Др Бранислав Поповић, Ненад Вуловић,

Марина Јовановић, Анђелка Николић

ПРИРУЧНИКза учитеље уз уџбенички комплет

МАТЕМАТИКАза четврти разред основне школе

МАША И РАША

Приручник за учитеље уз уџбенички комплетМатематика за четврти разред основне школеПрво издање

Аутори: др Бранислав Поповић, Ненад Вуловић, Марина Јовановић, Анђелка Николић Рецензенти: Радиша Ђорђевић, педагог, просветни саветник из Пожаревца

Љиљана Јовановић, професор разредне наставе, ОШ „Јован Стерија Поповић” у Београду

Графичко обликовање: Сашењка Мељников ИвановићИлустрације: архива Издавачке куће „Кlett” Прелом: „АБРАКА ДАБРА”, Нови СадОбликовање корица: Издавачка кућа „Кlett”Лектура: мр Горан Зељић

Издавач: Издавачка кућа „Кlett” д.о.о. Маршала Бирјузова 3–5/IV, 11000 Београд Тел.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385 office@klett.rs, www.klett.rs

За издавача: Гордана Кнежевић Орлић Главни уредник: Александар РајковићУредник: проф. др Бранислав ПоповићРуководилац пројекта: Александра СтаменковићШтампа: Colorgrafx, БеоградТираж: 500 примерака

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

© Klett, 2015.

ISBN 978-86-7762-750-8

ИГРА БРОЈЕВА И ОБЛИКА 4Математика за 4. разред основне школе Седмо издање

Приручник за учитеље уз уџбенички комплет

3

1. Увод

Пишући овај уџбенички комплет имали смо у виду, поред програма

математике за четврти разред основне школе, и то да се и ученици и учитељ

налазе у завршној години можда најзначајнијег циклуса у школовању ученика

и да се добро познају, што би требало да искористе за што боље уобличавање

математичких знања.

Програм математике за четврти разред, ако изузмемо појмове и поступке

везане за израчунавање површине фигура и тела, не садржи нешто што је

ученицима потпуно непознато. Ученици већ имају или би требало да имају знања

везана за сабирање, одузимање, множење и дељење бројева до 1 000, а сада (у

четвртом разреду) они та знања само проширују и продубљују на све природне

бројеве; већ су решавали и једначине и неједначине, а сада их само даље

разрађују; већ су упознати са појмом разломка, а сада их још и упоређују итд. То

значи да би учитељ требало да нађе времена да све што су евентуално ученици

пропустили да науче, схвате итд., сада сагледа, поправи и добро припреми

ученике (бар када је математика у питању) за наредни четворогодишњи циклус.

Трудили смо се да напишемо уџбенички комплет који ће са једне стране

одржати и повећати интерес за математику код ученика, а са друге стране бити

поуздан ослонац учитељу у реализацији програма. Свесни смо, такође, да ће

креативни и учитељи и ученици, с времена на време, радећи поједине теме ићи

и дубље и даље него што је то у радном уџбенику дато.

Што се овог приручника тиче, у њему смо коментарисали нека наша

методичка решења и намере. Поред тога, искористили смо ову прилику да

понекад сугеришемо разраду појединих идеја и примера датих у Уџбенику и

Радној свесци. Жеља нам је била да сугестије буду јасне и прецизне.

Корисницима овог приручника желимо много среће у раду.

Аутори

4

САДРЖАЈ

1. УВОД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2. САДРЖАЈ УЏБЕНИКА МАША И РАША МАТЕМАТИКА 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3. САДРЖАЈ РАДНЕ СВЕСКЕ МАША И РАША МАТЕМАТИКА 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

3. ОПШТЕ НАПОМЕНЕ ЗА КОРИШЋЕЊЕ УЏБЕНИЧКОГ КОМПЛЕТА . . . . . . . . . . . 11

4. МЕТОДИЧКЕ НАПОМЕНЕ АУТОРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1. Уводне напомене. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2. Аритметика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2.1. Хиљаде до милион. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.2. Читање и писање бројева до милион . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.3. Записивање бројева у облику збира производа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.4. Месна вредност цифре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.5. Читање и писање бројева већих од милион . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.6. Упоређивање бројева већих од милион . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.7. Скуп природних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.8. Сабирам и одузимам хиљаде и милионе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.9. Повезујем сабирање и одузимање. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.10. Сабирам природне бројеве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.11. Одузимам природне бројеве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.12. Текстуални задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.13. Мењам места сабирцима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.14. Здружујем сабирке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.15. Мењам места и здружујем сабирке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.16. Зависност збира од сабирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.17. Непроменљивост збира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.18. Зависност разлике од промене умањеника и умањиоца. . . . . . . . . . . . 364.2.19. Непроменљивост разлике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.20. Сабирам и одузимам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.21. Множим и делим – обнављање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.22. Множим вишецифрене бројеве декадним јединицама . . . . . . . . . . . . . 404.2.23. Множим и делим једноцифреним бројем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.24. Множим једноцифреним бројем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5

4.2.25. Делим једноцифреним бројем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.26. Мењам места и здружујем чиниоце . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.27. Делим са остатком. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.28. Множим вишеструком декадном јединицом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.29. Делим вишеструком декадном јединицом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.30. Множим вишецифреним бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.31. Дељење вишецифреним бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.32. Зависност производа од чинилаца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.33. Непроменљивост производа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.34. Зависност количника од дељеника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.35. Зависност количника од делиоца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.36. Непроменљивост количника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.37. Математички изрази. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.38. Проблемски задаци. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.39. Једначине и неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.40. Разломци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.41. Сређивање података . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Геометрија . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.1. Површина фигура. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.2. Јединице мере за површину . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.3. Површина правоугаоника и квадрата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.4. Рогљаста и обла тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.5. Површина коцке и квадра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.6. Запремина коцке и квадра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6

2. Садржај Уџбеника: „Маша и Раша Математика 4“

УВОД

ХИЉАДЕ ДО МИЛИОН. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8ЧИТАЊЕ, ПИСАЊЕ И УПОРЕЂИВАЊЕ БРОЈЕВА ДО МИЛИОН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10ЗАПИСИВАЊЕ БРОЈЕВА У ОБЛИКУ ЗБИРА ПРОИЗВОДА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12МЕСНА ВРЕДНОСТ ЦИФРЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13ЧИТАЊЕ И ПИСАЊЕ БРОЈЕВА ВЕЋИХ ОД МИЛИОН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15УПОРЕЂИВАЊЕ БРОЈЕВА ВЕЋИХ ОД МИЛИОН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ 1

САБИРАМ И ОДУЗИМАМ ХИЉАДЕ И МИЛИОНЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24ПОВЕЗУЈЕМ САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25САБИРАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26САБИРАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27САБИРАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: ПАРНИ И НЕПАРНИ БРОЈЕВИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ПОВРШИНЕ 1

ПОВРШИНА ФИГУРА (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36ПОВРШИНА ФИГУРА (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38ЈЕДИНИЦЕ МЕРЕ ЗА ПОВРШИНУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40ЈЕДИНИЦЕ МЕРЕ ВЕЋЕ ОД КВАДРАТНОГ МЕТРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44ПОВРШИНА КВАДРАТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ 2

МЕЊАМ МЕСТА САБИРЦИМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50ЗДРУЖУЈЕМ САБИРКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51МЕЊАМ МЕСТА И ЗДРУЖУЈЕМ САБИРКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52ЗАВИСНОСТ ЗБИРА ОД САБИРАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53НЕПРОМЕНЉИВОСТ ЗБИРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54ЗАВИСНОСТ РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ УМАЊЕНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55ЗАВИСНОСТ РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ УМАЊИОЦА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56НЕПРОМЕНЉИВОСТ РАЗЛИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ 1

МНОЖИМ И ДЕЛИМ ЗБИР И РАЗЛИКУ БРОЈЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62МНОЖИМ ВИШЕЦИФРЕНЕ БРОЈЕВЕ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНЕ БРОЈЕВЕ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64МНОЖИМ И ДЕЛИМ ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65МНОЖИМ ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66ДЕЛИМ ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68МЕЊАМ МЕСТА И ЗДРУЖУЈЕМ ЧИНИОЦЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7

ДЕЛИМ СА ОСТАТКОМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72МНОЖИМ БРОЈЕВИМА 30, 600, 2 000, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: МНОЖЕЊЕ У СТАРОМ ЕГИПТУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74ДЕЛИМ БРОЈЕВИМА 50, 700, 80 000, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75МНОЖИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76МНОЖИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77МНОЖИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

ПОВРШИНЕ 2

РОГЉАСТА И ОБЛА ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84КВАДАР И КОЦКА .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85ПОВРШИНА КВАДРА И КОЦКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: ФИБОНАЧИЈЕВИ БРОЈЕВИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ 2

ЗАВИСНОСТ ПРОИЗВОДА ОД ЧИНИЛАЦА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94НЕПРОМЕНЉИВОСТ ПРОИЗВОДА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95ЗАВИСНОСТ КОЛИЧНИКА ОД ДЕЉЕНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96ЗАВИСНОСТ КОЛИЧНИКА ОД ДЕЛИОЦА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97НЕПРОМЕНЉИВОСТ КОЛИЧНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: ПРИЧА О ГАУСУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99МАТЕМАТИЧКИ ИЗРАЗИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100ПРОБЛЕМСКИ ЗАДАЦИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102НЕЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

РАЗЛОМЦИ

РАЗЛОМЦИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106ЈЕДНАКОСТ РАЗЛОМАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108БРОЈЕВНА ПРАВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

ДОДАТАК: ЗАПРЕМИНА

ЗАПРЕМИНА ТЕЛА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114ЈЕДИНИЦЕ МЕРЕ ЗА ЗАПРЕМИНУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116ЗАПРЕМИНА КОЦКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118ЗАПРЕМИНА КВАДРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120НАУЧИЛИ СМО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

8

Садржај Радне свеске: „Маша и Раша Математика 4”

НАУЧИЛИ СМО У ТРЕЋЕМ РАЗРЕДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

УВОД

ХИЉАДЕ ДО МИЛИОН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16ЧИТАЊЕ И ПИСАЊЕ БРОЈЕВА ДО МИЛИОН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18ЗАПИСИВАЊЕ БРОЈЕВА У ОБЛИКУ ЗБИРА ПРОИЗВОДА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21МЕСНА ВРЕДНОСТ ЦИФРЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22ЧИТАЊЕ И ПИСАЊЕ БРОЈЕВА ВЕЋИХ ОД МИЛИОН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23СКУП ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ – ОБНАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27ПРИРОДНИ БРОЈЕВИ – ТЕСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ 1

САБИРАМ И ОДУЗИМАМ ХИЉАДЕ И МИЛИОНЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32ПОВЕЗУЈЕМ САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34САБИРАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: МАГИЧНЕ ФИГУРЕ СА ДЕВЕТ БРОЈЕВА (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37САБИРАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38САБИРАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47САБИРАМ И ОДУЗИМАМ ПРИРОДНЕ БРОЈЕВЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ПОВРШИНЕ 1

ПОВРШИНА ФИГУРА (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54ПОВРШИНА ФИГУРА (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56ЈЕДИНИЦЕ МЕРЕ ЗА ПОВРШИНУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57ЈЕДИНИЦЕ МЕРЕ ВЕЋЕ ОД КВАДРАТНОГ МЕТРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60ЈЕДИНИЦЕ МЕРЕ ЗА ПОВРШИНУ – ОБНАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63ПОВРШИНА КВАДРАТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: ЗАНИМЉИВИ ЗБИРОВИ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67ПОВРШИНА КВАДРАТА И ПРАВОУГАОНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68ПОВРШИНЕ 1 – ОБНАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71ПОВРШИНЕ 1 – ТЕСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ 2

ЗАМЕНА МЕСТА САБИРЦИМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76ЗДРУЖУЈЕМ САБИРКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77ЗАМЕЊУЈЕМ МЕСТА И ЗДРУЖУЈЕМ САБИРКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78ЗАВИСНОСТ ЗБИРА ОД САБИРАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79НЕПРОМЕНЉИВОСТ ЗБИРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: МАГИЧНЕ ФИГУРЕ СА ДЕВЕТ БРОЈЕВА (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82ЗАВИСНОСТ РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ УМАЊЕНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83ЗАВИСНОСТ РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ УМАЊИОЦА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84ЗАВИСНОСТ РАЗЛИКЕ ОД ПРОМЕНЕ УМАЊЕНИКА И УМАЊИОЦА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85НЕПРОМЕНЉИВОСТ РАЗЛИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86САБИРАМ И ОДУЗИМАМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88ЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91НЕЈЕДНАЧИНЕ СА САБИРАЊЕМ И ОДУЗИМАЊЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95САБИРАМ И ОДУЗИМАМ – ОБНАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97САБИРАМ И ОДУЗИМАМ – ТЕСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ 1

МНОЖИМ И ДЕЛИМ – ОБНАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102ПОВЕЗУЈЕМ МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103МНОЖИМ ВИШЕЦИФРЕНЕ БРОЈЕВЕ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНЕ БРОЈЕВЕ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105МНОЖИМ И ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНЕ БРОЈЕВЕ ДЕКАДНИМ ЈЕДИНИЦАМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106МНОЖИМ И ДЕЛИМ ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108МНОЖИМ ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109ДЕЛИМ ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112МНОЖИМ И ДЕЛИМ ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115ЗАМЕЊУЈЕМ МЕСТА И ЗДРУЖУЈЕМ ЧИНИОЦЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: ЗАНИМЉИВИ ЗБИРОВИ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119ДЕЛИМ СА ОСТАТКОМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120МНОЖИМ БРОЈЕВИМА 30, 600, 2 000, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121ДЕЛИМ БРОЈЕВИМА 50, 700, 80 000, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122МНОЖИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..123МНОЖИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..124МНОЖИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..125ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130ДЕЛИМ ВИШЕЦИФРЕНИМ БРОЈЕВИМА (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131МНОЖИМ И ДЕЛИМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

ПОВРШИНЕ 2

РОГЉАСТА И ОБЛА ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138КВАДАР И КОЦКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142ПОВРШИНА КВАДРА И КОЦКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145ПОВРШИНЕ 2 – ОБНАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148ПОВРШИНЕ 2 – ТЕСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: ПОДЕЛА ФИГУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ 2

ЗАВИСНОСТ ПРОИЗВОДА ОД ЧИНИЛАЦА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154НЕПРОМЕНЉИВОСТ ПРОИЗВОДА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156ЗАВИСНОСТ КОЛИЧНИКА ОД ДЕЉЕНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158ЗАВИСНОСТ КОЛИЧНИКА ОД ДЕЛИОЦА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160ЗАВИСНОСТ КОЛИЧНИКА ОД ДЕЉЕНИКА И ДЕЛИОЦА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161НЕПРОМЕНЉИВОСТ КОЛИЧНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162МАТЕМАТИЧКИ ИЗРАЗИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163ПРОБЛЕМСКИ ЗАДАЦИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164ЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166НЕЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ – ОБНАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ – ТЕСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

РАЗЛОМЦИ

ОБНАВЉАМ РАЗЛОМКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174РАЗЛОМЦИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176ЈЕДНАКОСТ РАЗЛОМАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180БРОЈЕВНА ПОЛУПРАВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183РАЗЛОМЦИ – ОБНАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184РАЗЛОМЦИ – ТЕСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10

СРЕЂИВАЊЕ ПОДАТАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188ПРОФЕСОР ВАМ ПРИЧА: МАГИЧНЕ ФИГУРЕ СА ДЕВЕТ БРОЈЕВА (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

ДОДАТАК: ЗАПРЕМИНА

ЗАПРЕМИНА ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196ЈЕДИНИЦЕ МЕРЕ ЗА ЗАПРЕМИНУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197ЗАПРЕМИНА КОЦКЕ И КВАДРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199ЗАПРЕМИНА – ТЕСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

МАТЕРИЈАЛ ЗА СЕЧЕЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

11

Уџбенички комплет Маша и Раша Математика 4 четврти је у низу уџбеничких комплета изда-вачке куће Klett . Као и претходна три, и овај уџбенички комплет негује пријатељски однос према деци:

- јер су математички садржаји изложени врло поступно и систематски;

- јер је читаб комплет на интересантан начин илустрован;

- јер су сви поступци и различити начини израде задатака који су изложени у уџбенику

детаљно разрађени у радној свесци .

С друге стране, уџбенички комплет за четврти разред има и неколико новина у односу

на претходна три:

(1) „обнављања“ која су у односу на претходне „провере знања“ детаљнија и обимнија;

(2) тестови (надовезују се на обнављања);

(3) занимљиве приче од којих су неке из историје математике .

Обнављање:Потрудили смо се да у сваком од седам обнављања у Радној свесци дамо довољан број

задатака које би ученици требало самостално да решавају . Претпоставили смо да су ученици

довољно зрели да решења задатака која су им дата користе за контролу онога што су сами урадили .

Када смо иза текста задатка оставили места за одговор, намера нам је била да ученици графитном

оловком запишу резултат, да га затим провере па ако је погрешан то избришу и поново реше тај

задатак . Ученицима такође можете сугерисати да после извесног времена поново решавају неке

задатке за које сматрате да су од посебне важности, а који се налазе у оваквим деловима радног

уџбеника .

Тестови:Сведоци смо све чешћег тестирања наших ученика . Свима нам је јасно да начин

постављања питања у тестовима, посебно када се ради о вишеструком избору, захтева одређену

пажњу, а стицање раног искуства у решавању тестова које смо понудили у Радној свесци добро ће

доћи свим ученицима када буду радили разне тестове . И овде препоручујемо да тестове решавају

графитном оловком, затим да провере резултате, па ако је потребно и цео тест, после извесног

времена, поново ураде .

