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半導体電子工学II
神戸大学工学部 電気電子工学科
小川 真人
11/2/'11 1
1. 復習:基本方程式 キャリア密度の式
フェルミレベルの位置の計算
ポアソン方程式
電流密度の式
連続の式(再結合)
2. pn接合 a. 接合の形成
b. pn接合中のキャリア密度分布
c. 拡散電位
d. 空乏層幅
e. 電流-電圧特性
本日の内容
11/2/'11 2
ポアソン方程式
電子 正孔
キャリア密度の式
電流密度の式
連続の式
基本方程式
x
dx
xd
2
2
Tk
EEnn
B
iF
i exp
Tk
EEnp
B
Fii exp
nqDEqnJ eee pqDEqpJ hhh
txUtxJ
xqt
txnee ,,
1,
txUtxJ
xqt
txphh ,,
1,
11/2/'11 3
(復習) pn接合
11/2/'11 4
拡散電位 の計算 bi
5 11/2/'11
拡散電位
拡散電位
2ln
i
ADBbi
n
NN
q
TkV
iFn EE
Fpi EE
biV
11/2/'11 6
空乏層幅
Si
D
K
qN
dx
xd
2
2
xwxK
qNx n
Si
D 22 0
xwxK
qNx p
Si
A 22 0
pAnD wNwN pnbi wwV
AD
AD
bisipn NN
NqN
VKwww 02
ポアソン方程式
11/2/'11 7
電荷分布・電界分布・電位分布
• 電荷密度分布が既知→ 電位分布を求めたい
p.37~
Poisson方程式を使う
0
2
2
SiK
x
dx
xd
11/2/'11 8
pn接合の内部の電位の計算
x
dx
xd
2
2
Tk
EEnn
B
iF
i exp
Tk
EEnp
B
Fii exp
nqDEqnJ nnn pqDEqpJ ppp
txRtxGtxJ
qt
txnnnn ,,,
1,
txRtxGtxJ
qt
txpppp ,,,
1,
(3D)
ポアソン方程式
電子 正孔
キャリア密度の式
電流密度の式
連続の式
p.65~
11/2/'11 9
空乏層長の計算→ポアソン方程式
0
2
2
SiK
x
dx
xd (1)
pn
pa
nd
WxWx
WxeN
xWeN
x
,0
0
0
(2)
電荷密度分布が右図の 場合を考えよう
eN d
-eN a
-W n W p 0
x
(x)
この形の微分方程式は2年生でやったぞ
11/2/'11 10
境界条件と解法
・ X=-Wnで 電界 E=0 ①, 電位 φ =0 ②
・ X= Wpで 電界 E=0 ③, 電位 φ =-Vbi+V ④
0
2
2
Si
d
K
eN
dx
xd (3) 0 xWn で
1回積分して①を用いる
n
Si
d WxK
eN
dx
dxE
0
更に積分して②を用いる
(4)
2
02n
Si
d WxK
eNx
(5)
eN d
-eN a
-W n W p 0
x
(x)
11/2/'11 11
境界条件と解(続き)
・ X= Wpで 電界 E=0 ③, 電位 φ =-Vbi+V ④
0
2
2
Si
a
K
eN
dx
xd (6) pWx 0 で
1回積分して③を用いる
更に積分して④を用いる
p
Si
a WxK
eN
dx
dxE
0
(7)
VVWxK
eNx bin
Si
a 2
02 (8)
eN d
-eN a
-W n W p 0
x
(x)
11/2/'11 12
解のまとめ
電界分布(位置xの1次式)
電位分布(位置xの2次式)
n
Si
d WxK
eN
dx
dxE
0
(4)
p
Si
a WxK
eN
dx
dxE
0
(7)
2
02n
Si
d WxK
eNx
(5)
VVWxK
eNx bip
Si
a 2
02
(8)
電位
-Vbi+V
11/2/'11 13
x=0で電位と電束連続
x=0で電位と電束密度は連続でなければならない
00 xx (9)
dx
xd
dx
xd
00
(5),(8)と(9)より
pand WNWN
(10) VVWK
eNW
K
eNbi
Si
a
Si
d
pn 2
0
2
0 22
(4),(7)と(9)より
(11)
11/2/'11 14
空乏層幅
ad
a
d
bisi
nNN
N
eN
VVKw
02
ad
ad
bisi
pn NNNeN
VVKwww
)(2 0
ad
d
a
bisi
pNN
N
eN
VVKw
02
(n側)
(p側)
(教2.23)
(教2.24)
Vが変化したらwはどうなる? Nd, Naが変化したら?
