รวบรวมโดย ::[MoDErN SnC®]:: ฉบับหนังสือออนไลน...

รวบรวมโดย... ::[MoDErN_SnC®]:: ฉบบหนงสอออนไลนบน http://www.thai-mathpaper.net

ระบบจานวนจรง

Real Number System ฉบบหนงสอออนไลน http://www.thai-mathpaper.net จดทาเสรจสน วนท 26 สงหาคม 2549 รวบรวมและเรยบเรยงโดย นายศภณฐ ชยด , นามปากกา ::[MoDErN_SnC®]::

คานา หนงสอออนไลนเรอง ระบบจานวนจรง เปนเอกสารทรวบรวมเนอหาวชาคณตศาสตร สอดคลองกบหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พ.ศ.2544 ในชวงชนท 4 ภายในเอกสารประกอบไปดวยเนอหาภาคบรรยาย และมตวอยางจานวนหลายขอเพอใหผศกษาเกดความเขาใจในเนอหาเรองระบบจานวนจรง ซงเปนพนฐานในการเรยนคณตศาสตรเรองตอ ๆ ไป นอกจากนน ผจดทาจดรปแบบใหอานไดงาย ซงเนอหาสาระไดรวบรวมจากเอกสารตาง ๆ หลายๆ แหลงขอมลทเชอถอได เพอใหขอมลเกดความสมบรณมากทสด และเกดประโยชนตอการศกษาสงสด ซงไดมงเนนกระบวนการการใหเหตผลและการพสจนทางคณตศาสตร อนเปนพนฐานของการศกษาคณตศาสตรขนสงตอไป ซงเอกสารชดนไดรวบรวมมาตงแตป 2548 โดยผานการใชงานในการสอนรนนองมา 2 ปการศกษา และไดมการปรบปรงมาโดยตลอด จนไดเอกสารทสาเรจชดน ผจดทาคาดหวงวา หนงสอดงกลาวจะกอเกดประโยชนสงสดแกผศกษาทกทาน อนง เอกสารฉบบนเผยแพรเพอประโยชนการศกษาเทานน ไมอนญาตใหทาเพอการคาหรอทางพาณชย หากเอกสารฉบบนมขอบกพรองประการใด กขออภยมา ณ.ทนดวย และสามารถแจงขอผดพลาดเพอนาไปแกไขตอไปไดผานทาง E-mail Address : [email protected] จกเปนพระคณอยางยง คณงามความดของหนงสอเลมน ขอมอบใหแกบดา มารดา ครอาจารย ญาตสนทมตรสหายทกทาน นายศภณฐ ชยด 26 สงหาคม 2549

สารบญ เรอง หนา

1. ประวตความเปนมาของจานวนจรง 1 - ประวตความเปนมา 1 - แผนผงของระบบจานวนจรง 2

2. จานวนตรรกยะ 2 3. จานวนอตรรกยะ 4 4. สมบตของระบบจานวนจรง 5

- การเทากนในระบบจานวนจรง 5 - สมบตของศนย 6 - การบวกและการคณในระบบจานวนจรง 8 - การลบและการหารในระบบจานวนจรง 12 - แบบทดสอบ ระบบจานวนจรง 15 - การสรางตวดาเนนการของระบบจานวนจรง 16 - ตวอยางขอสอบ 18

5. พหนาม 20 - พหนามและการแยกตวประกอบ 20 - ทฤษฎบทเศษเหลอ 20 - ทฤษฎบทตวประกอบ 21 - ทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ 23 - การหารสงเคราะห 23 - สมการพหนาม 26 - สมการพหนามกาลงสอง 26 - สมการพหนามดกรมากกวาสอง 27 - ความสมพนธระหวางรากของพหนาม 28 - สมการพหนามทมความซบซอนมากยงขน 30 - ตวอยางขอสอบ 34

6. สมบตของการไมเทากน 35 - สมบตไตรวภาค และสมบตการไมเทากน 36

7. ชวงและการแกอสมการ 41 - ชวง 41 - การแกอสมการ 42 - การแกอสมการโดยอาศยวงเลบ 48 - ตวอยางขอสอบ 50

8. คาสมบรณของจานวนจรง 52 - สมบตพนฐานของคาสมบรณ 52 - การแกสมการคาสมบรณ 53 - การแกอสมการคาสมบรณ 56 - ตวอยางขอสอบ 58

9. สจพจนความบรบรณ 60 10. บรรณานกรม 63

คา π เปนจานวนอตรรกยะ คาประมาณ 3.14 หรอ ประมาณ22

7

ระบบจานวนจรง : Real Number System หนาท 1

-- For Educational Purpose only. Not for commerce – by…Supanut Chaidee ::[MoDErN_SnC®]::

[ ระบบจานวนจรง : Real Number System ]

¤ÇÒÁe» �¹ÁÒ¢o§¨íÒ¹Ç¹¨Ãi§

เมอกลาวถงระบบจานวนจรง เราคงจะทราบวา ระบบจานวนจรงมววฒนาการตาง ๆ มาชานาน ตงแตจานวนนบ หรอทเราเรยกวาจานวนธรรมชาต ซงกเคยไดศกษากนตงแตเกดมาแลว เมอศกษาถงระดบประถมศกษาตอนปลายกเรมรจกกบเศษสวน ทศนยม อตราสวนและรอยละ เมอเตบโตขนมาจนถงชนมธยมศกษา กเรมเรยนรระบบจานวนทเปนจานวนเตมลบ และจดแบงจานวนเหลานเปนระบบยอย และเรากยงรจกกบจานวนอตรรกยะซงเขยนอยในรปเศษสวนไมไดอกดวย จานวนธรรมชาต อาจหมายถง จานวนเตม บวก (1, 2, 3, 4, ...) หรอ จานวนเตมไมเปนลบ (0, 1, 2, 3, 4, ...) จานวนธรรมชาตมการใชงานหลกอยสองประการ กลาวคอเราสามารถใชจานวนธรรมชาตในการนบ ("มสมอย 3 ผลบนโตะ") หรอเราอาจใชสาหรบการจดอนดบ ("เมองนเปนเมองทมขนาดใหญเปนอนดบท 3 ในประเทศ") จานวนเตม ประกอบไปดวยจานวนธรรมชาต (1, 2, 3, …) จานวนลบ (-1, -2, -3, ...) และจานวนศนย เซตของจานวนเตมมกเขยนอยในรป Z (หรอ ในรปตวใหญบนกระดานดา ), ซงมาจากคาวา Zahlen (ภาษาเยอรมน). สาขาของคณตศาสตรทศกษาเกยวกบระบบจานวนเตมนคอ ทฤษฎจานวน ในทางคณตศาสตร, จานวนตรรกยะ (หรอเศษสวน) คออตราสวนของจานวนเตมสองจานวน มกเขยนอยในรป

เศษสวน a

b เมอ a และ b เปนจานวนเตม และ b ไมเทากบศนย

จานวนตรรกยะแตละจานวนสามารถเขยนไดในรปแบบทหลากหลาย ตวอยางเชน 3

6=

2

4=

1

2รปแบบทเรยกวา

เศษสวนอยางตา a และ b นน a และ b จะตองไมมตวหารรวม และจานวนตรรกยะทกจานวนสามารถเขยนไดในรปเศษสวนอยางตาน ทศนยม เปนรปแบบทแผขยายออกมา และตอเนองไปเรอยๆ อยางไมมทสนสด (ยกเวนกรณซาศนย เราสามารถละ โดยไมตองเขยนได) ขอความนเปนจรงสาหรบจานวนตรรกยะทกจานวน จานวนจรงทไมใชจานวนตรรกยะ เรยกวา จานวนอตรรกยะ ในทางคณตศาสตร "...ตรรกยะ" หมายถง เราจากดขอบเขตใหอยในระบบจานวนตรรกยะเทานน เชน พหนามตรรกยะ เซตของจานวนตรรกยะทงหมดเราใชสญลกษณ Q หรอตวใหญบนกระดานดา โดยใชเซตเงอนไข ไดดงน (ตว มาจากคาวา Quotient คอ เปนผลหารนนเอง)

m

: m , n , n 0n

⎧ ⎫= ∈ ∈ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

จานวนจรง คอ เซตของจานวนทเกดจากการนาเซตของจานวนตรรกยะ มารวมกนกบเซตของจานวนอตรรกยะ

จานวน (number) คอวตถนามธรรมทใชสาหรบอธบายปรมาณ จานวนมหลายแบบ จานวนทเปนทคนเคยกคอ

จานวนธรรมชาต : Natural Number (อาจเรยกวาจานวนเตมบวก : Positive Integer, จานวนนบ : Counting Number) {1,2,3,...} ในหลายครงอาจจดให 0 เปนจานวนธรรมชาตดวย เขยนแทนดวยสญลกษณ

ถาเรายอมใหมจานวนเตมลบ : Negative Integer เราจะได จานวนเตม หรอทเขยนแทนดวย อตราสวนระหวางจานวนเตมเรยกวา จานวนตรรกยะ : Rational Number หรอเศษสวน โดยทเซตของจานวนตรรกยะทงหมดเขยนแทนดวย

ในการแสดงจานวนดวยระบบตวเลขทศนยม ถาเรารวม จานวนทมจานวนหลกไมจากดและไมจาเปนตองมการซากนของทศนยม เขาไปดวย เราจะไดจานวนจรง : Real Number หรอ

จานวนจรงทไมเปนจานวนตรรกยะเรยกวา จานวนอตรรกยะ : Irrational Number ′ จานวนจรงสามารถขยายเปน จานวนเชงซอน : Complex Number เปนการขยายการหาคาตอบทไดจากสมการพชคณตททก ๆ พหนาม ทมสมประสทธเปนจานวนเชงซอน เพอใหสามารถแยกตวประกอบไดอยางสมบรณ

จานวนเชงซอนทเปนรากหรอคาตอบของสมการพหนาม ทมสมประสทธเปนจานวนตรรกยะ เรยกวา จานวนเชงพชคณต จานวนเชงซอนทไมใชจานวนเชงพชคณตเรยกวา จานวนอดศย : transcendental number



ทศนยมไมรจบไมซา จดอยในจานวนอตรรกยะ ในทนตองการจดกลมกบทศนยมจงอยในกลมอตรรกยะ

¨íÒ¹Ç¹µÃÃ¡Âa จากจานวนนยามของจานวนตรรกยะ เราพบวา มระบบจานวนยอยทเกยวของกบจานวนตรรกยะ ดงน - จานวนเตม : Integer ไดแก {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

- เศษสวน : Fraction เชน 3 22 14 2, , , 3 , ...

2 7 9 3 เปนตน

การเขยนเศษสวน เราจะเขยนเศษสวนใหอยในรปเศษสวนอยางตา (Lowest term) กรณทตวเศษมากกวาตวสวน เราจะเรยนในรปเศษเกน - ทศนยม : Decimal เชน 3.2, 4.223, 1.0, 3.010203..., 0.3 เปนตน

เราสามารถแบงทศนยมเปน 2 กลมใหญ ๆ คอ 1. ทศนยมรจบ เชน 3.2, 2.4 เปนตน 2. ทศนยมไมรจบ ซงสามารถแบงทศนยมไมรจบเปนอก 2 กลม คอ

ทศนยมไมรจบแตซา : Repeating Decimal ทศนยมไมรจบและไมซา : Non-Repeating Decimal เราสามารถเขยนทศนยมในรปเศษสวนได โดยขอบเขตเฉพาะทศนยมรจบ และทศนยมทไมรจบแตซา ในทานองกลบกน เราสามารถเขยนเศษสวนใด ๆ ใหเปนทศนยมได

จานวนเชงซอน

จานวนจรง จานวนจนตภาพ

จานวน อตรรกยะ

จานวน ตรรกยะ

จานวนเตม จานวนไมเตม

จานวนเตมบวก จานวนเตมลบ จานวนเตมศนย เศษสวน ทศนยม

ทศนยมรจบ ทศนยมไมรจบ

ทศนยมไมรจบแบบซา

ทศนยมไมรจบไมซา



การเปลยนทศนยมซาเปนเศษสวน ทาไดโดยการแกระบบสมการ ดงตวอยาง ตวอยาง : จงเปลยนทศนยมซา 0.11111... ใหเปนเศษสวน วธทา กาหนดให x = 0.111111... -----

คณ 10 ทงสมการ จะไดวา 10x = 1.11111... -----

- 9x = 1

x = 1

9

ดงนน เศษสวนของ 0.111... คอ 1

9

ตวอยาง : จงเปลยนทศนยมซา 0.25252525... ใหเปนเศษสวน วธทา กาหนดให x = 0.25252525.... -----

คณ 100 ทงสมการ จะไดวา 100x = 25.25252525... -----

- 99x = 25

x = 25

99

ดงนน เศษสวนของ 0.252525… คอ 25

99

จากวธทาดงกลาว จงอาจสงเกตความสมพนธ และสรปออกมาเปนสตรไดวา

เมอ n คอ จานวนของตวเลขหลงจดทศนยมทไมซา

แบบฝกหดท 1 จงเปลยนทศนยมซาตอไปนใหเปนเศษสวน

1. 0.42 2. 5.42 3. 14.0310 4. 38.9 5. 48.025 6. 37.24

เศษ ตวเลขหลงจดทศนยมทงหมด – ตวเลขทรจบ

สวน 9 ซงมจานวนเทากบทศนยมทไมรจบ × 10n =



¨íÒ¹Ç¹oµÃÃ¡Âa จานวนอตรรกยะ เปนทศนยมทไมรจบและไมซา ทาใหเราไมสามารถทราบคาทแนนอนได ดงนน ในการใชคาของมน จงใชเพยงแคคาประมาณของมนเทานน เชน

. , . , .2 1 414 3 1 732 5 2 236≈ ≈ ≈ , . ...3 14159265π = , . ...e 2 7182818= คาประมาณของมนเราใชตามทเราตองการวากหลก (สวนใหญจะใช 3 หลก) กรณทเราตองการคาของรากตาง ๆ เรายงสามารถใชเครองคดเลขวทยาศาสตรเปนเครองมอชวยคดคานวณไดดวย โดยปจจบนสามารถหาเครองคดเลขวทยาศาสตรทราคาถกไดแลว

สาหรบคา π ทเทากบ 22

7 นน เปนเพยงแคคาประมาณเทานนเพอใหชวยในการคานวณสะดวกขน.

อนง เทคโนโลยปจจบนเกอหนนใหมการหาความรทางคณตศาสตรเพมมากขน มความพยายามทจะหาคาของ π ทเปนทศนยมรจบ ผสนใจลองไปดไดทเวบไซต http://3.14.maxg.org/pi/pi2.html ได การแสดงคารากทสองบนเสนจานวน

อาศยเสนจานวนและทฤษฎบทปทากอรสเขาชวย โดยเรมตน เรมสราง 1 หนวย โดยดานประกอบมมฉากอกดานหนงยาว 1 หนวยเสมอ จะไดดานตรงขามมมฉาก ใชวงเวยนลากตดเสนจานวน

-0.5 0.5 1 1.5 2 2

E: (2.00, 0.00)

1 หนวย

D: (1.73, 0.00)

1 หนวย

1 หนวย

C: (1.41, 0.00)EDC

B'

A B

พบวา จากการสรางเปนรปขดหอย แสดง Fractal (รปเรขาคณตสาทสรป) ความรเสรม รปเรขาคณตสาทสรป คอ วตถทางเรขาคณต ทมคณสมบต self-similar คอ ดเหมอนกนไป หมด

(เมอพจารณาจากแงใดแงหนง) ไมวาจะดทระดบความละเอยด (โดยการสองขยาย) หรอ สเกลใด ๆ กตาม นอกเหนอจากจานวนจรงแลว ยงมจานวนอกจานวนหนงซงไมเปนจานวนจรง เชนจานวนทเปนคาตอบของสมการ

2x 1= − จานวนเหลานมขอแตกตางไปจากจานวนจรงประการหนง คอ ไมมลาดบความมากนอย กลาวคอ ไมสามารถบอกไดวาจานวนนมากหรอนอยกวาจานวนนน เซตของจานวนดงกลาวนเมอนามายเนยนกบเซตของจานวนจรงจะไดเซตทเรยกวา เซตของจานวนเชงซอน ( Complex Numbers )

โดยเราจะกาหนดนยามไววา 1 i− = สาหรบรายละเอยดจะกลาวในเรองจานวนเชงซอนตอไป



ÊÁº aµi¢o§Ãaºº¨íÒ¹Ç¹¨Ãi§ การเทากนในระบบจานวนจรง คณสมบตเหลานเปนจรงโดยไมตองพสจน กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ

1. สมบตการสะทอน (Reflexive Property) a = a

2. สมบตการสมมาตร (Symmetric Property) ถา b = a แลว a = b

3. สมบตถายทอด (Transitive Property) ถา a = b และ b = c แลว a = c

4. สมบตการแทนคา (Substitution Property) ถา a = b แลว จะสามารถแทน a ดวย b ในขอความทเกยวของกบ b ได

5. สมบตการบวกดวยจานวนทเทากน (Addition Property of equality) ถา a = b แลว a + c = b + c

6. สมบตการคณดวยจานวนทเทากน (Multiplication Property of equality) ถา a = b แลว ac = bc

ตวผกผน (อนเวอรส) และเอกลกษณ

เอกลกษณการบวก ในระบบจานวนจรง เรยกจานวนจรงทมคณสมบตวา เมอบวกกบจานวนใดๆ แลว ไดผลลพธเปนจานวนจรงจานวนนนวา “เอกลกษณการบวก” 5 + = 5 24 + = 24 -7 + = -7

-36 + = -36 0 + = 0 1

4 + =

1

4

(x+y) + = (x+y) จานวน ( ) คอ ……… ซงเราจะเรยกวาเปน “เอกลกษณการบวก” นนเอง

อนเวอรสการบวก ในระบบจานวนจรง “อนเวอรสการบวก”ของจานวนจรงจานวนใด หมายถง จานวนจรงจานวนหนงซงบวกกบจานวนจรง

จานวนนน จะมผลลพธ เทากบ เอกลกษณการบวก 5 + = 0 อนเวอรสการบวกของ 5 คอ - 5 -7 + = 0 อนเวอรสการบวกของ -7 คอ 7 0 + = 0 อนเวอรสการบวกของ 0 คอ …………. 1

4 + = 0 อนเวอรสการบวกของ

1

4 คอ ………….

(x+y) + = 0 อนเวอรสการบวกของ (x+y) คอ …………. เอกลกษณการคณ

ในระบบจานวนจรง เรยกจานวนจรงทไมเทากบศนย ซงมคณสมบตวาเมอคณกบจานวนจรงจานวนใดกตาม ผลคณจะเทากบจานวนจรงจานวนนนวา เอกลกษณการคณ 5 × = 5 24 × = 24 -7 × = -7 -36 × = -36

0 × = 0 1

4× =

1

4

(x+y) × = (x+y) จานวน ( ) คอ ……… ซงเราจะเรยกวาเปน “เอกลกษณการคณ” นนเอง



อนเวอรสการคณ ในระบบจานวนจรง อนเวอรสการคณของจานวนจรง 0≠a หมายถง จานวนจรงทคณกบ a แลวไดผลลพธเทากบ 1 ( เอกลกษณการคณ )

5 × = 1 อนเวอรสการคณของ 5 คอ 1

5

24 × = 1 อนเวอรสการคณของ 24 คอ 1

24

-7 × = 1 อนเวอรสการคณของ -7 คอ …………. -36 × = 1 อนเวอรสการคณของ -36 คอ …………. 0 × = 1 อนเวอรสการคณของ 0 คอ ………….

1

4× = 1 อนเวอรสการคณของ

1

4 คอ ………….

