ЯНКА ВЕЛИКОВА...

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯ

ЯНКА ВЕЛИКОВА НИКОЛОВА

ИНТЕГРАЛНО-ТРАНСФОРМАЦИОННИ МЕТОДИ ЗА

РЕШАВАНЕ НА НЯКОИ КЛАСОВЕ

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ДРОБЕН РЕД

АВТОРЕФЕРАТ

на дисертация

за получаване на образователната и научна степен

„Доктор“

по научната специалност

01.01.04 „Математически анализ“

Научен ръководител: проф.д.м.н. Любомир Бояджиев

Научен консултант: доц.д-р Йорданка Панева-Коновска

София, 2011

2

Дисертационният труд съдържа 113 страници, увод, четири

глави, заключение и апробация. Цитирани са 100 литературни

източника.

Дисертационният труд е обсъден и насочен за защита от

катедра „Математически анализ и числени методи”, Факултет по

приложна математика и информатика, Технически университет-

София на заседание на разширен съвет, проведен на 05.07.2011 г.

Дисертантът е главен асистент в катедра „Математически

анализ и числени методи”, Факултет по приложна математика и

информатика, Технически университет-София.

Защитата на дисертационния труд ще се състои на заседание

на научното жури, което ще се проведе на 31.10.2011 от 16 часа в

зала 2200, блок 2 на Техническия университет - София, бул. „Св.

Климент Охридски" № 8

Материалите по защитата са на разположение на

интересуващите се в канцеларията на ФПМИ.

Настоящият дисертационен труд е частично спонсориран от

Фонд „Научни изследвания” – Министерство на образованието,

младежта и науката, като част от работната програма по Проект

Д ИД 02/25/ 2009 на тема „Интегрално-трансформационни методи,

специални функции и приложения”.

Автор: Янка Великова Николова

Заглавие: Интегрално-трансформационни методи за решаване на

някои класове диференциални уравнения от дробен ред

Author: Yanka Velikova Nikolova

Title: Integral transform methods for solving some classes of fractional

order differential equations (Ph.D. Thesis)

Печатна база: ИПК на ТУ-София

3

КРАТКО ОПИСАНИЕ НА ДРОБНОТО СМЯТАНЕ

До втората половина на двадесети век дробното смятане се

развива толкова интензивно и придобива такова значение, че през

1974 г. в Ню Хейвън, САЩ, се провежда първата конференция,

посветена изцяло на теорията и приложенията на дробното смятане.

В същата година е публикувана и първата книга по дробно смятане,

в съавторство на химика Олдхам и математика Спенер [74]. През

следващите години се появяват и много други книги, посветени на

дробното смятане. Сред най-популярните са тези на: Милър и Рос

[64], Самко, Килбас и Маричев [84], Кирякова [45], Подлубни [80],

както и тази на Килбас, Сривастава и Трухильо [41]. Понастоящем,

броят на монографиите и томовете с избрани трудове в областта

вече надхвърля 70. Създадени са редица числени алгоритми и

патентовани инженерни устройства, моделиращи процеси описвани

с дробни интегрирания и диференцирания, например в теория на

управлението, автомобилостроенето, медицинската физика,

биоинженерството и т.н.

След първата конференция по дробно смятане, втора такава се е

състояла в Шотландия, близо до Глазгоу през 1984 г, трета – в

Япония, Токио, 1988 г, и т.н. Сега всяка година се провеждат почти

паралелно, в различни страни, по няколко конференции свързани с

теорията или приложенията на дробното смятане и динамични

системи и явления от дробен ред. Между тези с по-приложен аспект

ще споменем поредицата международни конференции „Fractional

Differentiation and its Applications“, организирани от IFAC

(International Federation of Automatic Control), Бордо (Франция) 2004

г. (с над 100 изнесени доклада), Порто (Португалия) 2006г., Анкара

(Турция) 2008 г. (с над 400 участници от всички континенти),

Бадахос (Испания) 2010 г, предстоящите такива в САЩ през 2011 г.

и в Китай през 2012 г, и т.н. Друга група конференции са тези по

математически анализ и диференциални уравнения в страни като

Полша, Сърбия, Русия, Беларус, Испания и др, включващи в

тематиката си редовно теоретични аспекти на дробното смятане.

България е една от страните с традиции в това отношение, с

поредицата от 6 международни конференции “Transform Methods

and Special Functions”, чието основно направление е дробното

смятане (1994 г, 1996 г, 1999 г, 2003 г, 2010 г, 2011 г.).

Големият брой научни резултати и открити проблеми

предизвика появата на тясно специализирани математически

списания, само в областта на дробното смятане и приложенията му.

4

Измежду съществувашите доскоро две такива списания, и появилите

се от тази година още две други такива, водещо място в

международната периодика заема основаното през 1998 г. и

издавано до 2010 г. в България списание „Fractional Calculus &

Applied Analysis“, чийто 14 том е вече сред списанията на

Шпрингер, в листа на списанията на “Scopus” и с над 100 000

резултата при търсене в Гугъл.

Започнала развитието си от един въпрос на Лопитал до Лайбниц

и уравнението на Абел, теорията на дробното диференциране и

интегриране има вече богата история. Макар тази теория да е стара

колкото самото диференциално и интегрално смятане, тя преживява

истински ренесанс и през последния половин век е една от най-

интензивно развиващите се области на приложния анализ. Така

например, до 2010 г. тази тематика намираше позиция в

класификацията на математическите дисциплини основно като

26А33 (Fractional derivatives and integrals), но предвид интензивното

й развитие, в MSC2010 (Mathematics Subject Classification 2010) са й

отделени редица нови позиции, като: 33E12 (Mittag-Leffler functions

and generalizations); 34A08 (Fractional ordinary differential equations);

34К37 (Functional-differential equations with fractional derivatives);

35R11 (Fractional partial differential equations); 60G22 (Fractional

stochastic processes, incl. Fractional Brownian motion); освен тези за

интегралните трансформации (вкл. от дробен ред) и специалните

функции, свързани с проблематиката.

Причината за растящия интерес се корени в обстоятелството, че

методите на дробното смятане се оказаха изключително ефикасни

при моделирането и решаването на задачи, свързани с механичните

свойства на материалите с памет, разпространението на топлината,

електромагнитната теория, квантовата механика, теорията на

електрическите вериги, теорията на управлението, комуника-

ционните системи, разпространението на вълни, оптиката, физиката,

химията, икономиката, биоинженерството и медицината, симула-

цията на различни социални явления.

ОБЩА ХАРАКТЕТИСТИКА НА ДИСЕРТАЦИОННИЯ ТРУД

Актуалност на проблема

Настоящият дисертационен труд е посветен на някои методи за

решаване на класове диференциални уравнения от дробен ред и на

вече съществуващи резултати. Авторският интерес към подобна

задача е мотивиран от важността на дробните диференциални

уравнения и широкия спектър от приложенията им. Стремежът ни е

5

бил да предложим някои нови резултати, както и обобщения и / или

примери на съществуващи такива, с цел дисертационият труд да

дава сравнително завършена представа за изследваната област.

Повечето известни методи за решаване на дробни диферен-

циални уравнения, като методът за свеждане до съответни интег-

рални уравнения на Волтера, композиционният метод, както и

операционните методи, основани на прилагането на класическите

интегрални трансформации на Лаплас, Мелин и Фурие, се прилагат

основно към линейни дробни диференциални уравнения с постоянни

коефициенти.

