ลิมิต (Limits)¹€อกสาร อ.สมเจตน์/511104/limit.pdf · 1 a x x...
Transcript of ลิมิต (Limits)¹€อกสาร อ.สมเจตน์/511104/limit.pdf · 1 a x x...
1
a
x
x
x
x
ลิมิต (Limits) 1.1 ลิมิตของฟงกชัน “ x เขาใกล a ” ( x a→ ) หมายถึงการพิจารณาคาของ x ที่มีคาเขาใกล a มากขึ้นเรื่อยๆ x เขาใกล a ทางซาย ( x a−→ ) ถา x เขาใกล a และ x a< x เขาใกล a ทางขวา ( x a+→ ) ถา x เขาใกล a และ x a> ดังแสดงความหมายเหลานี้ในรูป 1.1.1 รูป 1.1.1 บทนิยาม ให f เปนฟงกชันซึ่งขึ้นกับตัวแปรอิสระ x ถา ( )f x มีคาเขาใกลคาคงตัว 1L ∈ เมื่อ x a−→ เราจะเรียก L1 วาลิมิตซายของ ( )f x ที่ a (สัญลักษณ 1lim ( )
x af x L
−→= )
คาคงตัว L ∈2 เปนลิมิตขวาของ ( )f x ที่ a ถา ( )f x มีคาเขาใกล L2 เมื่อ x a+→ และเขียนแทนดวยสัญลักษณ 2lim ( )
x af x L
+→=
หมายเหตุ 1. ถาไมมีจํานวนจริง 1L หรือ 2L สอดคลองตามบทนิยาม เรากลาววา f ไมมีลิมิตทางซาย (หรือทางขวา ตามลําดับ)
2. เราเรียกสัญลักษณ limx a−→
( )f x หรือ limx a+→
( )f x วา “ลิมิตดานเดียวหรือลิมิตทาง
เดียว (one-sided limit)’’ ของ ( )f x ที ่ a
2
− π3
−π π
π32− π
2π
y
x
ตัวอยาง 1 พิจารณาลิมิตทางซายของ sin( ) xf xx
= ที่ 0
จะไดวา ( )f x มีคาเขาใกลคาคงตัว 1 เมื่อ 0x −→ นั่นคือ 0
sinlim 1x
xx−→
=
พิจารณาลิมิตทางขวาของ sin( ) xf xx
= ที่ 0
จะไดวา ( )f x มีคาเขาใกลคาคงตัว 1 เมื่อ 0x +→ นั่นคือ 0
sinlim 1x
xx+→
=
รูป 1.1.2
บทนิยาม
จากตัวอยาง 1 จะไดวา sin( ) xf xx
= มีลิมิตเทากับ 1 ที่ 0 หรือ 0
sinlim 1x
xx→
=
x -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.1 -0.01 sinxx 0.8415 0.8967 0.9411 0.9736 0.9934 0.99833 0.99998
x 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.01 sinxx 0.8415 0.8967 0.9411 0.9736 0.9934 0.99833 0.99998
ถาลิมิตซายเทากับลิมิตขวา ( 1 2L L L= = ) แลว เราเรียกวา f มีลิมิตเทากับ L ที่ a หรือ
lim ( )x a
f x L→
=
ลิมิตของฟงกชัน f มีคาเทากับ L เมื่อ x เขาใกล a
3
หมายเหตุ 1.เรียกสัญลักษณ limx a→
( )f x วา “ลิมิตสองดาน (two-sided limit)’’ ของ
( )f x ที่ a 2. ถา 1 2L L≠ หรือ ไมมีลิมิตทางเดียวดานใดดานหนึ่ง แลวเรากลาววา f ไมมีลิมิต ที่ a (หรือ ลิมิตหาคาไมไดที่ a )
ตัวอยาง 2 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของ f แสดงดังรูป จะเห็นวาขณะที่ x เขาใกล 2 จากทางซายคา ( )f x เขาใกล 1 นั่นคือ
2lim ( ) 1
xf x
−→=
และขณะที่ x เขาใกล 2 จากทางขวาคา ( )f x เขาใกล 3 นั่นคือ
2lim ( ) 3
xf x
+→=
เนื่องจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x− +→ →
≠ จึงไดวา ( )f x ไมมีลิมิตที่ 2
ตัวอยาง 3 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของฟงกชันแสดงดังรูป
จากรูปจะเห็นวา
3lim ( ) 2
xf x
−→= และ
3lim ( ) 2
xf x
+→= จึงไดวา
3lim ( ) 2x
f x→
=
1 2 3 4
2
1
3 ( )y f x=
y
x
3 2
1
2
y
x
( )y f x=
4
4
ตัวอยาง 4 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของฟงกชันแสดงดังรูป
จากรูป เมื่อ 6x −→ จะไดวา ( )f x มีคาเขาใกล 1 ดังนั้น
6lim ( ) 1
xf x
−→=
แตเมื่อ 6x +→ คาของฟงกชัน f แปรเปลี่ยนไปมาระหวาง 3− ถึง 3 จึงกลาวไดวาไมมีคาคงตัวคาใดเลยในชวง [ 3,3]− นี้ที่คา f เขาใกลคานั้น หรือกลาวคือ f ไมมีลิมิตทางขวา หรือ
6lim ( )
xf x
+→ ไมมี (หรือ หาคาไมได)
ดังนั้น 6
lim ( )x
f x→
ไมมหีรือ หาคาไมได
ตัวอยาง 5 ให 1( )f xx
= เมื่อ 0x ≠ ซึ่งมีกราฟดังรูปขางลางนี้
จะเห็นวาขณะที่ x เขาใกล 0 จากทางขวา ( )f x มีคามากขึ้นๆ หรืออาจ
กลาววาคาของ ( )f x ไมมีขอบเขตบน ดังนั้น 1( )f xx
