Физика. Колебания и волны. Оптика. Курс...

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Кафедра естественно-научных дисциплин

Ю.Ф. Пугачев

ФИЗИКА КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ОПТИКА

Курс лекций

Ульяновск 2004

ББК В 3я 73

П 88

Пугачев Ю.Ф. Физика: Колебания и волны. Оптика: Курс лекций /

Ю.Ф. Пугачев. – Ульяновск: УВАУ ГА, 2004. – с.

Рассмотрены колебательные и волновые процессы разных по физиче-

ской сущности объектов. Основой для их совместного изучения в рамках

одного курса является единый математический аппарат, логическая взаи-

мосвязь. В доступной форме изложены основные законы физики, являю-

щиеся теоретической основой инженерных дисциплин.

Рекомендовано курсантам дневной формы обучения.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………….3

Глава 1. Механические колебания………………………………………3

Глава 2. Волновые процессы в упругой среде………………………..25

Глава 3. Электромагнитные колебания и волны……………………..55

Глава 4. Фотометрия и геометрическая оптика……………………...82

Глава 5. Основы волновой оптики…………………………………..104

© Пугачев Ю.Ф., 2004

© Ульяновск, УВАУ ГА, 2004

3

ВВЕДЕНИЕ

Физика – наука экспериментальная, ее законы базируются на фактах, установленных опытным путем. Законы физики представляют собой ко-личественные соотношения и формулируются на математическом языке. В основе современной физики лежит относительно небольшое количество фундаментальных законов, охватывающих в значительной степени все многообразие экспериментальных данных.

Физика является одной из фундаментальных дисциплин, которые закла-дывают основу для общенаучной и общетехнической подготовки будущего специалиста. Объединяя все достижения современной научно-технической мысли, физика служит базой для развития самых передовых технологий и производств. Ядерная энергетика, микроэлектроника, нано-технологии, ла-зерная техника, сверхпроводимость — все это вышло из недр физических лабораторий и определяет уровень современной человеческой цивилиза-ции. Однако не менее важным для становления инженера является овладе-ние физическим мышлением, а также техникой физического эксперимента. Знание и применение физических методов исследования и законов совре-менной физики обеспечивает надежную теоретическую базу для дальней-шей самостоятельной и плодотворной работы выпускников технических учебных заведений в различных отраслях народного хозяйства.

ГЛАВА 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Место колебательного движения в природе и технике. Колебания точки, тела или механической системы являются частной ситуацией меха-нического движения, в которой динамическое поведение объектов опре-деляется конкретным видом силовых воздействий.

Пугачев Ю.Ф. Физика. Колебания и волны. Оптика. Курс лекций

© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009 г

4

Дело в том, что колебательные процессы очень широко распростра-нены в природе и технике. Они буквально «окружают» нас, присутствуют в микро- и макромире. Образно выражаясь, можно сказать, что все мы живем в мире разнообразных колебательных и волновых процессов механической и другой природы. Перед инженерами, работающими в различных областях современной техники, возникают задачи, связанные с целенаправленным использованием таких процессов или отысканием способов борьбы с воз-можными опасными последствиями их воздействия на человека, а также на приборы, конструкции, машины и механизмы. Именно это и определяет особое место, которое занимают теоретические и экспериментальные ис-следования колебательных и волновых процессов в курсе общей физики. Они красной нитью проходят из раздела в раздел и образуют цепочку из механических, электромагнитных и световых (оптических) волновых про-цессов. Механические и электромагнитные волновые процессы имеют раз-ную физическую природу, однако общий математический аппарат, исполь-зуемый при их описании, вскрывает их «внутреннее родство». В связи с этим изучение достаточно наглядных механических колебательных, а затем и волновых процессов в упругих средах приведет к приобретению знаний, которые позволят выявить ряд формальных аналогий, полезных при рас-смотрении свойств электромагнитных волн и оптических явлений.

Приступая к исследованию механических колебаний, дадим их краткую классификацию. По определению, движение материального объекта, обла-дающее той или иной степенью повторяемости во времени, называется ко-лебательным движением (колебаниями). Если колебания совершаются в системе за счет первоначально сообщенной энергии и без внешних воздей-ствий, то их называют свободными. При наличии сил вязкого сопротивления или трения колебания являются затухающими. Колебания, возникающие в результате действия внешних (возмущающих) переменных во времени сил, называются вынужденными. Гармоническими называются такие колеба-ния, при которых физические величины, их описывающие, изменяются по



5

закону синуса или косинуса. В противном случае колебания называют-ся ангармоническими, т.е. негармоническими.

1.1. Свободные гармонические колебания

Одномерный (линейный) осциллятор. В случае одномерных свобод-ных гармонических колебаний материальной точки ее координата х изме-няется по закону

)cos( 00 ϕω += tAx – уравнение колебаний, (1.1)

где А – амплитуда колебаний;

ω0 – циклическая частота;

Т0 = 2π/ω0 – период колебаний;

ϕ = ω0t + ϕ0 – фаза колебаний; ϕ0 – начальная фаза.

Проекции скорости и ускорения колеблющейся материальной точки на ось x определяются соотношениями

)cos()cos(

),2/cos()sin(

000020

00000

πϕωπϕωωυ

πϕωϕωωυ υ

++=++==

++=+−==

tAtAdt

da

tAtAdtdx

ax

x

x (1.2)

где Аν = A 0ω – амплитуда скорости;

Аа = А – амплитуда ускорения 20ω

На рис. 1.1 представлены графики зависимости от времени координаты х, скорости υx и ускорения ах точки, совершающей свободные гармонические

колебания для случая ϕ0 = 0. Анализируя эти зависимости, отметим, что значения проекций скорости и ускорения точки также изменяются гармо-нически, причем фазы скорости и ускорения опережают фазу координаты

соответственно на π/2 и π. Это означает, что графики υx и ах сдвинуты в



6

отрицательном направлении оси времени на Т0/4 и Т0/2. Поэтому, если координата х = 0, то υx принимает максимальное по модулю значение, ах также равно нулю. Если же ко-ордината х максимальна, то υx = 0, а проек-ция ах минимальна, и наоборот.

