Συγγραφή - labrat...Τον 6ο αιώνα π.Χ. οι αρχαίοι Έλληνες...

Συγγραφή: Γεώργιος Αρχοντής,ΑναπληρωτήςΚαθηγητής,

ΤµήµαΦυσικής,ΠανεπιστήµιοΚύπρου

Φώτιος Πτωχός,ΑναπληρωτήςΚαθηγητής,


Νικόλαoς Τούµπας,ΑναπληρωτήςΚαθηγητής,


Ζαχαρίας Ζαχαρία,ΑναπληρωτήςΚαθηγητής,

ΤµήµαΕπιστηµώντηςΑγωγής,ΠανεπιστήµιοΚύπρου

Μιχάλης Ιωάννου,Φυσικός,

ΕκπαιδευτικόςΜέσηςΕκπαίδευσης

Ιωάννης Καρµιώτης,Φυσικός,


Σάββας Πολυδωρίδης,Φυσικός,


∆ηµήτριος Φιλίππου,Φυσικός,

Bοηθός∆ιευθυντήςΜέσηςΕκπαίδευσης

Παναγιώτης Ελευθερίου,

ΕπιθεωρητήςΜέσηςΕκπαίδευσηςΦυσικής

Γιαννάκης Χατζηκωστής,

ΕπιθεωρητήςΜέσηςΕκπαίδευσηςΦυσικής

Επιµέλειασχηµάτων: Αντώνης Τσάκωνας,Φυσικός,


Σχεδιασµόςέκδοσης: ΈλεναΗλιάδου,ΛειτουργόςΥπηρεσίας

ΑνάπτυξηςΠρογραµµάτων

Επιµέλειαέκδοσης: ΜαρίναΆστρα-Ιωάννου,ΛειτουργόςΥπηρεσίας


Συντονισµόςέκδοσης: ΧρίστοςΠαρπούνας,ΣυντονιστήςΥπηρεσίας


ΑΈκδοση2019

Εκτύπωση:PrintcoCassoulidesLtd

©ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΠΑΙ∆ΕΙΑΣΚΑΙΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ

ΠΑΙ∆ΑΓΩΓΙΚΟΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΚΥΠΡΟΥ

ΥΠΗΡΕΣΙΑΑΝΑΠΤΥΞΗΣΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ISBN:978-9963-54-208-6

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Hδιασφάλισητηςποιότηταςζωήςστοναιώναπουδιανύουµε,βασίζεταιολοένακαιπερισ-

σότεροστηνεπιστηµονικήκαιτεχνολογικήπρόοδο.Ηαπόκτησηεκπαίδευσηςκαιδεξιοτή-

τωνστηνεπιστήµηείναιαπαραίτητηγιατηνεπίτευξηβιώσιµηςανάπτυξηςκαιεδραίωσηςτης

πραγµατικήςδηµοκρατίας.

Μειδιαίτερηχαράπρολογίζωτηνέκδοσητουβιβλίου«ΦυσικήΓ΄Λυκείου».Τοβιβλίοαυτό

γράφτηκεµετησκέψηότιεσείς,οισηµερινοίµαθητέςκαιοιαυριανοίπολίτες,θαπρέπεινα

δοµήσετεένασυνεκτικόσώµαγνώσεων,νααναπτύξετετιςαναγκαίεςδεξιότητεςκαι ικα-

νότητεςγιασυµµετοχήσεµιακοινωνίαενεργώνκαικριτικάσκεπτόµενωνανθρώπωνκαινα

διαµορφώσετεθετικέςστάσειςκαισυµπεριφορέςέναντιτηςεπιστήµης.Γι’αυτότονλόγο

σεαυτότοβιβλίοταθέµατατηςΦυσικήςσυνδέονταιµετηνκαθηµερινήζωή,τηφύσηκαι

τηνεξέλιξητηςεπιστήµης.

ΕπιθυµώναεκφράσωτιςευχαριστίεςµουστουςπανεπιστηµιακούςΓεώργιοΑρχοντή,Ζα-

χαρίαΖαχαρία,ΦώτιοΠτωχό,ΝικόλαοΤούµπα,στουςεκπαιδευτικούςΜιχάλη Ιωάννου,

ΙωάννηΚαρµιώτη,ΣάββαΠολυδωρίδηκαι∆ηµήτριοΦιλίππου,καιστουςΕπιθεωρητέςΦυ-

σικήςΠαναγιώτηΕλευθερίουκαιΓιαννάκηΧατζηκωστή,πουασχολήθηκανµετησυγγραφή

τουβιβλίου.

Τέλος,ευχαριστώ τηνΥπηρεσίαΑνάπτυξηςΠρογραµµάτωνπουείχε τηνευθύνηγια την

έκδοσητουβιβλίουαυτού.

∆ρ Κυπριανός Λούης

∆ιευθυντής Μέσης Εκπαίδευσης

ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΒΙΒΛΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Αγαπητοίκαιαγαπητέςµαθήτριεςκαιµαθητές,

Σαςκαλωσορίζουµεστηνέασχολικήχρονιά,καισαςευχόµαστε,µεαφετηρίααυτότοβι-

βλίο,νακάνετεένασυναρπαστικόταξίδιστονθαυµαστόκόσµοτηςΦυσικής.

Από ταβάθη τηςαρχαιότητας,οιάνθρωποιπροσπαθούνναερµηνεύσουν ταφαινόµενα

τουφυσικούκόσµου.Τον6οαιώναπ.Χ.οιαρχαίοιΈλληνεςφυσικοίφιλόσοφοιτηςΙωνίας

βασίσθηκανσελογικάεπιχειρήµατακαιδιατύπωσαντιςπρώτεςθεωρίεςγιατηναρχήτων

όντων.Ησύγχρονηεπιστηµονικήµεθοδολογίαθεµελιώθηκετον17οαιώνααπότονΓαλι-

λαίο(GalileoGalilei)καιθέτειωςπροϋπόθεσητηδιεξαγωγήκαιερµηνείακατάλληλασχεδι-

ασµένωνπειραµάτων.Σεσυνδυασµόµετηνπειραµατικήµεθοδολογία,οΓαλιλαίοςτόνιζε

ότιγιατηνερµηνείατωννόµωντηςΦύσηςείναιαπαραίτητηηχρήσητωνµαθηµατικών(“το

βιβλίοτηςΦύσηςείναιγραµµένοµεµαθηµατικούςχαρακτήρες”).Τονίδιοαιώνα,οΙσαάκ

Νεύτωναςδιατύπωσε τουςνόµους τηςκίνησηςκαι τοννόµο τηςπαγκόσµιαςέλξης,στο

φηµισµένοέργοτουPhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica.

ΟισύγχρονεςΦυσικέςθεωρίεςκαιπειράµαταµελετούνκαιερµηνεύουνσεµεγάλοβαθµό

φαινόµεναπουπαρατηρούνταιτόσοσευποατοµική,όσοκαισεαστρονοµικήκλίµακα,από

τησυµπεριφοράτωνστοιχειωδώνσωµατιδίωνµέχριτηδηµιουργίααστέρωνκαιτηνεξέλιξη

τουΣύµπαντος.

ΣεσυνδυασµόµετηνκατανόησητηςσυµπεριφοράςτουΦυσικούκόσµου,ηΦυσικήέχει

αναρίθµητες πρακτικές εφαρµογές.Η λειτουργία των συσκευών που χρησιµοποιούµε

στηνκαθηµερινήζωήγιατηνπαραγωγήφωτός,τηνπαραγωγήκαιχρήσηηλεκτρικήςενέρ-

γειας,τηναπορρόφησηηλιακήςενέργειας,τηνκίνηση,τηνεπικοινωνίακαιτηνψυχαγωγία,

βασίζεταισεφυσικέςαρχές.

Σταµέσατου20ουαιώνα,οφηµισµένοςΑυστριακόςΦυσικόςErwinSchroedinger,διατύ-

πωσεστοβιβλίοτου“WhatisLife”τηνάποψηότιηΦυσικήµπορείνασυνεισφέρεικαιστηνκατανόησητωνφαινοµένωνπουπαρατηρούνταισεζωντανούςοργανισµούς(έµβια ύλη).Η

αλµατώδηςανάπτυξηόλωντωνΦυσικώνΕπιστηµών,ιδιαίτερααπότιςαρχέςτουεικοστού

αιώνα,καθιστάδυνατήτηµελέτηκαιτηνερµηνείατηςσυµπεριφοράςτηςέµβιαςύληςµεµία

διεπιστηµονική προσέγγιση,στηνοποίασυνδυάζονταιµέθοδοιαπόπολλέςεπιστηµονικές

περιοχές(Φυσική,Χηµεία,Βιολογία,κλάδοιΜηχανικής).Πειραµατικέςσυσκευέςπουβα-

σίζονταισεφυσικέςαρχές,όπωςτοηλεκτρονικόµικροσκόπιο,τοµικροσκόπιοφθορισµού,

τοµικροσκόπιοατοµικήςδύναµηςκαιτοσύγχροτροπροσφέρουνλεπτοµερείςεικόνεςτης

δοµήςτουκυττάρουκαιτωνβιολογικώνµορίων.Οιεικόνεςαυτές,µαζίµεθεωρητικάφυσι-

κάµοντέλαγιατηδοµήκαιτιςδυνάµειςµεταξύµορίων,χρησιµοποιούνταιστοστοχευµένο

σχεδιασµόφαρµάκων.Ταυτόχρονα,ηΦυσικήσυνεισφέρειουσιαστικάσεπολλέςδιαγνω-

στικέςκαιθεραπευτικέςτεχνικέςτηςσύγχρονηςΙατρικής,όπωςηχρήσηυπερήχων,οπυ-

ρηνικόςµαγνητικόςσυντονισµός(MRI),ητοµογραφίαποζιτρονίου-ηλεκτρονίου(PETscan),

ηακτινοβόλησηκαρκινικώνόγκων.

ΟιαλµατώδειςεξελίξειςπουπεριγράψαµευποδεικνύουνότιηΦυσικήείναιέναςεξαιρετι-

κάυποσχόµενοςτοµέαςαπασχόλησηςγιατουςνέουςανθρώπους,πουθασυνεισφέρουν

στηνπρόοδοτηςανθρωπότητας,παίρνονταςτησκυτάληαπότουςπαλαιότερους.

Τοβιβλίοπουέχετεσταχέριασαςαποτελείέναπεριεκτικόκαιπλήρεςκείµενοαναφοράς,

πουσυµβαδίζειπιστάµετοΑναλυτικόΠρόγραµµα.

Κάθεκεφάλαιοπεριλαµβάνει:

• Αρχικήσύνοψητωνδιδακτικώνστόχων,

• Ανάπτυξη τηςαντίστοιχηςθεωρίαςµεσυνδυασµόαναπαραστάσεων (κείµενοκαι

εικόνες,διαγράµµατα,γραφικέςπαραστάσεις,πίνακες).

• Ερωτήσειςελέγχουκατανόησηςεννοιών

• Πολυάριθµαλυµέναπαραδείγµατα

• Τελικέςερωτήσειςανακεφαλαίωσηςκαικατανόησης

• Άλυτεςασκήσεις.

Ησύνοψη των διδακτικών στόχωνσυνιστάένανοδηγόγιατοτιπρέπειναγνωρίζετεµε

τηνολοκλήρωσητηςµελέτηςτουκεφαλαίου.Οισυνοδευτικέςαναπαραστάσεις (εικόνες,

διαγράµµατα,γραφικέςπαραστάσεις,πίνακες)επεξηγούνπτυχέςτηςθεωρίαςκαιπρέπει

ναµελετώνταισεσυνδυασµόµετογραπτόκείµενο.

Ηµελέτη των λυµένων παραδειγµάτωνείναιαπαραίτητηπροϋπόθεσηγιατηνκατανόηση

τηςθεωρίαςκαιπρέπειναπροηγείταιτηςεπίλυσηςτωνάλυτωνασκήσεωνστοτέλοςτου

βιβλίου.Οστόχοςτωνπαραδειγµάτωνείναιδιπλός:(1)παρουσιάζουντηµεθοδολογίαεπί-

λυσηςµίαςκατηγορίαςπροβληµάτων.(2)αναδεικνύουνλεπτοµερώςτοντρόπογραφήςκαι

τονχειρισµόµαθηµατικώνσυµβόλων,εξισώσεωνκαιµονάδωνµέτρησης,πουυιοθετείται

στηδιεθνήπρακτική.

Οιερωτήσεις ελέγχου κατανόησηςαναφέρονταισεεπιλεγµένασηµείατουκειµένου,και

αποσκοπούνστονέλεγχοτηςκατανόησηςβασικώνεννοιών.Εάνδιαπιστώνετεέλλειψηκα-

τανόησης,πρέπεινααφιερώνετεεπιπλέονχρόνοπρινπροχωρήσετεσταεπόµενασηµεία

τουκειµένου.

Οιτελικές ερωτήσεις κατανόησηςελέγχουντηνκατανόησητουσυνολικούπεριεχοµένου

τουκεφαλαίου,καιβοηθούνστηνανακεφαλαίωση.Σεπερίπτωσηπουεντοπίζετεδυσκολί-

ες,πρέπειναµελετήσετεξανάτοσχετικόπεριεχόµενοκαιτασυνοδευτικάπαραδείγµατα.

Η επίλυση προβληµάτων είναι απαραίτητο και αναντικατάστατο στοιχείο της εκπαί-

δευσηςστηΦυσική.ΤόσοηΠειραµατική,όσοκαιηΘεωρητικήΦυσικήέχουνσηµαντική

ποσοτικήσυνιστώσα.Μαζίµετηνανάπτυξη ικανοτήτωνδιερεύνησηςκαιδιατύπωσηςσυ-

µπερασµάτων,είναιαπαραίτητηκαιησταδιακήωρίµανσησαςστηνποσοτικήεπεξεργασία

δεδοµένων.Γι΄αυτότολόγοέχουµεσυµπεριλάβειστοβιβλίοπολυάριθµαλυµέναπαρα-

δείγµατακαιασκήσειςκλιµακούµενηςδυσκολίας.Επίσης,είναισηµαντικόναγνωρίζετεότι

φροντίσαµεώστε τοκείµενοναβασίζεταιστιςήδηαποκτηθείσεςγνώσειςΜαθηµατικών

σας,χωρίςνατιςυπερβαίνει.

Γιαναεπιτύχετετοκαλύτεροδυνατόαποτέλεσµα,σαςεισηγούµαστεόπωςµελετάτεπρώτα

το επιστηµονικόπεριεχόµενοµίας ενότητας, τααντίστοιχα λυµέναπαραδείγµατακαι τις

ερωτήσειςελέγχουκατανόησηςεννοιών,πρινπροχωρήσετεστοεπόµενοµέρος.Στοτέ-

λος,ασχοληθείτεµε τηνεπίλυση τωνάλυτωνασκήσεων.Οιάλυτεςασκήσειςβασίζονται

στηθεωρίακαιταλυµέναπαραδείγµατα.Μηνπροσπαθείτεναλύσετετιςασκήσειςπριν

συµβουλευτείτετοκείµενο,γιατίθαδυσκολευτείτεπολύπερισσότερο.

Τοβιβλίοαποτελείοδηγόµελέτης,αλλάτοβασικόκαιαναντικατάστατοσηµείοαναφοράς

είναιο/ηεκπαιδευτικόςσας.Πρέπειναδίνετεεξαιρετικήπροσοχήστιςδιαλέξεις,νασυµ-

µετέχετεενεργά,καινασυµβουλεύεστεεγκαίρωςτον/τηνεκπαιδευτικόσαςγιασηµείαστα

οποίαεντοπίζετεέλλειψηκατανόησης.

Ευχόµαστεναβρείτετοβιβλίοχρήσιµο,καισαςευχόµαστεΚαλή Νέα Σχολική Χρονιά.

Η Συγγραφική Οµάδα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ΑΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 13

Ενότητες 1.1. - 1.10.

1.1. ΗΈννοιατουΣτερεούΣώματος 17

Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών 18

1.2. ΜεταφορικήκαιΠεριστροφικήΚίνηση 18


1.3. Ροπή∆ύναµηςωςπροςΣημείο 22

Έλέγχος Κατανόησης Εννοιών 27

1.4. YπολογισµόςτηςΡοπής∆ύναµηςκατάµήκοςτουΆξονα

ΠεριστροφήςενόςΣώματος 28


Ερωτήσεις Κατανόησης 29

Ασκήσεις 30

1.5. ToΘεώρηµατωνΡοπών 32

Ένθετη Απόδειξη του Θεωρήµατος των Ροπών 34

1.6. ΗΈννοιατουΖεύγουςΔυνάμεων 36

Ένθετη Απόδειξη: H ροπή συγκεκριµένου ζεύγους δύναµης

είναι σταθερή ως προς οποιοδήποτε σηµείο του χώρου 37

1.7. ΠαραδείγµαταΖευγώνΔυνάμεων 38


ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ


Ασκήσεις 41

1.8. ΟΠρώτοςΝόµοςτουΝεύτωναστηνΠεριστροφικήΚίνηση 42

Ένθετο: Γιατί αγνοούµε τις Ροπές Εσωτερικών ∆υνάµεων; 44


1.9. ΣυνθήκεςΙσορροπίαςΣτερεούΣώματος 46

1.10. ΠαραδείγµαταΣτατικήςΙσορροπίαςΣτερεώνΣωμάτων 47



Ένθετο: Τα διάφορα Είδη Μοχλών 58



Ασκήσεις 66

Συσχέτιση Εννοιών των Ενοτήτων 1.1. - 1.10. 70

Aπαντήσεις στις Ερωτήσεις Ελέγχου Κατανόησης 71

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ΒΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 75

Ενότητες 1.11. - 1.19.

1.11. ΗΚινητικήΕνέργειαΠεριστροφής 76


1.12. ΗΡοπήΑδράνειας 77

Ένθετο: Ο Σφόνδυλος (flywheel) 79


Ένθετο: Υπολογισµός της Ροπής Αδράνειας

ενός Στερεού Σώµατος 82


Ασκήσεις 83

1.13. Ο∆εύτεροςΝόµοςτουΝεύτωναγιατηνΠεριστροφικήΚίνηση 85

Ένθετο: Απόδειξη του ∆εύτερου Νόµου για ένα σύστηµα

σφαιριδίων ενωµένων σε ραβδί 86



Ασκήσεις 96

1.14. ΕξισώσειςτηςΟµαλάΕπιταχυνόµενηςΠεριστροφικήςΚίνησης 97

1.15. ∆ιατήρησητηςΜηχανικήςΕνέργειας 99

Ασκήσεις 101

1.16. ΤοΦυσικόΜέγεθοςτηςΣτροφορμής 103




1.17. ΟΓενικευµένος∆εύτεροςΝόµοςτουΝεύτωνα

γιατηνΠεριστροφικήΚίνηση 111

1.18. ΕφαρµογήτουΓενικευµένου∆εύτερουΝόµουγιατηνΠεριστροφική

ΚίνησησεΠροβλήµατα∆ιατήρησηςτηςΣτροφορµής 113




1.19. ΕφαρµογήτουΓενικευµένου∆εύτερουΝόµουγιατηνΠεριστροφική

ΚίνησησεΣώµαταµεΜεταβαλλόµενηΡοπήΑδράνειας 127



Συσχέτιση Εννοιών των Ενοτήτων 1.11. - 1.19. 133

Aπαντήσεις στις Ερωτήσεις Ελέγχου Κατανόησης 134

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Στις Ενότητες 1.1. - 1.10. του Κεφαλαίου 1Α:

∆ιαφοροποιούµε ανάµεσα στις έννοιες υλικού σηµείου και σώµατος.

Ορίζουµε το στερεό σώµα.

Περιγράφουµε τα διάφορα είδη κίνησης: µεταφορική, περιστροφική

και σύνθετη.

Ορίζουµε το φυσικό µέγεθος της ροπής δύναµης ως προς σηµείο.

Ορίζουµε το ζεύγος δυνάµεων και υπολογίζουµε τη ροπή του.

∆ιατυπώνουµε τον Πρώτο Νόµο του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση.

Αναφέρουµε τις συνθήκες ισορροπίας στερεού σώµατος.

Εφαρµόζουµε τις συνθήκες ισορροπίας σε παραδείγµατα στατικής

ισορροπίας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ενότητες 1.1. - 1.10.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1A MHXANIKH ΣΤΕΡΕΟY ΣΩΜΑΤΟΣ

Ταδύοπροηγούµεναχρόνιαµελετήσαµεπροβλήµατα ισορροπίας

καικίνησηςσωµάτωνσεµίακαιδύοδιαστάσεις,χρησιµοποιώντας

τουςΝόµουςτουΝεύτωνακαιτιςέννοιεςτουΈργουκαιτηςΕνέργει-

ας.Ασχοληθήκαµεµεπεριπτώσεις,στιςοποίεςταδιάφορασώµατα

µπορούσαννααναπαρασταθούνωςυλικά σηµεία.

Σεπολλάπροβλήµαταισορροπίαςκαικίνησης,η προσέγγιση υλικού

σηµείου δεν είναι ορθή,καιοιδιαστάσειςτουσώµατοςπρέπεινα

ληφθούνυπόψη.Αςθεωρήσουµεταεπόµεναπαραδείγµατα:

Για να µελετήσουµε προβλήµατα ισορροπίας και κίνησης όπως τα

παραπάνω,πρέπειναχωρίσουµετασώµατασεστοιχειώδητµήµατα

(υλικάσηµεία)καιναεφαρµόσουµεξεχωριστάτουςΝόµουςτουΝεύ-

τωνασταδιάφορατµήµατα.

Σεαυτό τοΚεφάλαιοθαασχοληθούµεµεπεριστροφικέςκινήσεις,

στιςοποίεςταστοιχειώδη τµήµαταενόςσώµατοςδιαγράφουνκυ-

κλικέςτροχιές.Θαδείξουµεότιηπεριγραφήτωνπεριστροφικώνκινή-

σεωνδιευκολύνεταιµετηνεισαγωγήνέωνφυσικώνµεγεθών,όπωςη

Ροπή ∆ύναµης,ηΣτροφορµήκαιηΡοπή Αδράνειας.Στοακόλου-

θοΈνθετοανακαλούµεβασικέςέννοιεςτηςκυκλικήςκίνησης.

Μία ράβδος ανατρέπεται, όταν πάψει

να βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση.

Τα σηµεία µίας περιστρεφόµενης

σφαίρας κινούνται µε διαφορετικές

ταχύτητες.

Ένα τιµόνι αρχίζει να περιστρέφεται,

όταν δρουν αντίθετες δυνάµεις σε

αντιδιαµετρικά σηµεία του.

Mία παγοδρόµος ελαττώνει την ταχύ-

τητα περιστροφής της, εκτείνοντας

τα χέρια της.

15MHXANIKH ΣΤΕΡΕΟY ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1A

Ανάκληση Εννοιών από την Κυκλική Κίνηση

• ΗθέσηενόςσηµείουΑστονκύκλοπεριγράφεταιαπότη

γωνία θέσηςθ,πουσχηµατίζειτοδιάνυσµαθέσηςrΑτουσηµείουµεένανάξονα(µίασυγκεκριµένηδιάµετροτουκύ-

κλου).Ηγωνίαθµετράταισεακτίνια(rad).

• Ηκίνησηπάνωστονκύκλοκατά τη φορά των δεικτών

τουρολογιούονοµάζεταιδεξιόστροφη.Ηκίνησηαντίθετα

από τη φορά των δεικτώντουρολογιούονοµάζεταιαρι-

στερόστροφη.

• Ηµεταβολήστηγωνίαθέσης,κατάτηµετακίνησηαπόένα

αρχικόσηµείοΑσεένατελικόσηµείοB,ονοµάζεταιγωνι-

ακή µετατόπιση:∆θ =θB -θA.Ηγωνιακήµετατόπισηείναι

θετικήγιααριστερόστροφη,καιαρνητικήγιαδεξιόστρο-

φηκίνηση.

• Τοδιανυσµατικόµέγεθοςτηςγωνιακής ταχύτητας ω εκ-

φράζει τη γωνιακήµετατόπιση τουσώµατοςστον κύκλο,

ανάµονάδαχρόνου:ω =∆θ∆t (για∆tπολύµικρό),µεµονά-

δαµέτρησηςrad/s.Έχειδιεύθυνσηκάθετη στο επίπεδο

τηςκυκλικήςτροχιάςκαιφοράπουκαθορίζεταιµετονκα-

νόνατηςδεξιάς παλάµης.

Κανόναςτηςδεξιάς παλάµης.Λυγίζουµεταδάχτυλα,εκτόςτουαντίχει-

ρα,κατάτηφοράτηςγωνιακήςµετατόπισης.Οτεντωµένοςαντίχειρας

υποδεικνύειτηζητούµενηκατεύθυνση.

Aριστερόστροφη Mετατόπιση

∆εξιόστροφη Mετατόπιση

Aριστερόστροφη Φορά

∆εξιόστροφη Φορά

Aριστερόστροφη Mετατόπιση

∆εξιόστροφη Mετατόπιση


Όπωςηγωνιακήµετατόπιση,έτσικαιηγωνιακήταχύτητα

είναιθετικήγιααριστερόστροφη,καιαρνητικήγιαδεξιό-

στροφηκίνηση.

• Ηγραµµική ταχύτηταυ εκφράζει τονρυθµόµεταβολής

τηςθέσηςτουσώµατος.Hγραµµικήταχύτηταενόςσώµα-

τοςσεκυκλικήτροχιάείναιεφαπτοµενικήστηντροχιά,και

έχειµέτρο υ =ΙωΙR.

∆ύοσώµατα,πουκινούνταιµετην ίδιαγωνιακήταχύτητα

σε τροχιές διαφορετικών ακτίνων, έχουν διαφορετικές

κατάµέτρογραµµικέςταχύτητες.

• Η κυκλική κίνηση ονοµάζεται οµαλή, όταν τα µέτρα της

γραµµικήςκαι τηςγωνιακής ταχύτητας τουσώµατοςδεν

µεταβάλλονταιµετονχρόνο.Ένασώµαπουεκτελείοµαλή

κυκλικήκίνηση,διαγράφειίσα τόξα κύκλου σε ίσα χρονι-

κά διαστήµατα.

• Ησυχνότηταfτηςοµαλήςκυκλικήςκίνησηςείναιοαριθ-

µόςκύκλων,πουδιαγράφειτοσώµαστη µονάδα του χρό-

νου :

f=Αριθµός Κύκλων

Αντίστοιχο Χρονικό ∆ιάστηµα

HσυχνότηταεκφράζεταισεHertz(1Hz=1s-1),ήσεστρο-

φές-ανά-λεπτό(rotations-per-minuteήrpm).

• Γιαναεκτελείοµαλή κυκλική κίνησηένασώµα,πρέπεινα

ασκείταισεαυτόµίασυνισταµένηκεντροµόλος δύναµηFΚ ,

µεµέτρο ΙFΚΙ =m υ2

R=mω2R.ΗδύναµηFΚ έχειδιεύθυν-

σηκατάµήκοςτηςακτίναςτηςκυκλικήςτροχιάς,καιφορά

προςτοκέντροτουκύκλου.

• Ένασώµα,πουεκτελείοµαλήκυκλικήκίνηση,κινείταιµε

κεντροµόλο επιτάχυνσηα Κ.Toδιάνυσµαα Κ είναιοµόρ-

ροποµετηνκεντροµόλοδύναµηκαιέχειµέτρο:

Ια ΚΙ= ΙFΚΙm =ω2R=

υ2R

Τα σηµείαA καιΒ κινούνται µε την ίδια

γωνιακή ταχύτηταω.Ηγραµµική ταχύτη-τακάθεσηµείουείναιεφαπτοµενικήστην

τροχιά.ΕπειδήRA=2RB=2R,τοΑκινείται

µεδιπλάσιακατάµέτρογραµµικήταχύτη-

τααπότοΒ.


• Όταντοσώµακινείταισεκυκλικήτροχιά,αλλάταµέτρατης

γραµµικής και της γωνιακής ταχύτητας τουσώµατοςµε-

ταβάλλονται µε τον χρόνο,ηκυκλικήκίνησηονοµάζεται

µεταβαλλόµενη.

• Γιαναεκτελείµεταβαλλόµενηκυκλικήκίνησηένασώµα,

πρέπειναδρασεαυτόµίασυνισταµένηδύναµηκατάτην

εφαπτοµενική (επιτρόχιο)διεύθυνση:

(ΣF(t ))E 0 ∆υ∆t 0

Ηεπιτάχυνσηα τουσώµατοςέχειµηµηδενικήκεντροµόλοα Κ καιεπιτρόχιοσυνιστώσαα Ε,πουεξαρτώνταιγενικάαπό

τονχρόνο.Ταµέτρατωνδύοσυνιστωσώνείναι

Ια Κ (t )Ι= υ2

R=ω2RκαιΙα Ε (t )Ι=Ι∆υ

∆t Ι• Στην µεταβαλλόµενη κυκλική κίνηση, µεταβάλλεται και η

γωνιακήταχύτητατουσώµατος:∆υ∆t 0

∆ω∆t 0.Ορυθ-

µόςµεταβολήςτηςγωνιακήςταχύτητας,ονοµάζεταιγωνι-

ακή επιτάχυνση αγ (t ):

αγ (t )=∆ω∆t ,∆tπολύµικρόχρονικόδιάστηµα

γύρωαπότηστιγµήt.

Ηγωνιακήεπιτάχυνσηεκφράζεταισεrad/s2.

1.1. Η Έννοια του Στερεού Σώµατος

Θαονοµάζουµεστερεό(άκαµπτο1)ένασώµα,εάνοιαποστάσειςµε-

ταξύοποιωνδήποτεστοιχειωδώντµηµάτωντουσώµατοςείναιαµετά-

βλητες.

1Μετονόρο«στερεόσώµα»αποδίδεταισταελληνικάτόσοένασώµασεστερεάκα-τάσταση(δηλαδήόχιυγρόήαέριο),όσοκαιέναάκαµπτοσώµα.Οορισµός«στερεό

σώµα»τηςΕνότητας1.1αναφέρεταισεσώµατα,πουείναισεστερεάκατάστασηκαιταυτόχροναείναιάκαµπτα.Στααγγλικάχρησιµοποιείταιοόρος«solid»γιασώµασε

στερεάκατάσταση,και«rigidbody»γιατοάκαµπτοσώµα.


Τοσώµατουδιπλανούσχήµατοςαποτελείταιαπόδύοσανίδες,που

ενώνονταιστοσηµείοΟ.Στοαριστερόσχήµα,οιδύοσανίδεςείναι

καρφωµένεςµεταξύτουςστοσηµείοΟ,καιηαπόστασηµεταξύδύο

οποιωνδήποτεσηµείωνΑκαιΒτουσώµατοςπαραµένεισταθερή.Το

σώµαείναιστερεό.Στοδεξίσχήµα,οισανίδεςµπορούνναπεριστρέ-

φονταιγύρωαπότηνάρθρωσηΟ,καιηαπόστασηΑΒµεταβάλλεται.

Τοσώµαδενείναιστερεό.

Παραδείγµαταστερεώνσωµάτων είναι έναάκαµπτο ξύλινοραβδί,

έναςσυµπαγήςτροχός,µίαξύλινησφαίραήέναςσιδερένιοςκύλιν-

δρος.Παραδείγµαταµη στερεώνσωµάτωνείναιµίαελαστικήταινία,

ένασχοινί,έναελατήριο,έναςάνθρωπος.

Έλεγχος Κατανόησης Εννοιών:

1.1.1. Ποιααπότασώµατατωνεπόµενωνσχηµάτωνείναιστε-

ρεά;Νααιτιολογήσετετηναπάντησήσας.

(α)∆ύοσφαίρεςσυνδεδεµένεςµεελατήριο,(β)αυγοδάρτης,(γ)βα-

ράκια,(δ)σφυρί,(ε)κόφτης,(στ)µπούµερανγκ.

1.1.2. Nαεξηγήσετεκατάπόσοέναςάνθρωπος,πουπερπατά

µεσταθερήταχύτητασεευθείαγραµµή,αποτελείστερεό

σώµα.

1.2. Μεταφορική και Περιστροφική Κίνηση

Μεταφορική Κίνηση

Ένασώµαεκτελείµεταφορική κίνησηότανόλαταστοιχειώδηµέρη

τουκινούνταιµείσεςταχύτητες,κατάµέτροκαικατεύθυνση.


Έναςβράχος,πουαφήνεταιαπόηρεµίακαιπέφτειελεύθερα,εκτελεί

µεταφορικήκίνηση.

Σηµείωση

Στη Β΄ ΛυκείουορίσαµεωςΚέντρο Μάζας (KM)ενόςµησηµει-

ακούσώµατος (ήσυστήµατοςσωµάτων),τοσηµείοµεδιάνυσµα

θέσης

r KM =m1r 1+...+mN r Nm1+...+mN

ΗταχύτητατουΚΜυπολογίζεταιαπότησχέση

υKM =m1υ1+...+mN υNm1+...+mN

Ότανένασώµαεκτελείµεταφορικήκίνηση,τοΚΜτουσώµατος

έχειτηνίδιαταχύτηταµεόλαταστοιχειώδηµέρητου:

υKM =m1υ+...+mN υm1+...+mN

=υ

Περιστροφική Κίνηση Υλικού Σηµείου

Έναυλικό σηµείοεκτελείπεριστροφικήκίνησηωςπροςκάποιοση-

µείοΟτουχώρου,όταντοδιάνυσµαθέσηςτουσωµατιδίουr (µεαρχή

τοΟ)αλλάζειδιεύθυνση.

Παράδειγµαπεριστροφικήςκίνησηςείναιηκυκλικήκίνησητουσωµα-

τιδίουΑ,µεκέντροτοσηµείοΟ.Τοεπίπεδοτηςτροχιάςταυτίζεταιµε

τησελίδα.Ηκάθετη ευθείαστοεπίπεδοτηςτροχιάς,πουδιέρχεται

απότοκέντροΟ,ορίζειένανάξονα περιστροφής.Ηγωνιακήταχύ-

τητατουσωµατιδίουείναιπαράλληληµετονάξοναπεριστροφήςκαι

έχειφοράπρος τον αναγνώστη.Ηκατεύθυνσητηςγωνιακήςταχύτη-

ταςαπεικονίζεταιστοπιοπάνωσχήµαµετοσύµβολο .

Σηµείωση

Θααπεικονίζουµεέναδιάνυσµακάθετοστοεπίπεδοτηςσελίδας

µετοσύµβολο ,εάνέχειφοράπρος τον αναγνώστη,καιµετο

σύµβολο ,εάνέχειφοράπρος τη σελίδα.


Περιστροφική Κίνηση Στερεού Σώµατος

Στο επόµενοσχήµα, τοκέντροΟ τουεπίπεδουδίσκουπαραµένει

ακίνητο, και τα υπόλοιπα σηµεία του δίσκου διαγράφουν κυκλικές

τροχιέςµεκοινόκέντροτοσηµείοΟ.Ηκάθετη ευθείαστοεπίπεδο

τωντροχιών,πουδιέρχεταιαπότοκέντροΟ,ορίζειένανάξονα περι-

στροφής,ωςπροςτονοποίοπεριστρέφεταιοδίσκος.

Εάνοδίσκοςείναιστερεόσώµα,όλατασηµείατουέχουντην ίδια

γωνιακή ταχύτηταω.Ηγραµµική ταχύτητα τωνσηµείων τουδίσκουµεταβάλλεταιόµως,ανάλογαµετηναπόστασήτουςαπότοκέντρο

τουδίσκου.Γιαπαράδειγµα,τασηµείαΑκαιΒδιαγράφουντροχιές

ακτίνωνRAκαιRB καιέχουνγραµµικέςταχύτητεςµεµέτραυA = ω RA

καιυB = ω RB.

Στοπαράδειγµατουεπίπεδουδίσκου,οιτροχιέςόλωντωνσηµείων

ανήκουνστο ίδιοεπίπεδοκαιέχουν το ίδιοκέντροΟ.Εάν τοπερι-

στρεφόµενοσώµαείναιτρισδιάστατο,τασηµείατουδιαγράφουντρο-

χιέςγύρωαπόδιαφορετικάκέντρα.

Τοδιπλανόσχήµααπεικονίζειένανπεριστρεφόµενοκύλινδρο.Ταση-

µείαΑκαιΒδιαγράφουντροχιέςµεκέντρατασηµείαΟ1καιΟ2.Τα

κέντρατωντροχιώνβρίσκονταιπάνωστηνευθείαOz,ηοποίατέµνει

κάθεταταεπίπεδατωντροχιών.ΗευθείαΟzορίζειένανάξονα περι-

στροφής,γύρωαπότονοποίοπεριστρέφεταιοκύλινδρος.

Τασηµείατουκυλίνδρουέχουντηνίδιαγωνιακήταχύτηταω.Τοµέ-τροτηςγραµµικήςταχύτηταςκάθεσηµείουείναιανάλογοµετηναπό-

στασήτουαπότονάξοναπεριστροφής.Τασηµείαπάνωστονάξονα

περιστροφήςπαραµένουνακίνητα.

Σύνθετη Κίνηση

Ένασώµαεκτελείσύνθετηκίνησηόταντοσώµαπεριστρέφεταιως

προςένανάξονακαιοάξοναςαυτόςµετακινείταιστοχώρο,ήόταν

τοσώµαπεριστρέφεταικαιµετακινείταιταυτόχρονακατάµήκοςτου

άξοναπεριστροφήςτου2.

2Αποδεικνύεταιότιοποιαδήποτεκίνησηενόςστερεούσώµατοςµπορείνααναλυθείγενικάσεέναάθροισµαδύοκινήσεων:(i)µίαςµεταφορικήςκίνησηςτουΚΜτουσώµατος,και(ii)µίαςπεριστροφικήςκίνησηςτουσώµατοςωςπροςένανάξονα,πουδιέρχεταιαπότοΚΜτου.


ΗΓηεκτελείπεριστροφικήκίνησηγύρωαπόένανάξοναπουδιέρχεται

απότονΒόρειοκαιΝότιογεωγραφικότηςπόλο.ΤασηµείατηςΓης

στοευθύγραµµοτµήµαπουενώνειτονΒόρειοκαιΝότιοπόλοτηςπα-

ραµένουνακίνητα.Ταυπόλοιπασηµείαδιαγράφουνκυκλικέςτροχιές

κάθετεςστονάξοναπεριστροφής,µεκέντραπάνωστονάξονα.

Ταυτόχρονα,οάξοναςπεριστροφήςτηςΓηςπεριφέρεταισεελλειπτι-

κήτροχιάγύρωαπότονΉλιο.

Μίαµπάλα του τένιςπεριστρέφεταιγύρωαπόένανάξονα,πουδι-

έρχεταιαπότοκέντροµάζαςτης.Ταυτόχρονα,τοκέντροµάζαςτης

µπάλαςδιαγράφειπαραβολικήτροχιά.

Οτροχόςενόςκινούµενουποδηλάτουπεριστρέφεταιγύρωαπόέναν

άξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροµάζαςτου.Ταυτόχρονα,τοκέ-

ντροµάζαςτουτροχούµετακινείταιστονχώρο.

Μιασφαίραπουεξέρχεταιαπότηνευθύγραµµηκάννηενόςόπλου

περιστρέφεταιγύρωαπόένανάξοναπαράλληλοµετηνκάννη.Ταυ-

τόχρονα,ησφαίραεκτελείµεταφορικήκίνησηκατάµήκοςτουάξονα.

Σηµείωση

ΣεαυτότοΚεφάλαιοδενθαασχοληθούµεµεσύνθετεςκινήσεις.Θαµελετήσουµεµόνοπεριστροφι-

κές κινήσειςστερεώνσωµάτωνωςπροςένανσταθερόάξοναπεριστροφής.


1.2.1. Να κατατάξετε τα επόµενα παραδείγµατα κινήσεων σε

µεταφορικέςκαιπεριστροφικές.Στηνπερίπτωσηπερι-

στροφικώνκινήσεων,νακαθορίσετετοσηµείοήτονάξο-

ναπεριστροφής.

(α) Έναςκύβος,πουολισθαίνεισεκεκλιµένοεπίπεδο.

(β) Μίαχιονοσανίδα(snowboard),πουκατεβαίνεισε

µίακυκλικήχιονοδροµικήπίστα.

(γ) Μίαπόρταδωµατίου,πουανοίγει.

(δ) Ένακατακόρυφοεκκρεµές,πουταλαντώνεται.

(ε) Μίακινούµενητραµπάλα.

(στ) Μίαχάντρα,πουείναιπερασµένησεένακυκλικό

σύρµακαιγλιστράστοσύρµα.