= ไมมีลิมิตทางขวาที่ 0 หรือ
0 0
1lim ( ) limx x
f xx+ +→ →
= ไมมี (หรือหาคาไมได)
1 2 3
-1 -2 -3
y
x ( )y f x=
1 2 3 4 5 6
( )y f x=
y
x
5
( )y f x=
y
x2
ในทํานองเดียวกัน ขณะที่ x เขาใกล 0 จากทางซาย ( )f x มีคานอยลงๆ หรืออาจ
กลาววาคาของ ( )f x ไมมีขอบเขตลาง ดังนั้น 1( )f xx
= ไมมลิีมิตทางซายที่ 0 หรือ
0 0
1lim ( ) limx x
f xx− −→ →
= ไมมี (หรือหาคาไมได)
หมายเหตุ จากตัวอยาง 5 แมวา 1( )f xx
= ไมมีลิมิตทัง้ทางซายและทางขวา แต
คาของฟงกชันนั้นเปลี่ยนแปลงอยางมีรูปแบบ กลาวคือคาของ 1( )f xx
= มีคามาก
ขึ้นเรื่อยๆ อยางไมมีส้ินสุดเมื่อ 0x +→ หรืออาจกลาววา f มีคาลูเขาใกลอนันต (infinity) เมือ่ 0x +→ ในกรณีนี้ เราจะเขียนแทนดวยสัญลักษณ
0 0
1lim ( ) limx x
f xx+ +→ →
= = +∞
และคาของ 1( )f xx
= มีคานอยลงขึ้นเรื่อยๆ อยางไมมีส้ินสุดเมื่อ 0x +→ หรือ
อาจกลาววา f มีคาลูเขาใกลลบอนันต เมื่อ 0x −→ ในกรณีนี้ เราจะเขียนแทนดวย
0 0
1lim ( ) limx x
f xx− −→ →
= = −∞
ตัวอยาง 6 ให
4 , 22( )6 , 22
x xxf xx xx
+⎧ <⎪⎪ −= ⎨ −⎪ >⎪ −⎩
ซึ่งมีกราฟดังรูปขางลางนี้
ซึ่งจะไดวา
2 2lim ( ) lim ( )
x xf x f x
+ −→ →= −∞ =
6
( )y f x=
y
x-3
หมายเหตุ จากตัวอยาง 6 เพราะวา2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x+ −→ →
= เราจึงกลาววา f มีคา
ลูเขาสู −∞ เมื่อ x เขาใกล 2 และเขียนแทนดวย 2
lim ( )x
f x→
= −∞
ตัวอยาง 7 ให 1( )3
f xx
=+
เมื่อ 3x ≠ − ซึ่งมีกราฟดังรูปขางลางนี้
เนื่องจาก
3 3lim ( ) lim ( )
x xf x f x
+ −→− →−= +∞ = จึงไดวา
3lim ( )
xf x
→−= +∞
ตอไปนี้แสดงการพิจารณาลิมิตของฟงกชันเมื่อตัวแปรอิสระ x มีคาเพิ่มขึ้นหรอืลด ลงโดยไมมขีอบเขต บทนิยาม ถาตัวแปรอิสระ x มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมีขอบเขตจํากัด จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ x →+∞ และอานวา x เขาใกล “บวกอนันต” ในทํานองเดียวกันถา x มีคาลดลงอยางไมมีขอบเขตจํากัด เราจะเขียนแทนดวยสัญลักษณ x →−∞ และอานวา x เขาใกล “ลบอนันต” ถา x →+∞ หรือ x →−∞ แลว ( )f x มีคาลูเขาใกลคาคงตัว (หรือ ±∞ ) L จะเขียนแทนดวยสัญลักษณ
lim ( )x
f x L→+∞
= หรือ lim ( )x
f x L→−∞
=
ตามลําดับ
7
y
4
-1 x
( )y f x=
1y = −
4y =
− π3 −π π π32− π 2π
y
ตัวอยาง 8 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของฟงกชันแสดงดังรูปขางลางนี้
ขณะที่ x เขาใกล +∞ จะเห็นวากราฟของ f เขาใกลเสนตรง 4y =
กลาวคือ ( )f x มีคาเขาใกล 4 นั่นคือ lim ( ) 4x
f x→+∞
=
ขณะที่ x เขาใกล −∞ จะเห็นวากราฟของ f เขาใกลเสนตรง 1y = − กลาวคือ ( )f x มคีาเขาใกล 1− นั่นคือ lim ( ) 1
xf x
→−∞= −
ตัวอยาง 9 จากตัวอยาง 1 กราฟของ sin( ) xf xx
= เมื่อ 0x ≠ คือ
เนื่องจาก 1 sin 1x− ≤ ≤ จึงไดวา เมื่อ x →+∞ คาของ sin( ) xf xx
= จะมีคาอยู
ในชวง 1 1,x x−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
ซึ่งมีคาเขาใกล 0 เมื่อ x มีคามากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น
sinlim ( ) lim 0x x
xf xx→+∞ →+∞
= =
ในทํานองเดียวกัน จะไดวา sinlim ( ) lim 0
x x
xf xx→−∞ →−∞
= =
8
ตัวอยาง 10 ให f เปนฟงกชันซึ่งกราฟของฟงกชันแสดงดังรูปขางลางนี้
จะเห็นวาขณะที่ x เขาใกล −∞ คา ( )f x ไมมีขอบเขตบน นั่นคือ
lim ( )x
f x→−∞
= +∞
ขณะที่ x เขาใกล +∞ คาของ ( )f x กวัดแกวงขึ้นลงตามแนวเสนตรง y = 2− แตชวงของการกวัดแกวงยิ่งแคบลงเรื่อยๆ เมื่อ xมีคามากขึ้น จึงไดวาคาของ ( )f xเขาใกล -2 นั่นคือ
lim ( ) 2x
f x→+∞
= −
ตัวอยาง 11 ให ( ) sinf x x= ซึ่งมีกราฟดังนี้
