เฉลย O-NET ก.พ. 53 อย่างละเอียด

เฉลยขอสอบ O-NET คณตศาสตร ครงท 1 ป 2553

สถาบนปนนอง 1 390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]

1. ตอบขอ 3

มาดขอ 1.กนกอนครบ A-B คอตวทอยใน A แตไมอยใน B นนคอ A-B = {1,2,3,4,5} ซงมสมาชก 5 ตว ดงนนขอ 1 จงถกตอง

ตอมาเรามาดขอ 2 กน B-A คอตวทอยใน B แตไมอยใน A นนคอเราตองตด 6,7,8,…. ออกจาก B ทงหมด ท าให B-A =

{{1,2},{3,4,5}} ซงมสมาชก 2 ตว ดงนนสมาชกของเพาเวอรเซตของ B-A เทากบ 22 = 4 สรปวาขอ 2 กยงถกตอง

มาดขอ 3. (A-B) (B-A) = {1,2,3,4,5,{1,2},{3,4,5}} มสมาชกทงหมด 7 ตว ซงไมใชจ านวนค ดงนนขอ 3 ผด ฮนแน เราเจอละ

ตอบขอนไดเลย ถาขยนหนอยกดขอ 4 ตอกนเลยครบ A B = {6,7,8,…} เปนจ านวนนบทมากกวา 5 ดงนนขอ 4 ถก


เรามาพจารณาสงทโจทยใหมาคอ 1 เหต และ 1 ผล

เหต : เหดเปนพชมดอก ผล : เหดเปนพชชนสง เราจะสงเกตไดวามอย 3 ค าไดแก เหด พชมดอก และพชชนสง แตทแนๆ

ตอนนเรารวา เหดเปนพชมดอก ถาเราอยากจะใหเหดเปนพชชนสงดวย เราตองก าหนดวาพชมดอกทกชนดจะตองเปนพชชนสง

ดงนนเราตอบขอ 3


ทศนยมไมรจบม 2 ประเภทคอ

หนง --- ทศนยมไมรจบแบบซ า (หรอแบบมรปแบบ) เชน 0.33333…. , 0.535353… ซงเปนจ านวนตรรกยะ

สอง --- ทศนยมไมรจบแบบไมซ าหรอไมมรปแบบ เชน คา = 3.14159… ซงจะมทศนยมไมซ ากนเลย เราเรยกจ านวนนวา

จ านวนอตรรกยะ

ดงนนขอ ก. ทวาทศนยมไมรจบบางจ านวนเปนจ านวนอตรรกยะจงเปนจรง เพราะใชค าวา บางจ านวน สวนขอ ข. นนคอ ทศนยมไม

รจบบางจ านวนเปนจ านวนตรรกยะ ขอ ข. กจรงเชนกนเพราะใชค าวาบางจ านวน ดงนนตอบขอ 1 คอถกทงขอ ก.และ ข.


ก าหนด ให s < t และ u < v เราเอา -1 คณตลอด จะไดวา –t < -s และ –v < -u ดงนนลองเอา s < t มาบวกกบ –v < -u จะได s-v

< t-u ท าใหขอ ข. เปนจรง สวนขอ ก. นนไมจ าเปนจะตองเปนจรง ยกตวอยางเชน ถา s=10, t=20 และ u=9, v=100 เราจะไดวา s-u

= 10-9 = 1 และ t-v = 20-100 = -80 ซงจะเหนไดวา s-u > t-v


จาก |a| = a หรอ –a ดงนนเราจะสามารถหาค าตอบของสมการไดสองค าตอบ คอ

และ ดงนน x= 4.5 และ 5.5 ตามล าดบ ซงอยในชวง (-3,6) ตามขอ 4


วธท1 เนองจาก เปนผลเฉลยของสมการ ดงนน จะตองเปนหนงในตวประกอบของ

ดงนน โดยผลเฉลยอกตวหนงคอ

จากนนเปรยบเทยบสมประสทธหนา x แตละดกร จะไดวา

พจนแรก ท าให และพจนท 3 ได ท าให และพจนท 2 จะได

ดงนนผลเฉลยอกตวหนงคอ

วธท 2 พจารณาสมการ ซงมผลเฉลยคอ a และ b และเมอคณกระจายออกมา เราจะได

ดงนนเราจงสรปวาไดวา สมประสทธหนา x จะมคาเทากบคาตดลบของผลบวกของผลเฉลย และพจนสดทายคอ ผลคณของผลเฉลย

