- Filosofia Y Matematicas - Ensayos en Torno a Wittgenstein

8/10/2019 - Filosofia Y Matematicas - Ensayos en Torno a Wittgenstein

http://slidepdf.com/reader/full/-filosofia-y-matematicas-ensayos-en-torno-a-wittgenstein 1/174



FILOSOFÍAYMATEMÁTICAS: ENSAYOS ENTORNO A WITTGENSTEIN



Alejandro Tomasini Bassols

Filosofía y Matemáticas:ensayos en torno a Wíttgenstein



Primera edición: 2006 Primera reimpresión en coedición con el IPN-Dirección General de Publicaciones: diciembre de 2006

© Alejandro Tomasini Bassols © IPN-Dirección General de Publicaciones © Plaza y Valdés, S.A. de C.V.

Derechos exclusivos de edición reservados paraPlaza y Valdés, S.A. de C.V. Prohibida lareproducción total o parcial por cualquiermedio sin autorización escrita de los editores.

Plaza y Valdés, S.A. de C.V. Manuel María Contreras, 73. Colonia San Rafael México, D.F., 06470. Teléfono: 5097 20 70 [email protected]

Calle de las Eras, 30, B. 28670, Villaviciosa de Odón, Madrid, España. Teléfono: 9166 58959 [email protected] www.plazayvaldes.com

ISBN: 970-722-572-6

Impreso en México / Printed in México

mailto:[email protected]




http://www.plazayvaldes.com/







Así, las matemáticas se pueden definir comoel tema en el que nunca sabemos de quéestamos hablando ni de si lo que decimoses verdad.

Bertrand Russell, "Las Matemáticas y los Me-tafísicos" (1901), reproducido en Misticismo y

Lógica.



Presentación

omo otras ramas de la filosofía, la filosofía de las matemáticas es un lugar deencuentro para reflexiones de muy diversa índole. Es, permitiéndome recurrira una sencilla metáfora, como una glorieta en la que desembocan múltiples

avenidas. Su material de trabajo lo proporcionan, naturalmente, las matemáticas mis-mas, pero también, y sobre todo, lo que otros filósofos de las matemáticas, o losmatemáticos en sus momentos filosóficos, afirman acerca de diversos aspectos de

dicha disciplina. El filósofo de las matemáticas se ocupa, en efecto, de los números ymás en general de las "entidades" con las que trabajan los matemáticos, de los prin-cipios de inferencia o razonamiento a los que éstos recurren, de las "verdades" a lasque llegan, de los supuestos en los que se fundan, pero ni mucho menos forma partede sus intereses hacer demostraciones, obtener nuevos resultados o descubrir nue-vos principios. El filósofo de las matemáticas no compite con el técnico en matemá-ticas, ni tiene por qué hacerlo. Su investigación sencillamente no incide en el trabajodel matemático. En verdad, sería producto de una grotesca confusión pretender quelo hiciera. De hecho, lo que el filósofo de las matemáticas hace es plantearse interro-gantes que para el matemático que está trabajando resultan las más de las vecesextrañamente irrelevantes o a las que en todo caso ve como curiosidades intelectua-les con las cuales, sin embargo, no sabría bien qué hacer. Ludwig Wittgenstein expusola idea de manera brutal cuando afirmó, refiriéndose a la peculiar labor del filósofo delas matemáticas, que ésta es "por así decirlo, una ociosidad en matemáticas".1 Coneste pensamiento no se pretende hacer redundante a la filosofía de las matemáticas,sino más bien conferirle el lugar que le corresponde en el ámbito de la reflexión y dela vida intelectual.

1 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The MIT Press,

1975), PartIV, sec. 52.

C



PRESENTACIÓN

El reconocimiento de que hay tal cosa como una división del trabajo de acuerdocon la cual el filósofo no puede pronunciarse sobre la labor del matemático tiene,

obviamente, su contrapartida. Así como quien hace filosofía no está capacitado paracorregir en su trabajo al matemático, es igualmente cierto que el matemático carecedel entrenamiento indispensable para poder competir con el filósofo cuando es éste elque investiga. Si la filosofía de las matemáticas constituye una rama vital de la re-flexión filosófica ello sin duda se debe desde luego a que las matemáticas en sí mis-mas son decisivas en la vida humana (por muchas y obvias razones que supongo quees innecesario enunciar), pero también a que con las matemáticas se produce exac-tamente el mismo fenómeno que se produce en otros ámbitos del conocimiento, unfenómeno detectado por Sócrates hace 2,500 años, a saber, que una cosa es ser unespecialista en algo y otra muy diferente saber dar cuenta de eso en lo que se es

especialista. El matemático sabe matemáticas, pero ello no lo capacita para esclare-cer lo que hace cuando realiza su trabajo. Saber matemáticas es, por ejemplo, saberlidiar con números, con espacios, con estructuras algebraicas, con el infinito, resolverecuaciones, hacer demostraciones, etc.; hacer filosofía de las matemáticas es más bien aclarar la naturaleza del número, del espacio o del infinito, explicar el status delas proposiciones o de las reglas matemáticas, exhibir las relaciones que se dan entrelas matemáticas y otras ramas del saber o entre los sistemas numéricos y el lenguajenatural, y así indefinidamente. Se trata, pues, de dos tareas claramente diferentes, dedos planos de investigación completamente independientes uno del otro. En esta sen-

cilla colección de ensayos, huelga decirlo, lo que ofrecemos no son matemáticas(Dios nos libre!), sino productos filosóficos concernientes a algunos aspectos de lasmatemáticas.

Difícilmente podría negarse que la filosofía de las matemáticas es una rama par-ticularmente apasionante de la filosofía. No es por casualidad que, desde que se iniciaraen ésta hasta el ocaso de su meditación, esto es, hasta su muerte, Wittgenstein hayamantenido vivo su interés por dicha "ciencia". No deseo comprometerme con cantida-des concretas pero, a ojo de buen cubero, puede afirmarse que los escritos de Witt-genstein sobre las matemáticas rebasan en volumen a sus reflexiones en relación concualquier otro tema. O sea, más que sobre la mente o sobre el lenguaje, Wittgensteinescribió sobre diversas facetas de las matemáticas. Independientemente de la canti-dad de páginas que Wittgenstein haya escrito, lo cierto es que las matemáticas repre-sentaban para un pensador como él un reto particularmente excitante, y ello por losiguiente: muy probablemente más que en cualquier otra rama de la filosofía, enfilosofía de las matemáticas se es particularmente proclive a la mitificación e, inclusi-ve, a la mistificación. Más que los científicos naturales o los científicos sociales, losmatemáticos son susceptibles de incurrir en excesos o desviaciones filosóficas gra-

12



FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS

ves sin siquiera percatarse de ello. A los matemáticos les resulta muy fácil hablar demundos abstractos, entidades lógicas, verdades necesarias o universos abiertos, sin

entender del todo con qué concepción de la realidad y del simbolismo matemático seven comprometidos. El fenómeno es hasta cierto punto explicable. En tanto que otrosno ofrecen más que experimentos tentativos y verdades más o menos probables, losmatemáticos proporcionan demostraciones y verdades apriori; allí donde otros titu- bean al referirse a las entidades a las que supuestamente sus términos teóricos remi-ten, los matemáticos no tienen empacho en hablar de realidades intangibles, perceptiblessólo gracias al ojo de la mente; en contraste con todos aquellos que tienen que apelara la experiencia y afanarse por encontrar evidencias, los matemáticos son libres paravagar por los universos que ellos crean, aterrorizados únicamente por el espectro dela inconsistencia y la contradicción. Así, al igual que el metafísico de otros tiempos,

esto es, el filósofo de sofá, el matemático se ve a sí mismo como un colonizador demundos todavía inexplorados, una imagen que ciertamente gratifica su ego pero queno por ello se vuelve de reputación respetable. Cabe señalar que en esta campaña deauto-glorificación y de creación de mitos, los matemáticos se han visto alentados porlos filósofos tradicionales de las matemáticas. Por ello, la labor wittgensteiniana deesclarecimiento en esta área es particularmente valiosa, pues para realizarla habíaque enfrentar tanto a matemáticos filosóficamente incautos como a filósofos exalta-dos por los sistemas matemáticos y los beneficios que éstos acarrean. Por ello, lafilosofía de las matemáticas de Wittgenstein es inclasificable. De hecho, Wittgenstein

lucha, de uno u otro modo, en uno u otro sentido, contra todas las corrientes defilosofía de las matemáticas: platonismo, intuicionismo, logicismo, empirismo, etc. Dadoque el pensar wittgensteiniano es esencialmente iconoclasta, destructor de mitos ge-nerados por la incomprensión de la gramática del simbolismo de que se trate, lasestrategias wittgensteinianas siguieron siendo las mismas que en filosofía de la psico-logía o en filosofía del lenguaje, sólo que aplicadas en este otro contexto. De igualmodo siguió operando como un motor oculto la idea del Tractatus de que es sólo de lascríticas a las diversas mitologías filosóficas que habrá de emerger poco a poco la visióncorrecta de las matemáticas.

Me apresuro a decir que en esta colección de ensayos no me ocupo más que deuna cantidad muy reducida de los múltiples temas que Wittgenstein abordó. El lector podrá fác ilmente constatar que estos ensayos efectivamente contienen una no fácillabor de carácter exegético, esto es, reconstrucciones de provocativos y sutiles pun-tos de vista concretos defendidos por Wittgenstein. Sin embargo, también se topará ellector con pensamientos que, por ser propios, yo no me atrevería a imputarle a Witt-genstein, si bien reclamo para ellos la cualidad de "wittgensteinianos". Ciertamente, pocas cosas me complacerían tanto como ver ratificado por otros no sólo que nada

13



PRESENTACIÓN

de lo que digo es incompatible con lo que Wittgenstein de hecho sostuvo, sino tambiénque los puntos de vista que por cuenta propia defiendo son afines a las posiciones que

él defendió o que eventualmente habría defendido. De ahí que si no se elevaranobjeciones serias que hicieran ver que lo que sostengo no embona con lo explícita-mente enunciado por Wittgenstein y con su perspectiva global, me sentiría satisfechoy consideraría que mi trabajo habría sido, aunque modesto, exitoso. Sin embargo, laemisión de un juicio en este sentido es privilegio más bien del lector y, por consiguien-te, es algo acerca de lo cual no me corresponde externar una opinión. Por otra parte,aparte de la conexión con el pensamiento wittgensteiniano, lo que sí estoy en posiciónde afirmar es que si hay algo que vincula a todos los ensayos aquí reunidos, si hubo unhilo conductor en la elaboración de todos los trabajos, éste muy probablemente fue undecidido rechazo del realismo en filosofía de las matemáticas. La animosidad encontra de los mitos realistas en torno a las matemáticas es, creo, palpable a lo largo yancho de estos escritos.

En realidad, el material que aquí pongo a disposición del lector no representa másque un primer acercamiento a los temas considerados. Estos ensayos fueron escritosen muy diversos momentos, a lo largo de los últimos 12 años. Aunque desde luego losfui puliendo e hice un serio esfuerzo por uniformizarlos desde el punto de vista de miactual forma de expresarme y de escribir, los textos quedaron básicamente comofueron redactados originalmente. A este respecto, siento que debo hacer una confe-sión, con miras a una aclaración. Tres de los textos aquí recopilados, a saber, "Núme-

ros Wittgensteinianos", "Geometría y Experiencia" y "Convención y NecesidadMatemáticas" fueron previamente publicados y recogidos en otros libros míos. Ladecisión de volverlos a incluir en un nuevo libro no fue para mí nada fácil. No obstan-te, después de sopesar diversos argumentos en favor y en contra, me incliné final-mente por incluirlos sobre todo porque encajaban muy bien con mis trabajos másrecientes y contribuían a darle a la colección una forma más acabada, enriqueciéndolacon presentaciones y discusiones de los mismos temas pero desde perspectivas dife-rentes y con énfasis diferentes. Estoy, pues, convencido de que el libro en su conjuntoes el mejor de los posibles, dadas las circunstancias en las que me encontraba almomento de compilarlo.

Alejandro Tomasini BassolsMéxico D. F., abril de 2006

14



Godel y Wittgenstein1

I) Auto-referencia y Signifícatividad

a auto-referencia es un fenómeno lingüístico a la vez común y nada fácil deexplicar. Su carácter engañoso brota, entre otras cosas, del hecho de que demanera imperceptible se puede transitar de formas legítimas de auto-referen-

cia, que son en ultima instancia comprensibles, explicables, justificables o redundantes,a formas ilegítimas, que finalmente nos dejan en la perplejidad y en el misterio y queson todo menos fáciles de descartar. La auto-referencia ilegítima está vinculada a las paradojas y se sabe cuan difícil es dar cuenta de éstas. De ahí que resulte de vitalimportancia aprender a diferenciar entre auto-referencia legítima y auto-referencia paradójica, pues de lo contrario no podremos evitar incomprensiones y enredos de

diversa índole y estaremos tratando de aplicar a toda costa soluciones que valen parala auto-referencia paradójica a casos de auto-referencia que en el fondo no son problemáticos y que, por lo tanto, no las requieren. Por otra parte, sería muy aventu-rado determinar de entrada que toda forma de auto-referencia es paradójica y, porende, falaz. Si se acepta, aunque sea tentativamente, la distinción entre auto-referen-cia legítima y auto-referencia espuria podremos aceptar que hay casos de auto-refe-rencia falaz, para los cuales habrá que recurrir a los mecanismos usuales de bloqueode formación de paradojas, y casos de auto-referencia legítima, como supuestamenteacontece (así piensan muchos) con el teorema de Íncompletitud de Godel, que prima

facie serían perfectamente inteligibles. Por mi parte, admito que hay formas legíti-

1 Agradezco a los Dres. José Antonio Robles (IIF) y Guillermo Morales Luna (CINVESTAV) las útilesobservaciones que le hicieron a una primera versión de este trabajo. Naturalmente, ningún error que elensayo contenga es adjudicable a ellos.

L




to lingüístico está no sólo permitido, sino que es el apropiado; una situación particularlo justifica. En este caso, la auto-referencia se justifica por el hecho de que los hablantes

no han visto nunca a la persona de la que hablan y que ésta no quiere darse a cono-cer. De lo contrario, siguiendo con el ejemplo, lo que yo tendría que decir sería simplemente algo como 'No, yo soy mexicano, no italiano' y el recurso a la auto-referenciasería innecesario. Como moraleja general podemos extraer la idea de que tan absur-da como la descalificación total de la auto-referencia es pensar que porque en unaocasión especial la auto-referencia persoaal es comprensible y está justificada, en-tonces lo está en todo momento y en cualquier circunstancia.

Otro caso de situación en el que la auto-referencia resulta ser un movimientolingüístico legítimo (si bien es debatible si lo es moralmente) es el siguiente: imagine-mos que alguien se auto-dota de una importancia desmedida al grado de que empieza

a hablar de sí mismo en tercera persona. Podría tratarse, e.g., de un déspota, de unartista o de un farsante. Una persona así podría decir: 'XYZ no dijo eso' o 'XYZopina que ...', cuando 'XYZ' es el nombre de la persona que habla. En casos así y precisamente por ser de alguna manera anómalos, la auto-referencia es comprensible (inclusive si constituye una forma de hablar un tanto ridicula o despreciable). Entodo caso, el ejemplo hace ver que, salvo en situaciones excepcionales o raras, laauto-referencia sencillamente no es la forma normal de hablar.

Un ejemplo más debatible de auto-referencia nos lo proporciona el hablante de-seoso de llamar la atención y de presentarse "de cierta manera". Es el caso de

alguien que dice 'Yo soy el mejor futbolista' o 'yo soy la mejor actriz'. A primeravista, nos las habernos aquí con casos permisibles de auto-referencia: aparentemen-te, en efecto, alguien habla de sí mismo (o de sí misma) y lo que dice es comprensible,inclusive si es falso. Empero, es debatible que sea ésta una presentación adecuada dela situación. Lo primero que habría que señalar es que se trata más bien de casos deauto-descripción y es claro que auto-referencia y auto-descripción no son lo mismo;en segundo lugar, habría que señalar que si bien el mecanismo de auto-referencia encasos así no es gratuito, tampoco es indispensable. Se recurre a él por alguna razónque, al hacerla explícita, aclara en qué consiste su utilidad. Por ejemplo, el hablantequiere o necesita presentarse ante sus interlocutores de cierta manera, bajo cierta luzde modo que su persona se vea favorecida, para ser evaluado de tal o cual modo, etc.Es para no tener que estar constantemente haciendo explícito todo lo implícito en losobjetivos del hablante que la auto-referencia puede ser un mecanismo lingüístico útil.Pero podemos ir más allá y argumentar plausiblemente que una expresión como 'yosoy el mejor alumno de mi clase' en realidad equivale a algo como 'en la lista de losalumnos y desde el punto de vista de las calificaciones el primer lugar es XYZ' y estoúltimo no es un acto de auto-referencia, sino una simple descripción de una determi-

17



G6DEL Y WlTTGENSTEIN

nada situación de la cual uno forma parte. En general, puede afirmarse que sería unerror inmenso pensar que el mero uso de 'yo' o de mi nombre basta para que este-

mos frente a casos de auto-referencia. La auto-referencia no es tanto un asunto degramática como de lo que podríamos denominar 'intención semántica'. Es ésta la queen algún sentido es sospechosa o "anormal", no las oraciones en las que aparece el pronombre personal. Así, concediendo en aras de la argumentación que este últimoejemplo es efectivamente uno de auto-referencia, lo que habría que inferir es queinclusive cuando ésta es legítima e inocua, de todos modos es en cierto sentido redun-dante y reemplazable. Se trata, en el mejor de los casos, de un mecanismo que facilitala comunicación, porque permite obviar partes del trasfondo de las "intenciones delhablante". Todo esto permite entrever algo importante, a saber, que lo realmenteextraño y problemático es la auto-referencia, por así liamarla, "pura", esto es, los

actos de auto-referencia que no son sustituibles por ningún otro acto de habla y pormedio de los cuales no se cumple con ninguna función lingüística específica aparte dela de auto-referencia.

Hay otras formas de discurso legítimas y mucho más usuales que sólo aparente-mente son de carácter auto-referencial, con las cuales sin embargo fácilmente se les puede confundir. Tengo en mente los casos de expresión (de dolor, de sentimientos,de emociones, de recuerdos, etc.). Me refiero, en general, a situaciones en las que loque se emplean son verbos psicológicos y actitudes proposicionales. En efecto, a primera vista parecería que si digo, por ejemplo, 'yo tengo un dolor en el brazo'

expreso lingüísticamente mi dolor y, tácita o abiertamente, me apunto a mí mismo. Osi digo 'yo recuerdo que ...', da la impresión de que tanto expreso un recuerdo comohablo de mí, esto es, indico que soy yo quien lo "tiene". En otras palabras, pareceríaque en una oración de forma tan simple como 'yo pienso que ...' hago simultánea-mente dos cosas: hago explícito un pensamiento y al mismo tiempo me refiero a mímismo ("a mí"). Es evidente, sin embargo, que la explicación de esos movimientoslingüísticos en términos de auto-referencia está totalmente desencaminada. De he-cho, es fácil hacer ver que en la auto-adscripción de sensaciones, emociones, pensa-mientos y demás, la alusión a un "yo" que "tiene" determinados "estados mentales"es, además de gratuita, enteramente errada. Si alguien exclama: "Sí, pero es a mí aquien le duele", lo que quiere decir es algo como "este dolor que está aquí es muyintenso", "el dolor está aquí" (y señala uno dónde le duele), "claro, no eres tú quien lo padece", etc. Por consiguiente, podemos aseverar con confianza que en los casos deverbos psicológicos y de actitudes proposicionales simplemente no se produce ningúnacto de auto-referencia. Esto está conectado con otro punto de vital importancia, enrelación con el cual haré tan sólo unos cuantos recordatorios.

18




La ilusión de auto-referencia en los casos de verbos psicológicos y actitudes proposicionales brota del uso del pronombre personal 'yo' y sus derivados ('me', 'a

mi", etc.). ¿Por qué, como dije, se trata de una ilusión? Wittgenstein aclaró de una vez por todas el tema: en estos casos nos las habernos con el uso de 'yo' como sujeto yuna de las características de dicho uso es precisamente el no tener carácter referen-cial. Como bien se nos hace notar en las Investigaciones, "Cuando digo 'tengo undolor' no señalo a una persona que tiene el dolor, puesto que en cierto sentido notengo idea de quién sea".2 La verdad es que no podemos ya seguir asumiendo quehay tal cosa como un "yo" que "tiene" sensaciones o pensamientos. 'Yo', en loscasos en los que no es usado para referir al cuerpo, sencillamente no refiere o nodenota nada. Su función es otra. Esto es digno de ser tomado en cuenta, por lasencilla razón de que entra en conflicto con una larga y ya no tan venerable tradición

filosófica que sostiene precisamente lo contrario, a saber, que 'yo' siempre tiene unuso referencial. No entraré aquí en esta discusión, entre otras razone porque ya la heconsiderado ampliamente en otros trabajos3 y no tengo nada nuevo qué decir al respecto. Empero, me permitiré señalar rápidamente un par de rarezas asociadas con laconvicción tradicional.

En lo primero que habría que reparar al considerar la supuesta referencia odenotación de 'yo' usado como sujeto es en la ociosidad y en la futilidad de la empre-sa: ¿con qué objeto, para obtener qué estaría uno constantemente auto-identificándo-se, esto es, refiriéndose a sí mismo? ¿Qué ventaja para la comunicación ofrecería

semejante proceder? Por otra parte ¿cómo dar cuenta de manera plausible del noto-rio fracaso en encontrar empíricamente la supuesta referencia? ¿Hay acaso algomás difícil que encontrarse a sí mismo, en el sentido de la metafísica tradicional?¿Hay alguna tarea frente a la cual nos encontremos tan desorientados respecto acómo proceder como la de buscarnos a nosotros mismos, cuando lo que buscamos esel legendario sujeto de las experiencias? Y ¿no es increíble que no haya nada tandifícil como encontrarnos a nosotros mismos, cada quien en su propio caso, desdeluego? Por otra parte, si nadie ha logrado realizar la proeza de auto-atraparse: ¿no sedebe ello acaso a que se está buscando algo que era lógicamente imposible obtener?¿No es obvio, una vez hechas las aclaraciones pertinentes, que no hay nada qué buscar, y por lo tanto nada que encontrar, al usar 'yo' como sujeto? ¿No es evidente

2 L. Wittgenstein, Philosophical Investigations (Oxford: Basil Blackwell, 1974), sec. 404. 3 Véase, por ejemplo, la sección sobre identidad personal en mi libro Enigmas Filosóficos y FilosofíaWittgensteiniana (México: Edere, 2002), pp. 343-54 y "Wittgenstein y la naturaleza del 'yo'" enEnsayos de Filosofía de la Psicología (Guadalajara: Universidad de Guadalajara, 2003), 2" edición.

19



GóDEL Y WlTTGENSTEIN

que no puede haber actos de auto-referencia cuando no hay entidad alguna que estéen juego? Infiero de todo lo anterior que, en tanto que mecanismo lingüístico útil y

justificado por situaciones especiales, la auto-referencia personal no tiene nada defantástico o de inexplicable y que es sólo cuando está involucrada una confusiónfilosófica, i.e., la idea metafísica de auto-referencia y auto-conocimiento, que la auto-referencia personal se convierte en algo misterioso. Con estas breves consideracio-nes podemos dejar de lado la cuestión de la auto-referencia de hablantes o personas.

Examinemos ahora la auto-referencia semántica. Para evitarnos complicacionesinnecesarias nos concentraremos en el caso de las oraciones. Diremos entonces quela idea es que, en lugar de versar sobre el mundo como la casi totalidad de ellas,ciertas oraciones, más bien inusuales, hablan de sí mismas, es decir, se toman a símismas como objetos de su propio discurso. A primera vista ello es fantástico y la

primera reacción, la reacción espontánea es la de pensar que ello es o imposible uocioso o absurdo. Consideremos, por ejemplo, la famosa paradoja del mentiroso: si unmentiroso asevera que todo lo que él dice son mentiras, entonces lo que afirma esverdad pero, dado que lo que un mentiroso enuncia tiene que ser falso, entoncesefectivamente lo que dijo es falso, lo cual concuerda con lo que dijo y por lo tanto esverdad y así ad infinitum. De otro modo: si lo que el mentiroso dijo es verdaderoentonces es falso, luego es verdadero, por consiguiente es falso, por lo tanto es ver-dadero, ergo es falso, y así sucesivamente. Aquí podemos establecer una primeraconexión digna de ser consignada: la auto-referencia semántica está internamenteconectada con las paradojas y hablar de paradojas es hablar de contradicciones.Muchos sostendrían, sin embargo, que no es el único caso de auto-referencia semán-tica: habría otros que, se supone, serían igualmente legítimos sólo que no darían lugara paradojas, sino a enunciados verdaderos. Esto, como veremos, es debatible y lomenos que podemos esperar es que quien defiende esa idea aclare y justifique suidea implícita de auto-referencia semántica. Revisemos el asunto un poco más endetalle.

Consideremos un ejemplo típico: 'La oración recién descrita tiene siete palabras'(cp). A primera vista, parecería no sólo que <p es verdadera sino que además lo es precisamente en virtud de que se refiere a sí misma. Pero ¿es ello así? Lo que real-

mente parecería estar pasando es algo diferente, a saber, que algo está faltando, porque ¿cuál es, dónde está esa oración "recién descrita"? Sencillamente no hay taloración. ¿Cómo entonces explicar la apariencia de auto-referencia semántica? Si nome equivoco, la auto-referencia semántica en un caso así se explica por una omisiónque debido a una cierta redundancia se da por entendida. Lo que en este ejemplo está presente sólo que tácitamente es la expresión (en negritas) 'La oración "..." tienesiete palabras'. O sea, en realidad lo que tendríamos si hiciéramos explícito todo lo

20




que está dicho y lo que está involucrado (como las nociones de lenguaje y meta-lenguaje y las técnicas de uso y mención de expresiones, i.e., la técnica del

entrecomillado) sería: 'La oración "La oración recién descrita tiene siete palabras"tiene siete palabras'. Como en el fondo lo que estamos haciendo es repetir ciertasexpresiones, entonces el lenguaje, por un mecanismo de economía, nos permite aho-rrarnos la repetición y formar una sola oración, creando así la ilusión de auto-refe-rencia. Una vez hechas las aclaraciones pertinentes queda claro que, por lo menos enel ejemplo anterior y contrariamente a una primera impresión, no hay tal auto-refe-rencia. El problema es que se trata de un ejemplo paradigmático, representativo de laauto-referencia semántica, y ello induce a pensar que es la idea misma de que unaexpresión puede referirse a sí misma lo que resulta sumamente extraño, por no decirincomprensible. La verdad es que no vemos, en este caso típico al menos, tal cosacomo auto-referencia semántica. Más aún: no se entiende cómo podría producirsetan singular fenómeno. Nos auto-convencimos de que se había producido el fenóme-no de auto-referencia semántica porque no nos habíamos percatado de que algofaltaba en una expresión dada o simplemente que estaba implícito en ella. La re-flexión en torno a esta cuestión nos hace ver que realmente lo más extraño que podría suceder es que algo creado para dar cuenta del mundo, como lo es el lenguaje, perversamente se transmutara en algo que se revierte sobre sí mismo y modificaraasí su esencia funcional. Desde esta perspectiva, lo menos indicado parecería ser laaprobación de la auto-referencia semántica. Ahora bien, es precisamente el sospe-

choso fenómeno lingüístico de la auto-referencia en el que Godel funda su "prueba".4

En resumen, hay casos inobjetables de auto-referencia personal, los cuales notienen nada de misterioso y se explican por el carácter peculiar de las situaciones enlas que se comunican los hablantes (para enfatizar, insistir, llamar la atención, etc.) ycasos anómalos, en los que sólo aparentemente se produce un acto de auto-referen-cia. Así, la auto-referencia legítima es superflua y la ilegítima inaceptable. El proble-ma es que esta última es muy difícil de distinguir de la primera. La auto-referencialingüística, por su parte, es más bien una ilusión y, si se le toma en serio, no puede másque dar lugar a paradojas, contradicciones, sorpresas, incomprensiones y demás. Esmuy importante tener en cuenta lo que hemos dicho, ya que habremos de utilizarlocuando consideremos la fórmula de Godel que, como se sabe, afirma de sí misma queno es demostrable. Antes, empero, debemos hacer algunos recordatorios concernien-

4 Esto es cuestionable. Podría argumentarse que lo que con el teorema de Godel acontece es más bien quese borra la distinción entre sintaxis y semántica, pero ¿no se borra con ello también la distinción original"lenguaje objeto-meta-lenguaje" y no se reintroduce con ello la noción misma de auto-referencia?

21




tes al contexto histórico en el que se inscribe el famoso Teorema de Incompletitud deGódel,del931.

II) El Logicismo y la Aritmetización de la Sintaxis

Es bien sabido que la gran aventura lógica del siglo xx, la cual culminó en la decisivarevolución computacional que se operó durante su segunda mitad, una revolución deinmensas consecuencias e implicaciones para la humanidad en su conjunto y la vida enel planeta en general, se inició propiamente hablando con el esfuerzo por parte deBertrand Russell por resolver el problema planteado por las paradojas. Russell ofreciótres teorías para dar cuenta de ellas, a saber, la teoría del zig-zag, la de la limitación del

tamaño de las clases y la que finalmente él mismo favoreció y que explica la gestaciónde las paradojas por un "círculo vicioso". En efecto, tanto en Principia Mathematicacomo en "Mathematical Logic as based on the Theory of Types"5 Russell explica lagestación de las paradojas con base en la idea de que en su formulación se comete unacierta falacia consistente en pecar en contra de lo que él denomino el 'principio delcírculo vicioso' .6 Del principio del círculo vicioso Russell da de hecho cinco formulacionesdiferentes, todas ellas equivalentes pero destacando diferentes facetas del fenómeno alque alude. La idea es siempre la misma: las paradojas surgen porque al hablar deuna totalidad se incluye a ésta dentro de sí misma como si fuera un elemento más.Así, la totalidad resulta ser simultáneamente tanto una totalidad como un elementode dicha totalidad. Es debido a ese doble juego, permitido por el simbolismo, quesurgen las paradojas. Naturalmente, cuando así procedemos lo que construimos no esuna proposición, sino un sinsentido. Para bloquear la formación de paradojas, Russellapela a la idea de tipo lógico, que en el fondo no es sino la idea de una jerarquía lingüís-tica, esto es, la distinción de lenguaje objeto, meta-lenguaje, meta-meta-lenguaje, y asíad infinitum. La respuesta acabada de Russell pasó a la historia como la 'Teoría de losTipos Lógicos'. Es ésta, como se sabe, una teoría sumamente compleja y de ramifica-ciones insospechadas en o para diversas áreas del pensamiento.

Recordemos ahora rápidamente los lineamientos generales del programa de Ru-

ssell. En su lucha en contra del idealismo prevaleciente en su época, al cual era

5 B. Russell, "Mathematical Logic as based on the Theory of Types" en Logic and Knowledge (London:Alien and Unwin, 1971), pp. 59-102. 6 Aunque hay muchas, de las mejores presentaciones del tratamiento de las paradojas por parte deRussell es, sin duda, la que encontramos en el capítulo "Russell's Solution to the Paradoxes", delexcelente libro de Ch. S. Chinara, Ontology and the Vicious-Circle Principie (Ithaca/London: CornellUniversity Press, 1973).

22




sino de una tercera categoría, pero en todo caso ello es algo en favor de lo cual senecesita abogar y la verdad es que argumentos en este sentido no abundan.

Quizá debamos hacer ahora algunas aclaraciones generales concernientes al teo-rema de Gódel. Nadie ha cuestionado y probablemente nadie cuestionará el formalis-mo gódeliano, esto es, sus definiciones, la introducción de sus términos primitivos, susreglas de inferencias y sus transiciones.9 En todo caso, no es la estructura formalmisma lo que está en cuestión (por no decir "enjuego"). Si los matemáticos aceptancomo formalmente válida la prueba de Gódel no nos toca a nosotros objetar nada alrespecto. Pero una cosa es que sea inatacable y otra que su significación sea transparente. Son su interpretación, su significado, sus implicaciones lo que es debatible yen relación con lo cual no hay todavía consensos claros y definitivos. O sea, es lo queel teorema "dice" lo que es todavía asunto de debate. Para movernos en la dirección

de la aclaración, lo que hay que hacer es exhibir los supuestos implícitos en el trabajode Gódel, sacar a la luz las nociones que usa pero que él mismo nunca esclarece,como las de proposición matemática, "decir", auto-referencia y demás. Es sólo cuan-do se tengan todos o por lo menos muchos de los elementos del gran rompecabezas,el iceberg completo y no nada más la parte que sobresale, que podremos empezar aentender qué fue realmente lo que logró Gódel con su prueba. Quisiera tratar deestablecer un par de cosas en relación con esto último, pero para ello habremos primero de retomar algunas ideas de Ludwig Wittgenstein en torno a la naturaleza dela verdad matemática y sin las cuales difícilmente podría siquiera alguna reflexión en

este sentido arrancar.

III) El Status de las Proposiciones Matemáticas

Sin duda alguna el pensamiento del Wittgenstein de la madurez, esto es, el posterior a ladiscusión respecto a lo que es seguir una regla y el argumento del lenguaje privado,representa el punto culminante de una trayectoria pasmosa, única, pero puede sostenerseque el pensamiento del que quizá podríamos denominar el 'Wittgenstein intermedio', estoes, básicamente el Wittgenstein de Ludwig Wittgenstein y el Círculo de Viena,10

9 Esto, en mi opinión, es una grave omisión, porque es innegable que hay problemas de significación enlas definiciones y en la prueba misma, dado que por ejemplo una misma fórmula resulta tener simultáneamente tanto un significado matemático como uno meta-matemático! 10 Ludwig Wittgenstein and the Vienna Circle. Conversations recorded by Friederich Waismann. Edited by Brian McGuinness (Oxford: Basil Blackwell, 1979). Hay traducción al español de Manuel Arbolí: Ludwig Wittgenstein y el Círculo de Viena (México: Fondo de Cultura Económica, 1973).

25



GÓDEL Y WlTTGENSTEIN

las Observaciones Filosóficas11 y la Gramática Filosófica,11 es un pensamientofresco, intrépido, excitante, audaz, novedoso. En particular en las dos últimas obras

citadas está plasmada una nueva filosofía del lenguaje y de las matemáticas, llena deintuiciones originales, de argumentaciones (en el estilo wittgensteiniano) contunden-tes y que hacen sentir que, página tras página, se hace progreso filosófico real. Paralos objetivos de este trabajo me concentraré en especial en algo de lo mucho y muyvalioso que Wittgenstein sostiene en las Observaciones Filosóficas. En particular,lo que deseo hacer son ciertos recordatorios concernientes a los puntos de vista deWittgenstein en relación con la idea de demostración o prueba matemática. Esta breve labor de reconstrucción nos permitirá disponer de una plataforma desde la cualabordar y tratar de evaluar el valor filosófico del resultado de Gódel. Es obvio, porotra parte, que algo así se tiene que hacer, pues de lo contrario lo que estaríamos

haciendo sería enfrentar el teorema de Godel desde la perspectiva del sentido común,en cuyo caso estaremos perdidos y no tendremos otra cosa que ofrecer que la aburridalectura simplista de siempre, lo cual es algo que ciertamente queremos evitar.

Empecemos con algunas generalidades. Nuestro punto de partida pueden serlodos ideas que si se quiere se les puede calificar de 'triviales' (aunque no lo sean), viz.,que en matemáticas nos las habemos con sistemas y que las matemáticas son porexcelencia la ciencia de la demostración. Lo primero hace alusión al carácter inte-grado y orgánico de las matemáticas. La idea es que las proposiciones matemáticasestán sistemáticamente conectadas unas con otras (no, desde luego, de manera arbi-traria). No hay proposiciones matemáticas aisladas del resto. '2 + 2 = 4' presuponeque 2+1 =3, que 3 + 1=4, que 3 + 2 = 5, etc. Considerada al margen o fuera de esesistema proposicional, '2 + 2 = 4' no significa absolutamente nada. Por otra parte,dejando de lado los puntos de partida, esto es, los axiomas, es claro que a cualquier proposición matemática (en el sentido de teorema, no meramente de fórmula bienformada) se llega y se llega a ella por medio de una demostración. No hay forma deque una proposición matemática "se cuele", por así decirlo, y se incruste dentro delsistema si carece de su respectiva prueba. En matemáticas no puede haber fraudes.La prueba o demostración es la única forma como una proposición matemática pue-de integrarse o ser incorporada en un sistema y, por ende, es su única forma de

legitimación qua proposición matemática. Por consiguiente, el sentido de una pro-

11 L. Wittgenstein, Philosophical Remarks (Oxford: Basil Blackwell, 1975). Hay traducción al españolde Alejandro Tomasini Bassols: Observaciones Filosóficas (México: IIF/UNAM, 1997). 12 L. Wittgenstein, Philosophical Grammar (Berkeley/Los Angeles: University of California Press,1978). Hay traducción al español de Luis Felipe Segura Martínez: Gramática Filosófica (México: IIF/UNAM, 1996).

26




posición matemática es una función de su pertenencia al sistema y su pertenencia alsistema es precisamente lo que su demostración garantiza. Sin demostración no hay

sentido y, por consiguiente, tampoco verdad. El sentido de una proposición matemá-tica es su contribución a la expansión del sistema al que pertenece. "Lo que una proposición matemática dice es siempre lo que su prueba prueba. Es decir, nuncadice más de lo que su prueba prueba".13 Quizá podríamos ir un poco más lejos yafirmar que lo que la proposición matemática expresa se muestra en las proposicio-nes de las que se deriva y las proposiciones matemáticas que a su vez permite dedu-cir. En los sistemas matemáticos no puede haber huecos, puesto que "Las matemáticasson un método lógico"14 y lo que esto significa es que siempre hay una forma deconstruir un camino (una prueba constructiva) hacia una proposición matemática.Ese camino es su prueba. Un problema matemático presupone un método de prueba.

Por eso distingue Wittgenstein entre problema y misterio, entre solución y revelación:"Esto es, donde sólo podemos esperar la solución gracias a alguna clase de revela-ción, ni siquiera hay un problema. A una revelación no corresponde ninguna pregun-ta".15 Wittgenstein no niega que haya conjeturas matemáticas, esto es, proposicionesque en un momento dado del desarrollo de las matemáticas son "indecidibles". Loque al respecto afirma es simplemente que una proposición así es sencillamente una proposición "para cuya solución no poseemos todavía [énfasis mío] un sistema es-crito"}6 Desde este punto de vista, lo que G6del habría mostrado es que hay propo-siciones verdaderas para las cuales en la aritmética de Peano nunca habrá un "sistemaescrito". Lo menos que puede decirse es que ello suena prima facie increíble.

El ver las matemáticas a la Wittgenstein, Le., como (en palabras de Hintikka) un"montón de cálculos",17 ofrece algunas ventajas. Por ejemplo, de inmediato permiteentender varias cosas. Para empezar, se nos aclara por qué las proposiciones mate-máticas no dicen nada. No hay nada más erróneo que concebir las proposicionesmatemáticas como proposiciones en el sentido usual sólo que en lugar de venir, porasí decirlo, vestidas en letras vienen vestidas en numerales.18 Aquí sigue vigente el

13 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, XIII, sec. 154. 14 L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), 6.2 (a).

Para las citas del Tractatus en estos trabajos me serviré de mi traducción la cual, por cuestionesrelacionadas con los derechos de autor, no ha podido ver la luz. 15 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, XIII, sec. 149.16 Ibid, XIII, sec. 151. 17 J. Hintikka, "The Original Sinn of Wittgenstein's Philosophy of Mathematics" en Ludwig Wittgenstein: Half-Truths andOne-and-a-Half-Truths (Dordrecht/Boston/London : Kluwer Academic Publishers,1996), p. 156. 18 Se podría quizá querer señalar, a manera de contraejemplo, a las variables, que sirven para indicargeneralidad, pero no debería olvidarse que, independientemente de ello, sus valores son siempre números.

27




pensamiento del Tractatus de acuerdo con el cual "Las proposiciones de las mate-máticas no expresan pensamientos".19 Por consiguiente y en segundo lugar, entende-

mos por qué en matemáticas no pueden darse (o trazarse) las jerarquías simbólicasque sí tenemos en el lenguaje. Dentro o al interior de las matemáticas no hay tal cosacomo "meta-matemáticas". Lo que "demostraciones meta-matemáticas" genuinasrepresentan es en todo caso la expansión del cálculo, más cálculo, no una reflexiónsobre él. Las matemáticas no admiten ser expresadas "en prosa". Cuando éstaaparece, ya estamos fuera del mundo de las matemáticas, propiamente hablando."Quiero decir, la proposición matemática no es la prosa, sino la expresión exacta".20

En matemáticas se trabaja con números, no se habla acerca de ellos. A lo largo y ancho de su obra Wittgenstein abogó en favor de la idea de que el

valor o la importancia de las matemáticas no es algo intrínseco a ellas, sino más bien

algo externo, es decir, algo que les viene de su aplicación, de su utilidad. La utilidad delas matemáticas se expresa, por una parte, en la vida cotidiana, en toda clase detransacciones que los hombres realizan, desde las más simples hasta las más complejas, y, por la otra, en su incorporación y empleo en las teorías científicas. En el TractatusWittgenstein enunció su punto de vista de manera concisa y sin ambigüedades comosigue: "En la vida no es nunca una proposición matemática lo que necesitamos. Más bien, empleamos proposiciones matemáticas únicamente para inferir de proposicio-nes que no pertenecen a las matemáticas otras que, de igual modo, tampoco pertene-cen a las matemáticas".21 Es claro que no puede haber proposiciones matemáticas

vagas u ociosas. O sea, una proposición matemática, como cualquier otra, tiene quereportarnos alguna utilidad, pero eso es algo que puede hacer sólo en la medida enque forme parte de un sistema, para lo cual su prueba es imprescindible, puesto queésta es (por decirlo de alguna manera) su boleto de integración al sistema, su certifi-cado de legitimidad. Una proposición matemática inconexa e inútil es un contrasenti-do. Por lo tanto, hay una relación interna fundamental entre "matematicidad" y"aplicabilidad".22

19 L. Wittgenstein, Tractatus, 6.21. 20 L. Wittgenstein. Observaciones Filosóficas, XIII, sec. 155. 21 L. Wittgenstein, Tractatus, 6.211 (a) 22 Aquí asumo que la, por así llamarla, legitimación de las matemáticas es externa a éstas y que, por lo tanto,no puede aparecer más que en la "vida civil". Por razones obvias, no puedo en este ensayo abordar siquierala espinosa cuestión de las relaciones entre las matemáticas y la experiencia, ya sea perceptual o teórica, puesto que eso me alejaría demasiado de mi tema y me llevaría por otros derroteros.

28




Es importante entender la perspectiva wittgensteiniana para poder apreciar con justicia su crítica. Lo que Wittgenstein hace es describir la funcionalidad peculiar de

las proposiciones matemáticas. De esta descripción emerge la aclaración de su modode significación. Y lo que poco a poco Wittgenstein descubre es, como argumentéanteriormente, que hay una conexión esencial entre una proposición matemática y su prueba o demostración. "La proposición matemática es el último eslabón en una ca-dena de prueba".23 Ahora bien, lo que hay que entender es que esta idea resulta deuna descripción de lo que de hecho los matemáticos hacen, no de una concepciónfantasiosa o a priori de las matemáticas. No formaba parte de las intenciones deWittgenstein desarrollar una teoría del significado al modo tradicional. Por lo tanto, laetiqueta "verificacionista", a la que tantas veces se ha recurrido para caracterizar su posición, no es la apropiada. Wittgenstein no fue nunca un verificacionista en el sen-

tido de los empiristas lógicos (Schlick, Ayer, etc.). Su objetivo era dar cuenta de laracionalidad de las matemáticas, de su estructura y de su modus operandi, y ello lollevó a examinar el modo como adquieren sentido sus proposiciones. Esta perspectivale permitió hacer una serie asombrosa de pronunciamientos concernientes a toda unavariedad de temas, rara vez abordados por otros: el carácter prescriptivo de las proposiciones matemáticas, las diferentes clases de pruebas que hay (directas, porinducción, por reducción al absurdo, etc.), la naturaleza de los números, el infinito, ymuchos más. Pero, más relevante para nuestros propósitos, le proporcionó una plata-forma desde la cual comprender mejor y discutir los resultados de los matemáticos.

Veamos a dónde nos lleva esto en el caso de Gódel.

IV) La Prueba de Godel

El célebre artículo de Godel, como se sabe, fue publicado en 1931, si bien su impactoentre los filósofos empezó realmente a hacerse sentir por lo menos después de queTarski presentara su artículo sobre la verdad, esto es, en 1935. Ahora bien, las obser-vaciones de Wittgenstein que hemos citado, y algunas otras que habremos de utilizar,

datan de 1929 (!). Parecería, pues, que Wittgenstein de alguna manera "olfateaba"resultados como el que haría famoso a Gódel un par de años después. Lo interesantey asombroso del caso es que, independientemente de que resulten convincentes o no,sus pensamientos ciertamente son relevantes para la comprensión y la discusión se-ria del resultado de Godel.

23 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, XIII, sec. 162.

29




El trabajo de Gódel presupone todo el trabajo hasta entonces realizado en el terre-no de los fundamentos de las matemáticas. Su punto de partida son las paradojas, en

las cuales Gódel se inspira. Ahora bien, independientemente de que en última instan-cia fuera fallido, el programa logicista de Russell (y Whitehead) había inspirado amuchos otros matemáticos, de manera que se tenía una idea clara de qué era lo quese perseguía. El objetivo primordial para muchos era demostrar la consistencia de lasmatemáticas (signifique eso lo que signifique) y el ideal para alcanzarlo era laaxiomatización. Se suponía que se podían ofrecer pruebas de consistencia, de mane-ra que quedara demostrado que, por ejemplo, en la aritmética de Peano no se puedededucir tanto cp como ~cp, para alguna fórmula cp.

