1

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Вінницький національний технічний університет

Кафедра комп’ютерного еколого-економічного моніторингу та

інженерної графіки

Ящолт А. Р.

ММааттееррііааллии ддлляя ССРРСС ссттууддееннттаамм

ппоо ддииссцциипплліінніі ММооддееллюювваанннняя іі

ппррооггннооззуувваанннняя ссттааннуу ддооввккіілллляя

ВНТУ 2013

2

ЗМІСТ

ЗМІСТ………………………………………...……………………………………………..……………….2

ВСТУП……………………………………………………………………………..4

1 Процеси розповсюдження забруднення в атмосферному повітрі…………..5

1.1 Характеристика джерел природного і антропогенного походження ……………………………….5

1.2 Джерела розповсюдження шкідливих домішок в атмосфері ............................................ .12

1.3 Моделі поширення забруднення в атмосферному повітрі.…………………………………….…13

1.3.1 Найпростіші алгебраїчні моделі ........................................................................................ 14

1.3.2 Дифузійні моделі ........................................................ Ошибка! Закладка не определена.

1.3.3 Скінченно - різницеве сіткове моделювання поширення домішок…………………….…..…20

2 Базові поняття теорії ймовірностей і математичної статистики………...….24

2.1 Основні поняття математичної статистики…………………………………………………………………..…..24

2.2 Побудова статистичного ряду і функцій розподілу…………………………………………………………25

2.3 Обчислення невідомих параметрів розподілу…………………………………………………………………29

2.4 Основні поняття теорії ймовірності………………………………………………………………………..…………30

3 Математичне моделювання кругообігів вуглецю, кисню та азоту у

біосфері……………………………………………………………………...……34

3.1 Модель глобального біогеохімічного циклу вуглецю……………………………………………………..34

3.2 Кругообіг кисню…………………………………………………………………………………………………………………39

3.3 Глобальний цикл азоту………………………………………………………………………………………………..……41

4 Основні поняття теорії випадкових процесів………………………..………48

4.1 Класифікація випадкових процесів………………………………………………………………………………..…50

4.2 Елементарні випадкові функції…………………………………………………………………………………………52

4.3 Закони розподілу випадкових процесів…………………………………………………………………..………53

5 Головні положення концептуальної моделі біосфери Вернадського………57

6 Застосування рівняння лотки-вольтера в біології, хімії, медицині……...…71

7 Застосування рівняння лотки-вольтера в екології…………………………...74

8 Методи оцінки тренду та сезонної компоненти випадкового процесу…….76

3

9 Підходи до схематизації об’єктів моделювання, при моделюванні

розповсюдження забруднення…………………………………………………..81

9.1 Утворення карт (картографування)……………………………………………………………………………….…82

9.2 Приклади екологічних карт………………………………………………………………………………………….…..83

9.3 Створення блок-схем……………………………………………………………………………………………………….84

10 Дифузія………………………………………………………………………..86

11 Основні поняття кореляційного та регресивного аналізу………………....90

12 Модель біоакумуляції забруднення…………………………………………97

13 Концептуальна модель міграції радіонуклідів……………………………102

14 Модель балансу розчиненого кисню у водних об’єктах…………………106

15 Геостатистичний аналіз даних в екології і природокористуванні……….113

15.1 Основні поняття геостатистики…………………………………………………………………………………..…113

15.2 Гіпотеза стаціонарності……………………………………………………………………………….………………..117

15.3 Багатовимірні гауссові випадкові функції…………………………………………….………………………120

15.4 Методи геостатичного моделювання…………………………………………………………………………..122

Список літератури…………………………………………………………...…132

4

ВСТУП

5

1 Процеси розповсюдження забруднення в

атмосферному повітрі

1.1 Характеристика джерел природного і антропогенного

походження

Атмосфера — це газова оболонка Землі, яка обертається разом з нею.

Саме тут проходить озоновий захист життя Землі від жорсткого для

всього живого випромінювання Сонця. Енергія радіації, що абсорбується,

перетворюється у теплову енергію газових молекул. Сонячна радіація, яка

проходить до земної поверхні, має зовсім безпечні границі, а всі

ультрафіолетові промені з меншою довжиною хвилі в'язнуть у цьому

невидимому, легкому, але непроникному шарі повітряного океану.

З віддаленням від Землі змінюється не тільки густина повітря, а й його

склад. Склад повітря залишається порівняно постійним на висотах до 100 км.

До складу атмосфери входять азот — 78,08%, кисень — 20,95% і аргон —

0,93%. На частку вуглекислого газу, неону, гелію і всіх інших газів, які

присутні у повітрі в мікрокількості, припадає лише трохи більше 0,04%.

У придонних шарах атмосфери, особливо в містах, склад повітря

змінюється. Важливою змінною складової атмосфери е вуглекислий газ. Ще

100 років тому вміст вуглекислого газу в повітрі був 0,0298%, а тепер —

0,0318%, а в містах ще вищий. Цікаво, що акселерацію — прискорений і

посилений ріст дітей, особливо в містах, — деякі вчені пояснюють

підвищеним вмістом вуглекислого газу в повітрі. Навіть незначне збільшення

вмісту вуглекислого газу в повітрі значно посилює дихальний процес,

починається швидкий ріст грудної клітини і відповідно всього організму.

Приблизно до висоти 400—600 км зберігається переважно киснево-

азотний склад атмосфери. Істотна зміна складу повітря спостерігається лише

6

з висоти близько 600 км. Тут починає переважати гелій. «Гелієва корона

Землі», як назвав гелієвий пояс В.І.Вернадський, простягається приблизно до

висоти 1600 км від поверхні Землі, а далі вище 2—3 тис. км переважає

водень. Так поступово газова оболонка Землі перетворюється у міжзоряний

газ, який складається на 76% (за масою) з водню і на 23% з гелію.

Атмосферне повітря — один з найважливіших природних ресурсів, без

якого життя на Землі було б абсолютно неможливим. Атмосферний кисень

О2, необхідний для дихання людей, тварин, переважної більшості рослин і

мікроорганізмів. Організму людини і тварин необхідний постійний приток

кисню. Основне джерело утворення кисню — це фотосинтез зелених рослин.

Підраховано, що рослини за рік виділяють в атмосферу близько 70 млрд т

кисню. Близько 80% всього кисню в атмосферу постачає морський

фітопланктон, 20% виробляє наземна рослинність.

Вуглекислий газ — обов'язковий компонент фотосинтезу рослин.

Він надходить в атмосферу внаслідок виверження вулканів, розпаду

органічних речовин, дихання живих організмів, виділення з поверхні теплих

океанів, а витрачається атмосферою на фотосинтез рослин, розчинення в

холодній воді океанів, перетворення силікатів вивітрюваних гірських порід у

карбонати. Рослини за рік поглинають близько 100млрд т оксиду вуглецю,

тобто близько 6% усього наявного вмісту його в атмосфері. Важливим

фактором стабілізації вмісту оксиду вуглецю є світовий океан, у водах якого

розчинено принаймні в сто разів більше оксиду вуглецю, ніж його є у всій

атмосфері.

З основних компонентів атмосфери найбільше змінюється вміст у

повітрі водяної пари. Вміст водяної пари в атмосфері визначається

співвідношенням процесів випарювання, конденсації і горизонтального

перенесення.

Водяна пара — це джерело утворення хмар, туманів, опадів. Наявні в

атмосфері водяна пара і діоксид вуглецю захищають земну поверхню від

надмірного охолодження, створюючи так званий парниковий ефект: якби не

7

було атмосфери, то середня температура поверхні земної кулі була б не +15,

а — 23 °С.

Атмосфера регулює теплообмін Землі з космічним простором, впливає

на її радіаційний та водяний баланс. Одним з найважливіших факторів, що

визначають стан атмосфери, є її взаємодія з океаном, процеси газообміну і

теплообміну між ними суттєво впливають на клімат Землі.

Атмосферне повітря забруднюється різними газами, дрібними

часточками і рідкими речовинами, які негативно впливають на живі істоти,

погіршуючи умови їх існування. Джерела його забруднення можуть бути

природними і штучними (антропогенними):

Рис.1.1 - Штучні та природні джерела забруднення атмосфери

Природне забруднення атмосфери. У нормі природні джерела за-

бруднення не спричинюють істотних змін повітря. Інтенсивне поширення

певного природного джерела забруднення на певній території (викиди

попелу і газів вулканами, лісові і степові пожежі) можуть стати серйозною

8

причиною забруднення атмосфери. Так, під час виверження вулкана

Кракатау у 1883 р. маса попелу та пилу становила 150 млрд. т, і вони

поширилися майже по всій земній кулі. Внаслідок виверження вулкана на

Алясці в 1912 р. в атмосферу надійшло понад 20 млрд. т пилу, який тривалий

час утримувався в повітрі. Такі катастрофічні явища зумовлюють іноді

утворення світлонепроникного екрана навколо Землі, а також зміну її

теплового балансу. Проте природні забруднення атмосфери здебільшого не

завдають великої шкоди людині, бо відбуваються за певними біологічними

законами і регулюються кругообігом речовин, виявляються періодично.

Штучне (антропогенне) забруднення атмосфери. відбувається внас-

лідок зміни її складу та властивостей під впливом діяльності людини. За

будовою та характером впливу на атмосферу штучні джерела забруднення

умовно поділяють на технічні (пил цементних заводів, дим і сажа від

згоряння вугілля) та хімічні (пило- або газоподібні речовини, які можуть

вступати в хімічні реакції).

За агрегатним станом усі забруднювальні речовини поділяють на

тверді, рідкі та газоподібні. Саме газоподібні забрудники становлять 90 %

загальної маси речовин, що надходять в атмосферу.

Забруднення атмосфери неоднакове по регіонах. В індустріально

розвинених районах воно може бути в тисячу разів більшим за серед-

ньопланетарні значення. У світі щороку спалюють понад 10 млрд т

органічного палива, переробляють близько 2 млрд рудних і нерудних

матеріалів. Лише при спалюванні вугілля и атмосферу щороку потрапляє

близько 120 млн т попелу, а разом з іншими видами пилу — до 300 мли т. За

приблизними підрахунками, в атмосферу за останні 100 років надійшло 1,5

млн т арсену, 1 мли т нікелю, 900 тис. т чадного газу, 600 тис. т цинку,

стільки ж міді.

Серйозної шкоди навколишньому середовищу завдає хімічна про-

мисловість. Особливо небезпечними є сірчисті сполуки, оксиди азоту, хлор

та ін. Майже всі забруднювальні речовини можуть вступати між собою в

9

реакції, утворюючи високотоксичні сполуки. У поєднанні з туманом це

явище дістало назву фотохімічного смогу.

Значним джерелом забруднення довкілля є підприємства чорної

металургії. Вони викидають в атмосферу багато пилу, кіптяви, сажі, важких

металів (свинець, кадмій, ртуть, мідь, нікель, цинк, хром). Ці речовини

практично стали постійними компонентами повітря промислових центрів.

Особливо гостро стоїть проблема забруднення повітря свинцем.

Повітря забруднюють практично всі види сучасного транспорту,

кількість якого постійно збільшується у всьому світі. Майже всі складові

вихлопних газів автомобілів шкідливі для людського організму, а оксиди

азоту до того ж беруть активну участь у створенні фотохімічного смогу.

Одна вантажівка або один легковик викидає в повітря відповідно 6 м4 З м3

чадного газу СО. Забруднюється повітря і пилом гуми з покришок

автомобілів і літаків (один автомобіль утворює близько 10 кг гумового пилу).

Найбільшу загрозу для людства становить забруднення атмосфери

радіоактивними речовинами. Ця проблема вперше виникла в 1945 р. після

вибуху двох атомних бомб, скинутих з американських літаків на японські

міста Хіросиму й Нагасакі. Природна радіоактивність існує незалежно від

діяльності людини.

Живі істоти певною мірою пристосувалися до неї, хоч шкідливість її

для них є очевидною.

Атмосфера має здатність до самоочищення. Концентрація

забруднювальних речовин через розпорошення їх у повітрі, осідання твердих

часточок під впливом сили гравітації, випадання різних домішок з опадами

(дощ інтенсивністю 1 мм/год за 45 хв вимиває з повітря 28 % часточок пилу

діаметром 10 мкм). Проте від величезної кількості забруднювальних речовин,

що надходять в атмосферу сьогодні, вона не встигає самоочищуватись. Так,

при спалюванні за рік 2,1 млрд т кам'яного вугілля і 0,8 млрд т бурого в

навколишнє середовище потрапляє 225 тис. т арсену, 225 тис. т германію,

10

153 тис. т кобальту і, крім того, мільйони тони пилу з металургійних заводів,

майже 1/5 частина світового виробництва цементу.

За приблизними підрахунками, маса забруднювальних речовин в ат-

мосфері становить 9-10 мли т. Порівняно з масою земної атмосфери це

мізерна величина, однак на висоті 50— 100 м від Землі, де саме кон-

центруються забруднювальні речовини, частка їх є істотною відносно

кількості чистого повітря [3].

Головними екологічними глобальними наслідками забруднення

атмосфери є:

парниковий ефект;

озонова дірка;

кислотні дощі;

смог.

Вплив транспорту на атмосферне повітря. В промислово розвитих

країнах основним джерелом забруднення атмосфери є автотранспорт, парк

якого безупинно росте. Якщо в 1900 р. на планеті нараховувалося біля 6 тис.

автомобілів, то до 2000 р. чисельність світового парку автомашин досягла

500 млн. одиниць. Частка автотранспорту в забрудненні атмосфери

продуктами згоряння показана в табл.1.

Таблиця 1.1 - Обсяги викидів продуктів згоряння, млн. т. рік

Продукти згоряння

Джерела продуктів згоряння

автомобілі електростанції,

промисловість і т.д.

Оксид вуглецю 59,7 5,2

Вуглеводні й інші

органічні речовини 10,9 6,4

Оксиди азоту 5,5 6,5

Сполуки , що містять

сірку 1,0 22,4

Макрочастки 1,0 9,8

11

Викиди автомобільного транспорту істотно залежать від режиму

роботи двигуна і якості використовуваного палива. Зразковий склад

вихлопних газів автомобілів поданий у табл. 2.

Таблиця 1.2 - Наближений склад (% по обсягу) вихлопних газів

автомобілів

Компоненти

Вміст компонентів у вихлопах

карбюраторний

двигун

дизельний

двигун

N2 74-77 76-78

О2 0,3-8 2-18

Н2О 3,0 - 5,5 0,5 - 4.0

СО2 5,0-12,0 1,0-10,0

СО 5.0 - 10,0 0,01 - 0,5

Оксиди сірки 0-0,8 2* 10 -4 - 0,5

Вуглеводні 0,2 - 3,0 1 * 10 -3 - 0,5

Альдегіди 0-0,2 (1 - 9) * 10 -3

Сажа 0-0,4 г / м -3 0,01 -1,1 г / м -3

Бензапірен (10-20) * 10-6 г/м

–3

до 1 * 10 -5 г / м -3

До токсичних відносять такі компоненти вихлопних газів: оксид

вуглецю, оксиди азоту, вуглеводні. Крім того, деякі види палива містять

сірку; що обумовлює вміст у вихлопних газах діоксиду сірки.

З початку 1930- х років тетраметил- і тетраетил свинець добавляють у

якості антидетонатора до переважної більшості бензинів у кількості 80 мг.

При прямуванні автомобіля від 25 до 75% цього свинцю викидається в

атмосферу, осаджується на землю, потрапляє в поверхневі води. Свинець

акумулюється в ґрунті і рослинності уздовж автострад (у містах - уздовж

вулиць із пожвавленим рухом), помітна кількість сполук свинцю утримується

12

в повітрі великих міст. За даними США і Великобританії, до 90% усього

свинцю, що утримується в атмосфері, варто віднести за рахунок вихлопних

газів. В даний час у ряді країн (Японії й ін.) використання етилованого

бензину заборонено. Виходячи із середніх втрат нафтопродуктів на одну

автомашину 10 - 11 л в рік, загальний викид нафтопродуктів світовим

автомобільним парком обчислюється 2,1-2,2 млн. т у рік, причому велика

частина його потрапляє в ґрунти і гідросферу.

1.2 Джерела розповсюдження шкідливих домішок в

атмосфері

Підвищена концентрація забруднюючих речовин спостерігається в

атмосфері практично кожного промислового підприємства, тому виникає

необхідність у вирішенні задачі оцінки і моделювання поширення

забруднюючих речовин в атмосфері саме від точкових стаціонарних джерел з

метою запобігання або зменшення їх впливу на екосистему. При аналізі

процесів забруднення атмосфери міст досить істотна відмінність між

забрудненнями, виробленими стаціонарними та мобільними джерелами, які

можна знайти в книзі Ф.В. Скалкін. Точковим стаціонарним джерелом

забруднення є джерело, зосереджений у певному місці і викидає

забруднюючі в атмосферу речовини з встановленого отвори. Для міст

точковими стаціонарними джерелами забруднюючими атмосферу є димові

труби заводів, теплоелектростанцій, опалювальних котелень, технологічних

установок, печей та сушарок, витяжні шахти, вентиляційні труби, витяжки.

Стаціонарні джерела викидають в повітря сірчистий газ, оксиди азоту,

а також деяку кількість чадного газу, фенолів, сірчаної кислоти та інших

забруднюючих речовин в залежності від специфіки промислового

виробництва міста і складу використовуваного в ньому палива. Відносно

недавно стаціонарні джерела викидають в атмосферу значну кількість пилу

різноманітного хімічного складу, але в даний час існуючі газоочистні

13

установки затримують більше 95% всіх твердих часток, що утворюються при

згоранні палива, але практично не вловлюють газових складових.

Іншою особливістю стаціонарних джерел є те, що їх скиди в

атмосферу, на відміну від мобільних джерел, відбуваються як правило, на

великій висоті, що призводить до того, що вироблені ними забруднення

поширюються на великій території (залежно від висоти труб). Ці зони,

накладаючись один на одного, утворюють області стійких забруднень у

промислових районах міст, що поширюються на висоту до 150 м і більше.

Газоподібні викиди промислових підприємств утворюють в

атмосферному повітрі аеродісперсние системи і в результаті турбулентного

руху та інших процесів довгий час утримуються в повітрі. Дальність

розповсюдження забруднювачів залежить від часу існування того чи іншого

забруднювача в повітрі і метеорологічних умов, швидкості і напряму потоків

в атмосфері, опадів та інших процесів.

На відміну від стаціонарних джерел забруднення повітряного басейну

автотранспортом відбувається на невеликій висоті і практично завжди має

локальний характер. Найпоширенішими шкідливими речовинами, що

забруднюють атмосферне повітря, є: оксид вуглецю, діоксид сірки, сажа,

оксиди і діоксиди азоту, аміак, фенол, формальдегід, фтористий водень та

неорганічний пил. Прогноз і регулювання забруднення атмосфери викладені

в роботі М.Я. Берлянд .

1.3 Моделі поширення забруднення в атмосферному

повітрі

Розвиток методів прогнозу забруднення примагістральної території

ґрунтується на результатах теоретичного та експериментального

вивчення закономірностей розповсюдження домішок від джерел, в

часному випадку від транспортних потоків. Розглянемо найбільш відомі

імітаційні моделі якості повітряного середовища, які були відібрані з

14

точки зору цілісності їх практичного застосування. Існуючі моделі

розповcюдження забруднення можна поділити на: 1) найпростіші моделі,

які ґрунтуються на алгебраїчних залежностях; 2) статистичні моделі; 3)

гаусові моделі турбулентного розсіювання домішок; 4) дифузійні

моделі, які ґрунтуються на рівняннях турбулентної дифузії у граничному

шарі атмосфери.

Причому за обраною системою відліку розрізняють: 1) моделі з

системою координат Ейлера (ейлерівські моделі) – вимірювальні прилади

нерухомі щодо поверхні землі; 2) моделі з системою координат Лагранжа

(лагранжеві або траєкторні моделі) – переніс домішки описується за

допомогою лагранжевої траєкторії руху клуба домішки (матеріальної

точки); 3) змішані (ейлерово-лагранжеві) моделі.

Проведемо короткий опис імітаційних моделей якості повітря від

стаціонарних джерел згідно наведеної класифікації з точки зору

доцільності їх практичного застосування:

1.3.1 Найпростіші алгебраїчні моделі

Прості детерміновані моделі – ґрунтуються на емпіричних даних

і формулюються у вигляді алгебраїчних співвідношень.

Моделі описують зміну в часі і просторі показників забруднення

повітря, а характеристики якості (загрожуючі чи небезпечні)

використовують для оповіщення громадськості і навчання правилам

поведінки (в епізодичних ситуаціях) при раптовому забрудненні повітря.

Наприклад, моделі простих поверхневих джерел співвідносять

річні концентрації забруднюючих речовин над міською територією з

інтенсивностями джерел, помноженими на обернену величину середньої

швидкості вітру. Для найпростішої моделі ступінь забруднення

пропорційний кількості викидів. Цей коефіцієнт пропорційності

використовується для розрахунку зміни концентрації забруднення

15

атмосфери при зміні кількості викидів. Такі емпіричні моделі

прогнозують ступінь майбутнього забруднення повітря в залежності від

росту викидів за ретроспективними даними про якість навколишнього

атмосферного повітря.

Моделі зниження до попереднього рівня – це загальний класс

емпіричних моделей, що пов'язують прогноз якості повітря при

зростанні викидів і ретроспективні дані щодо ступеню забруднення

навколишнього повітря. Поняття «зниження до попереднього рівня»

введено для аналізу змін якості повітря, а не для кількісної

характеристики забруднення повітряного середовища. Воно

використовується при плануванні допустимих викидів забруднення в

атмосферу як метод одержання оцінки ступеня необхідного скорочення

викидів для узгодження із стандартами якості повітря. При цьому

вважається, що існує пряма пропорційна залежність між відношенням

теперішніх і майбутніх характеристик якості повітря за вирахуванням

фонових забруднень.

Модифікація простої моделі зниження до попереднього рівня

булла використана при плануванні контролю за утворенням оксидів на

основі даних контролю за неметановими вуглеводнями. Цим методом

встановлена верхня гранична крива максимальних концентрацій оксидів.

Прості балансові моделі контрольного об’єму для аналізу проблем

забруднення повітря в міських зонах розглянуті в роботі. Ці моделі

засновані на використанні контрольного об’єму з основою на поверхні

землі і верхньою границею на поверхні шару інверсії (вершині шару

перемішування). Бічні поверхні об’єму розташовані так, щоб охопити

досліджувану міську зону. Концентрація забруднення визначає її

усереднене значення над місцем і не залежить від просторових координат

вибору позиції рецептора. Це спричиняє те, що результати прогнозних

оцінок мають обмежене застосування.

Моделі локального викиду і поширення хмари забруднення.

16

Математичні моделі локального викиду відносяться до перших

найпростіших класів моделей якості повітря. Проте вони мають широке

застосування і відносяться до найбільш надійних способів аналізу і

прогнозу якості повітря при наявності реальних вхідних даних про

профіль вітру і відповідні коефіцієнти дифузії.

Прості моделі викиду для рівномірного вітру і заданих стабільних

термальних умов мають наступні властивості:

концентрації від безупинно діючого джерела змінюються в

прямій пропорції від інтенсивності викиду;

концентрації обернено пропорційно залежать від середньої

швидкості вітру біля джерела;

відстань від джерела до рецептора (місця аналізу) а

також інтенсивність атмосферної турбулентності визначають висоту

і ширину струменя переміщення забруднення в розглянутій зоні;

концентрації можуть зменшуватися за рахунок хімічних

реакцій, радіоактивного розпаду, вимивання опадами і випадання домішки

з хмари забруднення (гравітаційні ефекти).

При використанні даного класу моделей потрібно вжити

додаткових заходів обережності, щоб врахувати складну геометрію

місцевості, можливий штиль та низькі рівні інверсії.

Дослідження мезомасштабного розсіювання (на відстані до 10

км) при стійкій температурній стратифікації над однорідною поверхнею

часто проводитися за допомогою моделі Гауса. За дотримання

вищевказаних умов ці моделі задовільно описують процес розсіювання

(за винятком відстаней у декілька кілометрів від піднятого джерела

викиду). Однак їхні можливості для опису поширення домішок у

турбулентному примежовому шарі й особливо при наявності рельєфу

обмежені. Зокрема, це виявляється при дослідженні розсіювання

домішок у кар'єрах. Результати експериментальних досліджень по

;

17

вивченню перемішування різних «трассерів» в атмосфері над

орографічно і термічно неоднорідною поверхнею показали обмеженість

застосовності гаусівських моделей. Причина цього криється в складному

характері орографічних процесів, які викликають збурення.

Удосконалення методики обліку орографії в чисельних моделях

розглядаються в роботах. Моделі локального викиду і розсіювання клубів

забруднення в основному застосовуються для оцінки стратегії контролю

за забрудненням повітря, при плануванні землекористування, при

виборі розташування енергетичних об'єктів чи при розробці підходів і

стратегій заміни типу палива, використовуваного на цих об'єктах.