จะเห็นวาคาของ ( )f x กวัดแกวงขึ้นลงไปมาอยูในชวง [ ]1,1− ไมวาคาของ x จะเขาใกล +∞ หรือ −∞ กลาวคือ ( )f x ไมมีลิมิต เมือ่ x →±∞
-2
y
x
( )y f x= y = -2
( )y f x=
9
•
2
y
x
( )y f x=
2=a
y
x 4
4a =
y
x -2 3a =
ตัวอยาง
1 2 3 4
2
1
3 ( )y f x= 2
y
x
10
b - δ bx
y
L
L+ ε
L- ε
a + δ ax
y
L
L+ ε
L- ε
1.2 บทนิยามของลิมิต บทนิยาม ให a b< เปนคาคงตัว และ f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง ( , )a b เรากลาววา
lim ( )x a
f x L+→
= ∈
ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก ε จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให
| ( ) |f x L− < ε เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 x a δ< − < หรือ a x a δ< < + และเรากลาววา
lim ( )x b
f x L−→
= ∈
ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก ε จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให
| ( ) |f x L− < ε เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 b x δ< − < หรือ b x bδ− < <
11
ตัวอยาง 12 จงแสดงวา 0
lim 0x
x+→
=
บทพิสูจน ให ( )f x x= และ 0L = สําหรับจํานวนจริงบวก ε เลือก 2δ ε= จะไดวา ถา x สอดคลองกับอสมการ 0 0x δ< < + หรือ 20 x δ ε< < = แลวจะได
( ) 0f x L x x ε− = − = <
โดยนิยาม จะไดวา
0lim 0
xx
+→=
บทนิยาม ให a เปนคาคงตัวที่อยูในชวง ( , )b c และ f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง ( , ) ( , )b a a c∪ เรากลาววา
lim ( )x a
f x L+→
= ∈ ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก ε จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให
| ( ) |f x L− < ε เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 | |x a δ< − <
x
y
x0 a x1
L
a δ− a δ+
L+ ε
L- ε δ δ
( )y f x=
12
ตัวอยาง 12 จงแสดงวา 0
1lim sin 0x
xx→=
บทพิสูจน ให 1( ) sinf x xx
= และ 0L = ให ε เปนจํานวนจริงบวก กอนอื่น
สังเกตวา สําหรับทุกๆ {0}x∈ −
1 1( ) sin 0 sinf x L x x xx x
− = − = ≤
เพราะวา 1sin 1x≤ จึงไดวา ถาเลือก δ ε= แลวสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับ
อสมการ 0 | 0 | | |x x δ< − = < จะไดวา
( ) f x L x δ ε− ≤ < =
โดยนิยาม จะไดวา 0
1lim sin 0x
xx→=
13
บทนิยาม ให a b< เปนคาคงตัว และ f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง ( , )a b เรากลาววา lim ( )
x af x
+→= +∞ (และ lim ( )
x af x
+→= −∞ )
ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก M จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให ( )f x M> (และ ( )f x M< − ตามลําดับ) เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 x a δ< − < หรือ a x a δ< < +
ตัวอยาง 13 จงแสดงวา 0
1limx x+→
= +∞
บทพิสูจน ให 1( )f xx
= และให M เปนจํานวนจริงบวก กอนอื่นสังเกตวา
1 1M xx M> ⇔ <
จึงไดวา ถาเลือก 1M
δ = แลวสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 x δ< <
จะไดวา 1 1( )f x Mx δ
= > =
โดยนิยาม จะไดวา 0
1limx x+→
= +∞
หมายเหตุ เราสามารถใหบทนิยามสําหรับ lim ( )
x af x
→ −= ±∞ ไดในทํานองเดียวกัน
14
y
M−
x a-δ a + δ
L
x
y
NN
L+ ε L- ε
บทนิยาม ให a เปนคาคงตัวที่อยูในชวง ( , )b c และ f เปนฟงกชันที่นิยามบนชวง ( , ) ( , )b a a c∪ เรากลาววา
lim ( )x a
f x→
= +∞ (หรือ −∞ ) ถาสําหรับแตละจํานวนจริงบวก M จะมีจํานวนจริงบวก δ ที่ทําให
( )f x M> (หรือ ( )f x M< − ตามลําดับ) เปนจริงสําหรับทุกๆ x ที่สอดคลองกับอสมการ 0 | |x a δ< − <
บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามไวบนชวงอนันต ( , )a +∞ เรากลาววา lim ( )
