Теория вероятности практикаfavt.clan.su/_ld/1/137_teorver_pract.pdf ·...
-
Upload
duongnguyet -
Category
Documents
-
view
242 -
download
8
Transcript of Теория вероятности практикаfavt.clan.su/_ld/1/137_teorver_pract.pdf ·...
В. А. Власьева Теория вероятности Конспект практических занятий Выполнил студент 712 группы Димент А. В. СПбГУКиТ 2009
2
Элементарные исходы – которые не пересекаются меж-ду собой. Все остальные исходы формируются из эле-ментарных.
► Монета подбрасывается дважды.
А = {монета выпадает одной стороной}
B = {1 – орёл, 1 - решка}
С = {хотя бы 1 раз орёл}
Найти вероятности этих событий.
Чтобы найти вероятность, найдём количество благопри-ятных и всего исходов.
Элементарные события (Е): {о, р}, {о, р}, {р, р}, {р, о}. Они не пересекаются (не происходят одновременно), и кроме них ничего произойти не может.
Р(А)=2/4=1/2
Р(В)=2/4=1/2
Р(С)=3/4 ( ) = 1
► В коробке лежат шары: 10 белых + 8 чёрных + 2 жёл-тых. Вытаскиваем шар. События:
А = { белый или чёрный }
В = { ни белый, ни чёрный }
С = { либо не белый, либо не чёрный }
Всего исходов n = 20. А: благоприятных исходов 18. р(А)=18/20=0,9.
3
В: р(В)=2/20=0,1
С: р(С)=1.
► В лифт 9-этажного дома входят 4 человека. Какова вероятность того, что все они выйдут на разных эта-жах?
Р(А)=m/n
n=8^4= — для каждого по 8 вариантов. m=8⋅7⋅6⋅5=1680= p(A)=0,41
► Солдат пишет письма трём девушкам. Адреса писал на удачу.
А = { по адресу не попадёт ни одно письмо }
В = { попадёт ровно 1 письмо по адресу }
С = { попадёт два письма по адресу }
Всего исходов n=3!=6 — всевозможные перестановки девушек.
Для А: все цифры из 123 на чужих местах. m= B: = = 3
C: m=
► В электричке 10 вагонов. Там случайно получились преступник и комиссар Рекс. Событие А: {они оказались в одном вагоне}. В: {в соседних вагонах}.
4
Для каждого из них по 10 вариантов, следовательно, n=10*10=100.
p(A)=10/100=0,1
p(B)=18/100=0,18.
Парк. Там озеро. Начинается дождь. Какова вероят-ность, что первая капля попадёт в озеро? =
S1 — площадь озеро, S — общая площадь. — геометрич. опр-е вероятности.
► Двое договорились встретиться между 12 и 13. Реши-ли, что каждый ждёт каждого 20 минут, а потом уходит. какова вероятность, что они встретятся?
0 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ 1
Условие встречи: | − | ≤ . Модуль, так как неизвестно, кто приходит.
x
1
1
S1
y
5
−13 ≤ − ≤ 13
− 13 ≤ ≤ + 13 = 1 ед = 1 − 2 ⋅ 12 23 = 59
= = 59
ДЗ:
► Точку бросают в круг + ≤ 1. A: {расстояние от точки до центра круга превышает 1/2}. В: точка ока-жется вне квадрата, вписанного в круг. Найти вероят-ность. =
1. = вн = = 1 − = 0.75. 2. кв = = . = √ = − кв = 1 − 4 ⋅ 1 1 = 1 − 4
► Какая сумма очков – 9 или 10 – наблюдается чаще при подбрасывании а) двух игральных костей; б) трёх игральных костей.
6
Теорема сложения и умножения. Определим, какие событие зависимые и независимые, и какие совместные и несовместные.
Теорема. Рассмотрим два события А и В. Вероятность Р (А + В) = Р (А) + P (B) – P (AB).
( + - или, ⋅ - одновременно) Для несовместных событий Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Р (АВ) = Р (А | B) ⋅ P (B) = Р (В | А) ⋅ P (А)
Для независимых событий: Р (А|B) = Р (А), Р (В|A) = Р (B).
► Буквы: СТАТИСТИКА.
Вероятность получения слово ТИСКИ?
Р (ТИСКИ) = Р (Т) ⋅ P (И|T) ⋅ P (C|ТИ) ⋅ Р (К|ТИС) ⋅ Р (И|ТИСК) = 3/10⋅2/9⋅2/8⋅1/7⋅1/6.
А можно так: = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
► В семье двое детей. По крайней мере один из них мальчик. Мы собрались в гости и выбираем подарок. Какова вероятность, что второй тоже мальчик? (М |М ) = (М ⋅М ) (М ) М = {другой мальчик}
7
М = {мальчик} Варианты: ММ, МД. (ММ) = 1 4⁄ , (М) = 3 4⁄ , (М|М) =1 3⁄ .
► Есть трёхзначные числа. Из всех наугад выбирается одно. Какова вероятность, что выбранное число будет делиться хотя бы на 4 или 6?
А = {выбранное число делится на 4}
В = {на 6}
P (А + В) = P (A) + P (B) – P (AB)
P (A) = 900/4/900 = 225/900
P (В) = 150/900
Р (AB) = 75/900
P (A+B) = (225+150-75)/900 = 1/3
► Аналогично, но В = {делится на 10}
Р (В) = 900/10/900
Р (АВ)
► Из стандартного набора домино (28 костей) берется на удачу одна. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем, если известно, что сумма очков на этой кости чётное число.