Lo que Gódel hizo fue construir un sistema formal en el que se asigna un númeroa cada uno de los signos empleados (constantes, variables, paréntesis, cuantificadores,

etc.), de manera que cualquier fórmula bien formada tiene una traducción al lenguajenumérico. Pero eso no es todo: todas las series de fórmulas bien formadas también latienen, de manera que a cualquier demostración formal corresponde una demostra-ción numérica. El número que le corresponde a cada expresión es su "número deGódel". Esto es lo que se conoce como la aritmetización de la sintaxis. Curiosamente,en este caso es la aritmética la que "habla" de las oraciones del meta-lenguaje, en elsentido de que las refleja. En efecto, una vez establecidas las convenciones, Gódel pasa a hacer ver que "Cada enunciado meta-matemático está representado por unafórmula única dentro de la aritmética".24 O sea, todo lo que se afirme sobre el cálculo

tendrá una representación o formulación numérica. En particular, afirmacionescomo la de que algo es una prueba de una cierta proposición quedarán reflejadas enel simbolismo aritmético de determinada manera, es decir, como fórmulas bien for-madas de la misma aritmética. Nagel y Newman lo exponen de este modo: "un enun-ciado meta-matemático que dice que una cierta secuencia de fórmulas es unademostración de una fórmula dada es verdadera si, y sólo si, el número de Gódel dela supuesta prueba está en la relación aritmética designada aquí por 'Dem' con elnúmero de Gódel de la conclusión".25 Acto seguido, y aquí viene el gran truco formal,Gódel se las arregla para construir una fórmula G que es la representación aritméticadel enunciado meta-matemático 'La fórmula G no es demostrable'. Quizá debamosaclarar con más detalle cómo aparece aquí el elemento de auto-referencia. Lo quesucede es que lo que la fórmula que Gódel construye hace al ser, por así decirlo,decodificada, es afirmar de ella misma que no es demostrable en el sistema cons-

24 E. Nagel y J. R. Newman, Gódel's Proof (USA: New York University Press, 1958), p. 77. 25 Ibid, p. 79.

30




truido. Gódel hizo ver, además, que si G fuera demostrable, entonces su negacióntambién lo sería, con lo cual se habría hecho ver que la aritmética es inconsistente,

puesto que entonces permitiría deducir tanto una fórmula como su negación. Asumiendo, por lo tanto, que la aritmética es consistente, lo que se sigue es que la fórmula en cuestiónes "indecidible", es decir, que ni ella ni su negación son demostrables. De particular impor-tancia es señalar que no por ser indecidible deja la fórmula de ser verdadera. La verdadde la fórmula quedó demostrada meta-matemáticamente . Está implicado, desde luego,que la aritmética es incompleta, es decir, que necesariamente contiene verdades que noson demostrables. El resultado atañe a la aritmética por la sencilla razón de que el lenguajeque se aritmetiza es el lenguaje de la lógica (de segundo orden), es decir, un lenguajesuficientemente fuerte como para contener la aritmética.

En síntesis: lo que Godel logró fue construir una "prueba" de una "proposiciónnumérica" que "se refiere a sí misma" para "decir de sí misma" que aunque "verda-dera", es "indemostrable" en el sistema al que pertenece. Lo menos que puede decirsees que se necesitan demasiadas comillas dobles para enunciar lo que se quiereafirmar. Intuitivamente al menos, es obvio que aunque ni los detectemos ni sepamosexplicarlos, se han operado aquí cambios semánticos importantes y el que no sepa-mos dar cuenta de ellos quiere decir que aún no se ha aprehendido cabalmente elsignificado del teorema de Gódel. Por otra parte, si el sistema de Gódel no fuera otracosa que una pequeña maquinaria formal, su trabajo sería una curiosidad y nada más.Pero el sistema de Gódel es tal que no sólo se aplica a las matemáticas en su conjunto

(Le,, a aquellas ramas de las matemáticas cuyos axiomas y reglas son recursivamenteenumerables y, por ende, cuyos teoremas se pueden ir enunciando), sino más engeneral que su resultado se aplica a cualquier sistema que sea lo suficientementefuerte como para contenerlas, esto es, que pueda ser puesto en relación con losnúmeros de una manera sistemática. El resultado es, pues, todo menos trivial.

El hecho de que los matemáticos no tengan nada qué objetar a la prueba de Gódelni mucho menos quiere decir que entonces no tenga ésta nada de extraño, que nohaya nada en ella para dejarnos perplejos y que no pueda ser cuestionado desde otras plataformas. Una forma de transmitir nuestra perplejidad es equiparando la pruebacon lo que sería un procedimiento semejante sólo que en otro contexto simbólico.Consideremos que nuestro lenguaje objeto es el ruso y nuestro meta-lenguaje elespañol. Originalmente, lo que se quería era probar algo acerca del ruso (el cual co-rresponde, en nuestro ejemplo, a la aritmética), pero lo que ahora hacemos es usar elruso para codificar el español y hablar acerca de éste. Así, a cada signo del español lehacemos corresponder uno y sólo un signo del alfabeto cirílico. Cualquier expresión delespañol tendrá entonces su versión en ruso. Y lo que ahora el Godel imaginario de

31




nuestro ejemplo nos diría es que hay una fórmula en cirílico que afirma de sí misma queno es demostrable y lo que a su vez eso querría decir es que hay una oración en

español cuyo valor de verdad no podemos determinar! Si el parangón vale y tienealguna utilidad es para dejar en claro que hay algo no sólo de sospechoso sino defantástico en la prueba de Godel, por más que de acuerdo con los técnicos matemá-ticos ésta sea impecable, y por consiguiente también en el proyecto mismo, algo quequienes se limitan a repetir una y otra vez el resultado de Godel o su prueba completano parecen ni siquiera detectar y mucho menos saber despejar.

En sus escritos de filosofía de las matemáticas, Wittgenstein enuncia diversascríticas al trabajo de Godel, críticas que en su mayoría han sido minimizadas, vistascon desdén o, en el mejor de los casos, ignoradas. Importantes lógicos y filósofos dela ciencia han coincidido en opinar que simplemente Wittgenstein "no entendió" el

teorema, o por lo menos no supo apreciar sus implicaciones formales.26 Yo piensoque el asunto no es tan simple y que las críticas de Wittgenstein algo nos dicen de másinteresante que lo que han sostenido quienes se han limitado a aplaudir el malabaris-mo formal de Godel. De eso me ocuparé en la siguiente sección.

V) Presuposiciones Gódelianas

Wittgenstein ha sido criticado en numerosas ocasiones por haber afirmado que su

tarea "es no hablar acerca de (e.g.) la prueba de Godel, sino esquivarla".27

Esto hasido interpretado por muchos como una declaración explícita de incapacidad por par-te de Wittgenstein para enfrentar y dar cuenta del teorema de incompletitud. Paraquien conoce, aunque sea mínimamente, la trayectoria de Wittgenstein, un juicio asíresulta, aparte de injusto, torpe. Para empezar, Wittgenstein conocía el teorema yestaba perfectamente consciente de lo que entrañaba. Lo que él estaba afirmando era precisamente que su función no consistía en intentar poner en cuestión una demostra-ción particular, el trabajo formal del matemático. Su crítica no pretendía ser "técnica"

26 El artículo "Wittgenstein's Philosophy of Mathematics" en Truth and Other Enigmas (Duckworth:London, 1978), pp. 166-185, de M. Dummett, y el ensayo "Wittgenstein's Remarks on the Foundationsof Mathematics", de G. Kreisel, en British Journal for the Philosophy of Science, IX (1958-9), pp. 135-158, ejemplifican muy bien esta posición un tanto desdeñosa y displicente en relación con el trabajo deWittgenstein en el área de la filosofía de las matemáticas y, muy en especial, de sus reflexiones en tornoal teorema de Godel. 27 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The M.I.T.Press, 1975), V, sec. 16.

32




(cosa que por otra parte, por lo menos hasta donde yo sé, nadie todavía ha siquieraintentado). Ignoro si Wittgenstein pensaba que el trabajo de Godel era formalmente

cuestionable, es decir, tal que se pudieran encontrar fallas internas (no hay en susescritos nada en este sentido), pero lo que sí es claro es que él intuía que dichoteorema acarreaba dificultades de comprensión, porque con él se había aportado algonuevo, con lo cual se creaban nuevos enigmas filosóficos. Esa era en general laactitud de Wittgenstein, lo cual queda además ampliamente confirmado con lo quedice inmediatamente antes de la multi-citada oración. Allí mismo él dice, refiriéndosea la lógica de Russell, que su trabajo "no es atacar la lógica de Russell desde dentro,sino desde fuera.

Es decir: no atacarla matemáticamente -de lo contrario sería yo un matemático-sino su posición, su función".28 Su actitud es la misma frente al resultado de Gódel. Osea, no es qua técnico sino como filósofo que Wittgenstein encara tanto la lógica deRussell como el teorema de Gódel. Su tarea consiste, por lo tanto, en ofrecer unadilucidación filosófica de un resultado que obviamente plantea nuevos retos intelec-tuales, retos que en general sus más fanáticos adherentes ni siquiera perciben ysimplemente dejan pasar. Insisto en que, por lo menos hasta donde yo sé, Wittgensteinno está rechazando la prueba de Gódel en cuanto tal, es decir, qua demostración. Siningún matemático ve problemas en la prueba misma ¿cómo podría alguien externo alas matemáticas pretender siquiera rechazarla? Wittgenstein, por lo tanto, acepta (sobrela base del aval dado por los matemáticos) el resultado de Gódel, en el sentido de que

acepta que es la fórmula final de una secuencia válida de fórmulas y no tiene, porconsiguiente, para qué hablar de la prueba misma. Ello parece más bien obvio. El punto importante, en cambio, es que dicho resultado es filosóficamente problemático,como puede serlo una definición de 'materia' en la física cuántica o de 'vida' en la biología molecular.

¿Por qué es problemático el teorema de Gódel? Es evidente (o debería serlo) queno se trata de un teorema matemático más. Hay demostraciones matemáticas máscomplejas que no son filosóficamente interesantes. El teorema de Gódel sí lo es. ¿Porqué? Disponemos ya de algunos elementos que quizá nos permitan empezar a inten-tar responder a esta pregunta.

En primer lugar, Wittgenstein tiene suspicacias frente al teorema de Gódel porquela labor de este último representa el último eslabón en una cadena de trabajos quetienen su origen en el proyecto logicista russelliano y Wittgenstein, con no malas y no

28 Ibid., V, sec. 16.

33




pocas razones, cuestiona dicho proyecto. Es, pues, normal que algo que emana dedicho programa le resulte de entrada sospechoso. Por otra parte, del proyecto de

Russell surgió, como una respuesta a lo que parecía un programa fallido, el de Hilbert,i.e., el proyecto de mostrar que la aritmética es consistente, un programa que a Witt-genstein también le resulta de hecho incomprensible, porque el miedo por las contra-dicciones siempre le pareció a Wittgenstein un típico producto de confusiones eincomprensiones.29 Una vez más, podrá pensarse lo que se quiera, pero lo único queno se puede afirmar es que su posición esté basada en argumentos desdeñables. Es perfectamente comprensible, por lo tanto, que Wittgenstein en un primer acerca-miento se sintiera receloso frente al sorprendente resultado de Gódel.

Por si fuera poco, Gódel enturbia las aguas con un trabajo en el que mencionaPrincipia Mathematica cuando su verdadero blanco es el programa de Hilbert, puesto

que lo que ante todo Gódel muestra es que la aritmética es indecidible dentro de lamisma aritmética y que su consistencia no puede ser probada por medio de su propiateoría. Pero es obvio que Russell nunca se impuso a sí mismo de manera explícita latarea de demostrar la consistencia de las matemáticas. Lo que él quería hacer verera que cualquier verdad matemática tenía como traducción una verdad lógica. Dadoque a la mitad de su programa se topó súbitamente con el problema de las paradojas,su labor consistió entonces en tratar de encontrar un mecanismo para resolver el problema que éstas planteaban. Esto Gódel simplemente ni lo menciona, a más deque ni siquiera se propone lidiar con dicho tema. Es más: puede afirmarse que lo que

él logra es más bien (por lo menos a primera vista) reivindicar las paradojas, al forma-lizar una nueva "paradoja" para la cual no hay una solución formal.30 No es, pues, deltodo errado afirmar que Gódel representa la venganza y el triunfo de las paradojas yde la auto-referencia, a las que con tanto trabajo se había logrado contener. En estesentido, el trabajo de Godel sí es claramente anti-russelliano.

No estará de más preguntarse por la clase de problemas que Gódel se aboca adejar resueltos en forma definitiva. Consideremos por un momento el lenguaje natu-ral o el de cualquier ciencia natural. De seguro que se pueden hacer en dichos len-guajes aseveraciones que nunca podrán ser confirmadas o desconfirmadas, pero queno obstante son significativas. Por ejemplo, podemos afirmar que hay en el centro del planeta de nuestro sistema solar más distante de la Tierra lombrices carnívoras. Po-

29 Véase mi artículo "Russell y Wittgenstein sobre Contradicciones y Paradojas" en Estudios sobre lasFilosofías de Wittgenstein (México: Plaza y Valdés, 2003). 30 Digo "nueva paradoja", porque es claro que el resultado de Gódel no conduce a contradicciones, comolas paradojas que a Russell preocupan (o por lo menos no se ha demostrado que así sea).

34




demos afirmar con relativa seguridad que nunca nadie estará en posición de confir-mar o de rechazar con base en evidencias empíricas semejante proposición. Para el

lenguaje empírico es esa una proposición "indecidible". No obstante, nadie se sor- prende por ello ni considera que se trate de algo que revista alguna importanciaespecial. ¿Por qué entonces poner el grito en el cielo cuando alguien nos demuestraque lo mismo puede darse en el caso de las proposiciones matemáticas, esto es, quehabrá siempre alguna proposición que quizá sea verdadera, pero que no podrá nuncaser demostrada en la teoría de los números o, más en general, en un sistema formalcon determinadas características? A más de uno podría resultarle inclusive hastaevidente! A lo que Wittgenstein apunta, por lo tanto, es a lo débil de la motivacióngodeliana. En todo caso, lo que Gódel está estableciendo es un resultado que anulatodo un proyecto de fiindamentación que, entre otras cosas, era también semi-absur-do. Así vistas las cosas, sería con un resultado fantástico que se estaría anulando un programa absurdo. Eso sí parece tener sentido. Si efectivamente el problema de lainconsistencia de la aritmética es un pseudo-problema ¿no tendrá por lo menos unstatus raro cualquier teorema que establezca algo decisivo en relación con él? Des- pués de todo, una solución para un pseudo-problema tiene que ser algo sumamenteextraño. Por lo menos un poco de suspicacia en este caso no parece del todo fuera delugar.

En segundo lugar, es claro que con su teorema Gódel echa por tierra muchas distin-ciones útiles y que parecían definitivas y no deja de ser curioso que nadie proteste por

ello, es decir, que todo mundo acepte ecuánimemente semejante proceder. En especial,en su teorema se borra, al parecer matemáticamente de manera justificada, ladistinción "lenguaje objeto - meta-lenguaje", así como se ignora la idea del Tractatusde que una función no puede ser su propio argumento.31 Ahora bien, en lo que hayque insistir es en que no basta con un resultado para desechar una distinción quefunciona muy bien en todas partes menos precisamente en la prueba en cuestión.Parecería que el mecanismo gódeliano está necesitado de alguna especie de justifi-cación, es decir, que debería venir acompañado de alguna clase de explicación, deaclaraciones que Gódel simplemente no da. El mero teorema (o la fórmula final) no basta para comprenderlo. Podríamos aquí suponer que el resultado de Gódel si bienes inobjetable sintácticamente es ambiguo en algún otro sentido. Por ejemplo, podríasugerirse (y es a mero título de sugerencia que aquí me pronuncio) que si considera-mos al lenguaje de la aritmética como el lenguaje objeto y al lenguaje de la lógicacomo el meta-lenguaje, entonces el lenguaje en el que se lleva a cabo la aritmetización

31 L. Wittgenstein, Tractatus, 3.333.

35




de la sintaxis equivale realmente no a borrar la distinción "lenguaje objeto - meta-lenguaje", sino a ampliarla, pues el resultado de Gódel sería una demostración queestaría tomando cuerpo en el "meta-meta-lenguaje". Ahora bien, el que ello fuera asíimplicaría que en el teorema de Gódel los numerales tienen otro significado, diferenteen algún sentido del usual. Esto puede ser una idea totalmente descabellada, pero entodo caso surge de la inaplazable necesidad de disponer de una explicación de unresultado: tenemos derecho a saber por qué hemos de admitirlo si entra en conflictocon distinciones que normalmente todos aceptamos. Queremos saber cómo podemosmantener simultáneamente las dos cosas. Y la explicación, naturalmente, no puedeconsistir en apuntar una vez más al teorema.

Lo dicho más arriba nos lleva a un tercer punto que es también importante. Elteorema de Godel es desconcertante no sólo porque es una paradoja imposible de

rebatir formalmente y porque anula distinciones establecidas y útiles, sino también porque pone en crisis una determinada concepción de las proposiciones matemáticas(y en general de las matemáticas), sin reemplazarla con nada. Nosotros partimos dela idea de que las matemáticas son la ciencia de la demostración y, por lo tanto,establecimos, en relación con las proposiciones matemáticas, una conexión interna onecesaria entre "sentido", "demostrabilidad" y "verdad". Pero el teorema de Godeldestruye esta concepción, puesto que lo que representa es un contra-ejemplo: pormedio de él se demuestra precisamente que hay al menos una proposición matemáti-ca (y probablemente un número infinito de ellas) que es (son) verdadera(s) y porende significativa(s), pero que no es (son) demostrable(s) dentro del marco de las

teorías matemáticas consideradas. Pero, una vez más, tenemos que poner en la ba-lanza lo que está en juego: ¿rechazamos una concepción bien fundada sólo por unteorema o hacemos un esfuerzo por interpretar el teorema de alguna manera que noeche por tierra dicha concepción? Yo creo que esa era la vía por la que Wittgensteinempezaba a adentrarse y que, desafortunadamente, no pudo recorrer hasta el final. No obstante, ciertamente marcó con claridad el camino: lo que necesitamos es hacerun esfuerzo de imaginación para dotar de sentido al teorema de Gódel de manera queresulte consistente con lo que es una concepción muy bien armada de las matemáti-cas en su conjunto. Con lo que obviamente no podemos quedarnos contentos es conun juego formal impecable, pero que sencillamente impide que tengamos una concep-ción explicativa y congruente de las matemáticas in toto.

Por lo anterior, me inclino a pensar que lo que con Godel se alcanza es, más queuna prueba, algo así como un esquema de pruebas, una (por así decirlo), prueba de pruebas, la demostración de una nueva clase de pruebas. Él probó algo (yiz., unalimitación) para todo formalismo que pueda ser puesto en relación sistemática con losnúmeros naturales y por ello probó algo más que un resultado meramente matemáti-co (puesto que con la fórmula de Godel no se demuestra nada concreto en matemá-

36




ticas). Por ser tan abstracto, su resultado tiene implicaciones meta-matemáticas importantes, como por ejemplo que todo programa de "reducción" de las matemáticas

es fútil. Quizá un parangón aquí pueda ser útil para comprender la función del teore-ma de Gódel. Tomemos el campo de la economía. Hacer una inversión es hacergastos, pagar sueldos, etc., para construir algo, digamos una fábrica. Pero considéreseel capital financiero. Por medio de una computadora se mueven capitales que pasande un banco en Hong-Kong a uno en Nueva York. También son inversiones sóloque en papel, en libros. O sea, podemos, si queremos, seguir hablando de inversiones,sólo que es claro que se trata de inversiones de una clase diferente. Lo mismo pasacon el "teorema" de Gódel y las matemáticas: si se quiere se le puede llamar a suteorema 'matemático', pero es claramente diferente de lo que normalmente es unteorema matemático. Por ejemplo, con el teorema de Gódel no se calcula nada, no se

construye nada. Más que matemático, por lo tanto, el teorema de Gódel es un teore-ma formal32 en el que se usa la aritmética. La prueba de Gódel tiene quizá algo quever con el absurdo matemático, sólo que ello es algo sumamente difícil de dilucidar(algo que probablemente ni Gódel mismo entendía, lo cual no tiene nada de sorpren-dente y sucede a menudo en ciencia). Por otra parte, puede defenderse la idea deque la comprensión cabal del resultado de Gódel exige que se le ponga en relacióncon otros resultados que le son de alguna manera afines. En verdad, parecería que para comprender el teorema de Gódel es menester comprender debidamente, interalia, el trabajo de Turing y la teoría de la verdad de Tarski y ponerlos en conexión. Son

resultados como esos lo que constituye el verdadero universo del teorema de Gódel yellos no son, en el sentido más convencional, resultados matemáticos. En ellos se usanlas matemáticas, pero parecerían pertenecer a un mundo formal superior. De ahí queno podremos comprender cabalmente lo que el teorema de Gódel "dice" mientras nolo veamos de manera sistemática en conexión con otros resultados con los que estáinternamente vinculado. La imagen a la que ello da lugar es la de un "universo" másamplio que el de las matemáticas. Lo que en todo caso sí queda claro es que Witt-genstein tenía razón al pensar que había un sentido en el que el resultado de Gódel noformaba parte de las matemáticas clásicas.

32 Deliberadamente no digo 'lógico', puesto que es obvio que parte de lo que quiero decir es precisamenteque hay algo de ilógico tanto en la prueba como en la motivación gódelianas.

37



GÓDEL Y WITTGENSTEIN

VI) Observaciones Finales

Wittgenstein sostenía que una demostración matemática genuina es siempre una de-mostración de una proposición concreta. El teorema de Gódel no es eso. Wittgenstein pensaba que en matemáticas la prosa es irrelevante. En la prueba de Gódel una proposición matemática "habla" y "afirma" algo de sí misma. En efecto, la prueba deGódel pretende ser una demostración de una proposición abstracta que de alguna ma-nera se refiere al todo de las proposiciones matemáticas, Le., que supuestamente "dice"algo acerca de ellas. En ese sentido es "prosa" y en la misma medida, si Wittgensteintiene razón, no forma parte del mismo universo. Desde el Tractatus Wittgenstein habíadefendido la idea de que la auto-referencia se produce cuando una función fungetambién como su propio argumento. Godel hace ver que hay juegos simbólicos endonde esta limitante no vale y que cuando se pasa del lenguaje objeto al meta-meta-lenguaje la auto-referencia es posible. ¿Refuta Godel a Wittgenstein? Claro que no.Lo único que se puede inferir es que si lo que Wittgenstein sostiene no se aplica o novale para el teorema de Gódel, entonces el de Gódel no es estrictamente hablando unresultado matemático, sino un resultado de (por así decirlo) otra clase y en el cual y para el cual se usan las matemáticas. Puede entonces afirmarse que de alguna ma-nera, sólo indirectamente, por exclusión quizá, Wittgenstein da cuenta de la labor deGódel, y lo hace mejor inclusive que quienes se declaran los partidarios de este últi-mo, los cuales en la gran mayoría de las ocasiones no saben hacer otra cosa que

ensalzar la hazaña formal de Godel. Pero ciertamente ensalzar no es comprender nies saber explicar. De lo que estamos en espera, por consiguiente, es de la filosofía post-wittgensteiniana de los nuevos formalismos, esto es, de aquella filosofía querepresentaría un genuino avance, una expansión de la filosofía de las matemáticas deWittgenstein, y que permitiría dar cuenta de resultados como el de Gódel. Si lo que engeneral Wittgenstein afirma sobre las matemáticas no se aplicara al teorema de Gódelfrente a lo que estaríamos sería no una refutación de sus puntos de vista, sino unaclara indicación de que se alcanzó un límite en el desarrollo de cierta área del pensa-miento humano. En dónde esté el genio que articulará para nosotros la nueva filosofía

del formalismo es, sin embargo, algo tan enigmático e insondable como lo es aún ennuestros días el teorema que nos llevó a escribir estas líneas.

38



Números Wittgensteinianos

I) Introducción

esde que, en el siglo V AJC, los pitagóricos pusieran en circulación la idea deque los números están en las cosas, la investigación respecto a la naturalezadel número se convirtió en un tema filosófico fundamental y no es exagerado

sostener que muchos sistemas filosóficos, bien armados y atractivos en relación con

otros tópicos, se derrumban ante su incapacidad para dar cuenta de él, Le., de dichotema. La naturaleza del número, en efecto, constituye un tema no sólo difícil — por lotécnico — sino particularmente elusivo. Por ejemplo, no es de extrañar que al abor-darlo se parta de premisas aceptables y que no obstante se desemboque, por mediode razonamientos impecables, en contradicciones, en absurdos, en problemas insolu- bles o en propuestas francamente increíbles. A decir verdad, esto es lo que acontececon los pitagóricos: partiendo de la idea, a primera vista inobjetable e inocua, de quehablar de los números es hablar de algo y que usamos los números para contarentidades, es razonable inferir que los números, sean lo que sean, tienen algo que vercon los objetos contados, esto es, no están desligados de ellos. El que haya aquí dosleones me dice por lo menos dos cosas acerca de ellos, viz., que son leones y que sondos. No es, pues, descabellado concluir que, así como están allí los trozos de materiaque conforman a los leones, allí está también, de alguna manera, el número dos. Si aconsideraciones de esta clase añadimos las concernientes a la verdad y falsedad delos enunciados matemáticos, la objetividad de los resultados que se obtienen, su vali-dez universal, etc., en verdad lo extravagante sería no proponer una teoría realista dela verdad matemática y una concepción objetivista del número.

Estos lugares comunes permiten constatar que, en este como en muchos otroscasos, las doctrinas filosóficas se extraen o se rundan en interpretaciones del simbolismo

involucrado. Dicho de otro modo, debería ya ser obvio que toda teoría filosófica de

D



NÚMEROS WITTGENSTEINIANOS

los números procede de una teoría general del lenguaje, esto es, presupone una teoríaasí, no habría podido desarrollarse sin ella. Es claro, por otra parte, que ello es inde-

pendiente de que el filósofo del número se haya explícitamente pronunciado enrelación con temas de filosofía del lenguaje. Esto en parte explica por qué inclusiveen el caso de grandes matemáticos a menudo se pueden discernir, en sus pronuncia-mientos filosóficos, elementos de ingenuidad, por no hablar de crudeza o de primitivismo. Aunque desde luego no siempre, en múltiples ocasiones podemos ras-trear los fundamentos de intrincadas teorías acerca del número en la bien conocida posición que hace de los numerales nombres de entidades y de diversos signos mate-máticos nombres de propiedades o de relaciones que, se supone, valen entre dichasentidades.

En este trabajo parto de la intuición wittgensteiniana de que una "representación

perspicua" del lenguaje en general y del simbolismo matemático en particular debegenerar la visión correcta del número y evitarnos la elaboración de una "teoría" alrespecto. Me concentraré básicamente en lo que se nos dice en el Tractatus y, porconsiguiente, en los números naturales. En vista del carácter abiertamente polémicode aquel primer gran libro de Wittgenstein, sería recomendable hacer un muy breverecordatorio de algunas ideas que constituyen su trasfondo natural y muy especial-mente de algunas ideas del logicista más ambicioso y, pienso, coherente: BertrandRussell. Es sobre el trasfondo de la crítica que Wittgenstein elabora de Russell queirá paulatinamente emergiendo una nueva concepción del número, mucho más pro-

funda, esclarecedora y, creo, convincente.

II) Algunas Ideas de Russell

No me parece que sea necesaria otra cosa que hacer una simple enumeración dealgunas fundamentales (y bien conocidas) tesis russellianas para tener ante los ojos elcuadro que será el principal blanco de Wittgenstein. Para nuestros objetivos, nos bastará con tener presente los siguientes cuatro puntos:

a) Russell es de los pocos filósofos que disponen de un criterio ontológico, asaber, el de los vocabularios mínimos. De acuerdo con éste, si un término es dealguna manera eliminable es porque es dispensable y si es dispensable es porque carece de significado, es decir, no denota.

b) Russell no cuestiona las clasificaciones básicas del lenguaje natural, aunque síaltera sus contenidos y fronteras. Por lo tanto, hay sujetos genuinos, así comohay genuinas propiedades y relaciones.

40



FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS: ENSAYOS EN TORNO A WITTGENSTEIN

c) Russell hace suya la teoría lógica del significado, según la cual el significado deuna expresión ineliminable es un objeto o una entidad de alguna clase y de

algún tipo.d) Russell es un logicista. Lo que esto implica es que los numerales no son nom bres. Desde esta perspectiva, los números no son otra cosa que "construcciones" o "ficciones" lógicas.

No es nuestro propósito volver a la carga con el recuento de las objeciones yaclásicas elevadas en contra del programa de Russell, puesto que son de muy diversaíndole y en este caso nos llevarían desde el joven Wittgenstein hasta el Wittgensteinde la madurez, pasando por Ramsey, Gódel, Benacerraf y muchos otros. En cambio,sí nos ocuparemos brevemente de las críticas contenidas en el Tractaíus, sólo que

eso lo haremos después de haber reconstruido algunas de las elucidacioneswittgensteinianas respecto al lenguaje en general. Veamos, pues, rápidamente quénos dice el joven Wittgenstein sobre la representación lingüística para pasar despuésa lo que es propiamente hablando nuestro objeto de investigación, esto es, el número.

III) El Tractatus y la Representación

La posición de Wittgenstein en relación con el número queda articulada por medio de

unas cuantas nociones, siendo las más prominentes las de concepto formal, serieformal, relación interna y operación. Empero, estas nociones son a su vez usadasdentro del marco de la teoría general de la representación defendida por Wittgens-tein, a la que se le conoce como "Teoría Pictórica". Dado que no es nuestro tema,más que tangencialmente, la teoría misma de la representación, nos limitaremos aofrecer únicamente sus lincamientos generales.

El lenguaje, entendido como un sistema regulado de signos, es posible porqueciertas condiciones se cumplen. Dijimos que el lenguaje sirve para representar, peroesto de inmediato hace que nos planteemos ciertas preguntas. Quizá las más perti-

nentes para nuestros propósitos sean las dos siguientes: a) ¿qué representa el lenguaje? b) ¿cómo se representa por medio del lenguaje?

Lo que se representa por medio del lenguaje es la realidad. Esto, sin embargo, exigeciertas aclaraciones. La expresión 'la realidad' no es un nombre de un algo, sino que más bien sirve para englobar a sus "elementos" en una totalidad. Paralelamente, lo que repre-

41




senta no es "el lenguaje", sino ciertas unidades lingüísticas, a saber, las oraciones,esto es, una clase especial de retratos (Bilder). Los elementos de la realidad que,

propiamente hablando, son representados son los estados de cosas, las situaciones.La totalidad de dichas situaciones es "el mundo". Los hechos del mundo yacen en elespacio lógico, es decir, el espacio de la factualidad. Como una consecuencia de lafundamental propiedad lógica de bipolaridad de las proposiciones, el mundo del Tractatusresulta ser un mundo radicalmente atomizado, atomizado en el espacio, en el tiempo,en relación con los colores y sin causalidad. Los estados de cosas se dan o no contotal independencia unos de otros. Por ello, la representación no es únicamente de losestados de cosas que de hecho se dan, sino de todos los estados de cosas posibles. Los estados de cosas a su vez se componen de objetos.

La esencia del lenguaje es la representación factual y ésta es posible porque con

el lenguaje se "retratan" hechos. La única función posible del lenguaje es la de retra-tar hechos. Cada oración o signo proposicional es un retrato potencial (si la oraciónestá bien construida) que se vuelve una proposición cuando su sentido es pensado. Las oraciones completamente analizadas se componen de nombres. La representa-ción de estados del mundo presupone entre otras cosas, y por lo menos, lo siguiente:

a) que en una proposición elemental o completamente analizada haya tantos nom bres como objetos en el estado de cosas representado y que a cada nombre lecorresponda uno y sólo un objeto.

b) que la estructura del hecho retratado sea idéntica a la estructura de la proposición.

Lo que hemos dicho está en el núcleo de las respuestas a las preguntas planteadasmás arriba y vienen enmarcadas (sigo en esto a Jaakko Hintikka) en una muy espe-cial teoría de la ostensión. En efecto, es plausible sostener que cuando Wittgensteinafirma que los objetos (esto es, la sustancia del mundo) "se muestran", lo que quieredecir es que son el contenido de nuestra experiencia inmediata, el material último conel que ésta se construye y es por eso que sólo pueden "mostrarse' y no ser puestos en palabras. En todo caso, lo importante es lo siguiente: la representación tiene un ca-rácter empírico. No hay representación genuina que no haga intervenir el mostrar,esto es, la ostensión, aunque su precio sea el silencio. Con esto en mente, intentaréreconstruir lo que Wittgenstein tiene que decir en el Tractatus en relación con losnúmeros.

42




IV) Números y Verdad Matemática

Como ya se dijo, el punto de vista correcto en relación con los números debe provenirde la intelección correcta del simbolismo matemático, el cual a final de cuentas no essino una porción del lenguaje humano. Su carácter de subordinado es enunciado dediverso modo, pero una formulación particularmente cáustica es la que ofreceWittgenstein cuando afirma: "En la vida no es nunca una proposición matemática loque necesitamos. Más bien, empleamos proposiciones matemáticas únicamente parainferir de proposiciones que no pertenecen a las matemáticas otras que, de igualmodo, tampoco pertenecen a las matemáticas".1 Es de crucial importancia, por lotanto, entender cómo entra el simbolismo matemático en la representación pictóricadel mundo.

La primera de las nociones que debemos esclarecer es, me parece, la de concep-to formal. Wittgenstein distingue esta noción de la de concepto genuino. Un conceptogenuino es aquel que, al ser usado de manera apropiada, genera una proposición, estoes, algo que tiene condiciones de verdad. Conocer dichas condiciones es conocer susentido. Desde el punto de vista de la Teoría Pictórica un signo para un conceptogenuino es un nombre, puesto que Wittgenstein rechaza no tanto la idea de estructu-ración lingüística como la de tipo lógico y, sobre todo, tipo ontológico. Como él mismonos lo dice, "Las jerarquías son y deben ser independientes de la realidad"2. Aquí es pertinente distinguir entre prototipos y tipos lógicos. Una función acarrea consigo su

prototipo de argumento, pero esto no significa que una función sea de un "tipo lógico"superior. Y si se nos pregunta '¿por qué es ello así?', lo único que podemos responderes: "Las reglas de la sintaxis lógica deben ser inteligibles por sí mismas, tan prontocomo se conoce de qué manera significa cada signo"3. Independientemente de si loque Wittgenstein afirma es satisfactorio o no, el hecho es que siempre repudió la"teoría de los tipos lógicos" de Russell y, por ende, sus implicaciones metafísicas.

En este punto es menester recurrir al simbolismo lógico usual. Una distinción básica es la distinción entre constante y variable. Una constante es un nombre, entanto que una variable es más bien un mecanismo. Si un concepto es usado debida-

mente, al ser formalizada la expresión en la que aparece queda recogido por unaconstante. Pero hay conceptos que quedan recogidos en el simbolismo gracias única-

1 L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, (London/Henley: Routledge and Kegan Paul, 1978),6.211 (a). 2 Ibid., 5.5561 (b) 3 Ibid., 3.334.

43




mente a las variables. En casos así nos las habernos con conceptos formales y unrasgo esencial de dichos conceptos es que no pueden quedar expresados por medio

de proposiciones. La razón es simple: cuando intentamos hacerlo lo que generamoses una tautología, explícita o encubierta. Veamos rápidamente un ejemplo. Supongamos que hablamos de niños. Para poder hacerlo habremos de disponer de

un stock de "nombres", en el sentido amplio autorizado por el Tractatus. Podremosentonces decir cosas como 'Juanito es simpático' y 'Luisito es mexicano'. 'Es sim- pático' y 'es mexicano' son genuinos conceptos. Pero si ahora pretendemos decir'Juanito y Luisito son niños', nuestra expresión carece de sentido: nosotros ya sabía-mos, por ser usuarios normales del lenguaje, que 'Juanito' y 'Luisito' eran nombresde niños. Luego lo que en ese caso estaríamos haciendo sería construir una vacuatautología, una pseudo-proposición. En relación con los niños Juanito y Luisito "ser

niño" es un concepto formal y no es predicable de ellos, al igual que sería absurda lanegación de dicha pseudo-proposición ('los niños Juanito y Luisito no son niños'). Un punto importante en relación con esto es el siguiente: sería un error grotesco inferir que,desde el punto de vista del Tractatus, hay un conglomerado fijo de conceptos formales,en tanto que opuestos a conceptos genuinos, establecido apriori. Wittgenstein tiene elcuidado de recordarnos que los elementos de su aparato conceptual, nociones comoobjeto, propiedad, estado de cosa, etc., tienen un "uso oscilante". Dicho de otro modo,qué sea un objeto dependerá de qué sea un nombre en un lenguaje dado; asimismo, unconcepto que en un discurso puede funcionar como un concepto genuino puede

funcionar en otro como un concepto formal. Eso es algo que sólo pueden revelarnuestras variables. "Un concepto formal está automáticamente dado cuando se daun objeto que cae bajo él".4 Si ahora hablamos de los alumnos, decir que Juanito es unniño será decir algo con sentido, pero decir que es un alumno ya no será decir nadasignificativo, puesto que de entrada sabíamos que lo que teníamos eran nombres dealumnos. En este caso, el concepto formal será "ser alumno" y Juanitoautomáticamente cae bajo él.

Ahora bien, Wittgenstein sostiene que los números son conceptos formales. Lo primero que esto implica es que los numerales no son nombres. O sea, el modocomo entran los números en la representación pictórica de los hechos no es vía la

designación, sino por medio de variables. Los numerales no son más que un mecanis-mo simbólico para recoger lo indicado por las apariciones de las variables, una vezque se ha encontrado la forma lógica de una oración. En efecto, si decimos que hay 3 objetos sobre la mesa lo que decimos es algo tan simple como ( Í 3x,y, z) [(Me & My& Mz) & (w) (Mw —> x = wv x = y v w = z)] . Es así como entran los números en las

4 Ibid.,4.12721.

44




proposiciones. Los números, por lo tanto, son más como cuantificadores que comodesignadores de objetos. Las implicaciones filosóficas de este señalamiento son asom-

brosas: ponen coto a toda clase de disquisición acerca del número de objetos que hayen el mundo y permiten echar por tierra el axioma russelliano de infinitud, así como la jerarquía numérica de Russell. Si esto, que en verdad parece trivial, es acertado,entonces nada parece más descabellado que las concepciones filosóficas elaboradasa partir de consideraciones sobre los numerales en oraciones gramaticalmente bienformadas, pero cuya sintaxis lógica fue ignorada. Probablemente lo que más contribuya tanto a impulsar como a desacreditar dichas concepciones sea la idea ingenuade que los numerales son nombres de objetos. Ahora que sabemos que no son comonombres que entran en las proposiciones los signos matemáticos nos resultará comprensible la aseveración de Wittgenstein en el sentido de que "Las proposiciones de

las matemáticas no expresan ningún pensamiento".5 En otras palabras, las proposi-ciones matemáticas no son ellas mismas retratos de nada. Dicho de otro modo: nohay tal cosa como "hechos matemáticos".

Consideremos ahora la noción de relación interna. La definición wittgensteiniana,que es concisa y clara, concierne a las propiedades, pero es obvio que vale por igual para las relaciones. De acuerdo con él, "Una propiedad es interna si es impensableque su objeto no la posea".6 Así, pues, una relación interna es lo que nosotros llama-ríamos una 'relación necesaria'. La aportación de Wittgenstein a la venerable con-troversia concerniente a qué propiedades y relaciones son necesarias y cuáles no

consiste en señalar que una relación (o una propiedad) interna no puede quedarexpresada por medio de proposiciones. Una relación así se muestra en las relacionesnecesarias que de hecho valen entre las proposiciones involucradas. "La existenciade relaciones internas entre posibles estados de cosas se expresa en el lenguajemediante una relación interna entre proposiciones que los expresan".7 De ahí quecuando imaginemos estar enunciando una relación necesaria entre objetos o entreestados de cosas, lo único que estaremos haciendo será construir una tautología o unenunciado analítico. Por ejemplo, decir que el 3 no habría podido ser inferior al 2 oque necesariamente es mayor que el 2, no es algo que tenga sentido decir. Eso esalgo que se muestra en las sumas y restas que de hecho hagamos: si sumamos 3 elresultado es mayor que si sumamos 2 y si restamos 3 el resultado será menor que sirestamos 2. Es así como se ve que el 3 es necesariamente mayor que 2.

5 Ibid., 6.21. 6 Ibid., 4.123 (a). 7 Ibid., 4.125.

45




La siguiente noción que Wittgenstein requiere para articular su punto de vista es lade operación. Las operaciones se ejercen prima facie sobre proposiciones y su obje-

tivo no es sino el de extraer ciertas proposiciones a partir de otras. Desde la perspec-tiva estrictamente extensional del lenguaje defendida en el Tractatus, todas las proposiciones, independientemente de su apariencia superficial, son el resultado deoperaciones de verdad que toman como bases a las proposiciones elementales. Lanoción de operación está, pues, vinculada a la de inferencia, por lo que tiene que ver,ante todo, con la forma lógica. Las operaciones permiten las transiciones preposicionales. "Una operación es aquello que hay que hacerle a una proposición para obtener otra de ella".8 Las operaciones son modificaciones estructurales o for-males. Ellas mismas, por consiguiente, no dicen nada, no son una enunciación denada. "En verdad, una operación no dice nada, sino sólo su resultado y ello depende

de las bases de la operación".9 En este punto es importante trazar una distinción. Hayoperaciones que se ejercen sobre proposiciones genuinas, esto es, proposiciones queenuncian la existencia de relaciones empíricas, de relaciones que pueden tanto darsecomo no darse y que no son, por así decirlo, adivinables. En realidad, en la vidacotidiana constantemente estamos efectuando operaciones, es decir, hacemosinferencias y extraemos conclusiones. Las operaciones que en casos así se realizannos llevan de ciertas proposiciones a otras que, aunque implícitas, son diferentes. Sinembargo, hay casos en los que lo que deseamos efectuar es una y la misma opera-ción, esto es, repetir la operación, tomando como base para ello el último resultado.

Lo que en estos casos nos importan son proposiciones generales, como por ejemplola proposición general 'a es el sucesor de b\ independientemente de qué o quiénessean a y b. Surgen entonces series que ya no son empíricas sino formales, es decir,que se expanden por una relación interna, a diferencia de lo que acontece con lasconexiones o series empíricas, las cuales están regidas por relaciones externas ocontingentes. Las series formales son fundamentales para la caracterización del nú-mero: "Las series numéricas no están ordenadas por una relación externa, sino poruna relación interna".10 Aquí el punto importante es el de que la noción de operaciónno presupone a la de número. Las relaciones internas hacen ver que en matemáticaslos resultados son necesarios. El precio de ello, empero, ya lo conocemos: la noconstrucción de genuinos pensamientos.

Aunque son muchas las cosas que se pueden decir en relación con las operaciones,me limitaré aquí a señalar una diferencia fundamental, enfatizada por Wittgenstein,

*Ibid., 5.23. Ubid.,5.25 (b). 10 Ibid.,4.1252 (b).

46




entre operación y función. Su posición es que "una función no puede ser su propioargumento, en tanto que una operación puede tomar como su base a sus propios

resultados".

11

La idea de una función que se auto-aplica es una idea espúrea: noentender que una función, que contiene un prototipo, no puede ser su propio argu-mento, nos conduce directamente a la paradoja de Russell y a toda una serie deabsurdos; en cambio, la idea de una repetición, de una y la misma operación que seejerce una y otra vez, de una iteración, de una recursión, no tiene nada de ilegítima.Más aún, es lo que nos permite comprender qué son los números. Llegamos así a lacaracterización del número. Para el Tractatus un número es simplemente "el expo-nente de una operación".12 Intentemos poner esto en claro.

Cuando repetimos indefinidamente una cierta operación tomando sistemáticamentecomo base el resultado anterior generamos una serie formal, esto es, una serie regida

por una regla que sistemáticamente se aplica. Ahora bien, en el caso de los númerosnaturales esto es precisamente lo que sucede: se efectúa una operación (digamos unasuma) sobre un término inicial y se construye "el siguiente" o "el sucesor". De ahí que,como afirma Wittgenstein, la forma general de un número entero sea [0, E,, £, + 1]. Noobstante, la forma general del número no nos da números particulares, así como laforma general de la proposición no nos da una proposición. Más bien, un número, porasí decirlo, acabado, aparece cuando en la serie formal apuntamos a un lugar deter-minado. Esto, sin embargo, no es otra cosa que indicar cuántas veces se efectuó laoperación en cuestión. Desde esta perspectiva, el número es un lugar en una serie

formal, en una progresión, es decir, un lugar en una serie regulada por una relacióninterna y al que llegamos por la iteración de una operación. El número es, pues, comoya se dijo, el exponente de una operación. Nada más.

La concepción del número desarrollada por Wittgenstein lo conduce directamentea un determinado punto de vista acerca de la verdad matemática. Frege y sobre todoRussell nos acostumbraron a ver en las verdades matemáticas tautologías. La razónes por todos conocida: los logicistas traducen las verdades matemáticas a verdadesexpresadas en la terminología de la lógica y la teoría de conjuntos. Para ellos losnúmeros son conjuntos, clases de clases. Así, los enunciados numéricos se convier-ten en enunciados de la lógica (en un sentido muy amplio de la expresión puesto que por 'lógica' ahora se entiende 'lógica + teoría de conjuntos'). Nada más alejado del pensamiento de Wittgenstein que esto. Para él, la idea misma de conjunto es la ideade algo conformado empíricamente. Desde luego que se puede "definir" un conjunto

n Ibid.,S2Sl. 12 Ibid., 6.021.

47




el carácter altamente operativo o funcional de las ecuaciones, algo totalmente ausen-te en las tautologías. Las tautologías son perfectamente inútiles ("Por ejemplo, no sé

nada acerca del tiempo si sé que llueve o no llueve"

19

), en tanto que las ecuacionesmatemáticas están integradas en nuestro lenguaje, en nuestras formas lingüísticas, enlas teorías científicas, y permiten hacer transiciones que desde un punto de vista práctico son importantes.