Занимљиве приче:Увођењем оваквих садржаја у уџбенички комплет хтели смо пре свега да представимо

математичке садржаје као интересантне изазове . Надамо се да ће маштовити учитељи потражити

у литератури сличне, па и боље занимљивости и то презентирати деци . Маштовитија деца можда

би могла и сама да праве магичне фигуре или сама да проналазе занимљиве збирове . Поред

овог основног циља, требало би поменути и успутни – колатерални циљ: овим смо хтели мало да

освежимо доста наглашене аритметичке садржаје . То је разлог што се ове приче углавном налазе

у деловима који обрађују сабирање и одузимање, односно множење и дељење бројева .

3. Опште напомене за коришћење уџбеничког комплета

12

4.1. УВОДНЕ НАПОМЕНЕ

У наредном делу приручника базираћемо се на неке генералне напомене у вези са

реализацијом лекција, при чему ћемо се повремено задржавати на неким конкретним лекцијама

или појмовима за које сматрамо да су посебно важни, при чему поред методичких напомена

повремено ћемо тумачећи сасвим конкретне задатке . Читав овај део обојен је личним мишљењем

аутора о томе шта би нашим колегама учитељима било од помоћи, па ако понекад будемо превише

опширни или превише штури, знајте да је то у најбољој намери .

4.2. АРИТМЕТИКА

4.2.1. Хиљаде до милион

Ученици су научили да се од десет стотина формира нова бројевна јединица – хиљада .

Бројеве преко хиљаду уводимо, по нашем мишљењу, на ученицима најопипљивији начин, помоћу

новца . Раситњавањем и здруживањем новчаница, уводимо поступно све бројеве преко хиљаду у

оквиру прве десетице хиљада (страна 8 уџбеника), а затим и остале хиљаде до милион . Први циљ

је да ученици самостално уоче да се бројеви преко хиљаду, који имају само хиљаде, читају тако

што изговарамо из колико хиљада је састављен број .

Увођење јединица, десетица и стотина хиљада врши се по аналогији са јединицама,

десетицама и стотинама ниже класе (јединица) . Правилно читање и записивање оваквих бројева

од велике је важности, јер њихово правилно усвајање представља темељ за правилно усвајање

осталих бројева до милион . У циљу доброг увежбавања, на странама 16 и 17 у радној свесци дато

је неколико осмишљених задатака који код ученика треба јасно да диференцирају све недоумице

које се могу јавити у раду са бројевима до милион који имају само хиљаде .

Декадне јединице до милион уводе се на крају лекције у Уџбенику по аналогији са декадним

јединицама прве хиљаде . Посебну пажњу треба обратити на 4 . задатак у Радној свесци код кога

ученици могу веома лако да погреше . Најприкладније им је објаснити, што им и у каснијем раду

са бројевима преко милион може користити, да нпр . број стотина у броју 20 000 (део под в)

одређујемо тако што из броја 20 000 склонимо онолико цифара са десне стране колико ова

декадна јединица има нула . Ако склонимо две последње цифре, закључујемо да у овом броју има

200 стотина .

4. Методичке напомене аутора

13

4. а) Одреди колико у милиону има:

хиљада ________ ; стотина хиљада ________ ; десетица хиљада ________ .

б) Одреди колико у десет хиљада има:

стотина ________ ; десетица _________ ; хиљада _________ .

в) Одреди колико у двадесет хиљада има:

стотина ________ ; хиљада _________ ; десетица хиљада _________ .

г) Одреди колико у четиристо четрдесет хиљада има:

стотина ________ ; хиљада _________ ; десетица хиљада _________ .

4.2.2. Читање и писање бројева до милион

Једна од сврха учења математике, ако не и најосновнија, јесте да ученицима приликом

увођења сваког новог појма и концепта у математици, објаснимо његову практичну примену

чиме бисмо показали да учење математике није само себи сврха, већ њена примена на окружење

у реалном животу . Из тог разлога и читање и писање бројева до милион започињемо практичним

проблемом читања рачуна из продавнице . Корисно би било чути досадашња сазнања ученика

где су се све сусрели са бројевима већим од хиљаду .

Олакшицу при читању бројева већих од хиљаду представља правилно растављање броја

на број хиљада и број јединица .

Због тога у читавом уџбеничком комплету размак између класа бројева је мало већи од

размака између цифара унутар класа . Уколико ученици правилно усвоје и коректно ураде први

задатак на 18 . страни Радне свеске, следећа два задатка требало би да представљају увежбавање

технике читања и писања оваквих бројева .

Као једна од могућности просторне перцепције бројева преко хиљаду понуђен је и 5 .

задатак на 19 . страни преко којег ученици поред увежбавања записа бројева треба да схвате и

једну од могућих величина ових бројева у стварном свету .

14

Након првих корака у учењу бројева преко хиљаду, битно је правилно увести ученике

у упоређивање ових бројева . Као иницијални пример узели смо упоређивање цена кућних

апарата . Правилно посматрање бројева и упоређивање њихових класа основ је од кога полазимо .

Приликом упоређивања ученици треба да усвоје да прво упоређујемо класе хиљада, а након

тога, уколико су оне једнаке, и класе јединица . Из овог разлога битно је правилно раздвајање

класе хиљада од класе јединица . Примери којима ученици треба правилно да разграниче све

напред изнето налазе се на 19 . страни Радне свеске .

Ученици су се већ упознали са декадним јединицама до милион . Ако не пре, онда је сада

погодан тренутак упознати ученике са чињеницом да бројеви 1 000, 10 000 и 100 000 нису само

неке од декадних јединица, већ да су то редом најмањи бројеви који се пишу са четири, пет и

шест цифара . Истовремено, ученике треба упознати да су бројеви 9 999, 99 999 и 999 999 највећи

бројеви који се пишу са четири, пет и шест цифара . Наравно, потребно је тражити од ученика

да оба ова закључка самостално изведу . Задаци који се тичу ових тврђења налазе се на 19 . и 20 .

страни Радне свеске .

Како нисмо желели да прибегнемо само формалном дефинисању и увежбавању

претходних појмова, понудили смо читав низ логичко-комбинаторних задатака, где ученици, пре

свега, треба да покажу своју креативност и логичку перцепцију у састављању тражених бројева .

Проблеми највећег и најмањег броја састављеног од одређених цифара, при чему се одређене

цифре понављају или не понављају, ученицима не треба да представљају неостварив циљ већ,

уз помоћ учитеља, треба доћи до одређених законитости у њиховом састављању и записивању .

14. а) Напиши најмањи четвороцифрени и највећи петоцифрени број којима су све цифре различите и непарне.

Одговор: _____________________________________________________________

б) Напиши највећи и најмањи петоцифрени број којима су све цифре различите и парне.

Одговор: _____________________________________________________________

У датом примеру потребно је ученицима објаснити да је проблем састављања најмањег

броја заправо лако решив ако редом почнемо писати тај број почев од најмање цифре понуђеног

низа бројева, уз ограничење да цифра нула не може бити на првом месту у броју (прва са леве

стране) . Истом логиком уводимо их и у састављање највећег траженог броја .

Од ученика се често тражи да решавају одређене „компликованије” задатке . Иако ученици

са учитељима пролазе све тражене захтеве у вези са одређеним компонентама задатака, желели

смо да у сваком тренутку могу да се подсете одређених система решавања задатака . Због тога смо

15

и у Уџбенику на страни 11 детаљно изложили поступке решавања одређених типова задатака:

одређивање свих бројева који се могу записати одређеним цифрама и одређивање свих бројева

чији је збир цифара дати број .

4.2.3. Записивање бројева у облику збира производа

Вишецифрене бројеве, који нису вишеструке декадне јединице, формирамо помоћу

декадних јединица које смо до сада упознали . Полазећи од структуре самог вишецифреног броја,

утврђујемо одређивање назива и симболичког записа броја на начин како смо то радили и у

хиљади .

Прво формирамо бројеве од јединица хиљада, стотина, десетица и јединица . На пример,

број који садржи 3 јединице хиљада, 9 стотина, 8 десетица и 4 јединице записујемо преко збира

вишеструких декадних јединица:

3 ⋅ 1 000 + 9 ⋅ 100 + 8 ⋅ 10 + 4 ⋅ 1 .

Читамо га: три хиљаде деветсто осамдесет четири и скраћено записујемо 3 984, што представља

декадни запис броја .

Ако број не садржи неку декадну јединицу, онда се у називу броја она не помиње . На

пример, број 6 003 чита се шест хиљада три, а његова структура је:

6 ⋅ 1 000 + 0 ⋅ 100 + 0 ⋅ 10 + 3 ⋅ 1 .

На исти начин формирамо петоцифрене и шестоцифрене бројеве уз напомену да

петоцифрени бројеви обавезно садрже десетице хиљада, а шестоцифрени стотине хиљада . На

пример, број који садржи 7 стотина хиљада, 2 јединице хиљада, 3 стотине и 4 десетице јединица

записујемо преко збира производа:

7 ⋅ 100 000 + 0 ⋅ 10 000 + 2 ⋅ 1 000 + 3 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 0 ⋅ 1

и читамо седамсто две хиљаде триста четрдесет, а краћи запис је 702 340 . Дакле, овај број

садржи 702 хиљаде и 340 јединица, тј . садржи две класе: класу хиљада и класу јединица . Свака

класа има своје стотине, десетице и јединице .

16

Напоменимо да смо у циљу боље визуелне представе бројева у облику збира производа и

боље уочљивости у Уџбенику користили различите боје представљања цифара у броју и у збиру

производа како би ученици повезали позицију цифре у броју и декадну јединицу у одговарајућем

збиру .

Уобичајени записи на којима се заснива увежбавање записивања бројева у облику збира

производа дати су као збир производа једноцифреног броја и декадне јединице . Низом задатака

на 21 . страни желели смо да се ученици не везују строго за овај запис већ да могу уочити тражени

број без обзира на:

- редослед записа производа цифре и декадне јединице

1 000 · 7 + 5 · 10 + 100 000 · 6 + 100 · 7 + 1 · 10 000 + 6 · 1,

- редослед записа производа

3 · 10 + 5 · 1 000 + 0 · 1 + 0 · 100 + 7 · 10 000, или

- изостављања декадних јединица којих нема у запису броја

10 000 · 5 + 10 · 8 .

Како записивање бројева у овом облику ученици треба добро да савладају, али не треба

да представља само рутину, на 12 . страни Удџбеника и 21 . страни Радне свеске налази се низ

задатака који комбинују претходно научене садржаје са овим .

4.2.4. Месна вредност цифре

Вредност цифре у вишецифреном броју зависи од места на коме се та цифра налази и

назива се месна вредност цифре .

За симболичко записивање и читање назива бројева користе се и таблице класне припа-

дности или таблице месне вредности на којима се најбоље уочава месна вредност цифре .

ХИЉАДЕ ЈЕДИНИЦЕС Д Ј С Д Ј

3 4 0 5

5 0 7 4 9

9 0 0 0 0 1

4 4 4 8 0 4

17

У првом броју цифра 3 има вредност хиљада, цифра 4 стотина и цифра 5 месну вредност

јединица . У другом броју цифра 5 има вредност десетица хиљада, цифра 7 има вредност стотина,

цифра 4 има вредност десетица и цифра 9 има вредност јединица . У трећем броју цифра 9 има

вредност стотина хиљада, и цифра 1 има вредност јединица .

Ученицима свакако треба напоменути да уколико се нека цифра јавља више пута у запису

броја, она може имати више вредности, тако у четвртом броју цифра 4 има вредност стотина

хиљада, десетица хиљада, јединица хиљада и јединица . Ученике треба упозорити и на чињеницу

да уколико се у запису броја не јавља нека декадна јединица тј . ако се у растављеном броју у

облику збира производа поред одређене декадне јединице као чинилац јавља нула, ту нулу

треба уписати и у таблицу месних вредности на одговарајућем месту .

Све претходно наведене особине које смо навели дате су у Уџбенику на странама 13 и 14 .

Мало већу пажњу приликом обраде ове наставне јединице учитељи могу посветити у примерима

када се из датог броја изостављају или дописују одређене цифре и како се тиме мењају месне

вредности цифара .

4.2.5. Читање и писање бројева већих од милион

Упознавање са бројевима већим од милион почињемо сагледавањем броја становника

држава . Како овакви бројеви нису свакодневно у употреби, интересантно би било сагледати

одговоре ученика шта све може да се изражава милионима . Поступак увођења бројева већих

од милион потпуно је аналоган увођењу бројева до милион и целим путем учења ученика овим

бројевима користи се поступак који је већ познат и коришћен код упознавања са претходном

класом бројева .

Ученицима треба поновити да се и бројеви већи од милион на исти начин формирају,

записују и називају као и бројеви до 1 000 000 . Бројеви већи од милион броје се исто као што се

броји од један, само се прво изговори реч милион: милион један, милион два, . . ., милион девет,

милион десет, . . ., милион сто, . . ., милион седамсто двадесет три итд . Симболичко записивање

бројева већих од милион аналогно је записивању претходних бројева које су ученици упознали .

Слично као у хиљади формирају се јединице милиона, десетице милиона и стотине

милиона, а оне заједно чине класу милиона . Од десет милиона настаје десетица милиона, од

десет десетица милиона настаје стотина милиона, а од десет стотина милиона настаје хиљада

милиона, тј . милијарда . Помоћу јединица милијарди формирамо десетице и стотине милијарди,

18

а све заједно чине класу милијарди . Изражавање величина које су састављене од милијарду или

више јединица, уводимо помоћу удаљености планета у Сунчевом систему .

Декадне јединице веће од милиона јесу 10 000 000 (десет милиона), 100 000 000

(сто милиона), 1 000 000 000 (милијарда – хиљаду милиона), 10 000 000 000 (десет милијарди),

100 000 000 000 (сто милијарди), 1 000 000 000 000 (билион – хиљаду милијарди) . . . Наравно, ученике

треба упознати са чињеницом да оне декадне јединице са којима се они путем редовне наставе

упознају нису све декадне јединице већ да се декадне јединице настављају и даље а састављају

се писањем тринаест, четрнаест, петнаест итд . нула иза јединице (17 . страна Уџбеника) .

Проширење и комплекснији захтеви у вези са бројем декадних јединица у броју са 17

стране Радне свеске настављају се и на 23 . страни Уџбеника .

Да би ученици правилно читали и писали велике бројеве, потребно је направити

таблицу месних вредности .

Пошто се ради о бројевима који се пишу са 7 и више цифара, треба истаћи следеће:

– свака цифра лево има десет пута већу вредност од исте цифре која је са њене десне стране;

– три цифре, почевши од јединица, чине једну целину коју називамо класа;

– свака класа има посебно име: класа јединица (обухвата јединице, десетице и стотине); класа

хиљада (обухвата јединице хиљада, десетице хиљада и стотине хиљада); класа милиона

(обухвата јединице милиона, десетице милиона и стотине милиона); класа милијарди (обухвата

јединице милијарди, десетице милијарди и стотине милијарди);

– приликом писања вишецифрених бројева оставља се мали размак између суседних класа ради

прегледности у писању, лакшег уочавања укупног броја класа и ради лакшег читања бројева;

– код сваке класе изговарамо назив класе, осим код класе јединица где назив изостављамо

(бројеве читамо слева надесно) .

4. а) Напиши колико у десет милиона има:

хиљада: ____________ ; стотина хиљада: _____________ ; стотина: _____________ .

б) Напиши колико у четрдесет три милијарде има:

милиона: ___________ ; десетица милиона: __________ ; стотина хиљада: __________ .

в) Напиши колико у деветсто пет милијарди има:

десетица: __________ ; стотина милиона: ________ ; десетица милијарди: __________ .

19

Користећи претходно наведена правила сада је једноставно саставити и прочитати бројеве

помоћу таблице месних вредности .

МИЛИЈАРДЕ МИЛИОНИ ХИЉАДЕ ЈЕДИНИЦЕС Д Ј С Д Ј С Д Ј С Д Ј

7 0 3 2 5 4 0 0 9 8

3 4 1 7 0 3 0 2 5 0 0 6

8 0 3 0 0 0 4 7 0 0 0 0

Први број читамо 7 милијарди 32 милиона 540 хиљада 98 (за класу јединица назив се

изоставља) . Други број из таблице читамо 341 милијарда 703 милиона 25 хиљада 6 . Трећи број

читамо 803 милијарде 470 хиљада (назив класе милиона не изговарамо јер су све три цифре

нуле) .

4.2.6. Упоређивање бројева већих од милион

За упоређивање бројева преко милион користимо потпуно аналогно правило као и

код бројева мањих од милион, само модификовано у складу са већим класама које се код ових

бројева јављају . Ученике подсећамо да бројеве веће од милион упоређујемо тако што је већи

онај број који има већу класу . Уколико два броја имају исте највеће класе, упоређујемо их тако

што упоређујемо те класе . Уколико су оне једнаке, упоређујемо прве мање класе и такав поступак

настављамо све док не наиђемо на класе које се на овај начин могу упоредити .

Упоређивање бројева детаљно је обрађено и разрађено у блоку бројева до милион, па смо

се овде више базирали на логичко-комбинаторним идејама упоређивања бројева и њиховог записа .

Посебну пажњу треба посветити задацима 3, 4, 5 и 6 на страни 18 у Уџбенику чије објашњење може

да послужи као полазна основа за израду компликованијих задатака и припрема за математичка

такмичења .

4.2.7. Скуп природних бројева

Последња фаза у процесу изграђивања и формирања појма о скупу природних бројева јесу

садржаји претходно усвојени о писању и читању природних бројева већих од 1 000, а након тога и

предстојеће усвајање алгоритама аритметичких операција у скупу природних бројева .

20

Основни методички циљ при нумерацији вишецифрених бројева јесте усвајање позиционог

начина записивања природних бројева . Пошто вишецифрене бројеве карактерише висок степен

апстрактности, то учитељу налаже велику опрезност и умешност у организацији процеса учења .

Проширењем класе јединица (јединице, десетице, стотине) на нове класе (класа хиљада, класа милиона

и класа милијарди), ученици су принуђени да постепено напуштају реалне компоненте које су

потпомагале њихово разумевање и схватање прве хиљаде и да сазнајни процес заснивају искључиво

на мисаоним операцијама .

Ученици су у нижим разредима научили да десет „нижих” јединица чине једну „вишу” јединицу .