А = {дубль}
В = {четное кол-во очков}
Р (A|B) = 7/16 = 0.43
8
► Вероятность попадания в цель равна 0.3, а вероят-ность уничтожения цели при попадании 0.05. Вероят-ность уничтожения?
1/6
► Колода карт 36. Из колоды наудачу выбирают три. Какова вероятность того, что среди них не будет ни од-ной шестёрки.
4/36=1/9
3/35
2/34=1/17
Всего исходов: = = ! ! ! = 7140. = ⋅ = 1 ∗ 4960 = 49607140 = 0.69
► Посчитать, что в этих трех картах не попадётся ни одной пики.
Всего исходов: = = ! ! ! = 7140. = ⋅ = 1 ⋅ 2925 = 29257140 = 0.41
► Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка 0.7, второго 0.8. Найти вероятность того, что мишень будет пораже-на.
А: попал первый, В: попал второй. Подключаем теорему о сложении вероятностей.
9
( + ) = ( ) + ( )− ( ) = 0.94
А можно иначе. Пусть мишень не поражена: С. p1=0.7, q1=1-0.7=0.3. q2=0.2. Вероятность события С p(c)=0.3*0.2=0.06 — вероятность обратного события. ( ̅) = 1 − ( ) = 0.94
ДЗ
► Среди ста лотерейных билетов 10 выигрышных. Най-ти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.
►Только один из девяти ключей подходят к данному замку. Какова вероятность того, что придётся опробо-вать пять ключей для открывания замка?
Полная вероятность? Есть событие А и группа событий , … , которые попарно независимые. — гипотезы.
( ) = 1
Вероятность события А складывается из
( ) = ( ) ( | )
► Магазин. 45% телевизоров изготовлены на первом за-воде, 15% на втором, остальные 40 на третьем. Вероят-ность того, что телевизоры не поломаются с первого за-вода 0.96, второго – 0.84, третьего – 0.9. Выбираем нау-дачу телевизор. Какова вероятность того, что он не по-ломается?
10
За событие А примем событие {телевизор не поломается}.
Определимся с гипотезами.
H1={телевизор изготовлен на первом заводе}
H2={на втором}
H3={на третьем}
Определим вероятности гипотез и условные вероятно-сти. ( ) = 0.45 ( ) = 0.15 ( ) = 0.4 ( | ) = 0.96 ( | ) = 0.84 ( | ) = 0.9
( ) = ( ) ( | ) = 0.45 ⋅ 0.96 + 0.15 ⋅ 0.84 + 0.4 ⋅ 0.9= 0.918
► Для улучшения качества связи используют два ра-диоприёмника. Вероятность приёма сигнала каждым приёмником 0,8. События независимые. Определить ве-роятность приёма сигнала, если вероятность безотказ-ной работы во время сеанса каждого приёмника 0.9.
Определим событие А и гипотезы.
А={сигнал принят}
H1=оба приёмника примут сигнал.
H2=принят первым.
11
H3=принят вторым.
H4=оба не работают.
Мы разобрали все случаи. Определим вероятности гипо-тез. ( ) = 0.9 ⋅ 0.9 = 0.81 ( ) = 0.9 ⋅ 0.1 = 0.09 ( ) = 0.9 ⋅ 0.1 = 0.09 ( ) = 0.1 ⋅ 0.1 = 0.01
Определим условные вероятности. Сигнал принят при условии, что оба работают, то есть принимает либо пер-вый, либо второй, либо оба: ( | ) = ( ) + ( )− ( ) = 0.8 + 0.8− 0.64 = 0.96 ( | ) = 0.8 ( | ) = 0.8 ( | ) = 0 ( ) = 0.81 ⋅ 0.96 + 2 ⋅ 0.09 ⋅ 0.8 = 0.92
► Три стрелка произвели по одному выстрелу по наме-ченной цели. Вероятность попадания первым стрелком 0.6, вторым 0.7, третьим 0.8. При одном попадании в мишень вероятность поражения её 0.2. При двух – 0.6. При трёх 1. Найти вероятность поражения цели.
Событие А = {цель поражена}
Гипотезы:
H1 = {три попадания}
12
H2 = {1 попадание}
H3 = {двое попали}
H3 = {никто не попал} ( ) = 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ 0.8 = 0.336 ( ) = 0.6 ⋅ 0.3 ⋅ 0.2 + 0.4 ⋅ 0.7 ⋅ 0.2 + 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.8 = 0.188 ( ) = 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ 0.2 + 0.6 ⋅ 0.3 ⋅ 0.8 + 0.4 ⋅ 0.7 ⋅ 0.8 = 0.452 ( ) = 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.2 = 0.024 ( | ) = 1 ( | ) = 0.2 ( | ) = 0.6 ( | ) = 0 ( ) = 0.336 ⋅ 1 + 0.188 ⋅ 0.2 + 0.452 ⋅ 0.6 = 0.6448
► Легковых в 4 раза больше, чем грузовых. К месту, где расположена бензоколонка, подъезжает машина. Веро-ятность того, что они заедут на заправку, для легковых 0.15, для грузовых 0.05. Подъезжает машина. Чему ве-роятность того, что она подъедет к заправке?
Событие А: машина заедет на заправку.
