线 性 代 数线 性 代 数Linear AlgebraLinear Algebra

刘鹏刘鹏

复旦大学通信科学与工程系光华楼东主楼 1109 Tel: 65100226

pliu@fudan.edu.cn

问题问题：：非齐次非齐次线性方程组 线性方程组 AX=bAX=b 的所有解向量的所有解向量 是否构成 是否构成 RRnn 上的线性空间？上的线性空间？

否，因为对线性运算不封闭：否，因为对线性运算不封闭：

设 设 XX11 X X11 是解向量，则是解向量，则bXAbXA 21 ,

bXAXAXXA 22121 ）（但 b

对加法运算不封闭，因此不能对加法运算不封闭，因此不能构成 构成 RRnn 上的上的 线性空间 线性空间 ..

三、过渡矩阵与三、过渡矩阵与坐标变换公式坐标变换公式

定义 定义 4.64.6: 设 设 εε11, , εε22 , ..., , ..., εεnn 和 和 εε''11, , εε''22 , ..., , ..., εε''n n

是 是 n n 维线性空间 维线性空间 V V 中的两个基，且有中的两个基，且有：：

Mnn ],,,[]',,','[ 2121

则称矩阵 则称矩阵 MM 为由基为由基 εε11, , εε22 , ..., , ..., εεnn 到 基到 基

εε''11, , εε''22 , ..., , ..., εε''n n 的的过渡矩阵过渡矩阵 (transition matrix)(transition matrix)..

nnnnnn

nn

nn

mmm

mmm

mmm

2211

22221122

12211111

'

'

'

nnnn

n

n

nn

M

mmm

mmm

mmm

21

22221

11211

定理 定理 4.34.3: 设 设 εε''11, , εε''22 , ..., , ..., εε''n n 和和 εε11, , εε22 , ..., , ..., εεnn

是 是 n n 维线性空间 维线性空间 V V 中的两个基，且有中的两个基，且有：：

则则

Mnn ],,,[]',,','[ 2121

(1)(1) 过渡矩阵 过渡矩阵 M M 是可逆的；是可逆的；

(2)(2) 若 若 αα V∈V∈ ，且在基 ，且在基 εε11, , εε22 , ..., , ..., εεnn 和 和

εε''11, , εε''22 , ..., , ..., εε''nn 下的坐标分别为 下的坐标分别为

[[xx11,x,x22,...,x,...,xnn ]]TT 和 和

[[x'x'11,x',x'22,...,x',...,x'nn ]]TT ，则有，则有 )5.2(

'

'

'

2

1

2

1

nn x

x

x

M

x

x

x

四、线性子空间的维数与基四、线性子空间的维数与基

基基 // 维数维数 // 坐标等概念也可以应用到线性子空间．坐标等概念也可以应用到线性子空间．

定理 定理 4.44.4: 设设 αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll 与 与 ββ11 , , ββ22 , , ... ,... , ββss 是线性空间 是线性空间 V V 中的两个向量组。中的两个向量组。(1)(1) L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll ) = L() = L(ββ11 , , ββ22 , , ... ,... , ββss ) )

的充分必要条件是 的充分必要条件是 αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll 与与 ββ11 , , ββ22 , , ... ,... , ββss 等价等价 ;;

(2)(2) L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll ) ) 的维数等于向量组的维数等于向量组 αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll 的秩的秩 ..

§ 4.3 欧几里德欧几里德 (Euclid)(Euclid) 空间空间

一、欧几里德空间的定义及基本性质一、欧几里德空间的定义及基本性质 定义 定义 4.74.7: 引入引入内积内积后的有限维后的有限维实实线性空间线性空间 就是 就是欧氏空间欧氏空间 ..

常定义内积 常定义内积 (inner/dot/scalar product) (inner/dot/scalar product) 如下如下

Tnnbababa 2211),(实数实数

b

adxxgxfgf )()(),(

内积的基本性质内积的基本性质：：

(1)(1) (α,β) = (β,α)(α,β) = (β,α) ；；

(2)(2) (kα,β) = k(α,β)(kα,β) = k(α,β) ；；

(3) (3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ)(α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) ；；

(4) (4) (α,α)≥0 (α,α)≥0 ，，当且仅当当且仅当 α=0 α=0 时时 (α,α)= 0(α,α)= 0 . .