11/2/'11 15
出てきた用語
• ドリフト電流
• 拡散電流
• 連続の式
• 発生・再結合(SRH型)
• pn接合
• ビルト-インポテンシャル
(拡散電位, 内部電位)
• 空乏層幅
• 固定電荷
• キャリア(可動電荷)
イオン化したドナ,アクセプタは動けない
正孔,電子は動ける
ドリフト ・拡散
どうやって求める?
どんな役割?
どうやって求める?
どんな役割?
空乏って何が無いの
11/2/'11 16
2.2 pn接合の電流電圧特性
pp.71~79
11/2/'11 17
ポアソン方程式
電子 正孔
キャリア密度の式
電流密度の式
連続の式
電流-電圧特性の計算
x
dx
xd
2
2
Tknn
B
iFi
exp
Tknp
B
Fii
exp
nqDEqnJ eee pqDEqpJ hhh
txRtxGtxJ
qt
txneee ,,,
1,
txRtxGtxJ
qt
txphhh ,,,
1,
(3D)
11/2/'11 18
電流-電圧特性(1)
(a)熱平衡
(b)順方向
バイアス印加
Tk
eVn
Tk
VVenwn
B
p
B
binp
exp
exp
0
0
ad
da
biSi NNNeN
VVKVw
02
11/2/'11 19
電流-電圧特性(2)
11/2/'11 20
電流-電圧特性(3)
pwx
nndx
xdnqDJ
n
p
n
nxnU
0
n
p
n
ntxn
x
txnD
t
txn
0
2
2 ),(,,
連続の式より
定常状態:
0
t
xn
n
p
n
nxn
dx
xndD
0
2
2 )(0
(拡散電流のみ) (再結合率)
(解くべき微分方程式)
11/2/'11 21
電流-電圧特性(4)
Tk
qVnwn
B
pp exp0 0pnn
00 exp1exp p
n
p
B
p nL
wx
Tk
eVnxn
nnn DL
1exp0
Tk
eVn
L
DeJ
B
p
n
nn
境界条件
解
電子による拡散電流 ①
1exp0
Tk
eVp
L
DeJ
B
n
p
p
p②
11/2/'11 22
1exp0
Tk
eVn
L
DeJ
B
p
n
nn電子による拡散電流 ①
1exp0
Tk
eVp
L
DeJ
B
n
p
p
p
正孔による拡散電流②
1exp1exp
00
Tk
eVJ
Tk
eV
L
pD
L
nDeJJJ
B
s
Bp
np
n
pn
pn
電流-電圧特性(5)
11/2/'11 23
2.8 空乏層の容量とC-V特性
p.46~
11/2/'11 24
電荷と容量
VVNN
NNeKw
NN
NNewNwNQ bi
ad
daSi
ad
dapand
02
2/1
2/1
00
10
12
1
2
bi
biad
da
bi
Si
bida
daSi
V
VC
V
V
NN
NNeK
VVNN
NNeK
dV
dQC
(2.32a)
印加バイアス
11/2/'11 25
空乏層幅、接合容量
空乏層幅 Depletion Width
VVNNe
KW bi
da
Si
112 0
接合容量
junction Capacitance
dV
VdQVC
C-V特性から
ドーピング密度の計算
片側階段接合
dV
CdeKN
Si
d 2
0 /1
12
da NN ただし
11/2/'11 26
電圧を印加した時のバンド図
熱平衡
逆バイアス -1.0 [V]
順バイアス 0.38 [V]
11/2/'11 27
付録
11/2/'11 28
中性半導体のフェルミ準位の計算法
• 中性半導体
–電荷中性条件
(負電荷と正電荷が同じ量)
N,ND≫p,NAのとき (n型半導体)
p,NA≫ N,NDのとき (p型半導体)
それ以外
0 DA NpNn
(電子密度 [m-3])
(アクセプタ密度 [m-3]) (ドナ密度 [m-3])
(正孔密度 [m-3])
11/2/'11 29
pn積一定の法則
(質量作用の法則)
• 熱平衡状態(バイアスなし,光照射なし)
• 非平衡状態(バイアス印加時など) p, nそれぞれのフェルミレベルが異なるので
constn
Tkn
Tknpn
i
B
iFi
B
Fii
2
expexp
22 exp
expexp
i
B
FpFn
i
B
iFni
B
Fpi
i
nTk
n
Tkn
Tknpn
11/2/'11 30
接合前
31
中性 中性
11/2/'11
n型半導体とp型半導体接合直後
11/2/'11 32
途中
11/2/'11 33
接合形成後
空乏層 =電子,正孔がいない
11/2/'11 34
np接合形成終了
11/2/'11 35
pn接合でのキャリア密度分布
11/2/'11 36
pn接合内のキャリア密度 37 11/2/'11
Pn接合内のキャリア分布(2)
11/2/'11 38
出てきた用語
• 半導体
• 伝導帯
• 価電子帯
• バンドギャップ
• 真性半導体
• 外因性半導体
• 中性半導体
• 電荷中性条件
• キャリア密度の式
• フェルミレベル(フェルミ準位)
• pn積
• ポアソン方程式
• ドリフト電流
• 拡散電流
• 電流密度の式
• 移動度
• アインシュタインの式
• フォノン散乱
• イオン化不純物散乱
• 連続の式
11/2/'11 39
自己チェック(1)
フェルミ準位とキャリア密度との関係は?
