Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός...
Transcript of Αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µετασχηµατισµός...
3Αδρανειακά συστήmicroατα αναφοράς microετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
Περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς δύναmicroη Coriolis
31 Αδρανειακά και επιταχυνόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Οι δύο πρώτοι νόmicroοι του Νεύτωνα ισχύουν microόνο όταν τα ϕαινόmicroενα παρατηρούνται microέσα σε microη επιταχυνόmicroενασυστήmicroατα αναφοράς Τότε ένα σώmicroα microένει ακίνητο εάν δεν ασκείται καmicroία δύναmicroη Αν ϑέλετε να microείνετεακίνητοι microέσα σε ένα επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς πχ σε microια ϱόδα του λούνα-πάρκ ή σrsquo ένα λεωφορείοτότε πρέπει να υποστείτε microια δύναmicroη από την πλάτη του καθίσmicroατος στο λεωφορείο για παράδειγmicroα
Ο ϑεmicroελιώδης νόmicroος της κλασικής microηχανικής είναι
F = ma ή F = mdv
dtή F = m
d2r
dt2
Ως προς ποιο σύστηmicroα αναφοράς microετράmicroε τα microεγέθη av r
1 Εάν το σύστηmicroα αναφοράς είναι microη επιταχυνόmicroενο τότε αυτή είναι η σχέση ορισmicroού της δύναmicroης F(πραγmicroατικές δυνάmicroεις)
2 Αντίστροφα εάν γνωρίζουmicroε την πραγmicroατική (αληθινή) δύναmicroη F και σε κάποιο σύστηmicroα αναφοράςισχύει microε ακρίβεια ότι F = ma τότε αυτό είναι ένα αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς
Η Γη είναι ένα αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς Εξαρτάται από το ϐαθmicroό προσέγγισης και ακρίβειας τουπειράmicroατος Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24 ώρες άρα όλα τα σηmicroεία της Γης έχουνmicroια γωνιακή ταχύτητα ΄Οταν microετράmicroε λοιπόν την επιτάχυνση της ϐαρύτητας δεν ϐρίσκουmicroε σε όλους τουςτόπους την ίδια τιmicroή Αυτό είναι το ϕαίνοmicroενο ϐάρος και microεταβάλλεται από τον Ισηmicroερινό ως τους πόλους κατά0 034 ms2 ενώ η συνολική microεταβολή είναι 0 052 ms2 και το υπόλοιπο οφείλεται στο ελλειπτικό σχήmicroα τηςΓης
Βόρειος Πόλος gπ = 9 8324 ms2
Ισηmicroερινός gΙ = 9 7810 ms2
bull Μέτρηση του g στον Ισηmicroερινό
54 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
R
ω
FελB
Σχήmicroα 31
΄Ενας απλός τρόπος microέτρησης του g είναι ο ε-ξής ΄Ενα σώmicroα ϐρίσκεται σε ισορροπία κρεmicroα-σmicroένο από ένα ελατήριο Για τον παρατηρητήστο κέντρο της Γης έχουmicroε
B + Fελ = mak
minusmg + k∆x = minusmω2R
rArr k∆x = m(g minus ω2R
)Η δύναmicroη του ελατηρίου Fελ = k∆x είναι αυτόπου εmicroείς ονοmicroάζουmicroε Βάρος (ϕαινόmicroενο ϐά-ϱος) άρα microας δίνει τη microετρούmicroενη σε αυτό τοντόπο επιτάχυνση της ϐαρύτητας
g =GM
R2rArr gΙσηmicroερινού = g minus ω2R
bull Μέτρηση του g στον πόλο
gπολ = g
Ποιο σύστηmicroα αναφοράς είναι πρακτικά αδρανειακό rArr Το σύστηmicroα των Απλανών Αστέρων (χωρίς απόδειξη) Αστέρια microε επιτάχυνση πειραmicroατικά microηδέν επιτάχυνσηlt 10minus6 msec2
Η κεντροmicroόλος επιτάχυνση ενός σηmicroείου της Γης ως προς το κέντρο της είναι
aκ Γ 0 034 ms2
ενώ η κεντροmicroόλος επιτάχυνση της Γης ως προς τον ΄Ηλιο είναι 4 4times 10minus3ms2
Το ϕαινόmicroενο Doppler δίνει την ταχύτητα του ΄Ηλιου ως προς το κέντρου του Γαλαξία microας
v 3times 105 ms(R 3times 1020 m
)τελικά η επιτάχυνση του ΄Ηλιου ως προς το κέντρου του Γαλαξία microας (microη ανιχνεύσιmicroη και αmicroελητέα) είναι
aκ Η 3times 10minus10 ms2
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση
Μπορούmicroε λοιπόν να ϐρούmicroε ένα αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς microέσα στο οποίο ισχύει F = ma microε microεγάληακρίβεια Οι δυνάmicroεις (ϐαρυτικές ηλεκτρικές) που έχουmicroε επικαλεστεί για να εξηγήσουmicroε την κίνηση τωνάστρων και των ηλεκτρονίων microείωνονται συνεχώς (και ανάλογα microε το τετράγωνο της απόστασης) όσο το σώmicroααποmicroακρύνεται από τα γειτονικά του σώmicroατα Εάν διαλέξουmicroε ένα microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ϕαίνον-ται να αναπτύσσονται δυνάmicroεις που δεν έχουν αυτην την ιδιότητα Εmicroφανίζονται λοιπόν υποθετικές δυνάmicroειςπου υπάρχουν microόνο και microόνο επειδή το σύστηmicroα αναφοράς είναι επιταχυνόmicroενο
bull Αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράςF = maI
όπου aI η επιτάχυνση που microετρά ένας παρατηρητής σε αδρανειακό (inertial) σύστηmicroα αναφοράς
bull Επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς microε επιτάχυνση a0
Το σώmicroα που κινείται έχει επιτάχυνση a ως προς το δεύτερο σύστηmicroα εποmicroένως
aI = a+ a0
rArr F = m (a+ a0)
rArr ma = F minusma0
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 55
Εποmicroένως έχουmicroε την εmicroφάνιση υποθετικής δύναmicroης (δύναmicroη αδράνειας)
F0 = minusma0
και εάν a = 0 τότεF + F0 = 0
το οποίο δηλώνει ισορροπία microέσα στο επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Παράδειγmicroα
Εκκρεmicroές κρέmicroεται κατακόρυφα σε όχηmicroα που ηρεmicroεί ΄Οταν το όχηmicroα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο microεεπιτάχυνση a0 = 1 ms2 microε ποια γωνία ως προς την κατακόρυφο κρέmicroεται το εκκρεmicroές Πόση είναι ηυποθετική δύναmicroη αδράνειας Επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 9 81msec2
Λύση
T θ
B
a0
x
Σχήmicroα 32
Για τον laquoακίνητοraquo παρατηρητή έχουmicroε
T +B = ma0
Επίσης από κατακόρυφη ισορροπία έχουmicroε
T cos θ = B = mg
και από οριζόντια κίνηση
T sin θ = ma0
rArr tan θ =a0
g
Για τον κινούmicroενο microε επιτάχυνση a0 παρατηρητή
T +B + F0 = 0 F0 = minusma0x
Τι είναι η F0 Πού οφείλεται Πουθενά
Παράδειγmicroα - Πειράmicroατα microέσα σε ανελκυστήρα
x
y
z
F
B1
2
a0
Σχήmicroα 33
Ως προς τον παρατηρητή 1 έχουmicroε
F +B = ma1F = k∆lz
B = minusmgza0 = a0z
Το σώmicroα ϐρίσκεται ακίνητο microέσα στον ανελκυστήρα
k∆l minusmg = ma0
rArr k∆l = m(a0 + g)
Εάν a0 = minusg τότε έχουmicroε ∆l = 0 δηλαδή έχουmicroεελεύθερη πτώση
Ως προς τον παρατηρητή 2 έχουmicroε
F +B + F0 = 0
rArr F +Bϕαινόmicroενο = 0
F0 = minusma0 Bϕαινόmicroενο = B + F0
Παράδειγmicroα - Σύστηmicroα που περιστρέφεται (microε ω σταθερό)
΄Ενα ϐιβλίο ϐρίσκεται επάνω σε ένα τραπέζι Θέλουmicroε το ϐιβλίο να παραmicroένει ακίνητο ως προς το τραπέζιόταν αυτό περιστρέφεται microε ω = 20 στροφέςλεπτό Το ϐιβλίο απέχει απόσταση R = 1 5 m από τον άξοναπεριστροφής ο οποίος είναι κατακόρυφος
(α) Βρείτε τον συντελεστή τριβής(ϐ) Σχεδιάστε τη δύναmicroη τριβής και τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη ως συνάρτηση της απόστασης r
56 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Λύση
ω
T
N
B
Σχήmicroα 34
΄Εχουmicroε
N +B = 0
T = mak
T = minusT rTmax = microN = microB
micromg = mω2R
rArr microg = ω2R
Για να παραmicroείνει ακίνητο το σώmicroα επάνω στον περιστρεφόmicroενο δίσκο χρειάζεται microια δύναmicroη Το σώmicroα έχειτην τάση να κινηθεί εφαπτοmicroενικώς δηλαδή κατά microήκος της ταχύτητας και έτσι αποmicroακρύνεται από το κέντροτης τροχιάς Στιγmicroιαία η κίνηση είναι ακτινική για κάποιον που περιστρέφεται microε το επίπεδο άρα η τριβή είναιακτινικήΗ τάση του σώmicroατος να κινηθεί laquoακτινικάraquo δηλαδή προς τα έξω αποδίδεται σε microια δύναmicroη (υποθετική δύναmicroηόπως ϐλέπουmicroε) τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη F0 = mω2rr F0 = minusmak
T
R r
F
micromg
Fφυγόκεντρος
Σχήmicroα 35
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 57
υ=ωR
Σχήmicroα 36 Για ένα microικρό χρονικό διάστηmicroα ∆t το τόξο και η ευθύγραmicromicroη κίνηση ταυτίζονται
Παράδειγmicroα - Περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Για τον αδρανειακό παρατηρητή έχουmicroε
ak = minusmv2
RR = minusmω2RR = minusmω2R
B + F = mak
rArr
F cos θ = B rArr F cos θ = mg
F sin θ = mω2R rArr mgsin θ
cos θ= mω2R
rArr tan θ = ω2Rg
ω
R
θ
θ
B
F
Σχήmicroα 37
Εάν η γωνία απόκλισης είναι θ τότε η περίοδος περιστροφής είναι
ω2 =g tan θ
R
4π2
T 2=g tan θ
R T =
radic4π2R
g tan θ