Застосування багатоджерельних моделей дозволяє генерувати

корисні дані щодо розподілу не реагуючих забруднюючих речовин у

міських зонах.

За допомогою цих моделей одержують корисні дані щодо

географічного поширення більш стійких забруднень у міських зонах,

можна об'єднати ряд основних джерел забруднення й одержати важливі

вказівки щодо міри необхідного контролю за викидами.

Статистичні моделі. У статистичних моделях поширення

забруднень використовуються стохастичні рівняння для встановлення

співвідношень між показниками якості повітря і даними метеорології.

Вони встановлюють співвідношення між оцінками концентрацій і

значеннями параметрів, які дійсно вимірювалися при аналогічних

обставинах.

Статистичні моделі мають невисоку вартість розробки і низькі

потреби в обчислювальних ресурсах, однак, вони не можуть

використовуватися поза межами початкових умов, які визначаються

вихідними даними, що застосовувалися при їхній розробці й оптимізації.

Ці умови звичайно містять у собі обмеження на варіації

метеорологічних умов і варіацію просторового розміщення викидів.

Статистичні моделі не можна застосовувати також при значних змінах у

18

розподілі джерел викидів. Дані статистичних обробок не можуть бути

перенесені на інші об'єкти без переоцінки емпіричних параметрів чи

коефіцієнтів.

Статистичні моделі можна розділити на 3 категорії:

- усереднення за часом ;

- ті, що базуються на аналізі числових рядів. При цьому вивчаються

два центральних питання щодо даних по якості повітря:

• в чому полягає незалежність і кореляція між ступенем забруднення і

даними метеорології;

• яким чином можна передбачати рівень концентрації забруднення

в повітрі у майбутньому для можливих метеорологічних умов за відомими

статистичними даними щодо концентрацій забруднення в минулому і

сьогоденні.

- багатопараметричного аналізу. Двома його важливими методами

аналізу стану забруднення повітря є: метод рівноваги хімічних елементів і

метод факторного аналізу.

• Метод рівноваги хімічних елементів – це процедура, яка відносить

забруднення до індивідуальних джерел чи до класів джерел.

• Метод факторного аналізу є статистичною процедурою, яка

використовує побудову ортогональних функцій, щоб виявити головні

причини зміни забруднення повітря і пояснити сумарну дисперсію

спостережених концентрацій за допомогою мінімальної кількості факторів.

1.3.2 Дифузійні моделі

Моделі контрольованих об’ємів. Клас цих моделей містить у собі

інтегральні моделі контрольного об’єму та моделі рухомої частинки

(стовпчикові), що базуються на записі інтегральної форми рівняння

переносу і дифузії домішки для виділеного об’єму. Контрольним об’ємом

може бути деякий район над міською територією, область дослідження

19

забруднення повітря в глибокій долині чи подібні характерні просторові

області. Останні можуть розбиватися на ряд підоб’ємів. Вважається, що

повітря і забруднюючі речовини в кожній обраній області добре

перемішані, допускаються процеси хімічних та інших типів перетворень чи

реакцій нейтралізації, а також випадання домішок.

Якщо обрані контрольні об’єми нерухомо пов'язані з

досліджуваною територією, то враховуються потоки повітря і

забруднюючих речовин через їхні границі і для побудови математичної

моделі використовується ейлерова система координат. Лагранжева

система координат застосовується для контрольних об’ємів, які

переміщуються із середнім вітром. Для моделей, що використовують

кілька контрольних об’ємів, необхідно визначати взаємовплив мас повітря,

що рухаються, і характеристик його забруднення на суміжних границях.

Це, з одного боку, ускладнює модель, а з іншого, - підвищує її адекватність

спостережуваному явищу.

Інтегральні моделі мають широке застосування в теорії

примежових шарів в аеродинаміці, при розв’язанні проблем

випаровування або конденсації, а також при дослідженнях багатьох

інших фізичних явищ.

Методи частинок (стовпчикові) для опису поширення

забруднення. Така модель базується на використанні гіпотетичного

стовпця повітря, який рухається уздовж заданої траєкторії над

розглянутим регіоном.

Коли стовпець переміщується, то забруднюючі речовини

інжектуються в його основі від тих джерел, над якими він проходить. У

цей же час у стовпцях можуть відбуватися хімічні реакції та інші

перетворення. Інші основні припущення моделі зводяться до наступного:

• не відбувається ніякого горизонтального переносу

забруднення через бічні грані розглянутого стовпця;

• немає змін по висоті для горизонтального вітру;

20

• припускається, що вертикальна конвекція є малою і нею можна

знехтувати;

• потужності джерел і висота інверсії змінюються в часі;

• вершина стовпця розташовується на верхній границі

інверсійного шару.

Моделі декількох контрольних об’ємів.

Приземний шар повітря розділяється на двовимірні чи тривимірні

ряди об’ємів з добре перемішаними домішками. Може змінюватися

концентрація забруднення в кожному об’ємі від одного до іншого, а

також у часі змінюватися середній вітер. Забруднене повітря надходить і

залишає обрані об'єкти, але на границях об’ємів відсутній дифузійний

обмін. Перевага використання ряду контрольних об’ємів пов'язана з

наступним:

• геометрія контрольних об’ємів адаптована з топографічними

рисами місцевості, легко підключити варіації висот інверсії в часі;

• модель проста для інтерпретації і застосування (описується

системою звичайних диференціальних рівнянь).

Недоліки моделі обумовлені:

• жорсткістю диференціальних рівнянь, якщо спостерігаються великі

варіації у швидкостях переміщення макрочасток, і тому необхідно

використовувати метод неявного інтегрування, що вимагає великих витрат

комп'ютерного часу;

• нехтуванням вертикальною дифузією.

1.3.3 Скінченно - різницеве сіткове моделювання

поширення домішок

Сіткові моделі базуються на розв’язаннях рівнянь переносу і

дифузії забруднюючих речовин з використанням різних скінченно-

різницевих методів. Накопичено великий досвід та існують

.

21

різноманітні способи скінченно-різницевих розв’язань рівнянь динаміки

переміщень повітряних мас і динаміки переносу з ними забруднюючих

домішок. В сіткових моделях найбільш важливою є метеорологічна

частина комплексної проблеми прогнозу якості повітря. Розроблено

сукупність різницевих схем, які забезпечують збереження маси повітря,

середньої кінетичної енергії вітру, середньої інтенсивності вихору.

Схеми, описані в роботах, дозволяють досліджувати течії з великими

градієнтами концентрації домішок і одночасно зберігати властивість

позитивності (монотонності).

Широке практичне застосування знайшов метод дробових кроків,

різні варіанти методу розщеплення, які полягають у заміні багатомірної

проблеми сукупністю проблем нижчої розмірності, які більш ефективно

розв’язуються на ЕОМ. При вивченні процесів забруднення атмосфери

дуже важливими є методи зниження схемної (сіткової) дифузії, пов'язаної

з заміною похідних розділеними різницями, особливо при апроксимації

конвективних складових однобічними розділеними різницями. Сіткові

моделі варто розвивати у напрямку отримання достовірних і фізично

обґрунтованих даних по розрахунку структури вітру над міськими зонами і

місцевостями із складним рельєфом.

Перерахуємо найбільш важливі фізичні прояви рельєфу місцевості на

характер розсіювання домішок в атмосфері, які варто вивчати на основі

сіткових моделей:

• зміна структури переміщення повітряних мас над долиною;

• дослідження нестабільності течій в приземному шарі

атмосфери, викликане гальмуванням на підвітряній стороні височини

або натіканням повітряних мас на височину;

• перетікання холодного повітря в долину і наявність

висхідного потоку на освітленій сонцем горбистій місцевості;

• динаміка термічних структур в атмосфері;

• складні інверсійні структури, їх утворення і руйнування; •

22

дослідження вертикального зсуву профілю вітру;

• циркуляційні переміщення повітря (бриз) над земною

поверхнею поблизу границі з водною поверхнею;

• вихори після перешкоди

Складні сіткові моделі дозволяють врахувати хімічні реакції в

забрудненому повітрі, зміну аерозольних часток при конденсації або

випаровуванні, сухе та вологе випадання забруднюючих речовин. Отже,

підведемо підсумок проведеного аналізу. Найпростіші алгебраїчні моделі

занадто спрощені. Порівняння їх із тривимірною моделлю дифузії чи

методом контрольованих обсягів свідчить про наявність принципових

недоліків. Однак з метою попереднього аналізу вони можуть бути дуже

корисними при оцінці даних про середньорічне забруднення території

міст і можуть вказати на необхідність більш докладного моделювання

забруднення даної території для виявлення специфічних проблем щодо

якості повітря.

Дуже популярними серед моделей локального викиду є

гаусівські. Але відсутність надійних метеорологічних даних і

характеристик дифузійного переносу обмежує область застосування

моделей локальних викидів і струменів особливо для складного рельєфу

місцевості, а також при стабільному приземному інверсійному шарі.

Щодо статистичних моделей, то можна сказати, що якщо ціль, для

якої була побудована статистична модель, збігається з вимогами

користувача, то вона може дати кращі результати, ніж чисельна

імітаційна модель. У інших випадках статистична модель не застосовна.

Перевага моделі рухомої частинки над іншими обумовлена малими

витратами комп'ютерного часу в порівнянні з тривимірними

просторовими моделями і здатністю врахувати вплив специфічних

джерел, що притаманне методу траєкторій. Недоліки моделі пов'язані з

ототожненням переміщення повітря і забруднюючих речовин, з великими

спрощеннями турбулентних режимів руху повітря в атмосфері, а також не

.

23

враховується вертикальна конвекція повітря.

Якість прогнозних оцінок погіршується, коли стовпець відходить від

поверхневого джерела викиду, що обумовлено нехтуванням процессу

дифузії в стовпчику.

Сіткові моделі, будучи найкращими з існуючих моделей для

врахування складних фізичних процесів, потребують великих затрат

комп’ютерного часу і пам’яті ЕОМ.

24

2 Базові поняття теорії ймовірностей і

математичної статистики

2.1 Основні поняття математичної статистики

Математична статистика – це розділ математики, в якому вивчаються

методи обробки і аналізу експериментальних даних, одержаних в результаті

досліджень масових випадкових явищ. Основними задачами математичної

статистики є:

1. Складання статистичного ряду або статистичної сукупності наоснові

генеральної і вибіркової сукупностей, яке ґрунтується на обчисленні частот

появи значень випадкової величини.

2. Наоснові записаного статистичного ряду будуються функції

розподілу f(x) i F(x).

3. Оцінка невідомих параметрів розподілу (математичне сподівання,

дисперсія, середнє квадратичне відхилення, різні початкові і центральні

моменти).

4. Статистична перевірка гіпотез.

Якщо в попередніх задачах за допомогою функцій розподілу

визначається закон розподілу, то тут перевіряється відповідність значень

спостережуваної випадкової величини з побудованими функціями розподілу.

Першою публікацією зі статистики вважають ―Книгу чисел‖ в Біблії, в

Старому Заповіті, в якій розказано про перепис військовозобов'язаних,

проведений під керівництвом Мойсея та Аарона.

Вперше в художній літературі термін ―статистика‖ ми знаходимо у творі

Шекспіра ―Гамлет‖ (1602). Зміст цього слова у Шекспіра визначається як

знать, придворні.

25

Існує близько 200 визначень цього терміна. У XVIII ст. статистика

описувала стан держави, її мета полягала в поданні фактів в найбільш стислій

формі. Статистика полягає у спостереженні явищ, які можуть бути

підраховані або виражені за допомогою чисел (1895). Статистика - це

чисельне подання фактів з будь-якої галузі дослідження у їх взаємозв'язку

(1909). З ХХ ст. статистику почали розглядати перш за все як самостійну

наукову дисципліну. Статистика є сукупність методів і принципів, згідно з

якими проводиться збір, аналіз, порівняння, подання та інтерпретація

числових даних (1925).

Термін ―статистика‖, в кінцевому рахунку, випливає з Нью Латинської

колегії ("Державна рада") та італійського слова statista "державний" або

"Політика").

В 1954 р. академік АН УРСР Б. В. Гнеденко дав таке визначення:

―Статистика складається з трьох розділів:

1) збір статистичних відомостей, тобто відомостей, що характеризують

окремі одиниці будь-яких масових сукупностей;

2) статистичне дослідження отриманих даних, що полягає у з'ясуванні

тих закономірностей, які можуть бути встановлені на основі даних масового

спостереження;

3) розробка прийомів статистичного спостереження та аналізу

статистичних даних. Останній розділ, власне, і складає зміст математичної

статистики‖.

2.2 Побудова статистичного ряду і функцій розподілу

Нехай вивчається неперервна випадкова величина ξ, значення якої

одержані протягом деякого часу із незалежних одне від одного спостережень.

Вся сукупність значень, одержаних в результаті таких спостережень, є

генеральна сукупність. Якщо проводити n незалежних одну від одної

вибірок, то сукупність їх результатів х1, х2, ..., хn називається випадковою

26

вибіркою, або просто вибіркою з даної генеральної сукупності, а число n є

об’ємом цієї вибірки.

Одержання обгрунтованих виводів про властивості генеральної

сукупності за властивістю вибірки є задача аналізу генеральної сукупності.

Розіб’ємо діапазон n значень вибірки неперервної випадкової величини ξ на

інтервали однакової довжини Δх , кількість яких рівна k.

Нехай mi, число Сі -ξ – величини, які спостерігаються в і-тому інтервалі.

Розділивши mi на загальне число значень n, одержимо частоту появи значень

в і-тому інтервалі:

Із вказаних величин складемо таблицю, яка називається статистичним

рядом (Statistical series) абостатистичною сукупністю (statistical combination):

Номери

інтервалів Інтервали mi

Ci - середнє

значення

інтервалу

1 [x0, x1) m1

2 [x0, x2) m2

… … … … …

k [xk-1, xk) mi

Емпіричною (або статистичною) функцією розподілу випадкової

величини ξ називається частота події, що полягає в тому, що величина ξ в

результаті випробовування прийме значення, менше х:

.

27

На практиці достатньо знайти значення статистичної функції

розподілу в точках х0, х1, …, хk, що є кінцями інтервалів статистичного

ряду:

Слід зазначити, що

.

Рис. 2.1

При збільшенні числа випробувань n частота події ξ>x збігається за

ймовірністю до ймовірності цієї події. Це означає, що статистично функція

розподілу F*(x) збігається за імовірністю до функції розподілуF(x).

.

28

Побудувавши точки Mi(xi,F*(xi)) і з’єднавши їх плавною кривою,

отримаємо приблизний графік емпіричної функції розподілу (рис. 6.1).

Використовуючи теореми, що їх відносять до законів великих чисел, можна

довести, що при великій кількості випробувань n з імовірністю, близькою до

одиниці, емпірична функція розподілу F*(x) відрізняється як завгодно мало

від реальної функції розподілу F(x) випадкової величини ξ.

Рис. 2.2

Для побудови графіка щільності розподілу виконуємо такі кроки. На осі

абсцис відкладаємо інтервали (x0, x1), (x1, x2), …, (xk-1, xk). На кожному

інтервалі будуємо прямокутник, площа якого дорівнює частоті рі*появи

величини на даному інтервалі. Висота hi цього прямокутника дорівнює

,

де Δх - довжина кожного. Сума площ всіх побудованих прямокутників

дорівнює одиниці.

Розглянемо функцію у=f*(х), яка в кожному з інтервалів (xi-1, xi) постійна і

дорівнює hi.. Графік цієї функції називається гістограмою і являє собою

ступінчасту лінію. Тут також можна довести, що для великихn з практичною

достовірністю f*(x) як завгодно мало відрізняється від реальної щільності

розподілу f(x)неперервної випадкової величини ξ. Відповідно до теореми

Бернуллі при необмеженому збільшенні числа випробувань n частота

29

події <x< i="">ξ<x <x< i=""> збігається за імовірністю до імовірності цієї

події.</x<></x<>

.

2.3 Обчислення невідомих параметрів розподілу

За допомогою гістограми наближено будується графік щільності

розподілу випадкової величини ξ.

Вигляд цього графіка часто дає можливість зробити припущення про

закон розподілу ймовірностей. Цей закон містить параметри, які потрібно

обчислити з дослідних даних. Нехай х1, х2, ..., хn - значення із випробувань

неперервної випадкової величини ξ. Величину

називають статистичним середнім (або середнім вибірковим). В другій

частині рівності кожне із значень, що спостерігаються, вважають приблизно

рівним середньому значенню сі на цьому інтервалі. Статистичне середнє

прямує за імовірністю до математичного сподівання випадкової величини

при великій кількості випробувань.

Визначимо вибіркову статистичну дисперсію.

,

де - вибіркове статистичне середнє квадратичне відхилення.

Виправлені або незміщені дисперсії:

30

.

Аналогічно визначають статистичні початкові і центральні моменти

довільного порядку

При збільшенні кількості спостережень всі статистичні характеристики

будуть збігатись за імовірностями до відповідних характеристик випадкової

величини ξ і при достатньо великих n можуть бути прийняті рівними їм.

2.4 Основні поняття теорії ймовірності

У своїй практичній діяльності ми завжди зустрічаємося з явищами,

результат яких важко, а інколи і зовсім неможливо передбачати наперед,

тому що наслідки їх залежать від випадку. Наприклад, який застрахований

об`єкт буде знищено внаслідок стихійного лиха – діло випадку. Але страхові

органи керуються в своїй діяльності передбаченням не кожного окремого

об`єкта, а їх значної кількості. При вивченні їх у великій кількості можна

передбачити їх стан у майбутньому. Тому при статистичній обробці емпірич-

них даних використовують певні визначення і правила, які встановлені

теорією ймовірності.

Теорія ймовірності – це математична наука, яка виникла всередині

ХУП сторіччя. Прийнято першими роботами, в яких народилися основні по-

няття теорії ймовірності, вважати роботи французів Б. Паскаля (1623 – 1662),

Фермі П. (1601 – 1665) і голландця Х. Гюйгенса (1629 – 1695). Подальший

розвиток теорії ймовірності пов`язують з ім`ям швейцарського математика

Я.Бернуллі (1654 – 1705), який в тракті ―Ars Conjectandi‖, надрукованому в

31

1713 р., вперше в елементарному вигляді доказав теорему, яка в подальшому

була названа законом великих чисел.

В ХІХ сторіччі теорія ймовірності починає з успіхом застосовуватися в

страховій справі, статистиці народонаселення, у біології і військових науках,

особливо в артилерії. В цей період теорія ймовірності збагачуються працями

француза П. Лапласа (1749 – 1827), німця К. Гауса (1777 – 1855), француза

С.Пуассон (1784 – 1840) та інших.

Значний вклад в розвиток теорії ймовірності внесено російським вче-

ним П. Л. Чебишевим (1821 – 1894) та його учнями А.А.Марковим (1892 –

1922) і О.М.Ляпуновим (1857 – 1918). Своїми працями вони перетворили

теорію ймовірності в систематизовану і чітку математичну науку.

Зараз вона використовується у всіх галузях знань, де досліджуються

прояви випадкових явищ з стійкою частістю. Наприклад, народжуваність

дівчат або хлопчаків на певній території за тривалий проміжок часу.

Теорія ймовірності – це розділ математики, в якому вивчаються тільки

випадкові явища (події) з стійкою частістю і встановлюються закономірності

при масовому їх повторенні.

Одне з головних визначень теорії ймовірності – це поняття події. Яви-

ща, які розглядаються з точки зору, здійснилися вони чи ні, називають подія-

ми. Стосовно до подій ставиться така основна задача: передбачити, чи

з`явиться (здійсниться) досліджувана подія при настанні того чи іншого

наперед заданого комплексу факторів.

Якщо при даному комплексі факторів обов`язково відбудеться подія, то

вона має назву достовірної події. Якщо при даному комплексі факторів подія

не може відбутися, то вона має назву неможливої події.

Якщо при даному комплексі факторів подія може відбутися або не від-

бутися, то вона має назву випадкової події. Інакше кажучи, подія називається

випадковою, якщо вона однозначно не визначається умовами, в яких вона

протікає, або ми не можемо врахувати всі фактори, які впливають на подію.

32

Наука, яка вивчає закономірності масових випадкових подій, і називається

теорією ймовірностей.

Прикладом випадкових подій – народжуваність хлопчика (або дівчини)

у конкретній сім`ї; кількість злочинів, вчинених за певний проміжок часу.

Кожний окремий злочин – унікальне соціально-стихійне діяння по проти-

правному вирішенні протиріч між людиною і суспільством. Тому ми ніколи

не зможемо з абсолютною достовірністю визначити де, хто і коли вчинить

той чи інший злочин. Злочинність є дзеркалом, у якому ми можемо більш-

менш об'єктивно бачити, як функціонує наше суспільство, тому рівень зареє-

строваних злочинів є вирішальним фактором при оцінці якості нашого життя.

Застосовувати теорію ймовірності можна лише у тих випадках, коли ми

в силу об`єктивних причин не можемо абсолютно точно знати про умови, по-

ходження та розвиток явища. Теорія ймовірності описує лише ті випадкові

події, яким притаманні стійкі частості. Причому чим в менших межах

коливаються частості вихідних подій, тим більш точніше теорія ймовірності

опише досліджуване явище.

Одне із основних понять – це ймовірність. Існують різні підходи щодо

визначення цього поняття. Класичне визначення ймовірності таке: ймовір-

ність випадкової події дорівнює відношенню числа випадків, які сприяють

події, до спільного числа можливих випадків. Інакше кажучи, для значної

кількості іспитів ймовірність характеризує частість події.

Кожна подія має числову характеристику у вигляді ймовірності. Ймо-

вірність завжди знаходиться у межах від 0 до 1 (або у відсотках від 0 до

100%), ймовірність випадкової події завжди знаходиться між 0 та 1, тобто ні-

коли не дорівнює ні 1, ні 0. Тому, що якщо ймовірність буде дорівнювати 1,

то в цьому випадку ми кажемо про вірогідність. Нас же цікавить ймовірність

події, яка буде наближуватися до 1, але ні в якому випадку ймовірність

випадкової події не може дорівнювати 1.

Величина випадкової події характеризується випадковою величиною,

яка приймає якесь одне значення із деякої множини можливих значень. Але

33

яким буде це значення, заздалегідь сказати не можна. Інакше кажучи,

випадкова величина має цілий набір припустимих значень і в результаті

кожного експерименту набуває лише якогось одного з них.

Найбільш поширений приклад: випадання герба при підкиданні моне-

ти. Зрозуміло, що може бути або герб, або ні. Відомо, що французький вче-

ний Буфон наприкінці ХУШ сторіччя провів експеримент з підкиданням мо-

нети 4040 разів, при цьому 2028 разів випад герб, а 2012 – ні. Тобто в його

експерименті частість випадання герба дорівнювала 0,5069 (2028 / 4040) при

ймовірності 0,5000 (1/2).

Англійський вчений К. Пирсон провів 2 експерименти: перший раз він

підкидав монету 12 тисяч разів, другий – 24 тисячі разів. При першому експе-

рименті він отримав частість 0,5016, а при другому – 0,5005.

Усе це свідчить, що при збільшенні кількості спостережень частість усе

менше відрізняється від ймовірності.

34

3 Математичне моделювання кругообігів

вуглецю, кисню та азоту у біосфері

3.1 Модель глобального біогеохімічного циклу вуглецю

Кругообіг вуглецю – одинз найбільш інтенсивних і значних процесів в

біосфері. Розглянемо систему «атмосфера - рослини - грунт» (АРП) при дії

на неї різних, в основному, антропогенних впливів і визначимо її реакції на ці дії. З

цією метою розглянемо кругообіг вуглецю в системі АРП. Обмін СО2 між океаном

і атмосферою приймемо постійним. Будемо вважати, що у відсутності збурюючих

факторів кількість вуглецю в системі постійна, і система перебуває в

стаціонарному стані. Представимо всю систему АРП у вигляді суми двох

підсистем: трав'яної екосистеми та лісової екосистеми.

Кущові екосистеми розглядаються спільно з трав'яною екосистемою, так як

володіють усього лише 8% продуктивності від загального значення продуктивності

рослин суші. Беручи до уваги меншість біомас мікроорганізмів і тварин, їх не

включають у модель, а розглядають результати їх діяльності у відповідних

функціональних залежностях швидкостей споживання і виділення СО2.Тоді схема

кругообігу вуглецю матиме вигляд, зображений на рис. 1.

Вміст вуглецю в рівнях будемо позначати через Yi, де i - номер відповідного

рівня (i=1-8), кількість СО2 в атмосфері - С1. Темп надходження вуглецю з рівня i в

рівень j позначимо через Vij, початкові значення С1, Yi і Vij позначимо через C0

і, Y0і,

V0

ij, а їх стаціонарні значення позначимо через C1*, Yi*, Vi*.

