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Institut für Fluid- und ThermodynamikUniversität Siegen
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Institut für Fluid- und ThermodynamikLehrstuhl für
Fluiddynamik und StrömungstechnikUniversität Siegen
Vorlesung
„STRÖMUNGSLEHRE“
ZusammenfassungWS 2008/2009
Dr.-Ing. Jörg Franke
Institut für Fluid- und ThermodynamikUniversität Siegen
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Bewegung von Fluiden (= Flüssigkeiten und Gase)
- Hydro- und Aerostatik=> Druckverteilung in ruhenden Fluiden=> Druckverteilung in als Starrkörper rotierenden Fluiden
- Reibungsfreie Strömungen=> Euler- und Bernoulli Gleichung
- Strömungen mit Reibung I=> Impulssatz
- Strömungen mit Reibung II=> Druckverluste in Leitungssystemen, Rohrströmung
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Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen
Dynamische Viskosität μ (innere Reibung)
Kinematische Viskosität ν ρμν =
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Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen
Flüssigkeiten als inkompressibel (ρ = konst.)
Zustandsgleichung für ideale Gase
T = absolute TemperaturR = allgemeine (molare) oder universelle GaskonstanteR = spezifische Gaskonstantem = Molmasse in g/molcp = spezifische Wärme bei konstantem Druckcv = spezifische Wärme bei konstantem Volumen
TmR p
⋅=ρ V
P
VP cc ; cc
mR =κ−==R
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Hydro- und Aerostatik
Massenkraft:
g
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Hydro- und Aerostatik
Druckverteilung in ruhenden, inkompressiblen Fluiden
=> Nur Schwerkraft:
ghpp ρ+= 21
g
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Hydro- und Aerostatik
Druckverteilung in ruhenden, inkompressiblen Fluiden
=> Anwendung z.B. Berechnung der (Druck-) Kraft
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Hydro- und AerostatikDruckverteilung in ruhenden, inkompressiblen Fluiden
⇒ Anwendung z.B. Berechnung der (Druck-) Kraft(wirkt immer SENKRECHT zur Fläche!)
Druckkraft entweder durch Integration über Fläche, ODER
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Hydro- und AerostatikDruckverteilung in ruhenden, inkompressiblen Fluiden
⇒ Anwendung z.B. Berechnung der (Druck-) Kraft
pS
p1
p2
p1
zS
h/2
h/2
h
ρFl
ApFSD⋅=
rSFl1S
zgρpp ⋅⋅+=
Der Angriffspunkt dieser Druckkraft Fresliegt stets unterhalbdes Flächenschwer-punktes
Für Moment:
ODER: Moment durch Integration!
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Hydrostatischer Auftrieb. Druckkraft auf gekrümmte Flächen.
Auf Grund der hydrostatischen Druckverteilung erfährt ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper einen AUFTRIEB
(= resultierende Druckkraft auf den Körper!)
FA
p2>p1
dAdA,dA 1βα,21
≈<< :1
dAdAcosα =
Auftrieb = Gewicht der verdrängten Flüssigkeit
KörperFlA VgρF ⋅⋅=
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Das Archimedische Prinzip gilt auch für teilweise eingetauchte Körper
auf Volumen VI wirkt überall p1 FDres= 0
Auftrieb = FDres= ρFl·g·VII
IIρFl
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Hydro- und Aerostatik
Druckverteilung in als Starrkörper rotierenden, inkomp. Fluiden
=> Schwerkraft und Zentrifugalkraft:
g
222 yxr +=
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Reibungsfreie Strömungen
Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung):
Kräftebilanz längs Stromfaden:
konstAcρAcρm 222111 =⋅⋅=⋅⋅=& konstAcρm =⋅⋅=&
g
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Reibungsfreie Strömungen
=> EULER Gleichung:
Integration längs des Stromfadens => Bernoulli Gleichung:
dsdzg
sp
ρ1
scc
tc
dtdc
⋅−∂∂
⋅−=∂∂
⋅+∂∂
=
(1)
(2)s
konst.2
2
=⋅++ ∫ zgdpc p
ρ
Stationärer Fall!
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Bestimmung des Integrals in der Bernoulli-Gleichung∫p dp
ρ
a) Isobar: 0=∫p dp
ρ
b) Isochor: ρ = konst. (inkompressibel)
∫p dp
ρ ρρppp Δ
=−
= 12
c) Isotherm: T = konst.
∫p dp
ρ 1
2lnppT
mR
⋅⋅=
d) Isentrop:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅
−−=
−κ
κ
ρκκ
1
1
2
1
1 11 p
pp∫p dp
ρ
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Reibungsfreie StrömungenAus Gleichgewicht senkrecht zum Stromfaden:
Gekrümmte Stromfäden üben Kräfte aufeinander aus!
⇒ Bei parallelen Stromfäden ist Druck quer zum Stromfadenkonstant, WENN keine Schwerkraft! Sonst Druck über Hydrostatik (=> Bernoullikonstante variiert von Stromfaden zu Stromfaden).
c
z gp(z)
c
z p(z) Hier: Strömungeindimensional,d.h. Geschw. und Druck konst.über Querschnitt!