(x+y) × = 1 อนเวอรสการคณของ (x+y) คอ …………. สมบตของศนย กาหนดให a เปนจานวนจรงใด ๆ

1. a⋅0 = 0

2. 0

a = 0 ; a ≠ 0

3. 0n = 0 ; n ∈ + 4. a + a = a ; a = 0 เทานน 5. a + 0 = a = 0 + a

6. a

0 ไมนยาม

7. 00 ไมนยาม

8. 0

0 ไมนยาม

9. อนเวอรสการบวกของ 0 คอ 0 10. อนเวอรสการคณของ 0 คอ ไมม

เพราะเหตใดจงไมใชศนยเปนตวหาร ? กาหนดให a ≠ b

สมมตวา a

0 หาคาได และ

a

0 = x ……………………..(1)

ในทานองเดยวกน สมมตวา b

0 หาคาได และ

b

0 = y ……………………..(2)

จาก (1) จะไดวา a = 0⋅x a = 0 จาก (2) จะไดวา b = 0⋅y b = 0 ดงนน a = b ซงขดแยงกบทกาหนดไวตอนแรก ดงนน ไมใช 0 เปนตวหาร

การพสจนรปแบบนเรยกวา การพสจนแบบหาขอขดแยง จะไดศกษาอยางละเอยดในภายหลง



จบผดคณตศาสตร นายบอยตองการพสจนใหเหนวา 1 = 2 เขาจงเขยนพสจนดงน สมมตให A = B A = B B2 = AB ∵ A = B A2 – B2 = A2 – AB (A + B)(A – B) = A(A – B) หารดวย A – B ทงสองขาง (A + B) = A 2A = A ∵ A = B 2 = 1

ขอนนายบอยพสจนถกหรอไม หากไมถกตองแลว เขาพสจนผดในสวนใด? สงยคของกรณฑ กอนทจะรจกสงยค ขอใหทาความรจกกบกรณฑเสยกอน ซงนยามและความหมายเราคงจะทราบกนดมาพอสมควรแลว สาหรบรายละเอยดจะกลาวอกครงหนงในเรอง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ สมบตของกรณฑ

1. n na a= เมอ n เปนจานวนเตมค

2. n na a= เมอ n เปนจานวนเตมค

3. a จะหาคาไดกตอเมอ a ≥ 0

4. ab a b= × กตอเมอ a,b ≥ 0

5. a a

b b= กตอเมอ a ≥ 0, b > 0

6. n 1 1 = จงพจารณาขอความตอไปนเปนจรงหรอเปนเทจ กาหนดเอกภพสมพทธเปนจานวนจรง

.............. 1. 27 7=

.............. 2. 2( 8) 8− = −

.............. 3. 3 8 2− = −

.............. 4. 4 45 5− =

.............. 5. 88 ( 3) 3− =

.............. 6. ( 2)( 7) 2 7− − = − × −

.............. 7. 2x x=

.............. 8. 2(1 x) 1 x− = −

.............. 9. 8 8

2 2

− −=

− −

.............. 10. 2if x 5 then x 5= =



สงยคของกรณฑ (Conjugate) สงยคของ a + b คอ a - b สงยคของ a - b คอ a + b ตวอยางเชน

สงยคของ 5 3− คอ ..................................................

สงยคของ 2 3 2+ คอ ..................................................

สงยคของ 2 7− − คอ ..................................................

สงยคของ 4 8+ คอ ..................................................

สงยคของ 3 2 3 5− + + คอ ..................................................

สงยคของ 2 5 2 3 7− + คอ .................................................. สงยคของ 8 คอ .................................................. สงยคของ 11− คอ .................................................. สงยคนนมประโยชนในการทาใหสวนไมตดกรณฑ โดยการคณกรณฑทงเศษและสวน ขอใหพจารณาตามตวอยาง

ตวอยาง 15

2 =

15 2

2 2× =

15 2

2

3

2 3− =

3 2 3

2 3 2 3

+×

− +

= 2 2

3( 2 3)

( 2) ( 3)

+−

= 3( 2 3)

4 3

+−

= 3 2 3 3+

หากตวสวนเปน 3 พจน เราตองเลอกจดกลมใหเหมาะสม ซงจะกลาวอกครงในเรอง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ การบวกและการคณจานวนจรง ระบบจานวนจรงประกอบดวยเซตของจานวนจรง กบการบวกและการคณ ซงมสมบตดงน กาหนดให a,b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ

สมบต การบวก การคณ ปด 1. a + b ∈ 2. ab ∈ การสลบท 3. a + b = b + a 4. ab = ba การเปลยนหม 5. (a + b) + c = a + (b + c) 6. (ab)c = a(bc) การมเอกลกษณ 7. มจานวนจรง 0 ซง 0 + a = a = a + 0 8. มจานวนจรง 1, 1 ≠ 0 ซง 1⋅a = a = a⋅1 การมอนเวอรส

9. สาหรบ a จะมจานวน –a โดยท (-a) + a = 0 = a + (-a) เรยก –a วา อนเวอรสการบวก หรอ ตวผกผนการบวกของ a

10. สาหรบ a ทไมเปน 0 จะมจานวนจรง a-1 โดยท a-1⋅a = 1 = a⋅ a-1 เรยกวาอนเวอรส การคณหรอตวผกผนการคณของ a

การแจกแจง a(b + c) = ab + ac เซตใดทมคณสมบตครบทง 11 ขอเราจะเรยกวา ฟลด (Field) หรอ สนามของเซตนน

ซงจากสมบตดงกลาว สามารถนามาสรปทฤษฎบทตอไปนได



ทฤษฎบทท 1 กฎการตดออกสาหรบการบวก เมอ a, b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ

(i) ถา a + c = b + c แลว a = b (ii) ถา a + b = a + c แลว b = c

พสจน (i) a + c = b + c กาหนดให - c + (a + c) = - c + (b + c) การบวกดวยจานวนทเทากนทางซายมอ (- c + c) + a = (- c + c) + b การเปลยนกลมการบวก 0 + a = 0 + b อนเวอรสการบวก a = b เอกลกษณการบวก (ii) พสจนในทานองเดยวกนกบขอ (i) .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ขอสงเกต ในการใหเหตผลประกอบการพสจน พยายามเขยนใหละเอยด เชนการบวกดวยจานวนทเทากน ตองระบวา

ทางขวาหรอทางซาย ถงแมวาคณทางไหนกจะไมเปลยนผลไป เพราะหากศกษาในเรองอน ๆ เชน เมตรกซ หรอความสมพนธ หากสลบทกน ความหมายจะเปลยนไปทนท

ทฤษฎบทท 2 กฎการตดออกสาหรบการคณ เมอ a, b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ

(i) ถา a⋅c = b⋅c และ c ≠ 0 แลว a = b (ii) ถา a⋅b = a⋅c และ c ≠ 0 แลว b = c

พสจน (i) a⋅c = b⋅c กาหนดให c-1 (a⋅c) = c-1 (b⋅c) การคณดวยจานวนทเทากนทางซายมอ (c-1⋅c) ⋅a = (c-1⋅c) ⋅b การเปลยนกลมการคณ 1⋅a = 1⋅b อนเวอรสการคณ a = b เอกลกษการคณ (ii) พสจนในทานองเดยวกนกบขอ (i) .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ทฤษฎบทท 3 เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ แลว a⋅0 = 0 พสจน 0 + 0 = 0 เอกลกษณการบวก a(0 + 0) = a⋅0 การคณดวยจานวนทเทากนทางซายมอ (a⋅0) + (a⋅0) = a⋅0 การแจกแจง (a⋅0) + (a⋅0) = a⋅0 + 0 เอกลกษณการบวก (a⋅0) = 0 การตดออกการบวก ทฤษฎบทท 4 เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ แลว (-1)a = -a พสจน 1 + (-1) = 0 อนเวอรสการบวก a⋅ [1 + (-1)] = a⋅0 การคณดวยจานวนทเทากนทางซายมอ [a⋅1] + [a⋅(-1)] = a⋅0 การแจกแจง a + a⋅(-1) = a⋅0 เอกลกษณการคณ a + a⋅(-1) = 0 จากทฤษฎบทท 3 a + a⋅(-1) = a + (-a) อนเวอรสการบวก a⋅(-1) = -a การตดออกการบวก (-1)⋅a = -a การสลบทการคณ



ขอสงเกต เราสามารถใชทฤษฎบทกอนหนามาอางองเพมเตมได ตงแตทฤษฎบทท 5 เปนตนไป ใหผอานลองพสจนเปนแบบฝกการใหเหตผล ทฤษฎบทท 5 เมอ a,b เปนจานวนจรงใด ๆ ถา ab = 0 แลว a = b หรอ b = 0 พสจน 1. ถา a = 0 แลว ab = 0 2. ถา a ≠ 0 ∴ a-1 ∈R เมอ a ∈R

a⋅b = 0 ………………………………………… a-1(a⋅b) = a-1⋅0 ………………………………………… (a-1⋅a) ⋅b = a-1⋅0 ………………………………………… 1⋅b = a-1⋅0 ………………………………………… b = 0 ………………………………………… ทฤษฎบทท 6 เมอ a,b เปนจานวนจรงใด ๆ 1. a(- b) = -ab 2. (-a)b = -a⋅b 3. (-a)(-b) = ab พสจน 1. a(- b) = -ab (-1)a = -a ………………………………………… b[(-1)a] = b(-a) ………………………………………… [b(-1)]a = b(-a) ………………………………………… (-b)a = b(-a) ………………………………………… a(-b) = (-a)b ………………………………………… a(-b) = [(-1)a]b ………………………………………… a(-b) = (-1)[ab] ………………………………………… a(-b) = -(ab) …………………………………………

2. (-a)b = -ab พสจนในทานองเดยวกนกบขอ 1 .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ..................................................................................................................

3. (-a)(-b) = ab a + (-a) = 0 ………………………………………… (-b)[a + (-a)] = (-b) ⋅0 ………………………………………… (-b) ⋅a + (-b)(-a) = (-b) ⋅0 ………………………………………… -ba + (-b)(-a) = (-b) ⋅0 ………………………………………… -ab + (-a)(-b) = 0⋅ (-b) ………………………………………… -ab + (-a)(-b) = 0 ………………………………………… -ab + (-a)(-b) = ab + (-ab) …………………………………………

(-a)(-b) = ab ………………………………………… ทฤษฎบทท 7 เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ แลว –(- a) = a พสจน - (- a) = - (- a) + 0 ………………………………………… - (- a) = - (- a) + [(- a) + a] ………………………………………… - (- a) = [- (- a) + (- a)] + a ………………………………………… - (- a) = 0 + a …………………………………………

- (- a) = a …………………………………………



แบบฝกหดท 2 1. จงพสจนวา

1. (-1)(-1) = 1 2. ถา x + a = a แลว x = 0

ถา a + x = a แลว x = 0 3. ถา x + a = 0 แลว x = -a

ถา a + x = 0 แลว x = -a 4. a(b + c) = ab + ac 5. ถา x⋅a = a แลว x = 1

พสจน x⋅a = a ………………………………………… a-1(x⋅a) = a-1⋅a ………………………………………… x(a-1⋅a) = a-1⋅a ………………………………………… x⋅1 = 1 ………………………………………… x = 1 ………………………………………… ถา ax = a แลว x = 1 พสจนในทานองเดยวกนกบตอนบน พสจน ..................................................................................................................

.................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ..................................................................................................................

6. ถา x⋅a = 1 แลว x = a-1 พสจน x⋅a = 1 ………………………………………… (x⋅a)⋅a-1 = 1⋅a-1 ………………………………………… x(a-1⋅a) = 1⋅a-1 ………………………………………… x⋅1 = 1⋅a-1 ………………………………………… x = a-1 ………………………………………… ถา ax = 1 แลว x = a-1 พสจนในทานองเดยวกนกบตอนบน พสจน ..................................................................................................................

.................................................................................................................. .................................................................................................................. ..................................................................................................................

7. สาหรบจานวนจรง a ทกตวทไมเทากบศนย จะได (a-1)-1 = a พสจน a⋅a-1 = 1 …………………………………………

a = (a-1)-1 ………………………………………… 8. สาหรบจานวนจรง a,b ใด ๆ ซงไมเทากบ จะได (ab)-1 = a-1⋅b-1

พสจน 1⋅1 = 1 ………………………………………… (a⋅a-1)(b⋅b-1) = 1 ………………………………………… (a⋅b)(a-1⋅b-1) = 1 ………………………………………… (a-1⋅b-1) = (a⋅b)-1 …………………………………………

การพสจนในแบบฝกหด สามารถใชอางองกบการพสจนอน ๆ ได



พจารณาการใหเหตผลประกอบการหาผลบวกของจานวนตอไปน การหาผลบวกของ 3 + 3 หาไดจาก 3 + 3 = (2 + 1) + 3 3 = 2 + 1 = 2 + (1 + 3) การเปลยนกลมการบวก = 2 + 4 1 + 3 = 3 + 1 = 4 = 1 + (1 + 4) 2 = 1 + 1 และการเปลยนกลมการบวก = 1 + 5 1 + 4 = 4 + 1 = 5 = 1 + 6 1 + 5 = 5 + 1 = 6 ทเราตองเรมพสจนจาก 1 เพราะวา มนษยเรารจกจานวน 1 กอนเปนจานวนแรก การลบและการหารจานวนจรง บทนยามการลบ เมอ a และ b เปนจานวนจรงใดๆ a – b = a + (-b)

จากบทนยาม a – b คอผลบวกของ a กบอนเวอรสการบวกของ b นนเอง จากนยามการลบและสมบตของจานวนจรงทง 11 ขอ สามารถพสจนทฤษฎบทตอไปนได

ทฤษฎบทท 1 ถา a, b และ c เปนจานวนจรงแลว 1. a(b – c) = ab – ac 2. (a – b)c = ac –bc 3. (-a)(b – c) = -ab + ac พสจน 1. a(b – c) = ab – ac b – c = b + (-c) นยามการลบ

a(b – c) = a[b + (-c)] การคณดวยจานวนทเทากนทางดานซาย a(b – c) = ab + a(-c) การแจกแจง a(b – c) = ab + (-ac) ทฤษฎบทท 6 ขอ 4 a(b – c) = ab - ac นยามการลบ

2. (a – b)c = ac –bc พสจนในทานองเดยวกนกบขอ 1 .................................................................................................................. .................................................................................................................. ..................................................................................................................

3. (-a)(b – c) = -ab + ac พสจนในทานองเดยวกนกบขอ 1 .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. บทนยามการหาร เมอ a และ b เปนจานวนจรงใดๆ โดยท b ≠ 0

1aa b

b−= ⋅

จากบทนยาม a

b คอผลคณของ a กบอนเวอรสการคณของ b นนเอง

เนองจาก 1

b = 1(b-1) นยามการหาร

= b-1 เอกลกษณการคณ

จาก a

b = a⋅b-1 นยามการหาร

จะได a

b = a⋅

1

b นยามการหาร

ทฤษฎบทท 2 ถา a ≠ 0 จะได a-1 ≠ 0



ทฤษฎบทท 3 1.

a

b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

a

bc เมอ b, c ≠ 0

2. a

b =

ac


3. a c

b d+ =

a

bc เมอ b, d ≠ 0

4. a c

b d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ac

bd เมอ b, d ≠ 0

5. 1

b

c

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= c

b เมอ b, c ≠ 0

6. a

b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ac


7.

a

bc

d

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ad

bc เมอ b, c, d ≠ 0

พสจน 1. ( )a

b

c =

a


( )a

b

c =

1a b

c

−⋅ นยามการหาร

= (a⋅b-1) ⋅c-1 นยามการหาร = a⋅(b-1 ⋅c-1) การเปลยนกลมการคณ = a⋅(b⋅c)-1 แบบฝกหดท 2 ขอท 10

= a

bc นยามการหาร

2. a

b =

ac


ac

bc = (ac)(bc)-1 นยามการหาร

= (ac)(b-1⋅c-1) แบบฝกหดท 2 ขอท 10 = (a⋅b-1)(c⋅c-1) การเปลยนกลมการคณ = (a⋅b-1)⋅1 อนเวอรสการคณ = a⋅b-1 เอกลกษณการคณ

= a

b นยามการหาร

ตงแตขอท 3 ใหผอานลองพสจนดวยตนเอง



3. a c

b d+ =

a

bc เมอ b, d ≠ 0

ad bc

bd

+ = (ad + bc)⋅(bd)-1 …………………………………………

= (ad)⋅(bd)-1+ (bc)⋅(bd)-1 ………………………………………… = (ad)⋅(b-1d-1) + (bc)⋅(b-1d-1) ………………………………………… = (a⋅b-1)⋅(d⋅d-1) + (c⋅d-1)⋅(b⋅b-1) ………………………………………… = (a⋅b-1)⋅1 + (c⋅d-1)⋅1 ………………………………………… = (a⋅b-1) + (c⋅d-1) …………………………………………

= a c

b d+ …………………………………………

4. a c

b d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ac

bd เมอ b, d ≠ 0

a c

b d

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= (a⋅b-1)⋅(c⋅d-1) …………………………………………

= (a⋅c) ⋅(b-1⋅d-1) ………………………………………… = (a⋅c) ⋅(b⋅d)-1 …………………………………………

= ac

bd …………………………………………

5. 1

b

c

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= c


1

b

c

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= (b⋅c-1)-1 …………………………………………

= b-1(c-1)-1 ………………………………………… = b-1⋅c ………………………………………… = c⋅b-1 …………………………………………

= c

b …………………………………………

6. ( )bc

a =

ac


( )bc

a =

1

a

b c−⋅ …………………………………………

= a⋅(b⋅c-1) -1 ………………………………………… = a⋅b-1⋅(c-1)-1 ………………………………………… = a⋅b-1⋅c ………………………………………… = a⋅c⋅b-1 ………………………………………… = (a⋅c)⋅b-1 …………………………………………

= ac

b …………………………………………



7. ( )( )

ab

cd

= ad

bc เมอ b, c, d ≠ 0

( )( )

ab

cd

= 1

1

a b

c d

−

−

⋅⋅

…………………………………………

= (a⋅b-1) ⋅(c⋅d-1)-1 ………………………………………… = (a⋅b-1) ⋅(c-1⋅d) ………………………………………… = (a⋅ d) ⋅( b-1⋅c-1) ………………………………………… = (a⋅ d) ⋅( b⋅c) -1 …………………………………………

= ad

bc …………………………………………

แบบทดสอบเรอง สมบตของระบบจานวนจรง ตอนท 1 ใหเหตผลการพสจน : อภชญาภาไดโพยมาจากเทวดาองคหนง ซงเทวดาไดใหแตเหตผลการพสจน กบ

ขอความเพยงบางขอ ใหเตมขอความทขาดหายไป แลวบอกวา การพสจนน พสจนทฤษฎอะไร เมอกาหนดตวแปร เปน a และ b เพยงสองตวเทานน

a + (-a) = 0 อนเวอรสการบวก ....................................................................... การคณดวยจานวนทเทากนทางดานซาย ....................................................................... แจกแจง - ba + (-b)(-a) = (-b)⋅0 ....................................................................... ....................................................................... การสลบทการคณ ....................................................................... ทฤษฎบทขอท 3 ....................................................................... อนเวอรสการบวก ....................................................................... การตดออกการบวกทางดานซาย สรป ทฤษฎบทน กลาวไววา........................................................................................................... ตอนท 2 จบผดคณตศาสตร : ใหเตมเหตผลโดยใชสมบตของระบบจานวนจรง ถาผดทบรรทดใดใหหยดพสจนทบรรทด

นน แลวใหเหตผลทบรรทดนนวา ผดตรงไหนเพราะอะไร....หลงจากบรรทดทอธบายเหตผล ใหทาเครองหมาย “-“ จนสนสดการพสจน

นายบอบตองการพสจนใหเหนวา 0 = 2 โดยเขาสมมตให a = b ขอความ เหตผล

1. a = b 2. a - b - 2 = a - b - 2 3. a(a - b - 2) = b(a - b - 2) 4. a2 - ab - 2a = ab - b2 - 2b 5. a2 - ab - 2a + 2a = ab - b2 - 2b + 2a 6. a2 - ab + (- 2a + 2a) = ab - b2 - 2b + 2a 7. a2 - ab + 0 = ab - b2 - 2b + 2a 8. a2 - ab = ab - b2 - 2b + 2a 8. a2 - ab = (ab + 2a) + (- b2 - 2b) 9. a(a - b) = a(b + 2) - b(b + 2) 10. a(a - b) = (a - b)(b + 2) 11. a = b + 2 12. b = b + 2 13. ดงนน 0 = 2



การสรางตวดาเนนการของระบบจานวนจรง ระบบจานวนจรงมตวดาเนนการ (Operation) ของจานวนสองจานวนพนฐานคอ บวก (+), ลบ (-), คณ (×), หาร (÷) หรอกระทงการยกกาลงและถอดราก ซงเราสามารถกาหนดตวดาเนนการไดเอง เปนสญลกษณใดๆกได โดยจะมการกาหนดนยามจากตวดาเนนการพนฐานทมอย กาหนดให เปนตวดาเนนการของเซต A และ a, b, c, x ∈A เซต A กบ จะม

คณสมบต กตอเมอ 1. คณสมบตปด เมอนาสมาชกในเซต A มากระทากนภายใตตวดาเนนการ แลวผลทได

จากการกระทายงเปนสมาชกของเซต A กลาวคอ a, b ∈A 2. คณสมบตสลบท a b = b a 3. คณสมบตการเปลยนกลม (a b) c = a (b c) 3. คณสมบตมเอกลกษณ มสมาชกตวเดยวทไป กบสมาชกอน ๆ แลวผลทไดจากการกระทา

ไดเปนสมาชกตวนนเสมอ ถาให x เปนสมาชกเอกลกษณของ ในเซต A แลว

a x = x a = a 4. คณสมบตมสมาชกของตวผกผน ถาสมาชกคหนง แลวไดผลเปนเอกลกษณ สมาชกคนนเปนตวผกผนซง