Гипотезы:
По дороге едет: H1=легковая, H2=грузовая. ( ) = 0.8 ( ) = 0.2
Определяем условные вероятности. ( | ) = 0.15
13
( | ) = 0.05 ( ) = 0.8 ( ) = 0.2 ( | ) = 0.15 ( | ) = 0.05 ( ) = 0.8 ⋅ 0.15 + 0.2 ⋅ 0.05 = 0.13
► На сборку поступают детали с трёх автоматов. Пер-вый автомат выдаёт 0.2% брака, второй 0.1%, третий не даёт брака. На сборку поступило 2000 деталей с первого атомата, 3000 со второго, 5000 с третьего. Вероятность того, что деталь, выбранная наугад, будет бракован-ной?
А=деталь бракована.
Деталь с H1=1 авт
H2=2 авт
H3=3 авт
P(H1)=0.2, P(H2)=0.3, P(H3)=0.5. ( | ) = 0.002 ( | ) = 0.001 ( | ) = 0 ( ) = 0.002 ⋅ 0.2 + 0.001 ⋅ 0.3 = 0.0007
► Есть больница. Туда поступают больные с заболева-ниями А, В, С. 50% с А, 30% с В, 20% с С. Вероятности полного излечения от этих болезней равны соответст-венно 0.95, 0.9 и 0.85. Мы встречаем одного из пациен-тов. Какова вероятность, что он излечён полностью?
14
А=излечён полностью.
У него А: H1.
У него В: H2.
У него С: H3. ( ) = 0.5 ( ) = 0.3 ( ) = 0.2 ( | ) = 0.95 ( | ) = 0.9 ( | ) = 0.85 ( ) = 0.915
Теперь мы можем пересчитать вероятности гипотез. Для этого используется формула Байеса. ( | ) = ( ) ( | ) ( ) = 0.295 ( | ) = 0.519
► Посчитать вероятность того, что заправленная маши-на была грузовик. ( | ) = 0.2 ⋅ 0.050.13 = 0.077
ДЗ
►Система обнаружения самолёта из-за наличия помех может давать ложные показания с вероятностью 0.05. А при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с ве-роятностью 0.9. Вероятность появления противника в зоне 0.25. Определить вероятность ложной тревоги.
15
A={локатор обнаружил противника}
H1={есть}, H2={нет}
P(H2|A)={ложная тревога}
P(H1)=0.25, P(H2)=
►Предположим, что 5% мужчин и 0.25% женщин явля-ются дальтониками. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинако-вое количество, найти вероятность того, что этот чело-век а) мужчина; б) женщина.
А=нашли дальтоника.
H1=мужчина
P(H1|A)={мужчина при условии, что дальтоник} – найти
P(A|H1)=0.05
P(A|H2)=0.0025
P(H1)=P(H2)=0.5 ( | ) = 0.5 ⋅ 0.050.5 ⋅ 0.05 + 0.5 ⋅ 0.0025 = 0.95
► Известно, что в среднем 95% продукции удовлетворя-ет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодную продукцию с вероятностью 0.96, если она стандартна, и 0.06 — если нестандартна. Найти вероят-ность того, что взятое наугад изделие пройдёт упрощен-ный контроль.
H1 = по госту
H2 = не по госту
А = пройдёт
16
P(H1)=0.95
P(H2)=0.05
P(A|H1)=0.96
P(A|H2)=0.05
P(A)=0.95⋅0.96+0.05⋅0.06=0.915
► В студенческой группе 70% юноши. 20% юношей и 40% девушек имеют сотовый телефон. В аудитории ос-тавили сотовый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал юноше?
Н1=юноши, Н2=девушки.
А=кто-то оставил телефон.
P(H1)=0.7, P(H2)=0.3.
P(A|H1)=0.2
P(A|H2)=0.4
Р(Н1|A)-? Р(Н | ) = ( ) ( | ) ( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = 0.54
Схема испытаний Бернулли Проводится n испытаний. В результате каждого может появиться событие А, а может не появиться. Вероят-ность появления события в ходе каждого испытания всегда одинаково: ( ) = . Вероятность непоявления события А ( ̅) = 1 − = . Вероятность (m раз в n испы-таниях): ( ) = .
17
— наивероятнейшее число появления события А − ≤ ≤ +
► Игральную кость кидают 10 раз. Найти вероятность того, что 6 выпадет а) два раза; б) не более восьми раз; в) хотя бы один раз.
Вероятность выпадения шестёрки p=1/6. q=5/6.
(2) = 16 56 = 0.29
Не более 8 посчитаем через более и вычтем из единицы. ( ≤ 8) = (0) + (1) + ⋯+ (8) = 1− ( > 8)= 1 − (9)− (10) (9) = ⋅ 16 56 = 10!9! 1! 16 56 = 8.26 ⋅ 10
(10) = ⋅ 16 = 16 ( ≤ 8) = 0.99
3) Посчитаем выпадения ни разу и вычтем, получим хо-тя бы один раз.
(0) = С 16 56 ( > 0) = 1 − 56 = 0.84
► Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.
18
n=240
p=0.7
q=0.3
m0-? ( − = 167.7) ≤ ≤ ( + = 168.3) = 168
► Брошено два кубика. 1) Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. 2) Что сумма равна 8, а разность 4. 3) Что сумма равна 8, если известно, что разность равна 4. 4) Того, что сумма 5, а произведение 4.
Посчитаем, сколько всего комбинаций: n=6*6=36.
1)Сумма 7:
6 и 1, 5 и 2, 4 и 3, 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4. ( ) = . 2) Сумма 8, разность 4. Всего: 6 и 2 или 2 и 6. p(a2)=2/36=1/18.
3) Разность 4: 1.5, 2.6, 5.1, 6.2. р(а3)=2/4=1/2.
4) 4.1 и 1.4. р=2/36.