Проекция результирующей силы, дейст-вующей на колеблющуюся материальную точку массой т, определяется с помощью второго закона Ньютона:

Рис. 1.1

.)cos( 200020 xmtmAmaF xx ωϕωω −=+−== (1.3)

Из уравнения (1.3) следует, что координата х = 0 определяет положение

равновесия точки (Fz = 0), а при х ≠ 0 сила F пропорциональна смещению

х из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смешению, т.е. к положению равновесия. Это значит, что такая сила все время стремится вернуть точку в положение равновесия.

Следовательно, возвращающая сила

,kxFF xB −== (1.4)

где k = m – коэффициент пропорциональности. 20ω

Материальная точка, колеблющаяся под действием возвращающей си-лы (1.4), называется линейным осциллятором. Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

02022

=+⇒= xdt

xdFma xx ω – уравнение линейного осциллятора, (1.5)

где ω0 = mk / – собственная частота осциллятора, закон его движения за-

дается уравнением (1.1).



7

Кинетическая энергия линейного осциллятора

([ ].2cos14

)(sin21

2 0020

200

220

22

ϕωωϕωωυ +−=+==Κ tAmtmAm ) (1.6)

Потенциальную энергию осциллятора наиболее удобно отсчитывать от

положения равновесия (координата х = 0 соответствует нулевому уровню

для потенциальной энергии). Тогда для произвольного положения точки с

координатой х по определению получим

[ ].)(cos1

4

)(cos21

21

0022

02

000

2220

2

ϕωω

ϕωω

++=

=+===Π ∫

tAm

tAmkxdxFx

x (1.7)

Полная механическая энергия осциллятора сохраняется, поскольку

.21 2

02 constmAE ==Π+Κ= ω (1.8)

Зависимости х, П, К и Е от времени t, представленные на рис. 1.2, соот-

ветствуют случаю, когда начальная фаза ϕ0 = 0. Согласно соотношениям

(1.6) и (1.7) средние значения кинетической и потенциальной энергий оп-

ределяются соответственно средними значениями квадратов синуса ϕ и

косинуса ϕ при изменении фазы ϕ = ω0t + φ0 на 2π.

Поскольку sin2 ϕ = 1 - cos2ϕ, а среднее значение квадрата косинуса ϕ

∫ ∫ =+==π π

ϕϕπ

ϕϕπ

ϕ2

0

2

0

222 ,21)cos1(

41cos

21cos dd (1.9)

то для средних значений энергий К и П получим, что

.2/41 2

02 EmA ==Π=Κ ω



8

оте

Таким образом, из проведенного анализа следует, что К и П изме-

няются относительно своих средних значений по гармоническому закону

с частотой 2ω0 и амплитудой рав-

ной А2 /4. В заключение отметим,

что гармонические колебания про-

исходят в окрестности минимума

параболической п нциальной ямы

(поскольку Fx = -dП/dx = -kx, то

П = kx2/2).

20ω

Рассмотрим несколько простей-

ших систем с одной степенью сво-

боды, совершающих свободные гармонические колебания.

Рис. 1.2

1. Изучим движение пружинного маятника, который представляет со-

бой материальную точку массой т, подвешенную на пружине жестко-

стью k (рис. 1.3). В произвольном положении М на точку действуют сила

тяжести mg, сила упругости

Fупр = k(λ СТ + х),

где λст – статическая деформация в состоянии

равновесия.

На основании второго закона Ньютона запишем

дифференциальное yравнение движения в про-

екции на ось х (начало координат совмещено с

положением статического равновесия, в кото-

ром сила тяжести mg уравновешивается силой

упругости, равной kλст): Рис. 1.3

,0)( =+⇒+−= xmkxxkmgma CTx &&λ )( 2

2

dtxdx ≡&& . (1.10)



9

Из сравнения с уравнением линейного осциллятора (1.5) следует, что колебания пружинного маятника проис-ходят по закону х = Аcos( 00 ϕω +t ), где часто-

та 0ω = mk / , а амплитуда А и начальная фаза

ϕ0 определяются с помощью начальных усло-

вий (по значениям координаты х0 и скорости v0 в начальный момент t = 0).

2. Составим дифференциальное уравнение движения математического маятника, со-стоящего из материальной точки массой m, укрепленной на невесомой ни-ти длиной l (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Второй Закон Ньютона в проекции на касательную τ имеет вид

αυα ττ sinsin gdtdmgma −=⇒−= . (1.11)

В случае малых отклонений от положения равновесия, когда sin αα ≅ ,

получим дифференциальное уравнение осциллятора ( sdtds &≡= /τυ ,α = s/l):

),cos(,0 00 ϕω +=⇒=+ tAsslgs&& lg /0 =ω . (1.12)

Следует отметить, что в данном случае точка массой т движется по дуге

окружности под действием касательной составляющей Fτ = -mg sin α. В

случае малых колебаний сила Fτ оказывается пропорциональной дуговой координате s (Fτ =-mgα = -ks, k = mg/l), т.е. совпадает по виду с упругой си-лой F = kx в законе Гука и потому называется квазиупругой силой. Таким образом, причиной появления возвращающей силы в системе могут быть не только силы упругости, но и другие силы, например сила тяжести при наличии связи в виде нити длиной l в случае математического маятника.

3. Рассмотрим малые колебания физического маятника. Физическим ма-ятником называется твердое тело (рис. 1.5а), имеющее неподвижную гори-зонтальную ось вращения, которая не проходит через его центр тяжести, и находящееся под действием только силы тяжести (и реакции опоры – оси О).



10

Рис. 1.5

Поскольку мы имеем дело с вращательным движением тела, восполь-

зуемся основным уравнением вращательного движения относительно го-

ризонтальной оси вращения х (ось х проходит через точку О перпендику-

лярно к плоскости рис. 1.5а):

αω sin0mgldtdI x −= .