В същото време, задачата за решаването на дробни диферен-

циални уравнения с непостоянни коефициенти е още недостатъчно

изследвана. В този дисертационен труд предлагаме някои методи

главно чрез интегрални трансформации за решаване на такива

задачи.

В дисертацията е отделено специално внимание на

обобщения на класическите интегрални трансформации на Фурие,

Мелин и Лаплас, и са изучени основните им свойства.

Интегралният метод, основан на прилагането на

трансформацията на Лаплас и обобщената трансформация на Мелин

е използван за решаването на обикновени диференциални уравнения

от дробен ред с непостоянни коефициенти, свързани с имената на

Бесел и Ноненмахер. Тези резултати са допълнени и от прилагането

на обобщения метод на Фробениус за решаване на дробно

обобщение на уравнението на Уитъкер.

Полезността на въведената обобщена интегрална трансфор-

мация на Лаплас е показана с прилагането и за решаване на някои

частни диференциални уравнения от дробен ред, като така

наречените уравнения на Жиона и дробно вълново уравнение.

Поради важността на дробното уравнение на топлопро-

водимостта в дисертационния труд е отделено специално внимание

на решаването на негово обобщение чрез въведената обобщена

дробна производна на Риман-Лиувил. За целта е приложен

интегрален метод, основан на дробно обобщение на трансфор-

мацията на Фурие.

Цели и задачи на дисертацията

Обобщения на класическите интегрални трансформации на

Фурие, Мелин и Лаплас, и изучаване на основните им свойства.

Решаване на обикновени диференциални уравнения от дробен

ред с непостоянни коефициенти

Решаване на частни диференциални уравнения от дробен ред

6

Методи на изследване

За решаване на поставените задачи са използвани въведените

обобщения на интегралните трансформации на Лаплас, Мелин,

Фурие и изучените техни свойства. Изследванията са допълнени и с

обобщен метод на Фробениус и приложения на обобщената дробна

производна на Риман-Лиувил.

Научни приноси

1. Въведени и изследвани са обобщения на класическите

интегрални трансформации на Фурие, Мелин и Лаплас, и са

изучени техни свойства (Глава II).

2. Решаване на обикновени диференциални уравнения от дробен

ред с непостоянни коефициенти, свързани с имената на Бесел

и Ноненмахер (Глава III).

3. Прилагането на обобщен метод на Фробениус за решаване на

дробното обобщение на уравнението на Уитъкер (Глава III).

4. Решения на някои частни диференциални уравнения от дробен

ред. Разгледана е задачата на Коши за обобщеното дробно

уравнение на топлопроводността чрез обобщената дробна

производна на Риман-Лиувил (Глава IV).

Апробация

Изследванията, свързани с резултатите в дисертационния труд

са проведени в рамките на научно-изследователския проект Д-ИД

02/25/2009: „Интегрално Трансформационни Методи, Специални

Функции и Приложения“ на Фонд „Научни изследвания” - МОМН.

Основните резултати на настоящия дисертационен труд са

докладвани и обсъждани на семинари, отчетни сесии и

конференции, както следва:

35 International Conference Applications of Mathematics in

Engineering and Economics, Созопол, 7-12 юни, 2009 г.

Доклад на научния семинар по Математически анализ,

моделиране и информационни технологии към катедра

Математически анализ и числени методи, ТУ - София,

8.10.2009 г.

Годишна отчетна конференция на секция „Комплексен

анализ”, Институт по математика и информатика при БАН,

София, 8.12.2009 г.

7



Доклад на научния семинар по Математически анализ,

моделиране и информационни технологии към катедра

Математически анализ и числени методи, ТУ - София, юни

2010 г.

International Symposium “Geometric Function Theory and

Applications’ 2010”, София, 27 – 31 август, 2010.

Годишна отчетна конференция на секция „Комплексен

анализ”, Институт по математика и информатика при БАН,

София, 7.12.2010 г.



Публикации

Основните резултати на дисертационния труд са публикувани

в статиите [69], [70], [71], [72].

Обем и структура на дисертацията

Дисертационният труд се състои от увод, четири глави с

основните резултати, заключение, апробация, списък на публика-

циите по дисертацията и използвана литература, съдържаща 100

заглавия. Общият обем на дисертацията е 113 страници.

СЪДЪРЖАНИЕ НА ДИСЕРТАЦИОННИЯ ТРУД

В Увода е направен кратък преглед на развитието на теорията

на дробното смятане. Дадени са използваните основни означения,

помощни дефиниции и твърдения. Направен е обзор на основните

резултати по глави.

Глава I се състои от четири точки.

Въведени са дефинициите и изложени някои от свойствата на

класическите интегрални трансформации на Лаплас, Мелин, Фурие,

и някои специални функции на дробното смятане. Въведени са

операторите за дробно диференциране на Риман-Лиувил, както и

дробната производна на Капуто.

Нека с С =С (0, ) означим класа на частично непрекъснатите

функции в интервала ),,0( които са интегруеми върху всеки краен

подинтервал на ).,0[

8

Дефиниция 1.1. Нека 0Re и .Cf Тогава за Ra и ,ax

x

a

xa dttftxxfD )()()(

1)( 1 (1.4.1)

се нарича дробен интеграл от ред на Риман-Лиувил от функ-

цията f.

Дефиниция 1.2. Ако 0,Cf и m N такова, че ,1 mm

то дробната производна от ред на Риман-Лиувил от f се дефи-

нира като

.)]([)( )( xfDDxfD mxa

mxxa (1.4.4)

Ако ,m то ).()(0 xfDxfD mxx

Дефиниция 1.3. Ако Ra , ,ax Nm и 0 , то дробната

производна на Капуто от ред се дефинира, както следва:

mxfD

mmdx

f

mxfD

mx

x

a

m

m

a

,)(

1,)(

)(

)(

1

)(1

)(

* (1.4.12)

Тази дефиниция е възникнала преди 40 години в изследвания

по теория на еластичността и сеизмичните вълни.

В Глава II са въведени и изследвани обобщения на

класическите интегрални трансформации на Фурие, Мелин и

Лаплас, и са изучени техни свойства. Тя се състои от три точки.

В Точка 1 е дефинирана дробната трансформация на Фурие

(ДТФ) и са доказани някои основни свойства, от които като частен

случай следват основните свойства на класическата трансформация

на Фурие. Разгледани са известен брой примери.

Да означим с S класа от функции, за които съществуват

трансформацията на Фурие, както и обратната трансформация на

Фурие. Нека )(RV е класът от функции ,)( Sxv които

удовлетворяват условията:

9

0

0, 0,1,2,...n

n

x

d vn

dx

Прието е класът от функции

)()(:)()( RR VFSxf

да се нарича пространство на Лизоркин. Както е показано в [48],

пространството на Лизоркин е инвариантно по отношение на

операторите за дробно интегриране и диференциране. В поната-

тъшните разглеждания е възприета дробната трансформация на

Фурие (ДТФ), която е въведена в [48].