เมอเรายอนกลบมาพจารณา และถาเราเอา 4 หารตลอดเพอจะท าใหสมประสทธหนา เปน 1 เราจะได

ดงนนเราจะไดผลคณของผลเฉลยเทากบ

ดงนนถาผลเฉลยตวหนงคอ

อกผลเฉลยหนงจะเทากบ

ครงท 1 ป 2553 เฉลยขอสอบ O-NET คณตศาสตร

2 สถาบนปนนอง

390 ถ.ตะนาว แขวงศาลเจาพอเสอ เขตพระนคร กทม. 10200 Tel. 08-4725-8840, 0-2224-2141 Email: [email protected]


ดงนนตอบขอ 2


พจารณา , และ ดงนน

ท าให


เนองจากวาโจทยก าหนดให a เปนจ านวนจรงบวก (a>0) และ n เปนจ านวนคบวก ท าให

หรอในท านอง

เดยวกน ดงนนถกทงขอ ก.และ ข.

***เพมเตม : ถาโจทยไมไดก าหนดวา a เปนจ านวนจรงบวกและไมไดก าหนดวา n เปนจ านวนคบวก แตก าหนดแควา a เปนจ านวน

จรง และ n เปนจ านวนเตมบวก จะท าให a สามารถตดลบได เราสามารถแยกพจารณาไดดงน

>> ถา n เปนจ านวนคบวก จะท าให ไมเปนจ านวนจรง สงผลใหขอ ก. ผดทนท เพราะ |a| เปนจ านวนจรง สวน

ยงคง

เปนจ านวนจรง และมคาเปนบวกดวย ดงนน

นนถกตอง

>> ถา n เปนจ านวนคบวก จะท าให ยงคงเปนจ านวนจรงแตจะตดลบ ซงคอ a ซงไมเทากบ |a| ท าใหขอ ก. ผด สวนขอ ข.

กเทากบ a เชนกนซงไมเทากบ |a| ดงนน ข. กผด


เปนพาราโบลา (parabola) ซงสามารถจดรปโดยใชหลกการทางก าลงสองสมบรณดงน

ท าใหไดวาพาราโบลานเปนแบบคว า โดยมจดสงสดคอ

(หรอจดวกกลบนนเอง) ดงนนเราสรปไดวาขอ 2 ,3 และ 4 ผดหมด

ตอไปเรามาเชควา 1 ถกจรงหรอไม ดงน

ตอมาเรามาเขยนเสนจ านวน

ไดวา เมอ ดงนน 1 ถกตอง -1 2

- + -



11. ตอบขอ 4 วธดวาอนไหนเปนฟงกชน ใชหลกงายๆกคอ ถาหนา(x) ตวหนงจะตองมคของมน (y) ไดแคตวเดยวเทานน ดงนน ขอ 1

เราเจอ (2,3) และ (2,4) ดงนน ไมใชฟงกชน ตอมาดขอ 2 เราเจอ (3,1) และ (3,3) ดงนนไมใชฟงกชน ขอ 3 เราพบวา 1 มคตง 4

ตว ดงนนกไมใชฟงกชนอก ดงนนตอบขอ 4 เพราะถกตองตามนยามฟงกชน


โดเมน(Df)ของ หาไดโดยพจารณาวาภายในรากทสองจะตองมากกวาหรอเทากบ 0 ดงนน หรอ

หรอเขยนไดในรป

เรนจ(Rg)ของ หาไดโดยพจารณาวา เสมอ ดงนนเรนจคอ

หรอ

ดงนน Df U Rg =


วธงายและรวดเรวทสดคอการดจากกราฟเลยครบ (เราสามารถหาสมการของกราฟของ

ฟงกชน f ไดแตจะเสยเวลามากกวาดจากกราฟ)

เราได f(-11) = 7, f(-3) = -1 และ f(3) =3 น าไปแทนคาไดดงน


พนทสามเหลยมมมฉากในรป มพนท 600 ตร.ม. ซงมคาเทากบ ฐาน สง

ดงนน

ม. และความยาวดานประกอบมมฉากอกดานหนงคอ

ม. และความยาวดานตรงขามมมฉากเทากบ 50 ม. เราจะไดเสนรอบรปยาวเทากบ 30+40+50 = 120 ม.