对称性

(2 、 3) 线性性

恒正性

二、二、向量的长度与夹角向量的长度与夹角 有了内积的定义，可以进一步给出欧氏空间有了内积的定义，可以进一步给出欧氏空间内内 向量的长度向量的长度与与向量间夹角向量间夹角的定义的定义 .. 定义 定义 4.84.8: 设设 αα 是欧氏空间是欧氏空间 V V 的一个向量的一个向量，，称称非负实数非负实数

为向量为向量 αα 的的长度长度 (length) (length) 或或模模或范数或范数

(norm(norm ，， 22 范数范数 )) ，记为，记为 ::

),(

||||

长度为长度为 11 的向量的向量 :: 单位向量单位向量 . .

有了范数就可以度量：度量向量间距离的有了范数就可以度量：度量向量间距离的远近，远近，度量向量的度量向量的长度长度，度量误差的大小，度量误差的大小 ........

长度的基本性质：长度的基本性质：

(3) (3) 三角不等式三角不等式 :: || || + + || || || |||| + |||| + ||||. ||.

(1) (1) 正定性正定性 : ||: |||| || 0; 0; 且且 |||||| = 0 || = 0 = = ; ;

(2) (2) 齐次性齐次性 : ||: ||kk|| = ||| = |kk|·|||·|||| (|| (kkR); R);

定理 定理 4.54.5: 柯西柯西——施瓦茨不等式施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwartz (Cauchy-Schwartz

Inequality):Inequality):

对于欧氏空间 对于欧氏空间 V V 中任意两个向量中任意两个向量 ，， ，恒，恒

有有 )2.3(),(

当且仅当 当且仅当 与与 线性相关时等号成立 线性相关时等号成立 ..

定义定义 , , 的的夹角夹角为 为

= = arccosarccos((, , ) )

||||||·||||·|||| || , 0 , 0

定义 定义 4.94.9: 设设 , , 是欧氏空间中的两个是欧氏空间中的两个非零向量非零向量

定义 定义 4.104.10: 若若 ((, , ) = 0, ) = 0, 即即 = = / 2, / 2, 则称则称

与与

正交或垂直正交或垂直 ，记为，记为 ⊥⊥ ..

三、内积的坐标表示三、内积的坐标表示

设 设 V V 是一个 是一个 n n 维欧氏空间，在 维欧氏空间，在 V V 中任意中任意取定取定 一个基 一个基 εε11, , εε22 , , ...,...,εεnn ，对 ，对 V V 中任意两个向量中任意两个向量 ，， 有有

有了内积的定义，线性空间中的基、维数、有了内积的定义，线性空间中的基、维数、 坐标坐标等概念也可以应用于欧氏空间等概念也可以应用于欧氏空间 ..

n

iiix

1

n

jjjy

1

由内积的性质由内积的性质 ),(),(11

n

jjj

n

iii yx

),(1 1

n

iji

n

jji yx

),(1 1

n

iji

n

jji yx

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

2211

2222221212

1121211111

nnnnnnnn

nn

nn

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

,,,

2211

2222121

1212111

21

nnnnn

nn

nn

n

yyy

yyy

yyy

xxx

nnnnn

n

n

n

y

y

y

xxx

2

1

21

22212

12111

21

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

,,,

利用矩阵可表示为利用矩阵可表示为)8.3(),( AYX T

其中其中 TnxxxX ,,, 21 TnyyyY ,,, 21

nnjiaA ][ ),,2,1,(),( njia jiji

矩阵 矩阵 A A 称为基 称为基 εε11, , εε22 , , ...,...,εεnn 的 的 度量矩阵度量矩阵 (metric matrix)(metric matrix)..

由定义，度量矩阵是实对称阵，由定义，度量矩阵是实对称阵， 度量矩阵的对角线元素恒正度量矩阵的对角线元素恒正 ..

A A 是基中各个向量的内积构成的，度量矩阵确定是基中各个向量的内积构成的，度量矩阵确定 后， 后， V V 中任意两个向量的内积可由它们的坐标决中任意两个向量的内积可由它们的坐标决定定 ..

例： 设例： 设 εε11, , εε22 , , εε33 ，， εε44 是欧氏空间是欧氏空间 V V 中的一个基，中的一个基， 其度量矩阵为 其度量矩阵为

7911

91300

1063

1032

A

且且 V V 中两个向量中两个向量 431 2 431 32

求 求 ||||εε22 |||| 和 和 (( ，， ))..