Упознали су позициони начин записивања двоцифрених и троцифрених бројева и да у декадном

бројевном систему, захваљујући месној (позиционој) вредности цифре, можемо било који број

записати користећи само десет цифара: 0, 1, 2, 3, . . ., 9 . Због тога је на почетку књиге ученицима и била

пружена прилика да обнове све претходне особине како би лакше надоградили своја већ постојећа

знања о природним бројевима до хиљаду, са природним бројевима већим од хиљаду .

Лекција о скупу природних бројева треба да представља природно проширивање већ

научених правила и законитости који се са блока бројева до 1 000 преносе на читав скуп природних

бројева .

Након формирања класе милијарди, сумирамо знање о неким особинама природних

бројева . Треба рећи да низ бројева:

1, 2, 3, . . ., 99, 100 , 101, . . ., 9999, 10 000, 10 001, . . ., 1 000 000 000 001 . . .

називамо низ природних бројева, а скуп чији су елементи сви природни бројеви јесте скуп

природних бројева и симболички га означавамо са N:

N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} .

Важно је ученицима објаснити шта је скуп природних бројева и јасно им предочити

зашто одређени скупови то нису . Као илустрација за ово може послужити први пример са 26

стране у Радној свесци .

1. Који од следећих низова је низ свих природних бројева? Зашто остали нису?

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... б) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...

в) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Одговор: _________________________________________________________________

21

Ученицима је обично јасно да је најмањи природни број 1 . Има ученика који ће на

питање који је највећи природан број рећи да је то последњи видљиви број у записаном низу .

Уочавањем три тачке на крају навођења одређеног низа и објашњавањем њиховог значења у

Уџбенику, покушали смо да укажемо ученицима на непостојање највећег природног броја и на

бесконачност скупа природних бројева . Појам бесконачности скупа природних бројева у уској је

вези са појмом бесконачно много . Овај појам многима остаје недовољно јасан када се ученици

са њим сретну први пут, па смо покушали да објаснимо ближе значење овога појма позивајући

се на чланове низа, у смислу да ма колико дуго бројали елементе неког низа, никада их нећемо

све избројати .

Веома је важно ученицима истаћи следећа својства и особине:

– Број 0 ученици често уврштавају у скуп природних бројева, па је због тога веома битно

да јасно нагласимо и истакнемо да број 0 (нула) не припада скупу N, тј . 0 ∉ N . Међутим, како

се 0 често разматра заједно са природним бројевима, то често посматрамо скуп кога чине 0 и

природни бројеви и означававамо га са N0 (ен нула) и записујемо:

N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} .

– За било која два различита природна броја а и b увек важи један од односа:

а > b или а < b .

Због ове особине елемената скупа природних бројева кажемо да је скуп природних

бројева уређен скуп .

– Између два природна броја могу постојати други природни бројеви чији се број тачно

може одредити . На пример, између бројева 9 и 20 постоји 10 бројева; између 100 и 1 000 постоји

899 бројева итд . Бољи ученици могу извести и општи образац о броју бројева између два задата:

a – b – 1 . Почетно појашњење овог обрасца може се усмерити на разлику а – b, што заправо

представља укупан број бројева a + 1, a + 2, …, b – 1, b . Како се траже бројеви између a и b, то је

потребно избацити из ово низа број b, па и посматрану разлику умањујемо још за 1 .

– Између неких природних бројева не постоји ни један природан број, као нпр . између

5 и 6, 100 и 101, 2 001 и 2 002 итд . За два природна броја кажемо да су узастопни ако се између њих

не налази ниједан природан број . Важно је ученицима напоменути да је разлика два узастопна

природна броја стална и једнака јединици .

– У нижим разредима су научили појмове претходник и следбеник као и први претходник

и први следбеник . Треба им напоменути да ће појмови први претходник и први следбеник бити

замењени редом појмовима претходник и следбеник и да ће заправо сада значење ових речи

бити уже у односу на оно које су оне претходно имале .

22

– Одређени природан број можемо написати у општем облику и означити га словом,

на пример са n . Претходник ма ког природног броја n (већег од један) јесте број n – 1, а

следбеник је n + 1 . Напомена коју треба изнети јесте да је број 1 једини природан број који нема

претходника у овом скупу .

– На основу свега претходно изнетог, скуп природних бројева можемо записати и на

следећи начин:

1, 2, 3, . . ., n – 1, n, n + 1, . . . односно N = {1, 2, 3, . . ., n, . . .} .

Све изнете чињенице у вези са природним бројевима и уређеношћу овог скупа, ученици

могу лакше уочити ако им то прикажемо на бројевној полуправој и зато прво обнављамо и

проширујемо знања о њој .

Ученицима цртање бројевне полуправе можемо објаснити на следећи начин (који смо

речима записали и у Уџбенику): На полуправој са почетном тачком О, којој ћемо придружити

број 0, уочићемо произвољну тачку А и њој ћемо придружити број 1 . Дуж ОА називамо јединична

дуж, или дуж са мерним бројем 1 . Ако наставимо да из тачке А наносимо јединичну дуж на

полуправу са оне стране тачке А са које није тачка О, добијамо нове тачке B, C, D, E, . . . Како је

дуж ОВ састављена од две дужи ОА, тј . од две јединичне дужи, тачки В придружујемо број 2 . Дуж

ОС састављена је од три дужи ОА, тј . од три јединичне дужи, па тачки С додељујемо број 3 . Овај

поступак наставља се за сваку следећу тачку коју нацртамо на бројевној полуправој по принципу

наношења јединичне дужи . На овај начин свакој означеној тачки полуправе, осим почетне тачке,

одговара један природан број и обрнуто, сваком природном броју можемо одредити једну тачку

на полуправој .

О А В С D E 0 1 2 3 4 5

Полуправа на којој је одређена јединична дуж и на којој су тачке нанесене као што је

изнето назива се бројевна полуправа .

Битан је прелаз који код ученика треба направити кад уместо са произвољно нанесеном

тачкoм А ради са конкретно задатом јединичном дужи . Због тога треба пажљиво урадити и

поновити модификовано претходно објашњење на задатку 2 у Уџбенику .

Поред овога, ученицима треба скренути пажњу да јединична дуж, приликом представљања

великих бројева на бројевној полуправој, може бити толико занемарљиво мала да је не можемо

приказати на бројевној полуправој . Из тог разлога на бројевној полуправој у неким случајевима

23

представљамо само одређене „велике” бројеве који су нам битни за посматрану ситуацију

(објашњење је дато на страни 21 у Уџбенику) .

Упоређивање дужи на бројевној полуправој можемо користити за упоређивање бројева .

Због овог својства бројевну полуправу можемо звати и полуправа природних бројева .

Посматрајући полуправу природних бројева ученици могу уочити следеће:

– на бројевној полуправој мањи је онај број који се на бројевној полуправој налази лево

(ближи је нули);

– између два несуседна природна броја налази се коначан број природних бројева

– овде још једанпут може да се понови закључак да се између два природна броја налази

укупно а – b – 1 природних бројева;

– између два узастопна (суседна) природна броја не налази се ниједан природан број .

4.2.8. Сабирам и одузимам хиљаде и милионе

Ученици знају да изводе рачунске операције у оквиру бројева до 1 000 . Због тога знања

која су ученици усвојили користимо за проширивање на класе хиљада и милиона . Као и код

упознавања ученика са хиљадама, као помоћно средство са којим су ученици упознати у

свакодневном животу, користимо новац и сабирање и одузимање вредности на новчаницама .

Ученицима треба објаснити да сабирање и одузимање хиљада заправо представља проширивање

већ наученог сабирања само на новим класама бројева . Ово је најприкладније урадити и добром

визуелном представом, на пример:

7 + 5 = 12 14 + 23 = 37168 + 357 = 525

8 – 3 = 5105 – 41 = 64816 – 228 = 588

7 000 + 5 000 = 12 000 14 000 + 23 000 = 37 000168 000 + 357 000 = 525 000

8 000 – 3 000 = 5 000105 000 – 41 000 = 64 000816 000 – 228 000 = 588 000

7 000 000 + 5 000 000 = 12 000 000 14 000 000 + 23 000 000 = 37 000 000168 000 000 + 357 000 000 = 525 000 000

8 000 000 – 3 000 000 = 5 000 000105 000 000 – 41 000 000 = 64 000 000816 000 000 – 228 000 000 = 588 000 000

Увежбавање сабирања и одузимања хиљада и милиона са ученицима може да се провежба

задацима на 32 . и 33 . страни Радне свеске .

24

Све време док вршимо сабирање и одузимање, ученике покушавамо да навикнемо на

приказивање бројева на бројевној полуправој, па се у Радној свесци налазе и задаци у којима се

потенцира уочавање сабирања и одузимања на бројевној правој .

У овој лекцији са ученицима се могу провежбати основни задаци сабирања и одузимања које су ученици радили у трећем разреду, а примењени на класе хиљада и милиона . Као илустрацију примера, ученици могу радити задатке од 6 . до 9 . са 33 . стране Радне свеске .

4.2.9. Повезујем сабирање и одузимање

Будући да су се у претходним разредима операције сабирања и одузимања обрађивале

паралелно, ученици су већ интуитивно стекли представу о сабирању и одузимању као о инверзним

операцијама . Везу између сабирања и одузимања обрађивали су и раније, али сада стечено знање

треба уопштити на цео скуп природних бројева .

Опет за приказивање датих операција користимо бројевну полуправу .

Ученици се подсећају, да ако за бројеве a, b и c важи a + b = c, онда важи

c – b = a и c – a = b

Ову чињеницу уопштавамо на скуп природних бројева . Такође, ученици треба да закључе и да се из једнакости c – b = a могу извести и следеће једнакости:

а + b = c и c – a = b

Увежбавање повезаности сабирања и одузимања може се остварити на примерима датим у Радној свесци на страни 34 .

25

4.2.10. Сабирам природне бројеве

На основу знања стечених у претходним разредима о сабирању бројева у оквиру прве

хиљаде, поступак сабирања треба проширити и у оквире следећих класа декадног бројевног

система .

Сабирање природних бројева разврстано је у три лекције у оквиру којих ученници:

– прво врше сабирања два броја у оквиру истих класа (без прелаза са класе јединица на

класу хиљада, . . .);

– након тога изводе сабирања како у случају када су бројеви истих класа па постоји пренос

на вишу класу, тако и у случају када су највише класе бројева различите;

– и на крају сабирају произвољан број сабирака и траже збир .

Као уводни задаци код сабирања природних бројева учитељ треба да користити примере

сабирања троцифрених бројева чији збир не прелази хиљаду и анализирати поступак сабирања

троцифрених бројева у оквиру прве хиљаде (прво без преласка, а затим са преласком декадне

јединице) . По аналогији са сабирање у оквиру бројева прве хиљаде, уводимо основе сабирања

ма која два природна броја .

Начини сабирања које презентујемо ученицима су претходно научени усмени и писмени

поступак, са малом модификацијом усменог начина сабирања који је у овом разреду више

прилагођен практичним ситуацијама са којима се ученици могу срести у свакодневном животу .

И поред оваквог приступа учитељима је остављена слобода да са ученицима могу прво радити

класичним усменим сабирањем (додавањем одговарајућих вишеструких декадних јединица

првом сабирку) или другим одговарајућим груписањима .

Писмено сабирање је ученицима свакако ближе од усменог, првенствено због могућег

спољашњег утицаја и помоћи коју добијају ван школе . Почетни задаци код писменог сабирања

реализовани су помоћу квадратне мреже како би се ученицима олакшало правилно потписивање

и учитељу дала шанса да још једном инсистира на правилном начину потписивања сабирака

(јединица испод јединица, десетице испод десетица, стотине испод стотина, . . .) .

Сабирање бројева где постоји прелаз из једне класе у другу треба започети задацима

сабирања два троцифрена броја чији је збир већи од хиљаду . Поступак сабирања може се

објаснити шемом датој на 27 . страни Уџбеника .

26

C Д Ј C Д Ј9 4 6

+ 5 3 214 7 8

C Д Ј C Д Ј9 4 6

+ 5 3 21 4 7 8

хиљаде хиљадејединице јединице

У објашњењу свакако треба потенцирати на месној вредности цифара које сабирамо:– 6 јединица плус 2 јединице јесу 8 јединица, па на месту јединица у шеми лево пишемо 8 . – 4 десетице плус 3 десетице јесу 7 десетица, па на месту десетица пишемо 7, и– 9 стотина плус 5 стотина јесу 14 стотина . У 14 стотина имамо 1 јединицу хиљада и 4

стотина, па на месту стотина пишемо 4, а на месту јединица хиљада 1 . После увежбавања на неколико сличних примера треба прећи на сабирања бројева са

више цифара на којима би ученици поновили научени поступак . Посебну пажњу треба обратити на сабирања код којих је број сабирака већи од два . Интересантан пример може бити разрада сабирања са фискалног рачуна из продавнице .

Иако је усвајање поступка сабирања битан предуслов даљег доброг математичког образовања ученика, његово увежбавање никако не сме представљати пуку аутоматизацију већ са ученицима треба радити што разноврсније задатке логичко-комбинаторног типа, па свакако препоручујемо учитељима да са ученицима прораде и изанализирају начин мишљења и контекст задатака са четрдесете и четрдесет прве стране радне свеске .

Пре него што се пређе на одузимање природних бројева, било би добро организовати кратку проверу, у којој би се ученицима дало више примера сабирања два или три сабирка, са циљем да се добије повратна информација о степену савладаности технике сабирања .

4.2.11. Одузимам природне бројеве

Обраду одузимања природних бројева започињемо подсећањем ученика на одузимање

троцифрених бројева (946 – 357) са којим су се детаљно упознали у трећем разреду . Како су

ученици већ упознати и са усменим и са писменим одузимањем, а како у свакодневном школском

раду сматрамо да је мало запостављено усмено одузимање, ученике детаљно подсећамо на

донекле измењен начин усменог одузимања који им може користити у свакодневним практичним

ситуацијама, док писмено одузимање по аутоматизму настављамо ослањајући се на знања из

трећег разреда . Код усменог одузимања број 946 записујемо као збир бројева 800 и 146 (у овом

случају 946 не можемо записати као збир бројева 900 и 46, јер од 46 не можемо одузети број 57) .

Затим од броја 800 одузимамо 300, а од 146 одузимамо 57, и рачунамо збир добијених разлика .

27

946 – 357 = (800 + 146) – (300 + 57) = (800 – 300) + (146 – 57) = 500 + 89 = 589

Исти поступак примењујемо и на веће бројеве . На примеру одузимања где умањеник

и умањилац имају исте класе јединица као у претходном примеру објашњавамо поступак

израчунавања разлике, а затим помоћу шеме објашњавамо и поступак писменог одузимања .

хиљаде јединицеC Д Ј C Д Ј

1 3 9 4 6– 8 3 5 7

5 5 8 9

Објашњење поступка треба да се ослања на већ научени поступак у блоку бројева до

хиљаду и да представља његово природно проширење . Објашњење треба да се у првим

примерима ослања на инсистирање на месној вредности цифара, а након аутоматизације

поступка изговарање месних вредности може да се изостави:– 7 јединица не можемо да одузмемо од 6 јединица па са месне вредности десетица

једну десетицу преводимо у јединице . Сада на месту јединица имамо 1Д + 6Ј = 16Ј, па је 16Ј – 7Ј = 9Ј, и на месној вредности јединица резултата пишемо 9 .

– На месту десетица умањеника остале су 3 десетице . Како од 3 десетице не можемо одузети 5 десетица, са ммесне вредности стотина узимамо једну стотину и преводимо је у десетице . Сада на месту десетица имамо 1С + 3Д = 13Д, па је 13Д – 5Д = 8Д, и на месној вредности десетица резултата пишемо 8 .

– На месту стотина умањеника остало је 8 стотина . Како је 8С – 3С = 5С на месној вредности стотина резултата пишемо 5 .

– 8 јединица хиљада не можемо одузети од 3 јединице хиљаде . Опет са месне вредности десетица хиљада једну десетицу преводимо у јединице хиљада па имамо 1ДX + 3JX = 13JX . Oд 13ЈХ одузимамо 8ЈХ и на месној вредности јединица хиљада резултата пишемо 5 .

Увежбавање одузимања треба радити на примерима у Уџбенику . У првим примерима ученицима су дати задаци у којима рачунају и усмено и писмено, а након у задацима је предвиђено да ученици рачунају само писмено, било са хоризонталним или вертикалним записом .

Како су ученици већ обрадили сабирање, код одузимања се у неким примерима може инсистирати и на провери тачности резултата . Учитељ треба да их подсети на везу између сабирања и одузимања, и на неколи примера да врше проверу сабирањем разлике и умањиоца . Запис провере тачности резултата може бити у почетку одвојен од одузимања:

1 3 8 3 1 Провера: 9 4 5 5 – 4 3 7 6 + 4 3 7 6

9 4 5 5 1 3 8 3 1

28

а касније проверу могу обављати на већ оствареном запису, сабирањем разлике и умањиоца, нпр .

2 4 8 2 2– 4 4 6 62 0 3 5 6

уз објашњење:– 6Ј плус 6Ј је 12Ј . 2Ј су на месту јединица умањеника, а 10Ј преводимо у 1Д и преносимо

на месну вредност десетица .– 5Д плус 6Д је 11Д, плус 1Д као пренос са месте вредности јединица је 12Д . 2Д су на месту

десетица умањеника, а 10Д преводимо у 1С и преносимо на месну вредност стотина .– 3С плус 4С је 7С, плус 1С као пренос са месне вредности десетица је 8С, које су на месној

вредности стотина умањеника .– 20ЈХ плус 4ЈХ су 24ЈХ, које стоје на месту јединица хиљада умањеника, па закључујемо да

је одузимање тачно извршено .