В случае малых колебаний (sin α ≈ α) получим уравнение осциллятора

для вращательного движения (dω/dt = α&& )

00 =+ αxI

mgla&& . (1.13)

Его решение имеет вид

)cos( 00 ϕωα += tA , xImgl /00 =ω . (1.14)

Из полученного решения следует, что при малых отклонениях от рав-

новесия физический маятник совершает свободные гармонические коле-

бания с циклической частотой ω0 и периодом

00

0 22

mglI xπ

ωπ==Τ . (1.15)

Введем приведенную длину физического маятника, определив ее как длину L0 такого математического маятника, который совершает колебания



11

с той же частотой, что и физический маятник. Приравнивая частоты

ω0 из уравнений (1.12) и (1.14), получаем

xImgl

Lg 00= .

Используя теорему Штейнера, определим приведенную длину L0 и пе-риод Т0 для данного физического маятника:

,0

00

20

00 ml

Il

mlmlI

mlI

L cxcxx +=+

== gLT /2 00 π= . (1.16)

От точки О отложим вдоль линии ОС расстояние, равное приведенной длине L0 физического маятника. Получим точку О1, которая находится ниже центра масс (L0 > l0) и называется центром качаний маятника. Перевернем маятник и закрепим его так, чтобы центр качаний О1 стал новой точкой под-веса (рис. 1.5б). Определим приведенную длину L1 для этого случая:

.)(

)(

00

200

1

21

1

11

lLm

lLmIml

mlImlIL cxcxx

−

−=

+==

+

Поскольку в соответствии с формулой (1.16)

L0 - l0 = Icx/ml0,

то для приведения длины L1 получим выражение

,)(

00

0

20

1 mlI

lmlmI

mlImIL cx

cx

cxcx +=+

=

которое в точности совпадает с выражением (1.16) для L0. Равенство при-веденных длин (L1 = L0) означает, что равными будут и периоды колеба-ний маятников [см. формулу (1.16) для Т0] вокруг осей, проходящих через точку О и соответствующий ей центр качаний О1, т.е. Т1=Т0. Это свойство физического маятника демонстрируется с помощью так называемого обо-ротного маятника, который служит, в частности, для определения уско-рения свободного падения в данной точке поверхности Земли. Для этого



12

нужно на опыте измерить период Т0, приведенную длину L0 и вос-пользоваться формулой (1.16) для периода Т0. Тогда ускорение g можно рассчитать по формуле

g = 4π2 20

0TL .

1.2. Сложение гармонических колебаний

Двухмерный осциллятор. Сложение колебаний представляет собой

задачу по отысканию закона результирующего движения объекта, участ-

вующего в нескольких колебательных движениях.

Рассмотрим случай, когда материальная точка участвует в двух взаимно

перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, т.е.

).cos(,cos 021 ϕωω +== tAytAx (1.17)

Для упрощения изложения начало отсчета времени t выбрано так, что

начальная фаза первого колебания равна 0. Тогда φ0 – разность (сдвиг) фаз

складываемых колебаний. Для получения траектории результирующего

движения из уравнений (1.17) исключим время. Для этого перепишем

формулы (1.17) в виде (cos(α +β) = cos α cos β – sin α sin β):

21

2

211sin,sinsincoscos,cos

Axttt

Ayt

Ax

−=⋅−⋅== ωϕωϕωω .

После несложных преобразований получим уравнение траектории ре-

зультирующего движения:

02021

22

2

21

2 sincos2 ϕϕ =−+AAxy

Ay

Ax . (1.18)



13

Траектория результирующего движения представляет собой в

общем случае эллипс (рис. 1.6а). Визуально траекторию (1.18) обычно на-

блюдают на экране осциллографа, электронный луч которого участвует

одновременно в двух колебательных движениях (по осям х и у), уравне-

ния колебания которых имеют вид

– уравнения двумерного осциллятора. (1.19) ⎭⎬⎫

+=+=

)cos();cos(

22

11ϕωϕω

tAytAx

Выражения (1.19) в общем случае определяют так называемые эллип-

тически поляризованные колебания, причем ориентация осей эллипса и

его размеры зависят от соотношения амплитуд А1 и А2, а также от разности

фаз φ0 = φ2 - φ1 (рис 1.6а).

Рис. 1.6

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть φ0 = mπ (m = 0, ±1, ±2,…). В этом случае эллипс вырождается в

отрезок прямой

,1

2 xAAy ±=

где знак «плюс» соответствует четным, а знак «минус» – нечетным значе-

ниям числа m (рис 1.6б), т.е. точка в этом случае движется вдоль прямой,

составляющей с осью x угол α0. Результирующее движение является



14

линейным гармоническим колебанием с частотой ω и амплитудой

.2221 AAA += Такие колебания называются линейно поляризованными

(линейный осциллятор).

2. В случае если ...),2,1,0(2)12(0 ±±=+= mm πϕ уравнение (1.18) также

упрощается и приобретает вид

.122

2

21

2

=+Ay

Ax (1.20)

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями системы

координат (рис. 1.6в), а полуоси равны соответствующим амплитудам

(эллиптически поляризованные колебания). Если А1 = А2, то эллипс выро-

ждается в окружность (рис. 1.6г). Такие колебания называются колеба-

ниями, поляризованными по кругу.

Если частоты двух складываемых колебаний не одинаковы, но кратны

друг другу (x = A1 cos mωt, y = A2 cos(nωt + ϕ0)) то траектория результи-

рующего движения имеет в общем случае вид достаточно сложных замк-

нутых кривых, которые называются фигурами Лиссажу (рис 1.7).

Рис. 1.7

Векторная диаграмма. Часто гармонические колебания удобно изо-

бражать с помощью векторной диаграммы. Для этого выбирают точку

отсчета О и проводят ось х (рис. 1.8). Под углом φ0, равным начальной фа-

зе колебания, откладывают вектор А, равный амплитуде колебания. Если



15

д

этот вектор привести во вращение против часовой стрелки с угловой

скоростью, равной циклической частоте

колебания, то проекция конца вектора А

на направление оси х (точка М) будет со-

вершать колебательное вижение по

гармоничному закону x = Acos(ωt + ϕ0).