解：由度量矩阵的定义解：由度量矩阵的定义 ),( jijia 6),( 222

由由 (3.8)(3.8) 式式

3

1

0

2

7911

91300

1063

1032

]2101[),(

.7

3

1

0

2

]4510[

如果基中向量两两正交，度量矩阵变为对角阵；如果基中向量两两正交，度量矩阵变为对角阵；

),,2,1,(),( njia jiji 由

如果基中向量不仅两两正交，而且长度为如果基中向量不仅两两正交，而且长度为 1 1

度量矩阵变为单位阵 度量矩阵变为单位阵 内积计算大大简化内积计算大大简化 ..

四、标准正交基四、标准正交基 线性空间内任一向量可由基和坐标线性表示；线性空间内任一向量可由基和坐标线性表示；

基作为度量标准，首先必需满足：基作为度量标准，首先必需满足： (1) (1) 组成向组成向量线性无关；量线性无关； ((2) 2) 空间中任一向量都可由基线性表空间中任一向量都可由基线性表示示 .. 基作为度量标准，本身应该尽可能简洁。基作为度量标准，本身应该尽可能简洁。

普通基不满足：表示不方便，计算不方便，普通基不满足：表示不方便，计算不方便， 计算不稳定 计算不稳定 ..

而标准正交基类似于几何空间中的直角坐标系：而标准正交基类似于几何空间中的直角坐标系： 表示方便，计算方便，计算稳定 表示方便，计算方便，计算稳定 ..

后面我们会看到，在标准正交基下，内积、后面我们会看到，在标准正交基下，内积、 范数、度量矩阵等都具有简单的形式； 范数、度量矩阵等都具有简单的形式； 标准正交基是基的一种，所以任一向量 标准正交基是基的一种，所以任一向量 ， ，

总能用标准正交基线性表示 总能用标准正交基线性表示 ..

例如：例如： （（ 1 0 01 0 0 ）（）（ 1 1 01 1 0 ） （） （ 1 1 11 1 1 ）） 与 与 （（ 1 0 01 0 0 ）（）（ 0 1 00 1 0 ） （） （ 0 0 10 0 1 ））

定义 定义 4.114.11 在欧氏空间 在欧氏空间 V V 中，一组非零向量，中，一组非零向量，如果它们如果它们两两正交两两正交 (mutually orthogonal)(mutually orthogonal) ，就称它为，就称它为正交向量组正交向量组。。

例如 例如 RR n n 的标准基 的标准基 (e(e11 , e , e2 2 , ..., e, ..., enn))

例如例如1122 11

11 1 1 11

1100

11

证明：作正交向量组证明：作正交向量组 αα11,α,α22,…,α,…,αmm 的线性组合，使得的线性组合，使得

02211 mm

用 用 ααj j 对等式作内积，因为对等式作内积，因为

定理 定理 4.64.6 设设 αα11,α,α22,…,α,…,αm m (m≤n) (m≤n) 是 是 n n 维欧氏空间维欧氏空间

V V 中的一组正交向量，则中的一组正交向量，则 αα11,α,α22,…,α,…,αmm 线性无关。线性无关。

ji

ji

j

ji 2

0),(

故必有 故必有 λλj j = 0, = 0, 所以向量组所以向量组 αα11,α,α22,…,α,…,αmm 线性无关线性无关 ..

特别地，只有特别地，只有 一个非零向量一个非零向量 构成的向量组构成的向量组 也称为正交向量组 也称为正交向量组 ,

因为在此向量组中找不到两个向量不正交因为在此向量组中找不到两个向量不正交 ..

dimV = n dimV = n 时 ，时 ， VV 中 两 两 正 交 的 向 量 不 会中 两 两 正 交 的 向 量 不 会 超过 超过 n n 个 个 ,,

如 平 面 上 找 不 到如 平 面 上 找 不 到 33 个 两 两 正 交 的 向 量 ，个 两 两 正 交 的 向 量 ， 空间中找不到 空间中找不到 44 个两两正交的向量个两两正交的向量 ..

