« Napredna kvantna ﬁzika » Ivo Batistić -...

Druga kvantizacija

« Napredna kvantna fizika »

Ivo Batistić

Fizički odsjek, PMF

Sveučilište u Zagrebu

predavanja 2010

Pregled predavanja

Operatori stvaranja i uništenja čestica

Operatori polja

Harmonički oscilator

Fockov prostor

Hilbertov prostor kvantnih stanja s fiksnim brojem čestica potrebnoje poopćiti na sustave promjenjivog broja čestica.

◮ Uvodi se pojam Fockovog prostora kvantnih stanja kojiobjedinjava Hilbertove prostore različitog broja čestica.

◮ Također se uvodi pojam vakuuma, stanje koje predstavljasustav bez čestica:

|vakuum >= |0 >

◮ Uvode se operatori koji povezuju Hilbertove prostore različitogbroja čestica. To su operatori stvaranja i uništenja čestica.

Kvantna mehanika sustava s fiksnim brojem čestica jeidealizacija. U realnim sustavima čestice se stvaraju i nestaju.Nije moguće kazati koliko čestica ima u nekom određenomtrenutku i određenom dijelu prostora: čestice mogu prividno

nastati i nestati.


Operator stvaranja čestice u nekom kvantnom stanju α neka je C†α,

dok operator uništenja čestice u tom kvantnom stanju neka je Cα.

Tada vrijede ove komutacijske/antikomutacijske relacije:◮ Bozoni

Cα Cβ − Cβ Cα = [Cα,Cβ] = 0

C †α C

†β − C

†β C †

α = [C †α,C

†β] = 0

Cα C†β − C

†β Cα = [Cα,C

†β] = δαβ

◮ Fermioni

Cα Cβ + Cβ Cα = {Cα,Cβ} = 0

C †α C

†β + C

†β C †

α = {C †α,C

†β} = 0

Cα C†β + C

†β Cα = {Cα,C

†β} = δαβ


◮ Za operatore uništenja vrijedi:

Cα|0 >= 0 odnosno < 0|C †α = 0

da kada djeluju na vakuumsko stanje daju nulu.Ne može se uništiti čestica ako je nema.

◮ Za fermionske operatore, iz antikomutacijski relacija, izlazi daje:

C †α C †

α + C †α C †

α = 0 ⇒ C †α

2= 0.

Operator stvaranja ne može stvoriti dvije čestice u istomkvantnom stanju.

Operatori stvaranja i uništenja

Opće stanje u Fockovom prostoru zadano je s brojem čestica kojese nalaze u kvantnim stanjima:

|nα1. . . nαi

. . . nαn >

gdje su nαi= 0, 1, 2, . . . za bozone, odnosno 0 ili 1 za fermione.

To stanje pripada Hilbertovom potprostoru∑

αi

nαi= N s ukupno N čestica.

Kako izračunavati srednje vrijednosti?

Koristeći relacije komutacije/antikomutacije izmijeniti poredakoperatora stvaranja/uništenja tako da operatori uništenja buduna desnoj strani ispred vakuumskog stanja, a operatori stvaranjana lijevoj strani iza vakuumskog stanja na lijevoj strani!

Primjeri uporabe komutacijskih relacija za bozone

Prvi primjer:

C C †n = C C †C †n−1=(

1 + C † C)

C †n−1= 1C †n−1

+ C †1 C C †n−1

= 1C †n−1+ C †1

(

1 + C † C)

C †n−2= 2C †n−1

+ C †2 C C †n−2

= = n C †n−1+ C †n C

Dakle:

[C ,C †n] = n C †n−1odnosno [Cα,C

†β

n] = δαβ n C

†β

n−1

Drugi primjer:

< 0|C n C †n|0 > = < 0|C n−1(

C †n C + n C †n−1)

|0 >

= n < 0|C n−1 C †n−1|0 >= n (n − 1) < 0|C n−2 C †n−2|0 >= · · · == n! < 0|0 >= n!

Bozonsko stanje

Očekujemo da je bozonsko stanje s n čestica u kvantnom stanju α:

|nα >= An C †α

n|0 >

gdje je An normalizacijska konstanta. Koristeći rezultat drugogprimjera:

< nα|nα >= A2n n! = 1

pa je normalizacijska konstanta:

An =1√n!

odnosno:|nα >=

1√n!