Quizá debamos ya sintetizar o resumir la posición general del Tractatus en relacióncon el número, tomando en cuenta todos los elementos hasta ahora mencionados. ParaWittgenstein, un número no es ni un mero numeral ni una entidad. Un número es más bien un esquema proposicional, una manera de marcar la forma de una proposición.En la medida en que los números tienen que ver con las formas lógicas de las proposi-ciones, y no con la idea empírica de clase o de agregado, el "conocimiento" matemático

es, como el de la lógica, enteramente a priori. Sin tener que comprometerse con laexplicación conjuntista de las progresiones, de las series formales, Wittgenstein pue-de dar cuenta de lo que es contar, puesto que la idea de contar es la de enumerarobjetos nombrados. Puede, pues, constatarse que la excursión por los abstractosdominios de la elucidación filosófica no le impide al Tractatus hacernos entendertambién en qué consiste la practicalidad del simbolismo matemático.

V) Críticas al Tractatus

Sería ocioso negar que las posiciones alcanzadas por Wittgenstein en el Tractatushacen justicia a muchas intuiciones básicas y me parece que es igualmente indiscuti- ble que uno de sus mayores méritos es que nos evita adoptar tesis metafísicas respecto a los números. Empero, habría también que reconocer que el libro contiene pronunciamientos sibilinos y, sobre todo que, por no abordar en forma directa ampliaszonas de las matemáticas, parecería que las deja sin explicar. En lo que resta deltrabajo, enumeraré y comentaré, sin entrar mayormente en detalles, algunas de lasobjeciones que se han elevado en contra de lo que se dice en el Tractatus acerca delas matemáticas y que considero inválidas. Terminaré enunciando lo que en mi opi-nión constituye la debilidad de la posición wittgensteiniana.

En su célebre Introducción al libro de Wittgenstein, Russell escribe: "A mí me parece que, en relación con algunos temas, la teoría del Sr. Wittgenstein necesita unmayor desarrollo técnico. Esto se aplica en particular a su teoría del número (6.02 y

19 Ibid., 4.461 (e).

50




sigs.), la cual, así como está, es susceptible de dar cuenta únicamente de los númerosfinitos. Ninguna lógica puede considerarse adecuada hasta que se haya mostrado

que es capaz de dar cuenta de los números transfinitos. No pienso que haya nada enel sistema del Sr. Wittgenstein que le haga imposible llenar esta laguna".20 Hasta aquíel comentario de Russell.

Yo creo que en este caso, aunque podemos explicarnos por la falta de aclaracio-nes por parte de Wittgenstein por qué Russell hace este señalamiento, es Russellquien no parece comprender lo que está enjuego y es dudoso inclusive que pudierahacerlo. Esto es algo que sólo quedará debidamente esclarecido en la obra posteriorde Wittgenstein. Dicho brevemente, para éste el infinito no es ni una cantidad ni unaextensión ni un número.21 No hay, por lo tanto, como lo piensa Russell, "númerostransfinitos". La aritmética transfinita es algo que exige elucidación gramatical, ya

que el comportamiento de sus nociones clave, de nociones como K o, no es transpa-rente. Wittgenstein da una idea de su novedoso (y por ello de difícil aprehensión,especialmente para un matemático) punto de vista cuando afirma que "El conceptode aplicaciones sucesivas de una operación es equivalente al concepto 'y así sucesi-vamente' ",22 es decir, a nuestro 'etc.', y es claro, por otra parte, que el concepto deinfinito está conectado con el 'etc.' que no es el de la pereza, es decir, el 'etc.' queusamos cuando nos da flojera contar todos los elementos de un conjunto cuyos ele-mentos no obstante podríamos en principio enumerar. La idea correcta de infinito,que posteriormente Wittgenstein desarrollará en detalle, tanto en las Observaciones

Filosóficas como en las Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemá-ticas, es la idea de una aplicación ilimitada de determinada operación, de la posibili-dad de realizarla las veces que uno quiera. Esta posibilidad está inscrita en una regla,que es peculiar a los juegos de lenguaje de las matemáticas. Esta posición, queequívocamente ha sido llamada 'estrictamente finitista', puede resultarnos convin-cente o no, pero en todo caso debe quedar claro que la pretensión de Russell deextender la explicación que Wittgenstein ofrece de los números naturales a los núme-ros transfinitos es algo totalmente fuera de lugar. Es cierto, pues, que el "sistema" deWittgenstein permite, en principio, dar cuenta del infinito, pero es falso que dichaexplicación se funde en la explicación que ofrece de los números naturales.

Otro pensador inconforme con la propuesta del Tractatus es Frank P. Ramsey.Hablando de la concepción wittgenstein iana de las ecuaciones matemáticas dice lo

20 B. Russell, "Introduction" en Tractatus Logico-Philosophicus, p. XX. 21 A este respecto, recomiendo la lectura del capítulo I, "Consideraciones en torno al Infinito", de milibro Filosofía Analítica: un panorama (México: Plaza y Valdés, 2004). 22 L. Wittgenstein, op. cit., 5.2523.

51




siguiente: "No veo cómo pueda suponerse que esta explicación cubra el todo de lasmatemáticas y es evidentemente incompleta puesto que también hay desigualdades,

que son más difíciles de explicar".

23

Él sostiene asimismo que, así como está, la posición de Wittgenstein "es obviamente una concepción ridiculamente estrecha delas matemáticas y la limita a la simple aritmética".24 Nuestra dificultad consiste enevaluar qué tan demoledora es esta crítica de Ramsey.

Yo pienso que la objeción de Ramsey apunta a una dificultad resoluble y, por lotanto, que no constituye una refutación de lo afirmado por Wittgenstein. Lo más que podría mostrar es que la concepción del Tractatus es de alcance limitado. Lo queciertamente Ramsey no muestra es que dicha concepción esté en principio incapaci-tada para abarcar los sectores de las matemáticas de los que Wittgenstein no seocupa directamente, como por ejemplo la geometría. Por otra parte, es obvio que el

ámbito fundamental para la especulación y la discusión filosóficas es el de los núme-ros naturales, puesto que otras clases de números son conjuntos de números natura-les regidos por otras reglas. Por ejemplo, 71 es, digamos, 3.1416. Sus ingredientes, porasí decirlo, son números naturales (3,1,4,6), sólo que rígidos por otras reglas que lasde la aritmética elemental. Luego la naturaleza del número de uno u otro modo depende de lo que se diga en relación con los números naturales. En cierto sentido, porconsiguiente, la objeción de Ramsey es superable.

La otra parte de la objeción, a saber, que las igualdades no constituyen los funda-mentos de las matemáticas, es algo que Ramsey nunca demuestra. Hay un intento de

demostración de esto en su articulo "The Foundations of Mathematics", pero no esfácil ver su fuerza. Su idea es simple y es la siguiente: en aseveraciones en las queintervienen expresiones matemáticas, como por ejemplo, la afirmación de que 'elcuadrado del número de los u es menor por 2 que el cubo del número de los w\ partede la aseveración es acerca de objetos y propiedades y parte acerca de signos (puestoque las reglas matemáticas son reglas para el uso de signos). Pero entonces la parte matemática no es un elemento veritativo-funcional de la oración completa, sinoque entra más bien como una constante lógica. Y esta observación le basta a Ramsey para sostener que "La teoría de las matemáticas como identidades es totalmenteinadecuada para explicar dicho uso de m2 = «3 - 2".25 Confieso que no veo en qué

23 F. P. Ramsey, "Review of ' Tractatus"' en Irving M. Copi y Robert W. Beard (Eds.) Essays onWittgenstein 's Tractatus, (London: Routledge and Kegan Paul, 1966), p. 20. 24 F. P., Ramsey, Foundations. Essays in Philosophy, Logic, Mathematics andEconomics. Editado porD.H. Mellor, (London/Henley, 1978), p. 168. 25 Ibid., p.170.

52




consista el problema para el Tractatus. Desde la perspectiva de Wittgenstein, laecuación asevera que la operación efectuada sobre m produce el mismo número que la

realizada con n cuando a su resultado se restan 2. Supongamos que m = 5 y que n = 3.Tenemos entonces que 52 = 33 - 2; o sea, 25 = 27 - 2. La explicación de Wittgensteinno parece enfrentar aquí ningún problema.

Quizá hayan sido elaboradas otras objeciones a las ideas de número y de ecuacióndelineadas en el Tractatus, pero debo decir que no las he encontrado. Ahora bien, sino me he alejado demasiado de la verdad, podríamos tal vez inferir que las críticashechas, por así decirlo, desde fuera no han sido particularmente certeras. ¿Significaello que la filosofía de las matemáticas del Tractatus es inatacable? Creo que larespuesta tiene que ser matizada. En mi opinión, la debilidad fundamental del Tractatusno se debe ni mucho menos a ignorancia o a incomprensión de técnicas matemáticas

por parte de su autor, sino que procede más bien del enfoque general, enteramenteformal, de la primera filosofía de Wittgenstein. Me parece que podemos dar expre-sión a nuestra insatisfacción preguntando: a final de cuentas ¿para qué, según elTractatus, sirven los números? Russell, por ejemplo, diría: los números sirven paracontar. Empero, como bien observó Max Black, a diferencia de Russell, al Wittgensteindel Tractatus no parece importarle mayormente la idea de contar ni, en general, lo quede hecho se haga con ellos. Las ambiciones filosóficas de Wittgenstein eran, aunquemal encaminadas, de un carácter mucho más abstracto. Sin embargo, si nos despreo-cupamos del contar y, en general, de toda clase de cálculo, nos vuelve a asaltar la

pregunta: ¿para qué o por qué queremos o necesitamos números? La respuesta deWittgenstein es, en síntesis, que los números son esquemas que exhiben la formalógica de las proposiciones. Nuestra pregunta, por lo tanto, nos conduce a otra, de lacual depende, viz., ¿por qué en la práctica son importantes las formas lógicas, lasformas apriori de los hechos contingentes conformados por los objetos de todos losmundos posibles? La respuesta es que el conocimiento de las formas lógicas es importante porque encarna el conocimiento supremo, esto es, el conocimiento, inex- presable proposicionalmente, de la estructura del mundo. Así, desdeñando todarespuesta que nos lleve por las vías de la practicalidad, el joven Wittgenstein se muevemás bien en la dirección de la contemplación pero también, por qué no decirlo, del

misterio. Es claro que para un genio que regresa a la filosofía una respuesta así no podía resultar aceptable por mucho tiempo. Su segunda filosofía, es bien sabido, seinicia con un ataque simultáneo sobre diversas nociones y posiciones del Tractatus y,a no dudarlo, una de las nociones que con mayor rapidez se vio desmantelada fue precisamente la de forma lógica. Con el derrumbe de dicha noción se abrieron las puertas para la posibilidad de la gestación de una nueva filosofía de los números. Laidea del Tractatus de que los números son como esquemas preposicionales sobrevi-

53




vió, sólo que al ser re-ubicada en el marco de una nueva concepción del lenguaje setransmutó. Estudiar la evolución del pensamiento de Wittgenstein sobre las matemá-

ticas es ciertamente enriquecedor y apasionante. Naturalmente, dicho estudio rebasalos modestos objetivos que me plantee para este trabajo, por lo que no diré ya nadamás al respecto.

54



Wittgenstein: lenguaje,números y aritmética

I) Wittgenstein y la Filosofía de las Matemáticas

s en volúmenes que se cuentan ya los estudios (libros, ensayos, reseñas)sobre la obra de Ludwig Wittgenstein. La verdad es que es de tales magnitu-des dicha producción de trabajos sobre la vida y los escritos (publicados en

vida o postumos) de Wittgenstein que ya nos rebasó: difícilmente, por ejemplo, podríaencontrarse a alguien que hubiera leído todo lo que sobre él se ha escrito. Por otra parte, es un hecho que uno de los efectos de dicha producción (cualitativamente de lomás variado) ha sido convertir los estudios sobre Wittgenstein en una labor de exége-sis y de reflexión cada vez más especializada y exigente. En efecto, es cada vez másdifícil (sobre todo en relación con ciertos tópicos, que parecen agotados) decir algonovedoso o interesante, y sobre todo no repetitivo, sobre la herencia filosófica witt-gensteiniana. Ahora bien, algo que llama la atención es que, a pesar de la gran varie-dad de enfoques y métodos para acercarse a los textos wittgensteinianos, rara vezencontramos lo que podríamos llamar una 'perspectiva integral'. Esto es algo parti-

cularmente patente en el caso de su filosofía de las matemáticas. Hay estupendasexégesis de las aclaraciones de Wittgenstein en relación con diversos temas de, e.g.,filosofía de la mente en las que se resaltan sus conexiones internas con sus aportacio-nes en el área de la filosofía del lenguaje. Asimismo, las conexiones entre su filosofíadel lenguaje y su filosofía de la religión han sido destacadas y aprovechadas amplia-mente. En cambio, cuando pasamos al terreno de la filosofía de las matemáticas, lascosas cambian notoriamente. En este caso nos topamos con varios fenómenos no deltodo explicables. Por una parte, y por sorprendente que resulte, hasta muy reciente-mente la filosofía de las matemáticas y de la lógica era la parte menos estudiada de la

obra de Wittgenstein y, por la otra, a menudo lo que se hacía era examinarla, por así

E




Como dije, esta situación está cambiando velozmente. Dudo mucho que la nota-ción, por ejemplo, del Tractatus se vuelva súbitamente popular (por ejemplo, que se

deje de usar '=', esto es, el signo lógico de identidad), pero lo que sí creo es quemuchas de las intuiciones (geniales, hay que enfatizarlo) de Wittgenstein en torno a lasmatemáticas empiezan a convertirse en una nueva veta y a ser aprovechadas cada vezmejor. En este trabajo intentaré rescatar algunas ideas cruciales de Wittgenstein con-cernientes a los números y a la naturaleza de la aritmética, para lo cual me concentraré básicamente en dos obras, viz., el Tractatus Logico-Philosophicus y lasObservaciones Filosóficas, tratando precisamente de destacar las conexiones en-tre ellas y su filosofía del lenguaje. Sin embargo, daré inicio a mi examen con algunasde las críticas que Wittgenstein eleva en contra del logicismo de Frege y Russell.

II) Algunas Fallas del Logicismo

Uno de los errores más recurrentes en las discusiones referentes al logicismo deRussell consiste en limitarse a señalar ciertos resultados que aparentemente echan por tierra sus tesis más fundamentales. El teorema de incompletitud de Gódel o elcarácter redundante del axioma de reducibilidad una vez reclasificadas las paradojasen lógicas y semánticas son ejemplos de ello. Sin embargo, es obvio que discusionescomo esas, por importantes que sean y por desastrosas que hayan resultado para la

filosofía de la lógica y de las matemáticas de Russell, se dan de todos modos en elmarco de la filosofía russelliana. Después de todo, se trata de logros que contribuyena reforzar y desarrollar un programa y una tradición que él inició. De ahí que esascríticas a Russell desde el interior del russellianismo contrasten fuertemente con la posición de Wittgenstein, la cual es abiertamente hostil a todo lo que Russell repre-senta. Desde el Tractatus (y en verdad, desde las Notas sobre la Lógica y de las

Notas dictadas a Mooré), a lo que Wittgenstein objeta es al programa mismo dereducción de las matemáticas a la lógica, a las intuiciones básicas de Russell, a sucaracterización de los indefinibles de la lógica, a sus nociones fundamentales (identi-dad, cuantificación, etc.) y, desde luego, a lo que él consideraba una concepciónradicalmente errada de la lógica (constantes, formas, verdades) y de las matemáti-cas. En verdad, desde la perspectiva del Tractatus prácticamente el todo de la im- presionante labor de Russell se reduce a un auténtico fiasco filosófico (con la excepciónde la Teoría de las Descripciones). A diferencia de, digamos, Gódel, Wittgenstein nointenta hacer ver que en el marco del sistema de Principia Mathematica ciertosresultados son inasequibles. Lo que él hace es rechazar el russellianismo in toto.

57



LENGUAJE, NÚMEROS Y ARITMÉTICA

Ahora bien, la violencia del ataque de Wittgenstein en contra de la filosofía deRussell es realmente digna de llamar la atención. Después de todo, Principia

Mathematica no es un panfleto cualquiera, sino una obra monumental. Empero, en elTractatus dicha obra se ve sometida a un juicio devastador. A guisa de ejemplo,considérese el implacable veredicto en el sentido de que "La teoría de las clases escompletamente superflua en matemáticas" (6.031). Pero la reducción de las mate-máticas a la lógica (incluyendo la teoría de conjuntos) era precisamente lo original, lonovedoso de la escuela de Russell (y Frege). Si Wittgenstein estaba en lo correcto, es laidea motriz misma de la filosofía de las matemáticas y de la lógica de Russell, Le., el proyecto de definir los números en términos de clases y de definir las verdades ma-temáticas en términos de verdades lógicas, lo que está mal. Evidentemente, un juicioque tiene las implicaciones que tiene el de Wittgenstein no podría hacerse a la ligera,

sino que tiene que estar muy bien fundamentado. Nuestra pregunta es: ¿lo está? Pienso que sí. Aquí parte del problema consiste en entender cómo o por qué puede estar mal algo que a todas luces es factible, es decir, algo ya realizado omaterializado. O sea, si las definiciones logicistas funcionan, entonces ¿qué se cues-tiona? Se supone que al proporcionarnos las definiciones de los números en términosde clases esclarecemos su naturaleza (su esencia). ¿Cómo es posible entonces quese quiera rechazar las implicaciones de las definiciones cuando éstas en sí mismas notienen nada objetable? En las Observaciones Filosóficas Wittgenstein dice algo quees relevante para explicar esta situación. Lo que sucede es que estamos frente a unaconfusión. Por un lado, tenemos las reglas de la aritmética y sus aplicaciones y por el

otro las definiciones logicistas. Es un hecho que la aritmética ya era practicada ousada mucho antes de que los logicistas avanzaran sus definiciones. Era precisamentesu utilidad inmediata, obvia, la garantía de su corrección. Lo que los logicistashicieron fue desarrollar un nuevo lenguaje formal al que ex-postfacto lograron po-ner en conexión de manera sistemática con el lenguaje de los números. Sobre esa base pasaron a alegar que eso y no otra cosa era definirlos, asumiendo que es sólo através de su definición que se nos revela su naturaleza. Pero es allí donde está elerror. Wittgenstein diagnostica la situación como sigue: "Porque se puede decir quelas reglas para los numerales presuponen siempre las definiciones. Pero ¿en quésentido? ¿Qué significa decir que un signo presupone otro que, estrictamente hablan-do, no está ni siquiera allí? Presupone su posibilidad; su posibilidad en el espacio delsigno (en el espacio gramatical)".2 O sea, se pueden inventar tantos lenguajes osistemas simbólicos como se quiera y luego dedicarse a establecer correlaciones

2 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas. Traducción de Alejandro Tomasini Bassols (México: IIF/ UNAM, 1997), sec. 110, p. 122.

58




como las que establecieron Frege y Russell entre números y conjuntos, pero eso noes aclarar la "naturaleza del número", sino simplemente expandir el simbolismo for-

mal. La aclaración que requerimos no se da en la expansión del simbolismo, sino en elanálisis de las nociones empleadas. En este sentido, las definiciones logicistas no sonun análisis de nada y lo que hacen es más bien alejarnos o desviarnos de éste.

¿Qué pasa, pues, si efectivamente la teoría de las clases (como todo parece indi-carlo) es redundante en matemáticas? Parecería que el mero hecho de que paraaprender a sumar sencillamente no se necesita recurrir a la teoría de conjuntos es un buen argumento en favor de esa sugerencia. Pero ¿qué significación tiene dicho factuml Lo que éste revela es simplemente que es el todo de la explicación logicistalo que está mal. Desolado, Frege terminó por aceptar que su noción de clase generabacontradicciones y optó por abandonar el proyecto original, pero Russell era más

pertinaz: él pensaba que, mediante su Teoría de los Tipos Lógicos y su "«o classtheory" (una aplicación de la Teoría de las Descripciones), él estaba en posición desubsanar las dificultades que plantearan las clases, entre otras cosas eliminándolas.Aparte de que el programa de Russell fracasó por cuanto se desvió de sus objetivosoriginales y terminó siendo otra cosa, puesto que (por ejemplo) él se vio en la necesi-dad de introducir axiomas no lógicos, como los axiomas de reducibilidad y de elec-ción, el problema es, obviamente, que las dificultades filosóficas no se resuelven pormedio de tecnicismos. Lo que estaba mal de raíz era, por ejemplo, la creencia de quela teoría de la cuantificación puede recoger sin confundirnos todos los usos de palabras como 'todos', 'algún', 'cada', etc., y también que es de aplicación transparente

en matemáticas, cuando a final de cuentas no es más que un recurso auxiliar. Quedóasimismo de manifiesto que las nociones que se requerían para el trabajo de reduc-ción de las matemáticas a la lógica son problemáticas y (como la de identidad) super-fluas. O sea, de hecho desde el Tractatus Wittgenstein acusa a Russell de no haberaclarado en lo más mínimo lo que son los números y de haber fracasado rotundamenteen la labor de genuina aclaración filosófica. Lo que, desde la perspectiva de Witt-genstein, Russell habría hecho habría sido generar cadenas de confusiones eincomprensiones ocultándolas tras un simbolismo dúctil, proceso que habría culmina-do en el grotesco y palpable error consistente en afirmar que las ecuaciones son lomismo que las tautologías. Russell no parece haber nunca sentido la diferencia radi-cal que hay entre las clases y los números: las clases tienen un sabor empírico de laque los números carecen. Eso sólo se entiende si se comprende, primero, que "lageneralidad que necesitamos en matemáticas no es generalidad contingente"? si,

3 L. Wittgenstein, TractatusLogico-Philosophicus (London: Routledge and Kegal Paul, 1978), 6.03l(b).

59




segundo, se tiene presente que "El símbolo para una clase es una lista"4 y si, tercero,se entiende algo obvio, a saber, que una lista de cosas es algo que tanto se da como

puede no darse. Ese elemento de contingencia propio de las clases está por principioausente en las matemáticas. Pero entonces ¿cómo podría la teoría de conjuntos con-tribuir a "fundamentar" las matemáticas?

La desviación del análisis correcto de los conceptos matemáticos (entre otros) seinicia con la fácil sobreposición del lenguaje de la lógica a toda clase de simbolismos.Por ejemplo, podemos expresar en el lenguaje formal de la teoría de la cuantificacióntanto 'hay un número primo entre el 10 y el 12' como 'hay un oso frente a mi recáma-ra'. O sea, aparentemente por medio del lenguaje canónico de la lógica podemossimbolizar correctamente de la misma manera tanto proposiciones matemáticas como proposiciones en sentido estricto. Gracias a la lógica todo se uniformiza. Desde los

inicios de su reflexión, Wittgenstein se sublevó en contra de esta supuesta utilidad delsimbolismo lógico y en su etapa de madurez será al respecto mucho más explícito ycontundente: "La maldición de la invasión de las matemáticas por parte de la lógicamatemática es que ahora cualquier proposición puede ser representada en unsimbolismo matemático y esto nos hace sentirnos obligados a comprenderla. Aunque,desde luego, este método de escribir no sea otra cosa que la traducción de vaga prosaordinaria".5 En especial, al tratar a toda clase de oración de la misma manera elsimbolismo russelliano simplemente borra la distinción entre el discurso matemático yel discurso normal. De ahí que nada sea más natural que la lógica lleve a pensar que

cuando hablamos de matemáticas hablamos de objetos o que las aseveraciones ma-temáticas son verdaderas o falsas en exactamente el mismo sentido en que lo sonnuestras afirmaciones acerca de hormigas o de naranjas. En el fondo, no tiene nadade extraño que el platonismo se haya atrincherado en la filosofía de las matemáticasmejor que en cualquier otra rama de la filosofía.

Examinemos brevemente los números. Si bien para Russell no, para Frege, ine-vitablemente, los números eran objetos. Para Russell ello no tenía por qué ser así puesto que de acuerdo con él, por una serie de malabarismos simbólicos, lo que sedijera respecto a los números podía "traducirse" al lenguaje de las clases y luegodeshacerse de éstas como meras "ficciones lógicas". De los símbolos para clases, en

efecto, se puede decir exactamente lo mismo que de las descripciones: no tienensignificado considerados en sí mismos, si bien toda proposición en la que aparecen es

4 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 118, p. 130. 5 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The M.I.T. Press,1975), parte IV, sec. 46, p. 155e.

60




significativa. "Los símbolos para clases, como aquellos para descripciones, son, ennuestro sistema, símbolos incompletos: sus usos están definidos, pero no se asume

que ellos mismos signifiquen nada en lo absoluto".

6

Puede decirse, con base en otrasrazones, que la estrategia russelliana falló y que en su sistema nos quedamos sinsaber qué son los números. Pero consideremos la posición fregeana. Si los númerosson objetos, entonces ser un número es tener una determinada propiedad. Por ejemplo, podría decirse de un niño que tiene la propiedad de ser mexicano y la de tener 5años o de un juego de cuchillos y tenedores que tiene la propiedad de ser de plata y lade ser 12. Pero inclusive en un plano puramente intuitivo esto tiene que ser un error:sentimos que el ser 12 no puede ser como el ser de plata. Frege podía incurrir en unaidentificación errónea como esa porque carecía de un simbolismo perspicuo. En elcaso de Russell el error ya no resulta tan fácil de comprender y de disculpar, porquesu mismo simbolismo (del que se sirve Wittgenstein) parecería estar indicándole (danganas de decir 'gritándole') otra cosa. De hecho y típicamente, Wittgenstein aprove-cha el simbolismo russelliano mejor que su propio creador. Veamos rápidamente cómo.Supongamos que decimos que hay 3 naranjas en la mesa (me ahorraré la descrip-ción de la posición de las naranjas). En el lenguaje canónico de la lógica (i.e., elsimbolismo russelliano), ello se expresaría como sigue:

(3x)(3y)(3z)(((((Nx & Ny) & Nz) & (((w) (Nw ->x = w)vy = w)vz = w)))

Pero ¿qué nos está diciendo esta expresión, asumiendo sin conceder que efecti-vamente se trata de la transcripción lógicamente correcta de la proposición en cues-tión? Por lo pronto, se trata de una expresión compleja conformada por cuantificadores,conjunción, condicional y disyunciones, nada de lo cual está explícitamente enunciadoen la proposición original. Pero en lo que sobre todo debemos fijarnos es en cómoaparece en esa expresión el número tres de nuestra proposición: es evidente que noaparece como un predicado especial. Más bien, es el que haya tres variables ligadaslo que indica que estamos hablando de tres objetos. En otras palabras, el número noes un predicado común más, sino que está indicado por las variables y eventualmentetoma cuerpo en o se expresa a través de las constantes (nombres de objetos) con las

que se les reemplace. Russell no tenía el aparato conceptual que se requería paraexpresar la distinción entre los predicados genuinos y los predicados meramente indi-cados por variables. Wittgenstein sí: para él, una cosa son los conceptos genuinos y

6 B. Russell & A. N. Whitehead, Principia Mathematica to *56 (Cambridge: Cambridge UniversityPress, 1973), p. 71.

61




otra los conceptos formales. El concepto de número es un concepto formal, es decir,se da tan pronto hay objetos que caen bajo él: "Un concepto formal ya está dado tan

pronto se da un objeto que caiga bajo él".

7

Como ya dije, el número de objetos de losque se habla está explícitamente indicado por las variables individuales y se expresao muestra en el número de constantes que se tendría que emplear para decir lo que sequiere decir. Supongamos que nombramos a nuestra naranjas 'a', 'Z>' y 'c'. Diremosentonces lo que dijimos más arriba mediante nuestra fórmula o, para ser más especí-ficos, mediante (((Na & Nb) & Nc). Como se sabe, es de esta manera como se puede dar cuenta del axioma de infinitud.8

A su regreso oficial a la filosofía, en 1929, Wittgenstein enfrentó en forma directala cuestión del carácter aparentemente predicativo de los números para desecharlade una vez por todas y lo que en las Observaciones Filosóficas sostiene no es más

que un refinamiento, un complemento a la escueta posición del Tractatus. Su argu-mento puede ser reconstruido como sigue: sólo si podemos hablar de objetos que nocaigan bajo ningún concepto podríamos significativamente hablar del número de objetos y eso es algo que no tiene el menor sentido. Quizá un paralelismo en este punto podría ser útil: el concepto de número funciona como el concepto de existencia. Laexistencia no es un predicado más: decir de algo que existe es decir que tiene alguna propiedad. Esta es una tesis clásica de Frege y Russell y lo curioso es que no laextendieran a los números, porque el concepto de número natural funciona exacta-mente del mismo modo, como acabamos de ver. Podríamos inclusive decir, parafra-

seando a Frege, que el concepto de número es un concepto de segundo grado. Desdela nueva perspectiva, los números no son otra cosa que las extensiones de los con-ceptos o, quizá mejor, retratos de extensiones de conceptos.

Lo anterior tiene importantes implicaciones para la metafísica. Russell, por ejemplo, se pregunta por el número de objetos que hay en el mundo, pero si lo que hemosdicho es correcto, preguntas así son simplemente absurdas. No tiene sentido decirque algo es un objeto o que esos objetos son dos. No hay tal cosa como el predicado"ser dos" y, naturalmente, lo que vale para el 2 vale para cualquier otro número. No puede, por lo tanto, ni afirmarse ni negarse que hay un número infinito de objetos.Afirmaciones así se derivan o bien de un simbolismo lógicamente defectuoso o biende una lectura defectuosa del simbolismo lógicamente correcto.

7 L. Wittgenstein, Tractatus, 4.112721. 8 Véase a este respecto el famoso ensayo de F. P. Ramsey, "The Foundations of Mathematics" en sulibro The Foundations of Mathematics (London: Routledge and Kegan Paul, 1931), pp. 210-12. Véasetambién Tractatus, 5.535.

62




A pesar de las apariencias en sentido opuesto, el proyecto logicista no estuvo deltodo bien pensado y eso es algo que puede verse si se examinan dos nociones cruciales,

a saber, la de cuantifícación y la de identidad. ¿Cómo explican Frege y Russell lacuantifícación, por ejemplo una expresión de la forma 'todos los hombres son morta-les' (( x)( Hx -> Mx))? La explicación que ofrecen es o defectuosa o circular: es de-fectuosa porque ellos tienen que explicar la generalidad como una conjunción o escircular porque si quieren evitar reducir la generalidad a una conjunción {Juanito esmortal & Teresita es mortal & ... & Pepito es mortal) tienen que reintroducir elconcepto "todos", diciendo que los seres humanos que nombraron son todos los quehay, lo cual hace ver que no están explicando nada. Así, pues, la noción logicista decuantificación, aunque operativamente muy útil, era una noción no aclarada y deutilización engañosa.9

El tema de la identidad obviamente representa otro formidable fracaso para loslogicistas. Frege y Russell asumen que la identidad es ineludible y que es imprescin-dible dar cuenta de ella. Para explicarla y para explicar su utilidad, Frege elaboró sufamosa doctrina del sentido y la referencia y Russell ofreció una definición que co-rresponde a la ley de Leibniz o coincide con ella. Ni el más optimista de sus seguido-res, sin embargo, podría decir que alguno de esos intentos fructificó. En el Tractatus,en cambio, Wittgenstein asestó un golpe mortal a la idea de la utilidad y del carácterimprescindible de la identidad lógica. Hay una sección en la que el núcleo de la críticaa la noción de identidad es transmitido con inusitada fuerza: "A grandes rasgos: decir

de dos cosas que son idénticas es un sinsentido y decir de una cosa que es idénticaa sí misma no es decir nada".10 No parece haber mucho que decir en contra de tancontundente dictum. El problema, claro está, es que sin la noción de identidad lossistemas de Frege y Russell ni siquiera arrancan. Por otra parte, hay que recordarque el enfoque wittgensteiniano no es meramente crítico: en el Tractatus se nosofrece una notación por medio de la cual se hace ver que el signo de identidad resultasimplemente redundante y, obviamente, todo signo redundante carece lógicamentede significado, es decir, no está en lugar de nada. Por lo tanto, el signo de identidad esredundante y la noción de identidad superflua.

Lo que he expuesto representa una reducida parte del mosaico de ideas que estáen el trasfondo de la filosofía de la aritmética y de la lógica del Tractatus y de lasObservaciones Filosóficas. Hay, desde luego, muchos otros temas que no he si-

9 Sobre la posición del Tractatus, véase mi trabajo "Lógica y Representación" en mi libro Estudios sobrelas Filosofías de Wittgenstein (México: Plaza y Valdés, 2003). 10 L. Wittgenstein, Tractatus, 5.5303.

63




quiera mencionado y que habría que hacerlo si se quisiera dar cuenta de manerasistemática de todas las críticas de Wittgenstein a las filosofías de Russell y Frege, ya

que en algún sentido constituyen su plataforma, su punto de partida. Empero, nuncahabría sido ese un objetivo que me hubiera fijado para un trabajo de aspiracionesmodestas, como este. Para nuestros objetivos, me parece que contamos con sufi-cientes elementos para empezar a reconstruir diversos aspectos de la faceta positivade la labor de esclarecimiento realizada por Wittgenstein en relación con los númerosy las proposiciones de la aritmética. Eso es de lo que ahora pasaré a ocuparme.

III) Lenguaje, Números y Aritmética

Algo que resulta fascinante del pensamiento de Wittgenstein es su evolución, esto es,la cadena de ideas que él va con gran esfuerzo engarzando, las transiciones por lasque pasa y los variados argumentos que va construyendo y que lo llevan de una posición, en general muy atractiva y sólidamente establecida, a otra que está todavíamejor labrada. En el caso de la reflexión sobre los números y la aritmética, se puededetectar con relativa facilidad tanto continuidad como cambio entre el Tractatus y lasObservaciones. Dicho de manera cruda, en las Observaciones Wittgenstein siguesosteniendo que los números son esquemas preposicionales y, desde luego, que las proposiciones aritméticas son ecuaciones, pero deja de jugar el papel fundamental

que desempeñaba en el Tractatus la idea de operación, la cual era esencial para eltratamiento de los números en aquel primer gran libro. De manera general, piensoque la concatenación de ideas en las Observaciones es más fácil de seguir, mástransparente que en el Tractatus, en donde realmente alcanzan el grado máximo decompresión.

Me parece que el punto de partida de Wittgenstein en ambas obras es, primero, laintuición de que toda concepción que desligue lógicamente el lenguaje de los númerosdel lenguaje natural será errada y, segundo, que toda teoría que pretenda dar cuenta delas "entidades" matemáticas al margen por completo de su potencial utilización (en ellenguaje natural o en teorías empíricas) está destinada a fracasar. No estará de másnotar, asimismo, que muchas (no todas) de las cosas que Wittgenstein sostiene respectoa las proposiciones de la lógica valen por igual para las "proposiciones" de la aritmética,y de las matemáticas en general. De ahí que cualquier teoría (verbigracia, la de Frege)que dote a las proposiciones de la aritmética de un contenido tienen que ser falsas. 11

"Cü.Ibid., 6.111.

64




Por lo que uno de los peores errores que se puede cometer sea equiparar a las"proposiciones" aritméticas con proposiciones factuales, pretender ponerlas al mis-

mo nivel, como si la única diferencia entre ellas fueran sus respectivos grados deabstracción. Contrariamente a lo que han sostenido filósofos como Mili o Quine, todaconcepción sana de la aritmética tiene que empezar por reconocer que sus "proposi-ciones" tienen un status especial.12 De hecho, ni siquiera son proposiciones sino,como veremos, ecuaciones, aunque por diversas causas se les dé un trato proposicional.O sea, en contra de la superficial uniformización promovida por la lógica matemática,debemos a toda costa mantener la separación categorial entre proposiciones y expre-siones matemáticas. Lo que de manera artificial las unifica es el trato indiscriminadode ambas en términos de argumentos y funciones. Por ejemplo, lo mismo podemosdecir lFx' que 'x + 3 = 8' y parecería que en ambos casos la variable cumple la

misma función. Pero es precisamente esa semejanza aparente lo que nos oculta laesencial diferencia que hay entre esas expresiones. En el primer caso, la variableindica que si en su lugar se coloca un nombre lo que tenemos es un retrato; en elsegundo que si se le remplaza por un número, lo que obtenemos es una regla desustitución de signos. De hecho, al igual que las proposiciones de la lógica y adiferencia de las proposiciones genuinas, las de la aritmética no requieren de ningunaclase de confrontación con la experiencia. Por decirlo de alguna manera, su "verdad"es a prior i.13 Pero entonces es absurdo hacerlas pasar por proposiciones genuinascuando lo único que induce a hacerlo es un simbolismo de fácil pero engañosa utiliza-

ción. Para entender esto debidamente, quizá debamos hacer algunos recordatoriosconcernientes a las proposiciones de la aritmética y al lenguaje en general. Para empezar, recordemos velozmente un par de ideas prominentes de Wittgens-

tein concernientes al lenguaje y a la lógica. Tenemos que distinguir entre signos proposicionales (oraciones), proposiciones y pensamientos. Todo signo proposicionalconstruido con base en las directivas de la Teoría Pictórica es un retrato de un hecho posible. Los retratos son correctos o incorrectos. Una clase particular de retratos sonlas proposiciones. Éstas son retratos lingüísticos de hecho usados por los hablantes.O sea, es cuando yo pienso un retrato (uso una oración) que surge una proposición, puesto que ésta es el retrato "en su relación proyectiva con el mundo".14 El pensa-miento es un retrato de naturaleza psíquica que mantiene con los objetos del hechorepresentado la misma relación que se da entre los elementos de la oración, que es

' 2 Cñ. Ibid, 6.112.13 Cfr. lbid, 6.113.l4Cñ.Ibid,3A2.

65




una "entidad" lingüística, y los del hecho retratado. Con esto en mente, preguntémo-nos ahora: ¿cómo se vinculan números y proposiciones?

Quizá podríamos replantear la pregunta de este otro modo: ¿quién podría teneralgún interés en los números en o por sí mismos? Como bien lo implica Wittgensteinen el Tractatus, nadie: "En la vida no es nunca una proposición matemática lo quenecesitamos. Más bien, empleamos proposiciones matemáticas únicamente para in-ferir de proposiciones que no pertenecen a las matemáticas otras que, de igual modo,tampoco pertenecen a las matemáticas".15 Por lo pronto, podemos inferir que ellenguaje de los números tiene algo importante que ver con lo que podríamos llamarlas 'proposiciones naturales': entran para lo que es la representación lingüística de loshechos y exhiben la forma lógica de las proposiciones. Ahora bien, hay que observaren relación con los números que tanto se usan en la vida cotidiana (en donde se

aplican) como se trabaja con ellos en matemáticas, sin considerar en lo más mínimosu potencial aplicación. Por lo tanto, se requieren explicaciones de dos clases dife-rentes: necesitamos saber, primero, cómo se incorporan los números al lenguaje natu-ral y, segundo, qué son los números en tanto que elementos de los sistemas numéricos.

Algo de las aclaraciones anteriores tal vez nos ayude a entender lo que son lasadscripciones numéricas, esto es, las atribuciones de números a las cosas ('hay 5 perros en el jardín', 'compré dos botellas de vino', etc.). El reto en este caso escomprender y describir cómo entran los números en la representación lingüística y loque vemos es que el modo como contribuyen a la significación de las proposiciones

es contribuyendo a conformar su forma lógica. La ventaja de esto es que es sólocuando se conoce la forma lógica de una proposición que realmente se le comprendey, por ende, que se sabe bajo qué circunstancias es verdadera o falsa o qué inferir a partir de ella. Esto ayuda a entender que pretender equiparar las proposiciones dellenguaje natural (mediante las cuales hablamos de objetos) con las "proposiciones"aritméticas (que tienen que ver más bien con la forma lógica de las proposiciones) no puede ser más que un error total. Podría intentar objetarse lo siguiente: en las Obser-vaciones lo que se nos dice es que "Los números son retratos de extensiones deconceptos",16 en tanto que en el Tractatus Wittgenstein había sostenido más bien que"Un número es el exponente de una operación".17 Luego es falso que haya sostenido

lo mismo en ambas obras. La respuesta a esta objeción consiste en señalar y enhacer ver que en realidad las dos caracterizaciones son prácticamente equivalentes.

15 Cfr.,X ibid, 6.211 16 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 100, p. 114. 17 L. Wittgenstein, Tractatus, 6.021.

66




Esto es algo de lo que, según pienso, podemos quedar convencidos. Veamos rápida-mente cómo.

Lo primero que tenemos que hacer es descartar lo que podría ser una acusaciónde circularidad: al hablar de exponente Wittgenstein no está empleando ninguna no-ción numérica. Un exponente es simplemente un indicador, un factor. Así, pues, unnúmero no es más que el indicador de una operación. Wittgenstein lo representamediante el signo '". Las operaciones se pueden efectuar sobre proposiciones osobre términos. En ambos casos lo que tenemos son procedimientos reiterativos. Nose pueden, sin embargo, efectuar sobre funciones. Por ejemplo, si tengo p, puedotener (p & p), ((p &p) & p), (((p & p) & p) & p) y seguir aplicando la "operación""&" tantas veces como quiera; o bien se puede, mediante la aplicación de la relación"sucesor" que vale para un término, generar lo que Wittgenstein denomina una 'serieformal'. Tendremos entonces el primer término a, el sucesor de a, el sucesor delsucesor de a, el sucesor del sucesor del sucesor de a, y así ad infinitum. Pero lo queno se puede tener es, partiendo de la función J(a), expresiones como (f(f(a))), (f(f(/"(a)))), etc. Expresiones así carecen por completo de sentido y la razón es simple:no se puede simultáneamente ser función y argumento: "Una función no puede ser su propio argumento, puesto que el signo de función contiene ya el prototipo de su propioargumento y no puede contenerse a sí misma".18 Esto último no es un mero capricho: deno aceptarlo se crean enredos y ambigüedades innecesarios e intolerables: "Si, porejemplo, suponemos que la función F (fa) pudiera ser su propio argumento, entonces

'F(F(/3f))' sería también una proposición y en esta proposición la función externa F yla función interna F tendrían diferentes referencias, pues la interna tiene la forma 9(fa), en tanto que la externa sería de la forma \|/(cp (fa)). Lo único en común quetienen ambas funciones es la letra 'F', que por sí misma no designa nada".19 Así, pues, es de primera importancia no confundir funciones con operaciones. De hecho,el no haberlas distinguido es lo que está en la raíz de las paradojas.

Es obvio que el sistema numérico es una serie formal, en el sentido de que dado

un término, digamos el 1, por medio de la relación "sucesor de" podemos generar elsiguiente, y luego el siguiente, y así al infinito. Esto es crucial por una razón: hace verque Wittgenstein asume que el concepto de número se introduce directamente, no por medio de definiciones, y luego lo que se construye al generar una serie formal esel sistema de números naturales mismo. El concepto de número es un concepto pri-mitivo: se introduce, se expande y se aplica. Las definiciones en este caso son ente-

18 Ibid., 3.333 (a) 19 Ibid., 3.333 (b).

67




significado?' sería jugarle una mala pasada, puesto que sería hacerle una preguntaque nunca responde. Pero dejando de lado este detalle, podemos cuestionar lo que

afirma. El cuadro que nos pinta es básicamente el siguiente: como si fueran salchi-chas y jamones que cuelgan en una carnicería, hay ciertas cosas abstractas que sellaman 'longitudes', siendo una de ellas la de un metro, a las que, por así decirlo, pescamos mediante descripciones que son contingentemente verdaderas de ellas.Podemos referirnos de manera "pura" a un cierto objeto así con total independenciade sus cualidades contingentes. Así, pescamos la longitud metro mediante la descrip-ción 'la longitud de la barra Af , la que por un afortunado azar coincide con ella. Osea, en la historieta kripkeana es como si nosotros hubiéramos de antemano o desdesiempre sabido que lo que queríamos era esa longitud en particular, a la que sinembargo todavía nunca antes habíamos visto instanciada (en barras, cintas métricas,

rayos láser, etc.). Kripke mismo se ve forzado a reconocer que eso es casi absurdo, pero tiene que abstenerse de extraer la conclusión obvia: "Para una cosa abstractacomo una unidad de longitud, la noción de referencia puede no ser clara. Pero supon-gamos que es suficientemente clara para los propósitos presentes".20 Ahora bien, para nuestros propósitos, lo importante es entender que lo que Kripke dice chocadirectamente con lo que Wittgenstein sostiene. Lo que éste afirma es que no tienesentido adscribir números (como lo es 1 metro) con total independencia de propieda-des de objetos, en tanto que Kripke asevera exactamente lo contrario: hay entidadesnuméricas (longitudes) que se pueden adscribir con independencia total de cualquier

cualidad o relación que puedan tener los objetos. Podemos entonces hablar de "unmetro" independientemente de todas las barras de un metro que haya en el universoy de las mediciones concretas que se hayan hecho. Eso es francamente absurdo y la posición esbozada por Wittgenstein y que aquí delineamos deja en claro por qué.

Como he tratado de hacer ver, en la caracterización tractariana el concepto deoperación es fundamental. Pero ¿por qué? En primer lugar, porque es lo que permiteentender la idea de serie formal, propia de un sistema de los números naturales, pero,en segundo lugar y más relevante para nosotros, porque la idea de serie formal es loque nos garantiza que el sistema tendrá las propiedades deseadas, que no habráhuecos entre sus elementos, que sus secuencias serán sistemáticas, no azarosas ocaóticas. Para dar un ejemplo: no pasaremos abruptamente del 2 al 5, sino del 2 al 3,del 3 al 4 y del 4 al 5. El sistema numérico resulta de una operación recursiva y seríaésta, al generar una serie formal, la garantía de que estará bien construido.

20 S. Kripke, "Naming and Necessity" en Semantics of Natural Language. Editado por D. Davidson yG. Harman (Dordrecht/Boston: Reidel Publishing Company, 1972), p. 274.

69




Es en relación con este punto justificatorio que con la perspectiva de las Observa-ciones se va a marcar un cambio frente a la caracterización ofrecida en el Tractatus.

La diferencia emerge del hecho de que a partir de 1929 Wittgenstein empezará aapreciar y a enfatizar cada vez más el aspecto práctico e instrumental del lenguaje.Desde la nueva perspectiva, lo que importa es la aplicabilidad de la aritmética y esaaplicabilidad aparece automáticamente con ella. No necesita ninguna clase de justifi-cación externa. "Uno siempre tiene una cierta reticencia a darle a la aritmética unafundamentación diciendo algo acerca de su aplicación. La aritmética parece estarfundada en sí misma con suficiente solidez. Y ello, desde luego, se deriva del hechode que es su propia aplicación".21 Pero se sigue de eso que el proyecto mismo defundar la aritmética en una idea como la de operación era insuficiente y estaba desorien-tado. "Por otra parte, una introducción nebulosa del concepto de número mediante la

forma general de la operación —tal como yo lo hice— no puede ser lo que se necesi-ta".22 La noción de praxis empezaba a hacerse sentir con fuerza en el pensamientode Wittgenstein y vino a desplazar a la idea de un desarrollo inmanente o interno de lossistemas formales, independiente por completo de las prácticas humanas.