定义 定义 4.124.12 在 在 n n 维欧氏空间 维欧氏空间 V V 中，由 中，由 n n 个个两两正交两两正交的的非零向量非零向量所构成的正交向量组称为所构成的正交向量组称为正交基正交基；；

• 由由单位单位向量向量构成的正交基称为构成的正交基称为标准标准正交基正交基。。

例如例如

1122 1 1

11 1 1 11

1100

1 1

2

102

1

,

3

13

13

1

,

6

16

26

1

321

例：证明例：证明向量组：向量组：

是欧氏空间是欧氏空间 RR33 的一个标准正交基的一个标准正交基 ..

0

2/1

2/1

,

0

2/1

2/1

,

1

0

0

321

解：由于解：由于 0),(),(),( 313221

且且 1321

由定义知由定义知 11 ，， 2 2 ， ， 3 3 是一组正交基是一组正交基 ..

若若 εε11, , εε22 , , ...,...,εεnn 是 是 n n 维欧氏空间 维欧氏空间 V V 中的一个中的一个 标准正交基，由定义 标准正交基，由定义 4.124.12 有有

),,2,1,(1

0),( nji

ji

jiji

标准标准正交正交基的度量矩阵为单位阵基的度量矩阵为单位阵 ..

EA

nnnn

n

n

1

1

1

),(),(),(

),(),(),(

),(),(),(

21

22212

12111

利用度量矩阵，两个向量的内积变得非常简单利用度量矩阵，两个向量的内积变得非常简单

YXAYX TT ),(

因此向量组的因此向量组的正交化正交化非常必要非常必要 : : 从内积空间从内积空间 （如欧几里得空间）中的一组线性无关向量出发， （如欧几里得空间）中的一组线性无关向量出发， 得到同一子空间上 得到同一子空间上两两正交的两两正交的向量组向量组 (( 基基 ))..

定理 定理 4.74.7 任一 任一 n n 维欧氏空间维欧氏空间 (n(n≥1≥1) ) 都必有都必有 正交基正交基 (orthogonal basis)(orthogonal basis) 。。

证明：设向量组证明：设向量组 αα11,α,α22,…,α,…,αnn 是是 n n 维欧氏空间的维欧氏空间的

任意一个基，我们可以由它构造一个正交基任意一个基，我们可以由它构造一个正交基

先取先取 显然显然 ββ1 1 ≠≠ 0, 0, 令令,11

,11222 k 使使 ββ22 与与 ββ1 1 正交，即正交，即

0),(),(),( 11121211122 kk

于是系数于是系数 ,),(

),(

11

1212

k ;

),(

),(1

11

1222

而且而且 ββ2 2 ≠≠ 0, 0, 否则 否则 αα11,α,α22 线性相关，与假设矛盾线性相关，与假设矛盾 ..

• 施密特正交化过程施密特正交化过程 (Schmidt’s Orthonormalization (Schmidt’s Orthonormalization

ProcessProcess))

此时此时 ββ22 与与 ββ1 1 已正交；已正交；

我们再令我们再令

;),(

),(1

11

1222

22311333 kk

并且使并且使 ββ3 3 与与 ββ2 2 、、 ββ1 1 都正交，故都正交，故0),(),(),( 11131312231133 kkk

于是系数于是系数 ,),(

),(

11

1313

k

同理，由同理，由 0),(),(),( 22232322231133 kkk

,),(

),(

22

2323

k

因此，有因此，有 222

231

11

1333 ),(

),(

),(

),(

且且 ββ3 3 ≠≠ 0, 0, 否则 否则 αα11,α,α22 ,α,α33 线性相关，与假设矛盾线性相关，与假设矛盾 ..

此时此时 ββ33 、、 ββ2 2 、、 ββ1 1 已两两正交已两两正交 ..

重复上述步骤，可得重复上述步骤，可得

111

12

22

21

11

1

),(

),(

),(

),(

),(

),(

nnn

nnnnnn

且且 ββn n ≠≠ 0, 0, 此时 此时 ββ 11, , ββ

22 , ... , , ... , ββ nn 两两正交，即为两两正交，即为

所求正交基 所求正交基 .. Schmidt Schmidt 正交化提供了正交化方法：通过子空间的一个基正交化提供了正交化方法：通过子空间的一个基 得出子空间的一个 得出子空间的一个正交基正交基，，

并可进一步求出对应的并可进一步求出对应的标准正交基标准正交基 ..