C †α

n|0 >

Opći slučaj kvantnog stanja

Za bozonski sustav:

|nα1. . . nαi

. . . nαn > =C

†α1

nα1

√nα1

!. . .

C†αi

nαi

√nαi

!. . .

C†αn

nαn

√nαn !

|0 >

=∏

αi

C†αi

nαi

√nαi

!|0 > (nαi

= 0, 1, 2, . . . )

Za fermionski sustav:

|nα1. . . nαi

. . . nαn > = C †α1

nα1 . . .C †αi

nαi . . .C †αn

nαn |0 >=

∏

αi

C †αi

nαi |0 > (nαi= 0 ili 1)

Važno je voditi računa o konzistentnom poretku operatorastvaranja.

Neke komutacijske relacije

AB†1B

†2B

†3B

†4B

†5 . . . = (AB

†1 − B

†1A)B

†2B

†3B

†4B

†5 · · ·+ B

†1AB

†2B

†3B

†4B

†5 . . .

= [A,B†1]B

†2B

†3B

†4B

†5 + B

†1(AB

†2 − B

†2A)B

†3B

†4B

†5 · · ·+

= [A,B†1]B

†2B

†3B

†4B

†5 · · · + B

†1 [A,B

†2]B

†3 · · ·+

=∑

i=1,2,...

B†1 . . . [A,B

†i ]B

†i+1 · · ·+ B

†1B

†2 . . .A

Analogno:

AB†1B

†2B

†3B

†4B

†5 . . . =

∑

i=1,2,...

(−1)iB†1 . . . {A,B

†i }B

†i+1 · · · + (−1)nB†

1B†2 . . .A

Operatori polja

Moguće je uvesti operatore stvaranja i uništenja čestice u točkiprostora ~r :

φ(~r) =∑

α

φα(~r)Cα

φ†(~r) =∑

α

φ⋆α(~r)C †α

To je u stvari prostorna reprezentacija operatora stvaranja iuništenja. Često se nazivaju operatorima polja.

Kvantno stanje u kojem se čestica nalazi u točki prostora zadanoj svektorom ~r je:

|~r >= φ†(~r)|0 >

Operatori polja

Ovi operatori također zadovoljavaju komutacijske/antikomutacijskeoperacije:

[φ(~r), φ†(~r ′)] = δ(~r − ~r ′) za bozone

{φ(~r), φ†(~r ′)} = δ(~r − ~r ′) za fermione

Što je <~r |1α > ?

<~r |1α > = < 0|φ(~r) C †α|0 >

=∑

β

φβ(~r) < 0|Cβ C †α|0 >=

∑

β

φβ(~r) < 0|(δαβ ± C †α Cβ)|0 >

= φα(~r) (jednočestična valna funkcija!) jer je Cβ|0 >= 0

Kvantna stanja

Kvantno stanje sustava (za fermione)◮ s jednom česticom:

φ†(~r) |0 >=∑

α

φα⋆(~r) Cα

†|0 >

◮ s dvije čestice

φ†(~r1) φ†(~r2)|0 >=

∑

αβ

1√2

∣∣∣∣

φα⋆(~r1) φβ

⋆(~r1)φα

⋆(~r2) φβ⋆(~r2)

∣∣∣∣

Cα†Cβ

†|0 >

◮ s N čestica

φ†(~r1) φ†(~r2) . . . |0 >=

∑

α1α2...

1√N!

∣∣∣∣∣∣

φα1

⋆(~r1) φα2

⋆(~r1) · · ·φα1

⋆(~r2) φα2

⋆(~r2) · · ·· · ·

∣∣∣∣∣∣

|1α11α2

· · · >

Analogno za bozone!