Respecto al status de las proposiciones aritméticas (y en general de las matemáticas),la posición de Wittgenstein siguió siendo la misma: en aritmética lo que encontramos sonecuaciones, no proposiciones. Las matemáticas no expresan pensamientos, no aludena ningún estado de cosas, real o imaginario. En relación con la aritmética y losenteros naturales, él expresa en las Observaciones básicamente lo mismo: "La

aritmética es la gramática de los números".23

La aritmética no "versa" sobre nada:"La aritmética no habla acerca de números, sino que trabaja con números".24 Losnúmeros, como ya vimos, son esquemas formales, esto es, estructuras preposicionales,no nombres de nada. Pero aquí hay un punto que es interesante recalcar y rescatar.Se le podría objetar a Wittgenstein que su posición es incoherente, puesto que por unalado rechaza la noción lógica de identidad ('=') y por la otra la acepta en las ecuaciones('2 + 3 = 5'). Pero esta objeción es totalmente fallida. Estamos frente a un típico casode ambigüedad, una imperfección más de nuestro lenguaje: el signo '=' es el mismo, pero la noción lógica de identidad no es la noción aritmética de igualdad. La primera('a = a') prácticamente no sirve para absolutamente nada, en tanto que la segunda('2 + 3 = 5') indica que las expresiones a sus costados son intercambiables y eso

21 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 109, p. 120.12 Ibid., sec. 109, p. 121. 23 Ibid, sec. 108, p. 120. 24 Ibid., sec. 109, p. 120.

70




tiene efectos prácticos interesantes. Recurrir a la noción lógica de identidad es per-der el tiempo, puesto que para que podamos decir algo como 'Napoleón es idéntico a

Napoleón' o 'Napoleón es idéntico a Bonaparte' (empleando 'Napoleón' y 'Bonaparte'como nombres, en el sentido del Tractatus), tengo que saber previamente qué objetosdenotan 'Napoleón' y 'Bonaparte'. "La identidad de referencia de dos expresionesno se puede aseverar, ya que para poder afirmar algo sobre su referencia tengo queconocer la referencia y si conozco la referencia entonces sé si las expresiones signi-fican lo mismo o algo diferente".25 En cambio, es una propiedad de los números que2 + 3 = 5, 2 + 3 = 4 + 1,2 + 3 = 1 + 1 +1 +1 +1,2 + 3 = 9 - 4, y así indefinidamente.El método en matemáticas es el de sustitución: es por medio de reemplazos como elsistema se desarrolla. Ahora bien ¿cómo crece el sistema? El cálculo mismo nos lova indicando, puesto que "Las matemáticas son un método de la lógica".26 En las

Observaciones, Wittgenstein defiende la misma idea, sólo que la expone de maneradiferente, ya que su terminología empieza también a ser diferente. "Ninguna investi-gación de conceptos, sino sólo la intuición directa [en el cálculo de números], puededecirnos que 3 + 2 = 5".27 En esto hay también una gran coincidencia con el Tractatus,en donde Wittgenstein había firmado que "A la cuestión de si se necesita la intuición para resolver los problemas de las matemáticas se tiene que responder que en estecaso el lenguaje mismo suministra la intuición necesaria".28 En este punto, Kant re-sulta ser un pensador más afín a Wittgenstein que filósofos contemporáneos a él,como Frege y Carnap.

IV) Consideraciones Finales

Me inclino a pensar que en general se comete un error cuando se afirma que hay unWittgenstein joven, que es el del Tractatus, y uno de madurez, que es el que inicia sulabor en 1929 (dejando de lado las sutilezas concernientes a un Wittgenstein interme-dio e inclusive a un último, cuarto Wittgenstein). Esa clasificación me parece equivo-cada. El corte histórico no necesariamente coincide con el filosófico. Yo creo más

bien que el verdadero corte en la producción filosófica de Wittgenstein se da cuandoél plantea y desarrolla la cuestión de lo que es seguir una regla. A partir de allí su

25 L. Wittgenstein, Tractatus, 6.2322. 26 Ibid., 6.234. 27 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 107, p. 119. 28 L. Wittgenstein, Tractatus, 6.233.

71




pensamiento se orienta en una dirección completamente nueva. Hasta antes de esemomento, lo que Wittgenstein hace es pulir, perfeccionar las intuiciones del Tractatus.

La labor de destrucción de mitos filosóficos, por ejemplo, es la misma en ambos períodos. En relación con las obras de las que aquí me ocupé hay desde luego cambios, pero éstos tienen que ver con matices y con los que de manera natural acarreaun cambio terminológico importante. Se refuerza, por ejemplo, la idea de cálculo ycon ella la idea de reglas, pero la idea de "método lógico" ya estaba en el Tractatus.La idea de las "verdades" matemáticas como meras ecuaciones, que en el primerlibro había quedado un tanto en la oscuridad ("Una ecuación tan sólo caracteriza el punto de vista desde el cual considero a ambas expresiones, a saber, el punto de vista desu identidad referencial")29 se perfila ahora con mucha mayor nitidez: "Una ecuación",se nos dice, "es una regla sintáctica".30 Esto es mucho más claro y también, filosófi-

camente, mucho más aprovechable. Se abandona también y definitivamente, graciasa la idea de cálculo como algo que sólo existe en el espacio y en el tiempo, 31 todaforma de apriorismo, la idea misma de la lógica (y de las matemáticas) como el granespejo de la realidad. Aunque presente en el Tractatus, la idea de demostraciónadquiere de pronto una gran relevancia para explicar el sentido de una "proposiciónmatemática" (un inevitable "misnomer"). Asimismo, vale la pena enfatizar que, adiferencia de lo que estaba meramente implícito en el Tractatus, en las Observacio-nes Wittgenstein se aboca a dar cuenta de otras clases de "entidades matemáticas"aparte de los números naturales, como los irracionales y los transfinitos, además de

que se ocupa también de otras ramas de las matemáticas, como la geometría. Peronada de ello es contradictorio con lo que se había sostenido en el Tractatus, sino quemás bien se trata de desarrollos de sus intuiciones primigenias. Podemos recurrir, para respaldar esto último, a la autoridad de Russell: "Hay algunos respectos en losque, tal me lo parece, la teoría del Sr. Wittgenstein necesita un mayor desarrollotécnico. Esto se aplica en particular a su teoría del número (6.02 y sigs.) la cual, asícomo está, es susceptible de dar cuenta únicamente de los números finitos. Ningunalógica puede considerarse adecuada hasta que se muestre que es susceptible de darcuenta de los números transfinitos. No pienso que haya nada en el sistema del Sr.Wittgenstein que haga imposible que llene este hueco".32 O sea, Russell, a diferencia

29 Ibid, 6.2323. 30 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 121, p. 133. 31 Cfr., Observaciones Filosóficas, sec. 108, p. 120. 32 B. Russell, "Introducción" a Tractatus Logico-Philosophicus. Traducido al inglés por D. Pears y B.F. McGuinness (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), p. xx.

72




de Ramsey, nunca pensó que la concepción wittgensteiniana del número estuvieraforzosamente confinada al mundo de la aritmética. Si Wittgenstein no había dicho

nada en relación con otras clases de números ello fue sencillamente porque pensabaque la expansión de sus ideas era obvia y que la labor realmente difícil ya había sidorealizada.

73



¿Qué es la Inferencia Matemática?

I) El Gran Mito Realista

omo en relación con cualquier otro caso de actividad o de disciplina humanas,las matemáticas nos presentan con el tradicional problema de tener que dis-tinguir entre la práctica y la comprensión de dicha práctica. Lo primero no

acarrea consigo de manera automática lo segundo. En este como en muchas otroscasos, parte del problema consiste en que si bien los matemáticos disponen de la

sólida plataforma del conocimiento matemático carecen del entrenamiento que per-mite dar cuenta de él, en tanto que los filósofos, si bien entrenados en el arte deordenar pensamientos y capacitados para en principio desarrollar dicha labor, care-cen a menudo de conocimientos sólidos en matemáticas, por la obvia razón de que engeneral no es matemáticas lo que estudiaron. Naturalmente, una situación así redun-da en demérito de la filosofía de las matemáticas. Es cierto que siempre ha habidoexcepciones a esto que parece una regla general. Pitágoras, Platón, Leibniz, Frege,Husserl, Russell, Quine (por no citar más que a unos cuantos) son buenos ejemplosde feliz síntesis de matemáticas con filosofía, pero es evidente que los filósofos mate-máticos grandes son más bien escasos. Parecería que lo problemático de la situaciónconsiste no sólo en que dar cuenta de manera filosóficamente convincente de lasmatemáticas exige formarse simultáneamente en dos áreas completamente diferen-tes, sino también que requiere fundir en una sola dos mentalidades radicalmente dis-tintas. Wittgenstein, se sabe, tenía una muy pobre opinión de los matemáticos filósofos:"En filosofía no se puede interrumpir una enfermedad de pensamiento. Debe éstaseguir su curso natural y la curación lenta es lo más importante. (Es por eso que losmatemáticos son tan malos filósofos)."1 No debería, pues, sorprendernos que fueran

1 L. Wittgenstein, Zettel (Oxford: Basil Blackwell, 1967), sec. 382.

C



I NFERENCIA MATEMÁTICA

los mismos matemáticos en sus momentos filosóficos quienes, en su afán de aclara-ción de la naturaleza de su disciplina (sobre qué versa, cómo está constituida, en qué

se funda, cómo se opera en ella, etc.), hubieran echado a rodar la multitud de mitosfilosóficos en los que ahora está hundida la reflexión sobre las matemáticas. KurtGódel, podría argumentarse, es un buen ejemplo de ello. Es justamente en contra deideas como la de que hay profundos problemas ontológicos en matemáticas, que losmatemáticos son exploradores de un universo infinito de entidades abstractas, quehay hechos matemáticos, los cuales se caracterizan por determinados rasgos o propiedades, etc., que se sublevó Wittgenstein. En este ensayo me ocuparé de una por-ción mínima del inmenso terreno abarcado por su pensamiento, es decir, presentaréexclusivamente algunas de sus ideas en relación con lo que son la inferencia y laexperiencia matemáticas. Ahora bien, para estar en mejor posición de apreciar y

evaluar la posición que Wittgenstein se fue labrando habremos primero de presentar,aunque sea en sus grandes lineamientos, los mitos de filosofía de las matemáticas quequedan englobados bajo el rubro general de "realismo". Es sólo una vez desglosadaslas creencias fundamentales de la interpretación realista de las matemáticas que podremos abocarnos a reconstruir y exponer los puntos de vista de Wittgenstein enrelación con nuestro tema.

'Realismo' en filosofía de las matemáticas apunta a un conglomerado de tesis delas cuales sus partidarios enfatizan las que más les convengan según sus necesidadesdel momento. La lista de ellas que a continuación presento, y que ni mucho menos

pretende ser exhaustiva, se conforma sin embargo de tesis que parecerían ser esen-ciales al realismo. Podemos agruparlas en dos grandes bloques, uno concerniente a lanaturaleza de las proposiciones matemáticas y otro referente más bien a cuestionesde orden epistemológico. Así, tenemos que para el realista común las proposicionesmatemáticas:

a) son verdaderas o falsas en exactamente el mismo sentido en que pueden serlolas del lenguaje común, las de historia o las de cualquier ciencia natural, e.g., lafísica o la biología

b) vale para ellas el Principio del Tercero Excluido de manera irrestrictac) son verdaderas en virtud de algo externo a ellasd) describen rasgos necesarios de la realidade) versan sobre objetos abstractos (puntos, números, espacios, etc.), tan reales

como los osos o las radiacionesf) son apriori y verdaderas (o falsas) en todo mundo posible, es decir, son nece

sariamente verdaderas. (La determinación de si son analíticas o no es otro

76




debate, aunque a primera vista al menos lo más congruente para el realistasería defender la idea de que no lo son).

Por otra parte, podemos decir del matemático que:

g) es ante todo un explorador de un universo particular y un descubridor de he-chos de ese mundo. El matemático identifica y reconoce conexiones objetivas,totalmente independientes de su voluntad, gusto, etc.

h) Su enunciación de verdades (matemáticas) presupone la realidad y el funcio-namiento de facultades cognitivas especiales (i.e., no sensoriales).

Es probable que un realista ambicioso y congruente defendiera todas las tesis

mencionadas, pero es claro que diversos pensadores de esta tendencia han optadomás bien por enfatizar una u otra en función, como dije, de los problemas que en elmomento de su reflexión estén enfrentando. M. Dummett, por ejemplo, ha insistidoen la importancia de (b), en tanto que filósofos matemáticos como H. Poincaré omatemáticos como G. H. Hardy han resaltado más bien (g) y (h). Por su parte, Platóny Frege subrayan más bien (c), (d) y (e). Como puede apreciarse, hay de todo, peroen todo caso una cosa es clara: son todas estas tesis (entre muchas otras) que Witt-genstein va a someter a una devastadora crítica. Antes de reconstruir sus argumen-tos, sin embargo, será útil hacer una presentación un poco más precisa de la perspectiva

realista de los tópicos que aquí nos incumben, esto es, la inferencia y la experienciamatemáticas.

II) Realismo, Inferencia y Experiencia

Es relativamente claro que lo que los realistas tienen que decir en torno a la inferen-cia matemática es ante todo el resultado de una interpretación, o por lo menos lógica-mente parte de ella. Dicha interpretación se funda básicamente en un paralelismo o

analogía, bastante poco sofisticado dicho sea de paso. La idea motriz parece ser la deque así como hay experiencia sensorial hay también lo que podría llamarse 'experien-cia matemática', esto es, una experiencia puramente intelectual, y al igual que hayórganos para las experiencias sensoriales la experiencia matemática también tendríasu órgano, viz., la mente. Ahora bien, una diferencia importante entre estas dos cla-ses de experiencias es que en el caso de las sensoriales sólo podemos establecerconexiones probables, en tanto que en el de las experiencias matemáticas las co-

77




nexiones que establecemos son necesarias. El matemático "ve" (con el "ojo de lamente") que ciertas conexiones (entre números, por ejemplo) se dan y que ciertas

proposiciones "se siguen" objetivamente de otras. Esto puede ilustrarse de manerasencilla por medio de teorías como las de geometría o de teorías axiomatizadas denúmeros: partiendo de ciertos supuestos o axiomas o hipótesis se deducen teoremas,esto es, consecuencias lógicas de ellos por medio de reglas de razonamiento que seasume que son objetivamente válidas. En otros casos, lo que se tiene son ciertasfórmulas (e.g., para resolver ecuaciones de diverso grado) y el matemático "ve"cómo la fórmula en cuestión nos permite resolver la ecuación de que se trate. Asívistas las cosas, queda relativamente claro que lo que se debe hacer, si lo que sequiere es razonar correctamente, es usar o aplicar las fórmulas tal como a todasluces ellas mismas nos indican cómo hacerlo. O sea, de acuerdo con el realista no

hay más que una manera de leerlas. Es por eso que se dice que, cuando efectiva-mente se les aprehende, el resultado ya estaba "predeterminado". No hay más queuna forma objetivamente correcta de aplicar las fórmulas y, en general, de extraerconclusiones. O sea, no es que una vez alcanzado un cierto resultado éste se vuelvadefinitivo, sino que ya lo era desde antes de ser descubierto. Puede, pues, decirseque, en la medida en que para establecerlas no fue necesario recurrir a la experienciasensorial sino sólo a una puramente intelectual, las proposiciones matemáticas son nosólo necesarias sino a priori. Inferir es precisamente el proceso mental de descubri-miento o de reconocimiento de conexiones abstractas objetivas.

El cuadro realista global es, como puede apreciarse, complejo y rico en insinuacio-nes, sugerencias e implicaciones. Ahora bien, en la primera parte de sus Observa-ciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas Wittgenstein se enfrenta a élcon el claro propósito de desmantelarlo. Concentrándonos exclusivamente en la cues-tión de la inferencia lógica, es de dicho esfuerzo que ahora pasaré a ocuparme.

III) La Naturaleza de la Inferencia Matemática

Como era de esperarse, la inmensa labor de aclaración desarrollada por Wittgensteinen el área de la filosofía de las matemáticas tenía que incluir un capítulo dedicado a lainferencia matemática. Todo mundo entiende, por otra parte, que ni el peculiar estilode Wittgenstein ni su muy especial forma de abordar y lidiar con los enredos de pensamiento permitirían presentar sus logros a la manera de un sistema deductivo. Alreconstruir el pensamiento de Wittgenstein inevitablemente lo mutilamos. Wittgens-tein va abordando de manera libre las dificultades que su tratamiento del tema demanera natural le va planteando y es sólo poco a poco que se entiende cómo a través

78




de su disquisición se va tejiendo una nueva concepción del asunto. Así, pues, más queintentar sistematizar sus resultados lo que conviene es entender su enfoque y su

método de trabajo. A este respecto, lo primero que tenemos que recordar es que la aclaración filosó-fica no es ella misma un cálculo más. O sea, las dificultades de comprensión que plantean las transiciones matemáticas no son un asunto más de números y no sonquienes las efectúan los más apropiados para dar cuenta de ellas. Lo que tenemosque examinar es lo que los matemáticos dicen acerca de su propio trabajo. Ahora bien, eso que ellos dicen y que es nuestro material de trabajo, es decir, las descripcio-nes que ellos ofrecen de lo que hacen, forzosamente lo enuncian en el lenguaje natu-ral, esto es, por medio de expresiones que son del dominio público. Son, pues, losconceptos por así llamarlos 'naturales' lo que primeramente debemos examinar. De

seguro que los egipcios o los aztecas razonaban, por más que no dispusieran de cál-culos lógicos. "Y ¿en qué consiste la actividad especial de inferir? - Es por ello quees necesario que examinemos cómo efectuamos inferencias en la praxis del lenguaje; qué clase de procedimiento en el juego de lenguaje es la inferencia".2 O sea, elconcepto de inferencia no es un concepto matemático o construido primeramente poro para los matemáticos, como lo es por ejemplo el de número irracional, sino unconcepto que emana del lenguaje natural y que los matemáticos se apropian paradescribir lo que hacen. Pero es precisamente a través de esa apropiación que secuela la interpretación errada y, por consiguiente, que se generan las incomprensiones

de las cuales no podemos después librarnos. Wittgenstein inicia su examen tratando de esclarecer lo que se quiere decir cuan-do se habla de "determinación" en el contexto de las matemáticas. Se dice, por ejemplo, que una fórmula "determina" un resultado, que ciertos axiomas y ciertas reglasde inferencia "determinan" los teoremas que se pueden obtener {Le., esos y no otrosson los que se siguen), etc. Pero ¿qué significa 'determinar' cuando se le emplea enmatemáticas? ¿Qué es la determinación (o la predeterminación) matemática? Lo primero que salta a la vista es que el uso de 'predeterminar' por parte de los matemá-ticos o de los filósofos de las matemáticas es, como era quizá de esperarse, un uso básicamente analógico. La prueba de ello es que no se le usa en el sentido literal oestricto en el que se usa en el discurso usual. En el sentido usual, decir que lo quealguien escribe está determinado, por ejemplo, por lo que otra persona dice o hace, podría querer decir, entre otras cosas, que la persona en cuestión:

2 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The M.I.T. Press,1975), Parte I, sec. 17, p. 8.

79




a) le da las respuestas al alumno pero en clave, de manera que éste tiene primeroque descifrar un texto para llegar a ellas

b)

escribe las respuestas en el papel sólo que de manera muy tenue de maneraque el otro tenga que fijarse y recalcar lo escritoc) le dicta (o, en general, le ordena) al alumno lo que tiene que escribird) lo fuerza a que escriba ciertos resultados (podemos imaginar a un dictador que

proporciona los resultados a los que quiere que sus científicos lleguen)3 e) lo amenaza de modo que el alumno u oyente escribe precisamente lo que la

otra persona quiere.

Eso y cosas parecidas es "determinar" algo para alguien. En todos esos casos,y otros que podríamos imaginar, tiene un sentido claro afirmar que los resultados ya

estaban predeterminados para el alumno: si el dictador ya sabía a qué resultados setenía que llegar, los resultados ya estaban predeterminados. El asunto es claro.Pero es también evidente que no es en ese sentido literal como en general se usa eltérmino 'predeterminar' en el contexto de las matemáticas. En el caso de las ope-raciones matemáticas lo que se hace es algo sutilmente parecido, pero de todosmodos diferente, a saber, se entrena a alguien para que aprenda a producir diversosresultados aplicando de cierto modo las reglas y fórmulas que se le proporcionan.Lo interesante y sorprendente es que, en general y en condiciones normales todosaplicamos las fórmulas o reglas de la misma manera. Por consiguiente, no es par-

ticularmente sorprendente que coincidamos en los resultados. Ahora bien, es esaconcordancia lo que nos lleva a afirmar que el resultado tenía ya que haber estadoallí, esperando, predeterminado. "Si, por lo tanto, nosotros determinamos estas tran-siciones en un sentido por completo diferente, a saber, sometiendo a nuestro alum-no a un entrenamiento como, e.g., el que reciben los niños con las tablas de multiplicary la multiplicación, de manera que todos aquellos que son así entrenados hacen delmismo modo multiplicaciones al azar (multiplicaciones que no se hayan hecho mien-tras eran entrenados) y con resultados en los que todos concuerdan (...), entoncesnos resultará natural usar lo siguiente como una imagen de la situación: los pasos yaestaban dados y simplemente los está escribiendo".4 Pero en lo que los realistas noreparan es en el hecho de que la aceptación de resultados es ante todo la expresiónde un entrenamiento colectivo exitoso previo para operar con signos de determinadamanera.

3 Véase ibid., Parte I, sec. 22, pp. 9-10. 4 L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 22, pp. 9-10.

80




más, decir eso no es todavía explicar nada: es simplemente emplear la forma canóni-ca de explicación en este contexto particular. Nosotros entenderemos por qué deci-

mos que el resultado estaba de antemano determinado cuando efectivamentecomprendamos lo que hacemos cuando inferimos, pero no simplemente porque ex- presemos nuestra creencia de que el resultado estaba ya allí aguardándonos, puestoque esto último es simplemente aplicar la imagen que se está cuestionando.

Describamos, pues, qué es lo que hacemos cuando inferimos algo. Consideremosuna prueba. En una prueba, lo que hacemos es "extraer" una conclusión a partir deciertas premisas.6 Una inferencia es más bien una transición, pero una transición noes un fenómeno inexplicable o esotérico. Lo que llamamos 'transición' no es mas queuna secuencia de proposiciones o de oraciones que tiene como característica el quedigamos que la última es la conclusión de las anteriores. "Una prueba -podría decires

un esquema, en uno de cuyos extremos están escritas ciertas proposiciones y en elotro una oración (a la que llamamos 'proposición demostrada')".7 En otras palabras,considerada neutralmente una prueba no es más que una secuencia o lista ordenadade expresiones (proposiciones o fórmulas). Una característica de una demostraciónes que en ella empleamos expresiones como 'y por lo tanto', 'se sigue que', etc., pormedio de las cuales vinculamos a la última proposición con las anteriores. La expre-sión 'y por lo tanto' indica un uso especial del esquema. Frases así son simplementela expresión de la aceptación del esquema completo, es decir, del todo formado por premisas y conclusión. Esto exige algunas aclaraciones.

Supóngase que lo que se quiere es resolver una ecuación de segundo grado. Serequiere utilizar una fórmula particular. Pero ¿cómo podría una secuencia de signos por sí sola forzar a alguien, a una persona, a hacer algo, esto es, a proceder de una uotra manera? O, mejor dicho: ¿cómo podría un esquema forzar a todo mundo a pro-ceder de tal o cual modo? El esquema por sí solo no dice nada, es decir, no indicacómo tiene que ser aplicado. Es el hecho de que concordemos en nuestro uso delsigno lo que constituye nuestro peculiar modo de empleo de dicha fórmula. O sea, loque nos enseñamos unos a otros es a usar dicho esquema de determinada manera yde esa manera solamente. Al hacerlo y al privilegiar una aplicación particular, exclui-mos o prohibimos todas las potenciales formas de utilización alternativas. De hecho,como Wittgenstein se esfuerza por hacernos entender, múltiples otras aplicaciones de

6 Obviamente, el verbo 'extraer' ya prejuzga el asunto: nos induce a pensar que algo ya estaba allí dealguna manera metido y que nuestra tarea consiste en sacarlo a la luz. Esto ya es una interpretación delo que hacemos, una interpretación que neutralizamos si entendemos lo que sucede. 7 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Parte I, sec. 28, p. 11.

82




uno y el mismo esquema son imaginables, inclusive en los casos más elementales, pero precisamente por ello los procedimientos ya establecidos nos parecerán incuestio-

nables, los objetivamente correctos. Los modos de aplicación de las fórmulas (reglas deinferencia, por ejemplo) que, por así decirlo, se hayan impuesto automáticamente nosimpiden contemplar seriamente cualesquiera otras posibilidades de aplicación, a lasque a partir de ese momento se nos hace ver como absurdas.

Por otra parte, es claro que nuestros modos de aplicación de las reglas, las fórmu-las, etc. (en otras palabras: nuestras matemáticas), tienen una justificación práctica, es decir, nos son objetivamente útiles, nos dan buenos resultados y, por lo tanto, notenemos por qué cuestionarlos. La justificación última de nuestras matemáticas no esuna "operación de la mente". La mente no es una garantía de nada en este caso. Más bien, las matemáticas se justifican por su carácter pragmático y en última instancia su

éxito se funda en hechos brutos de la naturaleza humana acerca de los cuales notiene el menor sentido preguntar nada. El hecho que hay que notar es que reacciona-mos en general de la misma manera. Wittgenstein expone el punto como sigue: "Pero,si tienes razón, ¿cómo es que todos los hombres (o por lo menos los hombres norma-les) aceptan estos esquemas como pruebas de estas proposiciones?' -Sí, hay aquíuna gran - e interesante - concordancia".8 Si para contar 2 + 2 no tendiéramos demanera espontánea a hacerlo como normalmente lo hacemos (recurriendo a los de-dos de las manos, por ejemplo), seguramente tendríamos una aritmética diferente pero también, muy probablemente, una menos beneficiosa o útil que la que tenemos.

En todo caso, sin nuestra nunca cuestionada concordancia en reacciones los juegosde lenguaje no se podrían siquiera gestar.9 Quizá no estaría de más preguntarnos: ¿cuál es la función de una prueba? ¿Por

qué o para qué tenemos pruebas y no nada más, e.g., experimentos? Una prueba es,como dijimos, un mecanismo que nos lleva de lo que denominamos 'premisas' a loque llamamos 'conclusión'. Un rasgo fundamental de una prueba es que nos permitedejar establecido de manera definitiva un resultado y, por eso, genera certeza. Setrata de una secuencia de oraciones mediante la cual imponemos como regla que noadmite excepciones una determinada proposición, a saber, la última y razonamos de

8 L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 35, p. 13. 9 El caso del juego de lenguaje de las sensaciones podría ayudamos a ilustrar el punto que Wittgensteinestá estableciendo. Es claro que si cada vez que a alguien le duele algo éste hiciera una mueca diferenteo reaccionara de diferente de modo y si todos reaccionaran de manera diferente de cómo lo hacen losdemás cuando les duele algo, el juego de lenguaje del dolor (y todo lo que entraña) no habría podidoconstruirse. El dolor de los demás sería irreconocible. Lo mismo acontece, mutatis mutandis, con los juegos de lenguaje de la aritmética, la geometría, la lógica, etc.

83




conformidad con ella. En este sentido, una prueba y su conclusión son claramentediferentes de un experimento y su resultado. El resultado de un experimento siempre

puede ser un evento inesperado, pero en matemáticas la sorpresa está excluida. Noquiero decir que no hay resultados extraordinarios en matemáticas. Lo que afirmo esque no se da el caso de que la mitad de la humanidad infiera algo y la otra mitad algodiferente. Es en este segundo sentido que en matemáticas no hay sorpresas. Noobstante, a pesar de ser drásticamente diferentes, no deja de ser curioso que la ideamisma de inferencia esté formada a imagen y semejanza de la idea de experimento y,así, que se le asocie a ideas como las de exploración, aventura y descubrimiento.Pero en contraste con las proposiciones de las ciencias empíricas, lo interesante delas reglas matemáticas es justamente su peculiar status, el cual consiste en que unavez establecidas la posibilidad de su modificación quedó cancelada. A diferencia de loque acontece con los experimentos, la experiencia futura no puede afectarla. Larazón de ello es que se trata precisamente de reglas que sirven para medir la expe-riencia (pasada, presente y futura). El hecho de que las reglas matemáticas seaninmodificables no es un misterio ni se explica por medio de alambicadas especulacio-nes, sino que simplemente significa que nosotros nos forzamos a nosotros mismos arazonar de conformidad con ellas, esto es, a ajustamos a ellas. Pero esto último nosignifica ni implica que la regla misma sea lo que se nos impone. Un signo o una reglano tiene fuerza para obligarnos a deducir tal o cual cosa, para extraer tal o cualconclusión o resultado, entre otras razones porque todo signo puede en principio ser

interpretado de un sinfín de formas. Wittgenstein nos recuerda esta posibilidad me-diante una pregunta retórica: "¿Acaso no puede derivarse todo de algo por medio dealguna regla, o inclusive de acuerdo con una regla, con la interpretación apropia-da?".10 Por lo tanto, si los signos adquieren el status de "verdades necesarias" ello sedeberá a que nosotros, los usuarios de dichos signos, les conferimos tal rango. Comodice Wittgenstein, somos nosotros los inexorables.

Puede verse que aquí ya están constituidos y operan diversos conceptos sin loscuales no podríamos dar cuenta de los fenómenos de inferencia matemática. El con-cepto de inferencia, por ejemplo, acarrea consigo al de "seguirse de". En realidad, setrata de una misma idea presentada desde dos perspectivas diferentes, viz., la de loshablante y la de los signos. Por una lado decimos que nosotros inferimos algo, dandoa entender que efectuamos una actividad peculiar de descubrimiento de conexiones yresultados; por la otra, decimos que una proposición o un resultado se siguen deciertas premisas, insinuando que la relación entre premisas y conclusión ya estaba allí

10 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Parte I, sec. 7, p. 5.

84




y que lo único que requerían era su verbalización. El problema es que la forma mismade expresarnos nos induce a malinterpretar lo que hacemos y, por ende, a entender

mal o no comprender la situación: no es porque A se sigue de B que decimos que podemos inferir B de A, sino que es porque como cuestión de hecho inferimos BdeAque podemos decir que A se sigue de B. Como bien señala Wittgenstein, el verbo'seguirse de' es equívoco, puesto que sugiere que algo se da independientemente deque nosotros así lo consideremos, pensemos, creamos, etc. Pero en lo que no serepara es en el hecho de que lo importante de decir (y aceptar) que A se sigue de Bes que se aceptó una regla, a la cual a partir de ese momento nos atenemos. Lainterpretación equivocada es la que hace del verbo una descripción de un supuestohecho lógico, cuando en realidad no es más que la indicación de la aceptación de algo por parte de los usuarios del simbolismo.

Lo anterior nos permite aclarar otro rasgo fundamental de las transiciones mate-máticas, a saber, su necesidad. Wittgenstein ciertamente comparte el punto de vistatradicional de que las "proposiciones" matemáticas son necesarias. O sea, él no cues-tiona, como dice, "La dureza del debe lógico".11 El adversario del carácter necesariode las matemáticas (tanto de proposiciones como de inferencias) es el empirista decorte milliano o quineiano. Ahora bien, aunque en su discusión Wittgenstein rechaza-rá la muy contra-intuitiva posición empirista, su inconformidad se centra más bien enlas explicaciones que se dan de la necesidad de los resultados matemáticos. En rela-ción con esto último el enemigo es ante todo, una vez más, el realista. Ahora bien, puede

verse que una vez desarticulado el cuadro realista (i.e., su idea de que investigar enmatemáticas es como realizar una exploración, que un cálculo matemático es como unexperimento, que el matemático percibe conexiones especiales, etc.), su posición setorna realmente débil y el camino queda entonces libre para generar las aclaracionesalternativas. Así, Wittgenstein hace ver que la obtención de un resultado en matemá-ticas equivale al establecimiento de una regla que, por razones que ya se adujeron, esinmodificable o inalterable. Esta nueva regla se incrusta en el sistema ya establecidoy paulatinamente construido de resultados matemáticos fijos. Para referirse a estosresultados Wittgenstein habla de "paradigmas". Un paradigma es un patrón rígido eindependiente ya por completo de la experiencia (a la que regula) y, en ese sentido, esdecir, por no ser algo meramente probable, sujeto a nuevas corroboraciones, etc., puede decirse de él que establece una nueva conexión necesaria y, por lo tanto,esencial. Al establecer que 2 + 2 = 4, el matemático fija una conexión entre numera-les que ya nada va a alterar. Presentado esto de manera mitológica, podría decirse

11 Ibid., Parte I, sea 121, p. 37.

85




que el matemático enuncia relaciones necesarias entre el objeto 2 y el objeto 4.Wittgenstein prefiere decir más bien que "El matemático crea esencia"}2

Esto último puede resultar un pensamiento demasiado provocativo como para tran-quilamente dejarlo pasar sin elevar ninguna objeción. Una réplica a este resultado deWittgenstein que de inmediato se le podría ocurrir a un realista consistiría en señalarque cuando nos las vemos con propiedades esenciales de objetos (en este caso, supuestamente, de números) lo único que no podemos hacer es hablar de "creación" por parte de nosotros. Esencialmente, las cosas son lo que son o mantienen entre sílas relaciones que mantienen, independientemente de nosotros (de que las perciba-mos, conozcamos, aprehendamos, etc.). Los matemáticos pueden descubrir esen-cias, mas no crearlas. Esta estrategia, sin embargo, equivale a recurrir a una línea deargumentación que ya fue descartada y lo que ello pone de manifiesto es la incapaci-dad del realista para explicar, al margen de sus mitos, el carácter necesario de las proposiciones matemáticas. Wittgenstein, en cambio, descubre aquí una veta de valorfilosófico incalculable: lo necesario emerge no de descripciones, sino de convencio-nes. Hablar de esencias es hablar de marcas conceptuales. "También podría haberdicho: no es la propiedad de un objeto lo que es 'esencial', sino la marca de unconcepto".13 Aquí se siente la continuidad del pensamiento de Wittgenstein, puestoque puede claramente rastrearse esta posición en la doctrina de los conceptos forma-les y las propiedades internas expuesta en el Tractatus.u Desde esta perspectiva, loesencial de un objeto brota de la caracterización inicial que de éste se haga. De ahí que

Wittgenstein se sienta autorizado a sostener que "cuando se habla de esencia —, loque se hace es constatar una convención".15 La convención fija conexiones que, unavez establecidas, son necesarias y obviamente (para nosotros) a priori. Y para elrealista que insiste en que tiene que haber una diferencia radical o profunda entre proposiciones sobre esencias y proposiciones temporales, accidentales o contingen-tes, Wittgenstein tiene preparada la respuesta: "a la profundidad que vemos en laesencia corresponde la necesidad profunda de una convención".16 Factualidad ynecesidad se excluyen mutuamente.

Para la aclaración del concepto de inferencia la alusión a cualquier proceso oestado interno es completamente redundante. Pero si lo que llamamos 'inferir' no es

12 Ibid., Parte I, sec. 32, p. 13. 13 Ibid., Parte I, sec. 73, p. 23. 14 A este respecto véase, por ejemplo, mi "Relaciones Internas" en mi libro Lenguaje y Anti-Metafisica(México: Plaza y Valdés, 2005). 2a ed. 15 L. Wittgenstein, Remarte on the Foundations ofMathematics, Parte I, sec. 74, p. 23. 16 Loe. cit.

86




un proceso mental sino más bien la expresión del aprendizaje de manipulación deciertos signos (premisas, reglas de inferencia) de determinada manera, entonces es

inclusive engañoso hablar aquí de "transiciones". Pregunta Wittgenstein: "Ahora bien¿a qué llamamos 'inferencias' en Russell o en Euclides? ¿Debería decir: a las transi-ciones que en una prueba llevan de una proposición a la siguiente? Pero ¿en dónde seencuentra la transición?" 11 La idea de transición como una especie de transforma-ción interna y mecánica de los signos tan pronto se yuxtaponen unos a otros y se lesconecta por medio de reglas de inferencia es una ilusión gramatical, un mito más. Las"transiciones" las efectuamos nosotros porque se nos enseñó a usar ciertos signos dedeterminada manera, esto es, primero, de una manera que todos reconocemos (todos procedemos igual), en la que todos concordamos y, segundo, de una manera que noses prácticamente útil.

Lo anterior nos permite comprender mejor lo que podría llamarse 'experienciamatemática'. Los realistas gustan de hablar de visiones, de representaciones, deaprehensiones. El enfoque wittgensteiniano nos libera de toda esta innecesaria mito-logía. La investigación matemática no es una exploración por territorios ignotos, sinouna contribución a la expansión de un simbolismo que cumple con funciones precisas. No hay ninguna vivencia especial de por medio. No hay conexiones que descubrir,sino estructuras simbólicas cada vez más complejas que construir. Ahora bien ¿porqué o para qué se necesitan dichas estructuras? Las necesitamos por su utilidad práctica, es decir, por su aplicación tanto a las proposiciones del lenguaje natural

como a las proposiciones de las diversas ciencias. La genuina experiencia humanaqueda plasmada en las genuinas proposiciones, pero no hay ninguna experiencia ge-nuina conectada con lo que no son más que instrumentos para la expresión de lasexperiencias. Las expresiones matemáticas son esos instrumentos. Por lo tanto, nohay ninguna experiencia especial que sea la experiencia matemática o lógica, puesto que no hay experiencias para regular las experiencias. La experiencia matemá-tica, en el sentido realista de percepción inusual de conexiones entre entidades abstrac-tas, es una inútil invención filosófica más.

Que no está involucrado en la inferencia ningún proceso interno, de carácter men-tal, etc., es algo que queda claro si, una vez más, confrontamos lo que Wittgensteintiene que decir sobre lo que es inferir con lo que dice en las Investigaciones Filosó-

ficas sobre lo que es leer. Es inútil intentar ver en la lectura un proceso interno, lo queuno se dice a sí mismo cuando recorre con la vista ciertos signos, una experienciacaracterizada por sensaciones especiales, etc. Más bien, decimos de alguien que ya

17 Ibid, Parte I, sec. 18, p. 8.

87




sabe leer cuando ya no comete errores o los comete sólo ocasionalmente, cuando sedetiene en los lugares apropiados, cuando la entonación es la correcta, etc., es decir,

cuando de manera general el aprendiz ya reacciona de manera sistemática comocualquier persona de la que decimos que lee normalmente. Lo que nos incumbe parala adscripción de la capacidad de leer es algo que está a la vista de todo mundo. Elconcepto de leer no está vinculado con procesos neuronales, con estados mentales,con intuiciones de ninguna índole. Es un concepto de carácter eminentemente con-ductual. Lo mismo pasa con "inferencia": para la formación de este concepto no setuvo que recurrir a nada que no fuera el registro de las reacciones del alumno. Es unerror pensar que no son imaginables o factibles otras formas de inferencia y que si nolas hemos hecho nuestras es porque hay un patrón externo a nosotros, objetivo, eter-no, divino que las descarta. Lo que pasa es más bien que con esas otras formas de

inferencia no habríamos logrado ponernos de acuerdo, no habríamos concordado,nuestros juegos de lenguaje serían caóticos, inexactos, menos exitosos, etc. Lo quellamamos 'inferencia correcta' es la manifestación de una concordancia generalizadarespecto a la utilización del simbolismo. Lo correcto es lo que colectivamente lacomunidad lingüística así determina. "Ya vi una prueba - ahora estoy convencido.¿Qué pasaría si súbitamente me olvido de esta convicción?

Luego aquí hay un procedimiento especial: yo examino la prueba y luego aceptosu resultado. - Quiero decir: esto es simplemente lo que hacemos. Esa es nuestracostumbre, o un hecho de nuestra historia natural".18 Es con este reconocimiento que

tocamos fondo. No hay nada más qué explicar. Aquí se nos plantea, naturalmente, el gran problema: parecería que Wittgensteinestá defendiendo una tesis convencionalista a ultranza,19 viz., la tesis de que absolu-tamente cualquier desarrollo y cualquier resultado son posibles: basta con que todosnos pongamos de acuerdo y los aceptemos. Pero esto parecería trivializar el concep-to de inferencia, pues parecería implicar que la corrección de una inferencia es unmero asunto de decisión colectiva, de sano acuerdo democrático. Naturalmente, un punto de vista así equivale a la aniquilación de nuestro concepto normal de correc-ción. Llevado al extremo esto sugiere la idea absurda de que si todos nos ponemos deacuerdo en que '2 + 2 = 5' entonces, por consenso universal, 2 + 2 = 5. Wittgensteinmismo plantea la objeción como sigue: "Pero, de todos modos, yo puedo inferir sólo loque realmente se sigue\ - ¿debería eso significar: sólo lo que se sigue cuando nos

18 L. Wittgenstein, ibid, Parte I, sec. 63, p. 20. 19 Que es, como se sabe, de lo que lo acusó M. Dummett en su bien conocida reseña de las Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas.

88




atenemos a las reglas de inferencia; o debería significar: sólo aquello que se siguecuando nos atenemos a tales reglas de inferencia, como si de algún modo concorda-

ran con alguna realidad? Aquí con lo que de algún modo vago nos topamos es con queesta realidad es algo muy abstracto, muy general y muy rígido. La lógica es unaespecie de ultra-física, la descripción de la 'estructura lógica' del mundo, que noso-tros percibimos mediante una especie de ultra-experiencia (con el entendimiento, porejemplo)".20 La idea de fondo es que lo que es "correcto" o "incorrecto" tiene queser por completo independiente de nuestro modo de manipular el simbolismo (lógico omatemático, y el lenguaje en general) y sería precisamente porque el mundo se comporta de cierta manera y no de otras que no cualquier transición es correcta o no.

Sería absurdo adscribirle a Wittgenstein la idea de que cualquier inferencia es en principio válida. Su punto de vista no es que no podemos distinguir entre "correcto" e

"incorrecto", sino más bien que por medio de 'correcto' e 'incorrecto' no aludimos arealidades sino a prácticas establecidas, a usos colectivos de signos: "pero ¿con quérealidad concuerda aquí 'correcto'? Supuestamente con una convención, o con unuso, y quizá con requerimientos prácticos".21 No hay nada por debajo de las conven-ciones y las prácticas lingüísticas (en un sentido amplio de la expresión) y que las"sustente" o "fundamente". Estamos en la misma situación que cuando queremosdar cuenta de la "dureza" del concepto lógico de deber.

Aquí un veloz recordatorio de un crucial pasaje de las Investigaciones se impone.En la sec. 201, Wittgenstein enuncia su "paradoja": "Esta era nuestra paradoja: una

regla no podría determinar ningún curso de acción, porque se puede hacer concordarcualquier curso de acción con la regla. La respuesta es: si todo se puede hacerconcordar con la regla, entonces también se puede hacer que todo entre en conflictocon ella. Por lo que no habría aquí ni acuerdo ni desacuerdo".22 Aunque seainstintivamente, detectamos que algo debe estar mal en este resultado, puesto quenos deja sin explicación de lo que es aplicar correctamente un término. La respuestala da el mismo Wittgenstein un poco más abajo: "A través de esto mostramos que hayuna aprehensión de una regla que no es una interpretación, sino que se exhibe, decaso en caso de aplicación, en lo que llamamos 'seguir la regla' y 'contravenirla'".23

En otras palabras, Wittgenstein es el primero en admitir que no todo es el resultado deuna mera interpretación, es decir, que no podemos arbitrariamente decidir llamar

20 L. Wittgenstein, Remerks on the Foundations of Mathematics, Parte I, sec. 8, p. 6. 21 Ibid., Parte I, sec. 9, p. 6. 22 L. Wittgenstein, Philosophical Investigations, sec. 201. 23 Loe cit.

89




'correcto' o 'incorrecto' a cualquier cosa, sino que hay efectivamente una forma deaplicar una fórmula o una regla que ejemplifican lo que es la aprehensión correcta de

las mismas. Pero lo importante es notar que, independientemente de si hablamos dearitmética o de ajedrez, el que algo sea una aplicación correcta de un signo o de unaregla (y, por ende, una inferencia correcta) se explica en términos de usos, de con-venciones, de prácticas, de concordancia en reacciones, no de supuestas realidadesextra-simbólicas. Recurrir a éstas es simplemente apelar a una imagen y dejar verque uno no ha podido aún liberarse de su maleficio.

IV) Consideraciones Finales

Lo que he presentado no es más que una de las múltiples aristas del pensar wittgens-teiniano en torno a las matemáticas. Creo que podemos constatar que su investiga-ción tiene dos fases y dos facetas, a las que hay que mantener vinculadas. La primerafase de su labor es eminentemente destructiva. En este caso, por ejemplo, el blanco principal (aunque ni mucho menos el único) es el mito realista, esto es, la concepciónrealista de las matemáticas. La otra fase de su trabajo es la positiva o constructiva,sólo que ésta toma cuerpo no en una nueva teoría, sino a través de las aclaraciones yrectificaciones que va haciendo a lo largo de su ataque. Lo exitoso de la crítica deWittgenstein se manifiesta en que, una vez aprehendido su pensamiento, estamos en

posición de desprendernos de diversos mitos filosóficos, los cuales son sumamentedañinos. Por ejemplo, ahora entendemos por qué podemos hablar de verdad y defalsedad en matemáticas sin tener que asumir la existencia de objetos abstractos o podemos aceptar la idea de que hay una distinción objetiva entre lo correcto y loincorrecto sin para ello dotar a las matemáticas de carácter descriptivo o factual.Vimos cómo lo que denominamos 'inferencia' en realidad está más bien asociado conreacciones primitivas, animales o espontáneas, de tipo "El fuego quema, eso es fuegoy por lo tanto lo evito". Wittgenstein hace un esfuerzo por mostrar la esencial vincu-lación del concepto de inferir con otros conceptos cognitivos, como "pensar". Su idea

es que es al aprender a pensar que se aprende a inferir. No se trata de procesosseparados. Otro rasgo interesante del enfoque de Wittgenstein es que, sin convertir alas matemáticas en una ciencia empírica de todos modos recupera su esencial co-nexión con la experiencia. El proceso en el que Wittgenstein parece pensar es más omenos el siguiente: enunciamos leyes lógicas y matemáticas de manera experimen-tal, pero una vez establecidas las volvemos inmunes a la experiencia. Si conjugamos

90




estas reflexiones con los otros grupos de pensamientos que Wittgenstein produjo enrelación con los números, la inducción, la existencia en matemáticas, el infinito, los

problemas de fiindamentación de las matemáticas, las contradicciones, etc., veremosque lo que nos legó es ni más ni menos que un cuadro básicamente correcto de esoque llamamos 'matemáticas'.