กนและกน ถาให a-1 แทนตวผกผนของ a และ x เปนสมาชกเอกลกษณแลว

a a-1 = a-1 a = x หมายเหต

1. สาหรบตวดาเนนการหนง ๆ ถาสมาชกมเอกลกษณจะมเพยงตวเดยวเทานน 2. คณสมบตการมเอกลกษณของตวดาเนนการ ตองมคณสมบตการสลบทกอน 3. ตวดาเนนการทกตวดาเนนการไมจาเปนตองมสมาชกเอกลกษณเสมอไป อาจมหรอไมกได 4. สมาชกของเอกลกษณของเซตใดตองอยในเซตนนดวย ถาไมอยในเซตนนถอวาไมมสมาชกเอกลกษณ 5. ตวดาเนนการใดทไมมสมาชกเอกลกษณจะไมมตวผกผนสมาชกในเซตนน

การดาเนนการเปนการเกยวโยงสมาชกของเซตเขาดวยกน ในบางครงอาจเปนการเกยวโยงสมาชกของเซตหนง กบอก

เซตหนงกได การดาเนนการแบงออกเปน 1. การดาเนนการเชงเดยว (Unary Operation) เปนการดาเนนการทเกยวกบสมาชกเพยงตวเดยว ซงอาจพจารณา

การดาเนนการแบบเดยวเปนเครองๆ หนงทรบสมาชกตวหนงเขาไป แลวผลตสมาชกตวหนงออกมา 2. การดาเนนการแบบค (Binary Operation) เปนการดาเนนการทเกยวกบสมาชกสองตวในเวลาเดยวกน เราอาจ

พจารณาการดาเนนการแบบคเปนเครอง ๆ หนงทรบสมาชกคหนงเขาไป แลวผลตสมาชกอกตวออกมา

การหาคาของตวดาเนนการ ตวอยาง : ถากาหนดนยามของ Operation เปน a♥b = a + b + 2 จงหาคาของ 1. 1♥3

2. -3♥2 3. b♥-b

วธทา 1. จาก a♥b = a + b + 2 1♥3 = 1 + 3 + 2 = 6 2. จาก a♥b = a + b + 2 -3♥2 = -3 + 2 + 2 = 1 3. จาก a♥b = a + b + 2 b♥-b =b + (-b) + 2 = 2



เอกลกษณและตวผกผนของตวดาเนนการ กอนอนเราตองหาเอกลกษณของตวดาเนนการเสยกอน แลวจงคอยหาตวผกผนของตวดาเนนการ ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง : กาหนดนยามของ Operation เปน a♥b = a + b – 3 จงหาเอกลกษณและตวผกผนของ 2 วธทา การหาเอกลกษณ เราจะหาเอกลกษณตวใดตวหนงในนยาม ซงเมอหาออกมาแลวคาจะเทากนเสมอ หาเอกลกษณ เมอ b เปนเอกลกษณของ a สมมตให b แทนดวย จากนยามเอกลกษณ จะไดวา a ♥ = a แทนในนยาม a + - 3 = a = 3 ดงนน ไดเอกลกษณเปน 3 หาตวผกผน ให 2 ทากบ แลวไดเอกลกษณ เทากบ 3 จากนยามเอกลกษณ จะไดวา 2 ♥ = 3 แทนในนยาม 2 + - 3 = 3 = 4 ดงนน ไดตวผกผนของ 2 เทากบ 4 หมายเหต 1. ระมดระวงวา ตวดาเนนการของเราตองมคณสมบตการสลบทดวย

2. ถาโจทยตองการใหหาตวผกผน โจทยจะกาหนดจานวนทเราตองการใหหาตวผกผนเสมอ 3. ถาเอกลกษณตดตวแปร เราจะถอวาไมมเอกลกษณ สงผลใหไมมตวผกผนดวย

แบบฝกหดท 3

1. กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงใดๆ และนยาม Operation คอ a b = a × b – 3 จงหาคา 1. 1 5 2. -2 -4 3. 0 -8 4. 10 -1

5. aa1

6. (a+2) -a

2. จงแสดงใหเหนวา ตวดาเนนการตอไปนมคณสมบตการสลบทหรอไม 1. a b = a × b + 3 2. aΘb = a + 2b

3. a&b = ab – 1 4. aΦb = a b

2

−

3. จงหาเอกลกษณของการ Operation ตอไปน 1. a b = a + b - 3 2. a b = a+b - ab 3. a b = ab - 2

4. จงหาอนเวอรสของการ Operation ตอไปน 1. a b = a + b - 3

จงหาอนเวอรสการ ของ 4 จงหาอนเวอรสการ ของ 0

2. a b = a+b - ab จงหาอนเวอรสการ ของ -3 จงหาอนเวอรสการ ของ 1

3. a b = ab - 2 จงหาอนเวอรสการ ของ 0



5. กาหนด นยาม Operation ดงตารางตอไปน a b c

a a b c

b b c a

c c a b

จงหา 1. เอกลกษณของ Operation 2. อนเวอรสการ ของ b

6. กาหนดเอกภพสมพทธเปนจานวนเตมบวก กาหนด Operation “@” ดงนยาม 2 @ 3 = 9 2 @ 4 = 12 3 @ 3 = 12 3 @ 5 = 20 4 @ 4 = 20 4 @ 7 = 35 … จงหา 1. 12@ 10 2. a @ b

7. กาหนด x, y เปนจานวนเตม โดย x ⊕ y = x + y - 2 1. จงหาเอกลกษณของ ⊕ 2. จงพสจนวา ทกจานวนเตม x มตวผกผนเพยงตวเดยว

ตวอยางขอสอบ โอลมปกวชาการ สสวท. 1. ถา a ∗ b = 2a + 2b แลว เซตของจานวนจรงกบ ∗ ไมมคณสมบตขอใดบาง

I คณสมบตปด II คณสมบตเปลยนกลม III คณสมบตการสลบท IV คณสมบตการมเอกลกษณ

ก. I, II ข. II, III ค. II, IV ง. III, IV

2. ถา x ∗(x – y) = x2 + y2 แลว 5 ∗ 3 เทากบเทาไร ขอสอบโรงเรยนเตรยมอดมศกษา 3. จงพจารณาขอความตอไปน

(1) มจานวนจรงบางจานวนทเปนจานวนตรรกยะและอตรรกยะ (2) สามารถหาจานวนตรรกยะทมากทสดแตนอยกวา 3 ได (3) n na a= เมอ n เปนจานวนเตมบวก

ขอใดสรปถกตอง ก. ถก 1 ขอ ข. ถก 2 ขอ ค. ถกทกขอ ง. ผดทกขอ

4. ให R เปนเซตของจานวนจรง เมอ A ⊂ R และ A ≠ φ จงพจารณาขอตอไปน (1) เซต A มสมบตปดการบวก (2) เซต B มสมบตการสลบทไดของการบวก

ขอใดสรปถก ก. ขอ 1 ผด ข. ขอ 2 ผด ค. ผดทงหมด ง. ถกทงหมด

5. ให a เปนจานวนตรรกยะ และ b เปนจานวนอตรรกยะ ขอใดสรปถก



5. ให a เปนจานวนตรรกยะ และ b เปนจานวนอตรรกยะ ขอใดสรปถก ก. ab เปนจานวนอตรรกยะ ข. a + b เปนจานวนอตรรกยะ

ค. ab เปนจานวนตรรกยะ ง. a

b เปนจานวนอตรรกยะ

6. กาหนดให a Δ b = a + b + 4ab เมอ a, b ∈ R จงพจารณา (1) มสมบตปดภายใต Δ (2) มสมบตการสลบทภายใต Δ (3) มเอกลกษณภายใต Δ เปน 0

(4) มอนเวอรสของ 2 ภายใต Δ คอ 2

9−

ขอใดสรปถกตอง ก. ถก 1 ขอ ข. ถก 2 ขอ ค. ถก 3 ขอ ง. ถกทกขอ

7. พจารณาขอความตอไปน (1) มจานวนตรรกยะทเขยนไดในรปทศนยมซา (2) มจานวนอตรรกยะทเขยนไดในรป 2x

ขอใดสรปถก ก. ขอ 1 ถก ข. ขอ 2 ถก ค. ถกทงหมด ง. ผดทงหมด

8. ให A = { -1, 0, 1} พจารณาขอความ (1) เซต A มสมบตปดการบวก (2) เซต A มเอกลกษณการบวก (3) สมาชกทกตวของเซต A มอนเวอรสการบวก

ขอใดสรปถก ก. ขอ 1, 2 ผด ข. ขอ 1, 3 ผด ค. ขอ 2,3 ผด ง. ผดทกขอ

9. กาหนดให a, b ∈ R จงพจารณาขอความ

(1) ถา a ⊕ b = a b

2

+ แลว a ⊕ b ≠ b ⊕ a

(2) ถา a ⊕ b = ab แลว a ⊕ 1 = a = 1 ⊕ a (3) ถา a ⊕ b = a + b + 2 แลว -2 เปนเอกลกษณของ ⊕ (4) ถา a ⊕ b = a + b – 8 แลว อนเวอรสการ ⊕ ของ 5 คอ 11

ขอใดสรปถกตอง ก. ถก 4 ขอ ข. ถก 3 ขอ ค. ถก 2 ขอ ง. ถก 1 ขอ

10. พจารณาขอความตอไปน

(1) 22 1, , 7

7 π เปนจานวนอตรรกยะทกจานวน

(2) 4.999..., 0.000, 3 ( 64)− เปนจานวนจรงทกจานวน

(3) 2( 5) , 4 9, 3 5− − − เปนจานวนตรรกยะทกจานวน ขอใดสรปถก ก. ขอ 1, 2 ถก ข. ขอ 2, 3 ถก ค. ขอ 1 ถกเทานน ง ขอ 2 ถกเทานน

11. บทนยาม ให a, b เปนจานวนเตมใด ๆ, a ∗ b คอเศษเหลอจากการหาร ab จงพจารณาขอความ (1) a ∗ b = b ∗ a (2) ม k อยางนอย 1 คาททาให 8 ∗ k = 5

ขอใดสรปถก ก. ผดทง 2 ขอ ข. ขอ 1 ผด ขอ 2 ถก ค. ขอ 2 ผด ขอ 1 ถก ง. ถกทกขอ

12. กาหนดให a ⊕ b = a + b + 2 โดยท a, b ∈ R แลวจานวนใดตอไปนเปนอนเวอรสของ 4 ภายใตการ ⊕ ก. 0 ข. -8 ค. -4 ง. -2

13. กาหนดให a, b, c ∈ R ทม a เปนอนเวอรสการบวกของ b จงหา c ททาให 4a + 4b – 2c = 12 วามคาเทาไร

14. ให R แทนสญลกษณของจานวนจรง Q แทนสญลกษณของจานวนตรรกยะ ′Q แทนสญลกษณของจานวนอตรรกยะ I แทนจานวนเตม

+I แทนจานวนเตมบวก

−I แทนจานวนเตมลบ ขอใดตอไปนกลาวถก

ก. ′Q ∩ +I = I∩ Q ข. +I ∪ −I = I

ค. ′Q ∪ +I = +I ∪ Q ง. ( +I ∩ Q ) ⊂ I

¾Ëu¹ÒÁ พหนาม

รปทวไปของพหนาม anxn + an-1x

n-1 + … + a1x + a0 เรยก an วา สมประสทธนา (leading Coefficient)

ถา an ≠ 0 เราจะเรยก n วา กาลง (Degree) เขยนแทนดวย deg P(x) ถาพหนามทมสมประสทธนา = 1 เรยกวา พหนามโมนก (Monic Polynomial)

การแยกตวประกอบของพหนาม การแยกตวประกอบของพหนามใด ๆ (Factoring of Polynomials) คอ การเขยนพหนามอยในรปการคณของพหนามทตากวา ซงเราไดศกษาการแยกตวประกอบของพหนามมาตงแตชวงชนท 3 แลว ในการแยกตวประกอบพหนามมหลายรปแบบ เชน การแยกตวประกอบโดยใชสมบตแจกแจง - การจบคพจน รป ax2+bx+c กาลงสองสมบรณ ผลตางกาลงสอง ทาเปนกาลงสองสมบรณ และการนาวธการทงหมดมารวมดวย ในเอกสารฉบบน จะนาเสนอทฤษฎบทเพมเตมทใชในการแยกตวประกอบ นนคอ ทฤษฎบทเศษเหลอ ทฤษฎบทตวประกอบ และทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ

ทฤษฎบทเศษเหลอ ทฤษฎบทขนตอนวธการหาร (Division Algorithms) ถา P(s) และ S(x) เปนพหนาม โดยท S(x) ≠ 0 จะมพหนาม Q(x) และ R(x) ซง P(x)=Q(x)⋅s(x)+r(x) โดยท r(x) จะเทากบศนย หรอ deg r(x) < deg P(x) ทฤษฎบทเศษเหลอ (Remainder Theorem) เมอ p(x) คอพหนาม anx

n + an-1xn-1 + an-2

n-2 + … + a1x + a0 โดยท n เปนจานวนเตมบวก และ an, an-1, an-2 , …, a1, a0 เปนจานวนจรง ซง an ≠ 0 ถาหารพหนาม p(x) ดวยพหนาม x-c เมอ c เปนจานวนจรงแลว เศษเหลอจะเทากบ p(c) พสจน ให p(x) หารดวย x-c แลวไดผลหารเปนพหนาม q(x) และเศษเหลอเปนพหนาม r(x) ดงนน p(x) = (x-c)q(x) + r(x) ------------- (1) ซง r(x) เปนศนย หรอเปนพหนามทมดกรตากวาดกรของ x-c นนคอ มดกรศนย สรปไดวา r(x) เปนคาคงตว ให r(x) = d เมอ d เปนคาคงตว เขยนสมการ (1) ใหมไดเปน p(x) = (x-c)q(x) + d ------------- (2) สมการ (2) เปนจรงสาหรบทกคาของ x ทเปนจานวนจรง ถาให x = c จะได p(x) = (c-c)q(c) + d = d นนคอ เศษเหลอจะเทากบ p(c)



ตวอยาง ถา x – 2 หาร x3 + ax2+ 5x + a แลว เหลอเศษ 3 จงหา a วธทา P(x) = x3 + ax2+ 5x + a P(2) = 23 + a x 22 + 5 x 2 + a = 8 + 4a + 10 + a = 5a + 18 ∴ x – 2 หาร P(x) เหลอเศษ 5a + 18 ∴ 5a + 18 = 3 ∴ a = -3 ตวอยาง จงหาเศษของ x3 – 2x2 – x + 5 เมอหารดวย x – 2 วธทา P(x) = x3 – 2x2 – x + 5 P(2) = 23 – 2 x 22 – 2 + 5 = 8 – 8 – 2 + 5 = 3 ∴ x – 2 หาร P(x) เหลอเศษ 3

แบบฝกหดท 4 1. จงหาเศษเหลอจากการหารตอไปน เมอหารดวย x - c

1. p(x) = x3 + 2x + 4 c = 2 2. p(x) = - 2x4 + x3 – 6 c = - 1 3. p(x) = 5x3 – 11x2 – 14x – 10 c = 3 4. p(x) = 2x3 – 6x2 + 6x – 18 c = - 3 5. p(x) = 4x3 – 13x – 6 c = 2 6. p(x) = 2x3 – 5x2 – 2x + 5 c = - 1 7. p(x) = 2x3 – 3x + 2 c = 2 8. p(x) = 4x4 + 3x2 – 2x + 5 c = - 3 9. p(x) = 2x3 – 3x + 2 c = 2 10. p(x) = 5x3 + 2x2 – x + 1 c = 3

2. จงหาคา k ททาให 1. x – 1 หาร x3 – 3x2 + 4x + 2k เหลอเศษ -2 2. x – 2 หาร x3 + kx2 + (k – 1)x + 5 เหลอเศษ 5 3. 2x - 1 หาร 2x4 + 3kx + x – k ไดลงตว 4. x + k หาร x3 – 5x2 – 8x + 10 เหลอเศษ -2 5. x – 3 หาร 2x3 + x2 – 18x + k เหลอเศษเปนครงหนงของเศษจากการหาร – 2x3 + 5x2 + kx + 17ดวย x – 3 ทฤษฎบทตวประกอบ

ทฤษฎบทตวประกอบ (Factor Theorem) เมอ p(x) คอพหนาม anx

n + an-1xn-1 + an-2

n-2 + … + a1x + a0 โดยท n เปนจานวนเตมบวก และ an, an-1, an-2 , …, a1, a0 เปนจานวนจรง ซง an ≠ 0 พหนาม p(x) นจะม x - c เปนตวประกอบ กตอเมอ p(c) = 0

พสจน ตองแสดงใหเหนจรงวา 1) ถา x - c เปนตวประกอบของ p(x) แลว p(c) = 0 และ 2) ถา p(c) = 0 แลว x - c จะเปนตวประกอบของ p(x) 1) x – c เปนตวประกอบของ p(x) ดงนน x - c หาร p(x) ไดลงตว ∴x - c หาร p(x) ตองเศษ 0 และ x - c หาร p(x) แลวตองเหลอเศษ p(c) 2) ให p(c) = 0 ถา x - c หาร p(x) ไดผลลพธ q(x) เหลอเศษ r ∴ p(x) = (x - c)q(x) + r

x – c หาร p(x) เหลอเศษ p(c)



∴ p(c) = r 0 = r นนแสดงวา x - c หาร p(x) แลวเศษ 0 ; x - c หาร p(x) ลงตว ∴ x - c เปนตวประกอบของ p(x) ในทฤษฎบทตวประกอบ เราสามารถนามาใชประโยชนไดในแงของการหาจานวนทหาเพอทาการแยกตวประกอบในทฤษฎบทเศษเหลอหรอทฤษฎบทตวประกอบ เพอโยงไปสการแยกตวประกอบ ขอใหพจารณาทาความเขาใจจากตวอยางตอไปน ตวอยาง จงแสดงวา x + 3 เปนตวประกอบของ P(x) = 3x3 + 5x2 – 6x + 18 วธทา x – c = x – (- 3) ดงนน c = - 3 เศษ = P(-3)

= 3 23( 3) 5( 3) 6( 3) 18− + − − − + = - 81 + 45 + 18 + 18 = 0 จาก P(- 3) แสดงวา x + 3 เปนตวประกอบของ P(x) ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนาม x3 + 2x2 – 5x – 6 วธทา กาหนดให p(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 เนองจากจานวนเตมทหาร -6 ลงตว คอ ±1, ±2, ±3, ±6 พจารณา p(-1) P(-1) = (-1)3 + 2(-1)2 – 5(-1) – 6 = -1 + 2 + 5 – 6 = 0 จากทฤษฎบทตวประกอบ จะไดวา x + 1 เปนตวประกอบของ p(x) นา x + 1 ไปหาร p(x) จะไดผลหารเปน x2 + 2x – 6 ดงนน x3 + 2x2 – 5x – 6 = (x + 1)( x2 + 2x – 6) = (x + 1)(x + 3)(x – 2) ไดตวประกอบทงหมดคอ (x + 1)(x + 3)(x – 2)


1. จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. x3 + 6x2 + 11x + 6 2. – x3 + 4x2 – 5x + 2 3. x3 – x2 + x – 1 4. x3 – x2 – 8x + 12 5. x3 + 4x2 – 7x – 10 6. x4 – 5x2 + 4 7. x4 – 10x3 + 3x2 – 50x + 24 8. x4 + 5x3 – 10x2 – 80x - 96 9. x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1 10. x6 + 3x5 + 2x4 + x2 + 3x + 2

2. กาหนดพหนาม p(x) = 3x3 – 4x2 – 3x + 4 1. จงแสดงวา x + 1 เปนตวประกอบของ p(x) 2. จงแยกตวประกอบของ p(x) 3. กาหนดพหนาม p(x) = x3 – 6x2 + 11x - 6 จงแสดงวา x - 4 ไมเปนตวประกอบของ p(x) 4. กาหนดพหนาม p(x) = 2x4 + 3x3 – 16x2 – 8x + 24 1. จงแสดงวา x – 2 เปนตวประกอบของ p(x)

2. จงแสดงวา 3

x2

+ เปนตวประกอบของ p(x)

5. กาหนดพหนาม p(x) = 2x4 – 9x3 + ax2 + bx + 10 จงหาจานวนจรง a, b ซงทาให x2 – 3x + 2 เปนตวประกอบของ p(x)



ทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ ทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ เมอ p(x) คอพหนาม anx

n + an-1xn-1 + an-2

n-2 + … + a1x + a0 โดยท n เปนจานวนเตมบวก และ an, an-1, an-2 , …, a1, a0 เปนจานวนจรง ซง an ≠ 0 พหนาม p(x) นจะม x - c เปนตวประกอบ กตอเมอ p(c) = 0

