 𝑡𝑡 — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Ответ: ___________________________. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 11 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 33 метрам.

Ответ: ___________________________. Найдите точку минимума функции

𝑦𝑦 = √𝑥𝑥2 + 10𝑥𝑥 + 55.

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.

8

9

10

11

12

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 4 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

а) Решите уравнение

46𝑥𝑥2−10𝑥𝑥−1 − 2543𝑥𝑥2−5𝑥𝑥−0,5 − 5

= 13.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

�log6314

; log8 63�.

В кубе 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴1 все рёбра равны 5. На его ребре 𝐴𝐴𝐴𝐴1 отмечена точка 𝐾𝐾 так, что 𝐾𝐾𝐴𝐴 = 4. Через точки 𝐾𝐾 и 𝐴𝐴1 проведена плоскость 𝛼𝛼, параллельная прямой 𝐴𝐴𝐴𝐴1.

а) Докажите, что 𝐴𝐴1𝑃𝑃:𝑃𝑃𝐴𝐴1 = 3: 1, где 𝑃𝑃 − точка пересечения плоскости 𝛼𝛼 с ребром 𝐴𝐴1𝐴𝐴1. б) Найдите угол наклона плоскости 𝛼𝛼 к плоскости грани 𝐴𝐴𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴. Решите неравенство

log2(4𝑥𝑥 + 81𝑥𝑥 − 4 ∙ 9𝑥𝑥 + 3) ≥ 2𝑥𝑥. В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 точки 𝐾𝐾, 𝐿𝐿, 𝑀𝑀 и 𝑁𝑁 − середины сторон 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴 и 𝐴𝐴𝐴𝐴 соответственно. Площади четырёхугольников 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐿𝐿𝑁𝑁 и 𝑁𝑁𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 равны, а площади четырёхугольников 𝐾𝐾𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀 и 𝐴𝐴𝐾𝐾𝑀𝑀𝐴𝐴 относятся как 11:17.

а) Докажите, что прямые 𝐴𝐴𝐴𝐴 и 𝐴𝐴𝐴𝐴 параллельны. б) Найдите отношение 𝐴𝐴𝐴𝐴 к 𝐴𝐴𝐴𝐴.

Производство 𝑥𝑥 тыс. единиц продукции обходится в 𝑞𝑞 = 0,5𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 + 5 млн рублей в год. При цене 𝑝𝑝 тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет 𝑝𝑝𝑥𝑥 − 𝑞𝑞. При каком наименьшем значении 𝑝𝑝 через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей? Найдите все значения 𝑎𝑎, при каждом из которых уравнение

𝑎𝑎𝑥𝑥 + �−7 − 8𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 = 2𝑎𝑎 + 3

имеет единственный корень. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться? Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.

13

14

15

16

17

18

19

О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю» Данный ким составлен командой всероссийского волонтёрского проекта «ЕГЭ 100 баллов» https://vk.com/ege100ballov и безвозмездно распространяется для любых некоммерческих образовательных целей.

Нашли ошибку в варианте?

Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим! Для замечаний и пожеланий: https://vk.com/topic-10175642_39951777

(также доступны другие варианты для скачивания)

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 5 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА:

ФИО: Евгений Пифагор

Предмет: Математика

Стаж: 9-й год готовлю к ЕГЭ

Регалии:

Набрал 96 баллов на ЕГЭ по математике (профиль) 14 учеников набрали 90-99 баллов на ЕГЭ 2019 Высшее образование (ТГУ, 2009-2014) Победитель трёх олимпиад по высшей математике

Аккаунт и группа ВК:

https://vk.com/eugene10 https://vk.com/shkolapifagora

Ютуб и инстаграм:

https://youtube.com/ШколаПифагора https://instagram.com/shkola_pifagora

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 6 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

Система оценивания экзаменационной работы по математике (профильный уровень)

Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

Номер задания Правильный ответ Текстовое

решение Видео

решение 1 129 2 4 3 0,5 4 0,9676 5 2 6 36 7 21 8 7,5 9 0

10 1,15 11 6 12 -5

13

а) −13 ; 2

б) −13

14 arctg

√264

15

(−∞; 0] ∪ �12 ; +∞�

16 2:5 17 8 18

�−1;−13� ∪

{0}

19

а) нет б) нет в) 4

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 7 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

Решения и критерии оценивания заданий 13–19

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 8 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 9 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 10 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

Единый государственный экзамен, 2020 г. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень Тренировочный вариант №10 от 04.11.2019 11 / 11

© 2019 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: vk.com/topic-40390806_39479093 Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТРЕНИ

РОВО

ЧНЫ

Й КИ

М №

191104

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 07.11.2018 № 190/1512, зарегистрирован Минюстом России 10.12.2018 № 52952)

«82. <…> По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развернутым ответом. <…>

В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

Существенными считаются следующие расхождения: 1) расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение

любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет только ответ на то задание, который был оценен двумя экспертами со столь существенным расхождением;

2) расхождения экспертов при оценивании ответов на хотя бы два из заданий 13–19. В этом случае третий эксперт проверяет ответы на все задания работы.