Εάν a είναι η ακτίνα του δίσκου και l το microήκος του νήmicroατος τότε η ακτίνα περιστροφής R ισούται microε R = a+l sin θ Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σαν συνάρτηση της γωνίας θ τελικά είναι
ω2 =g tan θ
a+ l sin θ=
g sin θ
a+ l sin θ
1radic1minus sin2 θ
58 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για το microη αδρανειακό παρατηρητή ϑα έχουmicroε
F cos θ = mg
F sin θ = Fϕυγόκεντρη
διανυσmicroατικά
F +B + Fφ = 0
όπου Fφ = mω2RR
Fφ = minusmak προς τα έξω
Πρόβληmicroα
θ N
T
B θ
Fk
aκε
Σχήmicroα 38
΄Ενα κουτί microάζαςM είναι ακίνητο σε επιταχυνόmicroενο όχηmicroα σχήmicroατος κεκλιmicroένου επιπέδου Εάν ο συντελεστήςτριβής microεταξύ κουτιού και κεκλιmicroένου επιπέδου είναι micro
(α) να ϐρείτε τη microέγιστη επιτάχυνση aκε για να microένει ακίνητο το κουτί στο κινούmicroενο κεκλιmicroένο επίπεδο
(ϐ) εάν η επιτάχυνση του κεκλιmicroένου επιπέδου γίνει microεγαλύτερη microε πόση επιτάχυνση κινείται το κουτί ωςπρος το κεκλιmicroένο επίπεδο
Λύση
(α) Σχεδιάστε την υποθετική δύναmicroη FkFk = minusmaκε
Fk +N + T +B = 0 Tmax = microN
(ϐ)Fk +N + T +B = ma
όπου το a είναι παράλληλο στο κεκλιmicroένο επίπεδο
T = Tmax = microN
κάθετα στο κεκλιmicroένο επίπεδο N = B cos θ + Fk sin θ
παράλληλα στο κεκλιmicroένο επίπεδο ma = minusB sin θ + Fk cos θ minus T
rArr a = aκε (cos θ minus micro sin θ)minus g (sin θ + micro cos θ)
321 Μηχανή του Atwood
Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω microε επιτάχυνση a ΄Εστω mB gt mA και a le gΓια το microη αδρανειακό παρατηρητή ο οποίος ϐλέπει επιτάχυνση γ έχουmicroε
Σώmicroα Α T +mAaminusmAg = mAγ
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59
γγT
T
BB
BA
mA
mB
α
x
Σχήmicroα 39
Σώmicroα Β minusT minusmBa+mBg = mBγ
(mA minusmB)(aminus g) = (mA +mB)γ
γ =mB minusmA
mB +mA(g minus a) a le g
Για την περίπτωση όπου a gt g έχουmicroε για το σώmicroα Α και το σώmicroα Β
T +mAg minusmAa = mAγ
minusT minusmBg +mBa = mBγ
(mA minusmB)g minus (mA minusmB)a = (mA +mB)γ
γ =(mA minusmB)(g minus a)
mA +mB=
(mB minusmA)(aminus g)
mB +mA
γ
γ T
T BBBA
mA
mB
α
agtg
Σχήmicroα 310
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα
Σύmicroφωνα microε όλα τα πειράmicroατα που έχουν γίνει ως τώρα η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηmicroα
Θεmicroελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου
laquoΟι ϐασικοί νόmicroοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηmicroοι για όλα τα συστήmicroατα αναφοράς που κινούνται microε οmicroοιό-microορφη ταχύτητα το ένα ως προς το άλλοraquo
60 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου
34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή
1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε
tprime equiv t
όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c
για παράδειγmicroα v = 104 ms
2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε
L equiv Lprime
341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου
Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε
t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime
΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε
ux =dx
dt=
dx
dtprime=
dxprime
dtprime+ v = uprimex + v
uy = uprimey
uz = uprimez
rArr u = uprime + v
Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime
rArr F prime = maprime = ma = F
a =∆u
∆t aprime =
∆uprime
∆tprime ∆t = ∆tprime
Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε
t = tprime x = xprime + vt+1
2a0t
2 y = yprime z = zprime
Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε
Fx = md2x
dt2 Fy = m
d2y
dt2 Fz = m
d2z
dt2
Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει
d2xprime
dt2=
d2x
dt2minus a0 rArr m
d2xprime
dt2= m
d2x
dt2minusma0 = Fx minusma0
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
54 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
R
ω
FελB
Σχήmicroα 31
΄Ενας απλός τρόπος microέτρησης του g είναι ο ε-ξής ΄Ενα σώmicroα ϐρίσκεται σε ισορροπία κρεmicroα-σmicroένο από ένα ελατήριο Για τον παρατηρητήστο κέντρο της Γης έχουmicroε
B + Fελ = mak
minusmg + k∆x = minusmω2R
rArr k∆x = m(g minus ω2R
)Η δύναmicroη του ελατηρίου Fελ = k∆x είναι αυτόπου εmicroείς ονοmicroάζουmicroε Βάρος (ϕαινόmicroενο ϐά-ϱος) άρα microας δίνει τη microετρούmicroενη σε αυτό τοντόπο επιτάχυνση της ϐαρύτητας
g =GM
R2rArr gΙσηmicroερινού = g minus ω2R
bull Μέτρηση του g στον πόλο
gπολ = g
Ποιο σύστηmicroα αναφοράς είναι πρακτικά αδρανειακό rArr Το σύστηmicroα των Απλανών Αστέρων (χωρίς απόδειξη) Αστέρια microε επιτάχυνση πειραmicroατικά microηδέν επιτάχυνσηlt 10minus6 msec2
Η κεντροmicroόλος επιτάχυνση ενός σηmicroείου της Γης ως προς το κέντρο της είναι
aκ Γ 0 034 ms2
ενώ η κεντροmicroόλος επιτάχυνση της Γης ως προς τον ΄Ηλιο είναι 4 4times 10minus3ms2
Το ϕαινόmicroενο Doppler δίνει την ταχύτητα του ΄Ηλιου ως προς το κέντρου του Γαλαξία microας
v 3times 105 ms(R 3times 1020 m
)τελικά η επιτάχυνση του ΄Ηλιου ως προς το κέντρου του Γαλαξία microας (microη ανιχνεύσιmicroη και αmicroελητέα) είναι
aκ Η 3times 10minus10 ms2
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση
Μπορούmicroε λοιπόν να ϐρούmicroε ένα αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς microέσα στο οποίο ισχύει F = ma microε microεγάληακρίβεια Οι δυνάmicroεις (ϐαρυτικές ηλεκτρικές) που έχουmicroε επικαλεστεί για να εξηγήσουmicroε την κίνηση τωνάστρων και των ηλεκτρονίων microείωνονται συνεχώς (και ανάλογα microε το τετράγωνο της απόστασης) όσο το σώmicroααποmicroακρύνεται από τα γειτονικά του σώmicroατα Εάν διαλέξουmicroε ένα microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ϕαίνον-ται να αναπτύσσονται δυνάmicroεις που δεν έχουν αυτην την ιδιότητα Εmicroφανίζονται λοιπόν υποθετικές δυνάmicroειςπου υπάρχουν microόνο και microόνο επειδή το σύστηmicroα αναφοράς είναι επιταχυνόmicroενο
bull Αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράςF = maI
όπου aI η επιτάχυνση που microετρά ένας παρατηρητής σε αδρανειακό (inertial) σύστηmicroα αναφοράς
bull Επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς microε επιτάχυνση a0
Το σώmicroα που κινείται έχει επιτάχυνση a ως προς το δεύτερο σύστηmicroα εποmicroένως
aI = a+ a0
rArr F = m (a+ a0)
rArr ma = F minusma0
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 55
Εποmicroένως έχουmicroε την εmicroφάνιση υποθετικής δύναmicroης (δύναmicroη αδράνειας)
F0 = minusma0
και εάν a = 0 τότεF + F0 = 0
το οποίο δηλώνει ισορροπία microέσα στο επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Παράδειγmicroα
Εκκρεmicroές κρέmicroεται κατακόρυφα σε όχηmicroα που ηρεmicroεί ΄Οταν το όχηmicroα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο microεεπιτάχυνση a0 = 1 ms2 microε ποια γωνία ως προς την κατακόρυφο κρέmicroεται το εκκρεmicroές Πόση είναι ηυποθετική δύναmicroη αδράνειας Επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 9 81msec2
Λύση
T θ
B
a0
x
Σχήmicroα 32
Για τον laquoακίνητοraquo παρατηρητή έχουmicroε
T +B = ma0
Επίσης από κατακόρυφη ισορροπία έχουmicroε
T cos θ = B = mg
και από οριζόντια κίνηση
T sin θ = ma0
rArr tan θ =a0
g
Για τον κινούmicroενο microε επιτάχυνση a0 παρατηρητή
T +B + F0 = 0 F0 = minusma0x
Τι είναι η F0 Πού οφείλεται Πουθενά
Παράδειγmicroα - Πειράmicroατα microέσα σε ανελκυστήρα
x
y
z
F
B1
2
a0
Σχήmicroα 33
Ως προς τον παρατηρητή 1 έχουmicroε
F +B = ma1F = k∆lz
B = minusmgza0 = a0z
Το σώmicroα ϐρίσκεται ακίνητο microέσα στον ανελκυστήρα
k∆l minusmg = ma0
rArr k∆l = m(a0 + g)
Εάν a0 = minusg τότε έχουmicroε ∆l = 0 δηλαδή έχουmicroεελεύθερη πτώση
Ως προς τον παρατηρητή 2 έχουmicroε
F +B + F0 = 0
rArr F +Bϕαινόmicroενο = 0
F0 = minusma0 Bϕαινόmicroενο = B + F0
Παράδειγmicroα - Σύστηmicroα που περιστρέφεται (microε ω σταθερό)
΄Ενα ϐιβλίο ϐρίσκεται επάνω σε ένα τραπέζι Θέλουmicroε το ϐιβλίο να παραmicroένει ακίνητο ως προς το τραπέζιόταν αυτό περιστρέφεται microε ω = 20 στροφέςλεπτό Το ϐιβλίο απέχει απόσταση R = 1 5 m από τον άξοναπεριστροφής ο οποίος είναι κατακόρυφος
(α) Βρείτε τον συντελεστή τριβής(ϐ) Σχεδιάστε τη δύναmicroη τριβής και τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη ως συνάρτηση της απόστασης r