几何解释：几何解释： 设设 , , RRnn, , 且且与与 线性无关线性无关 , ,

求常数 求常数 k k 使 使 ++kk 与与 正正交交 ..

解解 (1)(1) ：几何方法：几何方法 cos

γγ 与 与 αα同方向同方向，所以，所以

),(

),(

),(

),(,

),(

),(

kk

施密特正交化的几何解释施密特正交化的几何解释

定义定义 (( 投影投影 )) 若 若 与 与 是 是 n n 维内积空间中的维内积空间中的向量，则 向量，则 到 到 的的标量投影标量投影 (scalar projection)(scalar projection) 为为

),(

则 则 到 到 的的向量投影向量投影 (vector projection)(vector projection) ηη 为为

proj

),(

),(),(

由前例 由前例 -- ηη ⊥⊥ .. Schmidt Schmidt 正交化基本思路就是利用投影原理，正交化基本思路就是利用投影原理， 在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

具体的说，从其中一个向量所具体的说，从其中一个向量所张成张成的一维子空间的一维子空间 开始，重复扩展构造直到 开始，重复扩展构造直到 n n 维空间：维空间：

,11

222 1 proj

3333 12 projproj

1

1

n

jnnn j

proj

Erhard SchmidtErhard Schmidt

(1876.1.13-1959.12.6) 德国数学家

哥廷根大学博士，师从希尔伯特 拉普拉斯和柯西更早发现这一正交化方法，但没有达到施密特的高度 .

主要工作在积分方程和希尔伯特空间方面，, 创立了泛函分析。

现代数学的奠基人之一。 实际数值计算中， Schmidt正交化并不稳定，

误差累积会使得正交性越来越差， 常用的是 Householder 变换

或 Givens 旋转 .

4.74.7推论 推论 任一 任一 n n 维欧氏空间维欧氏空间 (n(n≥1≥1) ) 都有一个都有一个标准正交基标准正交基 (orthonormal basis)(orthonormal basis) 。。

只要将定理只要将定理 4.74.7 中的正交基中的正交基单位化单位化即得即得 ..

n

nn

,,,

2

22

1

11

ηη11, , ηη 22 , ... , , ... , ηη

nn 即为 所求标准正交基即为 所求标准正交基 ..

• 标准正交基 标准正交基 正交矩阵 正交矩阵 线性方程组线性方程组求解求解

正交基带来的好处：正交基带来的好处：

• 计算的方便性和稳定性计算的方便性和稳定性

例：已知欧氏空间 例：已知欧氏空间 RR44 的的向量组：向量组：

试求：试求： (1)(1)生成子空间 生成子空间 L(L( 11 ，， 2 2 ，， 3 3 )) 的的一个标准正一个标准正交基交基；； (2) (2) 将此标准正交基扩充成 将此标准正交基扩充成 RR44 的一个标准正交基的一个标准正交基 ..

1

0

1

2

,

1

2

1

0

,

0

1

0

1

321

解解 : : (1)(1) 先求向量组的秩，得到一组基先求向量组的秩，得到一组基

110

021

110

201

,, 321

110

220

110

201

13 RR

向量组的秩向量组的秩 r = 2r = 2 ，， dim dim L(L( 11 ，， 2 2 ，， 3 3 )=2)=2 ，，取取 11 ，， 22 为基为基 ..

将将 11 ，， 22 正交化，令正交化，令

1

0

1

2

,

1

2

1

0

,

0

1

0

1

321

,11

111

1222 ),(

),(

1

1

1

1

0

1

0

1

2

2

1

2

1

0

再标准化，得再标准化，得

0

1

0

1

2

1

1

11

1

1

1

1

2

1

2

22

即为生成子空间即为生成子空间 L(L( 11 ，， 2 2 ，， 3 3 )) 的一个标准正交的一个标准正交基基 ..

(2) (2) 将此标准正交基扩充成 将此标准正交基扩充成 RR44 的一个标准正交基的一个标准正交基 ..