Відхилення середньої глобальної температури біля поверхні Землі від

сучасного значення нехай буде ΔT.

35

Рис.3.1 -Діаграма потоків вуглецю в системі «атмосфера - рослини - грунт»

Перш, ніж перейти до моделі, зобразимо коротку схему впливів, прийнятихв

моделі (рис. 2).

Рис. 3.2 Схема причинно-наслідкових зв'язків в моделі кругообігу вуглецю

Будемо вважати, що дії на систему АРП не дуже великі і траєкторії змінних

системи проходять поблизу стаціонарних станів. Це можливо також, якщо клімат

змінюється досить повільно і система встигає підлаштовуватися до цих змін. Тоді

36

можна вважати, що продуктивність системи не залежить від кількості поживних

елементів у грунті, а визначається тільки кліматичними факторами.

Швидкість споживання вуглецю атмосфери на побудову біомаси рослин

(фотосинтез мінус дихання) виражається наступним співвідношенням:

де індекси i = 2,5 відносяться відповідно до трав'яної і лісової систем;

fi - продуктивності цих систем при сучасної температурі і концентрації СО2 в

атмосфері; Si - відповідні відносні значення площ, зайнятих трав'яною і лісовою

екосистемами. Коефіцієнти αi і δi означають, на скільки відсотків у порівнянні з

сучасним значенням збільшиться продуктивність при збільшенні відповідно

температури на 1 ° С і концентрації атмосферного СО2 на 10%.Коефіцієнти ki

визначають кордон максимальної продуктивності і вказують, у скільки разів

гранична продуктивність систем може бути більше сучасної.

У даній моделі мається на увазі, що продуктивність лісової системи

визначається тільки площею поверхні листя і трав, складових екосистему.

При незмінному режимі вологості продуктивність різних БГЦ із зростанням

температури може як збільшуватися так і зменшуватися. Тому в моделі

розглядаються коефіцієнти приросту, відповідно розглядаються для різних БГЦ

значенням α2, α5: α2 ≥ -4, α5 ≤ 15.

Так як швидкості відмирання деревини та коренів в лісовій системі

приблизно однакові, то ці компоненти об'єднані в одному рівні (Y6). Будемо

припускати, що в цій ситуації приріст біомаси можливий тільки тоді, коли

звільняється життєвий простір, так що сумарна біомаса цього рівня не змінюється.

Зміна ситуацій відбувається при досягненні змінної Y6 деякого фіксованого рівня,

який визначається коефіцієнтом k6. Тоді швидкість відмирання деревини та коренів

в лісовій системі дорівнює

37

де коефіцієнт m означає інтенсивність відмирання деревини та коренів,

коефіцієнт k6 означає гранично можливе збільшення біомаси деревини та коренів

по відношенню до сучасного значення, коли інтенсивність відмирання дерев

істотно збільшується і зростання Y6 припиняється.

Відповідні швидкості розкладання гумусу (відповідно i = 4, 8 для

трав'яної і лісової систем) можна записати у вигляді:

де fi - питомі інтенсивності розкладання гумусу відповідних систем в

сучасних умовах; Q - коефіцієнт, що показує у скільки разів зміниться швидкість

розкладання при зміні температури на 10 °С; значення лежать в інтервалі 1,6 ≤ Q ≥

2,9. Коефіцієнти ki задають ті граничні значення температур, вище яких швидкість

розкладання не збільшується.

Потік V описує надходження вуглецю в атмосферу з інших джерел.

Використовуючи діаграму, представлену на рис. 1, запишемо диференційні

рівняння балансу в системі АРП:

𝑑𝐶1

𝑑𝑡= − 𝑉12 + 𝑉15 + 𝑉31 + 𝑉41 + 𝑉71 + 𝑉81 + 𝑉;

𝑑𝑌2

𝑑𝑡= −𝑉23 + 𝑉12;

𝑑𝑌3

𝑑𝑡= − 𝑉34 + 𝑉31 + 𝑉23;

𝑑𝑌4

𝑑𝑡= −𝑉41 + 𝑉34;

𝑑𝑌5

𝑑𝑡= − 𝑉56 + 𝑉57 + 𝑉15;

𝑑𝑌6

𝑑𝑡= −𝑉67 + 𝑉56;

𝑑𝑌7

𝑑𝑡= − 𝑉71 + 𝑉78 + 𝑉57 + 𝑉67 ;

𝑑𝑌8

𝑑𝑡= −𝑉81 + 𝑉78;

38

При V = 0 дана система рівнянь в силу припущення про замкнутість

повинна мати інтеграл𝐶1 + 𝑌𝑖 = 𝑀 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.8𝑖=2

Відмирання зеленої фітомаси лісової екосистеми (Y5), живий фітомаси

трав'яної екосистеми (Y2) і розкладання органіки, що міститься в кореневих

рештках і підстилці (Y3, Y7) відбувається за період менше року.

Можна вважати, що по змінним Y2, Y3, Y5, Y7 швидко встановлюється

рівновага, яка природно залежить від повільно мінливих перемінні C1, Y4, Y6, Y8.

Іншими словами змінні Y2, Y3, Y5, Y7 розглядаються як квазістаціонарні на відрізках

часу порядку 102 років. Вважаючи, що у відповідних блоках вихідні потоки

дорівнюють вхідним, ми отримаємо: V23 = V12 = V34+V31, V15 = V56+V57,V57+V67 =

V71+V78. Тим самим ми отримали чотири співвідношення для визначення невідомих

потоків.

Щоб повністю описати модель, сформулюємо додаткову гіпотезу: якщо

потік вуглецю, що виходить з деякого функціонального блоку (рівнів 3, 5, 7),

розділяється на два потоки, то відношення інтенсивностей залишається практично

постійним. Отже, λ3= V31/V34, λ5 = V57/V56 і λ7 = V71/V78

повинні бути постійними.

Експериментальні результати говорять про рівність величини λ5 для ялинників

південної тайги, широколистяних лісів помірної зони і вологих тропічних лісів, а

λ3практично однакова як для північноамериканських прерій, так і для

південноруських степів. Отже ми можемо записати:

Тим самим всі невідомі потоки в рівнянні (2) можна виразити через

відомі і через константи ℓ3,ℓ5,ℓ7, які ми також можемо вважати відомими.

Таким чином, вводячи позначення Zі= Yі/Cі0; i = 2,8; Z1= C1/ C1

0 поведінку

системи АРП можна описати наступною системою рівнянь:

39

Дані рівняння не мають тривіального рішення Y4=Y6=Y8≡0, тобто

рішення, відповідного зникнення біосфери. Дана модель описує динаміку

біосферних процесів тільки в околиці деякого нетривіального рівноваги біосфери.

3.2 Кругообіг кисню

Кругообіг вуглецю в біосфері тісно пов'язаний з кругообігом кисню:

число моль поглиненого СО2 дорівнює числу моль виділеного О2 як при

фотосинтезі, так і при розкладанні мертвої органічної речовини. Тобто зміна

кількості СО2 в атмосфері супроводжується такою же зміною кількості О2, але в

протилежному напрямку. Але так як об'ємна концентрація СО2 становить 0,032%, а

концентрація О221%, то, наприклад подвоєння кількості СО2 в атмосфері призведе

до зниження кількості О2 на 0,15%.

Уявімо таку ситуацію: нехай будуть спалені: вся біомаса біосфери

(9,6⋅1011

т вуглецю), вся органічна речовина грунту (14⋅1011

т С) і все викопне

паливо, запаси якого відомі на сьогоднішній день (7⋅1011 т С).

Кількість СО2 в атмосфері зросте в 12,5 разу, а О2 відповідно зменшиться на

1,75%. Отже, кількість кисню на відрізках часу порядку сотень років практично

постійно.

40

Рис.3.3 - Потоки кисню в біосфері

Однак практично важливою є та обставина, що область надлишкового

антропогенного виділення СО2 і, отже поглинання О2, зосереджена на малій площі

міст. Через те, що вирівнювання концентрацій в атмосфері відбувається не

миттєво, навколо міста може створитися градієнт концентрації О2, при якому вміст

кисню в повітрі міст буде нижче середнього значення по всій атмосфері. Основні

потоки кисню в біосфері представлені на рис. 3.

Рівняння динаміки концентрації кисню (% за обсягом) в атмосфері

має вигляд:

Тут kO - показник швидкості виділення О2 при фотосинтезі в океані; kXOj, kLOj,

kYOj- показники швидкості виділення кисню при фотосинтезі різних видів наземної

рослинності в j-му регіоні; νXOj, νLOj, νYOj - показники ролі дихання наземної

рослинності в обміні СО2; bGOj - відносна швидкість споживання О2 за рахунок

антропогенних процесів; μOj - швидкість споживання О2 при розкладанні гумусу

грунту; νFj, νGj - швидкість споживання О2 при диханні тварин і людей.

41

3.3 Глобальний цикл азоту

Кругообіг азоту складається з мозаїчної структури локальних

потоківазотних сполук.

Розглянемо модель кругообігу азоту в наземній екосистемі. Діаграма

потоків кругообігу азоту в наземній екосистемі зображена на рис. 4. Для

побудови моделі приймемо такі спрощення. Не будемо включати в модель

мікроорганізми грунту і наземних тварин. Швидкості перетворення азоту

рослинних залишків залежать від співвідношення C/N в грунті. Будемо

вважати, що в грунт потрапляють рослинні залишки певного типу з відомим

співвідношенням C/N.

Вміст азоту в рівнях будемо позначати через Ni, де i - номер

відповідного рівня. Швидкість надходження азоту з рівня i в рівень j

позначимо як Vij. Значення Ni і Vijв положення рівноваги позначимо через Nі*

і Vi*. Зовнішні (вхідні) змінні: середньорічна температура повітря Т,

кількість опадів за рік W. Змінні, що характеризують стан грунту:

температура грунту tп, вологість w, стік води з ділянки грунту площею S WS,

структурні властивості грунту q.

Будемо вважати, що температура грунту, tп вологість і стік залежать від

температури повітря, опадів та структурних властивостей. Останні, в свою чергу,

залежать від кількості гумусу і підстилки в грунті (N4, N3). Приведемо рівняння

потоків. Інтенсивність розкладання підстилки та гумусу виражається

співвідношенням:

𝑉35 = 𝑓𝑛 𝑡𝑛 ,𝑤 𝑁3 = 𝑓𝑛𝑁3

𝑉46 = 𝑓𝑛 𝑡𝑛 ,𝑤 𝑁4 = 𝑓𝑛𝑁4

де fп і fг - функції, що означають питомі швидкості розкладання відповідно

підстилки та гумусу, а tп і w - їхні аргументи.

42

Рис.3.4 - Діаграма потоків азоту в наземній екосистемі

Інтенсивності утворення гумусу і мінералізації підстилки в припущенні, що

N5 = const, задаються співвідношеннями

𝑉54 = 𝛼 𝑡𝑛 ,𝑤 𝑉35 = 𝛼𝑓𝑛𝑁3

𝑉56 = 1 − 𝛼 𝑉35 = (1 − 𝛼)𝑓𝑛𝑁3

де α - параметр, що показує, яка частина азоту в результаті розкладання

підстилки потрапляє в гумус.

Інтенсивність зв'язування азоту атмосфери рослинами виражається

співвідношенням

𝑉16 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑡𝑛 ,𝑤 = 𝑓ф

де b0 - функція, що відображає небіологічних, а b1(tп, w) - біологічну

фіксацію. Таким чином, прихід азоту в засвоювану для рослин форму

𝐴 = 𝑓ф + 1 − 𝛼 𝑓𝑛𝑁3 + 𝑓𝑟𝑁4

Передбачається, що азот в засвоєній формі не затримується, а розподіляється

між рослинами, атмосферою, гумусом і виноситьсяпропорційно функцій

споживання. Тоді інтенсивність процесів переходу із засвоєної форми виражається

співвідношеннями

𝑉62 = 𝑓𝑝 𝑇, 𝑡𝑛 ,𝑤 𝐴/ = 𝑓𝑝𝐴/ ,

𝑉61 = 𝑐 𝑡𝑛 ,𝑤 𝐴/ = 𝑓д𝐴/ ,

𝑉67 = 𝑓в 𝑊𝑠 𝐴/ = 𝑓в𝐴/ ,

43

𝑉64 = 𝑓о 𝑡𝑛 ,𝑤 𝐴/ = 𝑓о𝐴/

де fр, fд, fв, fо - функції споживання рослинами, денітрифікації, виносу і

утворення гумусу з своя форма, а через Σ позначена їх сума:

Σ = fр + fд + fв + fо.

Без порушення загальності можна вважати, що Σ = 1.

Інтенсивність відмирання живих рослин задається формулою:

V23 = mN2,

де коефіцієнт m означає питому інтенсивність відмирання. З урахуванням

рівнянь потоків поведінка моделі задається наступними рівняннями:

𝑑𝑁1/𝑑𝑡 = 𝑓д𝐴/ − 𝑓ф

𝑑𝑁2/𝑑𝑡 = 𝑓𝑝𝐴/ −𝑚𝑁2

𝑑𝑁3/𝑑𝑡 = 𝑚𝑁2 − 𝑓п𝑁3

𝑑𝑁4/𝑑𝑡 = 𝛼𝑓п𝑁3 + 𝑓0𝐴/ − 𝑓𝑟𝑁4

𝑑𝑁7/𝑑𝑡 = 𝑓в𝐴/

𝑑𝑁5/𝑑𝑡 = 𝑑𝑁6/𝑑𝑡 = 0

Одержимо рівняння для значень змінних в деякому положенні рівноваги

(праві частини цих рівнянь залежать від N2-N4):

𝑁2∗ =

𝑓ф𝑓𝑝

𝑚(𝑓д + 𝑓в) ,

𝑁3∗ =

𝑓ф𝑓𝑝

𝑓п(𝑓д + 𝑓в) ,

𝑁4∗ =

𝑓ф(𝛼𝑓𝑝 + 𝑓𝑜)

𝑓𝑟(𝑓д + 𝑓в) .

При цьому продуктивність екосистеми, що знаходиться в положенні

рівноваги

𝑉62∗ = 𝑓ф𝑓𝑝/(𝑓д + 𝑓в),

Розглянемо функціонування системи при постійних кліматичних умовах T ≡

const, W ≡ const. Будемо вважати, що в грунті ростуть рослини одного виду. Тоді

44

функції Fр, fп,fг, fд, fв, Fф, fо, α визначаються тільки значеннями N3 і N4. Будемо

вважати, що ці функції однозначні, позитивні і диференційні по N3 і N4. Існує

принаймні одне ненульове положення рівноваги системи, оскільки функції в

правих частинах рівнянь є позитивними і обмежені.

Модель глобального кругообігу азоту і вуглецю в системі АРП.Розглянемо

модель сучасного кругообігу азоту і вуглецю в системі АРП. Як і раніше, виберемо

високий рівень агрегування змінних і представимо різноманіття всіх біогеоценозів

суші одним біогеоценозом. Для простоти будемо вважати, що це лісова система.

Схема глобальних потоків азоту і вуглецю представлена на рис. 5.

Позначимо вміст азоту і вуглецю в рівнях відповідно Ni (i=[1-7]) і

Сi(i=[1-4]). Через VNijі VCijпозначимо швидкості надходження азоту і вуглецю з

рівня i в рівень j. Т - відхилення середньорічної температури атмосфери у

поверхніЗемлі від сучасного значення.

Запишемо рівняння потоків. Інтенсивність утворення живої фітомаси

задається співвідношеннями

де f2 - продуктивність системи в сучасних умовах, виражена в вуглеці; α, δ -

коефіцієнти, визначені раніше при розгляді круговороту вуглецю в системі; γ -

коефіцієнт, що визначає залежність продуктивності від кількості азоту в засвоєній

формі А; А0 - початкова кількість азоту в засвоєній формі;k - коефіцієнт, що

виражає відношення С/N в біомасі рослин.

45

Рис. 3.5 - Схема глобальних потоків вуглецю і азоту в системі АРП

Прихід азоту в засвоювану форму

А = VN35+VN45+VN75,

де VN75 = b - прихід азоту із зовнішнього джерела, який ми вважаємо постійним.

Відмирання рослин виражається співвідношенням

VC23 = kpC2, VN23 = kpN2.

Вважаємо, що швидкість розкладання підстилки набагато більше, ніж

гумусу, а відношення потоків речовини, що виходять з підстилки, постійно (але

різна в вуглецю та азоту). Тоді наближено виконуються співвідношення

VC23 = VC34+VC31, VN23 = VN34+VN35,

а потік вуглецю та азоту в гумус:

VC34 = kСVC23, VN34 = kNVN23.

Вважаємо, що розкладання вуглецю та азоту гумусу відбувається незалежно:

VC41 = fC(1+βT) C4, VN46 = fN (1+βT)N4,

де fCі fN - питомі інтенсивності розкладання відповідно вуглецю та азоту

гумусу, β - залежність інтенсивності розкладання гумусу від температури.

Припустимо, що азот в засвоєній формі не накопичується. Одна його частина

використовується на побудову біомаси, інша вимивається з грунту:

VN56 = A-VN52.

Кількість вуглецю в системі передбачається постійним: C1+C2+C4=const =C

(C3 мало і постійно).

46

Враховуючи всі вищеперелічені умови, поведінка системи можна описати

трьома диференціальними рівняннями:

Таким чином, в моделі враховано, що кругообіг азоту і вуглецю

взаємопов'язані. Наприклад, антропогенні порушення циклу вуглецю призводять

до зміни процесів трансформації сполук азоту в грунті, а порушення в циклі азоту

призводять до зміни клімату завдяки парниковому ефекту, що визначається

кругообігом кисню.

Завдання даної моделі - врахування ролі елементів азотного живлення

рослин у реакціях системи АРП на зовнішні впливи. Імітаційні експерименти з

використанням комп'ютера показали наступне. У цих експериментах

досліджувалися реакції системи на дії різного ступеня залежності продуктивності

від азотного живлення, тобто стану системи при різних коефіцієнтах γ: від γ = 0

(немає залежності продуктивності від вмісту азоту в грунті) до γ = 0,9 (сильна

залежність продуктивності від кількості азоту).

Результати моделювання наступні. При збільшенні концентрації

атмосферного СО2 продуктивність системи збільшується, а потім знижується до

значення, що перевищує початкову. При цьому, чим більше γ, тим більше

збільшення продуктивності в перші роки. Отже, чим сильніше залежність

продуктивності від елементів живлення, тим сильніше виражена реакція системи.

Значення змінних в рівноважному стані залежать від величини γ. Однак, це

не суперечить результату, отриманому раніше, про незалежність продуктивності

від елементів живлення в стаціонарному стані. Цей результат отриманий для

системи із заданими зовнішніми умовами. В даному випадку самі зовнішні умови

(концентрація СО2 в атмосфері і температура) не є незалежними і пов'язані з

параметрами продукційного процесу.

47

Розглянемо, якими будуть глобальні наслідки ерозії грунту. Уявімо

ситуацію, коли 10% гумусу миттєво видаляється з грунту. Винесений гумус

швидко мінералізується, так що вуглець практично миттєво надходить в атмосферу

у вигляді СО2. При цьому спільна дія чотирьох факторів - збільшення концентрації

СО2 і температури атмосфери, зменшення приходу азоту в засвоювану форму через

нестачу в грунті гумусу і збільшення інтенсивності розкладання гумусу -

призводять до того, що продуктивність системи збільшується. Ці фактори

повертають систему в початковий стан, так як кількість вуглецю не змінюється.

Таким чином, облік елементів живлення біомаси призводить до більш чутливому

реагуванню системи на зовнішні впливи при невеликій їх величині.

48

4 Основні поняття теорії випадкових процесів

Теорією випадкових процесів називається математична наука, яка

вивчає закономірності випадкових явищ у динаміці їх розвитку. Випадкові

процеси описують багато фізичних, економічних та виробничих явищ. До

них належать броунівський рух, коливання валютних курсів, курсів акцій,

ціни на певний товар, банківські активи, кількість заявок на обслуговування в

кожний момент часу в різних системах надання послуг. Взагалі процесом

називається кожне явище, яке розвивається в часі. Наступні означення

стохастичного (випадкового) процесу є еквівалентними.

Означення. Стохастичний процес – це процес, реалізація якого

залежить від випадку і для якого визначена ймовірність того чи іншого його

перебігу.

Означення. Випадковим (стохастичним) процесом називається

множина випадкових величин, залежних від одного чи декількох змінних

параметрів.

Таким чином, поняття стохастичного процесу узагальнює поняття

випадкової величини. Випадковий процес формально є випадковою

величиною X = X(t), яка змінюється зі зміною невипадкового аргументу t∈T

(T – область визначення випадкового процесу).

Випадковий процес часто називають випадковою функцією. Змінну t

нерідко інтерпретують як час.

Означення. Випадковою функцією ) X = X(t називають функцію

невипадкового аргументу ,t яка при кожномуфіксованому значенні аргументу

є випадковою величиною.

Означення. Перетиномвипадкового процесу називають випадкову

величину, яка відповідає фіксованому значенню аргументу випадкової

функції.

49

Приклад 1.1. Задана випадкова функція

X(t) = (t3+1)U , де U – випадкова величина. Знайти перетини

випадкового процесу при t1=1 та t2= 2.

Розв’язання

При t1 =1, отримаємо X1 = 2 U. Якщо t2 = 2, то відповідна випадкова

величина має вигляд X1=9 U.

Якщо аргумент t послідовно приймає всі значення з області визначення

T випадкового процесу X (t), то й усі відповідні випадкові змінні (перетини

цього процесу) набудуть певних значень, внаслідок чого одержимо

конкретну невипадкову функцію x (t). Отримана таким чином функція x(t)

називається реалізацією процесу X(t) або траєкторією, вибірковою

функцією, а процес набуття аргументом t послідовно всіх значень з області

визначення випадкової функції X(t ) – експериментом над цим випадковим

процесом.

Означення. Реалізацією x(t) (траєкторією) випадковоїфункції X(t)

називають конкретний вигляд, який може прийняти випадкова функція в

процесі експерименту.

Приклад 1.2. Задана випадкова функція X(t) = U ⋅cost, де U –

випадкова величина, яка при першому випробуванні набула значення u1 = 2, а

при другому випробуванні u2 =5. Знайти відповідні реалізації випадкової

функції.

Розв’язання

Реалізаціями заданої випадкової функції є такі невипадкові функ-

ції: x1(t) = 2cost та x2(t) =5cost.

Сім’я реалізацій випадкового процесу – основний емпіричний матеріал,

на підставі якого можна оцінити характеристики випадкового процесу. Сім’я

реалізацій випадкового процесу аналогічна сукупності спостережуваних

значень випадкової величини X, з тією різницею, що в цьому випадку

спостерігаються не числовізначення, а функції.

50

Приклад 1.3. Задано випадковий процес X (t) = t⋅U + 1, де t∈[ 0; +∞),

U – випадкова величина, закон розподілу якої задано у вигляді таблиці:

U -1 1

p 0,6 0,4

Знайти перетин випадкового процесу при t = 2. Знайти траєкторії

даного процесу.

Розв’язання

Перетином випадкового процесу X(t) при t = 2 є випадкова величина

X(2) = 2U +1, закон розподілу якої має вигляд:

X (2) –1 3

p 0,6 0,4

Траєкторіями даного процесу є функції x1 (t)=t ⋅(−1)+1=1−t та x2(t) =

= t +1.

4.1 Класифікація випадкових процесів

Випадковий процес, який відбувається в системі S, полягає в тому, що з

плином часу t система S у випадковий спосіб змінює свій стан. Якщо система

S у момент t описується однією скалярною випадковою величиною X, то ми

маємо справу із скалярним випадковим процесом X(t). Якщо стан системи S

у момент t описується декількома випадковими величинами X1 , X2 , ... ,Xk то

ми маємосправу з векторним випадковим процесом X(t).

У теорії випадкових процесів їх прийнято класифікувати залежно від

структури множини станів системи та структури множини значень аргументу

t. Таким чином, випадкові процеси поділяють на такі основні класи:

51

1. процеси з дискретними станами і дискретним часом;

2. процеси з дискретними станами і неперервним часом;

3. процеси з неперервними станами і дискретним часом;

4. процеси з неперервними станами і неперервним часом.

Означення. Випадковий процес X(t) називається процесом з дискретним

часом, якщо система, в якій він відбувається, може змінювати свої стани

лише в моменти t1, t2,…, tn,… дискретної множини часу. Область визначення

такого процесу є дискретноюмножиною {t1, t2,... t n….}.

Означення. Випадковий процес X(t) називається процесом з неперервним

часом, якщо система, в якій він відбувається, може переходити зі стану в стан

у будь-який момент часу t (при будь-якому значенні аргументу).

Означення. Випадковий процес X(t) називається процесом з неперервними

станами, якщо всі його перетини при будь-якому значенні аргументу t є

неперервними випадковими величинами.

Множина значень кожної такої випадковоїзмінної є незчисленною.