(ζ) Ένασώµα,πουταλαντώνεταιστοάκροενόςορι-

ζόντιουελατηρίου.

(η) Τακινούµεναφτεράενόςανεµόµυλου.

(θ) Έναψαλίδι,πουανοιγοκλείνει.


ΗΕικόνα 1-1απεικονίζεισεκάτοψηέναάκαµπτοραβδίµήκουςL,

τοοποίοεφάπτεταισεέναλείοοριζόντιοτραπέζι (παράλληλοµετο

επίπεδο τηςσελίδας).Τοραβδίµπορείναπεριστρέφεταιπάνωστο

τραπέζιγύρωαπότοάκροτουΟ.Οάξοναςπεριστροφήςδιέρχεται

απότοΟκαιείναικάθετοςστοεπίπεδοτηςσελίδας.

Αρχικάτοραβδίείναιακίνητο.

I. Στοσχήµα (α)εφαρµόζουµεστηνάκρηΑ τουραβδιούµία

δύναµησταθερούµέτρου ΙF Ι σεδιάφορεςδιευθύνσεις,γιατοίδιοµικρόχρονικόδιάστηµα∆t :

• Εάνηδύναµηδραπαράλληλαστοραβδί(διεύθυνσηα),

τοραβδίπαραµένει ακίνητο.

• Εάνηδύναµηδενείναιπαράλληληστοραβδί(διεύθυνση

β),αρχίζεινατοπεριστρέφει.

• Εάνηδύναµηδρακάθεταστοραβδί(διεύθυνσηγ),προ-

καλείτηµεγαλύτερηµεταβολήστηγωνιακήταχύτητατου

ραβδιού.

1.2.2. Νααναλύσετετιςπιοκάτωσύνθετεςκινήσειςσεµεταφο-

ρικέςκαιπεριστροφικές.

(α) Ηκίνησητουπεριστρεφόµενουέλικαενόςιπτάµε-

νουελικόπτερου.

(β) Η κίνηση του κυλίνδρου ενός κινούµενου οδο-

στρωτήρα.

(γ) Ηκίνησηµίαςµπάλαςποδοσφαίρου,τηνοποίαρί-

χνειοτερµατοφύλακαςµεφάλτσο.

1.3. Ροπή ∆ύναµης ως προς Σηµείο

Εικόνα 1-1

(α) Μία δύναµη σταθερού µέτρου δεν

περιστρέφει τοραβδίότανδρακατά την

παράλληληδιεύθυνσηα,καιτοπεριστρέ-

φειευκολότεραότανδρακατάτηνκάθετη

διεύθυνσηγ.

(β)Ηίδιαδύναµηπεριστρέφειπιοδύσκο-

λατοραβδί,ότανδρασεµικρότερηαπό-

στασηαπότοσηµείοπεριστροφήςΟ.

Συµπέρασµα

Τοαποτέλεσµατηςδύναµηςεξαρτάταιαπότηγωνίαανάµεσαστηδιεύθυνσητηςδύναµηςκαιτοραβδί.

II. Στοσχήµα (β),µίαδύναµηµέτρου ΙF Ι δρακάθεταστορα-βδίγια το ίδιοχρονικόδιάστηµα∆t ,σεαπόστασηL/2απότοσηµείοπεριστροφήςΟ.Ηδύναµηπροσδίδειµικρότερη

γωνιακήταχύτηταστοραβδί,σεσύγκρισηµετηνδύναµητης

Εικόνας1-1(α)(διεύθυνσηγ).



Τοαποτέλεσµατηςδύναµηςεξαρτάταιαπότηναπόστασηανάµεσαστοσηµείοεφαρµογήςτηςδύνα-

µηςκαιστοσηµείοπεριστροφής.

Γιαναπεριγράψουµεποσοτικάαυτέςτιςπαρατηρήσεις,ορίζουµεένα

νέοφυσικόµέγεθος,τηροπή δύναµης ως προς σηµείο.

Εικόνα 1-2

ΡοπήδύναµηςωςπροςσηµείοΟτουχώ-

ρου.

Ροπή ∆ύναµης ως προς Σηµείο Ο

ΗΕικόνα1-2(α)απεικονίζειέναυλικόσηµείοΑ,στοοποίοασκείται

µίαδύναµηF .ΟρίζουµεωςροπήΜ τηςδύναµηςF ,ως προς το

σηµείο Ο,τοεξήςδιανυσµατικόµέγεθος:

• Ηδιεύθυνση τηςροπήςείναικάθετηστοεπίπεδοπουορί-

ζουντoδιάνυσµαθέσηςr τουσηµείουΑωςπροςτοΟ,καιτο

διάνυσµαF .

• Ηφοράτηςροπήςπροσδιορίζεταιµετονκανόνατηςδεξιάς

παλάµης,ωςακολούθως:

(i) Σχεδιάζουµεταδιανύσµαταr καιF µεκοινήαρχή.

(ii) Σχεδιάζουµεένατόξοαπότοr στοF (υπάρχουνδύοτέ-

τοιατόξα-διαλέγουµετοµικρότερο).

(iii)Ακουµπάµετηδεξιάµαςπαλάµηπάνωστοεπίπεδο.Λυγί-

ζουµεταδάκτυλακατάτηφοράτουτόξου,καιοτεντωµέ-

νοςαντίχειραςδείχνειτηφοράτηςροπής.

• Τοµέτροτηςροπήςισούταιµετογινόµενο

ΙΜ Ι=Ιr ΙΙF Ιηµθ

όπου0≤θ≤180ο είναιηγωνίαµεταξύτωνr καιF .

ΣτοδιεθνέςσύστηµαSI,ηροπήεκφράζεταισεµονάδεςNm.


• Θεωρούµεότιηροπήέχειθετική αλγεβρική τιµήM>0,ότανη

δύναµηF περιστρέφειτοσηµείοΑ αριστερόστροφα (αντίθετα

απότηφοράτωνδεικτώντουρολογιού,όπωςστοσχήµα1-2(α)).

• Αντίστοιχα,θεωρούµεότιηροπήέχειαρνητική αλγεβρική τιµή

M<0,ότανηδύναµηF περιστρέφειτοσηµείοΑ δεξιόστροφα

(µετηφοράτωνδεικτώντουρολογιού,όπωςστοσχήµα1-2(β)).

Προσοχή

ΗΡοπή,τοΈργοκαιοιδιάφορεςµορφέςΕνέργειαςέχουντην ίδια

µονάδαµέτρησης,Nm.Όµως:

• Το ΈργοκαιηΕνέργειαείναιµονόµετραµεγέθη,ενώηΡοπή

είναιδιανυσµατικόµέγεθος.

• ΤοΈργοκαιηΕνέργειαεκφράζονταισεJoule(1J=1Nm).ΗΡο-

πήεκφράζεταιπάντοτεσεNmκαιποτέσεJoule.

Υπολογισµός της Ροπής

Υπολογίζουµετηναλγεβρικήτιµήτηςροπήςµεµίααπότιςακόλου-

θεςτρειςισοδύναµεςµεθόδους:

Μέθοδοι Υπολογισµού της Ροπής ∆ύναµης ως προς Σηµείο Ο

1η Μέθοδος

• Σχεδιάζουµεταδιανύσµαταr καιF µεκοινή αρχήκαιπροσδιορίζουµετηγωνίαθ ανάµεσαστιςδιευθύνσειςτους.Υπάρχουνδύογωνίες-διαλέγουµετηµικρότερη(0≤θ≤180ο).

• ΥπολογίζουµετοµέτροτηςροπήςαπότησχέσηΙΜ Ι=Ιr ΙΙF Ιηµθ.

• Hδιεύθυνσητηςροπήςείναικάθετηστοεπίπεδοτωνr καιF .ΕάνηδύναµηF στρέφειτοσηµείο

εφαρµογήςτηςΑαριστερόστροφαωςπροςτοΟ,ηροπήέχειθετικήαλγεβρικήτιµή(M>0).Στην

αντίθετηπερίπτωση,έχειαρνητικήαλγεβρικήτιµή.


2η Μέθοδος

• Προσδιορίζουµετηναπόστασηd τουσηµείουΟαπότονφορέατηςδύναµης.Hαπόστασηd

ονοµάζεταιµοχλοβραχίοναςτηςδύναµης.

• ΥπολογίζουµετοµέτροτηςροπήςαπότησχέσηΙΜ Ι=dΙF Ι.

• Προσδιορίζουµετοπρόσηµοτηςαλγεβρικήςτιµήςτηςροπήςόπωςστην1ηµέθοδο.

3η Μέθοδος

• ΠροσδιορίζουµετoµέτροΙF Ιτηςκάθετηςσυνιστώσαςτηςδύναµηςστοδιάνυσµαr .

• ΥπολογίζουµετοµέτροτηςροπήςαπότησχέσηΙΜ Ι=Ιr ΙΙF Ι.

• Προσδιορίζουµετοπρόσηµοτηςαλγεβρικήςτιµήςτηςροπήςόπωςστην1ηµέθοδο.

Συνοψίζουµε: ΙΜ Ι=Ιr ΙΙF Ιηµθ =dΙF Ι=Ιr ΙΙF Ι.

Παράδειγµα 1

ΗδύναµηF τουεπόµενουσχήµατοςεφαρµόζεταιστοσηµείοΑ.

Θα υπολογίσουµε τη ροπή της δύναµης F ως προς το σηµείο Ο.

1η Μέθοδος

Απότοσχήµαπροκύπτειότιτοµέτροτουδιανύσµατοςθέσηςείναι:

Ιr Ι=(2,0cm)2+(6,0cm)2=6,3cm


Παρατηρήσεις

1. Ηροπήτηςίδιαςδύναµηςείναιγενικάδιαφορετικήωςπροςδια-

φορετικάσηµείατουχώρου.

ΗδύναµηF τείνειναστρέψειτοσηµείοεφαρµογήςτηςA αριστερό-

στροφαωςπροςτοΟ.Άρα:

M=+Ιr ΙΙF Ιηµ63,5o =+(6,3cm)x (3,5N)x 0,89=+0,20Nm

2η Μέθοδος

ΦέρουµετηνκάθετηευθείααπότοσηµείοΟπροςτονφορέατηςF .

Απότοσχήµαπροκύπτειότιηκάθετηαπόστασηdισούταιµε:

d=(4,0cm)2+(4,0cm)2=5,6cm

Άρα:

M=+dΙF Ι =+(5,6cm)x (3,5N)=+0,20Nm

3η Μέθοδος

ΑναλύουµετηδύναµηF σεσυνιστώσεςκάθετακαιπαράλληλαστο

διάνυσµαθέσηςr .HκάθετησυνιστώσαF έχειµέτρο:

ΙF Ι=ΙF Ιηµ63,5o =(3,5N)x 0,89=+3,1N

(Αυτόπροκύπτεικαι γραφικά,από τοµήκος τουδιανύσµατοςF ).

Άρα:

M=+Ιr ΙΙF Ι =+(6,3cm)x (3,1N)=+0,20Nm


ΣτοσηµείοΑτουεπιπέδουxyδραηδύναµηF .Θεωρούµεδύο

σηµείαΚκαιΛτουεπιπέδου.

ΗδύναµηF στρέφειαριστερόστροφατοσηµείοεφαρµογήςτης

Αωςπρος τοΚ.Ηαπόσταση τουφορέα τηςF από τοΚ ισού-

ταιµεdK.Άρα,ηροπήτηςF ωςπροςτοΚέχειαλγεβρικήτιµή

M(K)=+dKΙF Ι,διεύθυνσηκάθετηστοεπίπεδοxyκαιφοράπροςτον

αναγνώστη.

ΗίδιαδύναµηF στρέφειδεξιόστροφατοσηµείοεφαρµογήςτης

ωςπροςτοσηµείοΛ.ΗαπόστασητουφορέατηςF απότοΛισού-


ταιµεdΛ.Άρα,ηροπήτηςF ωςπροςτοΛέχειαλγεβρικήτιµήM(Λ)=-dΛΙF Ι,διεύθυνσηκάθετηστοεπίπεδοxy,καιφοράπροςτησελίδα.

2. Όταντοσηµείοεφαρµογήςµίαςδύναµηςµετακινείταιπάνωστον

φορέατης,ηροπήτηςδύναµηςπαραµένει σταθερή.

ΣτοδιπλανόσχήµααπεικονίζεταιµίαδύναµηF ,ηοποίαεφαρµό-

ζεταιστοσηµείοΑ.Οµοχλοβραχίοναςτηςδύναµηςωςπροςτο

σηµείοΟισούταιµεd.ΕάνηίδιαδύναµηF εφαρµοσθείσεδια-

φορετικάσηµείαΒήΓτου φορέα της,οµοχλοβραχίοναςdδεν

µεταβάλλεται.

ΗροπήτηςδύναµηςωςπροςτοΟπαραµένεισταθερή,µεαλγε-

βρικήτιµήM=+d ΙF Ι.


1.3.1. Μεποιον(ους)απότουςακόλουθουςτρόπουςµπορούµε

νααυξήσουµετοµέτροτηςροπήςµίαςδύναµηςωςπρος

κάποιοσηµείοΟ;

A.Εάναυξήσουµετονµοχλοβραχίονατηςδύναµης.

B.Εάναυξήσουµετοµέτροτηςδύναµης.

Γ.Εάνπροσανατολίσουµετηδύναµηέτσιώστεοφορέας

τηςναδιέρχεταιαπότοΟ.

1.3.2. Στοσχήµα(α),έναςµαθητήςπροσπαθείναπεριστρέψει

µίαπόρταγύρωαπότοσηµείοΟ,ασκώνταςκάθετασε

αυτήνµίαδύναµηF στοσηµείοΑ.

Έναςσυµµαθητής του τοποθετείκάθεταστηνπόρτα το

στήριγµαΑΒ,καιασκείτην ίδιαδύναµηF στοσηµείοΒ

(σχήµα(β)).Ποιοςαπότουςδύοανοίγειευκολότερατην

πόρτα;


Κατάτηνπεριστροφήενόςσώµατοςγύρωαπόακλόνητο άξοναυπό

τηνεπίδρασηδυνάµεων,αγνοούµετιςδυνάµειςπουείναιπαράλλη-

λεςστονάξονα.

ΗΕικόνα 1-3(α)απεικονίζειένανστερεόκύλινδρο,oοποίοςµπορεί

ναπεριστρέφεταιγύρωαπότονσταθερόκατακόρυφοάξοναπερι-

στροφήςΟz.ΣτοσηµείοΑτουκυλίνδρουδραηδύναµηF .

1. ΗσυνιστώσαFzείναιπαράλληληµετονάξοναOzκαιτείνει

νατονπεριστρέψει.ΕπειδήοΟzείναιακλόνητος,τηναγνο-

ούµε.

2. ΗσυνιστώσαFxyανήκειστοεπίπεδοxy,τοοποίοτέµνεικάθε-

τατονάξοναΟzστοσηµείοΟ.ΗFxyτείνειναπεριστρέψειτον

κύλινδροωςπροςτονάξοναΟz.

3. ΗροπήτηςδύναµηςF κατάµήκοςτουάξοναΟzισούταιµε

τηροπή της Fxyως προς το σηµείο Ο(σχήµα (β)):

Mz=-ΙFxyΙΙr Ιηµθ

όπουΙr ΙείναιηαπόστασητουσηµείουΑαπότονΟz.Τoπρόσηµοτης

αλγεβρικήςτιµήςMzυπολογίζεταιαπότονκανόνατηςδεξιάςπαλά-

µης.

1.4. Yπολογισµός της Ροπής ∆ύναµης κατά µήκος του Άξονα Περιστροφής ενός Σώµατος

Εικόνα 1-3

Οκύλινδροςπεριστρέφεταιωςπροςστα-

θερόάξοναπεριστροφήςΟz. (α)Hσυνι-

στώσαFz (παράλληληστονΟz)δεν στρέ-

φειτονκύλινδρο.ΜόνοησυνιστώσαFxy,

(πάνωστο επίπεδοxy, κάθετοστονΟz),

στρέφει τονκύλινδρο. (β)Ηροπή τηςF

κατάµήκοςτουOzισούταιµετηροπήτης

FxyωςπροςτοσηµείοΟ.

(α)

(β)

KάθετοεπίπεδοστονΟzπουδιέρχεταιαπότοΑ

Σταθερόςάξοναςπεριστροφής

Συνιστώσαστοεπίπεδοχy


1.4.1. Στασχήµατα(α)και(β),ηπόρταµπορείναπεριστρέφεται

γύρωαπότονκατακόρυφοάξοναΟz.

ΣτοσηµείοΑτηςπόρταςεφαρµόζεταιηδύναµηF .

ΠοιάείναιησυνιστώσαΜzτηςροπήςτηςF κατάµήκος

τουΟz;ΗδύναµηF µπορείναπεριστρέψειτηνπόρτα;


Ερωτήσεις Κατανόησης

ΝασυµπληρώσετετονπιοκάτωΠίνακαµετηνΈνδειξηΣωστό/Λάθος.Σεκάθεπερίπτωση,νααιτιο-

λογήσετετηναπάντησήσαςστοτετράδιόσας.

Α/Α ΠΡΟΤΑΣΗ Σωστό/Λάθος

1 Ένασώµαεκτελείµεταφορικήκίνησηόταν:

α Όλατασηµείατουκινούνταιµετηνίδιαταχύτητα.

β ΤοΚΜτουσώµατοςείναιακίνητοήκινείταιµεσταθερήταχύτητα.

γ Ησυνισταµένητωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοσώµαείναιίσηµεµηδέν.

2 Ότανέναστερεόσώµαπεριστρέφεταιγύρωαπόσταθερόάξονα:

α Όλατασηµείατουκινούνταιµετηνίδιαγωνιακήταχύτητα.

β Όλατασηµείατουκινούνταιµετηνίδιαγραµµικήταχύτητα.

γΤασηµείατουδιαγράφουνκυκλικέςτροχιέςµεκέντραπάνωστονάξοναπεριστροφής.

3 Έναστερεόσώµαεκτελείσύνθετηκίνησηόταν:

αΤοΚΜτουκινείταικαιταυτόχρονατοσώµαπεριστρέφεταιγύρωαπόένανάξονα,πουδιέρχεταιαπότοΚΜ.

β Οάξοναςπεριστροφήςτουσώµατοςµετακινείταιστονχώρο.

4 Μίαδύναµηέχειπάντοτεµηµηδενικήροπήωςπροςοποιοδήποτεσηµείο.

5ΗροπήµίαςδύναµηςωςπροςένασηµείοΟείναιανάλογηµετηναπόστασητουσηµείουεφαρµογήςτηςδύναµηςαπότοΟ.

6ΗροπήµίαςδύναµηςωςπροςένασηµείοΟείναιανάλογηµετηναπόστασητουφορέατηςδύναµηςαπότοΟ.

7∆ύοίσεςδυνάµειςέχουντηνίδιαροπήωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουχώρου.

8∆ύοίσεςκαισυγγραµµικέςδυνάµειςέχουντηνίδιαροπήωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουχώρου.

9∆ύοαντίθετεςδυνάµειςέχουναντίθετηροπήωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουχώρου.

10∆ύοαντίθετεςκαισυγγραµµικέςδυνάµειςέχουναντίθετηροπήωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουχώρου.


Ασκήσεις

1 Σταπιόκάτωσχήµατα(α) - (λ),οιφορείςτωνδιανυσµάτωνr (µαύρο)καιF (κόκκινο)ανήκουν

στοεπίπεδοτηςσελίδας.Γιακάθεσχήµα:

(i)Νακαθορίσετεεάνηδύναµηστρέφειαριστερόστροφαήδεξιόστροφατοσηµείοεφαρµο-

γήςτης(τηναιχµήτουr ).

(ii)ΝαπροσδιορίσετετηνκατεύθυνσητουδιανύσµατοςτηςροπήςωςπροςτοσηµείοΟ.Να

χρησιµοποιήσετετησύµβασηότιταδιανύσµαταροπήςµεθετικήαλγεβρικήτιµήέχουνκα-

τεύθυνσηπροςτοναναγνώστη.

2 Σταεπόµενασχήµατα(α) - (λ),οιφορείςτωνδιανυσµάτωνr (µαύρο)καιF (κόκκινο)ανήκουν

στοεπίπεδοτηςσελίδας.Γιακάθεσχήµα:

(i)Ναυπολογίσετετηναλγεβρική τιµήτηςροπήςωςπροςτοσηµείοΟ,χρησιµοποιώνταςτον

πιοκατάλληλοκανόνα.

(ii)Ναυποδείξετετηνκατεύθυνσητουδιανύσµατοςτηςροπής(απόήπροςτοναναγνώστη).

(α) (β) (γ) (δ)

(ε) (στ) (ζ) (η)

(θ) (ι) (κ) (λ)

(α) (β) (γ) (δ)


3 Ηράβδοςτουεποµένουσχήµατοςµπορείναπεριστρέφεται

πάνωστοεπίπεδοxyτηςσελίδας,γύρωαπότοσηµείοΟτου

επιπέδου.

ΣτηράβδοασκούνταιοιτρείςδυνάµειςFα,FβκαιFγ.Οιφο-

ρείςτωντριώνδυνάµεωνανήκουνστοεπίπεδοxy.

A.Νακαθορίσετετηφοράπεριστροφήςτουσηµείουεφαρ-

µογήςκάθεδύναµης.

B.Ναυπολογίσετετιςαλγεβρικέςτιµέςτωνροπώντωντριών

δυνάµεωνωςπροςτοσηµείοΟ.

Γ.Ποιάδύναµηπεριστρέφειπιοαποτελεσµατικάτηράβδο;

4 Hπόρτα του επόµενουσχήµατοςπεριστρέφεται γύρωαπό

τονκατακόρυφοάξοναΟz.ΣτοσηµείοΑτηςπόρταςεφαρ-

µόζουµεµίαδύναµηF ,ηοποίαµπορείνααναλυθείστιςεξής

συνιστώσες:

(i)ΤησυνιστώσαFz,κατάµήκοςτουάξοναπεριστροφήςΟz.

(ii)TησυνιστώσαFχ,κατάµήκος τηςκάθετηςστονάξονα

ευθείαςΟΑ.

(iii)ΤησυνιστώσαFy ,πουανήκειστοεπίπεδοxyκαιείναι

κάθετηστηνευθείαΟΑ.Τοεπίπεδοxyδιέρχεταιαπότο

σηµείοΑ,καιείναικάθετοστονάξοναΟz.

A.ΠοιάαπότιςτρείςσυνιστώσεςFx,Fy,Fz τείνειναπερι-

στρέψειτηνπόρταωςπροςτονάξοναΟz;

B.ΝαυπολογίσετετηροπήMzκάθεµίαςαπότιςτρείςσυνι-

στώσεςFx,Fy,Fz.

Γ.Kατάποιάφοράτείνειναπεριστραφείηπόρτα(αριστερό-

στροφαήδεξιόστροφα);

(ε) (στ) (ζ) (η)

(θ) (ι) (κ) (λ)


1.5. To Θεώρηµα των Ροπών

ΣτηνΕικόνα1-4(α)απεικονίζεταιένασηµείοΟτουχώρου,στοοποίο

δρούνοιδυνάµειςF1 καιF2.ΗσυνισταµένηΣF =F1 +F2 τωνδύοδυνάµεωνσυµπεριλαµβάνεταιεπίσηςστοσχήµα1-4(α).

(α) (β)Εικόνα 1-4

(α)Ηροπήτηςσυνισταµένηςδύοήπερισ-

σοτέρων δυνάµεων, που εφαρµόζονται

στοίδιοσηµείοΟ,ισούταιµετοάθροισµα

των ροπών των δυνάµεων. (β) Απόδειξη

(συµβ.τοΈνθετο).

Θεώρηµα των Ροπών

Ηροπήτηςσυνισταµένηςδύο(ήπερισσότερων)δυνάµεωνµε κοινό σηµείο εφαρµογήςισούταιµε

τοάθροισµατωνροπώντωνδυνάµεων:

ΜΣF =ΜF1+ΜF2


• Τοθεώρηµαισχύεικαιστηγενικότερηπερίπτωσηπουοιδυνάµειςδενέχουνκοινόσηµείο

εφαρµογής,αλλάοιφορείςτουςτέµνονται στο ίδιο σηµείο.Σεαυτήτηνπερίπτωσηοι

δυνάµειςονοµάζονταισυντρέχουσες.∆υνάµειςµεκοινόσηµείοεφαρµογήςαποτελούν

ειδικήπερίπτωσησυντρεχουσώνδυνάµεων.

ΟιροπέςΜF1καιΜF2τωνδυνάµεωνF1καιF2ωςπροςένααυθαίρε-

τοσηµείοAσυνδέονταιµετηνροπήτηςσυνισταµένηςδύναµης,ως

προςτοίδιοσηµείοA,µετοεπόµενοθεώρηµα:


• Τοθεώρηµαισχύειγιαπαράλληλεςδυνάµειςότανέχουντονίδιοφορέα(είναισυγγραµµι-

κές).∆εν ισχύει γενικάγιαπαράλληλεςδυνάµειςµεδιαφορετικούςφορείς(π.χ.γιαζεύγος

δυνάµεων,πουθαµελετήσουµεστηνΕνότητα 1.6).

Πώς χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα των Ροπών:

Συνήθως,χρησιµοποιούµε τοθεώρηµα τωνροπώνµεέναναπό

τουςεξήςτρόπους:

1. ΓιαναυπολογίσουµετηροπήµίαςδύναµηςF,µπορούµε

νααναλύσουµετηδύναµησεσυνιστώσεςκάθετακαιπα-

ράλληλαστοδιάνυσµαθέσηςr (αυτήείναιη3ηµέθοδος

τηςΕνότητας 1.3).Ηροπήτηςπαράλληληςσυνιστώσας

F// είναι ίσηµεµηδέν.Άρα,ηροπή τηςFισούταιµε τη

ροπήτηςκάθετηςσυνιστώσαςF :

ΜF =ΜF//+ΜF =0+ΜF =ΜF

2. Ότανσεένασώµαδρουνδύοήπερισσότερεςσυντρέχου-

σεςδυνάµεις,τοάθροισµατωνροπώντουςισούταιµετη

ροπήτηςσυνισταµένηςδύναµης.Ειδική περίπτωση:Εάν

ησυνισταµένηδύναµη είναιµηδενική, τοάθροισµα των

ροπώνείναιεπίσηςµηδενικό:ΣF =0 ΜΣF =0.

ΕΝΘΕΤΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ

Τοσώµατουεπόµενουσχήµατοςείναιαναρτηµένοαπότρίασχοινιάκαιισορροπεί.ΤασχοινιάΑΓκαι

ΒΓέχουνµήκος0,70mκαιοιγωνίεςAΓ∆ =∆ΓB =45o.

Θα υπολογίσουµε τις ροπές των τριών τάσεων σχοινιού ως προς τα σηµεία Α και ∆, και θα δείξου-

µε ότι ισχύει το θεώρηµα των ροπών.

Α.ΗδύναµηΤ1έχειµηδενικήροπήωςπροςτοσηµείοΑ.ΗροπήτηςδύναµηςΤ2έχειαλγεβρικήτιµή

Μ2=+ΙΤ2ΙLΑΓ =+(7,0Ν)x(0,70m)=+4,9Nm


ΗροπήτηςδύναµηςΤ3έχειαλγεβρικήτιµή

Μ3=-ΙΤ3ΙLΑ∆ =-(9,8Ν)x(0,50m)=-4,9Nm

ΤαδιανύσµατατωνροπώνΜ2καιΜ3είναιπαράλληλα,µεδιεύθυνσηκάθετηστοεπίπεδοxyτης

σελίδας.Άρα,ησυνολικήροπήέχειαλγεβρικήτιµή

ΣΜ =Μ1+Μ2+Μ3=(0Νm)+(4,9Νm)-(4,9Nm)=0,0Nm

Επειδήτοσώµαισορροπεί,ησυνισταµένηδύναµηµηδενίζεται:

ΣΤ =Τ1+Τ2+Τ3=0

Άρα,καιηροπήτηςδύναµηςΣΤ είναιίσηµεµηδέν,δηλαδήτοθεώρηµατωνροπώνισχύει:

ΣΜ =Μ ΣΤ =0

B.Ωςπροςτοσηµείο∆:

ΗροπήτηςδύναµηςΤ1ισούταιµε:

Μ1=-ΙΤ1ΙL∆Γ ηµ135ο=-(7,0Ν)x(0,50m)x0,71=-2,5Nm

ΗροπήτηςδύναµηςΤ2ισούταιµε:

Μ2=+ΙΤ2ΙL∆Γ ηµ135ο=+(7,0Ν)x(0,50m)x0,71=+2,5Nm

HροπήτηςδύναµηςΤ3είναιµηδενική.TαδιανύσµαταΜ1και

Μ2είναιπαράλληλα.Άρα,ησυνολικήροπήείναιίσηµεµηδέν,

καιτοθεώρηµατωνροπώνισχύει:

ΣΜ =Μ1+Μ2+Μ3=-(2,5Νm)+(2,5Νm)+(0Νm)

=0,0Nm=ΜΣΤ

EΝΘΕΤΗ ΑΠO∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡHΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ

Θααποδείξουµετοθεώρηµαγιατηνπερίπτωσητωνδύοοµοεπίπεδωνκαισυντρεχουσώνδυνάµεων

τουσχήµατος1-4(β).

ΧαράσσουµεσύστηµααξόνωνOxy,µεσηµείοαναφοράςτοκοινόσηµείοεφαρµογήςτωνδυνάµεων,Ο.


ΕπιλέγουµετονάξοναOxπαράλληλοµετοδιάνυσµαθέσηςr τουσηµείουΟωςπροςτοσηµείοΑ.Ο

άξοναςOyείναικάθετοςστονOx.

ΑναλύουµετιςδυνάµειςF1καιF2σεσυνιστώσεςωςπροςτουςδύοάξονες.Οιροπέςτωνδύοδυνά-

µεωνέχουνκάθετηδιεύθυνσηστοεπίπεδο.

ΕπειδήηδύναµηF1τείνειναστρέψειτοσηµείοΟ αριστερόστροφαωςπροςτοΑ,ηροπήτηςείναι

θετική.ΗδύναµηF1yείναιηκάθετησυνιστώσατηςF1στοδιάνυσµαr .Άρα,ηροπήτηςδύναµηςF1έχειαλγεβρικήτιµή:

ΜF1=+ΙF1yΙΙr Ι

ΗδύναµηF2τείνειναστρέψειτοσηµείοΟ δεξιόστροφαωςπροςτοΑ,οπότεηροπήτηςείναιαρνη-

τική.ΗροπήτηςδύναµηςF2έχειαλγεβρικήτιµή:

ΜF2=-ΙF2yΙΙr Ι

ΤαδιανύσµατατωνροπώνΜF1καιΜF2είναιπαράλληλα(κάθεταστοεπίπεδοτωνδυνάµεων).Άρα,

ησυνισταµένηροπήέχειτηνίδιαδιεύθυνση,καιαλγεβρικήτιµήίσηµετοάθροισµατωναλγεβρικών

τιµών:

ΣM=ΜF1+ΜF2=(ΙF1yΙ-ΙF2yΙ)Ιr ΙΣΧEΣΗ 1

Ηκάθετη συνιστώσατηςσυνισταµένηςδύναµηςΣFείναιηΣFy.∆ιακρίνουµετιςεξήςπεριπτώσεις:

• Εάν ΙF1yΙ>ΙF2yΙ,ηκάθετησυνιστώσαΣFyέχειµέτρο ΙF1yΙ-ΙF2yΙκαιστρέφειαριστερόστροφατο

σηµείοΟ.Άρα,ηροπήτηςΣFείναιθετικήκαιισούταιµε:

ΜΣF =+(ΙF1yΙ-ΙF2yΙ)Ιr Ι

• ΕάνΙF1yΙ<ΙF2yΙ,ηκάθετησυνιστώσαΣFyέχειµέτροΙF2yΙ-ΙF1yΙκαιστρέφειδεξιόστροφατοσηµείο

Ο.Άρα,ηροπήτηςΣFείναιαρνητικήκαιισούταιµε:

ΜΣF =-(ΙF2yΙ-ΙF1yΙ)Ιr Ι=+(ΙF1yΙ-ΙF2yΙ)Ιr Ι

Καιστιςδύοπεριπτώσεις,ηροπήτηςσυνισταµένηςδύναµηςσυµπίπτειµετοαποτέλεσµατηςσχέσης

1.Άρα:

Μ ΣF =ΜF1+ΜF2


1.6. Η Έννοια του Ζεύγους ∆υνάµεων

HΕικόνα 1-5απεικονίζειτοτιµόνιενόςπλοίου.Οάξοναςπεριστρο-

φήςτουτιµονιούείναικάθετοςστοεπίπεδοτηςσελίδας,καιδιέρχεται

απότοκέντροτουτιµονιού.Σεδύοαντιδιαµετρικάσηµείατουτιµο-

νιούεφαρµόζονταιοιαντίθετεςδυνάµειςF και-F.

Εικόνα 1-5

To ζεύγος δυνάµεων F και -F τείνει να

περιστρέψειτοτιµόνιτουπλοίουωςπρος

άξονα κάθετο στο επίπεδο τωνφορέων

τωνδυνάµεων.Hροπή τουζεύγουςέχει

µέτροΙMΙ=ΙFΙd,όπουdείναιηαπόστασητωνφορέων.

Τοσύστηµαδύοαντίθετωνδυνάµεων,πουεφαρµόζονταισε

διαφορετικάσηµείαενόςσώµατος,ονοµάζεταιζεύγος δυνά-

µεων.

Θαµελετήσουµετηδράσητουζεύγουςδυνάµεωνστοτιµόνι.

• ΗσυνισταµένητωνδυνάµεωνF και-Fείναιίσηµεµηδέν:

ΣF=F -F=0Άρα,τοζεύγοςδυνάµεωνδενµεταβάλλειτηµεταφορικήταχύ-

τητατουτιµονιού.

• Κάθεµίααπό τιςδυνάµειςεξασκείροπή,ηοποία τείνειναπε-

ριστρέψειαριστερόστροφα το τιµόνι.Οιαλγεβρικές τιµές των

ροπών τωνδύοδυνάµεωνωςπρος τοΟείναιθετικέςκαι ίσες

µεταξύτους:

Μ1=Μ2=+ΙF ΙR

όπουR = Ιr 1Ι= Ιr 2Ι είναιηαπόσταση τουσηµείουεφαρµογήςκάθεδύναµηςαπότονάξοναπεριστροφής.TαδιανύσµαταΜ1καιΜ2είναι

οµόρροπα(κάθεταστοεπίπεδοτωνδύοφορέων,µεφοράπροςτον

αναγνώστη).Ησυνολικήροπήέχειτηνίδιακατεύθυνση,καιαλγεβρι-

κήτιµή

ΣΜ=Μ1+Μ2=(2R)ΙF Ι=dΙF Ι

Τοµέγεθοςd=2R ισούταιµετηναπόστασηµεταξύ των φορέων

τωνδύοδυνάµεων.

Σηµείωση

ΥπολογίσαµετηροπήτουζεύγουςωςπροςτοσηµείοΟ.Απο-

δεικνύεταιόµωςότιηροπήενόςζεύγουςδυνάµεωνείναιστα-

θερήωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουχώρου.


Συνοψίζουµε:

• Έναζεύγος δυνάµεωνδενπροκαλείµεταφορικήκίνησηαλλά

µπορείναπροκαλέσειπεριστροφήενόςσώµατος.

• Τοµέτροτηςσυνολικήςροπήςτουζεύγουςδυνάµεωνισούται

µετοµέτροΙF Ικάθεδύναµης,επίτησυνολικήαπόστασηdµε-ταξύτωνφορέωντωνδυνάμεων.

• Ηδιεύθυνσητηςροπήςείναικάθετηστοεπίπεδο,πουορίζουν

οιπαράλληλοιφορείςτωνδυνάµεων.

• Hφοράτηςροπήςκαθορίζεταιαπότονκανόνατηςδεξιάςπα-

λάµης:Λυγίζουµεταδάκτυλαπροςτηνκατεύθυνσηπεριστρο-

φής,καιοτεντωµένοςαντίχειραςδείχνειτηνκατεύθυνσητης

ροπής.

Προτεινόµενη ∆ραστηριότητα

Νασηµειώσετεµίακουκίδαστοθρανίοσαςκαινατοποθετήσετε

έναµακρόστενοαντικείµενο(µαρκαδόρο,ρίγα,τοκινητόσας)στο

θρανίο,έτσιώστετοΚΜτου (τοκέντροτου)ναβρίσκεταιπάνω

απότηνκουκίδα.

Ναακουµπήσετεταδάχτυλάσαςστιςδύοάκρεςτουαντικειµένου

καινασπρώξετεαπότοµατιςδύοάκρες,µεδυνάµειςίσουµέτρου

καιαντίθετηςκατεύθυνσης.

Να περιγράψετε την κίνηση του αντικειµένου.Μετατοπίζεται το

ΚΜτου;

ΕΝΘΕΤΗ AΠΟ∆ΕΙΞΗ: H ΡΟΠΗ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟΥ ΖΕΥΓΟΥΣ ∆ΥΝΑΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΗ ΩΣ ΠΡΟΣ ΟΠΟΙΟ∆ΗΠΟΤΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ

Θααποδείξουµεότιηροπήείναισταθερήωςπροςτασηµείατουεπιπέδου,πουορίζουνοιφορείς

τωνδυνάµεωντουζεύγους.

Απότηγεωµετρίαγνωρίζουµεότιδύοπαράλληλεςευθείεςορίζουνέναεπίπεδο.Στοεπόµενοσχήµα,

τοεπίπεδοτωνπαράλληλωνφορέωντωνF και-Fταυτίζεταιµετοεπίπεδοτηςσελίδας.Επιλέγουµε

ένασηµείοΟαυτούτουεπιπέδου,ανάµεσαστουςδύοφορείς.


ΟιροπέςτωνF και-Fείναικάθετεςστοεπίπεδο.Επειδήκαιοιδύοδυνάµειςτείνουνναπεριστρέ-

ψουναριστερόστροφατασηµείαεφαρµογήςτουςΑκαιΒωςπροςτοΟ,οιροπέςείναιθετικέςκαι

κατευθύνονταιέξωαπότησελίδα(προςτοναναγνώστη).

ΗροπήτηςδύναµηςF έχειαλγεβρικήτιµήΜF =+ΙF Ιd1,όπουd1είναιηαπόστασητουΟαπότονφορέατηςF .

Ηροπήτης-FέχειαλγεβρικήτιµήΜ-F =+Ι-F Ιd2= ΙF Ιd2,όπουd2είναιηαπόστασητουσηµείουΟαπότονφορέατης-F.Ησυνολικήροπήέχειτιµή:

ΣΜ=ΜF +Μ-F =(d1+d2)ΙF Ι=dΙF ΙΆσκηση

Νααποδείξετεότιπροκύπτειηίδιασχέση,όταντοσηµείοΟβρίσκεταιαπότηνίδιαπλευράτωνδύο

φορέων(π.χ.στααριστεράτωνφορέων).

1.7. Παραδείγµατα Ζευγών ∆υνάµεων

Γιαναβιδώσουµετηβίδατουσχήµατος(α),τηςασκούµεζεύγοςδυ-

νάµεωνσυγκεκριµένηςροπής,µετηλεπίδαενόςκατσαβιδιού.

Όσοπιοφαρδιάείναιηλεπίδα,τόσοµεγαλύτερηείναιηαπόστασηd

ανάµεσαστουςφορείς τωνδυνάµεων,και τόσοµικρότεραείναι τα

µέτρατωνδυνάµεων.Άρα,µελεπίδαµεγαλύτερουπλάτουςηβίδα

καταπονείταιλιγότερο.

Γιαναπεριστρέψουµετοανοιχτήριτουκρασιού,ασκούµεζεύγοςδυ-

νάµεωνστηνοριζόντιαξύλινηλαβή του.Ηροπή τουζεύγουςείναι

παράλληληµετονκατακόρυφοάξοναπεριστροφήςτουανοιχτηριού,

καιτοµέτροτηςαυξάνεταιµετηναπόστασηd(τοµήκοςτηςλαβής).


Άρα,όσοµεγαλύτερο είναι τοµήκος της λαβής, τόσο ευκολότερα

περιστρέφειτοανοιχτήριτονφελλότουμπουκαλιού.

Tα διαστηµόπλοια χρησιµοποιούν συστήµατα από εκτοξευτήρες

(reactioncontrolsystems),γιαναπεριστρέφονταιγύρωαπόδιάφο-

ρεςκατευθύνσειςστοδιάστηµα.