โจทยใหขบวนพาเหรดนมอย x แถวและแตละแถว ขอสมมตวาแตละ

แถวมจ านวนคนเทากบ y คน จากทโจทยบอกเราวาจ านวนคนรอบนอก

มทงหมด 50 คน (จดทบทงหมด) เราจะไดวา

(ตดหวและตดทายy) และเมอท าการลด

รปเราจะได หรอ แตโจทยใหวาม

จ านวนคนในพาเหรดทงหมดเทากบ N คน ซงเทากบ xy ดงนนเราจะ

ได หรอ

-2 3

x

0.75x

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

x á¶ÇX แถวตามแนวพาเหรด

ทศของพาเหรด แตละแถวม y คน





จากรป เราลากเสนเชอม AB และตอเสน DC

จากทฤษฎบทปธาโกรส เราจะไดวา และ ตอมาก

พจารณา เราจะได และ

ความยาวดานสเหลยมผนผา หรอ ใชทฤษฎบทปธาโกรสอก

รอบเราจะไดวา

ดงนน มความยาวเปน เทาของดานกวาง


กอนอนเราตองเขาใจกอนวา …

ดงนนมมทอยตรงกนขามกบดานทมความยาวเทากบ 7 จะเปนมมทเลกทสด ในทนเราใหเทากบ

ลองคา

ซงมคาใกลเคยงกบ 0.961 จากในตาราง ดงนน จงมคา

ใกลเคยงกบ (จาก ) ดงนนเราจะไดวา มมทเลกทสด

จะมคาใกลเคยงกบ


สมมตใหดานทยาวอนดบสองยาวเทากบ (เพราะวามม มขนาดเปนอนดบสอง ดงนนมมตรงขามกจะม

ความยาวเปนอนดบสองเชน) จากรปเราจะไดวาดานตรงขามมมฉากยาว

และดานทสนทสด

ยาว

จากทโจทยใหมาคอเสนรอบรปสามเหลยมเทากบ

ดงนน


ไดระยะตามแนวนอน ดงรป ดงนน ระยะบนพนทกลองสามารถมองเหนไดคอ

ดงนนตอบขอ ข 1.46

A

B

x 2x

x

C D

7

24

25

มมทเลกทสดคอมมทอยตรงกนขามกบดานทสนทสด

เมตร




ล าดบเลขคณตสามารถเขยนไดอยในรป โดยม

และ

ดงนน สตรของล าดบเลขคณตคอ

โดย ดงนน


พจนท 40 หรอ

พจนทจะมคาเทากบ พจนท 40 จะตองเปนพจนล าดบเลขค เพราะจะตองท าให เหมอนพจนท 40 ดงนนค าตอบคอ

จ านวนคตงแต 2 จนถง 40 นนเอง ดงนนค าตอบคอ

ตว


ล าดบเรขาคณตเขยนไดในรป โดย

และ

ดงนน

จะไดวา และ

จากผลบวกของล าดบเรขาคณต คอ

ดงนน ผลบวก 10 พจนแรก คอ


แซมเปลสเปซ n(S) = โอกาสทเกดจากการโยนเหรยญท 1 โอกาสทเกดจาก

การโยนเหรยญท 2 โอกาสทเกดจากการโยนเหรยญท 3 = 2 x 2 x 2 = 8

ตอมาเรามาค านวณหาจ านวนโอกาสทเหรยญทง 3 จะออกหนาแตกตางกน ม

เพยง 2 กรณคอ ขาวแดงฟา และ แดงฟาขาว ความนาจะเปนทตองการคอ


กอนอนเรามาหาแซมเปลสเปซกอนเลย

หยบสลากครงท 1 จะมทางเลอกหรอโอกาสไดทงหมด 10 แบบ เมอหยบมาแลวไมใสคน จะท าใหเหลอสลากทงหมด 9 ใบซงกคอ

โอกาสในการหยบครงท 2 นนเอง ดงนนจ านวนแบบทจะหยบสลาก 2 ใบ โดยหยบทละใบไมใสคอคอ 10 x 9 = 90 แบบ = n(S)

จ านวนฉลากทนอยกวา 5 มทงหมด 4 สลาก ไดแก 1,2,3 และ 4 และจ านวนสลากทมคาตงแต 5 ขนไปมทงหมด 6 สลาก ไดแก

5,6,7,8,9 และ 10

กรณท 1 – หยบครงแรก ไดสลากทนอยกวา 5 และหยบครงทสองทไดสลากตงแต 5 ขนไป ดงนนมไดทงหมด 4 x 6 = 24

เหรยญท 1 ขาว แดง

เหรยญท 2 แดง ฟา

เหรยญท 3 ฟา ขาว




กรณท 2 – หยบครงแรก ไดสลากตงแต 5 ขนไป และหยบครงทสองทไดสลากทนอยกวา 5 ดงนนมไดทงหมด 6 x 4 = 24