電荷中性条件とは?
外因性半導体の中性領域(中性半導体)でのフェルミレベルは計算できる?
キャリア密度の式(Boltzmann近似)の導出は?
Boltzmann近似ってなんだっけ?
pn積一定の法則
11/2/'11 40
フェルミ準位とキャリア密度との関係
キャリア密度の式 教(1.6,7)
ni=1.5×1016 [m-3]
(Siの場合)
・大きさを覚えよう。・単位にも注意しよう
相馬p.84,p.95
土屋 FD分布関
数 11/2/'11 41
(付) キャリア密度の厳密な計算
半導体電子工学 II
2/1
2/3
2
*
2
exp1
12
2
1
FN
dE
Tk
EEE
m
dEEfEgn
C
E
B
F
Cn
EFDC
c
c
Boltzmann近似が
成立する領域
Boltzmann近似が
成立しない領域
T=300K
状態密度=座席の数
分布関数=席の占有割合
~3kBT
相馬p.84
11/2/'11 42
ポアソン方程式
ポアソン方程式
ガウスの法則 (忘れたら復習しよう)
電磁気I (喜多)
量子物理I(小川)
AD NNnp
K
e
K
x
dx
xd
00
2
2
11/2/'11 43
電流密度の式
電流密度の式(1.64,65)
小島6/7
ノート
Eendx
dneDJ nnn Eep
dx
dpeDJ ppp
マイナスに注意
11/2/'11 44
連続の式(粒子数保存)
連続の式 (忘れたら復習しよう) 電磁気I (喜多)
量子物理I(小川)
11/2/'11 45
値を覚えて量の感覚を身につけよう!
記号 意味 値 単位
Boltzmann定数 1.38×10-23 J/K
電子の電荷(絶対値) 1.60×10-19 C
真空の誘電率 8.85×10-12 F/m
0.026
(T=300K)
V
Bk
e
0
eTk /B
他にも必要なものがあったら自分のノートに表を作ってみよう*)
(期末試験対策や他の科目の受講の時に役に立つ)
・ Planck定数は?
・ 光速は?
・ SiやGeやGaAsの物性定数は?
*)表を書くのが面倒だって? それなら適当な文献からコピーして貼り付けておいたら?
11/2/'11 46
トラップを介した再結合
Tk
EEnpn
npnNAU
B
iti
it
cosh2
2
0
11/2/'11 47
0AAA pn が成り立たない場合はどうなる? (考察課題)
キャリアの発生と再結合
再結合 発生
光による発生 α線による 発生
直接再結合 トラップを 介した再結合 (SRH再結合)
電磁気学の連続の式と違う所だ
11/2/'11 48
その他の発生・再結合メカニズム
■バンド間再結合(band to band recombination)
sthst
B
tii
iS vN
Tk
EEnnp
npnU
cosh2
2
2
innpBU 発光再結合など(バンド内のキャリア密度の積に比例)
■表面再結合(surface recombination)
stN :surface trap density [m-2]
■Auger再結合(Auger recombination) …3つのキャリアが関係する再結合
:2個の電子が衝突して1個は正孔と再結合して消滅し、エネルギーを他の1個に与える。
22
ipinA nnppCnnpnCU
11/2/'11 49
光によるキャリア発生
ph
ph
heE
IGG
■入射光強度 Iph [Wm-2],吸収係数 α [m-1], フォトンエネルギー Eph [J](>EG)によるキャリア発生率。
VE
he GG
CE
)( gph EE
11/2/'11 50
連続の式
xdxx
xJe dxxJe CE
VEeG
eR
電流連続の式より
txRtxGtxJ
xet
txnnnn ,,,
1,
txRtxGtxJ
xet
txpppp ,,,
1,
マイナスに注意 11/2/'11 51