Наставак садржаја о одузимању односи се на одузимање вишецифрених бројева код којих је број у класи јединица умањеника мањи од броја у класи јединица умањиоца . Овакав начин одузимања спроведен је кроз следеће специфичне случајеве који воде до општег случаја:

– када класе јединица умањеника и умањиоца имају само стотине;– када је класа јединица умањеника троцифрени број, а умањиоца стотина;– када су класе јединица умањеника и умањиоца троцифрени бројеви и на месним

вредностима јединица и десетица нема потребе за превођењем јединице вишег реда .Као најопштији посебно обрађен случај дато је одузимање где постоји потреба за

превођењем на више места од јединица вишег реда (31 . страна Уџбеника), а специјално када су у класи јединица све цифре 0 (32 . страна Уџбеника) . Поступак који се обрађује дат је помоћу низа шема .

Објашњење које учитељ може интерпретирати ученицима може да гласи:Примећујемо да умањеник није довољно „добар” за одузимање, па морамо да га

трансформишемо . Пратимо стрелицу и уписујемо умањеник у „средњу” шему .- цифра јединица умањиоца је 0, а умањеника 6, могуће је одузимање, па у „средњу” шему на

место једница умањеника пишемо 6, а на месту јединица умањиоца 0;- цифра десетица умањиоца је 7, а умањеника 3, преводимо 1 стотину у десетице, па имамо

1С + 3Д = 10Д + 3Д = 13Д, па на месту десетица умањеника пишемо 13, а умањиоца 7;

29

- како смо једну стотину превели у десетице, на месту стотина пишемо 3, а на месту стотина умањиоца преписујемо 5;

- цифре на местима јединица хиљада умањеника и умањиоца преписујемо .Како умањеник и даље није довољано „добар”, настављамо са трансформисањем . Сада опет

пратимо стрелицу и умањеник уписујемо у шему са десне стране .- преписујемо на место јединица 6, а на место десетица 13; - умањилац на месту стотина има цифру 5, а умањеник 3, па преводимо једну јединицу хиљада

у стотине и добијамо 10С + 3С = 13С и 13 уписујемо на место стотина умањеника;- на месту јединица хиљада умањеника остаје 8 .Умањилац преписујемо у другу шему . Сада лако вршимо одузимање у трећој шеми где је

могуће извршити сва назначена одузимања и долазимо до траженог резултата .Обраду одузимања природних бројева завршавамо случајевима одузимања од вишеструких

хиљада (вишеструких десетица хиљада, стотина хиљада, вишеструких јединица милиона, . . .) . Овај случај одузимања ученицима задаје посебних потешкоћа, па смо га посебно и обрадили у Уџбенику . Један облик овог поступка рачунања ученици су упознали у трећем разреду, када су од 1 000 одузимали неки број прве хиљаде . На почетку часа може се урадити неколико примера одузимања од 1 000, као на пример: 1 000 – 5, 1 000 – 42, 1 000 – 689 . У Уџбенику су дате две шеме оваквог типа одузимања .

Код објашњавања општег поступка одузимања битно је напоменути да уколико се број завршава са више нула онда са позиције најмање месне вредности на којој је цифра различита од нуле вршимо претварање по једне одговарајуће јединице у мање све док не дођемо да приликом оваквог претварања на месту јединица умањеника имамо 10Ј .

Као код сабирања, тако и код одузимања, ученицима је представљено доста задатака код којих је потребна већа мисаона активација да би ученици могли да реше задатке . При решавању задатака ученицима је потребно предочити најразличитије начине решавања задатака, а као једну илустрацију наводимо 5 . задатак са 46 . стране Радне свеске:

30

5. На једној фарми за 5 месеци три краве дале су укупно 14 001 литар млека. Прва и друга крава дале су укупно 10 176 литара, а друга и трећа укупно 9 119 литара. Колико је литара млека дала свака крава?

Одговор: Дато је да су 3 краве дале укупно 14 001 литар млека . То можемо представити на следећи

начин:

14 001 ℓ

Прва и друга крава дале су укупно 10 176 ℓ млека .

10 176 ℓ

14 001 ℓ

Од укупне количине млека које су дале све три краве одузимамо колико су укупно дале прва и друга крава и добијамо колико је млека дала трећа крава: 14 001 – 10 176 = 3 825 .

3 825 ℓ

9 119 ℓ

Даље у задатку дато је да су друга и трећа крава дале укупно 9 119 литара млека .

9 119 ℓ14 001 ℓ

Лако рачунамо колико је млека дала друга крава, тако што од количине млека коју су укупно

дале друга и трећа крава одузимамо количину млека коју је дала трећа крава:

9 119 – 3 825 = 5 294 .

Колико је литара млека дала прва крава рачунамо тако што од укупне количине млека одузмемо

млеко добијено од друге и треће краве .

У раду са ученицима све време је битно инсистирати на општем поступку и не везивати

се за конкретне бројевне вредности, како би се у сличној ситуацији ученици адекватно снашли .

31

Код свих задатака оваквог и сличног типа са ученицима је битно разговарати о условима задатка:

– које вредности утичу на решење задатка;

– да ли има података који нису употребљени у задатку;

– на који начин промена одговарајућих вредности утиче на решење задатка .

Поред овога веома је битно уважити и различите начине решавања задатка, тј . сагледати

да ли су ученици у стању да пронађу другачије начине израде и евентуално и показати још неки

могући начин решавања до кога нису дошли .

На пример, претходни задатак могао је да се уради на још два начина:

а) Најпре су могли да од млека које су све краве дале одузму укупну количину млека које

су дале друга и трећа, па да израчунају колико је прва крава дала . Затим, од количине млека које

су дале прва и друга крава да одузму колико је дала прва и израчунају количину млека коју је дала

друга крава . И на крају од количине млека које су дале друга и трећа крава да одузму колико је

дала друга и израчунају колико је дала и трећа крава .

б) Како је познато колико укупно млека су дале прва и друга крава и друга и трећа,

сабирањем ова два броја добићемо количину млека коју су укупно дале прва, трећа и двоструку

вредност млека друге краве . Ако од овог броја одузмемо колико су укупно дале све три краве,

одмах добијамо колико је дала друга крава . Одузимањем овог броја од парцијалних збирова

датих у задатку, добијамо колико су дале и прва и трећа крава .

Након обраде и краћег утврђивања одузимања ученици треба да раде задатке који су

дати од 48 . до 52 . стране у Радној свесци, а у којима се упоредо јављају обе обрађене рачунаске

операције у скупу природних бројева . Поред тога, задаци који су на овим странама дати треба

да послуже и за навођење ученика да интуитивно наслуте у којим границама и којим класама ће

припадати подаци тражени у задатку . На пример, у 2 . задатку на 48 . страни од ученика се тражи да

споје по два броја чији је збир 58 002, гледајући само хиљаде . Овде се може објаснити ученицима

да у оваквим проценама заправо тражимо два броја чији је збир бројева у класи хиљада 58 или

нешто мањи .

4.2.12. Текстуални задаци

Текстуалне задатке ученици решавају од првог разреда и треба их што више користити

као садржаје разних вежбања, при чему ученици у разним животним ситуацијама уочавају

одговарајуће математичке релације и обратно, математичким релацијама могу придружити неку

хипотетичку (претпостављену) животну ситуацију .

32

Текстуални задаци које ученици решавају никако не смеју да се сведу на визуелно уочавање

бројева и њихово уланчавање при формирању израза, већ се из сваког текстуалног задатка треба

извући максимум у смислу развијања ученичких способности и њиховог напредовања . Код сваког

текстуалног задатка учитељ са ученицима може водити разговор о следећим чиниоцима:

– уочавању проблемске ситуације задатка;

– уочавању услова задатка који су задати;

– уочавање вредности које је потребно израчунати;

– детерминисање стратегије израчунавања непознатих вредности;

– вербализација добијених вредности;

– зависност решења од промене података који су задати у задатку .

Илуструјмо могући начин анализе текстуалног задатка на примеру 13 . задатка са 51 . стране

у Радној свесци, који се може анализирати следећим низом питања .

13. У једном месту живи 88 000 становника. Одраслих мушкараца је 36 416, а жена 2 127 више него мушкараца. Остало становништво чине деца. Колико деце живи у том граду?

Одговор:

– О чему се говори о задатку (при анализи инсистирати само на уочавању проблемске

ситуације без сагледавања бројевних вредности које се помињу у задатку);

– Шта је познато у задатку (ученици треба да кажу које вредности су познате, тј . за које

елементе су нам познате вредности);

– Шта је потребно израчунати;

– На који начин можемо да израчунамо непознату величину (при чему инсистирамо на

избегавању изговарања бројевних вредности већ само величина);

– Да ли непознату можемо директно израчунати (помоћу података који су нам дати);

– Да ли би промена броја мушкараца или жена утицала и како на број деце у том граду, под

условом да укупан број становника остане исти?

4.2.13. Мењам места сабирцима

Један од оперативних задатака у настави математике у четвртом разреду јесте да ученици

умеју да примењују упозната својства рачунских операција при трансформисању израза и у

случају рачунских олакшица .

33

Једно од својстава сабирања које ученици познају још од првог разреда јесте замена

места сабирака . Од ученика не треба тражити да знају термин комутативност .

При поновној обради у четвртом разреду прво се врше припремна увежбавања, на основу

којих ученици, на конкретним примерима, уочавају да се вредност збира не мења ако сабирци

замене места . Затим се записују својства у општем облику користећи словне ознаке . Као што је

истакнуто у Уџбенику на 50 . страни, треба нагласити да ово својство важи за све природне бројеве

(са појмом природни број ученици су упознати на почетку четвртог разреда) . За увежбавање

својства комутативности ученици могу радити примере са 76 . стране Радне свеске .

Потребно је истаћи да замена места сабирака често може представљати олакшицу при

рачунању . Напоменимо још једну веома битну чињеницу коју учитељи морају имати на уму при

обради замене места сабирака . У претходним разредима замена места сабирака је обрађивана

на начин да ученици уоче да при одређивању укупног броја елемената два скупа остаје исти ма

којим редом сабирали број елемената тих скупова . У четвртом разреду потребно је ову чињеницу

пренети на математички формалнији ниво и ученике упутити у шире математичко значење овог

својства .

4.2.14. Здружујем сабирке

Здруживање сабирака такође је својство сабирања које је ученицима већ познато, само

га сада примењују у скупу природних бројева . Након неколико конкретних примера који су

ученицима приказани на 51 . страни Уџбеника, уопштавамо познато својство и симболички га

записујемо користећи словне ознаке . При раду са ученицима треба истицати практичну страну

здруживања сабирака и да ово својство често може представљати олакшицу при рачунању .

Битно је напоменути једну чињеницу учитељима које треба да се придржавају при

обради ове наставне јединице . У нижим разредима ученици су научили да ма како здружили

сабирке, збир се не мења . При обради ове наставне јединице у претходним разредима често су

коришћена три скупа са различитим бројем елемената где смо произвољно груписали по два

скупа, израчунавали укупан број елемената та два скупа, па том броју додавали број елемената

трећег скупа, и на тај начин долазили до закључка да је:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b.

У формализацији својства здруживања сабирака комплетну линију претходних једнакости

није могуће показати само користећи ово својство . Наиме својство здруживања сабирака нам

34

омогућава закључивање да је (a + b) + c = a + (b + c), па због тога у овој лекцији само и показујемо

овај део, док за последњу једнакост мора се користити и својство замене места сабирака, па је

због тога последња једнакост и издвојена у посебној лекцији и у Уџбенику и у Радној свесци .

4.2.15. Мењам места и здружујем сабирке

Наставак претходне наставне јединице представља наставна јединица у којој ученике

заправо упознајемо са математички заснованом чињеницом да три сабирка можемо сабрати

групишући сабирке на произвољан начин, а користећи претходна својства која су ученици

радили . Поједностављено речено, циљ ове наставне јединице јесте да се ученицима покаже

зашто важи (a + b) + c = (a + c) + b . Са начином показивања важења претходне једнакости свакако

можемо упознати боље ученике представљајући им следећи низ једнакости и објашњавајући

кораке који су прављени:

(a + b) + c = a + (b + c), (здруживање сабирака)

= a + (c + b), (замена места сабирака)

= (a + c) + b. (здруживање сабирака)

Поједностављени пример којим ученике можете увести у оваква разматрања дат је на 52 .

страни Уџбеника . Учeници треба да израчунају збир

(4 560 + 8 999) + 2 440

навођени да најпре замене места сабирцима у загради, а након тога да изврше здруживање

сабирака, након чега рачунајући долазе до збира вишеструке хиљаде и четвороцифреног броја,

уочавајући сврху комбиновања замене места сабирака и здруживања сабирака .

Задаци којима се може увежбавати комбинација два својства налазе се на 78 . страни Радне

свеске . Петим задатком на овој страни, када се од ученика тражи да број 46 253 напишу на шест

начина као збир три дата сабирка, уводимо елементе комбинаторике . Може се дати још сличних

примера за рад у свескама (на пример, да неки број запишу као збир три, а после и четири дата

сабирка на могући број начина) . Посебно би са бољим ученицима могао да се размотри задатак

да се број 3 004 запише као збир три четвороцифрена броја не узимајући у обзир замену места

сабирака на све могуће начине (1 000 + 1 000 + 1 004, 1 000 + 1 001 + 1 003, 1 000 + 1 002 + 1 002,

1 001 + 1 001 + 1 002) . Или, слично, број 4 005 написати као збир 4 четвороцифрена броја на све

могуће начине, чиме би се проширили већ познати примери дешифровања типа ** + * = 105 или

*** + ** = 1 097 .

35

Скрећемо пажњу и на 2 . задатак у Уџбенику где је ученицима показана идеја груписања и

израчунавања збира више узастопних природних бројева, која може да се разрађује на додатној

настави .

4.2.16. Зависност збира од сабирака

Да би се рационализовало извођење сабирања потребно је да се ученици упознају са

везом између збира и сабирака, односно да уоче како се вредност збира мења у зависности од

промене једног од сабирака или оба сабирка истовремено .

У упознавању ученика са променом збира у зависности од промене сабирака полазимо

од конкретних примера . На 53 . страни Уџбеника дат је пример збира

1 200 + 500 = 1 700,

у коме се први сабирак увећава за 100, 200, 300, а погодном представом ученицима је

приказано да се и збир увећава за исти тај број (100, 200 и 300, редом) . Исти поступак примењује

се и за други сабирак . Након тога први сабирак се умањује за 100, 200, 300 и опет погодном

представом збира ученици треба да уоче да се и збир умањује онолико за колико је умањен први

сабирак . Исто резоновање је примењено и за умањење другог сабирка .

Овако уочене зависности након конкретизације представљамо у Уџбенику и симболичким

записом .

a, b, c, x ∈ N a + b = c

за а > x или а = x важи (a – x) + b = c – x

за b > x или b = x важиa + (b – x) = c – x.

a, b, c, x ∈ Na + b = c

(a + x) + b = c + xa + (b + x) = c + x

Случај када се један од сабирака умањује за неки број, мора се пропратити условом да број

за који умањујемо сабирак мора бити мањи или једнак том сабирку, ради добре дефинисаности

сабирака у скупу природних бројева . Пошто ученици још нису упознати са ознаком „≥”, то

записујемо користећи знаке > и = на следећи начин:

„ . . . за а > x или а = х важи . . .” .

36

Ови услови су назначени само код симболичког записа правила, док у задацима

подразумевамо да важе .

Иако у уџбеничком комплету у овој наставној јединици нису дати примери промене оба

сабирка за различите бројеве, учитељ може са ученицима да провежба неколико примера типа

„Ако је 4 456 + 1 579 = 6 035, израчунај вредност израза (4 456 ± 2 154) + (1 579 ± 384)“, где учитељ

произвољно може изабрати знаке у загради . Код оваквих примера битно је ученике усмерити да

не рачунају одмах вредности израза у заградама па онда тражени збир, већ да на већ постојећи

збир пре промене сабирака редом уоче промену једног сабирка, па другог и одговарајућим

рачунским операцијама да манипулишу само са претходним збиром и променама сабирака .

На пример: (4 456 – 2 154) + (1 579 + 384) = (6 035 – 2 154) + 384 = 3 881 + 384 = 4 265 .

4.2.17. Непроменљивост збира

Непроменљивост (сталност) збира такође треба обрађивати полазећи од конкретних

примера, на основу којих се изводи правило и симболички запис . Поред овога, учитељ се може

позвати на претходно показани поступак у делу 4 .2 .16 . из последњег пасуса .

Иако је ова наставна јединица природно надовезана на претходну и на њу се наслања,

посебно је битно истаћи практичну примену непроменљивости збира, а за то је погодан 7 .

задатак на 81 . страни Радне свеске . У овом задатку ученици могу увидети зашто непроменљивост

збира може представљати олакшицу при рачунању и да при менталном рачунању користећи ову

олакшицу бројеве блиске некој вишеструкој декадној јединици могу лакше сабирати .

4.2.18. Зависност разлике од промене умањеника и умањиоца

Ученицима је позната зависност разлике од промене умањеника и умањиоца за бројеве

прве хиљаде . Сада то треба проширити на цео скуп природних бројева . И овде полазимо од

конкретних примера, а затим уопштавамо .

У почетку је препоручљиво користити „једноставније” разлике (тј . када су цифре јединица

десетица умањеника и умањиоца нуле) јер у њима ученици лакше уочавају промену разлике у

зависности од промене умањеника и умањиоца . Ово се све уопштава и записује симболички:

37

Значи, за свакоa, b, c, x ∈ N

ако важи a – b = c, онда(a + x) – b = c + x

за c > x или c = x важи(a – x) – b = c – x.

a, b, c, x ∈ Na – b = c

за c > x или c = x важиa – (b + x) = c – x,

за b > x или b = x важиa – (b – x) = c + x.

И док је зависност збира од сабирака, и разлике од умањеника директна, тј . како се мењају

сабирци или умањеник, тако се мењају и збир или разлика, зависност разлике од умањиоца није .

Због тога је потребно са ученицима јасно разграничити начине промена како у даљем раду не

би постојали евентуални проблеми . Управо због тога је битно детаљно изанализирати и урадити

задатке на 85 . страни Радне свеске .

4.2.19. Непроменљивост разлике

Непроменљивост (сталност) разлике је тежа за ученике у односу на сталност збира па је и

приступ за нијансу другачији . Ученике још једном подсећамо на зависности разлике од промене

умањеника и умањиоца, а тек након тога на промене оба члана у рачунској операцији одузимања .