Означення. Випадковий процес X(t) називається процесом з дискретними

станами, якщо кожен його перетин у будь-який момент часу t є дискретною

випадковою величиною.

Множина станів системи скінченна або зчисленна.

Приклади випадкових процесів:

1. технічний пристрій містить n елементів, які працюють незалежно один

від одного і у процесі роботи можуть виходити з ладу. Випадковий

процес X(t) – кількість елементів, які можуть вийти з ладу до моменту

часу, t є процесом із дискретними станами і неперервним часом;

2. у певні моменти часу t1, t2,…, tn,… вимірюється температура повітря в

деякій місцевості. Послідовність значень цієї величини є випадковим

процесом X(t) із неперервними станами і дискретним часом;

3. процес зміни напруги в електромережі являє собою випадковий процес

із неперервними станами і неперервним часом.

52

Для різних типів випадкових процесів розроблені різні методи їх опису

і вивчення.

4.2 Елементарні випадкові функції

Випадкові процеси зручно подавати у вигляді найпростіших

елементарних функцій.

Означення. Елементарною випадковою функцією називається функція

аргументу t, в якій залежність від t подається звичайною невипадковою

функцією, яка як параметри містить одну або кілька звичайних, незалежних

від t випадкових величин.

Приклад 1.4. Елементарна випадкова функція має вигляд:

Y(t)=X⋅e-t,

де t > 0, X – неперервна випадкова величина, рівномірно розподілена

в інтервалі (−1;1).

Відповідна множина реалізацій yi(t) зображена на рис. 1.1.

Рисунок 4.1 – Множина реалізацій yi(t)

Приклад 1.5. Елементарна випадкова функція має вигляд:

53

Y(t)= at + X

де X – випадкова величина,

a – невипадкова величина.

Відповідна множина yi(t) – сукупність прямих, паралельних прямій y =

at, зображена на рис. 1.2. Реалізації відрізняються початковими

координатами.

Рисунок 4.2 – Реалізаціz відрізняються початковими координатами

4.3 Закони розподілу випадкових процесів

Оскільки випадковий процес при фіксованих значеннях аргументу є

випадковою величиною, то для його опису використовують такі самі

способи, що й для випадкових величин: функції розподілу ймовірностей,

щільності розподілу, моментні та кореляційні функції.

Як відомо, універсальною характеристикою як дискретної, так і

неперервної випадкової величини, є функція розподілу F(x), яка задає

ймовірність того, що випадкова величина X у результаті випробування

набуде значення, менше за x: F (x) = P (X< x). Аналогічно розглядається

поняття функції розподілу випадкового процесу.

54

Нехай задано випадковий процес X(t). Перетин випадкового процесу

при t =t1 є випадковою величиною, що має закон розподілу

F(x,t) = P( X(t1) < x)

Функцію F(x,t), називають одновимірним законом розподілу

випадкового процесу X(t).

Якщо аргумент t1 послідовно приймає всі значення з області

визначення випадкового процесу, отримаємо однопараметричну сім’ю

одновимірних законів розподілу F1(x;t). Однак функція F1(x;t) характеризує

закон розподілу випадковоїзмінної X(t) для довільного, але фіксованого

значення аргументу, і тому не дає можливості з’ясувати питання про

залежність чи незалежність випадкових величин (перетинів) при різних

значеннях аргументу t1.

Одновимірний закон розподілу достатньо повно характеризує процес у

тому випадку, коли його значення при різних значеннях аргументу

розглядаються ізольовано одне від одного.

Одновимірний закон розподілу може бути заданий також однови

мірною щільністю розподілу: 1

1

( ; )( ; )

dF x tf x t

dx

Аналогічно з випадковою величиною: 1 1( ; ) ( ; ) .

x

F x t f u t du

Якщо значення випадкового процесу розглядаються сумісно, то

необхідно розглядати сумісні закони розподілу цього процесу, підставивши

декілька значень аргументу.

Візьмемо два фіксовані довільні значення t1 , t2, аргументу t отримаємо

відповідно перетини X(t1), X(t2), що є випадковими величинами. Тоді

сумісний закон розподілу матиме вигляд:

F2(x1, x2; t1 , t2) = P( X(t1) < x1, X(t2) < x2).

55

Двовимірна щільність розподілу визначається як похідна від фу нкції

розподілу:

2

1 1 2 1 21 1 2 1 2

1 2

( , ; , )( , ; , )

,

F x x t tf x x t t

x x

.

Функція розподілу визначається інтегруванням щільності розподілу:

2 1

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2( , ; , ) ( , ; , )

x x

F x x t t f u u t t du du

Двовимірна щільність розподілу задовольняє вимоги:

2 1 2 1 2( , ; , ) 0f x x t t ;

2 1 2 1 2 1 2( , ; , ) 1f x x t t dx dx

;

2 1 2 1 2 2 1 1( , ; , ) ( ;f x x t t dx f x t

.

Аналогічно, зафіксувавши три довільні значення t1, t2, t3 аргументу t,

отримаємо сумісний розподіл F3(x1, x2, x3; t1 , t2, t3) випадкового вектора (

X(t1), X(t2), X(t3)), компонентами якого є перетини випадкового процесу X(t).

Функція F3(x1, x2, x3; t1 , t2, t3) називається тривимірним законом розподілу

даного випадкового процессу X(t).

Отже, n-вимірним законом розподілу випадкового процесу X(t)

називається закон розподілу сукупності його значень X(t1), X(t2), X(t3),…,

X(tn) при n довільно взятих значеннях аргументу t= t1, t2,… tn.

Ці функції зі збільшенням їх вимірності стають більш повними

характеристиками відповідного випадкового процесу. Однак жодензакон

скінченної розмірності не є повною характеристикою випадкового процесу.

Для визначення повної характеристики випадкового процесу необхідно

визначити всю послідовність його законів розподілу. Лише в деяких окремих

випадках окремі закони розподілу повністю характеризують відповідний

стохастичний процес. Більш того, оперувати функціями, якізалежать від

багатьох аргументів, дуже незручно. Тому, як правило, обмежуються лише

56

двома перетинами, тобто розглядають двовимірну функцію розподілу.

Зокрема, для марковських процесів (процесів без післядії) вичерпною

характеристикою є двовимірна функція розподілу. Для класу нормальних

(гаусівських) випадкових процесів двовимірна функція розподілу також є

вичерпною характеристикою.

Але найчастіше при дослідженні випадкових процесів використовують

не закони розподілу, а основні характеристики випадкових процесів, які

частково характеризують відповідний стохастичний процес.

57

5 Головні положення концептуальної

моделі біосфери Вернадського

Найважливішою частиною вчення Вернадського є уявлення про

виникнення та розвиток біосфери. Сучасна біосфера виникла не відразу, а в

результаті тривалої еволюції в процесі постійної взаємодії абіотичних та

біотичних факторів. Перші форми життя, мабуть, були представлені

анаеробними бактеріями. Однак творча і перетворююча роль живої речовини

стала здійснюватися лише з появою в біосфері фотосинтезуючих автотрофів -

ціанобактерій і синьо-зелених водоростей (прокаріотів), а потім і справжніх

водоростей і наземних рослин (еукаріотів), що мало вирішальне значення для

формування сучасної біосфери. Діяльність цих організмів призвела до

накопичення в біосфері вільного кисню, що розглядається як один з

найважливіших етапів еволюції.

Паралельно розвивалися і гетеротрофи, і перш за все - тварини.

Головними датами їх розвитку є вихід на сушу і заселення материків (до

початку третинного періоду) і, нарешті, появи людини.

У стислому вигляді ідеї В. І. Вернадського про еволюцію біосфери

можуть бути сформульовані наступним чином:

1. Спочатку сформувалася літосфера - провісник навколишнього

середовища, а потім після появи життя на суші - біосфера.

2. Протягом усієї геологічної історії Землі ніколи не спостерігалися

азойние геологічні епохи (тобто позбавлені життя). Отже, сучасне жива

речовина генетично пов'язане з живою речовиною минулих геологічних

епох.

3. Живі організми - головний фактор міграції хімічних елементів у

земній корі, «принаймні, 90% за вагою маси її речовини в своїх істотних

рисах обумовлено життям». (В. Вернадський)

58

4. Грандіозний геологічний ефект діяльності обумовлений тим, що їх

кількість нескінченно велика і діють вони практично протягом нескінченно

великого проміжку часу.

5. Основним рушійним фактором розвитку процесів у біосфері є

біохімічна енергія живої речовини.

Біосфера - складна за генезою і будовою глобальна екологічна система.

Тому важко визначити її сутність однозначно, в одному аспекті.

В.І.Вернадський розглядав біосферу в багатьох ракурсах.

Тому в його роботах представлено не одне, а багато визначень того, що

є біосфера.

1. Біосфера - особлива, охоплена життям оболонка Землі.

2. Біосфера - поверхня нашої планети, її зовнішня область, яка

відмежовує її від космічного середовища.

3. Біосфера - область земної кори, де трансформується космічне

випромінювання в діяльну земну енергію (електричну, хімічну, механічну,

теплову).

В "Роздумах натураліста" В.Вернадський писав: "Земна оболонка,

біосфера, що охоплює цілу земну кулю, має різко відокремлені розміри. В

значній мірі вона зумовлюється існуванням в ній живої речовини. Між її

косною, безжиттєвою частино і живими речовинами, що її населяють,

відбувається безперервний речовинний та енергетичний обмін, який

матеріально виявляється рухом атомів, зумовленим живою речовиною. Цей

обмін у ході часу проявляється закономірно мінливою, неперервно-

спрямованою до стійкості рівновагою. Вона пронизує цілу біосферу, і цій

біогенний струмінь атомів значною мірою її створює. Так неподільно і

нерозривно біосфера протягом усього геологічного часу пов’язана з живою

речовиною, що її населяє". І далі: "…жива речовина біосфери - це сукупність

живих організмів, що в ній живуть".

З наведених роздумів В.Вернадського, а також на підставі подальших

досліджень можна говорити про наступні суттєві ознаки біосфери:

59

1. Біосфера - загальнопланетна оболонка.

2. Структура біосфери: нижні шари атмосфери, гідросфера, верхні

шари літосфери.

3. Склад і будова біосфери зумовлені сучасною і минулою

життєдіяльністю всієї сукупності живих організмів.

4. Біосфра є наслідком взаємодії живих і неживих компонентів,

акумуляції та перерозподілу в ній величезної кількості енергії.

5. Біосфера є термодинамічно відкритою, самоорганізованою,

саморегульованою динамічно зрівноваженою, стійкою системою.

6. Межі біосфери: верхня межа - променева - зумовлена наявністю

жорсткого короткохвильового ультрафіолетового випромінювання. Від нього

життя захищається озоновим шаром.

Нижня межа - термічна. В певних температурних режимах життя

існувати не може.

Біосфера є об’єктом вивчення багатьох наук - геології, геохімії,

географії, біології, екології. Це також причина певних розбіжностей в її

тлумачення. Але біосфера організована живим і є середовищем існування

живого. Отже, логічно вважати основою інтерпретувань сутності біосфери

саме еколого-біологічне бачення її. Тому виникає питання про місце

біосфери серед живих систем.

В біології живе кваліфікується через приналежність до певних рівней

організації.

В.І. Вернадський сформулював концептуальну модель біосфери (і її

еволюції), що включає у собі три складових: а) енергетичний вхід сонячного

випромінювання; б) біологічний круговорот речовин; в) вихід із біологічного

круговороту в геологічні відкладення - "область колишніх біосфер". Він

довів, що еволюція біосфери і перехід їх у ноосферу характеризується все

зростаючим внеском антропогенного чинника (перетворюючої діяльності як

потужної геологічної сили), який за силою на біосферу стає сильнішим

порівняно з природними чинниками. В.І. Вернадський, зазначаючи все

60

зростаючі темпи демографічного зростання, констатував, що "площа,

доступна заселенню організмами обмежена, звідки випливає існування

граничного кількості (маси життя) живого речовини, що може існувати на

нашій планеті", і попереджав про неминучі негативні наслідки, оскільки

"жоден живий вид неспроможний існувати в середовищі переповненому

їхніми відходами". А людство, як пізніше було підраховано виробляє

відходів органічного походження на 2000 раз інтенсивніше, ніж уся інша

біосфера.

В.І. Вернадський думав, що "межі біосфери обумовлені, передусім,

полем існування життя", але поле стійкості життя виходить поза межі

останнього, це є наслідком пристосовності організмів протягом геологічного

часу й поступово, повільно розширюється. Він і запровадив поняття

коефіцієнта щільності життя констатувавши, що "жива речовина" є

регулятором дієвою енергії біосфери". На думку М.М. Моїсєєва, ще на

початку 20 століття В.І. Вернадський сказав головне: людина може мати

майбутнє лише тому випадку, якщо прийме на себе відповідальність як за

людський розвиток, так і біосфери в цілому. І це твердження - основне!

Принципові положення теорії В. І. Вернадського

І. Вернадський виділяв рівні (основні структурні компоненти) речовин

біосфери. Кожна з цих складових характеризується специфічною,

динамічною структурою та організацією:

1) жива речовина (сукупність організмів різних видів). "Я

називатиму живою речовиною сукупність живих організмів, виражену в вазі,

хімічному складі, у мірах енергії та характері простору" (В. І. Вернадський).

Жива речовина характеризується також різноманітністю видів і їх

чисельністю, а також тенденцією росту їх кількості в процесі еволюції живої

природи. Форми життя дуже різноманітні. Нараховується біля 500 тис видів

рослин і біля 1. 5млн видів тварин. При всій різноманітності видів, маса

живої речовини на Землі відносно невелика 105-106 км3. якщо цю величину

61

прийняти за 1, то маса атмосфери 10, гідросфери 10000, літосфери 100000, а

маса всієї Землі 100 млн.;

2) біогенна речовина - органо-мінеральні та органічні продукти,

створені організмами (всі форми дендриту, кам'яне вугілля, нафта, газ тощо);

3) нежива (косна, кістякова речовина) - неживі неорганічні

сполуки, речовини, в утворенні яких живі організми участі не брали (гірські

вивержені породи, мінерали, опади);

4) біокістякова речовина - неорганічні продукти, що утворюються

в результаті взаємодії живої і кістякової речовин, (кисень, створений

зеленими рослинами; основним видом біокістякової речовини є вода, а

основним біокістяковим тілом - ґрунт; до суміші біогенних речовин з

мінеральними породами небіогенного походження відносяться мул, природні

води, газо- та нафтоносні сланці, частина осадових карбонатів, ландшафти);

сама біосфера є біокістяковою системою;

5) радіоактивні речовини;

6) розсіяні атоми;

7) речовини космічного походження (метеорити).

II. Енергія Сонця - космічне джерело енергії в біосфері. Речовина

біосфери приймає космічну енергію і стає активною. Організми

трансформують променисту енергію Сонця в хімічну згідно із законами

термодинаміки. Залежно від джерела енергії Вернадський говорив про живу

речовину І-го і ІІ-го порядків.

III. "Тиск життя". В. І. Вернадський відзначав здатність живої речовини

постійно зростати, розрахував швидкість можливого заселення поверхні

Землі деякими організмами за умов безперешкодного існування. Так, для

деяких бактерій достатньо 1,3 - 1,8 доби для заселення поверхні планети.

Ще одним проявом активності живих організмів є інтенсивність

розмноження. За ідеальних умов (теоретично) вона може сягати швидкості

звуку., так, одноклітинна водоросль діатомея теоретично здатна за 8 днів

62

утворити масу речовини, що дорівнює масі Землі, а наступного дня подвоїти

її.

IV. Роль живих організмів. В. І. Вернадський вперше відзначив

геологічну роль живих організмів. Саме завдяки їх діяльності відновний

характер давньої атмосфери, в якій переважали NН3, СН4, СО, СО2, змінився

на окисний з переважанням N2, О2 та незначним вмістом СО2.

Значення живих організмів:

акумулюють сонячну енергію, трансформує її в енергію земних

процесів (хімічну, механічну, теплову, електричну) - поклади кам'яного

вугілля - це сонячна енергія, накопичена зеленими рослинами минулих

геологічних епох;

багато мінералів і гірських порід мають біогенне походження

(осадові родовища сірки, заліза, мангану та інших металів), осадові породи

вапняків;

накопичують хімічні елементи у тканинах свого тіла: Fe, Cu, Mn,

N, S, P тощо, а також у середовищі життя: земні рослини збагачують

атмосферу і воду киснем, накопичують азот у ґрунті;

більшість хімічних елементів здійснюють кругообіг через

біосферу.

в кінцевому рахунку жива речовина породила склад атмосфери,

гідросфери, ґрунту.

живі організми змінили рельєф земної поверхні, посиливши

процеси осадонакопичення, вивітрювання та ерозії;

впливають на мікроклімат та геофізичні умови свого існування.

V. "Плівки життя". B. I. Вернадський підкреслював повсюдність життя,

яке в біосфері поширене в трьох основних середовищах: літосфері,

гідросфері та атмосфері.

Одна із основних особливостей живої речовини - це й неймовірно

різноманітний розподіл у різних частинах біосфери. Життя слабо розвинене у

63

пустелях, тундрах, на глибині океану, високо у горах, тоді як інших ділянках

біосфери - дуже щільне і різноманітне.

Найбільш висока концентрація живої речовини знаходиться на межах

розподілу головних середовищ - у ґрунті як граничному шарі між

атмосферою та літосферою, у поверхневих шарах океану, на дні водойм і,

особливо, у лиманах, на літоралі, де всі три середовища - ґрунт, вода та

повітря знаходяться поряд.

Місця найбільшої концентрації організмів називають "плівками життя".

VI. "Ноосфера". В. І. Вернадський зазначав, що можливості людини з її

розумом і технікою такі значні, що вона може втручатись в хід геолого-

хімічних процесів Землі і навіть змінювати їх природний напрямок. Людство

має усвідомити свою силу і роль у біосфері і тоді настане новий етап її

розвитку.

Вернадський передбачав перехід біосфери в новий стан, так звану

сферу розуму -" ноосферу" (noos - в перекладі з грецької: розум, дух), в якій

людина стане основною геологічною силою.

Ноосфера - це етап розвитку біосфери, на якому людина, свідомо

використовуючи свої знання, буде підтримувати існування біосфери та

сприяти її розвитку.

Вчення Вернадського про ноосферу включає 4 основні положення:

Ноосфера - історично останній стан геологічної оболонки

біосфери, що перетворюється діяльністю людини.

Ноосфера - сфера розуму і праці.

Зміни біосфери обумовлені як свідомою, так підсвідомою

діяльністю людини.

Розвиток ноосфери пов'язаний з розвитком соціально-

економічних факторів.

Ноосфера відрізняється від біосфери величезною швидкістю в

розвитку. За концепцією ноосфери, людство перетворилося на найпотужнішу

геологічну силу на планеті. Вернадський підкреслював, що протягом

64

останніх 500 років воно освоїло нові форми енергії - парову, електричну,

атомну, й навчилося використовувати майже всі хімічні елементи. Людство

освоїло всю біосферу й одержало набагато більшу, порівняно з іншими

організмами, незалежність від навколишнього середовища. Наукова думка й

діяльність людини змінили структуру біосфери, незаймана природа швидко

зникає, з'являються нові екосистеми та ландшафти - міста, культурні землі,

для яких характерні простіші угрупування організмів.

Біосфера Землі являє собою складну термодинамічну відкриту систему,

яка включає в себе, згідно визначенню В. І. Вернадського, верхні шари

земної кори, всю гідросферу і нижню частину атмосфери - тропосферу з

організмами, що їх населяють. Природнім чином біосфера розпадається на

більш менш самостійні одиниці, які характеризуються великою замкнутістю

кругообігу речовин.

Пристосовуваність живих організмів вражає. Живі бактерії виявлено в

гарячих гейзерних джерелах з температурою води 980 °С, а також в тріщинах

антарктичних льодовиків, де температура рідко коли піднімається вище 0°.

Бактерії живуть у глибинних водах Чорного моря, насичених сірководнем,

деякі бактерії виявлено навіть в атомних реакторах. Живу спору бактерії

було виявлено в одній із трубок американської космічної станції, яка три

роки перебувала на поверхні Місяця - вона потрапила туди з Землі й зберегла

життєздатність, незважаючи на перебування в умовах космічного вакууму,

різких коливань температури й високого рівня радіації.

Межі біосфери. Межі атмосфери визначаються наявністю умов,

необхідних для життя різних організмів.

Нижня межа біосфери обмежена температурою підземних вод та

гірських порід, яка поступово зростає і на глибині 1.5-15 км (гейзери-

материнська порода) вже перевищує 100°С. Найбільша глибина, на якій в

шарах земної кори знайдені бактерії становить 4 км. У нафтових родовищах

на глибині 2-2.5 км бактерії реєструються в значній кількості. У океані -

65

життя розповсюджується до більш значних глибин і зустрічається навіть на

дні океанських западин (10-11 км від поверхні), де температура близько 0 °С.

Верхня межа життя в атмосфері обмежена інтенсивною концентрацією

ультрафіолетової радіації. Фізичною межею поширення життя в атмосфері є

озоновий екран, який на висоті 25-30 км поглинає більшу частину

ультрафіолетового випромінювання Сонця, хоча основна частина живих

істот концентрується на висоті 1-1.5 км.

На висоті 20-22 км, де ще спостерігається наявність живих організмів:

бактерій, спор грибів, найпростіших. Під час запусків геофізичних ракет у

стратосферу на висоті 85 км у пробах повітря було виявлено спори

мікроорганізмів у латентному (сплячому) стані. У горах межа

розповсюдження наземного життя сягає біля 6 км над рівнем моря.

Заселеними є найнеймовірніші місця існування: термальні джерела,

температура у яких сягає до 100°С, вікові сніги Гімалаїв, де на висоті 8300 м

існують дев'ять видів бактерій, безводні пустелі та надсолоні озера, де

вирують ціанобактерії та один із видів креветок.

На поверхні Землі у наш час повністю відсутнє життя лише в областях

значних зледенінь та у кратерах діючих вулканів.

Функції живої речовини в біосфері

У колообігу речовин жива речовина біосфери виконує ряд біогенних

функцій:

Газова функція здійснюється зеленими рослинами у процесі

фотосинтезу - при цьому атмосфера поповнюється киснем, а також

рослинами і тваринами, які виділяють вуглекислий газ у процесі дихання.

Відбувається також колообіг азоту, який тісно пов'язаний з життєдіяльністю

мікроорганізмів.

Концентраційна функція проявляється у здатності живих організмів

акумулювати різноманітні хімічні елементи, у тому числі мікроелементи, із

зовнішнього середовища (ґрунт, вода, атмосфера). Так, морські водорості

66

концентрують йод, діатомові водорості і злаки - кремній, молюски та

ракоподібні - мідь тощо.

Окислювально-відновна функція виражається у хімічних перетворення

речовин у процесі життєдіяльності організмів У ґрунті, водному та

повітряному середовищах утворюються солі, оксиди, різноманітні нові

речовини як результат окислювально-відновних реакцій. З діяльністю

мікроорганізмів пов'язане формування залізних та марганцевих руд. вапняків

і т. п.

Геохімічна функція здійснюється у процесі обміну речовин у живих

організмах (живлення, дихання, виділення), розкладу відмерлих організмів і

продуктів їх життєдіяльності до простих вихідних речовин.

Колообіг речовин

Для постійного існування біосфери, для запобігання припинення

розвитку життя на Землі у природі повинні постійно відбуватись безперервні

процеси перетворення її живої речовини.

Біологічний колообіг - це багаторазова участь хімічних елементів у

процесах, які протікають у біосфері.

Причина колообігу - обмеженість елементів, з яких будується тіло

організмів.

У біосфері відбувається постійний колообіг активних елементів, які

переходять від організму до організму, у неживу природу і знову до

організму. Елементи, які вивільняються мікроорганізмами при гнитті,

надходять у ґрунт і атмосферу, знову включаються в колообіг речовин

біосфери, поглинаючись живими організмами. Весь цей процес і буде

біогенною міграцією атомів. Для біогенної міграції характерним є

накопичення хімічних елементів у живих організмах, а також їх вивільнення

у результаті розкладу мертвих організмів. Біогенна міграція викликається

трьома процесами:

обміном речовин в організмах;

ростом;

67

розмноженням.

Визначення біогенної міграції хімічних елементів, яка викликана

силами життя, дав B. I. Вернадський (Закон біогенної міграції атомів).

Біогенна міграція є частиною загальної міграції хімічних елементів біосфери.

Головною геохімічною особливістю живої речовини є те, що вона

пропускаючи через себе атоми хімічних елементів земної кори, гідросфери та

атмосфери, здійснює у процесі життєдіяльності їх закономірну

диференціацію. Завершуючи свій життєвий цикл, організми повертають

природі все, що взяли у неї протягом життя.

