Сборник задач и упражнений по высшей...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «Белорусский государственный экономический университет»

Сборник задач и упражнений

по высшей математике

для студентов экономических специальностей

В 2 частях Часть II

МИНСК 2014

УДК 51 (075.3)

ББК 22.1я 73

С 23 Печатается в авторской редакции

Авторы: Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков, Л.В.Станишевская,

Н.Н.Ящина

Рецензенты: зав. отделом ИМ НАН Беларуси, доктор физико-математических

наук, профессор Н.А.Лиходед

Рекомендовано кафедрой высшей математики

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

Сборник задач и упражнений по высшей математике для студентов эконо-

мических специальностей: в 2 ч. / Л.Н.Гайшун, Н.В.Денисенко, А.В.Марков (и

др.). – Минск: БГЭУ, 2014. – Ч.2. – 270 с.

Содержит задачи по следующим разделам математики: функции несколь-

ких переменных, интегральное исчисление и дифференциальные уравнения,

ряды. Каждый параграф сборника содержит краткие сведения из теории, ре-

шенные примеры для иллюстрации наиболее рациональных методов решения и

задачи для самостоятельного решения. В конце каждой главы даны контроль-

ные задания. В приложении содержатся варианты тестовых заданий для кон-

троля усвоения студентами учебного материала. Для усиления прикладной эко-

номической направленности курса высшей математики в сборнике приведено

большое количество задач экономического содержания.

3

Содержание

Предисловие …………………………………………………………………. 5

Раздел IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ………… 6

Глава 8. Функции нескольких переменных …………………………. 6 8.1. Основные понятия ……………………………………………... 6 8.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных 9 8.3. Частные производные, полный дифференциал, производная

в данном направлении и градиент функции …………………. 12

8.4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков …………..

18

8.5. Экстремум функций нескольких переменных. Условный экстремум ……………………………………………………….

22

8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных. Функция нескольких переменных в экономиче-ских задачах ……………………………………………………..

25 8.7. Контрольные задания к главе 8 ………………………………. 28

Раздел V. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИ-АЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………………………………...

37

Глава 9. Неопределенный интеграл …………………………………... 31 9.1. Непосредственное интегрирование …………………………... 33 9.2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала

и методом подстановки ………………………………………... 39

9.3. Интегрирование по частям……………………………………... 48 9.4. Интегрирование рациональных функций …………………… 57 9.5. Интегрирование тригонометрических функций ……………... 69 9.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций …….. 81 9.7. Контрольные задания к главе 9 ……………………………….. 93

Глава 10. Определенный интеграл и его приложения……………….. 95 10.1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница …….. 95 10.2. Замена переменной и интегрирование по частям в

определенном интеграле ………………………………………. 103

10.3. Приближенное вычисление определенных интегралов (формула трапеции). Несобственные интегралы ……………..

110

10.4. Геометрические приложения определенного интеграла ……. 122 10.5. Приложения определенного интеграла в решении

физических и экономических задач …………………………... 140

10.6. Контрольные задания к главе 10 ……………………………… 145

4

Глава 11. Дифференциальные уравнения …………………………….. 149 11.1. Основные понятия и определения …………………………….. 149 11.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяю-

щимися переменными …………………………………………. 154

11.3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка ….. 157 11.4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка …….. 161 11.5. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с по-

стоянными коэффициентами ………………………………….. 166


Раздел VI. РЯДЫ ………………………………………………………….. 177 Глава 12. Числовые ряды ………………………………………………... 177

12.1. Числовой ряд, его сходимость ………………………………… 177 12.2. Исследование на сходимость рядов с положительными чле-

нами. Признаки сравнения …………………………………….. 183

12.3. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости …………………………………………….

185

12.4. Абсолютная сходимость. Признак Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов ……………………………………..

190


Глава 13. Степенные ряды ………………………………………………. 195 13.1. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости …………… 195 13.2. Ряды Тейлора и Маклорена …………………………………… 199 13.3. Применение рядов в приближенных вычислениях ………….. 203 13.4. Контрольные задания к главе 13 ……………………………… 207

Примерные варианты тестовых заданий ………………………………… 209 О т в е т ы …………………………………………………………………….. 227 Л и т е р а т у р а ……………………………………………………………... 269

5

П Р Е Д И С Л О В И Е

В первые два года обучения студенты экономических специальностей изучают курс высшей математики, являющийся фундаментом экономического образования. Для успешного и глубокого усвоения данного курса необходимы не только учебники и справочники по соответствующим разделам, но и задачники, служащие для закрепления теоретического материала и повышения уровня математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности.

При подготовке сборника авторы исходили из того, что наиболее эффективной формой изучения высшей математики является, помимо изучения теоретического материала, самостоятельная работа студентов над практическими заданиями при надлежащем контроле со стороны преподавателей. Поэтому каждый параграф содержит краткие сведения из теории, носящие справочный характер, и достаточно большое число примеров с подробным решением для иллюстрации наиболее рациональных приемов. В конце каждой главы даны соответствующие контрольные задания, что облегчает использование этого сборника преподавателями.

Материал сборника подготовили сотрудники кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета:

глава 8 –– кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Марков; главы 9, 10 –– кандидат физико-математических наук Л.В. Станишевская; глава 11 –– ассистент Н.Н. Ящина; главы 12, 13 –– кандидат физико-математических наук, доцент Л.Н.

Гайшун. Кандидат физико-математических наук, доцент Н.В.Денисенко

участвовал в написании и редактировании всего сборника. В конце книги даны ответы на предложенные задачи и приведен список

литературы, в который вошли в основном все источники, использованные авторами при составлении данного сборника.

В приложении также даны примерные варианты тестовых заданий для контроля усвоения курса студентами.

Задачник может быть использован студентами экономических специальностей различных вузов всех форм обучения.

Авторы будут благодарны за все замечания и предложения по улучшению данного сборника.

6

Раздел IV ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Глава 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

8.1. Основные понятия

Рассмотрим множество ,D состоящее из пар действительных чисел yx, , и некоторое множество Z действительных чисел.

Если каждой паре действительных чисел Dyx , по некоторому прави-лу f поставлено в соответствие одно определенное действительное число

Zz , то говорят, что на множестве D задана функция yxfz , , принимаю-щая значения из множества .Z

Функцию yxfz , называют функцией двух переменных, а переменные x и y – независимыми переменными или аргументами. Множество D называется областью определения функции. Областью определения функции двух переменных является множество точек плоскости. Функцию двух переменных можно задавать аналитически, графически и табличным способом.

Частное значение функции yxfz , при 0xx , 0yy обозначается через 000 , yxfz . Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных

yxfz , является, вообще говоря, поверхность в пространстве .Oxyz Аналогично определяется функция большего числа переменных

nxxxfz ,,, 21 . Геометрические изображения функции трех и большего числа перемен-ных не имеют простого геометрического смысла. В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое пред-ставление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня), т.е. линии или поверхности, где данная функция сохраня-ет постоянное значение.

Линией уровня функции yxfz , называется множество всех точек плоскости ,Oxy для которых данная функция имеет одно и то же значение. Таким образом, уравнение линии уровня есть ,, Cyxf где C – некото-рая постоянная. Поверхностью уровня функции zyxfu ,, называется множество всех точек пространства ,Oxyz для которых данная функция имеет одно и то же зна-чение.

7

Пример 8.1. Прибыль банка z есть функция процентной ставки ,x по ко-торой банк выдает кредит, и процентной ставки ,y по которой банк принимает вклады. Пример 8.2. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле ,xyS где x и y – длины сторон прямоугольника, т.е. S – функция двух переменных. Область определения данной функции – это множество точек yx, таких, что

0x , 0y , т.е. множество всех точек плоскости, расположенных в первой четверти, не включая оси координат (рис. 8.1).

Рис. 8.1

Пример 8.3. Найти область определения функций:

1) 224

1yx

z

; 2) xyxz 2

arcsin .

Р е ш е н и е. 1) Функция имеет действительные значения, если 04 22 yx или 422 yx . Последнему неравенству удовлетворяют коор-

динаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале коор-динат. Область определения функции есть внутренность этого круга (рис. 8.2).

Рис. 8.2

2) Первое слагаемое функции определено при 12

1 x или 22 x .

Второе слагаемое имеет действительные значения, если 0xy , т.е. в двух слу-

x

y

O -2 2

y

x O

8

чаях: при

0,0

yx

или при

0,0

yx

. Область определения всей функции изобра-

жена на рис. 8.3 и включает границы области.

Рис. 8.3

Пример 8.4. Найти линии уровня следующих функций:

1) yxz 2 ; 2) 2261

yxz

.

Р е ш е н и е. 1) Уравнение линий уровня данной функции можно запи-сать в виде Cyx 2 или Cxy 2 . Линии уровня являются прямыми.

2) Уравнение линий уровня данной функции можно записать в виде

Cyx

2261 или 16 22 yxC 0C , или 11

61

22

C

y

C

x 0C . Линии уров-

ня являются эллипсами.

Задачи для самостоятельного решения

8.1. Вычислить частные значения функций:

а) yxyxz

223 при 2x , 1y ; при 1x , 3y ;

б) yxz sin3 в точке

3;2 M ; в) 322 yyxz в точке

31;

21Q .

8.2. Найти области определения следующих функций и сделать чертежи: а) 229 yxz ; б) 21 yxz ; в) yxz ln ; г) ;arccosyxz

y

x -2 2 0

9

д) 22 44 yxz ; е) yxz arcsin ;

ж) 22 1616 yxz ; з) xyz cos ;

и) 2ln yxz ; к) 221 yxyxarctgz

л) 22

1yx

z

; м) 22sin yxz ;

н) xy

z

2 ; о)

yxz 1

52

.

8.3. Найти области определения следующих функций трех переменных: а) zyxu ; б) ;lg xyzu

в) ;arccosarccosarccos zyxu г) 2221 zyxu .

8.4. Найти линии уровня следующих функций: а) 22ln yxz ; б) xyz arcsin ; в) 22 4yxz ;

г) ;xyz д) yxz

2

; е) 22 49 yxz .

8.5. Найти поверхности уровня функций:

а) zyxu ; б) zyxu ;

в) 222 zyxu ; г) 22 yx

zu

.

8.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных Пусть в некоторой области D задана последовательность точек ...,,,...,,,, 2211 nn yxyxyx . Точка 000 , yxM также принадлежит области D . Расстояние между точками nn yx , и 00 , yx может быть вычислено по формуле

202

0 yyxxd nnn .

Будем говорить, что последовательность точек nn yx , стремится к точ-ке 00 , yx , если при n расстояние 0nd . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки 00 , yx , кроме может быть самой точки. Число A называется пределом функции yxfz , в точке 00 , yx , если для любой последовательности точек nn yx , , стремящейся к точке с коорди-

10

натами 00 , yx , точки которой отличны от точки 00 , yx и не выходят из обла-сти определения функции, соответствующая последовательность значений функции ...,,,...,,,, 2211 nn yxfyxfyxf стремится к числу A . В этом случае пишут:

Ayxfyyxx

,lim00

.

Функция yxfz , называется непрерывной в точке с координатами 00 , yx , если предел функции y,xf при 0xx и 0yy равен значению функции в точке 00 , yx , т.е.

00 ,,lim00

yxfyxfyyxx

.

Для функции большего числа переменных предел и непрерывность опре-деляются аналогично.

Пример 8.5. Найти пределы функций:

1) 2

2lim 4432

yx

xy

yx

; 2) y

xy

yx

3sinlim01

; 3) x

yx

yx

00

lim .

Р е ш е н и е. 1) Функция 2

244

yxxyz определена и непрерывна на

всей плоскости, поэтому предел этой функции равен значению функции в точке

3;2 , т.е. 334

9912

28116322

22lim 44

32

yx

xy

yx

.

2) Функция y

xyz 3sin в точке 0;1 не определена. Воспользуемся первым

замечательным пределом 1sinlim0

.

31133

3sinlimlim33

3sin3lim3sinlim01

01

01

01

xy

xyxxy

xyxy

xy

yx

yx

yx

yx

.

3) Рассмотрим две последовательности точек, стремящихся к точке

0;0 , а именно:

nnM n

1;1 и

0;1

nM n , тогда 21

11

limlim00

n

nnx

yxn

yx

,

11

01

limlim00

n

nx

yxn

yx

.

Для разных последовательностей точек получены разные пределы, это и показывает, что данная функция предела не имеет.

11

Пример 8.6. Найти точки разрыва функции yx

xyz

2

2 .

Р е ш е н и е. Для данной функции знаменатель не должен обращаться в ноль. Если 02 yx , то 2xy – уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу 2xy .

Задачи для самостоятельного решения 8.6. Найти пределы функций:

а) yxytg

yx

2lim03

; б) yxyx

yx

33

33

lim ;

в) 42

lim00

xy

xy

yx

; г) 11lim

11

y

x

yx

;

д) 33/133

00

1lim yx

yx

yx

; е) yx

yxyx

1sinlim ;

ж) 22

22

00

limyxyx

yx

; з) 2200

limyx

y

yx

;

и) xy

yxyx

1sinlim 22

00

; к) yxyx

yx

33

00

lim .

8.7. Найти точки разрыва функций:

а) 22ln yxz ; б) 2291

yxz

;

в) 2

1yx

z

; г) xy

z 1cos ;

д) 22 32

1

yx

z ; е) yxyxz

22

;

ж) zyx

u

1 ; з)

xyzu 1cos .

12

8.3. Частные производные, полный дифференциал, производная в данном направлении и градиент функции

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного прира-щения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю. Для функции двух переменных yxfz , , полагая, например, y посто-янной, получаем производную

yxf

xyxfyxxf

xz

xx,,,lim

0

,

которая называется частной производной функции z по переменной x . Анало-гично определяется частная производная функции z по переменной y

yxf

yyxfxyxf

yz

yy,,,lim

0

.

Полным приращением функции yxfz , называется разность

yxfyyxxfz ,, .

Полным дифференциалом функции yxfz , называется главная часть полного приращения z , линейная относительно приращений аргументов x и

y . Полный дифференциал функции yxfz , обозначается символом dz . Разность между полным приращением и полным дифференциалом функ-ции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с 22 yx . Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных, по определению, совпадают с их приращениями, т.е. xdx и ydy . Полный дифференциал функции yxfz , находится по формуле

dyyzdx

xzdz

.

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов zyxfu ,, находится по формуле

dzzudy

yudx

xudu

.

13

При достаточно малых x и y , а значит, при достаточно малом 22 yx , для дифференцируемой функции yxfz , имеет место при-

ближенное равенство dzz или

yyzx

xzz

,

откуда

.,, yyzx

xzyxfyyxxf

(8.1)

Формула (8.1) применяется для приближенного вычисления значения функции yxfz , в точке yyxx , по известным значениям функции

yxz , и ее частных производных xz

и yz

в данной точке yx, .

Производной функции yxfz , в данном направлении 1MMl называ-ется

MM

MfMflz

MM1

1

01

lim

,

где Mf и 1Mf – значения функции в точках M и 1M . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

coscosyz

xz

lz

, (8.2)

где – угол, образованный вектором l с осью Ox , а – угол, образованный вектором l с осью Oy , причем 90 (рис. 8.4).

Рис. 8.4

y

x O

M

1M

14

Аналогично определяется производная в данном направлении l для функции трех аргументов zyxfu ,, . В этом случае

coscoscoszu

yu

xu

lu

, (8.3)

где ,, – углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении. Градиентом функции yxfz , называется вектор, проекциями которо-го на координатные оси являются соответствующие частные производные дан-ной функции:

jyzi

xzzgrad

. (8.4)

Производная данной функции в направлении l связана с градиентом функции следующей формулой:

zgradпрlz

l

,

т.е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования. Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответству-ющей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, т.е.

при zgradl производная lz

принимает наибольшее значение, равное

22

yz

xz .

Аналогично определяется градиент функции трех переменных zyxfu ,, :

kzuj

yui

xuugrad

.

Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по норма-ли к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Пример 8.7. Найти частные производные следующих функций:

1) xyctgz ln ; 2) 225423 zyxzyxu .

15

Р е ш е н и е. 1) Рассматривая y как постоянную величину, получим:

xyx

yxy

xy

xyctgx

z2sin

2

sin

112

22

. Аналогично, рассматривая x как по-

стоянную, получим:

xyxx

xy

xyctgy

z2sin

21

sin

112

.

2) 43 22

zyxxu

, 52 3

yzxyu

, 223

yxzu

.

Пример 8.8. Найти полный дифференциал функции 33 yxz .

Р е ш е н и е. Найдем частные производные 33

2

23

yxx

xz

,

33

2

23

yxy

yz

. Тогда 33

22

33

2

33

2

233

23

23

yxdyydxxdy

yxydx

yxxdz

.

Пример 8.9. Вычислить приближенно 01.302.1 .

Р е ш е н и е. Искомое число будем рассматривать как значение функции yxz при 2,01x , 1,03y . Значение функции в точке 3;1 равно

113;1 3 z , 02,0x , 01,0y . Используя формулу (8.1), получим

xyxdzz y 1 06,001,01ln102,013ln yxx y . Следовательно,

06,106,0102,1 01.3 . Пример 8.10. Найти производную функции 22 32 yxz в точке 0;1M

в направлении, составляющем с осью Ox угол в 60 . Р е ш е н и е. Найдем частные производные данной функции и их значе-

ния в точке M : xxz 4

; 4

Mxz ; y

yz 6

; 0

Myz . Здесь cos

2160cos ,

2330coscos . Применяя формулу (8.2), получим

2230

214

lz .

Пример 8.11. Найти и построить градиент функции yxz 2 в точке

1;1M .

16

Р е ш е н и е. Вычислим частные производные и их значения в точке M :

xyxz 2

; 2

Mxz ; 2x

yz

; 1

Myz . Следовательно, jizgrad 2

(рис. 8.5).

Рис. 8.5


8.8. Найти частные производные функций:

а) xyyxz 333 ; б) yxxz 42sin2 ;

в) yxyxz

3

; г) yxz ;

д) xyz

4

; е) yx

ezsin

;

ж) 22

22

arcsinyxyxz

, 0x , 0y ; з)

yaxz

sinln ;

и) xyz ; к)

2

5yx

xz

;

л) xyarctgz ; м)

yxz

2cos ;

н) zxyu ; о) xyzu .

8.9. Найти полные дифференциалы следующих функций:

а) yxyxz 243 5 ; б) 32 yxz ;

в) 22

22

yxyxz

; г) yxz 22 cossin ;

д) yyxz ; е) 33ln yxz ;

y

1 2 3

1

2

M

O x

17

ж)

yxz 1ln ; з)

xyarcctg

yxarctgz ;

и) yxtgz ln ; к) xyzu ;

л) 3 333 zyxu ; м) xyezu .

8.10. Найти приближенные значения:

а) 32 99,002,1 ; б) 59cos32sin ;

в) 22 97,204,4 ; г) 99,803,1 ;

д)

1

97,098,1arctg ; е) 15,0295,1 e .

8.11. Найти производную функции 22 2yxyxz в точке 2;1M в направле-нии, составляющем с осью Ox угол в 60 .

8.12. Найти производную функции 12 223 xyyxxz в точке 2;1P в направлении, идущем от этой точки к точке 6;4N .

8.13. Найти производную функции 22ln yxz в точке 1;1K в направлении биссектрисы первого координатного угла.

8.14. Найти производную функции 532 yzxu в точке 1;2;1 N в направ-лении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.

8.15. Найти производную функции zxyzxyu в точке 3;1;2K в направ-лении, идущем от этой точки к точке 15;5;5L .

8.16. Найти zgrad в точке 1;2 , если xyyxz 333 .

8.17. Найти zgrad в точке 3;5 , если 22 yxz .

8.18. Найти ugrad в точке 3;2;1 , если xyzu .

8.19. Найти угол между градиентами функции xyz ln в точках

41;

21A и

1;1B .

18

8.4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Если yxfz , , tx , ty , то z называется сложной функцией от t . При этом

dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

, (8.5)

если f , и – дифференцируемые функции. В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например x , то «полная» производная функции z по x находится по формуле:

dxdy

yz

xz

dxdz

. (8.6)

Если yxfz , , где vux , , vuy , (u и v – независимые пере-менные), и если f , и – дифференцируемые функции, то

uy

yz

ux

xz

uz

, vy

yz

vx

xz

vz

. (8.7)

Уравнение 0, yxF , имеющее решение 00 , yx , определяет в окрест-ности 0x переменную y как непрерывную функцию x при условии, что произ-

водная 0

yF и непрерывна в некоторой окрестности точки 00 , yx . Эта

функция называется неявной. Если в окрестности точки 00 , yx существует

также и непрерывная производная xF

, то неявная функция имеет производную

dxdy , определяемую формулой

yFxF

dxdy

. (8.8)

Уравнение 0,, zyxF при аналогичных условиях определяет z как не-явную функцию x и y , имеющую частные производные

zFxF

xz

,

zFyF

yz

. (8.9)

19

Пусть дана функция yxfz , , имеющая частные производные xz

и

yz

. Частные производные от этих производных называются частными произ-

водными 2-го порядка и обозначаются:

2

2

xz

xz

x

; yxz

xz

y

2

;

xyz

yz

x

2

; 2

2

yz

yz

y

.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные 3-го порядка и других высших порядков. Смешанные производные, отличающиеся только порядком дифференци- рования, равны, если они непрерывны:

xyz

yxz

22

, 2

33

2

3

xyz

xyxz

yxz

и т.д.

Таблица производных высших порядков выглядит следующим образом:

2-го порядка 2

2

xz

, yxz

2

, 2

2

yz

.

3-го порядка 3

3

xz

, yx

z

2

3

, 2

3

yxz

, 3

3

yz

и т.д.

Полный дифференциал второго порядка определяется так: 2

2

222

2

22 2 dy

yzdxdy

yxzdx

xzzd

. По-иному данное равенство можно запи-

сать символически: zdyy

dxx

zd

22 . Аналогично

zdyy

dxx

zd3

3

и т.д.

Пример 8.12. Найти dtdz , если yxez 23 , где tx cos , 2ty .

Р е ш е н и е. По формуле (8.5) имеем:

ttettetetedtdz ttyxyxyx sin34sin3422sin3

22cos3232323 .

Пример 8.13. Найти частную производную xz

и полную производную

dxdz , если xyez , где xy .

20

Р е ш е н и е. xyyexz

. На основании формулы (8.6) получаем

xxeyedxdz xyxy .