Поред примера датог у Уџбенику учитељ са ученицима може урадити и додатне примере у којима

се и умањеник и умањилац мењају за одређене бројеве (прво различите, а онда и исте како би

уочили својство) . Као честа грешка ученика код задатака где постоји промена и умањеника и

умањиоца јавља се израчунавање вредности израза прво у заградама, а након тога одређивање

добијене разлике . Управо због тога потребно је инсистирати на сабирању или одузимању са

бројевима који представљају промене са претходно израчунатим разликама, како би изучавање

ове наставне јединице имало смисла .

Након конкретних примера ученицима се представља симболички запис непроменљи-

вости разлике где, као и код непроменљивости збира на условима само инсистирамо и

записујемо их код записа правила, а касније их подразумевамо .

38

a, b, c, x ∈ Na – b = c

(a + x) – (b + x) = cЗа b > x или b = x

важи:(a – x) – (b – x) = c.

4.2.20. Сабирам и одузимам

У наставној јединици Сабирам и одузимам ученици ће обновити, проширити и утврдити

раније стечена знања о овим рачунским операцијама . На страни 88 . дата је укрштеница коју

ученици треба да попуне . Они углавном већ знају принцип попуњавања укрштенице, али ако

постоји потреба, треба им објаснити тај поступак .

У осталим задацима на странама 89 и 90 треба инсистирати да ученици текстуалне задатке

записују бројевним изразима и да их речима исказују, тј . да их читају .

Ево детаљније разраде 9 . задатка са 90 . стране Радне свеске .

Овај задатак поред текстуалног дела има и шематски приказ .

39

Како су мере у задатку дате у различитим мерним јединицама, пре него што пређу на

решавање задатка, ученици треба дате мере да претворе у граме .

15 kg = 15 000 g

3 kg 500 g = 3 500 g

8 kg 200 g = 8 200 g

На шеми је дат приказ ситуације после пребацивања брашна . Плавом бојом представљено

је брашно из прве вреће, црвеном из друге и зеленом из треће . Веома лако се сада може рачунати

колико је брашна било пре пребацивања . Како је брашно из прве вреће означено плавом бојом

то је збир маса које су представљене плавом бојом једнако маси брашна у првој врећи . Масу

у другој и трећој врећи израчунавамо одузимањем одговарајућих маса представљених плавом

бојом од 15 килограма .

Прва врећа: 15 000 g + 3 500 g + 8 200 g = 26 700 g

Друга врећа: 15 000 g – 3 500 g = 11 500 g

Трећа врећа: 15 000 g – 8 200 g = 6 800 g

Сада вршимо проверу . Када се из прве вреће пребаци у другу 3 500 g, а у трећу 8 200 g, у

првој остаје

26 700 g – (3 500 g + 8 200 g) = 26 700 g – 11 700 g = 15 000 g .

Када се другој врећи дода 3 500 g, у њој има 11 500 g + 3 500 g = 15 000 g .

Када се трећој врећи дода 8 200 g, у њој има 6 800 g + 8 200 g = 15 000 g .

4.2.21. Множим и делим – обнављање

Множење и дељење једноцифреним бројем које ученици познају у оквиру прве хиљаде,

представља основу за извођење тих операција у скупу природних бројева . Зато је веома важно

да се у потпуности разуме сваки корак множења и дељења до 1 000 . Ученике треба детаљно

подсетити на поступак и усменог и писменог множења и дељења у оквиру бројева до 1 000 .

Интуитивно ученици већ имају представу да су множење и дељење инверзне операције

(не користимо термин „инверзно”) . На примерима су уочили да се дељење може проверити

множењем .

За схватање поступка множења и дељења потребно је обновити множење збира и разлике

бројем . Правило множења збира и разлике бројем познато је као дистрибутивно својство

множења, али се овај термин на овом степену учења математике не уводи .

40

У Уџбенику на 62 . страни дат је пример у коме је у 5 кутија распоређено по 30 свезака

са плавим и по 100 свезака са црвеним корицама . Задатак ученика је да израчунају укупан број

свезака у тим кутијама . На примерима оваквог типа ученике подсећамо на два различита начина

одређивања укупног броја свезака:

– то могу рачунати тако што прво израчунају укупан број свезака у једној кутији, па

добијени број помноже са бројем кутија:

(100 + 30) · 5 = 130 · 5 = 650 .

– могу рачунати и тако што посебно рачунају укупан број свезака са плавим и посебно

укупан број свезака са црвеним корицама, па добијене бројеве саберу:

100 · 5 + 30 · 5 = 500 + 150 = 650 .

Помоћу једнакости броја свезака на оба начина израчунавања, долазимо до тврђења које

нам је од интереса:

(100 + 30) · 5 =100 · 5 + 30 · 5 .

Аналогни поступак описујемо и за множење разлике . Након тога правило се уопштава на

цео скуп природних бројева и записује симболички словима . Исти поступак примењује се и за

дељење збира и разлике бројем .

4.2.22. Множим вишецифрене бројеве декадним јединицама

При обради ове наставне јединице, полазимо од знања која ученици већ поседују:

множења јединица, десетица и стотина бројем 10 . На основу овога изводимо множење

троцифреног броја бројем 10, а затим, на сличан начин, бројем 100 .

Ученици закључују да множењем неког броја са 10, јединице постају десетице, десетице

стотине, стотине јединице хиљада, итд ., а множењем са 100 јединице постају стотине, десетице

јединице хиљада, стотине десетице хиљада, итд . Треба инсистирати пре свега на суштинском

значењу поступка множења, а тек онда треба показати практично извођење ове рачунске

операције: број множимо бројем 10 тако што му са десне стране допишемо једну нулу, са 100 тако

што му са десне стране допишемо две нуле, са 1000 тако што му са десне стране допишемо три

нуле . . .

41

Инверзно, ако делимо број са 10, десетице постају јединице, стотине десетице, јединице

хиљада стотине . . . Ако делимо са 100, стотине постају јединице, јединице хиљада постају десетице, . . .

При дељењу вишецифреног броја декадном јединицом потребно је истаћи ученицима да број

који делимо мора да се завршава са исто или више нула од декадне јединице којом делимо (у

супротном број неће бити дељив том декадном јединицом) . На основу везе множења и дељења

ученици треба да закључе да ако је 45 · 10 = 450, онда је 450 : 10 = 45 и слично .

На основу претходног ученици треба да закључе да количник неког броја и декадне

јединице добијамо тако што са десне стране дељеника изоставимо онолико нула колико их има

декадна јединица којом делимо . На примерима датим од сто четврте до сто седме стране радне

свеске ученици треба да утврде стечено знање .

Напоменимо да пре почетка израде 3 . задатка на страни 106 са ученицима треба поновити

односе између јединица мере које се користе у задатку, а пре решавања 6 . задатка на страни 107,

треба поновити правило множења и дељења збира и разлике бројем .

4.2.23. Множим и делим једноцифреним бројем

Обраду множења и дељења једноцифреним бројем започињемо множењем и дељењем

вишеструких декадних јединица једноцифреним бројевима и његовим свођењем на множење и

дељење природног броја декадном јединицом .

Полазећи од 6 · 8 = 48, ученици закључују да је 60 · 8 = 480, јер је 60 = 6 · 10, па је:

(6 ·10) · 8 = 6 · (10 · 8) = 6 · (8 · 10) = (6 · 8) · 10 = 48 · 10 = 480 .

Слично је и 600 · 8 = 4 800, јер је:

(6 · 100) · 8 = 6 · (100 · 8) = 6 · (8 · 100) = (6 · 8) · 100 = 48 · 100 = 4 800 .

Нуле првог чиниоца и производа у Уџбенику обојене су зеленом бојом, што ученицима

олакшава да уоче да практично множе 6 · 8, а дописују онолико нула колико их има први чинилац .

Слично је и за количник . На пример: 54 : 9 = 6, па је 540 : 9 = 60, јер је:

(54 · 10) : 6 = (54 : 6) · 10 = 9 · 10 = 90,

и 5 400 : 6 = 900, јер је:

(54 · 100) : 6 = (54 : 6) · 100 = 9 · 100 = 900 и слично .

Алтернативно учитељ може користити и следећи запис за претходна множења и дељења,

а у циљу бољег појашњења ученицима:

Како је 6 · 8 = 48, то је 600 · 8 = 6С · 8 = 48С = 4 800,

или

како је 54 : 9 = 6, то је 5 400 : 9 = 54С : 9 = 6С = 600 .

42

4.2.24. Множим једноцифреним бројем

Објашњење множења природног броја једноцифреним бројем приказано је и усменим и

писменим путем и оба поступка су детаљно објашњена .

Објашњавање је аналогно прилазу који је урађен у блоку бројева до 1 000 . Прво разматрамо

случај у коме производ једноцифреног броја и свих цифара природног броја, на свим месним

вредностима, није већи од 9 .

2 000 6 000

6 963

963321

2 321

· 3

· 3+

2 3 2 1 · 3

6 9 6 3

Код писменог множења придржавамо се претходно наученог поступка . Говоримо:

– 3 пута 1 јединица су 3 јединице, испод јединица пишемо 3;

– 3 пута 2 десетице су 6 десетица, испод десетица пишемо 6;

– 3 пута 3 стотине су 9 стотина, пишемо 9 на месту стотина;

– 3 пута 2 јединице хиљада су 6 јединица хиљада, пишемо 6 на месту јединица хиљада .

Након увежбавања на 1 . задатку из Радне свеске на страни 109 и 1 . задатка из Уџбеника

на 66 . страни, објашњавамо поступак множења када је производ јединица, десетица или стотина

већи од 9 . Поступак рачунања представљен је шемом:

C Д Ј C Д Ј3 4 5 6

ХИЉАДЕ ЈЕДИНИЦЕC Д Ј C Д Ј

1 0 3 6 8

ХИЉАДЕ ЈЕДИНИЦЕ

C Д Ј C Д Ј9 12 15 18

ХИЉАДЕ ЈЕДИНИЦЕC Д Ј C Д Ј

9 12 16 8

C Д Ј C Д Ј9 13 6 8

· 3 =· 3

ХИЉАДЕ ЈЕДИНИЦЕ ХИЉАДЕ ЈЕДИНИЦЕ

Ову шему можемо објаснити на следећи начин:

Пратимо стрелицу и множимо редом цифре јединица, па цифре десетица, стотина и на

крају јединица хиљада са 3:

– 3 пута 6 јединица су 18 јединица;

– 3 пута 5 десетица су 15 десетица;

43

– 3 пута 4 стотине су 12 стотина;

– 3 пута 3 јединице хиљада су 9 јединица хиљада .

Опет пратимо стрелицу и рачунамо: 18Ј = 1Д + 8Ј . На месној вредности јединица пишемо

8, десетица 15Д + 1Д = 16Д, а остало преписујемо .

Пратимо стрелицу: 16Д = 1С + 6Д, па пишемо 8 јединица, 6 десетица, 13 стотина

(12С + 1С = 13С) и 9 јединица хиљада .

Опет пратимо стрелицу и пишемо 8 јединица и 6 десетица . Како је 13С = 1ЈХ + 3С, на месној

вредности стотина пишемо 3, а на месној вредности јединица хиљада имамо 9ЈХ и додајемо још 1ЈХ,

што је 1 десетица хиљада, па на месту јединица хиљада пишемо 0, а на место десетица хиљада 1 .

Претходно описани поступак са ученицима понављамо неколико пута како би се

подсетили суштине множења, а свакако је битно и увежбати технику множења краћим записом

претходно описаног поступка:

– 3 пута 6 јединица су 18 јединица, 8 пишемо на месној вредности јединица, а једну

десетицу преносимо на месну вредност десетица;

– 3 пута 5 десетица су 15 десетица, плус 1 десетица из претходног корака су 16 десетица,

6 десетица пишемо на месној вредности десетица, а 1 стотину преносимо на месну вредност

стотина;

– 3 пута 4 стотине су 12 стотина, плус 1 стотина из претходног корака, имамо 13 стотина, 3

стотине пишемо на месој вредности стотина, а 1 јединицу хиљада преносимо на месну вредност

јединица хиљада;

– 3 пута 3 јединице хиљада су 9 јединица хиљада, плус 1 јединица хиљада из претходног

корака су 10 јединица хиљада, 0 пишемо на месној вредности јединица хиљада и 1 на месној

вредности десетица хиљада .

Описано множење ученици могу да увежбавају на задацима са страна 109, 110 и 111 .

3 4 5 6 · 31 0 3 6 8

44

4.2.25. Делим једноцифреним бројем

Дељење троцифрених бројева једноцифреним представља полазну основу за дељење

вишецифрених бројева . Након извршеног дељења 729 : 3, прелазимо на дељење четвороцифреног

броја једноцифреним . Код писменог дељења, као и код усменог, полазимо од дељења вишеструких

декадних јединица највишег реда . У уџбенику је урађен пример дељења

3 729 : 3 и усмено и писмено:

3 000 1 000

1 243

243729

3 729

: 3

: 3+

3 7 2 9 : 3 = 1 243– 3

0 7– 6

1 2– 1 2

0 9 – 9

0

Код писменог дељења објашњавамо поступак:

- 3ЈХ подељено са 3 је 1ЈХ . На месту јединица хиљада количника пишемо 1; 1ЈХ пута 3 су

3ЈХ . Од 3ЈХ одузимамо 3ЈХ, разлика је 0 и нема остатка;

- 7С подељено са 3 су 2С и неки остатак . На месту стотина количника пишемо 2 . 2С пута 3

су 6С . Од 7С одузимамо 6С и разлика је 1С;

- 1С преводимо у десетице . 1С = 10Д и додајемо десетице дељеника . 10Д + 2Д = 12Д . 12Д

подељено са 3 су 4Д и на месној вредности десетица пишемо 4 . 4Д пута 3 су 12Д . 12Д минус 12Д

је 0 и нема остатка .

- 9Ј подељено са 3 су 3Ј и на месној вредности јединица количника пишемо 3 . 3Ј пута 3 су

9Ј . 9Ј минус 9Ј је 0 и нема остатка .

Дати поступак смо објаснили дељењем, а учитељ може објаснити и користећи садржавање .

Након обављеног дељења треба инсистирати у првих неколико примера на провери

дељења користећи множење количника и делиоца .

У 11 . задатку на страни 114 Радне свеске од ученика се тражи да број 353 216 напишу као

збир два сабирка од којих је један 3 пута већи од другог . Решење је представљено шемом .

45

353 216

I сабирак II сабирак

Ученици у оваквим задацима обично дати збир деле са 3 јер је то бројевна вредност која

се јавља у задатку . Помоћу шеме лакше и више њих уочава да број 353 216 заправо треба да

поделе са 4 (= 1 + 3) .

Ученици би требало самостално да ураде сличан пример, задатак број 12 на страни 109,

као и 15 . задатак на истој страни који поред поступка описана у претходна два задатка има и део

у коме треба да најпре сведе укупан број становника у другом и четвртом селу, затим израчуна

број становника у прва два села, па тек онда дели одговарајућим бројем .

Након засебних целина о множењу и дељењу једноцифреним бројем, у Радној свесци

су дати обједињени задаци са множењем и дељењем (115 . и 116 . страна) . Овде препоручујемо

учитељима да на посебним часовима са ученицима који показују веће интересовање за математику

ураде дате задатке са посебним освртом на опште технике израде типова задатака .

4.2.26. Мењам места и здружујем чиниоце

Ученици су се са заменом места чинилаца упознали још у другом разреду . Овом приликом

раније стечена знања треба проширити, како би ученици схватили да правило замене места

чинилаца важи за било која два броја из скупа природних бројева .

Подсетимо се да је упознавање ученика са комутативности множења у претходним

разредима било значењско, а не формално . Другим речима, обрада комутативности заснивала

се на типу у коме се уочавало одговарајуће растављање елемената скупова на a врстa и b колонa

у табели, a затим на уочавању укупног броја елемената а скупова са b елемената и b скупова са a

елемената .

Аналогно томе, и сада полазимо од конкретних примера на којима показујемо

комутативност, на основу којих уопштавамо својство на цео скуп природних бројева .

Увођење асоцијативног својства множења омогућава упознавање ученика са новим

рачунским прилазима, помоћу којих могу налазити рационалније начине рачунања .

46

Полазимо од конкретног примера . У свакој од 3 кутије налазе се по 2 књиге, при чему је

цена једне књиге 650 динара . Укупну цену књига можемо рачунати на два начина:

I Прво можемо израчунати укупан број књига (3 · 2), па затим добијени производ помножити

са ценом једне књиге:

(3 · 2) · 650 = 6 · 650 = 3 900 .

II Број кутија можемо помножити са вредношћу једне кутије (која се добија када број књига

у кутији помножимо са ценом једне књиге (2 · 650)):

3 · (2 · 650) = 3 · 1 300 = 3 900 .

Оба израза представљају укупну вредност књига у кутијама и вредности су им једнаке .

Закључујемо да је:

(3 · 2) · 650 = 3 · (2 · 650) .

На основу неколико конкретних примера индукцијом закључујемо да при множењу

било која три природна броја можемо помножити производ прва два са трећим или можемо

помножити први број са производом другог и трећег .

Након више примера закључујемо да се производ било која три природна броја не мења

ма како здружили чиниоце, односно, закључујемо да за свако a, b, c ∈ N, важи:

(a · b) · c = a · (b · c)

На конкретним примерима ученици треба да закључе да правило здруживања чинилаца

користимо као олакшицу при множењу, јер ћемо множити прво бројеве који нам дају „лепши”

призвод, односно који ће нам омогућити лакше и брже рачунање .

Захваљујући правилима замене места и здруживања чинилаца са ученицима можемо

закључити да правило здруживања чинилаца можемо проширити и на следећи случај, тј . да важи:

(a · b) · c = a · (b · c), (здруживање чинилаца)

= a · (c · b), (замена места чинилаца)

= (a · c) · b . (здруживање чинилаца)

47

4.2.27. Делим са остатком

Код дељења (без остатка) посматрали смо скупове који су могли да се разложе на одређен

број једнакобројних подскупова, тј . случајеве где је дељеник био дељив делиоцем . Сада, да би

ученици схватили дељење са остатком, користимо пример где је дељеник 105, а делилац број 4 .