Очевидно, что проекция конца вектора А

на перпендикулярное направление

(ось у) будет совершать гармонические

колебания по закону синуса: y = Asin(ωt + ϕ0).

Рис. 1.8

Сложение колебаний одного направления. Пусть материальная точ-

ка участвует в двух колебаниях одной частоты и одного направления:

),cos( 111 ϕω += tAx ).cos( 222 ϕω += tAx

Воспользуемся методом векторных диаграмм (рис. 1.9) и выполним

сложение векторов А1 и А2. Поскольку

проекция суммы векторов А=А1+А2

равна сумме проекций, то проекция х

вектора А равна сумме проекций х1 и х2

векторов А1 и А2. Поэтому результи-

рующее колебание х = х1 + х2 будет со-

вершаться с частотой ω и амплиту-

дой А, т.е. по закону )cos( ϕω += tAx . Рис. 1.9

Амплитуду результирующего колебания определяем по теореме коси-

нусов:

)cos(2 12212221 ϕϕ −++= AAAAA . (1.21)



16

Для начальной фазы φ получаем, как видно из рис. 1.9, выражение

211

2211

coscossinsin

ϕϕϕϕϕ

AAAAtg

++

= . (1.22)

Сложение двух гармонических колебаний одного направления с близ-

кими частотами (ω1 = ω, ω2 = ω + Δω, Δω

17

периодом Т = 2π/ω, который совпадает с периодом гармоники наи-

меньшей частоты (наибольшего периода).

Справедливо и обратное утверждение. Любое сложное периодическое

движение x(t) = x(T + t) с периодом T можно представить в виде суммы

простых гармоник с частотами, кратными основной частоте T/2πω = .

Оказывается, что разложение x(t) по гармоникам имеет вид

∑∑∞

=

∞

=++=++=

1

0

1

0 )cos(2

)sincos(2

)(n

nnn

nn atnAa

tnbtnaa

tx ωωω . (1.25)

Эта формула представляет собой ряд Фурье, который положен в основу

гармонического анализа периодических функций, в частности колебаний.

Совокупность частот ω, 2ω, 3ω и т.д.

образует спектр частот исследуе-

мого сложного колебания. Заметим,

что в случае сложных периодических

движений спектр частот дискретный,

а для непериодической функции по-

лучается непрерывный (сплошной)

спектр частот. Тогда ряд Фурье пре-

вращается в интеграл Фурье по час-

тотам этого спектра.

Рис. 1.11

1.3. Затухающие механические колебания

Осциллятор с диссипацией энергии. Затухающими механическими

колебаниями называются колебания, амплитуда которых непрерывно

уменьшается вследствие потерь механической энергии. Диссипация (от

лат. dissipatio – рассеяние) энергии обязана наличию сил сопротивления



18

среды при движении осциллятора. В случае малых отклонений от

положения равновесия и малых скоростей движение осциллятора опреде-

ляется возвращающей силой FB = -kx и силой сопротивления Стокса Fc = -μv. В связи c этим дифференциальное уравнение движения будет иметь

вид

02 20...

=++⇒−−= xxxkxma xx ωβμυ , (1.26)

где m2/μβ = – коэффициент затухания;

mk /0 =ω – собственная частота осциллятора, т.е. циклическая часто-

та свободных гармонических колебаний без сил сопротивления.

В случае малого сопротивления, когда 0ωβ < , корни характеристиче-

ского уравнения для (1.26) являются комплексными. Тогда решение диф-

ференциального уравнении (1.26) будет содержать показательную функ-

цию (e-βt) и гармоническую функцию частоты ω ≠ ω0:

)cos()()cos( 00 αωαωβ +=+= − ttAtAex t , (1.27)

где A(t) = Ae-βt – амплитуда затухающих колебаний;

220 βωω −= – циклическая частота этих колебаний;

А, α0 – постоянные интегрирования, которые можно определить с по-

мощью начальных условий.

В том, что выражение (1.27) является

решением дифференциального уравнения

(1.26), можно убедиться путем подстановки

его в это уравнение. На рис. 1.12 зависи-

мость A(t) = Ae-βt представлена пунктирной

линией, x=A(t)cos(ωt+α0) – сплошной.

Период, декремент и добротность.

Затухающие колебания представляют собой, вообще говоря, непериоди-

Рис. 1.12



19

ческие колебания, так как в этом случае повторяются максимальные

значения смещения, скорости и ускорения осциллятора. Однако если зату-

хание мало, можно условно пользоваться понятием периода как промежутка

времени между двумя последовательными максимумами (минимумами) ко-

леблющейся физической величины. Тогда период затухающих колебаний

определяется по выражению

022

0

222ωπ

βω

πωπ

>−

==T . (1.28)

Логарифм отношения амплитуд A(t1) и А(t1 + T) двух последовательных

колебаний, отличающихся на период Т, называется логарифмическим

декрементом затухания:

TAe

AettA

tATt

tβδ

β

β==

+=

+−

−

)(1

11

1

ln)(

)(ln . (1.29)

Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда колебаний

уменьшается в е раз, называется временем релаксации. Тогда

β

ττ

βτ 1)(

)(

1

1 =⇒=+

= etA

tAe . (1.30)

Определим число Nτ колебаний за время релаксации τ:

TT

Nβ

ττ

1== . (1.31)

Добротность Q колебательной системы определяется по выражению

.τπβπ NT

Q == (1.32)

Согласно формуле (1.32), добротность Q характеризует степень затуха-

ния колебаний при наличии сопротивления, а значит, и диссипацию энер-

гии осциллятора во времени.