xf x L
→+∞= ∈
ถาสําหรับแตละ 0ε > จะมีจํานวนจริงบวก N ที่ทําให | ( ) |f x L ε− < สําหรับทุกๆ x N>
และถา f เปนฟงกชันที่นิยามไวบนชวงอนันต ( , )a−∞ เรากลาววา lim ( )
xf x L
→−∞= ∈
15
L
x
y
N
L+ ε L- ε
ถาสําหรับแตละ 0ε > จะมีจาํนวนจริงบวก N ที่ทําให | ( ) |f x L ε− < สําหรับทุกๆ x N< −
บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามไวบนชวงอนันต ( , )a +∞ เรากลาววา lim ( )
xf x
→+∞= +∞
ถาสําหรับแตละ 0M > จะมีจาํนวนจริงบวก N ที่ทําให ( )f x M> สําหรับทุกๆ x N>
ตัวอยาง 14 จงแสดงวา ( )lim sin
xx x
→+∞+ = +∞
บทพิสูจน ให ( ) sinf x x x= + และให M เปนจํานวนจริงบวก กอนอื่นสังเกตวา ( ) sin 1f x x x x= + ≥ −
จึงไดวา ถาเลือก 1N M= + แลวสําหรับทุกๆ x ที่ x N> จะไดวา
( ) sin 1 1f x x x x N M= + ≥ − > − =
โดยนิยาม จะไดวา ( )lim sin
xx x
→+∞+ = +∞
16
1.3 สมบัติและทฤษฎีบทของลิมิต ในสวนนี้เราจะใชสัญลักษณ lim ( )f x แทน
lim ( ),x
f x→±∞
lim ( ),x a
f x±→
และ lim ( )x a
f x→
และสัญลักษณ f และ g แทนฟงกชันเสมอ ทฤษฎีบท 1.3.1 ถา lim ( )f x มีลิมิตแลว ลิมิตนั้นตองมีเพียงหนึง่เดียว กลาวคือถา 1lim ( )f x L= และ 2lim ( )f x L= แลว 1 2L L= ทฤษฎีบทของลิมิต ให c เปนคาคงตัว 1. limc c=
2. lim limx a x a
x x a±→ →
= = เมื่อ a เปนคาคงตัว และ ±∞
3. lim ( ) lim ( )cf x c f x= เมื่อ 0c ≠ (ถา 0c = แลว lim ( ) lim0 0cf x = = )
4. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )f x g x f x g x± = ±
( ถา ไมอยูในรูป ∞ −∞ หรือ −∞ +∞ )
5. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )f x g x f x g x= i ( ถา ไมอยูในรูป 0 ∞i )
ซึ่งจะไดวา [ ] [ ]lim ( ) lim ( )n nf x f x= เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก
6. ( ) lim ( )lim( ) lim ( )
f x f xg x g x
= เมื่อ lim ( ) 0g x ≠ และไมอยูในรูป ∞∞
7. lim ( ) lim ( )n nf x f x= เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก และ n หาคาได
คาเกี่ยวกับ ±∞ที่ใชในทฤษฏีบทของลิมิต
c∞ ± = ∞ , ∞ +∞ = +∞ , −∞ −∞ = −∞ , 0c=
±∞, n +∞ = +∞
ถา 0c > แลว ( )c ±∞ = ±∞i และ ถา 0c < แลว ( )c ±∞ = ∞i ∓
แตคาตอไปนี้ไมนิยาม ,∞ −∞ −∞ +∞ , ±∞±∞
, 0 ∞i , 00
17
ตัวอยาง 15 จงหา ( )22
lim 3 5x
x x→
+ +
ตัวอยาง 16 จงหา 3 2
1
2 1lim5 3x
x xx−→
− −−
ตัวอยาง 17 จงหา lim 2 1
xx
→+∞+
18
ตัวอยาง 18 จงหา ( )( )2 33
lim 3 5x
x x x→
+ −
ตัวอยาง 19 จงหา 21lim
1x x→−∞ −
ตัวอยาง 20 จงหา 0
1limx x−→
, 0
1limx x+→
และ 0
1limx x→
19
หมายเหตุ ถา lim ( ) 0f x = เราจะใชสัญลักษณ lim ( ) 0f x += ถา ( ) 0f x > และ lim ( ) 0f x −= ถา ( ) 0f x < ในกรณีนี้เราจะนิยาม
10+
= +∞ และ 10−
= −∞
ระวัง! กรณี 10
ไมสามารถพิจารณาคาได
ตัวอยางเชน 0
0
1 1 1limlim 0x
xx x−
−
−→→
= = = −∞ และ 0
0
1 1 1limlim 0x
xx x+
+
+→→
= = = +∞
จึงไดวา 0 0
1 1lim limx xx x− +→ →
≠ ดังนั้น 0
1limx x→
ไมม ี
ตัวอยาง 21 จงหา 31
1lim1x
xx+→
+−
20
1.4 เทคนิคการหาคาลิมิต ทบทวน ฟงกชันพหุนาม คือฟงกชันที่อยูในรูป
11 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a−−= + + + +
เมื่อ {0}n∈ ∪ และ 0na ≠ เราเรียก na วาสัมประสิทธิ์นํา เทคนิค 1 ถา f เปนฟงกชันพหุนามแลว lim ( ) lim ( ) ( )
x ax af x f x f a
± →→= =
lim ( ) ( )n
nxf x a
→+∞= +∞i
ตัวอยาง
( )3 3lim 4 3 7 4 ( )x
x x→+∞
+ − = +∞ = +∞i
( )3 3lim 4 3 7 4 ( ) 4( )x
x x→−∞
+ − = −∞ = −∞ = −∞i
( )4 2 4lim 1 ( )x
x x→+∞
− + = − +∞ = −∞i และ ( )4 2 4lim 1 ( )x