Пример 8.14. Найти uz

и vz

, если yxfz , , где uvx , vuy .

Р е ш е н и е. Применяя формулы (8.7), получим: vy

zvxz

uz 1

,

2vu

yzu

xz

vz

.

Пример 8.15. Найти dxdy , если 013 22322 yxyx .

Р е ш е н и е. Обозначая левую часть данного уравнения через yxF , ,

найдем частные производные 162323 222222

yxxxxyxxF ,

162323 222222

yxyyyyxyF . Отсюда, применяя формулу (8.8),

получим y

xyxyyxx

yFxF

dxdy

1616

222

222

.

Пример 8.16. Найти xz

и yz

, если 023 243 yyzzyx .

Р е ш е н и е. Обозначая левую часть данного уравнения через zyxF ,, ,

найдем частные производные 23xxF

, 112 3

zyyF , yz

zF

4 .

Применив формулы (8.9), получим:

yzx

yzx

zFxF

xz

43

43 22

, zyzy

yzzy

zFyF

yz

4112

4112 33

.

Пример 8.17. Найти частные производные второго порядка от функции

yxarctgz .

Р е ш е н и е. Найдем сначала частные производные первого порядка:

22

2

21

1

1yx

yy

yxx

z

222

2

2

1

1yx

xyx

yxy

z

. Теперь дифференцируем

21

вторично: 222222

2 2yx

xyyx

yxx

z

, 222222

2 2yx

xyyx

xyy

z

,

222

22

222

22

22

2 21yxyx

yxyyyx

yxy

yyxz

.

Смешанную частную производную можно найти и иначе:

222

22

222

22

22

22 21

yx

yx

yx

xxyxyx

xxxy

zyxz

.

Пример 8.18. Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции 22 32 yxyxz .

Р е ш е н и е. Найдем сначала частные производные первого порядка:

yxxz 34

, yxyz 23

. Тогда dyyxdxyxdyyzdx

xzdz 2334

.

Найдем теперь частные производные второго порядка: 42

2

xz , 3

2

yxz ,

22

2

yz . Дифференциал второго порядка запишется следующим образом:

222 264 dydxdydxzd .


8.20. Найти dtdz , если:

а) 22 yxyxz , 2tx , ty ; б) 22 yxz , tx sin , ty cos ;

в) xyz , tex , tey 21 ; г)

yxz sinln , 23tx , 12 ty .

8.21. Найти dxdz , если:

а) xyarctgz , где xey ; б) yxyxz

2

2

, где 12 xy

в) yxez , где xy ; г) 2xyz , где xy ln .

22

8.22. Найти uz

и vz

, если:

а) yxz

2

, где vux 3 , uvy 2 ; б) yxarctgz , где vux sin , vuy cos ;

в) yxz , где uvx , vuy ; г) xyyxz 22 , где 2vux , vuy 2 .

8.23. Найти dxdy из уравнений:

а) 0532 22 yxyx ; б) 32

32

32

ayx ; в) 033 xy yexe ; г) 0433 axyyx .

8.24. Найти xz

и yz

, если:

а) 2333 2 azxzyx ; б) zyxzyx 3232cos3 ; в) 02332 322 yxyzzyx ; г) 1coscoscos xzzyyx .

8.25. Найти все частные производные 2-го порядка, если:

а) yxz 2ln ; б) xyyxarctgz

1; в) 22 yxyz ;

г) 11

xyz ; д) yxxz sin ; е) 1ln2 xyz .

8.26. Найти zd 2 , если:

а) 3

3

xyz ; б)

yxyz ln ; в)

32 yxez ; г) ytgxz sin2 .

8.5. Экстремум функции нескольких переменных.

Условный экстремум

Точка 000 , yxM называется точкой максимума (минимума) функции yxfz , , если существует такая окрестность точки 0M , что для всех точек

yxM , из этой окрестности, отличных от точки 0M , выполняется неравенство 0MfMf ( 0MfMf ). Точки максимума и минимума функции назы-

ваются точками экстремума этой функции. Необходимые условия экстремума. Если функция yxfz , в точке

000 , yxM имеет экстремум, то либо все ее частные производные первого по-рядка в этой точке (если они существуют) равны нулю, т.е.

0

xz , 0

yz , (8.10)

либо хотя бы одна из них не существует.

23

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции yxfz , равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются

критическими. Аналогично определяются необходимые условия экстремума функции большего числа переменных.

Достаточные условия экстремума. Пусть 2

2

xzA

,

yxzB

2

и 2

2

yzC

в критической точке 000 , yxM и 2BACCBBA

.

Тогда, если: 1) 0 , 0A , то функция имеет в точке 0M максимум; 2) 0 , 0A , то функция имеет в точке 0M минимум; 3) 0 , то в точке 0M экстремума нет; 4) 0 , то экстремум может быть, а может и не быть (требуются дополни-тельные исследования).

Условный экстремум. Чтобы найти экстремум функции yxfz , при условии, что x и y связаны уравнением 0, yx , составляется вспомога-тельная функция Лагранжа yxyxfu ,, . (8.11) Координаты точки экстремума yx, должны удовлетворять системе трех уравнений

0, yx , 0

xu , 0

yu , (8.12)

из которой и находятся , x и y . Пример 8.19. Исследовать на экстремум функцию yxxyxz 12153 23 . Р е ш е н и е. Найдем частные производные и составим систему уравне-

ний (8.10): 01533 22

yxxz , 0126

xyyz или

020522

xyyx . Ре-

шая систему, получим четыре критические точки: 2;11M , 1;22M ,

2;13 M , 1;24 M . Найдем производные 2-го порядка xxz 62

2

,

yyxz 6

2

, xyz 62

2

и составим определитель 2BAC для каждой критиче-

ской точки.

24

1) Для точки 2;11M : 61

2

2

MxzA , 12

1

2

MyxzB ,

1

2

2

MyzC

6 , 0144362 BAC . Значит, в точке 1M экстремума нет. 2) Для точки 1;22M : 12A , 6B , 12C , 036144 , 0A . В точке 2M функция имеет минимум. Этот минимум равен значению функции при 2x , 1y : 28123068min z .

3) Для точки M : 6A , 12B , 6C , 014436 . Значит, в точке 3M экстремума нет. 4) Для точки 1;24 M : 12A , 6B , 12C , 036144 ,

0A . В точке 4M функция имеет максимум, равный 28123068max z .

Пример 8.20. Найти экстремум функции yxz 346 при условии, что переменные x и y удовлетворяют уравнению 122 yx . Р е ш е н и е. Геометрически задача сводится к нахождению наиболь-шего и наименьшего значений z плоскости yxz 346 для точек пересече-ния ее с цилиндром 122 yx .

Составим функцию Лагранжа (8.11): 1346 22 yxyxu .

Найдем частные производные xxu

24

, yyu

23

и составим систему

уравнений (8.12)

1023024

22 yxyx

, из которой следуют решения: 25

1 , 54

1 x ,

53

1 y и 25

2 , 54

2 x , 53

2 y .

Так как 22

2

xu , 0

2

yxu , 22

2

yu , то 222 2 dydxud . Если

25

, 54

x и 53

y , то 02 ud и в этой точке функция имеет условный мини-

мум. Если 25

, 54

x и 53

y , то 02 ud и в этой точке функция имеет

условный максимум. Таким образом, 1159

5166max z , 1

59

5166min z .

25

Задачи для самостоятельного решения 8.27. Исследовать на экстремум следующие функции: а) 206922 yxyxyxz ; б) yxyxyz 62 ;

в) 468 33 xyyxz ; г) 22 yxezx

; д) yxyxz ln18ln222 ; е) yxyxyxz 222 ;

ж) 32

221 yxz ; з) yxxyz 242 . 8.28. Найти условные экстремумы следующих функций:

а) yx

z 11 при 2 yx ; б) yxz при

2111

22 yx

;

в) xyz при 222 yx ; г) 22 yxz при 132

yx .

8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких перемен-

ных. Функции нескольких переменных в экономических задачах Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, дости-гает своего наибольшего (наименьшего) значения или в критической точке, или в точке границы области. Пример 8.21. Определить наибольшее и наименьшее значения функции

yxxyyxz 22 в области 0x , 0y , 3 yx . Р е ш е н и е. Указанная область – это треугольник (рис. 8.6). 1) Найдем критические точки. Для этого решим систему уравнений

012

yxxz , 012

xyyz .

Рис. 8.6

x

M

0,3

3,0

23,

23

0,

21

21,0

y

26

В результате получаем точку 1;1 M . В точке M значение функции 1Mz .

2) Исследуем функцию на границах области. Если 0x , то yyz 2 , и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке 03 y .

Проводя исследование, находим: 60 xнаибz в точке 3;0 ; 41

0 xнаимz в

точке

21;0 .

Если 0y , то xxz 2 . По аналогии находим: 60 yнаибz в точке

0;3 ; 41

0 yнаимz в точке

0;

21 .

Если 3 yx , т.е. xy 3 , функция имеет вид 693 2 xxz . По

аналогии находим: 43

3 yxнаимz в точке

23;

23 ; 63 yxнаибz совпа-

дает с 0xнаибz и 0yнаибz . Сопоставляя все полученные значения функции z , делаем вывод, что

6наибz в точках 3;0 и 0;3 , 1наимz в критической точке М . Пример 8.22. Производятся два вида товаров, цены которых соответ-ственно равны 40 и 20. Функция затрат, связанных с производством этих това-ров, имеет вид 22 3,01,02,0, yxyxyxC , где x , y – количества товаров первого и второго видов. Требуется составить функцию прибыли, найти ее экс-тремумы и проверить известное правило экономики: предельная цена товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Р е ш е н и е. Составим функцию прибыли yxCypxpz ,21

222221 3,01,02,02040 yxyxyxcybxyaxypxp . С экономичес-

кой точки зрения переменные x и y должны быть неотрицательными. Для нахождения критических точек сначала выпишем необходимое усло-вие, т.е. найдем первые частные производные функции z и приравняем их к

нулю: 01,04,040

yxxz , 06,01,020

yxyz . Решая систему уравне-

ний

06,01,02001,04,040

yxyx

, получаем 23

2200x ,

23400

y . Таким образом, имеем

критическую точку

23400;

232200M . (Если бы оказалось, что хотя бы одна из

переменных приняла отрицательное значение, то задача с экономической точки зрения не имела бы решения.)

27

Проверим достаточное условие экстремума. Найдем вторые частные про-

изводные функции z : 4,02

2

xz , 1,0

2

yxz , 6,02

2

yz . Вычислим их зна-

чения в критической точке M : 4,02

2

MxzA , 1,0

2

MyxzB ,

6,02

2

MyzC . Находим 01,024,01,06,04,0 22BAC

023,0 . Значит, найденная критическая точка является точкой экстремума, а так как 0A , то это точка максимума.

Определим максимальное значение прибыли 23

48000max

Mzz . В данном

случае предельная цена товара x равна 401 p , а товара y равна 202 p . Вы-ражение «предельная цена товара равна предельным издержкам на производ-

ство этого товара» математически записывается в виде:

MxyxCp

,1 ,

MyyxCp

,2 , где M – это точка экстремума. В нашем случае

MxyxC , 40

23920

234001,0

2322004,0 ,

234006,0

2322001,0,

MyyxC

2023

460 .

Следовательно, известное правило экономики действительно выполняется.

Задачи для самостоятельного решения 8.29. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в указанной области: а) yxz 2 в области 122 yx ; б) xyyxz 322 в области: 20 x , 21 y ; в) yxxyz в области: 1x , 2x , 2y , 3y ; г) 24622 yxyxz в области: 41 x , 23 y ; д) xxyyxz 4222 в области: 3x , 0y , 01 yx . 8.30. При каких размерах открытая прямоугольная емкость объемом V име-ет наименьшую поверхность? 8.31. Сечение канала должно иметь форму равнобочной трапеции заданной площади. Как выбрать его размеры, чтобы площадь поверхности канала, омы-ваемая водой, была наименьшей?

28

8.32. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него конической вер-хушкой. При каких соотношениях между линейными размерами палатки для ее изготовления потребуется наименьшее количество материала при заданном объеме? 8.33. Найти стороны участка в виде прямоугольного треугольника, имеюще-го при заданной площади S наименьший периметр. 8.34. Определить размеры конуса наибольшего объема при условии, что его боковая поверхность равна S .

8.7. Контрольные задания к главе 8

Вариант 1 1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 532ln yxz . 2. Найти частные производные функции 632522 yxxyyxz . 3. Найти полный дифференциал функции xyyxz 433 .

4. Вычислить приближенное значение 3 22 05,002,1 . 5. Найти экстремумы функции yxyxz 1242 22 .

Вариант 2

1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 2522 yxz .

2. Найти частные производные функции 22343 82 yxyxxyyxz . 3. Найти полный дифференциал функции 44 yxz . 4. Вычислить приближенное значение 33 99,009,0ln . 5. Найти экстремумы функции 158643 22 yxyxz .

Вариант 3

1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 25

122

yx

z .

2. Найти частные производные функции yxyz 3sin . 3. Найти полный дифференциал функции yxz 23 cossin .

4. Вычислить приближенное значение 202,0 03,25 e . 5. Найти экстремумы функции 806254 22 yxyxyxz .

29

Вариант 4

1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 2264

1yx

z

.

2. Найти частные производные функции xyxz 2cos2 .

3. Найти полный дифференциал функции 22 yxyz .

4. Вычислить приближенное значение

1

02,197,1arctg .

5. Найти экстремумы функции 581043 22 yxyxyxz .

Вариант 5 1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 2222 164 yxyxz .

2. Найти частные производные функции 5 3xyz .

3. Найти полный дифференциал функции 22ln yxz .

4. Вычислить приближенное значение 03,297,0 . 5. Найти экстремумы функции yxxyxz 24513 23 .

Вариант 6

1. Найти область определения функции и сделать чертеж: xyz . 2. Найти частные производные функции yxz 32sin3 . 3. Найти полный дифференциал функции xyz 1ln .

4. Вычислить приближенное значение 22 93,205,4 .

5. Найти экстремумы функции 2244 242 yxyxyxz .

Вариант 7 1. Найти область определения функции и сделать чертеж: xyyxz 2ln .

2. Найти частные производные функции yxyxz

32

.

3. Найти полный дифференциал функции 12

yyxarctgz .

4. Вычислить приближенное значение 97,902,1 .

5. Найти экстремумы функции 22 222

yxez yx .

30

Вариант 8 1. Найти область определения функции и сделать чертеж:

yyxz 1arccosarccos 2 .

2. Найти частные производные функции 22

3

12

yxxz

.

3. Найти полный дифференциал функции yez x cos .

4. Вычислить приближенное значение 22 97,002,1 .

5. Найти экстремумы функции 221

1yx

yxz

.

Вариант 9

1. Найти область определения функции и сделать чертеж: 422 xyz .

2. Найти частные производные функции 22arccos

xyz .

3. Найти полный дифференциал функции yxxz . 4. Вычислить приближенное значение 58cos31sin . 5. Найти экстремумы функции 22 sinsincoscos yxyxz .

Вариант 10

1. Найти область определения функции и сделать чертеж: yx

z 11

1

.

2. Найти частные производные функции 11

xyxyarcctgz .

3. Найти полный дифференциал функции xyz 2sin1 .

4. Вычислить приближенное значение 28sin02,6 2 .

5. Найти экстремумы функции yyx

xz

8 , 0,0 yx .

31

Раздел V ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 9. Неопределенный интеграл Пусть функция )(xf задана на некотором множестве Х. Тогда функция

)(xF , определенная на этом множестве, называется первообразной функции )(xf , если она дифференцируема для любых Xx и )()( xfxF для всех Xx .

Если )(xF – одна из первообразных функции )(xf на множестве Х, то любая другая первообразная функции )(xf имеет вид cxF )( , где с – неко-торая постоянная. Совокупность cxF )( всех первообразных функции )(xf на множестве Х называется неопределенным интегралом от функции )(xf и обозначается

dxxf )( , где – знак интеграла, )(xf – подынтегральная функция, dxxf )( – подынтегральное выражение. Таким образом,

cxFdxxf )()( .

Операция нахождения всех первообразных функции )(xf называется интегрированием этой функции.

Перечислим основные свойства неопределенного интеграла (правила ин-тегрирования):

1) )()( xfdxxf

;

2) dxxfdxxfd )()( ;

3) cxFxFd )())(( ;

4) )0,()()( constdxxfdxxf ;

5) dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( .

32

Таблица основных неопределенных интегралов: 1. cdx0 .

2. cxdx1 .

3.

)1(1

1

cxdxx .

4. cxx

dx2

.

5. cxx

dx ||ln .

6. cedxe xx .

7. )1,0(ln

aaca

adxax

x .

8. cxdxx cossin .

9. cxdxx sincos .

10.

Znnxctgx

xdx ,

2cos2 .

11. Znnxcctgxx

dx ,sin 2 .

12.

)1|(|arccosarcsin1 2

xcxcxx

dx .

13.

)0|,||(|arccosarcsin22

aaxcaxc

ax

xadx .

14.

cxarcctgcxarctgx

dx21

.

15. )0(1122

ac

axarcctg

ac

axarctg

aaxdx .

16. |)|||,0(ln21

22 axacaxax

aaxdx

.

17.

caxxax

dx 2222

ln ,0( a в случае знака «минус» должно быть

|)||| ax . Интегралы 1–17 называются табличными.

33

9.1. Непосредственное интегрирование

Непосредственным интегрированием называют приведение данного ин-теграла к алгебраической сумме более простых интегралов, используя основ-ные правила интегрирования (свойства 4 и 5 неопределенного интеграла), тож-дественные преобразования подынтегральной функции и таблицу основных ин-тегралов.

Пример 9.1. Найти интеграл xxdx3 .

Р е ш е н и е. Данный интеграл не является табличным. Представим

подынтегральную функцию в виде 27

31

xxx

, а затем применим формулу 3

таблицы основных интегралов и получим:

cxx

cxcxdxxxx

dx

2251

27

27

3 52

52

127 .

Пример 9.2. Найти интеграл

dx

x

311 .

Р е ш е н и е. Преобразуем подынтегральную функцию, а затем приме-ним формулы и правила интегрирования:

3232

3

3311313111xdx

xdx

xdxdxdx

xxxdx

x

cxxxxdxxdxxx

dxdx21

3||ln33321

32

.213||ln3 2 cxx

xx


dx

xx 9212

926

22 .

Р е ш е н и е. Используя правила 4 и 5 интегрирования и формулы 15, 16 таблицы интегралов, находим:

.3232ln2

322

232

3

ln

232

16

23

2313

232

12

232

692

1292

62

22

222

cxxxarctgc

x

xxarctg

x

dx

x

dxdxxx

34

Пример 9.4. Найти интеграл 249 xdx .

Р е ш е н и е. Данный интеграл приведем к табличному следующим обра-зом:

.3

2arcsin21

23arcsin

21

232

1

49249 2

22

2cxcx

x

dx

x

dxx

dx


dx

xxx 123 .

Р е ш е н и е. Находим

cxxdxdxxdxxxdxx

xx 23

21

21

21

3

342212

.34 cxxx

Пример 9.6. Найти интеграл dxx

xx

35335 .

Р е ш е н и е. Используя правило 5 интегрирования и формулу 7 таблицы интегралов, получим:

.35

35ln

35

35ln

35

35

3535

3535

35335

cxcx

dxdxdxdx

x

x

xx

x

xx


dxee

x

x

112

.


.

)1(1

)1)(1(11)(

11 222

cxe

dxdxedxedxe

eedxe

edxee

x

xxx

xx

x

x

x

x


dxx

eex

x2cos

1 .

Р е ш е н и е. Сведем данный интеграл к сумме табличных путем преоб-разования подынтегральной функции и использования правила 5:

.coscos

1cos

1 222 ctgxex

dxdxedxx

edxx

ee xxxx

x

35

Пример 9.9. Найти интеграл dx

xxexx x

5

453.

Р е ш е н и е. Применяя правило 5 интегрирования и формулы 3, 6, 5 таблицы интегралов, получим:

.||ln11

3||ln

311

1

3 23

311

314

314

5

453

cxexx

cxex

xdxdxedxxdx

xexdx

xxexx

xx

xxx

Пример 9.10. Найти интеграл dxba xxx 2 . Р е ш е н и е. Согласно формуле 7 таблицы интегралов, имеем

.lnln2ln

)2()2ln(

)2()2(2 cba

abcab

abdxabdxbaxx

xxxx


dxx

xx1

3442

22

.

Р е ш е н и е. Записав числитель в виде 3)1(312 22 xx и почлен-но разделив его на знаменатель, получим сумму табличных интегралов 17, 2 и 16:

.11ln

2331ln2

133

12

13)1(312

1344

2

222

22

2

22

cxxxxx

xdxdx

xdxdx

xxxdx

xxx


dxxx

2cos1cos2 2

.

Р е ш е н и е. Используя формулу xx 2cos1cos2 2 , имеем

.21

21

coscos2cos2

2cos1cos2

22

22cxtgxdx

xdxdx

xxdx

xx

Пример 9.13. Найти интеграл dxx2

sin5 2 .

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой 2cos1

2sin 2 xx

.

.sin25

25cos

25

25)cos1(

25

2sin5 2 cxxdxxdxdxxdxx

36

Пример 9.14. Найти интеграл dxctgxtgx 2)( . Р е ш е н и е. Возведя подынтегральную функцию в квадрат и воспользо-

вавшись формулами 1,1sin

1,1cos

12

22

2 ctgxtgxx

xctgx

xtg , получим

.sincos

sin1

cos1)2()(

22

22222

cctgxtgxx

dxx

dx

dxxx

dxxctgxtgdxctgxtgx

Пример 9.15. Найти интеграл xx

dx22 cossin

.

Р е ш е н и е. Умножим числитель на «тригонометрическую» единицу )1cos(sin 22 xx и разделим затем почленно на знаменатель:

.sincoscossin

)cos(sincossin 2222

22

22 cctgxtgxx

dxx

dxdxxxxx

xxdx


Найти интегралы.

9.1. .)7862( 234 dxxxxx 9.2. .87523

2

234

dxx

xxxx

9.3.

.12 2

2 dxx

xx 9.4. .)( 2 dxbxa

9.5. .)( 3 dxbxa 9.6. .2

3 dxx

x

9.7. .

3)6)(1(

2

2

dxxxx 9.8.

