Η Συνδυαστική στην Αρχαία...
Transcript of Η Συνδυαστική στην Αρχαία...
![Page 1: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/1.jpg)
Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδα
![Page 2: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/2.jpg)
Αρχαία Ελλάδα
● Γεωμετρία (Ευκλείδης, Απολλώνιος, Θεαίτητος, ...)
● Θεωρία των Αριθμών (Πυθαγόρειοι, Διόφαντος, ...)
● Λογισμός (Εύδοξος, Αρχιμήδης)
● Άλγεβρα (Διόφαντος)
● Συνδυαστική
![Page 3: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/3.jpg)
Η συνδυαστική είναι κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη μετρήσιμων
διακριτών δομών.
![Page 4: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/8.jpg)
Schroeder (1841-1902, Mannheim)
x x x x x x x x x x
x(xx(xxx)x)(x(xx))
x=(x) και (x(xx(xxx)x)(x(xx)))=x(xx(xxx)x)(x(xx))
![Page 9: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/9.jpg)
((x x)x)x x(x(x x)) (x(x x))x x((x x)x)
(x x x)x x(x x x) (x x)(x x)
(x x)x x x(x x)x x x(x x) x x x x
![Page 10: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/10.jpg)
Αριθμοί Schroeder
s(1)=1, s(2)=1, s(3)=3, s(4)=11, s(5)=45, s(6)=197, s(7)=903, s(8)=4.279, s(9)=20.793,
s(10)=103.049, s(11)=518.859, . . .
![Page 11: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/14.jpg)
Πλούταρχος
● Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια
Ιστορικός, βιογράφος και δοκιμιογράφος.
![Page 15: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/15.jpg)
Πλούταρχος
● Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια
Ιστορικός, βιογράφος και δοκιμιογράφος.
● Ο Χρύσιππος είπε πως ο αριθμός των συνθέσεων που είναι εφικτές από δέκα απλές προτάσεις ξεπερνάει το ένα εκαταμμύριο.
Ο Ίππαρχος τον αντέκρουσε δείχνοντας ότι δημιουργούνται 103.049 καταφατικές συνθέσεις
και 310.952 αποφατικές συνθέσεις.
![Page 16: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/16.jpg)
● Χρύσσιπος (280-206 π.Χ. Ταρσός) Στωικός Φιλόσοφος, ένας απο τους μεγαλύτερους στοχαστές του τρίτου π.Χ. αιώνα.
![Page 17: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/17.jpg)
● 'Ιππαρχος (190-120 π.Χ.Νίκαια της Βιθυνίας) ο μεγαλύτερος αστρονόμος της αρχαιότητας
![Page 18: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/20.jpg)
--
![Page 21: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/23.jpg)
Ο Χρύσιππος είπε πως ο αριθμός των συνθέσεων που είναι εφικτές από δέκα απλές προτάσεις ξεπερνάει το ένα εκαταμμύριο.
Ο Ίππαρχος τον αντέκρουσε δείχνοντας ότι δημιουργούνται 103.049 καταφατικές συνθέσεις
και 310.952 αποφατικές συνθέσεις.
● Χρύσσιπος (280-206 π.Χ.)● 'Ιππαρχος (190-120 π.Χ.)● Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.)
![Page 24: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/24.jpg)
Richard Stanley (MIT) (Enumerative Combinatorics vol. 1 ex. 1.45, 1986)
David Hough 1994
s(10)=103.049Ο δέκατος αριθμός του Schroeder
x (x x ( x x x x))(x x x)
![Page 25: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/25.jpg)
310.952
![Page 26: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/26.jpg)
310.954=s(10)+s(11)/2
(o (x x x)) x x (x x)=o(x x x) x x (x x)
(o x) x x = o x x x(o x)(x x) = o x (x x)((o x) x) x = (o x x) x
(o (x x) ) x = o ( x x) xo(x x x)o(x(x x))o((x x) x)
![Page 27: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/27.jpg)
Αρχιμήδης (287-212 π.Χ. Συρακούσες) Μαθηματικός, Φυσικός, Μηχανικός και Αστρονόμος.
![Page 28: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/28.jpg)
Στομάχιον
![Page 29: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/30.jpg)
Tangram
![Page 31: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/31.jpg)
Σκήτη του Αγίου Σάββα (1229)
![Page 32: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/32.jpg)
14 Απριλίου 1229 π. Ιωάννης Μύρωνας
![Page 33: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/35.jpg)
Παλίμψηστο
• π.Ιωάννης Μύρωνας 1229• 1800 Κωσταντινούπολη• 1846 Constantin von Tischendorf• Αθανάσιος Παπαδόπουλος Κεραμεύς 1899• Johan Heiberg 1906• 1920 εξαφανίζεται • 1998 Δημοπρασία στο Christies της Νέας Υόρκης (2.200.000$)
• Walters Art Museum, Baltimore
![Page 36: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/37.jpg)
Στομάχιον
ΠΛΗΘΟΣ
![Page 38: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/38.jpg)
Στομάχιον
![Page 39: Η Συνδυαστική στην Αρχαία Ελλάδαmath.uoi.gr/images/pdf/mathclub/Leshi_19112015.pdf · Πλούταρχος Ο Πλούταρχος (45-120 μ.Χ.) Χαιρώνεια](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040804/5e4157c09f7176510b711fbb/html5/thumbnails/39.jpg)
Στομάχιον
● Persi Diaconis● Bill Cutler
17.152=(32) x (536)