x x→−∞
− + = − −∞ = −∞i
เทคนิค 2 ถา f และ g เปนฟงกชันพหุนาม และ ( ) 0g a ≠ แลว
ตัวอยาง จงหา 21
2lim4 3x
xx x→−
−+ −
( ) ( ) ( )lim lim( ) ( ) ( )x ax a
f x f x f ag x g x g a± →→
= =
21
เทคนิค 3 หารดวยกําลังสูงสุดของตัวหารใชในกรณีหาลิมิตที่อยูในรูป ( )lim( )x
f xg x→±∞
เมื่อ f และ g เปนฟงกเชิงพหุนาม
ตัวอยาง จงหา 2 5lim
3x
x xx→+∞
+ −−
ตัวอยาง จงหา 3
3lim3 1x
x xx x→+∞
+− +
ตัวอยาง จงหา 2
5lim4 1x
x
x→−∞
−
+
22
ตัวอยาง จงหา
522
2 4lim
3x
x x
x x→−∞
−
− +
สรุปเทคนิค 3 ถา 11 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a−−= + + + + และ
11 1 0( ) m m
m mg x b x b x b x b−−= + + + + เปนฟงกชันพหุนาม และ 0, 0n ma b≠ ≠
แลว
( ) , if
( )lim , if ( )
0 , if
n mn
m
nx m
a n mbaf x n m
g x bn m
−
→±∞
⎧ ±∞ >⎪⎪⎪= =⎨⎪⎪ <⎪⎩
i
ตังอยาง 1. 2
24lim2x
xx→−∞
−=
−
2. 2
3 22 4lim
2 7 2x
x xx x→+∞
+ −=
+ −
3. 1
4lim2x
x xx
−
→+∞
+=
+
4. lim1x
xx→+∞
=−
23
เทคนิค 4 ตัดตัวประกอบรวม ใชในกรณีหาลิมิตของ ( )lim( )x a
f xg x±→
และ
( )lim( )x a
f xg x→
ที่มี ( ) 0 ( )f a g a= =
ตัวอยาง 1. จงหา 2
2
4lim2x
xx→
−−
วิธีทํา 2
2 2 2
4 ( 2)( 2)lim lim lim( 2)2 2x x x
x x x xx x→ → →
− + −= = +
− −
2 2 4= + =
หมายเหตุ สังเกตวา ฟงกชัน 2 4( )
2xf xx−
=−
และ ( ) 2g x x= + มีคาเทากัน
สําหรับทุกๆ 2x ≠ และ (2) 4g = แต (2)f ไมนิยาม
2. จงหา 2
3
12lim3x
x xx→−
− ++
24
3. จงหา 9
9lim3x
xx→
−−
4. จงหา 3
21
1lim1x
xx→
−−
5. จงหา 2
0
(2 ) 8limx
xx→
+ −
25
เทคนิค 4 คูณดวยสังยุค (Conjugate) ใชในกรณีหาลิมิตของ ( )lim( )x a
f xg x±→
และ
( )lim( )x a
f xg x→
ที่มี ( ) 0 ( )f a g a= = เชนกัน แต f และ g ไมมีตัวประกอบรวมที่ a
ตัวอยาง จงหา 0
1 1limx
xx→
+ −
วิธีทํา
0 0
1 1 1 1 1 1lim lim1 1x x
x x xx x x→ →
+ − + − + += ×
+ +
( ) ( )
2 2
0 0
1 1 1 1lim lim1 1 1 1x x
x xx x x x→ →
+ − + −= =
+ + + +
( )0 0
1lim lim1 11 1x x
xxx x→ →
= =+ ++ +
1 120 1 1
= =+ +
ตัวอยาง 1. จงหา 0
lim4 2x
xx+→ + −
26
2. จงหา 0
2 2limx
xx→
− −
3. จงหา 0
lim1 3 1x
xx→ + −
27
เทคนิค 5 จดัรูปทั่วไป มักจะใชในกรณีที่ฟงกชันอยูในรูปที่ยุงยาก หรือ อยูในรูปที่เมื่อใชทฤษฏีบทของลิมิตแลวเกิดรูป ∞ −∞
ตัวอยาง 1. จงหา 0
1 12 2lim
xxx→
−+
วิธีทํา
2. จงหา 0
1 1lim1x xx x→
⎡ ⎤−⎢ ⎥+⎣ ⎦
วิธีทํา
28
3. จงหา limx→−∞
2 2x x x x+ − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
เทคนิค 6 พิจารณาคาขอบเขต มักจะใชในกรณีที่ฟงกชันคํานวณคาลิมิตลําบาก แตสามารถหาฟงกชันที่คํานวณคาลิมิตไดงาย และสามารถบอกแนวโนมของลิมิตของฟงกชันเดิมได
ทฤษฏีบท ให ( , )a b c∈ และ ,f g เปนฟงกชันที่นิยามบน ( , ) { }b c a− ถา ( ) ( )f x g x≤ สําหรับทุกๆ ( , ) { }x b c a∈ − และทั้งสองฟงกชันมีลิมิต (รวม ±∞ ) แลว
lim ( ) lim ( )f x g x≤
หมายเหตุ อสมการขางตนยังเปนจริงในกรณี lim
x→±∞ ดวย
ตัวอยาง 1. จงหา [ ]lim sinx
x x→+∞
+
วิธีทํา เนื่องจาก sin 1x ≥ − สําหรับทุกๆ x∈ จึงไดวา sin 1x x x+ ≥ − สําหรับทุกๆ x∈ ทําใหไดวา
[ ] [ ]lim sin lim 1x x
x x x→+∞ →+∞
+ ≥ − = +∞
ดังนั้น [ ]lim sinx
x x→+∞
+ = +∞
29
จากทฤษฏีบทขางตน เราสามรถสรุปไดวา
Squeeze Theorem ( or Sandwich Theorem ) ให ( , )a b c∈ และ , ,f g h เปนฟงกชันที่นิยามบน ( , ) { }b c a− ถา ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ สําหรับทุกๆ ( , ) { }x b c a∈ − และ lim ( ) lim ( )f x h x= มีลิมิตที่ a (รวม x a±→ ) แลว g มีลิมิตที่ a (รวม x a±→ ตามลําดับ) และ