20

1.4. Вынужденные механические колебания

Вибратор. Вынужденными колебаниями называются движения колеба-

тельной системы под действием внешней периодической силы. Пусть на ма-

териальную точку в инерциальной системе действуют возвращающая сила

FB = -kx, сила сопротивления среды FC = -μv и вынуждающая внешняя сила,

которая изменяется во времени по гармоническому закону Fвын = F0 cospt.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки

тах = -kx(-μυx) + F0 cos pt (1.33) ,cos2 020 ptfxxx =++⇒ ωβ &&&

где f0 = F0/m.

Общее решение этого уравнения состоит из двух решений:

)cos()cos( 00* ααωβ −++=+= − ptAteAxxx t , (1.34)

где x – общее решение однородного дифференциального уравнения вида

(1.26);

x* – частное решение неоднородного дифференциального уравнения

(1.33).

Первое слагаемое, т.е. x , быстро затухает (его время релаксации τ = 1/β).

Поэтому при t > τ вклад в решение (1.34) дает только частное решение (вто-

рое слагаемое), которое представляет собой вынужденные гармонические ко-

лебания осциллятора с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

Такой осциллятор является простейшим вибратором, т.е. системой, в

которой можно возбудить колебания, в данном случае механические.

Выражения для амплитуды А и сдвиг фазы α найдем, подставив в диффе-

ренциальное уравнение (1.33) частное решение x* = Acos(pt-α) и его произ-

водные x& * = -Apsin(pt - a) =Apcos(pt-a + π/2), x&& * = -Ap2 sin(pt-a + π/2) =

= Ap2 cos(pt-а+π).



21

В результате подстановки получим тригонометрическое уравне-

ние

.cos)cos(

2cos2)cos(

020

2

ptfptA

ptApptAp

=−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++−

αω

παβπα (1.35)

Решим его с помощью векторной диаграммы (рис. 1.13), осуществив

сложение трех гармонических функций в левой части уравнения (1.35). Из

ΔОаb следует, что

,222

0 p

ptg−

=ω

βα (1.36)

.4)(

)()2(22222

0

22220

220

pp

fAApApAfβω

ωβ+−

=⇒−+=

(1.37)

Обратим внимание на тот факт, что амплитуда A и начальная фаза α вынужденных колебаний вибратора определяются не начальными усло-виями, а значениями f0 = F0/m и час-тоты р вынуждающей силы, а также параметрами осциллятора (ω0 и β).

Рис. 1.13

Явление резонанса. Исследуем выражения (1.36), (1.37) как функции частоты p и построим их графики (рис. 1.14, 1.15). Очевидно, что макси-муму амплитуды А соответствует минимум знаменателя или его подкорен-ного выражения. Тогда, продифференцировав подкоренное выражение по p, получим уравнение

(1.38) .0)(48 2202 =−− ppp ωβ

Его решение имеет три корня:



22

( ).2,0 2203,21 βω −±== pp (1.39)

Из двух корней p2 и p3 физический смысл имеет лишь положительный ко-

рень, определяющий резонансную частоту внешней периодической силы:

,2 220 βω −=резp (1.40)

которой соответствуют максимальное (резонансное) значение амплитуды

вибратора:

[ ]

)(22

)2(4)2(

00

022

0

0

220

22220

20

0

ωββωβωβ

βωββωω

ω0), амплитуда А стре-

мится к нулю.

Зависимость сдвига α фазы φ = pt - α

вынужденных колебаний по отношению

к фазе возмущающей силы F = F0 cos pt

показана на рис. 1.15. Видно, что вынужденные колебания отстают по фа-

Рис. 1.14



23

зе от вынуждающей силы на величину α (α > 0). Числовое значение α

меньше π/2 при малых частотах (р < ω0) и больше π/2 (π/2 < α < π) при

частотах, больших, чем собственная частота ω0 осциллятора. Значение α

при резонансе близко к π/2.

Явление резонанса может быть как вредным, так и полезным. В связи с

этим при конструировании машин, зданий и сооружений нужно подбирать

их параметры так, чтобы собственная частота колебаний не совпадала с час-

тотой возможных внешних воздействий. В противном случае резонансные

колебания могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, явление

резонанса позволяет исследовать и использовать даже слабые колебания.

Автоколебания, параметрические и ангармонические колебания. Незатухающие колебания можно реализовать с помощью постоянной по значению и направлению внешней силы F, например силы тяжести. Для

этого нужно, чтобы сама колеблющаяся система регулировала подачу энергии от внешнего источника, «включая» и «вы-ключая» действие внешней силы в такт колебаниям. Единственное условие са-мовозбуждения таких колебаний состоит в том, что работа внешней силы за одно полное колебание должна быть положи-тельной. В случае постоянной силы дос-

таточно, чтобы она выполняла работу при движении точки (тела) в на-правлении действия силы. Как только тело изменит направление движе-ния, следует создать условия для автоматического «отключения» внешней силы (автоколебания).

Рис. 1.15

Примерами таких систем являются часы с колеблющимся маятником, испытывающим в определенном положении действие внешней силы, ис-точником которой является сжатая пружина или опускающаяся гиря. Кон-



24

струкция механизма часов такова, что направление силы в этих по-ложениях совпадает с направлением движения маятника, что обеспечи-вает выполнение внешней силой положительной работы, т.е. передачу очередной порции энергии от внешнего источника.

На величину амплитуды колебаний [см. формулу (1.37)] можно воздей-ствовать не только посредством внешней силы, но и косвенно, путем изменения тех параметров системы, которые определяют частоту собст-венных колебаний. Сюда относятся длина l маятника, коэффициенты k возвращающих сил и др. Такие колебания называются параметрическими. Если в процессе изменения параметров системы под действием внешней силы над системой будет совершена положительная работа, тогда энергия системы возрастет, что приведет к увеличению амплитуды колебаний. Это явление называется параметрическим резонансом.

