Σελίδα 1 από 11

ΘΕΜΑ Α

Α1.δ, Α2.γ, Α3.β, Α4.δ, Α5. α. Σ, β. Λ, γ. Λ, δ.Λ, ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστή απάντηση είναι η γ.

Έστω το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εκρέει το νερό από την οπή στον πυθμένα του δοχείου.

h

1h

Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου Κ που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δοχείο και ενός σημείου που βρίσκεται αμέσως έξω από την οπή, θεωρώντας ως στάθμη αναφοράς για τη μέτρηση των υψών τον πυθμένα του δοχείου. Συνεπώς έχουμε:

ή ή

(1)

Επειδή το εμβαδόν της ελεύθερης επιφάνειας του νερού στο δοχείο είναι πολύ μεγαλύτερο από το εμβαδόν της οπής ισχύει: .

Συνεπώς η σχέση (1) γράφεται .

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π

21 / 04 / 2019 Γ΄ΓΕΛ

Σελίδα 2 από 11

Έστω το μέτρο της ταχύτητας του νερού σε ένα σημείο Μ που βρίσκεται σε απόσταση κάτω από την οπή και το εμβαδόν της φλέβας του νερού στη θέση αυτή. Επειδή η

ταχύτητα ροής του νερού στη θέση Μ είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα ροής του νερού στη θέση Λ το εμβαδόν διατομής της φλέβας του νερού έχει μειωθεί.

Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ των σημείων Λ και Μ, θεωρώντας ως στάθμη αναφοράς για τη μέτρηση των υψών το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Μ, έχουμε:

ή ή

ή με τη βοήθεια της σχέσης (2) 2Μυhggh 322

2ή 8ghυΜ (3)

Από την εξίσωση της συνέχειας για τα σημεία Λ και Μ προκύπτει:

ΜΜΛΛ υΑυΑ ή Μ

Λ

Λ

Μ

υυ

AΑ

ή από τις σχέσεις (2) και (3) 8gh

ghAΑ

Λ

M 2 ή

41

Λ

M

AΑ ή

21

Λ

M

AΑ ή

2AA Λ

M

Β2.

Α. Σωστή απάντηση είναι η α.

Η ροπή αδράνειας του συστήματος πριν την κοπή του νήματος είναι ίση με:

zzδακτυλίου,zzράβδου,πριν 2III ή 22 mrMI 2121

πριν ή 2

2 MMI163

2121

πριν

ή

2 MMI 2

241

121

πριν ή 2MI81

πριν (1)

Αντίστοιχα, για τη ροπή αδράνειας του συστήματος μετά την κοπή του νήματος ισχύει:

zzδακτυλίου,zzράβδου,μετά 2III ή 2

2 mMI

22

121

μετά

ή 2

2 MMI43

2121

μετά

ή

2MI 123

μετά ή 2MI 41

μετά (2)

Με διαίρεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) προκύπτει:

2M

M

II

4181

μετά

πριν

2

ή 21

μετά

πριν II

Σελίδα 3 από 11

Β. Σωστή απάντηση είναι η γ .

Έστω I η ροπή αδράνεια του συστήματος ως προς τον άξονα zz΄. Κατά τη διάρκεια της κίνησης του συστήματος το αλγεβρικά άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που δέχεται είναι μηδέν, συνεπώς ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής. Επομένως

μετάπριν LL

ή LLL μετάπριν (3)

Για τη κινητική ενέργεια του συστήματος ισχύει:

2

21 IωK ή

Iω I

K2 2

21

ή I

LK2

2

Συνεπώς :

μετά

2πρiν

2

μετά

πριν

2

2

ILIL

KK

ή με τη βοήθεια της σχέσης (3) πιρν

μετά

μετά

πριν

II

KK

ή 2μετά

πριν KK

Β3. Α. Σωστή απάντηση είναι η γ.

Έστω η ορμή της σφαίρας Α πριν την κρούση και οι ορμές των σφαιρών Α και Β αντίστοιχα μετά την κρούση.