lim ( ) lim ( ) lim ( )f x g x h x= =
ตัวอยาง 1. จงหา 0
1lim sinx
xx→
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
วิธีทํา
ทบทวน ถา f เปนฟงกชันตรีโกณมิติที่นิยามที่จุด a แลว จากกราฟจะไดวา
lim ( ) lim ( ) ( )x a x a
f x f x f a±→ →
= =
ตัวอยางเชน 0
lim tan tan 0 0x
x→
= = 3
1lim sec sec 23 cos
3x
xπ
ππ
→= = = เปนตน
30
2. จงแสดงวา 0
sinlim 1t
tt→
=
วิธีทํา พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวยและให t เปนมุมที่วัดจากแกน X ทางดานบวก ทวนเข็มนาฬิกาขึ้นไปโดยที่ 0 2t π< < ดังรูป
จากรูปจะไดวา 0 < พื้นที่ของ OBPΔ < พื้นที่ของจักรภาค OBP < พื้นที่ของ OBQΔ และเพราะพื้นที่ของจักรภาค OBP เทากับ 1
2 (ความกวางของมุม)(รัศม)ี 2 ทําใหได
21 1 10 (1)(sin ) ( )(1) (1)(tan )2 2 2t t t< < < หรือ sin tan0 2 2 2t t t< < <
เมื่อคูณตลอดดวย 2 0sint > จะได
1 sint
t< < 1cost หรือ sin1 cost tt> >
จะไดวา
0 0 0
sinlim cos lim lim 1t t t
ttt+ + +→ → →
≤ ≤
เนื่องจาก 0 0
lim cos lim 1 1t t
t+ +→ →
= = โดย Squeeze Theorem จึงไดวา 0
sinlim 1t
tt+→
= สังเกตวา 0t −→ ก็ตอเมื่อ 0t +− → ดังนั้นจากเอกลักษณ sin( ) sint t− = − จะไดวา
จึงสรุปไดวา 0
sinlim 1t
tt→
=
0
P(cos t, sin t)
B(1, 0) t •
•
0
P(cos t, sin t)
B(1, 0) t •
•
0
Q(1, tan t)
B(1, 0) t •
• •
0 0 0 0
sin sin( ) sin sinlim lim lim lim 1t t t t
t t t tt t t t− + + +→ → → →
− −= = = =
− −
31
ตังอยาง 1. 0
limt→
1 cos tt
− 0
limt→
= ( )1 cos tt
− ( )1 cos 1 cos
tt
++
0lim
t→=
2sin(1 cos )
tt t+
( )0sin lim
tt
t→= ( )0
sin lim1 cos tt
t→ + 0(1) 01 1⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠
2. ( )0 0 0 0
sin 2 2sin cos sinlim lim 2 lim lim cos 2 1 1 2x x x x
x x x x xx x x→ → → →
⎛ ⎞= = = × × =⎜ ⎟⎝ ⎠
หมายเหตุ ให ( )u x เปนฟงกชันซึ่ง ( )u x b→ เมื่อ x a→ แลวจะไดวา
lim ( ( )) lim ( )x a u b
f u x f u→ →
=
เรียกวา การเปลี่ยนตัวแปร
3. ( )2 2 2
2 20 0 0 0
sin sin sinlim lim lim lim 1 0 0x x x x
x x x x xx x x→ → → →
⎛ ⎞= = = × =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
4. 0 0 0 0
tan 2 sin 2 sin 2 1lim lim lim limsin3 (sin3 )(cos2 ) sin3 cos2x x x x
x x xx x x x x→ → → →
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
0 0
sin 2 3 2 1lim lim2 sin3 3 cos2x x
x xx x x→ →
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞= × × ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( )0 0
2 sin 2 3lim lim 13 2 sin3x x
x xx x→ →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 1 13
= × ×
32
เทคนิค 7 พิจารณาคาลิมิตทางซาย-ขวา ใชในกรณีที่ฟงกชันมีนิยามที่แตกตางกัน ทางซายและทางขวาของจุด a
ตัวอยาง จงหา 0
1lim| |x x→
วิธีทํา ให 1( )| |
f xx
= เนื่องจาก , 0
| |, 0
x xx
x x≥⎧
= ⎨− <⎩ จึงไดวา
0 0 0
1 1lim ( ) lim lim| |x x x
f xx x+ + +→ → →
= = = +∞
และ
0 0 0 0
1 1 1lim ( ) lim lim lim ( )| |x x x x
f xx x x− − − −→ → → →
= = = − = − −∞ = +∞−
สรุปไดวา
0
1lim| |x x→
= +∞
ตัวอยาง จงหา 1
lim ( )x
f x→
เมื่อ 3
2
2 , 1( )
2 2 , 1
x x xf x
x x
<
≥
⎧ −⎪= ⎨−⎪⎩
วิธีทํา
33
ตัวอยาง จงหา 1
1lim| 1|x
xx→
−−
ตัวอยาง จงหา 0
1 1lim| |x x x→
⎡ ⎤−⎢ ⎥
⎣ ⎦
34
•
y
x
( , ( ))c f c2 2
( , ( ))c f c3 3
a b c1 c2 c3
ความตอเนื่องของฟงกชัน Continuity of functions