► В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся 3 женщины.
Всего = ! ! ! = 120. Благоприятная комбинация: ⋅ = ! ! ! ⋅ ! ! ! = ⋅ ⋅ = 60.
19
p(A)=60/120=1/2.
► Набираем 7-значный телефон и забыли три послед-ние цифры. Знаем, что они различны. Найти вероят-ность того, что мы попали, куда надо.
Всего: = ! ! = 720. Благоприятных исходов: 1. Р=1/720=0.001389.
► В библиотеке на полке в случайном порядке расстав-лено 15 учебников. 5 из них в переплёте. Берем наудачу 3 учебника. Найти вероятность, что хотя бы один в пе-реплёте.
Тут лучше рассмотреть обратное событие (ни одного не будет в переплёте) и вычесть его вероятность из едини-цы.
А={хотя бы один в переплёте}. ̅ ={ни одного в переплёте} ( ) + ( ̅) = 1
Так лучше, т.к. одну вероятность найти проще, чем три.
Всего исходов: = = ! ! ! = 455.
Благоприятные. Из 5 в переплёте выбираем 0 – ни одно-го, из остальных 10 выбираем три. = ⋅ = 10!3! 7! = 120
p=m/n=0.26.
p(а)=1-0.26=0.74.
20
► Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попа-дания в мишень при одном выстреле для первого стрел-ка 0.7, для второго 0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один из стрелков.
Найдём вероятность первого, вероятность второго и сложим.
Варианты: попал первый, не попал второй; попал вто-рой, не попал первый.
А=попал один стрелок. А1=первый, А2=второй.
р(а1)=0.7*0.2=0.14.
р(а2)=0.8*0.3=0.24.
р(а)=р(а1)+р(а2)=0.38.
► Вероятности того, что нужная сборщику деталь на-ходится в 1,2,3,4 ящике равны соответственно 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. 1) Найти вероятность того, что деталь содер-жится не более, чем в 3 ящиках. 2) Не менее, чем в 2х ящиках.
1) Не более, чем в трёх. Ни в одном: 0.4∙0.3∙0.2∙0.1. В первом: … это долго. Рассмотрим противоположное со-бытие лучше. Пусть находится в четырёх. ( ̅) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,9 = 0.3024. ( ) = 0.6976
2) Не менее, чем в двух, то есть в 2х, 3х и 4х, и сложим.
В двух: ( ) = 0.6 ∙ 0.7 ∙ 0.2 ∙ 0.1 + 0.6 ∙ 0.8 ∙ 0.3 ∙ 0.1 + 0.6 ∙ 0.9 ∙0.3 ∙ 0.2 + 0.7 ∙ 0.8 ∙ 0.4 ∙ 0.1 + 0.7 ∙ 0.9 ∙ 0.2 ∙ 0.4 + 0.8 ∙ 0.9 ∙ 0.4 ∙0.3 = 0.2144
21
( ) = 0.6 ∙ 0.7 ∙ 0.8 ∙ 0.1 + 0.7 ∙ 0.9 ∙ 0.2 ∙ 0.4 + 0.8 ∙ 0.9 ∙ 0.4 ∙ 0.3= 0.3332
P( )+P(A2)+P(A3)=0.9572
{Но и тут лучше рассмотреть противоположное, то есть в одном и ни в одном: (0) = 0,0024. (1) = 0.6 ∙ 0.3 ∙ 0.2 ∙0.1 + 0.7 ∙ 0.4 ∙ 0.2 ∙ 0.1 + ⋯, p(m≥2)=1-p(0)-p(1)=}
► Студент знает 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что студент ответит на три предложенных ему во-проса. 2025 ∙ 1924 ∙ 1823 = 0,4956
Или иначе: = = 2300. = ⋅ = = = 0.4956
► Устройство содержит 2 независимо работающих эле-мента. Вероятности отказа этих элементов соответст-венно равны 0.05 и 0.08. Найти вероятность отказа уст-ройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
А1=отказал один, А2=отказал второй, A3=отказало оба.
Не забываем про другой!
Оба откажут: ( ) = 0.05 ∗ 0.08 = 0.004
Первый откажет, второй не откажет: ( ) = 0.05 ∗ 0.92 = 0.046
22
Второй откажет, первый не откажет: ( ) = 0.95 ∗ 0.08 = 0.076 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 0.126
Или можно было так: найдём вероятность того, что не отказал ни один, и вычтем из единицы. ( ̅) = 0.92 ∗ 0,95 ( ) = 1− ( ̅) ► Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разру-шен, если на него сбросили 4 бомбы, и вероятности по-падания их соответственно равны 0.3, 0.4, 0.6, 0.7.
Рассмотрим противоположное: ни одна не попадёт. ( ̅) = 0.7 ∗ 0.6 ∗ 0.4 ∗ 0.3 = 0.0504 ( ) = 1− 0.0504 = 0.9496
► Задача на полную вероятность. Есть пять винтовок. Три из них снабжены оптическим прицелом. Вероят-ность того, что убьём из винтовки с прицелом 0.95. А без — 0.7. Найти вероятность того, что мишень будет пора-жена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу выбранной винтовки.
А={цель поражена}.
H1={стреляли из винтовки с оптическим}
H2={без}
P(H1)=3/5, P(H2)=2/5.
P(A|H1)=0.95, P(A|H2)=0.7.
P(A)=3/5*0.95+2/5*0.7-0.85.
23
► Задача на схему Бернулли. Играют 2 равносильных шахматистов. Ничьей нет. Что вероятнее: выиграть 2 из 4 партий или 3 из 6.