1p

2p

1p

Η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών διατηρείται κατά την κρούση. Συνεπώς ισχύει: ή (1). Από τη σχέση (1) φαίνεται ότι από το διανυσματικό

άθροισμα των ορμών των σφαιρών μετά την κρούση προκύπτει η ορμή της σφαίρας Α πριν την κρούση. Συνεπώς για τα μέτρα τους ισχύει:

φppppp συν2 212

22

11 ή φppppp συν2 212

22

121

ή ή (2).

Αφού η κρούση είναι ελαστική ισχύει: ή ή

(3).

Σελίδα 4 από 11

Από τις σχέσεις (2) και (3) με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: ή ή .

B. Σωστή απάντηση είναι η β.

Από τη σχέση (2) προκύπτει: ή 22

212

1 4υυυ ή

43 2

122

υυ ή 23 1

2υυ

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Συγκρίνοντας τις δεδομένες εξισώσεις με τη γενική εξίσωση του αρμονικού κύματος

προκύπτει , και

Επομένως η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι:

Γ2. Οι θέσεις των κοιλιών σε ένα στάσιμο κύμα δίνονται από τη σχέση:

Ζ κ2λκxκ

Για τις ζητούμενες κοιλίες ισχύει:

ΔΓ xxx κ ή ΔΓ xxx κ ή 0,270,060,06 κ ή 4,51 κ

Οι δεκτές τιμές που προκύπτουν για τον συντελεστή κ είναι : κ1=2, κ2=3, κ3=4 , άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι τρεις κοιλίες, που βρίσκονται στις θέσεις

mx 0,122

0,1221κ , mx 0,18

20,123κ 2 , mx 0,24

20,124

3κ , αντίστοιχα.

Γ3. Έστω οι διαδοχικές κοιλίες Α και Β του στάσιμου κύματος που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα κάποια χρονική στιγμή που βρίσκονται σε ακραία θέση της ταλάντωσής τους.

Σελίδα 5 από 11

Όπως φαίνεται από το σχήμα η ελάχιστη απόσταση δυο διαδοχικών κοιλιών σε ένα στάσιμο κύμα είναι ίση με:

όταν τα σημεία διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους .

Η μέγιστη μεταξύ τους απόσταση είναι :

Γ4. Η απομάκρυνση της κοιλίας στη θέση x=0 τη χρονική στιγμή είναι

Οι θέσεις των κοιλιών έχουν βρεθεί στο ερώτημα (β). Για την ταχύτητα της κοιλίας στη θέση x=0 τη χρονική στιγμή ισχύει:

Το ζητούμενο στιγμιότυπο φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Στο δίσκο ασκούνται το βάρος του Kw

, η κάθετη δύναμη στήριξης N

, η στατική τριβή

1,T

από το οριζόντιο δάπεδο, η τάση 1Τ

από το οριζόντιο νήμα ΑΓ και η και τη δύναμη

F

από το ελατήριο. Η τροχαλία δέχεται το βάρος της w , την τάση 1Τ

από το οριζόντιο

νήμα ΑΓ, την τάση 2Τ από το κατακόρυφο νήμα ΔΖ και τη δύναμη από τον άξονά της F

.

Στο σώμα Σ ασκούνται το βάρος του w

και η τάση 2Τ

από το νήμα ΔΖ.

0,27

Σελίδα 6 από 11

Επειδή τα νήματα είναι αβαρή ισχύει: 11 TT (1) και 22 TT (2)

Το σύστημα ισορροπεί, άρα

Για το σώμα Σ ισχύει: 0Σ FΣ

ή 02Σ Tw ή gmT 2 ή N T 302 (3)

Οι δυνάμεις w και F

δεν δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής ,

άρα για την τροχαλία ισχύει: 0(o) τΣ ή 021 22 RT RT ή 22 RT RT 21 ή με τη

βοήθεια των σχέσεων (1), (2) και (3) προκύπτει: 21 TT ή NT 301

Στο δίσκο, οι δυνάμεις Kw

, N

και F

δεν δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής , άρα ισχύει: 0(Κ) τΣ ή 01στ,111 RT RT ή 1στ,1 TT ή ΝT 30στ,1

και 0x FΣ

ή 0ελστ,11 F-TT ή στ,11ελ TTF ή NF 60ελ .

Έστω Δ η παραμόρφωση του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος. Ισχύει:

Δελ kF ή k

FελΔ ή m0,4Δ .