В заключение отметим, что если в колебательной системе возвращаю-щая сила и сила сопротивления являются линейными функциями коорди-нат и скорости, то ее движение описывается линейными дифференциаль-ными уравнениями второго порядка, и такие колебания называются ли-нейными. Наиболее фундаментальное и интересное свойство линейных колебательных систем состоит в том, что если на такую систему дейст-вуют одновременно несколько внешних сил, то в связи с постоянством параметров системы каждая из этих сил оказывает свое действие незави-симо от наличия или отсутствия других сил. Допустим, что первая сила при отсутствии других сил вызвала смещение s1, другая – s2 и т.д. При од-новременном действии этих двух сил результирующее смещение s равно сумме отдельных смещений (s = s1 + s2). Это свойство линейных систем составляет суть принципа суперпозиции.

Если возвращающая сила является нелинейной функцией координаты, а сила сопротивления зависит не от первой, а от второй степени скорости, то движение будет описываться нелинейным дифференциальным уравне-нием. Колебания такой системы называются нелинейными. Для них не вы-



25

полняется принцип суперпозиции. Гармоническая внешняя сила приводит к негармоническим, т.е. ангармоническим колебаниям.

ГЛАВА 2. ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Классификация волн. Колебания, возбужденные в некоторой точке упругой среды, передаются соседним частицам среды, которые также на-чинают участвовать в колебательном процессе. Чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начинает совершать ко-лебательное движение (после включения источника волны).

Процесс распространения колебаний частиц сплошной среды называ-ется упругой волной. Поэтому перенос энергии от источника колебаний ко все более удаленным областям среды называется волновым (в отличие от конвективного) переносом энергии, происходящим без переноса массы. Направление распространения энергии характеризуют с помощью поня-тия луча. Лучом называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения энергии волны, По виду уп-ругие волны могут быть продольными и поперечными. Продольными называются волны, в которых частицы колеблются в

направлении распространения волны, т.е. вдоль луча. При этом возникает деформация сжатия-расширения, которая, как мы знаем, в твердых, жид-ких и газообразных средах возбуждает упругие силы, создающие волну. Поперечными называются волны, в которых частицы среды колеблют-

ся в направлении, перпендикулярном направлению распространения вол-ны, т.е. перпендикулярно лучу. В этом случае возникает деформация сдвига, которая возбуждает упругие силы только в твердой среде.

Геометрическое место точек среды, до которых к некоторому моменту

времени t распространилось колебательное движение, называется фрон-

том волны.



26

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие

ей колебания частиц среды происходят по гармоническому закону:

))(cos( xtAs αω += , (2.1)

где s – смещение частиц из положения равновесия;

ω – циклическая частота;

а(х) – начальная фаза частицы, расположенной в состоянии равнове-

сия в точке с координатой x;

=ϕ )(xt αω + – фаза колебаний этой частицы.

Геометрическое место частиц среды, колеблющихся в одинаковой фа-

зе, образует волновую поверхность. В зависимости от геометрической

формы фронта волны различают плоские (фронт волны – плоскость) и

сферические (фронт волны – сфера) волны.

Если среда анизотропна, то скорость v распространения волны зависит от

ее направления в среде. В результате фронт сферической волны, возбужден-

ной точечным источником, вдали от источника имеет форму эллипсоида.

Длиной волны λ называется расстояние, на которое перемещается вол-

новая поверхность за время, равное периоду Т колебаний частиц среды:

Тυλ = или νυλ /= ,

где υ – скорость волны;

Т/1=ν – частота колебаний.

2.1. Уравнение волны и волновое уравнение

Уравнение плоской волны. Пусть источник плоской волны находится в начале координат и начинает совершать колебания по закону s = Аsin tω =Acos( 2/πω −t ). Частица среды, которая находится в состоянии равновесия на расстоянии х от источника, начнет колебаться по такому же



27

синусоидальному закону через промежуток времени υτ /x= , рав-ный времени прохождения фронтом волны расстояния х. Это значит, что

колебания частиц среды будут отставать по фазе на величину ωτ от коле-

баний источника. Если энергия колебаний частиц не поглощается средой (нет диссипации энергии), то амплитуда колебаний частиц будет равна ам-плитуде источника. Это означает, что в общем случае закон колебания частиц среды определяется уравнением (α0 – начальная фаза источника)

s(x, t) = Asin( 0αωτω +−t ) = Acos ⎟⎠⎞

⎜⎛ , ⎝

+⋅− αυωω хt

20παα −= . (2.2)

Это уравнение показывает, что колебательный процесс в упругой среде является периодическим не только во времени Т/2πω = , но и в простран-стве при изменении координаты х и фиксированном моменте времени t (рис. 2.l). Если (по аналогии с циклической частотой ω = 2 Т/π ) для опи-сания периодичности в пространстве введем волновое число

υω

υπ

λπ

===T

k 22 , (2.3)

то уравнение плоской волны (2.2) можно записать так: s = Acos(ωt-kx+α). (2.4) Начальную фазу колебаний источника в дальнейшем будем опускать,

полагая, что она равна нулю (α = 0).

Поскольку гармоническая волна имеет определенную (одну) частоту, то она называется монохроматической. Колебания частиц В и С среды,

расположенных на расстоянии λ друг от

друга, различаются по фазе на 2π, т.е. частицы В и С имеют одинаковые сме-щения в данный момент времени t. В связи с этим говорят, что они колеблются в одинаковой фазе (синхфазно). Если фа-

зы отличаются на π, то олеба ия проис- к нРис. 2.1



28

ходят в противофазе. Определим скорость, с которой перемещается волновая поверхность,

имеющая заданную фазу ϕ = ωt – kx = const. Положение этой плоскости

определяется координатой x = (ωt - const)/k. Скорость ее перемещения

dx/dt = ω/k совпадает со скоростью υ распространения колебаний в среде

(см. выражение (2.3) для волнового числа k). Таким образом, υ = ω/k явля-

ется скоростью волновой поверхности с заданной фазой и потому называ-ется фазовой скоростью.

В случае распространения волны в отрицательном направлении оси х в

уравнении (2.4) изменяется знак перед волновым числом k:

s = Acos( kxt +ω ).

