© L. Plümer 1 VRS Liniennetzplan der Bonner Innenstadt.
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1© L. Plümer
VRS Liniennetzplan der Bonner Innenstadt
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2© L. Plümer
Kartogramm des Liniennetzplanes
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3© L. Plümer
Graphen
Knoten
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4© L. Plümer
Graphen
Knoten
Kanten
2
24
1
3
2
3
2
3
1
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5© L. Plümer
Graphen
Knoten
Kanten
Pfad
B
A 2
24
1
3
2
3
2
3
1
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6© L. Plümer
Graphen
Knoten
Kanten
Pfad
kürzester Pfad
B
A 2
24
1
3
2
3
2
3
1
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7© L. Plümer
Graphen
Gerichteter Graph
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8© L. Plümer
Graphen
Nicht zusammenhängend
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9© L. Plümer
Graphen
ZusammenhängendTrennende Kante (Isthmus)
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10© L. Plümer
Graphen
Trennender Knoten
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11© L. Plümer
Isomorphe Graphen
J
M
L
K
J
M
L
K J
M
L
K
A
B
CD
AB
C
DA
B
CD
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12© L. Plümer
Vereinfachung von Netzwerken
Beispiel: Eisenbahnnetz
a) Karte mit geographischen Koordinaten
b) Generalisieren von Verbindungen
c) Entfernung des Kontextes
d) Entzerren von Verbindungen
a) b)c) d)
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13© L. Plümer
Definitionen I
• Ein ungerichteter Graph G(V,E) ist eine Menge V von Knoten zusammen mit einer Menge E von Kanten. Eine Kante ist eine Menge (ungeordnetes Paar) von je 2 Knoten.
e = {x,y} x Vy V
• Wenn e = {x,y} dann sind x und e bzw. y und e inzident.
• Zwei Kanten {x,y} und {y,z} sind adjazent.• Ein Pfad ({a1,a2},{a2,a3},{a3,a4}, ... ,{an-1,an}) von a1
nach an ist ein Folge von adjazenten Kanten.
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14© L. Plümer
Definitionen II
• Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn man zu jedem Paar von Knoten einen Pfad findet; sonst nicht zusammenhängend.
• Ein Pfad von a nach a heißt Zyklus.• Ein Graph heißt zyklenfrei, wenn er keine Zyklen
besitzt. Beispiel: Baum (zyklenfrei + zusammenhängend)
• Grad eines Knotens: Zahl der inzidenten KantenBeispiel: In Landkarten haben Knoten mindestens den Grad 2.
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15© L. Plümer
Definitionen III
• Trennende Kante e eines zusammenhängenden Graphen G: Entfernung von e würde G nicht zusammenhängend machen. Beispiel: Sylt + Hindenburg-Damm
• Trennender Knoten v eines zusammenhängenden Graphen G: Entfernung von v würde G nicht zusammenhängend machen.Beispiel: Attentat auf das World Trade Center in New York
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16© L. Plümer
Definitionen IV
• Gerichtete Graphen unterscheiden sich von ungerichteten dadurch, daß die Kanten nicht Mengen (ungerichtet) sondern Paare (gerichtet) sind.
C
BA
zusammenhängend
C
BA
zusammenhängend
C
BA
nicht zusammenhängendkein Pfad von A nach B
A nach CC nach B
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17© L. Plümer
Definitionen V
• Isomorphie zweier GraphenG = (V,E)G‘= (V‘,E‘)G G‘ gilt, wenn V V‘ es existieren bijektive
E E‘ (eineindeutige) Abbildungen
• Ebener Graph: • Jeder Knoten hat Koordinaten • Die (geraden) Kanten sind paarweise kreuzungsfrei
kein ebener Graph ebener Graph
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18© L. Plümer
Anwendungsbeispiel
• Routenplanung für Autofahrer (Taxifahrer) in der Kölner Innenstadt und Umland auf Basis von Graphen• Ziel: UML-Diagramm• Frage: Reichen die heute diskutierten Begriffe für diesen
Zweck aus?Was fehlt?
• Szenario: Sylvester/Karneval, Kunde von Kneipe x in Krankenhaus y fahren.