.321

32 dxxxx

9.9.

.7531

8642 dxxxxx

9.10.

.5

5 4

4

dxx

x

9.11.

.11

3

dxx

9.12. .2476129

3

2345

dxx

xxxxx

9.13. .)1)(1(

2

3

dxx

xx 9.14. .)1(

3

22

dxxxx

9.15.

.392

dxx

x 9.16.

.94 2x

dx

37

9.17.

.5 2x

dx 9.18.

.82 2x

dx

9.19.

.14 2x

dx 9.20.

.9

292

3

dxx

xx

9.21.

.14

2

2

dxxx 9.22.

.

12

2

dxx

x

9.23.

.12

2

dxx

x 9.24.

.12

4

dxx

x

9.25.

.22

2

dxax

x 9.26.

.12

2

4

dxxx

9.27.

.)1(

2122

2

dxxx

x 9.28. .)3( 2 dxxx

9.29. .532 3 dxxx 9.30.

.

33 dxxxx

9.31. .3 dxxx 9.32.

.11

4 3dx

xx

9.33.

.133

dxx

x 9.34. .1

3 2dx

xx

9.35.

.1

3 57 dx

xx 9.36.

.1 2

3dx

xx

9.37.

.32

2

dxx

x 9.38. .)1( 2

dxxxn

9.39. ).0(3 adxax 9.40.

.32 2x

dx

9.41.

.

17

13

22 dxxx

9.42.

.

23

25

22 dxxx

9.43.

.

18

12

22dx

xx 9.44.

.1

132

2

dxx

x

9.45.

.1

152

2

dxx

x 9.46.

.9

334

22

dxx

xx

38

9.47.

.35 4 dxxee

xx 9.48.

.1 3 dxxee

xx

9.49.

.112

dxee

x

x

9.50. .532 32 dxxxx

9.51. .33 dxe xx 9.52. .

3532

dxx

xx

9.53. .

3575 12

dxx

xx

9.54. .

1532 11

dxx

xx

9.55.

.2125

dxx

xx 9.56.

.14 3

dxx

aax

x

9.57. .2

cos2 dxx 9.58. .2 dxxtg

9.59. .2 dxxctg 9.60. .)cos4sin3( dxxx

9.61.

.

cos1sin3 2 dx

xx 9.62.

.cos

cos782

3

dxx

x

9.63.

.1cos3

cos1

2 dxxx

9.64.

.sincos4

2cos22 dx

xxx

9.65. .2sin2cos2

2 dxxx 9.66. .)3sin2( 2 dxexx x

9.67. .

sin43

2

2

dxx

xtg 9.68.

.5sin3

sin2

2 dxxx

9.69.

.2cos1

cos1 2

dxxx 9.70.

.

2cos1 xdx

9.71.

.2cos1 x

dx 9.72.

.

2sin

2cos

2

dxxx

9.73. .)2( 2 dxctgxtgx 9.74. .cos

232

2

dxx

xctg

9.75.

.2cos

2

dxxccxctgba 9.76.

.sin 2

2

dxxcxtgba

39

9.2. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала и методом подстановки

Если нахождение интеграла dxxf )( затруднительно, то пользуются ме-тодом подстановки или методом замены переменной. При применении этого метода используют подстановки двух видов: 1) ),(tx где )(tx – монотонная непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. В этом случае dtttfdxxf )()()( ; 2) )(xu , где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке

.)())(())(()()( duufxdxfdxxxf

Эта процедура называется подведением функции )(xu под знак диф-ференциала и, фактически, эквивалентна замене переменной х на новую пере-менную )(xu . В простых случаях введения новой переменной u необходимо иметь в виду следующие преобразования дифференциала dx:

1. ),( axddx где а – постоянная величина.

2. ),(1 axda

dx где постоянная 0a .

3. ),(1 baxda

dx где постоянная 0a .

4. )(21 2xdxdx .

5. )(21 2 bxdxdx .

6. )(cossin xddxx . 7. )(sincos xddxx .

8. )(ln xdx

dx .

В общем случае )()( xddxx .

Пример 9.16. Найти интеграл .)53( 20dxx Р е ш е н и е. Этот интеграл можно найти и не производя замены пере-менной. Здесь достаточно развернуть выражение 20)53( x по формуле бинома Ньютона и применить почленное интегрирование. Однако этот способ связан с большим количеством вычислений. При помощи замены переменной можно

40

сразу свести данный интеграл к табличному. Полагая tx 53 , имеем

dtdx 3 , т.е. dtdx31

. Отсюда получаем

.)53(631

211

31

31)53( 21212020 cxctdttdxx

Пример 9.17. Найти интеграл .327 32 dxxx

Р е ш е н и е. Так как dxxxd 23 6)32( , то, применяя метод подведения под знак дифференциала, будем иметь:

.)32(487)32(

87

61

)32()32(616)32(

6132

78

378

3

371

2271

37 32

cxcx

xdxdxxxdxxx

Пример 9.18. Найти интеграл 110

4

xdxx .

Р е ш е н и е. Применим подстановку tx 5 . Тогда dtdxx 45 ,

dtdxx514 и

.

51

51

151

15

210

4carctgxcarctgt

tdt

xdxx

Пример 9.19. Найти интеграл 449 x

xdx .

Р е ш е н и е. Находим cx

xxd

xxdx

xxdx

7

arcsin21

)(721

)(72

21

49

2

222

2

2224.

Пример 9.20. Найти интеграл 2042 xx

dx .

Р е ш е н и е. Выделив полный квадрат в знаменателе 16)2(204 22 xxx , получим:

cxarctgx

xdx

dxxx

dx

4

241

4)2()2(

16)2(204 2222 .

Пример 9.21. Найти интеграл 16262 24 xx

xdx .

Р е ш е н и е. Поступим так же, как в примере 9.20:

.224ln

2201

2282ln

101

221

5)32()32(

221

25)32(22

221

25)32(16262

2

2

2

2

222

2

222224

cxxc

xx

xxd

xxdx

xxdx

xxxdx

41


dxxx

31 .

Р е ш е н и е. Записав числитель в виде 4)3( x , почленно разделив его на знаменатель и применив формулы 2 и 5 таблицы интегралов, имеем:

.|3|ln43

)3(43

43

413

4)3(31

cxxxxddx

xdxdxdx

xdx

xxdx

xx


dxxxx4

2

6)32( .

Р е ш е н и е. Разделив почленно числитель на знаменатель, приведем к сумме двух интегралов:

4

3

222

2

4

3

44

2

64

43

6)(

)(6

362

6)32(

xdxx

x

xddxx

xxdxxdx

xxx

.)6ln(

43

661

6)6(

43

661 4

2

4

42

cxxarctgxxdxarctg


dxxx

11 .

Р е ш е н и е. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выраже-

ния на x1 :

222

2

1111

)1)(1()1(

11

xxdx

xdxdx

xxdx

xxxdx

xx

.1arcsin)1()1(21arcsin

1)1(

21arcsin 222

12

2

2

cxxxdxxxxdx


.12

12

dxx

e x

Р е ш е н и е. Положим tx 12 , тогда tdtdxtx

,2

12

и

.12

1212

cedtedtt

tedxx

e xttx


.34

2dx

ee

x

x

Р е ш е н и е. Сделаем замену te x 2 , тогда dtdxe x 22 и

ctarctgt

dtdxe

edxe

ex

x

x

x

331

21

321

3)(2

21

3 222

2

4

2

.31

321

3321

2

2

ce

arctgcearctg x

x

42

Пример 9.27. Найти интеграл .)51sin( dxx

Р е ш е н и е. Заметив, что dxxd 5)51( , имеем

.)51cos(51)51()51sin(

51)5)(51sin(

51)51sin( cxxdxdxxdxx

Пример 9.28. Найти интеграл ctgxx

dx1sin 2 .

Р е ш е н и е. Так как dxx

ctgxd 2sin1)1( , то интеграл приводится к

виду

)1()1(1

)1(1sin

21

2 ctgxdctgxctgxctgxd

ctgxxdx

.12

21

)1( 21

cctgxcctgx

Пример 9.29. Найти интеграл dxxxcossin 4 .

Р е ш е н и е. Так как dxxxd cos)(sin , то

.sin51)(sinsincossin 544 cxxdxdxxx


dxxx

42cos4sin

4 .

Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что dxxxxd 2sin2cos4)2(cos2 , xxx 2cos2sin24sin , получим

.2

2cos41

22cos

21

21

2)2(cos)2(cos

21

2)2(cos2cos2sin)4(

21

42cos4sin

22

222

2

2224

cxarctgcxarctg

xxddx

xxxdx

xx

Пример 9.31. Найти интеграл dxx8sin 2 .

Р е ш е н и е. Применяя формулу )4cos1(218sin2 xx , имеем

.4sin81

21

)4(4cos41

21

214cos

21

21)4cos1(

218sin2

cxx

xxdxdxxdxdxxdxx

43

Пример 9.32. Найти интеграл xxdx

ln32.

Р е ш е н и е. Так как dxx

xd 3)ln32( , то

)ln32()ln32(31

ln32)ln32(

31

ln323

31

ln3221

xdxxxd

xxdx

xxdx

.ln3232

21

)ln32(31 2

1

cxcx


dxx

xx2

2

91)3(arccos .

Р е ш е н и е.

dx

xxdx

xxdx

xxdx

xxx

22

2

22

2

91)18(

181

91)3(arccos

9191)3(arccos

.)3(arccos9191

91

3)3(arccos

31

21

)91(181

)3(arccos)3(arccos31)91()91(

181

)3(1)3()3(arccos

31

3232

12

2221

22

2

cxxcxx

xdxxdxdxx

x

Задачи для самостоятельного решения Найти интегралы.

9.77. .)25( 6 dxx 9.78. .)21( 343 dxxx

9.79.

.53 x

dx 9.80.

.35 2 dx

xx

9.81.

.)1( 32 dx

xx 9.82.

.913

2 dxx

x

9.83. .12

xxdx 9.84.

.

652 xxdx

9.85.

.2562 xx

dx 9.86.

.)1(xx

dx

44

9.87.

.53

322 dx

xxx 9.88.

.232

16623

2

dxxxx

xx

9.89.

.5 6

2

dxx

x 9.90.

.54 24 dx

xxx

9.91.

.52 4 dx

xx 9.92.

.)12( 2

3

x

dx

9.93.

.72 x

dx 9.94. .13 dxx

9.95. ;213 dxx 9.96. .12 dxxx

9.97. .3 23 3 dxxx 9.98.

.1 2

dxx

x

9.99.

.32 3

2

dxx

x 9.100.

.1213 2

dxx

xx

9.101.

.222 xx

dx 9.102.

.21 2xxdx

9.103.

.4 2xx

dx 9.104.

.232 2xx

dx

9.105.

.3

352

dxx

x 9.106.

.13 4

dxxx

9.107.

.1

12

dxxx 9.108.

.2

12

dxx

x

9.109.

.49

122

dxxx 9.110.

.

16

2

dxxx

9.111.

.)1( 2

32

dxx

x 9.112. .1 dxxx

9.113. .3 dxxx 9.114. .1)1( dxxx

9.115. .132 dxxx 9.116. .123 dxxx

9.117. .53 dx

xx 9.118.

.2 2

dxx

x

45

9.119.

.1 x

dx 9.120.

.11 x

dx

9.121.

.11 3 x

dx 9.122.

.1xx

dx

9.123.

.92xx

dx 9.124.

.)3( xx

dx

9.125.

.)2( xx

dx 9.126.

.11 xx

dx

9.127.

.12xx

dx 9.128.

.12xx

dx

9.129.

.4 xx

dx 9.130.

.1212

3dx

xx

9.131.

.)( 3

3dx

xxxx 9.132.

.5 dxe x

9.133.

.33 dxeexx

9.134. .

2

dxxe x

9.135. .12 3

dxex x 9.136. .34

dxxex

9.137. .)52( 2 dxxx 9.138.

.7

dxe

ex

x

9.139.

.283

dxee

x

x

9.140.

.64

2

dxe

ex

x

9.141.

.54

2

dxe

ex

x

9.142.

.32 2

2

dxe

ex

x

9.143. .cossin dxxe x 9. 144.

.1 5xe

dx

9.145.

.1 xedx 9.146.

.

2xedx

9.147. .dxx

e x

9.148.

.16

2dx

ee

x

x

9.149.

.2 dx

eee

x

x

9.150.

.14

2

dxee

x

x

46

9.151. .ln xxdx 9.152.

.

)ln3( xxdx

9.153. .)1ln2( 3

dxxx 9.154.

.

)13ln()13( xxdx

9.155. .ln 2 xxdx 9.156.

.ln2 dxx

x

9.157. .lnlnln xxx

dx 9.158.

.ln2

ln dxxx

x

9.159.

.lnln21

ln2

dxxxx

x 9.160. .4ln

2ln dxxx

x

9.161. .2

cos dxx 9.162. .3sin dxx

9.163. .)sin( dxbxa 9.164. .)cos( dxbxa

9.165. .3cos2 x

dx 9.166. .2sin 2 x

dx

9.167. .cossin dxxx 9.168. .)1cos( 32 dxxx

9.169. .5sinsin dxxx 9.170. .3cos2sin dxxx

9.171. .7cos5cos dxxx 9.172.

.

2cos3

2sin2

2

dxxx

9.173.

.

2sin

2cos1

3

dxxx 9.174. .5cos2coscos dxxxx

9.175. .cossin 2 dxxx 9.176. .sincos3 dxxx

9.177. .dxtgx 9.178. .dxctgx

9.179. .2xtg

dx 9.180. .5xctg

dx

9.181. .sin5 dxx 9.182. .cos5 dxx

9.183. .sin dxx

x 9.184. .sin 6 dxx

9.185. .cos6 dxx 9.186. .sin

cos5

dxxx

47

9.187. .5 dxxctg 9.188. .3 dxxtg

9.189. .sincos

3 dxxx 9.190. .

cossin

4 dxx

x

9.191. .1cos 2xdx

x 9.192.

.

2cos12sin dx

xx

9.193. .sin

cos212 dx

xx 9.194.

.

2cos212sin dx

xx

9.195.

;cos31

sin dxx

x 9.196. .cos

sin212 dx

xx

9.197.

.cos312sin

2 dxx

x 9.198.

.sin21

cos dxx

x

9.199. .sin

2sin22 dx

xx 9.200. .

cossin2cos dx

xxx

9.201.

.5cos4cos

sin2 dx

xxx 9.202.

.sin

sin12

3

dxx

x

9.203. .sin

sin322

3

dxx

x 9.204. .cos

cos452

3

dxx

x

9.205.

.2cos

sin 3

dxxbb

xa 9.206.

.cos72sin

4dx

xx

9.207. .2cos

sin dxx

x 9.208.

.cos53

sin dxx

x

9.209.

.cos21

sin dxx

x 9.210.

.2cos2

cos dxx

x

9.211.

.sin74

cos3

dxx

x 9.212. .sin 32 dx

ctgxxx

9.213. .cos2 dx

xtgx

9.214.

.cossin

cossin dxxx

xx

9.215.

.cossin

cossin2222

dxxbxa

xx 9.216. .lnsin dxx

x

9.217.

.41

2arcsin2

dxx

xx 9.218.

.arcsin1 2

dxxx

x

9.219.

.)1(

dxxxxarctg 9.220.

.

412arcsin2 dx

xx

48

9.3. Интегрирование по частям

Одним из эффективных методов интегрирования является метод инте- грирования по частям. Этот метод чаще всего применяется для интегрирования некоторых трансцендентных функций (например, arctgxxx ,arcsin,ln ), а также произведений алгебраических и трансцендентных функций. Суть его состоит в следующем. Если )(xuu и )(xvv – непрерывно дифференцируемые на не-котором интервале функции, кроме того, на этом интервале существует инте-грал vdu, то на нем существует интеграл udv и имеет место формула

vduuvudv . Это соотношение называется формулой интегрирования по частям. При ис-пользовании этой формулы подынтегральное выражение нужно разбивать на два множителя u и dv таким образом, чтобы интегрирование выражений dv и vdu было более простым, чем интегрирование исходного выражения udv . Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. Для интегралов вида

,cos)(,sin)(,)( dxaxxQdxaxxQdxexQ ax где )(xQ – многочлен, в качестве u следует брать )(xQ , а в качестве dv –

выражения dxaxdxaxdxeax cos,sin, соответственно. В случае интегралов вида

dxxxQdxxxQdxxxQdxxxQdxxxQ

arcctg)(,arctg)(,arccos)(,arcsin)(,ln)(

в качестве u берут функции xxxxx arcctg,arctg,arccos,arcsin,ln , а в качестве dv – выражение dxxQ )( . Интегрирование по частям иногда приводит к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из полу-чающегося относительно исходного интеграла уравнения. Пример 9.34. Найти интеграл dxex x22 )5( .

Р е ш е н и е. Положим .,5 22 dxedvxu x Тогда

.2,21)2(

21 222 xdxduexdedxev xxx

По формуле интегрирования по частям имеем

.)5(21)2(

21)5(

21)5( 22222222 dxxeexdxxeexdxex xxxxx

Итак, мы понизили степень х на единицу. Поступим аналогично с инте-гралом dxxe x2 , т.е еще раз применим интегрирование по частям: за u

возьмем х, а за d – dxe x2 . Тогда du = dx, xx edxe 22

21

. Для упрощения

вычислений при переходе от dv к v можно полагать с = 0. Следовательно,

49

cexedxexedxxe xxxxx 22222

21

21

21

21

21 . Окончательно имеем

dxex x22 )5( .41

21)5(

21 2222 cexeex xxx


dxx

x22

2

)3(.


.33ln

341

)3(233ln

321

21

)3(2

)3(21

)3(2)3(21

)3(2321

)3(2

)3(21

1)3(

21)3()3(

21)2()3(

21

)3(,,)3(,)3(

22

22222222

2

1222222

222222

2

cxx

xxc

xx

xx

xdx

xx

xdx

xx

xdx

xx

xxxdxdxxx

xdxxvdxduxdxxdvxudxx

x

Пример 9.36. Найти интеграл 322 )( axdx .

Р е ш е н и е. Представив числитель в виде ))((1 2222 xxa

a и разделив

его почленно на знаменатель, получим два интеграла. Ко второму применим формулу интегрирования по частям:

dx

axx

aaxdx

adx

axxxa

aaxdx

322

2

22222322

222

2322 )(1

)(1

)()(1

)(

.)(4)(4

3)(4

)(41

)(1

)(41

)(41

)(1

)(41

2)(

21)()(

21

)()(

21

)(,,

)(,

222222222222

222222222222222

2222222

22222322

322

22

322322

axax

axdx

aaxax

axdx

aaxdx

aaxdx

axx

a

axdx

aaxaxaxdax

axaxd

axxdxvdxdu

axxdxdvxu

В результате применения формулы мы понизили степень знаменателя на единицу и получили аналогичный интеграл, к которому вторично применим формулу интегрирования по частям:

50

.)(22

1

12

1)(2

12

1)(2

121

)(211

)(21

1)(

21)()(

21

)()(

21

)(

,,)(

,)(

111

)(11

)()(1

)(

2223

22223222222

322222322

12222222

222

22

222

222222

2

22

222

2

2222222

222

2222

caxa

xaxarctg

a

caxarctg

aaaxax

axarctg

aaxdx

aaxax

axarctg

aaxdx

axx

aaxarctg

aax

axaxdaxax

axdax

xdxv

dxduax

xdxdvxudxax

xaa

xarctgaa

dxax

xaax

dxa

dxax

xxaaax

dx

Окончательно получим

222222232322 )(4)(221

43

)( axaxc

axax

axarctg

aaaxdx

.)(8

3)(48

322422225 c

axax

axax

axarctg

a

Пример 9.37. Найти интеграл dxxa 22 , если 0a . Р е ш е н и е.

.arcsin

,,,

122222

22222

2222

22222

22

222

222222

caxadxxaxax

xadxadxxa

xaxdxxa

axaxaxdxxa

xxax

xvxa

xdxdudxdvxaudxxa

Мы получили уравнение относительно исходного интеграла, из которого находим

.arcsin21

21 22222 c

axaxaxdxxa

Пример 9.38. Найти интеграл dxx )15(log3 .

Р е ш е н и е. Так как )15ln(3ln

1)15(log 3 xx , то

51

.)15ln(51

3ln1

))15ln(51)15ln((

3ln1

15)15(

51)15ln(

3ln1

151)15()15ln(

3ln1

155)15ln(

3ln1

,15

5,),15ln()15ln(3ln

1)15(log 3

cxxx

cxxxxxxddxxx

dxx

xxxdxx

xxx

xvxdxdudxdvxudxxdxx

Пример 9.39. Найти интеграл dxxxx 5cos)1( 2 . Р е ш е н и е. Так как одним из множителей является многочлен второй степени, то найдем данный интеграл, применив последовательно два раза фор-мулу интегрирования по частям:

dxxxx 5cos)1( 2 [ ,)12(,5cos,12 dxxdudxxdvxxu

xdxxxxxxxxdxdxv 5sin)12(

515sin

515sin

51)5(5cos

515cos

2

.5sin2523

515cos

2512

5sin125

25cos25

125sin5

1)5(5cos125

25cos25

12

5sin5

15cos525cos

512

515sin

51

5cos51)5(5sin

51,2,5sin,12

2

2

22

cxxxxx

cxxxxxxxxdxx

xxxxdxxxxxx

xxxdvdxduxdxdvxu

Пример 9.40. Найти интеграл dxbxeax )sin( .


.)sin()sin(1)cos(1

)sin(1)()cos(1)cos(,,)cos(,

)cos()cos(1)cos(1)()sin(1

)sin(,,)sin(,)sin(

cdxbxebabxe

bbabxe

b

bxb

bxdbxb

dxbxvdxaedudxbxdveu

dxbxebabxe

bbx

bbxdbx

b

dxbxvdxaedudxbxdeudxbxe

axaxax

axax

axax

axaxax

52

Из полученного относительно исходного интеграла уравнения находим

.)cos(1)sin()sin()sin( 22

2

cbxeb

bxebadxbxe

badxbxe axaxaxax Отсюда

.))cos()sin((

cos1)sin()sin(

22

222

2

cbxbbxaba

e

cbxeb

bxeba

babdxbxe

ax

axaxax

Пример 9.41. Найти интеграл dxx )sin(ln .