Дефиниция 2.1. Ако функцията )(Ru , то ДТФ u от ред

)10( се дефинира като

R,)(),(]);([)(ˆ dxxuxexuFu , (2.1.1)

където ядрото е от вида

0),||exp(

0),||exp(:),(

/1

/1

xi

xixe . (2.1.2)

Очевидно, ако 1 ядрото (2.1.2) се редуцира до ядрото на транс-

формацията на Фурие. Връзката между (2.1.1) и класическата транс-

формация на Фурие се дава чрез равенство

)(ˆ]);([]);([)(ˆ1 wuwxuFxuFu , (2.1.3)

където

0,

0,/1

/1

w . (2.1.4)

По този начин, ако

)(]);([]);([ 1 wwxuFxuF

то за обратната на (2.1.1) трансформация имаме

10

]);([]);(ˆ[:)( 11

1 xwFxuFxu . (2.1.5)

Една от основните теми на настоящия дисертационен труд са

приложенията на ДТФ за решаване на частни диференциални урав-

нения от дробен ред. По тази причина са систематизирани някои от

основните свойства на ДТФ, които се използват в по-нататъшните

ни разглеждания.

Теорема 2.1. [70] Ако 10 , )()( Rxu и )(ˆ]);([ uxuF ,

в сила са следните свойства:

а) ˆ[ ( ); ] ( , ) ( ),F u x a e a u (закъснение)

б) 0,||

ˆ||

1]);([ a

au

aaxuF , (подобие)

в) ˆ[ ( ); ] ( ),F u x u (спрегнатост)

г) ˆ[ ( ); ] ( ),F u x u (дуалност)

д) ако )()( Rxg и )(ˆ]);([ gxgF , то

ˆ ˆ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) .u g e t d u x g x t dx (композиция).


то:

а) )(u е ограничена за ;

б) )(u е непрекъсната за .


то

0)(ˆlim||

u .

Теорема 2.4. [72] ( Трансформация от производна). Ако

10 и )()()(Rxu n , то

R,)(ˆ||sign]);([ /1)( uixuFnn .

11

Теорема 2.5. [72] (Теорема за конволюцията). Нека 10 и

)()(),( Rxvxu , като ]);([()(ˆ xuFu и ].);([)(ˆ xvF Тогава

)(ˆ).(ˆ]);)(*[( vuxvuF ,

където

dvxuxvu )()())(*( . (2.1.9)

Точка 2 е посветена на т.нар. -Трансформация на Мелин, която

като частен случай при = 1 съдържа класическата трансформация

на Мелин.

Точка 3 се състои от дефиницията и основните свойства на

обобщената трансформация на Лаплас, която съдържа като частни

случаи класическите трансформации на Лаплас и Мелин, както и

т.нар. L2-трансформация. Това обобщение е един сравнително общ и

ефективен метод за решаване на широк спектър начални задачи за

дробни диференциални уравнения с непостоянни коефициенти.

Дефиниция 2.3. Нека функциите А и Ф са монотонно растящи,

А(0) = 0 и )(xf е частично непрекъсната за 0x и такава, че

)()(|)(| cxAMexf (2.3.1)

за някои константи М и с. Тогава трансформацията

0

)()( ,)()(]);([ CpdxxfexApxfL pxAA , (2.3.2)

наричаме обобщена трансформация на Лаплас.

Теорема 2.12. (Комплексна формула за обръщане на транс-

формацията AL ). Нека ))(( 1 pF е холоморфна функция на р, с

изключение на краен брой полюси, лежащи наляво от правата

.Re cp Ако 0))(( 1 pF при p в равнината cpRe и

0

)()( )().()(]);([ dxxfexApFpxfL pxAA ,

тогава ic

ic

xApA dpepF

ixfxpFL .))((

2

1)(]);([ )(.11

12

Теорема 2.13. (AL -трансформация от производни). Нека f

удовлетворява (2.3.1) и )1(,...,, nfff са непрекъснати функции,

докато )(nf е частично непрекъсната за 0x . Тогава за ,...2,1n е в

сила

( ) 1( ); ( ) [ ( ); ] ( ). (0 )n n Ф nxA A AL D f x p p L f x p p f

2 1 ,( )( )(0 ) ... ( )(0 )n n

x xA Ap D f D f

dx

d

xADxA

)(

1.

Теорема 2.14. (Теорема за конволюцията). Ако ),( pF )( pG са

AL -трансформациите съответно за функциите f(x), g(x), то

x

A dttAxAAftgtALpGpF0

1 )))()((()()()()( .

Глава III се състои от две точки. В нея се прилагат въведените

обобщени интегрални трансформации за решаването на дробни

диференциални уравнения с непостоянни коефициенти.

В Точка 1, след краткия обзор на вече получените резултати и

използвани методи, интегралният метод, основан на класическата

трансформация на Лаплас, е приложен за решаването на диференци-

ално уравнение с непостоянни коефициенти, съдържащо дробна

производна на Риман-Лиувил от ред . Решението е получено в явен

вид като зависимост от стойностите на параметъра , участват

функцията на Райт и двупараметричната функция на Митаг-Лефлер.

-Трансформацията на Мелин е приложена за решаване на дробното

уравнение на Бесел. Дадени са приложения на обобщената

трансформация на Лаплас при решаване на дробното уравнение на

Ноненмахер.

Това е илюстрирано с разглеждането на уравнението

,,0),(1

)(0 Rxxyx

xyDx (3.1.18)

където xD0 е дробната производна на Риман-Лиувил от ред

(1.4.4).

13

Теорема 3.1. При 10 и ,R уравнението (3.1.18)

притежава за х > 0 решение от вида

,1)1,(

)()( 110

11 xcxxcyxy (3.1.19)

където с е произволна реална константа, а 0 1

е обобщената хипер-

геометрична функция на Райт (1.3.15).

Теорема 3.2. При )1,(1 nnnn N и ,R уравнението

(3.1.18) притежава решение от вида

1 11 0 1

11 1

,1 ,12

,

( )( , 1) 1

( )

( ) 11

nnm

mm

y x c x x

c xE x

mm

(3.1.24)

където nccc ,...,, 21 са произволни реални константи. В частност, при

,21 решението на (3.1.18) има вида

1 11 0 1

2 12 1 2 .

( )( , 1) 1

(1,1)

2( 1, 1), ,1 1

1

y x c x x

c x x

(3.1.25)

За да разширим изследванията и за решаване на обикновени

дробни диференциални уравнения с непостоянни коефициенти, са

разгледани две такива уравнения, свързани с имената на Бесел и

Ноненмахер.

Уравнението от вида

10,)()()( 01

01 tftyDttyDt tt , (3.1.31)

се нарича по-нататък дробно уравнение на Бесел, а уравнението

2

0 0[ ( )] ( ) 0 ,x xD x y x a D y x (3.1.32)

14

където 0,,1 Nnnn е реално число, такова, че

nn 1 и , се нарича съответно дробно уравнение

на Ноненмахер. Уравнението (3.1.32) Ноненмахер [73] изучава за

случая n във връзка с вероятностните плътности от типа на

Леви.

Теорема 3.3. [69] Граничната задача за дробното уравнение на

Бесел (3.1.31) при условия

0)()(,0)0()0( yyyy (3.1.33)

притежава решение от вида

0

.)()()( dgtfty

Първо е разгледан частният случай на дробното уравнение

на Ноненмахер (3.1.32), когато a и .2

1 Намерено е решение

на това уравнение от класа

0 0{ ( ) : [ ( ( )] 0 , 0, 1 , 1,2,..., }.kn x xK f x D x f x n n k n

Теорема 3.4. [69] Ако y(x) nK е частично непрекъсната върху

),0( и интегруема върху всеки краен подинтервал на ),0[ ,

уравнението (3.1.32) с а = и 2/1 , има решение от вида

3

2( ) exp( ) .y x xx

Теорема 3.5. [69] Нека nnn 1,0,N и .