56 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Λύση
ω
T
N
B
Σχήmicroα 34
΄Εχουmicroε
N +B = 0
T = mak
T = minusT rTmax = microN = microB
micromg = mω2R
rArr microg = ω2R
Για να παραmicroείνει ακίνητο το σώmicroα επάνω στον περιστρεφόmicroενο δίσκο χρειάζεται microια δύναmicroη Το σώmicroα έχειτην τάση να κινηθεί εφαπτοmicroενικώς δηλαδή κατά microήκος της ταχύτητας και έτσι αποmicroακρύνεται από το κέντροτης τροχιάς Στιγmicroιαία η κίνηση είναι ακτινική για κάποιον που περιστρέφεται microε το επίπεδο άρα η τριβή είναιακτινικήΗ τάση του σώmicroατος να κινηθεί laquoακτινικάraquo δηλαδή προς τα έξω αποδίδεται σε microια δύναmicroη (υποθετική δύναmicroηόπως ϐλέπουmicroε) τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη F0 = mω2rr F0 = minusmak
T
R r
F
micromg
Fφυγόκεντρος
Σχήmicroα 35
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 57
υ=ωR
Σχήmicroα 36 Για ένα microικρό χρονικό διάστηmicroα ∆t το τόξο και η ευθύγραmicromicroη κίνηση ταυτίζονται
Παράδειγmicroα - Περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Για τον αδρανειακό παρατηρητή έχουmicroε
ak = minusmv2
RR = minusmω2RR = minusmω2R
B + F = mak
rArr
F cos θ = B rArr F cos θ = mg
F sin θ = mω2R rArr mgsin θ
cos θ= mω2R
rArr tan θ = ω2Rg
ω
R
θ
θ
B
F
Σχήmicroα 37
Εάν η γωνία απόκλισης είναι θ τότε η περίοδος περιστροφής είναι
ω2 =g tan θ
R
4π2
T 2=g tan θ
R T =
radic4π2R
g tan θ
Εάν a είναι η ακτίνα του δίσκου και l το microήκος του νήmicroατος τότε η ακτίνα περιστροφής R ισούται microε R = a+l sin θ Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σαν συνάρτηση της γωνίας θ τελικά είναι
ω2 =g tan θ
a+ l sin θ=
g sin θ
a+ l sin θ
1radic1minus sin2 θ
58 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για το microη αδρανειακό παρατηρητή ϑα έχουmicroε
F cos θ = mg
F sin θ = Fϕυγόκεντρη
διανυσmicroατικά
F +B + Fφ = 0
όπου Fφ = mω2RR
Fφ = minusmak προς τα έξω
Πρόβληmicroα
θ N
T
B θ
Fk
aκε
Σχήmicroα 38
΄Ενα κουτί microάζαςM είναι ακίνητο σε επιταχυνόmicroενο όχηmicroα σχήmicroατος κεκλιmicroένου επιπέδου Εάν ο συντελεστήςτριβής microεταξύ κουτιού και κεκλιmicroένου επιπέδου είναι micro
(α) να ϐρείτε τη microέγιστη επιτάχυνση aκε για να microένει ακίνητο το κουτί στο κινούmicroενο κεκλιmicroένο επίπεδο
(ϐ) εάν η επιτάχυνση του κεκλιmicroένου επιπέδου γίνει microεγαλύτερη microε πόση επιτάχυνση κινείται το κουτί ωςπρος το κεκλιmicroένο επίπεδο
Λύση
(α) Σχεδιάστε την υποθετική δύναmicroη FkFk = minusmaκε
Fk +N + T +B = 0 Tmax = microN
(ϐ)Fk +N + T +B = ma
όπου το a είναι παράλληλο στο κεκλιmicroένο επίπεδο
T = Tmax = microN
κάθετα στο κεκλιmicroένο επίπεδο N = B cos θ + Fk sin θ
παράλληλα στο κεκλιmicroένο επίπεδο ma = minusB sin θ + Fk cos θ minus T
rArr a = aκε (cos θ minus micro sin θ)minus g (sin θ + micro cos θ)
321 Μηχανή του Atwood
Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω microε επιτάχυνση a ΄Εστω mB gt mA και a le gΓια το microη αδρανειακό παρατηρητή ο οποίος ϐλέπει επιτάχυνση γ έχουmicroε
Σώmicroα Α T +mAaminusmAg = mAγ
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59
γγT
T
BB
BA
mA
mB
α
x
Σχήmicroα 39
Σώmicroα Β minusT minusmBa+mBg = mBγ
(mA minusmB)(aminus g) = (mA +mB)γ
γ =mB minusmA
mB +mA(g minus a) a le g
Για την περίπτωση όπου a gt g έχουmicroε για το σώmicroα Α και το σώmicroα Β
T +mAg minusmAa = mAγ
minusT minusmBg +mBa = mBγ
(mA minusmB)g minus (mA minusmB)a = (mA +mB)γ
γ =(mA minusmB)(g minus a)
mA +mB=
(mB minusmA)(aminus g)
mB +mA
γ
γ T
T BBBA
mA
mB
α
agtg
Σχήmicroα 310
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα
Σύmicroφωνα microε όλα τα πειράmicroατα που έχουν γίνει ως τώρα η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηmicroα
Θεmicroελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου
laquoΟι ϐασικοί νόmicroοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηmicroοι για όλα τα συστήmicroατα αναφοράς που κινούνται microε οmicroοιό-microορφη ταχύτητα το ένα ως προς το άλλοraquo
60 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου
34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή
1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε
tprime equiv t
όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c
για παράδειγmicroα v = 104 ms
2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε
L equiv Lprime
341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου
Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε
t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime
΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε
ux =dx
dt=
dx
dtprime=
dxprime
dtprime+ v = uprimex + v
uy = uprimey
uz = uprimez
rArr u = uprime + v
Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime
rArr F prime = maprime = ma = F
a =∆u
∆t aprime =
∆uprime
∆tprime ∆t = ∆tprime
Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε
t = tprime x = xprime + vt+1
2a0t
2 y = yprime z = zprime
Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε
Fx = md2x
dt2 Fy = m
d2y
dt2 Fz = m
d2z
dt2
Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει
d2xprime
dt2=
d2x
dt2minus a0 rArr m
d2xprime
dt2= m
d2x
dt2minusma0 = Fx minusma0
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 55
Εποmicroένως έχουmicroε την εmicroφάνιση υποθετικής δύναmicroης (δύναmicroη αδράνειας)
F0 = minusma0
και εάν a = 0 τότεF + F0 = 0
το οποίο δηλώνει ισορροπία microέσα στο επιταχυνόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Παράδειγmicroα
Εκκρεmicroές κρέmicroεται κατακόρυφα σε όχηmicroα που ηρεmicroεί ΄Οταν το όχηmicroα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο microεεπιτάχυνση a0 = 1 ms2 microε ποια γωνία ως προς την κατακόρυφο κρέmicroεται το εκκρεmicroές Πόση είναι ηυποθετική δύναmicroη αδράνειας Επιτάχυνση της ϐαρύτητας g = 9 81msec2
Λύση
T θ
B
a0
x
Σχήmicroα 32
Για τον laquoακίνητοraquo παρατηρητή έχουmicroε
T +B = ma0
Επίσης από κατακόρυφη ισορροπία έχουmicroε
T cos θ = B = mg
και από οριζόντια κίνηση
T sin θ = ma0
rArr tan θ =a0
g
Για τον κινούmicroενο microε επιτάχυνση a0 παρατηρητή
T +B + F0 = 0 F0 = minusma0x
Τι είναι η F0 Πού οφείλεται Πουθενά
Παράδειγmicroα - Πειράmicroατα microέσα σε ανελκυστήρα
x
y
z
F
B1
2
a0
Σχήmicroα 33
Ως προς τον παρατηρητή 1 έχουmicroε
F +B = ma1F = k∆lz
B = minusmgza0 = a0z
Το σώmicroα ϐρίσκεται ακίνητο microέσα στον ανελκυστήρα
k∆l minusmg = ma0
rArr k∆l = m(a0 + g)
Εάν a0 = minusg τότε έχουmicroε ∆l = 0 δηλαδή έχουmicroεελεύθερη πτώση
Ως προς τον παρατηρητή 2 έχουmicroε
F +B + F0 = 0
rArr F +Bϕαινόmicroενο = 0
F0 = minusma0 Bϕαινόmicroενο = B + F0
Παράδειγmicroα - Σύστηmicroα που περιστρέφεται (microε ω σταθερό)
΄Ενα ϐιβλίο ϐρίσκεται επάνω σε ένα τραπέζι Θέλουmicroε το ϐιβλίο να παραmicroένει ακίνητο ως προς το τραπέζιόταν αυτό περιστρέφεται microε ω = 20 στροφέςλεπτό Το ϐιβλίο απέχει απόσταση R = 1 5 m από τον άξοναπεριστροφής ο οποίος είναι κατακόρυφος
(α) Βρείτε τον συντελεστή τριβής(ϐ) Σχεδιάστε τη δύναmicroη τριβής και τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη ως συνάρτηση της απόστασης r
56 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Λύση
ω
T
N
B
Σχήmicroα 34
΄Εχουmicroε
N +B = 0
T = mak
T = minusT rTmax = microN = microB
micromg = mω2R
rArr microg = ω2R
Για να παραmicroείνει ακίνητο το σώmicroα επάνω στον περιστρεφόmicroενο δίσκο χρειάζεται microια δύναmicroη Το σώmicroα έχειτην τάση να κινηθεί εφαπτοmicroενικώς δηλαδή κατά microήκος της ταχύτητας και έτσι αποmicroακρύνεται από το κέντροτης τροχιάς Στιγmicroιαία η κίνηση είναι ακτινική για κάποιον που περιστρέφεται microε το επίπεδο άρα η τριβή είναιακτινικήΗ τάση του σώmicroατος να κινηθεί laquoακτινικάraquo δηλαδή προς τα έξω αποδίδεται σε microια δύναmicroη (υποθετική δύναmicroηόπως ϐλέπουmicroε) τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη F0 = mω2rr F0 = minusmak
T
R r
F
micromg
Fφυγόκεντρος
Σχήmicroα 35
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 57