ถา x - k

mเปนตวประกอบของพหนาม p(x) โดยท m และ k เปนจานวนเตมซง m ≠ 0

และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทากบ 1 แลว m เปนตวประกอบของ an k เปนตวประกอบของ a0

ในกรณทไมม k

m ซงทาให p (

k

m) = 0 แสดงวาพหนาม p(x) ไมมตวประกอบทเปนพหนามดกรหนง

ในรป x - k

m ซงจะเรยกวา ตวประกอบจานวนตรรกยะ

เพอใหเขาใจ ขอใหศกษาวธทาจากตวอยางตอไปน ตวอยาง จงแยกตวประกอบ 6x4 + 7x3 – 13x2 – 4x + 4 วธทา กาหนดให p(x) = 6x4 + 7x3 – 13x2 – 4x + 4 จากทฤษฎบทตวประกอบตรรกยะ จานวนเตมทหาร 4 ลงตว คอ 1, 2, 4± ± ± จานวนเตมทหาร 6 ลงตว คอ 1, 2, 3, 6± ± ± ±

จานวนตรรกยะ k

m ททาให p (

k

m) = 0 คอ

1 1 2 4 11, 2, 4, , , , ,

2 3 3 3 6± ± ± ± ± ± ± ±

พจารณา p(1) = 6(1)4 + 7(1)3 – 13(1)2 – 4(1) + 4 = 6 + 7 – 13 – 4 + 4 = 0 ดงนน จะไดตวประกอบคอ (x – 1)(6x3 + 13x2 – 4) ตอมาแยกตวประกอบ กาหนดให q(x) = 6x3 + 13x2 – 4 พจารณา q(-2) = 6(-2)3 + 13(-2)2 – 4 = 6(-8) + 13(4) – 4 = 0 ดงนน จะไดตวประกอบคอ (x – 1)(x + 2)(6x2 + x – 2) ไดตวประกอบทงหมดคอ = (x – 1)(x + 2)(6x2 + x – 2) = (x – 1)(x + 2)(3x - 2)(x + 1)

การหารสงเคราะห (Synthetic Division) การหารสงเคราะหเปนการลดรปในการหารพหนามปกตใหสนลงมากและกระทดรดมากทสด ซงถอวามประโยชนมากพอสมควร

ตวอยาง จงหาร 3x4 + 2x3 + 2x2 - x - 6 ดวย x – 1

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3 2

2

2

3x +5x +7x+6

x-1 3x +2x +2x -x-6

3x -3x

+5x +2x

+5x -5x

+7x -x

+7x -7x

+6x-6

+6x-6



เมอเราลดขนตอน โดยการรวมพหนามทมดกรเทากนเขาดวยกน จะไดเปน

3 2

4 3 2

3 2

3 2

3x 5x 7x 6

x 1 3x 2x 2x x 6

3x 5x 7x 6

5x 7x 6x 0

+ + +− + + − −

− − − −

+ + +

ตอมา เราจะเขยนแตสมประสทธเพยงอยางเดยว จะไดเปน

3 5 7 6

1 3 2 2 1 6

3 5 7 6

3 5 7 6 0

+ + +− + + − −

− − − −

+ + +

การหารสงเคราะหเราจะเขยนแตสมประสทธ ถาเราสงเกตการหารตอไปนดๆ จะพบวา คาของแถวลางจะเทากบแถวบน (จากดานบน) เราจงนามาเขยนในรปแบบดงดานลาง

3 2 2 1 6x 1

3 5 7 6

3 5 7 6 0

− −−

− − − −

สรปขนตอนการหารสงเคราะห 1. เรยงดกรของตวตง เรยงใหครบ ถาขาดใหเตมใหครบ (เตมเลข 0) 2. ดงสมประสทธลงมาในชอง 3. ดงพจนแรกลงมา นาตวหารคณตวทดง แลวผลลพธใสท (2) แลวบวก ไดผลลพธเทาไรคณกบตวหาร ผลลพธในชองดาน

ลางสด 4. ทาไปเรอยๆ จนครบ ตวเลขขวาสด คอเศษ สวนเลขทเหลอเปนสมประสทธของผลหารตามดกร 5. ทาการหารสงเคราะหเรอย ๆ จนกวาจะถงพหนามดกรสองแลวจงดาเนนการตามแนวทางการแกสมการดกรสองตอไป 6. เวลาตอบ ใหลดดกรตวทตรงกนมา 1 ดกร ตวหาร เราเรยกวา เปนตวประกอบ

ตวอยาง จงใชการหารสงเคราะหหา 4 3 2(3x x 5x x 1) (x 2)− + − + ÷ − วธทา

3 1 5 1 12

6 10 30 58

3 5 15 29 59

− −

ดงนน 4 3 2 3 2 59(3x x 5x x 1) (x 2) 3x 5x 15x 29

x 2− + − + ÷ − = + + + +

−



คาอธบายการหารสงเคราะห 1. ดง 3 ลงมา 2. นา 3 (สมประสทธตวแรกของพหนาม) มาคณกบตวหาร (มาจาก x - c = 0) แลวทแยงขนไปขางบน

( 2 × 3 = 6 ) 3. หาผลบวก 4. นา 5 ไปคณกบ 2 ทาเชนเดยวกบขนตอนท 2 5. ทาไปเรอย ๆ จนสนสด เศษ คอตวสดทายทางขวามอ สวนทเหลอจะเปนสมประสทธของพหนามชดตอไป คอ 3x3 + 5x +

15 + 29 สรปหลกการนาไปใชเมอเจอโจทยพหนาม 1. ใหทาการแยกตวประกอบโดยใชทฤษฎบทตวประกอบ กลาวคอ ในรปพหนาม anx

n + an-1xn-1 + an-2

n-2 + … + a1x + a0 ใหหาตวประกอบของ a0 ทงหมด สวนดวย ตวประกอบของ an แลวทดลองโดยการหารสงเคราะหหรอทฤษฎบทเศษเหลอ

2. ใชทฤษฎบทเศษเหลอเขามาชวย หรอใชการหารสงเคราะหชวย ถาเศษเทากบ 0 แสดงวาเปนตวประกอบ 3. จะไดตวประกอบ พหนามทเหลอกใหแยกตวประกอบทเหลออก จนอยในรปการคณกนของพหนามทงหมด

แบบฝกหดท 6 1. จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. 2x3 + 3x2 – 5x - 6 2. 12x3 + 16x2 – 5x - 3 3. 4x5 + 16x4 + 9x3 – 31x2 – 40x – 12 4. 2x4 + 3x3 – 16x2 – 8x + 24 5. 12x3 + 16x2 – 5x - 3 6. 6x5 + 11x4 – 9x3 – 13x2 + 3x + 2 7. 2x3 – 3x2 – 8x + 12 8. 2x4 – 2x3 – 7x2 + 8x - 4 9. 4x4 – 4x3 – 25x2 + x + 6 10. 6x4 + 5x3 – 14x2 + x + 2 11. 6x5 + 13x4 – 20x3 – 10x2 + 14x - 3 12. 3x3 – 10x2 + 9x – 2 13. 3x4 – 8x3 + x2 + 8x – 4

2. จงหารพหนามตอไปน 1. x2 + 5x + 6 หารดวย x + 2 2. x2 + 4x + 7 หารดวย x - 3 3. 2x2 – 7x + 8 หารดวย x + 2 4. 3x3 – x2 2x + 7 หารดวย x – 1 5. 5x3 – 11x2 – 14x – 10 หารดวย x – 3 6. 4x3 – 13x – 6 หารดวย x + 1 7. 4x4 – 5x + 10 หารดวย x – 5 8. 4x4 – 3x2 – 2x + 5 หารดวย x + 3



สมการพหนาม สมการ (Equation) คอ ประโยคสญลกษณทกลาวถงความสมพนธของจานวน โดยมสญลกษณ “= “ บอกความสมพนธระหวางจานวน ราก (หรอคาตอบ) ของสมการ คอ คาหรอสงหรอจานวนทสอดคลองกบสมการ นนคอ ทาใหสมการเปนจรง ทฤษฎบทมลฐานของพชคณต (Fundamental Theorem of Algebra) ถา P(x) เปนพหนามใน C[x] ทมดกรมากกวา 0 แลว P(x) จะมรากใน ทาใหไดวา

สมการอนดบ n จะมรากไดไมเกน n รากทตางกน

กาหนด n n 1n n 1 1 0p(x) a x a x ... a x a−

−= + + + + โดยท a0, ..., an-1 ∈ / จะมจานวน-เชงซอน z1, ..., zn

(ไมจาเปนตองแตกตางกน) ททาให 1 1 2 2 n np(x) (m x k )(m x k )...(m x k )= − − − โดยท m คอตวประกอบของ an และ k คอตวประกอบของ a0 ผลพลอยไดของทฤษฎนคอ “ทกสมการพหนามกาลง n จะมรากเชงซอนเทากบ n ราก (นบรากทซากนดวย)” ดงนน สรปไดวา จานวนคาตอบทงหมดของสมการพหนาม จะเทากบดกรของพหนามนน ๆ (รวมคาตอบทซาและคาตอบทเปนจานวนเชงซอนดวย) ทาใหเราไดทราบวา การสรางจานวนเชงซอน เปนการสรางเพอรองรบจานวนรากพหนามตามทฤษฎบท

มลฐานของพชคณต และสรปไดอกวา k

m เปนคาตอบของของสมการ p(x) กตอเมอ mx – k เปนตวประกอบของ p(x)

สมการพหนามกาลงสอง (Quadratic Equation) นยาม พหนามกาลงสอง (Quadratic Polynomials) คอพหนามทมรปแบบเขยนทวไปคอ

ax2 + bx + c เมอ a ≠ 0, b และ c เปนคาคงท สมบตเบองตนของพหนามกาลงสอง

รปมาตรฐาน ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R, a ≠ 0 จาก ax2 + bx + c = 0

÷ a; 2 bx cx

a a+ + = 0

2 22 b b b c

x 2 x2a 2a 2a a

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= 0

2 2

2

b b cx

2a a4a

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

2 2

2

b b 4acx

2a 4a

−⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

22 2

2

b b 4acx

2a 4a

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 0

2 2b b 4ac b b 4acx x

2a 2a 2a 2a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 0

x =2 2b b 4ac b b 4ac

,2a 2a 2a 2a

− − − −+ −

หรอ x = 2b b 4ac

2a

− ± −

จาก 2b b 4ac

x2a

− ± −=

เราเรยก b2 – 4ac วา ดสครมแนนต (Discriminant) = Δ ถา Δ > 0 แสดงวารากทงสองเปนรากจรง ถา Δ < 0 แสดงวารากทงสองเปนรากเชงซอน

ถา Δ เปนกาลงสองสมบรณ รากทงสองเปนรากตรรกยะ (มคาตอบเดยวคอ b

2a− )

การแกสมการกาลงสองทมรปแบบพเศษ

ตวอยาง จงแกสมการ2

1 1 1

x(x 2) 12(x 1)− =

+ +

วธทา สมมตให a = x(x + 2) = x2 + 2x จาก (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ดงนน จะได a + 1

สมการทกาหนดจงเปลยนเปน 1 1

a a 1+

+ =

1

12

a 1 a

a(a 1)

− −+

= 1

12

a2 + a – 12 = 0 แยกตวประกอบ (a +4)(a – 3) = 0

a = -4, 3 เปลยนสมการกลบคน จะได x2 + 2x = 3 หรอ x2 + 2x = -4

x2 + 2x – 3 = 0 หรอ x2 + 2x + 4 = 0

(x + 3)(x – 1) = 0 หรอ 2 4 16

x2

− ± −=

x = -3, 1 หรอ ไมมจานวนจรงเปนคาตอบ ดงนน เซตคาตอบของสมการ คอ {-3, 1} จากตวอยาง สงเกตวามการเปลยนตวแปรเพอใหสามารถแกสมการและมองภาพไดงายขน

สมการทมดกรมากกวาสอง เราจะอาศยการแยกตวประกอบเปนพนฐาน โดยใชทฤษฎบทตาง ๆ และการหารสงเคราะหเขาชวย โดยการแกสมการนนจะตองจดใหนพจนทางซายประกอบดวยพจนพหนาม และนพจนทางขวาเปนศนย แลวทาการแยกตวประกอบ ตามสมบตของระบบจานวนจรงทวา ถา a × b = 0 จะไดวา a = 0 หรอ b = 0 ตวอยาง จงแกสมการ x4 – 8x3 + 17x2 + 2x – 24 = 0 วธทา เราพบวา มจานวนเตมทหาร -24 ลงตว คอ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24± ± ± ± ± ± ± ± เลอกมาทดสอบ โดยใชทฤษฎตวประกอบ โดยพจารณา P(1) โดยการหารสงเคราะห

1 8 17 2 24

11 9 26 24

1 9 26 24 0

−−

− −

− −

จากทฤษฎบทตวประกอบ ทาใหไดวา – 1 เปนรากของสมการ และไดผลหารคอ x3 – 9x2 + 26x – 24



นาผลหารมาพจารณาตอดวย p(2)

1 9 26 242

2 14 24

1 7 12 0

− −−

−

จากทฤษฎบทตวประกอบ ทาใหไดวา 2 เปนรากของสมการ และไดผลหารคอ x2 – 7x + 12 ทาใหไดตวประกอบ คอ (x + 1)(x – 2)(x2 – 7x + 12) = 0 (x + 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 0 x = -1, 2, 3, 4 ดงนน รากของสมการ คอ -1, 2, 3, 4 ในจดนเราจะพบวา การใชวธการหารสงเคราะหจะมความสะดวกสบายกวาทฤษฎบทเศษเหลอ เพราะทาครงเดยวไดทงตวประกอบและพหนามทเหลอ แตทงนทงนน กขนอยกบวาใครถนดกบวธใดมากกวา

ตวอยาง ถายอมรบวา 2 เปนจานวนจรง จงแสดงวา 2 เปนจานวนอตรรกยะ

วธทา เราทราบวา 2 เปนคาตอบของสมการ x = 2 ยกกาลงสองทงสองขาง จะได x2 = 2 จดใหสมการอยขางเดยวกน จะได x2 – 2 = 0

จากทฤษฎบทตวประกอบ คาตอบของสมการทเปนจานวนตรรกยะจะอยในเซต {±1, ±2} ซง 2 ไมไดอยในเซตน

ดงนน 2 จงไมเปนจานวนตรรกยะ แตเนองจากวา 2 เปน จานวนจรง ดงนน 2 เปนจานวนอตรรกยะ

ตวอยาง ถายอมรบวา 2, 5 เปนจานวนจรง จงแสดงวา 2 5+ เปนจานวนอตรรกยะ

วธทา เราทราบวา 2 5+ เปนคาตอบของสมการ x = 2 5+

ดงนน 2 5+ เปนคาตอบของสมการ x - 2 = 5

และเปนคาตอบของสมการ x2 - 2 2 x + 2 = 5

และเปนคาตอบของสมการ x2 - 3 = 2 2 x และเปนคาตอบของสมการ x4 - 6x2 + 9 = 8x2 และเปนคาตอบของสมการ x4 - 14x2 + 9 = 0 จากทฤษฎบทตวประกอบ คาตอบของสมการทเปนจานวนตรรกยะจะอยในเซต {±1, ±3, ±9} ซงผลบวกของ

2 5+ ไมไดอยในเซตน ดงนน 2 5+ จงไมเปนจานวนตรรกยะ

แตเนองจากวา 2, 5 เปนจานวนจรง จะได 2 5+ เปนจานวนจรงตามสมบตปดของการบวก ดงนน

2 5+ เปนจานวนอตรรกยะ

ความสมพนธระหวางรากของพหนาม กาหนด P(x) = n n 1

n n 1 1 0p(x) a x a x ... a x a−−= + + + + และ an ≠ 0

ผลบวกของราก = n 1

n

a

a−−

ผลคณของราก = (-1)na0 เมอ n คอดกรสงสดของพหนาม



แบบฝกหดท 7 จงหารากของสมการตอไปน พรอมทงหาผลบวกและผลคณรากสมการ

1. x3 – 2x2 + x + 4 = 0 2. x3 – 5x2 – 2x + 10 = 0 3. 2x3 – 3x2 – 7x – 6 = 0 4. x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0 5. x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0 6. 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0 7. 3x3 – 19x2 + 30x – 8 = 0 8. 3x3 – 16x2 + 25x – 12 = 0 9. x4 – x3 – 7x2 – 14x – 24 = 0 10. x4 – x3 – 19x2 + 49x – 30 = 0 11. x4 – 5x3 – 3x2 + 17x – 10 = 0 12. x4 – 2x3 + 2x – 1 = 0 13. x4 – 16x3 + 86x2 – 176x + 105 = 0 14. x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 = 0 15. x5 + x3 – 2x2 – 12x – 8 = 0

จงพสจนขอความตอไปน 16. จงแสดงวา 2 3+ ไมเปนจานวนตรรกยะ

17. จงแสดงวา 1

2 เปนจานวนอตรรกยะ

18. จงแสดงวา 2 1

2 1

−+

เปนจานวนอตรรกยะ

19. จงแสดงวา 3 6

5 เปนจานวนอตรรกยะ


จงแกสมการพหนามตอไปนโดยใชวธการทงายและกระชบ

1. 2 2

4 52

x 4 x 5+ =

+ +

2. x4 – 13x2 + 36 = 0

3. 2 2

2 2

x 2x 1 x 2x 2 7

6x 2x 2 x 2x 3

+ + + ++ =

+ + + +

4. (x2 – 6x)2 – 2(x – 3)2 = 81

5. 2

21

x 4x 10− +- x2 + 4x = 6



สมการพหนามทมความซบซอนยงขน เราไดเรยนรในทฤษฎบททแกสมการพหนามทเปนพนฐานมาบางแลว ในหวขอนจะนาเสนอพหนามทมรปแบบทพเศษและนาสนใจ ซงชวยลดระยะเวลาในการหารากของสมการไดพอสมควร ซงผเขยนคดวานาจะมประโยชนในการศกษาขนสงตอไป อนง ผทไมไดมความสนใจกสามารถขามหวขอนไปได การแกสมการกาลงสบางรปแบบ

สมการรปแบบ (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = e ; a, b, c, d, e เปนคาคงท โดยท a + b = c + d สามารถจดสมการทกาหนดไดในรป [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = e ดาเนนการหารากของสมการ โดยการเปลยนตวแปรใหม โดยให y = x2 + (a + b)x จะไดสมการในรป (y + ab)(y + cd) = 0 ซงจะเปนสมการพหนามกาลงสองทสามารถหาคาตอบได

ตวอยาง จงหารากของสมการ (x – 5)(x – 7)(x + 6)(x – 4) = 504 วธทา จบค (x – 5) กบ (x + 4) และ (x – 7) กบ (x + 6) จะได 504 = (x2 – x – 20)(x2 – x – 42) 504 = [(x2 – x) – 20][(x2 – x) – 42] ให y = x2 – x 504 = (y – 20)(y – 42) 504 = y2 – 62y + 840 0 = y2 – 62y + 336 0 = (y – 6)(y – 56)

เปลยนสมการกลบคน จะได 0 = (x2 – x – 6)(x2 – x – 56) 0 = (x – 3)(x + 2)(x – 8)(x + 7) x = 3, -2, 8, -7 ดงนน เซตรากของสมการ คอ {-7 , -2, 3, 8}

สมการในรปแบบ (x + a)4 + (x + b)4 = c ; a, b, c เปนคาคงท หลกการการแกสมการ 1) สรางความสมดลระหวางพจน 2) ใชเอกลกษณพชคณตทวา (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) พสจนเอกลกษณ (a + b)2 + (a – b)2 = (a2 + 2ab + b2) + (a2 – 2ab + b2) = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2) ตวอยาง จงหารากของสมการ (1 – x)4 + (1 + x)4 = 82 วธทา 82 = [(1 – x)2]2 + [(1 + x)2]2 = [x2 – 2x + 1]2 + [x2 + 2x + 1]2 = [(1 + x2) – 2x]2 + [(1 + x2) + 2x]2 ใชเอกลกษณพชคณต (a – b)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2) = 2[(1 + x2)2 + 4x2] 41 = x4 + 2x2 + 1 + 4x2 0 = x4 + 6x2 – 40 0 = (x2 + 10)(x2 – 4) x2 + 10 = 10 หรอ x2 – 4 = 0 x2 = -10 หรอ x2 = 4

x = 10i± หรอ x = ±2

ดงนน เซตรากของสมการ คอ { ±2, 10i± }



จากตวอยาง เราจาเปนตองใชความสมดลระหวางพจน (1 - x) กบ (1 + x) คอมระยะทางเทากน ทาใหใชเอกลกษณไมได ถาเราจะแกสมการ (x + 1)4 + (x - 3)4 = 256 ไมได ดงนนถาจะหารากของสมการในรปแบบ (x + a)4 + (x + b)4 = c โดยท a, b, c เปนคาคงตว เราตองเปลยนสมการใหอยในรปสมดล โดยการหาคาคงตว d ททาให y + d = x + a และ y - a = x + b