Тогава, ако y(x) nK е частично непрекъсната върху ),0( и

интегруема върху всеки краен подинтервал на ),0[ , уравнението

(3.1.32) има решение от вида

1( ) exp( ).( )

a ay x x

x

Разглежданията, свързани с поставения проблем, са допълнени

и от приложението на обобщения метод на степенните редове за

решаването на дробното уравнение на Уитъкер.

15

Уравнението

2

2( ) 0

d y dyz z y

dz dz (3.1.48)

е известно като конфлуентно хипергеометрично уравнение, или

просто уравнение на Кумер. С помощта на метода на Фробениус е

възможно да се намерят две линейно независими решения на

уравнението на Кумер (виж [91]), а именно

),,()(1 zFzy и ,),2,1()( 12 zFzzy

където

0

,...2,1,0,)(!

)(),,(

n

n

n

n zn

zF

е конфлуентната изродена хипергеометрична функция, известна

още като функция на Кумер, а n)( е символът на Поххамер

.)1)...(1()(

)()( n

nn

Ако в уравнението на Кумер (3.1.48) направим субституцията

),(2/2/ zwzey z то приема вида

.01

21

2

1

24

122

2

wzzdz

wd (3.1.49)

Субституциите

2

1m и km

2

1

трансформират уравнението (3.1.49) в

,04

1

4

12

2

2

2

wz

m

z

k

dz

wd (3.1.50)

наричано уравнение на Уитъкер. От връзката между уравненията

(3.1.48) и (3.1.50) следва, че ако 2m не е цяло число, то в околност на

точката z = 0 съществуват две линейно независими решения на

(3.1.50), виж [91, 6.1, (2), (3)], както следва:

16

1

2 2,

1( ) ,1 2 ,

2

zm

k mM z z e F m k m z (3.1.51)

и

1

2 2,

1( ) ,1 2 ,

2

zm

k mM z z e F m k m z (3.1.52)

известни като функции на Уитъкер, които са еднозначни и холо-

морфни функции при .arg z

Централно място в тази точка е отредено на решаването чрез

метода на Фробениус на дробното диференциално уравнение от

вида

,0)()()( 220

2 xybaxxxyDx x (3.1.53)

където Rbax ,,10,0 и 2

0 xD е дробната производна на

Риман-Лиувил (1.4.4) от ред 2 .

Причината да разглеждаме уравнението (3.1.53) е, че от една

страна то очевидно е обобщение на разгледаното в предишната

точка уравнение (3.1.18), а от друга страна е дробно обобщение на

уравнението на Уитъкер (3.1.50). Наистина, ако в (3.1.53) положим

2,1 a и ),1(mmb ,...,2,1m то се редуцира до уравнението

,0)1(2

122

2

yx

mm

xdx

yd (3.1.54)

наричано още вълново уравнение на Кулон [17].

Поради симетричното свойство на решенията (3.1.51) и

(3.1.52) по отношение на параметъра m, ние се ограничаваме в

намирането на дробния аналог на регулярното решение на (3.1.54). За

целта е приложен метода на степенните редове към уравнението

(3.1.53).

Теорема 3.6. [71] Нека Rbax ,,10,0 и е такова, че

,1 както и .0)1(

)1(b Тогава, ако уравнението

(3.1.53) притежава решение представимо със сходящ степенен ред,

то има вида

1

,),()(k

k

k xaxy (3.1.55)

17

където коефициентите ),(ka удовлетворяват рекурентните зави-

симости

0),()1(

)12(),( 12 aaba , (3.1.56)

а за ,3k

.0),(),(]1)2[(

)1(),( 21 kkk aaab

k

ka (3.1.57)

Точка 2 изцяло е свързана с интегралния метод, основан на

обобщената трансформация на Лаплас за решаване на някои частни

диференциални уравнения от дробен ред с непостоянни коефи-

циенти, като дробното уравнение на Жиона, и дробното вълново

уравнение.

Едното от тях, въведено от Жиона и Роман [29], [82], е от вида

,2

10,0,0,

),(),(0 c

x

txucxtxuDt (3.2.1)

където tD0 е дробната производна на Риман-Лиувил (1.4.4). Ще го

наричаме по-нататък дробно уравнение на Жиона.

Другото уравнение се записва чрез дробната производна на

Капуто (1.4.12) и има вида 1

0

* ,)(),(1

)],()[( xfx

txu

xdtxuDb t (3.2.2)

където , 0, ( ) 0x t b и 1

0

.1)( db Уравнението (3.2.2) е

изучавано от Набер [65] и Майнарди [34] и е наречено от тях дробно

вълново уравнение.

Теорема 3.7. Дробното уравнение на Жиона (3.2.1) при начално

и гранично условие от вида

0,,0),0(,)()0,(10 txtuxfxuDt , (3.2.3)


x

dftxGtxu0

11 ,)(),(),(

с

18

1( , ) , 0; ,

( 1)

xG x t W t

ct c

където ( , ; )W z е функцията на Райт (1.3.13).

Теорема 3.8. Дробното вълново уравнение (3.2.2) при начално и

гранично условие от вида 0),0(,0)0,( tuxu


2 2 2 2

0 0

1( , ) exp ( ) cos( ) sin(( ) sin( )) ( )

x

rtu x t e dr x x f d ,

където );,( zW е функцията на Райт (1.3.13).

Полученото в горната теорема решение на дробното вълново

уравнение (3.2.2) може да се опрости при частни случаи. Да вземем

например делта-функцията на Дирак 10),()( nnb . Тогава

(3.2.2) се свежда до дробно вълново уравнение от ред n, така че

.,)(,)( nrrssB nn

Теорема 3.9. Дробното вълново уравнение (3.2.2) при начално

и гранично условие от вида

( ,0) 0, (0, ) 0u x u t , (3.2.6)

и при 10),()( nnb , притежава решение от вида

xn dftxnW

ttxu

0

22 )(])(;0,[1

),( ,

където );,( zW е функцията на Райт.

Едно от най-значимите приложения на производните от дробен

ред е свързано с моделирането на дифузионни процеси в пореста

среда [59], [80]. В тази връзка специално внимание заслужават

следните два вида частни диференциални уравнения от дробен ред.

Първият вид е обобщение на дробното частно диференциално

уравнение, с което се замества електрохимичния закон на Фик [75].

Дробното уравнение на топлопроводността [63] е пример за втория

вид частни диференциални уравнения от дробен ред.

19

В заключителната Глава IV, съдържаща три точки, централна

роля заема едно обобщение на дробното уравнение на

топлопроводността, съдържащо обобщената дробна производна на

Риман-Лиувил от точка 2. Изучени са някои от нейните свойства и

по-специално, получен е резултат за дробната трансформация на

Фурие от обобщената дробна производна на Риман-Лиувил.