Ηταυτόχρονηεκτόξευσηαερίουαπόδύοαντίθεταπροσανατολισµέ-

νουςεκτοξευτήρεςδηµιουργεί ζεύγοςδυνάµεων.Ηροπή του ζεύ-

γουςπροκαλείπεριστροφήτουδιαστηµόπλοιουωςπροςάξονακά-

θετοστοεπίπεδοτουζεύγους.

Οιοµάδεςεκτοξευτήρωνστησεληνάκατο

τουδιαστηµικούπρογράµµατοςApollο.


Έναςδιαστηµικόςσταθµόςπεριέχειεκτοξευτήρες,οιοποίοιµπορούνναεκτοξεύουναέριασεδιαφο-

ρετικέςκατευθύνσεις.

ΕάνδύοεκτοξευτήρεςστασηµείαΑκαιΒασκούνδυνάµειςµέτρου1650N,ποιαησυνολικήροπή

στονσταθµό;

Απότοσχήµαπροκύπτειότιηαπόστασηµεταξύτωνφορέωνd=50,0m.Oιδυνάµειςστρέφουντον

σταθµόδεξιόστροφα.Άρα,ηροπήέχειαρνητικήαλγεβρικήτιµή:

Μ=-ΙF Ιd=-(1650N)x(50,0m)=-82500Nm

Ηδιεύθυνσητηςροπήςείναικάθετηπροςτοεπίπεδοτουδιαστηµικούσταθµού,καιηφοράτηςείναι

προςτοεσωτερικότηςσελίδας.



1.7.1. Έναςµαθητήςεπιχειρηµατολογείωςεξής:«Αφούοιδυ-

νάµειςενόςζεύγουςείναιαντίθετες,ησυνισταµένηδύ-

ναµηµηδενίζεται.Άρα,καιησυνισταµένηροπήµηδενίζε-

ται».Είναισωστήήλανθασµένηηεπιχειρηµατολογίατου

µαθητή;

1.7.2. ΕίναιδυνατόνναεπιταχύνουµετοΚΜενόςσώµατοςµε

τηδράσηζεύγουςδυνάµεων;

1.7.3. Σεδύοδιαφορετικάσηµείαενόςτιµονιούδρουναντίθε-

τες,συγγραµµικέςδυνάµεις.Ποιάείναιησυνολικήροπή

τωνδυνάµεων;

1.7.4. Γιατί το τιµόνιενόςφορτηγούείναιµεγαλύτεροαπό το

τιµόνιενόςοικογενειακούαυτοκινήτου;

1.7.5. Για να ξεβιδώσουµε µία βίδα της ασκούµε δεδοµένη

ροπή.Πότεκαταπονείται λιγότεροηβίδα,µε ένααπλό

κατσαβίδιήµε ένακατσαβίδι ίσουµεγέθουςσεσχήµα

σταυρού;Γιατί;

1.7.6. Ένασώµαπεριστρέφεταιεξαιτίαςτηςδράσηςενόςζεύ-

γουςδυνάµεων.Είναιδυνατόννααναιρέσουµετηδράση

τουζεύγους,ασκώνταςστοσώµαµίατρίτηδύναµη;

1.7.7. Πώςµπορούµενααναιρέσουµετοαποτέλεσµατηςδρά-

σηςζεύγουςδυνάµεωνσεένασώµα;





1 Γιανασυνιστούνζεύγος,δύοδυνάµειςπρέπειναείναι:

α Παράλληλες.

β Αντίρροπες.

γ Αντίθετες.

2 Ηροπήενόςζεύγουςδυνάµεωνµηδενίζεταιόταν:

α Οιδυνάµειςείναιαντίθετες.


β Οιφορείςτωνδυνάµεωνσυµπίπτουν.

3Ηροπήενόςζεύγουςδυνάµεωνείναιπάντοτεκάθετηστοεπίπεδοτωνφορέωντους.

4Ηροπήενόςζεύγουςδυνάµεωνείναιανάλογηµετηναπόστασηµεταξύτωνφορέωντους.

5 Ηροπήενόςζεύγουςδυνάµεωνείναιανάλογηµετοµέτροτωνδυνάµεων.

6 Οιροπέςτωνδυνάµεωνζεύγουςείναιαντίθετεςµεταξύτους.

7ΈναζεύγοςδυνάµεωνδενµπορείναµετακινήσειτοΚΜενόςακίνητουσώµατος.

Ασκήσεις

1 Τοτιµόνιενόςφορτηγού,ακτίναςR=0,35m,µπορείναπερι-

στρέφεταιγύρωαπόένανσταθερόκάθετοάξονα,πουδιέρ-

χεταιαπότοκέντροτουΟ.

A. Στααντιδιαµετρικάσηµείατουτιµονιούεφαρµόζουµεζεύ-

γοςδυνάµεωνµέτρου10,0Ν(σχήµα (α)).Ναυπολογίσετε

τοµέτροτηςροπήςτουζεύγους,καιναπροσδιορίσετετην

κατεύθυνσήτης.

B. Εφαρµόζουµεµετοέναµαςχέριµόνοµίαδύναµηµέτρου

10,0ΝστοσηµείοΑ(σχήµα (β)).Ναεξηγήσετεγιατίστο

σηµείοΟτουτιµονιούθαεφαρµοσθείµίααντίθετηδύναµη

απότονάξοναπεριστροφής.(Υπόδειξη:Ναεξετάσετετην

κίνησητουΚΜτουτιµονιού).

Γ. Οι δύο δυνάµεις του ερωτήµατοςΒ αποτελούν ζεύγος.

Ποιαείναιηροπήαυτούτουζεύγους(µέτροκαικατεύθυν-

ση);

∆. Είναιπιοεύκολοναπεριστρέψουµετοτιµόνιµετοέναχέρι

ήµεταδύοχέρια;

2 Μίαδιαστηµικήκάψουλαµπορείναπεριστρέφεταιµετηβο-

ήθειατωνεκτοξευτήρωναερίουΑ - Θ.Όλοιοιεκτοξευτήρες

είναιπανοµοιότυποι.

Τοαέριοπουεκπέµπεταιαπόένανεκτοξευτήραφεύγεικά-


θεταπροςτοτοίχωµα,στοοποίοείναιστερεωµένος,καιπροςτα

έξω.Γιαναστραφείηκάψουλα,επιλέγουµεκαιθέτουµεσεταυτό-

χρονηλειτουργίαένακατάλληλοζεύγοςεκτοξευτήρων.Τοπαρα-

γόµενοζεύγοςδύναµηςστρέφειτηνκάψουλαωςπροςάξοναπου

διέρχεταιαπότοΚΜτης.

A. Ποιαζεύγηεκτοξευτήρωνθαεπιλέγατε,γιαναστρέψετε

τηνκάψουλααριστερόστροφα;

Β. Ποιαζεύγηεκτοξευτήρωνθαεπιλέγατε,γιαναστρέψετε

τηνκάψουλαδεξιόστροφα;

Γ. ΣτοερώτηµαΑ,µπορείτεναεπιλέξετεδύοδυνατάζεύγη.

Ποιοαπόαυτάδηµιουργείµεγαλύτερηροπή;

∆. Ποιαροπή παράγεται, εάνθέσουµεσε λειτουργία τους

εκτοξευτήρεςΑκαιΖ;

1.8 Ο Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα στην Περιστροφική Κίνηση

Όπωςεξηγήσαµεστιςπροηγούµενες τάξεις,οΠρώτοςΝόµος του

Νεύτωναπεριγράφειτηµεταφορικήκίνησηενόςσηµειακούσώµατος

(υλικούσηµείου),ότανησυνισταµένηεξωτερικήδύναµηµηδενίζεται:

Έναστερεόσώµαµπορείναεκτελείµεταφορική,περιστροφικήήσύν-

θετηκίνηση.ΣτηΒ΄Λυκείουµάθαµεότιηδράσηεξωτερικώνδυνάµε-

ωνεπηρεάζειτηµεταφορική κίνηση του ΚΜτουσώµατος:

ΣF εξωτ=0 υ ΚΜ =σταθερήήµηδενική

Επιπρόσθετα, η δράση εξωτερικών δυνάµεων επηρεάζει την περι-

στροφική κίνηση τουσώµατος.Θαθεωρήσουµε τοακόλουθοπα-

ράδειγµα.

Πρώτος Νόµος του Νεύτωνα για τη Μεταφορική Κίνηση Υλικού Σηµείου

Ένα υλικόσηµείο κινείται µεσταθερή ταχύτητα ή παραµένει

ακίνητο,ότανησυνισταµένηεξωτερικήδύναµησεαυτόµηδε-

νίζεται:

ΣF εξωτ=0 υ =σταθερήήµηδενική


ΗΕικόνα 1-6απεικονίζεισε κάτοψηδύοπανοµοιότυπασφαιρίδια

µάζαςm,στερεωµένασταάκραΑκαιΒενόςραβδιούαµελητέας

µάζας.Τοραβδίµπορείναπεριστρέφεταιπάνωσεέναλείοοριζό-

ντιοτραπέζι.Τοεπίπεδοπεριστροφήςxyταυτίζεταιµετοεπίπεδοτης

σελίδας.Οάξοναςπεριστροφής είναικάθετοςστο επίπεδοxyκαι

διέρχεταιαπότοΚΜτωνσφαιριδίων(τοκέντροτουραβδιού).

A. Όταντοραβδίπεριστρέφεται,τασφαιρίδιαδιαγράφουνκυ-

κλική τροχιά.Εάνστασφαιρίδιαδενδρουν εφαπτοµενικές

εξωτερικέςδυνάµεις, τοµέτρο της ταχύτητάς τουςδενµε-

ταβάλλεται - τασφαιρίδια (και τοραβδί)περιστρέφονταιµε

σταθερήγωνιακήταχύτηταω.Παρατηρούµεότιηροπήτωνεξωτερικώνδυνάµεωνκατάµήκος τουάξοναπεριστροφής

έχειµηδενικήτιµή3.

B. ΈστωότιστασφαιρίδιαΑκαιΒδραεφαπτοµενικά το ζεύ-

γος δυνάµεωνF και-F(σχήµα 1-6(β)).Εξαιτίαςαυτώντων

δυνάµεων,ηγωνιακήταχύτητατωνσφαιριδίωναυξάνεται.Η

ροπήτουζεύγουςF και-Fείναιµη µηδενική (ΙΜ Ι=2RΙF Ι).

ΟιπαρατηρήσειςσυνοψίζονταιστονΠρώτοΝόµογιατηνΠεριστρο-

φικήΚίνηση:

Εικόνα 1-6

ΤασφαιρίδιαΑκαιΒείναιστερεωµένασε

ραβδί αµελητέας µάζας και περιστρέφο-

νταιγύρωαπότοΚΜτουσυστήµατοςσφαι-

ριδίων-ραβδιού. (α) Ότανηροπήεξω-

τερικώνδυνάµεωνείναι ίσηµεµηδέν, το

σύστηµαπεριστρέφεταιµεσταθερήγωνι-

ακήταχύτηταω.(β)Τοζεύγοςδυνάµεων

Fκαι-Fέχειροπήκαιµεταβάλλειτηγωνι-

ακήταχύτητατουσυστήµατος.

3Στασφαιρίδιαδρουνταβάρητουςκαιοικάθετεςδυνάµειςαπότοτραπέζι.Αυτέςοιδυνάµειςείναικάθετεςστοεπίπεδοxy(παράλληλεςµετονάξοναπεριστροφής)καιέχουνµηδενικήσυνιστώσαροπήςκατάµήκοςτουάξονα.

Πρώτος Νόµος για την Περιστροφική Κίνηση

Έναστερεό σώµαδενπεριστρέφεταιήπεριστρέφεταιµεστα-

θερήγωνιακήταχύτηταωςπροςκάποιονσταθερόάξοναΟz,

εάν και µόνο εάντοάθροισµατωνεξωτερικώνροπώνκατά

µήκοςτουάξοναOzµηδενίζεται:

ΣΜεξωτ, z=0 ω =σταθερήήµηδενική

Προσοχή

ΟΠρώτοςΝόµοςεφαρµόζεταικαισεένασύστηµαστε-

ρεών σωµάτων. Στην εφαρµογή, λαµβάνουµε υπόψη

µόνοτιςροπέςτων εξωτερικώνδυνάµεωντουσυστή-

µατος(εξωτερικέςροπές).

R



Toεπόµενοσχήµααπεικονίζεισεκάτοψηένανδίσκο,oοποίος

µπορείναπεριστρέφεταιγύρωαπό τοκέντρο τουΟ,πάνωστο

επιπεδοxyτηςσελίδας.ΟάξοναςπεριστροφήςOzείναικάθετος

στοεπίπεδοτηςσελίδας.

ΣτασηµείαΑκαιΒτουδίσκουδρουνοιεξωτερικέςδυνάµειςF1καιF2.Οιφορείςτωνδυνάµεωνανήκουνστοεπίπεδοxy.Θαεξα-

γάγουµεµίασχέσηανάµεσασταµέτρατωνF1καιF2,έτσιώστεο

δίσκοςναηρεµείήναπεριστρέφεταιµεσταθερήγωνιακήταχύ-

τητα.

HδύναµηF1τείνειναπεριστρέψειτονδίσκοαριστερόστροφα.Η

ροπήτηςF1ωςπροςτοΟ έχειτηδιεύθυνσητουάξοναΟzκαιθε-

τικήαλγεβρικήτιµήΜ1=+ΙF1ΙR1.

ΗδύναµηF2τείνειναπεριστρέψειτονδίσκοδεξιόστροφα.Ηρο-

πήτηςF2ωςπροςτοΟέχειεπίσηςτηδιεύθυνσητουάξοναΟzκαι

αρνητικήαλγεβρικήτιµήΜ2=-ΙF2ΙR2.

Eπειδή τα διανύσµαταΜ1καιΜ2είναι παράλληλα, η συνολική

ροπήέχειτηδιεύθυνσητουάξοναOzκαιαλγεβρικήτιµήίσηµετο

άθροισµα των αλγεβρικών τιµώνΜ1καιΜ2:

ΣΜεξωτ, z=Μ1+Μ2=ΙF1ΙR1-ΙF 2ΙR2

Όταντοπιοπάνωάθροισµαείναιίσοµεµηδέν,οδίσκοςηρεµείή

περιστρέφεταιµεσταθερήγωνιακήταχύτηταγύρωαπότονάξονα

Οz.Άρα:

ΙF1ΙR1-ΙF 2ΙR2=0 ΙF1ΙΙF2Ι=R2R1

ΕΝΘΕΤO: ΓΙΑΤΙ ΑΓΝΟΟΥΜΕ ΤΙΣ ΡΟΠΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

Οιεσωτερικέςδυνάµειςεµφανίζονταισεζεύγηδράσης-αντίδρα-

σης,καιέχουνσυνισταµένηδύναµηΣF εσωτ=0.Ότανείναισυγ-

γραµµικές,ικανοποιούντοθεώρηµατωνροπών.Άρα,η συνιστα-

µένη ροπή των εσωτερικών δυνάµεων µηδενίζεται:

ΣΜεσωτ=ΜΣF εσωτ=0



1.8.1. Έναραβδίµάζαςmπεριστρέφεταιµεσταθερήγωνιακή

ταχύτηταγύρωαπόάξοναΟz,πουείναικάθετοςστοεπί-

πεδοτηςσελίδαςκαιδιέρχεταιαπότοΚΜτουραβδιού.

ΤοΚΜ τουραβδιούπαραµένειακίνητο.Ποιο(α)από τα

επόµεναείναισωστό;

I. Ησυνισταµένη τωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοραβδί

είναιµηδενική.

II. Toάθροισµατωνεξωτερικώνροπώνκατάµήκοςτου

άξοναOzείναιµηδενικό.

1.8.2. Έναραβδίµάζαςmπεριστρέφεταιµεσταθερήγωνιακή

ταχύτηταγύρωαπόάξοναΟz,πουείναικάθετοςστοεπί-

πεδο τηςσελίδαςκαιδιέρχεταιαπό τοάκροΑ τουρα-

βδιού. ΤοσηµείοΑπαραµένειακίνητο.Ποιο(α)από τα

επόµεναείναισωστό;

I. Ησυνισταµένη τωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοραβδί

είναιµηδενική.

II. Toάθροισµατωνεξωτερικώνροπώνκατάµήκοςτου

άξοναπεριστροφήςOzείναιμηδενικό.

1.8.3. Σε ένα αρχικά ακίνητο σώµα δρουν οµοεπίπεδες εξω-

τερικές δυνάµεις, οι οποίες ικανοποιούν τις συνθήκες

ΣF εξωτ=0,ΣΜεξωτ, z=0.OιροπέςΜεξωτ, zυπολογίζονται

κατάµήκοςενόςάξοναΟz,κάθετουστοεπίπεδοτωνδυ-

νάµεων.Ποιο(α)απόταεπόµεναµπορείναισχύει;


I. Τοσώµαπαραµένειακίνητο.

II. ΤοΚΜτουσώµατοςκινείταιµεσταθερήταχύτητα.

IΙI. ΤοΚΜτουσώµατοςκινείταιµεσταθερήταχύτητακαι

το σώµα περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή επιτά-

χυνσηωςπροςτονάξοναΟz.

IV. ΤοΚΜτουσώµατοςκινείταιµεσταθερήεπιτάχυνση

καιτοσώµαπεριστρέφεταιµεσταθερήγωνιακήεπιτά-

χυνσηωςπροςτονάξοναΟz.

1.8.4. Σεένααρχικάακίνητοσώµαδρουνοµοεπίπεδεςεξω-

τερικέςδυνάµεις,οιοποίες ικανοποιούν τιςσυνθήκες

ΣF εξωτ=0,ΣΜεξωτ, z 0.Τικίνησηθαµπορούσεναεκτε-

λείτοσώµα;Ναπεριγράψετεξεχωριστάτηνκίνησητου

ΚΜτουσώµατος.

1.9. Συνθήκες Ισορροπίας Στερεού Σώµατος

ΣτηνΑ Λυκείουείχαµεµελετήσειτηνισορροπίασωµάτων,πουµπο-

ρούσανναθεωρηθούνσηµειακά.ΣτοπαρόνΚεφάλαιο,επεκτείνου-

µετηνέννοιατηςισορροπιαςκαισεµησηµειακάστερεάσώµατα.

Θαθεωρούµεότιέναστερεόσώµαβρίσκεταισεστατική ισορροπία,

ότανόλατασηµείατουσώµατοςείναιακίνηταωςπροςέναναδρα-

νειακόπαρατηρητή.

Αναγκαίες Συνθήκες Στατικής Ισορροπίας

Στερεού Σώµατος

ΑπότονΠρώτοΝόµοτουΝεύτωναπροκύπτουνοιεξήςανα-

γκαίεςσυνθήκεςγιαστατικήισορροπία:

1. ΑφούτοΚΜτουσώµατοςηρεµεί,ησυνισταµένητων

εξωτερικώνδυνάµεωνµηδενίζεται:ΣF εξωτ=0.

2. Αφούτοσώµαδενπεριστρέφεται,έχειµηδενικήγωνι-

ακήταχύτητα.Τοάθροισµατωνεξωτερικώνροπώνστο

σώµαµηδενίζεταιως προς οποιοδήποτε σηµείοτου

χώρου:ΣΜεξωτ=0.


1.10 Παραδείγµατα Στατικής Ισορροπίας Στερεών Σωµάτων

Παραδείγµατα µε Οµοεπίπεδες, Παράλληλες ∆υνάµεις


Ισορροπία Σώµατος υπό την Επίδραση του Βάρους του

Τοσώµατουσχήµατος(α)ισορροπείσεεπαφήµεοριζόντιοέδαφοςυπότηδράσητουβάρουςτου

B καιµίαςκάθετηςδύναµηςN απότοέδαφος.

(α) Το ΚΜ του σώµατος βρίσκεται

πάνωαπόκάποιοσηµείοεπαφήςµετο

έδαφος.Ηροπήτουζεύγουςδυνάµε-

ωνB καιN µηδενίζεται,καιτοσώµα

ισορροπεί.

(β)ΤοΚΜβρίσκεταιπέρααπόοποιο-

δήποτεσηµείοεπαφήςµετοέδαφος.

ΤοζεύγοςδυνάµεωνB καιN έχειµη

µηδενικήροπή, και τοσώµαανατρέ-

πεται.

Κέντρο Βάρους ενός Σώµατος

Τοσηµείοεφαρµογήςτουβάρουςενόςσώµατοςονοµάζεται«κέντρο βάρους (ΚΒ)».Όταντο

βαρυτικόπεδίοείναιοµογενέςσεόλητηνέκτασητουσώµατος,το ΚΒ και το ΚΜ του σώµατος

ταυτίζονται.

ΤοσώµαΑανατρέπεταιότανγείρεικατάγωνίαθ.Σεαυτήτηγωνία,τοκέντρο µάζαςτουσώµα-

τοςµετατοπίζεταιπέρααπότοακραίοσηµείοστήριξηςΛ.

ΤοσώµαΒχρειάζεταιναγείρεικατάµεγαλύτερηγωνίαθ΄,µέχριναανατραπεί,επειδήέχειµεγα-λύτερηβάσηστήριξηςΚΛ.

Τασηµείαεπαφήςτουσώµατοςµετοέδαφοςορίζουνµία βάση στήριξης ΚΛ.Στοσχήµα(α),τοΚΜ

τουσώµατοςβρίσκεταιπάνω από κάποιο σηµείοτηςβάσηςστήριξης.Τοέδαφοςµπορείναασκήσει

στοσώµαµίασυνισταµένηκάθετηδύναµηN=-B ,µεσηµείοεφαρµογήςακριβώς κάτω από το ΚΜ.

ΟιB καιN είναιζεύγος δυνάµεωνµετονίδιοφορέα.Ηροπήτουζεύγουςείναιίσηµεµηδέν,και

τοσώµαισορροπεί.

Στοσχήµα (β),τοΚΜτουσώµατοςβρίσκεταιπέρα από τη βάση στήριξης.Άρα,οιδυνάµειςB και

N δενµπορούνναείναισυγγραµµικές.Ακόµηκαιεάν ικανοποιείταιηπρώτησυνθήκη ισορροπίας

(N=-B ),ηροπήτουζεύγουςδενµηδενίζεται,καιτοσώµαανατρέπεται.



Όσοµεγαλύτερηείναιηβάσηστήριξηςενόςσώµατος,τόσοδυσκολότεραανατρέπεταιτοσώµα.


1.10.1. Έναςάνθρωποςσκοντάφτεισεέναεµπόδιοκαθώςπερπα-

τά,καιτοµπροστινότουπόδιακινητοποιείται.Ναεξηγήσε-

τεγιατίοάνθρωποςπέφτειπροςταεµπρός.

1.10.2. ΤοεπόµενοσχήµααπεικονίζειδύοβάζαΑκαιΒ,διαφορε-

τικούσχήµατος.ΤοΚΜκάθεβάζουυποδεικνύεταιµετην

κόκκινηκουκίδα.

Ποιοαπόταδύοβάζαανατρέπεταιευκολότερα;Νααιτιο-

λογήσετετηναπάντησήσας.

1.10.3. ΤοεπόµενοσχήµααπεικονίζειδύοκιβώτιαΑκαιΒσεεπα-

φήµεένατραπέζι.ΤοΚΜκάθεκιβωτίουυποδεικνύεταιµε

τηνκόκκινηκουκίδα.

Ποιοαπόταδύοκιβώτιαανατρέπεταιευκολότερα;Νααιτι-

ολογήσετετηναπάντησήσας.


Είδη Ισορροπίας

Έστωότιένασώµαισορροπεί,καιµεταβάλλουµετηστάσητου.Ηισορροπίαχαρακτηρίζεταιως:

• Ευσταθής,εάνδηµιουργείταιροπήπουτείνειναεπαναφέρειτοσώµαστηναρχικήτουθέση.

• Ασταθής,εάνδηµιουργείταιροπήπουτείνεινααποµακρύνειτοσώµααπότηναρχικήτουθέση.

• Αδιάφορη,εάνησυνολικήροπήπαραµένειίσηµεµηδένκαιτοσώµασυνεχίζειναισορροπεί.

∆ραστηριότητα

Εµπειρικός Προσδιορισµός του Κέντρου Μάζας

Στερεού Σώµατος

A. Σχήµα (α)

ΣτηρίζουµετοσώµααπόένασηµείοΑ.Όταντοσώµαισορροπήσει,

χαράσσουµεµίακατακόρυφηευθείαΑΒ,πουδιέρχεταιαπότοΑ.

Επειδήτοβάροςτουσώµατοςδενπεριστρέφειτοσώµαωςπροςτο

Α,οφορέαςτουβάρουςπρέπειναδιέρχεταιαπότοΑ.Άρα,τοΚΜ

ανήκειστηνευθείαΑΒ.

B. Σχήµα (β)

ΣτηρίζουµετοσώµααπόέναδιαφορετικόσηµείοΓ.Όταντοσώµα

ισορροπήσει,χαράσσουµετηνκατακόρυφηευθείαΓ∆.Ακολουθώ-

νταςτοίδιοσκεπτικόµεπροηγουµένως,συµπεραίνουµεότιτοΚΜ

ανήκειστηνευθείαΓ∆.Άρα,τοΚΜείναιτοσηµείοτοµήςτωνΑΒ

καιΓ∆.

Σηµείωση

ΣτοσηµείοστήριξηςΑτουσώµατοςεφαρµόζεταικαιµίαδύναµηN ,

πουείναιαντίθετηστοβάρος (δενπεριλαµβάνεταιστοσχήµα).Η

δύναµηN έχειµηδενικήροπήωςπροςτοΑκαιδενπεριστρέφειτο

σώµα.ΗίδιαπαρατήρησηισχύειγιατοσηµείοΓ,ότανχρησιµοποιεί-

ταισανσηµείοστήριξης.


Σταεπόµεναπαραδείγµατα,θαασχοληθούµεµεστερεάσώµατα,ή

συστήµαταστερεώνσωµάτων,σταοποίαδρουνδύοήπερισσότερες

οµοεπίπεδες εξωτερικές δυνάµεις. Για να µελετήσουµε τη δράση

τωνδυνάµεων,ακολουθούµεταεξήςβήµατα:

Στρατηγική Επίλυσης Προβληµάτων Ισορροπίας

(1) Ορίζουµετοσώµαήσύστηµασωµάτων.

(2) Σχεδιάζουµετιςεξωτερικέςδυνάµεις.

(3) Ηδεύτερησυνθήκηισορροπίαςπρέπειναικανοποιείταιωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουχώ-

ρου.ΕπιλέγουµεένααυθαίρετοσηµείοΟ,πάνωστοεπίπεδοπουορίζουνοιφορείςτωνδυνά-

µεων.

(4) ΟάξοναςπεριστροφήςΟzδιέρχεταιαπότοΟκαιτέµνεικάθετατοεπίπεδοτωνφορέων.Υπο-

λογίζουµε τιςροπέςόλων των εξωτερικώνδυνάµεωνκατάµήκος τουάξοναπεριστροφής,

όπωςπεριγράψαµεστηνΕνότητα 1.3.Θυµίζουµεότιηροπήείναιθετικήγιαδυνάµειςπου

στρέφουναριστερόστροφα,καιαρνητικήγιαδυνάµειςπουστρέφουνδεξιόστροφατοσηµείο

εφαρµογήςτουςωςπροςτοΟ.

(5) ΕάνµίαάγνωστηεξωτερικήδύναµηF διέρχεταιαπότοΟ,ηροπήτηςµηδενίζεται.

(α)ΕάνδενχρειάζεταιναυπολογίσουµετηνF ,ηδεύτερησυνθήκηισορροπίαςσυνήθωςεπαρ-

κεί γιατηνεπίλυσητουπροβλήµατος:

ΣΜεξωτ, z=0

(β) ΕάνχρειάζεταιναυπολογίσουµετηνF ,χρησιµοποιούµεκαιτηνπρώτησυνθήκη.Κατα-

στρώνουµετιςεξισώσειςισορροπίας:

ΣF εξωτ =0 ΣFεξωτ, x=0

ΣFεξωτ, y=0

ΣΜεξωτ, z=0

Oιεξισώσειςαυτέςαποτελούνσύστηµα.Επιλύουµετοσύστηµακαιπροσδιορίζουµετιςάγνω-

στεςσυνιστώσεςFεξωτ, x,Fεξωτ, y.

Σηµείωση

Συνήθως,βοηθάναεπιλέξουµετοσηµείοΟεπάνωστονφορέαµίαςάγνωστηςεξωτερικήςδύ-

ναµηςF .Τότε,ηροπήτηςάγνωστηςδύναµηςµηδενίζεταιωςπροςτοΟ.



Ισορροπία Ζυγαριάς

Στοεπόµενοσχήµα,ηαβαρήςράβδοςµίαςζυγαριάςµπορείναπεριστρέφεταιχωρίςτριβέςγύρω

απότοσηµείοΟ.OάξοναςπεριστροφήςOzείναικάθετοςστοεπίπεδοxyτηςσελίδαςκαιδιέρχεται

απότοΟ.

ΤαάκραΑκαιΒτηςράβδουαπέχουνκατάd1καιd2απότοσηµείοΟ.ΣταάκραΑκαιΒαναρτώνται

δύοσώµαταµεµάζεςm1καιm2καιηράβδος ισορροπείσεοριζόντιαθέση.Θαυπολογίσουµεµία

σχέσηανάµεσαστιςµάζεςm1καιm2καιτιςαποστάσειςd1καιd2.

1. Θαθεωρήσουµετοσύστηµα ράβδου - σωµάτων.Οιεξωτερικέςδυνάµειςαυτούτουσυστή-

µατοςείναιταβάρηB1καιB2τωνδύοσωµάτων,καιµίακατακόρυφηδύναµηNστηράβδοαπό

τοσηµείοστήριξηςΟ.Οιφορείςόλωντωνδυνάµεωνανήκουνστοκατακόρυφοεπίπεδοxy.

2. Κατάµήκος τουκατακόρυφουάξοναΟyθεωρούµεθετική τηνκατεύθυνσηπρος ταπάνω.

Εφαρµόζονταςτηνπρώτησυνθήκηισορροπίας,βρίσκουµε:

ΣFεξωτ, y=0 ΙNΙ-m1g-m2g=0 ΙNΙ=(m1+m2)g

ΗπιοπάνωσχέσηχρησιµεύειστονυπολογισµότηςάγνωστηςδύναµηςN.Eάνόµωςµαςενδι-

αφέρειαπλώςναβρούµεµίασχέσηανάµεσαστιςµάζεςm1καιm2,δενχρειαζόµαστετηνπιο

πάνωσχέση,αλλάχρησιµοποιούµετηδεύτερησυνθήκηισορροπίας(βήµα(3)).

3. ΟιροπέςτωντριώνδυνάµεωνωςπροςτοΟείναικάθετεςστοεπίπεδοxy(παράλληλεςµετον

άξοναπεριστροφήςΟz).Υπολογίζουµεξεχωριστάτηναλγεβρικήτιµήκάθεροπής.

• ΟφορέαςτηςδύναµηςNδιέρχεταιαπότοσηµείοΟ.ΆραηροπήτηςNµηδενίζεται:ΜN =0.

Σηµείωση

Mπορούµεναθεωρήσουµεσανσύστηµατηνοριζόντιαράβδο.Τότε,οιεξωτερικέςδυνάµεις

είναιηδύναµηN,µίατάσησχοινιούT1=B1στοσηµείοΑ,καιµίατάσησχοινιούT2=B2στο

σηµείοΒ.Σαςπροτείνουµεναεπιβεβαιώσετεότιθακαταλήξουµεστοίδιοαποτέλεσµα.


• ΕπειδήτοβάροςB1στρέφειαριστερόστροφατηράβδο,ηαντίστοιχηροπήείναιθετική.Οφορέ-

αςτουβάρουςB1απέχεικατάd1απότοΟ.Άρα,ΜB1=+ΙB1Ιd1=+m1gd1.

• TοβάροςB2στρέφειδεξιόστροφατηράβδο,οπότεηαντίστοιχηροπήείναιαρνητική.Οφορέας

τουβάρουςB2απέχεικατάd2απότοΟ.Άρα,ΜB2=-ΙB2Ιd2=-m2gd2.

Εφαρµόζονταςτηδεύτερησυνθήκηισορροπίας,βρίσκουµε:

ΣΜεξωτ, z=0 m1gd1-m2gd2=0 m1gd1=m2gd2 m1

m2=d2d1

Απότηντελευταίασχέση,συµπεραίνουµεταεξής:

• Εάνοιµάζεςείναι ίσες,τοσηµείοπεριστροφήςΟπρέπειναβρίσκεταιστηµέσητηςράβδου:

m1=m2 d1=d2.

• Ηράβδοςισορροπεί,ακόµηκαιεάνοιµάζεςδενείναιίσες.Ηµεγαλύτερηµάζαπρέπεινατοπο-

θετηθείπιοκοντάστοσηµείοπεριστροφήςΟ:m1>m2 d1<d2.

Αριθµητική Εφαρµογή

Έστωότιταδύοσώµαταέχουνµάζεςm1=0,50kgκαιm2=1,5kg.Συµπεραίνουµεότι:

d2d1=m1

m2=0,50kg1,5kg

=0,33

Παρατήρηση

Στοεπόµενοσχήµα,ηράβδοςισορροπεί,σχηµατίζονταςγωνίαθ 90ο µετηνοριζόντιαδιεύ-

θυνση.Θαδείξουµεότιη συνθήκη µαζών-αποστάσεων παραµένει ίδια.

Οιαποστάσεις τωνφορέων τωνδυνάµεωνB1καιB2από τοσηµείοΟγίνονταιd1συνθ καιd2συνθ.Εφαρµογήτηςδεύτερηςσυνθήκης,δίνει:

ΣΜεξωτ, z=0 m1gd1συνθ=m2gd2συνθ m1

m2=d2d1(θ 90ο)



To Καροτσάκι του Κηπουρού

Στοεπόµενοσχήµααπεικονίζεταιένακαροτσάκικηπουρού,πουχρησιµοποιείταιγιατηµεταφορά

φορτίων.Τοκαροτσάκιµπορείναπεριστρέφεταιγύρωαπόένανοριζόντιοάξονα,πουδιέρχεταιαπό

τοσηµείοεπαφήςΟτουτροχούµετοέδαφος.Ησυνολικήµάζατουκαροτσιούείναιm=30,0kgκαι

τοΚΜτουβρίσκεταισεοριζόντιααπόστασηd2=25,0cmαπότοΟ.

ΗδύναµηανύψωσηςFiεφαρµόζεταισεοριζόντιααπόστασηd1=150,0cmαπότοσηµείοΟ.Θα υπο-

λογίσουµε τη δύναµη Fi σαν συνάρτηση του συνολικού βάρους του καροτσιού, όταν το καροτσάκι

βρίσκεται σε στατική ισορροπία.

1. Στοσύστηµα του καροτσιού, εξωτερικέςδύναµεις είναιη

δύναµηFi ,τοβάροςB τουκαροτσιούκαιµίακάθετηδύνα-

µηNαπότοέδαφοςστοσηµείοΟ.Όλεςοιδυνάµειςείναι

κατακόρυφες.

ΕάνδενµαςενδιαφέρειναυπολογίσουµετηδύναµηN,χρη-

σιµοποιούµεµόνοτηδεύτερησυνθήκηισορροπίας.

2. Θαυπολογίσουµετιςροπέςτωνδυνάµεωνωςπροςτοση-

µείοO.Όλεςοιροπέςέχουνδιεύθυνσηκάθετηστοεπίπεδο

τηςσελίδας(άξοναςΟz).

• ΗροπήτηςδύναµηςNείναιίσηµεµηδένωςπροςτοση-

µείοΟ:ΜN =0.

• Ηροπήτουβάρουςείναιθετική:ΜB =+mgd2.

• HροπήτηςδύναµηςFi είναιαρνητική:ΜFi =-ΙFi Ιd1.

Ηδεύτερησυνθήκηισορροπίαςδίνει:

ΣΜεξωτ, z=0 ΜN +ΜB +ΜFi =0 0+mgd2-ΙFi Ιd1=0 ΙFi Ι=mg d2d1

ΗδύναµηFi είναιµικρότερηαπότοβάροςτουσώµατος:d1>d2 ΙFi Ι<mg.Άρα,τοκαροτσάκιτουκηπουρούέχειµηχανικό πλεονέκτηµα.

Αριθµητική Eφαρµογή

Αντικαθιστούµεm=30,0kg,d1=150,0cmκαιd2=25,0cm.

ΙFi Ι=mgx 25,0cm150,0cm=mg6=16x (30,0kg)x (9,81m/s2)=49,1N

Ναπαρατηρήσετεότικαταβάλλουµετηνίδιαδύναµη,µετηνοποίαθασηκώναµεµίαµάζα5,0kg(το

1/6τηςµάζαςτουκαροτσιού).



Ο ∆ικέφαλος Μυς

Στοεπόµενοσχήµααπεικονίζεταιτοµπροστινόµέροςτουχεριούενόςανθρώπου.Τοχέριµπορείνα

περιστρέφεταιγύρωαπόένανοριζόντιοάξονα,πουδιέρχεταιαπότοσηµείοΟτουαγκώνα.Όταντο

µπροστινόµέροςισορροπείσεοριζόντιαστάση,ασκούνταισεαυτόοιακόλουθεςδυνάµεις:

(i) ΟδικέφαλοςµυςασκείµίακατακόρυφηδύναµηF∆ µεφοράπρος ταπάνω,σεαπόσταση

d1 =5,0cm απότοσηµείοΟ.(ii) TοβάροςBXτουµπροστινούµέρουςτουχεριούδραστοΚΜτου(περίπουστηµέσητουχε-

ριού,σεαπόστασηd2 =18,0cmαπότοναγκώνα).(iii) ΣτοσηµείοΟτουαγκώναασκείταιµίαδύναµηF Eαπότουπόλοιποσώµα.

Όλεςοιδυνάµειςείναικατακόρυφεςκαιανήκουνστοεπίπεδοτηςσελίδας.Οιροπέςτωνδυνάµεων

είναικάθετεςστοεπίπεδοτηςσελίδας.

Θαεφαρµόσουµετηδεύτερησυνθήκηισορροπίας,ωςπροςτοσηµείοΟ.ΗάγνωστηδύναµηF Eέχει

µηδενικήροπήωςπροςαυτότοσηµείο.Γιατιςυπόλοιπεςδυνάµεις,βρίσκουµε:

+d1ΙF∆Ι-d2ΙBXΙ=0 ΙF∆Ι= d2d1 ΙBXΙ= d2d1 (mg)

ΝαπαρατηρήσετεότιηδύναµηF∆απότονδικέφαλοµυείναιαρκετάµεγαλύτερηαπότοβάροςτου

χεριού:

ΙF∆Ι=18,0cm5,0cmx(mg)=3,6x(mg)

ΑυτόσυµβαίνειεπειδήοµοχλοβραχίοναςτηςF∆είναιπολύµικρότεροςαπότονµοχλοβραχίονατου

βάρουςBX.

Εάνοάνθρωποςκρατάκαιένασώµαστηνπαλάµητου,ηαπαιτούµενηδύναµηF∆γίνεταιακόµηµε-

γαλύτερη.

Εφαρµόζονταςτηνπρώτησυνθήκηισορροπίας,βρίσκουµετηδύναµηF E:

ΙF∆Ι-ΙF E Ι-ΙBXΙ=0 ΙF E Ι=ΙF∆Ι-ΙBXΙ=2,6x(mg)

HφοράτηςF Eείναιπροςτακάτω.



Aθλήτρια που ισορροπεί σε οριζόντια στάση

Στοεπόµενοσχήµααπεικονίζεταιµίααθλήτριαµάζαςm=40,0kg,πουισορροπείσεοριζόντιαστάση.

ΕκτόςαπότοβάροςB τηςαθλήτριας,σταχέριακαιταπόδιατηςασκούνταιεξωτερικέςδυνάµεις

απότοέδαφος.ΘασυµβολίζουµετησυνισταµένηδύναµησταπόδιατηςαθλήτριαςµεNΠ,καιτησυ-

νισταµένηδύναµησταχέριατηςµεNΧ.Θα υπολογίσουµε τις δυνάµεις NΠ και NX, εάν η αθλήτρια

ισορροπεί.

Εφαρµόζουµετηνπρώτησυνθήκηισορροπίας,θεωρώνταςωςθετικήτηφοράπροςταπάνω:

ΣFεξωτ, y=0 ΙNΠΙ-ΙB Ι+ΙNXΙ=0 ΙNΠΙ=mg -ΙNXΙ

ΟιφορείςτωνNΠ,B καιNX ανήκουνστοίδιοκατακόρυφοεπίπεδοxy.ΟφορέαςτηςNΠ τέµνειτο

πάτωµαστοσηµείοΑ.ΘαυπολογίσουµετιςροπέςόλωντωνδυνάµεωνωςπροςτοΑ.