υ=ωR
Σχήmicroα 36 Για ένα microικρό χρονικό διάστηmicroα ∆t το τόξο και η ευθύγραmicromicroη κίνηση ταυτίζονται
Παράδειγmicroα - Περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Για τον αδρανειακό παρατηρητή έχουmicroε
ak = minusmv2
RR = minusmω2RR = minusmω2R
B + F = mak
rArr
F cos θ = B rArr F cos θ = mg
F sin θ = mω2R rArr mgsin θ
cos θ= mω2R
rArr tan θ = ω2Rg
ω
R
θ
θ
B
F
Σχήmicroα 37
Εάν η γωνία απόκλισης είναι θ τότε η περίοδος περιστροφής είναι
ω2 =g tan θ
R
4π2
T 2=g tan θ
R T =
radic4π2R
g tan θ
Εάν a είναι η ακτίνα του δίσκου και l το microήκος του νήmicroατος τότε η ακτίνα περιστροφής R ισούται microε R = a+l sin θ Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σαν συνάρτηση της γωνίας θ τελικά είναι
ω2 =g tan θ
a+ l sin θ=
g sin θ
a+ l sin θ
1radic1minus sin2 θ
58 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για το microη αδρανειακό παρατηρητή ϑα έχουmicroε
F cos θ = mg
F sin θ = Fϕυγόκεντρη
διανυσmicroατικά
F +B + Fφ = 0
όπου Fφ = mω2RR
Fφ = minusmak προς τα έξω
Πρόβληmicroα
θ N
T
B θ
Fk
aκε
Σχήmicroα 38
΄Ενα κουτί microάζαςM είναι ακίνητο σε επιταχυνόmicroενο όχηmicroα σχήmicroατος κεκλιmicroένου επιπέδου Εάν ο συντελεστήςτριβής microεταξύ κουτιού και κεκλιmicroένου επιπέδου είναι micro
(α) να ϐρείτε τη microέγιστη επιτάχυνση aκε για να microένει ακίνητο το κουτί στο κινούmicroενο κεκλιmicroένο επίπεδο
(ϐ) εάν η επιτάχυνση του κεκλιmicroένου επιπέδου γίνει microεγαλύτερη microε πόση επιτάχυνση κινείται το κουτί ωςπρος το κεκλιmicroένο επίπεδο
Λύση
(α) Σχεδιάστε την υποθετική δύναmicroη FkFk = minusmaκε
Fk +N + T +B = 0 Tmax = microN
(ϐ)Fk +N + T +B = ma
όπου το a είναι παράλληλο στο κεκλιmicroένο επίπεδο
T = Tmax = microN
κάθετα στο κεκλιmicroένο επίπεδο N = B cos θ + Fk sin θ
παράλληλα στο κεκλιmicroένο επίπεδο ma = minusB sin θ + Fk cos θ minus T
rArr a = aκε (cos θ minus micro sin θ)minus g (sin θ + micro cos θ)
321 Μηχανή του Atwood
Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω microε επιτάχυνση a ΄Εστω mB gt mA και a le gΓια το microη αδρανειακό παρατηρητή ο οποίος ϐλέπει επιτάχυνση γ έχουmicroε
Σώmicroα Α T +mAaminusmAg = mAγ
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59
γγT
T
BB
BA
mA
mB
α
x
Σχήmicroα 39
Σώmicroα Β minusT minusmBa+mBg = mBγ
(mA minusmB)(aminus g) = (mA +mB)γ
γ =mB minusmA
mB +mA(g minus a) a le g
Για την περίπτωση όπου a gt g έχουmicroε για το σώmicroα Α και το σώmicroα Β
T +mAg minusmAa = mAγ
minusT minusmBg +mBa = mBγ
(mA minusmB)g minus (mA minusmB)a = (mA +mB)γ
γ =(mA minusmB)(g minus a)
mA +mB=
(mB minusmA)(aminus g)
mB +mA
γ
γ T
T BBBA
mA
mB
α
agtg
Σχήmicroα 310
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα
Σύmicroφωνα microε όλα τα πειράmicroατα που έχουν γίνει ως τώρα η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηmicroα
Θεmicroελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου
laquoΟι ϐασικοί νόmicroοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηmicroοι για όλα τα συστήmicroατα αναφοράς που κινούνται microε οmicroοιό-microορφη ταχύτητα το ένα ως προς το άλλοraquo
60 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου
34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή
1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε
tprime equiv t
όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c
για παράδειγmicroα v = 104 ms
2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε
L equiv Lprime
341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου
Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε
t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime
΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε
ux =dx
dt=
dx
dtprime=
dxprime
dtprime+ v = uprimex + v
uy = uprimey
uz = uprimez
rArr u = uprime + v
Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime
rArr F prime = maprime = ma = F
a =∆u
∆t aprime =
∆uprime
∆tprime ∆t = ∆tprime
Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε
t = tprime x = xprime + vt+1
2a0t
2 y = yprime z = zprime
Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε
Fx = md2x
dt2 Fy = m
d2y
dt2 Fz = m
d2z
dt2
Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει
d2xprime
dt2=
d2x
dt2minus a0 rArr m
d2xprime
dt2= m
d2x
dt2minusma0 = Fx minusma0
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
56 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Λύση
ω
T
N
B
Σχήmicroα 34
΄Εχουmicroε
N +B = 0
T = mak
T = minusT rTmax = microN = microB
micromg = mω2R
rArr microg = ω2R
Για να παραmicroείνει ακίνητο το σώmicroα επάνω στον περιστρεφόmicroενο δίσκο χρειάζεται microια δύναmicroη Το σώmicroα έχειτην τάση να κινηθεί εφαπτοmicroενικώς δηλαδή κατά microήκος της ταχύτητας και έτσι αποmicroακρύνεται από το κέντροτης τροχιάς Στιγmicroιαία η κίνηση είναι ακτινική για κάποιον που περιστρέφεται microε το επίπεδο άρα η τριβή είναιακτινικήΗ τάση του σώmicroατος να κινηθεί laquoακτινικάraquo δηλαδή προς τα έξω αποδίδεται σε microια δύναmicroη (υποθετική δύναmicroηόπως ϐλέπουmicroε) τη ϕυγόκεντρο δύναmicroη F0 = mω2rr F0 = minusmak
T
R r
F
micromg
Fφυγόκεντρος
Σχήmicroα 35
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 57
υ=ωR
Σχήmicroα 36 Για ένα microικρό χρονικό διάστηmicroα ∆t το τόξο και η ευθύγραmicromicroη κίνηση ταυτίζονται
Παράδειγmicroα - Περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Για τον αδρανειακό παρατηρητή έχουmicroε
ak = minusmv2
RR = minusmω2RR = minusmω2R
B + F = mak
rArr
F cos θ = B rArr F cos θ = mg
F sin θ = mω2R rArr mgsin θ
cos θ= mω2R
rArr tan θ = ω2Rg
ω
R
θ
θ
B
F
Σχήmicroα 37
Εάν η γωνία απόκλισης είναι θ τότε η περίοδος περιστροφής είναι
ω2 =g tan θ
R
4π2
T 2=g tan θ
R T =
radic4π2R
g tan θ
Εάν a είναι η ακτίνα του δίσκου και l το microήκος του νήmicroατος τότε η ακτίνα περιστροφής R ισούται microε R = a+l sin θ Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σαν συνάρτηση της γωνίας θ τελικά είναι
ω2 =g tan θ
a+ l sin θ=
g sin θ
a+ l sin θ
1radic1minus sin2 θ
58 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για το microη αδρανειακό παρατηρητή ϑα έχουmicroε
F cos θ = mg
F sin θ = Fϕυγόκεντρη
διανυσmicroατικά
F +B + Fφ = 0
όπου Fφ = mω2RR
Fφ = minusmak προς τα έξω
Πρόβληmicroα
θ N
T
B θ
Fk
aκε
Σχήmicroα 38
΄Ενα κουτί microάζαςM είναι ακίνητο σε επιταχυνόmicroενο όχηmicroα σχήmicroατος κεκλιmicroένου επιπέδου Εάν ο συντελεστήςτριβής microεταξύ κουτιού και κεκλιmicroένου επιπέδου είναι micro
(α) να ϐρείτε τη microέγιστη επιτάχυνση aκε για να microένει ακίνητο το κουτί στο κινούmicroενο κεκλιmicroένο επίπεδο
(ϐ) εάν η επιτάχυνση του κεκλιmicroένου επιπέδου γίνει microεγαλύτερη microε πόση επιτάχυνση κινείται το κουτί ωςπρος το κεκλιmicroένο επίπεδο
Λύση
(α) Σχεδιάστε την υποθετική δύναmicroη FkFk = minusmaκε
Fk +N + T +B = 0 Tmax = microN
(ϐ)Fk +N + T +B = ma
όπου το a είναι παράλληλο στο κεκλιmicroένο επίπεδο
T = Tmax = microN
κάθετα στο κεκλιmicroένο επίπεδο N = B cos θ + Fk sin θ
παράλληλα στο κεκλιmicroένο επίπεδο ma = minusB sin θ + Fk cos θ minus T
rArr a = aκε (cos θ minus micro sin θ)minus g (sin θ + micro cos θ)
321 Μηχανή του Atwood
Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω microε επιτάχυνση a ΄Εστω mB gt mA και a le gΓια το microη αδρανειακό παρατηρητή ο οποίος ϐλέπει επιτάχυνση γ έχουmicroε
Σώmicroα Α T +mAaminusmAg = mAγ
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59
γγT
T
BB
BA
mA
mB
α
x
Σχήmicroα 39
Σώmicroα Β minusT minusmBa+mBg = mBγ
(mA minusmB)(aminus g) = (mA +mB)γ
γ =mB minusmA
mB +mA(g minus a) a le g
Για την περίπτωση όπου a gt g έχουmicroε για το σώmicroα Α και το σώmicroα Β
T +mAg minusmAa = mAγ
minusT minusmBg +mBa = mBγ
(mA minusmB)g minus (mA minusmB)a = (mA +mB)γ
γ =(mA minusmB)(g minus a)
mA +mB=
(mB minusmA)(aminus g)
mB +mA
γ
γ T
T BBBA
mA
mB
α
agtg
Σχήmicroα 310
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα
Σύmicroφωνα microε όλα τα πειράmicroατα που έχουν γίνει ως τώρα η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηmicroα
Θεmicroελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου
laquoΟι ϐασικοί νόmicroοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηmicroοι για όλα τα συστήmicroατα αναφοράς που κινούνται microε οmicroοιό-microορφη ταχύτητα το ένα ως προς το άλλοraquo
60 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου
34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή
1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε
tprime equiv t
όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c
για παράδειγmicroα v = 104 ms
2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε
L equiv Lprime
341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου
Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε
t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime
΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε
ux =dx
dt=
dx
dtprime=
dxprime
dtprime+ v = uprimex + v
uy = uprimey
uz = uprimez
rArr u = uprime + v
Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime
rArr F prime = maprime = ma = F
a =∆u
∆t aprime =
∆uprime
∆tprime ∆t = ∆tprime
Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε
t = tprime x = xprime + vt+1
2a0t
2 y = yprime z = zprime
Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε
Fx = md2x
dt2 Fy = m
d2y
dt2 Fz = m
d2z
dt2
Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει
d2xprime
dt2=
d2x
dt2minus a0 rArr m
d2xprime
dt2= m
d2x
dt2minusma0 = Fx minusma0
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
32 Απόλυτη και σχετική επιτάχυνση 57
υ=ωR
Σχήmicroα 36 Για ένα microικρό χρονικό διάστηmicroα ∆t το τόξο και η ευθύγραmicromicroη κίνηση ταυτίζονται
Παράδειγmicroα - Περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Για τον αδρανειακό παρατηρητή έχουmicroε
ak = minusmv2
RR = minusmω2RR = minusmω2R
B + F = mak
rArr
F cos θ = B rArr F cos θ = mg
F sin θ = mω2R rArr mgsin θ
cos θ= mω2R
rArr tan θ = ω2Rg
ω
R
θ
θ
B
F
Σχήmicroα 37
Εάν η γωνία απόκλισης είναι θ τότε η περίοδος περιστροφής είναι
ω2 =g tan θ
R
4π2
T 2=g tan θ
R T =
radic4π2R
g tan θ
Εάν a είναι η ακτίνα του δίσκου και l το microήκος του νήmicroατος τότε η ακτίνα περιστροφής R ισούται microε R = a+l sin θ Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής σαν συνάρτηση της γωνίας θ τελικά είναι
ω2 =g tan θ
a+ l sin θ=
g sin θ
a+ l sin θ
1radic1minus sin2 θ
58 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για το microη αδρανειακό παρατηρητή ϑα έχουmicroε
F cos θ = mg
F sin θ = Fϕυγόκεντρη
διανυσmicroατικά
F +B + Fφ = 0
όπου Fφ = mω2RR
Fφ = minusmak προς τα έξω
Πρόβληmicroα
θ N
T
B θ
Fk
aκε
Σχήmicroα 38
΄Ενα κουτί microάζαςM είναι ακίνητο σε επιταχυνόmicroενο όχηmicroα σχήmicroατος κεκλιmicroένου επιπέδου Εάν ο συντελεστήςτριβής microεταξύ κουτιού και κεκλιmicroένου επιπέδου είναι micro
(α) να ϐρείτε τη microέγιστη επιτάχυνση aκε για να microένει ακίνητο το κουτί στο κινούmicroενο κεκλιmicroένο επίπεδο
(ϐ) εάν η επιτάχυνση του κεκλιmicroένου επιπέδου γίνει microεγαλύτερη microε πόση επιτάχυνση κινείται το κουτί ωςπρος το κεκλιmicroένο επίπεδο
Λύση
(α) Σχεδιάστε την υποθετική δύναmicroη FkFk = minusmaκε
Fk +N + T +B = 0 Tmax = microN
(ϐ)Fk +N + T +B = ma
όπου το a είναι παράλληλο στο κεκλιmicroένο επίπεδο
T = Tmax = microN
κάθετα στο κεκλιmicroένο επίπεδο N = B cos θ + Fk sin θ
παράλληλα στο κεκλιmicroένο επίπεδο ma = minusB sin θ + Fk cos θ minus T
rArr a = aκε (cos θ minus micro sin θ)minus g (sin θ + micro cos θ)
321 Μηχανή του Atwood
Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω microε επιτάχυνση a ΄Εστω mB gt mA και a le gΓια το microη αδρανειακό παρατηρητή ο οποίος ϐλέπει επιτάχυνση γ έχουmicroε
Σώmicroα Α T +mAaminusmAg = mAγ
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59
γγT
T
BB
BA
mA
mB
α
x
Σχήmicroα 39
Σώmicroα Β minusT minusmBa+mBg = mBγ
(mA minusmB)(aminus g) = (mA +mB)γ
γ =mB minusmA
mB +mA(g minus a) a le g
Για την περίπτωση όπου a gt g έχουmicroε για το σώmicroα Α και το σώmicroα Β
T +mAg minusmAa = mAγ
minusT minusmBg +mBa = mBγ
(mA minusmB)g minus (mA minusmB)a = (mA +mB)γ
γ =(mA minusmB)(g minus a)
mA +mB=
(mB minusmA)(aminus g)
mB +mA
γ
γ T
T BBBA
mA
mB
α
agtg
Σχήmicroα 310
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα
Σύmicroφωνα microε όλα τα πειράmicroατα που έχουν γίνει ως τώρα η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηmicroα
Θεmicroελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου
laquoΟι ϐασικοί νόmicroοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηmicroοι για όλα τα συστήmicroατα αναφοράς που κινούνται microε οmicroοιό-microορφη ταχύτητα το ένα ως προς το άλλοraquo
60 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου
34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή
1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε
tprime equiv t
όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c
για παράδειγmicroα v = 104 ms
2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε
L equiv Lprime
341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου
Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε
t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime
΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε
ux =dx
dt=
dx
dtprime=
dxprime
dtprime+ v = uprimex + v
uy = uprimey
uz = uprimez
rArr u = uprime + v
Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime
rArr F prime = maprime = ma = F
a =∆u
∆t aprime =
∆uprime
∆tprime ∆t = ∆tprime
Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε
t = tprime x = xprime + vt+1
2a0t
2 y = yprime z = zprime
Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε
Fx = md2x
dt2 Fy = m
d2y
dt2 Fz = m
d2z
dt2
Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει
d2xprime
dt2=
d2x
dt2minus a0 rArr m
d2xprime
dt2= m
d2x
dt2minusma0 = Fx minusma0
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
58 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για το microη αδρανειακό παρατηρητή ϑα έχουmicroε
F cos θ = mg
F sin θ = Fϕυγόκεντρη
διανυσmicroατικά
F +B + Fφ = 0
όπου Fφ = mω2RR
Fφ = minusmak προς τα έξω
Πρόβληmicroα
θ N
T
B θ
Fk
aκε
Σχήmicroα 38
΄Ενα κουτί microάζαςM είναι ακίνητο σε επιταχυνόmicroενο όχηmicroα σχήmicroατος κεκλιmicroένου επιπέδου Εάν ο συντελεστήςτριβής microεταξύ κουτιού και κεκλιmicroένου επιπέδου είναι micro
(α) να ϐρείτε τη microέγιστη επιτάχυνση aκε για να microένει ακίνητο το κουτί στο κινούmicroενο κεκλιmicroένο επίπεδο
(ϐ) εάν η επιτάχυνση του κεκλιmicroένου επιπέδου γίνει microεγαλύτερη microε πόση επιτάχυνση κινείται το κουτί ωςπρος το κεκλιmicroένο επίπεδο
Λύση
(α) Σχεδιάστε την υποθετική δύναmicroη FkFk = minusmaκε
Fk +N + T +B = 0 Tmax = microN
(ϐ)Fk +N + T +B = ma
όπου το a είναι παράλληλο στο κεκλιmicroένο επίπεδο
T = Tmax = microN
κάθετα στο κεκλιmicroένο επίπεδο N = B cos θ + Fk sin θ
παράλληλα στο κεκλιmicroένο επίπεδο ma = minusB sin θ + Fk cos θ minus T
rArr a = aκε (cos θ minus micro sin θ)minus g (sin θ + micro cos θ)
321 Μηχανή του Atwood
Ο ανελκυστήρας κινείται προς τα κάτω microε επιτάχυνση a ΄Εστω mB gt mA και a le gΓια το microη αδρανειακό παρατηρητή ο οποίος ϐλέπει επιτάχυνση γ έχουmicroε
Σώmicroα Α T +mAaminusmAg = mAγ
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59
γγT
T
BB
BA
mA
mB
α
x
Σχήmicroα 39
Σώmicroα Β minusT minusmBa+mBg = mBγ
(mA minusmB)(aminus g) = (mA +mB)γ
γ =mB minusmA
mB +mA(g minus a) a le g
Για την περίπτωση όπου a gt g έχουmicroε για το σώmicroα Α και το σώmicroα Β
T +mAg minusmAa = mAγ
minusT minusmBg +mBa = mBγ
(mA minusmB)g minus (mA minusmB)a = (mA +mB)γ
γ =(mA minusmB)(g minus a)
mA +mB=
(mB minusmA)(aminus g)
mB +mA
γ
γ T
T BBBA
mA
mB
α
agtg
Σχήmicroα 310
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα
Σύmicroφωνα microε όλα τα πειράmicroατα που έχουν γίνει ως τώρα η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηmicroα
Θεmicroελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου
laquoΟι ϐασικοί νόmicroοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηmicroοι για όλα τα συστήmicroατα αναφοράς που κινούνται microε οmicroοιό-microορφη ταχύτητα το ένα ως προς το άλλοraquo
60 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου
34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή
1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε
tprime equiv t
όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c
για παράδειγmicroα v = 104 ms
2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε
L equiv Lprime
341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου
Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε
t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime
΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε
ux =dx
dt=
dx
dtprime=
dxprime
dtprime+ v = uprimex + v
uy = uprimey
uz = uprimez
rArr u = uprime + v
Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime
rArr F prime = maprime = ma = F
a =∆u
∆t aprime =
∆uprime
∆tprime ∆t = ∆tprime
Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε
t = tprime x = xprime + vt+1
2a0t
2 y = yprime z = zprime
Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε
Fx = md2x
dt2 Fy = m
d2y
dt2 Fz = m
d2z
dt2
Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει
d2xprime
dt2=
d2x
dt2minus a0 rArr m
d2xprime
dt2= m
d2x
dt2minusma0 = Fx minusma0
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα 59
γγT
T
BB
BA
mA
mB
α
x
Σχήmicroα 39
Σώmicroα Β minusT minusmBa+mBg = mBγ
(mA minusmB)(aminus g) = (mA +mB)γ
γ =mB minusmA
mB +mA(g minus a) a le g
Για την περίπτωση όπου a gt g έχουmicroε για το σώmicroα Α και το σώmicroα Β
T +mAg minusmAa = mAγ
minusT minusmBg +mBa = mBγ
(mA minusmB)g minus (mA minusmB)a = (mA +mB)γ
γ =(mA minusmB)(g minus a)
mA +mB=
(mB minusmA)(aminus g)
mB +mA
γ
γ T
T BBBA
mA
mB
α
agtg
Σχήmicroα 310
33 Απόλυτη και σχετική ταχύτητα
Σύmicroφωνα microε όλα τα πειράmicroατα που έχουν γίνει ως τώρα η απόλυτη ταχύτητα δεν έχει ϕυσικό νόηmicroα
Θεmicroελιώδης υπόθεση του Γαλιλαίου
laquoΟι ϐασικοί νόmicroοι της ϕυσικής είναι ταυτόσηmicroοι για όλα τα συστήmicroατα αναφοράς που κινούνται microε οmicroοιό-microορφη ταχύτητα το ένα ως προς το άλλοraquo
60 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου
34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή
1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε
tprime equiv t
όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c
για παράδειγmicroα v = 104 ms
2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε
L equiv Lprime
341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου
Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε
t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime
΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε
ux =dx
dt=
dx
dtprime=
dxprime
dtprime+ v = uprimex + v
uy = uprimey
uz = uprimez
rArr u = uprime + v
Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime
rArr F prime = maprime = ma = F
a =∆u
∆t aprime =
∆uprime
∆tprime ∆t = ∆tprime
Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε
t = tprime x = xprime + vt+1
2a0t
2 y = yprime z = zprime
Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε
Fx = md2x
dt2 Fy = m
d2y
dt2 Fz = m
d2z
dt2
Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει
d2xprime
dt2=
d2x
dt2minus a0 rArr m
d2xprime
dt2= m
d2x
dt2minusma0 = Fx minusma0
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
60 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Παρατηρητής σε εργαστήριο χωρίς παράθυρα δεν microπορεί να αποφανθεί εάν κινείται ή είναι ακίνητος (σταθερήταχύτητα) ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς των απλανών αστέρωνΕάν λοιπόν δύο παρατηρητές παρακολουθούν κάποιο ϕαινόmicroενο και κινούνται microε σχετική ταχύτητα σταθερήτότε microε τη ϐοήθεια των νόmicroων της ϕυσικής microπορούmicroε να προβλέψουmicroε τις microετρήσεις του δεύτερου παρατηρητήεάν ξέρουmicroε τις microετρήσεις του πρώτου
34 Μετασχηmicroατισmicroός Γαλιλαίου
΄Εχουmicroε δύο αδρανειακά καρτεσιανά συστήmicroατα συντεταγmicroένων S και Sprime Παίρνουmicroε για απλότητα x xprimey yprime z zprime Το Sprime κινείται ως προς το S microε v = vx και προφανώς v σταθερή
1 Εάν έχουmicroε δύο σειρές ϱολογιών που είναι πανοmicroοιότυπα microια σειρά στο S και microία στο Sprime κατά microήκος τωναξόνων x και xprime και συγχρονισmicroένα microεταξύ τους δείχνουν όλα την ίδια ώρα για κάθε σύστηmicroα αναφοράςΤότε microπορούmicroε να συγκρίνουmicroε την ένδειξη των ϱολογιών του Sprime microε τα ϱολόγια του S και έχουmicroε
tprime equiv t
όταν ϐέβαιαv 3 middot 108 ms = c
για παράδειγmicroα v = 104 ms
2 εάν έχουmicroε έναν χάρακα microήκουςLprime όπως τον microετράmicroε στο σύστηmicroα Sprime όπου είναι ακίνητος τότε ορίζονταςσαν microήκος L του χάρακα στο σύστηmicroα S τη ϑέση των άκρων του την ίδια χρονική στιγmicroή έχουmicroε
L equiv Lprime
341 Εξισώσεις microετασχηmicroατισmicroού Γαλιλαίου
Εάν tprime = 0 όταν t = 0 και τα άκρα των δύο συστηmicroάτων ταυτίζονται τότε
t = tprime x = xprime + vt y = yprime z = zprime
΄Αρα για την πρόσθεση των ταχυτήτων έχουmicroε
ux =dx
dt=
dx
dtprime=
dxprime
dtprime+ v = uprimex + v
uy = uprimey
uz = uprimez
rArr u = uprime + v
Ακόmicroη∆u = ∆uprime rArr a = aprime
rArr F prime = maprime = ma = F
a =∆u
∆t aprime =
∆uprime
∆tprime ∆t = ∆tprime
Εάν το τονούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Sprime κινείται microε επιτάχυνση a0 και αρχική ταχύτητα v κατά microήκος τουάξονα των x ως προς το αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς S τότε
t = tprime x = xprime + vt+1
2a0t
2 y = yprime z = zprime
Για τον νόmicroο του Νεύτωνα στο αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς έχουmicroε
Fx = md2x
dt2 Fy = m
d2y
dt2 Fz = m
d2z
dt2
Ενώ για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς ισχύει
d2xprime
dt2=
d2x
dt2minus a0 rArr m
d2xprime
dt2= m
d2x
dt2minusma0 = Fx minusma0
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής 61
και
md2yprime
dt2= m
d2y
dt2= Fy m
d2zprime
dt2= m
d2z
dt2= Fz
Για τον microη αδρανειακό παρατηρητή εmicroφανίζεται λοιπόν στις εξισώσεις κίνησης microία πρόσθετη υποθετική δύναmicroηF0 = minusma0 ανάλογη της επιτάχυνσης του microη αδρανειακού συστήmicroατος αναφοράς
35 ∆ιατήρηση της ορmicroής
Ο νόmicroος διατήρησης της ορmicroής laquoαποδείχθηκεraquo χρησιmicroοποιώντας την αρχή της ∆ράσης-Αντίδρασης που απαιτείάπειρη ταχύτητα αλληλεπίδρασης
Α Μπορούmicroε να τον επαναδιατυπώσουmicroε ή laquoαποδείξουmicroεraquo από την Αρχή του Γαλιλαίου για το αναλλοίωτοτων νόmicroων και τις Αρχές ∆ιατήρησης της ενέργειας και microάζας
΄Εστω δύο σώmicroατα 1 και 2 αρχικά ελεύθερα microε ταχύτητες v1 και v2 Μετά την κρούση έχουν ταχύτητεςw1 και w2
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα S)
1
2m1v
21 +
1
2m2v
22 =
1
2m1w
21 +
1
2m2w
22 + ∆ε (31)
Η ενέργεια ∆ε παριστάνει τη microεταβολή στην εσωτερική ενέργεια των δύο σωmicroάτων και είναι αναλλοίωτηποσότητα όπως δείχνει το πείραmicroα
Νόmicroος διατήρησης της ενέργειας (στο σύστηmicroα Sprime)
1
2m1v
prime21 +
1
2m2v
prime22 =
1
2m1w
prime21 +
1
2m2w
prime22 + ∆ε (32)
Μετασχηmicroατισmicroός ταχυτήτων (microεταξύ S και Sprime)
v1 = v + vprime1 w1 = v +wprime1
(33)v2 = v + vprime2 w2 = v +wprime2
Αντικαθιστούmicroε την (33) στην (32) δεχόmicroαστε την (31) και παίρνουmicroε
(m1v1 +m2v2) middot v = (m1w1 +m2w2) middot v
για κάθε v ΄Αρα
m1v1 +m2v2 = m1w1 +m2w2 (34)
Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Εποmicroένως
Αναλλοίωτο + Αρχή ∆ιατήρησης της ενέργειαςrArr Αρχή ∆ιατήρησης της ορmicroής
Β Εάν σε ένα σύστηmicroα έχουmicroε
1 Αρχή διατήρησης ενέργειας
2 Αρχή διατήρησης ορmicroής
και το αναλλοίωτο των νόmicroων σύmicroφωνα microε τους microετασχηmicroατισmicroούς Γαλιλαίου για δύο αδρανειακά συ-στήmicroατα αναφοράς τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα (32) και (34) σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακόσύστηmicroα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