Р е ш е н и е. Применим подстановку tx ln , тогда dtedxex tt , и

dttedxx t sin)sin(ln . Последний интеграл уже найден в общем виде с по-мощью интегрирования по частям (см. пример 9.40), поэтому

dxx)sin(ln cxxxcttedttet

t ))cos(ln)(sin(ln2

)cos(sin2

sin .


xarctg 3

3.

Р е ш е н и е. Имеем:

.)1(23

)1(23

23

23

23

123

23

23

11)1(

23

23

121

213

21,

1,,

333,,

333 2

222

22

22

2

22

22

22333

3

cxxarctgx

cttarctgtctarctgttarctgtt

dt

dttarctgtdtt

ttarctgtdtt

ttarctgt

ttdtvt

dtdutdtdvtarctgu

dttarctgtdttt

tarctgdttdxtxtxdxx

xarctg


dxx

x52 )1(

arcsin .


5225252 1

,1

,)1(

,arcsin)1(

arcsin

x

dxvx

dxdux

dxdvxudxx

x

53

2

223

2

223

21

21

22

222

222

113112

21)1(

32

21)1()1(

21

)1()1(21

11)1(

21

121

11

21

121,1,11,11

1)1(

xx

xxtttdt

tdtdtt

tttdtdttt

tt

t

dtt

tt

dxt

txt

xt

xxx

dx

xx

xxx

dxxxxx

xx

xx

dxxxxx

xx

x

xx

arcsin)1(3

)23()1()23(

31arcsin

)1(3

)23(

)1()1(

)23(31arcsin

)1(3

)23(

)1(3

)23(

23

2

2

22

3

23

2

2

21

223

2

3

23

2

2

23

2

2

2242

42

23

2

3

22

3

)1(31

21)21(

61arcsin

)1(3

23)1(

2)44(21

31

xxdx

xxxxdx

x

xxdxx

xxx

)1ln(

31arcsin

)1(3

23)1(

)1(61)1ln(

31arcsin

)1(3

23 2

23

2

3

22

22

23

2

3

xxx

xxx

xdxxx

xx

.)1(6

12 c

x



9.221. .dxe x 9.222. .dxxex

9.223. .dxxe x 9.224. .)3( dxex x

9.225. .)53( 32 dxexxx

9.226.

.)175( 22 dxexxx

9.227. .)72( 2 dxex x 9.228. .3 dxe x

9.229. .

4 1dxe x 9.230. .3 dxxe x

9.231. .4 dxxe x 9.232. .2 dxx x

9.233. .7 dxx x 9.234. .)( dxebax x

9.235. .2 dxex xn

9.236. .2 dxex x

54

9.237. .2 dxex x 9.238. .52 dxex x

9.239.

.32 dxexx

9.240. .)2( 22 dxex x

9.241. .)( 2 dxxex 9.242. .)1( 2 dxxex

9.243. .3 dxex x 9.244.

.23 dxex x

9.245. .23 dxex x 9.246.

.)( 113 dxeex xx

9.247. .25 dxex x 9.248.

.1

1

dxx

xe x

9.249. .)( 3 dxxex 9.250. .sin xdxex

9.251. .3sin2 dxxex

9.252. .5sin2 xdxe x

9.253. .sin2 xdxe x 9.254. .

4sin 2 dxxex

9.255. .sin 22 dxxe x 9.256.

.)(sin 22 dxbxe ax

9.257. .3cos dxxex 9.258. .cos)1( 2 dxxex

9.259. .2

cos2 dxxe x 9.260. .)cos( 24 dxee xx

9.261. .)cos( dxbxeax 9.262. .sin dxxxex

9.263. .25 2 dxx 9.264.

.)4( 32x

dx

9.265.

.)1( 22

2

dxx

x 9.266. .92 dxx

9.267. .72 dxx 9.268. .22 dxax

9.269. .ln dxx 9.270. .)2ln( dxx

9.271. .5ln dxx 9.272. .)9ln( dxx

9.273. .)1ln( 2 dxx 9.274. .)21(log 2 dxx

9.275. .ln dxxx 9.276. .3ln dxxx

9.277. .)1ln( dxxx 9.278. .ln dxxx

9.279. .)1ln()12( dxxx 9.280. .ln2 dxxx

9.281. .3

ln2 dxxx 9.282. .)2ln(2 dxxx

9.283. .ln)22( 2 dxxxx 9.284. .)3ln(3 dxxx

55

9.285. .2ln)8( 3 dxxx 9.286. .ln 2 dxx

9.287. .3ln 2 dxxx 9.288. .ln 23 dxxx

9.289. .ln)1( 22 dxxx 9.290. .ln)3( 2 dxxxx

9.291. .ln2 dx

xx 9.292. .ln

3 dxx

x

9.293. .2ln3 dx

xx 9.294. .3ln dx

xx

9.295.

.1)1ln( dx

xx 9.296. .ln

3dx

xx

9.297. .ln5

2

dxx

x 9.298. .ln2

2

dxx

x

9.299.

.ln 3

dxxx 9.300. .lnln dx

xx

9.301. .2sin dxx 9.302. .sin dxxx

9.303. .4sin dxxx 9.304. .5sin)2( dxxx

9.305. .2sin)3( dxxx 9.306. .sin dxxx

9.307. .sin2 dxxx 9.308. .7sin2 dxxx

9.309. .2sin)32( 2 dxxx 9.310. .2sin)( 2 dxxax

9.311. .2

sin)3( 2 dxxxx 9.312. .3sin)32( 2 dxxxx

9.313. .sin3 dxxx 9.314. .sin 23 dxxx

9.315. .sin

cos2 dx

xxx 9.316. .

sincos

3 dxxxx

9.317. .

sin1

2 dxx

x 9.318. .6sin 2 dx

xx

9.319. .)5sin(ln dxx 9.320.

.3

lnsin dxx

9.321.

.9

lnsin dxx 9.322. .cos dxx

9.323. .cos)1( dxxx 9.324. .cos dxxx

9.325. .3cos dxxx 9.326. .2cos)19( dxxx

9.327. .

2cos

41 dxxnx 9.328. .cos2 dxxx

56

9.329. .5cos2 dxxx 9.330. .cos)12( 2 dxxxx

9.331. .cos)( 2 dxxcbxax 9.332. .cos)1( 3 dxxx

9.333. .cos2 dx

xx 9.334. .2cos2 dxxx

9.335. .cos

sin3 dx

xxx 9.336. .)cos( 2 dxxex

9.337. .)cos(ln dxx 9.338.

.3

lncos dxx

9.339. .)ln3cos( dxx 9.340. .2 dxxtgx

9.341. .arcsin dxx 9.342. .2

arcsin dxx

9.343. .arcsin dxx 9.344. .2arcsin dxx

9.345. .arcsin dxxx 9.346. .3arcsin dxxx

9.347. .arcsin)1( 2 dxxx 9.348. .arcsin2 dxx

9.349.

.1

arcsin dxx

x 9.350.

.31

3arcsin dxx

x

9.351.

.12

2arcsin dxx

x 9.352.

.2

2arcsin

dxx

x

9.353.

.)1(

arcsin32

dxx

x 9.354. .2arcsin

2 dxx

x

9.355. .arccos dxx 9.356. .2

arccos dxx

9.357. .3arccos dxx 9.358.

.1

arccos dxx

x

9.359. .arccos)1( 2 dxxx 9.360. .2

2arccos dxx

x

9.361.

.1

arccos dxxx 9.362.

.

1arccos dx

xx

9.363.

.1arccos

2dx

xxx 9.364. .dxxarctg

9.365. .5

dxxarctg 9.366. .6 dxxarctg

9.367. .dxxarctg 9.368. .12 dxxarctg

57

9.369. .dxxarctgx 9.370. .9 dxxarctgx

9.371. .dxaxarctgx 9.372. .)2( 2 dxxarctgx

9.373. .2

dxxarcctg 9.374. .2

dxxarcctgx

9.375. .12 dxxarcctgx 9.376. .2)4( dxxarcctgx

9.4. Интегрирование рациональных функций Неопределенный интеграл от целой рациональной функции (многочлена) находится непосредственно:

.2

...1

...)...(

211101

1101

110

cxaxaxnax

nadxaxdxa

dxxadxxadxaxaxaxa

nnnn

nn

nnnn

nn

Функция, заданная в виде отношения двух многочленов

),0,0(......

)()()( 00

11

10

11

10

babxbxbxbaxaxaxa

xQxPxR

mmmm

nnnn

m

n

называется дробной рациональной функцией (или рациональной дробью). В дальнейшем будем считать, что коэффициент 10 b , так как в против-ном случае можно разделить числитель и знаменатель на этот коэффициент. Если mn , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Любая правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет толь-ко действительные корни а, b, …, l кратности ,,...,, т.е. )(xQm пред-

ставим в виде )(...)()()( lxbxaxxQm , разлагается на сумму конеч-ного числа простейших рациональных дробей, и это разложение имеет вид

,)(

...)(

...

)(...

)()(...

)()()(

221

221

221

lxL

lxL

lxL

bxB

bxB

bxB

axA

axA

axA

xQxP

m

n

где LAA ,...,, 21 – действительные числа. Если знаменатель имеет действительные и комплексные корни, т.е. рас-кладывается на линейные и квадратичные множители

)()(...)()()( 22 rhxxqpxxbxaxxQm , то

58

,..

)(

......)(

...)(

...)()(

2211

2

21111

rhxx

NxMrhxx

NxMqpxx

DxCqpxx

DxCbx

Bbx

Bax

Aax

AxQxP

m

n

где NMAA ,,...,, 21 – действительные числа, которые подлежат определе-нию. Для их нахождения применяют метод неопределенных коэффициентов. Суть этого метода разъясним на примерах.

Рассмотрим, как интегрируются простейшие правильные дроби.

I.

.||ln)( caxA

axaxdAdx

axA

II.

caxn

AcnaxAaxdaxAdx

axA

nn

n

n

1))(1(1)()()(

)(

1

( 2n – натуральное число).

III.

.2 dxqpxx

BAx

При вычислении интегралов такого вида в числителе подынтегральной дроби выделяют выражение )(2 2 qpxxpx , а в знаменателе – полный квадрат:

qpxxqpxxdA

pqpx

dxApB

dxqpxx

pxAdxqpxx

pABpx

Adxqpxx

BAx

2

2

22

222

)(2

422

22

2)2(

2

.

42

||ln22

42

22

22

222

pqt

dtApB

qpxxAtpxpqpx

pxdApB

Если 04

22

pqk , (т.е. дискриминант 042 qp ), то

59

.2

,12

||ln2

2||ln

2

2

222

2

pxtcktarctg

kApBqpxxA

ktdtApBqpxxAdx

qpxxBAx

В случае положительного дискриминанта

.2

,ln21

2||ln

2

2||ln

2

2

222

2

pxtcktkt

kApBqpxxA

ktdtApBqpxxAdx

qpxxBAx

IV.

)()(2)(

222 qpxxdqpxxAdx

qpxxBAx n

n

nnn ktdtApB

qpxxnA

ktdtApB

)(2))(1(2)(2 221222 ,

где 2,4

,2

22 npqkpxt – натуральное число, и квадратный трехчлен

qpxx 2 имеет комплексные корни.

Полученный интеграл nktdt

)( 22 можно вычислить с помощью триго-

нометрической подстановки tgzkt или путем повторного интегрирования по частям свести его к интегралу вида III. В случае неправильной рациональной дроби ( mn ) сначала надо выде-лить целую часть, деля числитель )(xPn на знаменатель )(xQm по правилу «де-ления углом», т.е. представить дробь в виде

)()()(

)()(

xQxPxM

xQxP

mm

n ,

где )(xM – многочлен, а )(

)(xQ

xPm

– правильная рациональная дробь.

Таким образом, чтобы проинтегрировать любую рациональную дробь, надо уметь интегрировать многочлен и простейшие рациональные дроби.


dx .

Р е ш е н и е. Выделив полный квадрат в знаменателе подынтегрального выражения, получим

.

33

31

3)3()3(

9)3(186 2222 cxarctgx

xdx

dxxx

dx

60

Пример 9.45. Найти интеграл 20123 2 xx

dx .

Р е ш е н и е. Вынося за скобки коэффициент при 2x и выделяя полный квадрат в знаменателе, будем иметь

2

222

2

322)2(

)2(31

38)2(3

1

32043

120123

x

xd

x

dx

xx

dxxx

dx

.62

)2(362

122

)2(322

331 cxarctgcxarctg


dx .


.37ln

41

22ln

41

25

2)5()5(

4)5(2110 222222

cxxc

tt

tdttx

xxd

xdx

xxdx

Этот интеграл можно найти и другим способом. Разложим знаменатель подынтегрального выражения на множители: )7)(3(21102 xxxx . Так как каждый множитель входит в знаменатель в первой степени, то данная пра-вильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простей-ших дробей типа I:

7321101

2

xB

xA

xx.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

2110)37()(

)7)(3(37

73 2

xxBAxBA

xxBBxAAx

xB

xA .

Следовательно, 2110

)37()(2110

122

xxBAxBA

xx.

Освободившись от знаменателей, получим равенство

)37()(1 BAxBA .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе-му уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов А и В

,1370

BABA

из которой получим .41,

41

BA

61

Таким образом,

.37ln

41|3|ln

41|7|ln

41

741

341

)7(41

)3(41

1862

cxxcxx

xdx

xdxdx

xxxxdx


dxxx

x65

42 .

Р е ш е н и е. Так как 52)65( 2 xxx , то

65ln21

21

25

25

23

65)65(

21

6523

65)52(

21

653)52(

21

6582

21

654

2222

2

2

2222

xxx

xd

xxxxd

xxdx

dxxx

xdxxx

xdxxx

xdxxx

x

.3)2(ln

)3()2(ln

21

23ln)3)(2(ln

21

23ln

2365ln

21

21

25

21

25

ln23

2

2

43

2

cxxc

xxc

xxxx

cxxxxc

x

x


dxxx

x2

922 .


2)2(

28

2)12(

28)12(

292

2

2

2222 xxxxd

xxdxdx

xxxdx

xxxdx

xxx

.7

127

162ln

27

21

21

8 222

cxarctgxx

x

xd

62


dxxx

x22 )92(

57 .


.)8(

2)8(2

7)8(

21

)8(27

)8(2

)8()8(

27

)8(2

)8(7

)8(72

7

,1,1)8)1((

75

7)92(

57

22222

12

2222

2

222222

2222

tdt

ttdtt

tdt

ttd

tdt

tdttdt

t

t

dtdxtxtxx

xdx

xxx

Представив числитель последнего интеграла в виде 22 )8(81 tt и

почленно разделив его на знаменатель, получим два интеграла. Ко второму применим формулу интегрирования по частям:

.)8(1622232

12222

1161

)8(16222161

821

)8(281

22221

81

)8(21

1)8(

21

)8()8(

21

)8(,,

)8(,

)8(81

)22(81

)8(81

881

)8()8(

81

)8(

2

2

222

12

22

2

222222

2

2222

2

222

22

22

ct

ttarctg

ctarctgt

ttarctg

tdt

tttarctg

tt

ttddt

ttvdtdu

ttdtdvtudt

tt

tdtdt

tt

tdtdt

ttt

tdt

Окончательно имеем:

.)92(8

29221

2161

)8(828

222161

)8(8222161

)8(27

)92(57

22

2222

cxx

xxarctgctttarctg

ct

ttarctgt

dxxx

x

Пример 9.50. Найти интеграл 273xdx .

Р е ш е н и е. Разложим на множители знаменатель подынтегрального выражения: )93)(3(27 23 xxxx и представим исходную дробь в виде суммы простейших дробей:

63

933271

23

xxCBx

xA

x.

Освобождаемся от знаменателей: )3)(()93(1 2 xCBxxxA .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему

,139033

0

CACBA

BA

из которой 92,

271,

271

CBA . Тогда

|3|ln271

9361

9332

541|3|ln

271

939)32(

541|3|ln

271

936

271

3271

27

22

223

xxx

dxdxxx

xx

dxxx

xxdxxx

xxdx

xdx

.3332

391

933ln

271

3332

332

61

93ln541|3|ln

271

233

23

23

61

93)93(

541

2

2222

2

cxarctgxx

xcxarctg

xxx

x

xd

xxxxd


dxxxxx

)1()1(123

22

2

.

Р е ш е н и е. Разложим рациональную дробь на простейшие множители

1)1(1)1()1(123

2222

2

xDCx

xB

xA

xxxx .

Освободимся от знаменателя: 2222 )1)(()1()1)(1(123 xDCxxBxxAxx .

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим

)()2()2()(123 232 DBAxDCAxDCBAxCAxx .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим си-стему уравнений: .1,22,32,0 DBADCADCBACA Решения системы: .1,1,1,1 DCBA Следовательно,

64

.1

1|1|1ln)1ln(

21

)1(1

|1|ln1

)1(21

)1(1|1|ln

11

1)1(|1|ln

11

)1(1)1()1(123

22

2

2

22

1

2222

2

cxarctgxx

xcxarctgxx

xxarctgxxd

xx

xdxdx

xx

xxdxxx

xdx

xdxdx

xxxx


dxxxx

xxx234

35

22442 .

Р е ш е н и е. Выделим целую часть исходной неправильной рациональ-ной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель «углом»:

Тогда

.)22(

14221

2214

222

4444222

442

22

232

234

23

234

23

234

35

dxxxxxxxxxdx

xxxxxx

dxxdxdxxxxxxxxdx

xxxxxx

Разложим дробь в последнем интеграле на простейшие рациональные

дроби: 22)22(

12222

23

xxDCx

xB

xA

xxxxxx .

С помощью метода неопределенных коэффициентов получим систему

,12122

121

BBA

DBACA

из которой .21,1,

21,0 DCBA Следовательно,

.)1(2)22ln(22221

1)1(2

2222222

21

221)22(2

2221

2221

42221

22442

22

222

2

222

2234

35

cxarctgxxx

xx

xdxdx

xxx

xxxdx

xxx

xxxdx

xx

x

xdxxxdx

xxxxxx

х5

х5 + 2х4 –

– 2х4 –

х4 + 2х3 + 2х2

х – 2 + 2х3 + 4x + 4

4 + 2х3

– 2х4– 4х3 – 4х2 + 4x + 4

4х3 + 4х2 + 4х + 4

65


9.377.

.7x

dx 9.378.

.3 x

dx

9.379.

.21

3 dxx

9.380.

.32

5 dxx

9.381.

.1212x

dx 9.382.

.322 2x

dx

9.383.

.327 2x

dx 9.384.

.113 2x

dx

9.385.

.192 2x

dx 9.386.

.32 xx

dx

9.387.

.82 2 xx

dx 9.388.

.72 xx

dx

9.389.

.)2( 2x

dx 9.390.

.)5( 2x

dx

9.391.

.21 2xxdx 9.392.

.

62 xxdx

9.393.

.283 2 xx

dx 9.394.

.982 xx

dx

9.395.

.842 xx

dx 9.396.

.22 xx

dx

9.397.

.1412 2 xx

dx 9.398.

.23 2xxdx

9.399.

.273 2 xx

dx 9.400.

.2335 2xx

dx

9.401.

.186 2xx

dx 9.402.

.245 2xx

dx

9.403.

.432 2 xx

dx 9.404.

.5,12 xx

dx

9.405.

.2

722 dx

xxx 9.406.

.1

12 dx

xxx

9.407.

.84

12 dx

xxx 9.408.

.62

2 dxxx

x

9.409.

.182

72 dx

xxx 9.410.

.

)3)(2(dx

xxx

66

9.411. .3

22 xd

xxx

9.412.

.)1)(2(

21 dxxx

x

9.413.

.32

232 dx

xxx 9.414.

.82

52 dx

xxx

9.415.

.102

15,22 dx

xxx 9.416.

.322

52 dx

xxx

9.417.

.52

62 dx

xxx 9.418.

.6

12 dx

xxx

9.419.

.74

22 dx

xxx 9.420.

.523

22 dx

xxx

9.421.

.84

312 dx

xxx 9.422.

.17,02,0

6,02 dx

xxx

9.423.

.158

5,122 dx

xxx 9.424.

.125

12 dx

xxx

9.425.

.522

52 dx

xxx 9.426.

.2910

6,02 dx

xxx

9.427.

.1253x

dx 9.428.

.643x

dx

9.429.

.43 xx

dx 9.430.

.8126 23 xxx

dx

9.431.

.673 32 xxx

dx 9.432.

.3323 xxx

dx

9.433.

.42 23 xxx

dx 9.434.

.233 xx

dx

9.435.

.41082 23 xxx

dx 9.436.

.)32( 3x

dx

9.437.

.1 4x

dx 9.438.

.2 24 xx

dx

9.439.

.32 24 xx

dx 9.440.

.)42( 22 xx

dx

9.441.

.)3)(2( 22 xx

dx 9.442.

.)84)(34( 22 xxxx

dx

9.443.

.)4( 22x

dx 9.444.

.)9( 22x

dx

9.445.

.2414132 234 xxxx

dx 9.446.

.)52(

1222 dx

xxx

67

9.447.

.)22(

5,022 dx

xxx 9.448.

.)102(

6922 dx

xxx

9.449.

.)52(

5,122 dx

xxx 9.450.

.)33(

35,422 dx

xxx

9.451.

.52 xxdx 9.452.

.

)1(3 23 xxdx

9.453.

.)6( 32x

dx 9.454.

.)5( 32x

dx

9.455.

.)106( 32 xx

dx 9.456.

.6116

423 dx

xxxx

9.457.

.819122

32 dxxxx

x 9.458.

.22

423 dx

xxxx

9.459.

.1042

15723 dx

xxxx 9.460.

.366

3 dxxx

x

9.461.

.497

3 dxxx

x 9.462.

.9

33 dx

xxx

9.463.

.32

23 dxxx

x 9.464.

.22

123 dx

xxxx

9.465.

.524 dx

xxx 9.466.

.44

7323 dx

xxxx

9.467.

.)3)(1(

9112 dx

xxx 9.468.

.

232

24 dxxxx

9.469.

.)2(

122 dx

xx 9.470.

.2334 dx

xxx

9.471.

.243

34 dxxx

x 9.472.

.127

324 dx

xxx

9.473.

.)3)(2(

222 dx

xxx 9.474.

.)1)(1(

122 dx

xxxx

9.475.

.10122 24 dx

xxx 9.476.

.

)1( 22 dxx

x

9.477.

.221 5432 dx

xxxxxx

9.478.