Показана е и приложение на ДТФ (2.1.1) за решаване на

задачата на Коши за дробното уравнение на топлопроводността

0,,),(2

2

* txx

utxuD R (4.1.2)

при начално условие

,)(|),(0

xftxut

(4.1.3)

където *D e дробната производна на Капуто (1.4.12) от ред , е

параметър на дифузията, а функцията )(xf е дадена, като

).()( Rxf

Теорема 4.1. [72] Ако ,10 задачата на Коши (4.1.2) – (4.1.3)


,)(),(),( dftxGtxu

където 2

1( , ) ( | | ) ,

2

iwxG x t e E w t dw

с функцията на Митаг-Лефлер ( ).E z

От формулата [18, стр. 611, (5)],

,;22 4/1

1

axa exeF

става ясно, че намереното в Теорема 4.1 решение на задачата (4.1.2)

– (4.1.3) е обобщение на фундаменталното решение на задачата на

Коши за класическото уравнение на топлопроводимостта.

Следствие 4.1. [72]: Ако ,1 то решението на задачата (4.1.2)

– (4.1.3) за уравнението на топлопроводността има добре известния

вид (интеграл на Поасон):

.)(4

1),( 4/)( 2

dfet

txu tx

20

Да разгледаме задачата за изменението на температурата в

полуограничена среда ,0x описана чрез дробно уравнение на

топлопроводността (4.1.2), когато x0 и .0t Ще

предполагаме, че началната температура на средата е равна на нула,

а температурата на границата е ).(0

tfu Това означава, че решението

на (4.1.2) трябва да удовлетворява началното условие

0 ,( , ) | 0tu x t (4.1.7)

както и граничните условия

.0),(lim,)(|),(00

txutfutxux

x (4.1.8)

Теорема 4.2. Ако ,10 задачата (4.1.2) – (4.1.7) – (4.1.8)


t

dxgtfutxu0

0,),()(),(

където

.;exp),( 1 txs

Ltxg

В някои частни случаи е възможно да изразим първообраза

g(x,t) чрез познати елементарни или специални функции.

Следствие 4.2. Ако 1 и ,1)(tf то решението на задачата

(4.1.2), (4.1.7), (4.1.8) има вида

.2

erfc),( 0t

xutxu (4.1.13)

Ако 1 и const,)(tf то решението на задачата (4.1.2) –

(4.1.7) – (4.1.8) има вида

t

dxgtfutxu0

0,),()(),(

където

.4

exp2

),(2

3 t

x

t

xtxg

21

Да разгледаме дробното диференциално уравнение от вида

Rxtx

txutxuD

t,0,

),(),(

2

2

2

0, (4.1.15)

известно като уравнение на Нигматулин [68] и е изучавано от

Вестерлунд [92] и Майнарди [56], в което tD

0 е оператора на Риман-

Лиувил.

Теорема 4.3. Ако 10 , решението на уравнението (4.1.15)

при допълнителните условия

),(),(;0,lim0

1

0xtxuDtxu

ttx

(4.1.16)

има вида

,)(),(),( dtxGtxu

където

12

2

1( , ) , , ,

2 2 2

xG x t t W

t

и );,( zW е функцията на Райт (1.3.13).

Както в [41] и [48], разглеждаме дробните производни на

Риман-Лиувил върху реалната права,

)()( 1 xuIdx

dxuD , (4.2.1)

където I е интегралът на Риман-Лиувил от дробен ред

dttutxxuIx

)()()(

1)( 1 ,

и

)()( 1 xuIdx

dxuD , (4.2.2)

където

dttuxtxuIx

)()()(

1)( 1 .

Чрез дробните производни (4.2.1) и (4.2.2) се дефинира следната

обобщена дробна производна на Риман-Лиувил:

R,10),()()1()( xuDxuDxuD . (4.2.3)

22

Важно е да отбележим, че за произволна стойност на , при

1 производната (4.2.3) се редуцира до стандартна производна от

първи ред, понеже

dx

du

dx

du

dx

duxuDxuDxuD )1()()()1()( 111 .

Разглеждаме някои свойства на дробните производни (4.2.1) и

(4.2.2), свързани с прилагането им към експоненциални функции от

вида .0,, Re ti

Лема 4.1. Нека 0,R и 10 . Тогава

2

sinsign2

cos ieeIa

xixi . (4.2.5)


.2

sin)sign(2

cos ieeI xixi (4.2.6)


,2

sin)sign(2

cos ieeD xixi (4.2.7)

където D е дробна производна на Риман-Лиувил.


2

sinsign2

cos ieeD xixi . (4.2.8)

За прилагането на ДТФ (2.1.1) за решаване на частни

диференциални уравнения от дробен ред, съдържащи обобщената

дробна производна на Риман-Лиувил (4.2.3) е важно да знаем ефекта

от прилагането на (2.1.1) към (4.2.3).

Теорема 4.4. Нека 0 < 1 и функцията и, принадлежаща към

пространството на Лизоркин Ф(R). Тогава е в сила следната

операционна връзка:

,,);()();( RxuFicxuDF

за всички стойности на параметъра , където константата a

c е

дефинирана като

.2

cos)21(sign2

sin ic

23

Получените резултати играят съществена роля в Точка 3, където

чрез комбинирано прилагане на трансформацията на Лаплас и

дробната трансформация на Фурие, решението на задачата на Коши

за обобщеното дробно диференциално уравнение на топлопровод-

ността е намерено в интегрална форма, като ядрото се изразява чрез

еднопараметричната функция на Митаг-Лефлер [24], [25].

Разглеждаме задачата на Коши за обобщеното дробно

диференциално уравнение на топлопроводността от вида

1* ( , ) ( , )D u x t D u x t (4.3.1)

при началното условие (4.1.3), където *D е дробната производна на

Капуто (1.4.12) от ред , докато 1D е обобщената дробна

производна на Риман-Лиувил (4.2.3).

Очевидно е, че при = 1 уравнението (4.3.1) се свежда до

уравне- нието (4.1.2).

Теорема 4.5. [72] Ако 10,10),()( Rxf и за

произволна стойност на R, задачата на Коши (4.3.1) – (4.1.3)


,)(),(),( dftxGtxu

където

2)1cos(sign)21(

2)1sin(

,)(2

1),(

1

1

ic

dwwtciEetxG iwx

и )(zE е еднопараметричната функция на Митаг-Лефлер.

В заключение ще отбележим, че решението на задача на Коши

(4.3.1) – (4.1.3) при = 1 и 2

1 се свежда до решението на съответ-

ната задача, разгледана в [48].

24

АНОТАЦИЯ

В дисертационния труд са получени

следните по-важни научни резултати:

1. Задачата за решаването на дробни диференциални уравнения с

непостоянни коефициенти е един от основните проблеми,

изучени в този дисертационен труд.

2. Въведени и изучени са основните свойства на обобщените

интегрални трансформации на Фурие, Мелин и Лаплас, които

съдържат известните класически трансформации носещи

същите имена като частен случай.

3. Тези обобщени интегрални трансформации са приложени за

решаване на обикновени дробни диференциални уравнения с

непостоянни коефициенти, при което решенията са изразени

чрез функцията на Райт и едно- и дву-параметричната

функции на Митаг-Лефлер.

4. Приложен е интегрален метод основан на обобщената

трансформация на Лаплас за решаване на частни

диференциални уравнения от дробен ред с непостоянни

коефициенти, известни в литературата като уравнение на

Жиона, както и дробно вълново уравнение.

5. Централна роля е отредена на обобщеното дробно уравнение

на топлопроводността съдържащо т.нар. обобщена дробна

производна на Риман-Лиувил. Чрез комбинирано прилагане на

трансформацията на Лаплас и обобщената трансформация на

Фурие, решението на задачата на Коши за обобщеното дробно

уравнение на топлопроводността е намерено в интегрална

форма, ядрото на което е изразено чрез еднопараметричната

функция на Митаг-Лефлер.