91



Geometría y Experiencia

arece incuestionable que uno de los temas más excitantes a que da lugar lageometría es el de la caracterización de la relación que guarda con la expe-riencia y, en especial, con la experiencia visual. En relación con dicho tema se

han mantenido, en general con argumentos ingeniosos, toda una gama de posicionesmutuamente excluyentes. El objetivo de estas páginas, por ello, se limita al de recons-truir algunas de las posiciones más representativas, ofrecer pautas de crítica y esbo-zar lo que podría ser la concepción más apropiada del status de la geometría y de surelación con la experiencia y el conocimiento. No estará de más, creo, señalar desdeahora que prácticamente no hay posiciones "puras". Dentro del empirismo, por ejemplo, hay tendencias radicalmente divergentes y, en verdad, mutuamente excluyentes.En este trabajo me centraré en lo que llamaré la 'visión estándar', en algunas tesis deKant, en la posición semi-empirista-semi-convencionalista delineada por H. Poincaréy claro está, muy especialmente, en algunos puntos de vista de Wittgenstein. Mi plande trabajo será el siguiente: haré una exposición sucinta de cada una de las posicionesmencionadas y completaré mi exposición con observaciones críticas y comentariosacerca de sus respectivas fuerzas explicativas, coherencia, etc. Hacia el final inten-taré ofrecer una visión de conjunto que incorpore lo que en mi opinión es salvable de

cada una de las "escuelas". Quizá lo mejor sea empezar por enunciar lo que probablemente sea en la actuali-

dad el punto de vista más difundido. Éste fue formulado muy claramente por BertrandRussell. De acuerdo con él,

'Geometría' es un nombre que cubre dos estudios diferentes. Por una parte, está la geome-tría pura, la cual deduce consecuencias de axiomas, sin investigar si los axiomas son'verdaderos'; ello no contiene nada que no se siga de la lógica, no es 'sintética' y nonecesita figuras como las que se usan en libros de texto de geometría. Por otra parte, estála geometría como una rama de la física, tal como aparece, por ejemplo, en la teoría general

P



GEOMETRÍA Y EXPERIENCIA

de la relatividad; ésta es una ciencia empírica, en la que los axiomas son inferidos a partirde las medidas y se ha encontrado que son diferentes de los de Euclides. Así, de las dosclases de geometría una es apriori pero no sintética, en tanto que la otra es sintética perono apriori.1

Difícilmente podría negarse que es ésta una presentación nítida y, a primera vista por lo menos, sumamente convincente de lo que es la geometría o, mejor dicho, de loque son las geometrías. No obstante, esta posición no está, como veremos en unmomento, más allá de toda clase de objeciones.

Según Russell, como acabamos de ver, la geometría es o un cálculo o una cienciaempírica. Llamémosla G{ y G2 respectivamente. G, es necesaria y apriori, sólo quees analítica, en tanto que G2 es contingente, aposteriori y sintética. Ahora bien, un

problema obvio para la posición russelliana es el siguiente: supongamos que un enun-ciado cualquiera, P (digamos, la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°) pertenece tanto a G x como a Gr O sea, el enunciado en cuestión es tanto una verdadempírica (el mundo es tal que, efectivamente, cuando se miden y suman los ángulosde porciones triangulares de espacio el resultado es 180°) como una verdad formal(hay una prueba para dicho enunciado y, además, su transcripción al lenguaje de lalógica da lugar a una tautología). ¿Tendremos entonces que reconocer que P es si-multáneamente analítico-sintético-a priori-a />osterzorz-necesario-contingente? Esobvio que no podría decirse eso, a pesar de que es a eso a lo que está comprometidoquien adopte este punto de vista. Un problema con la concepción estándar es, pues,

que siendo su enfoque estrictamente lógico y totalmente abstracto, establece dicotomíasmeramente formales, las cuales conducen a atribuirle a las proposiciones de la geo-metría propiedades incompatibles. Ello a su vez muestra que, desde esta perspectiva,no es claro cómo se conectan la geometría y la experiencia. Parece ser un errorhacer de la distinción "cálculo-hipótesis" la distinción fundamental y última. Por ejemplo,no parece ser verdad que la geometría que se usa no en la física sino en la vidacotidiana esté constituida por una serie de hipótesis que puedan variar, mejorarse,etc. Sean lo que sean las "verdades" de la geometría "vivida" o (como podríamostambién llamarla) "fenomenológica", de seguro que no se trata ni de hipótesis ni de

meras tautologías. Aquí ciertamente hay una distinción que trazar. Es claro que enrelación con las teorías físicas sí puede haber geometrías más aptas unas que otras, pero es igualmente claro (supongo) que los objetos de la física no son objetos de percepción. Entonces, en el mejor de los casos, la posición de Russell adolece por lomenos del defecto de ser incompleta y de dejar en el misterio precisamente el asuntoque aquí nos incumbe, a saber, el de la relación que vale entre la geometría y la

1 B. Russell, History of Western Philosophy (London: Alien and Unwin, 1967), p. 688.

94




percepción. En efecto, parecería que se requieren no dos sino tres geometrías: lageometría "pura", que es como Russell afirma, analítica y apriori, la geometría que

sirve en las diversas teorías científicas y que es, como él apunta, sintética y a posteriori, y la geometría de nuestra experiencia visual, de los objetos de experienciay que, por lo menos en gran medida, parece inevitablemente ser euclidiana, apriori

y sintética. Russell asimila demasiado fácilmente esta última a la geometría que po-dríamos llamar "experimental". Yo pienso que eso es un error. Presupone, por ejemplo, la creencia falsa de que los lenguajes teóricos son un desarrollo, un perfeccionamiento frente al lenguaje natural. Pero es evidente que si bien las teoríascientíficas pueden alterarse drásticamente, el carácter de nuestra experiencia y desus objetos es fundamentalmente el mismo para nosotros que para el hombre deCro-Magnon. Esto no queda reconocido en el punto de vista de Russell por lo que,aunque interesante para otros efectos, para nuestro tema resulta casi irrelevante.

Probablemente el punto de vista con el que de modo más directo choca la concep-ción representada por Russell sea el defendido por Kant. La posición de este último puede ser brevemente descrita como sigue: los enunciados matemáticos tienen uncarácter apodíctico, pero no son meras identidades, no son enunciados vacuos o, loque equivale a lo mismo, no son enunciados analíticos. En geometría, como en cual-quier otra rama de las matemáticas, se establecen conexiones imposibles de adivinaro de deducir de un modo enteramente formal. Sostener, e.g., que la suma de losángulos de un triángulo es igual a 180° es un descubrimiento. Es en este sentido

que las matemáticas son sintéticas y necesarias. Kant da un ejemplo que quizá seamás ilustrativo, sólo que es un ejemplo de aritmética. Él afirma que nada en '7 + 5' permite adivinar o inferir que el resultado es '12'. Parafraseándolo, podríamos decirque ninguna consideración referente a los lados del triángulo o sobre sus ángulosconsiderados en sí mismos permitirían extraer el contenido del teorema concernientea la suma de los ángulos. La idea kantiana, además, es que las matemáticas (y en particular la geometría) son a priori porque sus conceptos mismos lo son, es decir, porque los conceptos matemáticos (geométricos) no son conceptos empíricos. Estosignifica básicamente dos cosas: primero, que la naturaleza no contiene objetosmatemáticos (ángulos, vértices, líneas rectas, esferas, etc.) y, segundo, que es de

facto imposible que conceptos como éstos pudieran haber quedado construidos sobrela base de experiencias o extraídas de ellas. La experiencia es demasiado pobre paraello. Los conceptos de las matemáticas, y en particular los de la geometría, son más bien la manifestación o la expresión de la forma como los seres sensibles y racionales percibimos los objetos que configuran a la realidad. Pero dado que en matemáticas sedescribe nuestra forma de percibir y conocer empíricamente, entonces es claro quelas matemáticas son epistemológicamente previas a toda experiencia posible y, por

95




geometrías otras que la euclidiana pueden servir, sin por ello tener que desprendersede la idea de que para los requerimientos de la percepción humana sólo la geometría

euclidiana es útil. En palabras de Strawson, puede afirmarse que "Con ciertas reser-vas y cualificaciones (...), parece que la geometría euclidiana puede también inter- pretarse como un cuerpo infalsificabie de proposiciones acerca de líneas rectas,triángulos, círculos, etc., fenomenales, como un cuerpo de proposiciones a prioriacerca de las apariencias espaciales de esas clases y, por ello, desde luego, como unateoría cuya aplicación está restringida a tales apariencias".3 Esto parece interesante,en particular por una consecuencia que quisiera enfatizar.

De la propuesta strawsoniana parece seguirse que, por ejemplo, si bien para efec-tuar cálculos más exactos al utilizar teorías físicas aplicables al macrocosmos (di-mensiones galácticas) se requiere emplear geometrías no euclidianas, de todos modosla interpretación de los resultados a los que conduce la aplicación de geometrías asíse tiene que hacer con base en la comprensión euclidiana de los objetos (i.e., despuésde todo, los pizarrones, los diagramas, los lápices, las máquinas con las que se trabaja,etc., son objetos "euclidianos"). Pasa lo mismo que con las teorías físicas y la percep-ción visual: por más que un físico asevere que los objetos son, por decir algo, energíaconcentrada (y nos dé sus leyes), no tendría sentido decir que lo que nosotros vemoscuando vemos algo es una concentración de partículas elementales. Asimismo, real-mente es poco plausible (si no es que declaradamente ininteligible) la afirmación deque alguien "visualiza" movimientos y figuras de un modo no-euclidiano. Pero si esto

es acertado, entonces no se ve en qué sentido se podría hablar de una "refutación" dela Estética Trascendental. La complicación de este movimiento rehabilitador de lageometría euclidiana (que es más que meramente rehabilitador, puesto que a final decuentas subordina todas las geometrías a la geometría euclidiana) concierne, eviden-temente, a la naturaleza de los objetos fenomenales y de sus relaciones, acerca de loscuales se supone que versa la única geometría que es sintética a priori. Yo piensoque la posición neo-kantiana es atractiva, pero también que no es inmune a la crítica.Regresaré más abajo sobre algunas de las dificultades que creo le son intrínsecas.

Estrechamente relacionado con la postura kantiana, pero en radical oposición aella, está el punto de vista, clásico también (aunque, curiosamente, poco estudiado),desarrollado por H. Poincaré. La concepción por la que el matemático francés abogaes interesante, porque es un esfuerzo por combinar, de modo original, intuiciones

1 Ibid, p. 286.

97




propias de escuelas opuestas, además de que contiene una tesis original. Intentemossintetizar sus puntos de vista.

Al igual que Russell, Poincaré distingue dos "geometrías", la empírica y la mate-mática, la inexacta y la exacta. Los conceptos de dichas ciencias habrán de ser,evidentemente, diferentes y lo que esto quiere decir es que versan sobre entidadesdiferentes. Consideremos, por ejemplo, la noción de espacio. Hay lo que él llama el'espacio geométrico', al que distingue del que llama 'espacio representativo'. Otramanera de distinguirlos es diciendo que una cosa es el espacio teórico y otra el espaciode experiencia. El primero, se nos dice, es continuo, infinito, tridimensional, homogé-neo e isótropo. En contraste, el espacio representativo es bidimensional, limitado, noes homogéneo y no es isótropo. No podrá sorprendernos, por lo tanto que, contraria-mente a Kant, Poincaré sostenga que no tenemos en nosotros ab initio una idea deespacio. En relación con el espacio de experiencia, la posición de Poincaré es la deun empirista desenfrenado. El análisis introspectivo de la experiencia revela que loúnico que está involucrado son movimientos de órganos, esfuerzos musculares, objetossólidos y cosas por el estilo. Según él, si por 'espacio' vamos a entender la totalidad delos lugares, direcciones, etc., de los objetos de experiencia, entonces habrá que decirque no tenemos una idea, una impresión o, en terminología kantiana, una intuición delespacio, en este sentido. "Ninguna de nuestras sensaciones, aislada, habría podidoconducirnos a la idea de espacio; hemos sido conducidos a ella solamente estudiandolas leyes según las cuales esas sensaciones se suceden".4 Aparte de los sólidos y sus

relaciones espaciales, no hay algo que sea "el espacio". El espacio representativo es, pues, el resultado de, por así decirlo, la suma de loobtenido en el espacio visual (bidimensional), el espacio táctil y el espacio motor. Noso-tros de modo natural no percibimos las cosas en un espacio de tres dimensiones, sinoen uno de dos: las imágenes en la retina carecen de la dimensión de la profundidad.Tenemos que aprender a ver en tres dimensiones y ello se logra gracias a lacoordinación de movimientos oculares y musculares. "La tercera dimensión nos esrevelada de dos maneras diferentes: por el esfuerzo de acomodación y por la conver-gencia de los ojos".5 Mis representaciones en el espacio de experiencia {Le., en miespacio perceptual) tan sólo reproducen mis sensaciones, pero mis representacionestienen que satisfacer o ajustarse a ciertas regularidades empíricas concernientes alas posiciones relativas de los objetos. En otras palabras, los movimientos de los

4 H. Poincaré, "El Espacio y la Geometría" en Filosofía de la Ciencia. Selección e introducción de Eli deGortari, (México: Colección "Nuestros Clásicos", UNAM, 1964) p. 130. 5 Ibid., p.126.

98




sólidos están sometidos a leyes (por eso hablamos de "regularidades"). La geometría"pura" sería entonces el sistema de leyes que rigen a los movimientos de los sólidos,

los cuales no se conducen matemáticamente de manera ideal, sino sólo aproximada.De ahí que mis representaciones espaciales no puedan ser otra cosa que una "imagendeformada" de lo que sería su representación geométrica. "No nos representamos loscuerpos exteriores en el espacio geométrico, pero razonamos sobre ellos como siestuvieran situados en el espacio geométrico".6

El espacio geométrico (con todo lo que contiene, viz., líneas rectas, curvas, figu-ras, volúmenes y demás "entidades" perfectas) no es, como ya se dijo, un espacio deexperiencia. Eso no quiere decir, sin embargo, que dicho espacio no sea regulador dela experiencia. Lo que sucede es que las representaciones empíricas se geometrizana través de algún sistema geométrico particular. El que más nos conviene, desde un punto de vista práctico e inmediato, es el de la geometría de Euclides, pero eso, deacuerdo con Poincaré, no pasa de ser una feliz casualidad. No hay nada de necesarioen ello y, por lo tanto, no hay bases para hablar aquí de "sintéticos apriori". Cabe noobstante preguntar: ¿con qué clases de verdades nos las habernos en cada caso?Aquí llegamos a la última parte en la explicación de Poincaré y, por cierto, la másoriginal. Por una parte, las "verdades" obtenidas en la experiencia, las cuales danlugar a hábitos, son enunciados hipotéticos, contingentes, a posteriori y probables.Los enunciados de la "geometría empírica" son generalizaciones y versan ante todosobre los sólidos del espacio perceptual. Pero los objetos de la geometría genuina o

pura son objetos ideales. Lo que para él esto significa es que dichos objetos son,estrictamente hablando, mentales. "La noción de esos cuerpos ideales está formadatotalmente en nuestro espíritu, y la experiencia es una ocasión que nos ayuda a ha-cerla surgir."7 Ahora bien, lo que se llama "verdades" de esta geometría son merasconvenciones. "Los axiomas geométricos no son, por lo tanto, ni juicios sintéticos a

priori ni hechos experimentales. Son convenciones: nuestra elección entre todas las convenciones posibles es guiada

por los hechos experimentales, pero permanece libre, y sólo responde a la necesidadde evitar toda contradicción."8

En general, la posición de Poincaré es, pues, la siguiente: la geometría pura no esuna ciencia empírica. Más aún: si hablar de ciencia es hablar de verdad y falsedad,

6 Ibid, p.129. 7 Ibid, p. 143. 8H. Poincaré, "Las Geometrías no Euclidianas" enFilosofía de la Ciencia, p. 160.

99




entonces estrictamente hablando la geometría ni siquiera es una ciencia. "¿Es verda-dera la geometría euclidiana? La pregunta carece de sentido".9 Es para la manipulación

de los objetos de experiencia que es importante disponer de un sistema simbólico,mientras más cómodo mejor, y un sistema así puede ser tanto uno euclidiano comouno no-euclidiano. Pero dichos sistemas simbólicos no tienen nada que ver con laverdad o la falsedad, con cómo sea el mundo: son meros sistemas de convencioneslingüísticas. Así, Poincaré combina posiciones empiristas, mentalistas, convencionalistasy pragmatistas. El cuadro está bien armado sólo que, en mi opinión, tiene grietas quehacen que el edificio se derrumbe.

Se puede argumentar en contra de la propuesta de Poincaré desde diversas perspectivas. Para empezar, podemos señalar que la teoría de Poincaré es circular. Deacuerdo con él, la geometría no es una ciencia empírica porque versa sobre objetos

sólidos ideales, objetos perfectos que, obviamente, no son entidades de experiencia.Es por eso que las proposiciones de la geometría son meras convenciones. El proble-ma es que la idea misma de sólido sí es una idea de experiencia. Pero entonces nohay tal cosa como geometría pura, puesto que los sistemas geométricos ya vienencargados de conceptos de empirie. Desde este punto de vista, la geometría pura esno una convención sino, más bien, una idealización, es decir, un producto derivado delas regulaciones concernientes a los objetos en el espacio de la experiencia. Por otra parte, se podría objetar, podemos pensar o imaginar el espacio vacío, sin objetos, perono objetos espaciales sin un espacio que los contenga. Poincaré presupone la inversa.

Admito, desde luego, que el asunto es controvertible, pero deseo señalar que si ello esfactible el planteamiento de Poincaré es simplemente ininteligible, puesto que presupone que se puede hablar de relaciones espaciales sin asumir el espacio. En tercerlugar, hay que observar que partiendo de conjuntos de impresiones nunca se accedeal espacio tal como lo conocemos. Además, en contra de Poincaré se puede esgrimirel conjunto de argumentos que se conoce como el 'argumento del lenguaje privado', puesto que para él los objetos de percepción son los objetos de "experiencia inme-diata", en un sentido mentalista. Por último, vale la pena señalar que el enfoquegenético es, en este contexto, sumamente equívoco. De hecho, no nos importa cuálsea el proceso por el que pasa alguien para llegar al estadio de sujeto cognoscente,sino lo que sucede con alguien que ya es un sujeto cognoscente constituido y lo que parece ser el caso en relación con el sujeto cognoscente real es que es simplementefalso que la percepción sea bidimensional. Nadie hace atribuciones geométricas an-tes de ver en profundidad. Cuando uno ve una persona uno asume que dicha persona

9 Ibid,p. 160.

100




tiene un corazón, visceras, etc., y así la ve. No la ve en dos dimensiones. Las descrip-ciones genéticas, por lo tanto, son, por fieles que pudieran resultar, totalmente irrele-

vantes para nuestro tema, que es la experiencia completa y su relación con lageometría. Pero esto parecería implicar que Poincaré no puede realmente sostenerque la geometría perceptual no es tridimensional y euclidiana. Asimismo, la conexiónque él establece entre la geometría y la mente está totalmente rebasada y no pareceser de mayor utilidad teórica.

Infiero de lo dicho hasta aquí que la concepción de Poincaré, por lo menos talcomo él la presentó, es implausible. No obstante, creo que contiene una intuición primordial y que, interpretada de cierta manera, tendría que ser incorporada, de uno uotro modo, en cualquier esfuerzo por dar cuenta de la geometría. Wittgenstein, comoveremos, la incorpora, sólo que, por así decirlo, "lingüistizada". Pero antes de recons-truir las elucidaciones de Wittgenstein, me parece que sería conveniente intentarrecoger los elementos cruciales de cada una de las concepciones de las que noshemos ocupado.

Por lo pronto, creo que estamos en posición de decir lo siguiente: a pesar de lasdiferencias, los pensadores mencionados parecen coincidir en que hay dos clases degeometrías, viz., la "empírica" y la "matemática", y también que, de uno u otro modo,el espacio perceptual de hecho tiene todas (o casi todas) las características de unespacio euclidiano. De algún modo, las proposiciones concernientes a dicho espaciolo describen. En lo que a primera vista no parece haber acuerdo es respecto al

status de las proposiciones de las geometrías. Consideremos primero la geometría pura. Strawson (y, suponemos, Kant también) parecen aceptar la tesis de Russell deque los diversos sistemas de geometría pura se componen exclusivamente de enun-ciados analíticos y a priori. Aquí el problema podría ser con Poincaré para quien,como vimos, la geometría analítica resulta de convenciones y, por consiguiente, notiene mayor sentido en este caso hablar de "verdades" en absoluto. En todo caso,todos convendrían en que no es la experiencia el origen de dicha geometría. Noobstante, si al hablar de "convenciones" se enfatiza no tanto la cuestión de la arbitrarie-dad como el carácter no referencial de los signos involucrados, entonces la diferenciaentre Poincaré, Russell y Strawson podría no resultar tan grande como parece. Enefecto, si caracterizamos a ciertas proposiciones como verdaderas en virtud de lossignificados conferidos a los signos usados, lo que estamos diciendo es que dichas proposiciones son verdaderas por convención y esto no es otra cosa que decir que sonanalíticas. Así contemplado el asunto, Russell, Kant, Strawson y Poincaré estaríansosteniendo básicamente lo mismo.

Consideremos ahora la geometría estrictamente "empírica". Poincaré y Russellcoinciden en cuanto al status de sus proposiciones: básicamente, se trata de genera-

101




lizaciones y son, por consiguiente, sintéticas y aposteriori. En este punto, su posi-ción común y la de Kant-Strawson son claramente irreconciliables, puesto que para

estos últimos las proposiciones de esta geometría también son sintéticas, sólo que sonapriori. No podría hablarse significativamente de experiencia visual no euclidiana.Quizá una manera de resolver este conflicto sería reconociendo, como sugerí másarriba, la existencia no de dos sino de tres clases de geometría. Dudo, sin embargo,que Russell, por ejemplo, aceptara trazar una distinción entre la geometría euclidianade la experiencia y la geometría experimental de la física.

Examinemos, por último, lo que podríamos llamar la 'geometría teórico-experimental',esto es, las geometrías con las que se labora en distintas teorías de física. ParaRussell y Poincaré, dichas geometrías son hipótesis empíricas, puesto que permitenhacer predicciones. Desde la perspectiva kantiana, sin embargo, esto es cuestionable.

Lo que los kantianos pueden argumentar es que la experiencia se da en el momento dehacer los cálculos, no al hablar de la supuesta referencia de sus resultados. La idea esque, aunque nos trasladaran al otro lado del universo, de todos modos, allá, nuestraexperiencia seguirla siendo básicamente euclidiana. Los espacios no euclidianos son,como el infinito, lo que está siempre "más allá" de toda experiencia posible. En estecaso, como puede observarse, la reconciliación de posiciones no es factible.

Además de las dificultades internas a cada uno de los planteamientos considera-dos, a mi modo de ver hay una zona oscura común en todos ellos. Me refiero al problema de la relación que vale entre las dos clases de geometría y entre ellas y la

experiencia. ¿Cómo y por qué se aplican ciertas convenciones o proposiciones ana-líticas a la experiencia? Hablar de "felices coincidencias", "afortunados azares" ydemás es dejar el problema sin resolver. Yo creo que la resolución de este problemaes la clave para la resolución de los demás, sólo que para hallarla parece imprescin-dible tender la mirada hacia el pensamiento wittgensteiniano.

El texto de Wittgenstein que consideraré más en detalle es el de las pláticas (au-ténticas conferencias) concedidas a los miembros del Círculo de Viena y recogidasen el texto Ludwig Wittgenstein y el Círculo de Viena. El material concerniente a lageometría que encontramos en ese libro es escaso, pero altamente elucidatorio. Dehecho, deseo sostener que quedan salvaguardadas las intuiciones "positivas" de to-dos, al tiempo que se evitan sus respectivos errores. La clave para la elucidatoriasíntesis wittgensteiniana radica, en gran medida, en la elaboración de una nueva termi-nología. Así, un modo de dar cuenta del avance que representa Wittgenstein seríadiciendo que él asimila las intuiciones de los pensadores anteriores, pero les da laformulación exacta: mucho de lo que ellos querían decir es correcto, sólo que no losupieron decir. Veamos esto detenidamente.

102




Lo primero que habría que señalar es que Wittgenstein también reconoce el ca-rácter ambivalente de la geometría, sólo que éste queda caracterizado de otro modo.

La idea es la siguiente: por razones internas al pensamiento de Wittgenstein, sabemosque el estudio de la percepción es ante todo el estudio del lenguaje de la percepción(de cómo caracterizamos sus objetos, cómo medimos sus distancias, cómo calcula-mos sus movimientos, etc.). En relación con el lenguaje podemos distinguir por elmomento dos grandes componentes: los juegos de lenguaje y los movimientos dentrode ellos, por una parte, y la gramática, por la otra. La gramática, en el sentido deWittgenstein, es el sistema de reglas de uso que determinan la aplicación de las palabras, es decir, fijan tanto lo que se puede afirmar o negar como lo que no tiene sentidodecir. En este sentido, la geometría es parte de la gramática del lenguaje: fija lo que se puede decir en relación con los objetos de percepción. "La geometría del campo

visual es la gramática de los enunciados acerca de los objetos en el campo visual. Nose puede decir de esta geometría que es plausible".10 Lo que esto quiere decir es queno se trata de una mera "hipótesis" que podamos pulir, afinar, etc. En este punto, conWittgenstein se retoma parte de la idea de Poincaré, al tiempo que se elimina lo quees redundante en ella, y la idea strawsono-kantiana, sin para ello comprometerse conidealismos de ninguna índole. Lo que por medio de esta primera geometría se logra esfijar los mecanismos lingüísticos para poder hablar de las posiciones, movimientos, vo-lúmenes, etc., de los objetos de percepción. ¿Son estos objetos las "sensaciones", comoquería Poincaré? No. Son los objetos de los que se habla en el lenguaje natural, los

cuerpos. De lo dicho hasta aquí se sigue que los axiomas y los teoremas de la geometría noversan sobre nada. "Así, los axiomas de la geometría tienen él carácter de estipulacio-nes concernientes al lenguaje en el que queremos describir los objetos espaciales. Sonreglas de sintaxis. Las reglas de sintaxis no son acerca de nada; las establecemosnosotros".11 La pregunta '¿acerca de qué, a qué se refieren los axiomas de la geome-tría?' tiene tanto sentido como la pregunta '¿acerca de qué o a qué se refieren "sujeto","predicado", etc.?'. En este punto hay coincidencia con Poincaré (puesto que seapunta a un elemento de arbitrariedad en las proposiciones geométricas) y rechazode la posición kantiana (puesto que se desprovee a la geometría de todo rasgorealista-empírico e idealista-trascendental). Por otra parte, sin embargo, se acepta laidea kantiana de que, siendo la percepción primordial para el conocimiento, habrá una

10 Luchvig Wittgenstein and the Vienna Circle. Converstions Recorded by Friederich Waismann. Edited by B.F. McGuinness (Oxford: Basil Blackwell, 1979), p.100. 11 Ibid, p.62

103




geometría que será la más apropiada para ella y que, por consiguiente, será la geome-tría fundamental. Todo esto queda recogido espléndidamente como sigue: "No hay

más que una cosa en el mundo que nosotros podemos postular: nuestro modo deexpresarnos. No podemos postular la conducta de los hechos. Por consiguiente, pue-do también decir que, si establezco un postulado, fijo con ello la sintaxis mediante lacual expreso hipótesis. Escojo un sistema de representación. Así, no hay ningún con-traste en absoluto entre la concepción de la geometría como parte de una hipótesis yla concepción de la geometría como sintaxis".12 La gestación de hipótesis empíricasrequiere de una estructura gramatical, que no es una hipótesis más, sino lo que nosgarantiza su posibilidad.

Sin reconocer diferencias esenciales entre ellas, Wittgenstein admite que puedehablarse de una segunda clase de geometría, a saber, los distintos sistemas geométri-

cos que los matemáticos edifican, algunos de los cuales los físicos utilizan. Una ideaimportante de Wittgenstein (generalizable a todos los dominios de las matemáticas)es que esta clase de geometría por sí sola, es decir, el mero cálculo geométrico, esalgo esencialmente incompleto. Lo que completa a la geometría es su aplicación. La aplicación puede abarcar desde las observaciones y mediciones más rudimenta-rias y elementales hasta las teorías más sofisticadas de la astrofísica. Es en estesentido que la geometría "es parte de una hipótesis".13 ¿Cuál es entonces el statusde las proposiciones de la geometría? Mientras los sistemas de geometría no se inte-gren a una teoría empírica particular, en la medida en que son consistentes son igual-

mente "válidos", pero igualmente incompletos. Se trata de propuestas simbólicas y,en ese sentido, de convenciones (o, si se prefiere, de proposiciones analíticas). Ahora bien, cuáles de los sistemas serán integrables al corpus del conocimiento científico esalgo que sólo la experiencia determina. Aquí Wittgenstein innova: no es que ellasmismas sean contingentes. Lo que es contingente, es decir, lo que puede tanto darsecomo no darse, es su aplicación, porque lo que no se puede prever es cómo se expan-dirá el lenguaje de la ciencia. Aquí podemos hablar, con Poincaré, de "comodidad".La idea es la misma, sólo que está expresada de manera engañosa al hablar de"comodidad" o al hablar, como lo hace Russell, de "hipótesis empíricas". Es de laclase de uso que se haga de las reglas de geometría que depende el que las llamemos'necesarias' o 'contingentes'. Ellas mismas no son ni lo uno ni lo otro.

Así, pues, si la geometría euclidiana fija los límites de la significatividad de nues-tras aseveraciones acerca de las posiciones, relaciones espaciales, etc., de nuestros

12 Ibid, pp. 162-63. 13 Ibid, p. 162.

104




objetos de percepción, entonces sus reglas (a las que usualmente damos status de proposiciones) pueden ser catalogadas como necesarias. En la medida en que en ella

se establecen conexiones conceptuales se les puede calificar como sintéticas, perono porque versen sobre o sean acerca de algo. De igual modo, podemos aplicarles elepíteto 'apriori' si lo único que deseamos afirmar es que las conexiones conceptualesque en ella se establecen son rígidas y que, por ello, fijan nuestro ulterior modo dehablar, los límites de la significatividad y, por ende, de la experiencia visual. Pero seríaun error llamarlas así porque pensáramos que nosotros las "descubrimos" y queestablecimos sus valores de verdad con independencia de la experiencia (medicio-nes, cálculos, etc.). En resumen: se puede ciertamente sostener que las reglas de lageometría son sintéticas a priori, siempre y cuando ello se haga por las buenasrazones, es decir, no por razones kantianas y strawsonianas. En todo caso, debería

haber quedado claro que los enunciados de la geometría no son descripciones denada. En la medida en que fincamos sobre la geometría nuestro ulterior modo dehablar o de hacer predicciones, la geometría (la euclidiana en particular) se vuelve para nosotros, en tanto que seres lingüísticos, necesaria y, en tanto que seres percipientes, a priori. Lo que esto significa es que lo que pueda pasar como unaexperiencia posible es algo que tendrá que ajustarse a los modos de expresión fijados por la geometría euclidiana, porque si se nos habla de una experiencia no euclidiana,entonces sencillamente no comprenderemos lo que se nos estará diciendo. Desde el punto de vista de la experiencia, dicha geometría se contrapone a las diversas geo-

metrías no euclidianas, a las que entonces se puede calificar (si se desea) como 'a posteriorV y que son las que se pueden integrar en las distintas teorías científicas.Pero es importante notar que, desde el punto de vista de las ontologías de las distintasteorías de las cuales forman parte, las distintas geometrías serán una vez más a

priori, puesto que todo lo que se diga sobre sus objetos de estudio estará de antema-no fijado gramaticalmente por las geometrías en cuestión. En este sentido las geome-trías no son otra cosa que gramáticas para los distintos simbolismos y no hay ningunadiferencia esencial entre los múltiples sistemas de geometría. La diferencia más importante entre ellas consiste en que, entre todos los sistemas de geometría, hay uno,a saber, el sistema euclidiano, que es empíricamente, esto es, para los requerimientosde la percepción humana, el fundamental. De esta manera, el rechazo de la geome-tría euclidiana sólo podría efectuarse si se alterara drásticamente nuestro modo nor-mal de describir los objetos de nuestro campo visual. Ahora bien, para comprenderdescripciones efectuadas en concordancia con otra gramática se tendría que tenerun lenguaje más fundamental que el lenguaje natural, pero ¿quién podría disponer deun lenguaje así y, por ende, quién podría comprender las descripciones de ese modoalternativo de hablar? Nadie. Por lo demás, la utilidad, el valor y el carácter necesario

105




y apriori de la geometría euclidiana se vuelven obvios cuando examinamos situacio-nes reales. Por ejemplo, si alguien quiere comprar o vender un rancho y requiere

conocer su superficie, a lo único que no recurrirá es a una geometría, digamos, loba-chevskiana. Si alguien rechaza con argumentos matemáticos el axioma de las parale-las durante la compra de un terreno, lo más probable es que se vea en problemas. Eneste sentido, la geometría euclidiana es necesaria, puesto que fija los mecanismos demedición de distancias, objetos, etc., de nuestro espacio perceptual común, que es(dicho sea de paso) el único real.

Que la geometría euclidiana no es una descripción del espacio de experiencia esalgo que se capta con claridad cuando describimos nuestro campo visual. Si vemos lavía de un tren, por ejemplo, aunque todos diríamos que los rieles son paralelos, dehecho no los vemos así, es decir, en total concordancia con la definición de 'parale-

lo'. Más aún: nadie podría verlos así, por más que así sean. Dicho de otro modo,nuestra experiencia perceptual no es estrictamente euclidiana. En este punto, por lotanto, Strawson y Kant parecen estar equivocados. Lo que sucede es que no seconoce un sistema de geometría que pudiera recoger nuestra experiencia en toda sucomplejidad mejor de lo que lo hace la euclidiana. La más práctica, la más cómoda, lamás utilizable es, en el plano de la experiencia sensorial, la geometría euclidiana. Sustatus privilegiado se deriva de que sobre ella ya están erigidos todos nuestros siste-mas científicos, legales, etc., de medición, por lo que defacto es imposible reempla-zarla. En este sentido, la geometría euclidiana es, como se dijo, apriori.

La comprensión cabal de lo que es la geometría y de su relación con la per-cepción requiere de una filosofía de la ciencia adhoc. Si, por ejemplo, pensamosque la ciencia describe esencias (e.g., la biología nos da la esencia del tigre, la botánica la del mango, la mineralogía la del oro, la física la de la materia, etc.),tenderemos a ver en la geometría una ciencia de objetos abstractos. Huelga decirque esta mitología platonizante no nos lleva a ninguna parte. Si en cambio vemosen las leyes científicas reglas para realizar inferencias sobre objetos conocidosen la experiencia, entonces tenderemos a ver en la geometría parte de la gramá-tica o (como decía Wittgenstein, todavía bajo la influencia de su propia filosofíaanterior) de la sintaxis de nuestro lenguaje de cálculos, medidas, etc., de los obje-tos acerca de los cuales se habla. Pero la geometría misma no es acerca de

ellos. La geometría "nunca puede decirnos nada acerca de un estado de cosas. Yesto muestra, una vez más, que en geometría nunca nos las habernos con la rea-lidad, sino sólo con posibilidades espaciales. Los descubrimientos acerca del espacio son descubrimientos acerca de lo que hay en el espacio. En matemáticas es

106



Concluyo, pues, con lo que de hecho era mi hipótesis de trabajo, viz., que serequería un nuevo aparato conceptual y algunas modificaciones concernientes al empleode ciertas categorías ("necesario", "apriori", etc.) para hacer avanzar nuestra com- prensión acerca de cómo se relacionan los sistemas geométricos y la experienciasensorial. Y parte de mi objetivo era mostrar que también en esta área las aportacio-

nes de Wittgenstein son, si no completas, por lo menos sí definitivas.



De Espacios y Geometrías

I) El Tractatus y el Espacio

omo es bien sabido, el concepto de espacio ha dado lugar - al igual que el detiempo - a toda una gama de doctrinas filosóficas y de teorías científicas quevan desde lo sensato y plausible hasta lo extravagante e increíble y que son

las más de las veces incompatibles entre sí. Asimismo, las perspectivas desde lascuales el espacio ha sido estudiado son también sumamente diversas. Por ejemplo, seha debatido tanto acerca del carácter geométrico del espacio como de su irrealidad,de su naturaleza mental como de la imposibilidad de pensarlo desligado del tiempo.De igual modo, las más variadas categorías se han utilizado en los intentos por aclararlos diferentes conceptos de espacio que de hecho están en circulación. Podemosmencionar, entre muchas otras, las de geometrías, hipótesis científica, forma aprioride la intuición sensible, representación, relaciones, sustancia, absoluto y relativo, tiempo, percepción, gramática, perspectivas, números, color, estructura, axiomas e idealismotrascendental. El resultado neto es que, a pesar de la asombrosa cantidad de escritosconcernientes al espacio por parte tanto de matemáticos y físicos como de filósofos,difícilmente podría decirse que reinan en relación con este tema la claridad concep-tual y el acuerdo generalizado. Este ensayo es un intento de contribución a la labor deesclarecimiento consistente básicamente en el mero establecimiento de conexionesentre datos relativamente bien conocidos.

Como muestra de las complicaciones asociadas con el concepto de espacio, pode-mos considerar brevemente lo que al respecto se dice en el Tractatus Logico-Philosophicus. En aquel primer gran libro, Wittgenstein hace diversas aseveracionesque un examen detallado muestra que no son compatibles. Recuérdese, antes que

cualquier otra cosa, que un concepto fundamental del libro es el de "espacio lógico", pero éste es ante todo un espacio proposicional. El espacio lógico resulta de lo que

C



ESPACIOS Y GEOMETRÍAS

sería la red conformada por la totalidad de las proposiciones. El espacio lógico es, pues, una totalidad de posibilidades y acota y agota lo que sería el reino de la factualidad.

Es evidente asimismo que, aunque una noción que desempeña un papel importante enlas elucidaciones del libro, la de espacio lógico es básicamente una metáfora. Sea loque sea, por lo tanto, su significación se deriva de uno u otro modo de la noción primitiva que permitió construirla y ésta es la de espacio. Lo que queremos saber esentonces: ¿qué se sostiene en el Tractatus en relación con el espacio?

La verdad es que no mucho. "Espacio, tiempo y color (cromaticidad)", se nosdice, "son formas de los objetos".1 Lo que esto significa es lo siguiente: las formas deun objeto son sus propiedades y relaciones formales y éstas son sus propiedades yrelaciones necesarias. El problema, claro está, es que el lenguaje no permite la enun-ciación significativa de nada necesario. Por lo tanto, esas formas no pueden enunciarse

sino únicamente expresarse o mostrarse a través de proposiciones genuinas (Le.,significativas). Así, el que el espacio sea una forma de los objetos implica que paraque éstos queden constituidos como tales tienen que mantener entre sí relacionesespaciales. En otras palabras, no hay ningún objeto real del que no podamos en principio dar sus coordenadas espaciales. No hay objeto no espacial. El mundo tieneforzosamente una estructura espacial. Esto es por lo menos algo de lo que está impli-cado por la proposición citada.

A primera vista, el punto de vista del Tractatus es sensato y correcto. No obstan-te, aunque no explícitamente, Wittgenstein insinúa algo que no parece del todo com-

patible con dicha posición. Dice lo siguiente: "Cada cosa está, por así decirlo, en unespacio de hechos simples posibles. Puedo pensar que este espacio está vacío, perono puedo pensar la cosa sin el espacio".2 De acuerdo con esto, el espacio sería unaespecie de contenedor, una metáfora a la que (como veremos) otros pensadorestambién recurren. Pero ¿cómo es posible que por una parte el espacio sea la totalidadde las relaciones espaciales que mantienen entre sí los objetos y por otra parte quesea lógicamente independiente de éstos? Parecería, pues, que en relación con elespacio hay una cierta ambigüedad en el Tractatus y que se le podría adscribir a éstetanto el punto de vista de que el espacio es algo real e independiente de sus conteni-dos como la idea de que no es otra cosa que una hipóstasis de lo que es el sistematotal de relaciones espaciales que mantienen entre sí los objetos.

En contraste con las sibilinas aseveraciones del Tractatus, pienso que, aunqueescasas, las observaciones del Wittgenstein posterior a 1929 y referentes a la geome-

1 L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), 2.0251. 2 Ibid,, 2.013.

110



FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS: ENSAYOS EN TORNO A WITTOENSTEIN

tría y al espacio constituyen una contribución transparente, auténticamente aclaratoriay que sería absurdo desaprovechar. Es evidente que, dado lo reducido del material

con el que se cuenta, de ninguna manera podría sostenerse (a diferencia de lo que podría plausiblemente sostenerse en relación con otros temas) que Wittgenstein es-clareció totalmente la temática. No obstante, lo que en este caso él tiene que decir esno sólo digno de ser recogido sino que es, aunque poco, definitivo. En lo que sigue meocuparé de los temas del espacio y de la geometría en general, intercalando cuando lo juzgue conveniente las diversas aclaraciones de Wittgenstein. Posteriormente, exa-minaré los puntos de vista de Kant y Newton y terminaré atando cabos, esto es,tratando de redondear una posición que sea no sólo defendible, sino también atracti-va. Como caso prueba para nuestra posición someteremos brevemente a considera-ción la tesis de que el espacio podría estar vacío.

II) Percepción y Realidad

Cuando al despertarnos abrimos los ojos con lo que nos topamos es con nuestrocampo visual, el cual coincide parcialmente con lo que es nuestro campo de experien-cia. Digo 'parcialmente' porque es obvio que "campo visual" y "campo de experien-cia" no son lo mismo. Un invidente no tiene campo visual, pero sí tiene vivencias oexperiencias. A diferencia de lo que pasa con nuestro campo perceptual, que nos es

dado, por así decirlo, de golpe, nuestro campo de experiencias es una construcciónconformada, entre otras cosas, gracias a las correlaciones sistemáticas que hemosaprendido a establecer entre los data de los diversos espacios de los sentidos (táctil,visual, auditivo, etc.). Ahora bien, dejando de lado cuestiones referentes a la génesisdel espacio de experiencia: ¿qué es lo que, aparte de los objetos (o lo que tomamos por tales) discernimos en nuestro campo visual? Como dato de experiencia, lo que podemos decir es que no percibimos espacio. Lo que en cambio podemos afirmar noque percibimos mas sí que discernimos es lo que normalmente llamamos 'relacionesespaciales', las cuales nos resultan indispensables para poder hablar de experienciade objetos en lo absoluto. Por lo menos relaciones como las de "arriba/abajo" y"derecha/izquierda" y posiciones como "el centro de" son así. Nuestro campo visuales obviamente una totalidad estructurada y dicha estructura la conforman relacionesespaciales como las mencionadas. Por otra parte, ya constituido nuestro campo vi-sual incluye no sólo relaciones propias de un espacio de dos dimensiones. Las rela-ciones de profundidad son esenciales a él. Alguien que intentara enfrentar el mundoque se le presenta en el espacio visual como si fuera un mundo de dos dimensionesexclusivamente podría volverse loco. Por otra parte, es claro que el marco general de

111




nuestro espacio perceptual es fijo. Lo que quiero decir es que el sujeto percipiente nose mueve dentro del campo visual como un objeto más. De ahí que podamos afirmar

del campo visual o perceptual lo siguiente: a) resulta de la interacción "educada" de todos los sentidos b) incorpora o presupone un punto fijo (el cual no es un objeto más de percep

ción)c) en él las posiciones son absolutasd) son indispensables a él el color y la formae) está estructurado y organizado (no es caótico ni mutante)f) es ilimitadog) los objetos de mi campo visual son los objetos del mundo.

Esto último quizá amerite algunas aclaraciones. La significatividad del discursoacerca de los objetos requiere y presupone de un mecanismo de identificación y ésteno puede ser otro que el lenguaje. Pero el lenguaje es público y, por ende, compartido.Cuando empleamos las mismas palabras, 'perro' por ejemplo, lo que vemos es un perro,el cual es básicamente el mismo para todos, y de lo que hablamos es de un perro, no dela imagen de perro. Podemos, pues, liberarnos de la recurrente falacia del idealismo,esto es, la idea de que hay algo intermedio entre el sujeto percipiente y los objetos"percibidos", algo a lo que podemos llamar 'idea', 'sense datum\ etc. La noción de

impresión sensorial no es una noción primitiva, sino derivada de la idea de percepciónde objetos materiales. Lo que es importante entender es que mi campo visual coincidecon el mundo: lo que percibo cuando digo que percibo algo son objetos del mundo.Pocas cosas hay tan absurdas como la idea de que estamos hundidos en una fantasía permanente tratando de acceder al mundo objetivo o real.

III) Clases de Espacios

Si lo que hemos dicho es aceptable, podemos afirmar que disponemos de una noción primaria de espacio, en la cual valen o se dan relaciones espaciales. Evidentemente,nunca percibimos espacio: lo que detectamos son objetos colocados a ciertas distan-cias unos de otros. Cómo sea el espacio puro es, lo confieso, algo de lo que no tengoni la más remota idea. El lenguaje natural induce a pensar en el espacio como en elgran contenedor, puesto que 'espacio' es un sustantivo y que tendemos a decir quelos objetos están en el espacio. No obstante, el sentido común es neutral respecto ala cuestión de si el espacio es real, si es una sustancia, si es absoluto, etc., o si más

112




bien no es sino un intrincado sistema de relaciones espaciales. El sentido común y ellenguaje natural no pueden (ni tienen por qué) pronunciarse sobre dilemas así.