.123432 23456 dx

xxxxxxx

9.479.

.22 4

2

dxx

x 9.480.

.3233

2

dxxxxx

68

9.481.

.2

15223

2

dxxxx

xx 9.482.

.65

5,023

2

dxxxx

x

9.483.

.23

3213

2

dxxx

xx 9.484.

.1

233

2

dxx

xx

9.485.

.)4)(1(

25,02

2

dxxx

xx 9.486.

.)1)(2(

5,15,02

2

dxxxx

xx

9.487.

.12112

2419123

2

dxxxxxx 9.488.

.)23)(4(

622

2

dxxxx

xx

9.489.

.)225,0)(168( 22

2

dxxxxx

x 9.490.

.45 24

2

dxxx

x

9.491.

.1281607214

14234

2

dxxxxx

xx 9.492.

.)1( 5

2

dxx

x

9.493.

.)52)(4(

16161922

2

dxxxx

xx 9.494.

.32 36

2

dxxx

x

9.495.

.)54(

)1)(1(22

2

dxxx

xxx 9.496.

.)4)(2(

622

3

dxxxx

9.497.

.2795

518175234

23

dxxxxx

xxx 9.498.

.413

1343432

23

dxxxx

xxx

9.499.

.)1)(22(

322

3

dxxx

x 9.500.

.)22)(12(

2222

3

dxxxx

xx

9.501.

.)2)(2(

61363

32

dxxx

xxx 9.502.

.4852

1763234

23

dxxxxx

xx

9.503.

.221

15432

4

dxxxxxx

x 9.504.

.)1)(32(

17822

24

dxxxx

xx

9.505.

.)1(2

43322

4

dxxx

x

Найти интеграл, выделив предварительно целое выражение в подынте-

гральной неправильной дроби.

9.506.

.32

34 dxx

x 9.507.

.1

2

dxx

x

9.508.

.312

dxxx 9.509.

.4

632

dxx

xx

9.510.

.572

dxx

x 9.511.

.5

1162

dxx

xx

69

9.512. .342

2

dxxx

x

9.513.

.4312

2

2

dxxxxx

9.514.

.1052

2

dxxx

x 9.515.

.1

3

dxxx

9.516.

.152 3

dxxx 9.517.

.

1 2

3

dxx

x

9.518.

.2

7532

23

dxx

xxx 9.519.

.561

2

23

dxxx

xx

9.520.

.1

122

3

dxx

xx 9.521.

.32

22

23

dxxxxx

9.522.

.1332

23

dxxx

xxx 9.523.

.1

32

23

dxxx

xxx

9.524.

.2533

23

dxxx

xxx 9.525.

.223

3

dxxx

x

9.526.

.12

4

dxx

x 9.527.

.42

4

dxx

x

9.528.

.17

2

4

dxxx 9.529.

.1

223

34

dxxxx

xxx

9.530.

.814

4

dxx

x 9.531.

.168

124

5

dxxx

x

9.532.

.4

83

45

dxxx

xx 9.533.

.161

4

5

dxxx

9.5. Интегрирование тригонометрических функций

Обозначим через )cos,(sin xxR рациональную функцию от xsin и xcos . Интегралы вида dxxxR )cos,(sin приводятся к интегралам от рацио-нальных функций с помощью универсальной тригонометрической подстанов-

ки 2xtgt . В результате этой подстановки имеем

22

2

2 12

11,

12)cos,(sin

tdt

tt

ttRdxxxR .

Заметим, что универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, поэтому применяется только тогда, когда нельзя при-менить другие подстановки, вид которых зависит от свойств функции

)cos,(sin xxR .

70

Если )cos,(sin xxR – четная функция относительно xsin и xcos , т.е. )cos,sin( xxR )cos,(sin xxR , то подстановка tgxt преобразует исходный

интеграл в интеграл от рациональной функции аргумента t. При этом исполь-

зуются формулы xtg

xxtg

xtgx 22

2

22

11cos,

1sin

.

Если )cos,(sin xxR – нечетная функция относительно xsin , т.е. )cos,sin( xxR )cos,(sin xxR , то интеграл рационализируется с помощью

подстановки xt cos . Если )cos,(sin xxR – нечетная функция относительно xcos , т.е.

)cos,(sin xxR – )cos,(sin xxR , то подстановка xt sin рационализирует ин-теграл. Интегралы вида dxxtgR )( рационализируются с помощью подстановки

tgxt , а интегралы вида dxxctgR )( – с помощью подстановки ctgxt .

Интегралы вида ,

sin 12 xdx

n xdx

n 12cos находят с помощью универсаль-

ной тригонометрической подстановки. При нахождении интегралов вида ,cossin dxbxax dxbxax coscos ,

dxbxax sinsin , где ba , применяются тригонометрические формулы

;)sin()sin(21cossin xbaxbabxax

;)cos()cos(21coscos xbaxbabxax

.)cos()cos(21sinsin xbaxbabxax

Если ba , то

;42cos2sin

21cossin c

aaxdxaxdxaxax

;42sin

222cos1cos2

caaxxdxaxdxax

.42sin

222cos1sin 2

caaxxdxaxdxax

Интегралы вида ,cossin dxxx nm где Nnm , , вычисляются с помо-щью подстановки xt sin при нечетном п, а при нечетном m – с помощью подстановки xt cos . В случаях четных m и п используются тригономет-рические формулы

71

;2sin21cossin xxx );2cos1(

21sin 2 xx ).2cos1(

21cos2 xx

Интегралы вида

,cos

,sin

,sin

,cos

,, 2222 xdx

xdxdx

xxctgdx

xxtgdxxctgdxxtg lkm

n

m

nnn

где Nlkmn ,,, , находят с помощью формул

,1cos

12

2 x

xtg .1sin

12

2 x

xctg

Пример 9.53. Найти интеграл x

dxcos513

.

Р е ш е н и е. Так как функция xcos513

1

не является четной относи-

тельно xsin и xcos , нечетной относительно xsin и xcos , то применим уни-

версальную тригонометрическую подстановку 2xtgt . Получим

22222

2

22

22

2

2)3()3(

31

2)3(8182

115131

2

12,

11cos,2,

2cos513

ttd

tdt

tdt

ttt

dtt

dtdxttxtarctgxxtgt

xdx

.22

361

23

21

31 cxtgarctgctarctg

Пример 9.54. Найти интеграл 5cos5sin2 xx

dx .

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция рационально зависит от xsin и

xcos ; применим подстановку 2xtgt , тогда ,

11cos,

12sin 2

2

2 ttx

ttx

212

tdtdx

и

5115

122

12

5cos5sin22

2

2

2

tt

tt

tdt

xxdx

52)52(

21

52 ttd

tdt .5

22ln

21|52|ln

21 cxtgct

72

Пример 9.55. Найти интеграл xx

dx22 sin3cos2

.

Р е ш е н и е. Так как подынтегральная функция – четная относительно xsin и xcos , то применим подстановку tgxt :

.2323ln

621

2323ln

221

31

)2()3()3(

31

3213

12

1

11cos,

1sin,

1,,

sin3cos2

222

2

2

2

2

22

2

22

222

ctgxtgx

ctt

ttd

tdt

tt

t

tdt

tx

ttx

tdtdxtarctgxtgxt

xxdx

Пример 9.56. Найти интеграл dxxx

8

3

sincos .

Р е ш е н и е. Применим подстановку xt sin , так как подынтегральная функция является нечетной относительно xcos , и получим

22

8

2

8

3

1cos,cos,sinsin

coscossincos txxdxdtxtdx

xxxdx

xx

.sin5

1sin7

151

71)1(

575768

8

2

cxx

ctt

dttdttt

dtt


dxxx

xcoscos

sin2

3

.

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является нечетной относительно xsin , поэтому применим подстановку xt cos :

dxxx

xcoscos

sin2

3

22

2

2

1sin,sin,coscoscos

sinsin txdxxdtxtdxxx

xx

.|cos|lncos||ln

)1()1(

)1()1( 2

2

2

cxxctttdtdt

tdtt

ttdtt

ttdtt

Пример 9.58. Найти интеграл dx

xtgx2sin

23 .

Р е ш е н и е. Так как xtg

tgxx 2122sin

, то применим подстановку tgxt :

22 1

22sin,1

,,2sin

23ttx

tdtdxtarctgxtgxtdx

xtgx

73

.||ln

23||ln

23

23

2)23(

12)1(

)23(

22

ctgxtgxcttdttdt

tdtt

ttt

dtt

Пример 9.59. Найти интеграл xdx

3sin.


32

32

223

)1(8)1(

21

2sin,12,2,

2sinttt

dtttx

tdtdxtarctgxxtgt

xdx

.2

ln21

sin2cos

2ln

21

)cos1(8cos1

)cos1(8cos1

281

2ln

21

28

181

||ln21

81

41

21

4121

41)1(

41

2

2

2

2

23

3

42

3

22

cxtgxxcxtg

xx

xxcxtgxtgxtg

ct

tt

tdttdtdttdt

tttdt

tt

Пример 9.60. Найти интеграл dxxx2

5cos2

sin .


.3cos612cos

413cos

61)2cos(

41)3(3sin

61

)2()2(sin(4

1)3sin)2(sin(21

25cos

2sin

cxxcxxxxd

xdxdxxxdxxx

Пример 9.61. Найти интеграл dxxxx 3cos6cos9cos .

Р е ш е н и е. Так как )15cos3(cos216cos9cos xxxx , то

.18sin72112sin

4816sin

241

41

)18cos12(cos41)6cos1(

41

26cos13cos

3cos15cos213cos

213cos6cos9cos

2

2

cxxxx

dxxxdxxxx

dxxxdxxdxxxx

74

Пример 9.62. Найти интеграл dxxx 2)7sin(sin . Р е ш е н и е.

.14sin2818sin

816sin

612sin

41

14sin281

218sin

816sin

612sin

41

21

)14cos1(21)8cos6(cos)2cos1(

21

7sin7sinsin2sin)7sin(sin 222

cxxxxx

cxxxxxx

dxxdxxxdxx

dxxdxxxdxxdxxx

Пример 9.63. Найти интеграл dxxx3

cos3

sin 42 .

Р е ш е н и е. Так как 3

cosи3

sin xx входят в подынтегральное выраже-

ние в четных степенях, то воспользуемся формулами

32cos1

21

3cos,

34cos1

21

32sin,

32sin

41

3cos

3sin 22222 xxxxxxx

и будем иметь

.2sin641

32sin

643

34sin

643

1612sin

641

32sin

643

32sin

323

34sin

643

1612cos

32cos

321

32sin

323

34sin

643

161

32cos

34cos

161

32cos

161

34cos

161

161

32cos1

34cos1

161

3cos

32sin

41

3cos

3sin 2242

cxxxxcxxx

xxdxxxxxx

dxxxdxxdxxdx

dxxxdxxxdxxx

Пример 9.64. Найти интеграл dxxx 43 sincos . Р е ш е н и е. Так как степень xcos нечетная, то применим подстановку

xt sin , из которой dxxdt cos . Таким образом получаем

.sin71sin

51

71

51

)1(coscossinsincos

7575

64242443

cxxctt

dttdttdtttdxxxxdxxx

75

Пример 9.65. Найти интеграл x

dxxcos2

sin 3

.

Р е ш е н и е. В подынтегральное выражение xsin входит в нечетной степени, поэтому применим подстановку xt cos и получим

dt

ttdxxdtxt

xdxx

21sin,cos

cos2sin 23

.

В полученном интеграле выделим целую часть в подынтегральной дроби:

.

Следовательно,

.|2cos|ln3cos2cos21

|2|ln3221

232

21

2

22

cxxx

ctttdtt

tdttt

Пример 9.66. Найти интеграл )32(6 xtg

dx .

Р е ш е н и е. Так как )32()32(

1 66

xctg

xtg, то будем иметь

)32(6 xtgdx

dxxctg )32(6

dx

xxctg 1

)32(sin1)32( 2

4

.)32(21)32(

61)32(

101

21

21

61

1011

sin1

21

61

101

21

)(21

1011

sin1

21

101

21

)(211

sin1

212,32

35

352

352

252

254

42

4

cxxctgxctgxctgct

tctgtctgtctgdtt

tctgtctgdttctg

tctgdtctgtctgdtt

tctgtctgdttctg

tctgdtctgdtt

tctgdxdtxt


xtg2cos

26

4

.

Р е ш е н и е. Сделаем замену xt 2 и применим формулу

ttgt

22 1

cos1

.

t2 – 1 t2 – 2t

–

2t – 1 – 2t – 4 3

t – 2 t + 2

76

В результате получим

.21012

712

181)()2(

21

)()1(21

coscos1

21

2cos2

579468

2242

2

24

6

4

cxtgxtgxtgttgdttgttgttg

ttgdttgttgt

dtt

ttgdxx

xtg

Пример 9.68. Найти интеграл xdx

3cos8 .


.32113

513

31

211

51

31

31

)331(31)()1(

31

coscos1

311

cos1,

31,3

3cos

753753

64232

2

3

22

28

cxtgxtgxtgxcttgttgttgt

dtttgttgttgttgdttg

tdt

tttg

tdtdxxt

xdx


9.534.

.cos1517 x

dx 9.535.

.cos5 xdx

9.536.

.cos59 x

dx 9.537.

.2cos11 x

dx

9.538.

.sin32 x

dx 9.539.

.sin74 x

dx

9.540.

.sin56 x

dx 9.541.

.sin1 xdx

9.542.

.cossin1 xx

dx 9.543.

.cos2sin32 xx

dx

9.544.

.cos4sin35 xx

dx 9.545.

.cos7sin2 xx

dx

9.546.

.cos2sin6 xx

dx 9.547.

.cos4sin74 xx

dx

9.548.

.cos8sin3 xx

dx 9.549.

.cos7sin34 xx

dx

77

9.550.

.cos3sin28 xx

dx 9.551.

.cossin32 xx

dx

9.552.

.sin3cos xx

dx 9.553.

.cos3sin45 xx

dx

9.554.

.cos6sin57 xx

dx 9.555.

.cos2sin35 xx

dx

9.556.

.2sinsin2 xx

dx 9.557.

.sin1sin1 dx

xx

9.558.

.3sin13sin1 dx

xx 9.559.

.

2sin12sin dx

xx

9.560.

.)5cos1(

5cos2 dx

xx 9.561.

.

1cossin2sin2 2 xxxdx

9.562.

.2sin42cos3 22 xx

dx 9.563. .3

cos3

sin 22 dxxx

9.564.

.cos4cossin41 2 xxx

dx 9.565.

.2cos2sin42sin

2cos2

2

dxxxx

x

9.566. .sin

sin14

2

dxx

x 9.567. .4

cos4

sin 24 dxxx

9.568. .5sin5cos 24 xx

dx 9.569. .cossin 5 xx

dx

9.570. .cossin 33 xx

dx 9.571.

.

2cos

2sin

2cos

33dxxx

x

9.572. .cossin3 7 xx

dx 9.573. .

4cos

4sin4 53 xx

dx

9.574.

.cos3cossin8sin16 22 xxxx

dx

9.575.

.)2cos2(sin 2xx

dx 9.576. .)1(cos3 dxx

9.577.

.1cossin

coscos24

53

dxxx

xx 9.578. .)32(cos3 dxx

9.579. .3sin3cos

3

5

dxxx 9.580.

.

2cos

2sin3

2cos

22

3

dxxx

x

78

9.581. .4sin2sin xx

dx 9.582.

.

2cos1

2cos

2

5

dxx

x

9.583.

.)sin1(cos 2 xx

dx 9.584.

.cos1

cos2

5

dxx

x

9.585.

.sinsin

cos2

3

xxxdx 9.586. .cos3 dxx

9.587. .2

cos5 dxx 9.588. .4cos7 dxx

9.589.

.cos1

cos2

3

dxx

x 9.590. .

3sin

3cos

2

3

dxx

x

9.591. .2cos

2sin2 dx

xx 9.592. .

3cos3sin

5 dxx

x

9.593. .cossin 3

dxxx 9.594. .

2cos2sin

2

3

dxxx

9.595. .

2cos

2sin

9

3

dxx

x

9.596. .

2cossinsin 3

dxx

xx

9.597. .2sin

122 dxx

xctg 9.598.

.3cos

sin 3

dxx

x

9.599. .sin

16

3 dxx

xctg 9.600. .

cossin1 dx

xxxtg

9.601.

.1

2cos12 2

4 dxx

xtg 9.602.

.2sin5,2cos1 2 xx

dx

9.603.

.1

22

22

dxxtgxtg

xtg 9.604. .

cossin 3 xxdx

9.605. .

2cos

2sin 3 xx

dx 9.606. .cossin 33 xx

dx

9.607. .

3sin x

dx 9.608. .2sin 5 x

dx

79

9.609. .sin 7 x

dx 9.610. .2cos x

dx

9.611. .

4cos3 x

dx 9.612. .

2sincossin dxx

xx

9.613. .7cos2sin dxxx 9.614. .3cos2

sin dxxx

9.615. .8cos3sin dxxx 9.616. .4cos)56sin( dxxx

9.617. .3

sin2

sinsin dxxxx 9.618. .8sin2sin dxxx

9.619. .7sin3sin dxxx 9.620. .3

4sin3

sin dxxx

9.621.

.

53sin3sin dxxx 9.622.

.

124sin

34sin dxxx

9.623.

.

1036sin

56sin dxxx 9.624.

.

3coscos dxxx

9.625.

.

4coscos dxxx 9.626. .10cos3cos dxxx

9.627. .5

cos4

cos dxxx 9.628. .6cos2cos dxxx

9.629. .4

cos2

coscos dxxxx 9.630.

.

3cos

63cos dxxx

9.631.

.

53cos

10cos dxxx 9.632. .)22cos()16(cos dxxx

9.633. .5

sin 2 dxx 9.634. .8sin 2 dxx

9.635.

.

33cos2 dxx 9.636.

.

64cos2 dxx

9.637. .cossin 22 dxxx 9.638. .8

cos8

sin 42 dxxx

9.639. .3sin 4 dxx 9.640. .2cos4 dxx

9.641. .5sin3cos 22 dxxx 9.642. .cossin 44 dxxx

9.643. .4

cos6 dxx 9.644. .sin8 dxx

9.645. .cossin 24 dxxx 9.646. .2

cos2

sin 52 dxxx

80

9.647. .3

cos3

sin 55 3 dxxx 9.648. .cossin 32 dxxx

9.649. .5

cos5

sin 34 dxxx 9.650. .cossin 54 dxxx

9.651. .cossin 55 dxxx 9.652. .cossin 4 dxxx

9.653. .sin 3 dxx 9.654. .4cos4sin 23 dxxx

9.655. .2cos2cos

2sin3

3

dxxx

x 9.656. .6cos

6sin3 2

3

dxx

x

9.657. .2

sin2

cos 5 dxxx 9.658. .3 dxxtg

9.659.

.

422 dxxtg 9.660. .23 dxxtg

9.661. .53 dxxctg 9.662. .6

4 dxxtg

9.663. .6 dxxctg 9.664. .17 dxxctg

9.665. .28 xtg

dx 9.666. .cos

16

4 dxx

xtg

9.667. .

2cos

2sin

8

4

dxx

x

9.668. .cossin3 24 xx

dx

9.669. .5sin 4 x

dx 9.670. .7cos4 x

dx

9.671. .

2cos6 x

dx 9.672. .2sin 6 x

dx

9.673.

.1sincos

2sin23 dx

xxx 9.674. .)sin21( 3 dxx

9.675. .)3cos21( 3 dxx 9.676. .)cos31( 2 dxx

9.677.

.sin

2cos

2sin

2

dxx

xx

9.678. .cos

sin12

3

dxx

x

9.679. .

2sin4sin1

2 dxxx 9.680.

.

cos9sin252sin

22dx

xxx

81

9.681.

.1

sin dxxtg

x 9.682.

.1

2sin

2cos

sin23

dxxxx

9.683. Интегрируя по частям, вывести формулы «понижения степени»:

;sin1sincos1sin 21 dxxn

nxxn

dxx nnn

.cos1cossin1cos 21 dxxn

nxxn

dxx nnn

По этим формулам найти 1) dxx6sin ; 2) dxx6cos .

9.6. Интегрирование некоторых иррациональных функций Если подынтегральная функция иррациональна, то ее с помощью замены переменной во многих случаях можно привести к рациональному виду или к табличному интегралу. Этот способ называется интегрированием посредством рационализации подынтегрального выражения.

В интегралах вида

dxdcxbaxxR n, , где R – рациональная функция,

п – натуральное число и dcba ,,, – постоянные, рационализация подынте- грального выражения достигается одной из трех подстановок:

1. n baxt , если с = 0 ; 2. n xt , если b = с = 0 ;

3. ndcxbaxt

в остальных случаях.


dxbaxbaxbaxxR k kn mn mn m )(,...,)(,)(, 2 21 1 ,

где kk mnmnmn ,...,,,,, 2211 – целые числа, преобразуются в интегралы от ра-

циональной функции с помощью подстановки stbax , где s – наимень-шее общее кратное чисел knnn ...,,, 21 (НОК ( snnn k )...,,, 21 ).


dxdcxbax

dcxbaxxR k

kn

mn

m

,...,, 11

рационализируются подстановкой stdcxbax

, где s – наименьшее общее

кратное чисел knnn ...,,, 21 .

82

С помощью тригонометрических подстановок ,cos

,sint

axtax

ttgax к рациональному тригонометрическому виду приводятся соответ-ственно интегралы

,, 22 dxxaxR ,, 22 dxaxxR dxaxxR 22, .

Интегралы вида dxcbxaxxR 2, могут быть найдены с помощью таких же подстановок, так как после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и применения подстановки получают интегралы от выражений

22, tatR , 22, attR , 22, attR .

Интегралы вида dxcbxaxx

NMx

2)( находятся с помощью подста-

новки t

x 1 .

Интегралы от дифференциальных биномов dxbxax pnm )( , где pnm ,, – рациональные числа, выражаются через элементарные функции только в трех случаях: 1) если р – целое число, то используем подстановку ltx , где l – наименьшее

общее кратное знаменателей дробей 1

1

smm и ,

2

2

sm

n т.е. 21 ;НОК ssl ;

2) если n

m 1 – целое число, ,skp то sn tbxa , где s – знаменатель дроби р;

3) если pn

m

1 – целое число, ,skp то s

n tbxa

, где s – знаменатель

дроби р.


dx .