เราจะได a b

d2

−=

หรอ 1

y (x a) (x b)2

= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦

คอ y เปนคาเฉลยของ (x + a) และ (x + b) ทาใหไดสมการใหม คอ (y + d)4 + (y – d)4 = e ตวอยาง จงหารากของสมการ (x + 1)4 + (x - 3)4 = 256 วธทา เราหาสมการใหม y โดยหาคาเฉลยของ x + 1 กบ x – 3

1y (x 1) (x 3)

2= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦

1y (2x 2) x 1

2= − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

ทาใหได x = y + 1 เมอแทนในสมการทกาหนด จะไดสมการในรปสมดล ไดเปน [(y + 1) + 1]4 + [(y + 1) – 3]4 = 256 หรอ (y + 2)4 + (y – 2)4 = 256 256 = [(y + 2)2]2 + [(y - 2)2]2 = [y2 + 4y + 4]2 + [y2 – 4y + 4]2 = [(y2 + 4) + 4y]2 + [(y2 + 4) – 4y]2 ใชเอกลกษณพชคณต (a – b)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2) = 2[(y2 + 4)2 + 16y2] 128 = y4 + 8y2 + 16 + 16y2 0 = y4 + 24y2 - 112 0 = (y2 + 28)(y2 – 4) y2 + 28 = 0 หรอ y2 - 4 = 0 y2 = -28 หรอ y2 = 4

y = 2 7i± หรอ y = ±2 แทนคากลบคน จาก y = x – 1 ; x = y + 1

x = ±2 + 1 , 2 7i± + 1

ดงนน เซตรากของสมการ คอ { 3, -1, 1 2 7i± }



พหนามสวนกลบ (Reciprocal Polynomials) สงเกตวาเราอาจหารากของพหนาม x4 + x3 + x2 + x + 1 โดยสงเกตจากความสมมาตรของสมประสทธชวยลดงานการหารากของพหนาม โดยการจดรปสมการ

x4 + x3 + x2 + x + 1 = 2 22

1 1x x x 1

x x

⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 22

1 1x x x 1

xx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= 2 22

1 1x x 2 x 1 2

xx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= 2

2 1 1x x x 1

x x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

และใชสตร 2b b 4ac

x2a

− ± −=

นยาม เรยกพหนาม P(x) = anxn + an-1x

n-1 + … + a1x + a0 วาพหนามสวนกลบ ถา a1 = an-1 สาหรบทก I = 0, 1, …, n นนคอ พหนามสวนกลบ คอ พหนามทมความสมมาตรของสมประสทธ และเราจะเรยกสมการ P(x) = 0 วา สมการ

สวนกลบ (Reciprocal Equation) ถา P(x) เปนพหนามสวนกลบ ตวอยาง x2 + 1, x5 + 3x3 + 3x2 + 1 สมบตของพหนามสวนกลบ

1. ถา P(x) เปนพหนามกาลง n ซง a0 ≠ 0 แลว P(x) เปนพหนามสวนกลบ กตอเมอ P(x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

1Px n

2. ถา P(x) เปนพหนามสวนกลบทมกาลงเปนกาลงค 2n แลว P(x) = xng(z) โดยท z = x + x

1

3. ถา P(x) เปนพหนามสวนกลบทมกาลงเปนจานวนคแลว (x + 1)⏐P(x) และผลหารจะเปนพหนามสวนกลบทมกาลงเปนจานวนค

4. ถา a เปนรากของสมการสวนกลบแลว a ≠ 0 และ a

1 กจะเปนรากของสมการสวนกลบนนดวย

ตวอยาง จงแยกตวประกอบและหารากของพหนาม x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + 1 วธทา เนองจากเปนพหนามสวนกลบทมกาลงเปนกาลงค เราทราบวา (x + 1)⏐ x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + 1 ∴ x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + 1 = (x + 1)(x4 – 5x3 + 8x2 – 5x + 1)

x4 – 5x3 + 8x2 – 5x + 1 = 2 22

5 1x x 5x 8

x x

⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 22

1 5x x 5x 8

xx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= 2 22

1 1x x 2 5 x 8 2

xx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= 2

2 1 1x x 5 x 6

x x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦



= 2 1 1x x 3 x 2

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= 2 2

2 x 3x 1 x 2x 1x

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= (x2 – 2x + 1)(x2 – 3x + 1) = (x – 1)2(x2 – 3x + 1) ดงนน ตวประกอบของพหนาม x5 – 4x4 + 3x3 + 3x2 – 4x + 1 คอ (x + 1)(x – 1)(x – 1) (x2 – 3x + 1)

และเซตของรากสมการ คอ {1, -1, 3 5

2

±}

พจารณาพหนาม ax4 + bx3 + cx2 – bx + a ถงแมวาจะไมใชพหนามสวนกลบ แตเราอาจใชวธการแยกตวประกอบ

หรอการหารากของพหนามสวนกลบได

ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 2 22

b ax ax bx c

x x

⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 22

1 1x a x c b x

xx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= 2 22

1 1x a x 2 2 c b x

xx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= 2

2 1 1x a x b x 2 c

x x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

แบบฝกหดท 9 จงแกสมการตอไปน

1. (x + 3)(x + 5)(x – 2)(x – 4) = 120 2. (x – 2)(x + 3)(x + 6)(x +1) + 56 = 0 3. (2x – 7)(x2 – 9)(2x – 5) – 91 = 0 4. (x + 1)4 + (x + 5)4 = 82 5. (2x – 1)4 + (2x + 1)4 = - 8 6. (x – 12)4 + (x – 7)4 = 96 7. x4 + 2x3 – x2 + 2x + 1 = 0 8. 8x4 – 42x3 + 29x2 + 42x + 8 = 0 (ใชพหนามสวนกลบหรอไม) 9. x5 + 3x3 + 3x2 + 1 = 0 10. จงหาเซต A เมอ A = {x | x∈I+, (x + 1)(x2 + 1)(x3 + 1) = 30x3} 11. 6x4 – 25x3 + 12x2 + 25x + 6 = 0 12. 4x7 – 20x6 + 33x5 – 16x4 – 16x3 + 33x2 – 20x + 4 = 0 13. 10(x4 + 1) – 63x(x2 – 1) + 52x2 = 0 14. 5x8 – 2x6 + 4x5 + 4x3 – 2x + 5 = 0

15. จงแกระบบสมการ 4 4x y 56

x y 2

+ =

− =



ตวอยางขอสอบ

โอลมปกวชาการ สอวน. ศนย ร.ร. สวนกหลาบวทยาลย 1. (2543) ให P(x) เปนพหนาม ถาหารพหนาม P(x) ดวย x – 1 จะเหลอเศษเทากบ 3 และถาหาร P(x) ดวย x – 3

จะเหลอเศษเทากบ 5 ถา r(x) = ax + b คอเศษทเหลอจากการหาร P(x) ดวย (x – 1)(x – 3) แลว 3a + 2b เทากบเทาไร

2. 43) ให α และ β เปนรากทงสองของสมการ x2 + 7x – 1 = 0 คาของ ( )2

3 31

25α β⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥

เทากบเทาไร

3. (2544) กาหนด x – 1 และ x + 1 เปนตวประกอบของ P(x) = 2x3 + 3x2 + ax – b โดยท a, b, c เปนคาคงท เศษเหลอจากการหาร P(x) ดวย x + a + 2b คอเทาไร

4. (2544) กาหนดใหสมการ (x + 1)(x2 + 1)(x3 + 1) = 30x3 แลวคาตอบ x ทเปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ และ x มคามากกวา 1 คอ เทาไร

5. (2544) ให α, β และ γ เปนรากทงสามของสมการ x3 – 9x + 5 = 0 คาของ (1 - α)2(1 - β)2(1 - γ)2 เทากบเทาไร

6. (2546) ให a, b ∈R ถา a2 – 2b2 = 17 แลว คาของ (2a + 3b)2 – (3a + 4b)2 เทากบเทาไร 7. (2546) จงหาคา p ทกคาททาใหเศษทเกดจากการหาร x3 – 2x2 – 3x – 11 ดวย x + p เทากบเศษทเกดจากการ

หาร x3 – x2 – 9 ดวย x + p 8. (2546) จงหาจานวนเตมบวก k ทกจานวนททาใหสมการ x2 – k(x – 1) – 3 = 0 มคาตอบเปนจานวนจรงบวกหนง

คาตอบและจานวนจรงลบหนงคาตอบ สมาคมคณตศาสตร

9. (2543) จงพจารณาขอความตอไปน a. ถา A = { x | x ∈R และ 2x4 + x2 – x – 2 = 0} แลว {{1}} ∈ P(P(A)) b. ถา B = { 0, {0}} แลว P(B) – B มสมาชก 2 ตว ขอใดตอไปนถกตอง ก. ขอ 1 และ 2 จรง ข. ขอ 1 เทานนจรง ค. ขอ 2 เทานนจรง ง. ขอ 1 และ 2 เทจ

10. (2543) ให a และ b เปนจานวนเตมซง x + 1 หาร 3x3 + 4ax2 – 6bx + 5 เหลอเศษเทากบ 4 ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบขอใดตอไปน

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 โอลมปกวชาการ สสวท.

11. (2533) ถา (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 = (Ax2 + Bx + C)2 แลว A2 + B2 + C2 เทากบเทาไร ก. 14 ข. 36 ค. 51 ง. 62

12. (2534) ให A เปนเซตคาตอบทเปนจานวนจรงของสมการ x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 1 = 0 แลว จานวนสมาชกของ P(A) เทากบเทาไร

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 13. (2535) กาหนดให S = { x | x ∈Q | 4x4 – 16x3 - 5x2 + 36x + 9 = 0} แลว ผลคณของสมาชกทงหมดของ

S มคาเทากบเทาไร

ก. 9

4− ข. -9 ค.

9

4

9

4 ง. 9

14. (2535) ให x > 0 และ 22

1x 7

x+ = แลว 5

5

1x

x+ เทากบเทาไร

ก. 63 ข. 123 ค. 140 ง. 143 15. (2537) ถา 3x2 – 13x + 4 เปนตวประกอบของ 3x3 + ax2 + bx – 8 คาของ a + b ตรงกบขอใดตอไปน

ก. - 49 ข. - 11 ค. 22 ง. 49

16. (2538) กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ (x2 + 3x – 4)3 + (2x2 – x – 1)3 = (3x2 + 2x – 5)3 แลว ผลคณของสมาชกทกตวของ A เทากบเทาไร

ก. 10

3− ข.

40

3− ค.

50

3− ง.

80

3−

17. (2543) ถา x = a และ y = b สอดคลองกบสมการ 5x5 – 2xy + 2y2 – 2x – 2y + 1 = 0 แลว คาของ 10a – 2b เทากบเทาไร

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

18. (2543) กาหนดให a, b ∈ +I ซง a2b + ab2 + a + b + 8ab = 83 แลว a3 + b3 เทากบเทาไร 19. (2545) จงหาคา k ททาใหสมการพหนาม x2 – (4k + 3)x + (3k2 + 3k + 2) = 0 มรากจรงทงสองราก และ

ผลบวกของกาลงสองของรากทงสองมคานอยทสด ขอสอบโรงเรยนเตรยมอดมศกษา

20. กาหนดให A = { x | x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 = 0}

B = { x ∈ | x = 3n 1

2

− เมอ n ∈ I , 0 ≤ n < 6}

C = { x | x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0} ขอใดถกตอง ก. (A – B) ∩ C = {2} ข. (A ∪ B) - C = {1, 3} ก. (A ∩ B) ∪ B= {1, 2, 4} ง. ถกทกขอ

21. กาหนดให A = { x ∈R | x4 – 5x2 + 4 = 0} B = { x ∈R | x3 – 2x2 – 5x + 6 = 0}

จงหาวาผลบวกของสมาชกใน B มากกวาผลบวกของสมาชกใน A เทาไร 22. กาหนดให A = {x ∈ R |12x3 + 16x2 – 5x – 3 = 0} จงหาวาสมาชกของ A ทมคานอยทสดและมคามากทสด

ตางกนเปนเทาไร 23. ให S = { p2 | p เปนคาตอบของสมการ x4 + 6x3 + 7x2 – 12x – 18 = 0} ผลบวกของสมาชกทกตวใน S มคา

เทาไร

ÊÁº aµi¢o§¡ÒÃäÁ �e· �Ò¡ a¹ ในหวขอสมบตของการเทากน ไดพดถงสมบตทวไปของระบบจานวนจรงแลว ในหวขอน นจะมสมบตเพมขนอก 3

สมบต แตกอนอน ขอทบทวนสมบตการเทากนกอน ดงน ถา a ,b ,c เปนจานวนจรงใดๆ

สมบต การบวก การคณ ปด 1. a + b ∈ 6. ab ∈ สลบท 2. a + b = b + a 7. ab = ba เปลยนกลม 3. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) 8. ( ab )c = a( bc ) การมเอกลกษณ 4. ม 0 ซง a + 0 = a = 0 + a 9. ม 1 ซง a 1 = a = 1 a การมอนเวอรส 5. a + (-a) = 0 = (-a) + a 10. a (a-1) = 1 = (a-1) a การแจกแจง 11. a( b + c ) = ab + ac

ในระบบจานวนจรงจะมระบบยอย + ซง + ⊂ มสมบตเพมเตมอก 3 ประการ คอ 12. สมบตไตรวภาค ( Trichotomy ) ถา a เปนจานวนจรงใดๆ แลว ขอตอไปนขอใดขอหนงและเพยง ขอเดยวจะตองเปนจรง คอ

1. a = 0 2. a ∈ + 3. -a ∈ + 13. ถา a , b ∈ + แลว a + b ∈ + 14. ถา a , b ∈ + แลว a b ∈ +

สมบตของจานวนจรงทมชอวา “สมบตไตรวภาค (Trichotomy Property)” เปนพนฐานในการใหความหมายคาวา “มากกวา”, “นอยกวา” และเปนพนฐานในการสรางแนวในการแกอสมการ สมบตไตรวภาค (Trichotomy Property) ถา a เปนจานวนจรงใดๆ ขอใดขอหนงและเพยงขอเดยวจะตองเปนจรงคอ 1. a = 0 2. a ∈ R+ 3. – a ∈R+ นยาม เรยก a วาจานวนจรงศนย กตอเมอ a = 0 เรยก a วาจานวนจรงลบ กตอเมอ a ∈ R+ เรยก a วาจานวนจรงลบ กตอเมอ – a ∈R+ ถากาหนดจานวนจรง a และ b โดยท a – b∈ R จากสมบตไตรวภาค จะไดวาขอใดขอหนงและเพยงขอเดยวตอไปนเปนจรง 1. a – b = 0 2. a – b ∈ R+ 3. – (a – b) ∈ R+ แต –(a – b) = b – a ดงนน –(a – b) ∈ R+ กตอเมอ b – a ∈R+ นยาม เรยก a เทากบ b กตอเมอ a – b = 0 เรยก a มากกวา b กตอเมอ a – b ∈R+ เรยก a นอยกวา b กตอเมอ b – a ∈R+

a เทากบ b เขยนแทนดวย a = b a มากกวา b เขยนแทนดวย a > b a นอยกวา b เขยนแทนดวย a b กตอเมอ a – b ∈R+ a < b กตอเมอ b – a ∈R+ ตวอยาง จงพสจนวา a2 + b2 ≥ 2ab พสจน จาก (a2 + b2) – 2ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 แต (a – b)2 ≥ 0 เสมอ ดงนน (a2 + b2) – 2ab ≥ 0 ในกรณท (a2 + b2) – 2ab = 0 จะไดวา (a2 + b2) = 2ab ในกรณท (a2 + b2) – 2ab > 0 จะไดวา (a2 + b2) > 2ab ดงนน a2 + b2 ≥ 2ab

สมบตไตรวภาคของสองจานวน (Trichotomy Property) ถา a และ b เปนจานวนจรงสองจานวนใด ๆ แลว ขอตอไปนขอใดและเพยงขอเดยวเทานนจะตองเปนจรง 1. a = b 2. a > b 3. a b และ b > c แลว a > c พสจน a > b และ b > c กาหนดให a – b ∈R+ และ b – c ∈R+ สมบตไตรวภาค (a – b) + (b – c) = R+ สมบตปด (a – b) + (b – c) = [a + (- b)] + [b + (- c)] นยามการลบ (a – b) + (b – c) = a + [(- b) + b] + (- c) การเปลยนกลมการบวก (a – b) + (b – c) = a + 0 + (- c) ตวผกผนการบวก (a – b) + (b – c) = a + (- c) เอกลกษณการบวก (a – b) + (b – c) = a – c นยามการลบ ∴ a – c ∈R+ สมบตปด a > c นยามของสมบตไตรวภาค

ตงแตนเปนตนไป ใหผอานลองพสจนดวยตนเอง ทฤษฎบท การบวกดวยจานวนทเทากน ถา a > b แลว a + c > b + c เมอ c เปนจานวนจรงใดๆ พสจน a > b ……………………………………….. a - b > 0 ……………………………………….. (a + c) - (b + c) = (a + c) + (-1)(b + c) ……………………………………….. = a + c + (-1)b + (-1)c ……………………………………….. = a + c + (- b) + (-c) ……………………………………….. = a + (- b) + c + (-c) ……………………………………….. = a + (- b) + 0 ……………………………………….. = a + (- b) ……………………………………….. = a – b ………………………………………..

∴ (a + c) - (b + c) > 0 ……………………………………….. ∴ a + b > b + c ………………………………………..

ทฤษฎบท จานวนบวกและจานวนลบเปรยบเทยบกบ 0 1. a เปนจานวนจรงบวก กตอเมอ a > 0 2. a เปนจานวนจรงลบ กตอเมอ a < 0 พสจน 1. a เปนจานวนจรงบวก กตอเมอ a ∈ R+ a ∈ R+ กตอเมอ a – 0 ∈ R+ a – 0 ∈ R+ กตอเมอ a > 0 ดงนน a เปนจานวนจรงบวก กตอเมอ a > 0

2. a เปนจานวนจรงลบ กตอเมอ – a ∈ R+ - a ∈ R+ กตอเมอ 0 – a ∈ R+ 0 – a ∈ R+ กตอเมอ a < 0 ดงนน a เปนจานวนจรงลบ กตอเมอ a < 0 ทฤษฎบท สมบตการคณดวยจานวนเทากนทไมเปนศนย 1. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc 2. ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc พสจน 1. a > b และ c > 0 ……………………………………….. a - b ∈ R+ และ c ∈ R+ ……………………………………….. (a – b)c ∈ R+ ……………………………………….. ac – bc ∈ R+ ……………………………………….. ∴ ac > bc ………………………………………..

2. a > b และ c < 0 ……………………………………….. a - b ∈ R+ และ - c ∈ R+ ……………………………………….. (a – b)(- c) ∈ R+ ……………………………………….. - ac + bc ∈ R+ ……………………………………….. bc - ac ∈ R+ ……………………………………….. bc > ac ……………………………………….. ∴ ac < bc ………………………………………..

ทฤษฎบท สมบตการตดออกสาหรบการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b พสจน a + c > b + c ……………………………………….. a + c + (-c) > b + c + (-c) ……………………………………….. a + 0 > b + 0 ……………………………………….. a > b ……………………………………….. ทฤษฎบท การตดออกสาหรบการคณ 1. ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b 2. ถา ac > bc และ c < 0 แลว a bc และ c > 0 ……………………………………….. c > 0 และ c-1 > 0 ……………………………………….. (ac)c-1 > (bc)c-1 ……………………………………….. a(c⋅c-1) > b(c⋅c-1) ……………………………………….. a(1) > b(1) ……………………………………….. ∴ a > b ………………………………………..

2. พสจนในทานองเดยวกนกบขอ 1 .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................