25

ПУБЛИКАЦИИ ПО ДИСЕРТАЦИЯТА

Nikolova, Y., On a fractional differential equation with non constant

coefficients Proceedings of the Technical University-Sofia, Vol.59, book

1, (2009), 34-38, ISSN 1311-0829.

Nikolova, Y., Basic properties of fractional Fourier transformation,

Applications of Mathematics in Engineering and Economics-AMEE-10,

American Institute of Physics (2010), 183-188.

Nikolova, Y., L. Boyadjiev, G. Georgiev, M. Georgieva, On the

fractional Coulomb equation, Journal of Applied Electromagnetism

(JAE), ISSN 1109-1606, Greece, Athens (to appear).

Nikolova, Y., L. Boyadjiev, Integral transforms method to solve a time-

space fractional diffusion equation, Fract. Calc. Appl. Anal., Vol. 13, Nо

1 (2010), 57-67.

Цитирания: Статията [72] е цитирана в:

- статията: J. Paneva-Konovska, Series in some Mittag-Leffler type

functions: Theorems for their convergence in complex domain, Proc. of

Intern. Symposium “Geometric Function Theory and Applications,

Sofia’10”, IMI - BAS (2010), 223-228.

- статията: V.B.L. Chaurasia and Jagdev Singh, Solution of a time-space

fractional diffusion equation by integral transform method, Tamsui

Oxford Journal of Mathematical Sciences, Vol. 27 (2011).

Благодарности

Благодарна съм на научния ми ръководител проф. д.м.н. Лю-

бомир Бояджиев за поставените задачи и идейната помощ при

тяхното решаване, за насърчителната подкрепа под въздействието на

която се оформиха и задълбочиха научните ми интереси и знания в

тази област.

Благодарна съм и на научния ми консултант доц. д-р Йорданка

Панева, която с много ентусиазъм, полезни съвети и търпение ми

оказа ценна помощ при реализирането на поставените цели в този

дисертационен труд, както и при неговото окончателно оформяне.

26

Задължена съм на колегите ми от катедра „Математически

анализ и числени методи“ на Факултет по приложна математика и

информатика, Технически университет – София, които винаги са

проявявали добронамереност и са ме окуражавали в изследова-

телската ми работа. Дължа благодарност на сина ми, за подкрепата и

разбирането му и за съществената помощ в техническо отношение.

ЦИТИРАНА ЛИТЕРАТУРА

1. Abe, S. and J. Sheridan, Optical operations on wave functions as

the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation,

Opt. Lett., Vol. 19 (2004), 1801-1803.

2. Agarwal, R. P., A propos dune note de M. Pierre Humbert, C. R.

Séances Acad. Sci., Vol. 236, No 21 (1953), 2031-2032.

3. Aghili, A., A. Ansari, A.Sedghi, An inversion technique for L2 -

transform with applications, Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol.

2, No 28 (2007), 1387-1394.

4. Aghili, A., A. Ansari, Complex Inversion Formula for Stieltjes and

Widder Transforms with Applications, J. Contemp. Math. Sciences,

Vol. 2, No 16 (2008), 761-770.

5. Al-Saqabi, B. N., Kiryakova V., Explicit solution of a fractional

integral and differential equation inrolving Erdelyi- Kober

operators, Appl. Math. Comput. Vol. 95 (1998), 1-13.

6. Al-Bassam, M. A., Some existence theorems on differential

equations of generalized order, J. Reine Angew. Math., Vol. 218, No

1 (1965), 70-78.

7. Alieva, T., V. Lopez, R. Aguillo-Lopez and L. B. Almeida, The

angular Fourier transform in optical propagation problems, J. Mod.

Opt., Vol. 41 (1994), 1037-1040.

8. Almeida, L. B., An introduction to the angular Fourier transform,

Proc. IEEE Acoust.; Speech, Signal Process. Conf., Minneapolis,

MN (1993).

9. Almeida, L. B., The fractional Fourier transform and time-

frequency representations, IEEE Trans. Signal Processing, Vol. 42

(1994), 3084-3091.

10. Al-Saqabi, B. N., Solution of a class of differential equations by

means of Riemann - Liouville operator, J. Fract. Calc., Vol. 8 (1995),

95-102.

27

11. Barrett, J. H., Differential equations of non-integral order, Canad.

J. Math., 6(4), (1954), 529-541.

12. Bateman, H., A. Erdelyi, Tables of integral transforms, vol. 1, Mc

Graw-Hill Book Company, Inc. (1954).

13. Boyadjiev, L., R. Scherer, Fractional extensions of the temperature

field problem in oil strata, Kuwait J. Sci. Eng. 31 (2), (2004),1-17.

14. Brown, D.,N. Dernek, O. Yurekli, Identities for the 2,1 -

transform and their applications, Appl. Math. Comput. 187 (2007),

1557-1566.

15. Brychkov, Y. A., Glaeske, H. J., Prudnikov, A. P., Tuan, V. K.,

Multidimensional Integral Transformations, Gordon and Breach,

Philadelphia, (1992).

16. Candan, C., A. Kutay and M. Ozaktas, The discrete Fractional

Fourier transform; IEEE Trans. Signal Processing, vol. 48 (2000),

1329-1337.

17. Curtis, A. R., Coulomb Wave Functions, vol.11, Royal Society

Mathematical Tables (Cambridge University Press) (1964).

18. Debnath, L., D. Bhatta, Integral Transforms and Their

Applications, 2nd Ed., Chapman & Hall/CRC (2007).

19. Diethelm, K., Ford, N.J., Analysis of fractional differential

equations,J. Math. Anal. Appl., 265(2), (2002), 229-248.

20. Ditkin, V.A., Prudnikov , A.P., Integral Transforms and

Operational Calculus , Pergamon Press , Oxford , (1965).

21. Doetsch, G., Handbuch der Laplace –Transformation , Birkhauser

- Verlag , Basel and Stuttgart , (1955).

22. Doetsch, G., Introduction to the Theory and Application of the

Laplace Transformation , Springer- Verlag , Berlin , (1974).

23. Duffy, D.G., Transform Methods for Solving Partial Differential

Equations, CRC Press, 1994.

24. Dzhrbashyan, M. M., Integral Transforms and Representations of

Functions in the Complex Domain, Nauka, Moscow, (1966) (in

Russian).

25. Erdelyi, A., (ed.) Higher Transcendental Functions (vol. 1, 2, 3),

Krieger Pub. Melbourne, Florida, (1981).

26. Erseghe, T., P. Kraniauskas, G. Cariolaro, Unified fractional

Fourier transform and sampling theorem, IEEE Trans. Signal

Processing, vol. 47 (1999), 3419-3423.

28

27. Fox, C., The asymptotic expansion of generalized hypergeometric

functions, Proc. London Math. Soc. (ser. 2), 27 (1928), 389-400.

28. Fox, C., The G and H functions as symmetrical Fourier kernels,

Trans. Amer. Math. Soc., 98, (1961), 395-429.

29. Giona, M., H. E. Roman, Fractional diffusion equation on

fractals: One-dimensional case and asymptotic behaviour, J. Phys.

A: Math. Gen., 25 (8), (1992), 2107-2117.