Практично одређујемо први број мањи од дељеника, који је дељив делиоцем и разлику

дељеника и тог броја . На уобичајени начин обављамо поступак дељења и добијамо количник 26

и остатак 1 .

Провера:105 = 26 · 4 + 1

105 : 4 = 26, остатак 1– 8

25 – 24

1

Ово проверавамо на следећи начин:

делилац остатак

105 = 26 · 4 + 1

дељеник количник

Истичемо и инсистирамо на томе да остатак увек мора бити мањи од делиоца . У задатку

број 1, на страни 120 ученици уочавају да остаци при дељењу са 3 могу бити 0, 1 или 2 . Учитељ

са ученицима усмено може да констатује колики могу бити остаци при дељењу неког природног

броја са 4, 6, 7, 12, . . .

Трећи задатак на истој страни тражи од ученика да израчунају дељеник, а познати су

делилац, количник и остатак . Знамо да при дељењу са остатком тражимо највећи број мањи од

датог дељеника, а да је дељив делиоцем . Тај број ћемо у овом задатку добити множећи делилац и

количник, а дељеник ћемо добити тако што производу делиоца и количника додамо остатак . На

пример: 4 · 1 285 + 2 = 5 140 + 2 = 5 142, према томе, тражени дељеник је 5 142 .

4.2.28. Множим вишеструком декадном јединицом

Множење вишеструким декадним јединицама заснива се на растављању вишеструке

декадне јединице на производ једноцифреног броја и декадне јединице, а затим на множење

најпре једноцифреним бројем, а након тога и декадном јединицом .

48

Како су ученици урадили здруживање чинилаца, производ 4 538 · 300 израчунавамо на

следећи начин:

4 538 · 300 = 4 538 · (3 · 100), растављамо вишеструку декадну јединицу

= (4 538 · 3) · 100, здруживање чинилаца

= 13 614 · 100, множење једноцифреним бројем

= 1 361 400 . множење декадном јединицом

4.2.29. Делим вишеструком декадном јединицом

При дељењу вишеструким декадним јединицама најпре је потребно подсетити се услова

дељења декадним јединицама: број је дељив декадном јединицом уколико се број завршаваса

онолико нула колико у запису има та декадна јединица . Овај услов је потребан (али не и довољан)

да би број био дељив вишеструком декадном јединицом, па га на неколико примера треба

поновити .

Дељење вишеструком декадном јединицом сводимо заправо на дељење природног броја

једноцифреним бројем и ово је потребно и визуелно на прави начин представити ученицима .

35 : 5 = 7 па је 35 000 : 5 000 = 7,

120 : 2 = 60 па је 12 000 : 200 = 60,

5 300 : 5 = 1 060 па је 5 300 000 : 5 000 = 1 060 .

4.2.30. Множим вишецифреним бројевима

Обраду множења вишецифреним бројевима почињемо множењем двоцифреним бројем .

Множење смо приказали на два начина: модификованим поступком усменог множења и писмено

множење .

Први начин је када множимо прво десетицама, па јединицама:

32 · 23 = 32 · (20 + 3) = 32 · 20 + 32 · 3 = 640 + 96 = 736

Ученицима је потребно скренути пажњу на модификовани облик овог поступка јер је

избегнут комплетан запис дистрибутивног својства множења према сабирању .

49

32 · 23 = 32 · 20 + 32 · 3 32 · 20 = 640 32 · 3 = 96 640 + 96 = 736

Други начин је да прво множимо јединицама, па десетицама:

32 · 23 96 (32 · 3) + 640 (32 · 20) 736

Такође и овај поступак можемо модификовано записати у облику који је ученицима

прихватљивији и на који су навикнути кроз писмено множење у другом и трећем случају .

3 2 · 2 39 6

+ 6 47 3 6

У раду користимо објашњење које је у складу са наученим у претходним разредима . Прво

множимо јединицама другог чиниоца:

- 3 јединице пута 2 јединице су 6 јединица и испод јединица пишемо 6;

- 3 јединице пута 3 десетице су 9 десетица, испод десетица пишемо 9 .

Сада множимо десетицама другог чиниоца:

- 2 десетице пута 2 јединице су 4 десетице, испод десетица пишемо 4;

- 2 десетице пута 3 десетице су 6 стотина, на место стотина пишемо 6 .

Сабирамо цифре исте месне вредности и добијамо резултат 736 .

Увежбавање множењa двоцифреним бројем дато је на 123 . и 124 . страни у Радној свесци .

Напоменимо да смо у Уџбенику и Радној свесци дали одвојене лекције посебно множења само

два двоцифрена броја, а посебно двоцифреног и вишецифреног броја .

50

Множење вишецифрених бројева објашњавамо на исти начин као множење двоци-

френим бројем, при чему се сада више не базирамо као пре на усменом множењу . Ради

једноставности увежбавања и уочавања поступка, у Уџбенику је прво дат пример множења два

троцифрена броја, а затим вишецифрених .

123 · 232 246 369+ 246___ 28536

Објашњење ученицима може се спровести на следећи начин . Прво множимо јединицама

другог чиниоца:

2 · 3 = 6, па на месту јединица првог парцијалног производа пишемо 6;

2 · 2 = 4, па на место десетица пишемо 4;

2 · 1 = 2, па на место стотина пишемо 2 .

Сада множимо десетицама другог чиниоца:

3 · 3 = 9, па на место десетица другог парцијалног производа пишемо 9;

3 · 2 = 6, па на место стотина пишемо 6;

3 · 1 = 3, па на место јединица хиљада пишемо 3 .

На крају множимо стотинама другог чиниоца:

2 · 3 = 6, па на место стотина трећег парцијалног производа пишемо 6;

2 · 2 = 4, па на место јединица хиљада пишемо 4;

2 · 1 = 2, па на место десетица хиљада пишемо 2 .

Сада сабирамо цифре исте месне вредности и добијамо производ 28 536 . У почетку,

као у описаном поступку, наглашавамо месну вредност цифара . Када ученици схвате поступак

писменог множења, настојимо да се вредност производа брже одреди, односно да се процес

механизује .

Посебно треба водити рачуна о правилном потписивању цифара исте месне вредности .

Зато су у Уџбенику за прве примере увек дате квадратне мреже (тражити да у сваки квадратић

уписују по једну цифру), како би ученицима било олакшано потписивање .

4 2 6 · 1 7 3

51

У току вежбања и понављања од ученика треба тражити да објасне парцијалне поступке из

којих се састоји писмено множење вишецифреним бројевима, да би се спречило формалистичко

усвајање тих садржаја .

Објаснимо 25 . задатак на страни 128 радне свеске и како можемо помоћи ученицима у

долажењу до решења задатка:

Не знамо цифру јединица првог чиниоца . Пошто прво множимо јединицама, занима нас

којим бројем треба помножити 8, да би се добио број чија ће цифра јединица бити 4 . То могу бити

бројеви 3 и 8 . Значи, први чинилац је или број 33 или број 38 . Прво ћемо проверити производ

бројева 33 и 38 .

3 3 · 3 82 6 4

+ 9 91 2 5 4

Добијени производ одговара производу датом у задатку . Значи, Немањина оцена је 3, а

Мајина оцена је 5 . Ипак ћемо проверити и други могући производ, за случај да задатак има два

решења:

3 8 · 3 83 0 4

+ 9 91 2 9 4

Ово није решење јер 9 не може да буде Мајина оцена на контролном, па задатак има само

једно решење .

52

4.2.31. Дељење вишецифреним бројевима

Вишецифрени број делимо двоцифреним бројем на исти начин као што смо вишецифрени

број делили једноцифреним бројем .

Полазимо од најједноставнијег случаја: дељења троцифреног броја двоцифреним бројем:

240 : 15 = 16

– 15 90

– 90 0

· 15: 15

: 15

· 15

Објашњавамо поступак:

- 2С не можемо поделити са 15, па их преводимо у 20 десетица . 20Д плус 4Д са месне

вредности десетица су 24Д .

- 24Д подељено са 15 је 1Д и неки остатак . На месној вредности десетица количника

пишемо 1;

- 1Д пута 15 је 15Д, остају 9Д;

- 9Д преводимо у 90 јединица .

- 90Ј подељено са 15 је 6Ј . На месној вредности јединица количника пишемо 6;

- 6Ј пута 15 је 90Ј и нема остатка .

Ученици проверавају тачност резултата множењем . При решавању почетних примера

потребно је тражити од ученика да детаљно објашњавају поступке при дељењу . Касније

објашњавање изостављамо и скраћујемо поступак . Потребно је више пута ученицима скренути

пажњу на правилно потписивање цифара .

Следећи пример који детаљно објашњавамо јесте дељење 671 741 : 49 (шестоцифрени

број делимо двоцифреним) . Поступак рада је идентичан претходно описаном примеру .

У 4 . задатку на страни 129 од ученика се тражи да одреде остатке при дељењу . Можемо

објаснити први пример, а остале ученици решавају сами .

53

6 7 5 4 8 : 2 8 = 2 4 1 2− 5 6

1 1 5− 1 1 2

3 4– 2 8

6 8− 5 6

1 2

Ученике подсећамо на проверу дељења . Подсећамо да је дељеник једнак збиру производа

количника и делиоца и остатка .

67 548 = 2412 · 28 + 12 .

Са ученицима коментаришемо о могућим остацима при дељењу са 28 и подсећамо их да

остатак увек мора бити мањи од делиоца .

У лекцији Делим вишецифреним бројем II објашњен је поступак дељења на следећем

примеру:2 4 6 8 5 0 : 2 5 = 9 8 7 4

– 2 2 5 2 1 8

– 2 0 0 1 8 5

– 1 7 5 1 0 0

– 1 0 0 0

· 25: 25

· 25: 25

: 25· 25: 25· 25

При објашњавању овог примера битно је напоменути два узастопна превођења из

највише месне вредности: 2СХ не можемо поделити са 25, па их преводимо у десетице хиљада,

али ни 24ДХ не можемо поделити са 25, па их преводимо у јединице хиљада, значи имамо 246ЈХ .

Дељење даље радимо као у претходном поступку:

- 246ЈХ подељено са 25 је 9ЈХ и остатак 21ЈХ = 210С;

- 218С подељено са 25 је 8С и остатак 18С = 180Д;

- 185Д подељено са 25 је 7Д и остатак 10Д = 100Ј;

- 100Ј подељено са 25 је 4Ј и нема остатка .

54

Увежбавање дељења можемо радити задацима са 130 . стране радне свеске . У 7 . задатку

ученици треба да одреде број пакета у које су спаковане књиге . Пошто је половина укупног броја

књига пакована у пакете од по 32 књиге, а друга половина у пакете од по 44 књиге, ученици прво

треба да израчунају половину укупног броја књига:

140 800 : 2 = 70 400 .

Од ученика можемо тражити да решење задатка запишу једним изразом и да израчунају

његову вредност:

70 400 : 32 + 70 400 : 44 = 2 200 + 1 600 = 3 800,

што значи да је било 3 800 пакета .

Након дељења двоцифреним бројем прелазимо на дељење троцифреним бројем, а затим

и на дељење са бројевима који имају више од 3 цифре . Поступак дељења идентичан је поступку

при дељењу двоцифреним бројем .

На 81 . страни уџбеника приказан је начин решавања следећег задатка који можемо

анализирати са ученицима .

У три фабрике ради укупно 1 391 радник. У првој фабрици има 5 пута више радника него у другој, а у трећој 26 радника више него у другој фабрици. Колико радника ради у свакој од ове три фабрике?

Најмање радника има у другој фабрици, па број радника у другој фабрици узимамо за

мерни број радника и у остале две фабрике . У првој фабрици има 5 пута више радника него

у другој фабрици, значи цртамо 5 мерних јединица, а у трећој за 26 више него у другој, значи

једна мерна јединица плус 26 . Дакле, у све три фабрике имамо укупно 7 мерних јединица плус 26

радника .

I

II

III

1 391

+ 26

Број радника у другој фабрици рачунамо на следећи начин:

(1391 – 26) : 7 = 1 365 : 7 = 195 .

55

Значи, мерна јединица је 195 . У првој фабрици ради 195 · 5 = 975 радника, у другој фабрици

ради 195 радника, а у трећој 195 + 26 = 221 радник .

Прикажимо неке напомене око начина решавања још неколико задатака .

У 9 . задатку на 134 . страни треба прво израчунати колико су часова теретни возови

путовали, а затим одредити време када су се возови срели . Пошто је дужина пруге 560 километара,

треба израчунати који део пруге пређу оба воза за 1 час . Први воз кретао се брзином од 34

километра на час, а други брзином од 36 километара на час, па за један час они прелазе 34 km +

36 km = 70 km . Дакле, читава пруга између та два места пређена је за 8 часова .

560 : (34 + 36) = 560 : 70 = 8

Ако су возови кренули у 18 h, а срели су се за 8 h . Време сусрета је 2 h сутрадан .

У 10 . задатку на 135 . страни ученици треба да одреде два узастопна броја чији је збир

1881 . За било која два узастопна броја важи да је један већи од другог за 1 . Значи, можемо их

представити са х и х + 1 .

x + х + 1 = 1 881;

2 · х + 1 = 1 881;

2 · х = 1 881 – 1;

2 · х = 1 880;

x = 1 880 : 2

x = 940

Први број је 940, а други 940 + 1 = 941 .

Слично је и у следећем задатку, када рачунају збир три узастопна броја, бројеве можемо

представити као х, х + 1, х + 2 . Други начин је да те бројеве представимо као х – 1, х и х + 1 али

ученици тешко виде да је њихов збир 3х, па смо изабрали први начин .

У 13 . задатку на 135 . страни ученици треба да одреде три узастопна непарна броја чији је

збир 6 339 . Сваки паран број можемо представити као 2 · а (јер је сваки паран број дељив са 2), а

онда је непаран број за 1 већи, па било који непаран број можемо представити као 2 · а + 1 . Онда

је следећи непаран број за 2 већи од претходног, па га записујемо као 2 · а + 3, а следећи 2 · а + 5 .

Сада ученици лако одређују тражене бројеве .

56

У 18 . задатку на 136 . страни зна се да је разлика два броја 3 720 и да је један од тих бројева

4 пута већи од другог . Потребно је израчунати те бројеве . Решење можемо представити шемом .

3 720

I

II

На основу шеме видимо да је разлика 3 720 једнака збиру 3 мерне јединице . Значи, 1

мерна јединица је 3 720 : 3 = 1 240, па је један број 1 240 · 4 = 4 960, а други 1 240 .

У 20 . задатку на истој страни ученици треба да израчунају колика је дужина воза, односно

који је пут воз прешао за 6 секунди ако се кретао брзином од 36 километара на час . У радној

свесци је дата помоћ за решавање овог задатка, којом се ученици поступно воде до траженог

податка .

У следећем, 21 . задатку, дат је обрнут случај претходног типа задатка . Ученици знају

брзину брода и дужину острва (тј . пут који је брод прешао), а тражи се време за које је брод

прошао поред острва (односно време за које је прешао пут од 25 метара) . Објашњење можемо

дати на следећи начин:

- 18 km = 18 000 m;

- 18 000 m брод је прелазио за 1 сат, односно за 60 минута . За 1 минут је прелазио 18 000

m : 60 = 300 m .

- 1 минут има 60 секунди .

- За 1 секунд брод пређе 300 m : 60 = 5 m . Значи за 5 секунди број пређе 5 · 5 m = 25 m .

4.2.32. Зависност производа од чинилаца

Ученицима је позната зависност производа од чинилаца за блок бројева прве хиљаде .

Сада то треба проширити на цео скуп природних бројева .

Са ученицима можемо поћи од конкретног примера, који је од раније познат ученицима, и

на коме можемо поновити већ научене садржаје: На 5 тацни је било по 6 колача . Колико је укупно

било колача?

5 · 6 = 30 .

57

Колико би укупно било колача да је било 2 пута више тацни?

(5 · 2 ) · 6 = 10 · 6 = 60 = 30 · 2 .

Колико би укупно било колача да је на свакој тацни било 2 пута више колача?

5 · (6 · 2) = 5 · 12 = 60 = 30 · 2 .

Након овог примера прелазимо на уводни пример са 94 . стране уџбеника којим показујемо

уопштење на читав скуп природних бројева .

1 200 · 20 = 24 000

Први чинилац повећавамо 2, 4 па 5 пута и примећујемо да се производ повећава 2, 4 па

5 пута, што на крају и приказујемо одовараућим производима . Исти поступак понављамо и за

други чинилац . Ученике можемо питати: Како би се променио производ да смо један од чинилаца

повећали 10 пута? А како би се променио да смо га повећали 37 пута? А 146 пута? Ученици

закључују да се производ повећа онолико пута колико се пута повећа један од чинилаца . Након

тога први чинилац смањујемо 2, 4 па 5 пута и примећујемо да се и производ смањио 2, 4 па 5

пута, што записујемо на крају одговарајућим количником . Затим исти поступак примењујемо и

на други чинилац . Питамо ученике: Како би се променио производ да смо један од чинилаца

смањили 26 пута? А да смо га смањили 84 пута? А 243 пута? Ученици закључују да се производ

смањује онолико пута колико се пута смањи један од чинилаца .

Следи уопштавање својства на читав скуп природних бројева, што симболички записујемо

као на сликама:

a, b, c, x ∈N a · b = c

(a · x) · b = c · xa · (b · x) = c · x

a, b, c, x ∈Na · b = c

(a : x) · b = c : xa · (b : x) = c : x.

58

За други случај (када један од чинилаца делимо одређеним бројем) чинилац а или чинилац

b, који умањујемо х пута, треба изабрати тако да буде дељив бројем х . На пример, ако један од

чинилаца умањујемо 4 пута, онда га треба изабрати тако да буде дељив бројем 4 и слично .