นยาม a ≤ b หมายถง a ไมมากกวา b a ≥ b หมายถง a ไมนอยกวา b a < b < c หมายถง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถง a ≤ b และ b ≤ c a < b ≤ c หมายถง a < b และ b ≤ c ทฤษฎบท ถา r และ s เปนจานวนจรง และ r < s จะมจานวนอตรรกยะ c ซง r < c < s

ทฤษฎบทตอไปนเปนจรงเสมอ (ไมพสจนใหด) กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรงใด ๆ 1. สมบตการบวก ถา a bd

4. การยกกาลงดวย −I 4.1 ถา ab > 0 และ a b-1 หรอ 1

a >

1

b (inverse)

4.2 ถา a > b แลว an > bn ; a, b ∈ − และ n∈ −I

5. สมบตการหาร 5.1 ถา 0 < a 

b

c

6. การยกกาลงสอง 6.1 ถา a > 0 และ b > 0 และ a b2 6.3 ถา a < 0 และ b > 0 และ |a| < |b| แลว 0 ≤ a2 < b2 6.4 ถา a < 0 และ b > 0 และ |a| > |b| แลว 0 ≤ a2 < b2

10. ถา a + 1

a > 2 แลว a > 1 ; a ∈ −I

11. ถา a < b แลว a < a b

2

+< b

11. a b

ab2

+≥ (อสมการคาเฉลยเลขคณต – เรขาคณต : AM – GM Inequalities)

อสมการคาเฉลยเลขคณต – เรขาคณต

ให a, b ∈ + จะไดวา a b

2

+ ≥ ab และสมการเปนจรงกตอเมอ a = b

เรยก a b

2

+ วา คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean)

เรยก ab วา คาเฉลยเรขาคณต (Geometric Mean) พสจน ให a ≥ 0 และ b ≥ 0 เราทราบวา

( )2a b− ≥ 0

∴ a - 2 ab + b ≥ 0

a b

2

+ ≥ ab

และ ( )2a b− = 0 กตอเมอ a b= คอ a = b

และสมการจะเปนจรงกตอเมอ a b

2

+ = ab กตอเมอ a = b

นอกจากน ยงสามารถพสจนไดโดยใชเรขาคณต แตในทนจะไมกลาวถง

การบวก ลบ คณ หาร เครองหมายไมเทากน คณสมบตการบวก ลบ ของจานวนทไมเทากน กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรงใด ๆ

ถา a < x < b และ c < y < d จะไดวา 1) a + c < x + y < b + d

และ 2) a – d < x – y < b – c พสจน 1) a + b < x + y และ x + y < b + d จาก a < x และ x < b c < y และ y < d a + c < x + y และ x + y < b + d ดงนน a + c < x + y < b + d

2) จาก a < x และ x < b c < y และ y < d หรอ y < d และ c < y a – d < x – y และ x – y < b – c ดงนน a – d < x – y xy > bd

พสจน จาก a < x และ x xy และ xy > bd ∴ ac < xy < bd ∴ ac > xy > bd

คณสมบตการหารของจานวนทไมเทากน

กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรงบวก กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรงลบ ถา a < x >

พสจน จาก a < x และ x 

x

y และ

x

y >

b

c

∴ a

d <

x

y 

x

y >

b

c


1. กาหนดให 2 < x < 5 และ 3 < y < 8 จงหา x + y, x – y, xy และ x

y

2. กาหนดให -5 < x < -1 และ -4 < y < -2 จงหา 2x + y, x – 2y, xy และ x

y

3. กาหนดให 2 < x < 5 และ -7 < y < -2 จงหา x + y, x –y, xy, x

y , x2 + y2

4. กาหนดให -5 < x < 3 และ 2 < y < 4 จงหา 2x + y, x2 –y, xy

5. จงตอบคาถามตอไปน 1. จรงหรอไมท ถา a > b แลว a2 > b2

2. จรงหรอไมท ถา a, b ≠ 0 และ a > b แลว 1 1

a b<

3. กรณใดบางท a > b แลว 1 1

a b<

4. กรณใดบางท a > b แลว 1 1

a b>

5. จรงหรอไมท ถา a > b แลว –a < -b 6. จงเปรยบเทยบ สมบตของ “>” , “≥” กบสมบตการเทากน 7. จงใหความหมายของ a ≤ b < c

ª �Ç§æÅa¡ÒÃæ¡ �ÊÁ¡ÒÃ ชวง (Intervals)

ชวง (interval) เปนขอบเขตทระบวา อสมการนจะมคาตอบเปนเทาไรบาง บทนยาม เมอเอกภพสมพนธเปนเซตของจานวนจรง และ a a} ชวง [a, ∞) หมายถง {x|x ≥ a} ชวง (-∞, a) หมายถง {x|x < a} ชวง (-∞, a] หมายถง {x|x ≤ a} ชวง (-∞,∞) หมายถง เซตของจานวนจรง

หมายเหต ชวง ∞ เปนทตกลงวา จะใชชวงเปดเสมอ ( , ) คอ ชวงเปด (จดโปรง แสดงวาไมรวมจานวนนน) [ , ] คอ ชวงปด (จดทบ แสดงวารวมจานวนนนดวย) ตวอยาง จงเขยนชวงดวยกราฟบนเสนจานวน

ชวง (2,5) ชวง [2,5] ชวง (2,5] ชวง [2,5) ชวง (2, ∞) ชวง [2, ∞) ชวง (-∞,5) ชวง (-∞,5]

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

1. จงเขยนชวงตอไปนในรปของเซต และแสดงชวงโดยเสนจานวน 1) [-3,1) 2) (-2, ∞) 3) [4,7] 4) (-3,0) 5) (-∞,-3)

6) [1, ∞) 7) (-1,4] 8) (-∞,1] 9) (-10,-8) 10) [2.5,4]

2. ถา A = (-1,2) , B = [0,4] จงหาเซตตอไปน 1) A ∪ B 2) A ∩ B 3) A – B

4) B – A 5) A’ 6) B’

3. ถา A = {x|2 ≤ x ≤ 5} B = {x|-1 < x < 3} C = {x|x < x ≤ 4} จงหาเซตตอไปน 1) B ∪ C 2) A ∩ C 3) A ∪ B ∪ C 4) A ∩ B ∩ C 5) A’ ∩ B 6) B’ ∩ C 7) (A ∪ B) ∩ C 8) (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

การแกอสมการ อสมการ (Inequality) คอ ประโยคสญลกษณทกลาวถงความสมพนธของจานวน โดยมสญลกษณ < (นอยกวา)

> (มากกวา) ≤ (นอยกวาหรอเทากบ) ≥ (มากกวาหรอเทากบ) ≠ (ไมเทากบ) บอกความสมพนธระหวางจานวน เซตคาตอบของอสมการใน x หมายถง เซตทมสมาชกเปนจานวนจรง โดยทจานวนเหลานเมอนามาแทน x แลว ทาใหอสมการเปนจรง การแกอสมการ คอ การหาเซตคาตอบของอสมการ การแกอสมการจงนยมใชสมบต 2 ขอดงตอไปน 1. การบวกทงสองขางของอสมการดวยจานวนจรง 2. การคณทงสองขางของอสมการดวยจานวนจรงบวก ถาจะใชสมบตอนตองระมดระวงใหด เปนตนวาการคณทงสองขางของอสมการดวยจานวนจรงลบ การกลบตวเศษเปนตวสวน การยกกาลงสองทงสองขาง ตองระมดระวงการเปลยนเครองหมายของการไมเทากน ♠ อสมการเชงเสน ตวอยาง จงแกอสมการ 9x –2 < - 20 วธทา 9x –2 < - 20 (นา 2 มาบวกทงสองขาง); 9x –2 + 2 < - 20 + 2 9x < - 18

(นา 9

1 คณกนทงสองขาง) ;

9x

9 <

18

9−

∴ x < -2 ดงนน คาของ x ทสอดคลองอสมการทกาหนดเปนจานวนจรงทนอยกวา -6 เซตคาตอบของอสมการ คอ {x|x < -6} เนองจากอสมการนน เราไดศกษากนเมอชวงชนท 3 แลว ดงนน ในทนจงขอไมพดอก

♠ อสมการกาลงสองและมากกวาสอง เรามวธการในการแกอสมการ คอ เราจะจดใหพจนทงหมดทไมเปนศนยอยทางซายของอสมการ ใหทางขวาเปนศนย (ใหสอดคลองกบสมบตการไมเทากน) แลวพจารณาวาแยกตวประกอบไดหรอไม ถาแยกตวประกอบได ใหพจารณาเครองหมายของแตละพจน ขอใหลองพจารณาตามตวอยางตอไปน ตวอยาง จงแกอสมการ x2 – 20 < x จดนพจนใหอยขางเดยวกน จะได x2 – x - 20 < 0 แยกตวประกอบพหนาม จะได (x + 4)(x – 5) < 0 จากตวประกอบทแยกได เราตองพจารณาหาคา x ททาใหสอดคลองตามอสมการ คอ เครองหมายของวงเลบ (x + 4) และ (x – 5) ตองมเครองหมายตางกน การพจารณาเครองหมายแตละพจน ในการตรวจสอบแตละตวประกอบวาคานนจะเปนบวก หรอลบ หรอศนยเมอใด จดทแตละตวประกอบเปนศนย เรยกวา จดวกฤต (Critical Point) และเรยกคานวา คาวกฤต (critical value) เรมตนน เราจะวเคราะหเครองหมายของวงเลบ (x + 4) กอน

คาวกฤต x + 4 จะเปนบวกเมอ x + 4 จะเปนลบเมอ x + 4 = 0 x = 4

x + 4 > 0 x > -4

x + 4 < 0 x < -4

นาคาวกฤตมาลงในเสนจานวน

จงสรปไดวา x +4 จะเปนบวกเมอ x มากกวา -4 จะเปนลบเมอ x นอยกวา -4 จะเปนศนยเมอ x เทากบ - 4 ในทานองเดยวกน พจารณาเครองหมายของ (x – 5)

คาวกฤต x – 5 จะเปนบวกเมอ x – 5 จะเปนลบเมอ x - 5 = 0 x = 5

x– 5 > 0 x > 5

x – 5 < 0 x < 5

นาคาวกฤตมาลงในเสนจานวน

จงสรปไดวา x -5 จะเปนบวก เมอ x มากกวา 5 จะเปนลบ เมอ x นอยกวา 5 จะเปนศนยเมอ x เทากบ 5 เนองจากสองวงเลบนตางแสดงเครองหมายและคณกน ดงนน เราจงนามาพจารณารวมกนเมอนามาคณกนแลว

เครองหมายของ x + 4 - + + เครองหมายของ x – 5 - - + เครองหมายของ (x + 4)(x – 5) + - +

สงเกตวา เครองหมายของสองวงเลบคณกน เครองหมายจะเปลยนไป เมอพจารณาจากอสมการ เราจะพบวา อสมการนอยกวาศนย แสดงวาอสมการนแสดงคาลบ ดงนน เราจงตอบคาชวงเปด คอ (-4, 5) เขยนกราฟแสดงคาตอบไดเปน

5 - +

- 4 - +

-4 5

- 4 5

ขอสงเกตทตองนามาปฏบตได - กรณทอสมการ เปนเครองหมายท มากกวาหรอเทากบ ใหเราตอบในชวงปด เพราะวาเรารวมคาทมโอกาสจะเปนศนยดวย วธของชวง (The Method of Intervals) Consider the sign of the expression f(x) = (x -a1)(x -a2) ... (x -an) where a1 < a2 < ... < an.

On the real number line, mark points a1, a2, ..., a n. Start with a positive sign for x > an; -ve for an -1 < x < an; and then alternating +ve and -ve signs. The logic is that when x> an; all factors x -a1, x -a2, ..., x -a n are +ve and hence f(x) is +ve; when an-1 < x < an, only one factor x -an is -ve, and so f(x) is -ve, and so on. จากวธของชวง สรปไดดงตอไปน 1. หาจด x ททาให (x – a1)(x – a2)(x – a3)…(x – an) = 0 จะได x = a1, a2, a3, …, an 2. นาคา a1, a2, a3, …, an กาหนดลงบนเสนจานวน ซงคาเหลานจะแบงเสนจานวนเปนชวงๆ (ใหเราเรยงจากนอยไปหา

มากบนเสนจานวน) 3. ใสเครองหมาย + และ - สลบกน โดยเรมทบวกกอนทางดานชองขวาสด 4. เลอกชวงทมเครองหมายตามทโจทยตองการไปตอบ ตวอยาง จงแกอสมการ x2 – 2x – 3 ≤ 0 วธทา แยกตวประกอบ จะได (x -3)(x + 1) ≤ 0 จากวธของชวง จะได

ดงนน เซตคาตอบคอ [-1, 3]

ตวอยาง จงแกอสมการ x(x 2)(x 1)(3x 5) 0+ + − <

วธทา สมการนไดแยกตวประกอบแลว ไดคาวกฤตเปน = - 1 , - 2 , 0 , 5

3

เซตคาตอบของอสมการคอ 5

( 2 , -1 ) (0 , )3

− ∪

♠ อสมการตรรกยะ (Rational Inequalities) อสมการอตรรกยะเปนอสมการทอยในรปเศษสวนโดยมพจนทไมทราบคาวาจะเปนบวก หรอลบ หรอศนยเมอใด ดงนน เราจะไมใชวธการคณทแยง แตเราอาจแกอสมการได 2 วธ คอการใชวธของชวง คอเราตองใหความสาคญกบสวนของเศษสวน ใหนพจนทไมทราบคาไมเปนศนย (คาวกฤตตองไมทาใหเปนศนย) และอกวธคอ เราจะยกกาลงสองของพจนเปนสวนแลวคณทงอสมการ (เพอทาใหมการตดทอนไปหนงครงและมคาใหนามาคดหนงครง) แตอยาลมตงเงอนไขไวเบองตนวา คาวกฤตนนตองไมเปนศนย

ตวอยาง จงแกอสมการ 1

x <

1

2

วธทา จาก 1

x <

1

2

1

x-

1

2 < 0

-1 3 + - +

0 - 1 - 2 53

+ - + - +

2 x

2x

− < 0

22 x( )(2x )

2x

− < 0(2x2) เมอ x ≠ 0

(2 – x)x < 0 -x(x – 2) < 0 x(x-1) > 0 ใชวธการของชวง

ดงนน เซตคาตอบของอสมการคอ (-∞, 0) ∪ (2, ∞) ขอใหสงเกตวา การใชวธการของชวงกบการคณดวยพจนทยกกาลงสองกใหความหมายเทากน

ตวอยาง จงแกอสมการ x 2

x 2 x 1≥

+ −

วธทา จากอสมการทกาหนดให จะได

x

x 2+ ≥

2

x 1−

x 2

x 2 x 1−

+ − ≥ 0

x(x 1) 2(x 2)

(x 2)(x 1)

− − ++ −

≥ 0

2x x 2x 4

(x 2)(x 1)

− − −+ −

≥ 0

2x 3x 4

(x 2)(x 1)

− −+ −

≥ 0

(x 1)(x 4)

(x 2)(x 1)

+ −+ −

≥ 0

จากวธการของชวง จะไดคาวกฤตเปน -2, -1, 1, 4 (x + 2, x – 1 ตองไมเปนศนย)

เซตคาตอบของอสมการคอ ( ) ) ), - 2 1 , 1 4, −∞ ∪ − ∪ − ∞⎡ ⎡⎣ ⎣

+ - + -

+

- 2 1 4

0 1 + - +

♠ อสมการอตรรกยะ (Irrational Inequalities) เปนอสมการทนพจนทไมทราบคาอยภายใตเครองหมายกรณฑ เราสามารถหาเซตคาตอบไดโดยการยกกาลงสองทงสองขาง ใหเปนจานวนเตมบวกหรอเตมศนย โดยอสมการใหมตองสมมลกบอสมการเกา การยกกาลงทงสองขางของอสมการดวยจานวนเตมบวกค จะไดอสมการทสมมลกบอสมการขนตน ถายกกาลงสองทงสองขางของอสมการดวยจานวนเตมบวกค จะไดอสมการซงสมมลกบอสมการขนตนถาทงสองขางมากกวาหรอเทากบศนย แตกอนอนใหเราพจารณาเงอนไขคาทอยในกรณฑใหมากวาหรอเทากบศนย และพจารณาเพมเตมถากรณฑเปนสวน สวนตองไมเทากบศนย

ตวอยาง จงแกอสมการ 2x 1 1

2 x 2

−<

−

วธทา กอนอนพจารณาเงอนไขทเปนเทอมของตวแปรทอยในกรณฑ

2x 1− ; 2x – 1 ≥ 0

x ≥ 1

2

x 2− ; x - 2 > 0 x > 2 จดอสมการโดยอาจจะไมใหอยในกรณฑ โดยการยกกาลงสองทงสองขาง

2x 1

2

− <

1

x 2−

2x 1

2

− <

1

x 2−

จดใหอยขางเดยวกน จะได

2x 1

2

−-

1

x 2− < 0

(2x 1)(x 2) 2

2(x 2)

− − −−

< 0 ; x ≠ 2

22x 5x

2(x 2)

−−

< 0

x(2x 5)

2(x 2)

−−

< 0

จากวธของชวง จะไดคาวกฤตเปน 0,2, 5

2 ; x ≠ 2

Intersect กบเงอนไขแรก จงไดวา

ดงนน เซตคาตอบคอ (2, 5

2)

ขอควรทราบเกยวกบการแกอสมการ - อสมการทเปนเลขยกกาลง เชน (x – a)2(x – b)3(x + c) > 0 กรณทเปนกาลงค ใหเราตดการพจารณาทงไดเลยเพราะ

เสมอนวา หารดวยกาลงคตลอด ยกเวนกรณทมตวหาร ยงคงตองนามาพจารณาไมใหตวหารเปนศนย หากวากรณกาลงเปนกาลงค กใหนามาพจารณาโดยลดทอนกาลงเปนหนงแลวนามาคด และแกอสมการตอไป

- กรณทเปนอสมการสองชน เชน x < y < z ใหหาแยกกรณกอน แลวนาแตละกรณมา Intersect กน

2 5

2

+ + 0

จงแกอสมการตอไปน

1. 3x + 1 < 2x – 1 2. 4y + 7 > 2(y + 1) 3. 2(3x – 1) > 3(y – 1) 4. 4 – (3 – x) < 3x – (3 – 2x) 5. x2 – x – 6 ≤ 0 6. 2x2 + 7x + 3 ≥ 0 7. 6x – x2 ≥ 5 8. 2x < 3 – x2 9. x2 + 2x < 15 10. 3x2 + 2 ≥ 7x 11. x3 – 3x2 ≤ 10x 12. x3 – x2 – x + 1 ≥ 0 13. x3 – x > 2x2 – 2 14. x(x2 + 4) < 5x2

15. 2x 12

x

+ > 7

16. 2x 6

x

+ ≤ 5

17. (x 1)(x 3)2

x

− +− ≤ 0

18. 2x 3

(x 2)(x 5)

−+ −

> 0

19. 6

x 1− > 1

20. 2x 4

x 1

−−

< 1

21. 6

x 4− ≤ x + 1

22. 8

x 2+ ≥ x

23. 2

5 x

x 3x 2

−− +

< 1

24. x 6

x(x 1)

++

< 6

25. 1

x 1+ ≥

1

x 4+

26. 1

x 2+ ≥

1

2x 3−

27. x

x 2+ >

1

x

28. x 1

2x 3

+−

< 1

x 3−

29. 2 2

2

(x 3x 10)(x x 6)

x 2x 15

+ − + −+ −

≥ 0

30. 2 2

2

(2x x 1)(3x 5x)

3x 2x 1

+ − −− −

≤ 0

31. 20 x 1 5≤ + ≤

32. 2 3x

x 1 x 2≤ ≤

− −

33. 2x 11 3

x 4

+≤ ≤

−

34. (1 x)(1 2x)0

x 1

− +>

+

35. 2 3

2x 10

(x 4) (x 3)

+>

− −

36. 2 9

x 30

(x 2) (x 7)

+≤

+ −

37. 2

2

8x 11x 100

(x 4)(x 2x 63)

− −≥

+ − −

38. 2

18 15xx 6

x 2x 3

−> −

+ −

39. 4 2

x 2 x 1≥

− +

40. 22x 7x 3 7+ + <

41. 2x(x x 2) 2x− + − <

42. 2x 8x 12 x 4− + > −



การแกอสมการโดยอาศยวงเลบ วงเลบเปรยบเสมอนลกกญแจทจะชวยไขปญหาในการแกอสมการใหงายขน โดยมหลกการคอ เราจะพจารณาเครองหมายของวงเลบวาจะเปนบวก เปนลบ และเปนศนยเมอใด วงเลบม 3 ลกษณะ คอ

- วงเลบทมโอกาสเปนไดทงบวก ลบ และศนย เชน x – 3, (x – 4)3, x3 – 8 ฯลฯ - วงเลบทมโอกาสเปนไดทงบวก และศนย เชน (x + 1)10, (x – 2)500 ฯลฯ - วงเลบทมโอการเปนบวกเพยงอยางเดยว เชน 4x2 + 5, (3x – 2)4 + 8 ฯลฯ เพอความเขาใจ ขอใหดตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงแกอสมการ 2

6

(2x 3)(x 1)0

(x 8)

− +>

+

วธทา เนองจากวา x2 + 1 > 0 และ x6 + 8 > 0 อยแลว ไมนามาพจารณา ดงนน จะไดวา 2x – 3 > 0

x > 3

2

ดงนน เซตคาตอบคอ 3,

2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

ตวอยางท 2 จงแกอสมการ 7 2(4x 3) (3x 6) 0− + ≤ วธทา เนองจากวา (4x – 3)7 = (4x – 3)6(4x – 3) ซง (4x – 3)6 ≥ 0 และ 3x2 + 6 > 0 อยแลว ไมนามาพจารณา ดงนน จะไดวา 4x - 3 ≤ 0

x ≤ 3

4

ดงนน เซตคาตอบคอ 3

,4

⎛ ⎤−∞⎜ ⎥⎝ ⎦

ตวอยางท 3 จงแกอสมการ 5 2 2

7

(x 5) (x 1)(x 4)0

(x 2)