30. Gorenflo, R., A. Iskendorov, Yu. Luchko, Mapping between

solutions of fractional diffusion-wave equations, Fract. Calc. Appl.

Anal. 3, N1, (2000), 75-86.

31. Gorenflo, R., F. Mainardi, Fractional Calculus: Integral and

Differential Equations of fractional order, vol.378 of CISM curses

and lectures, Springer-Verlag , Berlin, (1997), 223-276.

32. Gorenflo, R., F. Mainardi , H. M. Srivastava , Special functions in

fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion– wave

phenomena, in: The Eighth International Colloquium on Differential

Equations (Plovdiv, 1997) , VSP Publishing Company, Utrecht ,

(1998) , 195-202.

33. Gorenflo, R., F. Mainardi, Fractional oscillations and Mittag-

Leffler functions, in: University Kuwait, D. M. C. S. (Ed),

International Workshop on the Recent Advances in Applied

Mathematics (Kuwait, RAAM’96), Kuwait, (1996) , 193-208.

34. Gorenflo, R., F. Mainardi, Simply and multiply scaled diffusion

limits for continuous time random walks, in: S. Benkadda, X.

Leoncini, G. Zaslavsky (eds.), Proceedings of the International

Workshop on Chaotic Transport and Complexity in Fluids and

Plasmas Carry LeRouet (France), 20-25 June 2004, IOP (Institute of

Physics), Journal of Physics: Conference Series 7, 2005, 1-16.

35. Gorenflo, R., Rutman, R., On ultraslow and intermediate

processes: in: Rusev,P., I. Dimovski, V. Kiryakova, (Eds),

International Workshop on Transforms Methods and Special

Functions, Bulgarian Acad. Sci., Sofia, (1994) , 61-81.

36. Gorenflo, R., Yu. Luchko, An Operational Method for Solving

Generalized Abel Integral Equations of Secont Kind, preprint no.

A-6 / 95, Department of Mathematics and Informatics, Free

University of Berlin, (1995).

37. Gorenflo, R., Yu. Luchko, F. Mainardi, Wright functions as

scale-invariant solutions of the diffusion-wave equation, J. Comput.

Appl. Math. 118 (2000), 175-191.

29

38. Hadid, S. B., Yu. Luchko, An operational method for solving

fractional differential equations of an arbitrary real order,

PanAm. Math. J., Vol. 6 , No 1, (1996) , 57-73.

39. Kiblas, A. A., Saigo, M., Trujillo, J.J., On the generalized Wright

function, Fract. Calc. Appl. Anal. 5 (4), (2002), 437-460.

40. Kilbas, A. A., Marzan, S.A., Cauchy problem for differential

equations with Caputo derivative (Russian) , Dokl. Acad. Nauk, 399

(1), (2004), 7-11.

41. Kilbas, A. A. , H. M. Srivastava, J. J. Truijillo, Theory and

Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier (2006).

42. Kilbas, A. A., Marzan, S.A., Nonlinear Differential equations with

the Caputo fractional derivative in the space of continuously

differentiable functions (Russian), Differentsialnye Uravneniya,

(2005), 82-86.

43. Kilbas, A. A., Saigo, M., On solution of integral equation of Abel-

Volterra type , Diff. Integr. Equat., 8 (5) , (1995), 993-1011.

44. Kilbas, A.A., B. Bonilla, J. J. Trujillo, Nonlinear differential

equations of fractional order in space of integrable functions

(Russian), Dokl. Akad. Nauk, 374 (4), (2000), 445-449.

45. Kiryakova, V., Generalized Fractional Calculus and Applications,

Longman – Harlow and J. Wiley & Sons – N. York (1994).

46. Lohmann , A. W., B. H. Soffer, Relationships between the Radon-

Wigner and fractional Fourier transforms, J. Opt. Soc. Amer. A. vol.

11 (1994), 1798-1801.

47. Luchko, Yu. F., H. M. Srivastava, The exact solution of certain

differential equations of fractional order by using operational

calculus , Computers Math. Applic. vol. 29, no. 8, (1995) ,73-85.

48. Luchko,Yu. F., H. Martinez, J. J. Trujillo, Fractional Fourier

transform and some of its applications, Fract. Calc. Appl. Anal. 11,

N 4 (2008), 1-14.

49. Luchko, Yu. F., Gorenflo, R., Scale-invariant solutions of a partial

differential equations of fractional, Fract. Calc. Appl. Anal., 1(1),

(1998), 63-78.

50. Mainardi, F., G. Pagnini, R.K. Saxena, Fox H- functions in

fractional diffusion, J. of Comput. and Appl. Mathematics, 178

(2005) , 321-331.

30

51. Mainardi, F., G. Pagnini, The role of the Fox- Wright functions in

fractional subdiffision of distributed order. J. Comput. Appl. Math.

207 (2007), 245-257.

52. Mainardi, F., G. Pagnini, The Wright functions as solutions of the

time- fractional diffusion equation, J. Comput. Appl. Math. 141

(2003), 51-62.

53. Mainardi, F., Fractional Calculus: some basic problems in

continuum and statistical mechanics, in : A. Carpinteri, F. Mainardi

(Eds.), Fractals and Fractional Calculus in Reprinted in NEWS

011201. Available from <www. Fracalmo.org>.

54. Mainardi, F., Fractional relaxation-oscillation and fractional

diffusion-wave phenomena, Chaos, Solutions and Fractals 7 (1996),

1461-1477.

55. Mainardi, F., G. Pagnini, R. Gorenflo, Some aspects of fractional

diffusion equations of single and distributed order,. Comput. Appl.

Math. 87 (2007), 295-305.

56. Mainardi, F., On the initial value problem for the fractional

diffusion-wave equation, In: Waves and Stability in Continuous

Media (Eds. S. Rionero and Ruggeri), World Scientific, Singapore

(1994), 246-251.

57. Mainardi, F., The fundamental solutions for the fractional diffusion

and wave equation, Applied Mathematics Letters 9 (6) (1996), 23-28.

58. Mainardi, F., Yu. Luchko, G. Pagnini, The fundamental solutions

for the space-time fractional diffusion distributed order, Fractional

Calculus and Applied Analysis 4 (2) (2001) 153-192, Reprinted with

permission in NEWS 010401. Available from <www. Fracalmo.org>

59. Mandelbrot, B., The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San

Francisco (1982).

60. McBride A. and F. Kerr, On Namias's fractional Fourier

functions, IMA J. Appl. Math., vol.39 (1987), 159-175.

61. Mendlovich, D., H.M. Ozaktas, Fractional Fourier

transformations and their optical implementation, J. Opt. Soc. Amer.

A, vol. 10 (1993), 1875-1881.

62. Metzler, R., J. Klafter, The random walk’s guide to anomalous

diffusion: A fractional dynamic approach, Phys. Reports, 339 (2000),

1-17.

63. Metzler, R., W.G. Glockle, T.F. Nonnenmacher, Fractional model

equation for anomalous diffusion, Physics A, 211 (1994), 13-24.

31

64. Miller, K. S., B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus

and Fractional Differential Equations. Wiley, N. York (1993)

65. Naber, M., Distributed order fractional subdiffusion, Fractals 12

(2004), 23-32.

66. Namias, V., The fractional order Fourier and its application to

quantum mechanics, J. Inst. Math. Appl., vol. 25. (1980), 180-191.

67. Nigmatullin, R. R., To the theoretical explanation of the “universal

responce”, Phys. Sta. Sol. (b) 123 (1984), 739-745.