62 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Πρόβληmicroα - Εφαρmicroογή
Μέσα σε ένα όχηmicroα που κινείται σε σιδηροτροχιές σε ευθεία γραmicromicroή και microε ταχύτητα 5 ms έχουmicroε κρούσηmicroιας microάζας Α 0 1 kgr που κινείται microε ταχύτητα 1 ms στην ίδια κατεύθυνση microε το όχηmicroα microε microια δεύτερη microάζαΒ 0 05 kgr που κινείται microε ταχύτητα 5 ms σε κατεύθυνση αντίθετη του οχήmicroατοςΟι ταχύτητες των δύο microαζών αναφέρονται ως προς το όχηmicroα Μετά την κρούση η microάζα Β ϐρίσκεται ακίνητηmicroέσα στο όχηmicroα
(α) Ποια είναι η ταχύτητα της microάζας Α Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε (ϐ) Τι ϐλέπει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς τις σιδηροτροχιές
A B
SSacute
xxacute
Σχήmicroα 311
Λύση
(α) ΄Εχουmicroε
vΑ = 1 ms x vprimeΑ = = minus1 5 ms xvΒ︸︷︷︸προ
= minus5 ms x vprimeΒ︸︷︷︸microετά
= 0
Από διατήρηση ορmicroής έχουmicroεmAvA +mBvB = mAv
primeA +mBv
primeB
0 1times 1minus 0 05times 5 = 0 1times vprimeA + 0rArr vprimeA =0 1minus 0 25
0 1= minus0 15
0 1
Eκιν(προ) =1
2mAv
2A +
1
2mBv
2B =
1350
2000Kgr m2s2︸ ︷︷ ︸
Joule
Eκιν(microετά) =1
2mAv
prime2A +
1
2mBv
prime2B =
225
2000Joule
∆Ek = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000Joule
∆Ek lt 0rArr χάθηκε ενέργεια
(ϐ) Ακίνητος παρατηρητής
uA = v0x + vA = 6 msec x uprimeA = v0x + vprimeA = 3 5 msec xuB = v0x + vB = 0 uprimeB = v0x + vprimeB = 5 msec x
pπρο = pmicroετά microας δίνει τα ίδια αποτελέσmicroατα
ESκιν(προ) =1
2mAu
2A +
1
2mBu
2B =
3600
2000Joule
ESκιν(microετά) =1
2mAu
prime2A +
1
2mBu
prime2B =
2475
2000Joule
∆ESk = Eκιν(microετά) minus Eκιν(προ) = minus1125
2000
∆ESk = ∆Eκ(τρένο)
Χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση από τις εσωτερικές δυνάmicroεις τριβής πραγmicroατικές δυνάmicroεις
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 63
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis
361 Σχετικά προβλήmicroατα
Πρόβληmicroα 1
΄Ενα έντοmicroο κινείται microε ταχύτητα v κατά microήκος ϱάβδου που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο της ο άξοναςπεριστροφής είναι κάθετος της ϱάβδου Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ϱάβδου ως προς την επιφάνειατης Γης είναι ω Υπολογίστε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εντόmicroου ως προς την επιφάνεια της Γης
Πρόβληmicroα 2
Λεπτή ϱάβδος microήκους L περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφοάξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Κατά microήκος της ϱάβδου κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας m τοοποίο ξεκινά από το σταθερό άκρο της ϱάβδου microε αρχική ταχύτητα v0 Πότε ϕθάνει στο LΠόση δύναmicroη ασκεί η ϱάβδος στο σφαιρίδιο
Πρόβληmicroα 3
Πόση είναι η οριζόντια απόκλιση ενός σώmicroατος που πέφτει κατακόρυφα στον Ισηmicroερινό λόγω της επιτάχυνσηςCoriolis
Πρόβληmicroα 4
Λεπτή ϱάβδος microήκους L = 1 m περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω = 10 radsec σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ρ Σε εσωτερική ορθογώνια εσοχή και κατά microήκοςτης ϱάβδου microπορεί να κυλά χωρίς τριβή σφαιρίδιο microάζας M = 1 Kgr Το σφαιρίδιο είναι προσαρτηmicroένο στηνάκρη αβαρούς ελατηρίου ϕυσικού microήκους L2 και σταθεράς k = 1200 Ntm Το άλλο άκρο του ελατηρίου έχεικαρφωθεί στο περιστρεφόmicroενο άκρο Ρprime της ϱάβδου ΄Εστω ότι τη χρονική στιγmicroή t = 0 το σφαιρίδιο ϐρίσκεταισε απόσταση L3 από το Ρ και έχει ταχύτητα v0 = 5 msec microε ϕορά από το Ρ προς το Ρprime
(α) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειακίνητος παρατηρητής O
(ϐ) Υπολογίστε και σχεδιάστε τις δυνάmicroεις που δέχεται το σφαιρίδιο για t = 0 όπως αυτές τις microετράειπαρατηρητής Π που περιστρέφεται microαζί microε τη ϱάβδο
(γ) ∆είξτε ότι σύmicroφωνα microε τον Π η ολική δύναmicroη που ασκείται στο σφαιρίδιο microηδενίζεται όταν αυτό ϐρίσκεταισε κάποιο σηmicroείο Α της ϱάβδου
(δ) ∆είξτε ότι η κίνηση του σφαιριδίου ως προς τον παρατηρητή Π είναι αρmicroονική ταλάντωση γύρω από τοσηmicroείο Α και ϐρείτε την κυκλική της συχνότητα
y
x
z
Ρ
Ρacute
ω
L
Σχήmicroα 312
362 ∆ύναmicroη Coriolis
΄Εστω ένα στερεό σώmicroα (πχ η Γη) το οποίο περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα σταθερό σηmicroείοΟ
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
64 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Στο σηmicroείο Ρ ένα σωmicroατίδιο κινείται microε ταχύτητα u ως προς το ακίνητο σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
u =dr
dt
Πόση είναι η ταχύτητα του σωmicroατιδίου στο σηmicroείο Ρ ως προς το τοπικό περιστρεφόmicroενο microε το στερεό σώmicroασύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) Πώς συνδέονται οι δύο microετρήσεις Παρατήρηση το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς (xprime yprime zprime) περιστρέφεται στιγmicroιαία microε γωνιακή ταχύτητα ω ως προςτο σταθερό αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς (x y z)
ω
O
z
x y
zacute
xacute yacuteΡ
r acute
r
OacuteR
Σχήmicroα 313
r = R+ rprime
rprime = xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime
u =
(dr
dt
)O
η ταχύτητα του Ρ ως προς τον Ο
v =dxprime
dtxprime +
dyprime
dtyprime +
dzprime
dtzprime η ταχύτητα του Ρ ως προς το τοπικό σύστηmicroα αναφοράς Oprime
rArr v =
(drprime
dt
)Oprime (
dr
dt
)O
=
(dR
dt
)O
+ v + xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt︸ ︷︷ ︸microεταβολή του rprime λόγω περιστροφής του Oprime
Για τα microοναδιαία διανύσmicroατα ισχύει ότι λόγω περιστροφής έχουmicroε
dxprime
dt= ω times xprime dyprime
dt= ω times yprime dzprime
dt= ω times zprime
η απόδειξη είναι όmicroοια microε την απόδειξη για την microεταβολή του R ποιό κάτω΄Αρα
xprimedxprime
dt+ yprime
dyprime
dt+ zprime
dzprime
dt= xprimeω times xprime + yprimeω times yprime + zprimeω times zprime
= ω times (xprimexprime + yprimeyprime + zprimezprime) = ω times rprime
Είναι ισοδύναmicroο microε την περιστροφή του Oprime ως προς το Ρ κατά (minusω) ϑεωρώντας το Ρ στιγmicroιαία ακίνητο(dR
dt
)O
= ω timesR
rArr u = v + ω times r
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 65
dφ
R(t)R(t+dt)
ds
O
ω
θ
Σχήmicroα 314
διότι r = R+ rprime
Απόδειξη του τύπου για την microεταβολή του R (ϐλέπε σχήmicroα 314)
ds = R sin θdφ
ds
dt= R sin θ
dφ
dt= R sin θω
rArr ds
dt= ω timesR dsperp (ωR)
ds = R(t+ dt)minusR(t) = dR
rArr(
dR
dt
)O
= ω timesR
Η προηγούmicroενη απόδειξη είναι γενική microπορεί να εφαρmicroοστεί για την microεταβολή οποιασδήποτε διανυσmicroατικήςποσότηταςΠόση είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου στο σύστηmicroα Oprime Πώς συνδέονται οι microετρήσεις στα δύο συστήmicroατα Oκαι Oprime
a =
(du
dt
)O
είναι η επιτάχυνση του σωmicroατιδίου Ρ στο laquoαδρανειακόraquo σύστηmicroα αναφοράς ΟΓια την επιτάχυνση γ στο περιστρεφόmicroενο σύστηmicroα αναφοράς Oprime έχουmicroε
γ =dvxprime
dtxprime +
dvyprime
dtyprime +
dvzprime
dtzprime =
(dv
dt
)Oprime
είναι η microεταβολή της ταχύτητας v ως προς τον O΄(du
dt
)O
=
(dv
dt
)O︸ ︷︷ ︸
()
+ω times(
dr
dt
)O︸ ︷︷ ︸
(v+ωtimesr)
διότι υποθέσαmicroεdω
dt= 0 (
dv
dt
)O
=
(dv
dt
)Oprime
+ ω times v
όπου ω times v είναι η microεταβολή της ταχύτητας του σωmicroατιδίου Ρ ως προς το χρόνο λόγω περιστροφής τουσυστήmicroατος αναφοράς υποθέτοντας ότι στιγmicroιαία το Ρ έχει σταθερή ταχύτητα v ως προς το κινούmicroενο σύστηmicroααναφοράς Εποmicroένως έχουmicroε
a = γ + 2 (ω times v) + ω times (ω times r)
Εφαρmicroόζωντας τον νόmicroο του Νεύτωνα στα δύο συστήmicroατα αναφοράς ϐρίσκουmicroε
F = ma rArr F = mγ + 2mω times v +mω times (ω times r)
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
66 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
rArr mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
Η δύναmicroη που ασκείται στην microάζα m για το microη αδρανειακό σύστηmicroα αναφοράς είναι το άθροισmicroα τριών όρωνΤης πραγmicroατικής δύναmicroης F και δύο υποθετικών δυνάmicroεων της δύναmicroης Coriolis και της ϕυγόκεντρηςδύναmicroης