Р е ш е н и е. Интегралы вида cbxax

dx2

приводятся к табличным

интегралам путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена. По-этому преобразуем квадратный трехчлен к виду

4

5923173

22

xxx . Тогда

.17323ln

259

23

23

1732

222cxxx

x

xd

xxdx

83


dxxx

x52

172

.

Р е ш е н и е. Для нахождения интегралов вида

dxcbxax

BAx2

в чис-

лителе выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и затем раскладывают интеграл на сумму двух интегралов, один из кото-

рых есть табличный, а другой – вида cbxax

dx2

. Значит, выделим в числи-

теле производную подкоренного выражения:

.25

21

41ln

243

5227

439

41

41

243)52(52

47

5243

52)14(

47

5243)14(

47

5217

2

222

221

2

2222

cxxx

xx

x

xdxxdxx

xxdx

xxdxxdx

xx

xdx

xxx

Пример 9.71. Найти интеграл 32)32(5 3 xx

dx .

Р е ш е н и е. Так как НОК (5; 2) = 10, то применим подстановку 1032 tx . Тогда dttdxtx 9

10

5,2

3

и

56

9

5 35

32)32( ttdtt

xxdx

.132ln5)32(5)32(25)32(

35)32(

45

|1|ln5525

35

45

1115

15

10101

51

103

52

234234

cxxxxx

ctttttdtt

tttt

dtt


dxxx

xxxx)1(

23

63 22

.

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является рациональной функци-

ей от 31

61

32

2 ,,,, xxxxx , и наименьшее общее кратное знаменателей дробей

равно 6. Поэтому вводим замену dttdxtx 56 6, и искомый интеграл при-водим к виду:

84

.11ln31ln66

43

53

11ln

216|1|ln66

43

53

16

1266

43

53

11226

1126

)1()2(6

)1(2

6

633

134

35

226810

2226810

2579

2

3511

26

54612

3

63 22

cxxxxxxx

cttttttt

tdtdt

ttttttdt

tttttt

dtt

tttdttt

tttttdxxx

xxxx


3

13x

xx

dx .

Р е ш е н и е. Сделаем замену 31 tx

x

, из которой 311t

x

,

23

2

)1(3

tdttdx

и

dttt

tdttt

tt

xxx

dx)3)(1(

3)3()1(

)1(313

3

2

23

32

3

.)1)(3)(1(

3 2

2

dttttt

t

Подынтегральную функцию разложим на простейшие дроби:

131)1)(3)(1( 22

2

ttDCt

tB

tA

ttttt .

Применяя метод неопределенных коэффициентов для нахождения DCBA ,,, , получим систему уравнений

,0330432

1420

DBADCA

DCACBA

из которой .392,

397,

269,

61

DCBA


85

.3

1239

3

|1|ln787|3|ln

269|1|ln

61

23

21

21

783

1)1(

787|3|ln

269|1|ln

61

173)12(

787|3|ln

269

|1|ln61

127

391

3269

161

)1)(3)(1(

222

2

2

2

22

2

ctarctg

tttt

t

td

ttttdttdt

tt

tt

tdttt

tt

dtt

dtdttttt

t

Окончательно

.1123

113

311

1ln26713ln

262711ln

21

13

33

32

33

3

cx

xarctgx

x

xx

xx

xx

xxx

dx


xdx

xx

2323 .

Р е ш е н и е. Это интеграл вида

dxdcxbaxxR , . Применим подста-

новку 222

2

)1(6,

)1(2)1(3,

2323

tdttdx

ttxt

xx . Тогда

x

dxxx

2323

.)1)(1(

4)1()1(

)1(4 22

2

222

22

dt

tttdt

tttt Разложим рациональную дробь

)1)(1( 22

2

ttt на простейшие: .

111)1)(1( 222

2

tDCt

tB

tA

ttt

Освободившись от знаменателей, будем иметь: .)()()( 232 DBAtCBAtDBAtCBAt Приравнивая коэф-

фициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений 0,0,1,0 DBACBADBACBA , решение которой

21,0,

41,

41

DCBA . Таким образом,

86

.21

11ln

41

21

|1|ln41|1|ln

41

121

141

141

)1)(1( 222

2

ctarctgttctarctg

ttt

dttdt

tdtdt

ttt

В результате

.23232

12323

12323

ln2323 c

xxarctg

xxxx

xdx

xx

Пример 9.75. Найти интеграл 0,22 adxxa . Р е ш е н и е. В примере 9.37 мы нашли этот интеграл, используя метод интегрирования по частям. Однако его можно вычислить с помощью тригоно-метрической подстановки tax sin :

dtttaaadttadxtaxdxxa cossincos,sin 22222

.2

arcsin2

2

12sin1sin2cossin22sin,arcsin

2sin42

)2cos1(2

cos

222

222

2

22

22222

cxaxaxaxa

ax

ax

axttttt

axt

ctatadttadtta

Пример 9.76. Найти интеграл 32 )7( xdx .

Р е ш е н и е. Применим подстановку t

dtdxttgx 2cos7,7 , .

7xttg

Тогда

32 )7( xdx

ctdttt

ttg

ttgt

dt sin71cos

71

cos11

)1(cos71

22

222

3

.771

sin22

2

cx

xttg

ttgt

87


dx .

Р е ш е н и е. Сделав замену ,cos

sin3,cos

32 dt

ttdx

tx получим

.3

3331cos1sin

sin31cos

31

3cos

3cos

3cos

sin33

22

22

222

22

cx

xx

xx

tt

ctdtt

ttt

dttxxdx

Пример 9.78. Найти интеграл dxxx 2042 .

Р е ш е н и е. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:

t

dtdxttgxdxxdxxx 222

cos4,4216)2(204

.cos

16cos

116 32

2

tdt

tdtttg

Так как подынтегральная функция является нечетной относительно tcos ,

то используя подстановку 21

,arcsin,sinz

dzdtzttz

, будем иметь

.)1(

1611ln8

)1(16

116

)1()1(16

)1(16

)1()1(16

cos16

22

2

22

2

2

22

22

2221

223

23

dzz

zzzdz

zz

zdz

dzz

zzz

dz

zz

dzt

dt

Последний интеграл найдем интегрированием по частям:

.11ln

41

)1(2121

)1(2)1(21

)1()1(

21

)1(,,

)1(,

)1(

2222

22

2

222222

2

czz

zz

zdz

zz

z

zzddz

zzvdzdu

zzdzdvzudz

zz


88

.20422042ln4204

22

2042sin

,204

16

421

11

1cos1sin1sinln4

cossin8

11ln4

18

11ln4

18

11ln8204

2

22

2

2222

2

222

cxxxxxxxxx

xxxt

xxxttgtc

tt

tt

czz

zzc

zz

zz

zzdxxx

Пример 9.79. Найти интеграл dxxx 21011 . Р е ш е н и е. Находим

dttdttdttt

dttdxtxdxxdxxx

)2cos1(18cos36cos6sin3636

cos6,sin65)5(36101122

22

,6

10116

51,6

5sin2sin91822 xxxtscoxtctt

.10112

56

5arcsin18

101118

56

10116

52cossin22sin

2

22

cxxxx

xxxxxxttt

Пример 9.80. Найти интеграл 52)3( 2 xxx

dx .

Р е ш е н и е. Это интеграл вида

dxcbxaxx

NMx2)(

. Поэтому сде-

лаем замену 2

22

2182052,,13,13

tttxx

tdtdx

tx

tx

. Тогда

31

41)15(15ln

521

21)15(

)15(52

1

21)15(

25

1820152)3(

22

2

22

22

2

xtctt

t

td

t

dt

ttt

tt

dtxxx

dx

.)3(2

)52(542ln

521

)3(2)52(5

32ln

521 22

cx

xxxc

xxx

xx

89


dxx

x

23

2

3

)41(.

Р е ш е н и е. Подынтегральную функцию представим в виде

23

23 )41(

xx . В нашем случае мы имеем интеграл от дифференциального би-

нома, причем 21,23,2,3

nmpnm – целое число. Поэтому делаем

замену .41,

41,41

2222 dttdxxtxtx

Значит,

dxx

x

23

2

3

)41(

.16

414116

11616

111161)1(

161 2

223

2

cxx

ctt

dttt

dttt


dxx

x4

52 )2(.

Р е ш е н и е. Запишем подынтегральную функцию в виде .)2( 25

24 xx

Здесь 125

231,

25,2,4

p

nmpnm – целое число. Поэтому по-

ложим 3222

222 )1(

2,1

2,1

2,12

t

dttdxt

xt

xtx

. Тогда

.)1()1(

232432

)1(2322

)1(2

)1(4)1(

122

)2(

22

23

22

22

22

6

32

225

2

2

4

52

dttt

tttdtttt

dtt

tt

dtttt

tdxx

x

Подынтегральную функцию последнего интеграла разложим на простей-

шие дроби: 2222

2

)1(1)1(1)1()1(23

tD

tC

tB

tA

ttt .

Освободившись от знаменателей, имеем .)22()()(23 232 DCBAtDCBAtDCBAtCAt

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений ,022,3,0 DCBADCBACA CBA

2 D , из которой находим 41,

45,

41,

45

DCBA .

Итак,

2222

2

)1(41

145

)1(41

145

)1()1(23

tdt

tdt

tdt

tdtdt

ttt

90

.2

,)1(21

1ln45

)1(41|1|ln

45

)1(41|1|ln

45

2

2

xxt

ct

tttc

tt

tt

Окончательно

.221

22ln

2524)2(

32)2( 2

2

22

3

32

4

52

cxxxxxx

xx

xx

dxx

x



9.684.

.41132 xx

dx 9.685.

.842 xx

dx

9.686.

.842 xx

dx 9.687.

.23 2 xx

dx

9.688.

.822 xx

dx 9.689.

.11122

252

dxxx

x

9.690.

.1

1332

dxx

x 9.691.

;2410

232

dxxx

x

9.692.

.)4)(2(3 2xx

dx 9.693.

.)( 33 2 xxx

dx

9.694.

.121

121 dxx

xx 9.695.

.521

523

3dx

xx

9.696.

.)3(3

313 4

6dx

xxx 9.697.

.1

4143

2

dxx

xxx

9.698.

.)7(1

74 3

dxx

x 9.699.

.6 53 2

3dx

xxx

9.700.

.21

23

6dx

xx 9.701.

.

21

)1(1

42 dx

xx

x

9.702.

.)5(5

73

3x

dxxx 9.703.

.

1333 2 xx

dx

9.704.

.3)3(

232 dx

xxx 9.705.

.

52)52(3 2 xxdx

91

9.706.

.27273 xx

dx 9.707.

.2929 4 xx

dx

9.708.

.16

123

dxx

x 9.709.

.12

dxxx

9.710.

.1434

3dx

xx 9.711.

.6)8(

9 dxxx

x

9.712.

.11 3 4

3

dxx

x 9.713.

.32

)1(2

3

dxxx

x

9.714. .dxxax 9.715. .5 2 dxx

9.716. .2 2 dxx 9.717. .76 2 dxxx

9.718. .25 2 dxxx 9.719. .43 2 dxxx

9.720. .23)1( 22 dxxxx 9.721. .4)2( 22 dxxxx

9.722. .)12()1( 323 dxxxx 9.723. .)24()2( 323 dxxxx

9.724.

.)136( 32 xx

dx 9.725.

.2)32( 22 xxxx

dx

9.726.

.86)116( 22 xxxx

dx 9.727.

.)3( 52

2

dxx

x

9.728.

.)6( 52

2

dxx

x 9.729.

.)22(

)1(52

2

dxxx

x

9.730.

.)21(

)1(32

2

dxxx

x 9.731.

.)24(

)2(32

2

dxxx

x

9.732.

.)( 322 ax

dx 9.733.

.)1(

124

2

dxx

xx

9.734.

.)2(2

2

2

dxx

xx 9.735.

.14)4( 22 xx

dx

9.736.

.

)1()28(

6

32

dxx

xx 9.737.

.2322

2

2

dxxxxx

9.738.

.11 2x

dx 9.739.

.2)1( 2 xxx

dx

9.740.

.3 2xxxdx 9.741.

.

2xxxdx

92

9.742.

.11 2xxx

dx 9.743.

.562)1( 2 xxx

dx

9.744.

.12xx

dx 9.745.

.4 2xxdx

9.746.

.22 xxx

dx 9.747.

.362)1( 2 xxx

dx

9.748.

.34)3( 2 xxx

dx 9.749.

.40285)3( 2 xxx

dx

9.750.

.3211

1632

dxxx

x 9.751.

.22

22

dxxxx

x

9.752.

.78

752

dxxx

x 9.753.

.75)2(

532

dxxxx

x

9.754.

.54)3(

12

dxxxx

x 9.755.

.13 3xdx

9.756.

.14 3xxdx 9.757.

.

)1( 3 2xxdx

9.758.

.)2(1)2( 3xx

dx 9.759.

.)2()1( 3 2xx

dx

9.760.

.33)1( 4 23 xxxx

dx 9.761.

.23 33 xx

dx

9.762.

.)1( 322 xx

dx 9.763.

.)32( 32

3

dxx

x

9.764.

.)75( 32

3

dxx

x 9.765.

.6126)2( 3 233 xxxx

dx

9.766.

.22

32

3

dxx

x 9.767.

.2

213dx

xx

9.768.

.12

2 dxxx 9.769.

.

111104 xx

dx

9.770. .1

5

4

dxx

x 9.771.

.)41(

6

3 23

dxx

x

9.772. .11143 dxxx 9.773. .35 33 dxxxx

9.774. .313 3 23 dxxx 9.775.

.12124 22 xxxx

dx

93


Вариант 1


1.

.332 xx

dx 2. .5

sin2sin dxxx 3.

.1

52 23

dxx

xx

4.

.8 2xxdx 5. .

2arcsin2 dxxx 6. dxxx 6 .

Вариант 2


1.

.4514 2xx

dx 2. .4cos3sin dxxx 3.

.1

122

23

dxx

xxx

4. .3sin 2 dxx 5. .4

sin)3( dxxx 6. x

dxcos39

.

Вариант 3


1.

.215 2xxdx 2. .3cos

2cos dxxx 3.

.3

2124122 23

dxx

xxx

4.

.32

2

xdxx 5. .

5)3( dxxarctgx 6. dxxx 532 2 .

Вариант 4


1.

.45 2 xx

dx 2.

.2cos33

sin2 3

dxx

x 3.

.5103

34 dxxx

x

4.

.14

72

dxxx

x 5. .7

ln dxxx 6. dxx

x25 .

Вариант 5


1.

.652 xx

dx 2. .4cos)16sin( dxxx 3.

.8 3x

dx

4.

.32323 xx

dx 5. .7sin5 dxxex

6. dxxx 4 .

94

Вариант 6


1.

.12 2 xx

dx 2. .4

cos2

sin dxxx 3.

.)3( 22x

dx

4.

.24 2xxdx 5. .)2ln( dxxx 6.

xxdx

ln25.

Вариант 7


1.

.)10(xx

dx 2.

.3sin5 x

dx 3.

.14

22

3

dxxx

xx

4.

.111

2

2

dxxx 5.

.5

sin dxxe x 6. 25 xxx

dx .

Вариант 8


1.

.21121 2 xx

dx 2. .)72(cos3 dxx 3.

.162

4

dxx

x

4.

.12573 dx

xx 5. .)23ln( 2 dxxx 6. dxxx 32 .

Вариант 9


1.

.42

3 dxxx

x 2. .3cos4 dxx 3.

.6

622

dxx

xx

4. .4

3

2

dxx

x 5. .5

sin)15( 2 dxxxx 6. xx

dxcos4sin72

.

Вариант 10


1.

.3312 2x

dx 2.

.

2sin43 x

dx 3.

.)2()1( 23 xx

dx

4. .10 2

dxx

x 5. .)5( 2 dxexx x 6. xx

dxcos3sin3

.

95

Глава 10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

10.1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция )(xf определена на отрезке .,ba Разбиением отрезка ba, назовем конечное множество точек ,,,, 10 nxxx таких что

.1210 bxxxxxa nn Отрезки kk xx ,1 называются частичными отрезками, число ,max

,1 knkx

где ,1 kkk xxx называется диаметром раз-

биения.

Выберем произвольно на каждом частичном отрезке точку kkk xx ,1 и построим сумму

,22111

nn

n

kkk xfxfxfxf

которая называется интегральной суммой или суммой Римана, соответ- ствующей данному разбиению отрезка ba, и выбору точек .i Рассмотрим предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е.

.10

lim

n

iii xf

Если существует этот предел, не зависящий от способа разбиения отрезка ba, и от выбора промежуточных точек ,i то говорят, что функция )(xf интегри-руема по Риману на отрезке ,,ba а сам предел называется определенным инте-

гралом и обозначается b

adxxf .)( Число а называется нижним пределом, число

b – верхним пределом интеграла, функция )(xf – подынтегральной функцией, выражение dxxf )( – подынтегральным выражением, а задача о нахождении

b

adxxf )( – интегрированием функции )(xf на отрезке ba, .

Если 0)( xf на ba, , то определенный интеграл b

adxxf )( геометриче-

ски представляет собой площадь криволинейной трапеции – фигуры, ограни-ченной линиями 0,,),( ybxaxxfy (рис. 10.1).

96

Основные свойства определенного интеграла

1. .)()( a

b

b

adxxfdxxf

2. .0)( a

adxxf

3. .)()()( b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf

4. .)()()()( 2121 b

a

b

a

b

adxxfdxxfdxxfxf

5. ,)()( b

a

b

adxxfcdxxcf где с – постоянная.

6. Если 0)(0)( xfxf для );( bax и ,ba то

.0)(0)(

b

a

b

adxxfdxxf

7. Если )()( 21 xfxf для );( bax и ,ba то

.)()( 21 b

a

b

adxxfdxxf

8. Оценка определенного интеграла: если )(xf интегрируема на отрезке ba, и Mxfm )( на ba, , где Mm, – некоторые числа, то

).()()( abMdxxfabmb

a

9. Если )(xf непрерывна на отрезке ba, , то существует такая точка ,,ba

что справедливо равенство )()( abfdxxfb

a (теорема о среднем значе-

нии).

Рис. 10.1

97

10. Если функция )(xf непрерывна и ,)()( x

adttfx то справедливо равенство

),()( xfx т.е. производная определенного интеграла от непрерывной функции )(xf по его переменному верхнему пределу х существует и равна значению подынтегральной функции при том же х.

Если функция )(xf непрерывна на отрезке ba, и )(xF какая-либо пер-вообразная для )(xf на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница

).()()()( aFbFxFdxxfa

bb

a

Пример 10.1. Вычислить интеграл 2

0

2dxx как предел интегральной сум-

мы. Р е ш е н и е. Так как ,2,0,)( 2 baxxf то разделим отрезок 2,0 на n

равных частей nn

abxk2

и выберем .kk x Получим

,22,22,,4,2,0 1210

nnx

nnx

nx

nxx nn

,2,,4,2 22

2

2

1

nnf

nf

nf n

.2223

232

nk

nnkxf kk


.1lim22limlim1

23

3

13

23

1

2

0

2

n

kn

n

kn

n

kkkn

knn

kxfdxx

Продифференцировав тождество 2132)1( xxxxxx nn три раза по х и положив затем 1x , можно найти, что

3

)1()1()1(1

nnnkkn

k и, значит,

.6

)12()1(3

)1()1(2

)1()1()1(11111

2

nnnnnnnnkkkkkkn

k

n

k

n

k

n

k


.38

6

)12()11(lim8

6)12()1(lim8 3

2

0

2

nn

nnnndxx

nn

98

Пример 10.2. Оценить интеграл

13

54

.1cos dx

xx

Р е ш е н и е. Так как ,1cos x то при 5x получим неравенство

.51

11cos 2

44

xxx Следовательно, ,58

1cos 2

13

54

dxxx т.е.

.32,01cos13

54

dxxx

Пример 10.3. Оценить интеграл

3

4

2 .cos52

xdx

Р е ш е н и е. Поскольку ,1cos0 2 x то 21

cos521

71

2

x

и

432

1cos52437

1 3

4

2

xdx или

3

4

2 .24cos5284

xdx

Пример 10.4. Вычислить среднее значение функции 33 1

xxy в ин-

тервале (1, 4).

Р е ш е н и е. Согласно теореме о среднем .)()()( abcfdxxfb

a Тогда

.)(1)(

b

adxxf

abcf В данном примере

4

13

3 114

1)( dxx

xcf

.4324

23

4322

2344

43

31

23

43

31 33333234

1

4

xx

Пример 10.5. Вычислить

2

13

2 .11 dxxx

x

Р е ш е н и е. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

.2ln2465

21

31

812ln

38

21ln

31112

12

33

2

1

2

x

xxdxxx

x

Пример 10.6. Вычислить 3

0

3 2 .dxxx


.95932

53

32 3

3

0

35233

0

32

21

3 2

0

3

xxdxxxdxxx

99


2

02

.5 xdx


.11,1

52arcsin

02

5arcsin

55

2

0 22

2

02

x

x

dxx

dx


1

0.

153e

dxxx


0

11ln83

183

18)1(3

153 1

0

1

0

1

0

exxdx

xdx

xxdx

xx eee

.113833 ee


0

1

2

.3

72 dxx

xx


.823ln28)2ln2871(3ln28

3ln2873

28723

721

00

1

20

1

2

xxxdxx

xdxx

xx

Пример 10.10. Вычислить 6

3

3 .dxex

Р е ш е н и е. ).1(3333

3 236

3

36

3

3

3

6

eeeeexdedxe

xxx


12

2

3 .2cos

dxx


.4811

81

31

21

212sin

312sin

21

2sinsin1212cos2cos2cos

2

123

12

2

212

2

212

2

3

xx

xdxdxxxdxx

100

Пример 10.12. Решить уравнение

x

xxdx

21 2

.2ln1arcsin


x xxx

xxd

xxdx

x

21

212

.6

lnarcsinlnarcsinlnarcsinarcsin

1arcsin2

1

Следовательно, имеем уравнение ,2ln6

lnarcsinln x откуда

,3

lnarcsinln x ,

21т.к.

3lnarcsin

xx .

23

3sin

x

Задачи для самостоятельного решения В задачах 10.1 – 10.3 найти интегралы составлением интегральных сумм и переходом к пределу.

10.1. .1

0 dxx 10.2. .

1

0

2 dxx 10.3. .

1

0 dxex

В задачах 10.4 – 10.9 оценить интегралы.