Όλεςοιροπέςέχουνδιεύθυνσηκάθετηστοεπίπεδοxy(τοεπίπεδοτηςσελίδας).

• ΗδύναµηNΠ διέρχεταιαπότοσηµείοA.Άραηροπήτηςµηδενίζεται:MNΠ=0.

• HδύναµηNX στρέφειαριστερόστροφατοσώµατηςαθλήτριας,οπότεηαντίστοιχηροπήείναι

θετική.ΟφορέαςτηςNX απέχεικατάd1απότοA.Άρα,MNX=+ΙNXΙd1.

• ΤοβάροςB στρέφειδεξιόστροφατοσώµατηςαθλήτριας,οπότεηαντίστοιχηροπήείναιαρνη-

τική.Οφορέαςτουβάρουςαπέχεικατάd2απότοA.Άρα,MB =-mgd2.


ΣΜεξωτ, z=0 ΙNXΙd1-mgd2=0 ΙNXΙ=mg d2d1ΝαπαρατηρήσετεότιτοµέτροτηςNX είναιµικρότεροαπότοβάροςτουσώµατος:d2<d1 ΙNXΙ<mg.

ΓιαναυπολογίσουµετοµέτροτηςδύναµηςNΠ,αντικαθιστούµετοµέτρο ΙNXΙστηνπρώτησυνθήκηισορροπίας:

ΙNΠΙ=mg -ΙNXΙ=mg(1-d2d1 )

ΗαθλήτριαασκείστοέδαφοςµεταχέριατηςσυνολικήδύναµηFX =-NX (ζεύγοςδράσης-αντίδρα-

σης).ΜεταπόδιατηςασκείστοέδαφοςσυνολικήδύναµηFΠ =-NΠ (ζεύγοςδράσης-αντίδρασης).


Αριθµητική Eφαρµογή

Έστωότιηαθλήτριαέχειµάζα40,0kgκαιοιαποστάσειςd1=1,60mκαιd2=1,00m.Τοµέτροτης

δύναµηςNX ισούταιµε:

ΙNXΙ=(mg)x1,00m1,60m=58x (mg) =

58x (40,0kg)x (9,81m/s2)=245N

(Hδύναµηαυτήµοιράζεταισταδύοχέριατηςαθλήτριας).

ΤοµέτροτηςNΠ ισούταιµε:

ΙNΠΙ=38 x (mg) =38x (40,0kg)x (9,81m/s2)=147N

(Hδύναµηαυτήµοιράζεταισταδύοπόδιατηςαθλήτριας).


Ισορροπία Πλατφόρµας

HοριζόντιασανίδατουεπόµενουσχήµατοςέχειµάζαmΣ=1,00kgκαιµήκος2L=2,00m.Τασηµεία

ΑκαιΓτηςσανίδαςστηρίζονταισεκατακόρυφουςστύλους.ΗαπόστασηΑΓισούταιµεd=1,50m.

Στοάκρο∆τηςσανίδας ισορροπείένακιβώτιοµάζαςmK.Θα υπολογίσουµε τη µέγιστη µάζα του

κιβωτίου, για την οποία δεν ανατρέπεται η σανίδα.

1. Θαθεωρήσουµετοσύστηµασανίδας-κιβωτίου.

2. ΟιεξωτερικέςδυνάµειςείναιτοβάροςBΣ τηςσανίδας,οιδυνάµειςΝ1 καιΝ2 απότουςστύ-

λους,καιτοβάροςBΚ τουκιβωτίου.Όλεςοιδυνάµειςείναικατακόρυφες.

3. ΘαυπολογίσουµετιςροπέςτωνδυνάµεωνωςπροςτοσηµείοΓ.Όλεςοιροπέςείναικάθετες

στοκατακόρυφοεπίπεδοxy.

• ΗροπήτηςδύναµηςΝ1 είναιαρνητική:MN1=-ΙΝ1Ιd.

• ΗροπήτηςδύναµηςΝ2 είναιίσηµεµηδέν:MN2=0.


• ΗροπήτηςBΣ είναιθετική:MΒΣ=+ΙBΣΙ(d-L)=+mΣ g(d-L).

• HροπήτηςBΚ είναιαρνητική:MΒK=-ΙBΚΙ(2L-d)=-mK g(2L-d).


ΣΜεξωτ, z=0 -ΙN1Ιd+mΣ g(d-L)-mK g(2L-d)=0 mΣ g(d-L)-mK g(2L-d)=ΙN1Ιd

mΣ g(d-L)-mK g(2L-d)=0 mΣ (d-L)=mK (2L-d) mK =mΣd-L2L-d

Aριθµητική Εφαρµογή

AντικαθιστώνταςmΣ =1,00kg,L=1,00mκαιd=1,50m,βρίσκουµε:

mΚ=1,50-1,00

2,00-1,50χ (1,00kg)=1,00kg

ΗσανίδααρχίζειναανατρέπεταιόταντοσηµείοΑχάσειεπαφήµετονκατακόρυφοστύλο.

Μόλιςησανίδααρχίζειναανατρέπεται,ηδύναµηN1µηδενίζεται.Άρα:

Σηµειώσεις

• ΓιαναµηνανατρέπεταιησανίδαόταντοκιβώτιοέχειµάζαmK >mΣd-L2L-d

,πρέπειηδύ-

ναµηN1νααποκτήσειφοράπροςτακάτω(δηλαδήτοσηµείοΑναείναικαρφωµένοστον

στύλο).

• ΈστωότιηµάζαmK είναιδεδοµένη.Μετοίδιοσκεπτικόπροσδιορίζουµετηνελάχιστη από-

στασηd,στηνοποίαπρέπεινατοποθετηθείτοστήριγµαΓγιαναµηνανατρέπεταιησανίδα:

mΣ g(d-L)-mK g(2L-d)≥0 (mΣ +mK)d≥(mΣ +2mK)L

d≥mΣ +2mKmΣ +mK

L dελαχ =mΣ +2mKmΣ +mK

L


1.10.4. Έστωότιησανίδαείναικαρφωµένηστονκατακόρυφοστύ-

λοστοάκροΑ.ΤιφοράαποκτάηδύναµηN1,εάνηαπό-

στασηd>mΣ +2mKmΣ +mK

L;

1.10.5. Ναυπολογίσετετηνελάχιστηαπόστασηdελαχ,εάνmK =

2,50kg.


EΝΘΕΤΟ: ΤΑ ∆ΙAΦΟΡΑ ΕI∆Η ΜΟΧΛΩΝ

Οι µοχλοί είναι περιστρεφόµενες µηχανικές διατάξεις, που λει-

τουργούνµεβάση τοφυσικόµέγεθος τηςροπής.Ηεφαρµογή

δύναµηςFiσεένανµοχλόπροκαλείτηνάσκησηδύναµηςFoαπό

τονµοχλό.

ΟσπουδαίοςαρχαίοςΈλληναςΦυσικός,Μαθηµατικός καιΜη-

χανικόςΑρχιµήδηςοΣυρακούσιος(287-212π.Χ.)εξήγησετηλει-

τουργίατωνµοχλών.Γιανατονίσειτηχρησιµότητάτους,είχεπει:

«Δ΅ς μοι πÄ στ΅ και τaν ΓÄν κινάσω»:∆ος µου που να σταθώ ι και θα κινήσω τη Γη.

Στουςµοχλούςπρώτου είδους,τοσηµείοπεριστροφήςΟπαρεµβάλλεταιανάµεσαστασηµείαεφαρ-

µογήςτωνδυνάµεωνFiκαιFo.Παραδείγµαταµοχλώνπρώτουείδουςείναιηζυγαριάκαιητραµπάλα.

Έναςµοχλόςπρώτουείδουςασκείµεγαλύτερη δύναµη απόαυτήπουδέχεται:ΙFoΙ>ΙFiΙγιαdi>do.

Στουςµοχλούςδευτέρου είδους,τοσηµείοεφαρµογήςτηςFoπαρεµβάλλεταιανάµεσαστοσηµείο

περιστροφήςΟκαιστοσηµείοεφαρµογήςτηςFi.Παραδείγµαταµοχλώνδευτέρουείδουςείναιτο

καροτσάκιτουκηπουρούκαιοκαρυοθραύστης.Έναςµοχλόςδευτέρουείδουςασκείπάντοτεµεγα-

λύτερη δύναµηαπόαυτήπουδέχεται:ΙFoΙ>ΙFiΙ.

Στουςµοχλούςτρίτου είδους,τοσηµείοεφαρµογήςτηςFiπαρεµβάλλεταιανάµεσαστοσηµείοπε-

ριστροφήςΟκαιστοσηµείοεφαρµογήςτηςFo.Παραδείγµαταµοχλώντρίτουείδουςείναιτοφτυάρι,

τοκαλάµιτουψαρέµατος,τοακόντιοτουαθλητή,οδικέφαλοςµυς.Έναςµοχλόςτρίτουείδουςασκεί

πάντοτεµικρότερη δύναµηαπόαυτήπουδέχεται:ΙFiΙ>ΙFoΙ.


ΕΝΘΕΤΟ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ. ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΚΑΘΕΤΗΣ ∆ΥΝΑΜΗΣ

Τοεπόµενοσχήµααπεικονίζειένανοµογενήκύβοµάζαςmκαιακµής2L,πουισορροπείπάνωσε

έναοριζόντιοπάτωµα.ΣτοσηµείοΑτουκύβουασκούµεµίακατακόρυφηγνωστήεξωτερικήδύναµη

F ,µεφοράπροςτακάτω.ΣτονκύβοδραεπίσηςµίακάθετηεξωτερικήδύναµηNαπότοπάτωµα,µε

φοράπροςταεπάνω.Στηνπραγµατικότητα,ηδύναµηNείναιησυνισταµένηενόςµεγάλουαριθµού

απόστοιχειώδειςδυνάµεις,πουασκούνσηµείατουπατώµατοςσεσηµείατουκύβου.Εάνοκύβος

βρίσκεταισεστατική ισορροπία,µπορούµε από τις συνθήκες ισορροπίας να προσδιορίσουµε το

σηµείο εφαρµογής της συνισταµένης δύναµης N.

ΤοσηµείοΑεφαρµογήςτηςF ανήκειστοκατακόρυφοεπίπεδοxy,πουδιέρχεταιαπότοΚΜτου

κύβουκαιτέµνειτιςακµέςτουκύβουσταµέσατουςΑ,Ο,Γκαι∆.Στοδεξίσχήµααπεικονίζεταιτο

επίπεδοxyσεπρόσοψη.ΤοσηµείοεφαρµογήςτηςNβρίσκεταιπάνωστηνευθείαΟΓ,σεαπόσταση

χαπότοσηµείοΟ.

Επειδήοκύβοςηρεµεί,ησυνισταµένηεξωτερικήδύναµηµηδενίζεται:

ΣFεξωτ, y=0 ΙN Ι-mg-ΙF Ι=0 ΙN Ι=mg+ΙF Ι

ΟιροπέςτωνεξωτερικώνδυνάµεωνωςπροςτοΟείναικάθετεςστοεπίπεδοxy.Θαυπολογίσουµε

ξεχωριστάτηναλγεβρικήτιµήκάθεροπής:

• ΟφορέαςτηςδύναµηςF διέρχεταιαπότοσηµείοΟ.ΆραηροπήτηςF µηδενίζεται:MF =0.


• ΕπειδήτοβάροςB στρέφειαριστερόστροφατονκύβο,ηροπήτουβάρουςείναιθετική.Οφο-

ρέαςτουβάρουςB απέχεικατάLαπότοΟ.Άρα,MB =+ΙB ΙL=+mgL.

• HδύναµηNστρέφειδεξιόστροφατονκύβο,οπότεηαντίστοιχηροπήείναιαρνητική.Οφορέας

τηςNαπέχεικατάχαπότοΟ.Άρα,MΝ =-ΙNΙχ.


ΣΜεξωτ, z=0 mgL-ΙNΙχ=0 χ=mg

ΙNΙL=

mg

mg+ΙF ΙL

EάνηF µηδενισθεί,τοσηµείοεφαρµογήςτηςκάθετηςδύναµηςNβρίσκεταιστοµέσοτηςευθείας

ΟΓ(κάτωαπότοΚΜ):χ=mgmgL=L.ΕάνF 0,τοσηµείοεφαρµογήςτηςNµετατοπίζεταιπροςτον

φορέατηςF .

Παραδείγµατα µε Οµοεπίπεδες, όχι Παράλληλες ∆υνάµεις

Θααναφέρουµεπρώταµίαπολύχρήσιµηιδιότητα:

ΣτοσώµατηςΕικόνας 1-7δρουντρεις οµοεπίπεδες,µηπαράλληλεςδυνάµεις.Για να ισορροπεί το

σώµα, οι φορείς των δυνάµεων πρέπει να διέρχονται από το ίδιο σηµείο.Εάνδενισχύειαυτό,το

άθροισµατωνροπώντωντριώνδυνάµεωνδενµηδενίζεται:

ΣΜ 0

Εικόνα 1-7

ΕΝΘΕΤH ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Στοεπόµενοσχήµααπεικονίζεταιένασώµατοοποίοισορροπείυπότηνεπίδρασητωντριώνοµοεπί-

πεδωνδυνάµεωνF1,F2καιF3.ΤοδιανυσµατικόάθροισµαΣF=F1+F2+F3=0.Γιαναισορροπείτοσώµα,πρέπειεπίσηςτοάθροισµατωνροπώντωνδυνάµεωνναµηδενίζεταιως προς οποιοδήποτε

σηµείο:ΣΜi=Μ1+Μ2+Μ3=0.


ΈστωότιοιφορείςτωνF1καιF2τέµνονταιστοσηµείοΑ.ΑςυποθέσουµεότιοφορέαςτηςF3δεν

διέρχεταιαπότοΑ(σχήµα(α)).ΟιροπέςτωνF1καιF2µηδενίζονταιωςπροςτοΑ,αλλάηροπήτης

F3είναιµηµηδενική,ωςπροςτοίδιοσηµείο:

ΙΜ3Ι=ΙF3Ιd 0

Άρα,ηδεύτερησυνθήκηισορροπίαςδενικανοποιείται.

Γιαναικανοποιείταιηδεύτερησυνθήκη,οφορέαςτηςF3πρέπειναδιέρχεταιεπίσηςαπότοσηµείο

Α(σχήµα(β)).

Σηµείωση

Σταπροβλήµαταισορροπίαςθασυναντήσετεδυνάµειςπουασκούνταιαπόδιάφορασώµατα,όπως

σχοινιά,ράβδους,δοκούς,πατώµατα,τοίχους.Μπορείτεναπροσδιορίζετετηδιεύθυνσηαυτώντων

δυνάµεωνµετουςεξήςκανόνες:

• Ητάσηενόςσχοινιούείναιπάντοτεελκτική,µεδιεύθυνσηκατάµήκοςτουσχοινιού.

• Ηδύναµηαπόένανλείοτοίχοήπάτωµαείναικάθετησεαυτό.Εάνοτοίχοςήτοπάτωµαείναι

τραχύ,ηδύναµηµπορείναέχειοποιαδήποτεδιεύθυνση.

• Ηδύναµηαπόµίαστερεάράβδοµπορείναείναιελκτικήήαπωστική,καιναέχειοποιαδήποτε

διεύθυνση.∆ενείναιαναγκαστικάπαράλληληστηράβδο.

• Εάνσεένασώµαπουισορροπείδρουντρεις οµοεπίπεδες, µη παράλληλεςδυνάµεις,απαιτού-

µε οι φορείς των δυνάµεων να τέµνονται.



ΣτοεπόµενοσχήµααπεικονίζεταιέναλεπτόραβδίµάζαςmκαιµήκουςL,τοοποίοεφάπτεταιµεένα

τραχύπάτωµακαιένανλείοκατακόρυφοτοίχο.ΣτοραβδίασκείταιτοβάροςτουB ,ηδύναµηΝ1 από

τοντοίχοκαιηδύναµηΝ2 απότοπάτωµα.Eάντοραβδίισορροπείυπόγωνίαθ=60οµετοοριζόντιο

πάτωµα,θαυπολογίσουµετιςδυνάµειςΝ1 καιΝ2.

Οιφορείςτωντριώνδυνάµεωνανήκουνστοκατακόρυφοεπίπεδοxy,πουδιέρχεταιαπότοΚΜτου

ραβδιού.Σύµφωναµετηνπροηγούµενηαπόδειξη,οιφορείςτωντριώνδυνάµεωνπρέπεινατέµνονται.

ΤοβάροςB έχεισηµείοεφαρµογήςστοµέσοτουραβδιούΓκαικατακόρυφηδιεύθυνση.Επειδήο

τοίχοςείναιλείος,ηδύναµηΝ1 έχειοριζόντιαδιεύθυνση(κάθετηστοντοίχο).Προεκτείνονταςτους

φορείςτωνB καιΝ1 ,βρίσκουµεότιτέµνονταιστοσηµείο∆.

Αναγκαστικά,οφορέαςτηςδύναµηςΝ2διέρχεταιεπίσηςαπότο∆.Ναπαρατηρήσετεότιηδύναµη

Ν2δενείναικάθετηστοπάτωµα.Αυτόσυµβαίνειεπειδήτοπάτωµαείναιτραχύ.Υπότηνεπίδραση

τουβάρουςB ,τοραβδίτείνειναπεριστραφείδεξιόστροφαωςπροςτοσηµείοΑ.ΤοάκροΑτoυ

ραβδιούτείνεινακινηθείπροςτααριστερά,καιυφίσταταιµίαοριζόντιαδύναµηστατικήςτριβήςf s=N2,xαπότοπάτωµα,µεκατεύθυνσηπροςταδεξιά,καιµίακατακόρυφηδύναµηN2,y,µεκατεύθυνση

προςταπάνω.ΗN2είναιησυνισταµένητωνδύοαυτώνδυνάµεων:

N2=N2,x+N2,y

ΕπειδήοιδυνάµειςB,Ν1 καιΝ2 δενείναιπαράλληλες,εφαρµόζουµετηνπρώτησυνθήκηξεχωριστά

στιςκατευθύνσειςxκαιy:

ΣFεξωτ, x=0 -ΙΝ1Ι+ΙN2,xΙ=0 ΙΝ1Ι=ΙN2,xΙ


ΣFεξωτ, y=0 ΙN2,yΙ-mg=0 ΙN2,yΙ=mg

AπότιςπιοπάνωεξισώσειςυπολογίσθηκεησυνιστώσαN2,y.ΓιαναυπολογίσουµετησυνιστώσαN2,xκαι τηδύναµηN1,χρειαζόµαστεµίαεπιπλέονεξίσωση.Αυτήπροκύπτειαπό τηδεύτερησυνθήκη

ισορροπίας.

Ότανχρησιµοποιούµε τηδεύτερησυνθήκη,υπολογίζουµεσυνήθως τιςροπέςωςπρος τοσηµείο

εφαρµογήςµίαςαπό τιςάγνωστεςδυνάµεις.Στοσυγκεκριµένοπαράδειγµα,οποιοδήποτεαπό τα

σηµείαΑκαιΒείναικατάλληλο.Θαυπολογίσουµετιςροπέςτωνδιαφόρωνδυνάµεωνωςπροςτο

σηµείοΑ.

Όλεςοιροπέςέχουνδιεύθυνσηκάθετηστοεπίπεδοxy(τοεπίπεδοτηςσελίδας).

• ΗδύναµηN1στρέφειαριστερόστροφατηράβδο,οπότεηαντίστοιχηροπήείναιθετική.Οφορέ-

αςτηςN1απέχεικατάLηµ60ο απότοA.ΆραMN1=+ΙN1Ι(Lηµ60ο).

• ΤοβάροςB στρέφειδεξιόστροφατηράβδο,οπότεηαντίστοιχηροπήείναιαρνητική.Οφορέας

τουB απέχεικατά(L/2)συν60οαπότοA.Άρα,MB =-ΙB Ι(L/2)συν60ο.

• ΗδύναµηN2έχειµηδενικήροπήωςπροςτοA:MN2=0.


ΣMεξωτ, z=0 ΙN1Ι(Lηµ60ο)-mg(L/2)συν60ο =0 ΙN1Ι= συν60ο

2ηµ60ο mg=123

mg

Χρησιµοποιώνταςτοαποτέλεσµατηςπρώτηςσυνθήκης,προκύπτειότι

ΙN2,xΙ=ΙΝ1Ι= 123

mg

Hγωνίαφ =∆ΑΚ,πουσχηµατίζειηδύναµηN2µετοοριζόντιοπάτωµα,προσδιορίζεταιαπότησχέση:

εφφ = ΙN2,yΙΙN2,xΙ

=mg

(mg)/23=23 φ =τοξ εφ(23)=74ο

ΤοµέτροτηςN2ισούταιµε

ΙN2Ι =ΙN2,xΙ2+ΙN2,yΙ2=( mg

23 )2+(mg)2=1312 mg

Σηµείωση

ΣαςπροτείνουµεναεφαρµόσετετηδεύτερησυνθήκηωςπροςτοσηµείοΒ,καιναεπιβεβαιώ-

σετεότικαταλήγετεστοίδιοαποτέλεσµα.



1.10.6. Εάν τοπάτωµακαιο τοίχοςήτανλεία,θαµπορούσενα

ισορροπείηράβδοςστηνίδιαπλάγιαδιεύθυνση;

1.10.7. Εάντοπάτωµαήτανλείο,ποιαδύναµηθαέπρεπεναασκεί

οτοίχοςστηράβδοώστεηράβδοςναισορροπείστηνίδια

πλάγιαδιεύθυνση;


ΣτοεπόµενοσχήµααπεικονίζεταιµίαράβδοςµάζαςmκαιµήκουςL,ηοποίαισορροπείσεοριζόντια

θέση.ΤοάκροΟτηςράβδουείναιστερεωµένοστοντοίχοµέσωάρθρωσης,ενώτοάκροΑείναισυν-

δεδεµένοµεένατεντωµένοσχοινί,πουσχηµατίζειγωνίαθ=60ο µετηνοριζόντιο.Θαυπολογίσουµε

τιςδυνάµειςπουδρουνστηράβδο.

ΟιεξωτερικέςδυνάµειςτηςράβδουείναιτοβάροςτηςB ,ηδύναµηT απότoσχοινίκαιηδύναµηF

απότoντοίχο.Οιτρειςαυτέςδυνάµειςείναιοµοεπίπεδες:Οιφορείςτουςανήκουνστοκατακόρυφο

επίπεδοxy,πουδιέρχεταιαπότοΚΜτουραβδιού.Σύµφωναµετηνπροηγούµενηαπόδειξη,οιφο-

ρείςτωντριώνδυνάµεωνπρέπεινατέµνονται.

ΤοβάροςB έχεισηµείοεφαρµογήςστοµέσοτηςράβδου,καικατακόρυφηδιεύθυνση.ΗτάσηT του

σχοινιούέχειδιεύθυνσηκατά µήκος του σχοινιού.Άρα,οιφορείςτωνδυνάµεωνB καιT τέµνονται

στοσηµείοBτουσχοινιού.ΟφορέαςτηςF διέρχεταιαναγκαστικάαπότοB.

Εφαρµόζονταςτηνπρώτησυνθήκηστιςδιευθύνσειςxκαιy,βρί-

σκουµε:

ΣFεξωτ, x=0 ΙF xΙ-ΙT xΙ=0 ΙF xΙ=ΙT xΙ

ΣFεξωτ, y=0 ΙF yΙ+ΙT yΙ-mg=0

ΘαεφαρµόσουµετηδεύτερησυνθήκηωςπροςτοσηµείοΟ.Όλες

οιροπέςέχουνδιεύθυνσηκάθετηστοεπίπεδοxy(τοεπίπεδοτης

σελίδας).

• ΗδύναµηF έχειµηδενικήροπήωςπροςτοΟ:MF =0.

• ΤοβάροςB στρέφειδεξιόστροφα τηράβδο,οπότεηαντί-

στοιχηροπήείναι αρνητική:MB =-mg(L/2).

• ΗδύναµηT στρέφειαριστερόστροφατηράβδο,οπότεέχει

θετικήροπήωςπρος τοΟ.ΗσυνιστώσαTx δενσυνεισφέ-

ρειστηροπή,επειδήοφορέαςτηςδιέρχεταιαπότοΟ.Άρα:

MT =ΙT yΙL.



ΣMεξωτ, z=0 ΙT yΙL-mg(L/2)=0 ΙT yΙ=mg2

Aπότοαποτέλεσµατηςπρώτηςσυνθήκης,βρίσκουµε:

ΙF yΙ=mg-ΙT yΙ=mg2 =ΙT yΙ

ΟισυνιστώσεςτηςδύναµηςT ικανοποιούντησχέση:

ΙT yΙΙT xΙ=εφ60ο ΙT xΙ = ΙT yΙ

εφ60ο =mg

(23)

ΟφορέαςτηςF σχηµατίζειεπίσηςγωνία60ο µετηνοριζόντιο(τοτρίγωνοΒΟΑείναιισοσκελές,µε

πλευρέςOB=ABκαιγωνίεςBOA =OAB =60ο).

ΟιδυνάµειςT καιF έχουνίσαµέτρα

ΙF Ι =ΙT Ι=ΙT xΙ2+ΙT yΙ2=( mg

23 )2+(mg2 )2= mg3





1 ΣύµφωναµετονπρώτονόµοτουΝεύτωναγιατηνπεριστροφικήκίνηση:

α Ένασώµαπαραµένειακίνητοότανησυνισταµένηδύναµηµηδενίζεται.

β Ένασώµαπαραµένειακίνητοότανησυνισταµένηροπήµηδενίζεται.

γΈνασώµαπεριστρέφεταιµεσταθερή(ήµηδενική)γωνιακήταχύτηταόταντοάθροισµατωνροπώντωνεξωτερικώνδυνάµεωνµηδενίζεται.

2Ένασώµαπεριστρέφεταιµεσταθερήγωνιακήταχύτηταωςπροςακλόνητοάξονα.Συµπεραίνουµεότι:

α Ησυνισταµένητωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοσώµαµηδενίζεται.

βΤοάθροισµατωνροπώντωνεξωτερικώνδυνάµεωνωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουχώρουµηδενίζεται.


3Εάνηγωνιακήταχύτηταενόςσώµατοςµεταβάλλεται,τοάθροισµατωνροπώντωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοσώµαδενµηδενίζεται.

4Ότανένασώµαβρίσκεταισεστατικήισορροπία,ηγωνιακήταχύτηταπεριστροφήςτουείναιµηδενική.

5Ότανησυνισταµένητωνεξωτερικώνδυνάµεωνσεένασώµαδενµηδενίζεται,τοσώµαδενβρίσκεταισεστατικήισορροπία.

6Ότανησυνισταµένητωνεξωτερικώνδυνάµεωνσεένασώµαµηδενίζεται,τοσώµαβρίσκεταισεστατικήισορροπία.

Ασκήσεις

1 OφηµισµένοςπύργοςτηςΠίζας ισορροπείσεπλάγιαθέση

ωςπροςτηνκατακόρυφο.

Τούψοςτουπύργουείναι55,0mκαιηοριζόντιαµετατόπιση

τηςοροφήςτουπύργου,σεσχέσηµετηνκατακόρυφο,είναι

L=4,5m.

A. Υποθέτονταςότιοπύργοςείναιοµογενής,ναεξηγήσετε

γιατίισορροπεί.

B. Ναυπολογίσετετηµέγιστητιµήτηςγωνίαςθ,γιατηνοποίαοπύργοςµπορείναισορροπεί.

2 Έναοµογενέςχάρτινοκουτίµάζαςm ισορροπείόπωςφαί-

νεταιστοδιπλανόσχήµα.Οιδύοβάσειςτουκουτιούέχουν

µήκηHκαιd.

A. Nαεξηγήσετεγιατίτοκουτίδενανατρέπεται.

B. ΣτοάκροΑτουκουτιούτοποθετούµεπροσεκτικάµίαµε-

ταλλικήσφαίραµάζαςMκαιαµελητέωνδιαστάσεων,χω-

ρίς να γείρουµε το κουτί.Ναυπολογίσετετηµέγιστητιµή

τηςµάζαςM,γιατηνοποίατοκουτίµπορείναισορροπεί.

Υπόδειξη

ΝαεξετάσετεγιαποιατιµήτηςµάζαςM,τοΚΜτουσυστήµα-

τοςµετακινείταιέξωαπότηβάσηστήριξης.

3 ΟκαθηγητήςτηςΦυσικήςσαςέχειαναθέσειναυπολογίσετε

τηθέσητουΚΜτουνέουτουαυτοκινήτου.Ηµέθοδοςπροσ-


διορισµούτουΚΜ,σύµφωναµετηνοποίαθααναρτήσετετο

αυτοκίνητοαπόδύοδιαφορετικάσηµεία,είναικάπωςεπικίν-

δυνησεαυτήτηνπερίπτωση.Οµηχανικόςτηςγειτονιάςσας

εισηγείταιµίαεναλλακτικήµέθοδο:

Σταθµεύετετοαυτοκίνητο,έτσιώστεοιµπροστινοίκαιπίσω

τροχοίναπατούνστις ζυγαριέςΑκαιΒ.Ηαπόστασηανά-

µεσαστασηµείαεπαφήςτωντροχώνείναιL=3,85mκαιοι

ενδείξειςτωνζυγαριώνείναι660,0kgκαι540,0kg.Σεποιά

θέσηανάµεσαστασηµείαεπαφήςΑκαιΒβρίσκεταιτοΚΜ

τουαυτοκινήτου;

4 Toεργαλείοτουδιπλανούσχήµατοςχρησιµοποιείταιγιατην

κοπήµεταλλικώνσυρµάτων.Οιλαβέςµπορούνναπεριστρέ-

φονταιγύρωαπότοσηµείοΟ.Επειδήοιλαβέςέχουνπολύ

µεγαλύτεροµήκοςαπότιςλεπίδες,ηδύναµηFi,πουεφαρ-

µόζουµεστιςλαβές,πολλαπλασιάζεταιστιςλεπίδες.

Εάνηεφαρµοζόµενηδύναµησεκάθελαβήέχειµέτρο10,0N

ναυπολογίσετετοµέτροτηςδύναµηςFoπουασκείκάθελε-

πίδα.

5 Toδιπλανόσχήµααπεικονίζει έναν λοστόµάζας1,0kg,ο

οποίοςαφαιρείένακαρφίαπόέναξύλινοπάτωµα.

ΟλοστόςακουµπάστοπάτωµαστοσηµείοΟκαιστοκαρφί

στοσηµείοB.ΕάνπιέσουµεπροςτακάτωτοάκροAτουλο-

στούµεµίακατακόρυφηδύναµηFiµέτρου12,0N,τοάκρο

Bτουλοστούτείνεινακινηθείπροςταπάνω,καιδέχεταιµία

δύναµηFKΛ από τοκαρφί.Toπάτωµαασκείστον λοστό τη

δύναµηΝ.

A. Ναπροσδιορίσετε τις εξωτερικέςδυνάµειςστον λοστό.

Ποιέςαπόαυτέςτιςδυνάµειςέχουνµηµηδενικήροπήως

προςτοΟ;

Β. ΝαυπολογίσετετοµέτροτηςFKΛ ,εάνολοστόςαρχίζεινα

περιστρέφεταιµεσταθερήγωνιακήταχύτητα.

Γ. Ναπροσδιορίσετετοµέτροκαιτηνκατεύθυνσητηςδύνα-

µης,πουασκείολοστόςστοκαρφί.

Σηµείωση

ΝαυποθέσετεότιτοΚΜτουλοστούείναιστοµέσοτηςοριζόντιας

απόστασηςµεταξύτωνΑκαιΒ.


6 Το διπλανό σχήµα απεικονίζει τη ράβδο µίας ζυγαριάς, η

οποία έχειµήκοςL=1,20m καιµπορεί ναπεριστρέφεται

γύρωαπότοσηµείοστήριξηςΟ.

ΑπόταάκραΑκαιΒτηςράβδουαναρτώνταιδύοσώµαταµε

µάζεςmΑ =0,25kgκαιmB =0,75kg.Ναπροσδιορίσετετην

απόστασηxαπότοσηµείοΑ,στηνοποίαπρέπεινατοποθετη-

θείτοσηµείοστήριξης Ογιαναισορροπείηράβδοςεάν:

A.Ηράβδοςείναιαβαρής.

Β.ΗράβδοςείναιοµογενήςκαιέχειµάζαmP =0,20kg.

7 Ένας άνθρωπος θέλει να σηκώσει ένα βράχο µάζαςm =

125,0 kg χρησιµοποιώντας µία αβαρή δοκό, όπως στο δι-

πλανόσχήµα.ΗδοκόςέχειµήκοςL=1,00mκαιµπορείνα

περιστρέφεταιγύρωαπότοσηµείοΟ,τοοποίοαπέχεικατά

d=10,0cmαπότοάκροτηςΑ.

ΟάνθρωποςασκείµίακατακόρυφηδύναµηFiστοάκροΒ.

A. Ναπροσδιορίσετεόλεςτιςεξωτερικέςδυνάµεις,πουδρουν

στοσύστηµα δοκού-βράχου.Ποιέςαπόαυτέςασκούνρο-

πήωςπροςτοσηµείοΟ;

B. ΠοιόπρέπειναείναιτοµέτροτηςFi,έτσιώστεοάνθρω-

ποςνασηκώσειτονβράχοµεσταθερήταχύτητα;Νασυ-

γκρίνετετοµέτροΙFiΙµετοβάροςτουβράχου. Γ. Toαποτέλεσµάσαςεξαρτάταιαπότηγωνία,πουσχηµατί-

ζειηδοκόςµετοοριζόντιοέδαφος;

8 Στοδιπλανόσχήµααπεικονίζεταιένακαροτσάκιµάζας10,0kg,

τοοποίοµπορείναπεριστρέφεταιωςπροςτοσηµείοστήρι-

ξηςΟµετοέδαφος.

Τοποθετούµεστοκαροτσάκιεπιπρόσθετοφορτίο60,0kg.Το

ΚΜτουκαροτσιού-φορτίουβρίσκεταισεοριζόντιααπόσταση

d2=20,0cmαπότοσηµείοΟ.

A. Ναπροσδιορίσετετιςεξωτερικέςδυνάµειςστοσύστηµα

καροτσιού-φορτίου.

Β. Ναυπολογίσετε τηνκατακόρυφηδύναµηFi,πουχρειά-

ζεταιναασκούµεστοκαρότσιγιαναβρίσκεταισεστατική

ισορροπία.


9 Στοδιπλανόσχήµα(α)απεικονίζεταιτοχέριενόςανθρώπου,

όπωςστοΠαράδειγµα 4.Τοχέριµπορείναπεριστρέφεται

ωςπροςτοσηµείοΟτουαγκώνα.

ΟδικέφαλοςµυςασκείµίακατακόρυφηδύναµηF∆ στοχέρι,

σεαπόσταση5,0cmαπότοσηµείοΟ.Τοµπροστινότµήµα

τουχεριούέχειµάζα3,0kgκαιτοΚΜτουτµήµατοςβρίσκε-

ταισεαπόσταση18,0cmαπότοσηµείοΟ.Οάνθρωποςκρα-

τάένανβράχοµάζας5,0kg.ΤοΚΜτουβράχουβρίσκεταισε

απόσταση40,0cmαπότοσηµείοΟ.

Τοσχήµα(β)δείχνειένααπλοποιηµένοµοντέλοτουχεριού.

Εάντοχέριισορροπείσεοριζόντιαστάση,ναυπολογίσετετην

απαιτούµενηδύναµηαπότονδικέφαλοµύκαινατηνσυγκρί-

νετεµετοσυνολικόβάροςBX +BΣ.

10 ΤοδιπλανόσχήµααπεικονίζειµίαδοκόµήκουςL=0,75m,

ηοποίαµπορείναπεριστρέφεταιµέσωάρθρωσηςωςπρος

τοάκροτηςΟ.Ηράβδοςαναρτάταιµεσχοινίαπότοσηµείο

A,πουαπέχεικατάd=0,25mαπότοάκροΟ.Στοδεύτερο

άκροΒτηςράβδουαναρτάταιένασώµαµάζαςm=2,4kg.

ΝαπροσδιορίσετετηδύναµηF,εάνηδοκός ισορροπείκαι

είναι:

A.αβαρής.

B.οµογενής,µεµάζαm∆ =1,2kg.

ΝασυγκρίνετετηδύναµηFµετοβάροςτουσώµατος.Τιπα-

ρατηρείτε;

11 Μία οριζόντια σανίδα µήκους L = 2,50m και µάζαςmΣ =

20,0kgστηρίζεταιστασηµείαΑκαιΓσεδύοκατακόρυφους

πασσάλους.ΤασηµείαΑκαιΓαπέχουνκατάd=0,50mαπό

ταάκρατηςσανίδας.

A. Έναςνέοςστέκεταιστοάκρο∆ τηςσανίδας.Ποιάείναι

ηµέγιστηµάζαmA πουµπορείναέχειονέος,χωρίςνα

ανατρέπεταιησανίδα;

Β. Εάνονέοςέχειµάζα50,0kg,ποιαείναιηµικρότερηαπό-

στασηxαπό τοσηµείο∆,στηνοποίαµπορείνασταθεί

χωρίςναανατρέπεταιησανίδα;


12 Το διπλανό σχήµα απεικονίζει έναν πάσσαλο ΟΑ µάζας

mΠ =24,0kg,απότονοποίοέχειαναρτηθείένασήµατροχαί-

αςµεµάζαmΣ =8,0kg.

ΝαυποθέσετεότιοπάσσαλοςΟΑείναιοµογενήςκαιβρί-

σκεταισεστατική ισορροπία.Ναυπολογίσετε την τάσηστο

σηµείοΛτουπασσάλουαπότοσυρµατόσχοινοΚΛ,καιτηδύ-

ναµηστοσηµείοΟαπότονκατακόρυφοστύλο.

Συσχέτιση Εννοιών των Ενοτήτων 1.1 - 1.10.

1.1. Σηµειακό/ΜηΣηµειακό/ ΣτερεόΣώµα

1.2. Μεταφορική/ ΠεριστροφικήΚίνηση ΣτερεούΣώµατος

1.4. ΣυνιστώσαΡοπής ∆ύναµηςκατά µήκος άξονα

1.5. ΘεώρηµαΡοπώνΕφαρµογή του Θεωρήµατος σε συντρέχουσες δυνάµεις

1.3. Ροπή∆ύναµηςως προς σηµείο

1.6. - 1.7. Ζεύγος∆υνάµεων. Παραδείγµατα

1.8. 1ος Νόµος

ΣMεξωτ, z=0 ω=σταθερή

1.9. - 1.10. Συνθήκες Στατικής Ισορροπίας

ΣF εξωτ =0

ΣΜεξωτ =0


Απαντήσεις Ελέγχου Κατανόησης Εννοιών

1.1.1. (γ), (δ), (στ). Ταυπόλοιπαδενδιατηρούντοσχήµατους.

1.1.2. Όχι,διότιδενέχεισταθερόσχήµα.

1.2.1. (α) (ζ)µεταφορική,(β),(γ),(δ),(ε),(στ),(η),(θ)περιστροφική.

1.2.2. Οέλικας,οκύλινδροςκαιηµπάλαµετακινούνταικαιταυτόχροναπεριστρέφονταιωςπροςτοΚΜ.

1.3.1. Α, Β.

1.3.2. Στοσχήµα(β),ηδύναµηδενµεταβάλλεται,αλλάτοσηµείοεφαρµογήςτηςµετακινείταιπάνωστον

φορέατης(απότοΑστοΒ).Άρα,ηροπήδενµεταβάλλεται.Οιδύοµαθητέςανοίγουντηνπόρταµε

τηνίδιαευκολία.

1.4.1. Ηροπήείναιµηδενικήκαιστιςδύοπεριπτώσεις.

1.7.1. Τοθεώρηµατωνροπώνδενισχύειγιαζεύγοςδυνάµεων(δενείναισυντρέχουσες).

1.7.2. Όχι,διότιησυνισταµένηδύναµηµηδενίζεται.

1.7.3. Μηδέν.

1.7.4. Έναζεύγοςδυνάµεων,πουδρουνσεαντιδιαµετρικάσηµεία τουµεγαλύτερου τιµονιού,ασκούν

µεγαλύτερηροπή.