В. І. Вернадський підрахував, що за час існування на Землі біосфери

було створено 3,5.1019 т біомаси, що майже в 2 рази перевищує масу всієї

земної кори, яка становить 2.1019 т. Робота, що виконується живою

речовиною, за Вернадським може бути оцінена за формулою:

Е = PV2 / 2, де

Р - маса організмів,

V - швидкість розтікання біомаси (розмноження організмів).

Жива речовина значно прискорила й змінила колообіги різних речовин

- води, кисню, азоту, вуглекислого газу тощо. Сучасний склад атмосфери

створений завдяки діяльності живої речовини. Обмін повітря між всіма

широтами й півкулями Землі відбувається в середньому за 2 роки. Активно

переміщується течіями океанічна вода. Вся прісна вода стікає в океан за 14

діб, у льодовиках вода оновлюється за 15 000 років.

Жива речовина активно регулює геохімічну міграцію атомів. Завдяки

йому зберігається стабільність біосфери і здійснюється еволюція як живих

організмів, так і всієї біосфери в цілому. Цей особливий вид стану рівноваги,

що постійно змінюється, В. І Вернадський називав динамічною рівновагою.

Динамічна рівновага характерна не лише для біосфери. В такому стані

знаходяться атмосфера, земна кора та мантія.

Для геосфер, не охоплених життям, характерна стійка динамічна

рівновага. В біосфері динамічна рівновага не стійка. Це означає, що біосфера

68

розвивається в процесі діяльності, самовдосконалюється, все більш повно,

активно і в більшому масштабі накопичує, трансформує енергію, ускладнює

свою організацію, збагачується інформацією.

Розрізняють два типи біогенної міграції, перший з них здійснюється

мікроорганізмами, а другий - багатоклітинними організмами. Величина

міграції першого типу переважає над другим. Людство оволоділо міграцією

третього типу, яка іде під впливом його діяльності.

Крім того, розрізняють великий (геологічний) та малий (біологічний)

колообіги і колообіги різних природних ресурсів (ресурсні цикли).

Великий (геологічний) колообіг. Вивержені глибинні породи

мантійного походження (базальти) тектонічними процесами виводяться з

надр Землі в біосферу. Під впливом сонячної енергії й живої речовини вони

вивітрюються, переносяться, відкладаються, перетворюючись різноманітні

осадові породи, де запасається сонячна енергія (з вивержених мінералів

утворюються глини, а вулканічні гази -СО, NH3 - переходять у вугілля та

нафту).

Потім за рахунок тектонічних рухів осадові породи потрапляють у зони

високих тисків та температур (а також радіоактивного розпаду й

гравітаційної диференціації) і перетворюються в гранітні породи з більш

високим рівнем енергії, ніж у осадових порід. Кристалізовані вивержені

породи знову за рахунок висхідних тектонічних рухів потрапляють у

біосферу. Таким чином цикл завершується, але вже на новому рівні, бо з

вихідних базальтів утворилися вивержені породи гранітного складу.

Малий біологічний колообіг (трансформація) речовин в біосфері. В

кожній екосистемі колообіг речовин відбувається в результаті взаємодії

автотрофів та гетеротрофів.

Вуглець, водень, кисень, азот, сірка і фосфор та біля 30 простих

речовин, що необхідні для утворення живої речовини, безперервно

перетворюються в органічні речовини або поглинаються в вигляді

неорганічних компонентів автотрофами, а автотрофи використовуються

69

гетеротрофами (спочатку консументами, а потім деструкторами). Таким

чином, біогенні елементи безперервно циркулюють: розчиняються в

континентальних водах, виносяться в моря або потрапляють в атмосферу, а

між цими середовищами відбувається постійний газообмін, тобто

відбувається біологічний колообіг атомів.

Суть колообігу в тому, що утворення живої речовини і розклад

органічної речовини - два боки єдиного процесу. В процесі біологічного

колообігу атоми поглинаються живою речовиною і заряджаються енергією, а

потім залишають живу речовину, віддаючи енергію в оточуюче середовище.

За рахунок біогенної енергії відбувається більшість хімічних реакцій.

Біологічні колообіги можуть бути різних масштабів і різної тривалості - від

швидкого колообігу в ґрунті, річці, озері до тривалого, який обіймає всю

біосферу.

Біологічний колообіг зворотний не повністю, частина речовин постійно

виходить з колообігу і осідає в товщині осадових порід у вигляді

органогенних вапняків, гумусу, торфу і т. п. В результаті колообігу біосфера

(чи інша екосистема) не повертається в початковий стан: для біосфери

характерний поступальний рух, тому символом біологічного циклу є не коло,

а циклоїд (спіраль).

Отже, колообіг речовин у природі спрямовується спільною дією як

біологічних, так і геохімічних та геофізичних сил. Вплив антропогенного

фактора на колообіг. В порівнянні з тривалістю існування біосфери людина

існує надзвичайно короткий час. Проте, за цей короткий проміжок часу

колообіг речовин в біосфері змінився радикально. В. І. Вернадський

підрахував, що в античні часи люди використовували лише 18 хімічних

елементів, у XVIII ст. - 29, у XIХ ст. - 62, а тепер використовуються 89

елементів, що є в земній корі, крім того одержані такі, яких у природі зовсім

немає (плутоній, технецій тощо)

Людина небувало прискорила колообіг деяких речовин - родовища

заліза, цинку, свинцю інших елементів, які природа накопичувала мільйони

70

років, швидко вичерпуються. Людина швидкими темпами використовує

сонячну енергію "минулих біосфер", накопичену в вугіллі, нафті,

природному газі, вона вивільняє енергію, що міститься в урані. Все це

збільшує неврівноваженість біосфери. Створюючи водосховища, дістаючи

воду з глибинних водоносних горизонтів, людина втручається в колообіг

води в природі.

Людям слід чітко уявити, що вони намагаються побудувати для себе та

своїх нащадків, бо нічого з того, що робиться з природою, виправити

неможливо.

З екологічної точки зору найважливішими є колообіги речовин, які є

основними компонентами живої речовини:

колообіг кисню;

колообіг вуглецю;

колообіг води;

колообіг азоту;

колообіг сірки;

колообіг фосфору.

71

6 Застосування рівняння лотки-вольтера

в біології, хімії, медецині

Першою змістовної математичною моделлю, яка описує біологічні

співтовариства була модель Лотки - Вольтерри. Вона описує популяцію, що

складається з двох взаємодіючих видів. Перший з них, іменований хижаками,

при відсутності другого вимирає за законом

xy=-ax (a> 0),

а другий - жертви - за відсутності хижаків необмежено розмножується

відповідно до закону Мальтуса. Взаємодія цих двох видів моделюється так.

Жертви вимирають зі швидкістю, рівної числу зустрічей хижаків і жертв, яке

в даній моделі передбачається пропорційним чисельності обох популяцій,

тобто рівною dxy (d> 0). Тому yy = by - dxy. Хижаки ж розмножуються з

швидкістю, пропорційною числу з'їдених жертв:

xy =-ax + cxy(C> 0).

Система рівнянь

xy =-ax + cxy, (1)

yў = by - dxy, (2)

описує таку популяцію хижак - жертва і називається системою (або

моделлю) Лотки – Вольтерри.

Вираз правдоподібніше описує міжвидове взаємодія, ніж відповідний

член-dxy моделі Лотки - Вольтерри. В останній число жертв, котрих

вбивають одним хижаком за одиницю часу, так само dy і росте пропорційно

числу жертв, що неправдоподібно. У моделі Холлінга - Теннер коефіцієнт

хижацтва дорівнює py / (q + y). Він не може перевищувати величини p / q і

при необмеженому зростанні популяції жертв прагне, монотонно зростаючи,

до числа p / q, виражає природну потребу хижаків в їжі. У результаті

виходить наступна система рівнянь (модель Холлінга - Теннер)

72

Xy = (a - bx / y) x, (3)

yy= [c - dy - px / (q + y)] y. (4)

Деякі результати, що відносяться до моделі Холлінга - Теннер і деяким

іншим моделям біологічних співтовариств, описані в задачах наприкінці

нарису. А тут ми ще раз підкреслимо, що система (3) - (4) має граничний

цикл, стійкий щодо малих збурень моделі.Системи рівнянь, що виникають

при описі біологічних популяцій, багато в чому близькі до систем

диференціальних рівнянь, що описують кінетику хімічних реакцій. До слова

сказати, система Лотки - Вольтерри була спочатку виведена лотки як

система, що описує деяку гіпотетичну хімічну реакцію (див. реакцію (6)

нижче), і лише пізніше Вольтерра вивів її як систему, що описує популяцію

хижак - жертва.Хімічна кінетика описує хімічні реакції за допомогою так

званих стехіометричних рівнянь. Найпростіший приклад такого рівняння - це

відоме рівняння горіння водню:

H2 + O = H2O. Загальний вигляд стехіометричного рівняння хімічної

реакції такий.

Застосування диференціальних рівнянь в медицині ми

продемонструємо на прикладі найпростішої математичної моделі епідемії.

Відзначимо тут же, що вищеописані додатка диференціальних рівнянь в

біології і хімії теж мають медичний відтінок, оскільки в медицині важливу

роль відіграє дослідження різних біологічних популяцій (наприклад,

популяції хвороботворних бактерій) і дослідження хімічних реакцій в

організмі (наприклад, ферментативних).У моделі описується поширення

інфекційного захворювання в ізольованій популяції. Особини популяції

поділяються на три класи. Інфікований клас чисельністю x (t) (t - час)

складається з інфікованих (хворих) особин, кожна з цих особин заразна

(передбачається, що інкубаційний період захворювання принебрежимо

короткий). Другий клас чисельністю y (t) складають сприйнятливі особини,

тобто особини, які можуть заразитися при контакті з інфікованими особами.

І, нарешті, третій клас складається з несприйнятливих особин (що придбали

73

імунітет або загиблих в результаті захворювання). Його чисельність

позначається z (t). Передбачається також, що загальна чисельність популяції

n постійна (тобто не враховуються народження, природні смерті і міграція).

Дві гіпотези, що лежать в основі моделі такі:1) захворюваність в момент часу

t дорівнює x (t) y (t) (ця гіпотеза грунтується на правдоподібному

припущенні, що число захворюють пропорційно числу зустрічей між

хворими і сприйнятливими особинами, яке в свою чергу в першому

наближенні пропорційно x (t) y ( t)); таким чином чисельність класу x

зростає, а чисельність класу y убуває зі швидкістю ax (t) y (t) (a> 0);2)

чисельність стають несприйнятливими особин (що придбали імунітет або

загиблих) росте зі швидкістю, пропорційною чисельності хворих, тобто зі

швидкістю bx (t) (b> 0). В результаті ми отримуємо систему рівняння

xy = axy - bx,

yy = - axy, (10)zy = bx.

74

7 Застосування рівняння лотки-вольтера

в екології

У теперішній час при побудові моделі біологічних співтовариств

широко використовується прийнята в екології класифікація взаємодій між

видами (як і при описі неживої системи нам необхідно знати, які сили

врівноважують систему), а саме:

конкуренція (-,-) – кожний з видів пригнічує (справляє негативну дію)

на ріст іншого виду, хоча існує і внутрішньовидова конкуренція;

симбіоз (+,+) або комменсалізм (+,0) – кожен з видів прискорює ріст

іншого виду ("жертви"), інший ("жертва") прискорює ріст першого

("хижака");

хижацтво (+,-) – один вид ("хижак") подавляє ріст іншого виду

("жертви"), інший ("жертва") – прискорює ріст першого ("хижака").

Перевага цієї класифікації в її простоті і логічності. Використовуючи

наведену класифікацію, розглянемо систему з двох популяцій (або видів),

особини однієї з яких слугують їжею для особин іншої (взаємодія типу

"хижак-жертва").

Крім балансових рівнянь біомас, які отримують із законів збереження

речовини, нам ще необхідно знати швидкість споживання жертви хижаком,

яка, природно, залежить як від чисельності жертви, так і від чисельності

хижака. Цю залежність в екології зазвичай називають трофічною функцією.

Вид цієї функції залежить від багатьох факторів, таких як мисливська

стратегія хижака, захисна реакція жертви, наявність сховищ для жертви і т.ін.

Найпростіші диференціальні рівняння, які описують взаємодії типу

"хижак-жертва", були одержані відомим італійським математиком Віто

Вольтера, якого вважають батьком математичної біології і математичної

75

екології. Рівняння звичайно складаються відносно чисельності популяцій або

відносно біомаси організмів, що її складають.

Якщо ріст однієї популяції можна виразити експоненціальним або так

званим логістичним рівнянням, тобто

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑟𝑁;

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑟𝑁 −

𝑟

𝑘𝑁2

то вплив іншої популяції можна виразити членом, який змінює ріст

першої популяції, і залежно від типу взаємодії в першу частину рівняння

можна підставити різні члени. Враховуючи сказане, динаміка чисельності

популяцій і при наявності конкуренції описується такими рівняннями:

𝑑𝑁1

𝑑𝑡= 𝑟1𝑁1 −

𝑟

𝑘𝑁2 − 𝑎𝑁1𝑁2

𝑑𝑁2

𝑑𝑡= 𝑟2𝑁2 −

𝑟

𝑘𝑁2 − 𝛽𝑁1𝑁2

При відсутності хижака (Y=0) ріст чисельності (або густоти) популяції

відбувається відповідно до логістичного рівняння з істинною швидкістю

росту а і ємністю середовища а/b, а швидкість виїдання жертви, як і в

попередніх рівняннях, пропорційна добутку густот хижака і жертви.

76

8 Методи оцінки тренду та сезонної

компоненти випадкового процесу

Випадковий процес – процес, який триває у часі і може прийняти той

чи інший вигляд (заздалегідь невідомо який).

Тренд tr(t) – плавна, нециклічна компонента, яка враховує вплив

довготривалих факторів і відображає суттєву природу процесу.

Моделі трендів:

tr(t) = b0 + b1 · t – лінійна;

tr(t) = b0 + b1 · t + b1 · t2 – поліном;

tr(t) = eb0

+ b1 · t – експоненціальна, де процесс має помтійну

швидкість приросту;

tr(t) = b0 · xb1 – ступенева;

tr(t) = b0 · b1

x – показникові;

та де 0 < b1 < 1, γ > 0, якщо тренд має S форму.

Часові ряди з інтервалом менше року (місяць, квартал), як правило,

містять сезонність. В основі сезонних моделей прогнозування лежать їхні

несезонні аналоги, які доповнені засобами відображення сезонних коливань.

Сезонні моделі відображають як відносно постійну сезону хвилю (класс

адитивних моделей), так і таку , що змінюється динамічно залежно від

тренду (клас мультиплікативних моделей). Сезонна компонента st має

період m: st+m =st (m = 12 для ряду місячних даних; m = 4 — для ряду

квартальних даних). Окрім того, відомо, що m кратне n, тобто n = k ∙ m,

k — ціле число. Очевидно, якщо m — кількість місяців або кварталів у році,

то k — кількість років, представлених у часовому ряду {уt}. Тому

вхідні дані тренд-сезонного часового ряду часто представляють у вигляді

77

матриці {yij} розміру [k х m]. У цьому випадку тренд-сезонну модель

(1) записують із урахуванням подвійної індексації:

𝑦 = 𝑣𝑖𝑗 + 𝑠𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗, 𝑖 = 1,𝑘 ; 𝑗 = 1,𝑚

Співвідношення, що встановлюють зв’язок між індексами t та (i,j), мають

вигляд:

𝑖 =

𝑡

𝑚 + 1

𝑗 = 𝑡 − (𝑖 − 1) ∙ 𝑚

[ ]-означає цілу частину числа.

Існує кілька методик оцінювання сезонної компоненти. Основні відмінності

їх полягають у тому, в якій послідовності та якими методами виокремлювати

складові часового ряду, на якому етапі вважати точність виокремлених

складових задовільною. Передусім перевіряють гіпотезу про наявність або

відсутність сезон-них коливань, оскільки часовий ряд не завжди містить

сезонну складову. Для оцінювання впливу сезонності на досліджуваний

показник іноді достатньо економічного (змістовного) аналізу та графічного

відображення спостере- жень за два-три роки. Якщо ступінь коливань не

надто значний, можна вико- ристати спеціальні статистичні критерії:

дисперсійний, автокореляційний, гармонічний тощо.Сутність їх зводиться до

перевірки на випадковість залиш- кової компоненти ряду, з якого вилучено

тренд.

У разі підтвердження існування сезонного процессу здійснюють фільт-

рацію сезонної компоненти. Більшість методів фільтрації побудовано таким

чином, що спершу виокремлюють тренд. Визначити наявність у часовому

ряду тренду і встановити ступінь його гладкості можна за допомогою стати-

стичних методів, розглянутих у розділі 1.3. частини 2. Після виокремлення

тренду залишаються сезонна компонента st разом з випадковою ɛt . Розподіл

сезонної та випадкової компонент завжди починається із виокремлення сезон

ної компоненти, і якщо всі складові знайдено правильно, залишки мають

властивості «білого шуму». Під час дослідження сезонної хвилі st

78

найчастіше припускають, що вона не змінюється з року в рік, тобтo:𝑠𝑖+𝑚𝑗 =

𝑠𝑖𝑗, 𝑖 + 𝑚 ≤ 𝑘 , Насправді таке припущення далеке від дійсності,

принаймні для більшості економічних процесів. Для сезонної хвилі

характерна зміна з часом як її розмаху, так і форми. З рештою виникає

потреба в аналізі та передбаченні змін сезонної хвилі. Фільтрація сезонної

компоненти за допомогою індексу сезонності.Найпрості- шим способом,

який характеризує коливання рівнів досліджуваного показни ка, є розрахунок

питомої ваги кожного рівня в загальному річному обсязі, або індексу

сезонності.

Розглянемо таку модель:

𝑦𝑖𝑗 = 𝑣𝑖𝑗 + 𝐼𝑗 + 𝜀𝑖𝑗 ,

де vij — «річна» складова (тренд); Ij — індекс сезонності, або

стала пропорційності для j-го кварталу (місяця), яка є безрозмірною

величиною та не змінюється з року в рік. Індекс сезонності Іj характеризує

ступінь відхилення рівня сезонного часово го ряду від ряду середніх

vi (тренду) або, інакше кажучи, ступінь коливань відносно 100 %. Наближені

оцінки індексів обчислюють як:

𝐼𝑗 = Iij

𝑘

𝑖=1

k або 𝐼𝑗 =

Iij

𝑘

𝑖=1

k100%

де 𝐼𝑖𝑗 =𝑦 𝑖𝑗

𝑦 𝑖 та 𝑦𝑖 =

𝑦 𝑖𝑗𝑚𝑗=1

𝑚

Якщо відомі оцінки тренду 𝑣𝑖𝑗 і сезонної компоненти 𝑦𝑖𝑗 в адитивній

моделі, то Iij можна оцінити точніше:

𝐼𝑖𝑗 =𝑣𝑖𝑗 +𝑠𝑖𝑗

𝑣𝑖𝑗 =

𝑦𝑖𝑗

𝑣𝑖𝑗

Останнє свідчить про можливості оцінювання рівня сезонності незалежно від

того, яку модель розглядають : адитивну або мультиплікативну. Недоліком

79

цього підходу є те, що він не враховує наявності випадкових коливань

і тенденцію зміни середньорічного рівня й сезонної хвилі.

Метод декомпозиції часового ряду. Загальна процедура методу для

адитивної або мультиплікативної моделей майже однакова. Спочатку

виявляють та прогнозують кожну компоненту окремо (етап декомпозиції), а

потім отримують загальний прогноз шляхом певного об’єднання отриманих

результатів.

Побудову прогнозової адитивної або мультиплікативної тренд-сезонної

моделі здійснюють за таким алгоритмом.

1. Часовий ряд yi згладжується за методом ковзної середньої.

2. Розраховують різниці між вхідними даними та центрованими

середніми, тобто відхилення, які характеризують сезонний чинник:

𝑠𝑖𝑗 = 𝑦𝑡 − 𝑦 𝑡 .

3. Розраховують оцінки сезонної компоненти 𝑠𝑗 . Для цього знаходять її

середні значення 𝑠𝑗 для кожного періоду j:

𝑠𝑗 = 𝑠𝑖𝑗𝑘𝑖=1

𝑘, j = 1, 2, …,m;

і середнє сезонне значення: 𝑠

𝑠 = sj 𝑚

𝑗=1

При цьому припускають, що сезонні впливи за весь річний цикл гасять

одне одного, тобто 𝑠𝑗 = 0𝑚𝑗=1 для адитивної моделі та 𝑠𝑗 = 𝑚𝑚

𝑗=1 для

мультиплікативної моделі. Якщо ці умови не виконуються, то

середні оцінки сезонної компоненти 𝑠𝑗 коригують. Для адитивної моделі

відкоригована оцінка сезонної компоненти вимірюється в абсолютних

величинах і дорівнює 𝑠 𝑗 = 𝑠𝑗 − 𝛼 , 𝛼 =𝑠

𝑚.

Для мультиплікативної моделі це значення таке: 𝑠 𝑗 = 𝑠𝑗 ∙ 𝛼, 𝛼 =𝑚

𝑠 .

80

4. Вилученням сезонної компоненти із початкового часового ряду

одержують десезоналізований ряд.

5. Аналітичне згладжування десезоналізованого ряду й отримання

оцінок тренду𝑣𝑡 .

6. Розрахунок невипадкової складової для адитивної моделі 𝑣𝑡 + 𝑠𝑡

або мультиплікативної моделі𝑣𝑡 ∙ 𝑠 .

7. Обчислення абсолютних або відносних похибок𝜀 𝑡 та перевірка

адекватності моделі.

8. Розрахунок прогнозів.

81

9 Підходи до схематизації об’єктів

моделювання, при моделюванні

розповсюдження забруднення

Схематизація —згладжування відмінностей між порівнюваними

об'єктами. Це дає змогу позбавитись від зайвих і другорядних деталей .

Ефективне здійснення моделювання можливе лише за умови, коли всі

елементи системи діють злагоджено, скоординовано, на основі певних

закономірностей, відносин і процесів, які відображають дійсне

розповсюдження забруднення. Тому першим підходом до схематизації

об’єктів моделювання є виокремлення тих загальних закономірностей,

відносин і процесів, які притаманні тільки їм і забезпечують стабільність

системи. Другим підходом до схематизації є аналіз і характеристика

закономірностей, відносин і взаємозв'язків.

Є такі підходи до схематизації:

1. Картографування

2. Створення блок-схем

3. Об’єднання матеріалу у таблиці

4. Схеми

82

9.1 Утворення карт (картографування)

Карта— зображення у певному масштабі території земної

поверхні на площині, виконане за допомогою умовних знаків із

застосуванням географічної (картографічної проекції). Вона показує

розміщення, властивості і зв'язки різних природних і соціально-економічних

об'єктів та явищ.

Екологічне картографування — одна зі складових інформаційної

системи екологічного управління, що грунтується на використанні

топографічної інформації та спеціальних екологічних карт. Більшість

екологічних проблем має просторовий характер і потребує картографічного

відображення. Оцінка стану навколишнього природного середовища і

прогноз його розвитку завжди спираються на територіальний або

ландшафтний підхід, оскільки ландшафти є тими територіальними

системами, в умовах яких відбувається взаємодія людини і природи.

Екологічні карти являють собою просторове відображення взаємодії

живих організмів, людини і середовища.

Значну частину карт доцільно розробляти за допомогою

автоматизованих систем картографування. Екологічні карти, що

характеризують різноманітні процеси і є результатом моделювання

відповідних реакцій та застосування сценарних підходів до розвитку

екологічних ситуацій, розробляються на комп'ютерній основі із

застосуванням спеціалізованого програмного забезпечення. Найкращим

кінцевим продуктом такого картографування є екологічні атласи територій,

що містять аналітичні, синтетичні і комплексні карти. Нині сучасний підхід

до створення екологічних карт — це застосування геоінформаційних систем,

які поєднують у собі всі досягнення екологічної науки та інформаційно-

комунікаційних технологій.

83

9.2 Приклади екологічних карт

Рис. 9.1

Рис. 9.2

84

9.3 Створення блок-схем

Блок-схема - поширений тип схем (графічних моделей), що

описують алгоритми або процеси, в яких окремі кроки зображуються у

вигляді блоків різної форми, з'єднаних між собою лініями, що вказують

напрямок послідовності.

В екології блок схеми найчастіше застосовують, щоб зобразити

якийсь порядок,підлеглість,взаємодію.

Рис. 9.4- Об’єднання матеріалу у таблиці (створення таблиць)

Таблиця — це перелік, зведення статистичних даних або інших

відомостей, розташованих у певному порядку за рядками та стовпцями.

Основною перевагою цифрової інформації, зведеної в таблиці, є

компактність, наочність, виразність.

Мета побудови таблиць багатогранна:

систематизація цифрової інформації;

полегшення і прискорення ефекту сприйняття;

інтенсифікація пізнавального процесу;

економія місця при викладенні інформації.

85

Схема — графічне представлення визначення, аналізу або методу

вирішення задачі, у якому використовуються символи для позначення

операцій, даних, потоку, обладнання.