10.4. .)1(1

0

2 dxxx 10.5. .

252

02

2

dxxx 10.6. .sin

2

dxx

x

10.7. .82

1

3 dxx 10.8. .

1sin5

44

dx

xx 10.9. .

sin25

2

0

xdx

В задачах 10.10 – 10.12 найти среднее значение функции )(xfy на за-данном отрезке. 10.10. 2)( xxf на отрезке .5,4

10.11. 12)( 3 xxxf на отрезке .1,0

10.12. xxxf cos3sin25)( на отрезке .,2

В задачах 10.13 – 10.89 вычислить интегралы.

10.13. .676

1

dx

xx 10.14. .)1(

3

1

2 dxx

10.15. .21

2

2

dxxx 10.16. .131

0

263 dxxx

101

10.17. .27

1

3

dxx 10.18. .248

13

3

dx

xx

10.19. .14

1

3

dx

xx 10.20. .3

7

3 dxx

10.21. .45

0

2 dxxx 10.22. .

1

5,0

02

dx

xx

10.23. .1

5

12

dxx

x 10.24. .1

121

0

2

dxx

xx

10.25. .12122

0

dxxx 10.26. .

234

3

3

dxxx

10.27.

.13

1

022

dx

xx 10.28. .

2

12 xx

dx

10.29. .3

3

32

xdx 10.30. .

6

23

62

xdx

10.31. .12

6

322

xdx 10.32. .

134

1

22

xxdx

10.33. .32

5

22

xxdx 10.34. .

346

8

32

xxdx

10.35. .4

5

12 xxdx 10.36. .

54

1

02

xxdx

10.37. .12

12

02

dxxx

x 10.38. .1

1

04

dx

xx

10.39. .4

1

06

2

dxx

x 10.40. .1

1

08

3

dxx

x

10.41. .246

1

02

xxdx 10.42. .

45

5,3

22

xxdx

10.43. .232

2

75,02

xxdx 10.44. .

22

1

02

xxdx

10.45. .4

1

02

xdx 10.46. .

4

3

02

dx

xx

10.47. .4

5

02

dxx

x 10.48. .1

0

3 2

dxxe x

102

10.49. .23

0 dxx 10.50. .9

0

1

12 3

dxx x

10.51. .41

55,0

02

2arcsin

xdxx 10.52. .9

1

0

13

xdxx

10.53. .1

0 x

dxe x 10.54. .2

12

1

dxxe x

10.55. .1

0

dxexex 10.56. .

1

0 xx ee

dx

10.57. .1

0

215 3

dxxe x 10.58. .

ln

4

3e

e xxdx

10.59.

.ln11

2

e

xxdx 10.60. .ln

1

2

dxx

xe

10.61. .ln1

1dx

xxe

10.62. .sin

dxx

10.63. .4sin4

0

dxx 10.64. .sin4

0

2

dxx

10.65. .cos4

2

2

dxx 10.66. .cos

0

42

xdx

10.67. .cos

6

82

xdx 10.68. .

3cos

4

02

xdx

10.69. .5cos

5,0

02 x

dx 10.70. .sin2

0

3

dxx

10.71. .cos4

0

3

dxx 10.72. .2cos4

0

3

dxx

10.73. .sin2

2

4

dxx 10.74. .cos2

0

4

dxx

10.75. .7sin3sin

dxxx 10.76. .cossin

dxxx

10.77. .cossin2

0

2

dxxx 10.78. .cossin2

0

2

dxxx

10.79. .cos5cos2

0

dxxx 10.80. .4cos4sin12

4

2

dxxx

103

10.81. .sincos230

3

dxxx 10.82. .3

cos3

6sin0

dxxx

10.83. .cos

3

42

xtgxdx 10.84. .cossin

2

0

3

dxxx

10.85. .)cos(ln2

1e

dxx

x 10.86. .cos12

0

dxx

10.87. .1

1

02

dx

xarctgx 10.88.

.

11

4

02

xarctgxdx

10.89. .913arcsin

31

61 22

xxdx

10.2. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Если )(xf непрерывная на отрезке ba, функция, а tx – непре-рывно дифференцируемая функция на отрезке ,, такая, что ba,, и

,)(,)( ba то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле

).()()()()( tdtfdtttfdxxfb

a

Если функции )(xuu и )(xvv непрерывно дифференцируемые на от-резке ba, функции, то имеет место формула интегрирования по частям в

определенном интеграле b

a

b

avduuvudv

a

b.

Если функция )(xf нечетная функция, то

0)(

a

adxxf ;

если )(xf четная функция, то

aa

adxxfdxxf

0)(2)( ;

если )(xf периодическая функция периода Т, то при любом Ra

.)()(0

TTa

adxxfdxxf

104

Пример 10.13. Вычислить интеграл .73

2

dxxx

Р е ш е н и е. Сделаем замену ,7 xt из которой получим .2,7 2 dttdxtx Вычислим новые пределы интегрирования: если ,2x то

;3t если ,3x то .2t Поэтому

.1564

3189

5243

356

5322

37

52

7272)2(77

3

235

2

3

242

3

422

3

23

2

tt

dtttdtttdttttdxxx


1

23 dxxx

Р е ш е н и е. Положим .12 2 tx Тогда .2,2

122 dttdxxtx

Если

,1x то ;1t если ,2x то .7t Таким образом,

.4791301

152

30791

31

51

377

5749

41

31

51

41

41

21

211212

1

735

7

1

247

1

22

1

222

1

23

tt

dtttdttttdxxxxdxxx


12

5

dx

xx

Р е ш е н и е. Положим .4 tx Тогда .2,42 dttdxtx Если ,5x то ;3t если ,12x то .4t Значит,

.3

50129163

642

43

242424 3

434

3

24

3

212

5

ttdtt

tdtttdx

xx


0

24 dxxx

Р е ш е н и е. Пусть ,sin tx тогда .cos dttdx Если ,0x то ;0t если ,1x то .2t Отсюда находим:

105

2

0

2

0

2

0

223

2

0

232

0

2

2

0

242

0

241

0

24

0

2

812cos

814cos1

161

)2(sin2sin11612cos2sin12cos

12cos2cos2cos81

22cos1

22cos1

cossincossin1sin1

tdttdtt

tdtttt

dttttdttt

dtttdttttdxxx

.32

4sin6412sin

481

161

812sin

1614sin

641

161

32sin2sin

161

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

3

3

ttt

tttttt

Пример 10.17. Вычислить интеграл .1cos3

2

0

xdx

Р е ш е н и е. Применим подстановку ,2xtgt из которой ,2arctgtx

.12

2tdtdx

Если ,0x то ;0t если ,2x то .1t Следовательно,

1

022

1

02

1

02

22

2

0 221

1131

21cos3 t

dtt

dt

ttt

dtx

dx

.223ln22

1212ln

221

22ln

221

0

1

ttt


0

dxee

exx

x

Р е ш е н и е. Сделаем замену .xet Тогда tdtdxtxtex 2,ln2,2 и,

если ,0x то ;1t если ,2x то .et Значит,

e

xx

x

ttt

dttdxee

e

12

2

2

0 12

.21

1ln1ln42

42

1

eette

106

Пример 10.19. Вычислить интеграл .)ln3(2

2 e

edxx

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

xvx

dxdudxdvxudxxxx

xvdxxxdudxdvxudxx

e

e

e

e

e

e ,,,3ln)3(ln2)ln3(

,)3(ln2,,)ln3()ln3(

2

2

22

22

.10522424)31()32(2

)13()23()3(ln2)ln3(

222222

2222

222

eeeeeeeeeeee

eedxeexxxx

e

ee

e


3sin5

52

2

dxx

xx

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция – нечетная, следовательно,

.032

3sin5

52

2

dxx

xx


3

dxxarctgx

Р е ш е н и е. Так как подынтегральная функция – четная, то

2,

1,,2

2

2

3

0

3

3

xvx

dxdudxxdvxarctgudxxarctgxdxxarctgx

.33

43

3

111

03

121

22

0

3

0

3

0

3 3

02

22

3

02

22

xarctgx

dxx

xxarctgxdxx

xxarctgx


В задачах 10.90 – 10.113, 10.115 – 10.147 вычислить интегралы методом замены переменной.

10.90. .111

0 dxxx 10.91. .4

5

0 dxxx

107

10.92. .21

22

0

dxx

x 10.93. .13

3

34

xdx

10.94. .11

8

0

xdx 10.95. .71

4

1

3

dxxx

10.96. .343

32

0

22 dxxx 10.97. .96

32

0

2 dxxx

10.98. .2733

32

2

dxx 10.99. .33

0

2 dxx

10.100. .77

0

2 dxx 10.101. .1

5,0

0

2 dxx

10.102. .491

5,0

22 dxxx 10.103. .2

2

0

22 dxxx

10.104. .164

22

22 dxxx 10.105. .254

4,0

2,0

32 dxx

10.106. .1232

0

22 dxxx 10.107. .14

5,1

5,0

23 dxxx

10.108. .15310

3

0

xxdx 10.109. .

2

1

0

dx

xx

10.110.

.21

1

25,02

x

dx 10.111. .4

2

0

dx

xx

10.112. .163

35

31

xxdx 10.113. .

14

1

312xx

dx

10.114. Решить уравнение: .1212

2

x

xxdx 10.115. .

2

0

a

dxxa

x

10.116. .5

54

532

xxdx 10.117. .

1

2

32

xxdx

10.118.

.1

3

132

x

dx 10.119. .54

5

1

dx

xx

10.120. .22

8

2

dx

xx 10.121. .

1159

1

312

xxxdx

108

10.122. .11

222

2

dxx

x 10.123. .96

3

2

dx

xx

10.124. .16

4

02

2

dxx

x 10.125. .4

1

02

2

dxx

x

10.126. .1

1

12

2

dxx

x 10.127. .2)1(

1

022

dx

xxx

10.128.

.39

1

052

x

dx 10.129. .ln211

e

xxdx

10.130. .1

022 xx ee

dx 10.131. .12ln2

0

2 dxex

10.132. .1

22

0

2

dxe

eex

xx

10.133. .3

125ln

02

22

dxe

eex

xx

10.134. .2cos350

xdx 10.135. .

2sin20

xdx

10.136. .2cos3

4

6

xdx 10.137. .

2sin1

4

0

xdx

10.138. .3cos2

2

0

xdx 10.139. .

3cos23

3

0

xdx

10.140. .sin3

2sin3

0dx

x

x

10.141. .

2cos31

2sin

0dxx

x

10.142. .sin21

4

02

xdx 10.143. .3cos3sin

6

0

2 dxxx

10.144.

.113

42

2

dxtgx

xtg

10.145. .

2sin

2cos2

3

3

dxx

x

10.146. .2coscos

sin6

32 dx

xxx

10.147. .sinsin56

cos2

02 dx

xxx


10.148. .1arcsin1

12

2

dxx

xx

10.149. .4cossin3

3

3 dxxx

109

10.150. .367

7

23 dxxx

В задачах 10.151 – 10.184 вычислить интегралы интегрированием по частям.

10.151. .5,0

0

2 dxxe x

10.152. .2

0

3 dxex x

10.153. .)4(3

2

2dxex x

10.154. .cos2 dxxex

10.155. .2sin2

0

2 dxxe x

10.156. .2cos2

0

22 dxxe x

10.157. .3cos6

0

3 dxxe x

10.158. .2

3sin0

dxxex

10.159. .2cos2

0

23 dxxe x 10.160. .ln

2

1dxx

e

10.161. .)3ln(1

2dxx

10.162. .)1ln(11

2

2dxxe

10.163. .ln16

1dxxx 10.164. .41ln

5,0

5,0

2 dxxxe

10.165. .2

ln2

4

2 dxxx 10.166. .4ln5,0

5,0

2 dxxxe

10.167. .2

lncos22

2dxxe

10.168. .3

5cos0

3dxxx

10.169. .3

2sin43

0dxxx

10.170. .3

cos0

3dxxx

10.171. .cos2

0dxxx

10.172. .4

sin4

0dxxx

10.173. .cos2

0

2 dxxx

10.174. .sin4

0

2 dxxx

10.175. .2cos4

0

22 dxxx

10.176. .2

sin2

0

3 dxxx

10.177. .sin

2

42 dx

xx

10.178. .3

cos5sin3

3

32 dxxtgxxx

10.179. .cos

sin3

32 dx

xxx

10.180. .3

arcsin5,1

0dxx

110

10.181. .2arccos5,0

0dxx 10.182. .1

4

2dxxarctg

10.183. .2

32

0dxxxarctg 10.184. .

2)1arcsin(2

0dx

xx

10.3. Приближенное вычисление определенных интегралов (формула трапеций). Несобственные интегралы

Точное вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница не всегда возможно или целесообразно. В этих случаях, а также в случае, когда подынтегральная функция задана табличным способом, опреде-ленные интегралы вычисляют приближенно. Формула трапеций относится к одной из простейших формул прибли-женного вычисления определенных интегралов и имеет вид

b

a

n

ii

n yyyn

abdxxf ,2

)(1

1

0

где n – число частей, на которые разбивается отрезок ;, ba nixfybxxxxa iinn ,0;110 значения подынтегральной

функции в точках разбиения отрезка ., ba Заметим, что число n выбирается произвольно, и чем больше n, тем с большей точностью получим значение ин-теграла. Если функция )(xf имеет непрерывную вторую производную )(xf на отрезке ,, ba то абсолютная погрешность формулы трапеций выражается не-

равенством ,12

)()( 22

3

Mnabn

где

.)(max,2 xfMbax

Пример 10.22. По формуле трапеций, приняв ,5n вычислить

1

0 2 xdx и

оценить абсолютную погрешность полученных результатов.

Р е ш е н и е. В данном случае 2,0,2

1)(

nab

xxf и

.5,12,00 kkxxk Находим ;1;8,0;6,0;4,0;2,0;0 543210 xxxxxx

.31)(;

8,21)(

;6,2

1)(;4,2

1)(;2,2

1)(;5,002

1)(

5544

33221100

xfyxfy

xfyxfyxfyxfy

111

По формуле трапеций получаем

.4059,00296,22,0

3571,03846,04167,04545,02

333,05,02,02

1

0

x

dx

Оценим абсолютную погрешность. Для этого находим

,)2(

6)(;)2(

2)(;)2(

1)( 432 xxf

xxf

xxf

т.е. критической точки на

отрезке 1,0 функция 3)2(2

x не имеет. Поэтому, чтобы найти наибольшее

значение функции )(xf на отрезке 1,0 , надо сравнить значения )(xf на

концах данного отрезка: .272)1(,

41)0( ff Значит,

4

1)(max1,02

xfM

x, и .001,000083,0

12001

41

3001)5(

Пример 10.23. На сколько частей нужно разбить промежуток интегриро-вания, чтобы по формуле трапеций с точностью до 0,001 вычислить

интеграл .2

cos2

0dxx

Р е ш е н и е. Число отрезков n, на которые нужно разбить промежуток

интегрирования, найдем из неравенства ,12

)(2

23

nMab из которого

.12

)( 23

Mabn

Поскольку ,2

cos41)(;

2sin

21)(;

2cos)( xxfxxfxxf то

.41

2cos

41max)(max

20

2,0

2

xxfMxx

Значит,

.9,623,80001,01248

3

nn

112


В задачах 10.185 – 10.188 вычислить приближенно интегралы по формуле трапеций с точностью до 0,01.

10.185.

3

0.

2xdx 10.186.

2

1.

xdx

10.187. .2,1

0dxe x

10.188. .2

0

2dxe x

В задачах 10.189 – 10.220 по формуле трапеций вычислить интегралы, приняв .10n

10.189.

1

0.

1 xdx 10.190.

1

0.

21 xdx 10.191.

1

0.

31 xdx

10.192.

1

0.

41 xdx 10.193.

1

0.

51 xdx 10.194.

1

0.

61 xdx

10.195.

1

0.

71 xdx 10.196.

1

0.

81 xdx 10.197.

1

0.

91 xdx

10.198.

1

0.

101 xdx 10.199.

1

02 .

1xdx 10.200.

1

02 .

4xdx

10.201.

1

02 .

9xdx 10.202.

1

02 .

16xdx 10.203.

1

02 .

25xdx

10.204.

1

02 .

36xdx 10.205.

1

02 .

49xdx 10.206.

1

02 .

64xdx

10.207.

1

02 .

81xdx 10.208.

1

02 .

100xdx 10.209.

1

03 .

1xdx

10.210.

1

03 .

2xdx 10.211.

1

03 .

3xdx 10.212.

1

03 .

4xdx

10.213.

1

03 .

5xdx 10.214.

1

03 .

6xdx 10.215.

1

03 .

7xdx

10.216.

1

03 .

8xdx 10.217.

1

03 .

9xdx 10.218.

1

03 .

10xdx

10.219. 3

0.cos

dxx 10.220. 2

1.

xdx

В задачах 10.221 – 10.228 найти, на сколько частей нужно разбить проме-жуток интегрирования, чтобы по формуле трапеций вычислить интегралы с точностью до 0,001.

113

10.221. 3

1.

xdx 10.222.

2,1

0.sin dxx

10.223. 4

1.)1(ln dxxx 10.224.

3

0.

2xdx

10.225. 2

0.sin

dxx 10.226. 2

1.dxe x

10.227.

1

02 .

1 xdx 10.228.

2

1.

xdx

В задачах 10.229 – 10.232 вычислить приближенно интегралы по формуле трапеций и оценить абсолютную погрешность полученных результатов.

10.229.

5

1

2 .6,2 ndxx 10.230. 4

0.8, ndxx

10.231. 6

0

2 .6,3 ndxx 10.232. 4

0

2 .8,1 ndxx

10.233. Зная, что

1

02 ,

41

xdx вычислить приближенно число , воспользовав-

шись формулой трапеций при .10n Оценить абсолютную погрешность полученных результатов.

10.234. Зная, что 5

2,5,2ln

xdx вычислить приближенно значение ,5,2ln вос-

пользовавшись формулой трапеций при .8n Оценить абсолютную по-грешность полученных результатов.

10.235. Ширина реки 28 м; промеры глубины в поперечном сечении реки через каждые 2 м дали следующие результаты (х – расстояние от одного берега; у – соответствующая глубина):

х 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 у 0,2 0,9 1,5 2,1 2,7 3,5 3,2 3,1 3,6 2,8 1,6 1,3 0,7 0,5 0,3

Определить секундный расход Q воды в реке, если средняя скорость те-

чения v = 1,5 м/с. .,28

0

dxySVSQ

10.236. Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения пло-щади участка между рекой и прямой АВ проведены 11 перпендикуляров к АВ от реки через каждые 5 м (АВ = 60 м). Длины этих перпендикуляров оказались равными 3,28 м; 4,02 м; 4,64 м; 5,26 м; 4,98 м; 3,62 м; 3,82 м; 4,68 м; 5,26 м; 3,82 м; 3,24 м. Вычислить приближенное значение площа-ди участка.

114

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от неограниченных функций называются несобственными интегралами. Пусть функция )(xfy непрерывна на промежутке ;a и интегриру-ема на любом конечном его отрезке .,; baba Тогда несобственным интегра-

лом с бесконечным верхним пределом называется предел

b

abdxxf ,)(lim кото-

рый обозначается символом

adxxf ,)( т.е.

a

b

abdxxfdxxf .)(lim)(

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называет-ся сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы на промежутках b; и :);(

b b

aadxxfdxxf ,)(lim)(

b

cb

c

aadxxfdxxfdxxf .)(lim)(lim)(

Если сходятся оба интеграла в правой части последней формулы, то инте-

грал

dxxf )( называется сходящимся, и расходящимся, если хотя бы один из

них расходится. Если )(xf непрерывна для всех х отрезка ,, ba кроме точки с, в которой

)(xf имеет разрыв II рода, то по определению

b

c

b

a

c

adxxfdxxfdxxf

,)(lim)(lim)(

00

где и изменяются независимо друг от друга.

Несобственный интеграл b

abcacfdxxf ),)(()( называется

сходящимся, если оба предела в правой части равенства существуют, и расхо-дящимся, если не существует хотя бы один из них.

В случае ac или bc получаем

b

a

b

adxxfdxxf

),0()(lim)(0

или

115

b

a

b

adxxfdxxf .)0()(lim)(

0

При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения.

10. Если функции )(xf и )(x определены на промежутке ;a , интегрируе-мы на отрезке ,, Aa где aA и )()(0 xxf для всех ,ax то из сходи-

мости интеграла

adxx)( следует сходимость интеграла

adxxf ,)( а из рас-

ходимости интеграла

adxxf )( вытекает расходимость интеграла

adxx)(

(признак сравнения).

20. Пусть на промежутке ;a определены две положительные функции )(xf и )(x , интегрируемые на любом конечном промежутке ., ba Тогда,

если существует конечный предел ,0)()(lim

L

xgxf

x то интегралы

adxxf )(

и

adxx)( сходятся или расходятся одновременно (предельный признак

сравнения).

30. Если интеграл

adxxf )( сходится, то сходится и интеграл

adxxf )( . В этом

случае интеграл

adxxf )( называется абсолютно сходящимся.

40. Если при x функция 0)( xf является бесконечно малой порядка

по сравнению с ,1x

то интеграл

adxxf )( сходится при 1 и расходится

при .1

На практике часто для сравнения используется функция .1)( 2xx Из-

вестно, что

a xdx

сходится при 1 и расходится при .1

Аналогичные признаки сходимости можно указать и для интегралов от разрывных функций. Для сравнения в признаке 40 используют интеграл

)0()(

b

a xbdx или ,

)(

b

a axdx

который сходится при 1 и расходится при .1

116

Пример 10.24. Вычислить интеграл

1291

3 dxx

xarctg или установить его рас-

ходимость. Р е ш е н и е. Найдем

.15,0326

13361lim

163lim)3(3

31lim

913

22

22

2

112

arctgarctgaarctg

axarctgxarctgdxarctgdxx

xarctg

a

a

a

a

Данный интеграл сходится и приближенно равен 0,15.

Пример 10.25. Вычислить интеграл

41 22 xxdx или установить его

расходимость. Р е ш е н и е. Разложив подынтегральную функцию, находим:

0

0lim

31lim

31

4lim

31

4lim

31

1lim

31

1lim

31

431

431

131

131

431

131

41

02

0

2

02

0

20

2

0

2

02

0

22222

b

aarctgxarctgx

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xdx

xxdx

b

b

abaa

b

baa

.6

026

12

0610

231

20

31

221lim

31

221lim

31

0

0

b

a

xarctgxarctgba

Данный интеграл сходится и равен 6 .