บทนิยาม เราจะเรียกฟงกชัน f วาตอเนื่องที่ a ถากราฟของ f ไมขาดตอนที่ จุด ( ), ( )a f a แตถากราฟขาดตอนที่ x a= เราจะกลาววา f ไมตอเนื่องที่ a ตัวอยาง พิจารณาจุดที่ฟงกชันตอเนื่องบนชวง [ , ]a b
จะเห็นวากราฟขาดตอนที่ 1 2,x c c= และ 3c ดังนั้นฟงกชันนี้ตอเนื่องทุกๆจุดบน [ , ]a b ยกเวนที่ 1 2,x c c= และ 3c จากบทนิยามนี้ จะไดวาฟงกชันตอไปนี้เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวงตางๆกัน ฟงกชัน ชวงที่ตอเนื่อง
| |, sin , cos ,x x x 1 1tan , cot ,x x− − xa เมื่อ 0a >
( , )−∞ +∞
tan , secx x ( ),( 1)n nπ π+ เมื่อ n∈
cot , cscx x ,2 2
n nπ ππ π⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎝ ⎠
เมื่อ n∈
1 1sin , cosx x− − [ 1,1]− 1 1csc , secx x− − ( , 1] [1, )−∞ − ∪ +∞
loga x เมื่อ 0a > (0,+∞
35
บทนิยาม เราจะเรียกฟงกชัน f วาตอเนื่องที่ c ก็ตอเมื่อ lim ( ) ( )x c
f x f c→
=
ซึ่งบทนิยามนี่มีความเดียวกับบทนิยามตอไปนี้
บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามที่ c เรากลาววา f ตอเนื่องที่ c ก็ตอเมื่อ สําหรับทุก 0ε > จะมี 0δ > ที่ทําให
( ) ( )f x f c ε− < สําหรับทุก ( , )x c cδ δ∈ − + หมายเหตุ จากบทนิยาม จะสังเกตเห็นไดวา เราตรวจสอบความตอเนื่องของฟงกชันเฉพาะที่จุดในโดเมนของฟงกชันเทานั้น เพราะ ( )f c ไมนยิาม ถาc ไมอยูในโดเมน
ตังอยาง ฟงกชัน 2 1( )
1xf xx−
=−
ไมตอเนื่องที่ 1เพราะ (1)f ไมนยิาม ตอไป
พิจารณา 2 1, 1( ) 12, 1
x xf x xx
⎧ −≠⎪= ⎨ −
⎪ =⎩
เนื่องจาก 2
1 1 1 1
1 ( 1)( 1)lim ( ) lim lim lim( 1) 2 (1)1 1x x x x
x x xf x x fx x→ → → →
− − += = = + = =
− −
จึงไดวา f ตอเนื่องที่ 1 ( สังเกตวา f ตอเนื่องที่ทุกๆจุดใน ( , )−∞ +∞ ) บทนิยาม ให ( , )A⊂ −∞ +∞ เรากลาว f ตอเนื่องบน A ถา f ตอเนื่องที่ทุกๆ a A∈ ในกรณี ( , )A = −∞ +∞ เราอาจจะกลาวส้ันๆ วา f เปนฟงกชันตอเนื่อง
36
ตัวอยาง จงหาคาคงตัว cที่ทําใหฟงกชัน f เปนฟงกชันตอเนื่อง เมื่อ
2
1, 3( )
1, 3
cx xf x
cx x
+ ≤⎧⎪= ⎨− >⎪⎩
วิธีทํา กอนอื่นสังเกตวา ถา 3a ≠ แลว lim ( ) ( )x a
f x f a→
= จึงไดวา f ตอเนื่อง
ที่ 3a ≠ ไมวา c จะเปนจํานวนจริงใดก็ตาม ตอไปพิจารณาเงื่อนไขของความตอเนื่องที่ 3a = ซึ่งไดวา
( )2 2
3 3lim ( ) lim 1 3 1 9 1
x xf x cx c c
+ +→ →= − = − = −
และ ( )
3 3lim ( ) lim 1 3 1 (3)
x xf x cx c f
− +→ →= + = + =
จากบทนิยาม f ตอเนื่องที่ 3ก็ตอเมื่อ
3 3lim ( ) lim ( ) (3)
x xf x f x f
+ −→ →= =
หรือ 9 1 3 1c c− = +16 23
c c⇔ = ⇔ =
ดังนั้น f เปนฟงกชันตอเนื่องถา 3c =
บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามที่ c เรากลาววา f ตอเนื่องทางขวาที่ c ก็ตอเมื่อ
lim ( ) ( )x c
f x f c+→
=
และ f ตอเนื่องทางซายที่ c ก็ตอเมื่อ lim ( ) ( )
x cf x f c
−→=
บทนิยาม ให f เปนฟงกชันที่นิยามบน [ , ]a b เรากลาววา f ตอเนื่องบน [ , ]a b ก็ตอเมื่อ ตอไปนี้เปนจริง 1. f เปนฟงกชันตอเนื่องบน ( , )a b 2. f ตอเนื่องทางซายที่ b 3. f ตอเนื่องทางขวาที่ a
37
x b a
( )f a
y
x
y
ba x
y
ba
ตัวอยาง พิจารณากราฟของฟงกชันตอไปนี้ จะไดวากราฟของ 2ฟงกชันแรกไมตอเนื่องบน [ , ]a b โดยที่ฟงกชันของกราฟแรกตอเนื่องทางซายที่ b แตไมตอเนื่องที่ a สวนฟงกชันของกราฟที่สองตอเนื่องทางขวาที่ a แตไมตอเนื่องที่ b
ตัวอยาง จงแสดงวา 2( ) 1 1f x x= − − ตอเนื่องบน [ 1,1]−
ทฤษฏีบท ให f และ g เปนฟงกชันตอเนืองที่ a และ c เปนคาคงตัว แลวฟงกชันตอไปนี้ตอเนื่องที่ a
1. f g± 2. cf 3. f g⋅ 4. fg
ถา ( ) 0g a ≠
จากทฤษฏีบทขางตนไดวา
1. ฟงกชันพหุนามเปนฟงกชันตอเนื่องบน ( , )= −∞ +∞
2. ฟงกชันตรรกยะ ( )( )( )
p xf xq x