Operator gustoće

Operator gustoće (koncentracije) čestica:

ρ(~r) = φ†(~r)φ(~r)

Na primjer za bozone:

< nα1nα1

. . . |φ†(~r)φ(~r)|nα1nα1

· · · >=∑

β1,β2

φ⋆β1

(~r)φβ2(~r) < nα1

nα1..|C†

β1Cβ2

|nα1nα1

.. >

=∑

β1,β2

φ⋆β1

(~r)φβ2(~r)

∑

αi

δβ1αi

√nαi

< nα1. . . (n − 1)αi

. . . |

∑

αj

δβ2αj

√

nαj|nα1

. . . (n − 1)αj· · · >

=∑

β1,β2

φ⋆β1

(~r)φβ2(~r)

∑

αi ,αj

nαiδβ1αi

δβ2αjδαiαj

=∑

αi

nαi|φαi

(~r)|2

Ostali operatori

Na sličan način se mogu zapisati i ostali jednočestični operatori.Hamiltonijan

H =

∫

d~r φ†(~r)

[

− ~2

2 m~∇2 + U(~r)

]

φ(~r)

Dvočestično međudjelovanje ima slijedeći zapis:

V =12

∫

d~r1d~r2

(

φ†(~r1)φ(~r1))

V (~r1,~r2)(

φ†(~r2)φ(~r2))

Hamiltonijan

Uzimajući u obzir i spin, ukupni Hamiltonijan, za proizvoljni brojčestica u sustavu može se zapisati kao:

H =∑

σ

∫

d~r φ†σ(~r)

[

− ~2

2 m~∇2 + U(~r)

]

φσ(~r)

+12

∫

d~r1d~r2

(∑

σ1

φ†σ1(~r1)φσ1

(~r1)

)

V (~r1,~r2)

(∑

σ2

φ†σ2(~r2)φσ1

(~r2)

)

Napomena: Izračunavajući energiju u prvom redu računa smetnje:

< 1α11α2

. . . 1αN|H|1α1

1α2. . . 1αN

>

dolazimo do onog istog izraza kojeg smo već prije našli, zajedno senergijom izmjene.

Operator gustoće struje

Ako u sustavu vrijedi zakon sačuvanja broja čestica, tada se tomože izraziti jednadžbom kontinuiteta:

∂

∂tρ(~r) = −~∇~j(~r)

Vremenska ovisnost operatora gustoće čestica ili bilo kojeg drugogoperatora, može se izračunati iz komutatora s Hamiltonijanom:

∂

∂tρ(~r) = − ı

~[ρ,H]

Dobiveni rezultat može prikazati kao divergencija vektorskog polja,iz kojeg iščitavamo da je operator gustoće struje:

~j(~r) =~

2m ı

(

ψ†~∇ψ − (~∇ψ†)ψ)

Redefinicija vakuuma - FERMIONI

U Fockovom prostoru stanja, pogodno je redefinirati vakuum zasvaki potprostor konstantnog broja čestica kao stanje najnižeenergije tj. osnovno stanje sustava čestica.

U slučaju nemeđudjelujućih fermiona osnovno stanje je ono u kojemsvi fermioni popunjavaju jednočestična energijski najniža kvantnastanja do neke granične energije, Fermijeve energije, kojarazdvaja popunjena i prazna stanja.

Možemo uvesti i oznaku za tako definirani vakuum:

|FV >=

∏

Eαi<EF

C †αi

|0 >

Redefiniranje fermionskih operatora stvaranja i uništenja

U slučaju ovako definiranog vakuuma pogodno je uvesti nove

operatore stvaranja i uništenja, kao:

Bα =

{Cα ako je Eα > EF

C†α ako je Eα < EF

B†α =

{

C†α ako je Eα > EF

Cα ako je Eα < EF

za koje vrijedi:

Bα|FV >= 0

Pobuđeno stanje ovako definiranog vakuuma su parovičestica-šupljine koji se dobiju:

|αβ >= B†αB

†β|FV > gdje je Eα > EF > Eβ

Redefiniranje fermionskih operatora stvaranja i uništenja

◮ Čestice energije manje od Fermijeve zovemo šupljinama, dok onekoje imaju veću energiju od Fermijeve i dalje nazivamo česticama.

◮ U sustavu s novo definiranim vakuumom nema sačuvanja brojačestica.

◮ Međutim, broj čestica i šupljina izjednačen.