0

1

0

1

2

1

1

11

1

1

1

1

2

1

2

22

设向量 设向量 = [= [xx 11 ，， xx 2 2 ，， xx 3 3 ，， xx 44] ∈] ∈ RR44 ，且 ，且 ⊥⊥ 11 ，，

⊥⊥ 22 ，即，即

0),(

0),(

43212

311

xxxx

xx

求齐次线性方程组的基础解系，得求齐次线性方程组的基础解系，得

0

1

2

1

,

1

0

1

0

54 将将 44 ，， 55 正交化，正交化，令令 ,43

333

3554 ),(

),(

1

1

1

1

1

0

1

0

2

2

0

1

2

1

再标准化，得再标准化，得

1

0

1

0

2

1

3

33

1

1

1

1

2

1

4

44

向量组向量组 εε11 ，， εε2 2 ，， εε3 3 ，， εε4 4 就是 就是 RR44 的一个标准正交的一个标准正交基基 ..

练习：考虑 练习：考虑 P[x]P[x]3 3 中中定义定义的内积的内积

1

1-g(x)f(x)),( dxgf

求求 P[x]P[x]3 3 的一组标准正交基的一组标准正交基 ..

提示提示 : : 不妨从标准基出发，先正交化，再单位化不妨从标准基出发，先正交化，再单位化

(1) (1) 正交化，令正交化，令

2321 ,,1 xx

,111

111

1222 ),(

),( 01x),(

1

1-12 dx

x 22

222

231

11

1333 ),(

),(

),(

),(

3

21x),(

1

1-

213 dx 211),(

1

1-11 dx

0xx),(1

1-

223 dx

x 22

01232

33 3

1x2

(2) (2) 单位化：单位化：2

2

),(

1

111

11

xx

2

6

),( 222

22

3

2xx),(

1

1-22 dx

45

8

3

1x),(

1

1-

22

33

dx

)13(2

10

),(2

223

33 x

x

选择系数，令 选择系数，令 ββnn (1)=1 (1)=1 n n 阶勒让德多项式：阶勒让德多项式：

1)(0 xP

xxP )(1

)13(2

1)( 2

2 xxP

)35(2

1)( 3

3 xxxP

)330

35(8

1)(

2

44

x

xxP

P0

)157063(8

1)( 35

5 xxxxP

40

例：令矩阵例：令矩阵

试求：试求： A A 的列空间的的列空间的一组标准正交基一组标准正交基；；

004

242

102

121

A

解解 : : 显然 显然 A A 的的 33 个列向量线性无关，它们构成 个列向量线性无关，它们构成 RR4 4

的的 3 3 维子空间的一组基，可以使用施密特正交化过维子空间的一组基，可以使用施密特正交化过程程 正交化、标准化正交化、标准化同时进行同时进行，令，令 ,511 1αr

T

r

,

5

4,

5

2,

5

2,

5

1

11

11

αq

令令 ,2),(21 21 αqr ,221 11 qq r

,,5

8,

5

16,

5

4,

5

821

T

r

12 qα

,,5

8,

5

16,

5

4,

5

821

T

r

12 qα

,42122 12 qα rrT

r

r

5

2,

5

4,

5

1,

5

2

22

212

12 qαq

令令 ,1),( 331 αq1r

004

242

102

121

A

T

r

,

5

4,

5

2,

5

2,

5

1

11

11

αq

,1),( 3232 αqr

,5

2,

5

4,

5

4,

5

8232313

T

rr

qqα 1

,223231333 qqα 1 rrr

T

r

rr

5

1,

5

2,

5

2,

5

4

33

2323133

qqαq 1

向量组向量组 qq11 ，， qq2 2 ，， qq3 3 就是 就是 A A 的列空间的一组标准正的列空间的一组标准正交基交基 ..

11r11 qα

22221 rr qqα 12

333322313 rrr qqqα 1

33

3222

312111

32

321

,,

,,

r

rr

rrr

A

qqq

ααα

1

定理定理 (QR(QR 分解分解 )) 若 若 A A 是一秩为 是一秩为 n n 的 的 mm××n n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A A

可以可以分解为乘积 分解为乘积 QR, QR, 其中 其中 Q Q 为列正交的为列正交的 mm××n n 阶矩阵，阶矩阵，R R 为对角线元素均为正的 为对角线元素均为正的 nn××n n 阶上三角阵阶上三角阵。。 例中的 例中的 QR QR 分解为分解为

2

14

125

5

1

5

2

5

45

2

5

4

5

25

2

5

1

5

25

4

5

2

5

1

004

242

102

121