Если плоская волна распространяется не вдоль оси х (рис. 2.2), а в на-

правлении, задаваемом вектором n (n – единичный вектор нормали к

плоскому фронту), то уравнение волны будет иметь вид

s(r, t) = Acos(ωt-k·r), (2.5)

где r – радиус-вектор, задающий равновесное положение некоторой час-

тицы среды;

k = kn – волновой вектор;

k·r = kxx + kyy + kzz = kl – скалярное произведение векторов k и r.

Рис. 2.2



29

Воспользуемся формулой Эйлера для комплексных чисел e-iϕ = cosϕ - i

sinϕ (i = 1− ) и перепишем уравнение волны в комплексной форме:

S(r, t) = ReAe-i(ωt - k·r). (2.6)

Здесь символ Re (обычно его опускают) означает, что в выражении (2.6)

нужно принимать во внимание только действительную, т.е. реальную часть

( ϕcosA ), которая и описывает волну (2.5). Комплексная форма записи вол-

ны удобна при выполнении математических преобразований с выражением

(2.5), например, при дифференцировании [см. уравнения (2.8) и (2.9)].

Уравнение сферической волны. При распространении колебаний oт

точечного источника в изотропной среде без диссипации энергии уравне-

ние сферической волны имеет вид

s(r, t)= cos0r

A (ωt - k·r). (2.7)

Множитель 1/r учитывает тот факт, что суммарная энергия колеба-

ний частиц среды, расположенных на сферических волновых поверхно-

стях, должна быть одинаковой для разных радиусов r.

Волновое уравнение. Выражение (2.6) для волны является решением

некоторого дифференциального уравнения, точно так же как уравнение

гармонических колебаний является решением дифференциального урав-

нения линейного осциллятора. Чтобы получить это уравнение, найдем

вторые частные производные выражения (2.6) по t, x, y ,z (при этом учтем,

что скалярное произведение k·r = kxx + kyy + kzz):

tt

stt

s∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

∂∂

=∂

∂2

2[-Aiωe-i(ωt - k·r)] = Ai2 ω2 e-i(ωt - k·r) = -ω2s, (2.8)

skx

sx2

2

2−=

∂

∂ , sky

sy2

2

2−=

∂

∂ skz

sz2

2

2−=

∂

∂ .

(2.9)



30

Если уравнения (2.9) сложить и из правой части полученного соот-

ношении исключить s с помощью (2.8), получится дифференциальное урав-

нение в частных производных ( ), называемое волновым

уравнением:

2222zyx kkkk ++=

022

2

2

2

22

2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂

zs

ys

xs

ts υ . (2.10)

Если воспользоваться оператором Лапласа

2

2

2

2

2

22

z

s

y

s

x

s

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ ,

где ∇ – оператор Гамильтона, или оператор набла), который действует

на функцию s = s(x, y, z, t), запись волнового уравнения упрощается:

.02222

=∇−∂

∂ st

s υ (2.11)

Символическое умножение оператора ∇2 на функцию s(x, у, z, t) озна-

чает, что при расчетах нужно вычислить вторые частные производные от

функции s по х, у, z и сложить их, т.е. от уравнения в форме (2.11) перейти

к развернутому волновому уравнению (2.10).

Дисперсия волн. В сплошных однородных средах скорость распро-

странения волны υ является величи-

ной постоянной, характерной для

данной среды, поэтому она не должна

зависеть от частоты колебаний. В не-

которых средах это выполняется, а в

ряде сред из-за теплопроводности,

вязкости и других факторов фазовая

Рис. 2.3



31

скорость гармонических волн зависит от частоты. Это явление назы-

вается дисперсией волн. Если фазовая скорость υ возрастает с увеличением

длины волны λ (уменьшением частоты), то дисперсия называется нор-

мальной; если она уменьшается с увеличением λ, то называется аномаль-

ной. На рис. 2.3 изображена кривая зависимости υ = f(λ) для волн на по-

верхности воды, которая имеет минимум при λ = 1,73 см.

Принцип суперпозиции упругих волн. Принцип суперпозиции яв-

ляется отражением линейности законов или уравнений, описывающих эти

физические явления. В отношении волновых процессов в упругих средах

таким уравнением является волновое уравнение (2.10) – линейное диффе-

ренциальное уравнение в частных производных. Основная его особен-

ность состоит в том, что, если две волны s1 = А1 cos(ω1t - k1x + α1) и

s2 = А2 cos(ω2t - k2x + α2) являются решением волнового уравнения (это

имеет место при ω1/k1 = ω2/k2= υ), то s = s1 + s2 также является решением

этого уравнения. Поэтому при возбуждении в среде нескольких таких

волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсут-

ствуют. Результирующее смещение частиц в любой момент времени равно

геометрической сумме смещений, которые получают частицы среды, уча-

ствуя в распространении каждой из слагаемых волн.

Групповая скорость. Реальные источники волн излучают не одну ка-

кую-либо монохроматическую волну, а совокупность волн, частоты кото-

рых находятся в пределах от ω до ω + Δω, а волновые числа изменяются

от k до k + Δk. В случае наложения волн с дискретным набором частот ωn

и волновых чисел kп (n = 1, 2, ...) результирующая волна в соответствии с

принципом суперпозиции может быть записана в виде суммы:

(2.12) .)cos(1

∑∞

=+−=

nnnnn xktAs αω

В качестве иллюстрации рассмотрим простейший случай сложения двух

монохроматических воли с одинаковыми амплитудами, близкими часто-



32

тами (ω2 - ω1

33

Определим скорость перемещения максимумов амплитуды A(t, x),

которая равна фазовой скорости модулирующей волны:

υм = .1212

kkk −−

=ΔΔ ωωω

Поскольку плотность энергии двух складываемых бегущих волн (в об-

щем случае суммы монохроматических волн) определяется квадратом ам-

плитуды результирующей волны [см. формулу (2.21)], то скорость пере-

носа энергии, которую называют групповой скоростью, будет равна υм:

υгр = .lim0 dk

dkk

ωω=

→ ΔΔ

Δ

Установим взаимосвязь между групповой скоростью и фазовой скоро-

стью результирующей волны (υ = ω/k). Поскольку ω = kυ, k = 2π/λ, а ско-

рость υ при наличии дисперсии зависит от λ (υ = f(λ)), причем λ зависит от

k (λ = 2π/k), то после применения правил дифференцирования сложных

функций получим

υгр = .)(

dkd

ddk

dkdk

dkkd λ

λυυυυυ +=+=

Учитывая выражения для производной dλ/dk = -2π/k2, запишем форму-лу связи для скоростей, называемой формулой Релея

υгр = .λυλυ

dd

− (2.13)

Из формулы (2.13) следует, что при нормальной дисперсии (dυ/dλ > 0) групповая скорость меньше фазовой, при аномальной (dυ/dλ < 0) – больше фазовой, а при отсутствии дисперсии эти скорости равны.

Локализованный волновой пакет. Результирующая волна (рис. 2.4а) имеет ряд максимумов, в окрестности которых волновой процесс локали-зован в пространстве на расстояниях Δх ~ λм/2, а временной интервал бие-ний Δt ~ Тм/2 (см. рис. 1.10). Оказывается, что при наложении достаточно большого числа волн с близкими частотами и волновыми числами можно



34

избавиться от всех максимумов, кроме одного. Для этого нужно специальным образом подобрать амплитуды волн, которые в соответст-вии с формулой (2.12) определяют результирующее волновое образование с пространственной локализацией (рис. 2.4б), называемое волновым па-кетом. Скорость перемещения «центра тяжести» такого пакета определя-ется его групповой скоростью, а пространственная локализация Δх ~ π/Δk зависит от интервала волновых чисел Δk пакета или соответствующего ему интервала частот Δω. Чем меньше ширина пакета, тем больший ин-тервал волновых чисел Δk требуется для его описания с помощью разло-жения (2.12).

Рис. 2.4

2.2. Энергия и плотность энергии упругой волны

Кинетическая энергия. При распространении волн частицы среды не

перемещаются в пространстве вместе с волной, а только колеблются около

своих положений равновесия. Объем среды, в котором распространяется



35

волна, обладает кинетической энергией колебательного движения час-

тиц. Подсчитаем эту энергию для частицы среды массой Δm и объемом ΔV,

которая участвует в колебательном движении (см. рис. 2.1). Обозначим ско-

рость колебаний этой частицы через и. Тогда ее кинетическая энергия

(ρ=Δm/ΔV)

2221

21 Vuum Δ⋅=⋅Δ=ΔΚ ρ . (2.14)

Используем уравнение волны s = Acos(ωt - kx). Тогда скорость частицы

u = ds/dt = -Aωsin(ωt - kx) и выражение (2.14) перепишем в виде

)(sin21 222 kxtVA −Δ=ΔΚ ωωρ . (2.15)

Потенциальная энергия. Для определения потенциальной энергии волны заметим, что энергия упруго деформированного объема ΔV = S*Δx (l0 = Δx, ΔS* – площадь поперечного сечения) может быть записана в виде П=k*Δl2/2. Здесь учтено, что абсолютная деформация Δl при растяжении или сжатии элемента длиной Δx равна Δs, т.е. разности смещений концов элемента. Поэтому

2222

221*

*2*

2**

21 εε VESx

Sxkx

xsksk Δ=Δ⋅Δ

ΔΔ

=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔ

=Δ=ΔΠ ,

где E = k* Δx/ΔS* – модуль Юнга; ε = Δs/Δx – относительная деформация элемента Δx, которая при Δx → 0 в

случае волны переходит в частную производную от s по x (ε = ∂s/∂x)

)sin( kxtkAxs

−⋅=∂∂

= ωε . (2.16)

Подставим уравнение (2.16) в выражение для ΔП и учтем, что волновое число k = ω/υ. Тогда

).(sin21)(sin

21 222

2222 kxtVAEkxtkVAE −Δ=−Δ=ΔΠ ωω

υω



36

Поскольку при передаче энергии в волновом процессе ΔК = ΔП, для фазовой скорости волны получим

ρυ /E= . (2.17)

Окончательно для потенциальной энергии частицы среды запишем вы-ражение

)(sin21 222 kxtVA −Δ=ΔΠ ωωρ . (2.18)

Полная энергия волны. Сравнивая выражения (2.15) и (2.18), видим, что кинетическая и потенциальная энергии частиц волны меняются синфазно (φ = ωt - kx) в отличие от энергии колебаний точки на пружине, для которой максимуму кинетической энергии соответствует минимум потенциальной, и наоборот (см. рис. 1.2). Полная энергия E такого осциллятора остается по-стоянной. В случае волнового процесса полная энергия в малом объеме ΔV волны с учетом формул (2.15) и (2.18) равна

( )[ ].22cos1

21

)(sin

22

222

kxtVA

kxtVAW

−−Δ=

=−Δ=ΔΠ+ΔΚ=Δ

ωωρ

ωωρ (2.19)

Согласно выражению (2.19) энергия волны распространяется с той же скоростью υ, что и упругая волна, т.е. она не локализована в данном объе-ме, а передается посредством упругих сил от частицы к частице (эстафет-ный механизм распространения упругих волн). Такие волны называются бегущими. Для определения энергии волны в некотором объеме V нужно выражение (2.19) проинтегрировать по этому объему.

Плотность энергии и вектор Умова. Из выражения (2.19) видно, что энергия участка волны пропорциональна его объему ΔV. Поэтому можно ввести понятие плотности энергии:

([ ]kxtAkxtAVWw 22cos1

21)(sin 22222 −−=−=

ΔΔ

= ωωρωωρ ) . (2.20)



37

Поскольку величина меняется с течением времени по гармониче-скому зак�

Физика. Колебания и волны. Оптика. Курс...

Documents

Transcript of Физика. Колебания и волны. Оптика. Курс...