= (เมื่อ p และq เปนฟงกชันพหุนาม)
ตอเนื่องทุกๆ จุดใน ( , )a∈ = −∞ +∞ ยกเวนที่ ( ) 0q a =
38
ตัวอยาง 1. 1( )1
xf xx+
=−
ตอเนื่องทุกๆ จุด ยกเวนที่ 1
2. 21( )1
xg xx+
=+
ตอเนื่องบน ( , )= −∞ +∞ เพราะ 2 1 1x + ≥ สําหรับทุกๆ
จํานวนจริง x
ทฤษฏีบท ให n เปนจํานวนเต็มบวก และ ( ) nf x x= 1. ถา n เปนจํานวนคี่ แลว f เปนฟงกชันตอเนื่องบน 2. ถา n เปนจํานวนคู แลว f เปนฟงกชันตอเนื่องบน [ )0,+∞
ตัวอยาง จงหาชวงที่ฟงกชัน 21( )
1x xf x x
x x−
= + −+
ตอเนื่องบนชวงนั้น
39
ทฤษฎีบท ถา f ตอเนื่องที่ lim ( )
x ab g x
→= แลว
( )lim ( ( )) lim ( ) ( )x a x a
f g x f g x f b→ →
= =
พิสูจน เนื่องจาก f เปนฟงกชันตอเนืองที่ lim ( )
x ab g x
→= จึงไดวา
( )lim ( ) ( ) lim ( )u b x a
f u f b f g x→ →
= = ถาให ( )u g x= แลว จะไดวา
( )( )lim ( ( )) lim ( ) ( ) lim ( )
g x b u b x af g x f u f b f g x
→ → →= = =
หรือกลาวคือ ถา ( )g x b→ แลว ( ( )) ( )f g x f b→ เนื่องจาก lim ( )
x ag x b
→= หมายความวา ถา x a→ แลว ( )g x b→
ดังนั้น จะไดวา ถา x a→ แลว ( )g x b→ ซึ่งทําให ( ( )) ( )f g x f b→ กลาวอีกนัยหนึ่งคือ ถา x a→ แลว ( ( )) ( )f g x f b→ หรือ
( )lim ( ( )) ( ) lim ( )x a x a
f g x f b f g x→ →
= =
ตัวอยาง จงหา 2 1
0lim xx
e +
→
40
ตัวอยาง จงหา 1
1limarcsin1x
xx→
⎛ ⎞−⎜ ⎟
−⎝ ⎠
ตัวอยาง จงหา ( )lim sin sin
xx x
π→+
ตัวอยาง จงหา |tan 1|
0lim 2 xx
−
→
41
ทฤษฏีบท ให g เปนฟงกชันตอเนืองที่ a และ f เปนฟงกชันตอเนืองที่ ( )g a แลวฟงกชัน ( )( ) ( ( ))f g x f g x= ตอเนื่องที่ a
พิสูจน จากทฤษฎีบทกอนหนานี้ จะไดวา
( )lim ( ( )) lim ( ) ( ( ))x a x a
f g x f g x f g a→ →
= =
จึงไดวา lim( )( ) ( )( )
x af g x f g a
→= ซึ่งแสดงวา f g ตอเนื่องที่ a
ตัวอยาง จงหาชวงที่ฟงกชัน ( ) 3f x x= − ตอเนื่องบนชวงนั้น วิธีทํา เนืองจาก ( ) 3g x x= − เปนฟงกชันตอเนื่องบน และ ( )h u u= เปนฟงกชันตอเนื่องบน [0, )+∞ ดังนั้น ( ) ( )f x h g x= ตอเนื่องทุกๆ จุด x ที่
( ) 0g x ≥ เนื่องจาก ( ) 0 3g x x≥ ⇔ ≥ จึงไดวา f ตอเนื่องบน [3, )+∞ ตัวอยาง จงหาชวงที่ฟงกชัน 4( ) ln( 1)f x x= − ตอเนื่องบนชวงนั้น
42
x
y
a
( )f a
( )f b
c
b
( )y f x=
สมบัติของฟงกชันตอเนื่อง ทฤษฎีบทคาสุดขีด ( Extreme Value Theorem) ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบน [ , ]a b แลวจะมี 1x และ 2x ใน [ , ]a b ที่ทําให
1( ) ( )f x f x≤ และ 1( ) ( )f x f x≥ สําหรับทุกๆ [ , ]x a b∈
ทฤษฎีบทคาสุดขีดกลาววา ฟงกชันที่ตอเนื่องบนชวงปดจะตองมีจุดที่ใหคาสูงสุดและต่ําสุดของฟงกชันในชวงปดนั้น แตไมไดกลาววาจะหาไดอยางไร ซึ่งนักศึกษาจะไดเรียนเกี่ยวกับวิธีการหาคาเหลานี้ในบทที่ 3
ทฤษฎีบทคากลาง (Intermediate Value Theorem) ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบน [ , ]a b ถา c เปนคาคงตัวซึ่งอยูระหวาง
( )f a และ ( )f b [นั่นคือ ( ) ( )f a c f b< < หรือ ( ) ( )f b c f a< < ] แลวจะมี
0x ∈ [ , ]a b ที่ทําให 0( )f x c=
ตัวอยางการประยุกตใช IVT ตัวอยาง จงแสดงวารากของพหุนาม 3( ) 3 1P x x x= − + อยูในชวง ( )0,1 วิธีทํา กอนอื่นสังเกตวา ( )P x เปนฟงกชันตอเนื่องบน [0,1] และ (0) 1P = และ
(1) 1 3 1 1P = − + = − จึงไดวา 0 อยูระหวาง (0)P และ (1)P ดังนั้น โดย IVT จะไดวา มี (0,1)c∈ ที่ทําให ( ) 0P c = หรือกลาวคือ c เปนรากของ
( )P x นั่นเอง
43
ตัวอยาง จงแสดงวาสมการ 2 1x x= + มีอยางนอยหนึ่งคําตอบที่อยูใน (1,2) วิธีทํา ตัวอยาง ให 5 3 2( ) 2 2f x x x x= − + + จงแสดงวามีจํานวนจริง cที่ทําให ( ) 1f c = − วิธีทํา