1.7.5. Τοκατσαβίδιασκείδεδοµένηροπήστηβίδαγιανατηνπεριστρέψει.Εάντοκατασβίδιέχεισχήµα

σταυρού,ηλεπίδατουασκείδύοζεύγηδυνάµεωνστηβίδα.Τοµέτροτηςροπήςκάθεζεύγους

ισούταιµετοµισότουµέτρουτηςσυνολικήςροπής.Συνεπώς,ταµέτρατωνδυνάµεωντουζεύγους

είναιµικρότερακατά50%.

1.7.6. Όχι.ΤοάθροισµατουζεύγουςκαιµίαςτρίτηςδύναµηςF1δίνειµηµηδενικήσυνισταµένη:ΣF =F -F +F1 0.ΗσυνισταµένητωντριώνδυνάµεωνεπιταχύνειτοΚΜτουσώµατος.

1.7.7. Ασκώνταςέναδεύτεροζεύγοςδυνάµεωνµεαντίθετηροπήαπότοπρώτο.


1.8.1. ΤοΚΜτουραβδιούείναιακίνητο,άραΣF εξωτ=0.Ηγωνιακήταχύτητατουραβδιούείναισταθερή,οπότε

ΣΜεξωτ=0.TαΙκαιΙΙείναισωστά.

1.8.2. ΤοΚΜτουραβδιούεκτελείοµαλήκυκλικήκίνηση.Άρα,υπάρχεισυνισταµένηεξωτερικήδύναµη,που

ενεργείσανκεντροµόλος:ΣF εξωτ=FΚ 0.ΗδύναµηαυτήασκείταιστοσηµείοΑτουραβδιούαπότον

άξοναπεριστροφής.Τοραβδίκινείταιµεσταθερήγωνιακήταχύτητα,άρατοάθροισµατωνροπώνεξωτε-

ρικώνδυνάµεωνµηδενίζεταιωςπροςτονάξοναπεριστροφής:ΣΜεξωτ=0.ΤοΙλάθος/τοΙΙσωστό.

1.8.3. ΤοΙ.

1.8.4. ΕπειδήησυνισταµένηεξωτερικήδύναµηµηδενίζεταικαιτοΚΜήταναρχικάακίνητο,τοΚΜπαραµένει

ακίνητο.Επειδήτοάθροισµατωνροπώνδενµηδενίζεται,τοσώµαπεριστρέφεταιµεγωνιακήεπιτάχυνση.

ΤοΚΜπρέπειναανήκειστονάξοναπεριστροφήςγιαναµηνπεριστρέφεται.(ΕάντοΚΜπεριστρέφονταν,

ησυνισταµένηεξωτερικήδύναµηθαήτανκεντροµόλοςκαιδενθαµηδενίζονταν).

1.10.1. ΌταντοΚΜτουανθρώπουβρεθείέξωαπότηβάσηστήριξήςτουστοέδαφος(ταπόδιατου),ησυνολική

ροπήτουβάρουςκαιτηςκάθετηςδύναµηςαπότοέδαφοςανατρέπειτονάνθρωπο.

1.10.2. ΤοβάζοΒέχειµικρότερηβάσηστήριξης.ΓιαναανατραπείτοΒ,αρκείναγείρεικατάµικρότερηγωνίασε

σύγκρισηµετοΑ.

1.10.3. ΤοΚΜτουκιβωτίουΒαπέχειπερισσότεροαπότοέδαφος.ΓιαναµετακινηθείτοΚΜτουΒέξωαπότη

βάσηστήριξης,αρκείναγείρουµετοΒκατάµικρότερηγωνία,σεσύγκρισηµετοΑ.

1.10.4. Προςτακάτω(προσπαθείνασυγκρατήσειτησανίδα,ασκώνταςαριστερόστροφηροπή).

1.10.5. dελαχ=1,00+5,00

1,00+2,50χ(1,00m)=1,71m.

1.10.6. Όχι,γιατίηδύναµηΝ2θαγίνοντανκατακόρυφη,καιοιφορείςτωντριώνοµοεπίπεδων,µηπαράλληλων

δυνάµεωνΝ1,Ν2καιΒ δενθατέµνονταν.

1.10.7. ΣτηράβδοασκείταιµίακατακόρυφηδύναµηΝ2απότοπάτωµακαιτοβάροςτης.Γιαναισορροπείχρει-

άζεταιναασκηθείµίακατακόρυφηδύναµηστοσηµείοΒαπότονκατακόρυφοτοίχο,µεφοράπροςτα

πάνω.Οιτρειςδυνάµειςείναιπαράλληλες,καιησκάλαισορροπείόπωςµίαζυγαριά.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Στις Ενότητες 1.11. - 1.19. του Κεφαλαίου 1Β:

Υπολογίζουµε την κινητική ενέργεια της περιστροφικής κίνησης.

Ορίζουµε τη ροπή αδράνειας σώµατος ως προς άξονα περιστροφής.

∆ιατυπώνουµε τον ∆εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση.

Συζητούµε τη φυσική σηµασία της ροπής αδράνειας.

Εφαρµόζουµε τον ∆εύτερο Νόµο σε προβλήµατα περιστροφικής κίνησης.

Εφαρµόζουµε την Αρχή της ∆ιατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας

σε προβλήµατα περιστροφικής κίνησης.

Ορίζουµε το φυσικό µέγεθος της Στροφορµής υλικού σηµείου ως προς

σηµείο του χώρου.

Υπολογίζουµε τη στροφορµή στερεού σώµατος κατά µήκος ακλόνητου άξονα

περιστροφής.

∆ιατυπώνουµε τη γενικευµένη έκφραση του ∆εύτερου Νόµου

για την περιστροφική κίνηση.

∆ιατυπώνουµε τις συνθήκες, κάτω από τις οποίες η συνολική στροφορµή

ενός σώµατος, ή συστήµατος σωµάτων, διατηρείται.

Εφαρµόζουµε την Αρχή της ∆ιατήρησης της Στροφορµής σε συστήµατα

σωµάτων και σε σώµατα µε µεταβαλλόµενη ροπή αδράνειας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Ενότητες 1.11. - 1.19.

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Β MHXANIKH ΣΤΕΡΕΟY ΣΩΜΑΤΟΣ

Τοδιπλανόσχήµααπεικονίζειένασώµασυνολικήςµάζαςm,τοοποίο

περιστρέφεταιµεγωνιακήταχύτηταω γύρωαπότονάξοναΟz.Χω-

ρίζουµετοσώµασεένανµεγάλοαριθµόαπόστοιχειώδητµήµατα1,

2, ...,k, ...,µεµάζεςm1,m2, ...,mk, ....Το τµήµαk έχειµάζαmk

καιβρίσκεταισεαπόστασηrkαπότονάξοναπεριστροφής.Καθώςτο

σώµαπεριστρέφεται,τοτµήµαkδιαγράφεικυκλικήτροχιάµεγραµ-

µικήταχύτηταυk=ωrk.Ηκινητικήενέργειατουτµήµατοςkισούταιµε

Εκιν,k=12mkυ2k =

12mk(ωrk)2=

12mkr 2k ω2

Για να υπολογίσουµε τησυνολική περιστροφική κινητική ενέργεια

τουσώµατος,προσθέτουµε τις κινητικές ενέργειεςόλων τωνστοι-

χειωδώντµηµάτωντου:

Εκιν,περ=ΣkΕκιν,k=Σ

k (12 mkr 2k ω2) =12 (Σ kmkr 2k)ω2=

12Ιω2

Ναπαρατηρήσετεότιηπεριστροφικήκινητικήενέργεια:

• Είναι ανάλογη µε το τετράγωνο της γωνιακής ταχύτητας περι-

στροφήςτουσώµατος.

• Εξαρτάταιαπότηνκατανοµή της µάζαςτουσώµατοςγύρωαπό

τονάξοναπεριστροφής,µέσωτουαθροίσµατος

Ι=Σ kmkr 2k

Εάνηµάζατουσώµατοςείναισυγκεντρωµένηκοντάστονάξονα

περιστροφής,ηκινητικήενέργειαείναιµικρότερη.

ΤοάθροισµαΙονοµάζεταιροπή αδράνειαςτουσώµατοςκαιτοµελε-

τούµεστηνεπόµενηενότητα.

1.11. Η Κινητική Ενέργεια Περιστροφής


1.11.1. Πώςµεταβάλλεταιηπεριστροφικήκινητικήενέργειαενός

σώµατος,εάνδιπλασιάσουµετηγωνιακήτουταχύτητα;

1.11.2. ∆ύοσώµαταπεριστρέφονταιµετηνίδιαγωνιακήταχύτητα.

Είναισωστόνασυµπεράνουµεότιέχουντηνίδιαπεριστρο-

φικήκινητικήενέργεια;

77MHXANIKH ΣΤΕΡΕΟY ΣΩΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Β

1.12. Η Ροπή Αδράνειας

Ηροπήαδράνειαςενόςσώµατοςωςπροςένανσυγκεκριµένο άξο-

να περιστροφής,ορίζεταιαπότηνεπόµενησχέση:

Ροπή Αδράνειας Στερεού Σώµατος ως προς Άξονα Περιστροφής

Ι=Σ kmkr 2k

όπουmkείναιηµάζακαιrkείναιηαπόστασητουστοιχειώδουςτµή-

µατοςkαπότονάξοναπεριστροφής.

ΣτοδιεθνέςσύστηµαSI,ηροπήαδράνειαςεκφράζεταισεµονάδες

kgm2.


• Ηροπήαδράνειαςενόςσώµατοςεξαρτάταιαπότηµάζατουσώµατος,τοσχήµατου,και

τονάξοναπεριστροφής.Όσοπιοκοντάστονάξοναπεριστροφήςβρίσκεταιτοµεγαλύτερο

ποσοστότηςµάζαςτουσώµατος,τόσοµικρότερηείναιηροπήαδράνειαςτουσώµατος.

• Ηροπή αδράνειας υλικού σηµείουµάζαςmορίζεταιµετονίδιοτρόπο:Ι=mr 2.

Ροπή Αδράνειας διαφόρων Στερεών Σωµάτων

Η ροπή αδράνειας αντιπροσωπευτικών στερεών σωµάτωνως προς

συγκεκριµένουςάξονεςπεριστροφήςκαταγράφεταιστονΠίνακα 1-1.

ΟµογενέςΣτερεόΣώµακαιΆξοναςΠεριστροφής ΡοπήΑδράνειας

∆ακτύλιοςµάζαςmκαιακτίναςR,ωςπροςκάθετοάξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροτου.

mR 2

∆ίσκοςµάζαςmκαιακτίναςR,ωςπροςκάθετοάξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροτου.

12mR 2

Πίνακας 1-1

ΡοπήΑδράνειαςδιαφόρωνΟµογενώνΣτε-

ρεών.


ΡάβδοςµάζαςmκαιµήκουςL,ωςπροςκάθετοάξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροτης.

112mL 2

ΡάβδοςµάζαςmκαιµήκουςL,ωςπροςκάθετοάξοναπουδιέρχεταιαπότοάκροτης.

13mL 2

ΣυµπαγήςσφαίραµάζαςmκαιακτίναςR,ωςπροςάξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροτης.

25mR 2

ΛεπτόςσφαιρικόςφλοιόςµάζαςmκαιακτίναςR,ωςπροςάξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροτου.

23mR 2

Συµπαγήςκύλινδροςµάζαςm,µεβάσηακτίναςR,ωςπροςάξονασυµµετρίαςκάθετοστηβάσητου.

12mR 2

Φυσική Σηµασία της Ροπής Αδράνειας

ΣυγκρίνονταςτηνπεριστροφικήκινητικήενέργειαΕκιν,περ=12Ιω2 και

τηµεταφορικήκινητικήενέργειαΕκιν,µετ=12mυ2,παρατηρούµεότιη

ροπήαδράνειαςΙείναιαντίστοιχηµετοµέγεθοςτηςµάζαςmστηµε-

ταφορικήκίνηση.Θυµίζουµεότιηµάζαενόςσώµατοςεκφράζειτην

τάσητουνααντιδράσεµεταβολέςτηςµεταφορικήςτουταχύτητας.

Αντίστοιχα:

Ηροπήαδράνειαςεκφράζειτηντάσηενόςσώµατοςνααντιδρά

σεµεταβολέςτηςγωνιακήςτουταχύτητας.Σώµαταµεµεγάλη

ροπήαδράνειαςωςπροςκάποιονάξοναπεριστροφήςτείνουν

ναδιατηρούνσταθερή(ήµηδενική)γωνιακήταχύτηταωςπρος

αυτόντονάξονα.


Ηφυσικήσηµασίατηςροπήςαδράνειαςθααναδειχθείπερισσότερο

απότον∆εύτεροΝόµοτουΝεύτωναγιατηνΠεριστροφικήΚίνηση,

τονοποίοσυζητούµεστηνΕνότητα 1.13.


Υπολογισµός της Κινητικής Ενέργειας Περιστρεφόµενου ∆ίσκου.

Έναςµεταλλικόςδίσκοςέχειµάζα50,0kgκαιακτίνα1,0mκαιπεριστρέφεταιµεσυχνότητα600,0rpm

γύρωαπόκάθετοάξονα,πουδιέρχεταιαπότοκέντροτου.

HροπήαδράνειαςτουδίσκουωςπροςτονκάθετοάξονασυµµετρίαςτουείναιΙ=12mR 2.Άρα,η

κινητικήενέργειατουδίσκουείναι:Εκιν=12Ιω2=

14mR 2ω2.Αντικαθιστώντας,βρίσκουµε:

Εκιν=14(50,0kg)x (1,0m)2x (600,0x 2π rad

60s )2=14 x 50,0x (1,0)2x (20,00x π)2kgm2

s2=4,9x 104J

Ερώτηση

Έστωότιο ίδιοςδίσκοςεκτελείµόνοµεταφορικήκίνηση.Μεποιάταχύτηταθαέπρεπενακινείται,

ώστεναέχειτηνίδιακινητικήενέργεια;

Ε µετκιν =Ε

περκιν

12mυ2=

14mR 2ω2 υ = 1

2ωR = 1

2 (20,00x π rads ) x (1,0m)=45

ms=160

kmh

Η ταχύτητααυτήείναιπολύµεγάλη.Άρα,έναςπεριστρεφόµενοςδίσκοςµπορείνααποθηκεύσει

µεγάληποσότητακινητικήςενέργειας.Αυτήηιδιότηταβρίσκειεφαρµογήστονσφόνδυλο,πουεπεξη-

γείταιστοεπόµενοΈνθετο.

ΕΝΘΕΤO: Ο ΣΦOΝ∆ΥΛΟΣ (FLYWHEEL)

Oσφόνδυλοςείναιµίαµηχανικήδιάταξη (συνήθωςέναςτροχός

µεµεγάληροπήαδράνειας),πουχρησιµοποιείταιγιατηναποθή-

κευσηκαιαπόδοσηµεγάλωνποσοτήτωνπεριστροφικήςκινητικής

ενέργειας, και για τηνδιατήρηση της γωνιακής ταχύτητας περι-

στροφήςµηχανών.Παράδειγµασφονδύλουείναιοτροχόςτουαγ-

γειοπλάστη,οοποίοςχρησιµοποιούντανήδηπριναπό5000χρό-

νιαστηναρχαίαΜεσοποταµίακαιΑίγυπτο.

Οιµηχανέςτωναυτοκινήτωνπεριέχουνένανσφόνδυλο,συνδεδε-

µένοµετονστροφαλοφόροάξονα (σχήµα).Επειδήηκαύσητου

Για µία εφαρµογή του σφονδύλου

στηναγγειοπλαστική,συµβουλευθείτε

τοvideohttps://www.youtube.com/

watch?v=SHW1XoRLfuo


αερίουστουςκυλίνδρουςδενείναισυνεχής,ηροπήαπόταέµβο-

λαστονστροφαλοφόροάξοναδιακόπτεται.Ηροπήαδράνειαςτου

σφονδύλου εξασφαλίζειότιοστροφαλοφόροςάξοναςδιατηρεί

σταθερήγωνιακήταχύτητα.

Σφόνδυλοιχρησιµοποιούνταισεηλεκτρικάδίκτυαγιατηνδιατήρη-

σησταθερήςδιαφοράςδυναµικούκαιγιατηναποθήκευσηενέρ-

γειας,καισεµέσαµεταφοράςγιατηνγρήγορηµετάδοσηκινητι-

κήςενέργειας.


1.12.1. Στοεπόµενοσχήµααπεικονίζονταιδύοαβαρείςοριζόντι-

οιδίσκοι,πουπεριέχουνστηνεπιφάνειά τους ίσοαριθµό

σταθµών.

A. Στονδίσκο(α)τασταθµάκατανέµονταισεόλητηνεπι-

φάνεια, ενώ στον δίσκο (β) στερεώνονται σε στήλες,

κατά µήκος της περιφέρειας. Οι δίσκοι µπορούν να

περιστρέφονταιγύρωαπόκατακόρυφουςάξονεςΟz,

πουδιέρχoνταιαπότακέντρατους.Ποιοςδίσκοςέχει

µεγαλύτερηροπήαδράνειας,ωςπροςτονάξονάτου;

B. Οιδύοδίσκοιπεριστρέφονταιµετηνίδιαγωνιακήταχύ-

τηταγύρωαπότονάξονάτουςΟz.Ποιοςδίσκοςέχει

µεγαλύτερηκινητικήενέργεια;

Γ. Ποιονδίσκονοµίζετεότιείναιευκολότεροναθέσουµε

σεπεριστροφή; (Σας προτείνουµε να πραγµατοποιή-

σετε τη διάταξη, και να δοκιµάσετε το πείραµα).

1.12.2. Στοεπόµενοσχήµααπεικονίζονταιδύοπανοµοιότυποιχά-

ρακες.Κάθεχάρακαςµπορείναπεριστρέφεταιχωρίςτρι-

βέςγύρωαπόκατακόρυφοάξονα,πουδιέρχεται(α)απότο

κέντροτουή (β)απότηνάκρητου.

A. Ποιοςχάρακαςέχειµεγαλύτερηροπήαδράνειας,ως

προςτονάξονάτου,και γιατί ;

B. Οιδύοχάρακεςπεριστρέφονταιµετηνίδιαγωνιακήτα-

χύτηταγύρωαπότονάξονάτους.


Ποιοςχάρακαςέχειµεγαλύτερηκινητικήενέργεια;

Γ. Ποιονχάρακανοµίζετεότιείναιπιοεύκολοναθέσουµε

σεηρεµία;

1.12.3. ΣτιςτελευταίεςγιορτέςτουΠάσχα,βάψατεκατάλάθοςκαι

µερικάωµάαυγά,µαζίµεταβρασµένα(σφιχτά).Ηµεγαλύ-

τερήσαςαδελφή(φοιτήτριατηςΦυσικής)σαςπροτείνεινα

ξεχωρίστεταβρασµένααπόταωµάαυγά,θέτοντάςτασε

περιστροφή.Γιατί;

1.12.4. Ποιοαπόταδύοσώµαταέχειµεγαλύτερηροπήαδράνειας

ωςπροςκάθετοάξονασυµµετρίας,έναςσυµπαγήςοµογε-

νήςκύλινδροςήέναςκούφιοςοµογενήςκύλινδροςµετην

ίδιαµάζακαιδιαστάσεις;Γιατί;Ποιοαπό ταδύοσώµατα

θέτουµεπιοεύκολασεκίνηση;

1.12.5. Στοδιπλανόσχήµααπεικονίζεταιµίαπόρτα,πουαποτελείται

απόέναξύλινοκαιέναµεταλλικόφύλλοίδιωνδιαστάσεων.

Απόποιάµεριάθατοποθετούσατετονάξοναπεριστροφής

Οz,έτσιώστεηπόρταναπεριστρέφεταιευκολότερα;


ΕΝΘΕΤO: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜOΣ ΤΗΣ ΡΟΠHΣ Α∆ΡAΝΕΙΑΣ ΕΝOΣ ΣΤΕΡΕΟY ΣΩΜΑΤΟΣ

Γιατονυπολογισµότηςροπήςαδράνειαςενόςστερεούσώµατος,ακολουθούµεταεξήςγενικά βή-

µατα.

(i) Ορίζουµετονάξοναπεριστροφήςτουσώµατος.

(ii) Χωρίζουµετοσώµασεένανπολύµεγάλοαριθµόαπόστοιχειώδητµήµατα.

(iii) Υπολογίζουµετηναπόστασηrkτουτµήµατοςk,µάζαςmk,απότονάξοναπεριστροφής.

(iv) Aθροίζουµετιςποσότητεςmkr 2k ωςπροςόλαταστοιχειώδητµήµατα.

Παράδειγµα

Ροπή Αδράνειας ∆ακτυλίου ως προς Κάθετο Άξονα Συµµετρίας.

ΤοπιοκάτωσχήµααπεικονίζειένανοµοιόµορφολεπτόδακτύλιοακτίναςRκαισυνολικήςµάζαςm.

Χωρίζουµετονδακτύλιοσεστοιχειώδητµήµατα1,2,...,k,...,µεµάζεςm1,m2,...,mk,.....Τοτµήµα

kέχειµάζαmkκαιβρίσκεταισεαπόστασηrk=RαπότοσηµείοΟ.

Hροπήαδράνειαςτουδακτυλίου,ωςπροςτονκάθετοάξοναOzπουδιέρχεταιαπότοκέντροτου,

ισούταιµε:

Ιδακτυλίου=Σ kmkr 2k =(Σ

kmk)R2=mR2





1 Ηπεριστροφικήκινητικήενέργειαενόςσώµατοςείναι:

α Ανάλογηµετηγωνιακήτουταχύτητα.

β Ανάλογηµετηροπήαδράνειαςτουσώµατος.

2∆ύοσώµαταίσηςµάζας,πουπεριστρέφονταιµετηνίδιαγωνιακήταχύτητα,έχουντηνίδιαπεριστροφικήκινητικήενέργεια.


3Ηροπήαδράνειαςενόςστερεούσώµατοςδενµεταβάλλεταιωςπροςσυγκεκριµένοάξοναπεριστροφής.

4 Ηροπήαδράνειαςενόςσώµατοςεξαρτάταιαπότονάξοναπεριστροφής.

5Όσοµεγαλύτερηροπήαδράνειαςέχειένασώµα,τόσοδυσκολότεροείναιναµεταβάλλουµετηγωνιακήταχύτηταπεριστροφήςτου.

6Περιστρέφουµεπιοεύκολαµίαράβδοωςπροςτοκέντροτηςκαιπιοδύσκολαωςπροςτοάκροτης.

Ασκήσεις

1 Τοπιοκάτωσχήµααπεικονίζειδιάφοραοµογενήσώµατατηςίδιαςµάζαςm.Νασυγκρίνετετις

ροπέςαδράνειαςτωνεξήςσωµάτων,ωςπροςτουςσηµειωµένουςάξονες(κόκκινεςευθείες):

Ι. Τηςσυµπαγούςσφαίρας(α)καιτουσφαιρικούφλοιού(β).

ΙΙ.Τουδακτυλίου(γ)καιτουδίσκου(δ).

Γιατηναπάντησήσαςναµην συµβουλευτείτε τον Πίνακα 1-1.Νασκεφτείτεπώςκατανέµεται

ηµάζατωνδιαφόρωνσωµάτωνωςπροςτουςάξονεςπεριστροφήςτους.

2 Τασώµατατηςάσκησης1περιστρέφονταιγύρωαπότουςάξονεςπεριστροφήςτουςµετην ίδια

γωνιακήταχύτηταω.Νατακατατάξετεκατάαύξουσασειρά,ωςπροςτηνκινητικήτουςενέργεια.

3 ΝαυποθέσετεότιηΓηείναιστερεή,οµογενήςσφαίρα,ακτίναςR=6370kmκαιµάζαςmΓ =

5,97χ1024kg.

A. ΝαυπολογίσετετηροπήαδράνειαςτηςΓηςωςπροςάξονα,πουδιέρχεταιαπότοκέντρο

της.

B. ΗΓηεκτελείµίαπλήρηπεριστροφήγύρωαπότονάξονάτηςσε24ώρεςκαιπεριφέρεται

γύρωαπότονΉλιοµεµεταφορικήταχύτητα30χ103m/s.Ναυπολογίσετεκαινασυγκρί-

νετεµεταξύτουςτηνπεριστροφικήκινητικήενέργειακαιτηµεταφορικήκινητικήενέργεια

τηςΓης.


4 Οι οµογενείς κύλινδροι Α και Β του επόµενου σχήµατος

έχουντηνίδιαµάζαm,ακτίνεςRκαι2R,καιµπορούνναπε-

ριστρέφονταιγύρωαπόάξονεςσυµµετρίας,πουδιέρχονται

απότοΚΜτους.

A. Νασυγκρίνετε τιςροπέςαδράνειας τωνδύοκυλίνδρων

ωςπροςτονάξοναπεριστροφήςτους.

Β. Οιδυοκύλινδροιπεριστρέφονταιµετηνίδιαπεριστροφική

κινητικήενέργεια.Εάντοµέτροτηςγωνιακήςταχύτητας

τουκυλίνδρουΑείναιωA=16 rad/s,ναυπολογίσετετο

µέτροτηςγωνιακήςταχύτηταςτουκυλίνδρουΒ.

5 ΜίαοµογενήςσυµπαγήςσφαίραΑκαιέναςοµογενήςσφαι-

ρικόςφλοιόςΒέχουντηνίδιαακριβώςµάζακαιακτίνα.Να

περιγράψετεέναπείραµα,µετοοποίοθαξεχωρίσετετησυ-

µπαγήσφαίρααπότονσφαιρικόφλοιό.

6 Στηδιπλανήφωτογραφία,πέντεπαιδιάπαίζουνσεµιαπερι-

στρεφόµενηπαιδικήπλατφόρµα,ακτίναςR=1,5mκαιµάζας

mΠ=550,0kg.

A. Ναεξηγήσετεγιατίοιπλατφόρµεςσαναυτήκατασκευάζο-

νταιµεµεγάληµάζακαιδιάµετρο.

Β. Ναθεωρήσετεότικάθεπαιδίµπορείναπροσεγγισθείσαν

υλικόσηµείοµάζαςm =30,0kg,πουβρίσκεταιστηνπε-

ριφέρειατηςπλατφόρµας.Ναδείξετεότιησυνολικήπε-

ριστροφική κινητική ενέργεια του συστήµατος πλατφόρ-

µας-παιδιώνδίνεταιαπότησχέση:

Εκιν περ=12(ΙΠ+5mR 2)ω2

ΤοµέγεθοςΙΠ=12mΠR 2 είναιηροπήαδρανείαςτηςπλατ-

φόρµαςωςπροςκάθετοάξονα,πουδιέρχεταιαπότοκέ-

ντροτης.

Γ. Ηπλατφόρµακαι ταπαιδιάπεριστρέφονται,εκτελώντας

32rpm.Ναυπολογίσετετησυνολικήπεριστροφικήκινητι-

κήενέργειατουσυστήµατοςπλατφόρµας-παιδιών.


1.13. Ο ∆εύτερος Νόµος του Νεύτωνα για την Περιστροφική Κίνηση

ΣτηνΑ΄Λυκείουείχαµεδιατυπώσειτον∆εύτεροΝόµοτουΝεύτωνα

γιατηΜεταφορικήΚίνηση:

∆εύτερος Νόµος του Νεύτωνα για τη Μεταφορική Κίνηση

Hεπιτάχυνσηενόςσώµατος,πουεκτελείµεταφορικήκίνηση,είναιανάλογηµετησυνισταµένηδύναµη

καιέχειµέτροαντιστρόφωςανάλογοµετηµάζατουσώµατος:

α =1mΣF

ΣτηΒ΄Λυκείουαποδείξαµεέναναντίστοιχονόµογιατηνκίνησητου

ΚΜενόςµησηµειακούσώµατος,ήσυστήµατοςσωµάτων:

α ΚΜ =1mΣF εξωτ

Εάντοσώµαδενείναισηµειακό,ηδράσηµίαςδύναµηςδενεπιταχύ-

νειµόνοτοΚΜ,αλλάµπορείναµεταβάλλεικαιτηγωνιακήταχύτητα

περιστροφήςτουσώµατοςγύρωαπόένανάξονα.Εάντοσώµαείναι

στερεό,έχεισταθερήροπήαδράνειαςωςπροςσυγκεκριµένοάξο-

να.Γιαέναστερεόσώµααποδεικνύεταιηεξήςδιατύπωσητου∆εύ-

τερουΝόµουγιατηνΠεριστροφικήΚίνηση:

∆εύτερος Νόµος του Νεύτωνα για την Περιστροφική Κίνηση

Έστωότιέναστερεό σώµαµπορείναπεριστρέφεταιγύρωαπόένανσταθερόάξοναΟz.Ηγωνιακή

επιτάχυνσητουσώµατοςείναιευθέωςανάλογηµετησυνισταµένη των εξωτερικών ροπώνκατάµή-

κοςτουάξοναπεριστροφής,καιέχειµέτροαντιστρόφωςανάλογοµετηροπήαδράνειαςΙτουσώµατος

ωςπροςτονίδιοάξονα:

αγ =1Ι (ΣΜεξωτ, z)


• Στηνπιοπάνωσχέσηεµφανίζονταιοιαλγεβρικέςτιµέςτηςγωνιακήςεπιτάχυνσηςκαιτηςσυνι-

σταµένηςτωνεξωτερικώνροπώνκατάµήκοςτουΟz.Οιδιευθύνσειςτωνδιανυσµάτωνείναικατά

µήκοςτουάξοναOz.

• Εάνστοσώµαδρουνπερισσότερεςαπόµίαεξωτερικέςδυνάµεις,υπολογίζουµεξεχωριστά τη

ροπήΜεξωτ, zκάθεεξωτερικήςδύναµης,κατάµήκοςτουΟz.Κατόπιν,υπολογίζουµετο άθροισµα

ΣΜεξωτ, zτωνροπών.


Η γωνιακή επιτάχυνσηαγ είναιαντιστρόφως ανάλογη µε τηροπή

αδράνειαςτουσώµατοςωςπροςτονάξοναπεριστροφήςτου.Άρα,

ηροπήαδράνειαςεκφράζειτηντάσηενόςσώµατοςνααντιδράσε

µεταβολέςτηςγωνιακήςτουταχύτητας:

Όσοµεγαλύτερηείναιηροπήαδράνειαςενόςσώµατοςως προς κάποιον άξονα,τόσοµικρότερηγω-

νιακήεπιτάχυνσηαποκτάτοσώµααπόδεδοµένηεξωτερικήροπή.Σώµαταµεµεγάληροπήαδράνειας

τείνουνναδιατηρούνσταθερή(ήµηδενική)γωνιακήταχύτητα.

EΝΘΕΤΟ: ΑΠΌ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ∆ΕYΤΕΡΟΥ ΝOΜΟΥ ΓΙΑ EΝΑ ΣYΣΤΗΜΑ ΣΦΑΙΡΙ∆IΩΝ ΕΝΩΜEΝΩΝ ΜΕ ΡΑΒ∆I

ΗΕικόνα 1-8απεικονίζεισε κάτοψηέναάκαµπτοραβδίµήκους2Rκαιαµελητέαςµάζας.Σταάκρα

τουραβδιούείναιστερεωµέναδύοπανοµοιότυπασφαιρίδιαµάζαςm.

Στοσχήµα (α),τοσύστηµαραβδιού-σφαιριδίωνπεριστρέφεταιµεσταθερήγωνιακήταχύτηταω γύρωαπόένανάξοναπεριστροφής,πουείναικάθετοςστοεπίπεδοxyκαιδιέρχεταιαπότοκέντροτου

ραβδιού.ΤοΚΜτουσυστήµατοςσυµπίπτειµετοκέντροτουραβδιού.Κάθεσφαιρίδιοεκτελείοµαλή

κυκλικήκίνηση,µεκέντροτοΚΜκαιακτίναR.Σεκάθεσφαιρίδιοδραµίακεντροµόλοςδύναµηαπό

τοραβδί.Ηροπήτηςκεντροµόλουκατάµήκοςτουάξοναπεριστροφήςείναιίσηµεμηδέν.

Στοσχήµα (β),στασφαιρίδιαΑκαιΒδρουνοιεπιτρόχιεςαντίθετεςδυνάµειςF και-F.Οιδυνάµεις

αυτέςσυνιστούνζεύγος,καιέχουνροπήµέτρουΙΜΙ=ΙF Ι(2R).

Ηγωνιακήεπιτάχυνσηκάθεσωµατιδίουσυνδέεταιµετηνεπιτρόχιοδύναµηµετησχέση:

ΙF Ι=m Ι∆υΙ∆t =

m ΙR∆ωΙ∆t =

mR Ι∆ωΙ∆t =

mRΙα γΙ

Πολλαπλασιάζονταςτηντελευταίασχέσηµετηδιάµετροτηςκυκλικήςτροχιάς,2R,βρίσκουµε:

Εικόνα 1-8

ΤασφαιρίδιαΑκαιΒπεριστρέφονταιγύ-

ρωαπό τοσηµείοΟστερεωµένασερα-

βδί αµελητέας µάζας. (α)Όταν δεν δρα

επιτρόχιοςδύναµη,ηγωνιακήταχύτηταωείναισταθερή.(β)Ότανδρουνεπιτρόχιες

δυνάµεις,µεµηµηδενικήροπήωςπροςτο

Ο,ηγωνιακήταχύτηταµεταβάλλεται.


ΙF Ι(2R)=(2mR2)Ια γΙ

Τοαριστερόµέλος ισούταιµετηροπήτουζεύγουςδυνάµεων: ΙΜΙ=ΙF Ι(2R).ΗποσότηταΙ=2mR2ισούταιµετηροπήαδράνειαςτουσυστήµατοςραβδιού-σφαιριδίωνωςπροςτoνάξοναΟz.Άρα:

ΙΜΙ=ΙΙα γΙ Ια γΙ= ΙΜΙΙTαδιανύσµαταΜκαια γ έχουνκοινήδιεύθυνση(κατάµήκοςτουΟz)καιτηνίδιαφορά:

• Εάντοζεύγοςδρααριστερόστροφα(Μ>0),ηγωνιακήταχύτητατωνσφαιριδίωναυξάνεται(γί-

νεταιπιοθετικήήλιγότεροαρνητική):

Μ>0 ∆ω∆t >0 αγ>0

• Οµοίως,εάντοζεύγοςδραδεξιόστροφα(Μ<0),ηγωνιακήταχύτητατουσώµατοςελαττώνεται

(γίνεταιλιγότεροθετικήήπιοαρνητική):

Μ<0 ∆ω∆t <0 αγ<0

Άρα,ησχέσηγωνιακήςεπιτάχυνσης-ροπήςισχύεικαιγιατιςαλγεβρικές τιµές:

αγ=ΜΙ

Παραδείγµατα από την Καθηµερινή Ζωή

Σύµφωναµετον∆εύτεροΝόµογιατηνΠεριστροφικήΚίνηση,σώ-

µαταµεµεγάληροπήαδράνειαςτείνουνναδιατηρούναµετάβλητη

τηγωνιακήτουςταχύτητα.Αυτότοεκµεταλλευόµαστεστηνκαθηµε-

ρινήµαςζωή,γιαναβελτιώσουµετηνικανότητατουσώµατόςµας

ναισορροπεί.

Έναςσχοινοβάτηςπουκρατάέναµακρύοριζόντιοκοντάριβελτιώ-

νειτηνικανότητάτουναισορροπεί.Τοσύστηµασχοινοβάτη-κοντα-

ριούέχειµεγαλύτερησυνολικήροπήαδράνειας.

Στις7Αυγούστου1974,ογάλλοςακροβάτηςPhilippePetitδιέσχισεοκτώφο-

ρές τηναπόσταση 60mανάµεσαστουςδίδυµους πύργους τουWorldTrade

Center,σεύψος400mαπότηνεπιφάνειατηςΓης.OPettitπερπατούσεστοκε-

νόγια45λεπτά.Tοριψοκίνδυνοαυτόκατόρθωµαδενεπαναλήφθηκεποτέ,και

εξιστορήθηκεπρόσφαταστηνεντυπωσιακήταινίαΤhe Walk(2015).http://www.telegraph.co.uk/film/the-walk/philippe_petit_world_tradecenter/



Ράβδος που περιστρέφεται γύρω από στερεωµένο άκρο της

ΣτοεπόµενοσχήµααπεικονίζεταιµίαράβδοςµάζαςmκαιµήκουςL=125,0cm,ηοποίαείναιστερε-

ωµένηστοέδαφοςµετηβοήθειαµίαςάρθρωσης.Ηράβδοςπεριστρέφεταιχωρίςτριβέςγύρωαπό

τοακίνητοάκροτηςΟ.

Αρχικάηράβδοςείναικατακόρυφηκαιακίνητη.Σεκάποιαστιγµήτηςασκούµεµίαστιγµιαίαώθηση,

µεαποτέλεσµαναπέσειστοέδαφοςσεοριζόντιαστάση.Θαυπολογίσουµετηγωνιακήεπιτάχυνση

τηςράβδου,ότανσχηµατίζειγωνίαθ=0ο,45οκαι90οµετηνκατακόρυφηδιεύθυνση.


1.13.1. Ότανένασώµαεκτελείοµαλήκυκλικήκίνηση,κινείταιχω-

ρίςγωνιακήεπιτάχυνση.Ποιοαπόταεπόµεναείναισω-

στό:

A.Στοσώµαδραµηδενικήσυνισταµένηεξωτερικήδύνα-

µη.

B.Στοσώµαδραµηδενικήσυνισταµένητωνεξωτερικών

ροπών,ωςπροςτοκέντροτηςκυκλικήςτροχιάς.

Νααιτιολογήσετετηναπάντησήσας.

1.13.2. ∆ύοοµογενείςκύλινδροιΑκαιΒέχουντις ίδιεςδιαστά-

σειςκαιµάζακαιείναιακίνητοι.ΟκύλινδροςΑείναισυ-

µπαγήςκαιοΒείναικούφιος.

A.Ποιοναπότουςδύοκυλίνδρουςµπορούµεναθέσου-

µεευκολότερασεπεριστροφή,ωςπροςάξονασυµµε-

τρίαςτουκάθετοστηνκυκλικήτουβάση;Γιατί;

B.Οιδύοκύλινδροιπεριστρέφονταιµετην ίδιαγωνιακή

ταχύτηταως προς τον πιο πάνω άξονα συµµετρίας.

Ποιοναπότουςδύοκυλίνδρουςµπορούµεναακινητο-

ποιήσουµεπιοεύκολα,καιγιατί;

1.13.3. Πώςδιατηρούµεπιοεύκολασεισορροπίαένασφυρίεπά-

νωστοχέριµας,µε τηνξύλινηλαβή τουπρος τακάτω

(σχήµα (α))ήπροςταπάνω(σχήµα (β));Γιατί;∆οκιµάστε το!

(α) (β)


ΣτηράβδοασκούνταιτοβάροςτηςΒ καιµίαδύναµηF απότο

έδαφος.ΗF δενπεριλαµβάνεταιστοσχήµαγιατίέχειµηδενική

ροπήωςπροςτοσηµείοπεριστροφήςΟ.Hροπήτουβάρουςως

προς τοσηµείοΟείναικάθετηστοκατακόρυφοεπίπεδοxy,µε

φοράπροςτοναναγνώστη.Ηαλγεβρικήτιµήτηςροπήςισούταιµε

MB =mgL2ηµθ

Eφαρµόζονταςτον∆εύτεροΝόµογιατηνΠεριστροφικήΚίνηση,

βρίσκουµε:

αγ=1Ι (ΣΜεξωτ, z) =MB

Ι=mgL2Ι

ηµθ

Hροπήαδράνειαςτηςράβδουωςπροςτονάξοναπεριστροφής,

πουδιέρχεταιαπότοάκροτηςΟ,είναιΙ=(1/3)mL2.Συνδυάζοντας

τιςτελευταίεςδύοσχέσεις,παίρνουµε:

αγ= mgLηµθ

2χ(13mL2)=32gLηµθ


Ηγωνιακήεπιτάχυνσητηςράβδουµεταβάλλεταιµετηγωνίαθ.


Ηγωνιακήεπιτάχυνσηµηδενίζεταιότανηράβδοςείναικατακόρυφη(θ=0ο,ηµ0ο=0).Αυτόσυµβαίνει

επειδήηροπήτουβάρουςµηδενίζεταιωςπροςτοΟ.