Зависност производа од промене чинилаца увежбавамо задацима са 154 . и 155 . стране

радне свеске . У 7 . задатку у првом примеру прво се један чинилац увећао 4 пута, па се и производ

увећао 4 пута . Затим се други чинилац увећава 4 пута, па се и производ увећава 4 пута . Циљ

задатка је уочавање вишеструке промене чинилаца и зависност производа од овог вида промена .

Ученици треба да увиде начин промене производа на конкретним примерима, што им може

представљати олакшицу ка лакшем уочавању непроменљивости производа .

4.2.33. Непроменљивост производа

Обраду непроменљивости (сталности) производа можемо започети примером са 95 .

стране уџбеника:

600 · 400 = 240 000 .

Ученике подсећамо правила зависности производа од чинилаца и најпре први чинилац

увећавамо 2 пута, а затим смањујемо 2 пута, при чему рачунски још једном показујемо да се и

производ увећао, односно смањио, два пута . Иако смо напоменули да након усвајања правила

ученици активно примењују то правило, овде смо се због трећег дела уводног примера одлучили

за израчунавање вредности израза у загради у прва два случаја .

Ученике можемо да питамо: Како се мења производ ако један чинилац увећамо, а други

смањимо 2 пута? На конкретном примеру ученици рачунају и закључују да се производ није

променио . Понављамо сличан поступак, али сада први чинилац смањујемо 4 пута, а други

увећавамо 4 пута .

Од ученика се очекује да закључе да се производ не мења ако један чинилац смањимо

одређени број пута, а други увећамо тај исти број пута .

Ако ученици не успеју одмах да схвате правило непроменљивости производа можемо им

дати да попуне таблицу из 1 . задатка са 156 . стране радне свеске и тражити да упореде резултате

које су израчунали у једном реду у „наранџастим” колонама (тј . у колонама када су рачунали

а · b и када су рачунали (а · x) · (b : x) . Уочавају да су резултати једнаки, односно да се производ не

мења када један од чинилаца смањимо неки број пута, а други чинилац повећамо исти толики

број пута .

59

Следи уопштавање и симболлички запис:

a, b, x ∈N (а · x) · (b : x) = а · b(а : x) · (b · x) = а · b

Подсећамо да у првом случају број b, а у другом број а морају бити дељиви бројем х . На

пример, ако један од чинилаца смањујемо 7 пута, тај чинилац мора бити дељив бројем 7 .

Истичемо да се сталност производа користи као олакшица у множењу, што могу видети

у примерима у 4 . задатку на страни 157 . Уместо да рачунају колико је 25 · 88, лакше је да први

чинилац увећају 4 пута (до декадне јединице, тј . да буде 100), а други да смање 4 пута и тада је

производ веома једноставан за рачунање .

4.2.34. Зависност количника од дељеника

Зависност количника од дељеника и делиоца ученицима је такође позната, јер је већ

делимично рађена у оквиру блока бројева до 1 000 .

Пре уводног примера у уџбенику можемо поћи од конкретног примера који је близак

ученицима по знањима која имају из претходних разреда:

Ана је имала 48 динара . Колико је кесица са сличицама могла да купи ако једна кесица

кошта 4 динара?

48 : 4 = 12 .

Колико би кесица могла да купи да је имала два пута више новца?

(48 · 2) : 4 = 96 : 4 = 24 = 12 · 2 .

Колико би кесица могла да купи да је имала два пута мање новца?

(48 : 2) : 4 = 24 : 4 = 6 = 12 : 2 .

60

Након овог примера можемо прећи на уводни пример са 96 . стране уџбеника .

24000 : 400 = 60

На овом примеру уочавамо промене количника и то најпре увећавање 2, 3 и 4 пута, а

затим и смањивање 2, 3 и 4 пута . У сваком од случајева које разматрамо рачунски показујемо

ученицима да је вредност количника увећана, односно смањена, одговарајући број пута, што

одговарајућим крајњим множењем и дељењем уоченог почетног количника и потврђујемо .

Следи уопштавање на читав скуп природних бројева и симболички запис:

a, b, c, x ∈Na : b = c

(a · x) : b = c · x(a : x) : b = c : x

Зависност количника од промене дељеника ученици могу увежбавати задацима на 158 . и

159 . страни радне свеске .

4.2.35. Зависност количника од делиоца

Као и код зависности количника од дељеника и овде можемо користити исти почетни

пример који се ослања на предзнања ученика .

Ана је имала 48 динара . Колико је кесица са сличицама могла да купи, ако једна кесица

кошта 4 динара?

48 : 4 = 12 .

Разлика у односу на претходну обраду односи се на питања која постављамо ученицима и

уместо укупне суме новца која је потребна за куповину свих сличица сада говоримо о вредности

једне кесице са сличицама:

61

Колико би кесица могла да купи да је једна кесица са сличицама два пута скупља?

48 : (4 · 2) = 48 : 8 = 6, а то је 12 : 2 .

Колико би кесица могла да купи да је цена једне кесице два пута мања?

48 : (4 : 2) = 48 : 2 = 24, а то је 12 · 2 .

Након овога са ученицима можемо радити уводни пример са 97 . стране уџбеника:

72 t000 : 600 = 120 . У складу са поступком из претходне лекције, након увећавања и умањења

делиоца потребно је извести закључак о промени количника .

Уочену зависност записујемо и симболички .

a, b, c, x ∈ N a : b = c

a : (b · x) = c : x a : (b : x) = c · x

Зависност количника од делиоца је можда најтежа ученицима јер за разлику од директне

пропорционалности код промена чинилаца и дељеника код зависности производа и количника,

промена количника код промене делиоца је супротна и због тога је потребно са ученицима

урадити већи број задатака са 160 . и 161 . стране уџбеника .

4.2.36. Непроменљивост количника

Код непроменљивости (сталности) количника полазимо од примера 2400 : 60 = 40 . Најпре

понављамо како се количник мења ако се дељеник повећа 2 пута, а затим ако се делилац повећа

2 пута . Ученици закључују да се количник не мења ако и дељеник и делилац повећамо 2 пута .

Сличан поступак примењујемо и за смањивање дељеника и делиоца 2 пута где ученици закључују

да се количник не мења када и дељеник и делилац смањимо 2 пута . Ученици треба да изведу

закључак да се количник не мења када и дељеник и делилац смањимо или повећамо исти број

пута, а затим уводимо и симболички запис:

62

a, b, x ∈ N (а · x) : (b · x) = а : b(а : x) : (b : x) = а : b

Поред задатака на 162 . страни радне свеске ученицима можемо дати и задатке следећег

типа:

Ако је 2 222 : 11 = 202, највише једним множењем или дељењем израчунај вредност

следећих израза:

4 444 : 11 = _____; 2 222 : 22 = _____; 4 444 : 22 = _____ .

У првом примеру 4 444 : 11 треба да уоче да је дељеник увећан 2 пута, а онда да закључе

да се и количник повећава 2 пута и да упишу 202 · 2 = 404 .

У другом примеру 2 222 : 22 треба да уоче да је делилац већи 2 пута, а тиме да и количник

треба да смање 2 пута и да запишу 202 : 2 = 101 .

У трећем примеру уочавају да су и дељеник и делилац већи 2 пута и да се количник не

мења и треба да препишу почетни количник 202 .

Ученицима можемо дати и сличан пример:

Можемо ученицима дати сличан пример . На основу тога што је

Ако је 888 888 : 444 = 2 002, највише једним множењем или дељењем израчунај вредност

следећих израза:

444 444 : 444 = _____; 888 888 : 222 = _____; 444 444 : 222 = _____ .

Од ученика можемо тражити да сами саставе сличне задатке .

63

4.2.37. Математички изрази

Сврха наставне јединице математички изрази јесте понављање приоритета рачунских

операција које су ученици већ научили у претходним разредима .

Иако су ученици оспособљени за израчунавање вредности сложенијих израза као увод

у ову наставну јединицу можемо користити израз у коме се јављају само рачунске операције

сабирања и одузимања и нема заграда:

42 + 12 – 35 + 4 =

Од ученика можемо тражити одговор како израчунавамо вредност оваквих изразакако

би поновили да када се у изразу без заграда јављају само сабирање и одузимање, операције

обављамо оним редом којим су записане . Рачунамо: 42 + 12 – 35 + 4 = 54 – 35 + 4 = 19 + 4 = 23 .

Затим питамо да ли исти поступак примењујемо и када су у изразу заступљене и операције

множења или дељења и констатујемо слично претходном .

Након овог базичног понављања можемо прећи на израчунавање вредности израза у

којима се могу јавити све четири основне рачунске операције . У уџбенику смо раздвојили два

случаја: изрази у којима се не појављују заграде и изрази у којима се оне јављају .

Као почетни пример можемо користи израз

1 458 + 2 575 : 25

и подсетити их да када се у изразу нађе више рачунских операција, а нема заграда, прво

множимо и делимо, па онда сабирамо и одузимамо . За увежбавање израчунавања вредности

оваквих израза користимо 1 . задатак са 163 . стране радне свеске . Други задатак са исте стране

користимо након понављања правила о израчунавању вредности израза у којима се јављају

заграде . На пример, у изразу:

(5 832 + 429) · 51

прво рачунамо вредност израза у загради, у овом случају прво сабирамо, па онда множимо

и констатујемо да увек у изразима са заградама прво рачунамо вредност израза у заградама, а

након тога примењујемо претходно правило .

Ако се уоче неправилности при израчунавању вредности израза потребно је дати

неколико примера у којима се јављају заграде и неколико идентичних примера у којима су само

заграде изостављене како би ученици схватили суштинско значење заграда .

64

4.2.38. Проблемски задаци

У делу о проблемским задацима ученицима су представљени задаци помоћу којих

желимо да их научимо да решавање графичким приказивањем података и захтева задатака поже

представљати олакшицу у раду . Поред тога у овој наставној јединици ученицима предочавамо

неке идеје које су им веома потребне за решавање задатака напредног нивоа, а неке са некима

од њих су и од раније упознати .

У 1 . задатаку на 101 . страни уџбеника дат је збир и разлика два броја, а задатак ученика је

да одреде те бројеве . Знајући да разлику два броја добијамо када од већег броја одузмемо мањи,

а збир два броја када на већи додамо мањи број, закључујемо да је разлика збира и разлике

два броја једнака двоструком мањем броју, па на основу тога можемо закључити да мањи број

рачунамо изразом:

(56 400 – 4 282) : 2

Видимо да је мањи број 26 059, а већи 26 059 + 4 282 = 30 341 . По завршетку израде задатка

треба инсистирати да ученици провере добијени резултат .

У 4 . задатку на 101 . страни уџбеника ученицима је објашњен начин израчунавања збира

првих 100 природних бројева груписањем сабирака по принципу k-ти с лева и k-ти с десна . Овај

поступак је објашњен у уџбенику међутим треба скренути пажњу ученицима да овај поступак

важи само у случају када је број сабирака паран број . Насупрот томе, о начину израчунавања

збира првих n природних бројева можемо говорити са ученицима при изради 5 . задатка са 164 .

стране радне свеске, где је дат конктретан пример збира првих 1475 природних бројева . Општи

принцип је израчунати збир првих 1474 природних бројева (за 1 мање од датог броја) и на тај

збир додати број 1475 (n) .

На 165 . страни радне свеске дат је следећи задатак:

10. Група излетника уговорила је вожњу аутобусом и сваки излетник је требало да плати по 880 динара. Два излетника су отказала одлазак на излет, па је сваки морао да плати по 920 динара. Цена вожње аутобусом не зависи од броја путника. Колико је излетника платило одлазак на излет?

65

У задатку је познато да је свако од излетника требало да плати 880 динара . Да су сви

платили вожња аутобусом би коштала извесну суму новца, међутим како су двоје изостали укупна

сума се смањила за

880 · 2 = 1760 динара .

Остали излетници су по одласку двоје излетника требали да плате 40 динара више

од првобитне суме (920 – 880 = 40 динара) . Другим речима, сви они би са својих 40 динара

надоместили 1760 динара мањка . Дакле, број излетника који је платио вожњу аутобусом је

1 760 : 40 = 44 .

Решење задатка обавезно треба проверити, али би интересантно било предложити

проверу на следећи начин 44 · 920 = 46 · 880 и тражити од ученика да објасне овакав начин

провере задатка .

4.2.39. Једначине и неједначине

Садржаји о једначинама и неједначинама у настави математике омогућавају ученицима

да боље уочавају особине рачунских операција и зависност резултата операција од њених

компонената . Задатак обраде ових јединица је да ученици обнове и прошире знања о једначинама

и неједначинама, да обнове поступке одређивања непознатих величина као и да прошире и

примене стечена знања да математичке проблеме решавају путем моделовања једначина .

Појмови једначина и неједначина темеље се на појмовима једнакости и неједнакости .

Ученици се од првих дана у школи упознају са релацијама и њиховим симболима: <, >, = и

упоређују бројеве, величине, број и израз или два израза . У четвртом разреду сва већ стечена

знања треба да прошире применом на скуп природних бројева .

Ученици су већ научили да у једначинама:

- непознати сабирак израчунавају када од збира одузму познати сабирак;

- непознати умањеник израчунавају када саберу разлику и умањилац;

- непознати умањилац израчунавају када од умањеника одузму разлику .

Одређивање ових непознатих величина заступљено је у првом делу уџбеника . Трудили

смо се да принцип одређивања ових величина ученицима поновимо на једноставан и јасан начин

и да проширимо и утврдимо њихова знања поступно решавајући сваки различити тип једначина .

66

Из тог разлога на 58 . страни уџбеника наставну јединицу о једначинама почињемо једноставним

захтевима у којима ученици само треба да понове и примене правила која су претходно научили .

х + 314 = 520х = 520 – 314х = 206Провера:206 + 314 = 520

х – 415 = 292х = 415 + 292х = 707Провера:707 – 415 = 292

938 – х = 679х = 938 – 679х = 259Провера:938 – 259 = 679

Аналогни захтеви су и на почетку 91 . стране радне свеске .

Претпоставили смо да ученике може да збуни појављивање непознате величине са десне

стране знака једнакости . Из тог разлога смо на то посебно обратили пажњу и на 58 . страни

уџбеника нагласили да се решавање оваквих једначина своди на решавање већ познатих уколико

левој и десној страни једначине заменимо места .

37 659 = х + 3 147х + 3 147 = 37 659х = 37 659 – 3 147х = 34 512Провера:34 512 + 3 147 = 37 659

Неки карактеристични типови једначина, за које сматрамо да ученици треба посебно да

обрате пажњу, детаљно су обрађени 91 . страни радне свеске и то пре свега једначине облика:

a ± x = b ± c, x ± a = b ± c, (a ± b) ± x = c ± d, x ± (a ± b) = c ± d,(x ± a) ± b = c ± d, a ± (x ± b) = c ± d, (a ± x) ± b = c ± d, a ± (b ± x) = c ± d .

Желећи да до краја покажемо поступак решавања једначина, приликом увођења сваког

новог облика једначина на левом делу стране поступно смо урадили један конкретан пример

сваког облика, док се у десном делу стране налазе примери за њихов самостални рад .

67

Код већине примера ученицима је остављен простор да упишу решење постављене

једначине, а све то да би приликом поновне израде једначина проверили претходно израчунате

вредности непознатих величина и евентуално кориговали грешке које су могле да настану .

Свакако морамо напоменути да смо, не желећи да код ученика стварамо конфузију,

непознате означавали са х, али свакако препоручујемо да учитељ на часу променљиве замени и

другим ознакама .

Посебну пажњу обратили смо на текстуално и визуелно постављање једначина . Код

једначина је најважније њихово формирање, састављање, када ученици сами треба да одреде где

непознату величину треба укомпоновати . План састављања једначине могао би изгледати овако:

- уочавање и издвајање непознате величине;

- састављање на основу текста појединих делова израза са непознатом величином,

- изједначавање претходно састављених делова израза и формирање завршне једначине .

Низом илустративних и, по нашем мишљењу, интересантних задатака на 92, 93 . и 94 . страни

радне свеске потрудили смо се да ученицима решавање једначина не буде само себи циљ већ и

да при том уоче и могућности њихове широке примене и значаја .

68

Поступак решавања једначина са множењем и дељењем увели смо налик оном код

једначина са сабирањем и одузимањем . Водећи се поступношћу приликом израде, водили

смо рачуна да и овог пута објаснимо ученицима већи део могућих облика једначина и да, као

у првом делу, конкретно илуструјемо решавање сваког облика . Овде треба посебно нагласити

да код ученика треба потпуно расветлити запис 2 · х, 3 · х, 4 · х, . . . као збир одговарајућег броја

непознатих величина . Исто тако ученици треба да се упознају са чињеницом да запис 3 · х + 8 · х

означава две количине исте целине и да се тражени збир израчунава здруживањем саставних

делова представљених целина .

Претходно смо неједначине решавали бирањем бројева и проверавањем тачности дате

неједнакости за тај број .

x – 25 < 10 .

Сада тражимо аналогију са решавањем једначина и користимо зависност резултата

одређене операције од промене њених компонената . Усвајање садржаја о неједначинама захтева

схватање смисла, односно, услова садржаних у неједначини и поступака при њиховом решавању .

Приликом решавања неједначина са сабирањем и одузимањем, потребно је подсетити се

на неколико зависности између резултата и компоненти, и то:

- збир се мења онако како се мењају сабирци (Ако нам је потребан збир мањи (већи) од

решења еквивалентне једначине датој неједначини, тада и непознати сабирак мора бити мањи

(већи) од решења добијеног једначином .);

- разлика се мења онако како се мења умањеник (Ако нам је потребна разлика мања

(већа) од решења еквивалентне једначине, тада и непознати умањеник мора бити мањи (већи) од

решења добијеног једначином .);

- разлика се мења супротно од промене умањиоца (Ако нам је потребна разлика мања

(већа) од решења еквивалентне једначине, тада непознати умањилац мора бити већи (мањи) од

решења добијеног једначином .) .

69

Засновано на овим чињеницама, ученицима треба разјаснити промену знака код

одређивања непознатог умањиоца . Наравно, колегама не препоручујемо да се приликом

објашњења ових зависности придржавају стриктно формалних дефиниција, већ да на различитим

примерима визуелно илуструју ову промену .