ดงนนจ านวนแบบทงหมดคอ 24+24 = 48 แบบ ซงมความนาจะเปนเทากบ 48/90 = 8/15


เนองจากขอมลเปนขอมลทางดานสวนสงของนกเรยน ท าใหมแต S เทานนทเขยนไวชดเจนวาเปนสวนสง สวน T เปนเพยงจ านวนธรรมดา

ดงนน S เทานนถงจะเปน แซมเปลสเปซ


หาแซมเปลสเปซกอนเลยนะครบ มคนทงหมด 10 คน ตองการเลอกมา 3 คนส าหรบ 3 ต าแหนง (เหมอนกบการเลอกลกบอล 10

ลก และเลอกหยบออกมาทละลก ไมคน) ดงนน

ต าแหนงแรก เลอกได 10 แบบ ต าแหนงทสอง เลอกได 9 แบบ และต าแหนงทสามเลอกได 8 แบบ ดงนนแซมเปลสเปซ

เทากบ 10x9x8 = 720 แบบ

โจทยตองการหาความนาจะเปนในการทจะไดประธานและรองประธานเปนหญง เราแจกแจงกรณไดดงน

ต าแหนงประธาน – จ านวนแบบทจะเลอกไดคอ 6 แบบ (จ านวนผหญง)

ต าแหนงรองประธาน – จ านวนแบบทจะเลอกไดคอ 5 แบบ (เลอกไปแลวหนงคน จงเหลออก 5 คน)

ต าแหนงเลขานการ – จ านวนแบบทเลอกไดคอ 4+4 = 8 แบบ (หญงทเหลอ 4 คนและผชาย 4 คน)

ดงนนจ านวนแบบทจะไดประธานเปนหญงและรองประธานเปนหญงคอ 6x5x8 = 240 แบบ ซงกคอความนาจะเปน

เทากบ 240/720 = 1/3


เนองจากเปนขอมลทครสอนวทยาศาสตรเปนคนเกบเอง และขอมลเปนแบบคณภาพ ดงนนเปนขอมลปฐมภม เชงคณภาพ


คาเฉลยเลขคณตของน าหนกของพนกงานบรษท =

น าหนกรวมชาย น าหนกรวมหญง

จ านวนพนกงานทงหมด

น าหนกรวมชาย

ดงนนน าหนกรวมชาย =


เมอน าขอมลทงหมดมาเรยงกนจะได 57, 58, 67, 68,69, 70, 74, 74, 77,81

ฐานนยมคอ 74 ดงนน 1 ถก

คาเฉลยเลขคณต = 695/10 = 69.5 และมธยฐานคอ (69+70)/2 = 69.5 ดงนนขอ 2 กยงถก



น าหนกไขไกทนอยกวา 70 มทงหมด 5 ฟอง ดงนนขอ 3 กถก

ไขไกทมน าหนกสงกวาฐานนยม (74) มทงหมด 2 ฟอง และไขไกทมน าหนกเทากบฐานนยมกมเทากบ 2 ฟองเชนกน ดงนนขอ 4 เทจ


ฐานนยมนนจะตองมาจากขอมลทมจ านวนซ ามากทสด ดงนนยงไงกตามฐานนยมกตองมคาเทากบขอมลตวใดตวหนงแนนอน


41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48

จากขอมล สงเกตไดวาม 88, 95 ซงมคาแตกตางจากคาตวอนอยางมาก ท าใหมผลตอคาเฉลยเลขคณตและคาเฉลยของคาสงสดต าสด

และเนองจากไมมตวใดซ ากนเลยท าใหฐานนยมกไมเหมาะสมเชนกน ดงนน มธยฐานจะเหมาะสมทสด


จากแผนภมกลองจะไดวา

คาต าสด = 10 คาสงสด = 24 ควอไทลท 1 = 12 ควอไทลท 2 = 16 ควอไทลท 3 = 18

แตละชวงควอไทลจะมอย 25 คน ดงนนขอ 2 ไมถกตอง เพราะวา 12-18 คลอบคลมถงสองชวงควอไทล สวน 18-24 คลมแคหนงควอไทล


ควอไทลท 3 หมายความวามจ านวนคนทไดคะแนนสอบนอยกวานาย ก อย ทงหมด 75% ของ 400 หรอเทากบ 300 คนนนเอง สวน