− − −≥

+

วธทา แยกตวประกอบ และพจารณาคา จะไดวา (x 5)(x 1)(x 1)(x 2)(x 2)

0(x 2)

− − + − +≥

+

ขอสงเกต ในการแกอสมการ ถามพจนทสามารถตดทอนได เราจะทาการตดทอนพหนามไดเลยในขนตน แตเมอนาไปพจารณาตามวธของชวง ใหเรานาคาวกฤตตวทตดทอนไปพจารณาหลงจากดาเนนการตามวธของชวงแลว โดยใหพจารณาตามเงอนไข จากเงอนไข จะไดวา x ≠ 2 นาไปคดตามวธของชวง จะได

ดงนน เซตคาตอบคอ ( , 2) (2, 1] [1, 2] [5, )−∞ − ∪ − ∪ ∪ ∞


50

( 3x 2)

−≥

−

วธทา เซตคาตอบคอเซตวาง φ เพราะไมมจานวนเตมลบทมากกวาจานวนเตมบวกและเตมศนย

+ - + -

+

- 1 2 5 1 -2

80

4x 9≥

+

วธทา เซตคาตอบคอจานวนจรงใด ๆ ( )+


2

(x 3)0

x 4x 5

−>

+ +

วธทา พจารณา x2 + 4x + 5 พบวาไมสามารถแยกตวประกอบแบบธรรมดาได ใหเราแยกตวประกอบในรปกาลงสองสมบรณ ซงเทากบ (x + 2)2 + 1 ดงนนวงเลบนไมนามาพจารณา

ทาใหไดวา พจารณาเฉาะวงเลบ (x – 3)2 ซง (x – 3)2 +∈ , {0} ดงนน ตองพจารณาเงอนไขไมให x = 3 นนคอ x ≠ 3 ดงนน เซตคาตอบคอ { }3−


2

(3x 5)0

x 3

−≤

+

วธทา จากการพจารณา พบวา x2 + 3 > 0 และ (3x – 5)2 ≥ 0 แตจากโจทย ตองการใหนอยกวาหรอเทากบ ดงนน เงอนไขทเปนไปได คอ 3x – 5 = 0

x = 5

3

ดงนน เซตคาตอบคอ 5

3⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭


2 13

4x 70

(2x 3x 5)

+<

+ +

วธทา ลดทอนวงเลบ จะไดวา 2

2

4x 70

2x 3x 5

+<

+ +

ไมพจารณา 4x2 + 7

วงเลบ 2x2 + 3x + 5 =

23 2 31

2x 04 8

⎡ ⎤+ + >⎢ ⎥

⎣ ⎦

ดงนน เซตคาตอบคอเซตวาง φ

ตวอยางท 9 จงแกอสมการ x 2 0− < วธทา เซตคาตอบคอเซตวาง φ

ตวอยางท 10 จงแกอสมการ 4x 1 2+ = − วธทา เซตคาตอบคอเซตวาง φ

จงแกอสมการตอไปน

1. 2

(x 3)(x 1)(x 5)0

(x 4) (x 2)

+ + −≤

− −

2. 5 8 10

9 4 100

(x 5) (x 9) (x 10)0

(x 7) (x 2) (x 4)

− + −≤

+ + −

3. 2 4

6

(x 3) (x 4)0

(x 7)

− +>

−

4. 3 4 2

2 2

(x 7) (x 4) (x 2)0

(x 1)(x 2)

+ + +≥

− +

5. 2 2

2

(x 3x 10)(x x 12)0

x x 20

+ − − −≥

+ −

6. (2x + 1)3(x + 1)5 < 0

7. 11 24 53(x 2) (x 3) (x 4) 0− − − ≥

8. 4 9 27 100(x 1) (x 2) (x 3) (x 4) 0− − − − ≤

ตวอยางขอสอบ

โอลมปกวชาการ สสวท.

1. (2533) อนเตอรเซคชนระหวางเซตคาตอบของอสมการ 8

3 xx 1

+ ≤−

กบเซตขอใดตอไปนเปนเซตวาง

ก. 1, 5⎡ ⎤⎣ ⎦ ข. )1, 5⎡⎣

ค. ( ), 5−∞ ง. [ 1, 1) [5, )− ∪ ∞

2. (2533) เซตในขอใดเปนเซตคาตอบของอสมการ 3 2

2

2x x 2x 10

x 2x 3

+ − −≥

− −

ก. 1

( 3, 1) , 1 (1, )2

⎡ ⎞− − ∪ − ∪ ∞⎟⎢⎣ ⎠

ข. 1

( 3, 1] ,2

⎡ ⎞− − ∪ − ∞⎟⎢⎣ ⎠

ค. 1

( , 3) 1, (1, )2

⎡ ⎤−∞ − ∪ − − ∪ ∞⎢ ⎥⎣ ⎦

ง. 1

( 3, 1] , 12

⎡ ⎤− − ∪ −⎢ ⎥⎣ ⎦

3. (2533) กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง โดยท a, b ≥ 0 ขอใดตอไปนถกตอง

ก. a b

2

+ = ab ข.

a b

2

+ ≠ ab

ค. a b

2

+ ≤ ab ง.

a b

2

+ ≥ ab

4. (2535) กาหนด 1

x y2

+ < และ x2 + y2 < 2 ขอใดถก

ก. ( )12 x x 15

4− < < +

ข. ( )11 x x 15

4− < < −

ค. ( ) ( )1 1x 15 x x 15

4 4− < < +

ง. ( )10 x x 15

4< < +

5. (2538) กาหนดให A = 3 2 2

3

a a 5a b 6ab| ab 0 และ 0

b (a b)

⎧ ⎫− +∈ > ≥⎨ ⎬

−⎩ ⎭ A เทากบสบเซตใดของ

6. (2545) ถา S = { }8 5 2x | x 5x x x 1 0∈ − + − + > แลว R - S คอเซตใด

ขอสอบโรงเรยนเตรยมอดมศกษา

7. กาหนดชวงของจานวนจรงโดยนยาม An = 3, 3n

n

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠ เมอ n เปนจานวนเตมบวก จงหาวา

(A1 ∪ A4) – (A2 ∩ A3) คอขอใด

ก. )3 3, 6, 12

4 2

⎡ ⎞ ∪ ⎡⎟ ⎣⎢⎣ ⎠ ข. )3

,6 7, 124

⎡ ⎞ ∪ ⎡⎟ ⎣⎢⎣ ⎠

ค. 3, 6

2

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠ ง.

3, 6

4

⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠

8. เซตคาตอบของอสมการ 2x (x 3)

0x 4

−≥

+ คอขอใด

ก. { x | x ≥ 3 หรอ x ≤ -4} ข. { x | x ≥ 3 หรอ x < -4 หรอ x ≠ 0} ค. { x | x ≥ 3 หรอ x < -4 หรอ x = 0} ง. { | x ≥ 3 หรอ x ≤ -4 หรอ x = 0}

9. เซตคาตอบของ 3x-2 – 5x-1 – 2 > 0 คอขอใด

ก. 1

3,2

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

ข. ( ) 13, 0 0,

2

⎛ ⎞− ∪ ⎜ ⎟⎝ ⎠

ค. ( ) 1, 3 ,

2

⎛ ⎞−∞ − ∪ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

ง. ( 1, 3 ,

2

⎡ ⎞−∞ − ∪ ∞⎤ ⎟⎦ ⎢⎣ ⎠

10. กาหนดให A = {x |3x2 + 5x + 2 < 0} และ B = 2x 1

x | 0x 3

+⎧ ⎫≥⎨ ⎬−⎩ ⎭

ก. φ ข. 2

1,3

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠

ค. 1, 3

2

⎛ ⎤−⎜ ⎥⎝ ⎦ ง. ( )2 1

, 1 , 3,3 2

⎡ ⎞−∞ ∪ − − ∪ ∞⎤ ⎡⎟⎦ ⎣⎢⎣ ⎠

¤ �ÒÊ aÁºÙÃ³ �¢o§¨íÒ¹Ç¹¨Ãi§ นยาม กาหนดให a แทนจานวนจรงใด ๆ

คาสมบรณของจานวนจรง (Absolute Value of Real Number) หมายถง ระยะหางระหวางจดแทน 0 กบจดแทน a บนเสนจานวน คาสมบรณของ a เขยนแทนดวย |a| เงอนไขของคาสมบรณ

a when a 0

a 0 when a 0

a when a 0

>⎧⎪= =⎨⎪− <⎩

จากบทนยามของคาสมบรณ ขอใหพจารณาตามตวอยางตอไปน |5| = 5 เพราะ 5 > 0 |-5| = -(-5) เพราะ -5 < 0 |0| = 0 เพราะ 0 = 0 คาวาคาสมบรณ เปนความหมายเชงเรขาคณต เมอคาสมบรณเปนระยะทาง แสดงวาตองมคาเปนบวกเสมอ ดงนน จากบทนยาม จงนาไปสรปเปนทฤษฎบทบางขอเกยวกบคาสมบรณไดดงน (ไมพสจนใหด) ซงมประโยชนมากในการแกสมการและอสมการ

คณสมบตพนฐานของคาสมบรณ

1. a when a 0

aa when a 0

≥⎧= ⎨

− <⎩

2. a 0≥

3. a a= −

4. a b b a− = −

5. ab a b= ⋅

6. aa

b b

= โดยท b ≠ 0

7. 2 2a a=

8. 3 3a a≠

9. a b a b+ ≤ + (เรยกวา อสมการองรปสามเหลยม)

- ถา ab > 0 (a, b มเครองหมายเหมอนกน) แลว a b a b+ = +

- ถา ab < 0 (a, b มเครองหมายตางกน) แลว a b a b+ < +

10. a b a b− ≥ −

- ถา ab > 0 (a, b มเครองหมายเหมอนกน) แลว a b a b− = −

- ถา ab < 0 (a, b มเครองหมายตางกน) แลว a b a b− > −

11. กาหนด p(x) เปนพหนามใดๆ ถา a > 0 และ p(x) a= แลว x = a หรอ x = - a

12. ถา p(x) q(x)= แลว p(x) = q(x) หรอ p(x) = - q(x)



การแกสมการคาสมบรณ สามารถแบงวธการแกสมการได 3 วธคอ

1. การใชคณสมบตของคาสมบรณ 2. การยกกาลงสองทงสองขาง 3. การพจารณาตามนยามของคาสมบรณ

ในการเลอกวาจะทาขนตอนใด อยางไร ใหพจารณาจากโจทยและขนตอนในการแกโจทยปญหา โดยวธทงายทสดคอการใชคณสมบตของคาสมบรณ รปแบบของคาสมบรณในการแกสมการ ถา p(x) a= โดยท a ≥ 0 แลว p(x) = a หรอ p(x) = -a

ตวอยาง จงแกสมการ 3x 2 7+ =

วธทา จากนยามของคาสมบรณ จะไดวา 3x + 2 = 7 หรอ 3x + 2 = -7 3x = 5 หรอ 3x = -9

x = 5

3 หรอ x = -3

ดงนน คาตอบของสมการคอ 5

3 และ -3

ตวอยาง จงแกสมการ 2x 3x 2 3x 7+ − = +

วธทา จากนยามของคาสมบรณ จะไดวา x2 + 3x – 2 = 3x + 7 หรอ x2 + 3x – 2 = - (3x + 7) x2 – 9 = 0 หรอ x2 – 6x + 5 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 หรอ (x – 5)(x – 1) = 0 x = 3, -3 หรอ x = 5, 1 หลงจากตรวจคาตอบแลว ดงนน คาตอบของสมการคอ 3,5 และ 1

ตวอยาง จงแกสมการ 2x 3x 1 4+ − = −

วธทา จากนยามของคาสมบรณ ทาใหทราบวา คาสมบรณจะตองมากกวาหรอเทากบ 0 เสมอ ดงนน เซตคาตอบของสมการคอ เซตวาง

ถา p(x) a q(x)= โดยท a > 0 แลว p(x) = a[q(x)] หรอ p(x) = -a[q(x)]

นอกจากจะพจารณาตามนยามแลว อาจนาไปยกกาลงสองทงสองขางกได เมอนาไปยกกาลงสองทงสองขาง กจะทาใหเขารปแบบของเลขยกกาลง คอ จะทาใหเปนบวกเสมอ ซงหลงจากนน เราจะใชรปแบบผลตางกาลงสองในการแกสมการไดเชนเดยวกน ทบทวน... ผลตางกาลงสอง = ……………………………………………………….

ตวอยาง จงแกสมการ 2x 1

3x 3

−=

+

วธทา ในตวอยางน สามารถทาไดในรปแบบแรกเชนเดยวกน แตทานองกลบกน กสามารถใชสมบต ของคาสมบรณใหอยในรปแบบทไดกลาวถงไวกได โดยท

2x 1

3x 3

−=

+ ดงนน 2x 1 3 x 3− = +

จากสมบตของคาสมบรณ จะไดวา 2x – 1 = 3( x + 3) หรอ 2x – 1 = -3(x + 3) 2x – 1 = 3x + 9 หรอ 2x – 1 = - 3x – 9



x = -10 หรอ x = 8

5−

ดงนน คาตอบของสมการ คอ -10 และ 8

5−

ในทานองเดยวกน เราสามารถใชการยกกาลงสองทงสองขางกได ดงน

2(2x 1)− = 23(x 3)+

2(2x 1)− - 23(x 3)+ = 0 [(2x 1) (3x 9)][(2x 1) (3x 9)]− + + − − + = 0 (5x + 8)(x + 10) = 0

ดงนน คาตอบของสมการ คอ -10 และ 8

5−

1. p(x) p(x)= หรอ 2p(x) p(x)=

2. p(x) p(x)= − หรอ 2p(x) p(x)= −

แกโดยนยามคาสมบรณ คอ 2 p(x) when p(x) 0p(x) p(x)

p(x) when p(x) 0

≥⎧= = ⎨

≤⎩

สรป จาก 1. จะเปนจรง เมอ p(x) ≥ 0 2. จะเปนจรง เมอ p(x) ≤ 0

ตวอยาง จงแกสมการ 2 22x 5x 3 3 5x 2x+ − = − −

วธทา สงเกตวา ตรงกบรปแบบท 2 คอ 2 22x 5x 3 (2x 5x 3)+ − = − + −

ดงนน จะไดวา 2x2 + 5x – 3 ≤ 0 (2x – 1)(x + 3) ≤ 0

ดงนน เซตคาตอบคอ [-3,1

2]

a p(x) b q(x) c r(x)± = โดยท a, b, c มากกวา 0 หรอนอกเหนอจาก 3 กรณแรก สามารถแกไดโดย

วธการ 1. ยกกาลงสองทงสองขาง 2. แยกพจารณาเปนชวง ตามนยามของคาสมบรณ เนองจากการแกสมการประเภทน หากใชวธการยกกาลงสอง ผลทไดจะออกมาคอนขางยงยากพอสมควร ดงนน ในทนจะนาเสนอการแกสมการโดยการใชการพจารณาเปนชวงแทน ขอใหพจารณาตามตวอยางตอไปน ตวอยาง จงแกสมการ 2x 1 3 x 3− − − =

วธทา จากสมการดงกลาว เพอตองการปลดคาสมบรณ กอนอนหาคาวกฤตคอ 1

2 และ 3

นาคาวกฤตมาเขยนลงบนเสนจานวน เรยงจากนอยไปมาก แลวพจารณาคาตาง ๆ ในชวง

ดงนน เซตคาตอบคอ {-5, 7

3}

สรปขนตอนการแกสมการคาสมบรณโดยพจารณาเงอนไข

1. หาคาวกฤตในคาสมบรณทงหมด เขยนบนเสนจานวน เรยงจากนอยไปหามาก 2. พจารณาถอดวงเลบ โดยอาศยนยามของคาสมบรณเปนชวง ๆ ไป 3. คาตอบแตละชวง ใหตรวจสอบวาคาตอบทไดจากการแกสมการอยในชวงหรอไม 4. นาเซตคาตอบแตละชวงทใชไดจากขอ 3 มายเนยนกน

แบบฝกหดท 14 จงหาเซตคาตอบของสมการตอไปน

1. 2x 1 4+ =

2. 3x 4 1− + =

3. 4 2x 3− =

4. 2x 20 5− =

5. 1x 5

3+ =

6. x 23

x 5

+=

+

7. 5x 2 5+ = −

8. 3x 5 7x 2− = −

9. x 6 3 2x− = −

10. 2x 4 x 5+ = −

11. 1 x 1 x− = −

12. 1 x x 1− = −

13. x 1 x 1− = −

14. x 1 1 x− = −

15. 2x 1 2x 1+ = +

16. 2x 1 2x 1+ = − −

17. 2x 3 x 5+ = −

18. 5x 2 2(x 3)+ = +

19. 2x 5 2x 1− = +

20. 3x 1 1 3x+ = − −

21. x 2 1 2x 3+ − = −

22. x 1 2 3x 1− + = +

23. x 1 x 2 x 1 5+ + + + − =

24. x 4 x 3 1− + − =

12 3

X > 3 X < 12

12 ≤ X ≤ 3

จากนยามคาสมบรณ ปลดวงเลบ (2x – 1) – [-(3 – x)] = 3 (2x – 1 ) + (3 – x) = 3 x = 1 แต 1 ไมอยในชวงดงกลาว ดงนน ไมมคาตอบในชวงน

จากนยามคาสมบรณ ปลดวงเลบ (2x – 1) – (3 – x) = 3 2x – 1 – 3 + x = 3 3x = 7 X = 7

3

73 อยในชวงดงกลาว

ดงนน ในชวงน x = 73

จากนยามคาสมบรณ ปลดวงเลบ - (2x – 1) – (3 – x) = 3 - 2x + 1 – 3 + x = 3 - x = 5 x = - 5 - 5 อยในชวงดงกลาว ดงนน ในชวงน x = - 5

25. 2x 1 1 2− + =

26. x 2x 1 x− + = −

27. x 4 x 3 1− + − =

28. 3x 7 5(1 x)+ = −

29. 5x 1

4x 05x 1

−+ =

−

30. 2 2(2x 1) (x 2x 3) 2x 1 x 2x 3− − + + = − + + +

การแกอสมการคาสมบรณ

คณสมบตของอสมการคาสมบรณ กาหนดให a > 0 1. ถา |p(x)| < a แลว – a < p(x) < a 2. ถา |p(x)| ≤ a แลว – a ≤ p(x) ≤ a 3. ถา |p(x)| > a แลว p(x) > a หรอ p(x) < - a 4. ถา |p(x)| ≥ a แลว p(x) ≥ a หรอ p(x) ≤ - a 5. ถา |p(x)| > |q(x)| แลว [p(x)]2 > [q(x)]2 6. ถา |p(x)| > |q(x)| แลว [p(x)]3 ไมจาเปน > [q(x)]3 หลกการแกอสมการคาสมบรณ

1. ใชตามหลกคณสมบต 6 ขอทกลาวมา กรณทเปนอสมการสองชน อยาลมนาคาตอบทไดจากเงอนไขทงสองมา Intersection กน

2. นอกเหนอจาก 6 ขอ ใหใชการพจารณาเปนชวง เหมอนกบการแกสมการคาสมบรณ ตวอยางท 1 จงหาเซตคาตอบของอสมการ |x2 – 9| ≥ 6 กรณท 1 x2 – 9 ≥ 6 x2 – 15 ≥ 0

(x - 15 )(x + 15 ) ≥ 0 เซตคาตอบคอ ( ), 15 15,⎤ ⎡−∞ − ∪ ∞⎦ ⎣

กรณท 2 x2 – 9 ≤ - 6 x2 – 3 ≤ 0

(x - 3 )(x + 3 ) ≤ 0 เซตคาตอบคอ 3, 3⎡ ⎤−⎣ ⎦

นาคาตอบทงหมดมา Union กน

จะไดเซตคาตอบทงหมดคอ ( ), 15 3, 3 15,⎤ ⎡ ⎤ ⎡−∞ − ∪ − ∪ ∞⎦ ⎣ ⎦ ⎣

ตวอยางท 2 จงหาเซตคาตอบของอสมการ |x + 4| ≥ x - 3 จากคณสมบต เราจะไดวา -( x – 3) ≤ x + 4 ≤ x – 3 - x + 3 ≤ x + 4 ≤ x – 3 จะไดวา - x + 3 ≤ x + 4 และ x + 4 ≤ x – 3 -2x ≤ 1 และ 4 ≤ - 3

x ≥ 1

2− และ เซตวาง

ดงนน เซตคาตอบคอ เซตวาง

ตวอยางท 3 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3x 1

5x 3

+≤

+

เนองจาก |x + 3| เปนบวกเสมอ ดงนน |3x + 1| ≤ 5|x + 3| โดยท x ≠ - 3 (3x + 1)2 ≤ 25(x + 3)2 x ≠ - 3 (3x + 1)2 - 25(x + 3)2 ≤ 0