Ahora bien, la noción de espacio quedó muy pronto vinculada a la geometría.Respecto a esta última no estará de más recordar que más que como una ramaindependiente de las matemáticas vio la luz como una disciplina con aspiracioneseminentemente prácticas. Los primeros "geómetras" empíricos, los ingenieros pione-ros de Babilonia y zonas aledañas, a lo que aspiraban era a dividir terrenos, encauzarríos, construir edificios, diseñar jardines. Fue sólo en la época de los griegos cuando lageometría se estableció como una rama autónoma de las matemáticas "puras". Sur-gió así la geometría euclidiana y fue entonces que empezaron a brotar los malenten-didos tanto en relación con su status como respecto al status del espacio.

Desde los griegos y hasta el siglo xix, la geometría euclidiana fue vista básicamente

como una descripción abstracta de la estructura tanto del espacio perceptual comodel espacio real (puesto que, como dijimos, en principio coinciden). O sea, en un primer momento se identificaron el espacio visual, el espacio físico y el espacioeuclidiano. Estas fáciles identificaciones, junto con algunas otras incomprensionesmatemáticas y complicaciones metafísicas, permitieron que Zenón formulara susextraordinarias paradojas. Algunas de ellas pueden ser formalmente refutadas, perociertamente no todas sus ideas son descabelladas o absurdas. Por ejemplo, Zenónaspiraba a mostrar, entre otras cosas, que el espacio no se compone de un númeroinfinito de puntos. Como veremos, se le habría podido responder a Zenón que su

planteamiento era ambiguo, puesto que si a lo que se refería era el espacio real quizátenía razón, pero si lo que tenía en mente en el espacio de la geometría euclidianaentonces estaba en el error. Así, confusiones de origen respecto a la naturaleza delespacio visual y de la geometría permitieron la gestación de enigmas de los cuales puede decirse que sólo hasta muy recientemente nos hemos liberado.

Gracias al desarrollo de las matemáticas, en particular a la invención de sistemasgeométricos no euclidianos, y al avance de la física se logró construir una plataforma para la resolución de antiguos problemas, pero (como era de esperarse) surgieronnuevos. Lo que quedó claro es que la geometría euclidiana no es una descripción denada, que los espacios matemáticos forman parte de cálculos, que el espacio percep-tual no necesariamente es euclidiano o, mejor dicho, no lo es totalmente, y que hayalgo que podemos llamar 'espacio físico', que no es ni un espacio matemático ni es elespacio perceptual. Ahora tenemos tres clases diferentes de espacios. El espacio perceptual es una clase con un solo elemento; la clase de espacios matemáticos esuna clase infinita y la del espacio físico probablemente contenga diversos elementos.Por ejemplo, el espacio real de la vida cotidiana es diferente del espacio real de laastro-física y muy probablemente diferente también del espacio de la física cuántica.

113




Es claro que las naturalezas de los espacios y las relaciones entre ellos no se pueden entender si no se tiene una visión clara de lo que es (son) la(s) geometría(s).

Es por no entender su status (o sus respectivos statu) que no tenemos tampoco unaidea clara de lo que son los espacios de diversa clase y sus relaciones entre ellos. Es por incomprensiones fundadas en identificaciones dudosas que se articularon teoríasdel espacio tan diversas como inverosímiles, como lo son las de Newton o Kant. Es, pues, la naturaleza de la geometría en general lo que urge esclarecer y de lo que pasaré ahora a ocuparme.

IV) Clases de Geometrías

Si no me he equivocado en lo que he afirmado, tenemos derecho a hablar de unespacio perceptual y de relaciones espaciales en ese particular contexto y quizá lo primero que llama la atención es que, contrariamente a lo que se ha sostenido durantesiglos, el espacio perceptual no es estrictamente euclidiano. Por ejemplo, en el espa-cio visual los rieles se van acercando cada vez más y parecen tocarse en el horizonte,lo cual contradice el postulado euclidiano de las paralelas. Pero, además, el campovisual es nítido en el centro y se va haciendo cada vez más borroso hacia los bordes,lo cual no encaja con las implicaciones de las definiciones de 'punto', 'línea', 'plano'o 'volumen' de la geometría euclidiana. Tal vez entonces lo que podríamos decir es

que para el espacio visual de lo que disponemos es de una geometría puramentefenomenológica, constituida exclusivamente por ideas como "ubicación" o "lugar","centro" y relaciones como las mencionadas al principio del ensayo. Para la vidaanimal o primitiva o básica la "geometría fenomenológica" es más que suficiente.Obviamente, su carácter modesto se revela tan pronto se rebasa el nivel orgánicoelemental. Entonces resulta como claramente insuficiente para todo lo que no seameramente ubicarse, moverse y orientarse en el mundo real. Sobre la naturaleza delespacio fenomenológico regresaré posteriormente.

Entendidas como sistemas matemáticos, las geometrías no son descripciones denada. ¿Qué son entonces? Son simplemente cálculos en los que ciertas proposiciones juegan el papel de axiomas y otras son deducidas de ellos por medio de reglas deinferencias. Esta caracterización coincide plenamente con la definición de las mate-máticas que Russell ofrece en Los Principios de las Matemáticas. De acuerdo conél, "Las matemáticas puras son la clase de todas las proposiciones de la forma 'pimplica q\ en donde/» y q son proposiciones que contienen una o más variables, lasmismas en las dos proposiciones, y ni p ni q contienen ninguna constante salvo las

114




constantes lógicas".3 El problema es, pues, entender, qué son los sistemas matemáti-cos {le., un sistema simbólico que cumple las condiciones que Russell enuncia). Si no

son descripciones de nada: ¿qué son y para qué sirven? La respuesta correcta a esta pregunta nos la da Wittgenstein: las geometrías son básicamente propuestas de re-glas de sintaxis para la elaboración de enunciados referentes a un grupo definido deobjetos. Por ejemplo, la geometría euclidiana es la sintaxis para las descripciones quehacemos de los objetos del espacio visual. Ella no los describe, sino que rige nuestrasdescripciones, es decir, determina lo que tiene o no tiene sentido decir en un ámbitodado. "Los axiomas - e.g.- de la geometría euclidiana son reglas disfrazadas de unasintaxis".4 La geometría euclidiana fija el marco lingüístico de lo que posteriormenteserán nuestras ulteriores descripciones y mediciones. Tiene, pues, una función esen-cialmente normativa. Así, por ejemplo, sí al dividir un terreno cuadrangular alguien

encuentra que la superficie no es igual al producto de la base por la altura, se le diráque hizo mal su cálculo y se le pedirá que lo vuelva a hacer. O sea, la geometríaeuclidiana no resulta de la experiencia, sino que determina o constriñe la experiencia.Esa es su función primordial.

En este punto quizá deberíamos hacer una aclaración, a fin de impedir potencialesconfusiones. La geometría euclidiana no es geometría fenomenológica, por la sencillarazón de que, como bien lo señala Wittgenstein, "En el espacio visual no hay medicio-nes"5 y, más en general, "En el espacio visual (...) no hay tal cosa como un experi-mento geométrico".6 De hecho, nuestra percepción puede entrar en conflicto con lo

que la geometría euclidiana estipula o enuncia. Por ejemplo, podemos ver figurasgeométricamente diferentes como si fueran la misma, como pasaría con un círculo yuna figura de mil lados, o como diferentes aunque sean del mismo tamaño. En ver-dad, hay multitud de ilusiones óptico-geométricas, en el sentido de que hay multitudde descripciones visuales que no coinciden con lo que la geometría prescribe. Comodice Wittgenstein "La palabra 'igualdad' tiene un significado diferente cuando la apli-camos en los tramos en el espacio visual que cuando la aplicamos en el espaciofísico. La igualdad en el espacio visual tiene otra multiplicidad que la igualdad en elespacio físico".7 Pero la geometría euclidiana no sirve para corregir nuestra percep-

3 B. Russell, The Principies of Mathematics (New York: W. W. Norton & Company, Inc), § 1. 4 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas. Traducción de Alejandro Tomasini Bassols (México: IIF/UNAM, 1997), sec. 178, p. 206. 5 Ibid., sea, 212, p. 256.6 Ibid.,sec, 178, p. 207.1 Ibid., sec, 215, p. 260.

115




espacio no es una colección de puntos, sino la realización de una ley".9 E inmediata-mente añade: "Que un punto en el plano esté representado por una pareja de núme-

ros y en el espacio tri-dimensional por un triplo de números basta para mostrar que elobjeto no es el punto, sino la red de puntos".10 Qué digamos acerca de las "entidadesde la geometría" dependerá de qué pensemos acerca de las "entidades matemáti-cas" en general, de los números por ejemplo. Sobre este tema no me pronunciaré eneste ensayo y me limitaré a recordar que desde la perspectiva wittgensteiniana notiene mayor sentido hablar de ontología stricto sensu en relación con las matemáti-cas. Los números (naturales) tienen más bien que ver con formas preposicionales yoperaciones y otras clases de números (los irracionales, por ejemplo) requieren deexplicaciones diferentes, las cuales básicamente giran (como las entidades de la geo-metría) en torno a la noción de ley. En todo caso, la geometría no trata con objetos

ideales, objetos abstractos ni nada por el estilo. La sintaxis no versa sobre nada en particular, sino que rige el discurso que versa sobre un sector de la realidad. Porúltimo, consideremos los objetos de las geometrías empíricas. Éstos pueden ser de lomás variado, pero son ante todo entidades teóricas. Qué sea una entidad teóricadependerá de que visión de la ciencia se tenga. Para un realista burdo cualquierentidad teórica será un objeto tan real y objetivo como cualquier cuerpo, en tanto que para un instrumentalista es más bien un complejo mecanismo conectado de maneraindirecta con determinados objetos de percepción (los instrumentos de laboratorio, por ejemplo). Sobre este asunto, empero, tampoco me pronunciaré en este trabajo.

V) Newton y Kant

Al igual que el tiempo y los números irracionales, el espacio y la geometría han dadolugar a un sinnúmero de teorías. Como podremos apreciar, éstas las más de las vecesestán plagadas de confusiones, son ambiguas o declaradamente falsas. La verdad esque en no pocas ocasiones más que concepciones filosóficas propiamente hablandocon lo que nos encontramos es con teorías científicas, esto es, teorías empíricas en

las que aparece el concepto de espacio y en las que se utilizan diversos sistemasgeométricos. El problema con esto es que con lo que nos topamos es con grandesconstrucciones que no vienen acompañadas de las aclaraciones pertinentes respecto

9 Ibid., sec, 177, p. 206.w Ibid., sea, 177, p. 206

117




euclidiana sería una descripción tanto del espacio real como del espacio perceptual, puesto que él no distinguiría entre éstos.

Formalmente, la teoría newtoniana del espacio absoluto ha quedado teórica, si bien no prácticamente, refutada. Ello tiene por lo menos dos causas. Una de ellas esque con el desarrollo de las matemáticas surgieron las geometrías no euclidianas y lasegunda es que el avance de la física llevó a integrar a estas últimas en teoríasempíricas más avanzadas. Así, al ser aplicadas en cálculos cósmicos, sistemas geo-métricos no euclidianos permitieron hacer mejores predicciones y contribuyeron arevelar que el espacio sideral no es, estrictamente, newtoniano. Dicho de otro modo,las geometrías no euclidianas aunadas a la teoría de la relatividad permitieron echar por tierra las pretensiones universalistas de Newton, pero lo que las geometrías noeuclidianas y la teoría de la relatividad ciertamente no demostraron es que el espacio perceptual no sea básicamente euclidiano o, alternativamente, más euclidiano que noeuclidiano.

Hay, no obstante, un detalle que no debería pasarse por alto. Cuando se habla dela "refutación" de Newton en realidad a lo que se alude es a predicciones de fenóme-nos ubicados sumamente lejos de nosotros en el espacio y en el tiempo (miles de añosluz). Pero para la vida en la Tierra, esto es, la vida en donde los cuerpos son más omenos rígidos, y para los objetivos cotidianos, el mundo sigue siendo en lo esencialnewtoniano. Es sólo para la astro-física y para la física cuántica que Newton perdióvigencia. Pero ¿qué podemos inferir nosotros de eso? El desarrollo de la física algo

nos dice acerca de la naturaleza del espacio, pero lo que tenemos que entender esque lo que nos dice nos lo dice sólo indirectamente. Lo que en realidad la ciencia parece mostrar es que el mundo no es ni totalmente euclidiano ni totalmente noeuclidiano. La física presupone y trabaja con diversos conceptos de espacio y el quelo haga algo nos indica acerca de la naturaleza del mundo, acerca de su flexibilidad yelasticidad, por así decirlo. En distintos contextos mundanos valen o se aplican distin-tas geometrías. El gran cambio teórico que se operó en relación con Newton fue lasustitución del espacio absoluto y el tiempo absoluto por una estructura de cuatrodimensiones conocida como 'espacio-tiempo'. El avance de la física llevó del espacioy el tiempo absolutos al espacio-tiempo relativos, pero eso es un avance teórico, node aclaración de los conceptos involucrados.

La obra de Newton fue tan impactante que marcó a la filosofía del espacio hastafinales del siglo xix y principios del xx. Eso no significa, sin embargo, que no sehubieran producido desde su aparición sublevaciones en contra de las diversas impli-caciones de lo que era la nueva física de Newton. No olvidemos que éste habla desus objetos de estudio (materia, movimiento, gravitación, visión, espacio, luz, tiempo,

119




colores, fuerzas, etc.) como si nos estuviera dando su naturaleza última. Goethe, porejemplo, intentó (un tanto ingenuamente, quizá) oponer a la teoría física de los colores

lo que podríamos llamar una 'teoría fenomenológica del color'.

11

Pero si hay algo delo que quizá podríamos lamentarnos con mayor razón es que las teorías de Newtonsirvieron de aliciente para que uno de los más importantes filósofos de todos lostiempos elaborara y echara a rodar su propia teoría de la geometría y del espacio. Merefiero desde luego a Kant, del cual pasaré ahora a ocuparme.

Quizá pueda afirmarse que la grandiosa teoría de Newton quedó finalmente refu-tada, pero en todo caso es claro que con él se sabía de qué se estaba hablando ycómo era factible mostrar que lo que sostenía era falso. Con Kant la cosa cambia. Laimpresión general imposible de evitar es que Kant hace trampa porque es sistemáti-camente ambiguo, de manera que cuando uno cree haberlo refutado él tiene tranqui-

lamente preparada su salida por otra parte. Veamos si esta acusación puede ser presentada en forma transparente y convincente.

Que una ambigüedad seria permea la posición de Kant es algo que la mera enun-ciación de su posición general deja en claro: él se presenta simultáneamente como unrealista empírico y un idealista trascendental. La idea general es compleja y la argu-mentación de Kant intrincada. Intentaré resumirla de manera que queden expuestoslos puntos que para este ensayo me interesa discutir.

Kant se propone en primer lugar dar cuenta del conocimiento humano. Desdeeste punto de vista, el conocimiento es algo esencialmente ligado a la experiencia.

Por 'experiencia' Kant entiende 'experiencia posible'. O sea, es cognoscible todoaquello de lo que en principio podamos tener una experiencia. Y ¿cómo es posible elconocimiento? Es posible porque estamos epistemológicamente condicionados. Poruna parte, tenemos impresiones sensoriales o, como Kant las llama, 'intuiciones' y, por la otra, operamos con conceptos o, en su terminología, con categorías. El cono-cimiento empírico es una síntesis de sensoriedad e intelecto. Desde esta perspectiva,Kant es un empirista radical. De hecho, se le podría adscribir la posición de los empiristaslógicos, si no fuera porque él no aborda los temas de los que se ocupa desde la perspec-tiva del lenguaje, sino desde la perspectiva del conocimiento y del funcionamiento de lamente. Pero hay un punto importante de coincidencia entre Kant y los positivistaslógicos: todo lo que sea inverificable es inaceptable: incognoscible paraKanty asignificativo para los empiristas lógicos.

1' Para una breve presentación de la posición de Goethe, véase el capítulo "Colores" en mi EnigmasFilosóficos y Filosofía Wittgensteiniana (México: Edere, 2002).

120




Kant se ve forzado por su propio planteamiento a distinguir entre las cosas de lasque tenemos experiencia y las cosas en sí mismas. De éstas no sabemos nada, pero

parecería que tenemos que presuponer su realidad, porque de lo contrario no podría-mos salir de los pantanos de la gnoseología empirista clásica. Ahora bien, aunqueconsideremos las cosas en sí mismas como entidades reales, nada de lo que digamosse les aplica o, mejor dicho, no podemos saber si lo que decimos y que vale para las"apariencias" vale también para ellas. El conocimiento, como se dijo, está ligado a laexperiencia, en el sentido de experiencia ordenada, es decir, captada sensorialmentey categorizada. Como el mundo no puede ser meramente de apariencias, tenemosque presuponer que detrás de éstas hay un mundo de entidades tales como son en símismas, independientemente de cómo accedamos a ellas, sólo que de nada concer-niente a ellas podemos hablar, por la sencilla razón de que siempre que hablemos de

algo ese algo habrá sido ya absorbido, por así decirlo, por nuestra red mental. Sea loque sea, si hablo significativamente de algo entonces automáticamente ya convertí aese algo en un objeto de experiencia posible. En este sentido hay un sorprendente ysugerente paralelismo entre, por una parte, los razonamientos de Kant y, por la otra,los de Parménides y de Meinong.

Es obvio, pues, en qué sentido Kant es un realista empírico: él defiende un empirismoradical sólo que, para evitar los absurdos y las contradicciones a los que se venllevados los empiristas tradicionales, Kant intenta superar el obstáculo que representala idea de un mundo de apariencias. Por lo tanto, sus experiencias no son nada más

experiencias subjetivas de un agente. Por ser realista, las experiencias de las queKant habla son, por así decirlo, "objetivas". En eso consiste su "realismo". Por lotanto, Kant está aquí jugando un papel doble: enfatiza la subjetividad y luego la supri-me en aras del conocimiento. Esto nos lleva a examinar el otro lado de la moneda,esto es, la tesis del idealismo trascendental.

Kant sostiene que el espacio y el tiempo son las formas puras de la intuiciónsensible. En otras palabras: es sólo bajo la modalidad de espacio (relaciones espacia-les) y tiempo (relaciones temporales) que, de acuerdo con él, podemos tener expe-riencias de objetos. Desde esta perspectiva, el espacio y el tiempo son simplementecondiciones de posibilidad de la experiencia. Es éste un punto de vista muy afín al delTractatus. El espacio en particular es requerido para que podamos tener la idea deobjetos "fuera" de nosotros y de objetos que son independientes unos de otros. Estosuena bien, pero habría que fijarse en que la trampa ya está puesta, porque las expe-riencias de las que Kant habla no son meramente subjetivas. O sea, Kant parecemanejar, además de una noción simple de experiencia como recepción de data, otradiferente. En este segundo sentido, la experiencia kantiana no es mera vivencia, unmero contenido de la conciencia, sino que es experiencia organizada y, por lo tanto,

121



ESPACIOS Y GEOMETRÍA

de algo. Una experiencia sensorial cruda cualquiera que no fuera "espacial" no seríauna experiencia en el sentido kantiano. El hecho de ser espacial (y temporal) introdu-

ce un rasgo de objetividad que cambia la naturaleza de la experiencia e indica, por lotanto, que se está hablando de experiencias en un sentido que no es, por ejemplo, elde la experiencia pura de los empiristas. Kant sostiene que en su sentido de expe-riencia, el espacio es esencial y, para evitar acusaciones de aseveraciones inverificables,limita todo su discurso sobre el espacio y el tiempo a sus "experiencias" y rehusa pronunciarse sobre si el espacio y el tiempo valen también para las cosas en sí. Peroen realidad, lo que queda claro es que todo su discurso sobre las cosas en sí se vuelveentonces perfectamente redundante: el rasgo de objetividad de la experiencia, reque-rido para poder hablar del conocimiento humano, quedó previamente introducido. Es por eso que a Kant no le preocupa especular sobre si el espacio, la aritmética, eltiempo, etc., valen o no para las cosas en sí: valen para los objetos de experiencia, queson externos al sujeto y los únicos relevantes para el conocimiento.

Si apelamos a las nociones de espacio y de geometría que hemos considerado:¿qué es lo que Kant sostiene? De inmediato queda claro que él no distingue entreespacio perceptual y espacio real. Una vez más, él de hecho maneja dos nociones deespacio real, desdeñando una de ellas. Hay un espacio real, que es el de las experien-cias posibles, y un supuesto espacio real que es el de las cosas en sí mismas y que anadie importa. Ahora bien, su espacio es simultáneamente el perceptual y el físico, pues es el espacio de los objetos de experiencia, es decir, de los objetos del sentido

externo. Dicho espacio es, según Kant, euclidiano, pues es el espacio descrito por lageometría euclidiana. Kant, no imagina que puede haber un número infinito de espa-cios matemáticos, pero eso es algo que, por razones obvias, no se le puede criticar: silos matemáticos de su época no habían inventado sistemas geométricos alternativos,ni Kant ni nadie podía saber de ellos y por lo tanto él no estaba en posición de consi-derarlos. Ahora bien, eso no lo exime del error, independientemente de que su errorhaya quedado al descubierto muchos años después. ¿En qué consiste el error deKant en lo que al espacio concierne? Primero, en que no distingue entre espaciofísico y espacio perceptual y, segundo, en que sostiene que tanto el primero como elsegundo, que según él son uno y el mismo, son euclidianos.

Consideremos ahora la teoría kantiana de la geometría. Ésta es para él ante todouna descripción del espacio, en el sentido omniabarcador en que él maneja el término.En relación con esto podemos categóricamente afirmar que Kant quedó, al igual que Newton, empíricamente refutado. Es interesante notar, no obstante, dos cosas. Pri-mero, que puede sostenerse con un alto grado de plausibilidad que la posición kantianafue elaborada con miras a refutar ni más ni menos que a Newton. En la medida enque éste sostenía que el espacio era algo real e independiente de lo que en él se

122




encuentra, Newton estaba comprometido con la idea de que debemos de uno u otromodo tener la experiencia del espacio. Pero ¿qué clase de experiencia sería esa?

Nosotros tenemos experiencias de objetos situados a diferentes distancias unos deotros, pero ¿experiencia del espacio vacío? Fue para salir de este problema que Kantse lanzó por la senda del idealismo trascendental. No obstante, hay un sentido en elque él siguió siendo newtoniano y eso es lo que explica que los avances de la cienciaque significaron la derrota de Newton representaron también la bancarrota delkantismo. Empero, Kant hizo una aportación magistral a la cuestión de la naturalezade la geometría: para él, las proposiciones de la geometría son sintéticas a priori.Esto amerita algunas aclaraciones.

La posición actual más extendida es que la geometría, en tanto que rama de lasmatemáticas, es ciertamente a priori, pero también analítica. Lo que en ella se hace

es deducir teoremas a partir de ciertos axiomas. Dejando de lado diversas cuestionesrelacionadas con la posibilidad de traducir los resultados de la geometría a los deotras ramas de las matemáticas, lo que sí podemos afirmar es que desde la perspec-tiva tradicional más extendida, esto es, la empirista lógica, la concepción kantiana dela geometría (considerada como un sistema puramente formal) es acertada por cuantola hace una disciplina a priori, pero falsa por cuanto la convierte en sintética. Eneste punto Kant estaría claramente equivocado. Por otra parte, si de lo que hablamoses de la geometría física, entonces se le puede reconocer a Kant que la geometría essintética, pero no ya que es a priori. Después de todo, la geometría física forma

parte de hipótesis físicas y, en esa medida se convierte también en una hipótesisempírica más. Nos queda por considerar la noción kantiana de geometría en tantoque aplicable al campo de la experiencia visual, de la experiencia inmediata. Piensoque éste es el contexto en el que la concepción kantiana de la geometría y el espacioes casi totalmente acertada. Kant diría que la experiencia sensorial es necesaria yesencialmente euclidíana. O sea, el espacio perceptual es euclidiano y la geometríadel espacio perceptual no es analítica ni podría, por razones evidentes de suyo, ser a

posteriori. En este punto la posición de Kant es sorprendentemente cercana, aunqueno idéntica, a la de Wittgenstein.

Si lo que hasta aquí hemos afirmado es plausible, podemos entonces inferir que es básicamente por falta de distinciones, no de ingeniosidad, que las grandes teorías delespacio y la geometría han culminado en el fracaso. Creo que con Wittgenstein selogró avanzar en el terreno de la comprensión y que se sentaron las bases para elesclarecimiento progresivo de la investigación concerniente a los espacios y a lasgeometrías. Lo que ahora me propongo hacer es atar cabos y tratar de estableceralgunas conclusiones que permitan redondear nuestro enfoque y tratamiento del tema.

123




de cómo proceder para hacer ciertos cálculos las fija la geometría. En terminologíawittgensteiniana, la geometría es la sintaxis de nuestras descripciones en relación con

las cuales queremos realizar operaciones de cierta clase (cálculos de distancias, deáreas, de volúmenes, etc.). Sin dicha "sintaxis" las descripciones no podrían rebasarel nivel puramente fenomenológico. Pero, y esto es muy importante, la geometría,euclidiana u otra, no es ella misma la descripción de nada.

El famoso axioma de las paralelas puede servir para ilustrar lo que hemos dicho.Como se ha hecho ver en más de una vez, el axioma euclidiano de las paralelas esmatemáticamente sospechoso. No es deducible de los demás axiomas de Euclides nihay forma de probarlo. Empero, así considerado, el problema que plantea es un problema interno a las matemáticas y por lo tanto cae fuera de nuestro ámbito de discu-sión. Por otra parte, es claro que dicho axioma contribuye a conformar un espaciomatemático particular, viz., el euclidiano. Pero para nuestros objetivos el punto real-mente interesante es más bien el de la relación de dicho axioma con el espacio per-ceptual. Lo interesante de dicho axioma, es que muestra que puede darse una ciertadiscordancia entre los data de la vista y del tacto. Yo diría, permitiéndome un barba-rismo, que el axioma en cuestión es táctilmente verdadero y visualmente inexacto:transita de verdadero a falso en función de las distancias involucradas.

Aunque quizá se podría acusarnos de caer aquí en un psicologismo inaceptable,me parece que podemos sostener que el fundamento de la geometría como cienciason en última instancia las posiciones y las relaciones "geográficas" (por llamarlas de

algún modo) de o en nuestro campo visual. O sea, la idea de relación geométricatiene que tener su origen en las posiciones y relaciones básicas que nos sirven paraubicarnos y orientarnos en el espacio perceptual. Posteriormente, dicho sistema deejes básicos se puede sistematizar e idealizar y lo que entonces tenemos es, primero,la geometría euclidiana y, después, las geometrías no-euclidianas. Este proceso dehecho se desarrolló aún más, puesto que lo que se logró hacer fue conectar de manerasistemática la geometría con la teoría de los números, de modo que cualquiersistema geométrico puede ser presentado como una teoría numérica axiomatizada.Pero es obvio que estos desarrollos ulteriores no eliminan la dependencia original delas nociones geométricas vis-á-vis la experiencia visual.

Los sistemas geométricos tienen ámbitos precisos de significación. 'Línea recta'en un espacio plano no significa lo mismo que 'línea recta' en un espacio curvo.Podría argumentarse que en ambos casos se quiere decir lo mismo, a saber, la distan-cia más corta entre dos puntos. Sin embargo, esta mismidad de significado no pasa deser una fórmula compartida, porque las clases de líneas en cuestión son diferentes.Después de todo, una línea recta euclidiana no es lo mismo que una geodésica. Noobstante, creo que lo que habría que defender es más bien la idea de que los sistemas

125




geométricos son inconmensurables. Lo que eso quiere decir es simplemente que lasafirmaciones que se hagan en un contexto son ininteligibles en otro. Lo mismo pasa

con el axioma de las paralelas. Y esto está conectado con múltiples otros temas,como por ejemplo temas de percepción. Dada la definición euclidiana de 'paralelas',las líneas del diagrama ciertamente no lo son. Pero ¿no son acaso paralelas en otroespacio? Ello es perfectamente viable y dependerá de las definiciones que se ofrez-can. Si por medio de esas nuevas definiciones se pueden hacer cálculos confiablesen, digamos, un espacio curvo, entonces esas líneas son paralelas, aunque obviamen-te no lo sean en el sentido euclidiano.

Así, el que ciertas líneas sean paralelas o no no es un asunto nada más de percep-ción, sin algo que depende de las definiciones que se ofrezcan, de la clase de ecuacionesque se resuelvan, de las aplicaciones que tengan los signos, etc. Y lo que obviamenteno tiene el menor sentido intentar hacer es traspasar una noción de un sistema a otro.

¿Qué relaciones se dan entre el espacio perceptual y el espacio físico? Lo primeroque hay que recordar es que en la física actual la noción de espacio ya no se usa

sola: el concepto con el que se le reemplazó es el de "espacio-tiempo". Pero dejandode lado esta cuestión, lo que quisiéramos saber es lo siguiente: decididamente, elespacio físico no es un espacio de experiencia, pero entonces ¿no es real? El espaciofísico es un espacio teórico y, por lo tanto, es un espacio construido. De acuerdo conRussell, por ejemplo, el espacio físico es un espacio de seis dimensiones, puesto quees una estructura de tres dimensiones constituida por medio de espacios de tresdimensiones, es decir, es una estructura tridimensional en el que cada punto es unespacio de tres dimensiones. Si así efectivamente es el espacio de la física, entonceses claro que no se trata de un espacio de experiencia. Pero entonces ¿cuál es elstatus del espacio físico, si el único espacio de experiencia para nosotros es un espa-cio tri-dimensional? Desde la perspectiva que hago mía, la noción física de espacio esla de un constructo que se requiere para poder efectuar cierta clase de mediciones ytoda una variedad de cálculos. Pero nuestro aparato perceptual ciertamente no estáadaptado para el "espacio-tiempo". Por ejemplo, nosotros podemos hablar de una

126




imagen mental o de un recuerdo que tuvimos en un momento dado, pero sería absur-do preguntar por la ubicación espacial de la imagen o del recuerdo.

Consideremos ahora rápidamente la idea de espacio vacío. Es, obviamente, unaidea intrigante. El Tractatus, como vimos, la hace suya, al igual que Newton y Kant.Pero examinémosla en relación con cada uno de los espacios considerados. Primero:¿qué sería hablar de espacio vacío en relación con el espacio perceptual? Si no hayexperiencia alguna de espacio en estado puro sino sólo de objetos manteniendo entresí relaciones espaciales, la idea de espacio sin objetos sería algo así como la idea deceguera total, de oscuridad completa, de no percepción en lo absoluto. Si se admiteque el espacio perceptual puede estar vacío, daría lo mismo tener los ojos abiertosque a la inversa, pero ¿puede decirse que se ve algo cuando se tienen los ojos cerra-dos? Es obvio que no. Infiero que la idea de espacio de experiencia sin objetos de

experiencia, esto es, objetos perceptuales, equivale a la supresión del espacio percep-tual y no puede más que dar lugar a sinsentidos. Consideremos ahora los espaciosmatemáticos: ¿tiene acaso sentido hablar de espacios matemáticos vacíos? El únicosentido con que puedo dotar a la expresión 'espacio matemático vacío' es que setendrían ciertas reglas que están allí, pero que no se usan. O sea, las reglas serían potencialmente utilizables, pero mientras no se utilizaran no podría con todo rigorhablarse de espacios matemáticos. Los espacios matemáticos son, como las demásentidades matemáticas, construibles. De ahí que no tiene sentido preguntar si sonreales o no mientras de hecho no se les construya. Es como si dijéramos que el dígito

número ciento cincuenta en la expansión de TÍ es el 3: mientras no se construya dichaexpansión, el 3 ni está ni no está. Eso es algo que la construcción misma determinará.Lo mismo sucede, mutatis mutandis, con los espacios matemáticos y sus contenidos.De ahí que tampoco en este caso tenga mayor sentido hablar de espacios vacíos. Porúltimo: ¿qué querría decirse al hablar del espacio físico como de un espacio vacío?Me parece que, una vez más, la idea es ininteligible. El espacio de la física no es una presuposición, sino una construcción teórica que presupone otras entidades teóricas.Pretender usar el concepto sin sus presuposiciones es mutilarlo y, por ende, inutilizar-lo. Todo ello me lleva a la conclusión de que, contrariamente a lo insinuado en elTractatus y a lo sostenido por diversos pensadores importantes, la idea de espaciovacío no es más que una fórmula huera que no permite construir ningún pensamientogenuino.

127



Teoría de Conjuntos y Filosofía1

I) Introducción

a teoría de conjuntos es una disciplina que, ciertamente y más que muchasotras, da qué pensar. Por una parte, se trata de una técnica simbólica sólida-mente establecida y bien implantada en la mente del matemático estándar,

una herramienta de la que con facilidad se sirve un cálculo en el que a primera vistaal menos se obtienen resultados tan objetivos como en cualquier otra rama de las

matemáticas. Por otra parte, sin embargo, es una disciplina plagada de nudos con-ceptuales, de huecos teóricos, carente de transparencia respecto a su verdaderautilidad y, hay que decirlo, filosóficamente sumamente turbia en lo que a su status y asus implicaciones epistemológicas y metafísicas concierne. La verdad es que no esimplausible sostener que la teoría de conjuntos constituye el mejor ejemplo de disciplinaen la que se conjugan en forma evidente el manejo de una técnica con la incom- prensión de la técnica en cuestión.

No debería, pues, resultarnos sorprendente el que, al leer los escritos de los teóri-cos de conjuntos casi den ganas de decir: "mientras mejores son técnicamente, me-nos entienden lo que hacen!". Imposible no traer a colación la última sección de las

Investigaciones Filosóficas, en la que Wittgenstein traza un interesante paralelismoentre la psicología y las matemáticas: "La confusión y la aridez de la psicología nohan de explicarse porque se le llame una 'ciencia joven'; su situación no es compara-

1 Para este ensayo me beneficié de múltiples observaciones precisas, correcciones puntuales y críticasdetalladas por parte del Dr. Guillermo Morales Luna y de la Mtra. Sandra Lazzer, a quienes les estoy profundamente agradecido. La responsabilidad respecto a los potenciales errores remanentes en elartículo recae, como es natural, sobre mí.

L



TEORÍA DE CONJUNTOS

ble a, por ejemplo, la de la física en sus inicios. (Más bien, lo es a la de ciertas ramasde las matemáticas. Teoría de conjuntos). Porque en psicología tenemos métodos

experimentales y confusión conceptual. (Así como en el otro caso tenemos confusiónconceptual y métodos de prueba)".2 Ciertamente no son la psicología y las matemáticaslos únicos casos de ciencias plagadas de confusiones e incomprensiones. Otro caso pa-radigmático e igualmente ilustrativo nos lo proporciona la física. Sería en verdaddemencial dudar de la efectividad del éxito de la investigación empírica del físico, pero lo que ni mucho menos es descabellado es cuestionar la interpretación que elfísico hace de su propio trabajo y de sus resultados. Es precisamente porque el físico, por no estar capacitado para ello, no puede dar cuenta de lo que hace lo que explicaque sea él mismo quien más contribuya a la proliferación de enredos y enigmas filo-sóficos en física. Este "no poder dar cuenta" no alude, obviamente, a una incapacidad

intelectual por parte del científico, sino meramente a una falta de entrenamiento parala producción de cierta clase de aclaraciones. El diagnóstico general de dicha situa-ción es relativamente simple y consiste en que si bien el físico es un especialista en unárea científica determinada, lo cual lo convierte en un manipulador de cierta jerga yde ciertos métodos de investigación, de todos modos sigue siendo un hablante normal,natural. Así, es el físico mismo quien, tan pronto intenta expresar en el lenguaje natu-ral sus resultados alcanzados por medio de un "lenguaje" técnico, quien mejor quenadie tergiversa sus propios resultados y engendra los formidables enredos filosófi-cos que rodean a la física. Es cuando quiere expresar sus resultados que el físico se

ve forzado a construir metáforas, a acuñar símiles, a establecer paralelismos, etc.,con cosas o fenómenos que nos son familiares, pero es precisamente por ello que prácticamente nunca logra decir lo que realmente quería decir. Nada más absurdo, porejemplo, que dejarse llevar por la similitud de construcción gramatical y leer una propo-sición de la física como 'la materia es energía concentrada' o 'E = me2' sobre elmodelo de 'el pan está hecho de harina' o 'Napoleón = el vencedor de Marengo'.Son, pues, las limitaciones de expresión intrínsecas al lenguaje natural lo que inducenal físico a formular tesis de carácter filosófico y es allí que inevitablemente él incurreen el error y en la confusión. Nótese, sin embargo, que el error filosófico del físico nole impide seguir adelante con sus investigaciones empíricas; lo único que logra esobstaculizar la comprensión de su propia práctica científica. Es por confusiones filo-sóficas que el hombre de ciencia cree estar haciendo algo muy diferente de lo que enrealidad hace.

L. Wittgenstein,PhiIosophicalInvestigations(Oxford: Basil Blackwell, 1974), Parte II, sea xiv.

130




Como fácilmente podrá apreciarse a medida que avancemos, mucho de lo queafirme en este ensayo está directamente inspirado por lo sostenido por Ludwig

Wittgenstein, tanto en el Tractatus Logico-Philosophicus como en las Remarks onthe Foundations of Mathematics. Ello es comprensible si no perdemos de vista que,en última instancia, nuestra meta suprema no es otra que la de destruir mitos cons-truidos en torno a la teoría de conjuntos y generar una visión deflacionaria de lamisma. Estoy convencido de que es factible aceptar la técnica de la teoría de conjun-tos sin para ello vernos comprometidos con los absurdos filosóficos usuales, indepen-dientemente del corte o de la estirpe que sean.

II) Notas Propedéuticas

Algo que de inmediato llama la atención es el carácter declaradamente práctico de lateoría de conjuntos, lo cual en alguna medida explica la ausencia en ella de especula-ciones y de lo que, en sentido estricto, podríamos llamar 'teorización'. Esta observa-ción conduce eo ipso a la pregunta: ¿por qué entonces hablar de "teoría" en estecaso? Antes de pronunciarnos al respecto, me parece que sería pertinente decir unascuantas palabras acerca de lo que es una teoría, de manera que podamos contrastarlo que afirmemos con lo que digamos acerca de lo que podríamos denominar los'instrumentos de las teorías'.

Sin pretender ofrecer otra cosa que una respuesta general pero que sea tal quenos permita responder a nuestro interrogante inicial, preguntémonos: ¿qué es unateoría?

Para empezar, quisiera señalar que por 'teoría' voy a entender 'teoría empírica', porque si algo puede servir de paradigma en este sentido ese algo es precisamenteuna teoría de las ciencias "duras". Así entendida, una teoría es ante todo una cons-trucción proposicional elaborada por medio de un aparato conceptual particular. Di-cho aparato presupone un vocabulario técnico, adhoc, caracterizado por una peculiarrelación con la experiencia perceptual normal. Esto es comprensible: después de

todo, si una teoría es empírica es porque las afirmaciones que permite hacer son, deuna u otra forma, de manera más o menos directa (o inclusive indirecta) corroborablesen la experiencia. La importancia del nuevo aparato conceptual consiste en que conél automáticamente quedan acotadas las áreas por investigar. O sea, los conceptosempleados delimitan el área de investigación. La realidad que se estudia es la quequeda delimitada o recortada por los conceptos de que se trate. Una provechosaconsecuencia de esto es que en ciencia siempre se sabe de qué se habla y, másimportante aún, en general se puede determinar con precisión qué es un problema y

132




qué no lo es, qué es una pregunta genuina y qué es una pseudo-difícultad. Lo que una pregunta formulada por medio de palabras que no pertenecen a la teoría plantea es

un pseudo-problema. Esto no significa ni implica que entonces la resolución de cual-quier problema será algo fácil o automático una vez hecho un planteamiento legítimo.Lo único que sostengo es que, en general, en ciencia se puede determinar si una pregunta es relevante o no y si lo que se presenta como un problema efectivamentelo es o no. Desde luego que hay casos problemas, casos en los que en una primeraetapa al menos no se puede saber si el problema es genuino o no. Así pasó con, porejemplo, los famosos rayos F, a principios del siglo pasado. Sin embargo, aunque la polémica se extendió más de lo que hubiera sido deseable, lo cierto es que después demúltiples experimentos, de resultados fallidos, de reveses en las predicciones, deexplicaciones alternativas efectivas, etc., los rayos T fueron descartados y la rama de

la física que se ocupaba de ellos pudo seguir entonces su desarrollo lineal usual.Inclusive, puede darse el caso de que se pueda hacer ver que algo no se puedeobtener. Ese fue el caso, por ejemplo, de la vacuna en contra del SIDA: en 1987, loscientíficos podían determinar con precisión que antes de 20 años era experimental-mente imposible producir una vacuna en contra del SIDA. Es claro, sin embargo, queesto no echa por tierra lo que hemos afirmado: un resultado negativo puede ser tam- bién un resultado establecido científicamente. Y un último punto en relación con lascaracterísticas de las teorías: éstas siempre requieren de un instrumental especial, deuna especie de lenguaje ad hoc para ellas. Este "lenguaje" lo proporcionan o lo

constituyen las matemáticas. ¿Con que podemos contrastar las teorías? En primer lugar, con las descripcionesque hagamos en el lenguaje natural. Esto, empero, no es relevante para nuestros propósitos. Lo que para nosotros en cambio sí es importante es el contraste que podemos trazar entre la teoría y el instrumental del que la teoría se sirve, esto es, lasmatemáticas. Podría objetarse que no hay tal distinción sobre la base de que en algúnsentido el instrumental forma parte de la teoría misma. Esto, sin embargo, no pareceser exacto, por la sencilla razón de que ese mismo instrumental forma parte de cual-quier otra teoría. Lo que esto a su vez hace ver es que se trata de un cuerpo simbó-lico lógicamente independiente. Las matemáticas son un "lenguaje" universal, en elsentido de ser un instrumental útil en o para cualquier ciencia particular. Así, porejemplo, una cosa es una teoría acerca de la materia y otra una teoría acerca deflujos de capital, pero las matemáticas de la física y las de la economía son (o puedenser) las mismas. Ahora bien ¿por qué son importantes los instrumentales simbólicosen o para las teorías empíricas? La respuesta es sencilla y obvia. En primer lugar, porque es por medio de ellos que se pueden hacer mediciones, cálculos, predicciones;en segundo lugar, porque son parte del instrumental que permite hacer transiciones. A

133




este respecto, recordemos la muy atinada observación de Wittgenstein en el Tractatus:"En la vida no es nunca una proposición matemática lo que necesitamos. Más bien,

empleamos proposiciones matemáticas únicamente para inferir de proposiciones queno pertenecen a las matemáticas otras que, de igual modo, tampoco pertenecen a lasmatemáticas".3 Así, pues, y esto es muy importante, el rol de las matemáticas en lasciencias es puramente operativo. Pero esto último tiene consecuencias nadadesdeñables y una de ellas sin duda es que si efectivamente ese es el rol de lasmatemáticas es porque las matemáticas no aportan nada sustancial a las teorías enlas que se incrustan. Dicho de otro modo, las matemáticas no contribuyen con ningu-na clase de ontología. No hay un universo matemático que, por así decirlo, se sume alos de las teorías mismas. No hay, además de las entidades físicas o biológicas presu- puestas por las teorías, un universo de números que de alguna extraña manera se

funda con ellas. Las teorías empíricas no estudian universos abstractos, sino queestudian el mundo real por medio de abstracciones. Pero si las teorías empíricas noversan sobre realidades misteriosas y desconectadas del mundo real y las matemáti-cas no son más que un instrumento para las teorías, lo que empieza a vislumbrarse esla idea de que la concepción misma de un mundo de entidades matemáticas abstrac-tas es una aberración. No hay, en el sentido ontológicamente relevante de 'haber',universos matemáticos.

Si nuestras suspicacias referentes a las "ontologías formales" ejemplificadas enlas matemáticas están justificadas, lo que era un sospecha se convierte en una certeza

cuando llegamos a la teoría de conjuntos. Por lo pronto, nuestra pregunta es: ¿es lateoría de conjuntos una teoría o un instrumental para las teorías? Para ser más preci-so, quizá lo que deberíamos preguntarnos es si la teoría de conjuntos es una teoría, enel sentido delineado más arriba, o si no es más bien un instrumental para las matemá-ticas! La pregunta es entonces: ¿es la teoría de conjuntos una teoría en sí misma o esmás bien un instrumental para un instrumental? A reserva de intentar desarrollar laidea más abajo, quisiera adelantar mi punto de vista. Desde mi perspectiva, la teoríade conjuntos no es más que la gramática (o parte de ella) de los lenguajes matemáti-cos. Es un instrumental conceptual ideado para poner orden en el mundo de los nú-meros y de las estructuras matemáticas, exhibiendo las reglas que rigen a los sistemasmatemáticos. Se apeló a la teoría de conjuntos en primer término para el esclareci-miento de algunos tópicos matemáticos y una vez demostrada su utilidad y, por lotanto, una vez "establecida", tuvo (como siempre en matemáticas) un desarrollo "in-manente". Pero es claro ahora que si era debatible hablar de ontología, de universos,

3 L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), 6.211 (a).

134




de entidades al hablar de las matemáticas, al hablar del instrumental para las mate-máticas un discurso así se vuelve no sólo absurdo sino peligrosamente absurdo, por

mitologizante y hechicero.

III) Matemáticas

Tal vez debamos, antes de seguir adelante, decir unas cuantas palabras acerca de lasmatemáticas mismas. No es desde luego nuestro propósito añadir una definición mása la larga lista de las que ya han sido ofrecidas a lo largo de la historia de la filosofía.Es bien sabido que, desde que recurrieron a ellas, los hombres se han preguntado quéclase de verdades son las verdades matemáticas y de qué clase de entidades seocupan. Las caracterizaciones de las matemáticas han sido de lo más variado y, porlo general, igualmente inútiles unas que otras. Por ejemplo, es claro que no se nosesclarece nada si se nos dice que las matemáticas son "la ciencia de las cantidades"o si se afirma del número que es "la unidad dentro de la multiplicidad" o cosas por elestilo. Ahora bien, lo que estos fracasos definicionales ponían de relieve era simple-mente que los matemáticos estaban en la muy incómoda situación de tener una "cien-cia", que sistemáticamente desarrollaban y a la que de todas las áreas del conocimientose recurría, de la cual sin embargo eran incapaces de dar cuenta. Es precisamente eneste punto que se revela la utilidad de la teoría de conjuntos: con este nuevo armatoste

formal se pudo finalmente elaborar una explicación adecuada de la naturaleza delnúmero, de los principios matemáticos (inducción, las operaciones aritméticas, etc.) yde las estructuras algebraicas con las que se trabaja en matemáticas. Se pudo asísuperar la fase del recurso a las imágenes y a las metáforas y sustituirlas por defini-ciones precisas. De ninguna manera, sin embargo, el progreso representado por lateoría de conjuntos autorizaba, como lo han pensado sus adeptos, a hablar de "reduc-ciones ontológicas" ni de nada que se le parezca. Sobre esto, naturalmente, regresa-remos más abajo.