(2) = 12 12 = 38
(6) = 12 12 = 516
То есть вероятнее выиграть, если играть меньше.
Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Формула Пуассона В схеме Бернулли событие А появлялось с вероятностью р или не появлялось с вероятностью q. ( ) =
Если → ∞, → 0, то можно применять формулу Пуассо-на. Вводится новая константа = — интенсивность потока. Тогда
( ) = !
Например. Вероятность сбоя в работе телефонной стан-ции при каждом выводе 0,007. За время t поступило 1000 вызовов. Определить вероятность девяти сбоев. = ⋅ = 7 = 9 (9) = 7 9! = 0,1014
24
► Завод-изготовитель отправил на базу 12 000 добро-качественных изделий. Число изделий, повреждённых при транспортировке, составляет 0,05%. Найти вероят-ность того, что 1) на базу поступит не более трёх повре-ждённых изделий; 2) хотя бы два повреждённых.
Если n⋅p большая, будем применять функцию Гаусса ( ). ( ) = ( )
= − −
(− ) = ( ) — локальная теорема Муавра — Лапласа.
Часто нам нужно определить вероятность появления со-бытия в промежутке: не более чем m1 раз и не менее чем m2. Для этого используется интегральная теорема Муав-ра — Лапласа. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) Ф(x) — функция Лапласа. = −
= −
Φ(− ) = −Φ( ) Эти функции: ( ) = 1√2 Ф( ) = ( )
25
► Вероятность того, что изделие окажется бракован-ным, равна 0,05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных. = −1,45 ( ) = 0,1394 (40) = 0.0202
► Контрольную работу по теории вероятности в сред-нем выполняет 70% студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполнят:
1) 150 студентов
2) не менее 100 студентов
3) не более 150 студентов = 0,7 = 200
1) = 1.54 ( ) = 0.1213 = 0.0187
2)
при x>4 Ф=1/2..
► Вероятность рождения девочки 0.485.
Найти вероятность того, что из 600 родившихся детей а) девочек будет 300; б) девочек будет больше чем мальчи-ков.
26
а) = 0.02487
б) = 0.2437
► Из каждых 100 семей 85 имеют цветные телевизоры. Какова вероятность, что из 400 семей 340 имеют цвет-ные телевизоры? = 0.055863
ДЗ:
► Какова вероятность того, что из 2450 ламп, осве-щающих улицу, к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп? Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0,64.
p=0.64, m1=1500, m2=1600, n=2450. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) = − = 1500 − 2450 ⋅ 0,64 2450 ⋅ 0,64 ⋅ (1 − 0,64) = −2.8621
= − = 1600 − 2450 ⋅ 0,64 2450 ⋅ 0,64 ⋅ (1 − 0,64) = 1.3469
(1500 < < 1600) = Ф(1.3469)−Ф(−2.8621)= Ф(1.3469) +Ф(2.8621) = 0.9124
► Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.005. Какова вероятность попадания в цель не менее 3х раз, если число выстрелов равно 800.
p=0.005, n=800.
27
m≥3: m=3…800. m1=3, m2=800. = − = 3 − 800 ⋅ 0.005 800 ⋅ 0.005 ⋅ (1− 0.005) = −0.5013
= − = 800 − 800 ⋅ 0.005 800 ⋅ 0.005 ⋅ (1 − 0.005) = 398.9987
(3 > > 800) = 0.7763
► Сколько чисел больше 100 без повторений можно со-ставить из цифр 0, 1, 3, 5, 6.
Трёхзначные: = 60
Из них пятая часть начинается с нуля, отбросим их: = 60− 12 = 48
Четырёхзначные: = 5!1! = 120 = 120− 24 = 96
Пятизначные: = 120 = 120− 24 = 96
Всего = ∑ = 240.
► Вероятность наступления события А 0,1. Проводятся испытания. Какое минимальное число испытаний доста-точно провести для того, чтобы с вероятностью больше, чем 0.95, событие А наступило хотя бы один раз?
28
Используем схему Бернулли. (хотя бы 1 раз) = 0,95 (хотя бы 1 раз) = 1 − (0) ≥ 0,95 (0) = = ≥ 0,95 1 − (0,9) ≥ 0,95 0,9 ≤ 0,05 ≤ ln 0,05 = 28
► Планируется ракетный залп из четырех ракет. Веро-ятность попадания каждой ракеты 0.4. Вероятность то-го, что цель будет поражена при попадании одной раке-ты 0.3, при попадании двух ракет 0.4, трёх – 0.5, четы-рёх – 0.6. Найти вероятность того, что цель будет пора-жена.
Определим гипотезы. = {1 ракета попала} = {2} = {3} = {4} = {ни одной} ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,3456 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,3456 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,1336 ( ) = ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 = 0,0256 ( ) = 0.1296
29
( | ) = 0.3 ( | ) = 0,4 ( | ) = 0.5 ( | ) = 0.6 ( | ) = 0
► На шахматной доске случайным образом поставлены чёрная и белая ладьи. Найти вероятность того, что они не могут бить друг друга. То есть они не должны стоять на одной горизонтальной или вертикальной линии. = = 1 – на любую клетку.
= 6464 ⋅ 4963 = 79
► В первой урне 12 белых и 8 чёрных шаров. Во второй 10 белых и 20 черных. Наугад выбирается одна из этих урн и из неё вытаскивается шар. Он оказался чёрным. Затем он возвращается в эту же урну, и из нее же из-влекается еще один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? = {ч} = {б} : 12 б+ 8 ч : 10 б+ 20 ч
События независимые. Мы должны найти вероятность того, что первый был черным, а второй белым: ( | ) = ( ) ( ) .