FCoriolis = minus2mω times vόπου v η ταχύτητα κινητού ως προς την περιστρεφόmicroενη Γη και ω το διάνυσmicroα περιστροφής της Γης
Fϕυγόκεντρος = minusmω times (ω times r)
είναι η ϕυγόκεντρος δύναmicroη λόγω περιστροφής και γ είναι η επιτάχυνση στο κινούmicroενο σύστηmicroα αναφοράς
Εφαρmicroογή ω = ωz
Σχετική κίνηση επάνω στο επίπεδο (x y) ή ϑέτοντάς το αλλιώς γύρω από τον Ισηmicroερινό της Γης Το σύστηmicroααναφοράς (xprime yprime) περιστρέφεται microε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το ακίνητο αδρανειακό σύστηmicroααναφοράς (x y)Το σηmicroείο P έχει συντεταγmicroένες (x y) ή (xprime yprime) = (xR yR)
r = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime
για τα microοναδιαία διανύσmicroατα (δες σχήmicroα) ισχύει
x
y xacute
yacute φ=ωt
φ
xprime = ax+ βy
όπου
a = xprime middot x = cosφ = cos(ωt) β = xprime middot y = sinφ = sin(ωt)
τελικά έχουmicroε
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
Οι συντεταγmicroένες του P ικανοποιούν τις σχέσεις
x = xR cos(ωt)minusyR sin(ωt) y = xR sin(ωt)+yR cos(ωt) z = zR
Ρ(t)
y
x
xacute=xR
yacute=yR y
x
φ=ωt
Σχήmicroα 315
Για την ταχύτητα u του σηmicroείου P στα δύο συστήmicroατα αναφοράςπαραγωγίζουmicroε την προηγούmicroενη σχέση ορισmicroού των συντεταγmicroένωνΟρίζουmicroε κατάρχάς για ευκολία τις ποσότητες
dx
dt= x
dy
dt= y
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 67
και ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus xRω sin(ωt)minus yR sin(ωt)minus yRω cos(ωt)
y = xR sin(ωt) + xRω cos(ωt) + yR cos(ωt)minus yRω sin(ωt)
και διανυσmicroατικάu = xx+ yy = xRx
prime + yRyprime minus xprimeωyR + yprimeωxR = v + ω times r
όπου v = xRxprime + yRy
prime
Για την επιτάχυνση a παραγωγίζοντας τις προηγούmicroενες σχέσεις ϐρίσκουmicroε
x = xR cos(ωt)minus 2ωxR sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)minus yR sin(ωt)minus 2ωyR cos(ωt) + ω2yR sin(ωt)
y = xR sin(ωt) + 2ωxR cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt) + yR cos(ωt)minus 2ωyR sin(ωt)minus ω2yR cos(ωt)
a = xx+ yy = xRxprime + yRy
prime + 2ωxRyprime minus 2ωyRx
prime minus ω2xRxprime minus ω2yRy
prime
= γ + 2ω times v minus ω2r
όπου γ = xRxprime + yRy
prime
ω times v =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times r =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωxR yR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeωyR + yprimeωxR
ω times (ω times r) =
∣∣∣∣∣∣xprime yprime zprime
0 0 ωminusωyR ωxR 0
∣∣∣∣∣∣ = minusxprimeω2xR minus yprimeω2yR = minusω2r
Πρόβληmicroα 1
Ταυτίζουmicroε τη ϱάβδο microε τον άξονα xprime που περιστρέφεται microε γωνιακή ταχύτητα ω ΄Εχουmicroε
r = xRxprime v = xRx
prime γ = xRxprime
όπου
xprime = x cos(ωt) + y sin(ωt)
yprime = minusx sin(ωt) + y cos(ωt)
u = v + ω times r
rArr
ux = v cos(ωt)minus ωxR sin(ωt)
uy = v sin(ωt) + ωxR cos(ωt)
a = 2ω times v + ω times (ω times r)︸ ︷︷ ︸minusω2r
+0
γ
rArr
ax = 0
γ cos(ωt) minus 2ωv sin(ωt)minus ω2xR cos(ωt)
ay = 0
γ sin(ωt) + 2ωv cos(ωt)minus ω2xR sin(ωt)
αλλά xR = vt σύmicroφωνα microε την εκφώνηση του προβλήmicroατος άρα γ = xR = 0
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
68 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
x
xacute
yacute
y
θ=ωt
υ
ω
Σχήmicroα 316
Ισοδύναmicroα σε πολικές συντεταγmicroένες έχουmicroε
u =dr
dt=
dr
dtr + r
dθ
dtθ = vr + rωθ = v r︸︷︷︸
xprime
+ω times r
a =du
dt= minusr(dθ
dt)2r + 2
dr
dt
dθ
dtθ = minusrω2r + 2vωθ = minusω2r + 2ω times v
Πρόβληmicroα 2
Λύση (1)
x
y
υ
ω
O
FL
Σχήmicroα 317
F = ma
a =(r minus rθ2
)r +
(2rθ + rθ
)θ
θ =dθ
dt= ω σταθερή
Η δύναmicroη F είναι κάθετη στη ϱάβδο ασκείται από τη ϱάβδο στο σφαιρίδιο διότι δεν υπάρχει τριβή εποmicroένωςF = F θ
rArr r minus ω2r = 0 και m(
2rθ + rθ)
= F
rArr F = 2mωr
rArr r = ω2r rArr r = Aeωt +Beminusωt
dr
dt
∣∣∣t=0
= v0 rArr v0 = ωAminus ωB = ω(AminusB) και r(t = 0) = 0rArr A+B = 0
rArr A = minusB rArr v0 = 2Aω rArr A =v0
2ω
rArr r(t) =v0
2ω
(eωt minus eminusωt
)=v0
ωsinh(ωt)
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 69
για t = t0 στο σφαιρίδιο ϕτάνει στο άκρο L της ϱάβδου εποmicroένως
L =v0
ωsinh(ωt0)
Λύση (2)
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
ω = ωz r = rr v =dr
dtr γ =
d2r
dt2r
Η ταχύτητα v του σφαιριδίου είναι κατά microήκος της ϱάβδου για τον περιστρεφόmicroενο παρατηρητή το ίδιο και ηεπιτάχυνση γ
ω times v = ωrz times r = ωrθ
F = F θ ω times (ω times r) = minusω2rr
από τις οποίες προκύπτουν
mr = mω2r rArr r = ω2r (35)F minus 2mωr = 0rArr F = 2mωr
Από την (35) παίρνουmicroεr(t) = Aeωt +Beminusωt
όπως προηγουmicroένως στη λύση 1 Τα rv και γ είναι αντίστοιχα η ϑέση η ταχύτητα και η επιτάχυνση όπωςτα ϐλέπει ο περιστρεφόmicroενος παρατηρητής
Πρόβληmicroα 3
x
y
z
υ
ω
Σχήmicroα 318
v είναι η ταχύτητα σώmicroατος που πέφτει τοπικά
v = minusvz
Επιτάχυνση Coriolis για τον κιν παρατηρητή = minus2ω times v = +2ωvy times z = 2ωvx
εποmicroένως η εξίσωση του Νεύτωνα για τον κινούmicroενο παρατηρητή είναι
d2x
dt2= 2ωv
Προσεγγιστικά η ταχύτητα v = gt διότι το σώmicroα πέφτει microε επιτάχυνση την επιτάχυνση της ϐαρύτητας g στονισηmicroερινό (ϕαινόmicroενο g)
rArr d2x
dt2= 2ωgt microε τη συνθήκη
dx(t = 0)
dt= 0
rArr dx
dt= ωgt2 (ολοκλήρωση)
rArr x =1
3ωgt3 rArr x =
1
3ωg
(2h
g
)32
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
70 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
Για ελεύθερη πτώση από ύψος h = (12)gt2Για πτώση από έναν ουρανοξύστη ύψους 100 m η απόκλιση είναι x 2 15 cm
∆εύτερη microατιά στο ίδιο ϑέmicroα
mγ = F minus 2mω times v minusmω times (ω times r)
F = minusmgr minusmgzΤαυτίζουmicroε την ακτινική διεύθυνση microε τον άξονα z
r (R+ z)z + xx Rz + (zz + xx)
ω times (ω times r) = minusω2r minusω2
0
(R+ z) z
rArr ω times (ω times r) minusω2Rz
ω
r
Σχήmicroα 319
v = vxx+ vzz
ω times v =
∣∣∣∣∣∣x y z0 ω 0vx 0 vz
∣∣∣∣∣∣ = xωvz minus zωvx
mdvzdt
= minusmg + 2mωvx +mω2R
mdvxdt
= minus2mωvz
rArr mdvzdt
= minusm(g minus ω2R
)= minusmgϕαινόmicroενο ωvx asymp 0
όπου το ωvx είναι αmicroελητέο ως προς το gϕ (αποσύζευξη των εξισώσεων)
rArr dvzdt
= minusgϕ rArr vz = minusgϕt
rArr dvxdt
= 2ωgϕtrArr vx = ωgϕt2
dx
dt= ωgϕt
2 rArr x(t)minus x(0) =1
3ωgϕt
3
Πρόβληmicroα 4
(α) Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = k∆l = k
(2L
3minus L
2
)= 200 Nt
Για τον ακίνητο παρατηρητή ισχύει
F = Ma = M(rprimeprime minus rω2
)r + 2Mω
dr
dtθ
v0 =dr
dtκαι Fϱ = Fϱθ = 2Mωv0 = 100 Nt
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
36 Περιστρεφόmicroενα Συστήmicroατα Αναφοράς - ∆ύναmicroη Coriolis 71
y
xΡ
Ρacuteω
Ρacuteacute
υ0
FρFελ
Σχήmicroα 320
(ϐ) Για παρατηρητή περιστρεφόmicroενο microαζί microε τη ϱάβδο ισχύει
Mγ = F minus 2Mω times v minusMω times (ω times r)
F = Fελr + Fϱθ
FCoriolis = minus2Mω times v = minus2Mωdr
dtω times r = minus2Mω
dr
dtθ
Fϕυγόκεντρος = minusMω times (ω times r) = Mω2rr
Για τη χρονική στιγmicroή t = 0 έχουmicroε
Fελ = 200 NtFCoriolis = 2Mωv0 = 100 Nt
Fϕυγόκεντρος =100
3Nt
κι εφόσον η επιτάχυνση γ δεν έχει θ συνιστώσα
γ =d2r
dt2r rArr Fϱ minus 2Mω
dr
dt= 0
rArr Fϱ = 2Mωv0 = 100 Nt
(γ) ∆ύναmicroη ακτινική κατά microήκος της ϱάβδου
Md2r
dt2= Fελ +Mω2r
επιτάχυνση microηδέν rArr Fελ +Mω2r0 = 0 όπου Fελ = k
(L
2minus r)
rArr k
(L
2minus r0
)+Mω2r0 = 0rArr k
L
2=(k minusMω2
)r0 για τη ϑέση ισορροπίας
r0 =k(L2)
k minusMω2= rΙσορροπίας
rΙ =6
11m
(δ)
Mrprimeprime = k
(L
2minus r)
+Mω2r = minus(k minusMω2
)r +
kL
2= minus
(k minusMω2
)r +
(k minusMω2
)r0
= minus(k minusMω2
)(r minus r0)
x = r minus r0 rArrMxprimeprime = minusDx όπου D = k minusMω2
xprimeprime = minusDMx = minusω2
0x
δηλαδή έχουmicroε ταλάντωση microε συχνότητα
ω20 =
k minusMω2
M=
k
Mminus ω2 gt 0
ω20 = (1200minus 100)secminus2 = 1100 secminus2
ω0 =radic
1100 secminus1
γύρω από το σηmicroείο ισορροπίας r0
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς
72 Αδρανειακά και περιστρεφόmicroενα συστήmicroατα αναφοράς