◮ Svako pobuđeno stanje |FV > se može promatrati kao je izvjestanbroj pobuđenih čestica i isti broj pobuđenih šupljina.

|α1α2 . . . αnβ1β2 . . . βn >=∏

αi

B†α

∏

βj

B†β |FV > (Eαi

> EF > Eβj)

Operatori polja

Operatori polja sadrže stanja energije veće i manja od Fermijeveenergije:

φ(~r) =∑

Eα<EF

ψα(~r)Cα +∑

Eα>EF

ψα(~r)Cα

=∑

Eα<EF

ψα(~r)B†α +

∑

Eα>EF

ψα(~r)Bα

= φ−(~r) + φ+(~r)

gdje su uvedene ove oznake:

φ−(~r) =∑

Eα<EF

ψα(~r)B†α

φ+(~r) =∑

Eα>EF

ψα(~r)Bα


Hamiltonijan:

H =p2

2 m+

mω2x2

2gdje je

ω =

√

k

mfrekvencija titranja HO

Kao rješenja Schödingerove jednadžbe dobivaju se valne funkcije:

φn(x) =1

√

2nn!√π

exp(

−m ω x2

2~

)

Hn

(√m ω

~x

)

s energijama:

En = ~ ω

(

n +12

)

gdje je n = 0, 1, 2, . . .


Uvedimo slijedeće operatore:

a =

√m ω

2 ~x +

√

~

2 m ω

d

dx=

√m ω

2 ~x +

ı√2 m ω ~

p

a† =

√m ω

2 ~x −

√

~

2 m ω

d

dx=

√m ω

2 ~x − ı√

2 m ω ~p

Odnosno, operatori položaja i impulsa:

x =

√

~

2 m ω

(

a† + a)

p = ı

√

m ω ~

2

(

a† − a)


Operatori imaju svojstvo:

a φn(x) =√

n φn−1(x)

a†φn(x) =√

n + 1 φn+1(x)

stvaranja stanje nižeg i višeg kvantnog broja.Operator Hamiltonijana može se zapisati kao:

H = ~ω

(

a†a +12

)

◮ Operatori a i a† ponašaju se kao operatori stvaranja i uništenjabozonskih čestica.

◮ Kvantni broj HO može se tretirati kao broj čestica.◮ To nisu prave čestica čiji je broj sačuvan. Stoga ih nazivamo

kvazičesticama.◮ Razlika između pravih čestica i kvazičestica nije oštra, jer i

prave čestice mogu nestati ili nastati u raznim procesima.

Koherentno stanja HO

U analogiji s bozonskim n-čestičnim stanjem, kvantno stanje HO un-tom kvantnom stanju, odnosno s n kvazičestica:

|n >= (a†)n√n!

|0 >

Postoje li vlastiti vektori i vlastite vrijednosti operatora stvaranja?

a |z >= z |z >

Neka se takvo stanje može raspisati po vlastiti stanjimaHamiltonijana:

|z >=∑

n

γn|n >

Iz pretpostavke da je to vlastiti vektor operatora uništenja slijedi:√

n γn = z γn−1.

Rastegnuti harmonički oscilator

Ako na HO djelujemo konstantnom vanjskom silom, ravnotežnavrijednost položaja bit će različita od 0:

H =p2

2 m+

m ω2x2

2− f x =

p2

2 m+

m ω2(x − x0)2

2− f 2

2 m ω2

gdje je

x0 =f

mω2

Osnovno stanje i viša pobuđena stanja rastegnutog HO moguće jeprikazati kao linearnu kombinaciju vlastitih stanja nerastegnutogHO. Npr, osnovno stanje:

φ0(x − x0) = e−x0∂xφ0(x) = exp(

−x0

√m ω

2~(a − a†)

)

φ0(x)

Rastegnuti harmonički oscilator

Služeći se identitetom:

eαa+βa† = eβa† eαa e0.5αβ

koji vrijedi za operatore čiji je komutator broj, osnovno stanje rastegnutogHO može se zapisati kao:

φ0(x − x0) = exp(

−m ω x20

2~

)

exp(

x0

√mω

2~a†)

exp(

−x0

√mω

2~a

)

φ0(x)

= exp(

−m ω x20

2~

)

exp(

x0

√mω

2~a†)

φ0(x)

= < x |z > (koherentno stanje)

gdje je:

z = x0

√mω

2~

Napomena: Koherentna stanja za fermione zahtijevaju uvođenje specijalnihbrojeva koji antikomutiraju (Grassmannova algebra).

« Napredna kvantna ﬁzika » Ivo Batistić -...

Documents

Transcript of « Napredna kvantna ﬁzika » Ivo Batistić -...