Ότανηγωνίαθ=45ο,ηγωνιακήεπιτάχυνσητηςράβδουγίνεται:

αγ=32 χ9,81m/s2

1,250mχ

2 2=8,32rads2

Ηράβδοςφθάνειστοέδαφος(θ=90ο,ηµ90ο=1)µεγωνιακήεπιτάχυνση:

αγ=32 χ9,81m/s2

1,250mχ 1=11,8rads2



Μίατροχαλίαµάζαςmτρ=3,00kgκαιακτίναςR=0,750mείναι

συνδεδεµένη µέσω αβαρούς σχοινιού µε ένα σώµα µάζας

m =4,00kg.Η τροχαλίαµπορείναπεριστρέφεταιχωρίς τριβές

γύρωαπόοριζόντιοάξονα,πουδιέρχεταιαπότοκέντροτηςO.Το

σχοινίδενολισθαίνειωςπροςτηντροχαλία.

Θα υπολογίσουµε την επιτάχυνση, µε την οποία κατεβαίνει το

σώµα.

ΣτοσώµαδρουντοβάροςτουΒ καιµίατάσηΤ απότοσχοινί.Στο

άκροΑτουτυλιγµένουσχοινιούδραµίαδύναµηF απότοκατα-

κόρυφοτµήµατουσχοινιούΑΣ.ΌπωςµάθαµεστηνΑ΄Λυκείου,οι

δυνάµειςF καιΤ έχουνίσαµέτραεπειδήτοσχοινίείναιαβαρές.

Επειδήτοτυλιγµένοτµήµατουσχοινιούπεριστρέφεταιµαζίµετην

τροχαλίαχωρίςναολισθαίνειωςπροςαυτήν,µπορούµεναθε-

ωρούµεότιτοτυλιγµένοτµήµατουσχοινιούκαιητροχαλίααπο-

τελούνένασύστηµα.ΗδύναµηF δρασεαυτό τοσύστηµαως

εξωτερικήδύναµη.Ηροπήαδράνειαςτουσυστήµατοςτυλιγµένου

σχοινιού - τροχαλίαςωςπρος τονάξοναπεριστροφήςείναι ίση

µετηροπήαδράνειαςτηςτροχαλίας.ΗροπήτηςF ωςπροςτο

σηµείοΟείναιMF =+ΙF ΙR=+ΙT ΙR.

ΣτηντροχαλίαασκείταιεπίσηςτοβάροςτηςκαιµίααντίρροπηδύναµηN απότοσηµείοστήριξης

Ο.Οι δυνάµειςαυτές έχουν µηδενικήροπήως προς τοΟ καιδεν περιστρέφουν την τροχαλία.

Γιαυτό,δενσυµπεριλαµβάνονταιστοσχήµα.

Τοσώµαεκτελείµεταφορική κίνησηστηνκατακόρυφηδιεύθυνση.Θεωρούµεωςθετικήτηφορά

προςτακάτω,καιεφαρµόζουµετον∆εύτεροΝόµογιατηMεταφορικήKίνηση:

Μεταφορική κίνηση του Σώµατος: mg- ΙT Ι=mα(σχέση 1)

Τοµέγεθοςα είναιηαλγεβρικήτιµήτηςγραµµικής επιτάχυνσηςτουσώµατος.

Ηπεριστροφήτουσυστήµατοςτροχαλίας-τυλιγµένουσχοινιούωςπροςτοσηµείοΟπεριγράφεται

απότον∆εύτεροΝόµοτηςΠεριστροφικήςΚίνησης:

ΣΜεξωτ =MF =Iαγ

Τοµέγεθοςαγ είναιηαλγεβρικήτιµήτηςγωνιακής επιτάχυνσηςτηςτροχαλίας.

Ο∆εύτεροςΝόµοςδίνει:


Περιστροφική κίνηση συστήµατος ΤυλιγµένουΣχοινιού - Τροχαλίας:ΙT ΙR=Iαγ (σχέση 2)

Οισχέσεις1και2είναισύστηµα δύοεξισώσεωνµετρειςάγνωστεςµεταβλητές:τοµέτρο ΙT Ικαιτιςεπιταχύνσειςα καιαγ.Γιαναπροσδιορίσουµετιςάγνωστεςµεταβλητές,χρειαζόµαστεµίατρίτη

εξίσωση.

Για να καταστρώσουµε τη ζητούµενη εξίσωση, χρησιµοποιούµε

τοδεδοµένοότιτοσχοινίδεν ολισθαίνειωςπροςτηντροχαλία.

Άρα,ηγραµµικήταχύτητατουσηµείουΑτουσχοινιούισούταιµε

υσχ =ωR ∆υσχ

∆t=

∆(ωR)∆t

α=R ∆ω∆t α=Rαγ(σχέση 3)

Από τιςσχέσεις1 - 3µπορούµεναπροσδιορίσουµε τους τρεις

αγνώστους:

• Συνδυάζονταςτιςσχέσεις2και3,βρίσκουµε:

ΙT ΙR2=I(Rαγ)=Iα

• Συνδυάζονταςτηντελευταίαεξίσωσηµετησχέση1,βρίσκουµε:

(mg- ΙT Ι)R2=mαR2 mgR2-Iα =mαR2 α=mR2

mR2+Ig

Εάνητροχαλίασυµπεριφέρεταισανοµογενήςκύλινδρος,ηροπή

αδράνειαςτηςδίνεταιαπότησχέσηI = 12mτρR2.Αντικαθιστούµε,

καιβρίσκουµε:

α=mR2

mR2+(12mτρ)R2g=

m

m+(12mτρ)g

Nα παρατηρήσετε ότι:

• Ηγραµµικήεπιτάχυνσηα τουσώµατοςείναιµικρότερηαπό

τηνεπιτάχυνσητηςβαρύτηταςg,καιελαττώνεταιµετηµάζα

τηςτροχαλίας.

• Εάνητροχαλίαείναιαβαρής(mτρ =0),τοσώµαπέφτειµετην

επιτάχυνσητηςβαρύτητας.

Αριθµητική Aντικατάσταση

Αντικαθιστώνταςmτρ =3,00kgκαιm =4,00kg,βρίσκουµε:

α=4,00kg

4,00kg+(3,00kg)/2χg=0,72χg=7,06m/s2


Σηµείωση/Ενδεικτική ∆ραστηριότητα

Εάνδενγνωρίζουµετηροπήαδράνειαςτηςτροχαλίας,µπορούµενατηνυπολογίσουµεαπό

τηνπιοπάνωδιάταξη,ωςεξής:

1. Μετρούµετηµάζαmτουσώµατος.

2. Πραγµατοποιούµετηνπιοπάνωδιάταξη,καιαφήνουµετοσώµανακινηθεί.

3. Μετρούµετηνεπιτάχυνσηα τουσώµατος.

4. Υπολογίζουµετηνάγνωστηροπήαδράνειαςαπότησχέση:

α= mR2

mR2+Ig mR2+I=mR2

gα I=(gα -1) mR2

(Υποθέτουµεότιητροχαλίαπεριστρέφεταιχωρίςτριβές).

Γιαπαράδειγµα,εάντοσώµαπέφτειµεεπιτάχυνσηα=0,15g,ηροπήαδράνειαςτηςτροχα-λίαςείναι:

I=( g

0,15g-1) mR2=5,67x(4,00kg)x(0,750m)2=12,8kgm2

ΕΝΘΕΤO ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 3

Μίατροχαλίαµάζαςmτρ =2,50kgκαιακτίναςR =0,750mείναι

συνδεδεµένηµέσωαβαρούςσχοινιούµεδύοσώµατα1και2,µε

µάζεςm1 =25,5kgκαιm2 =8,50kg.Ητροχαλίαµπορείναπερι-

στρέφεταιχωρίςτριβέςγύρωαπόοριζόντιοάξονα,πουδιέρχεται

απότοκέντροτηςΟ.Τοσχοινίδενολισθαίνειωςπροςτηντρο-

χαλία.

Θαυπολογίσουµετηνεπιτάχυνση,µετηνοποίακινούνταιτασώµα-

τα.HροπήαδράνειαςτηςτροχαλίαςείναιI =12mτρR2.

Χωρίζουµετοσχοινίσε3τµήµατα:(i)τοκατακόρυφοτµήµαΑΣ1

(πουείναισυνδεδεµένοµετοσώµα1),(ii)τοκατακόρυφοτµήµα

ΒΣ2και(iii)τοτυλιγµένοτµήµαΑΒτουσχοινιούπουεφάπτεταιµε

τηντροχαλία.ΘεωρούµετηντροχαλίακαιτοτµήµαΑΒτουσχοι-

νιούωςένασύστηµα.Επειδήτοσχοινίείναιαβαρές,ηροπήαδρά-

νειαςτουσυστήµατοςαυτούείναιI =12mτρR2.

Στοσώµα1δρουντοβάροςτουB1καιητάσηT 1τουσχοινιού.


Οµοίως,στοσώµα2δρουντοβάροςτουB2καιητάσηT 2τουσχοινιού.Στοσύστηµατροχαλίας-

σχοινιούΑΒδρουνοιδυνάµειςF 1καιF 2απότατµήµαταΑΣ1καιΒΣ2αντίστοιχα.Οιδυνάµειςαυτές

έχουνµηµηδενικήροπήωςπροςτοσηµείοΟ,καιπεριστρέφουντοσύστηµατροχαλίας-σχοινιού

ΑΒ.

ΣτηντροχαλίαασκείταιεπίσηςτοβάροςτηςκαιµίααντίρροπηδύναµηN απότοσηµείοστήριξηςΟ

(δενσηµειώνονταιστοσχήµα).ΟιδυνάµειςαυτέςέχουνµηδενικήροπήωςπροςτοΟκαιδενεπηρε-

άζουντηνπεριστροφικήκίνησητηςτροχαλίας.

Τασώµατα1και2εκτελούνµεταφορικήκίνηση.Επειδήτοσχοινίδενείναιεκτατό,οιταχύτητεςτων

δύοσωµάτωνέχουνσυνεχώςίσα µέτρα.Άρα,καιοιγραµµικέςεπιταχύνσειςτωνσωµάτωνέχουντο

ίδιο µέτρο,πουσυµβολίζουµεµεα.

Εάνm1>m2,τοσώµα1θακινηθείπροςτακάτωκαιτοσώµα2προςταπάνω.Γιακάθεσώµαθε-

ωρούµεωςθετικήτηφοράτηςκίνησήςτου,καιεφαρµόζουµεξεχωριστάτον∆εύτεροΝόµοτης

µεταφορικήςκίνησης,όπωςείχαµεκάνεισταπαραδείγµατατηςΑ΄Λυκείου:

Σώµα 1:m1g- ΙT1Ι=m1α (σχέση 1α)

Σώµα 2:ΙT2Ι-m2g=m2α (σχέση 1β)

ΟιδυνάµειςT1καιF1έχουνίσαµέτρα,επειδήτοσχοινίείναιαβαρές.Οµοίως,οιδυνάµειςT2καιF2έχουνίσαµέτρα:

ΙT1Ι=ΙF 1ΙκαιΙT2Ι=ΙF 2Ι

Εφαρµόζουµετον∆εύτεροΝόµοτηςΠεριστροφικήςΚίνησηςωςπροςτοσηµείοΟστηντροχαλία,

καιβρίσκουµε:

ΣΜεξωτ =Iαγ +ΙF 1ΙR-ΙF 2ΙR=Iαγ (ΙT1Ι-ΙT 2Ι)R=Iαγ (σχέση 2)

Οισχέσεις1α,1βκαι2είναισύστηµα τριώνεξισώσεωνµετέσσερειςαγνώστους:ταµέτραΙT1Ι,ΙT2Ι,τοµέτροτηςγραµµικήςεπιτάχυνσηςα καιτηναλγεβρικήτιµήτηςγωνιακήςεπιτάχυνσηςαγ.Επειδή

τοσχοινίδενολισθαίνειωςπροςτηντροχαλία,γνωρίζουµεαπότοΠαράδειγµα 2ότι:

αγ =±αR

Προσοχή

Ησχέση2υποδεικνύειότιγενικάΙT1Ι ΙT 2ΙκαιΙF 1Ι ΙF 2Ι.Οιδυνάµειςαυτέςέχουνίσα µέτρα

µόνοεάνηροπήαδράνειαςτηςτροχαλίαςείναιµηδενική(I =0).


Επειδήητροχαλίαπεριστρέφεταιαριστερόστροφα,επιλέγουµετηθετικήτιµή:

αγ =αR

(σχέση 3)

Οισχέσεις1α,1β,2και3αρκούνγιαναπροσδιορισθούνοιάγνωστοι:

1. Προσθέτονταςκατάµέλητιςσχέσεις1ακαι1β,βρίσκουµε:

(m1-m2)g+(ΙT2Ι-ΙT 1Ι)=(m1+m2)α

2. Απότιςσχέσεις2και3,βρίσκουµε:

ΙT2Ι-ΙT 1Ι =-I αγ

R=-I

αR 2

3. Συνδυάζονταςτιςτελευταίεςδύοσχέσεις,βρίσκουµε:

(m1-m2)g-I αR 2=(m1+m2)α (m1-m2)g=(m1+m2+

ΙR 2)α α =

(m1-m2)

m1+m2+ΙR 2

g

Aντικαθιστώνταςτηροπήαδράνειαςτηςτροχαλίας,I =12mτρR2,βρίσκουµε:

α = (m1-m2)

m1+m2+mτρ

2

g

Να παρατηρήσετε ότι:

• Εάντασώµατα1και2έχουνίσεςµάζες,κινούνταιµεµηδενικήγραµµικήεπιτάχυνση(α =0).

• Εάνητροχαλίαέχειµηδενικήµάζα,ηροπήαδράνειαςτηςµηδενίζεται.Τότε,τασώµατακινούνται

µεγραµµικήεπιτάχυνση:

α = m1-m2

m1+m2

g

Τοαποτέλεσµααυτόσυµπίπτειµετηγραµµικήεπιτάχυνση,τηςµηχανής Atwoodµεαβαρήτρο-

χαλίακαιδύοσώµατα,πουείχαµευπολογίσειστηνΑ΄Λυκείου.

• Τασώµατακινούνταιµεµικρότερηγραµµικήεπιτάχυνση,εάνητροχαλίαέχειµεγαλύτερηµάζα.

Αριθµητική Aντικατάσταση

Αντικαθιστούµεm1=25,5kg,m2=8,50kg,mτρ=2,50kgκαιβρίσκουµε:

α = m1-m2

m1+m2+mτρ

2

x g=25,5kg-8,50kg

25,5kg+8,50kg+1,25kgx g=0,482x g=4,73m/s2


Σηµείωση / Ενδεικτική ∆ραστηριότητα

Εάνδενγνωρίζουµετηροπήαδράνειαςτηςτροχαλίας,µπορούµενατηνυπολογίσουµε,µε-

τρώνταςτιςµάζεςκαιτηνεπιτάχυνσηα τωνσωµάτων.

1. Μετρούµετιςµάζεςm1καιm2τωνδύοσωµάτων.

2. Πραγµατοποιούµετηνπιοπάνωδιάταξη,καιαφήνουµετασώµατανακινηθούν.

3. Μετρούµετηγραµµικήεπιτάχυνσηα.

4. Υπολογίζουµετηνάγνωστηροπήαδράνειαςαπότησχέση:

α = (m1-m2)

m1+m2+ΙR 2

g (m1+m2+ΙR 2) =(m1-m2)

gα I =[(m1-m2)

gα - (m1+m2)]R 2

Γιαπαράδειγµα,εάντασώµατακινούνταιµεα=g/3,ηροπήαδράνειαςτηςτροχαλίαςείναι:

I =[(25,5-8,50)x3-(25,5+8,50)]x(0,750)2kgm2=9,56kgm2





1Ηγωνιακήεπιτάχυνσηενόςστερεούσώµατος,πουπεριστρέφεταιγύρωαπόακλόνητοάξονα,είναι:

α Ανάλογηµετηροπήαδράνειαςτουσώµατος.

β Αντιστρόφωςανάλογηµετηροπήαδράνειαςτουσώµατος.

γ Ανάλογηµετοάθροισµατωνροπώντωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοσώµα.

δ Ανάλογηµετησυνισταµένητωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοσώµα.

2Έναςακροβάτηςχρησιµοποιείέναµακρύκοντάριγιαναβελτιώσειτηνικανότητάτουναισορροπεί,επειδή:


α Αυξάνειτηµάζατου.

βΤοσύστηµακονταριού-ανθρώπουέχειµεγαλύτερηροπήαδράνειαςωςπροςάξοναπουδιέρχεταιαπότοΚΜτου.

3 Τοκοντάριτουακροβάτητηςερώτησης2είναιπιοσηµαντικόναέχει:

α Μεγάληµάζα.

β Μεγάλοµήκος.

Ασκήσεις

∆εύτερος Νόµος του Νεύτωνα για την Περιστροφική Κίνηση

1 Ηεπίπεδηδιαστηµικήκάψουλατουεπόµενουσχήµατοςµπορείναπεριστρέφεταιµετηβοήθεια

τωνεκτοξευτήρωναερίουΑ -B.ΤοσηµείοΟαντιστοιχείστοΚΜτηςκάψουλας.Ηκάψουλα

ηρεµείκαιβρίσκεταιµακριάαπόοποιοδήποτεπεδίοβαρύτητας.

Σεκάποιαστιγµήοιεκτοξευτήρεςτίθενταισελειτουργία.Ηδύναµηαπόκάθεεκτοξευτήραπα-

ραµένεισυνεχώςκάθετηστοτοίχωµαµετοοποίοείναιστερεωµένοςοεκτοξευτήρας,καιέχει

φοράπροςτηνκάψουλα.ΤαµέτρατωνδυνάµεωναπότουςδύοεκτοξευτήρεςΑκαιΒστην

κάψουλαείναι1500N.

A. ΝαπεριγράψετετηνκίνησητουΚΜτηςκάψουλαςµετάτηνενεργοποίησητωνεκτοξευτήρων.

B. Ναθεωρήσετεότιηκάψουλαείναιεπίπεδη,µεαµελητέοπάχος.Ναεξηγήσετεγιατίηκάψου-

λααρχίζειναπεριστρέφεταιγύρωαπόάξονα,πουείναικάθετοςστοεπίπεδοτηςκάψουλας

καιδιέρχεταιαπότοΚΜτης.

Γ. ΗσυνολικήροπήαδράνειαςτηςκάψουλαςωςπροςτοκέντροµάζαςΟείναι5,0χ103kgm2.

Ναπροσδιορίσετετηγωνιακήεπιτάχυνσητηςκάψουλας.


1.14. Εξισώσεις της Οµαλά Επιταχυνόµενης Περιστροφικής Κίνησης

Ότανένασώµαείναιστερεό,ηροπήαδράνειαςτουδενµεταβάλλε-

ται (Ι =σταθ).Εάντοάθροισµατωνεξωτερικώνροπώνκατάµήκοςτουάξοναπεριστροφήςείναιεπίσηςσταθερό,τοσώµαπεριστρέφε-

ταιµεσταθερή γωνιακή επιτάχυνση:

ΣΜεξωτ, z =σταθ αγ = 1Ι ( ΣΜεξωτ, z) =σταθ

Γράφουµετιςεξισώσειςτηςπεριστρoφικήςκίνησηςµεσταθερήγω-

νιακήεπιτάχυνση,κατ΄αναλογίαµετιςεξισώσειςτηςοµαλάεπιταχυ-

νόµενηςκίνησης:

∆. Εάνοιεκτοξευτήρεςλειτουργήσουνγιαχρονικόδιάστηµα∆t=20,0s,ναπροσδιορίσετετηγωνιακήταχύτητατηςκάψουλαςστοτέλοςτουχρονικούδιαστήµατος.

2 Έναδοχείοµάζαςm =0,75kgκρέµεταιαπότονοριζόντιοκύλινδροενόςπηγαδιούµεένααβα-

ρέςσχοινί.

Oκύλινδροςέχειακτίνα35,0cmκαιµπορείναπεριστρέφεταιχωρίςτριβέςγύρωαπόοριζόντιο

άξονα.Εάναφήσουµετοδοχείοελεύθερο,οκύλινδροςαρχίζειναπεριστρέφεταικαιτοδοχείο

πέφτειµεεπιτάχυνσηg/5.Ναυπολογίσετετηροπήαδράνειαςτουκυλίνδρουωςπροςτονάξο-

ναπεριστροφήςτου.Ναυποθέσετεότιτοσχοινίδενολισθαίνειωςπροςτονκύλινδρο,κατάτην

πτώσητουδοχείου.


Εξίσωση Γωνίας Θέσης

φ(t )=φ(t0 )+ω(t0 )(t-t0 )+12

αγ (t-t0 )2

Εξίσωση Γωνιακής Ταχύτητας

ω(t )=ω(t0 )+αγ (t-t0 )

όπου η Γωνιακή Επιτάχυνση υπολογίζεται από τη σχέση:

αγ =1Ι ( ΣΜεξωτ, z)


Έναςσυµπαγής,οµογενήςτροχόςµάζας1,50kgκαιακτίναςR=

31,0cmµπορείναπεριστρέφεταιγύρωαπόένανοριζόντιοάξονα,

πουδιέρχεταιαπότοκέντροτου.Οτροχόςπεριστρέφεταιαριστε-

ρόστροφαµεγωνιακήταχύτηταω =12,5rad/s.ΗροπήαδράνειαςτουτροχούωςπροςτονάξοναπεριστροφήςισούταιµεΙ=

12mR 2.

Γιαέναχρονικόδιάστηµα4,00sασκείταιστοντροχόµίαεπιτρό-

χιοςδύναµησταθερούµέτρουΙF Ι =15,5N.Θαυπολογίσουµετη

γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, και τη γωνιακή του ταχύτητα

στο τέλος του χρονικού διαστήµατος.

Oιεξωτερικέςδυνάµειςστοντροχόείναι(i)ηεπιτρόχιοςδύναµη

F ,(ii)τοβάροςτουB,και(iii)µίαδύναµηNαπότονάξοναπερι-

στροφής.ΟιδυνάµειςBκαιNέχουνµηδενικήροπήωςπροςτοΟ

καιδενπεριλαµβάνονταιστοσχήµα.ΗροπήτηςF έχειαλγεβρική

τιµήM=+ΙF ΙR.Άρα,ηγωνιακήεπιτάχυνσητουτροχούέχειαλγε-βρικήτιµή

αγ = MF

Ι = ΙF ΙRΙ =

ΙF ΙR12mR2

= 2ΙF ΙmR

Ηγωνιακήεπιτάχυνσηείναιθετική,δηλαδήηγωνιακή ταχύτητα

αυξάνεται.Aντικαθιστούµεκαιβρίσκουµε:

αγ = 2x(15,5N)

(1,50kg)x(0,310m)= 0,667

rads2


Απότιςεξισώσειςκίνησης,υπολογίζουµετηγωνιακήταχύτηταστοτέλοςτουχρονικούδιαστήµατος:

ω(t1 )=ω(t0 )+αγ (t1-t0 )=(12,5rad/s)+(0,667rad/s2)x(4,00s)=15,2rad/s

1.15. ∆ιατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας

Ότανένασώµαπεριστρέφεταιωςπροςακλόνητοάξονα,έχειπερι-

στροφικήκινητικήενέργεια.Τοάθροισµατηςπεριστροφικήςκινητι-

κήςενέργειαςκαιτηςβαρυτικήςδυναµικήςενέργειαςτουσυστήµα-

τοςσώµατος-Γηςείναιηµηχανικήενέργεια:

Eµηχ =Eκιν περ +Uβαρδυν

Α. Υπολογισµός της Βαρυτικής ∆υναµικής Ενέργειας συστήµατος Σώµατος - Γης

Γιαναυπολογίσουµε τησυνολικήβαρυτικήδυναµικήενέργεια του

συστήµατοςσώµατος -Γης,όταν τοσώµαδεν είναιυλικόσηµείο,

υποθέτουµεότιησυνολική µάζαmτουσώµατοςείναισυγκεντρω-

µένηστο ΚΜτου:

U βαρδυν =mgyKM

όπουyKM είναιτούψοςτουΚΜτουσώµατοςαπότοέδαφος.

ΕΝΘΕΤΗ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Xωρίζουµετοσώµαµάζαςmσεπολλάστοιχειώδητµήµαταµεµά-

ζεςm1,m2, ...,mk,....Ταστοιχειώδητµήµαταβρίσκονταισεύψη

y1,y2,...,yk,...απότοέδαφος.

Hσυνολικήβαρυτικήδυναµικήενέργειατουσυστήµατοςσώµατος

-Γηςείναι:

U βαρδυν =Σmigyi=g(Σmiyi) =mg Σmiyi

m=mgyKM

όπουm =Σmiείναιησυνολικήµάζατουσώµατος,καιyKM είναι

τούψοςτουΚΜτουσώµατοςαπότοέδαφος:

yKM =Σmiyi

Σmi

=Σmiyim


Β. ∆ιατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας

ΕάντοΚΜτουσώµατοςµετατοπίζεταιστηνκατακόρυφηδιεύθυνση,

ηβαρυτικήδυναµικήενέργεια τουσυστήµατοςσώµατος-Γηςµετα-

βάλλεται.Ηαρνητικήµεταβολήτηςβαρυτικήςδυναµικήςενέργειας

ισούταιµετοέργοτουβάρους:

WΒ =-∆U βαρδυν =mg(y αρχ

ΚΜ -yτελ ΚΜ )

Εάντοέργοόλωντωνάλλωνδυνάµεων,πουδρουνστοσώµα,είναι

µηδενικό,η µηχανική ενέργεια διατηρείται:

Ε αρχµηχ =Ε

τελµηχ ∆Εκιν περ =-∆U βαρ

δυν

Παράδειγµα

Ράβδος που περιστρέφεται γύρω από στερεωµένο άκρο της

ΣτοεπόµενοσχήµααπεικονίζεταιµίαράβδοςµάζαςmκαιµήκουςL,ηοποίαείναιστερεωµένηστο

έδαφοςµετηβοήθειαµίαςάρθρωσης.Ηράβδοςπεριστρέφεταιχωρίςτριβέςγύρωαπότοακίνητο

άκροτηςΟ.

Αρχικάηράβδοςείναιακίνητηκαικατακόρυφη(σχήµα (α)).Eάντηναποµακρύνουµεελάχιστααπό

τηνκατακόρυφηστάση,ηράβδοςαρχίζειναπεριστρέφεται.Θαυπολογίσουµετηγωνιακήταχύτητα

τηςράβδου,όταναποκτήσειοριζόντιαστάση(σχήµα (β)).

ΣτηράβδοασκούνταιτοβάροςτηςB καιµίαδύναµηN απότοέδαφος(δενπεριλαµβάνεταιστοσχή-

µα).ΗδύναµηN δενπαράγειέργο,επειδήτοσηµείοεφαρµογήςτηςείναιακίνητο.Άρα,ηµηχανική

ενέργειαδιατηρείται:

∆Εκιν περ =-∆U βαρδυν

12Ιω2=mgy αρχ

ΚΜ ω=2mgy αρχ

ΚΜ

Ι

Επειδήηράβδοςείναιοµογενής,ηαρχικήθέσητουΚΜτηςβρίσκεταισεύψοςy αρχ ΚΜ =L/2απότο

έδαφος.Ηροπήαδράνειαςτηςράβδουωςπροςάξοναπεριστροφής,πουδιέρχεταιαπότοάκροτης,

είναιΙ =13 mL2.Αντικαθιστώνταςστηντελευταίασχέση,βρίσκουµε:

ω=2mg(L/2)

mL2/3=3

gL



ΈστωότιηράβδοςέχειµήκοςL=1,00m.Hγωνιακήταχύτητατηςράβδου,ότανφθάνειστοέδαφος,

ισούταιµε:

ω=3x9,81m/s2

1,00m=5,42

rads

Ασκήσεις

Εξισώσεις της οµαλά επιταχυνόµενης Περιστροφικής Κίνησης

1 Έναςκατακόρυφος τροχόςποδηλάτου,µάζαςm=1,50kg

καιακτίναςR=0,60m,είναιστερεωµένοςσεακλόνητοορι-

ζόντιοάξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροτου,καιπεριστρέ-

φεταιαριστερόστροφαµεγωνιακήταχύτηταω=32,5rad/s.Σεκάποιαστιγµή,εφαρµόζουµεσεένασηµείοτηςπεριφέ-

ρειαςτουτροχούµίασταθερήεφαπτοµενικήδύναµητριβής,

µέτρουΙf κΙ=2,50N.Ναυπολογίσετε: A.Τηγωνιακήεπιτάχυνσητουτροχού.

B.Tοχρονικόδιάστηµα,στοοποίοθασταµατήσειοτροχός.

Γ. Τησυνολική γωνίαπουθαδιαγράψειο τροχός,από τη

στιγµήπουεφαρµόζεταιητριβήµέχριτηστιγµήπουστα-

µατά.

Ναυποθέσετεότι:(i)όληηµάζατουτροχούείναισυγκεντρωµένη

στηνπεριφέρειά του,και (ii)η τριβήαπό τονάξονα του τροχού

είναιαµελητέα.(Γιατηροπήαδράνειαςενόςδακτυλίου,συµβ.τον

Πίνακα1-1τηςΕνότητας 1.12).

2 ∆ύοπαιδιάµεµάζεςmΠ=15,0kgκάθονταισεαντιδιαµετρικά

σηµείαµίαςοριζόντιαςπλατφόρµας τηςπαιδικήςχαράς.Η

πλατφόρµαέχειµάζαmΠΛ=450,0kgκαιακτίναR=3,00m,

καιµπορείναπεριστρέφεταιχωρίς τριβές γύρωαπόκατα-

κόρυφοάξονα,πουδιέρχεταιαπότοκέντροτης.Ένατρίτο

παιδίεπιταχύνειτηνπλατφόρµααπόηρεµίαµέχριτελικήσυ-

χνότητα12 rpmσεχρονικόδιάστηµα12s,ασκώνταςστην

περιφέρειάτηςµίασταθερήεφαπτοµενικήδύναµη.

A. Nαυπολογίσετετηροπήπουπρέπειναασκείτοπαιδίστην

πλατφόρµα,γιανα τηςπροσδώσειαυτή τηνεπιτάχυνση.

Ναθεωρήσετεότιηπλατφόρµαείναιοµογενήςδίσκος.


Υπόδειξη:Ναυπολογίσετετησυνολικήροπήαδράνειας

τουσυστήµατοςπλατφόρµας-παιδιών,θεωρώνταςταδύο

παιδιάσανυλικάσηµεία.

B. Ναυπολογίσετετοµέτροτηςδύναµηςαπότοπαιδίστην

πλατφόρµα.

3 Oτροχόςενόςαγγειοπλάστηέχεισυνολικήροπήαδράνειας

Ι=0,65kgm2καιπεριστρέφεταιαριστερόστροφαµεαρχική

συχνότηταf=120rpm.

Οαγγειοπλάστηςαρχίζειναεφαρµόζειµίασταθερήεφαπτο-

µενικήδύναµητριβήςστοαγγείο,µεµέτρο4,0N.Τοσηµείο

εφαρµογήςτηςδύναµηςαπέχεικατά5,0cmαπότονάξονα

περιστροφής.

A.Ναυπολογίσετετηροπήτηςτριβής.

B. Ναπροσδιορίστετοχρονικόδιάστηµα,στοοποίοµηδενί-

ζεταιηγωνιακήταχύτητατουτροχού.

Γ. Ένακοµµάτιπηλούέχειµάζα0,60kg,καισχήµασυµπα-

γούςκυλίνδρουµεακτίνα5,0cm.Οπηλόςπεριστρέφεται

µεσυχνότηταf=120rpmπάνωσεµίαοριζόντιαπλατφόρ-

µααµελητέαςµάζας.Εάνοαγγειοπλάστηςεφαρµόσειτη

ροπήτριβήςτουερωτήµατοςΑστοαγγείο,σεποιοχρονι-

κόδιάστηµαθασταµατήσειναπεριστρέφεταιοπηλός;Τι

συµπεραίνετεγιατηχρησιµότητατουτροχούτουαγγειο-

πλάστη;

∆ιατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας

4 Mίακατακόρυφηοµογενήςράβδοςµήκους1,20mµπορεί

ναπεριστρέφεταιχωρίς τριβές γύρωαπόοριζόντιοάξονα,

πουδιέρχεταιαπότοάκροτηςΟ.

A. Ηράβδοςείναιαρχικάακίνητη.Σεκάποιαστιγµήδίνουµε

οριζόντιαγραµµικήταχύτηταµέτρουυ=5,0m/sστοάκροΑτηςράβδου.Ναυπολογίσετετηµέγιστηγωνίαθµεγ,που

θασχηµατίσειηράβδοςµετηνκατακόρυφο.Εξαρτάταιη

τιµήθµεγ απότηµάζατηςράβδου;

B. Ναυπολογίσετετηνταχύτηταπουπρέπειναδώσουµεστο

άκροτηςράβδου,έτσιώστεηταχύτητάτηςναµηδενισθεί,

ότανφθάσεισεκατακόρυφηστάση(θµεγ =180ο).


1.16. Το Φυσικό Μέγεθος της Στροφορµής

Σύµφωναµετον∆εύτεροΝόµοτουΝεύτωναγιατηνΠεριστροφική

Κίνηση,ηγωνιακήεπιτάχυνσηπεριστροφήςενόςσώµατοςγύρωαπό

κάποιονάξοναείναιανάλογηµετησυνολικήροπήτωνεξωτερικών

δυνάµεωνωςπροςτονίδιοάξονα.

Στηνκαθηµερινήµαςζωήόµως,παρατηρούµεφαινόµεναόπωςτα

ακόλουθα:

• Mίαπαγοδρόµοςπεριστρέφεταιγύρωαπόένανκατακόρυφο

άξονασυµµετρίας,µεταχέριακολληµέναστοσώµατης.Εάν

ηπαγοδρόµοςτεντώσειταχέριατης,ηγωνιακήταχύτηταπε-

ριστροφήςελαττώνεται.

• Έναςαθλητήςκατάδυσηςπεριστρέφεταιγύρωαπόένανάξο-

να,πουδιέρχεταιαπότοΚΜτου.Εάνµαζέψειταχέριακαιτα

πόδιατουκοντάστοΚΜτου,ηγωνιακήταχύτηταπεριστρο-

φήςαυξάνεται.

Στοπαράδειγµατηςπαγοδρόµου,οιεξωτερικέςδυνάµεις(τοβάρος

καιηκάθετηδύναµηαπό τοέδαφος)είναιπαράλληλεςµε τονκα-

τακόρυφοάξοναπεριστροφής.Στοπαράδειγµατουδύτη,τοσηµείο

εφαρµογήςτουβάρους(τοΚΜ)ανήκειστονάξοναπεριστροφής.Και

σταδύοπαραδείγµατα,η ροπή των εξωτερικών δυνάµεων είναι

συνεχώς µηδενικήκατάµήκοςτουάξοναπεριστροφής.


Ηπιοπάνωδιατύπωσητου∆εύτερουΝόµουγιατηνΠεριστροφικήΚίνησηδενµπορείναερµηνεύσει

τιςµεταβολέςστηγωνιακήταχύτητατηςπαγοδρόµουκαιτουαθλητή.Γιαναεξηγήσουµεαυτέςτις

µεταβολές,θαορίσουµεένανέοφυσικόµέγεθος,τηστροφορµή.

Α. Στροφορµή Σηµειακού Σωµατιδίου ως προς Σηµείο του Χώρου

ΗΕικόνα 1-9απεικονίζειένασηµειακόσωµατίδιοµάζαςm,τοοποίο

βρίσκεται στο σηµείο Α του χώρου και έχει ταχύτητα υ και ορµήp=mυ .ΘεωρούµετοσηµείοΟωςαρχήτωναξόνων.Τοσωµατίδιοέχειδιάνυσµαθέσηςr ωςπροςτοΟ.


Εάνη ταχύτηταυ τουσωµατιδίουείναιπαράλληληµε τοδιάνυσµαθέσηςr (σχήµα 1-9(α)),τοσωµατίδιοκινείταικατάµήκοςτηςευθείας

ΟΑχωρίςναπεριστρέφεταιωςπροςτοΟ.Εάνηταχύτηταδενείναι

παράλληληµετοδιάνυσµαθέσηςr (σχήµα 1-9(β)),τοσωµατίδιοπε-

ριστρέφεταιωςπροςτοσηµείοΟ.

Γιαναεκφράσουµεποσοτικάτηντάσητουσωµατιδίουναπεριστρέ-

φεταιγύρωαπότοΟ,ορίζουµεένανέοφυσικόµέγεθος,τηστρο-

φορµήτoυσωµατιδίουως προς τοΟ.

Εικόνα 1-9

(α)Ότανηταχύτηταείναιπαράλληληµετο

διάνυσµαθέσης, τοσωµατίδιοδεν περι-

στρέφεταιωςπροςτοσηµείοΟ.(β)Όταν

ηταχύτηταέχεικάθετησυνιστώσα,τοσω-

µατίδιοπεριστρέφεταιωςπροςτοσηµείοΟ.

To σωµατίδιο κινείται πάνω στην ευ-θεία ΟΑ, χωρίς να περιστρέφεται ως προς το σηµείο Ο.

Όταν η κάθετη συνιστώσα δεν είναι µηδενική, το σωµατίδιο τείνει να περιστραφεί ως προς το Ο.

Η ακτινική συνιστώσα κινεί το σωµα-τίδιο πάνω στην ευθεία ΟΑ.

Εικόνα 1-10

ΣτροφορµήυλικούσηµείουΑωςπροςση-

µείοΟτουχώρου.

Στροφορµή Σηµειακού Σωµατιδίου ως προς Σηµείο Ο

ΗΕικόνα 1-10απεικονίζειέναυλικόσηµείοΑµάζαςm,τοοποίοκινείταιµεορµήp=mυ .OρίζουµεωςστροφορµήL τουσηµείουΑως προς τοΟ,τοεξήςδιανυσµατικόµέγεθος:

• Τοµέτροτηςστροφορµήςισούταιµετογινόµενο

ΙL Ι=Ιr ΙΙpΙηµθ =mΙr ΙΙυ Ιηµθόπου:

- r είναιτοδιάνυσµα θέσηςτουσηµείουΑωςπροςτοΟ.

- 0≤θ ≤ 180o είναιηγωνίαπουσχηµατίζουνταδιανύσµαταr καιp.Γιαναπροσδιορίσουµε

Το σωµατίδιο Α τείνει να περιστραφεί αρι-στερόστροφα ως προς το Ο.

Το σωµατίδιο Α τείνει να περιστραφεί δε-ξιόστροφα ως προς το Ο.

Επίπεδοπουσχηµατίζουνταδιανύσµαταr ,υ


τηγωνίαθ,σχεδιάζουµεταδιανύσµαταr καιp(ήυ )µεκοινήαρχή.Απότιςδύογωνίεςπουσχηµατίζονται,διαλέγουµετηµικρότερη.

- ΣτοδιεθνέςσύστηµαSI,ηστροφορµήεκφράζεταισεµονάδεςkgm2/s.

• Ηδιεύθυνσητηςστροφορµήςείναικάθετηστοεπίπεδο,πουορίζουνταδιανύσµαταr καιp.

• Ηφορά τηςστροφορµήςπροσδιορίζεταιµε τονκανόνα της

δεξιάς παλάµης,ωςακολούθως:

(i) Σχεδιάζουµεταδιανύσµαταr καιυ µεκοινήαρχή.

(ii) Σχεδιάζουµεένατόξοαπότοr στου (υπάρχουνδύοτέ-τοιατόξα-διαλέγουµετοµικρότερο).

(iii)Ακουµπάµετηδεξιάπαλάµηπάνωστοεπίπεδο.Λυγίζου-

µεταδάκτυλακατάτηφοράτουτόξου,καιοτεντωµένος

αντίχειραςδείχνειτηφοράτηςστροφορμής.

• Θεωρούµεότιηστροφορµήέχειθετική αλγεβρική τιµήL>0,

όταντοσωµατίδιοτείνειναπεριστραφείαριστερόστροφαως

προςτοσηµείοΟ(σχήµα 1-10(α)).

• Αντίστοιχα,θεωρούµεότιηστροφορµήέχειαρνητική αλγε-

βρική τιµήL<0,όταν τοσωµατίδιο τείνει ναπεριστραφεί

δεξιόστροφαωςπροςτοσηµείοΟ(σχήµα 1-10(β)).

Β. Στροφορµή Σηµειακού Σωµατιδίoυ σε Κυκλική Τροχιά

Τοσωµατίδιοτουδιπλανούσχήµατοςπεριστρέφεταιαριστερόστρο-

φασεκυκλικήτροχιάακτίναςR,µεγωνιακήταχύτηταµέτρουω.Ηταχύτηταυ τουσωµατιδίουείναικάθετηστοδιάνυσµαθέσης r καιέχειµέτρου =ωR.