86

10 Дифузія

Дифузія — процес випадкового невпорядкованого переміщення

частинок під впливом хаотичних сил, зумовлених тепловим рухом і

взаємодією з іншими частками.

Дифузія — перенесення речовини, зумовлене вирівнюванням її

концентрації (точніше, хімічного потенціалу) у спочатку неоднорідній системі.

Рисунок 10.1 – Схематичне зображення дифузії молекул крізь клітинну

мембрану

Дифузія — одна із ступенів численних технологічних процесів

(адсорбції, сушки, екстрагування, брикетування зі зв'язуючими тощо).

Дифузія відбувається в газах,рідинах і твердих тілах. Механізм дифузії в цих

речовинах істотно різний. Дифузія що відбувається внаслідок теплового

руху атомів, молекул, — молекулярна дифузія. Дифундувати можуть як

частинки сторонніх речовин (домішок), нерівномірно розподілених у

середовищі, так і частинки самої речовини середовища. У останньому

87

випадку процес називається самодифузією. Термодифузія — це дифузія під

дією градієнта температури в об'ємі тіла, бародифузія — під дією градієнта

тиску або гравітаційного поля. Перенесення заряджених частинок під дією

зовнішнього електричного поля — електродифузія. У рухомому середовищі

може виникати конвекційна дифузія, при вихровому русі газу або рідини —

турбулентна дифузія.

Наслідком дифузії є переміщення часток із областей, де їхня

концентрація висока, в області, де їхня концентрація низька, тобто

вирівнювання концентрації часток у термодинамічній системі, встановлення

рівноваги за складом. Швидкість руху молекул і температура тіла

взаємозв'язані – чим вища температура тіла, тим більша швидкість руху його

молекул; і навпаки, якщо швидкість руху молекул в одного тіла більша, ніж у

іншого, то і температура його вища.

Дифузія дуже розповсюджене явище, яке відіграє велику роль у

функціонуванні живих організмів. У легенях молекули кисню дифундують

у кровоносні судини, завдяки процесам дифузії відбувається обмін

речовин у клітинах.

Дифузія широко використовуються у техніці. Наприклад,

робота біполярного транзистора основана на дифузії неосновних носіїв

заряду через p-n перехід. Вибіркове перенесення певних компонентів у пори

речовини — інфільтраційна дифузія. Дифузія має особливе значення

в шахтах, де вона сприяє рівномірному розподілу шкідливих газів в

атмосфері гірн. виробок, попередженню їх небезпечних скупчень. Суттєве

значення відіграє дифузія в технологічних процесах при застосуванні

реагентів.

Мірою дифузії є маса речовини, що продифундувало за одиницю

часу через одиницю площі поверхі контактних речовин. Величина тим

більша, чим більша зміна концентрації на одиницю довжини вздовж

напрямку, у якому проходить дифузія [1].

88

Для частки характерна пропорційність середнього зміщення

квадратному кореню з часу.

((𝑥 − 𝑥2)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 + 𝑧 − 𝑧0)2 ∝ 𝑡,

де x, y, z — координати часки в момент часу t; x0, y0, z0 — її коорднати в

початковий момент часу. Це спідввідношення дозволяє ввести кількісну

характеристику дифузії — коефіцієнт дифузії D:

𝐷 = 1

6𝑡((𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 + (𝑧 − 𝑧0)2)

Рівняння дифузії

Для опису процесу вирівнювання концентрації часток в

термодинамічній системі використовується рівняння дифузії. В загальному

випадку воно є наслідком рівняння неперервності, яке визначає закон

збереження кількості часток.

𝜕𝑛

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣𝑗 = 0,

де n — концентрація часток, j — їхній потік.

Якщо припустити, що потік часток пропорційний градієнту

концентрації з коефіцієнтом пропорційності D,

𝑗 = −𝐷∇𝑛

то отримаємо феноменологічне рівняння дифузії

𝜕𝑛

𝜕𝑡= 𝐷∆𝑛,

де ∆= 𝑑𝑖𝑣𝛻— оператор Лапласа.

В загальному випадку просторово неоднорідних систем часток, які

взаємодіють між собою рівняння дифузії записується у вигляді:

𝜕𝑛

𝜕𝑡= 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝑛∇𝜇 ,

89

де μ — хімічний потенціал.

Це рівняння виражає той факт, що умовою рівноваги за складом є

рівність хімічного потенціалу у всій термодинамічній системі, а

вирівнювання концентрації — це лише частковий випадок для однорідних

систем, близьких до ідеального газу.

90

11 Основні поняття кореляційного та

регресивного аналізу

Всі явища та процеси, що існують в природі та суспільстві,

взаємопов’язані, тому вивчення взаємозв’язків та причинних залежностей є

одним з найважливіших завдань статистики. Умови і причини являють собою

фактори.

Кореляційною називається залежність умовної середньої від аргументів

і записується в такому вигляді: ӯх

= 𝑓(𝑥), якщо n змінних: ӯх

= 𝑓(𝑥1. . 𝑥𝑛).

Дані рівняння називають вибірковими рівняннями

регресії Y на Х;функцію𝑓(𝑥) - вибірковою регресією Y на Х, а її графік –

вибірковою лінією регресії Y на Х.

Рівняння регресії найчастіше використовують як різновид

статистичних моделей, що застосовують, наприклад, в економічному аналізі,

де за допомогою рівнянь регресії є можливість виміряти вплив окремих

факторів-аргументів на залежну змінну. Цим самим аналіз стає конкретним і

цінність його суттєво збільшується. Крім регресивного аналізу, рівняння

регресії використовують у прогнозних дослідженнях.

Найпростішою буде кореляційна залежність, коли є один аргумент і

вона називається парною . Якщо ж аргументів більше, ніж один, то

залежність називаєтьсямножинною.

За характером залежності явищ розрізняють функціональні (повні) та

кореляційні (неповні) зв’язки.

Кореляційнийзв’язок проявляється в середньому, для

масовихспостережень, коли кожному

значеннюознаки х відповідаєпевнамножинаознаки у, яківаріюють і

утворюють ряд розподілу.

91

Парна кореляція та парна лінійнарегресія.

Якщохарактеризуєтьсязв’язокдвохознак, то йогоприйнятоназивати парним.

Для кількісної оцінки щільності зв’язку широко застосовують лінійний

коефіцієнт кореляції.

Якщозаданізначеннязмінних Х та Y, то вінрозраховується за формулою:

.

Множинналінійнарегресія та множиннакореляція. Парна кореляція та

регресія можуть розглядатися як окремий випадок множинної

(багатофакторної) регресії (кореляції), коли характеризується зв’язок

множини незалежних змінних з результативною ознакою. Для розрахунку

множинного рівняння регресії обирають найбільш значимі з всієї множини

незалежних змінних відповідно до коефіцієнтів кореляції.

Множинна регресія вивчає зв’язок між трьома або більше ознаками та

має наступний вигляд:

,

де Yтеор – розрахункове значення регресії, яке є оцінкою очікуваного

значення ^ Y при фіксованих значеннях ознак Х1, ..., Хk; Х1, ...,

Хk – найбільш значимі незалежні змінні; а0 – параметр, що показує

усереднений вплив на результативний показник факторів, що не включені до

моделі (або не виділені для дослідження);

а1, ..., аk – коефіцієнти регресії, кожний з яких показує на скільки

одиниць зміниться Y зі зміною відповідної ознаки Х на одиницю за умови, що

останні ознаки не зміняться

92

Нелінійна регресія.Надання зв’язку через лінійну функцію в тому

випадку, коли існує нелінійне співвідношення, викличе помилки та спрощені

або навіть неправильні висновки на основі аналітичного рівняння.

Існують різні форми нелінійних рівнянь регресії.

1. Регресії нелінійні відносно включених в дослідження змінних,але

лінійне за параметрами.

Це, наприклад, поліноми. В випадку парної регресії рівняння має

наступний вигляд:

Множинна регресія маємо наступне рівняння:

2. Регресії з нелінійними параметрами. Найбільш роз поширенішою є

ступенева функція: - парна регресія; - множинна

регресія.

Оцінка значимості параметрів взаємозв’язку.

Коли отримані оцінки кореляції та регресії, необхідно перевірити їх на

відповідність істинним параметрам взаємозв’язку. Для оцінки значимості

коефіцієнта парної кореляції розраховують стандартну помилку коефіцієнта

кореляції:

Необхідно,щоб .

Висновок про правильністьвибору виду взаємозв’язку та

характеристику значимості всього рівняння регресії отримують за

допомогою F-критерію (критерійФішера- Снедекора), що розраховується за

наступною формулою

93

: ,

де n– число спостережень; m – число параметрів рівняння регресії.

Fрозр має бути більше Fтабл при v2=m-1 та v1=n-m ступенях свободи. В іншому

випадку необхідно переглянути форму рівняння, перелік змінних тощо.

За напрямком зв’язок буває прямим, коли залежна змінна збільшується

із збільшенням факторної ознаки; та зворотнім, при якому зростання

факторної ознаки спричиняє зменшення результату.

За своєю аналітичною формою зв’язки бувають лінійними та не

лінійними. В першому випадку між ознаками проявляються в середньому

лінійні співвідношення. Нелінійний взаємозв’язок виражається нелінійною

функцією, а змінні пов’язані між собою в основному нелінійно.

За кількістю факторів, що розглядаються розрізняють парний (якщо

характеризується зв’язок двох ознак) та множинний, або багато факторний

зв’язок (якщо вичаються більш ніж дві змінні).

За силою розрізняють слабкий та сильний зв’язок. Ця характеристика

виражається конкретними величинами.

В найбільш загальному вигляді завдання статистики в галузі вивчення

взаємозалежностей складається в кількісній оцінці їх наявності та напрямку,

а також в характеристиці сили та форми впливу одних факторів на інші. Для

його вирішення застосовують методи кореляційного та регресійного аналізу.

Завдання кореляційного аналізу полягають в вимірі щільності зв’язку між

ознаками, визначенні невідомих причинних зв’язків і в оцінці факторів, що

мають найбільший вплив на результативну ознаку.

Регресійний аналіз має на меті встановлення форми залежності, визначення

функції регресії, використання рівняння для оцінки невідомих значень

залежної змінної.

Приклад. Бюро економічного аналізу кондитерської фабрики

оцінює ефективність відділу маркетингу з продажу цукерок. Для такої оцінки

94

вимагає досвід роботи у п’яти зонах з майже однаковими умовами. У цих

зонах зафіксовано протягом певного періоду обсяги продажі (млн. коробок),

витрати (млн. грн.) фірми та рух товару на ринку (дані наведені в таблиці).

Зони уі Хі

1 25 5

2 30 6

3 35 9

4 45 12

5 65 18

Таблиця 11.1

Візуально можна припустити, що міжданими є лінійна залежність,

тобто її можна на зближено зобразити прямою лінією. Взагалі, існує не

обмежена кількість прямих y=kx+b, які можна провести через множину точок

спостережень. Яку з них вибрати? Щоб це визначити, потрібно мати у

розпорядженні певний критерій, що дозволяв би вибрати з множини прямих

―найкращу‖ з точки зору даного критерію. Найпоширенішим є критерій

мінімізації суми квадратів відхилень. На рис. 1 видно, що на цих прямих є

точки, розташовані таким чином, що деякі з них знаходяться вище, деякі

нижче цієї прямої, на основі чого можна встановити відхилення (помилки)

відносно цієї прямої:

еі = 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑦𝑖 − 𝑘𝑥𝑖 − 𝑏(𝑖 = 1,𝑛 ),

де 𝑦2-і –та точка прямої, яка відповідає значенюхі.

Реальні спостереження (Хі, Yi) зобразимо в системі (XOY).

95

Рис. 11.1- Реальні спостереження (Хі, Yi)

Відхилення або помилки ще називають залишками. Логічно, що треба

проводити пряму таким чином, щоб сума квадратів помилок була

мінімальною. В цьому і полягає критерій суми найменших квадратів:

невідомі параметри k та b визначають так, щоб мінімізувати

𝑒𝑖2𝑛

𝑖−1

𝑒𝑖2

𝑛

𝑖−1

= (𝑦𝑖 − 𝑘𝑥𝑖 − 𝑏)2

𝑛

𝑖−1

= 𝑓(𝑘, 𝑏) → 𝑚𝑖𝑛

Мінімум функції𝑓(𝑘, 𝑏)досягається за необхідних умов, коли перші

похідні дорівнюють нулеві, тобто:

96

або отримують лінійну систему рівнянь:

,

що називається нормальною. Розв’язують систему і знаходять невідомі

параметри k,b:

З метою спрощеннявиразу для (8) чисельник і

знаменниквиразупомножимо на 1

𝑛2 :

Розділивши друге рівняння наn, отримаємо: 𝑘𝑥 + 𝑏 = 𝑦 , звідки 𝑏 = 𝑦 −

𝑘𝑥 і остаточно 𝑦 − 𝑦 = 𝑘𝑥(𝑥 − 𝑥 ).

Аналогічнознаходятьвибірковерівнянняпрямоїлініїрегресії х та y:

𝑥 = 𝑘𝑦𝑦 + 𝑐.

97

12 Модель біоакумуляції забруднення

Біоакумуляція — збільшення концентрації хімічних речовин на

кожному ступені екологічної піраміди, пов'язане з тим, що кількість їжі, яка

поглинається організмом набагато перевищує його власну масу, а хімічні

речовини виводяться з організму не повністю.

У харчовий ланцюгу, на кожному новому ступені, доза отримуваних з

їжею шкідливих речовин підвищується приблизно на порядок. Наприклад,

ланцюг (планктон — риба —людина) це підвищення дози на два порядки. У

інших ланцюгах доза може зростати в тисячі і десятки тисяч разів.

Екотоксікометрія - розділ екотоксикології, в рамках якого

розглядаються методичні прийоми, що дозволяють оцінити (перспективно

або ретроспективно) екотоксичність ксенобіотиків.

Всі види класичних кількісних токсикологічних досліджень повною

мірою використовуються для визначення екотоксичність ксенобіотиків.

Гостра токсичність екополютантів визначається експериментально на

кількох видах, які є представниками різних рівнів трофічної організації в

екосистемі (водорості, рослини, безхребетні, риби, птахи, савці).

Залежність доза-ефект (епідеміологічний підхід). Спектри проявів

токсичного процесу визначаються будовою токсиканту. Проте вираженість

ефекту, що розвивається є функцією кількості діючого агента. В якості

шкідливого агента можуть розглядатися токсичні речовини, біологічні

субстанції, проникаюча радіація та інші ушкоджуючі фактори. В якості

ефектів можуть враховуватися найрізноманітніші ознаки. Наприклад,

летальний результат, вихід показника за межі біологічної норми. Для

позначення кількості речовини, що діє на біологічний об'єкт, використовують

поняття - доза (впливаюча доза). Вид пошкоджуючого агента і шлях

надходження дози, що діє, можуть бути найрізноманітнішими.

98

Залежність «доза-ефект» може бути простежена на всіх рівнях

організації живої матерії: від молекулярного до популяційного. При цьому в

переважній більшості випадків буде реєструватися загальна закономірність:

зі збільшенням дози - збільшується ступінь пошкодження системи; до

процесу залучається все більше число складових її елементів. В залежності

від діючої дози практично всяка речовина в певних умовах може виявитися

шкідливим для організму.

Отже, залежність «доза-ефект» відображає властивості не тільки

токсиканту, але і організму, на який він діє. На практиці це означає, що

кількісну оцінку токсичності, засновану на вивченні залежності «доза-

ефект», слід проводити в експерименті на різних біологічних об'єктах і

обов'язково вдаватися до статистичних методів обробки одержуваних даних.

Не слід плутати співвідношення «доза-ефект» із залежністю "доза-

реакція», остання визначає ступінь зміни обраного показника в порівнянні з

нормою. Реакція може вимірюватися або в абсолютних одиницях, або у

відносних (відсотки).

При встановленні будь-якого критичного рівня показника норми

(контролю) та обчисленні частоти його перевищення в експериментальній

вибірці залежність «доза-реакція» перетворюється на залежність «доза-

ефект» або функцію ефективності по заданій ознаці. Функція ефективності

складається з сукупності точок. Кожна точка формується через існування у

тест-об'єктів індивідуальних особливостей (індивідуальної чутливості), що в

кінцевому підсумку призводить або до появи реєстрованої ознаки, або до її

відсутності при впливі заданої дози досліджуваного фактора.

Найбільш поширений спосіб визначення залежності «доза-ефект» у

групі полягає у формуванні в цій групі підгруп. Тваринам, що входять у

підгрупу, токсикант вводять в однаковій дозі, а кожній наступній підгрупі

доза збільшується. Формування підгруп має здійснюватися методом

випадкових вибірок. Зі збільшенням дози буде збільшуватися частина тварин

у кожній з підгруп, у яких розвинувся оцінюваний ефект. Одержану при

99

цьому залежність можна представити у вигляді кумулятивної кривої частот

розподілу, де кількість тварин з позитивною реакцією на токсикант (частину

загальної кількості тварин в підгрупі) є функцією дози (рис. 1).

Рисунок 12.1 – Типова крива доза-ефект для групи тварин,

симетрична щодо середньої точки

У більшості випадків графік являє собою S-подібну криву log-

нормального розподілу, симетричну відносно середньої точки. Можна

виділити ряд важливих характеристик цієї кривої, які доцільно враховувати

при інтерпретації отриманих результатів.

1. Центральна точка кривої (значення 50% відповіді) або середня

ефективна доза (ЕД50) представляє собою розрахункову статистичну

величину, яка також має нормальний розподіл і характеризується середнім

значенням і дисперсією. Ефективна доза розраховується за значеннями

ймовірностей ефекту, і її дисперсія включає як похибка впливати дози, так і

похибка ефекту. Ефективна доза в кожній точці функції позначається певною

категорією, що відповідає ймовірності ефекту. Якщо оцінюваний ефект -

летальність тварин у групі, ця точка позначається як середньосмертельна

доза. Безліч ефективних доз власне і складають функцію ефективності.

100

2. Чутливість більшості тварин в популяції близька середньому

значенню. Інтервал доз, що включає основну частину кривої навколо

центральної точки, іноді позначається як «потенція» препарату.

3. Невелика частина популяції в лівій частині кривої «доза-ефект»

реагує на малі дози токсиканту. Це група надчутливих або гіперреактивних

особин. Інша частина популяції в правій частині кривої реагує лише на дуже

великі дози токсиканту. Це малочутливі, гіпореактивні або резистентні

особини.

4. Нахил кривої «доза-ефект», особливо поблизу середнього значення,

характеризує розкид доз, що викликають ефект.

Форма кривої і її екстремальні точки залежать від цілого ряду

зовнішніх і внутрішніх факторів, таких як стан механізмів репарації

ушкоджень, оборотність викликаються ефектів. Так, токсичний процес може

не розвиватися до тих пір, поки не виснажаться механізми захисту організму

від чинного токсиканту, не наступить насичення процесів біохімічної

детоксикації. Точно так само насичення процесів утворення токсичних

метаболітів з вихідного ксенобіотика може з'явитися причиною виходу

кривої «доза-ефект» на плато.

Термін «парадоксальна токсичність» застосовується для

характеристики токсикантів. У цьому випадку, якщо в якості реєстрованої

ознаки використовуються інші показники, то залежність «доза-ефект»

визначається загальним терміном «парадоксальна ефективність».

Парадоксальна функція ефективності є окремим випадком залежності

«доза-ефект». У двовимірної системі координат вона в кожній точці

відображає вірогідність появи реєстрованого ознаки при впливі

випробуваною дози. На осі абсцис фіксуються випробувані дози, а на осі

ординат - ймовірності (частоти) ефектів після впливів цих доз. Ознака

враховується в альтернативній формі (1 - є прояв ознаки, 0 - немає прояву

ознаки) з використанням термінів «частота» та «ймовірність» ефекту.

101

Частота ефекту - це відносна величина, виражена в частках одиниці або

у відсотках і знайдена експериментально шляхом відношення числа тест-

об'єктів, у яких проявився вказана ознака, до загального числа тест-об'єктів в

експериментальній групі.

Ймовірністю ефекту називається прогнозована відносна величина,

обчислена за допомогою статистичних методів і також виражена у відносних

одиницях або у відсотках. Наприклад, для перекладу значень частот ефектів

у величини ймовірностей застосовується формула Ван-ден-Вердена:

Р =𝑛 + 1

𝑁 + 2,

де n - число об'єктів в обраній групі,

N - загальне число об'єктів в дослідженій вибірці тварин.

Кількісне значення частоти ефекту характеризує ймовірність

народження в експериментальній вибіркою тест-об'єктів індивідуумів з

вираженою чутливість до заданої дозі досліджуваного агента. Саме в цієї

категорії тест-об'єктів і реєструються задані ознаки. При збільшенні дози

співвідношення чутливих тест-об'єктів вже в нових експериментальних

вибірках можуть змінюватися, що і є причиною формування виду функції

ефективності. При рівномірному збільшенні числа чутливих тест-об'єктів із

зростанням доз формується лінійна функція ефективності. В іншому випадку

вид функції ефективності може бути всіляким, у тому числі і убутним при

зростанні доз, тобто парадоксальному.

102

13 Концептуальна модель міграції

радіонуклідів

Під терміном «міграція» розуміють рух елементів в компонентах

навколишнього середовища. Справа в тому, що в природі всі елементи,

особливо якщо це елементи, які утворюють поверхневий шар ґрунтового

покриву Землі, перебувають у русі. Щоправда інтенсивність руху в кожного з

цих елементів різна. Наприклад, елементи, які забезпечують розвиток рослин

інтенсивно вилучаються на певний час з ґрунту, а з відмиранням рослини

знову надходять до нього. Так утворюється мале коло обігу елементів в

природі. Існує ще міграція елементів (їх хімічних сполук), яка відбувається в

межах ґрунтового горизонту, профілю або в межах цілого ландшафту.

За сутністю механізмів, які спричинюють міграцію елементів в

навколишньому середовищі, міграція радіонуклідів нічим не відрізняється

від міграції інших елементів. В більшості відмінності обумовлені фізико-

хімічними властивостями кожного радіонукліду. За походженням міграцію

радіонуклідів поділяють на декілька типів: природну та техногенну (іноді її

називають антропогенною).

Під природною міграцією радіонуклідів розуміють міграцію елементів,

яка викликана (спричинена) природними чинниками – повені та розливи рік,

приливи та відливи морів, озер та океанів, сезонна міграція птахів, риб та

тварин, пожежі, дощі, буревії та ін.

Під техногенною міграцією розуміють рух елементів спричинений

діяльністю людини – ядерні вибухи, аварії на ядерних енергетичних

установках, підприємствах по добуванню та переробці урану, кам’яного

вугілля, руди, та ін).

Міграція радіонуклідів розрізняється ще й за напрямком руху. Так

виділяють вертикальну міграцію радіонуклідів (виверження вулканів, дощі,

103

снігопади, переорювання ґрунту, вирощування лісу та ін.), горизонтальну

міграцію (розливи річок, перенесення вітром, міграція птахів та ін.). Також

існує змішаний тип міграції радіонуклідів (ядерні вибухи, великі пожежі,

видобування та переробка нафти, виробництво та внесення мінеральних

добрив та ін.). Забруднення радіонуклідами наземних та водних екосистем

обумовлює залучення цих елементів до трофічних (харчових) ланцюгів.

Харчові ланцюги – це ряд послідовних етапів по яким відбувається

трансформація речовини та енергії в екосистемі. Всі живі організми пов’язані

між собою, оскільки вони є об’єктами харчування один одного. При

забрудненні радіоактивними речовинами одного з ланцюгів відбувається

міграція та послідовне накопичення нуклідів в інших елементах трофічного

ланцюга.

Для опису перенесення, переходу і міграції радіонуклідів в екосистемах

часто використовують метод камерних моделей.

У камерних моделях весь ланцюг перенесення радіонуклідів для

простоти поділяють на камери (вох –коробка). У математичних моделях

взаємодію між камерами задають за допомогою коефіцієнтів. За способами

взаємодії між камерами моделі можна поділити на стаціонарні і динамічні.

Стаціонарні камерні моделі (рис. 1) будують на основі постулату про

наявність сталої статистичної рівноваги в системі ―екосистема – організм –

середовище‖. При цьому розподіл активності радіонуклідів у кожній з

виділених камер вважають рівномірним. За відомими значеннями Кп

радіонуклідів між камерами чи за відомою кількістю стабільного аналога

радіонукліда в певній камері розраховують питому активність у ній

радіонуклідів. Стабільними аналогами радіонуклідів є елементи, які за своїми

метаболічними характерами в екосистемі подібні до радіонуклідів

(стабільним аналогом Sr є Ca, а стабільним аналогом Cs – K).

Рис. 13.1- Стаціонарна камерна модель екосистеми

104

У стаціонарних моделях:

k1, k2, k3 – прямі коефіцієнти перенесення радіонуклідів між камерами;

С1, С2, С3, С4 – концентрації радіонукліда у камерах 1, 2, 3, 4 відповідно.