30
= {первая урна} = {вторая} ( ) = ( ) = 12
( | ) = 820 = 25
( | ) = 23
( ) = 12 ⋅ 25 + 23 = 0,533
( | ) = 25 ⋅ 1220 = 625
( | ) = 23 ⋅ 13 = 29
( ) = 12 625 + 29
► Садоводческий кооператив застраховал на год свои дома от пожара. Каждый из 600 домовладельцев внёс по 150 рублей. Вероятность пожара в одном доме в течение года 0.005, а страховая сумма в случае пожара 12 000 рублей. Какова вероятность того, что страховая компа-ния понесет убыток?
n=600, p=0.005 = 3
(≥ 800) = 1 − ( )
(0) = 0.0498
31
(1) = 0.1494 (2) = 0.2240 (3) = 0.2240 (4) = 0.1681 (5) = 0.1008 (6) = 0.0504 (7) = 0.0216
— из таблицы распределения Пуассона. = 0.9881 ( ) = 1− 0,9881 = 0.0119
► Книга издана тиражом 10 000 экз. Вероятность того, что она будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит менее пяти бракованных книг.
Пользуемся формулой Пуассона. λ = n ⋅ p = 2 (0) = 0,1353 (1) = 0,2707 (2) = 0,2707 (3) = 0,1805 (4) = 0,0902 = = 0,9474
32
► Вероятность изготовления доброкачественного изде-лия 0,9.Берут наудачу 300 изделий. Найти вероятность того, что среди них 95% доброкачественных.
Здесь применяем формулу Гаусса. = 0.95 ∗ 300 = 285
Игральная кость бросается 180 раз. Найти приближён-ные границы того, что выпадение единицы с вероятно-стью 0.997.
p=1/6, q=5/6. n=180, P=0,997. ( ≤ ≤ ) = Φ( )−Φ( ) Ф(x) — функция Лапласа. = − = 5 − 6
= − = 5 − 6
Возьмём например m=40 и будем работать с табличкой.
Случайные величины Случайной величиной называют величину, которая при-нимает то или иное значение в результате опыта, неиз-вестное заранее.
Например, мы подбрасываем монету. Случайная вели-чина — число выпадений решки.
Обозначаются большими буквами X, Y, Z. Их значения: x, y, z.
33
Дискретная случайная величина — если она принимает либо конечное число значений, либо бесконечное, но их можно пронумеровать.
Все случайные величины задаются своим законом рас-пределения. Для дискретной случайной величины это табличка из двух строк: значения случайной величины и вероятности, которые принимают эти значения.
х х1 х2 … хn … р
Функция распределения определяется следующим обра-зом: ( ) = ( < ) То есть это вероятность, с которой случайная величина X принимает значение меньшее, чем x.
- Функция распределения — неубывающая, то есть для любых > ( ) ≥ ( ). - Значения функции распределения лежат между 0 и 1.
- На -∞ функция распределения принимает 0, а на +∞ принимает значение 1.
- Функция непрерывна слева.
- Вероятность того, что значение x будет лежать в про-межутке от а до b есть ( )− ( ). ( ≤ < ) = ( )− ( ) ► В урне 4 белых и 3 чёрных шара. Из нее последова-тельно вытаскивают шары до появления белого шара. Найти закон распределения дискретной случайной ве-личины Х, где Х — число извлечённых шаров.
34
Случайная величина х может принимать значения от 1 до 4.
х 1 2 3 4 р 4/7 2/7 4/35 1/35
= 47
= 37 ⋅ 46 = 27
= 37 ⋅ 26 ⋅ 45 = 435
= 37 ⋅ 26 ⋅ 15 ⋅ 44 = 135
= 1
► В урне 4 белых и 3 черных шара. Из неё наудачу из-влекают три шарика. Найти закон распределения числа извлечённых белых шаров. Найти вероятность события, что извлечено не менее двух белых шаров.
х 0 1 2 3 р 1/35 12/35 18/35 4/35
Всего исходов . = = 1 = 1 =
35
= ⋅ = 135
= ⋅ = 3 ⋅ 435 = 1235
= ⋅ = 1835
= ⋅ = 435
= 3535
Извлечено не менее двух — это либо два, либо три. ( ) = + = 2235
► Кубик подбрасывается пять раз. Найти закон рас-пределения дискретной случайной величины Х, где Х — число выпадений шестёрки.
х 0 1 2 3 4 5 р 3125/65 3125/65 1250/65 250/65 25/65 1/65
События независимые. Вероятность выпадения шестер-ки 1/6, невыпадения — 5/6. Используем схему Бернул-ли. ( ) =
(0) = 16 56 = 31256
(1) = 31256
36
(2) = 12506
(3) = 2506
(4) = 256
(5) = 16 Такой закон, где вероятности считаются по формуле Бернулли, называется биномиальным законом рас-пределения случайной величины .
► Метро. Бросаем жетон – не срабатывает. Вероятность того, что турникет сработает при бросании жетона 0,98. Построить закон распределения случайной величины, где случайная величина — число бросаний жетона. От одного до пяти.
х 1 2 3 4 5 р 0,98 0,0196
= 0,98 = 0,02 = 0,98 = 0,02 ⋅ 0,98 = 0,0196 = (0,02) 0,98 = (0,02) 0,98 = (0,02) 0,98 + (0,02) Закончились! В последнем заканчиваем с довеском.