Tοµέτρο τηςστροφορµής τουσωµατιδίουωςπρος τοκέντρο της

τροχιάςΟείναι:

ΙL Ι=mΙr ΙΙυ Ι =mR2ω

ΟάξοναςπεριστροφήςOzείναικάθετοςστοεπίπεδοτηςτροχιάςκαι

διέρχεταιαπότοΟ.Τόσοηγωνιακήταχύτητα,όσοκαιηστροφορµή

έχουνδιεύθυνσηκατάµήκοςτουOz,καιφοράπουκαθορίζεταιαπό


τονκανόνατηςδεξιάςπαλάµης.Άρα,οι αλγεβρικές τιµέςLκαιω ικανοποιούντηνίδιασχέση:

L=mR2ω

ΤοµέγεθοςmR2είναιηροπή αδράνειαςΙ τουσωµατιδίουωςπρος

τονκάθετοάξοναΟz.Άρα:

L=Ιω

Γ. Στροφορµή Περιστρεφόµενου Στερεού Σώµατος

Ητελευταίασχέσηγενικεύεταιγιαοποιοδήποτε στερεό σώµα,που

περιστρέφεταιγύρωαπόένανακλόνητο άξονα:

Στροφορµή Στερεού Σώµατος κατά µήκος Ακλόνητου Άξονα Περιστροφής

ΕάνοακλόνητοςάξοναςπεριστροφήςΟzείναικαιάξονας συµ-

µετρίας,ηστροφορµήτουσώµατοςέχειτηδιεύθυνσητουάξονα

περιστροφής,καιισούταιµε:

L =Ι ω

• Hγωνιακήταχύτηταωέχειτηδιεύθυνσητουάξοναπεριστρο-φής.

• Τοµέγεθος Ι είναιηροπήαδράνειαςτουσώµατοςωςπρος

τονάξοναπεριστροφήςΟz.

• Όπωςηροπή,έτσικαιηστροφορµήορίζεταιπάντοτεωςπρος

κάποιοσηµείο του χώρου.Για έναστερεόσώµα,πουπερι-

στρέφεταιωςπροςακλόνητοάξονασυµµετρίας,αποδεικνύε-

ταιότιηστροφορµήισούταιµεL =Ι ωωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουάξοναπεριστροφής.

• Ηστροφορµή τουσώµατοςωςπροςένανάλλοάξοναπερι-

στροφήςγενικάθαδιαφέρει,επειδήεξαρτάταιαπό τηροπή

αδράνειας.

ΕάνοακλόνητοςάξοναςπεριστροφήςΟz δενείναιάξοναςσυµµετρίαςτουσώµατος,τοδιά-

νυσµατηςστροφορµήςδενείναιγενικάπαράλληλοµετονάξοναπεριστροφής.

ΕΝΘΕΤΗ ΣΗΜΕΙΩΣΗ


Ησυνιστώσα της στροφορµής κατά µήκος του άξονα περι-

στροφήςOzισούταιµε

Lz=Ιω

Ι είναιηροπήαδράνειαςτουσώµατοςωςπροςτονΟz.

ΗσυνολικήστροφορµήL εξαρτάταιαπότoσηµείοτουάξονα

περιστροφής,ωςπρος τοοποίουπολογίζεται.Αποδεικνύεται

ότιησυνιστώσαLzέχειτηνίδιατιµήωςπροςοποιοδήποτεση-

µείοτουάξοναπεριστροφής.


1.16.1. Ένασωµατίδιοεκτελείοµαλήκυκλικήκίνηση.Πώςθαµετα-

βληθείηστροφορµήτουσωµατιδίου,εάν:

A. ∆ιπλασιασθείηταχύτητάτου.

B. ∆ιπλασιασθείηγωνιακήτουταχύτητα.

Γ.∆ιπλασιασθείηµάζατου.

∆.∆ιπλασιασθείηακτίνατηςτροχιάςτου.

1.16.2. Ποιο(α)απόταεπόµεναείναισωστό(α),γιαστερεάσώµατα,

πουπεριστρέφονταιγύρωαπόακλόνητοάξονα:

A. Ηστροφορµήκατάµήκοςτουάξοναείναιανάλογηµε

τηγωνιακήταχύτηταπεριστροφής.

B. Ηστροφορµήκατάµήκοςτουάξοναείναιανάλογηµε

τηµάζατουσώµατος.

1.16.3. ∆ύοπανοµοιότυποικύλινδροι,πουπεριστρέφονταιµετην

ίδιακατάµέτρογωνιακήταχύτητα,έχουντηνίδιαστροφορ-

µήήόχι;


Στροφορµή ∆ακτυλίου ως προς τον Κάθετο Άξονα Συµµετρίας του

Οδακτύλιοςτουεπόµενουσχήµατοςέχεισυνολικήµάζαm∆καιακτίναRκαιπεριστρέφεταιαριστε-

ρόστροφαµεγωνιακήταχύτηταωγύρωαπότονκατακόρυφοάξονασυµµετρίαςτου,Oz.Τοδιάνυ-

σµατηςγωνιακήςταχύτηταςέχειτηδιεύθυνσητουάξοναΟz.

Οδακτύλιοςείναιτόσολεπτός,πουτονθεωρούµεεπίπεδο.Χωρίζουµετονδακτύλιοσεένανµεγάλο

αριθµόαπόστοιχειώδητµήµατα1,2,...,k,...,µεµάζεςm1,m2,...,mk,....Καθώςοδακτύλιοςπερι-


στρέφεται,όλατατµήµατακινούνταιµετηνίδιαγωνιακήταχύτητα

ω.ΚάθετµήµαδιαγράφεικυκλικήτροχιάµεκέντροτοσηµείοΟκαιακτίναrk=R.Άρα,ηστροφορµήτουτµήµατοςk,ωςπροςτο

κέντροΟτουδακτυλίου,ισούταιµε:

Lk=(mkR2)ω

Οιστροφορµές τωνστοιχειωδών τµηµάτωνέχουν την ίδιαδιεύ-

θυνση, κατά µήκος τουΟz. Για να υπολογίσουµε τη συνολική

στροφορµή του δακτυλίου, αθροίζουµε όλες τις στοιχειώδεις

στροφορµές:

L=Σ kLk=Σ

k(mkR

2)ω =(Σ kmk)R2ω =(m∆R

2)ω

Hποσότητα Ι=m∆R 2 είναιηροπήαδράνειαςτουδακτυλίουως

προςτονάξονασυµµετρίαςτουΟz.Άρα,ισχύειησχέσηπουδια-

τυπώσαµεγιατοστερεόσώµα:

L=Iω


Στροφορµή της Γης ως προς τον Άξονά της

ΝαυπολογίσετετηστροφορµήτηςΓηςεξαιτίαςτηςπεριστροφήςως προς τον άξονά της.Ναυποθέ-

σετεότιηΓηείναιτέλειασφαίραακτίναςR =6370kmκαιµάζαςm Γ =5,97x1024kg.

HΓησυµπληρώνειµίαπεριστροφήσε24ώρες.Άρα,ηγωνιακήταχύτηταπεριστροφήςτηςΓηςείναι

ω =2πΤ=2χ3,14rad86400s

=7,27χ 10-5rad/s

Ηροπήαδράνειαςµίαςσφαίραςωςπροςάξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροτηςυπολογίζεταιαπό

τησχέσηI =25mR2.Άρα,ηροπήαδράνειαςτηςΓηςισούταιµε:

I =25(5,97x1024kg)χ (6,37x106m)2=9,69x1037kgm2

ΗζητούµενηστροφορµήτηςΓηςισούταιµε:

L =Iω=(9,69χ 1037kgm2)χ (7,27χ 10-5rads ) =7,04χ 1033kgm

2s


Σηµείωση

ΕπειδήηΓηπεριφέρεταιγύρωαπότονΉλιο,οάξοναςπεριστροφήςτηςΓηςδενείναιακλόνητος.

ΗσχέσηL =Iω δίνειτηστροφορµήτηςΓηςωςπροςσύστηµααναφοράς,πουκινείταιµαζίµετοΚΜτηςΓης.





1Ηστροφορµήενόςσώµατος,πουπεριστρέφεταιγύρωαπόάξονασυµµετρίαςτου,είναι:

α Ανάλογηµετηροπήαδράνειαςτουσώµατος.

β Αντιστρόφωςανάλογηµετηροπήαδράνειαςτουσώµατος.

γ Ανάλογηµετηγωνιακήταχύτητατουσώµατος.

δ Μηδενική,εάντοσώµαδενπεριστρέφεται.

2 Ηστροφορµήενόςσωµατιδίου,πουκινείταισεκυκλικήτροχιά,είναι:

α Ανάλογηµετηνακτίνατηςτροχιάς,γιαδεδοµένηγωνιακήταχύτητα.

β Ανάλογηµετηµάζατουσωµατιδίου.

γ Ανάλογηµετηγωνιακήταχύτητατουσωµατιδίου,γιαδεδοµένηακτίνα.

δ Ανάλογηµετηγραµµικήταχύτητατουσωµατιδίου,γιαδεδοµένηακτίνα.

3Ένασωµατίδιο,πουκινείταισεευθύγραµµητροχιά,έχειπάνταµηδενικήστροφορµή.

Ασκήσεις

1 ΜίαµικρήµεταλλικήσφαίραΑµάζας0,50kgκινείταιόπωςσταεπόµενασχήµατα.Ναυπολογί-

σετετηστροφορµήτηςσφαίραςωςπροςτοσηµείοΟ,καινακαθορίσετετηνκατεύθυνσήτης.


2 Έναβαγονάκιµάζαςm=15,0kgκινείταιµεγραµµικήταχύτηταµέτρου3,0m/sσεοριζόντια

κυκλικήσιδηροτροχιάακτίναςR=4,50m.

A.Ναυπολογίσετετηστροφορµήτουβαγονιούωςπροςτοκέντροτηςτροχιάς.

B. ΤοβαγονάκιµετακινείταισεοµόκεντρηκυκλικήτροχιάακτίναςR=6,00m,καιδιατηρείτην

ίδιαγραµµικήταχύτητα.Ναυπολογίσετετηνέαστροφορµήωςπροςτοκέντροτηςτροχιάς.

Γ. Τιγραµµικήταχύτηταθαέπρεπεναέχειτοβαγόνι,γιαναδιατηρήσειτηστροφορµήτουερω-

τήµατοςΑ;

3 Ένασφαιρίδιοµάζαςm=1,5kgκινείταισεοριζόντιακυκλικήδιαδροµήακτίναςR=30,0cmµε

συχνότητα215rpm.

A.Ναυπολογίσετετηστροφορµήτουσφαιριδίουωςπροςτοκέντροτηςτροχιάς.

Β. ΤοσφαιρίδιοµετακινείταισεοµόκεντρηκυκλικήτροχιάακτίναςR=2,70mκαιδιατηρείτην

ίδιαγωνιακήταχύτητα.Ναυπολογίσετετηνέαστροφορµήτουσφαιριδίου.

Γ. Τιγωνιακήταχύτηταθαέπρεπεναέχειτοσφαιρίδιο,γιαναδιατηρήσειτηστροφορµήτου

ερωτήµατοςΑ;

4 Μίασυµπαγής,οµογενήςσφαίραΑκαιέναςοµογενής,λεπτόςσφαιρικόςφλοιόςΒέχουνµάζα

0,75kgκαιακτίναR=0,50m.Ταδύοσώµαταπεριστρέφονταιµετην ίδιαγωνιακήταχύτητα

61,4rad/sωςπροςάξονες,πουδιέρχονταιαπότοκέντροτους.Ναυπολογίσετετοµέτροτης

στροφορµήςτωνδύοσωµάτωνωςπροςτονάξοναπεριστροφήςτους.

5 ΤοΗλιακόΣύστηµαέχεισυνολικήστροφορµή3,3x1045kgm2/s.Στηστροφορµήαυτήσυνεισφέ-

ρειηπεριφοράτωνπλανητώνγύρωαπότονΉλιοκαιηπεριστροφήτουΉλιουκαιτωνπλανητών

γύρωαπότονάξονάτους.

A. ΟΉλιοςσυµπληρώνειµίαπλήρηπεριστροφήγύρωαπότονεαυτότουσε24,6ηµέρες.Ναθε-

ωρήσετεότιοΉλιοςείναιοµογενήςστερεάσφαίραµεµάζα2x1030kgκαιακτίνα7x108m.

ΝαυπολογίσετετηστροφορµήτουΉλιουεξαιτίαςτηςπεριστροφήςγύρωαπότονάξονάτου,

καινατησυγκρίνετεµετηστροφορµήτουηλιακούσυστήµατος.

Β. Ο∆ίαςέχειµάζα2x1027kgκαισυµπληρώνειµίαπεριφοράγύρωαπότονΉλιοσε4300

ηµέρες.Ναθεωρήσετεότιο∆ίαςείναιυλικόσηµείοπουκινείταισεκυκλικήτροχιάµεκέντρο

τονΉλιοκαιακτίνα8x1011m.Ναυπολογίσετετηστροφορµήτου∆ίαλόγωτηςκυκλικήςτου

κίνησηςγύρωαπότονΉλιοκαινατησυγκρίνετεµετηστροφορµήτουηλιακούσυστήµατος.

(α) (β) (γ) (δ)


Γ. Από τααποτελέσµαταΑκαιΒµπορείτενασυµπεράνετε τισυνεισφέρειπερισσότεροστη

συνολικήστροφορµήτουΗλιακούσυστήµατος,ηµεταφορικήκίνησητωνπλανητώνήηπερι-

στροφικήκίνησητουήλιουκαιτωνπλανητών;

1.17. Ο Γενικευµένος ∆εύτερος Νόµος του Νεύτωνα για την Περιστροφική Κίνηση

Όπωςεξηγήσαµεσταπροηγούµενα,ηστροφορµήείναιαντίστοιχηµε

τοµέγεθοςτηςορµήςστηµεταφορικήκίνηση:

L ~p

Οµοίως,ησυνισταµένητωνεξωτερικώνροπώνείναιτοαντίστοιχοµέ-

γεθοςµετησυνισταµένητωνεξωτερικώνδυνάµεωνστηµεταφορική

κίνηση:

ΣΜεξωτ ~ΣF εξωτ

Στηµελέτητηςµεταφορικήςκίνησηςείχαµεδιατυπώσειτηνεξήςγε-

νικευµένηµορφήτου∆εύτερουΝόµουτουΝεύτωνα:

ΣF εξωτ = ∆p∆t

Χρησιµοποιώνταςτιςπιοπάνωαναλογίες,γράφουµετηγενικευµένη

έκφρασηγιατον∆εύτεροΝόµοτουΝεύτωναστηνπερίπτωσητηςΠε-

ριστροφικήςΚίνησης:

Γενικευµένος ∆εύτερος Νόµος του Νεύτωνα για την Περιστροφική Κίνηση

Ορυθµόςµεταβολήςτηςστροφορµήςενόςσώµατοςωςπροςκάποιοσηµείοτουχώρου,ισούταιµε

τησυνισταµένητωνεξωτερικώνροπώνστοσώµα,ως προς το ίδιο σηµείο:

ΣΜεξωτ = ∆L ∆t

Γιαένασύστηµα σωµάτων,οNόµοςπαίρνειτηµορφή:

ΣΜεξωτ = ∆Lσυστ

∆t = ∆(ΣLi)

∆t

Στοαριστερόµέλοςεµφανίζεταιτοάθροισµαεξωτερικώνροπώντουσυστήµατος.Στοδεξίµέλος

εµφανίζεταιησυνολικήστροφορµήτουσυστήµατος,Lσυστ =ΣLi.Γιαναπροσδιορίσουµετηστρο-


φορµήLσυστ,υπολογίζουµετιςστροφορµέςόλωντωνσωµάτωντουσυστήµατοςωςπροςτοίδιοση-

µείο,καιτιςπροσθέτουµεδιανυσµατικά.

Απότηνπιοπάνωγενικευµένηδιατύπωση,προκύπτειηεξήςθεµελι-

ώδης αρχή:

Αρχή της ∆ιατήρησης της Στροφορµής

Εάντοάθροισµατωνεξωτερικώνροπώνσεένασώµαήσύστηµαµηδενίζεταιωςπροςκάποιοσηµείο

τουχώρου,ησυνολικήστροφορµήτουσώµατοςήσυστήµατος,ωςπροςτοίδιοσηµείο,διατηρείται:

ΣΜεξωτ = 0 ΣLi= σταθερή

Ναπαρατηρήσετεότιηπροηγούµενησχέσηέχειγραφείωςισοδυναµία.Άρα,τοσυµπέρασµαισχύει

καιαντίστροφα:

Εάνησυνολικήστροφορµήενόςσώµατοςήσυστήµατοςσωµάτωνωςπροςκάποιοσηµείοτουχώ-

ρουδιατηρείται,τοάθροισµατωνεξωτερικώνροπώνστοσώµαήσύστηµα,ωςπροςτοίδιοσηµείο,

µηδενίζεται.


Σωµατίδιο που εκτελεί Ευθύγραµµη Οµαλή Κίνηση

ΤουλικόσηµείοΑτουπαρακάτωσχήµατοςκινείταιµεσταθερήταχύτηταυ κατάµήκοςευθύγραµµηςτροχιάς.Θα αποδείξουµε ότι η στροφορµή του υλικού σηµείου είναι σταθερή ως προς οποιοδήπο-

τε σηµείο Ο του χώρου.

ΕπιλέγουµεένααυθαίρετοσηµείοΟτουχώρου,τοοποίοαπέχεικατάdαπότηνευθείατηςτροχιάς

τουσώµατος.ΩςπροςτοΟ,ηστροφορµήτουσώµατοςέχεισυνεχώςσταθερόµέτρο ΙL Ι=md Ιυ Ι.Hδιεύθυνσητηςστροφορµήςείναικάθετηστοεπίπεδοxy,πουορίζεταιαπότοσηµείοΟκαιτην

ευθύγραµµητροχιά.Ηφοράτηςστροφορµήςείναιπροςτοναναγνώστη.

Ηδιατήρησητηςστροφορµήςείναισεσυµφωνίαµετονδεύτερονόµοτηςπεριστροφικήςκίνησης:


Επειδήτουλικόσηµείοκινείταιµεσταθερήταχύτητα,ησυνισταµένη δύναµηστοσηµείοείναισυνε-

χώςµηδενική.Ηροπήτηςσυνισταµένηςδύναµηςείναιεπίσηςµηδενική.


ΈνασηµείοήσώµαέχειστροφορµήωςπροςκάποιοσηµείοΟ,ακόµακιεάνκινείταισεευθύ-

γραµµητροχιά.ΗστροφορµήµηδενίζεταιεάνηευθείακίνησηςδιέρχεταιαπότοΟ.


Σωµατίδιο που εκτελεί Οµαλή Κυκλική Κίνηση

ΤουλικόσηµείοΑ τουδιπλανούσχήµατος κινείταιµε ταχύτητα

σταθερούµέτρουυ,κατάµήκοςκυκλικής τροχιάςακτίναςRµεκέντροτοΟ.Όπωςαποδείξαµεπροηγουµένως,ηστροφορµήτου

σωµατιδίουωςπροςτοΟέχεισταθερόµέτρο,ίσοµεΙL Ι=mR2ω.Ηκατεύθυνσητηςστροφορµήςείναιεπίσηςσταθερή(κάθετηστο

επίπεδοτηςσελίδας,µεφοράπροςτοναναγνώστη).

Ηδιατήρησητηςστροφορµήςείναισεσυµφωνίαµετον∆εύτερο

ΝόµοτηςΠεριστροφικήςΚίνησης:Επειδήτουλικόσηµείοεκτελεί

οµαλήκυκλικήκίνηση,ησυνισταµένη δύναµη(κεντροµόλος)εί-

ναιακτινική,µεφοράπροςτοΟκαιµέτρο ΙFK Ι=mω2R.Επειδήο

φορέαςτηςδύναµηςδιέρχεταιαπότοΟ,ηροπήτηςδύναµηςως

προςτοΟείναιµηδενική.


ΗστροφορµήτουσηµείουΑ δενδιατηρείταιωςπροςκανέναάλλοσηµείοτουεπιπέδου.Οµοί-

ως,ηροπήτηςFK δενµηδενίζεταισυνεχώςωςπροςκανέναάλλοσηµείοτουεπιπέδου.

1.18. Εφαρµογή του Γενικευµένου ∆εύτερου Νόµου για την Περιστροφική Κίνηση σε Προβλήµατα ∆ιατήρησης της Στροφορµής

∆ιατήρηση της Συνολικής Στροφορµής Συστήµατος Σωµάτων

Σεπροβλήµαταµεένασύστηµαδύο(ήπερισσοτέρων)σωµάτων,τοµέ-

γεθοςπουδιατηρείταιείναιησυνολική στροφορµή του συστήµατος:


ΣLi= σταθερή (ότανΣΜεξωτ = 0)

Ηστροφορµήκάθεσώµατος τουσυστήµατοςδενείναιανάγκηνα

διατηρείταιξεχωριστά.

Τα προβλήµατα αυτά είναι το περιστροφικό ανάλογο των κρού-

σεων,καιλύνονταιµετηνεξήςµεθοδολογία:

Στρατηγική Επίλυσης Προβληµάτων, στα οποία διατηρείται η Συνολική Στροφορµή Συστήµατος Σωµάτων

1. Ορίζουµετοσύστηµα σωµάτωνπουσυγκρούονται,καικαθορίζουµετιςδυνάµεις,πουείναιεξω-

τερικέςστοσύστηµα.

2. ΥπολογίζουµετιςροπέςτωνεξωτερικώνδυνάµεωνκατάµήκοςτουάξοναπεριστροφήςΟz,και

επιβεβαιώνουµεότιησυνολικήροπήµηδενίζεται:

ΣMεξωτ,z = 0

3. Υπολογίζουµετηναρχικήκαιτελικήστροφορµήτωνδιαφόρωνσωµάτωνκατάµήκοςτουάξονα

περιστροφής,απόταδεδοµένα.

4. Εξισώνουµετησυνολικήαρχικήκαιτελικήστροφορµήτουσυστήµατος:

ΣLαρχ,z = ΣLτελ,z (κατάµήκοςτουάξοναπεριστροφής)

5. Απότηνπιοπάνωισότητα,λύνουµεωςπροςτοάγνωστοµέγεθος.


Έναςάνθρωποςµάζας75,0kgστέκεταιακίνητοςστηνάκρηµίας

ακίνητης οριζόντιας πλατφόρµας µάζας 750,0 kg και ακτίνας

R = 2,0m. H πλατφόρµα µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τρι-

βές γύρω από τον σταθερό κατακόρυφο άξοναΟz, που διέρ-

χεταιαπό τοκέντρο τηςΟ.Σεκάποιαστιγµήοάνθρωποςαρχί-

ζειναπερπατάαριστερόστροφακαιεφαπτοµενικάστηνπεριφέ-

ρειατηςπλατφόρµας,µεταχύτηταµέτρουυΑ=1,2m/sωςπρος

το έδαφος.

Θα υπολογίσουµε τη φορά και το µέτρο της γωνιακής ταχύτη-

τας, µε την οποία αρχίζει να περιστρέφεται η πλατφόρµα.

1. Θαθεωρήσουµετοσύστηµαανθρώπου - πλατφόρµας.


2. Οιεξωτερικέςδυνάµειςστοσύστηµαείναιταβάρητουανθρώπουκαιτηςπλατφόρµας,BAκαιBΠ,

καιµίαδύναµηF στηνπλατφόρµααπότονακλόνητοάξοναπεριστροφήςτης (οιδυνάµειςδεν

περιλαµβάνονταιστοσχήµα).

ΕπειδήοιεξωτερικέςδυνάµειςBAκαιBΠ είναικατακόρυφες,οιροπέςτουςέχουνµηδενικέςσυ-

νιστώσεςκατάµήκοςτουάξοναΟz.ΗροπήτηςF κατάµήκοςτουάξοναΟzείναιεπίσηςµηδενική

(ηκατακόρυφησυνιστώσαείναιπαράλληληµετονάξονακαιηοριζόντιασυνιστώσαέχειµηδενικό

µοχλοβραχίοναωςπροςτοσηµείοΟ).Άρα,ησυνολικήστροφορµήτουσυστήµατοςπλατφόρ-

µας-ανθρώπουκατάµήκοςτουOzδιατηρείται:

ΣLαρχ, z = ΣLτελ, z

3. Επειδήοάνθρωποςκαιηπλατφόρµαείναιαρχικάακίνητοι,έχουνµηδενικήαρχικήστροφορµή

κατάµήκοςτουΟz:

LAαρχ, z = LΠΛαρχ, z =0 ΣLαρχ, z=0

Έστωότιοάνθρωποςαρχίζειναπερπατάαριστερόστροφακατάµήκοςτηςπεριφέρειας,µεγραµµική

ταχύτηταµέτρουυΑ ωςπροςτοέδαφος.Θεωρούµετονάνθρωποσανυλικόσηµείοσεκυκλικήκίνη-

ση.ΗστροφορµήτουανθρώπουκατάµήκοςτουOzέχειαλγεβρικήτιµή

LAτελ, z =+R(mΑυΑ)ηµ90ο =mΑRυΑ

Για ναδιατηρηθείησυνολικήστροφορµή τουσυστήµατοςανθρώπου-πλατφόρµας,ηπλατφόρµα

αρχίζειναπεριστρέφεταιδεξιόστροφα,µεαντίθετηστροφορµή:

LAτελ, z +LΠΛτελ, z=L

Aαρχ, z +L

ΠΛαρχ, z=0 L

ΠΛτελ, z=-L

Aτελ, z=-mΑRυΑ

Θεωρούµετηνπλατφόρµασανστερεόσώµα,πουπεριστρέφεταιωςπροςτονακλόνητοάξοναΟz

µεγωνιακήταχύτηταωΠΛ.ΗστροφορµήτηςπλατφόρµαςκατάµήκοςτουΟzισούταιµεLΠΛτελ, z=ΙωΠΛ.

Συνδυάζουµεµετηνπροηγούµενησχέση:

ΙωΠΛ =-mΑRυΑ ωΠΛ =-mΑRυΑ

Ι

Τοαρνητικόπρόσηµοσηµαίνειότιηπλατφόρµαπεριστρέφεταιδεξιόστροφα(αντίθετααπότονάν-

θρωπο).

ΗροπήαδράνειαςτηςπλατφόρµαςωςπροςτονάξοναΟzισούταιµεΙ =1

2mΠR 2.Άρα:

ΙωΠΛ =-mΑRυΑ ωΠΛ =-mΑRυΑ

1

2mΠR 2

=-2mΑ

mΠυΑ

R


Αριθµητική Αντικατάσταση

ωΠΛ =-275,0kg750,0kg

1,2m/s2,0m

=-0,12rads

Σηµείωση

Όταντοπαιδίαρχίζειναεκτελείοµαλήκυκλικήκίνηση,ασκείταισεαυτόµίαακτινική(κεντρο-

µόλος)δύναµητριβήςf sαπότηνπλατφόρµα.Ηπλατφόρµαδέχεταιαντίθετηδύναµητριβής

F1=-f sαπότοπαιδί(δράση-αντίδραση).ΕπειδήτοΚΜτηςπλατφόρµαςπαραµένειακίνητο,

ηπλατφόρµαδέχεταικαιµίαεξωτερικήοριζόντιαδύναµηF2=-F1 = f s από τονάξοναπε-

ριστροφής,µεµηδενικόµοχλοβραχίοναωςπροςτοσηµείοΟ.Επιπρόσθεταδέχεταικαιµια

κατακόρυφηδύναµηN απότονάξοναπεριστροφής.Ησυνολικήδύναµηστηνπλατφόρµααπό

τονάξοναπεριστροφής,F =F2+N,δενεπηρεάζειτησυνολικήστροφορµήκατάµήκοςτου

άξοναΟz.


Τοσχήµα (α)δείχνεισεκάτοψηµίαοριζόντιαπλατφόρµαµάζαςmΠΛ =300,0kgκαιακτίναςR =1,0m.

ΗπλατφόρµαµπορείναπεριστρέφεταιγύρωαπόένανακλόνητοκατακόρυφοάξοναΟz,πουδιέρ-

χεταιαπότοκέντροτηςΟκαιείναικάθετοςστοεπίπεδοτηςσελίδας.Οιτριβέςστηνπλατφόρµααπό

τονάξοναπεριστροφήςθεωρούνταιαµελητέες.

Αρχικά,ηπλατφόρµαείναιακίνητη.ΈναπαιδίΠµάζαςmΠ =50,0kg,πουβαδίζειµεσταθερήταχύτη-

ταµέτρουυ Π =4,0m/s,ανεβαίνειστηνπλατφόρµακαισταµατάναβαδίζει.Αµέσωςµετά,τοπαιδίκαι

ηπλατφόρµααρχίζουνναπεριστρέφονταιµεκοινήγωνιακήταχύτηταω (σχήµα (β)).

Θα υπολογίσουµε την άγνωστη γωνιακή ταχύτηταω.

1. Θαµελετήσουµετοσύστηµαπαιδιού - πλατφόρµας.

2. Οιεξωτερικέςδυνάµειςστοσύστηµαείναι(i)ταβάρητουπαιδιούκαιτηςπλατφόρµας,και(ii)η


δύναµηστηνπλατφόρµααπότονακλόνητοάξοναπεριστροφήςΟz.Όλεςοιεξωτερικέςδυνάµεις

έχουνµηδενική ροπήκατάµήκος τουOz.Άρα,ησυνολικήστροφορµή τουσυστήµατοςπαι-

διού-πλατφόρµαςκατάµήκοςτουOz διατηρείται:

LΠτελ, z +LΠΛτελ, z=L

Παρχ, z +L

ΠΛαρχ, z

3. Επειδήηπλατφόρµαείναιαρχικάακίνητη,έχειµηδενικήστροφορµή:LΠΛαρχ, z=0.Ηαρχικήστροφορ-

µήτουπαιδιού,ωςπροςτονOz,είναι:LΠαρχ, z=+mΠRυΠ.Ηφοράείναιπροςτοναναγνώστη.

Όταντοπαιδίανέβειστηνπλατφόρµα,αρχίζειναπεριστρέφεταιµαζίτηςµεγωνιακήταχύτηταω

καιγραµµικήταχύτηταµέτρουυΠ= ωR.ΗτελικήστροφορµήτουπαιδιούωςπροςτονOzείναιίση

µεLΠτελ, z =mΠR(ωR)=mΠR 2ω.

HτελικήστροφορµήτηςπλατφόρµαςείναιLΠΛτελ, z=Iω =

1

2mΠΛR 2ω.

4. Απότηδιατήρησητηςστροφορµής,προκύπτει:

LΠτελ, z +LΠΛτελ, z=L

Παρχ, z +L

ΠΛ αρχ, z mΠR 2ω +

1

2mΠΛR 2ω =mΠR υΠ ω =

mΠ

mΠ +(mΠΛ

2 )

υΠ

R

Αντικαθιστώνταςτιςτιµέςτωνµαζώνκαιτηςαρχικήςταχύτηταςτουπαιδιού,βρίσκουµε:

ωΠΛ =50,0kg

50,0kg+150,0kgx4,0m/s1,0m

=1,0rads

Σηµειώσεις

1. Καθώςτοπαιδίανεβαίνειστηνακίνητηπλατφόρµα,τηςασκεί

µίαοριζόντιαδύναµητριβήςµεεφαπτοµενικήσυνιστώσαF .

ΗπλατφόρµαπεριστρέφεταιεξαιτίαςτηςF .

2. Ηδύναµητριβήςπαιδιού/πλατφόρµαςέχειεπίσηςακτινική

συνιστώσα (συµβ.προηγούµενοπαράδειγµα).Ηεφαπτοµε-

νικήσυνιστώσαF δραστοµικρόχρονικόδιάστηµαµέχριτο

παιδίκαιηπλατφόρµανααποκτήσουνκοινήγωνιακήταχύτη-

ταω.

3. ΤοΚΜτηςπλατφόρµαςδενµετακινείται,επειδήδέχεταιµία

δύναµηαπότονάξοναπεριστροφήςµεοριζόντιασυνιστώσα


αντίθετητηςτριβήςαπότοπαιδίστηνπλατφόρµα.Ηδύναµηαπότονάξοναπεριστροφής

στηνπλατφόρµαέχειµηδενική ροπήκατά µήκος του άξοναΟz.

4. Ηοριζόντιασυνιστώσατηςδύναµηςαπότονάξοναπεριστροφήςείναιηµοναδικήεξωτερική

δύναµηστοσύστηµαπαιδιού-πλατφόρµας,κατάτηνοριζόντιαδιεύθυνση.Εξαιτίαςτηςδύ-

ναµηςαυτήςη συνολική ορµή παιδιού-πλατφόρµας δεν διατηρείται.

5. Ησυνολικήκινητικήενέργειατουσυστήµατοςπαιδιού-πλατφόρµαςεπίσηςδενδιατηρείται.

Προβλήµατα όπως αυτό λύνονται µόνο µε την Αρχή της ∆ιατήρησης της Συνολικής Στρο-

φορµής.


Στο τελευταίο παράδειγµα:

1.18.1. Γιατίδενδιατηρείταιηστροφορµήτηςπλατφόρµαςωςπρος

τοσηµείοΟ;Ποιάροπήπροσδίδειγωνιακήταχύτηταστην

πλατφόρµα;

1.18.2. Γιατίδενδιατηρείταιηστροφορµήτουπαιδιούωςπροςτο

Ο;Ποιάροπήµεταβάλλειτηστροφορµήτουπαιδιού;

1.18.3. Η συνισταµένη εξωτερική δύναµη του συστήµατος πλατ-

φόρµας-παιδιούµηδενίζεται,όταντοπαιδίανεβαίνειστην

πλατφόρµα;

1.18.4. Γιατί διατηρείται η συνολική στροφορµή του συστήµατος

πλατφόρµας-παιδιούκατάµήκοςτουάξοναΟz;


ΈναςµαθητήςδιερευνάτηνΑρχήτης∆ιατήρησηςτηςΣτροφορµήςµετηβοήθειαενόςδίσκουµάζας

m∆ =0,500kgκαιακτίναςR =0,20m.Oδίσκοςείναιοριζόντιοςκαιµπορείναπεριστρέφεταιγύρω

απόένανκατακόρυφοάξοναΟz,πουδιέρχεταιαπότοκέντροτου.Ηροπήαδράνειαςτουδίσκουως

προςτονΟzισούταιµεI =12m∆R 2.

Τηχρονικήστιγµήt =0,00sοµαθητήςθέτειτονδίσκοσεπεριστροφήµεγωνιακήταχύτηταω αρχ =

5,0rad/sκαικατόπιντοναφήνειελεύθερο.Ηγωνιακήταχύτητατουδίσκουαπεικονίζεταισανσυνάρ-

τησητουχρόνουστηνπιοκάτωγραφικήπαράσταση.

A. Μελετώντας το γράφηµα ω - t στο χρονικό διάστηµα 0,00 s - 0,75 s, να εξηγήσετε εάν ο δίσκος

υφίσταται τριβή από τον άξονα περιστροφής.


Επειδήηγωνιακήταχύτητατουδίσκουπαραµένεισταθερή,ητριβήαπότονάξοναπεριστροφής

είναιαµελητέα.

B. Τη χρονική στιγµή t = 0,75 s ο µαθητής τοποθετεί πάνω στον δίσκο έναν σάκο µάζας m Σ µε

άµµο. Ο σάκος αρχίζει να περιστρέφεται από ηρεµία, και τη χρονική στιγµή t = 1,50 s αποκτά

την ίδια τελική γωνιακή ταχύτητα ωτελ = 3,5 rad/s µε τον δίσκο. Στο διάστηµα 1,50 s - 2,50 s

ο δίσκος και ο σάκος περιστρέφονται µε σταθερή κοινή γωνιακή ταχύτητα ωτελ = 3,5 rad/s. Να

εξηγήσετε γιατί η στροφορµή του συστήµατος δίσκου - σάκου διατηρείται.

Οιεξωτερικέςδυνάµειςστοσύστηµαδίσκου-σάκουείναιταβάρητουςκαιµίαδύναµηαπότον

άξοναπεριστροφής.ΟιροπέςτωνδυνάµεωναυτώνµηδενίζονταικατάµήκοςτουάξοναΟz.Άρα,

ηολικήστροφορµήκατάµήκοςτουάξοναΟzδιατηρείται.

Γ. Να προσδιορίσετε την αρχική και τελική στροφορµή του δίσκου και του σάκου κατά µήκος του

άξονα Οz, και να υπολογίσετε τη µάζα του σάκου.

Ηαρχικήστροφορµήτουδίσκουκατά µήκος του άξονα Οzείναι

L∆αρχ, z=I∆ωαρχ =1

2m∆R 2ωαρχ

Hαρχικήταχύτητατουσάκου(αµέσωςπρινακουµπήσειστονδίσκο)είναιµηδενική.Άρα,ηαρχική

στροφορµήτουσάκουκατά µήκος του άξονα Οzείναιµηδενική:

LΣαρχ, z=mΣR υΣ =0

Στοδιάστηµα1,50s-2,50sοσάκοςκαιοδίσκοςκινούνταιµεκοινήγωνιακήταχύτηταωτελ.Η

στροφορµήτουδίσκουγίνεται:

L∆τελ, z=I∆ωτελ =1

2m∆R 2ωτελ

καιηστροφορµήτουσάκουγίνεται:

LΣτελ, z=mΣR υΣ =mΣR (ωτελR ) =mΣR 2ωτελ


Απότηδιατήρησητηςσυνολικήςστροφορµής,συµπεραίνουµε:

L∆αρχ, z+LΣαρχ, z=L

∆τελ, z+L

Στελ, z I∆ωαρχ +0=(I∆ +mΣR 2)ωτελ

Απότηντελευταίαεξίσωσηπροσδιορίζουµετηνάγνωστηµάζατουσάκου:

I∆ωαρχ =(I∆ +mΣR 2)ωτελ mΣ=I∆(ωαρχ -ωτελ)R 2ωτελ

Hροπήαδράνειαςτουδίσκουείναι:

I∆ =1

2m∆R 2 =

1

2(0,500kg)x(0,20m)2=0,010kgm2

Άρα,ηµάζατουσάκουείναι:

mΣ=I∆(ωαρχ -ωτελ)R 2ωτελ

=(0,010kgm2)x(1,5rad/s)

(0,20m)2x(3,5rad/s)=0,11kg

∆.Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του συστήµατος τις χρονικές στιγµές t = 0,50 s και

t = 2,50 s. Σε τι οφείλεται η µεταβολή της κινητικής ενέργειας;

Αρχικά,µόνοοδίσκοςέχειπεριστροφικήκινητικήενέργεια:

Eαρχκιν περ=

1

2I∆ω2

αρχ =1

2(0,010kgm2)x (5,00 rads )2=0,13J

Μετάτηνπρόσκρουση,ησυνολικήκινητικήενέργειαείναι:

Eτελκιν περ=

1

2(I∆ +mΣR 2)ω2

τελ =12(0,010kgm2+0,11x 0,202 kgm2)x (3,50 rads )2=0,088J

Άρα,ησυνολικήκινητικήενέργειαελαττώνεται.Ηµεταβολήοφείλεταιστηµετατροπήκινητικής

ενέργειαςσεεσωτερικήενέργειατουσυστήµατος,µέσωτριβώνµεταξύδίσκου/σάκου.

Προσοχή

Ηποσότητα(I∆ +mΣR 2) είναιη συνολική ροπή αδράνειας του συστήµατος δίσκου - σάκου.

Ησυνολικήροπήαδράνειαςτουσυστήµατοςείναισταθερήαµέσωςπρινκαιµετάτηντοπο-

θέτησητουσάκου.Ηγωνιακήταχύτητατουδίσκουελαττώνεταιόταντοποθετούµετονσάκο,

επειδήµέροςτηςστροφορµήςτουδίσκουµεταφέρεταιστονσάκο,µέσωτωνδυνάµεωντριβής

µεταξύτους.


Ε.Να προσδιορίσετε τις δυνάµεις από τον σάκο στον δίσκο στο διάστηµα 0,75 - 1,50 s. Να υπο-

λογίσετε τη µέση ροπή αυτών των δυνάµεων κατά µήκος τουΟz.

