Леонард Ойлер Leonhard Euler
description
Transcript of Леонард Ойлер Leonhard Euler
![Page 1: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/1.jpg)
Леонард ОйлерЛеонард Ойлер Leonhard Euler
Швейцарски математик, математик,
физик, астрономфизик, астроном, работил през по голямата част от
живота си в Германия и Русия.
![Page 2: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/2.jpg)
Смятан за един от най-великите математици на 18 век Ойлер пръв
използва голяма част от съвременните обозначения, най-вече в областта на
анализа, сред които знаците за функция, косинус, синус, тангенс.
![Page 3: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/3.jpg)
Леонард Ойлер е роден в Базел, Швейцария на 15 Април 1707г. Отгледан от родителите си Маргрет Брукер и Паул Ойлер (баща му, който иска Леонард да учи теология[богословие]).
![Page 4: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/4.jpg)
Животът на Ойлер всъщност е почти 60 години творческа дейност, главно в областта на математиката. Той написва 40 книги, около 760 статии за списания и 15 труда по повод на обявени награди, изпълва със записки многобройни бележници и разпраща из Европа няколко хиляди писма.
![Page 5: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/5.jpg)
Освен това хиляди негови страници са останали непубликувани. От статистическа гледна точка Ойлер е правел по едно откритие всяка седмица.
![Page 6: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/6.jpg)
От друга страна, изключителната многостранност на неговите научни постижения подпомага значително развитието на всички дялове на математиката. Всички математици от следващото поколение са се учили от него.
![Page 7: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/8.jpg)
Формула на Ойлер
Научната дейност на Ойлер е просто Научната дейност на Ойлер е просто невероятна. Написал е трийсет и два пълноценни невероятна. Написал е трийсет и два пълноценни труда, някои от които в повече от един том, и труда, някои от които в повече от един том, и много стотици оригинални статии в областта много стотици оригинални статии в областта на математиката и точните науки. Събраните на математиката и точните науки. Събраните му научни произведения обхващат повече от му научни произведения обхващат повече от седемдесет тома! Ойлеровият гений е обогатил седемдесет тома! Ойлеровият гений е обогатил почти всеки дял от чистата и приложната почти всеки дял от чистата и приложната математика, а приносът му в математическата математика, а приносът му в математическата физика намира безкрай приложения. физика намира безкрай приложения.
![Page 9: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/9.jpg)
Ще докажем една забележителна т-ма, с чиято Ще докажем една забележителна т-ма, с чиято помощ ще получим важни метрични зависимости помощ ще получим важни метрични зависимости
в успоредник и трапецв успоредник и трапец
Във всеки четириъгълник сборът от квадратите на страните е равен на сбора на квадратите на диагоналите и учетворения квадрат на отсечката с краища средите на диагоналите, т.е
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4.EF2
![Page 10: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/10.jpg)
ДоказателствоДоказателство
Понеже точките E и F са среди съответно на диагоналите AC и BD, то ако O е произволна точка, ще са верни равенства OE=1/2(OA+OC) и OF =1/2(OB+OD), които ще използваме при доказателството.
![Page 11: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/11.jpg)
За лявата страна на равенството За лявата страна на равенството имаме:имаме:
AB2+BC2+CD2+DA2
=(OA-OB)2+(OB-OC)2+(OC-OD)2+(OD-OA)2
=2.(OA2+OB2+OC2+OD2)-(OA.OB+OB.OC+OC.OD+OD.OA)
![Page 12: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/12.jpg)
За дясната страна, като приложима За дясната страна, като приложима равенствата за равенствата за OE OE ии OF OF, получаваме:, получаваме:
AC2+BD2+4.EF2 =(OA-OC)2+(OB-OD)2+4.(OE-OF)2
=(OA-OC)2+(OB-OD)2+(OA-OB+OC-OD)2
=2.(OA2+OB2+OC2+OD2)-2.(AO.OB+OB.OC+OC.OD+OD.OA)
![Page 13: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/13.jpg)
Следствие 1
Един четириъгълник е успоредник тогава и само тогава, когато
сборът на квадратите на страните му е равен на сбора от квадратите на диагоналите му.
![Page 14: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/14.jpg)
Доказателството е учевидно, предвид теоремата, че един
четириъгълник е успоредник тогава и само тогава, когато диагоналите му
имат обща среда.
![Page 15: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/15.jpg)
Следствие 2
Във всеки трапец сборът от квадратите на диагоналите е
равен на сбора от квадратите на бедрата и удвоеното произведение
на основите.
![Page 16: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/16.jpg)
Доказателство:Доказателство:
Съгласно задача решавана в осми клас, отсечка EF е успоредна на основите AB и CD на трапеца и
EF=a-b/2. Тогава AC2+BD2+4.EF2=d1
2+d22 +
(a-b)2 и от теоремата на Ойлер лесно получаваме : d1
2+d22
=c2+d2+2.ab
![Page 17: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/17.jpg)
ЗадачаЗадача
Даден е равнобедрен трапец с основи a=8, b=2 и бедро c=5. Да се намери:
Височината на трапеца; Косинусът на ъгъла при основата; Диагоналът на трапеца; Синосът на ъгъла м/у диагоналите;
![Page 18: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/18.jpg)
Височината на трапеца
Понеже трапеца е равнобедрен, BH=a-b/2=8-2/2=3.
От правоъгълния т-к HBC получаваме CH2=CB2-HB2=52-32=25-9=16.Следователно
височината CH=4.
![Page 19: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/19.jpg)
Косинусът на ъгъла при основата
От правоъгълния т-к HBC следва cos a = HB/BC = 3/5.
![Page 20: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/20.jpg)
Диагоналът на трапеца
Прилагаме косинусовата теорема за т-к ABC
AC2=AB2+BC2-2.AB.BC.cosa,√ AC2=64+25-2.8.5.3/5=41 => AC= 41
![Page 21: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/21.jpg)
Синосът на ъгъла между диагоналите
Прекарваме през върха C права, успоредна на диагонала DB и отбелязваме
пресечената й точка с продължението на основата AB с K
![Page 22: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/22.jpg)
ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK
намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето
2 2 2 41 41 100 9
2 . 82 41
AC CK AK
AC CK
22
81 40cos 1 cos 1
41 41
cos 2 2 2 41 41 100 9
2 . 82 41
AC CK AK
AC CK
cos 2 2 2 41 41 100 9
2 . 82 41
AC CK AK
AC CK
cos
22
81 40cos 1 cos 1
41 41
2 2 2 41 41 100 9
2 . 82 41
AC CK AK
AC CK
cos
22
81 40cos 1 cos 1
41 41
2 2 2 41 41 100 9
2 . 82 41
AC CK AK
AC CK
cos
ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK
намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето
ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK
намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето
ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK
намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето
ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK
намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето
ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK
намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето
ACK = AOB= като съответни.AK=a+b=8+2=10.От косинусовата теорема за т-к ACK
намирамеAK2=AC2+CK2-2.AC.CK.cos откъдето
![Page 23: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Леонард Ойлер Leonhard Euler](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020106/56813aba550346895da2c385/html5/thumbnails/24.jpg)
Калина Танева Петя Вангелова 2010 година СОУ”Железник” Учител по математика Марго Малинова