37
= ⋅ — для бесконечного числа раз.
Эта последовательность составляет геометрическую про-грессию, поэтому закон называется геометрическим.
Если вероятности считаются с помощью формулы Пуас-сона, то закон называется пуассоновским (например, про телефонные вызовы на станции).
Для этих законов уже посчитаны мат. ожидание и дис-персия.
► Найти и построить функцию распределения.
х -2 1 2 3 р 0,08 0,4 0,32 0,2
По определению F(x) = P(X < ) (−2) = ( < −2) = 0
( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ (−2) = 0, < −2 (1) = 0,08, −2 ≤ < 1 (2) = 0,48, 1 ≤ < 2 (3) = 0,8, 2 ≤ < 31, ≥ 3
► Функцию см. выше. Вероятность того, что случайная величина лежит в пределах от [1,3) и (-2,2).
Здесь надо использовать свойство функции распределе-ния: взять разность на этих концах. (3) = 0,8 (1) = 0,48 = (3)− (1) = 0,72 (−2 ≤ < 2) = 0,48
38
ДЗ.
► Дана функция распределения:
( ) = 0, ≤ 00,3, 0 < ≤ 11, > 1 Найти закон распределения и вероятности: ( = 1) и (1 < ≤ 8). ( < 3) = (3) = 0,2 ( < 6) = 0,35 = 0,2 + , ( < 8) = (8) = 0,8 = 0,2 + 0,15 + , (8) = ( < 8) = 0,8 = 0,2 + 0,15 + 0,45 + ,
x 1 3 6 8 p 0,2 0,15 0,45 0,2
► Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по од-ному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соот-ветственно равны 0,5, 0,6, 0,8. Построить закон распре-деления случайной величины Х, где Х — число попада-ний в цель.
X: ( = ) = Y: = = = + = + = 1, ⃗ , = 1, ⃗ , = =
39
= − = − = = Особый случай для возведения величины в квадрат и умножения на число. Например, ( = ) = — вероятность не меняется. = = ► Дан закон распределения дискретной случайной ве-личины Х:
x -2 -1 1 2 3 p 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1
Найти закон распределения для случайных величин = 2 и = . Y:
y -4 -2 2 4 6 q 0,2 0,25 0,3 0,15 0,1
Z:
1: 0,25+0,3=0,55
40
4: 0,2+0,15
9: 0,1
z 1 4 9 q 0,55 0,35 0,1
► Возьмём две случайные величины Х и Y.
x 1 2 3 p 0,3 0,5 0,2
y -2 -1 q 0,4 0,6
а) = +
б) =
а) Z:
1+(-2)=-1 0,3*0,4=0,12
2+(-2)=0 0,5*0,4=0,2
3+(-2)=1 0,2*0,4=0,08
1+(-1)=0 0,3*0,6=0,18
2+(-1)=1 0,5*0,6=0,3
3+(-1)=2 0,2*0,6=0,12
z -1 0 1 2 q 0,12 0,2+0,18=0,38 0,08+0,3=0,38 0,12 б) W:
1*(-2)=-2 0,3*0,4=0,12
2*(-2)=-4 0,5*0,4=0,2
41
3*(-2)=-6 0,2*0,4=0,08
1*(-1)=-1 0,3*0,6=0,18
2*(-1)=-2 0,5*0,6=0,3
3*(-1)=-3 0,2*0,6=0,12
w -6 -4 -3 -2 -1 q 0,08 0,2 0,12 0,3+0,12=0,42 0,18
► Подброшены два кубика. Построить ряд распределе-ния а) суммы очков; б) разности (из большего меньшего) очков.
Составим для каждого кубика.
X или Y:
x 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 2: 1+1 1/36
3: 2+1, 1+2 2/36
4: 1+3, 3+1, 2+2 3/36
5: 1+4, 4+1, 3+2, 2+3 4/36
6: 1+5, 5+1, 3+3, 2+4, 4+2 5/36
7: 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3 6/36
8: 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4 5/36
9: 3+6, 6+3, 5+4 3/36
10: 5+5, 4+6, 6+4 3/36
11: 6+5, 5+6 2/36
12: 6+6 1/36
42
z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 q 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Для разности:
0: 6
1: (6-5, 5-4, 4-3, 3-2, 2-1)× 2→10 вар
2: (6-4, 5-3, 4-2, 3-1) × 2→8
3: (6-3, 5-2, 4-1) × 2→6
4: (6-2, 5-1) × 2→4
5: (6-1) × 2→2
0 1 2 3 4 5 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36
Числовые характеристики для дис-кретной случайной величины 1) Среднее значение случайной величины — матема-тическое ожидание.
М(X), MX, EX.
Для дискретной случайной величины вычисляется так: ( ) = Например,
0 1 2 3 4 5 6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36
43
( ) = 1036 + 236 10 + 636 3 + 436 4 + 236 5 = 7036 ≈ 1,94
2) Дисперсия ( ), — рассеивание значения случай-ной величины вокруг среднего значения, то есть вокруг матожидания. ( ) = − ( ) ( ) = − ( ) ► Вероятность того, что студент найдёт в библиотеке нужную книгу, равна 0,4. Студент записан в четыре библиотеки. Найти закон распределения числа библио-тек, которые он может посетить. Найти матожидание и дисперсию.
= 0,6 ⋅ 0,4 = 0,24 = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = 0,144 = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 + 0,6 = 0,216
— геометрическое распределение.