Через стаціонарну камерну модель можна обчислити активність

радіонуклідів в інших камерах:

𝐶2 = 𝑘1 ∙ 𝐶1

𝐶3 = 𝑘2 ∙ 𝐶2 = 𝑘1 ∙ 𝑘2 ∙ 𝐶1

(1.1)

𝐶4 = 𝑘3 ∙ 𝐶3 = 𝑘1 ∙ 𝑘2 ∙ 𝑘3 ∙ 𝐶1

Крім простих стаціонарних камерних моделей, широко

використовують динамічні камерні моделі (рис. 2), які грунтуються на двох

основних припущеннях:

1) екосистему можна поділити на кілька взаємодіючих камер, між якими з

часом відбувається міграція радіонуклідів. Радіонукліди, що надійшли в

камеру, миттєво переміщуються в усіх частинах камери однаково в будь-

який момент часу;

2) втрати радіонуклідів камерою є пропорційними активності радіонуклідів у

камері. Перенесення радіонуклідів з однієї камери до іншої відбувається за

законами кінетики, його описують системою простих диференціальних

рівнянь (1.2)

1.

2.

Рис. 13.2- Динамічна камерна модель екосистеми.

105

У динамічних моделях:

k1, k2, k3 – прямі коефіцієнти перенесення радіонуклідів між камерами;

k2 , k3, k4 – зворотні коефіцієнти.

𝑑𝐶1

𝑑𝑡= 𝑘2

∙ 𝐶2 − 𝑘1 ∙ 𝐶1

𝑑𝐶2

𝑑𝑡= 𝑘1 ∙ 𝐶1 − 𝑘2 ∙ 𝐶2 − 𝑘2

∙ 𝐶2 + 𝑘3 ∙ 𝐶3

𝑑𝐶3

𝑑𝑡= 𝑘2 ∙ 𝐶2 + 𝑘4

∙ 𝐶4 − 𝑘3 ∙ 𝐶3 − 𝑘3 ∙ 𝐶3

𝑑𝐶4

𝑑𝑡= 𝑘3 ∙ 𝐶3 − 𝑘4

∙ 𝐶4

Ця система легко розв’язується. Практично для будь-якої складної та

розгалуженої екосистеми така система може бути складена і розв’язана (за

допомогою MAPLE 5, MAPLE 6).

Метод камерних моделей є найпростішим і адекватним математичним

методом опису радіоекологічних процесів в екосистемах різної складності.

106

14 Модель балансу розчиненого кисню у

водних об’єктах

Кисень постійно присутній в розчиненому вигляді в поверхневих

водах. Вміст розчиненого кисню (РК) у воді характеризує кисневий режим

водойми і має найважливіше значення для оцінки його екологічного та

санітарного стану. Кисень повинен міститися у воді в достатній кількості,

забезпечуючи умови для дихання гідробіонтів. Він також необхідний для

самоочищення водойм, тому бере участь в процесах окислення органічних і

інших домішок, розкладання відмерлих організмів. Зниження концентрації

РК свідчить про зміну біологічних процесів у водоймі, про забруднення

водойми біохімічно інтенсивно окислюється речовини (в першу чергу

органічними). Споживання кисню обумовлено також хімічними процесами

окислення що містяться у воді домішок, а також диханням водних організмів.

Розчинений у воді кисень знаходиться у вигляді гідратованих молекул

О2. На його вміст у воді впливають дві групи протилежно спрямованих

процесів: одні збільшують концентрацію кисню, інші зменшують її. До

першої групи процесів, що збагачують воду киснем, варто віднести

• процес абсорбції кисню з атмосфери;

• виділення кисню водяною рослинністю в процесі фотосинтезу;

• надходження у водойми з дощовими і сніговими водами, що звичайно

пересичені киснем.

Абсорбція кисню з атмосфери відбувається на поверхні водного

об'єкта. Швидкість цього процесу підвищується зі зниженням температури, із

підвищенням тиску і зниженням мінералізації. Аерація - збагачення

глибинних прошарків води киснем - відбувається в результаті перемішування

водяних мас, у тому числі вітрового, вертикальної температурної циркуляції і

т.д.

107

Фотосинтетичне виділення кисню відбувається при асиміляції діоксиду

вуглецю водяною рослинністю (прикріпленими, плаваючими рослинами і

фітопланктоном). Процес фотосинтезу протікає тим сильніше, чим вище

температура води, інтенсивність сонячного освітлення і більше біогенних

(живильних) речовин (P,N і ін.) у воді. Продукування кисню відбувається в

поверхневому прошарку водойми, глибина якого залежить від прозорості

води (для кожної водойми і сезону може бути різноманітною - від декількох

сантиметрів - до декількох десятків метрів).

До групи процесів, що зменшують вміст кисню у воді, відносяться

реакції споживання його на окислювання органічних речовин: біологічне

(дихання організмів), біохімічне (дихання бактерій, витрата кисню при

розкладанні органічних речовин) і хімічне (окислювання Fe2+, Mn2+, NO2-,

NH4+, CH4 , H2S). Швидкість споживання кисню збільшується з

підвищенням температури, кількості бактерій і інших водяних організмів і

речовин, що піддаються хімічному і біохімічному окислюванню. Крім того,

зменшення вмісту кисню у воді може відбуватися внаслідок виділення його в

атмосферу з поверхневих прошарків і тільки в тому випадку, якщо вода при

даній температурі і тиску виявиться пересиченою киснем.

Вміст РК також залежить від температури, атмосферного тиску,

ступеня турбулізації води, кількості опадів, мінералізації води ін. При

кожному значенні температури існує рівноважна концентрація кисню, яку

можна визначити за спеціальними довідковими таблицями, складеними для

нормального атмосферного тиску. Ступінь насичення води киснем,

відповідна рівноважної концентрації, приймається рівною 100%. Розчинність

кисню зростає із зменшенням температури і мінералізації і із збільшенням

атмосферного тиску.

У поверхневих водах вміст розчиненого кисню може коливатися від 0

до 14 мг/л і піддається значним сезонним і добовим коливанням. У

евтрофікованих і сильно забруднених органічними сполуками водних

108

об'єктах може мати місце значний дефіцит кисню. Зменшення концентрації

РК до 2 мг/л викликає масову загибель риб та інших гідробіонтів.

У воді водойм в будь-який період року до 12 години дня концентрація

РК повинна бути не менше 4 мг/л. ГДК розчиненого у воді кисню для

рибогосподарських водойм встановлена 6 мг/л (для цінних порід риби) або 4

мг / л (для решти порід).

Розчинений кисень є дуже нестійким компонентом хімічного складу

вод. При його визначенні особливо ретельно слід проводити відбір проб:

необхідно уникати контакту води з повітрям до фіксації кисню (зв'язування

його в нерозчинний з'єднання).

Контроль вмісту кисню у воді - надзвичайно важлива проблема, у

вирішенні якої зацікавлені практично всі галузі народного господарства,

включаючи чорну та кольорову металургію, хімічну промисловість, сільське

господарство, медицину, біологію, рибну та харчову промисловість, служби

охорони навколишнього середовища. Зміст РК визначають як в

незабруднених природних водах, так і в стічних водах після очищення.

Процеси очищення стічних вод завжди супроводжуються контролем вмісту

кисню. Визначення РК є частиною аналізу при визначенні іншого

найважливішого показника якості води - біохімічного споживання кисню

(БСК).

Концентрація кисню визначає розмір окисно-відновного потенціалу і

значною мірою напрямок і швидкість процесів хімічного і біохімічного

окислювання органічних і неорганічних сполук. Кисневий режим робить

глибокий вплив на життя водойми. Мінімальний вміст розчиненого кисню,

що забезпечує нормальний розвиток риб, складає біля 5 мг O2/дм3. Зниження

його до 2 мг/дм3 викликає масову загибель (замор) риби. Негативно

позначається на стані водного населення і пересичення води киснем у

результаті процесів фотосинтезу при недостатньо інтенсивному

перемішуванні прошарків води.

109

Прогноз стану поверхневих вод базується на математичному

моделюванні процесів формування якості води з обліком існуючих і

планованих зовнішніх впливів на водний об'єкт. Моделі якості води можуть

бути різної складності. Чим складніші моделюємі процеси, тим більша

кількість параметрів включається у модель. У цілому стан водного

середовища S можна описати залежністю типу:

S = f (P, L, S0, G, B, M),

де Р — гідрологічні фактори; L — аллохтонні й автохтонні

надходження речовин; S0 — початковий стан водного середовища; G —

геометрія водного об'єкта;

B — біохімічні і хімічні реакції, що відбуваються у водному об'єкті; М

— кліматичні і гідрометеорологічні умови.

Для оперативного прогнозу звичайно використовують динамічні

моделі, що дозволяють враховувати мінливість стану водного об'єкта в часі.

При середньостроковому і довгостроковому прогнозуванні

використовуються статистичні й аналітичні моделі. Статистичні моделі

засновані на аналізі і статистичній обробці експериментальних даних,

отриманих безпосередньо на досліджуваному водному об'єкті. Аналітичні

моделі дозволяють виконати прогноз якості води, використовуючи

теоретичні уявлення про природу й основні закономірності моделюючих

процесів. Цей клас моделей відрізняється більшою, у порівнянні зі

статистичними моделями, універсальністю й одержав широке поширення в

прогнозних розрахунках.

За рівнем складності моделі якості води поділяють на 4 основні групи:

• балансові моделі, в основі яких лежить баланс між надходженням,

обсягом і зміною в результаті внутріводоймових процесів маси

речовини у водному об'єкті;

110

• однокомпонентні моделі, що описують трансформацію окремих

речовин у водному середовищі;

• двохкомпонентні моделі, що описують взаємозалежну трансформацію

БВК і розчиненого кисню в природних поверхневих водах;

• багатокомпонентні моделі, що описують взаємозалежну

трансформацію речовин у водній масі.

Балансові моделі використовують при прогнозуванні якості води у

водоймах. В основі цього класу моделей лежить оцінка водного балансу і

балансу речовин у водоймі. Прибуткова частина балансу визначається

надходженням водних мас і речовин з водозбору, видаткова — стоками з

водойми, випаром, обміном з донними відкладеннями. Внутріводоймові

процеси описуються, як правило, у термінах "чорної шухляди" (як різниця

між прибутковою і видатковою частиною) чи приблизно оцінюються на

основі балансу мас. Балансові оцінки базуються на систематичних вимірах на

водозбірній території й у самій водоймі.

При довгостроковому прогнозуванні якості води у водоймах

використовують балансові моделі, що дозволяють розрахувати значення

середніх концентрацій речовин у залежності від величини антропогенного

навантаження на водойму. У рамках цих моделей середня концентрація

речовини у водоймі, що склалася під впливом постійного антропогенного

навантаження, визначається за наступними розрахунковими залежностями:

для речовин у непротічних водоймах:

Сср = Qст*Сст Т / W

для проточних водойм:

Сср=Спр – (Спр – С0) exp(- (Qвит / W + k) Тум,

111

де Qст - сумарна витрата стічних вод, що надходять у водойму, м3/год;

Сст — середньозважена концентрація речовини в стічних водах, г/м3; W —

обсяг водойми, м3; Т — тривалість прогнозу, рік; к — величина коефіцієнта

неконсервативності речовини, 1/рік; С0 — первісна концентрація речовини,

г/м3; Qвит — витрата води, що випливає з водойми, м

3/ год; Тум - умовний

час водообміну, рік.

Однокомпонентні моделі якості води використовуються в прогнозних

розрахунках вмісту неконсервативних речовин у водоймах і водотоках. З

їхньою допомогою описуються процеси біохімічної трансформації речовин.

Залежність швидкості біохімічної трансформації речовин від

гідродинамічних характеристик потоку і зовнішніх умов враховується за

допомогою коефіцієнта неконсервативності.

Двухкомпонентні моделі якості води одержали широке поширення при

прогнозних розрахунках вмісту органічних речовин, оцінюваного величиною

БВК, і розчиненого кисню у воді водойм і водотоків. Вміст кисню в

поверхневих водах визначається співвідношенням його надходження,

головним чином, у процесі атмосферної реаерації і споживанням його в

основному на процеси біохімічного окислювання органічних речовин.

Атмосферна реаерація являє собою процес надходження кисню з

атмосфери у воду через вільну поверхню потоку. Надходження кисню у

водний об'єкт обмежується його розчинністю у воді. Кількісною

характеристикою розчинності кисню є величина концентрації насичення,

тобто концентрації розчиненого кисню у воді, при якій кисень знаходиться в

стані рівноваги. Величина концентрації насичення залежить від температури

води і визначається за таблицями чи розраховується по емпіричній формулі:

Сs = 14,62 - 0,4042* Т + 0,00842Т2 – 0,00009Т3,

де Т — температура води, °С.

112

Швидкість переносу кисню через вільну границю потоку

характеризується коефіцієнтом реаерації. Величина цього коефіцієнта

залежить від температури і солоності води, турбулентності потоку,

характеристик газообміну між водою й атмосферою. Експериментально

встановлено, що процес реаерації обумовлюється явищем молекулярної

дифузії на границі середовищ "вода-повітря". Існує ряд емпіричних формул

для визначення величини коефіцієнта реаерації. Найбільше поширення

одержала формула О'Коннора-Доббінса, отримана для турбулентного потоку

при температурі води 20° С:

K2 = 3,68√v / h3

де k2 — коефіцієнт реаерації, 1/доба; V — швидкість течії, м/с; Н —

глибина потоку, м.

Звичайно величина коефіцієнта реаерації лежить у діапазоні від 0,1 до

2,0 1/доба.

Прогноз величини БСК і вмісту розчиненого кисню в поверхневих

водах, як правило, виробляється на основі математичної моделі Стриттера-

Фелпса. Ця модель справедлива при наступних обмеженнях:

• витрата і гідравлічні характеристики потоку постійні;

• у водоймі дотримується режим повного перемішування.

113

15 Геостатистичний аналіз даних в

екології і природокористуванні

15.1 Основні поняття геостатистики

Багато природних феноменів, що розглядаються в екології і

природокористуванні, мають сильно вираженийпросторовий аспект. Для

вивчення таких явищнедостатньо звичайних статистичнихпроцедур,

необхіднозастосування спеціальних методів, основу яких

становитьгеостатистика. Метою геостатичного аналізу тамоделювання (або

просто геостатистики) є чисельнийопис природних явищ, розподілених у

просторіабо в часі і просторі.

Прикладами подібних просторово розподілених змінних можуть

служити: концентрації забруднюючих речовин в різних середовищах

(повітрі, воді, грунті та ін); властивості геологічних пластів (пористість,

проникність і пр.); зміст руд в мінеральних відкладеннях; властивості

грунтового покриву; різні характеристики рослинного покриву; кількість

опадів, температура повітря та ін.

Спостереження, оцінка, моделювання цих явищ проводиться для

заданої території. Як правило, для такихзмінних характерна виняткова

складність деталей, а всилу різних причин, найчастіше економічних, вони

виміряні на досліджуваній території недостатньо «густо» (вобмеженому

числі точок), що призводить до значноїпросторовоїневизначеності. Все це

робитьнеможливим їх опис простими моделями або

згладжуваннястандартними математичними функціями.

В рамках геостатичного підходу будується імовірнісна модель

досліджуваного явища. Оцінка і моделювання виконуються з використанням

властивостей цієї моделі, а одержувані оцінкою або моделюванням

114

величиниє деяким відображенням дійсності. При цьому надзвичайно

важливо розрізняти, що є реальність і що відноситься до ймовірнісної моделі.

На рис.1 представлена загальна схема вивчення явища

врамкахгеостатичного підходу.

Рис. 15.1

Геостатичний аналіз дозволяє враховувати при моделюванні явищ

просторові закони їх розподілу, наявність природних бар'єрів, основні

напрямки матеріальних, енергетичних, інформаційних потоків і т.п.

Випадкові величини, просторові змінні, випадкові функції

Випадкова величина Z є змінна, яка приймає свої значення (що

утворюють безліч елементарних подій) випадково, відповідно до деякого

імовірнісного механізму. Наприклад, результат кидання кубика можна

розглядати як випадкову величину, приймаючу одне з шести рівноймовірних

значень.

115

Просторова змінна - це змінна, розподілена в просторі. Тобто, це деяка

числова функція z (x), де x - точка в просторі (на площині), задається своїми

координатами. Просторова змінна використовується для представлення

поведінки досліджуваного феномена в заданій області дослідження.

Наприклад, вміст важких металів у верхньому шарі ґрунту може бути

розглянуто як просторова змінна в двовимірному просторі.

Як правило, природний феномен, що розглядається в просторі, поєднує

в собі дві складові: регулярну і випадкову. Регулярна складова зумовлена

певним загальним законом розподілу цього феномена. Наприклад, на

досліджуваній території існують зони, які мають, в середньому, більш

високий вміст важких металів у ґрунті, ніж решта території. Випадкова

складова зазвичай обумовлена локальною мінливістю природного явища.

Наприклад, на обмеженій ділянці території зміст важких металів виглядає

випадковим. Врахувати цю подвійність (одночасно випадковість і

регулярністьфеномена) дозволяє імовірнісна формалізація, забезпечувана

апаратом випадкових функцій.

Випадкова функція Z (x)– безліч випадкових величин

{Z(x)|хналежитьгалузі дослідження}.

В рамках геостатичного підходу будується наступна імовірнісна

модель:

Досліджуване просторово-розподілене явище розглядається як

випадкова функція Z (x), тобто нескінченна безліч випадкових величин,

представляють феномен в кожній точці простору. А та єдина (унікальна)

реальність, яка має місце на досліджуваній території і якій відповідає

просторова змінна z (x) (множина значень феномена, розподілена в просторі),

розглядається як одна з можливих реалізацій випадкової функції Z (x).

При цьому випадкова і регулярна складові досліджуваного явища

виражаються таким чином:

116

З одного боку, в кожній точці x (локально) значення z (x)

розгляддається як реалізація випадкової величини Z (x), тобто воно

випадково.

З іншого боку,значення z (x) залежить від положенняточки x в

просторі.Ця залежність проявляється наступним чином: для будь-якої пари

точок x і x + h відповідні випадкові величини Z (x) і Z (x+ h) пов'язані

кореляцією. Такапросторова кореляційна залежність відображаєпросторову

структуру явища, його статистичнурегулярність.

Моменти, які використовуються в лінійній геостатистиці

Розглянемо випадкову функцію Z (x). Будь-якій безлічі kточок

простору x1, x2, ... , Xk відповідає безліч kвипадкових величин

{Z (x1), Z (x2), ... , Z (xk)},

які повністю характеризуються k-мірної функцією розподілу

Fx1, x2, ..., xk (z1, z2, ..., zk)= Prob {Z (x1) <z1, ... , Z (xk) <zk}.

Безліч всіх таких функцій розподілу для будь-якого позитивного цілого

k і для будь-якої комбінації точок xiутворює закон розподілу випадкової

функції Z (x).

Зауважимо, що для вирішення більшості завдань оцінки / прогнозу не

вимагається точне знання закону розподілу. Більше того, обсяг даних

зазвичай недостатній, щоб зробити надійні висновки про вид закону

розподілу. Тому на практиці обмежуються застосуванням лінійної

геостатистики, що використовує тільки перші два моменти випадкової

функції. В її рамках не може бути виявлено відмінність між двома

випадковими функціями, які мають однакові перший і другий моменти.

Перший момент - математичне сподівання

Розглянемо випадкову величину Z (x) в точці x. Якщо для величини

Z(x) існує математичне сподівання, то воно є функцією від x

E {Z (x)} = m (x).

Моменти другого порядку

117

Наведемо три моменти другого порядку, що розглядаються в

геостатистиці:

1. Дисперсія

Var{Z (x)} =E{[Z (x)-m (x)] 2}= =E{Z

2(x)}-2E {Z (x)} m(x) + m

2(x) =

=E{Z2(x)}-m

2(x).

Таксамоякіматематичне очікування, дисперсіяєфункцієювідx.

2.Коваріація. Якщодві випадкові величиниZ(x1)іZ(x2)маютьдисперсії,

тодлянихіснуєковаріація, якає функцією відx1іx2:

C(x1, x2) =E{[Z (x1)-m (x1)] [Z (x2)-m (x2)]} = =E{Z (x1) Z(x2)}-E {Z (x1)}

m(x2)-E {Z (x2)} m(x1) + m(x1) m(x2) = =E{Z (x1) Z(x2)}-m (x1) m(x2).

3. Варіограмма (абополуваріограмма)

визначаєтьсяякполовинадисперсіїприрощення

[Z (x1)-Z (x2)]: γ(x1, x2) =1/2Var{Z (x1)-Z (x2)}, 2γ(x1, x2) =E{[Z (x1)-Z

(x2)] 2}-[E {Z (x1)-Z (x2)}]

2, γ(x1, x2) =1/2E{[Z (x1)-Z (x2)]

2}приE{Z (x1)-Z

(x2)} = 0.

Ергодичність

При імовірнісному підході ми маємо справу з очікуваними величинами,

якіє не що інше, як узагальнення всіх можливих реалізацій випадкового

процесу. Ергодичність випадкової функції означає, що середнє по всім

можливим реалізаціям дорівнює середньому окремої безмежної впросторі

реалізації. Виконання цієї властивості дозволяє оцінювати моменти

випадкової функції по просторовій змінній.

15.2 Гіпотеза стаціонарності

Для того щоб статистично оцінити закон розподілу або перші два

моменти випадкової функції Z (x), де x - точка в просторі, потрібна безліч

реалізацій z1 (x), ... , Zk (x)випадкової функції Z (x). Однак, на відміну від

кидання кубика, для природного феномена неможливо отримати нові

118

реалізації. Дійсність унікальна і параметри моделі повинні бути визначені на

основі єдиної унікальної реалізації.

Якщо в межах певного регіону досліджуваний феномен просторово

однорідний, то можна вважати, що явище повторює саме себе в просторі. Це

повторення еквівалентно множинної реалізації однієї і тієї ж випадкової

функції Z (x) (що схематично показано на рис.2). І, таким чином, дві

спостерігаються в різних точках величини z (x0)і z (x0 + h) можуть бути

розглянуті як дві різні реалізації однієї випадкової функції Z (x), що

дозволить (за умови, що випадкова функція передбачається ще й

ергодичною) отримувати достовірні статистичні висновки на основі

спостережуваних значень просторової змінної.

Різним ступеням просторової однорідності досліджуваного феномена

відповідають різні гіпотези стаціонарності випадкової функції.Тип

стаціонарності говорить про те, які статистичні висновки допустимі в рамках

даної ймовірнісної моделі.

Рис 15.2 – Множина реалізацій випадкової функції і гіпотеза

стаціонарності

119

Сувора стаціонарність

Випадкова функція стаціонарна в суворому сенсі, якщо їїзакон

розподілу інваріантний щодо зсуву, тобто

{Z (x1), Z (x2), ... , Z (xk)} і {Z (x1 + h), Z (x2 + h), ... , Z (xk + h)}

мають однаковий k-мірний закон розподілу при будь-якому h.

На практиці це дуже сильне припущення рідковиконується, воно

зазвичайзамінюється гіпотезою про стаціонарностідругого порядку або

гіпотезою про стаціонарності збільшень.

Стаціонарність другого порядку

Так як лінійна геостатистика розглядає тількиперші двамоменти закону

розподілу, достатньоприпустити, що ці моменти існують і

обмежитиподальші припущення ними.

Випадкова функція Z (x) має стаціонарністю другупорядку, якщо:

- Математичне очікування існує і не залежить від x:

E {Z (x)} = m, x,

- Для кожної пари випадкових величин {Z (x), Z (x + h)}

коваріаціяіснує і залежить тільки від h:

C (h) = E {Z (x + h) Z (x)} - m2, x.

Стаціонарність коваріації припускає стаціонарністьдисперсії:

Var {Z (x)} = E {[Z (x)-m] 2} = C (0), x,

і стаціонарність варіограмми:

2C (h) = 2E {Z (x + h) Z (x)}-2m2 = [E {Z2 (x + h)}-m

2] + [E {Z

2 (x)}-m

2]

-- [E {Z2 (x + h)}-2E {Z (x + h) Z (x)} + E {Z2 (x)}] = 2C (0) -2 (h), (h) = C

(0) - C (h).

Це співвідношення показує, що, за умовисправедливості гіпотези

простаціонарності другого порядку,коваріація і варіограмма є два рівноцінні

поняття дляхарактеристики зв'язку між випадковими величинами Z (x) та

Z (x + h), розділеними вектором h.

Стаціонарність приросту

120

Багато природних феноменів мають нескінченний діапазонзначень

(броунівський рух). Для такого явища неіснує дисперсія або коваріація.

Однак для йогозбільшень існуєдисперсія, а значить, існує іможе бути

визначена варіограмма для самого явища. Якнаслідок, гіпотеза

стаціонарності другого порядку може бутиослаблена, якщо припустити

тільки існування тастаціонарність варіограмми.