Συνεπώς για τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου Uελ προκύπτει :

2Δ21

ελ kU ή JU 12ελ

1Τ

1,T

2Τ

2Τ

.F

w

w

N

1Τ

Kw

m

F

Α Γ

Ο Ν

Λ

Ζ

Δ

Σελίδα 7 από 11

Δ2.

Από τη στιγμή που αφαιρείται το ελατήριο, οι τάσεις των νημάτων, η δύναμη που ασκείται από τον άξονα της τροχαλίας και η στατική τριβή στο δίσκο αλλάζουν τιμές. Έτσι, στο δίσκο ασκούνται το βάρος του Kw

, η κάθετη δύναμη στήριξης N

, η στατική τριβή 2,T

από

το οριζόντιο δάπεδο και η τάση 3T

από το οριζόντιο νήμα ΑΓ. Η τροχαλία δέχεται το

βάρος της w , την τάση 3T

από το οριζόντιο νήμα ΑΓ, την τάση 4T

από το κατακόρυφο

νήμα ΔΖ και τη δύναμη από τον άξονά της F

. Στο σώμα Σ ασκούνται το βάρος του w

και

η τάση 4T

από το νήμα ΔΖ.

Επειδή τα νήματα είναι αβαρή ισχύει: 11 TT (4) και 2TT 2 (5)

Για το σώμα Σ ισχύει: αmFΣ

Σ ή mαΤmg 4 ή am-gmT 4 (6) Επειδή το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας, το μέτρο αε της επιτρόχιας

επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας είναι ίσο με το μέτρο α της επιτάχυνσης του σώματος Συνεπώς:

ε,τρaa ή 2Raa γων,τρ ή 2R

aa , (7)

Άρα για την τροχαλία ισχύει: γων,τρcm,τρ aIτΣ (o) ή με τη βοήθεια της σχέσης (7)

22324 2

1Ra

RMRT RT 222 ή με τη βοήθεια των σχέσεων (4) και (5)

αMΤΤ 234 2 (8)

Επειδή το νήμα δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του δίσκου το μέτρο αε της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας είναι ίσο με το μέτρο αΑ της επιτάχυνσης του ανώτερου σημείου Α του κυλίνδρου.Συνεπώς:

a 3T

2,T

4T

4T

.F

w

w

N

3T

Kw

Α Γ

Κ

Ο

Ζ a

a

,cma

,a Δ

Σελίδα 8 από 11

ε,τρA aa ή aaA (9)

Όμως για το ανώτερο σημείο του δίσκου ισχύει: δcm,Α 2υυ ή dt

dυdt

dυ δcm,Α 2

κυλcm,Α 2aa ή με τη βοήθεια της σχέσης (9) 2aa δcm, (10)

Για τον κύλινδρο ισχύει: γων,δcm,δαIτΣ (Κ)

ή 1

2111στ,213 2

1R

aRMRT RΤ cm,δ

ή cm,δaMT-T2

1στ,23 (11)

και cm,δαΜFΣ 1x ή cm,δαΜTT 1στ,13 (12)

Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (11) και (12) προκύπτει:

cm,δαΜT2

32 13 ή cm,δαΜT

43 1

3 ή με τη βοήθεια της σχέσης (10) αΜT8

3 13 (13)

Από τη σχέση (8) με τη βοήθεια των σχέσεων (6) και (13), προκύπτει:

αMαΜam-gm 2

283 1 ή )αMΜmgm 2

283 1 ( ή

283 1 2MΜ

m

gma

ή

2sma 4

Δ3. Από τη σχέση (10) προκύπτει ότι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου έχει

μέτρο ίσο με 2cm,δ smα 2 . Ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, συνεπώς για ο μέτρο της

γωνιακής επιτάχυνσης του γων,δα ισχύει 2

1

10s

radR

αα cm,δ

γων,δ

Για το μέτρο της ταχύτητας 1cm,υ του κέντρου μάζας του δίσκου τη χρονική στιγμή t1=2s, ισχύει:

1cm,δcm, tαυ Δ1 ή smυcm, 0)-(221 ή

smυcm, 41

Για το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας 1ω του δίσκου τη χρονική στιγμή t1=2s, ισχύει:

1

11 R

υω cm, ή

sradω 201

Από τη χρονική στιγμή t1=2s και μετά, στον δίσκο ασκούνται το βάρος του Kw

, η κάθετη

δύναμη στήριξης N

, και οι δυνάμεις 1F

και 2F

που αποτελουν ζεύγος δυνάμεων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Σελίδα 9 από 11

Ισχύει: γων,δ2cm,δαIτΣ (Κ) ή γων,δ2aRM RF 2

1111 212 ή

1RM Faγων,δ2

1

14 ή

2γων,δ2 srada 5

Άρα για το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας 2ω του δίσκου τη χρονική στιγμή t2=4s ισχύει:

21 Δtαωω δ2γων,2 ή )1t 21 (tαωω γων,δ22 ή s

radω 302

Επίσης ισχύει 0- 21x FFΣF άρα το κέντρο μάζας του δίσκου εκτελεί ευθύγραμμη

ομαλή κίνηση με ταχύτητα μέτρου smυυ cm,cm, 412

Συνεπώς για το πηλίκο της κινητικής ενέργειας του δίσκου λόγω της στροφικής κίνησης K προς την κινητική ενέργεια του δίσκου λόγω της μεταφορικής κίνησης K , τη

χρονική στιγμή t2= 4s ισχύει:

2cm,21

22

21

21

υΜ

Ιω

KK

μετ

στρ ή 2cm,21

22

211

2121

21

υΜ

ωRΜ

KK

μετ

στρ ή 2cm,2

22

21

2υωR

KK

μετ

στρ ή 1,125μετ

στρ

KK

Δ4. Στο χρονικό διάστημα από to=0 έως και τη χρονική στιγμή t1= 2s για τη στροφορμή του δίσκου ισχύει:

ωIL ή taRM21L

1δγων,211 ή tL 1,6 (S.I)

Στο χρονικό διάστημα από t1=2s έως και τη χρονική στιγμή t2= 4s για τη στροφορμή του κυλίνδρου ισχύει:

ωIL ή )Δ1 tαωIL γων,κυλ ( ή )11 t-tαIωIL γων,κυλ ( ή 0,8t1,6 L (S.I)

Με βάση τα παραπάνω, η στροφορμή του κυλίνδρου σε συνάρτηση με τον χρόνο παριστάνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

2F

1F

N

Kw

2.cma

2.cm

2

2,

Σελίδα 10 από 11

Δ5.

Στην θέση ισορροπίας (Θ.Ι) της ταλάντωσης ισχύει:

0 τΣ ή 0 στ T και

0 x FΣ

ή 0 λστ εFT ή 0 λ εF , άρα η Θ.Ι της ταλάντωσης ταυτίζεται με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου

Στην τυχαία θέση ( Τ.Θ) της ταλάντωσης ισχύει:

cm,δ3αΜFΣ 1x ή δ3cm,1στ,3ελ αΜTF

(14) και

)(2

smKgL

)(st

4,8

3,2

0 4 2

Α

F

1w

3,T

N

Α’

x

Θ.Ι Τ.Θ

δ3cm,a 3,cm

3,

3,a

Σελίδα 11 από 11

γων,δ3αIτΣ ή γων,δ3στ,3 aRM RΤ 2111 2

1 ή λαμβάνοντας υπόψη ότι 1δ3γων,δ3cm, Rαα (14)

προκύπτει γων,δ3στ,3 aM Τ 121

(15).

Απο τις σχέσεις (14) και (15) προκύπτει

στ,3στ,3ελ 2 TTF ή 3

ελστ,3

FT (16)

Άρα στην τυχαία θέση

ελ FTΣF στ,3x ή λόγω της σχέσης (16) ελελ F

FΣF x

3 ή

3 ελ2F

ΣF x ή x3

2kΣF x

.

Άρα, το κέντρο μάζας του κυλίνδρου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς

mN2kD 100

3

Για την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης ισχύει:

21 ωΜD ή

1ΜDω ή

sradω

225

ενώ για το πλάτος της ταλάντωσης ισχύει

mΔΑ 0,4

Συνεπώς η μέγιστη τιμή της ταχύτητας ταλάντωσης του κέντρου μαζας του δίσκου είναι:

Αωυ max ή sm2υ max