Свакако, важно је ученицима разјаснити одређена ограничења која се јављају приликом

решавања неједначина са сабирањем и одузимањем . Превасходно да у скупу природних бројева

непознати умањеник не може бити мањи од умањиоца, па због тога не могу сви бројеви мањи од

израчунатог бити решења и да непознати умањилац не може бити већи од умањеника, па због

тога не могу сви бројеви већи од израчунатог бити решења .

Поступност приликом излагања ове материје побољшана је свакако и поступним

решавањем различитих облика неједначина, где је, као и код једначина, ученицима предочен

поступак решавања неједначине на левој страни листа . Неједначине са множењем и дељењем

у потпуности су методички одрађене у складу са раније назначеним напоменама . Мало више

простора посвећено је решавању текстуалних задатака у вези са овим неједначинама, а све с

циљем да се прикаже њихова практична примена и да ученици овладају њиховим решавањем .

4.2.40. Разломци

Обнављање појма разломака базира се на практичној активности наставника и ученика

у деоби геометријских фигура које су осно симетричне . У том смислу, најпогоднији дидактички

материјал јесу модели, апликације и цртежи квадрата, правоугаоника, круга и једнакостраничног

троугла . Желећи да побегнемо од овог стереотипног обнављања, у првом задатку на 174 . страни

радне свеске понудили смо неколико занимљивих, животних осносиметричних предмета на

основу којих ученици треба да обнове своја раније стечена знања и припреме се за усвајања

нових . На поменутој и на 175 . страни радне свеске дали смо кратак преглед задатака које су

ученици радили у претходном разреду, а сада их је потребно још једанпут провежбати да бисмо

их припремили за нове садржаје .

4. Израчунај.

броја 496 је 124 , јер је 496 : 4 = 124 .1417 броја 504 је , јер је .

15 броја 725 је , јер је .

18 броја 344 је , јер је .

13 броја 12 576 је , јер је .

12 броја 7 958 је , јер је .

16 броја 36 972 је , јер је .

19 броја 6 813 је , јер је .

70

До сада су ученици разломком представљали само један део целине . У 4 . разреду

почињемо са изучавањем разломака помоћу којих се представља више делова једне целине .

У том циљу први захтеви који се постављају пред ученике јесу прво правилно уочавање и

именовање дела целине, а затим и правилно означавање датог дела једне целине .

Јасну диференцијацију треба направити између броја изнад и испод разломачке црте .

У сваком разломку број испод црте говори нам, именује, на колико једнаких делова је целина

подељена и називамо га именилац . Број изнад црте говори нам, броји, колико таквих делова

целине посматрамо и називамо га бројилац . Низом уводних примера ученицима би требало у

потпуности разјаснити све евентуалне нејасноће које могу настати .

49

Са геометријске интерпретације разломака ученике треба полако уводити у аритметичка

израчунавања помоћу разломака . Као иницијални пример требало би да послужи детаљно

урађен пример са 106 . стране уџбеника .

Ученицима треба јасно ставити до знања да одредити део неке целине значи да целину

треба поделити имениоцем разломка и помножити га бројиоцем разломка . Примерима са 177 .

стране радног уџбеника ова чињеница треба да се разради, а у последњем примеру на овој

страни и практично примени .

Упоређивање разломака почињемо са једнакошћу два и више разломака . Ученици, пре

свега визуелно, треба да уоче да се различитим разломцима може представити исти део једне

целине . То се може искористити код упоређивања разломака . Рецимо, ако желимо да упоредимо

и прво ћемо први разломак записати као а затим користити већ разрађена правила упоређивања

71

разломака са истим бројиоцима, да би упоредили дате разломке . Друга могућност је да оба

разломка трансформишемо у, рецимо, и па користећи једнаке имениоце да их поредимо .

Један од главних захтева је, када су разломци у питању, да на бројевној полуправој

одредимо тачке које представљају, на пример, . . . То ће бити један од корака ка потпуном схватању

бројевне праве .

Напомињемо да смо део о разломцима освежили причом о разломцима у старом Египту,

на којој се учитељ и ученици могу задржати и прокоментарисати на једном делу редовног часа .

4.2.41. Сређивање података

Сређивање података није у програму за четврти разред основне школе, али с обзиром

на све већу потребу за приказивањем и уређивањем података на различите начине, сматрали

смо да би било добро да неке основне начине обраде података ученици овде упознају . Због тога

у радној свесци од 188 . до 193 . стране налазе се примери и задаци на којима ученици могу да

увежбавају ова знања .

За почетак са ученицима можемо разговарати где се све срећу са табеларним

приказавањем података . Након тога можемо им дати неколико примера табеларно приказаних

података и објаснити неке могуће садржаје који се јављају у табелама и различите начине

приказивања истих података .

У 1 . а) задатку на 188 . страни дат је табеларни преглед успеха ученика млађих разреда .

Ученици треба да попуне оно шта недостаје . Објашњавамо им како да уоче да у одељењу II-1

има 26, у II-2 има 27, а у II-3 има 26 ученика . Укупан број ученика у другом разреду рачунамо тако

што саберемо број ученика у ова три одељења . Исти поступак понављамо за трећи и четврти

72

разред . Затим рачунамо укупан број ученика у другом, трећем и четвртом разреду . На исти начин

рачунамо и укупан број одличних, врло добрих ученика итд .

Исти поступак примењује се за рачунање изостанака ученика у делу б) првог задатка .

Ученицима можемо задати да табеларно прикажу свој успех на некој контролној вежби

из математике (при чему је сваки задатак изражен одређеним бројем поена) и где они сами

осмишљавају изглед табеле којом приказују .

Ученицима треба показати да се подаци могу приказати и помоћу дијаграма . У 4 . примеру на

191 . страни, где је табеларно представљена температура ваздуха у току једне недеље, ученицима

можемо приказати и поступак формирања дијаграма .

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

ПОНЕДЕЉАК УТОРАК СРЕДА ЧЕТВРТАК ПЕТАК СУБОТА НЕДЕЉА

температурау степенима

дан

ДАН ТЕМПЕРАТУРАУ СТЕПЕНИМА

ПОНЕДЕЉАК 6УТОРАК 7СРЕДА 11

ЧЕТВРТАК 8ПЕТАК 5

СУБОТА 3НЕДЕЉА 2

а) Ког дана је било најтоплије?

Одговор: Најтоплије је било у _________________ .

б) Ког дана је било најхладније?

Одговор: Најхладније је било у ________________ .

в) Израчунај просечну температуру у тој седмици.

Просечну температуру рачунаш тако што сабереш температуре ваздуха свих

дана па их поделиш бројем дана.

Решење: (6 + 7 + 11 + 8 + 5 + 3 + 2) : 7 = _______

73

Ученицима се може задати да направе дијаграм и табеларно прикажу температуру ваздуха

у наредних 7 дана . У овом тренутку ученици се могу конкретније упознати и са просечном

вредношћу . Просечну вредност темепратуре ваздуха за дату недељу добијају тако што саберу

температуре за свих 7 дана и добијени број поделе бројем дана . Можемо им објаснити да на

крају полугодишта и на крају године њихов успех представља просечну вредност њихових оцена

из свих предмета . Такође, закључна оцена из неког предмета предстаља углавном просечну

вредност свих оцена ученика из тог предмета нпр . у току једног полугодишта или читаве године .

Можемо да тражимо од ученика да израчунају коју оцену из математике на полугодишту

треба закључити ученику који има 4, 3, 5 и 4 (треба водити рачуна да је укупна сума свих вредности

дељива бројем тих вредности) . Објашњавамо им да треба сабрати све оцене и добијени број

поделити бројем оцена .

Задаци који су дати у радној свесци су бирани тако да ученицима буду блиски и из

свакодневног живота али можемо од ученика тражиити да и они самостално истраже различите

изворе информација, уоче где се јавља приказивање података и да сами осмисле задатке који би

се могли радити примерима које сами задају .

4.3. ГЕОМЕТРИЈА

4.3.1. Површина фигура

Када смо кренули у креирање ове наставне области, сматрали смо да је неопходно да

прокоментаришемо површину фигура уопште . Зато смо и започели тему бојењем унутрашњости

неке фигуре, а затим и захтевом да се на датој квадратној мрежи нацртају правоугаоник и квадрат

и обоје њихове унутрашњости . На основу реализације ових захтева ученици могу да схвате да

унутрашњост правоугаоника представља ограничену површ .

Већ у 3 . задатку на 37 . страни уџбеника и 54 . страни радне свеске врло обазриво почињемо

да упоређујемо површи по величини њихових површина . Сматрамо да је захтев примерен јер ће

број квадратића од којих је састављена нека фигура представљати меру површине те фигуре .

Мислимо да је ученицима то врло природно и неће имати већих проблема да одреде фигуру са

највећом површином .

74

Веома битан међукорак у схватању појма површине јесте схватање да површина фигуре

не зависи од њеног облика и због тога неколико задатака баш и имају за циљ боље уочавање ове

чињенице . Користећи квадрате у својим свескама ученицима можемо предложити да скицирају

сами различите облике од истог броја истих геометријских фигура и да констатују да су сви у

крајњој линији састављени од истог броја истих фигура (на пример, два квадрата и два троугла) .

Завршну фазу припреме за усвајање појма површине фигуре представља схватање да

исту фигуру можемо мерити различитим нестандардним мерним јединицама при чему, најчешће,

добијамо различите мерне бројеве . Ова фаза дата је као засебна наставна јединица Површина

фигуре (2) .

Увођењем различитих мерних јединица потребно је да ученици јасно закључе да ако желе

да измере или упореде површину неке фигуре морају знати која је јединица мере . Низом задатака

у радној свесци покушавамо то да разрадимо .

Ученицима можете предложити да самостално направе неку геометријску фиигуру и

јединицу мере и да са својим другом или другарицом на месту упорешују површине фигура које

су нацртали .

Читава прича о нестандардним јединицама мере заправо треба да послужи и предложи

увођење стандардизоване јединице мере за површину . Овако се на природан начин намеће

потреба за увођењем стандардних јединица мере .

4.3.2. Јединице мере за површину

У лекцијaма које претходе овој, ученици су припремљени и увидели су да је неопходно

увођење стандардних јединица за мерење површине фигура . Прво је потребно јасно направити

разлику између дужинских и површинских јединица, а затим је потребно и инсистирати на

придруживању одговарајућих јединица mm и mm2, cm и cm2, . . . тј . на стандардним дужима за

мерење дужине и њима одговарајућим стандардним квадратима за мерење површина .

Да би однос 1 : 100 који се код површинских мера јавља, на пример 1dm2 = 100cm2, био

трајно запамћен, треба инсистирати на уочавању прекривању квадрата странице 1dm на 42 .

страни уџбеника квадратима чија је дужина странице 1 центиметaр .

75

У недостатку времена на редовној настави, ученици могу за домаћи направити квадрате

страница 1m или 1dm и извршити поделу и изрезивање тих квадрата на квадрате странице 1dm

или 1cm .

У 2 . задатку на 57 . страни уџбеника од ученика тражити да од куће донесу квадрате од

папира странице 50 cm . Састављањем по 4 таква квадрата ученици ће видети како изгледа и

колики је квадрат површине 1m2 . Квадрати које ученици донеси од куће добро могу послужити

да ученици и визуелно перципирају колико износи површина од четвртине или половине метра

квадратног . Са тим квадратима можемо тражити и да ученици процене површине, на пример,

клупе или неки део пода, а онда и практично показати тачност извршене процене .

Мотивација за јединице за површину веће од метра квадратног дата је на самом почетку

43 . стране уџбеника, а ученике би требало питати да ли су чули и где се помињу ар или хектар .

Одговарајућим претварањем из веће у мање јединице истовремено увежбавају рад са „великим”

бројевима, али уочена претварања погодна су и за комбиновање са другим наставним темама .

4.3.3. Површина правоугаоника и квадрата

У складу са наученим јединицама мере за површину, површина квадрата се ослања на

прекривање правоугаоника јеединичним квадратима и уочавањем одговарајућег броја врста

и колона помоћу којих ученици треба да изведу одговарајући закључак . Узастопним дељењем

правоугаоника са почетка 44 . стране уџбеника на три врсте, а затим на пет колона очигледно

приказујемо ученицима како се рачуна површина правоугаоника .

12

3

а

b b

а 1 2 3 4 5

Наравно, сви примери у којима ће се рачунати површина неког правоугаоника ће бити

„добри” у смислу да ће се дужине страница правоугаоника изражавати природним бројем

јединица мере (у почетку најчешће природним бројем центиметара) . Кроз овај поступак

76

ученици се упознају са обрасцем за израчунавање површине правоугаоника . На почетку треба

инсистирати да сваки пут када се примени образац и нађе површина правоугаоника све то и

нацрта, направи одговарајућа подела као у уводном примеру, и преброје центиметри квадратни .

У почетку израчунавања површине правоугаоника помоћу обрасца P = a · b потребно је

ученицима објашњавати на следећи начин: а врста по b центиметара квадратних је a · b

центиметара квадратних . Коришћењем ових аудио-визуелних метода ученици ће бити лакше да

трајно запамте основну идеју мерења површине правоугаоника .

Сличан поступак се примењује и при израчунавања површине квадрата . Овај поступак се

скраћује у смислу свођења површине квадрата на површину правоугаоника једнаких страница,

при чему треба инсистирати на свим аналогијама .

Веома битан сегмет обраде површина правоугаоника и квадрата представља и

израчунавање површине сложених фигура у којима је потребна деоба фигуре на правоугаонике

и квадрате . Већ у 6 . задатку на 63 . страни радне свеске ученици се срећу са идејом разлагања

фигуре . 8cm

6cm

14cm

12cmР1

Р2

У овом задатку треба их подстаћи да траже и друге начине решавања задатка од датог . Ако

се сами не сете, можемо им понудити прво скицу

па тек онда предложити поступак израчунавања 12 · 14 – 6 · 6 .

77

4.3.4. Рогљаста и обла тела

Како су ученици већ раније упознати са рогљастим и облим телима, на почетку је потребно

поновити претходно стечена знања . После кратког подсећања ученици треба помоћу материјала

за сечење, који је дат на крају радне свеске, направити три тела (коцку, квадар и пирамиду) који

на себи немају облих страна . Пре него што залепе одговарајуће делове, треба анализирати свако

тела (од колико и каквих фигура је састављена) . Тако, на пример, за мрежу квадра ће уочити шест

правоугаоника, по два жута, зелена и наранџаста . Ученике треба питати како би нашли површину

те фигуре и слично . Затим, када се квадар састави, питати их да ли он има исту површину као и

фигура на почетку . Користити направљене моделе да се уочи које су ивице међусобно једнаке,

колико их има, које су стране подударни правоугаоници и слично .

Посебно треба напоменути да смо инсистирали на визуелној представи тела састављених

од облих и равних страна . Због тога је битно са пажњом урадити и изанализирати групно 8 . задатак

на 141 . страни радне свеске .

4.3.5. Површина коцке и квадра

Након подсећања на старе и упознавања нових особина коцке и квадра, помоћу

направљених модела коцке и квадра у јединици рогљаста и обла тела, ученицима треба да се

покаже мрежа тела од којих су састављена . Мреже тела су приказане на 88 . страни уџбеника али

је свакако боље на очигледном примеру им показати . На основу мрежа тела ученици треба да

закључе:

- површина квадра једнака је збиру површина три пара подударних правоугаоника;

a cc

b

a cc

bbbb

a c a c

a

a

c c

78

- површина коцке једнака је збиру површина шест подударних квадрата .

а

а

а

4.3.6. Запремина коцке и квадра

Усвајање садржаја везаних за запремину коццке и квадра није гградиво које је обавезно

предвиђено наставним планом и програмом већ је учитељима остављено да самостално, у

складу са врмееном, одлуче да ли ће урадити ове садржаје са децом . Из тог разлога смо ову тему

оставили као последњу са препоруком учитељима да, ако не са свим ученицима, онда барем

са онима који показују веће интересовање за математику, ову тему ураде на додатној настави

математике јер ова област скоро сваке године се јавља на математичким такмичењима у вишим

разредима основне пколе .

Постоји неколико чињеница са којима требамо упознати ученике пре формалног

увођења обрасца за израчунавање запремине коцке и квадра . Код ученика је потребно развити

појам запремине тела уопште . Са ученицима можемо говорити о простору и мерењњу простора,

чињеници да свако тело заузима одређени део простора, и да количина простора коју то тело

заузим управо представља запремину посматраног тела . По угледу на увођење површине тела,

мерењем запремине тела неким нестандардним јединицама јединицама ученицима можемо

указати на потребу за увођењем стандардизоване јединице мере за запремину . Увођење

јединица мере можемо урадити по аналогији са увођењем јединица мере за површину при чему

је веома битно искористити слике са 116 . и 117 . стране уџбеника како бисмо развили осећај код

ученика за однос 1 : 1000 између узастопних запреминских јединица .

79

Увођењем јединица мере за запремину битно је створити и осећај за величину

одговарајућих јединица . Након увошења литра као јединице за запремину течности ученицима

је потребно и практично демонстрирати на моделу да је 1 литар аналоган 1dm3 .

Образац за запремину коцке и квадра, као формална математичка знања која су потребна

ученицима, треба практично извести по угледу на извођење обрасца за површину коцке и квадра .

Као дидактичко средство, због очигледности, можемо користити коцке ивице 1dm, при чему на

уоченој коцки или квадру јасно уочавамо дужину, ширину и висину тела .

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд

371.3::51(035)

МАША и РАША. Приручник за учитеље уз уџбенички комплет Математика : за четврти разред основне школе / Бранислава Поповић ... [и др.]. - 1. изд. - Београд : Klett, 2015 (Београд : Colorgrafx). - 78 стр. : илустр. ; 29 cm

Тираж 500.

ISBN 978-86-7762-750-81. Поповић, Бранислав, 1954- [аутор]a) Математика - Настава - Методика - ПриручнициCOBISS.SR-ID 216709644