68. Nigmatullin, R. R., The realization of the generalized transfer

equation in a medium with fractal geometry, Phys. Sta. Sol. (b) 133

(1986), 425-430.

69. Nikolova,Y., On a Fractional Differential Equation with non

constant coefficients Proceedings of the Technical University-Sofia,

vol.59, book. 1, (2009), 34-38, ISSN 1311-0829.

70. Nikolova, Y., Basis Properties of Fractional Fourier Transfor-

mation, Applications of Mathematics in Engineering and Economics

- AMEE-10, American Institute of Physics (2010), 183-188.

71. Nikolova, Y., L. Boyadjiev, G. Georgiev, M. Georgieva, On the

Fractional Coulomb Equation, Journal of Applied Electromagnetism

(JAE), 1/5/ 2010, ISSN 1109-1606, Greece, Athens, March 8, (2010).

72. Nikolova, Y., L. Boyadjiev, Integral Transforms Method to solve a

Time-space Fractional Diffusion Equation, Fract. Calc. Appl. Anal.,

vol. 13, No 1, (2010), 57-67.

73. Nonnenmacher, T. F. Fractional integral and differential

equations for a class of Levy-type probability densities. J. Phys. A:

Math. Gen. 23 (1990), 697-700.

74. Oldham, K. B., J. Spanier, The Fractional Calculus: theory and

applications of differentiation and integration to arbitrary order,

Mathematics in Science and Engineering, V, Academic Press, N.

York (1974).

75. Oldman, K. B., J. Spanier, The replacement of Fick's law by a

formulation involving semidifferentiation, J. Electroanal. Chem. and

Interfacial Electrochem., 26 (1970), 331-341.

76. Ozaktas, H. M., Z. Zalevsky, and M. A. Kutay, The fractional

Fourier transform. Wiley, Chichester (2001).

77. Ozaktas, H. M., B. Barshan, D. Mendlovich, L. Onural,

Convolution, filtering, and multiplexing in fractional Fourier

32

domains and their relationship to chirp and wavelet transform, , J.

Opt. Soc. Amer. A, vol. 11 (1994), 547-559.

78. Pei, S., M.Yeh and T. Luo, Fractional Fourier series expansion

for finite signals and dual extension to discrete-time fractional

Fourier transform; IEEE Trans. Signal Processing, vol. 47 (1999),

2883-2888.

79. Pitcher, E., Sewell, W.E., Existence theorems for solutions of

differential equations of non-integral order, Bull. Amer. Math. Soc.,

44 (2), (1938), 100-107.

80. Podlubny, I., Fractional Differential Equations (An Introduction to

Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to

Methods of Their Solution and some of Their Applications).

Academic Press, San Diego (1999).

81. Prudnikov, A.P., Yu.A. Brychkov, and O. I. Marichev, Integrals

and Series, Vol. 1: Elementary functions. Gordon and Breach Science

Publ., New York-London-Paris-Montreal-Tokyo (1989).

82. Roman, H. E., M. Giona, Fractional diffusion equation on

fractals: three-dimensional case and scattering function, J. Phys. A:

Math.Gen., 25 (8), (1992), 2107-2117.

83. Saichev, A., G. Zaslavsky, Fractional kinetic equations: Solutions

and applications, Chaos 7 (1997), 753-764.

84. Samko, S. G., A.A. Kilbas, O.I. Marichev, The Fractional

Integrals and Derivatives. Theory and Applications. Gordon and

Breach, Amsterdam (1993).

85. Scalas, E., R. Gorenflo, F. Mainardi , Fractional calculus and

continuous-time finance, Physica A 284 (2000), 370-384.

86. Schneider, W. R., W. Wyss, Fractional diffusion and wave

equation. J. Math. Phys. 30, № 1 (1989), 134-144.

87. Sneddon, I. N., Fourier Transforms, Dover Publications, New York

(1995).

88. Srivastava, H. M., Karlsson, P. W., Multiple Gaussian

Hypergeometric Series, Halsted Press (Ellis Horwood Limited,

Chichester), John Wiley and Sons, New York, Chichester, Brisbane

and Toronto (1985).

89. Titchmarsh, E. C., Introduction to the Theory of Fourier Integrals,

Chelsea Publishing Company, New York, 1986 (First Edition:

Oxford University Press, Oxford (1937).

33

90. Uchajkin, V. V., V. M. Zolotarev, Chance and Stability, Stable

Distributions and Their Applications, VSP, Utrecht (1999).

91. Wang, Z. X., D. R. Guo, Special Functions, World Scientific

(1989).

92. Westerlund, S., Dead Matter Has Memory, Physica Scripta, vol. 43

(1991), 174-179.

93. Wiener, N., Hermitian polynomials and Fourier analysis, J. Math.

Phys. M I T, vol. 8 (1929), 70-73.

94. Wright, E. M., The asymptotic expansion of integral functions

defined by Taylor Series, Philos. Trans. Roy. Soc. London A, 238

(1940), 423-451.

95. Wright, E. M., The asymptotic expansion of the generalized

hypergeometric functions, J. London Math. Soc., 10 (1935), 286-

293.

96. Wright, E.M., The asymptotic expansion of the generalized

hypergeometric function II, Proc. London Math. Soc., 46 (2),

(1940), 389-408.

97. Yurekli, O., I. Sadek, A. Parseval, Goldstein type theorem on the

Widder potential transform and its applications, International Journal

of Mathematics and Mathematical Sciences, 14 (1991), 517-524.

98. Yurekli, O., Theorems on L2 – transform and its applications,

Complex Variables Theory. Appl. 38 (1999), 95-107.

99. Yurekli, O., New identities involving the Laplace and the L2 -

transforms and their applications, Appl. Math. Comput. 99 (1999),

141-151.

100. Zayed, A.I., A class of fractional integral transforms; A

generalization of the Fractional Fourier Transform, IEEE

Transactions on Signal Processing, 50, No 3 (2002), 619-627.

34

Author: Yanka Velikova Nikolova

Ph.D. Thesis on the subject:

“INTEGRAL TRANSFORM METHODS

FOR SOLVING SOME CLASSES OF

FRACTIONAL ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS”

ANNOTATION

The following basic results have been obtained in this thesis:

1. One of the basic problems studied in this thesis is the problem to

solve some fractional order differential equations with variable

coefficients.

2. Introduction of the generalized integral transforms of Fourier,

Mellin and Laplace that appear as extensions of the classical

integral transforms with the same names. Their basic properties

have been studied in details.

3. These generalized integral transforms have been applied for

solving ordinary differential equations with variable coefficients.

The obtained solutions are expressed in terms of special functions

as the Wright function and 1- and 2-parametric Mittag-Leffler

functions.

4. An integral transform method based on the generalized Laplace

transform is applied to solve some partial differential equations of

fractional order with variable coefficients, known in the literature

as the Giona equation and as fractional wave equation.

5. Special attention has been paid to the generalized fractional heat

equation involving the so-called generalized Riemann-Liouville

fractional derivative. By means of combined application of the

Laplace transform and of the generalized Fourier transform, the

solution of the Cauchy problem for the generalized fractional heat

equation has been obtained in explicit integral form, where the

kernel is represented by the 1-parametric Mittag-Leffler function.

ЯНКА ВЕЛИКОВА...

Documents

Transcript of ЯНКА ВЕЛИКОВА...