Desde nuestro punto de vista, el rasgo fundamental de las matemáticas es que

éstas se constituyen a través de sistemas regidos por lo que Wittgenstein denomina'relaciones internas'. Los números naturales, por ejemplo, forman una serie regida por una relación interna, una ley de expansión. Las matemáticas son sistemas quecrecen, pero lo hacen en concordancia con leyes formales. No hay nada empírico enellas. Por otra parte, la afirmación de que en matemáticas nos las habernos consistemas distintos, como por ejemplo los constituidos por los números enteros natura-les y los números irracionales, se funda en la constatación de que damos explicacio-nes diferentes de ellos. Esto exige ciertas aclaraciones para ser debidamente entendido.

135




Es evidente, o debería serlo, que el simbolismo matemático es un simbolismo pa-rasitario del lenguaje natural. En verdad, su funcionamiento se entiende sólo cuando

se describe su íntima conexión con este último. Podría imaginarse (con dificultades,es cierto) una sociedad con un lenguaje carente de números, pero no una sociedadque nada más dispusiera de matemáticas. Por lo tanto, por lo menos en el caso delsistema numérico más simple, que es el de los números naturales, la explicación de sufuncionamiento y utilidad exige que los veamos como teniendo algo que ver con las palabras del lenguaje. Ahora bien, la clase de palabras que más directamente estárelacionada con los números es la de los adjetivos. Desde esta perspectiva podemosafirmar que, si los adjetivos significan conceptos, un número natural no es entoncesotra cosa que la extensión de un concepto. Decir que hay tres objetos rojos es decirque este objeto es rojo y este otro objeto es rojo y este otro objeto también es

rojo. O sea, los tres objetos son (en este ejemplo) la extensión del predicado "serrojo" y lo que vale para el 3 vale para cualquier otro número, por inmenso que sea(e.g., 200626). Esto es importante, porque permite comprender que tiene sentido decirque existen los objetos y lo rojo, pero que no hay bases para decir lo mismo del 3. Elnúmero 3 no es más que un mecanismo lingüístico simple que emerge de una necesi-dad natural de contar y de distinguir objetos unos de otros (o de agruparlos, según elcaso), siendo contar una forma de lidiar con los objetos, de enfrentarse a ellos. El quese use el signo '3' como sujeto de oraciones no convierte a '3' en un nombre propio.Los números son conceptos formales, no conceptos genuinos, como "rojo" o "ser padre

de". De ahí que, como bien se señala en el Tractatus, la noción crucial para entender laidea de número sea no la de objeto, sino más bien la idea de operación. Es por eso queWittgenstein afirma que "Un número es el exponente de una operación".4

Lo anterior es claramente una manera aceptable de explicar funcionalmente loque es un número entero natural. No obstante, una explicación así podría resultarleinaceptable (o por lo menos insuficiente) a quien considerara otras clases de núme-ros, verbigracia los irracionales. A primera vista al menos, podría dudarse de que lacaracterización de Wittgenstein permitiría explicar lo que es, por ejemplo, 'V2'. Em- pero, para él también los números irracionales son exponentes (o factores) de opera-ciones, sólo que hay que entender la especificidad de las operaciones en función delas cuales quedan caracterizado. Lo que Wittgenstein sostiene es que, puesto que losnúmeros irracionales pueden expandirse ad infinitum, la idea de número irracionalestá ligada más que a otra cosa precisamente a la idea de expansión de una ley. Estoúltimo, sin embargo, no invalida la definición introducida en conexión con los números

* Ibid., 6.Ó21-

136




naturales, sino simplemente nos hace ver que ésta era una caracterización sumamentegeneral y que requiere de especificaciones particulares en función de las clases de

números que se estén considerando. Por eso, puesto que cualquier número irracional puede expandirse o crecer tanto cuanto se quiera, nuestra atención habrá de fijarseno en una etapa particular de la expansión sino en la regla misma que la rige, esto es,la ley formal involucrada, y esto nos retrotrae a la noción de operación. Así, pues,aunque se tengan que dar explicaciones diferentes de sistemas numéricos distintos,de todos modos los números siguen siendo exponentes de operaciones. Ahora bien, loimportante de este contraste de explicaciones es que nos permite entender que con loque nos las habernos en matemáticas es con una variedad de sistemas que son encierto sentido acumulativos, pero que quedan caracterizados en función de leyes oreglas diferentes, y por ende de operaciones diferentes. Wittgenstein siempre apro-

vechó, en ambos sentidos, un cierto paralelismo que se da entre números y proposi-ciones: así como una proposición es todo aquello que se parece a lo que se denomina'proposición', a la proposición paradigmática, y que es sometida a los mismos proce-dimientos y reglas que ésta, así también un número es todo aquello que se parece a loque en primer término llamamos 'número' y que permite un tratamiento semejante.Estrictamente hablando, el 2 del conjunto de los números naturales no es el 2 de 'V2'.Una explicación semejante se puede avanzar en relación con, por ejemplo, Xo.

Algo de primera importancia que de uno u otro modo se deriva de lo anterior esque los simbolismos matemáticos son sistemas rígidos, de carácter funcional u opera-

tivo, indispensables quizá pero en todo caso no descriptivos de nada. En matemá-ticas no se habla de nada, puesto que el simbolismo matemático no es, estrictamentehablando, un lenguaje. Como una consecuencia de lo anterior habría que reconocerque "Las proposiciones de las matemáticas no expresan pensamientos".5 Las mate-máticas no versan sobre nada; por decirlo de alguna manera, no tienen tema. En palabras de Wittgenstein: "La aritmética no habla acerca de números, sino que trabajacon números".6 Es evidente, por otra parte, que si queremos expresar algo respectode los números naturales inevitablemente tendremos que hacerlo tomando comomodelo las oraciones normales del lenguaje natural. Son, pues, nuestras formas nor-males de expresión lo que nos confunde. Por ejemplo, el que 3 sea un número primoes algo que se muestra en nuestras operaciones. '8-^-4' me da como resultado unnúmero entero, en tanto que '3 -^ 4' u '11 + 4' no. Que el 3 o el 11 sean números

s Ibid., 6.21. 6 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas. Traducción de Alejandro Tomasini Bassols (México: IIF/ UNAM, 1997), sec. 109.

137




primos es algo que se revela o se muestra en las operaciones que se hagan, en elcálculo mismo. Empero, tan pronto dejamos el cálculo y pasamos a hablar de los

números, al margen ya de las operaciones que con ellos efectuamos, pretendiendoexpresar en palabras sus rasgos característicos o esenciales, los reifícamos y al ha-cerlo nos extraviamos intelectualmente. Al decir 'el 3 es un número primo' impercep-tiblemente cambiamos su status y lo que era una regla del sistema queda convertidaen una propiedad de una entidad. Nos vemos llevados entonces a pensar que '3 es unnúmero primo' es como (en el sentido relevante) 'Cantinflas es mexicano' y eso esun error de consecuencias incalculables. No hay tal cosa como proposiciones mate-máticas, aunque nosotros constantemente nos hacemos caer en la trampa de consi-derar las expresiones del simbolismo matemático como si lo fueran. Una regla decálculo y de inferencia se convierte entonces en una descripción y como no hay

entidades físicas observables que respondan a expresiones numéricas automáticamentele resulta fácil a muchos simplemente postular un mundo de entidades abstractas, contodo lo que eso acarrea.

Un reto importante para quien quiera dar cuenta en forma global de las matemá-ticas es que tendrá que explicar su "objetividad". La posición estándar consiste endecir que las proposiciones matemáticas son verdaderas o falsas en el mismo sentidoen que lo son las proposiciones de las ciencias empíricas o las afirmaciones hechasen el lenguaje natural, sólo que lo son de un modo un poco más fuerte. En fraseologíafilosófica esto se expresa diciendo que son a priori. Esto, aparentemente, llevaría a

sostener que si las matemáticas son objetivas ello es porque efectivamente describenun sector especial de la realidad, a saber, el sector abstracto, o por lo menos uno deellos. Pero una posición así no sólo no es explicativa, puesto que se limita a postular loque se quiere hacer pasar por explicación, sino que es mucho menos plausible queaclaraciones alternativas. Por ejemplo, es obvio que las matemáticas tienen una facetaconvencional, sólo que esta faceta se pierde por completo en la explicación usual. ¿Quées lo convencional en las matemáticas? No quiero hacer mío el punto de vista del positivismo lógico de que es por una mera estipulación lingüística que '2 + 2 = 4' esverdadero, esto es, que esa "proposición" verdadera resulta de los significados arbi-trariamente adscritos a los signos involucrados como resultado de alguna clase deconsenso. Yo pienso que resultados alternativos eran viables. Lo que sí es claro esque, una vez establecido el sistema, pensar en concordancia con un sistema alterna-tivo se vuelve imposible. Es por eso o en ese sentido que las matemáticas son a

priori y necesarias. Pero el que así sean no cancela la posibilidad de que otras mate-máticas (que no tenemos y ni siquiera visualizamos) habrían podido establecerse.Esto quizá se explique mejor mediante un ejemplo imaginario.

138




Consideremos el lenguaje de los colores. Tenemos nombres de colores: 'rojo','verde', etc. Los colores a nosotros nos parecen simples. Más aún: constituyen el

paradigma de lo simple. Ahora bien, es perfectamente imaginable que los humanoshubieran elaborado un sistema de nombres de colores en los que, para aplicarlos,fuera necesario considerar otra cosa, como por ejemplo la forma o la saturación delcolor. Por ejemplo, podría hablarse de "rojo" sólo cuando se tratara del color de lasangre, pero si se tratara de un producto químico se tendría que hablar más bien de"rojoq". En ese lenguaje se dirían cosas que nosotros no expresaríamos de la mismamanera y nuestra forma de expresión sería ininteligible (o deformada) para sus usua-rios. Mientras que nosotros decimos que la sangre y la bandera son rojas, ellos diríanque la sangre es roja en tanto que el color de la bandera es rojoq. Por consiguiente,sobre la base de convenciones imaginables diferentes se generarían descripciones

diferentes. Y lo que sostengo es que lo mismo habría podido pasar, mutatis mutandis,con las normas aritméticas. El sistema de aritmética elemental que prevalece no es niel único imaginable ni el único viable. Lo que sí es es ser el sistema que a nosotros, losseres humanos, constituidos como sabemos que lo estamos, que percibimos, reaccio-namos, seguimos reglas, etc., como lo hacemos, mejor nos acomoda (el único, quizá). Nosotros desarrollamos las series al modo como lo hacemos, pero es claro que nohay nada en las series mismas que nos obliguen a desarrollarlas de un modo determi-nado o en las reglas establecidas que nos fuercen a aplicarlas como lo hacemos. Laobjetividad de las matemáticas consiste en que se trata de sistemas simbólicos que,

por su peculiar función, una vez establecidos no hay manera de proceder desviándosede ellos. O sea, no es ni por razones internas al simbolismo matemático mismo ni envirtud de supuestas realidades abstractas que las matemáticas son objetivamenteverdaderas. Hay un número infinito de sistemas matemáticos divergentes, pero detodos los posibles hay sólo uno que a nosotros nos sirve, a saber, el que de hechotenemos y que obviamente no estamos dispuestos a modificar o a remplazar.

Lo anterior nos lleva a una problemática interesante. Parecería que los sistemasmatemáticos tienen un desarrollo inmanente, independiente por completo de la utili-dad que presten. Esto, sin embargo, no es más que un espejismo epistémico. Lossistemas matemáticos tienen un desarrollo inmanente porque son sistemas algorítmicosy están regidos por leyes formales, internas. De hecho, es debatible si podemos hablar de "desarrollo" en estos casos. 'Expansión' parece un término más apropiado.En todo caso, dicho "desarrollo" es factible precisamente porque las matemáticas nodependen en lo absoluto de la experiencia. En matemáticas no hay experimentos. Se pueden desarrollar los sistemas que se quieran, puesto que a final de cuentas en ellostodo es un asunto de consistencia, siendo nosotros, los humanos, quienes determina-

139




mos lo que es contradecirse o seguir la regla apropiadamente. Sin embargo, hay unsentido de 'validación', el sentido gracias al cual se puede pasar de mero juego for-

mal a sistema matemático, en el que la validación de las matemáticas viene dada porla utilidad que demuestran tener. Es porque permiten desarrollar complejas teoríasempíricas y en general por su utilidad en la vida cotidiana que las matemáticas son"verdaderas" y "objetivas". Pero es evidente que esta utilidad no es utilidad proposicional, sino meramente instrumental. Es porque las expresiones matemáticasse integran a las proposiciones (tanto teóricas como del lenguaje natural) que se lesconsidera también como proposiciones, pero un examen de su papel real deja enclaro que cumplen funciones totalmente diferentes a las de las proposiciones y queasí se les llama no "por cortesía", sino por falta de una palabra más apropiada.

Si para algo debería haber servido nuestra breve disquisición es para reforzar la

idea de que en las matemáticas no se habla de nada. Una vez más, las matemáticascarecen de ontología. Son las formas superficiales de hablar lo que nos induce a pensar otra cosa. Esto no nos compromete ni con posiciones intuicionistas ni con tesisformalistas ni con puntos de vista realistas. De hecho, rechazamos todas esas co-rrientes. Desde luego que usualmente los matemáticos hablan de entidades, existen-cia, verdad, etc., pero esto no es más que una mera fagon de parler. Nadie, enningún contexto, escapa a estas modalidades lingüísticas. Todos, por lo tanto, de ma-nera natural tendemos a hablar, e.g., de los "universos matemáticos", los "fundamen-tos de las matemáticas", el "infinito matemático", y así indefinidamente. No tenemos

nada que objetar a estas formas de hablar, siempre y cuando tengamos presente queaunque legítimas son equívocas y muy fácilmente pueden hacernos caer en la confu-sión y la mitologización.

Fue debido a la complejidad de los sistemas matemáticos y a la incapacidad de losmatemáticos para dar cuenta de su disciplina que la teoría de las clases tuvo tantoéxito. Gracias al simbolismo de la teoría de conjuntos resultó factible ofrecer defini-ciones precisas de nociones matemáticas. No es que por medio de la teoría de conjuntos (uso aquí indistintamente 'clase' y 'conjunto') se aporten soluciones a problemasmatemáticos, sino que al ser traducidas al lenguaje de la teoría de conjuntos se pue-den manipular más eficazmente los sistemas numéricos y las estructuras abstractascon las que se opera en matemáticas. Gracias a la teoría de conjuntos las matemáti-cas pueden ser contempladas, por así decirlo, desde fuera y en su totalidad, lo cualaclara lo que podríamos llamar 'situaciones matemáticas' y facilita su manejo. Ahora bien, nada de esto vuelve transparente el status de la teoría de conjuntos, de la quedebemos ahora ocuparnos y para lo cual se requiere que hagamos de ella una presen-tación somera y sencilla.

140




IV) Teoría de Conjuntos

Debo advertir desde ahora que ni mucho menos forma parte de mis objetivos hundir-me en un estudio de teoremas de la teoría de conjuntos o de problemas técnicos que plantea. No son esos mis temas en este ensayo, que es de aspiraciones mucho máshumildes. Tampoco me propongo examinar a fondo los problemas, estrictamentematemáticos, que llevaron a Cantor (su inventor) a desarrollar la teoría de conjuntos.7

Algunas palabras en este sentido, no obstante, serán imprescindibles, para poderubicar mejor a la teoría y estar en una mejor posición para comprender debidamentesu status.

Un tema para nosotros particularmente importante es, desde luego, el de las rela-ciones que se dan entre la teoría de conjuntos, la lógica y las matemáticas. A esterespecto, lo primero que hay que señalar es que lo que prevalece es la incomprensióny el caos. La situación prevaleciente parece ser la de que cada matemático o cadalógico da su propia versión del asunto, sin que les preocupe el que éstas coincidan ono. En un importante texto clásico de teoría de conjuntos, por ejemplo, se nos dice losiguiente: "Aunque el presente libro está oficialmente dedicado al tratamiento de losfundamentos de la teoría de conjuntos únicamente, el hecho de que la teoría de conjuntos sea una (y según algunos la única) disciplina fundamental del todo de las mate-máticas por una parte, así como parte de la lógica por la otra, nos forzará a interpretarnuestro tópico de manera sumamente liberal y a menudo entraremos a discutir los

fundamentos de la lógica como un todo y de las matemáticas como un todo. Es biensabido que muchos pensadores se sienten extraviados al delimitar las fronteras deestas disciplinas. A menudo se ha dicho que la teoría de conjuntos les pertenece aellas simultáneamente y que forma su vínculo común".8 Como puede fácilmenteconstatarse, los matemáticos, los lógicos y los teórico-conjuntistas hablan con el mis-mo desparpajo de los fundamentos de la lógica que de los de las matemáticas o quede los de la teoría de conjuntos. La cuestión de qué "fundamente" qué es una temá-tica que, como iremos viendo, es todo menos clara.

Iniciemos, pues, nuestra sencilla exposición de la teoría de conjuntos diciendo

unas cuantas palabras respecto a su origen. La "teoría" en cuestión surgió como unarespuesta por parte de Cantor a problemas estrictamente matemáticos y, más espe-

7 A este respecto véase el excelente libro de I. Grattan-Guinness, The Searchfor Mathematical Roots1870-1940 (Princenton/Oxford: Princeton University Press, 2000). 8 Abraham A. Fraenkel y Yehoshua Bar-Hillel, Foundations ofSet Theory (Amsterdam: North-HollandPublishing Company, 1958), p. 5.

141




cíficamente, a problemas en los que se combinan geometría y aritmética. Por ejemplo, uno de los problemas que él quería resolver era el de determinar cuántos puntos

hay en una línea. Fue para responder a esa extraña pregunta que Cantor desarrolló loque originalmente se conoció como la 'teoría de los agregados', que fue la expresiónque él empleó. La respuesta de Cantor al problema es que hay 2" puntos en unalínea. Cantor, por otra parte, pensaba que 28 era el primer número transfinito inmedia-tamente después de Xo. Esa es la así llamada 'hipótesis del continuo'. Es obvio queni mucho menos estamos nosotros intentando hacer contribuciones técnicas, esto es,internas al cálculo, pero eso no implica que no podamos dar expresión a nuestrasensación de extrañeza ante la decisión de hablar de ' X' (Aleph 0) como si fuera unnúmero. Lo menos que podemos afirmar acerca de la pregunta cantoriana de cuán-tos puntos hay en una línea es, primero, que es una pregunta sumamente extraña (porno decir descabellada) y, segundo, que contrariamente a las apariencias la respuestano parece venir dada en términos numéricos. Lo que se hace es introducir un signonunca antes empleado, el cual es puesto en conexión sistemática con los números, demodo tal que a su vez se le trata como si fuera el nombre de un número nuevo.Parecería que con ello se descubre un nuevo mundo (algunos lo han llamado un'paraíso'). No obstante, la prueba de que tanto la pregunta como la respuesta deCantor son extrañas es que se da una y la misma respuesta para cualquier línea! Osea, tanto una línea de un centímetro como una línea de un metro como una de unkilómetro se componen del mismo "número" de puntos, a saber, K o. Esto puede dejar

satisfecho a cualquier matemático, porque él maneja además de las usuales otrasreglas, reglas nuevas para la manipulación de un nuevo vocabulario que se suma alque tenía, pero es claro (aunque para ellos haya dejado de serlo) que lo que aquí seoperó fue una modificación en el significado de 'número'. Dicho significado súbita-mente se amplió. Es evidente que la respuesta de Cantor no es una respuesta numé-rica en el sentido estándar. Al matemático esto no le preocupa porque, como dije,recurre a reglas diferentes (a menudo no hechas explícitas) de las usuales, por lo queél se siente plenamente justificado en seguir hablando de Noy de Xj como si fueran(por así decirlo) nuevos números concretos, a saber, los primeros números transfinitos.Así, pues, la respuesta estándar acerca del "número de puntos" puede ser entendidacomo siendo de carácter numérico sólo porque se le da a ' Xo' una interpretaciónnumérica. Es obvio, sin embargo, que lo que realmente se hizo fue cambiar el signifi-cado de 'numérico'. En todo caso, lo importante para nosotros es notar que fue conla noción de infinito que hizo su aparición en el escenario la idea de conjunto. Enefecto, X0no es otra cosa que la cardinalidad del conjunto de los números naturales.Curiosamente, de manera más o menos concomitante y en forma totalmenteindependiente del trabajo de Cantor hubo quien, desde otra perspectiva y teniendo

142




objetivos diferentes en mente, recurrió a la noción de conjunto. Me refiero, desdeluego, a Frege. Para Frege la idea de clase era ante todo una noción lógica y desde

luego crucial para su programa de definir las nociones y las operaciones aritméticas básicas. Si la noción cantoriana de agregado y la noción fregeana de clase son una yla misma, ello es algo sobre lo que no me siento capaz de pronunciarme pero que me parece ser una cuestión digna de ser discutida con cuidado. Por lo menos prima facie no son idénticas: para Cantor, la noción de agregado era una noción estricta-mente matemática, numérica, ubicada por así decirlo en la cúspide de las matemáti-cas, en tanto que para Frege la noción de clase era una noción estrictamente lógicalocalizable más bien en sus fundamentos. En general, los teóricos de conjuntos, losmatemáticos y los lógicos que reflexionan sobre cuestiones de fundamentos de lasmatemáticas no prestan la menor atención a diferencias como esta, sin percatarse de

que es por dejar pasar sin discutir sutilezas así que se van gestando los graves proble-mas de comprensión que posteriormente se plantean y que se vuelven prácticamenteimposibles de dilucidar. Independientemente de lo anterior, nosotros podemos ya en-frentar la pregunta: ¿qué se entiende en general por 'teoría de conjuntos'?

Una de las muchas formas como podría caracterizarse la teoría de conjuntos seríadecir que se trata del estudio de la noción de pertenencia ('e'). Así, a secas, sinembargo, esta caracterización es insuficiente. Esta caracterización es adecuada sólosi se hace explícito su trasfondo natural, esto es, la lógica de primer orden con iden-tidad. Es por eso que los lógicos y los matemáticos sin mayor recato la fusionan con

la lógica, pues les resulta muy cómodo hacerla pasar como parte de ella, cuando entodo caso lo que en realidad representa es una ampliación de la lógica. Ahora bien,la noción de pertenencia automáticamente acarrea consigo otras, como la de conjun-to, y las de operaciones entre conjuntos, puesto que por sí sola no significa nada niserviría para nada. Tiene sentido hablar de pertenencia sólo si podemos decir, e.g.,que un algo, i.e., un elemento, le pertenece a otro algo o que es miembro de otro algo,esto es, de un conjunto. Así, pues, al integrar en un único cuerpo de doctrina la lógicay la teoría de conjuntos lo que los lógicos efectivamente hacen es enriquecer la lógicamatemática clásica con la noción de pertenencia y con el aparataje simbólico queésta entraña (conjuntos, unión, intersección, conjunto potencia, etc.). Aquí las priori-dades son importantes y deben quedar claras: no es la lógica la que se incrusta en lateoría de conjuntos, sino a la inversa. Es por eso que, como ya se dijo, en general loque se afirma es que la teoría de conjuntos es parte de la lógica.

No estará de más observar que esta última es una afirmación problemática. Porejemplo, a menudo se sostiene que la teoría de conjuntos es una rama más de lasmatemáticas, pero también que la lógica sirve para fundamentar las matemáticas. Lasituación no es clara: ¿tiene acaso sentido sostener que una rama de las matemáticas,

143




una de las más tardías dicho sea de paso, sirve también o al mismo tiempo parafundamentar el todo de las matemáticas? Parecería seguirse o que la lógica no sirve

para fundamentar las matemáticas o que la teoría de conjuntos no pertenece a lalógica o que no es una rama de las matemáticas. La sospecha que a nosotros nosinvade es, como ya lo manifestamos, que la teoría de conjuntos no es una teoríamatemática más, sino más bien un instrumental para las matemáticas. Las teoríasmatemáticas son sistemas o cálculos numéricos y lo que deseo sostener es que elcálculo de clases no es un sistema numérico más, si bien todo cálculo matemático se puede poner en conexión sistemática con la teoría de conjuntos. En todo caso, esimposible no admitir que, en lo que a las relaciones entre la lógica, la teoría de conjun-tos y las matemáticas atañe, a lo que asistimos es a un fracaso casi total de compren-sión. Como ya se dijo, cada teórico presenta el cuadro que más le complace y se está

lejos de llegar a un acuerdo generalizado. Lo que en general sucede es que se hacentodas las afirmaciones posibles bajo el supuesto tácito de que todos entienden los quelos demás afirman. Por ejemplo, se habla de "fundamentación" pero, aparte de queno está en lo más mínimo claro qué es fundamentar una ciencia y por qué sería esouna tarea ineludible en el caso de las matemáticas, urge preguntar: ¿qué fundamentaa qué? ¿La lógica a las matemáticas? ¿O eso es algo que logran sólo la lógica y lateoría de conjuntos de manera conjunta? Por otra parte y dejando de lado la cuestiónde si las matemáticas requieren de fundamentación alguna, ¿cómo se vinculan lalógica y la teoría de conjuntos? De que hay aquí graves enredos conceptuales y de

comprensión es algo que los teóricos mismos reconocen. Por ejemplo, hay quien haaseverado que "Tenemos menos certeza que nunca acerca de los fundamentos últi-mos de la (lógica y las) matemáticas".9 Aquí es un gran lógico quien nos habla de los"fundamentos de la lógica",10 sugiriendo que esto es algo que le corresponde a lateoría de conjuntos proporcionar (!). Pero ¿cómo podría una rama de las matemáti-cas fundamentar aquello que se supone que sirve para fundamentar las matemáticasin totol Lo único que no se puede aseverar es que haya en este ámbito del conoci-miento claridad y comprensión conceptuales.

No estará de más recordar que los problemas para la teoría de conjuntos surgie-ron casi inmediatamente después de su aparición. Cantor mismo enfrentó la primera paradoja a la que dio lugar su teoría de los agregados. Ésta consistía en lo siguiente:dada su definición de 'conjunto potencia' (el conjunto de todos los conjuntos de unconjunto dado), Cantor llegó rápidamente al resultado de que cualquier conjunto es

9 H. Weil, "Mathematics and Logic", citado en Abraham A. Fraenkel y Yehoshua Bar-Hillel, ibid., p. 4. 10 Confieso que no tengo ni la menor idea de qué se trataría de estar diciendo con esto.

144




estrictamente menor que su conjunto potencia y, por ende, que el conjunto universal,esto es, el conjunto más grande que pudiera pensarse, no era (contrariamente a su

propia caracterización) el conjunto con todo lo que hay, puesto que resulta ser máschico que su conjunto potencia.11 La consecuencia que normalmente gusta de ex-traerse es que hay más clases que cosas en el universo. Esto es sin duda una formaingeniosa de decir algo, pero ¿qué? Si la idea implícita es que las clases son comocosas sólo que abstractas, entonces estaremos en medio del pantano de lamitologización filosófica en el ámbito de las matemáticas, que es precisamente lo quequeremos evitar. A reserva de regresar sobre este tema más abajo, por el momentonos limitaremos a señalar que la implicación importante de la paradoja de Cantor pertenece a la teoría de los números y es simplemente que no hay tal cosa como elnúmero natural más grande.12 Como "resultado" a los matemáticos éste les podráresultar fascinante, pero ello no impide que en el fondo sea algo de lo más trivial: anadie en sus cabales se le ocurriría pensar que hay algo así como el número másgrande de todos, puesto que de inmediato a uno se le ocurre que a ese número, sea elque sea, se le puede sumar 1 (o el número que sea) y que eso siempre podrá pasarcon el número que sea cuantas veces uno quiera. De manera que lo que Cantor logrófue ofrecer una "demostración" matemática de eso que intuitivamente ya "sabe"quien usa nuestro sistema numérico, un sistema simbólico regido por una ley formal. Nótese que la prueba de Cantor pertenece a la clase de demostraciones que haceque los matemáticos exulten, pero que no siempre es comprendida: el resultado no es

matemático sino metamatemático, mediante lo cual quiero decir, en un sentido amplio, 'semántico'. Lo que quiero decir es lo siguiente: el resultado de Cantor es unaregla que vale en el conjunto de los números naturales de acuerdo con la cual notiene sentido hablar del número mayor que todos. Lo que se nos está diciendo esque afirmar que x es el número mayor de todos es, en el contexto de la aritmética,emitir un sinsentido. Nadie tiene nada en contra de esto, pero lo que debería ser obvioes que no se trata, como en general se le interpreta, de un resultado referente a"cantidades".

Antes de discutir diversos aspectos de la teoría de conjuntos, consideremos rápi-damente la versión clásica de la teoría. ¿Qué comporta? Están, como nociones nodefinidas, en primer lugar la crucial relación de pertenencia (simbolizada mediante

11 Imposible no ver el muy sugerente paralelismo con la así llamada "prueba ontológica" de SanAnselmo en favor de la existencia de Dios, /. e., la "prueba" de la existencia necesaria de un ser mayor queel cual ningún otro puede ser concebido. 12 Más en general, que para cualquier número transfinito siempre habrá uno más grande.

145




'e') y, por consiguiente, la noción de conjunto, entendida intuitivamente como agre-gado, colección, grupo o montón de elementos. En segundo lugar nos topamos con

nociones de relaciones y de operaciones sobre o entre conjuntos, como la relación deinclusión ('cr'), la de intersección ('rV) y la de unión entre conjuntos ('u'). Apartirde estas nociones se definen otras como "dominio", "conjunto potencia", "comple-mento", etc. Una vez más, es de primera importancia observar que la teoría de conjuntos por sí sola es totalmente estéril. Este simbolismo, considerado aisladamente, no pasa de ser un mero juego formal, entretenido quizá pero sin mayores implicacionesmetafísicas. Para que la teoría de conjuntos pueda rendir los frutos que se esperan deella tiene que venir acompañada de algo más. En el caso de los problemas relaciona-dos con la fundamentación de las matemáticas este "algo más" es, como ya se dijo, lalógica. Así, al incorporarse a la lógica la teoría de conjuntos automáticamente incorpora o hace suyo el lenguaje de la lógica clásica, i. e., la negación, los cuantificadores,las conectivas, la noción de identidad, etc., y, desde luego, las "verdades" de la lógica,las tautologías. La "teoría" de conjuntos, por consiguiente, es un cuerpo simbólicoque se incrusta o monta en otros previamente existentes y aunque a partir de esemomento forma un todo sigue siendo conceptual y lógicamente distinguible de lalógica. El punto importante, empero, es que es dicha incrustación lo queautomáticamente permite que se hable en relación con la teoría de conjuntos de "proposiciones" o de "verdades".

Sin duda alguna el gran problema "teórico" (aunque me parecería más apropiado

decir 'técnico') para la teoría de conjuntos desde el punto de vista de los matemáti-cos, los lógicos y los teóricos de conjuntos lo constituyeron las paradojas. En efecto,la teoría de conjuntos nació preñada del peor mal del que podría verse afectada unateoría (sobre todo si es formal): contenía o daba lugar a paradojas. Bertrand Russellmejor que nadie puso de relieve a través de su paradoja el hecho de que lo que seconoce como 'teoría ingenua de conjuntos' genera contradicciones y es por lo tanto,tal como fue formulada por Cantor, inaceptable. Lo interesante de la paradoja deRussell referente a las clases que no son miembros de sí mismas es que concierne demanera obvia a la noción central de la teoría, esto es, la noción de clase o conjunto(aunque quizá también podría pensarse que es la noción de pertenencia la noción problemática). Dada la importancia de la observación de Russell, quizá valga la penareproducir la paradoja, a pesar de que ha sido presentada y discutida un sinnúmero deveces.

La paradoja aparece como sigue: hay conjuntos que no son miembros de sí mis-mos. El conjunto de los ratones no es un ratón. Pero hay conjuntos que sí son miembros de sí mismos. El conjunto de todos los conjuntos de objetos que hay sobre elescritorio sí es un conjunto. Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos

146




que no son miembros de sí mismos y preguntémonos: ¿es ese conjunto miembro de símismo o no lo es? Si no lo es, por la definición misma del conjunto relevante, entonces

sí es miembro de sí mismo, y si es miembro de sí mismo, entonces obviamente no esmiembro de sí mismo. Así, el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros desí mismos es miembro de sí mismo si y sólo sí no es miembro de sí mismo.

La verdad es que ni siquiera es claro cuál es el diagnóstico apropiado de la para-doja porque, como insinué más arriba: ¿es la noción ingenua de clase la que vicia lateoría o no surge el problema más bien porque la relación de pertenencia no fuesometida a las restricciones apropiadas? Independientemente de la respuesta por laque uno se incline, ¿qué puede pensarse de una disciplina cuyas nociones fundamen-tales permite la gestación de contradicciones como la enunciada?

El primer gran esfuerzo por resolver el problema de las paradojas lo constituyó lateoría russelliana de los tipos lógicos,13 de acuerdo con muchos un monumental es-fuerzo técnicamente en última instancia fallido, entre otras cosas debido a la forzosaintroducción de axiomas de carácter no lógico, como el axioma de reducibilidad. Estoes discutible, pero no entraré aquí en esa temática. Independientemente de ello, locierto es que la propuesta russelliana fijó en más de un sentido la pauta para lasolución del problema, puesto que lo que dejó en claro fue que lo que había quehacerse era de alguna manera delimitar con precisión el alcance de las nocionesrelevantes. Esto fue precisamente lo que se logró cuando finalmente se pudoaxiomatizar la teoría de conjuntos, labor realizada en primer término por Zermelo.

Aquí, empero, se vuelven a plantear dificultades de comprensión. Al respecto, esmenester hacer de inmediato una aclaración. Los matemáticos pueden quedar teóri-camente satisfechos con sus soluciones "técnicas", esto es, con sus propuestas sim- bólicas que les permiten continuar desarrollando sus temas y sistemas, pero ni muchomenos significa eso que las "soluciones" en cuestión ipso facto acarreen consigoclaridad conceptual respecto a lo que se está haciendo. Debería quedar claro de unavez por todas que desarrollo técnico o simbólico no significa ni implica ni acarrea clari-dad o transparencia conceptual. Esto es algo que es factible ilustrar copiosamente.

Si la solución para el problema de las paradojas fue la axiomatización, entoncesnuestra pregunta ahora tiene que ser: ¿qué es axiomatizar una teoría? La respuestaes simple, pero veamos rápidamente lo que nos dicen algunos expertos. Fraenkel y

13 De hecho, Russell en Los Principios de las Matemáticas ofreció no una sino tres propuestas deresolución de las paradojas: la que finalmente él mismo favoreció y desarrolló a fondo en Principia Matemática (junto con A. N. Whithead), i. e., la teoría de los tipos lógicos, la teoría del zigzag y la teoríade la limitación de las clases.

147




sobre nada, más o menos en el mismo sentido en que lo mismo podría aseverarse dela gramática castellana.

La filosofía de las matemáticas no tiene absolutamente nada que decir sobreresultados, preferencias axiomáticas, demostraciones, etc., pero sí respecto a lo quese afirma en relación con ellas. El material de trabajo para el filósofo de las matemá-ticas no son las matemáticas, sino lo que los matemáticos dicen acerca de su discipli-na. Esto no es algo particularmente difícil de comprender. Lo que sucede es que essobre la base de sus tecnicismos, en este caso de los de la teoría de conjuntos, quematemáticos y filósofos hacen inferencias fantásticas y extraen increíbles (y hasta podría decirse, ininteligibles) conclusiones metafísicas, hablan de visiones de mundos puramente inteligibles, de entidades que desbordan nuestra imaginación, y así sucesi-vamente. Nuestra perspectiva general es que todas esas pretensiones filosóficas (no

teóricas) por parte de los matemáticos o de los matemáticos filósofos se fundan lasmás de las veces en profundas incomprensiones acerca de su propia labor y de su propio simbolismo. Veamos rápidamente algo en este sentido, recordando una vezmás que no forma parte de nuestra labor hacer demostraciones o presentar nuevosresultados, sino contribuir a la comprensión genuina de lo que se hace, para lo cual(por lo menos en un primer acercamiento) consideraciones en un nivel básico sonsuficientes.

V) Comprensión e Inteligibilidad en Teoría de Conjuntos

Consideremos en primer lugar la concepción más usual de los conjuntos, esto es, laasí llamada 'concepción iterativa'. De acuerdo con ésta, un conjunto se compone desus miembros y no es nada por encima de ellos.15 Esta caracterización suena plausible, pero de inmediato surge una dificultad: ¿cómo se le aplica al conjunto vacío? Aquíel problema es que si bien los teórico-conjuntistas pueden sin problemas designarmediante 'A' el conjunto vacío, hablar de él, hacer operaciones con dicho signo, ma-nipularlo como si fuera una entidad especial, etc., de todos modos con ello no se

responde a la inquietud conceptual planteada. ¿O acaso no se tiene derecho a pre-guntar: '¿cuáles son los elementos del conjunto vacío?' En todo caso necesitamos

ls De acuerdo con la concepción iterativa de los conjuntos, éstos se obtienen a partir de la aplicaciónreiterada de ciertos principios de formación, dando lugar a una jerarquía infinita en la que no hay un nivelúltimo o final. El "universo" conjuntista en esta concepción es un universo abierto de entidades abstrac-tas, esto es, los conjuntos, y es "abierto" en el sentido de que no queda nunca completado.

149




una aclaración de por qué, además de impertinente, es esta pregunta ilegítima. Losmatemáticos, duchos en eludir por medio de tecnicismos dificultades como esta, se

las arreglan para ofrecer una caracterización que formalmente les permite seguiradelante. El precio, sin embargo, es que aparte de las operaciones que permite efec-tuar no se tiene ni idea de qué es lo que se está haciendo. Entiéndase bien a lo queaspiramos: no estamos tratando de desechar o de deshacernos de la idea de conjuntovacío. Eso sería simplemente demencia!. Es obvio que el conjunto vacío es esencialen el simbolismo y permite expresar múltiples ideas. Sirve, por ejemplo, para definir elcero, el cual queda definido como el cardinal de todos los conjuntos equipotentes alvacío. Obviamente, empero, el mero manejo de 'A' no equivale a una aclaración, que

es lo que nosotros demandamos. En todo caso, lo que no se debería pasar por alto esel hecho de que con lo que nos la estamos viendo aquí es básicamente con conven-

ciones simbólicas. En relación con la idea de conjunto vacío, mi punto de vista es el siguiente: desde

luego que dicha noción (designada por 'A') es una noción importante y legítima, pero sucomprensión no es la que los partidarios de la teoría de conjuntos proponen. Lo queéstos proponen es simplemente una lectura del simbolismo que es filosóficamente pri-mitiva. Para evitar la confusión filosófica lo que hay que hacer aquí es atender al fun-cionamiento del signo en su contexto natural, esto es, "teórico". Nuestra pregunta noes: ¿qué designa o nombra 'A'?, puesto que la nada no es algo que se pueda designar,sino ¿para qué sirve 'A'? O sea, lo que es preciso entender es que 'A' no fue introduci-

do (por así decirlo) nominalmente, esto es, como el nombre de una entidad abstracta,sino más bien operacionalmente. Es, pues, como un signo que si nombra algo, lo quenombra es el resultado de una operación, puesto que es a ella que alude y es en co-nexión con ella como se le debe entender. No hay nada más por encima de eso. Porotra parte, es evidente que un signo así es requerido, puesto que es obvio que, una vezestablecido el simbolismo, hay un sinfín de operaciones que no dan nada como resultadoo que simplemente no se pueden realizar y es justamente para indicar eso que se hablade "conjunto vacío". Por ejemplo, si A = {1,2, 3} y B = {a, b, c}, la operación deintersección de A con B no da como resultado nada, puesto que A y B no tienen ningúnelemento en común. En signos, (A n B) = A; o bien A puede servir para anular unaintersección, como por ejemplo en (A n L) = A. Si no se tuviera un signo como 'A' nose podría expresar nada eso que estamos diciendo y muchas cosas más. No se trata, por lo tanto, de entrar en controversia con la "teoría" misma, como si lo que preten-diéramos hacer fuera rechazar algunos de sus "resultados". Lo que nos importa esdespejar la neblina de la incomprensión filosófica, la cual afecta tanto a filósofoscomo a matemáticos, a lógicos y a teórico-conjuntistas. En este caso, el problemafilosófico surge cuando A queda reificado por una lectura sustancialista, en este caso

150




paradójica en grado sumo, puesto que convierte al conjunto vacío en un algo, inevitablemente misterioso, con el cual sin embargo posteriormente se puede trabajar, tratar

como una entidad, etc. De ahí que a menudo se nos enfrente con dilemas como elsiguiente: o se acepta la existencia (en el sentido realista) del conjunto vacío o se rechazauna técnica que todos aceptan. Pero es obvio que se trata de un falso dilema, puesto quela interpretación usual es un absurdo total, inclusive si es inducida por el simbolismo yque se nos aparece como la más "natural".

Las ideas de conjunto y de pertenencia en sí mismas no son particularmente mis-teriosas o problemáticas, pero se transforman en eso precisamente en manos de losmatemáticos y los lógicos. Considérese la idea de conjunto: ¿qué hay de complejo,raro, misterioso o problemático con la idea de montón, de agrupación o de colección? Nada. El problema aparece, primero, porque la idea de montón es una idea empí-

rica, la cual sin embargo es abruptamente trasladada al contexto de las cienciasformales, y, segundo, porque Cantor (seguido en esto por todos) transforma N 0 enun número, viz., el primer número transfínito. Así, dado que Xo es visto como unnúmero y al mismo tiempo como la cardinalidad de la clase de los números naturales,súbitamente nos topamos con la idea de que los números son acumulaciones de conjuntos y que los conjuntos son entidades! Resulta entonces prácticamente imposibleeludir la idea de que el "universo conjuntista" es el resultado de una acumulaciónfantástica, sin fin, de entidades abstractas poblando a su manera el universo (y másallá!). Es de lo más natural entender 'e' no como un operador, sino como indicando

que hay algo que de hecho le pertenece a otra cosa y, por consiguiente, es fácil cedera la idea de que tanto elementos como conjuntos, de uno u otro modo, ya "están allí".Así se genera el cuadro tradicional del "universo conjuntista", esto es, una de las másdañinas mitologías filosóficas jamás ideada.

Si por un momento nos olvidamos de que nos encontramos en un ámbito de impor-tancia vital para el conocimiento, podríamos suponer que la teoría de conjuntos es unmero instrumento formal, un juego formal que, sin embargo, puede inesperadamentetener consecuencias desagradables, puesto que puede permitir que se gesten en suseno contradicciones. Así entendida la teoría, la axiomatización no es entonces unesfuerzo por enunciar "hechos" acerca de nada, sino un esfuerzo por normar o regla-mentar el juego en cuestión de manera precisamente que no surjan contradicciones.Se trata de caracterizar nuestras nociones, los dominios, las extensiones, etc., demodo que pueda operarse con las nociones requeridas sin que esté presente siquierala posibilidad lógica de una contradicción. A esto no hay absolutamente nada quéobjetar. Parte del problema radica en que los matemáticos no han podido construir un juego perfecto. Esto no es muy difícil de mostrar. El proyecto mencionado de regla-mentación es algo que, por ejemplo, A. Fraenkel llevó a cabo, sólo que su éxito no fue

151




completo o total. La razón es que Fraenkel se vio forzado a introducir "axiomas" queen la lectura tradicional se ven como teniendo "compromisos ontológicos". Eso es lo

que pasa con, por ejemplo, su Axioma VI,i.e.,

el famoso Axioma de Elección. Ésteno es una mera definición ni es una consecuencia de definiciones, sino que constituyeuna afirmación de naturaleza debatible. Los lógicos lo presentan como un "axioma",en el sentido de verdad indemostrable, pero (como veremos) una vez más es cuestio-nable que sea ese su verdadero status. Intentemos aclarar esto último.

Lo que por medio del famoso Axioma de Elección se afirma es que si tenemos unacolección infinita de conjuntos ajenos, esto es, que no tienen elementos en común,entonces podemos elegir o seleccionar un elemento de cada uno de dichos conjuntosy formar así un nuevo conjunto.16 Ahora bien ¿cuál es el status del axioma? Larespuesta, por sorprendente que parezca, es que ello depende del contexto en que se

aplique. Es evidente que si la colección de conjuntos que se considera es finita, enton-ces no hay ningún problema: en el momento en que hacemos la selección construi-mos el conjunto que requerimos. En ese caso, el Axioma de Elección es pura yllanamente redundante. Queda demostrado, por así decirlo, empíricamente y en elfondo no es más que una trivialidad. El problema, sin embargo, se plantea cuando,como tan a menudo en matemáticas, se quiere hablar de colecciones o conjuntos oclases infinitas. Lo que se nos dice es que no podemos demostrar que el axioma esverdadero por la simple razón de no se puede literalmente construir el nuevo conjuntoque nos interesa ya que es lógicamente imposible que terminemos de recorrer lacolección infinita de conjuntos ajenos a partir de los cuales tendríamos que hacer

nuestra selección de elementos para el nuevo conjunto. La "solución" de los mate-máticos consiste entonces en decir que lo más que se puede hacer es asumir, Le.,"presuponer" que lo que el axioma asevera es factible o realizable. Como ya sedemostró que el axioma es indispensable para ciertas demostraciones y es tambiénindependiente del resto de los axiomas de la teoría de conjuntos (y, por lo tanto, nolleva a contradicciones), entonces cómodamente se le asume como "verdadero". Asíentendido, el axioma de elección es una verdad sintética apriori, una de esas verda-des que sólo Dios puede establecer, etc., etc. Pero ¿es realmente ello así?