Випадкова функція Z (x) має стаціонарністю збільшень, якщо:

- Математичне очікування існує і не залежить від x:

E {Z (x)} = m, x,

- Для будь-якого hприростуZ (x + h) - Z (x) має кінцеву дисперсію, не

залежну від x:

Var {Z (x + h)-Z (x)} = E {[Z (x + h)-Z (x)] 2} = 2 (h), x.

Стаціонарність другого порядку тягне за собою стаціонарність

приростів, зворотне невірно.

Стаціонарність приростів можна також інтерпретувати як

стаціонарність другого порядку для приросту випадкової функції.

Якщо прийнята гіпотеза про стаціонарність приростів без гіпотези про

стаціонарність другого порядку, то для характеристики зв'язку між

випадковими величинами Z (x) та Z (x + h) може бути використана тільки

варіограмма.

15.3 Багатовимірні гауссові випадкові функції

Багатовимірна гауссова модель зручна в силу своєї аналітичної

простоти. Крім того, згідно центральній граничній теоремі, це розподіл є

граничним випадком багатьох аналітичних розподілів.

Якщо просторовий феномен отриманий підсумовуванням декількох

незалежних джерел, що мають схожий розподіл, то просторовий розподіл

121

феномена може бути змодельовано за допомогою багатовимірної гауссової

випадкової функції:

Z x = Yk(x)Kk=1 ,

де Z (x)– випадкова функція, що представляє феномен; Yk (x) –

незалежні випадкові функції, що мають схожі закони розподілу.

Природні процеси, які генерують спостережуваний феномен, рідко

незалежні один від одного, і спосіб їх взаємодії рідко адитивний. Однак

багатовимірні гауссові моделі були вдало застосовані в ряді досліджень. Цей

практичний успіх у поєднанні із зручністю аналітичних властивостей

гауссових моделей робить їх найбільш привабливими при моделюванні

безперервних змінних (якщо тільки в силу якихось апріорних знань або

попередніх статистичних досліджень не стає відомо, що таку модель

використовувати не можна).

Багатовимірна гауссова модель визначається наступними двома

гіпотезами:

1) Можливо перетворення вихідної змінної в новузмінну, що має

одномірнийстандартний нормальний розподіл:

Z (x) {Y (x)} або Y (x) 1

{Z (x)},

де Z (x)– вихідна випадкова величина; Y (x)– випадкова величина, що

має стандартний нормальний розподіл; – строго зростаюча функція

перетворення. Функція перетворення, відомого як Normal Score

перетворення, завжди існує. Вона, звичайно, визначається графічно з

допомогою взаємно однозначної відповідності між функцією розподілу

випадкової величини Z (x) і стандартною нормальною функцією розподілу.

2) Багатовимірний розподіл випадкової функції Y (x) гауссово і строго

стаціонарно.

Як наслідок, випадкова функція Y (x) повністю визначається двома

параметрами:

її середнім m (x):

122

E {Y (x)} = m (x) = 0, x,

її коваріаційною функцією C (h):

E {Y (x) Y (x + h)} = C (h), x,

Зауважимо, що для гауссового розподілу гіпотезасувороїстаціонарності

еквівалентна гіпотезі стаціонарностідругого порядку. Властивість, яка робить

гауссову випадкову функціютакою корисною моделлю длягеостатичної

оцінкитамоделювання, полягає в тому, що всі умовнірозподіли випадкової

функції Y (x) також багатомірнонормальні. Для просторових даних це

означає, щолокальне умовне розподіл випадкової величини вдеякій точці

простору (тобто функція розподілу вдеякій точці при заданій множині

значень у їїоколиці) може бути описано за допомогою лише двохпараметрів:

її середнього (тобто умовного маточікування) і їїдисперсії (умовної

дисперсії).

15.4 Методи геостатичного моделювання

Основне завдання геостатистики – реконструювати досліджуване

явище в області дослідження на базі його значень, виміряних в обмеженому

числі точок. З математичної точки зору ця задача може розглядатися як

завдання інтерполяції. При класичному підході невідома функція

апроксимується параметричною функцією, чия форма задається заздалегідь

або явно (поліном) або неявно (умова мінімальної кривизни). Параметри

вибираються так, щоб оптимізувати деякий критерій найкращого наближення

значень в точках, який може бути статистичним (найменші квадрати) або

детермінованим (точний збіг в точках вимірювання).

Геостатистика розвиває інший підхід, відомий як крігінг (термін

введений Матероном в 1963 р. на ім'я DGKrige). Крігінг будує швидше

статистичну модель реальності, ніж модель інтерполяційної функції.

Формальна аналогія тут може бути проведена з вирішенням завдань

123

передбачення в аналізі часових рядів: по відомим значенням в минулому

(зазвичай отриманим через регулярні часові інтервали) вимагається

передбачити значення сигналу в деякий момент в майбутньому. Спочатку

сигнал аналізується, як правило, обчислюється і моделюється спектр, а потім

конструюється фільтр, тобто предиктор. Крігінг слід подібного підходу, але в

просторі, де немає понять минуле і майбутнє. До того ж на відміну від

тимчасових процесів у просторових явищах дані зазвичай виміряні

нерівномірно.

Теорія геостатичного оцінювання розвивалася в рамках статистичних

моделей другого порядку, що використовують лише перші два моменти

випадкової функції - середнє m (x) і ковариацію C (x, y) або варіограмму γ (x,

y), припускаючи їх відомими. Тому що стали класичними і реалізовані в

додатках методи крігінга вирішують задачу інтерполяції з застосуванням

лінійних оцінок. Це три основні форми крігінга, використовувані, відповідно,

при вказаних умовах:

- простий крігінг - математичне сподівання m (x) відомо;

- ординарнийкрігінг - математичне сподівання m (x) невідомо, але

постійне;

- універсальний крігінг - математичне сподівання m (x) невідомо і

непостійне.

Простий крігінг

Позначимо x1, x2, ..., xn точки вибірки обсягу n, в яких відомі значення

досліджуваного явища - z1 = z (x1), z2 = z (x2), ..., zn = z (xn). Оцінка значення

просторової змінної в деякій точці x0, де вона не виміряна, при відомому

маточікуванні є:

z(x0) ∗ = z0∗ = m x0 + λi

ni=1 zi − m(xi) ,

де n ваги і даються системою простого крігінга:

λiC(x0, xi)ni=1 , j=1,…,n

124

У разі гауссової випадкової функції ця оцінка збігається з умовним

маточікуванням:

z(x0) SK∗

= E Z(x0) z1 ,… , zn ,

що є ідеальною оцінкоюz (x0) в сенсі найменшихквадратів.

Система простого крігінга має єдине рішенняза умови, що функція

коваріаціїC (x, y) позитивно визначена і всі вибіркові точки різні; пошук

рішення – стандартна обчислювальна задача.

Дисперсія оцінки (або її квадратний корінь – стандартневідхилення)

дає міру помилки оцінки крігінга:

σSK2 = Var Z(x0) z1 ,… , zn = E Z0

∗ − Z x0 2 = C 0 − λiC(x0, xi)

n

i=1

Слід зазначити, що припущення, на яких заснованийметод

простогокрігінга, на практиці майже ніколи невиконуються. У реальності

середнє може бути відомо лишетоді, коли або маються повторні

спостереження досліджуваногоявища в разі просторово-часового процесу,

або

середнє постійно і число даних достатньо для його оцінки.

Крігінг з невідомим маточікуванням

У практичних ситуаціях середнє m (x) невідомо. У цьомувипадку може

бути застосований один з двох підходів. Перший підхід полягає в попередній

оцінці m (x) івідніманні цієї оцінки з даних (детрендування). Такапопередня

оцінка m (x) може бути отриманапобудовоюмоделі тренда m (x), тобто

регресійній моделі залежності z (x) від координат x (власний тренд) та / або

від однієї абодекількох інших просторових змінних, чия поведінкана

досліджуваній території відома (зовнішній тренд) (наприклад, в геології це

може бути опорна поверхня).

Різниці між даними та модельними значеннямиei zim (xi)називаються

залишками (residuals). Перехід до нихзводить задачу до випадку постійного

середнього. Передбачається,що модель тренду m (x)досить точна для того,

125

щобвважати маточікування залишків константою (принаймні воколицях

оцінюваного значення). Подальша оцінкавиконується методом ординарного

крігінга:

e(x0) OK∗ = e0

∗ = λieini=1 ,

який при пошуку параметрів i вирішує систему ординарного крігінга,

відмінну від системи простого крігінга тим, щов систему рівняньвключається

обмеження - сума ваги повинна бути рівна 1 (для отримання незміщеної

оцінкивідхилення від тренду). Оцінка самої просторової змінної виходить як:

z0∗ = m x0 + e0

∗ .

Таким чином, при цьому підході має місце комбінація двохпроцедур

оцінки - моделювання тренду і моделюваннязалишків.

Другий підхід: параметричне оцінювання m (x)включається в рівняння

крігінга, тобто має місце тільки одинкрок оцінки. Ця більш загальна модель,

званауніверсальнимкрігінгом, припускає, що середнє може бути записано

яксума:

m x = alflLl=0 x,

де fl (х) - відомі базисні функції, al– невідомікоефіцієнти. Зазвичай,

перша базисна функція (l = 0) -константа, а інші функції - поліноми

невисокогоступеня відкоординат x. Тоді:

z(x0) UK∗ = z0

∗ = alflLl=0 x0 + λi zi − alfl(xi)

Ll=0 n

i=1 ,

і для пошуку параметрівіі l a вирішується система універсального

крігінга (тут не наводиться).

Метод універсального крігінга не вимагає знання маточікування, а

локально оцінює його. Така оцінка, незважаючина свою універсальність,

часто може приводити дорізнихартефактів в місцях стикування локальних

моделей. Тому оптимальним вибором при побудові моделейпредставляється

ординарний крігінг з попередньою оцінкою тренда, особливо якщо такий

тренд (що часто має місце напрактиці) може бути оцінений з використанням

апріорноїінформації про модельовані об'єкти. Ще одним варіантомможе бути

126

застосування ко-крігінга, коли використовуютьсяфункції не тільки від

координат, як вище, але і від значень інших змінних в точках оцінки

(наприклад, вологість ґрунтуоцінюється з використанням позначок рельєфу).

Параметри крігінга

Отже, що б отримати z0∗, необхідно знайти значенняпараметріві,

вирішивши систему крігінга. Для цього повинні бутивідомі значення функції

коваріації C (xi, xj), що характеризує зв'язок між випадковими величинами Z

(xi) іZ (xj). Тут i, j = 0, ..., n, причому x1, x2, ..., xn– точкивибірки, аточка x0 -

будь-яка точка області дослідження. Тому насправі необхідно знати C (x, y),

де x і y - дві будь-які точки області дослідження.

І ось тут знадобляться властивості ергодичності і стаціонарності. Якщо

для досліджуваного явища виконуються гіпотези ергодичності і

стаціонарності, то на основі вибіркових даних можна оцінити коваріацію C

(h) для деяких h (повторюваних у вибірці). А потім, на основі отриманих

оцінок C*(h) може бути побудована модель C (h)для будь-якого h, тобто

модель залежності кореляції двох випадкових величин Z (x) і Z (x + h),

розділених вектором h, від величини і напрямку в просторі цього вектора. Ця

модель C (h)і підставляється в систему крігінга.

Таким чином, ключовим завданням при геостатичному моделюванні є

оцінка моментів другого порядку (коваріації або варіограмми), що

характеризують просторовий зв'язок. Ця оцінка C*(h) і побудова моделі

просторового зв'язку C (h)виконуються в процесі варіограмного аналізу

даних. Після чого одним з методів крігінга з використанням побудованої

моделі коваріації C (h) (або моделі варіограмми (h)) може бути отримана

шукана оцінка z0∗ самої досліджуваної змінної.

Зауважимо, що оцінка z0∗залежить від значень даних {zi} і коваріаційної

моделі C (h), а помилка оцінки 2 залежить тільки від просторової

конфігурації даних (тобто відвзаємного розташування точок {xi}) і

коваріаційної моделіC (h)і не залежить від значень самих даних {zi}.

127

Додатковим параметром крігінга є, так званий, радіус пошуку (Search),

який задає радіус кола з центром в точці x0, за межею якого при оцінці

значення z0 вибіркові точки ігноруються; в більш загальному випадку замість

кола використовується еліпс. Якщо радіус пошуку недостатній, то в моделі

з'являються різні «шумові»артефакти, що знижують якість моделі. Якщо ж

параметр обраний занадто великим, то, крім суттєвого збільшення часу

розрахунків, модель виходить необґрунтованою за рахунок впливу на

результат розрахунків занадто віддалених точок, які «змазують» локальні

деталі. Тому оптимальним вважається вибір значення цього параметра,

заснований на варіограммному аналізі і становить приблизно два

рангинайбільш генералізованої структури в моделі варіограмми. Якщо на

досліджуваній території мають місце підтверджені лінії істотних порушень

безперервності моделюється змінної, то така інформація при моделюванні

повинна бути врахована. При оцінці значення z (x) в точці x0 вибіркові точки,

що знаходяться «по іншу сторону»таких ліній, ігноруються. Лінії порушень

безперервності задаються шляхом зазначення координат вершин

представляють їх ламаних (векторне подання).

Оцінка якості моделі

Для оцінки якості побудованої моделі прийнято використовувати такий

статистичний метод, як «перехресна перевірка»(cross-validation). Суть методу

полягає в поділівихідних даних на «навчальну» частину (по якій будується

модель), і «перевірочну» (на якій оцінюється якість моделі шляхом

порівняння прогнозу з відомими даними).

Про якість моделі в точці x0 також можна судити і по величині

стандартної помилки крігінга в цій точці, яка, як зазначалося вище, залежить

тільки від просторової конфігурації даних і моделі просторової кореляційної

залежності.

Картографічна візуалізація моделі

Для підсумкового відображення результатів

геостатичногомоделювання досліджуваного просторово розподіленого явища

128

використовується побудова на їх основі різних карт. З цією метою зазвичай

застосовується растрова модель представлення просторових даних. Тобто в

якості точки x0послідовно розглядаються вузли (або центри осередків)

регулярної або нерегулярної сітки, яка повністю покриває територію

дослідження. Розміри осередку задаються істотно меншими характерного

розміру представляється просторового явища. Найбільш популярним є

використання регулярних прямокутних сіток, осередки яких в картографічній

проекції є квадратами або прямокутниками.

Оцінка значень просторової змінної в осередках растрової сітки,

проведена методами геостатичноїінтерполяції на основі крігінга, дає

растровий шар. Для його картографічного відображення (візуалізації) можна

скористатися, наприклад, методом ізоліній або методом попіксельного

зображення відповідно до заданої легенди,або імпортувати його в той чи

інший ГІС-пакет і використовувати стандартні засоби картографування ГІС.

Крім сіткової моделі самої досліджуваної змінної корисно побудувати і

розглянути відповідну їй сітку зі значеннями стандартної помилки крігінга в

кожному осередку, яка відображає ступінь довіри до отриманої моделі

абовеличину просторової невизначеності.

Умови, необхідні для застосуваннягеостатичних методів

З вищевикладеного випливає, що застосування геостатичних методів

для чисельного опису (оцінки,моделювання) явищ, розподілених у просторі,

передбачає виконання низки умов: випадкова функція Z (x)повинна бути

стаціонарною, ергодичною, а також мати багатовимірний нормальний

(гауссовий) закон розподілу.

Виконання умов ергодичності і стаціонарності дозволяє отримувати

статистичні оцінки з єдиною реалізації випадкової функції, тобто на основі

вибіркових значень просторової змінної. Мультинормальність дозволяє при

визначенні параметрів моделі обмежитися статистичною оцінкою тільки

середнього і коваріації.

129

Чи може досліджувана просторова змінна z (x) вважатися реалізацією

стаціонарної ергодичності гауссових випадковох функцій? Відповіді на це

питання повинні бути присвячені перші кроки будь-якого геостатичного

дослідження.

Відомо, що властивість ергодичності не може бути перевірено на

основі вибірки з однією єдиною унікальноюреалізаціюz (x), який є дійсність.

Тому в рамках обраної ймовірнісної моделі випадкова функція Z (x)

передбачається ергодичності. Не існує статистичної перевірки, яка могла б

спростувати в цілому гіпотезу про стаціонарності випадкової функції Z (x);

вважається, що завжди можна побудувати стаціонарну випадкову функцію,

що має реалізацію, відповідну наблюденним z (x). На практиці відсутність

стаціонарності зазвичай проявляється наявністю в даних просторового

тренда (дріфту), що вказує на нестаціонарність математичного очікування - E

[Z (x)] = m (x), або тим, що дані показують наявність в області дослідження

якихось, відмінних один від одного, зон. Просторова змінна z (x) може

вважатися реалізацією стаціонарної випадкової функції, якщо це

обґрунтовується просторової однорідністю даних, а також, слід з фізичного

змісту явища і апріорних знань про нього.

Гіпотеза про мультинормальність випадкової функції Z (x)припускає,

що кожна випадкова величина [Z (x), де х будь-яка точка області

дослідження] розподілена нормально. Вона також

припускає, що кожна пара випадкових величин [Z (u), Z (v), де u і v будь-які

точки] має двовимірний нормальний розподіл, кожна трійка випадкових

величин[Z (u), Z (v), Z (w), u, v і wбудь-які точки] має тривимірний

нормальний розподіл і так далі. Повністю така гіпотеза, так само як і гіпотеза

стаціонарності, не може бути перевірена. Однак багатовимірне

нормальний розподіл має ряд властивостей, які можуть

бути використані для проведення деяких перевірок:

1) Так як будь-яка лінійна комбінація мультинормальних функцій

також нормально розподілена, перевірка на бінормальність полягає в

130

перевірці того, що різниця [Y (x) - Y (x + h)]розподілена нормально з

середнім 0 і дисперсією 2 (h).

2) Для багатовимірної нормальної випадкової функції умовна дисперсія

не залежить від умовного середнього. Як наслідок, мультинормально

розподілені дані не повинніпоказувати таку залежність, тобто не повинні

показувати гетероскедастичності (ефект пропорційності).

Ці дві процедури цілком ефективні і прості в реалізації. Зауважимо, що

на практиці зазвичай перевіряється тільки двовимірна нормальність

випадкової функції Z (x). Перевірка трьох-, чотирьох-, k-мірної нормальності

вимагає безлічі k-мірних вибірок при однаковій просторової конфігурацій

даних. Це нездійсненно на практиці, якщо тільки дані не розташовані на

«густій» регулярній сітці. Тому зазвичай гіпотезу про багатовимірної

нормальності випадкової функції приймають при згоді емпіричного

розподілу вибіркових даних з одномірним нормальним розподілом, і якщо

при проведенні, принаймні, однієї з двох зазначених вище перевірок не

спростовується її бінормальність.

Протиріччя гіпотезі стаціонарності або гіпотезі мультинормальності

може також бути виявлено і на стадії варіограммного аналізу даних. Нижче

буде показано, яка поведінка оцінки коваріації C * (h) (або оцінки

варіограмми γ * (h)) суперечить цим гіпотезам.

Якщо якась із зазначених гіпотез в результаті перевірок була відкинута,

то для можливості проведення подальшого аналізу (в рамках лінійної

геостатистики) вихідна змінна може бути перетворена до деякої нової

змінної, що задовольняє потрібним умовам.

У бібліотеках середовища статистичного програмування R присутні

процедури, що реалізують усі необхідні методи попереднього аналізу і

обробки даних, варіограммного аналізу даних, а також геостатичного

оцінювання на основі крігінга. Крім цього, методи крігінга реалізовані в

цілому ряді програмних продуктів. Зокрема, це пакет просторового аналізу і

131

моделювання Surfer; в якому представлені і засоби картографічної

візуалізації результатів моделювання.

В даний час методи крігінга активно розвиваються, і в першу чергу в

напрямку розширення допустимих форм нестаціонарності, багатовимірного

оцінювання (кокрігінг), нелінійного оцінювання.

132

Список літератури

1. Безпека життєдіяльності. Підручник. – К., 2001.

2. Загальна гігієна з основами екології. Підручник. – К., 2003.

3. Злобін Ю.А. Основи екології.- К.: Лібра, 1998. – 249.

4. Корсак К.В., Плахотнік О.В. Основи екології, - К.: МАУП, 2000. – 238 с.

5. Скалкин Ф.В. Энергетика и окружающая среда. - Л.: Энергоиздат, 1981.

6. Берлянд М. Я. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. –

Ленинград: Гидрометеоиздат, 1985. – 270 с.

7. Згуровский М.З., Скопецкий В.В., Хрущ В.Х. и др. Численное

моделирование распространения загрязнения в окружающей среде. – К.,

1997.

8. Беляев Н.Н., Хрущ В.К. Численный расчет распространения

аэрозольных загрязнений. Учеб. пособие. – Днепропетровск: ДГУ, 1989.

9. Атмосферная турбулентность и моделирование распространения

примесей / Под ред. Ф.Т.М.Ньистадта и Х. Ван Допа. – Л.:

Гидрометеоиздат, 1985.

10. Берлянд М.Е. Прогноз и регулирование загрязнения атмосферы. – Л.:

Гидрометеоиздат. – 1985.

11. Самарский А.А. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач

конвекции – диффузии.-М.:Эдитория УРСС, 1999.-248 с.

12. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и

загрязнения атмосферы. Л: Гидрометеоиздат, 1975. – 448 с.

13. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей

среды – М.: Наука, 1982.

14. Арнольд В.И. Теория катастроф. – М. Наука, 1990. – 128 с.

15. Крапивин В.Ф., Сварежев Ю.М. Математическое моделирование

глобальных биосферных процессов. – М.: Наука. 1982. – 272 с.

133

16. Моисеев Н.Н. Динамика биосферы и глобальные модели. Число и мысль.

Вып. 5. – М.: Знание. С. 56-113.

17. Г. В. Равікович Є. І. ,«Прогнузу- вання соціально-економічних

процесів», Навч. Посіб.— К.: КНЕУ, 2005 р., — 378 с.

18. Геостатистичний аналіз даних в екології таприродокористуванні (із

застосуванням пакета R): Навчальний посібник / А.А. Савельєв, С.С.

Мухарамова, А.Г. Пилюгін, Н.А. Чижикова. - Казань: Казанський

університет, 2012. - 120 с.

19. Яворский Б. М., Селезнев Ю. А. Справочное реководство по физике для

поступающих в вузы и для самообразования. — 4-е изд., испр. — М.: Наука.

— Гл. ред. физ-мат. лит., 1989 — 576 с.

20. В. С. Білецький, Мала гірнича енциклопедія. В 3-х т. — Донецьк: Донбас,

2004.

21. Айвазян С.А., Бежаева З.І., Старовірів О.В. Класифікація багатовимірних

спостережень. - М.: Статистика, 1974. - 240 с.

22. Айвазян С.А., Енюков І.С., Мешалкин Л.Д. Прикладна статистика:

Дослідження залежностей: Довідник. - М.: Фінанси і статистика, 1985. - 182с.

23. Ван дер Варден Б.Л. Математична статистика. - М.: Изд-воіноз. лит.,

1960. - 302 с.

24. Гайдишев І.П. Аналіз та обробка даних: спеціальний довідник. - СПб.:

Питер, 2001. - 752 с.

25. http://ua-referat.com/Регресійний_аналіз

26. Тарасенко П. Ф. Модели и моделирование/ Тарасенко П. Ф. – Томск,

1997. – 161с.

27. Иваненко Н.В. Экологическая токсикология/ Иваненко Н. В. Учебное

пособие. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2006. – 90 с.

28. Бреховских В.Ф. Гидрофизические факторы формирования кислородного

режима водоемов. – М.: Наука, 1988.– 167 с.

134

29. Воронков П.П. Гидрохимические основания выделения местного стока и

способы расчленения его гідрографа // Метеорология и гидрология. - 1963. –

№8. - С.21-28.

30. Воронков П.П. Формирование химического состава атмосферных вод и

влияние его на почвенные растворы и склоновые воды // Труды ГГИ. –

Вып.10. – 1963. – С.21-28

31. Дубняк С.С., Цапліна К.М., Кузько О.О. Вплив попусків ГЕС на кисневий

режим мілководь річкових ділянок водосховищ // Наук. записки. – Серія:

біологія. – 2001. – № 4 (15). Спец. вип.: Гідроекологія. – С. 211-212.

32. Забокрицька М.Р., Осадчий В.І. Характеристика антропогенного

навантаження в басейні р. Західний Буг // Гідрологія, гідрохімія і гідро

екологія. – 2003. – Т. 5. – С. 218-225.

33. Зенин А.А., Белоусова Н.В. Гидрохимический словарь. – Л.:

Гидрометеоиздат, 1988. – 239 с.

34. Каплин В.Т. Превращение органических соединений в водоемах //

Гидрохимич