х 1 2 3 4 р 0,4 0,24 0,144 0,216
= = 2,176
= − ( ) = 1,37
Свойства:
- ( ) = .
44
- ( ) = ( ) - ( + ) = ( ) + ( ) - Для независимых Х и Y. ( ) = ( ) ( ) - дисперсия неотрицательная.
- ( ) = 0
- ( ) = ( ) - ( + ) = ( ) + ( ) для независимых.
ДЗ.
► Автомобиль на пути к месту назначения встретит пять светофоров. Каждый светофор пропускает автомо-билиста с вероятностью 1/3. Найти закон распределе-ния числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки, или до прибытия к месту назначения. = 13
х 1 2 3 4 5 р 1/3 2/3∙1/3 2/3∙2/3∙1/3 24/33∙1+(2/3)5
► Телефонная станция обслуживает 1500 абонентов. Вероятность того, что в течение трёх минут на станцию поступит вызов, равна 0,002. Найти закон распределе-ния случайной величины Х, равной числу вызовов, по-ступивших на станцию в течение трёх минут. Найти ве-роятность того, что за это время поступит более трёх вызовов.
45
Непрерывная случайная величина Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна.
В отличие от дискретной, ( = ) = 0.
Плотность распределния ( ) = ( ). 1) ( ) ≥ 0 2) ( )
= 1
3) ( < < ) = ( ) = ( )− ( )
4) ( ) = ( )
Числовые характеристики
Матожидание: в отличие от дискретной ( = ∑ ) = ( )
Дисперсия (дискретн: = ∑ − ( ) ): = ( ) − ( )
► Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
( ) = 0 ( − 3) 1 , < 33 ≤ ≤ 5 > 5
46
Найти:
1) С
2) ( ), графики ( ), ( ). 3) (3 ≥ ≥ 4)
1) Функция распределения непрерывна, посему пределы слева и справа равны. lim → ( ) = 1 lim → ( ) = (5− 3) = 4
= 14
2) ( ) = 0, < 30,5( − 3), 3 ≤ ≤ 50, > 5 3) (3 ≤ ≤ 4) = (4)− (3) = − 0 =
►
( ) = 0 (cos + )1 < − − ≤ ≤ 0 > 0
f(x) F(x)
47
1) a, c
2) f(x)
3) (− 3⁄ ≤ ≤ 2⁄ ) 1) lim → ( ) = 0 lim → ( ) = (−1 + ) lim → ( ) = 1 lim → ( ) = (0 + ) − = 0 + = 1 − 2 = 12 = 1 = 12 = 1 Получаем функцию распределения
( ) = 012 (cos + 1)1 < − − ≤ ≤ 0 > 0 ( ) = ( ) = 0−12 sin 0 < − − ≤ ≤ 0 > 0 − 3 ≤ ≤ 2 = 2 − − 3 = 1 − 34 = 14
► Задана плотность, надо найти функцию распределе-ния.
48
( ) = 0 ⋅ 0 < 00 ≤ ≤ 5,8 > 5,8 1) 2) ( ) 3) (3,3 < < 7,8) ( )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ ( )
= 0, < 0 ( )
= 0 + ⋅
= 0 = 2 | = , 0 ≤ ≤ 5,8 ( ) = 0 + ,
+ 0 , = 2 | , = , , > 5,8
→ = , , т.к. функция распределения на бесконечности
равна единице.
3) (3,3 < < 7,8) = (7,8)− (3,3) = 1 − ⋅ , = ⋯
Интегралы не просто кусками, а с учётом предыдущих!!
► Случайная величина задана своей плотностью ( ) = 0, ≤ 0 , > 0 Найдём m. ( ) = 1
49
= lim →
= 1−2 lim → | = −12 lim → ( − ) = −12 (0− 1) = 12 = 1 = 2 ( ) = 0, ≤ 02 , > 0 ( )= ⎩⎨⎧ 0, ≤ 0 0 + 2
= −1 | = − + 1, > 0⎭⎬⎫
Найдём матожидание.
= ( ) = 2
= 2 = = = = = −12
= 2 lim → −12 | + 12 = 2 lim → 12 −12 | = 12
Такое распределение (a⋅exp(-ax)) — Пуассоновское рас-пределение. MX=1/a. DX=1/a2.
Дисперсия: = ( ) − ( ) = 2
− 14= − ⋅ − ⋅ − 12 | − 14 = 12
50
► Дана плотность распределения
( ) = 14 , ∈ [0,4]0,
— равномерное распределение. В общем случае равно-мерное распределение задаётся так:
( ) = − ∈ [ , ] Найдём F(x), MX, DX.
( ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 0, < 0 0
+ ( ) = 14
= 14 , [0,4] 0 + 14
+ 0 = 14 | = 1, > 4⎭⎪⎬
⎪⎫
= 0, < 014 , [0,4]1, > 4
В общем виде это ( ) = , < , [ , ] , >
Найдём матожидание.
51
= ( ) = 14
= 14 2 | = 2
На самом деле матожидание равномерного распределе-ние — это среднее арифметическое a и b.
ДЗ: дисперсия = ( ) − ( ) = 14
− 2 = 14 3 | − 4 = −2 23 И вынести всё это для равномерного и пуассоновского в табличка.
52
Оглавление Теорема сложения и умножения. ..................................... 6
Схема испытаний Бернулли ........................................... 16
Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Формула Пуассона .......................................................... 23
Случайные величины ...................................................... 32
Числовые характеристики для дискретной случайной величины ........................................................................ 42
Непрерывная случайная величина ................................ 45