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Die verschiedenen Druckbegriffe und ihre Messung
--- stationäre, inkompressible Strömung im Schwerefeld--- Bernoulli-Gleichung liefert Verknüpfung von Druck p
und Geschwindigkeit c längs Stromfaden:
konst.zgρpc2ρ 2 =⋅⋅++⋅
Bezeichnungen: p = pstat: statischer Druck
= pdyn: dynamischer Druck
p = p0 : Ruhe-/Gesamtdruck
2c2ρ
⋅
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Messung des Ruhe- oder Gesamtdruckes--- mit PITOT-Sonde (Hackensonde)
p0 ; c=0
p0 = pa + ρFl ·g·Δh
ρFl
pa
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Messung des statischen Druckes
---über Wandanbohrung
p
p
---Druck am Grenzschichtrand prägt sich der Grenzschicht bis zur Wand auf
D = 0,2 – 0,8 mm
Detail der Wandanbohrung:
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Messung des dynamischen Druckes--- mit PRANDTL-Rohr (Prandtl-Sonde, Prandtlsches Staurohr)--- Kombination aus Pitot-Rohr und statischer Drucksonde
pstat pges=p0
Aus Bernoulli-Gl.:
2
dyn
dynstat0
c2ρp
ppp
⋅=
=−
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Strömungen mit Reibung I – Impulssatz
Massenerhaltung in integraler Form:
Für stationäre Strömung:
( ) 0dAnwρdVtρ
AV
=⋅⋅⋅+⋅∂∂
∫∫rr
( ) 0dAnwρA
ndresultiere =⋅⋅⋅= ∫rr
&m
Massenänderung im Innern von V
Massenstrom durch die Oberfläche A von V
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Impulssatz mit Anwendungen
Vorraussetzung: stationäre Strömungen (Reibung möglich)
• Impulskraft
• Äußere Kräfte (z.B. Gewichtskraft, Druckkraft)
0FF AI =+ ∑rr
( ) dAnwwρFA
I ⋅⋅⋅⋅−= ∫rrrr
dAnpFA
D ⋅⋅−= ∫rr
Nur Daten auf Rand (A) des Kontrollraums (V) notwendig!
ins Innere gerichtetparallel zu
ins Innere gerichtetparallel zu
wr
nr
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Impulssatz mit Anwendungen
Vorgehensweise:
1. Wahl des Kontrollraums (V) (Erfahrung; gesuchte Größen freischneiden; gegebene Größen)
2. Eintragen der angreifenden Kräfte
3. Aufstellen des Impulssatzes (Kräftebilanz)
4. Berechnung der einzelnen Kräfte
5. Auflösen nach der gesuchten Kraft (Vektor => Betrag und Richtung, bzw. Komponenten)
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Rohrkrümmer frei ausblasend
Vor.: stationär, inkompressibel, ohne SchwerkraftGeschwindigkeiten w1, w2 und die Drücke p1, p2 seien bekanntund konstant über die Querschnitte 1 und 2.
Gesucht: Die Haltekraft FB, mit der der Krümmer in (1) angeflanscht werden muß.
= Kraft infolge pa = ?
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2. Geändertes Problem: Rohrkrümmer sei frei ausblasend
Bestimmung der Druckkraft FD3,4 infolge des Außendruckes pa auf den Krümmermantel:
22a11a AnpAnp ⋅⋅+⋅⋅+=rr
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2. Geändertes Problem: Rohrkrümmer sei frei ausblasend
Graphische Addition der Kraftvektoren:
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CARNOTscher StoßdiffusorWirbelwalze (Rückströmung)
A1A2
ca. 8·D
= plötzliche Erweiterung
Kontrollraum
Frage: Welcher Druckverlust tritt infolge der plötzlichen Erweiterung auf?inkompressible Strömung: ρ = konstant {
44 344 21V
m
AA
AAwp
c
Carnot
ς
ρ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅⋅⋅=Δ
2
1
2
121 12
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Strömungen mit Reibung II – Druckverluste Vorr.: Stationäre Strömung eines reibungsbehafteten,
inkompressiblen, NEWTONschen Fluids
⇒ Allgemeine Form des Druckverlusts (ohne Schwerkraft)
⇒ Allgemeine Form des Druckverlusts (mit Schwerkraft)
mit: h = Höhendifferenz zwischen 1 und 2Vorzeichen aus Hydrostatik (cm = 0)
Vmcppp ςρ⋅⋅=−=Δ 2
21 2
ghcppp Vm ρςρ±⋅⋅=−=Δ 2
21 2
cm: volumetrischer Mittelwertder Geschwindigkeit
ζV: Verlustkoeffizient
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Strömungen mit Reibung II – Druckverluste Ausgebildete Rohrströmung (Einbauten wie Krümmer additiv):
- Laminar (ReD < 2300): HAGEN-POISEUILLE Strömung
analytische Berechnung von c(r) und τ(r):
x
r ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅⋅
Δ= 2
2
max2
22
114
)(Rrc
RrR
Lprc
μ
mcc ⋅= 2max
νλλς Dc
DL m
DD
lamV⋅
==⋅= ReRe64 und mit lam
( ) 2max2Rrc
drdcr −== μτ
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Strömungen mit Reibung II – Druckverluste Ausgebildete Rohrströmung (Einbauten wie Krümmer additiv):
- Turbulent (ReD > 2300): zeitliche Mittelwerte!
hydraulisch glatte Rohre:
Blasius Formel:(bis ReD≈105)
Prandtl Formel:(bis ReD≈3·106)
turbVVm Dlcppp λζζρ
⋅=⋅⋅=−=Δ mit 221 2
( )41
Re
3164,0
D
turb =λ
{ } 8,0Relog21turbD
10turb
−λ⋅⋅=λ
νDcm
D =Re
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Strömungen mit Reibung II – Druckverluste Ausgebildete Rohrströmung (Einbauten wie Krümmer additiv):
- Turbulent (ReD > 2300): zeitliche Mittelwerte!
raue Rohre (Sandkornrauheit ks):
NIKURADSEDiagramm
turbVVm Dlcppp λζζρ
⋅=⋅⋅=−=Δ mit 221 2
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Klausuren
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Viel Erfolg und DANKE für die – meist – ungeteilte Aufmerksamkeit.