A mí me parece que el axioma tiene otra lectura. No es una verdad, sino unasimple regla para los sistemas numéricos. Es en este sentido semejante a la asevera-ción de que no puede haber ("existir") un número que sea el más grande de todos.Pero además hay otro problema: se nos dice que el axioma es indemostrable porqueno podemos asegurar que efectivamente "existe" o "hay" la función de selección

16 O, lo que es equivalente, que si cada uno de los conjuntos en cuestión no es vacío, entonces su producto cartesiano tampoco lo es.

152




cuando el número de conjuntos involucrados es infinito. Pero si es el carácter infinitolo que es problemático: ¿por qué entonces se acepta sin cuestionar en el planteamiento

mismo del problema que tenemos un conjunto infinito de conjuntos ajenos? ¿Porqué es la función infinita problemática, pero no el conjunto infinito sobre el que supues-tamente se ejercería? Nótese que no estamos cuestionando la utilidad del axioma parael desarrollo de la teoría (y de las matemáticas en general), sino su interpretación. Engeneral, dicho sea de paso, quienes aceptan el Axioma de Elección (Fraenkel, porejemplo) no dicen sobre él nada nuevo ni avanzan un ápice frente a lo argumentado,hace 90 años, por Bertrand Russell.

Desde luego que las discusiones referentes a la existencia de las clases, la aritmé-tica transfinita, los conjuntos inaccesibles y demás temas propios de la "teoría" se pueden complicar tanto como uno quiera. Entran enjuego para ello múltiples cuestio-

nes, tanto lógicas como filosóficas, que sería ridículo pretender considerar en untrabajo meramente aproximativo y programático como este. En verdad, lo único quehemos intentado hacer ha sido llamar la atención sobre la posibilidad de "leer" lateoría de conjuntos de un modo diferente al usual, motivados para ello por el obviofracaso explicativo de las concepciones filosóficas en circulación. Naturalmente, larealización de nuestro "programa" exigiría que se reinterpretara el todo de la "teoría"en concordancia con sus lincamientos, lo cual es algo que obviamente rebasa el marcode nuestras posibilidades en este ensayo. Por ello, y para terminar, intentaré presentar,de manera global y a grandes brochazos, un cuadro diferente, admitiendo de entrada

que hace falta muchísima argumentación para acabarlo y para dejarlo sólidamenteasentado.

VI) Una Visión Alternativa

Pienso que lo primero que se tiene que hacer es detectar el error básico en la concep-ción usual de la teoría de conjuntos para poder diagnosticar el mal y posteriormenteintentar remediarlo. Lo que a mi modo de ver está en la raíz de la visión distorsionada de

la teoría de conjuntos que a menudo se nos invita a compartir es simplemente lo que podríamos llamar 'primitivismo filosófico'. Wittgenstein describió atinadamente el fenó-meno en unas cuantas palabras como sigue: "Cuando hacemos filosofía somos comosalvajes, como gente primitiva que oye las expresiones de los hombres civilizados, lasmal interpretan y luego extraen las más extrañas conclusiones a partir de ellas".17 Lo

17 L. Wittgenstein, Philosophical Investigations, sec. 194.

153




que él dice, obviamente, se aplica por igual a la filosofía de las matemáticas. El primitivismo filosófico al que alude consiste básicamente en interpretar los significa-

dos de los signos, en el ámbito lingüístico que sea, desde la perspectiva de la gramá-tica superficial, esto es, en función de las categorías gramaticales comunes, y nodesde el punto de vista de su aplicación. Y lo que se tiene que entender es que ladescripción del uso de un signo y la descripción de su significatividad desde el puntode vista de la gramática superficial las más de las veces son simplemente incompatibles y llevan a resultados completamente diferentes. El problema, claro está, es quecomo la gramática se nos impone de inmediato, en este, como en prácticamentetodos los casos, el intento por liberarse de los engañosos mitos de la filosofía nosfuerza a ir en contra de la corriente.

Una pregunta clave, por consiguiente, es: ¿para qué sirve la teoría de conjuntos,

esto es, qué problemas se superan o se resuelven por medio de ella? ¿Qué se obtienegracias a ella? La respuesta es variada, lo cual deja ver su riqueza hermenéutica.Para empezar, es claro que gracias a la teoría de conjuntos (más la lógica) se lograuna efectiva aclaración conceptual de las matemáticas: se pueden definir todas lasnociones y las operaciones matemáticas y presentar sus principios fundamentales.Esto, a no dudarlo, es un gran logro técnico. Como consecuencia de lo anterior, lateoría de conjuntos se constituye en una especie de código abstracto que resultafácilmente utilizable a todo lo largo y ancho de las matemáticas: es un lenguaje parala geometría, el análisis, la aritmética, etc. Esto permite uniformizar el trabajo mate-

mático, pues se dispone de un formalismo más amplio que permite une. más fácilmanipulación. Un formalismo así permite realizar "traducciones" de los lenguajesmatemáticos y visualizar mejor el estado de la disciplina. Por otra parte, es claro quecon un instrumental así el progreso en matemáticas se vuelve más fácil de visualizar,es decir, el trabajo matemático se simplifica. Así, por ejemplo, si una oración cual-quiera O es indemostrable en teoría de conjuntos, entonces automáticamente sabe-mos que su traducción matemática, X, es indemostrable. Y a la inversa. Esto, sinembargo, no significa que si no se hubiera tenido O, entonces tampoco se habría podido demostrar X. No es que O fuera indispensable paraX, sino simplemente quela demostración de O a horra trabajo. Asimismo, y esto es muy importante, por medio

de la teoría de conjuntos (junto con la lógica, desde luego) se pueden enunciar los principales principios y reglas ("axiomas") que de hecho rigen la expansión o el desa-rrollo de los sistemas numéricos. Desde este punto de vista, los principios de la teoríade conjuntos no son otra cosa que las reglas de uso (esto es, de gramática en profun-didad) de los signos matemáticos; nos indican cómo se opera con ellos en un determi-nado contexto matemático, así como la clase de inferencias que está permitida o proscrita. Las discusiones acerca de los axiomas son discusiones acerca de lo que es

154




gama de formalismos matemáticos. Muchos problemas de comprensión, sin embar-go, surgen precisamente porque en general se entremezclan dichos simbolismos y se

les trata como si fueran lógicamente uno solo. Parte de nuestra labor ha consistido enseñalar que son discernibles o separables. Después de todo, siempre tendremos de-recho a preguntar: a final de cuentas: ¿qué tiene de matemática la teoría de conjun-tos, que tiene de matemático 'e' o qué tiene de numérico el infinito? A lo que preguntasasí apuntan es a la idea de que la así llamada 'teoría de conjuntos' no es más que unainterpretación de lenguajes numéricos y de estructuras algebraicas, pero justamenteasí como una interpretación de la física no implica que se nos esté con ello dando unanueva teoría física, una interpretación de las matemáticas no implica una nueva teoríamatemática. Nuestra conclusión, por lo tanto, es la ratificación de la intuición con laque iniciamos este ensayo, a saber, que hablar de "teoría" cuando se habla de "con-

juntos" es de entrada nombrar y describir mal el caso. Sería mucho más fructífero ynos evitaríamos múltiples dolores de cabeza si entendiéramos que la mal llamada'teoría de conjuntos' no es sino un simple pero potentísimo instrumental formal, su-mamente maleable y que permite el tratamiento sistemático de otro instrumental for-mal, viz., el de las matemáticas. Naturalmente, quien se empeñe en seguir hablandode mundos extraños y de visiones fantasmagóricas en relación con lo que a final decuentas no es sino un instrumental para un instrumental está, desde luego, en libertadde hacerlo.

156



Convención y Necesidad Matemáticas

n una bien conocida reseña del libro Remarks on the Foundations of Mathematics, M. Dummett presenta a Wittgenstein como un "convencionalistade hueso colorado" ifull blooded conventionalisf). Desde que apareciera el

artículo de Dummett en 1959,1 muchos comentaristas y estudiosos de la obra deWittgenstein han, en diverso grado y con mayor o menor reserva, adoptado y adaptadoa sus propios requerimientos la interpretación de Dummett. Me propongo aquí, primero, hacer ver que hay un sentido en el que Dummett tiene razón, pero otro en elque él (y quien lo siga) está equivocado; segundo, explicitar lo que yo creo que esrealmente el pensamiento de Wittgenstein en torno a lo convencional y lo necesarioen matemáticas; tercero, tratar de mostrar que la concepción wittgensteiniana es lacorrecta.

Antes de entrar de lleno en la discusión del pensamiento postrer de Wittgenstein,creo que será muy útil reconstruir rápidamente lo que se nos dice en el Tractatusrespecto a la naturaleza de las matemáticas. Esta labor previa me parece importante, porque el Tractatus contrasta de manera notoria en ciertos puntos clave con lo queWittgenstein llegó a pensar después y la yuxtaposición de sus primeros con sus se-

gundos pensamientos puede orientarnos y ser una guía, si no infalible sí confiable, enla exploración de su última filosofía.

Permítaseme empezar con una anécdota. Se cuenta que durante la lectura de untrabajo sobre la naturaleza de las matemáticas, el matemático G. F. Hardy afirmó queno estaba de acuerdo con el punto de vista de Wittgenstein de que las matemáticasconsisten en o se componen de tautologías. Asombrado, Wittgenstein se habría apun-tado a sí mismo y habría preguntado: "¿Dije yo eso?", dando con ello a entender que

1 M. Dummett, "Wittgenstein's Philosophy of Mathematics" en Truth and Other Enigmas (London:

Duckworth, 1978).

E



CONVENCIÓN Y NECESIDAD MATEMÁTICAS

él nunca había dado el fatal paso que Hardy le estaba atribuyendo.2 Este incidente esimportante porque refleja una distorsión consuetudinaria y difícil de erradicar, a saber, la

de atribuirle al Tractatus el logicismo de Russell (!), al cual habría supuestamente enri-quecido con la idea de que las proposiciones de la lógica son tautologías. Que esto esuna grave confusión lo mostrará, espero, la siguiente veloz recapitulación de "tesis".

Para el Russell pre-wittgensteiniano (Principia Mathematica incluida), las mate-máticas y la lógica son idénticas, pero la lógica incluye proposiciones sintéticas y afir-maciones de existencia, como por ejemplo los axiomas de infinitud y de reducibilidad.Muy en la tradición de Frege y por razones propias conectadas con la noción de proposición, Russell acepta que la lógica tiene en sentido estricto implicacionesontológicas: él acepta no sólo que hay entidades lógicas, que pueden ser nombradas,sino también hechos lógicos, que pueden ser descritos.

La posición de Wittgenstein no podría ser más opuesta a ésta. En primer lugar, deacuerdo con él la lógica y las matemáticas son no sólo diferentes, sino totalmenteindependientes. La lógica se compone de tautologías, en tanto que las matemáticasde ecuaciones. La teoría de conjuntos, tradicionalmente asimilada a la lógica, es irre-levante en matemáticas.3 No obstante, lógica y matemáticas tienen ciertos rasgosen común y ello aparece como una consecuencia de la teoría pictórica del sentido porla que Wittgenstein aboga en su libro. Por una parte, ni las tautologías ni las ecuacionesexpresan pensamientos,4 es decir, no son "retratos" de nada, no describen nada en elespacio lógico. Pero, y esto es la contrapartida de lo anterior, si bien ni las tautologías

ni las ecuaciones dicen nada acerca del mundo, sí muestran en cambio algo acercade él. Lo que exhiben es su estructura.5 La lógica, no obstante, parece recibir unacierta prioridad frente a las matemáticas, puesto que éstas últimas no son a final decuentas más que "un método lógico"6 y la estructura que ambas revelan es la estruc-tura lógica del mundo.

Ahora bien, la estructura del mundo está dada apriori. Todos los mundos posiblesestán contenidos virtualmente en o por las propiedades formales de la sustancia delmundo, es decir, de los objetos. Lo único que pueden hacer las tautologías es reflejardicha estructura, mas no "construirla", en ningún sentido en lo absoluto. Lo que los

2 Extraído del artículo de W. Mays, "Recollections of Wittgenstein" en Luchvig Wittgenstein. The Manand his Philosophy. Edited by K.T. Fann (Sussex/New Jersey: Harvester Press & Humanities Press,1978), p.82. 3 L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), 6.031 (b). 4 Ibid., 4.462 y 6.21. 5 Ibid., 6.22. 6 Ibid., 6.2 (a).

158




cálculos lógicos (e.g., la lógica de Russell) hacen es poner de manifiesto simbólica-mente las propiedades formales de las proposiciones. La Teoría Pictórica por su

parte nos aclara que para que haya tautologías tiene que haber proposiciones y paraque haya proposiciones tiene que ser válido "el principio de que los objetos tienen asignos como sus representantes".7 De ahí que las "pruebas" en lógica no sean másque "expedientes mecánicos"8 para hacer ver que algo es una tautología, esto es, para mostrar una propiedad formal de cierta(s) proposición(es) o bien que ciertasrelaciones formales valen entre ellas (y esto se aplica a los hechos que representan).

Esto, naturalmente, tiene la siguiente consecuencia: los pasos en las derivacioneslógicas y, por consiguiente, en las transformaciones de las identidades matemáticas,no están sujetas a la voluntad ni del genio ni de la comunidad, no son el resultado deninguna convención, acuerdo o generalización. Si '/>' se sigue de 'q\ '/?' objetiva-mente se sigue de '<?', puesto que "Las estructuras de las proposiciones mantienenentre sí relaciones internas".9 El fundamento último de esta concepción lo constitu-ye, quizá, la "intuición" de que "la lógica permea el mundo".10

Es en gran medida en contra de esta concepción que está elaborada la postrerfilosofía wittgensteiniana de las matemáticas. Si bien es cierto que sería un crasoerror atribuirle al Wittgenstein del Tractatus un punto de vista platonista - dado quela Teoría Pictórica explícitamente prohibe esto -u difícilmente se podría negar elcarácter "objetivista" de la posición wittgensteiniana. Esto es importante detectarlo, porque es en este punto concretamente en el que inciden su posterior "convenciona-

lismo" y la posición originaria, constituyendo el primero un repudio de la segunda. Pienso que es conveniente replantear en forma directa y escueta nuestro proble-ma para presentar y discutir la respuesta de Wittgenstein. El problema es el siguien-te: ¿en qué consiste o cómo emerge el carácter apodíctico de las matemáticas y de lalógica? Suponiendo que pudiera medirse el desarrollo de las ciencias formales poretapas en función de los resultados alcanzados y que nos encontráramos en la etapan, entonces si la etapa n+1 es el resultado de una nueva aplicación de principios yausados {e.g., modus ponens) y el nuevo teorema alcanzado es cp, ¿en qué sentido puede decirse que cp tenía que ser el resultado, que era necesario que la inferencia

7 Ibid., 4.0312 (a).

8 Ibid., ó. 1262.

9 Ibid., 5.2.

10

Ibid., 5.61. 11Ibid., 4. 0312 (b).

159




nos llevara a cp y no a, e.g., \|r? ¿Qué fue, si hubo en efecto algo, lo que nos forzó aconcluir 9 antes que a inferir \|/? ¿Por qué decimos que q> es necesario?

Wittgenstein aborda la cuestión en forma radical o extrema de tal modo que no permite ninguna evasiva: él asume que si algo es "necesario", entonces tiene que serimposible para nosotros no actuar de conformidad con ello. Las verdades necesariastienen que ser tales que, a la manera de una fuerza física, obliguen al individuo quecalcula a concluir <p antes que \\f. Ahora bien, hay textos de Wittgenstein que dejanver que la explicación por la que él se inclina fluye por caminos muy diferentes de losusuales. Por ejemplo, en las Remarles on the Foundations of Mathematics nosdice: "Pero ¿no estoy entonces compelido a ir en la forma en que voy en unacadena de inferencias?" -¿Compelido? Después de todo, se supone que puedo ircomo yo escoja!- 'Pero si quieres proseguir en concordancia con las reglas tienes que

ir de este modo'. En lo absoluto; yo llamo 'concordancia' a esto. 'Entonces ya cam- biaste el significado de la palabra "concordancia", o el significado de la regla'. -No;¿quién dice qué significan aquí 'cambio' y 'proseguir siendo lo mismo'?".12 El proble-ma es que, fundándose en pasajes como éste, se pasa a atribuirle a Wittgenstein el punto de vista de que el carácter necesario de una "proposición" lógica o matemáticao es algo completamente arbitrario o no puede explicarse más que en términos de"acuerdo lingüístico". O sea, se sostiene que, puesto que Wittgenstein rechaza todotipo de realismo, síntesis, conocimiento directo de verdades eternas, etc., entonces nole queda más que apelar a un "convencionalismo" total y radical. En palabras de

Dummett: "para él, la necesidad lógica de cualquier enunciado es siempre la expre-sión directa de una convención lingüística".13 La idea es, pues, la de que en opiniónde Wittgenstein es el consenso, el acuerdo global o general, lo que erige a una expre-sión dada en necesaria. Pienso, sin embargo, que así expuesto esto no es una repro-ducción del todo fiel de su pensamiento. Hay en lo que se ha dicho visos de verdad, pero requiere no obstante ser completado, matizado y precisado. Si eso no se hace,es muy probable que su atractivo, originalidad y plausibilidad se pierdan.

Imaginemos a dos matemáticos viviendo solos en una isla y supongamos que sur-ge una diferencia en cuanto a una supuesta prueba. Supóngase que A sostiene que 9es la conclusión de un razonamiento correcto, en tanto que B sostiene que la con-clusión es \j/. ¿Cómo podría dirimirse la cuestión? ¿Cómo podría uno demostrarle alotro, convencerlo de que está equivocado? Esto es obviamente un problema que

12 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Massachussets: The M.I.T. Press.,1975), I, sec.H3(a). 13 M. Dummett, op. cit., p. 170.

160




surge en relación con los lenguajes formales únicamente porque, en las condicionesdescritas, ninguna duda equivalente podría surgir en relación con, e.g., animales (ob-

jetos materiales). El escepticismo en cuanto a los objetos físicos es un ejercicio desalón. Supóngase que A cree que X es un inofensivo can, que B cree que se trata deun furioso tigre, que A trate de acercársele y que B le ruega que no lo haga: losresultados probarán de manera inequívoca quién tenía razón y sacarán a ambos díalo-gantes de toda duda. Pero ¿cómo podría uno u otro quedar convencido en el caso deun conflicto matemático cuando ya no hay nadie más a quien apelar?

Es evidente que una respuesta en términos de "aprehensión", de "visión", etc., nofunciona aquí en lo más mínimo. No sólo cada uno de los matemáticos podría conigual derecho afirmar que es él quien goza de la aprehensión correcta, sino que unarespuesta en términos de aprehensión sólo podría operar o ser efectiva si se nos

proporcionara una explicación o una descripción de la conexión entre el sujeto o lamente y la realidad que supuestamente apresa con el entendimiento. Si esta explica-ción no se nos da, lo que se nos proporciona no es más que una vaga evasiva y, desdeluego, no algo que pudiera verse como una solución. Por otra parte, una respuestaintuicionista o de corte kantiano tampoco representaría una salida o una solución.Ambos matemáticos podrían jurar que su construcción es la correcta, que la expre-sión de su síntesis es la adecuada, etc. Es claro, pues, que en casos de respuestascomo éstas, se seguiría careciendo de fuerza en la argumentación y, por ello, segui-ríamos sin resolver satisfactoriamente la cuestión. Parece evidente, asimismo, que

para este problema en particular ni una respuesta empirista ni una formalista nos saca-rían de apuros. No tendría mucho sentido hablar de generalizaciones, por ejemplo, ymucho menos aún de acuerdo o estipulación, puesto que una de las partes se negaríaa acatar las decisiones del otro, y a la inversa. Y es claro también que si nos concen-tramos en la "dimensión" sintáctica del sistema de signos en cuestión, no se obtendráninguna respuesta satisfactoria al problema: cada matemático podrá decir que en su juego el resultado es el que él decide que es. Nótese, sin embargo, que lo que muyrápidamente hemos desechado son ni más ni menos que todas las grandes escuelasde filosofía de las matemáticas. Ahora bien, mi tesis es que el "aparato conceptual"de Wittgenstein le permite salir airoso allí donde todos los demás fracasan.

Es claro que el problema aquí planteado no es en parte más que un caso particularde una dificultad más general que se plantea tanto dentro como fuera de las matemá-ticas. Me refiero al problema de determinar lo que es seguir una regla. En estetrabajo voy a asumir como correcta, en términos generales, la reconstrucción que me parece la más acertada, Le., la de S. Kripke. Lo que éste muestra, de manera irrefra-gable en mi opinión, es que Wittgenstein hizo ver que ningún planteamiento conven-cional logra eludir los problemas que genera la paradoja de Wittgenstein: cualquier

161




línea de conducta puede justificarse en términos de una regla que es diferente que laque se suponía que estaba operando. "Independientemente de cuantas reglas me des

yo doy una regla que justifica mi empleo de tus reglas".

14

Puesto que no hay solución posible en los planteamientos tradicionales, es decir, éstos están internamente incapa-citados para suministrar una respuesta cuya fuerza sea tal que no sea posible recha-zarla (ya se trate de un argumento trascendental, de una demostración apriori, etc.),la única opción viable es la que consiste en hacer ver que el problema mismo fue malconcebido, que no hay tal problema, que se está tratando de encontrar una respuestaa un problema fantasma, a una dificultad irreal. Así, pues, a lo que a través de sudiscusión Wittgenstein aspira es a desmantelar el problema, a ofrecer lo que Kripkecorrectamente reconstruye pero erróneamente califica de 'solución escéptica'. Vea-mos rápidamente lo que Wittgenstein sostiene.

Varias son las nociones a las que Wittgenstein apela o inclusive acuña tanto paradesmantelar las concepciones clásicas como para articular su punto de vista. Está, en primer lugar, la noción de comunidad. Esta noción es esencial, porque el "argumentodel lenguaje privado" hace ver que nada que pudiera ser llamado 'lenguaje' podríaser elaborado por un individuo solo y eso se aplica por igual al lenguaje de las sensa-ciones que al lenguaje de las ecuaciones. La comunidad es, pues, condición necesaria(si bien no suficiente) para la existencia del lenguaje. En segundo lugar, nos encontra-mos con la noción de regla pero, asociada con dicha noción, hay dos cuestiones quees conveniente mantener separadas:

1) la cuestión del establecimiento de la regla y de su status a priori 2) la cuestión de lo que es seguir correctamente una regla

Abordemos dichas cuestiones en ese orden. Una vez desechadas las concepciones filosóficas que hacen de las ecuaciones

proposiciones, no queda otra posibilidad más que ver en ellas reglas de algún tipo. Elcarácter necesario y a priori de las reglas matemáticas no puede, por consiguiente,ser aclarado por mitos filosóficos, sino por la descripción de su ubicación dentro delsistema total de expresiones y de su función o utilidad. Las proposiciones genuinasson expresiones descriptivas {Le., sirven para describir el mundo, la experiencia,etc.), pero dichas descripciones no pueden construirse y aplicarse más que sobre la base de estructuras conceptuales fijas. Estas estructuras (que por razones evidentesno pueden ser "mentales") permiten, primero, establecer clasificaciones básicas (siendo

14 L. Wittgenstein, Remarks on íhe Foundations ofMathematics, Part I, sec. 113 (b).

162




éstas en cierto sentido arbitrarias) y, segundo, conectar proposiciones de experienciaunas con otras. Recuérdese que tanto el uso de las proposiciones, en toda su diversi-

dad, como el uso de las reglas, en toda su variedad, está coordinado por la comunidadcomo un todo. La relevancia y la corrección de las aplicaciones de expresiones (seanéstas de la clase que sean) son un fenómeno determinado por la sociedad lingüísticacomo un todo. Pero, obviamente, esto no uniformiza los usos. La gramática superfi-cial sí uniformiza la sintaxis (sujeto, predicado, complemento, etc.), pero deja intactala arquitectura semántica, la cual queda estructurada por la utilidad y el papel dehecho desempeñados por las oraciones. Y obviamente, los roles que éstas puedendesempeñar pueden ser de lo más variado.

Nadie niega el carácter necesario de las matemáticas y Wittgenstein menos que

nadie. Su posición es que aclararnos nuestra aplicación de "necesario" (y nocionesrelacionadas) puede lograrse sólo haciéndosenos ver, mediante una descripción de-

tallada, qué papel desempeñan en nuestras vidas las "proposiciones necesarias", eneste caso las ecuaciones matemáticas. Ahora bien, en relación con estas últimas haydos grandes grupos:

i) los axiomas ii) cualquier identidad considerada aisladamente (e.g., '2 + 2 = 4')

Veamos caso por caso. En el primero, lo "necesario" de una fórmula (p dependeexclusivamente de su posición dentro del "juego", cp es un punto de partida y podríaser, e.g., tanto 'Por un punto P exterior a una línea recta R se puede trazar sólo una paralela a /?' como 'Por un punto P exterior a una recta R se pueden trazar unainfinidad de paralelas ai?'. Luego hablar de la necesidad de los axiomas en una teoríamatemática acabada es sencillamente aludir a la posición de ciertas "proposiciones"dentro del sistema. Con ello, lo primero que se descarta es la idea de que los axiomasson "auto-evidentes". Cualquier axioma es tan bueno como cualquier otro para laconstrucción de una teoría matemática. La peculiaridad de los axiomas es que defi-nen sistemas distintos. Esto es importante por varias razones. Wittgenstein, por ejem-

plo, sostenía que "La geometría del espacio visual es la sintaxis de las proposicionesque versan sobre los objetos en el espacio visual",15 usando 'sintaxis' en un sentidosimilar a su posterior uso de 'gramática'. Es decir, la "gramática" del lenguaje de los

15 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas. Traducción al español, de Alejandro Tomasini Bassols(México: Instituto de Investigaciones Filosóficas, 1997), sec. 178. Véase el artículo "Geometría yExperiencia" incluido en este libro.

163




negación de dichas proposiciones es una contradicción o algo absurdo y esto es unmecanismo retórico para enfatizar el hecho de que las hemos erigido en incorregi-

bles, pero no es una descripción del modo como hasta Dios tiene que razonar; afirma-mos que son verdaderas en todo mundo posible, pero esto equivale a decir que nodisponemos de otro modo de descripción y que ni siquiera concebimos uno diferenteal que tenemos y del cual nos servimos; sostenemos que las proposiciones de lasmatemáticas son verdades a priori, pero ¿qué es esto sino decir precisamente queno son "proposiciones de experiencia", puesto que esta última no sirve ni para confir-marlas ni para refutarlas? No parece entonces haber mayores misterios ni respecto alos axiomas ni respecto a las ecuaciones.

Pasemos ahora a considerar nuestra segunda cuestión, Le., la cuestión de lo quees seguir una regla. Dado que ésta ya ha sido ampliamente discutida en la literatura,no me detendré mayormente en ella, sino que me limitaré a destacar algunos de losresultados más importantes, así como a describir algunas de las vías por las que seencauza el pensar wittgensteiniano.

Diversas líneas de pensamiento convergen, en la obra de Wittgenstein, hacia elmismo resultado, a saber, que lo "objetivo", emerge como una necesidad propia dellenguaje y sólo como una consecuencia de ello de la realidad extra-lingüística. Nin-gún simbolismo podría operar si no contuviera el contraste "subjetivo-objetivo": lareferencia a lo uno presupone la referencia a lo otro, y a la inversa. Lo mismo pasacon "necesario" y "contingente". Ahora bien, imaginemos un sujeto no entrenado enel uso del lenguaje. La primera fase de su incorporación al lenguaje corresponderá ala ostensión, independientemente de que se interpreten sus definiciones ostensivascomo definiciones de términos para objetos privados o como definiciones de palabras para objetos públicos. Lo que en todo caso es claro es que al supuesto lenguaje deese hablante único le faltará algo esencial, a saber, reglas que rijan la aplicación de lossímbolos. La razón de ello estriba en que si no hay quien corrobore la aplicación designos, entonces el sujeto no estará en posición de distinguir entre lo que es seguirrealmente una regla y creer que está siguiéndola. Esto tiene la importante conse-cuencia de que para dicho "usuario" no habría la posibilidad de distinguir entre "co-

rrecto" e "incorrecto". El Robinson Crusoe lingüístico, a quien tantas veces se hainvocado y utilizado, carece de criterios para determinar si está justificado o no en laaplicación de un término o de una expresión, es decir, si efectivamente aplica o no laregla que determina su uso. Más aún, no dispondrá de una noción legítima de justifi-cación. Se podría, en última instancia, intentar erigir en criterio a la memoria delsujeto, pero es obvio que, como dice Wittgenstein, la memoria no es "la supremacorte". De hecho cometemos errores de memoria. Luego puede darse el caso de quenuestro Robinson crea recordar que un término fue aplicado de cierto modo en el

165




pasado e inferir que debe ahora volverse a aplicar porque, gracias a la memoria se percata de que la situación es la misma y, sin embargo, que esté en un error. Por lo

que el Robinson Crusoe lingüístico no podrá distinguir entre recordar y creer recor-dar. Otra línea de argumentación de Wittgenstein en contra de la tendencia a la privatización del lenguaje encarna en el ejemplo del escarabajo. Varias personas tie-nen cada cual una caja con algo a lo que llaman su 'escarabajo'. Nadie nunca havisto ni puede ver el supuesto "escarabajo" del otro. Sin embargo, todos usan la palabra y hablan de los "escarabajos" suyos y de otros. Dada esta situación, losescarabajos en cuestión pueden ser algo, ¡pero bien podrían no ser nada! Lo que estáimplicado es sencillamente que lo "interno" es irrelevante para la significatividad y lacomunicación. Puede o no suceder lo que los filósofos dicen que sucede cuando seve o se siente algo, sólo que el uso de 'ver' y de 'sentir' es independiente de ello. Sedesprende de todo esto que ni lo "subjetivo" ("privado") ni lo "natural" independientede toda conceptualización pueden determinar lo que es objetivo. El carácter objetivode las reglas, independientemente de qué clase de reglas se trate, es decir, ya sea dereglas para la aplicación de palabras ya sea de reglas de inferencia, surge por carac-terísticas intrínsecas del simbolismo y tiene, por ende, un carácter social.

Consideremos entonces el caso de las reglas de inferencia. Las reglas - que,como vimos, no son proposiciones de experiencia - no son descripciones de la reali-dad, no reflejan rasgos del universo, estructuras de la mente, etc. Más bien, encarnanlo que nosotros calificamos de 'inferencia válida' y reconocemos como tal, i.e., son laformulación de lo que de hecho nosotros hacemos. Nuestras formas de vida se erigensobre esas reglas. Es por eso que, aunque reconozcamos la posibilidad lógica de otrasformas de vida, de hecho no las comprendemos ni podríamos hacerlo. Barry Stroudha expuesto la idea en forma concisa y clara: "El interés de los ejemplos de Witt-genstein de gente que no 'juega nuestro juego' es sólo el de mostrar que el quetengamos los conceptos y las prácticas que tenemos depende de ciertos hechos que podrían no haberse dado. Dichos ejemplos muestran tan sólo que 'la formación deconceptos diferentes de los usuales' no es ininteligible, pero no se sigue de ello queesos conceptos nos sean inteligibles."18 Lo objetivo en lo que a las reglas atañe surge

de lo que es una básica concordancia entre humanos. Los participantes en los diver-sos juegos de lenguaje se entrenan unos a otros y, en conexión con prácticas tantolingüísticas como extra-lingüísticas, determinan lo que es la objetividad de la aplica-ción de los signos y las reglas. Ahora bien, esto requiere que se nos explique en qué

18 B. Stroud, "Wittgenstein and Logical Necessity" en Essays on Wittgenstein. Edited by E.D. Klemke(Urbana/Chicago/London: University of Illinois Press, 1971), pp. 460-61.

166




consiste la concordancia a la que Wittgenstein apela y que constituye, en sus descrip-ciones, la base de la objetividad. Es claro que la "concordancia" que Wittgenstein

tiene en mente no es una mítica convención. Su noción de concordancia se compren-de cuando se recuerda lo que nos dice que son la enseñanza ostensiva y sus efectos.Hay "concordancia" cuando los seres humanos son introducidos al lenguaje y, alreaccionar como los demás, aprenden a manipular signos en conjunción con determi-nadas prácticas, que son las prácticas de otros, esto es, de quienes los introdujeron allenguaje. La enseñanza ostensiva de reglas tiene como efecto la formación de hábi-tos de razonamiento, i.e., modos particulares de operar con las proposiciones y detransitar de unas a otras. Lo curioso es que, en general, todos tendemos a hacer lomismo, es decir, reaccionamos del mismo modo, concordamos en nuestras reaccio-nes. Por ello no nos avanza gran cosa decir ex post facto que es la lógica lo que nosordena pensar de tal o cual modo. En cambio sí es esclarecedor reconocer que es elmodo como razonamos lo que llamamos 'lógica'. En este punto, el segundo Wittgens-tein repite al primero. "Solía decirse que Dios podría crear todo excepto lo que fueracontrario a las leyes de la lógica. La verdad es que no podríamos ni siquiera decircómo seria un mundo ilógico".19 O sea, ningún lenguaje ni ningún cálculo que nosfuncione puede ser "ilógico". Y obsérvese que este diagnóstico no da cabida a ningúnnuevo mito, así como tampoco pretende ser una "explicación" de nada. Es simplementeuna constatación, una descripción de lo que sucede.

Resumiendo: las matemáticas constituyen un marco conceptual dentro del cual omediante el cual describimos nuestra experiencia. Una vez obtenido cierto resultado"lo archivamos" y constituye una nueva base para el permanente desarrollo de nues-tro sistema de descripciones. Los métodos matemáticos son inculcados y soninteriorizados para que hagamos inferencias en concordancia con ellos. Pero la san-ción última respecto a si procedemos o no en armonía con ellos viene dada por razo-nes extra-matemáticas. Ni las matemáticas ni la lógica tienen su justificación, suraison d'étre, en sí mismas. Naturalmente, hay que tomar en cuenta el visto buenode la comunidad relevante, condicionada ya por un largo entrenamiento, pero es sobre todo el éxito en la práctica, tanto cotidiana como teórica, lo que va a decidir si un

determinado resultado es aceptable y si un razonamiento dado es válido o no. En estesentido, Wittgenstein no es convencionalista. Su pensamiento parece ser el de que eluso de las reglas requiere del establecimiento de convenciones, a las que la vida en lasociedad nos obliga a ajustamos, pero el establecimiento de convenciones presupone"concordancia" en la técnica del lenguaje. Es a algunas de esas convenciones que los

19 L. Wittgenstein, Tractatus, 3.031.

167




filósofos llaman 'proposiciones necesarias'. Tenemos, pues, una doble respuesta deWittgenstein acerca del carácter necesario de las matemáticas. En primer lugar, las

matemáticas son necesarias en el sentido de que los elementos que las componen,le., sus reglas, son expresiones fijas que constituyen un esqueleto categorial para laexperiencia y para la realidad y, en segundo lugar, las matemáticas son una estructuraque modela y uniformiza nuestro modo de pensar y actuar.

Si lo que Wittgenstein dice es correcto, entonces varias ideas "clásicas" se vienenabajo. Una de ellas, por ejemplo, es la de que los cálculos (en el sentido de sistemasde reglas) se dividen en los intrínsecamente buenos y los intrínsecamente defectuo-sos. Esta dicotomía presupone la idea de que el mero examen del cálculo (le., lamera consideración de los axiomas, teoremas, etc.) bastaría para darle el visto bueno

o condenarlo. Pero esto es describir la situación real exactamente al revés. Cualquiercálculo qua cálculo está "perfectamente en orden". "Un cálculo es tan bueno comocualquier otro".20 Cualquier cálculo fija o constituye la gramática de un lenguaje posible en el cual se podrán decir verdades y falsedades, pero aplicar las nociones"verdad" y "falsedad" al cálculo, previamente a su aplicación, no parece tener mayorsentido, puesto que lo verdadero y lo falso se derivarán de algún modo de él o enconexión con él. Lo que no parece tener mayor sentido es pensar que a un cálculodado se le puede juzgar desde otro cálculo. Es con la aplicación del cálculo quesurgen la verdad y la falsedad. Claro que se puede objetar, como lo hace el interlocu-tor imaginario en las Philosophical Investigations, como sigue "¿De modo que loque tú estás diciendo es que la concordancia humana decide qué es verdadero y quées falso?". Pero allí mismo se nos da la respuesta a la objeción; "Lo que los sereshumanos dicen es verdadero y falso; y ellos concuerdan en el lenguaje que usan.Eso no es concordancia en opiniones, sino en forma de vida".21 Sobre la base delcálculo aceptado por una comunidad lingüística dada se pueden erigir teorías empíri-cas, las cuales conformarán nuestra percepción de la realidad y afinarán nuestracomprensión de ella, pero será entonces pueril hablar del cálculo elegido como delcálculo que "realmente corresponde a la realidad", que es "objetivamente válido",etc., puesto que al hacerlo se estará recurriendo a las teorías que en él se fundan.

Dichos juicios, por lo tanto, serán emitidos desde la posición construida gracias a laaplicación del cálculo en cuestión. Lo que en cambio sí clasifica a los cálculos en"buenos" y "malos" es, ante todo y en primer lugar, su aplicación o, quizá mejor, suaplicabilidad, su potencial utilidad. Y con este criterio de clasificación obtenemos la

20 Ludwig Wittgenstein andthe Vienna Circle. Conversations recorded by Friederich Waismann. Edited by B.F. McGuinness (Oxford: Basil Blackwell, 1979), p.202. 21 L. Wittgenstein, Phil. Inv., sec 241.

168




respuesta al problema de los matemáticos planteado más arriba: la "solución" vienedada por razones externas al cálculo mismo. La conclusión correcta será aquella que

tenga la utilidad esperada. Y eso ¿cómo se decide? Hay diversos modos de determi-narlo. En unas ocasiones la mera consistencia/inconsistencia con otros sistemas designos ya establecidos bastará para preferir una a otra, en otras la posibilidad o impo-sibilidad de aplicación podrá ser decisiva, la fecundidad puede ser otro criterio, etc.Dicho de otro modo, es la praxis matemática, tanto teórica como en la vida cotidiana,lo que va a hacernos valorar, preferir y, por lo tanto, "justificar" a unos cálculos osistemas de reglas antes que a otros. Pero lo importante aquí es que ya hemos tocadofondo: no hay ya ningún estrato ontológico inferior, más básico, en virtud del cual loscálculos se justifiquen o descarten. El cálculo es un modo de conceptualización de larealidad y es claro que de un mundo des-conceptualizado no tiene el menor sentidohablar. Por lo tanto, la pareja de predicados que prima facie se aplica a los cálculosno es "verdadero-falso", sino "útil-inútil" ("estéril-fructífero"). Si se acepta esto, en-tonces se ve claramente que no tiene mayor sentido insistir en que el cálculo es unarepresentación lingüística peculiar, viz., de un mundo de entidades abstractas, porejemplo. Como dice Wittgenstein "El cálculo mismo existe sólo en el espacio y en eltiempo".22 Un cálculo es una propuesta determinada de categorización, elaboradacon objetivos específicos en mente (Le., para resolver problemas concretos). De ahíque lo que realmente importe sea su aplicación y esto a su vez implica que, si algo lohace o puede hacerlo, sea la "praxis" lo que "fundamente" a las matemáticas.

Echemos rápidamente un vistazo a la cuestión de cómo encaja la noción de con-vención en este cuadro de las matemáticas. Aquí el gran error por evitar es el deidentificar la seminal noción wittgensteiniana de "concordancia" con la vaga y usualde "convención". Es sobre la base de un acuerdo social, el cual descansa en hechoscontingentes (e.g., tener las manos como las tenemos, concentrar en nuestras cabe-zas los órganos sensoriales, etc.) que podemos estipular cosas, fijar convenciones, ydemás. Pero la convención, la definición, la estipulación, presuponen el juego de len-guaje, Le., el dominio de una técnica engendrada en conjunción con acciones. Enrelación con lo convencional, creo que podemos decir que es una convención el que

nuestro numeral para el número dos sea '2' y no '#' y que es convencional el queexista en absoluto la función de adición y que la denotemos mediante '+'. Pero yafijadas ciertas convenciones, los resultados del uso o aplicación de los símbolos no esconvencional. No es convencional el que 1 +1 = 2. La diferencia con el convencionalistatradicional es que, de acuerdo con éste, el resultado mismo de sumar es también una

22 L. Wittgenstein, Obseraciones Filosóficas., sec. 109.

169




convención. Aquí Wittgenstein se separa del convencionalista y a partir de este mo-mento la descripción de Dummett deja de ser correcta. Por otra parte, vale la pena

notar que el rechazo del convencionalismo no hace caer a Wittgenstein en el plato-nismo. Su anti-realismo se lo impide. Pero no por ello está incapacitado para darcuenta de la objetividad y de la necesidad de las matemáticas. Lo objetivo aparececon la aplicación coordinada del simbolismo y ello se debe a su carácter social. Loobjetivo no es lo "natural en estado puro", puesto que a eso nosotros, los usuariosdel lenguaje, no tenemos acceso (no sabemos cómo sea el mundo a o des-conceptualizado). Es de este modo como Wittgenstein conserva el carácter ne-cesario de las matemáticas, pues no hacerlo sería absurdo, sólo que hace surgir dichocarácter de la naturaleza social del simbolismo, y no de su supuesto carácter mental

u ultra-físico. En otras palabras, lo que él hace es revelarnos que la fuente de lanecesidad es otra que la sugerida por las escuelas. En general, se ha intentado darcuenta del carácter necesario de las proposiciones de las matemáticas desde, porejemplo, la perspectiva de un supuesto mundo abstracto y de lo que se considera queson sus rasgos esenciales. Serían entonces en virtud de que los objetos matemáticosson objetivamente como son que ciertos enunciados son verdaderos y que lo son nece-sariamente. También se ha argumentado desde la perspectiva de las características dela mente y de lo que se piensa que son sus modos inevitables de operar. Finalmente, seha hablado de convenciones, de significados, etc. Pero tenemos poderosas razones para sostener que ninguna de esas supuestas explicaciones da realmente cuenta dellenguaje matemático, ni explica el desarrollo de las matemáticas ni nos aclara paraqué sirven. Con Wittgenstein se abre una nueva perspectiva de elucidación y com- prensión: la vía o perspectiva social. En su núcleo encontramos la idea de que es enfunción de los requerimientos prácticos que aquejan a los seres humanos que éstoselaboran sistemas de reglas, cuya validación última viene con su aplicación y utilidad,y que es sobre la base de las prácticas humanas que se gestan las convencioneslingüísticas. Pero no todo lo que se erige sobre convenciones es convencional y estoes precisamente lo que sucede con las matemáticas.

Wittgenstein dijo alguna vez que "Las matemáticas se componen de cálculos".23 En

relación con estos cálculos tenemos que aprender a detectar una cierta asimetría quelos rige y que se ejerce con las nociones de temporalidad y de necesidad. Yo pienso queWittgenstein efectivamente hace ver que la evolución de las matemáticas no está pre-determinada. El cálculo puede en todo momento desarrollarse en la dirección que

23 L. Wittgenstein, Philosophical Grammar (Berkeley/Los Angeles: University of California Press,1974), p.468.

170




sea y nada en el cálculo mismo nos puede forzar a optar por una u otra proposición.Pero las matemáticas no pierden por ello su carácter objetivo: lo único que está implica-

do es que lo objetivo emerge no como la manifestación de un hecho natural o so- brenatural. Nuestros resultados son productos de nuestros hábitos de razonamiento,derivados de nuestro peculiar modo de entrenarnos unos a otros (Le., quienes compar-ten una determinada forma de vida e introducen en ella a otros). Esto no quiere decirque no pueda haber conflictos entre hábitos de razonamiento y resultados de aplicacio-nes de reglas, e.g., en el caso de teorías científicas. Pero aunque hubiera resultadosdiscordantes con nuestros hábitos (a pesar de que tratamos de sistematizarlos) y noobstante fueran aceptados, ello no tiene nada de particularmente misterioso: ni nuestroshábitos son inmutables ni los resultados arbitrarios, sino que estos últimos están integra-dos y avalados por teorías o sistemas de teorías, creadas para satisfacer requerimientos

prácticos. De ahí que por lo que Wittgenstein abogue en el fondo sea por la primacía dela praxis. Por consiguiente, visto hacia el futuro no hay nada determinado, pero contemplado retrospectivamente todo en matemáticas resulta necesario. Si se acepta comoreal esta asimetría, entonces puede aceptarse que tenemos una dilucidación genuina delo necesario en las matemáticas. Aquí es donde se siente la fuerza del antropologismo yde lo que podríamos quizá llamar el "praxismo" de Wittgenstein. Las matemáticas hansido aclamadas como eternas debido a que los cálculos que las constituyen se integranen un sistema útil, tanto práctica como teóricamente, y que justamente por esa razón novamos a tolerar que se modifique. Dicho sistema es, de hecho, insustituible. No quiere

decir eso que otra matemática no sería posible, como sería posible que el ajedrez tuvierareglas distintas. Recuérdese que "La aritmética", por ejemplo, "no habla acerca denúmeros, sino que trabaja con números".24 Lo necesario de nuestras matemáticas resideen que en ellas los procesos son métodos de razonamiento y los resultados ecuaciones. Le.,reglas. Luego las matemáticas tanto coadyuvan a la formación de conceptos comoconstituyen un sistema de conceptos que después inculcamos e inexorablemente apli-camos. Es por eso que Wittgenstein habla del "doble carácter de la proposición mate-mática como ley y como regla".25 Nuestras matemáticas, como es obvio, están profundamente arraigadas en nuestra cultura, constituyen en parte nuestras formas devida y es por eso que nos resulta impensable no apegarnos a ellas y absurda cualquier propuesta alternativa. Pero sería conveniente que reconociéramos que al glorificarlas,como en general se hace, lo que en el fondo se está haciendo no es otra cosa queglorificarnos a nosotros mismos.

2J L. Witlgenstein. Observaciones Filosóficas., sec. 109. 25 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations ofMathemat ics, Part II I, sec. 21.

171



Filosofía y Matemáticas: ensayos en torno a Wittgenstein

se terminó de imprimir en diciembre de 2006. Tiraje: 500 ejemplares.

- Filosofia Y Matematicas - Ensayos en Torno a Wittgenstein

Documents

Transcript of - Filosofia Y Matematicas - Ensayos en Torno a Wittgenstein