เปอรเซนไทลท 60 มความหมายวามจ านวนคนทไดคะแนนนอยกวานาย ข อยทงหมด 60% ของ 400 หรอเทากบ 240 คน ดงนนสวนตาง

ของ ควอไทลท 3 และเปอรเซนไทลท 60 คอ 300-240 = 60 คน


เราสามารถเตมเตมตารางแจกแจงความถ ไดโดยใช

ความถสะสม = ความถของอนตรภาคชนทนอยกวา 1 ชน +ความถสะสมของอนตรภาคชนทนอยกวา 1 ชน

ความถสมพทธ = ความถของอนตรภาคชนนนๆ หารดวย จ านวนความถรวมทงหมด (ขอมลทงหมด)

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ

2-6 7 7 7/20=0.35 7-11 0.2x20 = 4 11 0.2 12-16 3 14 3/20=0.15 17-21 6 14+6 = 20 0.3




จากอนตรภาคชน 17-21 จะไดวา จ านวนขอมลทงหมดเทากบ ความถอนตรภาคชนความถสมพทธ

ท าใหไดวาความถของอนตรภาคชน 7-11 จะมคาเทากบ 0.2x20 = 4 จากนนกคอยๆเตมตารางจนเตม

ดงนนสรปไดวา อนตรภาคชน 2-6 มความถสงทสด คอ 7


พจารณา ก. จ านวนผวางงานในภาคใตในเดอน กย. ป 2550 ไมจ าเปนตองเทากบ ผวางงานในเดอน กย. ป 2551 เนองจากแมวาอตรา

การวางงานจะเทากนแตจ านวนก าลงแรงงานของป 2550 กบ 2551 ไมจ าเปนตองเทากน

พจารณา ข. จ านวนผอยในก าลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายน 2551 =

คน ดงนน ข. ถกตอง


กอนทจะเกบขอมล เรากควรจะรกอนวาจะเอาขอมลอะไรบาง ดงนน ขอ 4 จงเปนค าตอบทถกตอง

37. ตอบ 101 คน

ให M เปนเซตของนกเรยนทสอบผานวชาคณตศาสตร

S เปนเซตของนกเรยนทสอบผานวชาสงคมศกษา

T เปนเซตของนกเรยนทสอบผานวชาภาษาไทย

โดยแผนภาพเวนนออยเลอร

ดงนนมนกเรยนทสอบผานอยางนอย 1 วชาคอ 19+28+30+10+5+2+7 = 101 คน

38. ตอบ 390 ตน

ล าดบเลขคณตส าหรบจ านวนตนไมแตละแถวคอ

12, 14, 16,… ซงแทนไดดวย โดยท และ ดงนนล าดบเลขคณตแทนดวย

M S

T

5

2

10

7

36-10-5-

2 =19

44-2-5-7

=30

50-10-

5-7 =28



เมอใสเครองหมาย เขาไปทงสองขาง จะไดวา

ถา n=15 จะไดวาจ านวนตนไมทงหมด(ทงสบหาแถว) เทากบ

(ใชสตร

)

39. ตอบ 280 จ านวน

จ านวนทมบางหลกซ ากน = จ านวนทเปนไปไดทงหมด – จ านวนทแตละหลกไมซ ากนเลย

จ านวนทเปนไปไดทงหมด หาไดโดย

10 x 10 x 10 = 900 จ านวน

จ านวนทแตละหลกไมซ ากนเลย

10 x 9 x 8 = 720 จ านวน

ดงนนจ านวนทมบางหลกซ ากนมทงหมดเทากบ 900-720 = 280 จ านวน

40. ตอบ 240 วธ

1. เลอกวาสามภรรยาทนงตดกนอยอยตรงไหนกอน เลอกไดทงหมด 5 แบบดงรป

2. แตละแบบดานบนจะมทวาง 4 ทซงสามารถนงสลบกนยงไงกได ดงนนจะไดทงหมด 4x3x2x1 = 24 แบบ

3. พจารณาแตละคสามภรรยาทนงตด กสามารถนงสลบกนได ดงนนมไดทงหมด 2 แบบ

สรปกคอจ านวนแบบการนงโดยทมสามภรรยาคหนงนงตดกนคอ 5x24x2 = 240 แบบ

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

หลกรอย หลกสบ

(ใชไป 1 ตวแลว)

หลกหนวย

(ใชไป2 ตวแลว)

เฉลย O-NET ก.พ. 53 อย่างละเอียด

Documents

Transcript of เฉลย O-NET ก.พ. 53 อย่างละเอียด