[3x + 1 – 5x – 15][3x + 1 + 5x + 15] ≤ 0 (8x + 16)(- 2x – 14) ≤ 0 (x + 7)(x + 2) ≥ ดงนน เซตคาตอบของอสมการคอ ( ), 7 2,−∞ − ∪ − ∞⎤ ⎡⎦ ⎣

ตวอยาง จงหาเซตคาตอบของอสมการ x 1 x 4 6− + + <

วธทา จากอสมการ ตองการปลดคาสมบรณ กอนอนหาคาวกฤต คอ 1 และ – 4 แลวพจารณาชวง

ดงนน เซตคาตอบคอ (-∞,9

2− ) ∪ [-4, 1] ∪ (1,

3

2)


จงหาเซตคาตอบของอสมการตอไปน

1. x 1 4+ <

2. 2x 5 3+ <

3. 17 2

x− <

4. 12x 5 1+ ≤

5. 3 2x4

x 2

−<

+

6. x 14

8

−≤

−

7. 2x x 1 5− − <

- 4 1

X > 1 X < - 4 - 4 ≤ X ≤ 1

จากนยามคาสมบรณ ปลดวงเลบ x - 1 + x + 4 < 6

2x + 3 < 6 2x < 3

x < 3

2

เซตคาตอบในชวงนคอ (-∞,3

2)

Intersection กบชวงทพจารณา

เซตคาตอบคอ (1, 3

2)

จากนยามคาสมบรณ ปลดวงเลบ -(x – 1) + (x + 4) < 6 - x + 1 + x - 4 < 6 - 3 < 9 เซตคาตอบในชวงนคอ Intersection กบชวงทพจารณา เซตคาตอบคอ [-4, 1]

จากนยามคาสมบรณ ปลดวงเลบ - (x - 1) – (x + 4) < 6 - x + 1 – x - 4 < 6 - 2x – 3 < 6 - 2x < 9

x < 9

2−

เซตคาตอบในชวงนคอ (-∞,9

2− )

Intersection กบชวงทพจารณา

เซตคาตอบคอ (-∞,9

2− )

8. x(x 1) x 4+ < +

9. x 2 3 x 3+ ≤ − +

10. x

2x 1

≤−

11. 2x 5x 6x− <

12. 2x 1

12x 1

+≤

−

13. 4x 3 5x 3+ ≤ −

14. 2x 3 x 3x 8+ < < +

15. x 2 x 3 6− + + <

16. x 1 x 2 x 2− − ≤ +

17. 3 1 x

xx 1

−< −

−

18. 2x 5 3x 2− < −

19. 2x 3 x 4 2+ − + <

20. 1 2x 1

3x 3

+ −≤

+

21. x 1 x x 1+ > + −

22. x 2

42x 3

+≥

−

23. 2x 3 7x 1− ≥ −

24. 2x 10 2x 10+ ≥ +

25. 3x 7 5(1 x)+ > −

26. 3x 1 2 x 1− + > +

27. x 4 2x 1 4− + − >

28. x 1

1x

+>

29. 3x 2

5x 1 1

−>

+ −

30. 5x 1

4x 05x 1

−+ ≥

−

31. x 5 x 1 3− > − +

32. x 32 0

x 4

++ >

−

33. 7x 1 6− ≥

34. 3 2x x 4− ≥ +

35. 2x 13

x 1

+>

−

36. x 1 x 3 5− + ≥

37. x 1 2x 3 5− + + >

38. 4 x

2 x 3x 4

−− ≥ +

−

39. 8x 2 3x 2+ > −

40. x 1 x 2x 3 2x 4− − + + > +

ตวอยางขอสอบ โอลมปกวชาการ สอวน. ศนย ร.ร. สวนกหลาบวทยาลย

1. (2545) ให A = {-4, -3, -2, -1, 0 ,1 ,2 ,3 ,4} A = { x ∈A | ⏐x⏐≤ 1} B = { x ∈A | x2 – 4 ≤ 0} C = { y | y = 2x, x ∈ B}

จะได (A B ) C′∪ ∩ เทากบเทาไร 2. (2545) กาหนดเซต A = { x ∈R | (⏐x⏐- 2)(⏐x⏐- 3) ≤ 0}

และ B = { x ∈R | 1 <⏐x⏐< 2} จะได A ∪ B เทากบเทาไร

3. (2546) กาหนดให A = { x ∈R | 3 5

x2 2

− ≤ }

A = { x ∈A | x2 – 2x – 3 = 0} B = { x ∈A | x4 – 2x2 - 3 = 0}

จะได จานวนสมาชกของ A , B และ A ∪ B เทากบเทาไร สมาคมคณตศาสตร

4. (2541) เซตคาตอบของอสมการ x3 – 6x2 + 12x – 5 >⏐x + 1⏐ เปนสบเซตของเซตใดตอไปน

ก. ( )1, 4,2

⎛ ⎞−∞ ∪ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

ข. ( ) ( )0, 2 3,∪ ∞

ค. ( ) 1, 0 , 4

2

⎛ ⎞−∞ ∪ ⎜ ⎟⎝ ⎠

ง. ( )31, 4,2

⎛ ⎞ ∪ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

5. (2541) จงหาจานวนจรง a และ b ทงหมดททาใหอสมการ ⏐2x2 + ax + b⏐≤ 1 มเซตคาตอบเปนเซต [-1, 1] ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

โอลมปกวชาการ สสวท. 6. (2544) กาหนดให x, y เปนจานวนจรง ซง ⏐4 + x⏐+⏐5 + y⏐≤ 100 คาของ y ทนอยทสดสอดคลองกบ

อสมการขางตนเปนเทาใด

7. (2546) ถา k = 2

2

x kx 1x | 2 for x

x x 1

⎧ ⎫+ −⎪ ⎪∈ < ∈⎨ ⎬− +⎪ ⎪⎩ ⎭

แลว จงหาเซต k (ตอบในรปชวง)

ขอสอบโรงเรยนเตรยมอดมศกษา

8. กาหนดให A = { x | ⏐x2 – 3x - 20⏐= x2 + 3x + 2} แลวผลบวกของคาสมบรณของสมาชกทงหมดของเซต A เทากบเทาใด

ก. 29

3 ข.

20

3 ค.

17

3 ง.

11

3

9. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ | x |

1| x | 5

≤−

คอเทาใด

ก. x ≤ -5 ข. 0 ≤ x < 5 ค. x > 5 ง. -5 < x < 5 10. เซตคาตอบของอสมการ ⏐x – 1 ⏐<⏐3x + 5⏐<⏐x + 7⏐ คอขอใด

ก. ( )1, 1− ข. ( ), 1−∞ − ค. ( )3, 1− ง. ( )3,− ∞

11. พจารณาขอความ 1. เซตคาตอบของอสมการ ⏐⏐x⏐-7⏐< 2 คอ ( 9, 5) (5, 9)− − ∪ 2. เซตคาตอบของอสมการ 3x2 + 5x – 11 < 2x2 – x – 4 < x2 – 2x + 2 คอ {x | -7 < x < 2}

ขอใดสรปถก ก. ขอ 1 ถก ข. ขอ 2 ถก ค. ถกทงหมด ง. ผดทงหมด

Ê a¨¾¨¹ �¤ÇÒÁºÃiºÙÃ³ � สมบตความบรบรณเปนสมบตสดทายของระบบจานวนจรง มชอเรยกอกอยางหนงวา สจพจนการมคาขอบเขตบนนอยทสด (least upper bound axiom)

ให แทนเซตของจานวนจรง บทนยาม ให S ⊂ กลาววา จานวนจรง a จะเปนคาขอบเขตบนของ S กตอเมอ a ไมนอยกวาสมาชกใด ๆ

ของ S ในกรณนเรากลาววา S มขอบเขตบน (Upper Bound) จากนยาม สรปไดวา S จะมคาขอบเขตบนกตอเมอมจานวนจรง a ซง a ≥ x สาหรบ x ∈ S เรยก a วาขอบเขตบนของ S และสมาชกทมคานอยทสดในเซตของขอบเขตบน เรยกวา ขอบเขตบนทมคานอยทสด (Least upper bound หรอ Supremum หรอ lub) a จะเปนคาขอบเขตบนนอยสดกตอเมอ a เปนขอบเขตบนของ S และถา b เปนขอบเขตบนของ S จะไดวา a ≤ b

ตวอยางท 1 กาหนดให S = 1 1 1 1

1, , , , ..., , ...2 3 4 n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

S มคาขอบเขตบน ซงคาขอบเขตบนไดแก 1 เพราะไมมสมาชกใดของ S ทมากกวา 1 คาขอบเขตบนของ S ยงมคาอน ๆ เชน 1.2, 1.5, 2, 3 เปนตน

ตวอยางท 2 กาหนดให A = (-4, 5) เปนชวงเปด A มคาขอบเขตบน คาของขอบเขตบนไดแก 5 และคาอน ๆ ทมากกวา 5 เชน 5.1, 6, 6.5, 100 เปนตน คา 5 จะเปนคาขอบเขตบนนอยทสดของ A

ตวอยางท 3 กาหนดให S = [2, 4] เปนชวงปด S มคาขอบเขตบน คาของขอบเขตบนไดแก 4 และคาอน ๆ ทมากกวา 5 เชน 4.1, 4.2, 8 เปนตน คา 4 จะเปนคาขอบเขตบนนอยทสดของ A


ในระบบจานวนจรง จงพจารณาวาเซตตอไปนมขอบเขตบนหรอไม ในกรณทมคาขอบเขตบน จะมคาของขอบเขตบนนอยทสดหรอไม

1. S = φ 2. S = {1, 2, 3} ∪ [0, π]

3. S = {0, 1, 2, 3} ∪ [- ∞, 3 ] 4. S = {x ∈R | x3< 3} 5. S = {x ∈R | x2 > 2}

6. S = {x ∈R | x = n

n 2+; n ∈ I+}

7. S = {x ∈R | x = n

11

2− ; n ∈ I+ และ n ≥ 0}

8. S = {x ∈R | x = n

100

2; n ∈ I+}

9. S = (3, 4] ∪ (2, 10]

10. S = {x ∈R | x = n

11

2+ ; n ∈ W}



ทฤษฎบท กาหนดให S ⊂ ถา S มขอบเขตบนคานอยสด จะมไดเพยงตวเดยวเทานน พสจน ให a, b เปนขอบเขตบนคานอยสด (ตอไปจะแทนดวย lub) ของ S จะได a ≤ b เพราะ b เปนขอบเขตบนของ S และ lub(S) = a จะได b ≤ a เพราะ a เปนขอบเขตบนของ S และ lub(S) = b สญลกษณของขอบเขตบนนอยสดของ S เขยนแทนดวย sup.S (หรอ lub.S) เชน ถา S = (3, 7) แลว sub.S = 7 ขอสงเกต

1. ถา S มขอบเขตบนแลว S จะมขอบเขตบนนอยทสดเพยงคาเดยวเทานน 2. ถา S ไมมขอบเขตบนแลวกจะไมมขอบเขตบนนอยทสด 3. ขอบเขตบนของ S อาจจะเปนหรอไมเปนสมาชกของ S กได เชน S1 = (0, 4] และ S2 = (0,4) เราพบวา

4 เปนคาขอบเขตบน และเปนคาขอบเขตบนนอยทสดของ S1 และ S2 (4∈S1 แต 4 ∉ S2) บทนยาม ให S ⊂ และ S จะมขอบเขตลางกตอเมอมจานวนจรง a ซง a ≤ x และ x ∈ R เรยก a วาเปน

ขอบเขตลาง(bounded below) ของ S ทฤษฎบท กาหนดให S ⊂ , S ≠ φ และ S มขอบเขตลางแลว S จะมขอบเขตลางคามากสด ถา S ⊂ จานวนจรง a จะเปนขอบเขตลางคามากสด (greatest lower bound หรอ infirmum หรอ glb) ของ S กตอเมอ a เปนขอบเขตลางของ S และถา b เปนขอบเขตลางของ S จะไดวา b ≤ a ตวอยางท 4 กาหนดให S = {1, 2, 3, 4}

ขอบเขตลางของ S คอ 1 1 เปนขอบเขตลางทมากสดของ S เพราะเปนสมาชกของขอบเขตลางทมคามากทสด

ตวอยางท 5 กาหนดให S = (2, 8) 2 และจานวนทนอยกวา 2 เปนขอบเขตลางของ S 2 เปนขอบเขตลางทมคามากทสดของ S

ขอสงเกต

1. ถา S มขอบเขตลางแลว S จะมขอบเขตลางทมคามากสด 2. ถา S ไมมขอบเขตลางแลวกจะไมมขอบเขตลางมากสด 3. ขอบเขตลางของ S อาจจะเปนหรอไมเปนสมาชกของ S กได

สญลกษณของขอบเขตลางมากสดของ S เขยนแทนดวย inf.S (หรอ glb.S) เชน ถา S = (2, 5) แลว inf.S = 2 ทฤษฎบท กาหนดให S ⊂ ถา S มขอบเขตลางคามากสด จะมไดเพยงตวเดยวเทานน พสจน ให a, b เปนขอบเขตบนคานอยสด (ตอไปจะแทนดวย glb) ของ S จะได a ≥ b เพราะ b เปนขอบเขตบนของ S และ glb(S) = a จะได b ≥ a เพราะ a เปนขอบเขตบนของ S และ glb(S) = b P15 สมบตความบรบรณ (สจพจนการมคาขอบเขตบนนอยทสด)

กลาววา “ถา S ⊂ และ S ≠ φ และ S มคาขอบเขตบนแลว S จะมคาขอบเขตบนนอยสด” และเรยกเซตทมคาขอบเขตบนและขอบเขตลางวา เปนเซตทมขอบเขต

แบบฝกหดท 17 ในระบบจานวนจรง จงพจารณาเซต S แตละขอตอไปน แลวตอบคาถามขอ a, b

a. S มขอบเขตบนและขอบเขตลางหรอไม b. ถา S มขอบเขตบนและขอบเขตลางแลว S จะมคาขอบเขตบนนอยทสดและขอบเขตลางมากสดเปนเทาไร

ขอ Set 1. S = {x ∈ | x = 1 + 2-n, n ∈ I+ หรอ {0 }} 2. S = {x ∈ | x2 < 5} 3. S = {1, 2, 3} ∪ (-π, ∞) 4. S = {x ∈ | x2 < 4} 5. S = {x ∈ | x2 > 4} 6. S = {0, 1, 2, 3, 4} ∩ (0, π) ในระบบจานวนตรรกยะ กาหนดให S เปนซบเซตของจานวนตรรกยะ จงพจารณาเซต S แตละขอตอไปน แลวตอบคาถามขอ a, b

a. S มขอบเขตบนและขอบเขตลางหรอไม b. ถา S มขอบเขตบนและขอบเขตลางแลว S จะมคาขอบเขตบนนอยทสดและขอบเขตลางมากสดเปนเทาไร

ขอ Set ตอบขอ a ตอบขอ b 1. S = {x ∈ | x2 < 4}

2. S = {x ∈ | x2 ≤ 9}

3. S = {x ∈ | x2 < 2}

4. S = {x ∈ | x2 ≤ 5}

ทาเครองหมายถกหนาขอทถก และทาเครองหมายผดหนาขอทผด

__________ 1. 25 เปนขอบเขตบนของ [-30, 12.5) __________ 2. π เปนขอบเขตบนของ {1, 3, π} __________ 3. เซตของขอบเขตบนของ [-15, -3] คอ [-3, ∞) __________ 4. เซตของขอบเขตบนของ (0, 5) และ [-1, 5] เปนเซตเดยวกน __________ 5. (-∞, 100) มขอบเขตบน __________ 6. ขอบเขตบนของ S ตองเปนสมาชกของ S __________ 7. ขอบเขตบนของ S ตองไมเปนสมาชกของ S __________ 8. สบเซตของ R ทกซบเซตมขอบเขตบน

ตวอยางขอสอบ สสวท. (2542) ให A = {x|⏐x-3⏐< 5} และ B = {x| x 7+ <⏐x + 1⏐} คาขอบเขตบนนอยสดของ A – B เทากบขอใดตอไปน

ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5



บรรณานกรม.....

1. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร มธยมศกษาปท 4: สานกพมพองคการคาของครสภา, 2546

2. กลมสาระคณตศาสตร. เอกสารประกอบการสอน Real Number System ระดบมธยมศกษาปท 4 ; โรงเรยนมงฟอรตวทยาลย, 2547

3. หมวดคณตศาสตร. เอกสารประกอบการสอน บทท 2 ระบบจานวนจรง ระดบมธยมศกษาปท 4 ; โรงเรยนมงฟอรตวทยาลย, ไมทราบ พ.ศ.

4. อ.วเศษ ลรตนวล. ระบบจานวนจรง ระดบมธยมศกษาปท 4 ; โรงเรยนปรนสรอยแยลสวทยาลย, 2544 5. ผศ.ดร.สรศกด ลรตนาวล. คณตตรรกศาสตรเบองตน. : เอกสารประกอบการเรยน ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยเชยงใหม, 2543 6. อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ตรรกศาสตรและระบบจานวนจรง.

สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมราชปถมภ, กรงเทพมหานคร : 2545 7. โครงการตาราวทยาศาสตรและคณตศาสตร มลนธ สอวน.พชคณต ,กรงเทพมหานคร :, 2547 8. อ.วลลภา บญวเศษ และคณะ. แบบฝกการเรยนและเสรมประสบการณ คณตศาสตร ม.4 ค011 :

มลตมเดยพลบลเซอรส, กรงเทพมหานคร : 9. เอกสารประกอบการสอนโครงการพฒนาผมความสามารถพเศษทางคณตศาสตร ภาคเหนอ.สมการ

พชคณตและระบบสมการ. 2547 10. เอกสารประกอบการสอนโครงการพฒนาผมความสามารถพเศษทางคณตศาสตร ภาคเหนอ.อสมการ.

2547 11. รศ.ดร.นพพร แหยมแสง. หนงสอสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร มธยมศกษาปท 4. สถาบน

พฒนาคณภาพวชาการ (พ.ว.),กรงเทพมหานคร : 2546 12. อ.พพฒนพงศ ศรวศร และ อ.พสมย ศรวศร. คมอประกอบการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

พนฐานและเพมเตม ม.4 เลมท 1. The Books,กรงเทพมหานคร 13. ธนวฒน (สนต) สนทราพรพล. คณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 4. Science Center,

กรงเทพมหานคร : 2547 14. ปราณ เหรยญกต วฒน และ ลดดาวลย เพญสภา . คณตศาสตร ทวไป . สานกประกายพรก .

กรงเทพมหานคร : 2530 15. ชมนมคณตศาสตร โรงเรยนสวนกหลาบวทยาลย. เฉลยขอสอบ สอวน 2543-2546, กรงเทพมหานคร :

2547 16. สมาคมคณตศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมราชปถมภ . เสรมความรคณตศาสตร ค011 ,

กรงเทพมหานคร 17. _______________________________________________. รวมขอสอบแขงขนคณตศาสตรพรอมแนวคด

2541 – 2545 ระดบมธยมศกษาตอนปลาย. พทกษการพมพ, กรงเทพมหานคร : 2546 18. รศ.ดารงค ทพยโยธา. เฉลยขอสอบแขงขน คณตศาสตรโอลมปกแหงประเทศไทย ประจาป 2533-2538.

โรงพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย, กรงเทพมหานคร : 2538 19. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.). ขอสอบแขงขนโอลมปก พ.ศ.2543 วชา

คณตศาสตร. บรษท ราก ขวญ จากด, กรงเทพมหานคร : 2544 20. สสวท .ขอสอบแขงขนโอลมปก พ.ศ.2544 วชาคณตศาสตร. สานกพฒนาธรกจ สสวท., กรงเทพมหานคร

: 2545 21. สสวท .ขอสอบแขงขนโอลมปก พ.ศ.2545 วชาคณตศาสตร. สานกพฒนาธรกจ สสวท., กรงเทพมหานคร

: 2546 22. สสวท .ขอสอบแขงขนโอลมปก พ.ศ.2546 วชาคณตศาสตร. บรษท ราก ขวญ จากด, กรงเทพมหานคร :

2547 23. http://www.utcc.ac.th/el/datchanee/content.html 24. http://th.wikipedia.org/wiki/จานวน

รวบรวมโดย ::[MoDErN SnC®]:: ฉบับหนังสือออนไลน...

Documents

Transcript of รวบรวมโดย ::[MoDErN SnC®]:: ฉบับหนังสือออนไลน...