Ανάµεσαστονδίσκο(∆)καιτονσάκο(Σ)αναπτύσσονταιδυνάµειςτριβής.Οιδυνάµειςαυτέςεί-

ναιεσωτερικέςκαιδενεπηρεάζουντησυνολικήστροφορµήτουσυστήµατοςδίσκου-σάκου.Η

εφαπτοµενικήσυνιστώσατηςδύναµηςτριβήςf ∆ Σ ,απότονδίσκοστονσάκο,επιταχύνειτονσάκο

µέχρινααποκτήσειτηντελικήγωνιακήταχύτητα3,5rad/sτηστιγµήt=1,50s.Ηροπήκατάµήκος

τουάξοναOzτηςδύναµηςτριβήςf Σ ∆ ,απότονσάκοστονδίσκο,ελαττώνειτηγωνιακήταχύτητα

τουδίσκουαπότηντιµήωαρχ στηντιµήωτελ.

Στοδιάστηµα0,75s-1,50s,ηµέσησυνισταµένηροπήστοδίσκο,κατάµήκοςτουάξοναΟz,είναι:

(ΣM∆εξωτ, z )µ = ∆L∆z∆t =

L∆ τελ, z-L

∆αρχ, z

∆t = m∆R 2(ωτελ -ωαρχ)

2∆t =

(0,500kg)x (0,20m)2x (-1,5rad/s)

1,5s =-0,020Νm

ΣΤ.Στο χρονικό διάστηµα 1,50 - 2,50 s ο δίσκος και ο σάκος περιστρέφονται µε κοινή γωνιακή

ταχύτητα. Να εξηγήσετε τη µορφή του γραφήµατος ω - t σε αυτό το διάστηµα. Ποιά είναι η

συνολική ροπή στον δίσκο;

Ότανοσάκοςαποκτήσειτηγωνιακήταχύτητατουδίσκου,αρχίζειναεκτελείοµαλήκυκλικήκίνη-

ση.Ηδύναµητριβήςf ∆ Σ στονσάκογίνεταιακτινικήµεκατεύθυνσηπροςτοΟ,καιενεργείσαν

κεντροµόλος(όπωςστοπαράδειγµανοµίσµατοςσεπεριστρεφόµενηπλατφόρµα,πουµελετήσατε

πέρισυ).Ηδύναµητριβήςf Σ ∆ στονδίσκοείναιεπίσηςακτινική.Οιροπέςτωνδύοδυνάµεωνµη-

δενίζονταιωςπροςτοΟκαιδενµεταβάλλουντηγωνιακήταχύτητατουδίσκουκαιτουσάκου.





1Σύµφωναµετηγενικευµένη έκφρασητου∆εύτερουΝόµουγιατηνΠεριστροφικήΚίνηση,ηστροφορµήενόςσώµατοςήσυστήµατοςσωµάτωνδιατηρείταιεάν:

αΤοάθροισµατωνροπώντωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοσώµαήσύστηµαµηδενίζεται.

β Ησυνισταµένητωνεξωτερικώνδυνάµεωνστοσώµαήσύστηµαµηδενίζεται.


2Ότανένασηµείοεκτελείοµαλήκυκλικήκίνηση,ηροπήτηςκεντροµόλουδύναµηςείναιµηδενική:

α Ωςπροςτοκέντροτηςτροχιάς.

β Ωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουεπιπέδουτηςτροχιάς.

3Ότανένασηµείοεκτελείοµαλήκυκλικήκίνηση,ηστροφορµήτουδιατηρείται:

α Ωςπροςτοκέντροτηςτροχιάς.

β Ωςπροςοποιοδήποτεσηµείοτουεπιπέδουτηςτροχιάς.

Ασκήσεις

Προβλήµατα µε αστεράκι (*) απαιτούν σύνθεση εννοιών.

Εφαρµογή της ∆ιατήρησης της Στροφορµής σε Συστήµατα Σωµάτων

1 ΈναπαιδίµάζαςmΠ =35,0kgκάθεταιστηνπεριφέρειαµίαςοριζόντιαςπλατφόρµας,µεµάζα

mΠΛ =150,0kgκαιακτίναR =1,50m.Αρχικά,ηπλατφόρµακαιτοπαιδίείναιακίνητα.Σεκάποια

στιγµή,τοπαιδίπηδάέξωαπότηνπλατφόρµασεεφαπτοµενικήδιεύθυνση,µεταχύτηταµέτρου

3,00m/sωςπροςτοέδαφος.Ηπλατφόρµααρχίζειναπεριστρέφεταιχωρίςτριβές,ωςπρος

κατακόρυφοάξοναΟzπουδιέρχεταιαπότοκέντροτης.

A. Ναεξετάσετεεάνδιατηρείταιησυνολικήστροφορµήτουσυστήµατοςπλατφόρµας-παιδιού

κατάµήκοςτουάξοναΟz,καθώςτοπαιδίφεύγειαπότηνπλατφόρµα.

Β. Ναυπολογίσετετηγωνιακήταχύτηταπουαποκτάηπλατφόρµα,εφαρµόζονταςτηναρχή

τηςδιατήρησηςτηςστροφορμής.

Γ. Ναεξηγήσετεγιατίδενδιατηρείταιξεχωριστάηστροφορµήτηςπλατφόρµαςκαιτουπαιδιού

κατάµήκοςτουάξοναΟz.


∆. ΓιατίτοΚΜτηςπλατφόρµαςδενµετακινείται;∆ιατηρείταιησυνολικήορµήτουσυστήµατος

παιδιού-πλατφόρµας;

Ε. Ναυπολογίσετετηµεταβολήστηνκινητικήενέργειατουσυστήµατοςπαιδιού-πλατφόρµας.

ΣΤ. Τιθασυνέβαινε,εάντοπαιδίεγκατέλειπετηνπλατφόρµαµεταχύτητα3,00m/sκατάτην

ακτινικήδιεύθυνσηΟΠ;

Σηµείωση

Ναδώσετεόλεςτιςαπαντήσειςσαςµετονσωστόαριθµόσηµαντικώνψηφίων.Ηροπήαδράνει-

αςτηςπλατφόρµαςδίνεταιαπότησχέσηI =12mΠΛR 2.

2 Στοπροηγούµενοπαράδειγµα, τοπαιδίκαιηπλατφόρµαπεριστρέφονταιαρχικάµεγωνιακή

ταχύτηταω.ΤοπαιδίκινείταιµεεφαπτοµενικήταχύτηταυΠ =ωR ωςπροςτοέδαφος.Σεκάποια

στιγµή,τοπαιδίεγκαταλείπειτηνπλατφόρµασεεφαπτοµενικήδιεύθυνση,µετηνίδια ταχύτητα

ωR ωςπροςτοέδαφος.Πώςθαεπηρεασθείηγωνιακήταχύτητατηςπλατφόρµας;Γιατί;

3 ΟτροχόςενόςαγγειοπλάστηέχειµάζαmΤ =0,450kgκαιακτίναR =0,350mκαιπεριστρέφεται

χωρίς τριβέςµεσυχνότητα125rpmγύρωαπόένανκατακόρυφοάξοναOz,πουδιέρχεταιαπό

τοκέντροτου.

Σεκάποιαστιγµήαφήνουµεναακουµπήσειµεµηδενικήταχύτηταέναµικρόσφαιρίδιοπηλού

µάζαςmΣ =0,075kgσεένασηµείοτηςπεριφέρειαςτουτροχού.Τοσφαιρίδιοπροσκολλάται

στοντροχόκαικινείταιµαζίτου.

Α. Ναυπολογίσετεκαινασχεδιάσετε τηναρχικήγωνιακή

ταχύτητακαιστροφορµήτουτροχού.

Β. Ποιάείναιηαρχικήστροφορµήτουσφαιριδίουκατάµή-

κοςτουΟz,αµέσωςπρινακουµπήσειστοντροχό;

Γ. Nαεξετάσετεεάνδιατηρείταιησυνολικήστροφορµήτου

συστήµατοςτροχού-σφαιριδίουκατάµήκοςτουΟz.Να

αιτιολογήσετε τηναπάντησήσας,χρησιµοποιώντας τις

εξωτερικέςδυνάµεις τουσυστήµατος τροχού-σφαιρι-

δίου.


∆. Nαυπολογίσετετηντελικήγωνιακήταχύτηταπεριστροφήςτουσυστήµατοςτροχού/σφαιρι-

δίου.

Ε. Ναεξηγήσετεγιατίδενδιατηρείταιξεχωριστάηστροφορµήτουτροχούκαιηστροφορµή

τουσφαιριδίουκατάµήκοςτουάξοναΟz.

Σηµείωση

Ναδώσετεόλεςτιςαπαντήσειςσαςµετονσωστόαριθµόσηµαντικώνψηφίων.Ηροπήαδράνει-

αςτουτροχούδίνεταιαπότησχέσηI =12mΤR 2.

4 ΈναςακίνητοςκατακόρυφοςτροχόςποδηλάτουέχειµάζαmΤ =2,50kgκαιακτίναR =0,50m.

Οτροχόςαιωρείταιστοναέρακαιµπορείναπεριστρέφεταιχωρίςτριβέςγύρωαπόακλόνητο

οριζόντιοάξονα,πουδιέρχεταιαπότοκέντροτουΟ.

ΈναµικρόκοµµάτιπηλούµάζαςmΠ =65,0gπέφτεικαιπροσκολλάταιστοσηµείοΑτηςπεριφέ-

ρειαςτουτροχού,µεκατακόρυφηταχύτηταµέτρου10,0m/s.Ηπροσκόλλησηµπορείναθεω-

ρηθείστιγµιαία.Μετάτηνπροσκόλλησηοπηλόςκαιοτροχόςκινούνταιµαζί.

Α. Ποιαείναιηστροφορµήτουπηλούκαιτουτροχούγύρω

απότοκέντροτουτροχούΟ,αµέσωςπριντηνπροσκόλ-

ληση;

Β. Ναπροσδιορίσετετιςεξωτερικέςδυνάµειςστοσύστηµα

τροχού-πηλού.∆ιατηρείταιηστροφορµή κατά τηδιάρ-

κειατηςπροσκόλλησης;

Γ. Ποιαείναιηγωνιακήταχύτηταπεριστροφήςτουσυστή-

µατοςτροχού-πηλούαµέσωςµετάτηνπροσκόλλησητου

πηλούστοντροχό;

∆. Ησυνολικήορµήτουσυστήµατοςτροχού-πηλούδιατη-

ρείται;Ανόχι,γιατί;

Ε. Ησυνολικήκινητική ενέργεια τουσυστήµατος τροχού-

πηλούδιατηρείται;

Σηµείωση

Ναθεωρήσετεότιοτροχόςείναιοµογενής,καιότιόληηµάζατουείναισυγκεντρωµένηστην

περιφέρειάτου.

5 * Στοαριστερόσχήµα,έναςοµογενήςδίσκοςΑµεροπήαδράνειαςI =0,25kgm2περιστρέφεται

γύρωαπόένανκατακόρυφοάξοναOz,πουδιέρχεταιαπότοΚΜτου.


ΟάξοναςπεριστροφήςασκείτριβήστονδίσκοΑ,ηοποίαείναισυνεχώς σταθερή.Ηγωνιακή

ταχύτητατουδίσκουΑαπεικονίζεταισανσυνάρτησητουχρόνουστηγραφικήπαράσταση.

Α. Χρησιµοποιώνταςτηγραφικήπαράστασηστοχρονικόδιάστηµα0,0s-2,0s,ναυπολογίσετε

τηροπήτηςτριβήςαπότονάξοναπεριστροφήςστονδίσκοΑ.

Β. Τηχρονικήστιγµήt=2,0sτοποθετούµεστονδίσκοΑ ένανδεύτεροακίνητοδίσκοΒµετην

ίδιαροπήαδράνειαςI(δεξί σχήµα).ΟδίσκοςΒαρχίζειναπεριστρέφεται,καιτηχρονική

στιγµήt=2,2sαποκτάτηνίδιαγωνιακήταχύτηταµετονπρώτο.Οάξοναςπεριστροφήςδεν

ασκείτριβήστονδίσκοΒ.Ποιάεξωτερικήροπήπροσδίδειγωνιακήεπιτάχυνσηστονδίσκο

Β,στοδιάστηµα2,0s-2,2s;

Γ. Ποιες εξωτερικές ροπές προσδίδουν γωνιακή επιτάχυνση στον δίσκο Α, στο διάστηµα

2,0s-2,2s;

∆. ΝαυπολογίσετετηµέσηροπήστονδίσκοΑ,στοχρονικόδιάστηµα2,0s-2,2s.

Ε. Στοχρονικόδιάστηµα2,2s-4,2s,οιδύοδίσκοιγυρνούνµεκοινήγωνιακήταχύτητα.Να

εξηγήσετεγιατίτογράφηµαω-tέχειµικρότερηκλίσηστοδιάστηµα2,2s-4,2s,σεσύγκρι-σηµετοδιάστηµα0,0s-2,0s.

ΣΤ.ΠοιαροπήπροσδίδειγωνιακήεπιτάχυνσηστονδίσκοΒ,στοδιάστηµα2,2s-4,2s;

Ζ. ΠοιεςροπέςπροσδίδουνγωνιακήεπιτάχυνσηστονδίσκοΑ,στοδιάστηµα2,2s-4,2s;

Η. ΝαυπολογίσετετηµέσηροπήστονδίσκοΑ,στοδιάστηµα2,2s-4,2s.

Σύνθετα Προβλήµατα

6 * OµογενήςράβδοςΑΒµήκουςd=0,300mκαιµάζαςm P =0,450kgµπορείναπεριστρέφεται

κατακόρυφα,χωρίςτριβές,γύρωαπόσταθερόοριζόντιοάξοναπουπερνάαπότοάκροτηςΑ.

Ηράβδοςαφήνεταιελεύθερηαπόοριζόντιαθέση,όπωςφαίνεταιστοσχήµα.Ηροπήαδράνειας

τηςράβδουωςπροςτονάξοναπεριστροφήςείναιI =13m Pd 2.

A. Ναυπολογίσετετοµέτροτηςγωνιακήςταχύτηταςτηςράβδου,τηστιγµήπουφθάνειστην

κατακόρυφηθέση(σηµείο Γ).


Β. ΜίασφαίρααπόπλαστελίνηµάζαςmΣ =0,100kgισορ-

ροπείστοσηµείοΓ.Τηστιγµήπουηράβδοςπερνάαπό

τηνκατακόρυφηθέση,τοκάτωάκροτηςσυγκρούεταιµε

τησφαίρακαιστησυνέχειαταδύοσώµαταπεριστρέφο-

νταιµαζί.Ηκρούσηέχειαµελητέαδιάρκεια.

I. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστή-

µατος ράβδου-σφαίραςως προς τον άξονα πε-

ριστροφήςµετάτηνκρούση.Ναθεωρήσετεότιη

σφαίραείναισηµειακή.

II. Να προσδιορίσετε τις εξωτερικές δυνάµεις στο

σύστηµαράβδου-σφαίρας, κατά τηδιάρκεια της

σύγκρουσης.Ποιάείναιηροπήαυτώντωνδυνά-

µεωνωςπροςτονάξοναπεριστροφής;∆ιατηρεί-

ταιηστροφορµήωςπροςτονάξοναπεριστροφής;

III. Να υπολογίσετε το µέτρο της γωνιακής ταχύτη-

ταςτουσυστήµατοςράβδου-πλαστελίνηςαµέσως

µετάτηνκρούση.

7 * ΜίαµπάλαµάζαςmΣ =0,125kgπροσκρούειµεοριζόντιαταχύτηταµέτρουυ =6,0m/sστοάκρο

Αενόςκατακόρυφουξύλινουραβδιού,µάζαςm Ρ =0,750kgκαιµήκουςd =0,850m.Τοραβδί

µπορείναπεριστρέφεταιγύρωαπόένανακλόνητοοριζόντιοάξονα,πουδιέρχεταιαπότοάκρο

τουΟ.Μετάαπότηνπρόσκρουση,τοραβδίκαιηµπάλακινούνταισανένασώµα.

Α. Ναπροσδιορίσετετιςεξωτερικέςδυνάµειςστοσύστηµα

ραβδιού-µπάλας.Τιροπήασκούναυτέςοιδυνάµειςως

προςτοσηµείοΟ;

Β. Ναεξηγήσετεγιατίδενδιατηρείταιηορµήτουσυστήµα-

τοςραβδιού-µπάλας.

Γ. Ναεξηγήσετεγιατίδενδιατηρείταιηκινητικήενέργεια

τουσυστήµατοςραβδιού-µπάλας.

∆. Ναεξηγήσετεγιατίδιατηρείταιηστροφορµήτουσυστή-

µατοςραβδιού-µπάλαςως προς το σηµείοΟ.

Ε. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος

ραβδιού-µπάλαςαµέσωςµετάτηνπρόσκρουση.

ΣΤ. Μετά τηνπρόσκρουση, τοραβδίανυψώνεταιµέχριµία

µέγιστηγωνίαθ .Ναυπολογίσετετηντιµήαυτήςτηςγωνί-ας,χρησιµοποιώνταςτηναρχήτηςδιατήρησηςτηςµηχα-

νικήςενέργειαςτουσυστήµατοςραβδιού-µπάλας-Γης.


1.19. Εφαρµογή του Γενικευµένου ∆εύτερου Νόµου για την Περιστροφική Κίνηση σε Σώµατα µε Μεταβαλλόµενη Ροπή Αδράνειας

ΣτηνΕνότητα 1.16εξηγήσαµεότιότανένασώµαπεριστρέφεταιγύρω

απόένανακλόνητοάξοναήάξονασυµµετρίαςΟz,ηστροφορµήτου

σώµατοςκατάµήκοςτουάξοναισούταιµεLz=Iω.

Εφαρµόζονταςτηγενικευµένηέκφρασητου∆εύτερουΝόµουκατά

µήκοςτουOz,βρίσκουµε:

ΣΜεξωτ = ∆L ∆t ΣMεξωτ,z =

∆Lz ∆t =

∆(Iω)∆t

EάντοάθροισµατωνεξωτερικώνροπώνκατάµήκοςτουΟzµηδενί-

ζεται,τογινόµενοIω παραµένεισταθερό:

Εάντοσώµαδεν είναι στερεό,οιαποστάσειςµεταξύτωνσηµείων

τουµπορούνναµεταβάλλονται.Άρα,ηροπήαδράνειαςI τουσώµα-τοςδενείναιγενικάσταθερή,ωςπροςτονάξοναΟz.Σεαυτήτην

περίπτωση,ηγωνιακήταχύτηταπεριστροφήςτουσώµατοςµεταβάλ-

λεταιεπίσης,έτσιώστετο γινόµενοIω να παραµένει σταθερό.


ΜίαχορεύτριατουµπαλέτουστρέφεταιµεγωνιακήταχύτηταωγύρωαπόένανκατακόρυφοάξονασυµµετρίαςOz,πουδιέρχεταιαπότοΚΜτης.Εάν η χορεύτρια φέρει τα χέρια της σε συµµετρική

στάση στο στήθος της, πώς θα µεταβληθεί η γωνιακή της ταχύτητα και η περιστροφική κινητική

της ενέργεια;

ΣτηχορεύτριαασκούνταιτοβάροςτηςΒ καιµίασυνισταµένηκάθετηδύναµηN απότοέδαφος.Το

ΚΜτηςχορεύτριαςανήκειστονάξοναπεριστροφήςκαιπαραµένειακίνητο.Άρα,οιδυνάµειςΒ και

N είναιαντίθετες:

ΣF εξωτ = 0 N =-Β

ΜπορούµεναθεωρήσουµεότιοιΒ καιΝ αποτελούνζεύγοςδυνάµεων.Γιαναµηνανατρέπεταιη

χορεύτρια,πρέπειηροπή τουζεύγουςναµηδενίζεται,δηλαδήοιδυνάµειςΒ καιΝ ναείναισυγ-

γραµµικές.Άρα,τοσηµείοεφαρµογήςτηςσυνισταµένηςΝ βρίσκεταιακριβώςκάτωαπότοΚΜτης

χορεύτριας.

HστροφορµήτηςχορεύτριαςείναιL =Iω ,όπουI είναιηροπήαδράνειαςτηςχορεύτριαςωςπροςτονάξοναOz.Ηκατεύθυνσητηςστροφορµήςείναικατακόρυφη(παράλληληµετονάξονασυµµε-

τρίας).Επειδήηροπήτουζεύγουςείναιµηδενική,ηστροφορµήπαραµένεισταθερήκατάµέτροκαι

διεύθυνση.


Εάνηχορεύτριαφέρειταχέριατηςστοστήθοςτης,ηροπήαδράνειαςτηςωςπροςτονΟzελαττώ-

νεται.Άρα,ηγωνιακήταχύτηταπεριστροφήςπρέπεινααυξηθεί:

Iαρχ ωαρχ =Iτελ ωτελ ωτελ

ωαρχ =Iαρχ

Iτελ >1

Η περιστροφική κινητική ενέργεια της χορεύτριας θα αυξηθεί επίσης:

Eτελκιν περ

Eαρχκιν περ

=(1/2)Iτελ

(1/2)Iαρχ ω2

τελ

ω2αρχ

=Iτελ

Iαρχ( Iαρχ

Iτελ)2

=Iαρχ

Iτελ >1

Eρώτηση

Από πού προέρχεται η επιπρόσθετη Kινητική Eνέργεια της Xορεύτριας;

Καθώςηχορεύτριαπεριστρέφεται,ταχέριατηςέχουντηντάσηνααποµακρύνονταιαπότον

άξοναπεριστροφής.Οιµύεςτηςχορεύτριαςκαταβάλλουνέργογιανακινήσουνταχέριατης

προςτονάξοναπεριστροφής.Τοέργοαυτόοφείλεταισεχηµικήενέργεια,πουείναιαποθηκευ-

µένησταµόριατουσώµατοςτηςχορεύτριας:

Eτελχηµ+E

τελκιν περ =E

αρχχηµ +E

αρχ κιν περ E

τελκιν περ -E

αρχ κιν περ =E

αρχχηµ -E

τελχηµ ∆Εκιν περ =-∆Εχηµ


Έστωότιηαρχικήροπήαδράνειαςτηςχορεύτριαςείναι3,20kgm2καιητελικήροπήαδράνειαςείναι

0,60kgm2.Εάνηχορεύτριαπεριστρέφεταιαρχικάµεγωνιακήταχύτηταωαρχ =3,50rad/s,ότανµαζέ-

ψειταχέριατηςθαπεριστρέφεταιµεταχύτητα

ωτελ =(3,50rad/s)χ3,20kgm2

0,60kgm2 =18,7rad/s


Ηαρχικήκινητικήενέργειατηςχορεύτριαςείναι:

Eαρχκιν περ=

1

2Iαρχ ω2

αρχ = 12 (3,20kgm2)x(3,50rad/s)2=19,6J

Ητελικήκινητικήενέργειατηςχορεύτριαςείναι:

Eτελκιν περ=E

αρχκιν περ( Iαρχ

Iτελ ) = (19,6J)χ 3,20kgm2

0,60kgm2 =105J


Γωνιακή Tαχύτητα Περιστροφής ενός Λευκού Νάνου

ΗσηµερινήακτίνατουΉλιουισούταιµε700000kmκαιηπερίοδοςπεριστροφήςτουγύρωαπότον

άξονάτουείναι24ηµέρες.Σεπερίπου5δισεκατοµµύριαχρόνιααπόσήµερα,οΉλιοςθαεξαντλήσει

τααποθέµαταπουσυντηρούντιςπυρηνικέςαντιδράσειςστοεσωτερικότου,καιθαµετατραπείσε

λευκόνάνο.ΈναςτυπικόςλευκόςνάνοςµετηµάζατουΉλιουέχειακτίνα7000km.Θα υπολογίσου-

µε την περίοδο περιστροφής του Ήλιου γύρω από τον άξονά του, όταν µετατραπεί σε λευκό νάνο.

Θαπροσεγγίσουµε τονΉλιοσανµίαοµογενήσφαίρα,µεροπή

αδράνειαςI =25mR 2.

Eπειδήηακτίνα τουΉλιουθαελαττωθείκατά τηµετατροπή του

σελευκόνάνο,ηροπήαδράνειας τουθαελαττωθεί.Από τηδι-

ατήρησητηςστροφορµήςπροκύπτειότιηγωνιακήταχύτητατου

Ήλιουθααυξηθεί,έτσιώστετογινόµενοIω ναπαραµείνεισταθε-ρό.ΥποθέτονταςότιηµάζατουΉλιουπαραµένεισταθερήκατάτη

µετατροπή,βρίσκουµε:

Iαρχ ωαρχ =Iτελ ωτελ (25mR 2αρχ) 2π

Tαρχ =(25mR 2

τελ) 2πTτελ

Tτελ =Tαρχ R 2

τελ

R 2αρχ

=(24χ 86400s)χ( 7χ 103km

7χ 105km )2=

24χ 86400

104 s=200s

Άρα,οΉλιοςθασυµπληρώνειµίαπλήρηπεριστροφήσεπερίπου

3,5λεπτάτηςώρας.

ΟΣείριοςΑµετοαστέρι-συνοδότου,

τονλευκόνάνοΣείριοΒ(µικρήάσπρη

κουκίδα).Πηγή: NASA.






1Έναπεριστρεφόµενοσώµααλλάζεισχήµα,καιηροπήαδράνειαςτουελαττώνεταιωςπροςτονάξοναπεριστροφής.Ηγωνιακήταχύτητατουσώµατοςθααυξηθεί:

α Αναγκαστικά.

βΕάνηροπήεξωτερικώνδυνάµεωνστοσώµαείναιµηδενική,ωςπροςτονίδιοάξονα.

Ασκήσεις

1 Ότανέναςάνθρωποςπερπατά,φέρειπροςταεµπρός(ήπροςταπίσω)ταυτόχρονατοαριστερό

τουχέρικαιτοδεξίτουπόδι,ήτοδεξίτουχέρικαιτοαριστερότουπόδι.Ναεξηγήσετεγιατίµε

αυτότοντρόποδιατηρείταιηστροφορµήτουσώµατος.

Σηµείωση

Εάνηστροφορµήµεταβάλλεται,στοσώµαπρέπειναδραεξωτερικήροπήαπότοέδαφος.Άρα,

καιτοσώµαθαασκείεπιπρόσθετεςδυνάµειςστοέδαφος.Τοβάδισµαείναιπιοξεκούραστο

ότανδιατηρείταιηστροφορµή. (∆οκιµάστεναπερπατήσετεκινώνταςµαζίπροςταεµπρόςτο

αριστερόχέρικαιπόδι,ήτοδεξίχέρικαιπόδι.Τιπαρατηρείτε;)

2 Παρατηρήστεπώςπερπατάέναπεριστέριήµίαγάτα:Ταπουλιάσυνοδεύουντηνκίνησητωνπο-

διώντους(µπρος/πίσω)µεσυγχρονισµένηκίνησητουκεφαλιούτουςπροςτηνίδιακατεύθυνση

(µπρος/πίσω).Τατετράποδαζώακινούνµαζίπροςταεµπρός(ήπροςταπίσω)τοδεξίµπροστινό

πόδικαιτοπίσωαριστερόπόδι,ήτοαριστερόµπροστινόπόδικαιτοπίσωδεξίπόδι.Σετιεξυπη-

ρετείαυτό;

3 Γιαναπερπατήσουµεσεένανστενό,αιωρούµενοδιάδροµο(π.χ.σεµίαοριζόντια,αιωρούµενη

σανίδα),βολεύεινααπλώσουµεταχέριαµαςσεοριζόντιαστάση.Όταντοσώµαµαςτείνεινα

ανατραπεί,µπορούµεναδιατηρήσουµετηνισορροπίαµας,εάνκάνουµεδιορθωτικέςκινήσεις

µεταχέρια.Οµοίως,έναςσχοινοβάτηςπουκρατάέναµακρύκοντάρι,µπορείναδιατηρείκα-

λύτερατηνισορροπίατουµεδιορθωτικέςκινήσειςτουκονταριού.Σετιεξυπηρετούναυτέςοι

κινήσεις;

4 Ένασώµαεκτελείελεύθερηπτώσηκαιπεριστρέφεταιωςπροςάξονα,πουδιέρχεταιαπότοΚΜτου.


A.Ποιαείναιηροπήτουβάρουςτουωςπροςτονάξοναπεριστροφής;

B.Είναιδυνατόνναµεταβληθείηστροφορµήτουσώµατοςωςπροςτονάξοναπεριστροφής;

5 Μίαγάταπουαφήνεταιναπέσειελεύθεραµεταπόδιαπρος

ταεπάνω,στριφογυρίζειτοσώµατηςκαιπροσγειώνεταιµετα

πόδια.Γιατίείναιαναγκασµένηνακινήσειδιάφορατµήµατα

τουσώµατόςτηςσεδιαφορετικέςκατευθύνσεις;Γιαµίαεξή-

γηση,δείτετοvideo:

https://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk

6 Έναςαρσιβαρίσταςστέκεταισεµίαπεριστρεφόµενηπλατφόρµα.Οαθλητήςκρατάκολληµένα

στοσώµατουδύοβάρητων5,0kgκαιπεριστρέφεταιµεγωνιακήταχύτητα9,0rad/s.Ησυνολική

ροπήαδράνειαςτουαθλητήωςπροςτονάξοναπεριστροφήςείναι0,80kgm2.Σεκάποιαστιγµή,

οαθλητήςτεντώνειταχέριατουκαιησυνολικήροπήαδράνειαςτουγίνεται7,20kgm2.Ητριβή

απότονάξοναπεριστροφήςθεωρείταιαµελητέα.

Α.Ναεξηγήσετεγιατίδιατηρείταιηστροφορµήτουαθλητή.

B. Ναυπολογίσετετηνέαγωνιακήταχύτηταπεριστροφήςκαιτηµεταβολήστηνκινητικήενέρ-

γειατουαθλητή.

Γ. Νασυζητήσετετιςµετατροπέςενέργειαςστοσώµατουαθλητή.

7 Tαpulsarsείναιουράνιασώµατα,πουπροέρχονταιαπότην

έκρηξηκαισυρρίκνωσηαστέρων.

Ναυποθέσετεότιένααστέριµεαρχικήπερίοδοπεριστρο-

φής100µέρεςκαιαρχικήακτίνα105kmσυρρικνώνεταισε

pulsarακτίνας10km,διατηρώνταςτηναρχικήτουµάζα.Να

υπολογίσετετηνπερίοδοπεριστροφήςτουpulsar.Ναυποθέ-

σετεότιτοαρχικόαστέρικαιτοτελικόpulsarείναιοµογενείς

σφαίρες.

Eικόνα του νεφελώµατος Crab, που

προέρχεταιαπόµίαέκρηξηsupernova

το1054µ.Χ.ΤοCrabpulsarπουδηµι-

ουργήθηκεείναιηλευκήκουκίδαστο

εσωτερικόκαιπεριστρέφεταιµεπερί-

οδο33,5ms.


8 ΗσφαίρατουHobermannείναιµίαγεωµετρικήκατασκευή,ηοποίαµπορείνααυξοµειώνειτις

διαστάσειςτης.Eκτόςαπότηχρήσητουςσανπαιχνίδια,τέτοιεςκατασκευέςυπάρχουνσεδιά-

φοραµουσείαεπιστήµης.

ΗσφαίρατουδιπλανούσχήµατοςέχειακτίναR1=1,25mότανείναιανοικτή,καιR2=0,25m

ότανείναικλειστή.Έστωότιαρχίζουµεναπεριστρέφουµεµεγωνιακήταχύτηταω=4,7rad/sτηνανοικτήσφαίρα,γύρωαπόένανκατακόρυφοάξοναπουδιέρχεταιαπότοκέντροτης.Μεποια

γωνιακήταχύτηταθαπεριστρέφεταιησφαίρα,εάντηνκλείσουµεαπότομα;

Ναυποθέσετεότιηανοικτήσφαίρααντιστοιχείσεένανλεπτόσφαιρικόφλοιόκαιηκλειστήσφαί-

ραείναισυµπαγής.HροπήαδράνειαςενόςσφαιρικούφλοιούδίνεταιαπότησχέσηI =23mR 2

καιµίαςσυµπαγούςσφαίραςαπότησχέσηI =25mR 2.

ΓιαµίασχετικήαναπαράστασηδιατήρησηςτηςστροφορµήςµίαςσφαίραςHobermann,επισκε-

φθείτετηνιστοσελίδαhttps://www.youtube.com/watch?v=64t-dVtDwkQ.


Συσχέτιση Εννοιών των Ενοτήτων 1.11 - 1.19.

1.11. Κινητική Ενέργεια ΠεριστροφικήςΚίνησης

Eκιν=1

2Iω2

1.12. Ροπή Αδράνειας ως προς Άξονα

1.13. 2ος Νόµος

αγ = 1Ι ΣΜεξωτ, z

1.14. Εξισώσεις της Οµαλά Επιταχυνόµενης Περιστροφικής Κίνησης

1.15. ∆ιατήρηση της Μηχανικής Ενέργειας

1.16. Στροφορµή Υλικού Σηµείου ως προς Σηµείο

1.16. Στροφορµή Στερεού Σώµατος κατά µήκος Ακλόνητου Άξονα Περιστροφής

Lz=Iω

1.17. Γενικευµένος ∆εύτερος Νόµος

∆L ∆t =ΣΜεξωτ

1.17. ∆ιατήρηση της Στροφορµής

ΣΜεξωτ = 0 ΣL= σταθερή

1.18. ∆ιατήρηση της Συνολικής Στροφορµής Συστήµατος Σωµάτων

1.19. Σώµατα µε Μεταβαλλόµενη Ροπή Αδράνειας


Απαντήσεις Ελέγχου Κατανόησης Εννοιών

1.11.1. Τετραπλασιάζεται.

1.11.2. Όχι,γιατίηπεριστροφικήκινητικήενέργειαεξαρτάταικαιαπότηροπήαδράνειας.

1.12.1. Α.Οδίσκος(β),επειδήηµάζατωνσταθµώνείναικατανεµηµένηστηνπεριφέρεια(σεµεγαλύτερη

απόστασηαπότονάξοναπεριστροφής).

Β. Ο(β),επειδήέχειµεγαλύτερηροπήαδράνειας.

Γ.Tον(α),επειδήέχειµικρότερηροπήαδράνειας.

1.12.2. Α.Ο(β),επειδήηµάζατουαπέχειπερισσότεροαπότονάξοναπεριστροφής.

Β.Ο(β),επειδήέχειµεγαλύτερηροπήαδράνειας.

Γ.Τον(α)επειδήέχειµικρότερηροπήαδράνειας.

1.12.3. Τοπεριεχόµενοτωνωµώναυγώνείναιυγρόκαιµπορείναµετακινείταικαθώςπεριστρέφονται.

Αντίθετα,τοπεριεχόµενοτωνβρασµένωναυγώνείναιστερεόκαιδενµετακινείται.Εάνπεριστρέ-

ψετε έναβρασµένοκαι έναωµόαυγό,θαδιαπιστώσετεότι τοβρασµένοαυγόπεριστρέφεται

γρηγορότερα.Αυτόοφείλεταιστοότιτοστερεόπεριεχόµενότουέχειµικρότερηροπήαδράνειας.

(Σηµ:Στηδιαφορετικήγωνιακήταχύτητασυνεισφέρουνκιάλλοιπαράγοντες,όπωςησχετικήκίνη-

σητουρευστούεσωτερικούωςπροςτοκέλυφοςστοωµόαυγό,καιδιαφορέςστιςροπέςβάρους

τωναυγών).1

1.12.4. Οκούφιοςκύλινδρος,επειδήηπερισσότερηµάζα τουκατανέµεταιστηνπεριφέρεια.Στονσυ-

µπαγήκύλινδρο,έναµεγαλύτεροποσοστότηςµάζαςκατανέµεταιστοεσωτερικό,σεµικρότερη

απόστασηαπότονάξοναπεριστροφής.Επειδήοσυµπαγήςκύλινδροςέχειµικρότερηροπήαδρά-

νειας,τίθεταιευκολότερασεπεριστροφή.

1.12.5. Τοµεταλλικόφύλλοέχειµεγαλύτερηµάζααπότοξύλινοφύλλοίδιωνδιαστάσεων.Εάντοποθετή-

σουµετονάξονααπότηµεριάτουµετάλλου(σχήµα (β)),ηπόρταέχειµικρότερηροπήαδράνειας

ωςπροςτονάξοναπεριστροφής.

1.13.1. Α.Λάθος(υπάρχεικεντροµόλος).

Β.Σωστό(ηροπήτηςκεντροµόλουωςπροςτοκέντροτηςκυκλικήςτροχιάςείναιίσηµεµηδέν).

1ΕυχαριστούµετονΦυσικόκ.ΓιώργοΤσικαλάγιαχρήσιµεςεπισηµάνσειςσεαυτήτηνερώτηση.


1.13.2. Α.Τονσυµπαγή,επειδήέχειµικρότερηροπήαδράνειας(ηµάζατουείναισυγκεντρωµένησεµε-

γαλύτερηαπόστασηαπότονάξοναπεριστροφής,σεσχέσηµετονκούφιο).

Β.Τονσυµπαγή,γιατονίδιολόγο.

1.13.3. Ηβάσηστήριξηςείναιτασηµείαεπαφήςσφυριού-χεριού.Όταντοσφυρίανατρέπεται,περιστρέ-

φεταιωςπροςοριζόντιοάξονα,πουδιέρχεταιαπότηβάσηστήριξης.

Σεκατακόρυφηστάσητοσφυρίισορροπεί,επειδήτοΚΜτουείναιπάνωαπότηβάσηστήριξης.

Εάντοσφυρίγείρεικατάγωνίαθ,τοΚΜµετακινείταιπέρααπότηβάσηστήριξης.Γιαναεπανα-φέρουµετοσφυρίσεισορροπία,πρέπειναµετακινήσουµετηβάσηστήριξηςκάτωαπότοΚΜτου

σφυριού.

Τοσφυρίανατρέπεταισεµικρότερηγωνίαθ στοσχήµα (α),επειδήτοΚΜτουβρίσκεταιψηλότερα

(συµβ.τηνΕνότητα 1.10καιτηνερώτηση 1.10.3).Ταυτόχροναόµως,τοσφυρίέχειµεγαλύτερηροπή

αδράνειαςωςπροςτονάξοναπεριστροφήςστοσχήµα (α).Άρα,τοσφυρίαποκτάµικρότερηγωνι-

ακήταχύτηταστοσχήµα (α),καιπρολαβαίνουµεευκολότερανατοεπαναφέρουµεσεισορροπία.

1.16.1. Α.∆ιπλασιάζεται,Β.∆ιπλασιάζεται,Γ.∆ιπλασιάζεται,∆.Τετραπλασιάζεται.

1.16.2. Α.Σωστό.Β.Λάθος:Ηστροφορµήείναιανάλογηµετηροπήαδράνειας.

1.16.3. Όχιαναγκαστικά:Εάνοικύλινδροιπεριστρέφονταιωςπροςδιαφορετικούςάξονες,έχουνδιαφο-

ρετικήροπήαδράνειας.

1.18.1. ΣτηνπλατφόρµαασκείταιµίαοριζόντιαδύναµητριβήςµεεφαπτοµενικήσυνιστώσαF απότοπαι-

δί.Ηστροφορµήτηςπλατφόρµαςµεταβάλλεται,επειδήηF έχειµηµηδενικήροπήωςπροςτον

άξοναπεριστροφής.

1.18.2. ΣτοπαιδίασκείταιµίαοριζόντιαδύναµητριβήςµεεφαπτοµενικήσυνιστώσαF'απότηνπλατφόρµα

(ζεύγοςδράσης-αντίδρασηςµετηνF ).ΗστροφορµήτουπαιδιούδενδιατηρείταιεπειδήηF'έχει

µηµηδενικήροπήωςπροςτονάξοναπεριστροφής.

1.18.3. Ησυνισταµένη εξωτερική δύναµηστοσύστηµα πλατφόρµας-παιδιούείναιοριζόντια,καιασκείται

στηνπλατφόρµααπότονάξοναπεριστροφής(βλ.σηµείωσηστοπαράδειγµα1).Εξαιτίαςαυτής

τηςδύναµης,ησυνολικήορµήτουσυστήµατοςπλατφόρµας-παιδιούδενδιατηρείται.

1.18.4. Ησυνισταµένηεξωτερικήδύναµηέχειµηδενικήροπήωςπροςτονάξοναπεριστροφής(µηδενικός

µοχλοβραχίονας).Γιαυτό,ησυνολικήστροφορµήτουσυστήµατοςπλατφόρµας-παιδιούκατάµή-

κοςτουάξοναπεριστροφήςδιατηρείται.

Συγγραφή - labrat...Τον 6ο αιώνα π.Χ. οι αρχαίοι Έλληνες...

Documents

Transcript of Συγγραφή - labrat...Τον 6ο αιώνα π.Χ. οι αρχαίοι Έλληνες...