Пример 10.26. Исследовать интеграл

13

21 dxx

x на сходимость.


.211lnlnlim

31

21

21limlnlim

31

21lim

lim31lim

311

32

32

13

3

1

3

13

3

13

13

2

11

aa

xx

xxddxx

xxd

xdxdx

xx

aaaa

a

a

a

a

aa

Исходный интеграл расходится, так как расходится один из интегралов в пра-вой части последнего равенства.

117

Пример 10.27. Исследовать сходимость интеграла 2

0

2

cossin

dxxx .

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при

.2

x Следовательно,

211

12

sin

12

sinlnlim

21

2sinlim

1sin1sinln

21lim

sinlim1sin)(sinlim)(sinlim

sin1cos)cos(lim

sin1coscos

cossin1

11sincos

cossincossin

cossinlim

cossin

000

2

0 02

2

0 00

2

0

2

0202

2

2

2

222

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

xx

xx

xdxd

dxx

xdxxx

xx

xxx

xxxx

xdxxdx

xx

Интеграл расходится.

Пример 10.28. Исследовать сходимость интеграла

3

02 .

)2(xdx

Р е ш е н и е. Функция 2)2(1x

имеет бесконечный разрыв при .2x

Значит,

1

1

2

0

2

0

2

0

3

222

3

02 )2()2(lim

)2()2()2(

xdx

xdx

xdx

xdx

.11lim211lim

32

1lim2

1lim)2()2(lim

2010

20

1

0

3

2

2

0

21

212

2 20

2

xxxdx

Интеграл расходится.

Пример 10.29. Исследовать сходимость интеграла

181 x

dx .

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция 811)(x

xf

в промежутке инте-

грирования меньше, чем .1)( 8xx Исследуем на сходимость :

18

xdx

118

,71

71

71lim

171limlim 77

1

8

18

aa

xdxx

xdx

aa

a

a т.е. интеграл

18x

dx схо-

дится, а, значит, и

181 x

dx также сходится на основании признака сравнения.

Пример 10.30. Исследовать сходимость интеграла .cos

13 dx

xx

Р е ш е н и е. Так как 3331coscosxx

xx

x и

a

adxx

xdx

1

3

13 lim

,21

21

21lim

21lim 22 1

ax aa

a то интеграл

13x

dx сходится, а тогда, со-

гласно признаку сравнения, сходится и интеграл .cos

13

xdxx

Следовательно, на

основании признака 30 интеграл dxx

x

13

cos сходится.


В задачах 10.237 – 10.281 вычислить несобственные интегралы или уста-новить их расходимость.

10.237.

22 .

xdx 10.238.

3.

2xdx

10.239.

.

1162 xxdx 10.240.

02 .

4xdx

10.241.

.

1 2xdx 10.242.

.

222 xxdx

10.243.

32 .

10352 dx

xxx 10.244.

0

2 .11 dx

xx

10.245.

.

752 2 xxdx 10.246.

22 .

2xxdx

10.247.

03 .

1 xdx 10.248.

a x

dx .0,

10.249.

1.nx

dx 10.250.

12 .

1 xdx

119

10.251.

02 .

4dx

xx 10.252.

12 .

)1(21 dx

xxx

10.253.

.

12 xxdx 10.254.

1.

1xxdx

10.255.

05 .

)5(xdx 10.256.

1.

xdx

10.257.

1.

xdx 10.258.

22

.1xx

dx

10.259.

122

.1x

dx 10.260.

1.

xxdx

10.261.

12 .

xxdx 10.262.

122

.1xx

dx

10.263.

1

3 .dxe x 10.264.

0.dxe x

10.265.

0.2 dxx x 10.266.

e xxdx .ln

10.267.

e xxdx .ln 2 10.268.

0.2ln dxx

10.269.

0

2.dxxe x 10.270.

0

22 .dxex x

10.271.

3.

ln 4e xx

dx 10.272.

12 .dx

xxarctg

10.273.

02 .

1dx

xxarctg 10.274.

12 .

412 dxx

xarctg

10.275.

0

2 .cos dxxe x 10.276.

0.cos dxxx

10.277.

0.5sin dxx 10.278.

0.cos dxx

10.279.

0.7sin dxxe x 10.280.

0232

.1

dxx

xarctg

10.281.

0.dxe px

120

В задачах 10.282 – 10.306 исследовать на сходимость несобственные ин-тегралы.

10.282.

03

.1 xdx 10.283.

2 4.

1dx

x

x

10.284.

23 3

.1x

dx 10.285.

.

122 dx

xx

10.286.

1 3 2.

1xx

dx 10.287.

024

2

.1

dxxx

x

10.288.

25 3

7 2

.1

23x

x 10.289.

0

2.dxe x

10.290.

110 .

1 xdx 10.291.

12

.xxx

dx

10.292.

.21

132 dx

xxx 10.293.

12 .

112xdx

10.294.

0.dxe x 10.295.

1.dx

xe x

10.296.

12 .

2

dxx

e x 10.297.

1.)1ln( dx

xx

10.298.

1

2

.1ln dxx

x 10.299.

1.2cos1 dx

x

10.300.

03

.1

dxx

xarctgx 10.301.

02 .

12cos dxx

x

10.302.

0

2

.sin dxx

x 10.303.

13 .cos dx

xxx

10.304.

12 .

sindx

xxx 10.305.

0

2 .sin dxx

10.306.

02 .sin dx

xx


10.307. 1

0.

xdx 10.308.

4

0.

xxdx

10.309.

6

2 3 2.

)4( xdx 10.310.

2

0 3 2.

)1(xdx

121

10.311.

1

0.

)1( xxdx 10.312.

4

22

.86 xx

dx

10.313.

1

02

.1

dxx

x 10.314.

1

02

.1 xdx

10.315.

2

0 2

3.

4dx

x

x 10.316.

3

12

.1

dxx

x

10.317.

2

0542

.1

dxx

x 10.318. 1

03

2

.2 dxxxx

10.319.

3

0.

33 dx

xx 10.320.

3

02

2

.9

dxx

x

10.321. 1

05 3

33.2 dx

xxx 10.322.

2

03 .

1xdx

10.323. a

dxxa2

0.2 10.324.

adx

xaa

022

.

10.325.

2

1.

1xdxx 10.326.

2

12

.1xx

dx

10.327.

2

122

.1xx

dx 10.328.

3

24 2

.42

3 dxx

x

10.329.

2

0 2

5

.4

dxx

x 10.330. 5,0

02 .

ln xxdx

10.331. 1

0.ln dxx 10.332.

1

0

2 .ln dxxx

10.333.

0

13

1

.dxx

e x

10.334. 1

0

2 .ln dxxx

10.335.

1

02

.1

arcsin dxx

x 10.336.

0

12

.1

arccos dxx

x

10.337.

1

23

.)1ln()1(

e

xxdx 10.338.

1

0.

xdx

В задачах 10.339 – 10.375 исследовать интегралы на сходимость.

10.339.

2

1.

xdx 10.340.

2

0.

2 xdx 10.341.

1

02 .

5xxdx

10.342.

2

02 .

)1(xdx 10.343.

3

12 .

)2(xdx 10.344.

3

02 .

)1(xdx

122

10.345.

1

03 .

1 xdx 10.346.

2

22 .

42 dx

xx 10.347.

1

12 .

4xxdx

10.348.

3

03 .

27 xdx 10.349.

1

042 .

xxdx 10.350.

1

03 4

.1 xdx

10.351.

1

04 .

1 xdx 10.352.

1

0.

21 dx

xxx 10.353.

1

02

.xx

dx

10.354.

0

23 .

1)1( xxdx 10.355.

e

xedx

0.

1 10.356.

1

02 .

ln xxdx

10.357. e

xxdx

13 .

ln 10.358.

1

0.

cos1dx

xe x

10.359.

1

0

3 2

.1

1ln dxe

xx

10.360.

1

0sin

3.

11ln dx

ex

x 10.361. 2

0.)ln(sin

dxx

x 10.362.

2

0sin

5 3

.1

1ln dxe

xx

10.363.

1

03 .

1xe

dx 10.364. 2

0.

sin

xdx 10.365.

2

02 .

cos

xdxx

10.366. 1

0.)sin(ln dxx 10.367.

1

0.)cos(ln dxx 10.368.

5

0.cos dx

xx

10.369.

1

03 2

2

.1

cos dxxx 10.370.

2

02 .1sin

xdx

x 10.371.

1

03 .

1cosdx

xx

10.372. 2

0.

dxctgx 10.373.

0.dxtgx 10.374.

1

0.

xtgxdx

10.375. 4

0.

sin3cos

dxxx

10.4. Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравне-нием ,,,0)()( baxxfxfy то площадь плоской фигуры, ограничен-ной этой кривой, прямыми bxax , и осью Ох (рис. 10.2), вычисляется по

формуле b

adxxfS ,)( причем .0S

123

Если baxxf ,,0)( (рис. 10.3), то в этом случае

b

a

b

adxxfdxxfS .)()(

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми ,, dycy непрерывной кривой dcyygygx ,,0)()( и осью Оу (рис. 10.4), вычис-

ляется по формуле d

cdyygS .)(

Если криволинейная трапеция ограничена кривыми )(),( 21 xfyxfy

baxxfxf ,),()( 21 (рис. 10.5), то ее площадь равна

.)()( 12 dxxfxfSb

a

Рис. 10.4

у

х

х = g(y) d

с

0

у

х у = f 1 (х)

а b 0

Рис. 10.5

у = f 2 (х)

у х

у = f (х)

а b 0

Рис. 10.3

у

х

у = f (х)

а b 0

Рис. 10.2

124

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми dycy , и кривы-ми )(),( 21 ygxygx dcyygyg ,),()( 21 (рис. 10.6), то ее площадь

вычисляется по формуле .)()( 12 dyygygSd

c

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми ,, bxax осью Ох и кривой, заданной параметрическими уравнениями

,,),(),( 21 ttttyytxx находится по формуле

2

1

)()(t

tdttxtyS

при условии, что )(txx строго возрастает на 21, tt . Если же )(txx строго

убывающая на 21, tt функция, то 2

1

.)()(t

tdttxtyS

Пример 10.31. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

400,sin xyxy (рис. 10.7). Р е ш е н и е. Данная фигура является криволинейной трапецией, приле-гающей к оси Ох, поэтому ее площадь

.)ед. кв.(2211

4sin

cossin4/

0 0

4/

xdxxS

d

х

х = g1(у)

с

у

0

Рис. 10.6

х = g2(у)

у

х О /4 /2

Рис. 10.7

125

Пример 10.32. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью

,122 yx касательной к ней в точке

22;

22 и осью Ох (рис. 10.8).

Р е ш е н и е. Уравнение касательной имеет вид ,00 xxkyy где уг-

ловой коэффициент .1

22

122

2

xx

xyk Следовательно,

2

22

22 xyxy

искомое уравнение касательной. Касательная пересекает ось Ох в точке .0;2B Найдем площадь за- штрихованной фигуры АВС:

212

то,1 если;4

то,22 если,cos,sin

122112

1

22

21

22

222

22

2

2

2

txtxdttdxtx

dxxxxdxxdxxS

ед.). кв.(8

42sin41

21

412cos1

21

41cos1

41

4

2

4

22/

4/

2/

4/

2

ttdttdtt

Пример 10.33. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 2,2 2 xyxxy (рис. 10.9).


у

х

А

В С 0

Рис. 10.8

2

2

2

2

2 А

В

С

Рис. 10.9

– 1

– 3

2

у

х

126

Найдем точки пересечения данных кривых. Для этого решим систему

уравнений:

,2,2 2

xyxxy ,02,22 22 xxxxx ,3,1 11 yx

.0,2 22 yx Следовательно, кривые пересекаются в точках А (–1; –3) и С (2; 0). Таким образом, искомая площадь фигуры АВС

.)ед. кв.(292

21

3142

38

221

31222

1

2232

1

22

1

2

xxxdxxxdxxxxS

Пример 10.34. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 02,432 yxxy (рис. 10.10).


Найдем точки пересечения кривых:

,2,432

yxxy

,0103,4)2(3 22 yyyy .5,2 21 yy Находим площадь фигуры:

.18343

310

21

91

310

31

34

312

2

5235

2

25

2

2

yyydyyydyyyS

Пример 10.35. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой taytax 33 sin,cos (рис. 10.11).

Р е ш е н и е. Вычислим площадь 1S ее части, ограниченной дугой АВ, и результат увеличим в 4 раза.

Если ,0x то ;2

t если ,ax то .0t

34

31 2

yx

–2

х = у + 2

5

7

Рис. 10.10

х

у

О

127

02

02

222

0

22

0

22

2

0

2322

0

22

22

0

4220

2

31

832sin

163

24cos1

83)2(sin2sin1

163

12cos2cos2cos83

22cos1

22cos13

cossin3)sin(cos3sin

tatadttatdta

dttttadttta

dtttadtttataS

.32

316

332

3

1634sin

643

1632sin

1612sin

163

222

222322

02

02

02

02

aaa

atatatata

Искомая площадь 8

342

1aSS

(кв.ед).

Задачи для самостоятельного решения В задачах 10.376 – 10.497 найти площадь фигуры, ограниченной задан-ными линиями.

10.376. .0,2 2 yxxy 10.377. .0,183 2 yxxy

10.378. 24 xxy и осью Ох. 10.379. .2,12 yxy

10.380. .1,1,12,0 2 xxxyy

10.381. .2,2 xyxy 10.382. .3,2 xyxxy

у

х – а

– а

а

А

В

Рис. 10.11

0

128

10.383. .13,322 xyxxy 10.384. .10,4231 2 xyxxy

10.385. .2, 2xxyxy 10.386. .27,27 2 yxxxy

10.387. .3,0,2 xyxy 10.388. .0,,22

2

xxyxxy

10.389. .0,1),1(2 2 xxyxy 10.390. .0,2,2 yxyxy

10.391. .)1(,24,0 2 xyxyy

10.392. ,42,0 xyx осью Ох и .12 xy

10.393. .2,1,0,0 2xyxyxy

10.394. .431, 22 xyxy 10.395. .2, 22 xxyxy

10.396. .42,22 22 xxyxxy

10.397. .1,0,1,2 22 xxxyxy 10.398. .)0(6,0,193 23 xyxxxxy

10.399. .3,42 yxyx 10.400. .0832,82 yxxy

10.401. .43,2 xyxy 10.402. .24,322 xyxxy

10.403. .,2,0 xyxyy 10.404. .22,2 xyxy

10.405. .0,34, yxyxy 10.406. .,2 xyxy

10.407. .,2,3 xyxyxy 10.408. .4,2 222 xxyxy

10.409. .)1( 22 xy

10.410. 562 xxy и осями координат.

10.411. .232,

21 2 xyxy 10. 412. .42, 22 xxyxy

10.413. .0,2, xxyxy 10.414. .02,2 yxxy

10.415. .062,4 22 xxyxy 10.416. .5,2,1 22 yxyxy

10.417. .4,2 222 xxyxy 10.418. .4824,168 22 xyxy

10.419. .0124,962 yxxxy 10.420. .3,22 yxxy

10.421. .0,342 yxxy 10.422. .16,6 222 yxxy

10.423. .8,2 222 yxyx 10.424. .0,422 xxy

10.425. .0,23 2 yxxy 10.426. .2, 22 xyxy

10.427. .4,42 xyxxy 10.428. .0,6 2 yxxy

10.429. .3,12 xxy

129

10.430. .1,6,106 22 xxxyxxy

10.431. .1,762 xyxxy 10.432. .5,562 xyxxy

10.433. .7,762 xyxxy 10.434. .1,562 xyxxy

10.435. .2,22 xyxy 10.436. .3,12 yxxy

10.437. .2,92 xyxy 10.438. .4,4 22 yxxy

10.439. .1,122 xyxy 10.440. .0,9 2 yxy

10.441. .0,542 xxyy 10.442. .0,42 xxy

10.443. .,2 2 xyxxy 10.444. .9,9 22 yxxy

10.445. .52,2 yxxy 10.446. .1,0,2,2 xxeyxy x

10.447. .2,0, xyey x 10.448. .,3 xyxy

10.449. .0,2,1,1 yxx

xy 10.450. .

25,

21,0,1

2 xxyx

y

10.451. .1,1,42 xyx

xy 10.452. .6,5 xy

xy

10.453. .4,3 yxxy 10.454. .5,6 xyx

y

10.455. .6,6,5 xxy

xy 10.456. .2,,1

xxyx

y

10.457. .0,9,,9 yxxy

xy 10.458. .06,0,2 yxxy

10.459. ., 32 xyxy 10.460. .2

,4,0,2

2

xxyxyxy

10.461. 2,1,132

xxx

xxy и осью Ох.

10.462. .3,0,0, xyxey x 10.463. .0,2,2 xyy x

10.464. .23,12,12 33 yyy xx 10.465. .2,

21,0,log 2 xxyxy

10.466. .0,,ln yexxy 10.467. .0,2,1 yxey x

10.468. .0,1,1 2 xeyey x 10.469. .0,1, xxey x

10.470. .0),0,0(2,4 222 xyxxxyyx

10.471. .9,3 22 yxxy 10.472. .9,3 2yxyx

10.473. .2

,21,cos

xxyxy 10.474. .0,0,sin xyxy

10.475. .)0(0,1,2sin xxyxy

130

10.476. xxxy ,0,6sin и осью Ох.

10.477. .4

,4

3,0,cos xxyxy 10.478. .3,22

xyxy

10.479. .7,4

4 2

xyx

y

10.480. .sin12cos5,sin5cos12 ttyttx 10.481. Одной аркой циклоиды )cos1(3),sin(3 tyttx и осью Ох

.)20( t 10.482. tytx sin2,cos3 (эллипс).

10.483. ,82 2 xxy касательной к этой параболе в ее вершине и осью ординат.

10.484. 162 xy и касательными к этой параболе, проведенными из начала координат.

10.485. 942 xxy и касательными к ней, проведенными в точках с абсцис-сами 31 x и .02 x

10.486. 241 xxy и касательными к ней, проведенными в точках с абсцис-сами 01 x и .32 x

10.487. 3xy и прямой, проходящей через точки (1; 4), (0,5; 6).

10.488. 102 xy и касательными к этой параболе, проведенными из точки (0; 1).

10.489. ,2 2xy осью Ох и касательной к кривой 22xy в точке ,, 00 yx где .20 x

10.490. 22 xxy и касательной к кривой 3ln xy в точке с абсциссой .1x

10.491. 3,3 xey x и прямой, являющейся касательной к линии xey 3 в точ-ке с абсциссой .0x

10.492. 0,0,2

0cos

xyxxy и прямой, являющейся касательной к

линии xy cos в точке .4

x

10.493. К эллипсу 1416

22

yx проведена касательная в точке .3;2C Найти

площадь криволинейного треугольника АВС, где А (4; 0) – вершина эллипса, а В – точка пересечения касательной с осью Ох.

10.494. 2xy и нормалью к ней, проведенной через точку параболы с абсцис-сой .1x

131

10.495. 22xy и нормалью к ней в точке (2; 2). 10.496. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного ду-

гами эллипсов .)(1,1 2

2

2

2

2

2

2

2

baay

bx

by

ax

10.497. Круг 7522 yx разделен гиперболой 110012

22

yx на три части. Найти

площадь средней части.

Вычисление объема тела вращения Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограни-ченной кривой ),(xfy осью Ох и прямыми ,, bxax вокруг оси Ох (рис. 10.12), находится по формуле

b

a

b

adxxfdxyV .)(22

Если вокруг оси Ох вращается фигура, ограниченная кривыми baxxfxfxfyxfy ,),()(0),(),( 2121 и прямыми ,, bxax то объем

тела вращения вычисляется по формуле

b

adxxfxfV .)()( 2

12

2

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой ),(ygx осью Оу и прямыми dycy , (рис. 10.13), определяется по формуле

d

c

d

cdyygdyxV .)(22

у

О а b

y = f(x)

х

Рис. 10.12

132

Если фигура ограничена кривыми )(),( 21 ygxygx

dcyygyg ,),()(0 21 и прямыми ,, dycy то объем тела, полученный при вращении этой фигуры вокруг оси Оу, можно найти по формуле

d

cdyygygV .)()( 2

122

Пример 10.36. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 6,3,0,9 xxyxy (рис. 10.14). Р е ш е н и е. Находим

.2

2731

618181819

3

66

3

26

3

2

xdxxdx

xV

Пример 10.37. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 0124,4 2 yxxy (рис. 10.15).

0 х

у

Рис. 10.13

d

c

)(ygx

х

у

3 6

23

3

0

Рис. 10.14

xy9

133

Р е ш е н и е. Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систе-му уравнений

.3,4

,4

,012

,4

,0124,4

21

2

2

22

xx

xy

xx

xyxyxy


3

4

423

4

222

1616239

443 dxxxxdxxxV

.1203754

564

341236

80243

169

42727

801

481

439

4

3532

xxxx

Пример 10.38. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями 5,1,5 yyxy и осью Оу (рис. 10.16). Р е ш е н и е.

х

у

О 5

5

1

yx 5

Рис. 10.16

Рис. 10.15

у

х О 3

3

– 4

4у + х – 12 = 0

4у = х2

134

Искомый объем

.201512525255

1

55

1

25

1

2

ydyydy

yV

Пример 10.39. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси

Оу фигуры, ограниченной линиями 0,2

arccos,6

arccos yxyxy

(рис. 10.17). Р е ш е н и е.

Так как ,6

arccosxy то 6x и ;;0;cos6 yyx при .2

0 yx

Аналогично для ,2,2

arccos xxy .;0;cos2 yyx Значит,

.82sin2116

)2cos1(16cos32)cos2()cos6(

2

2/

0

2/

0

22/

0

22

0

2/

yy

dyydyydyyyV

Задачи для самостоятельного решения В задачах 10.498 – 10.548 найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной данными кривыми.

10.498. .3,0,62 xyxy 10.499. .5,25,0,254 xxyxy

10.500. ., 22 yxxy 10.501. .8,4 32 yxyx

10.502. .2,0,,1 xyxy

xy 10.503. .0,)2(8,2 22 yxyxy

2 6 –6 –2

x = 6 cos y

x = 2 cos y

y

x 0

2

Рис. 10.17

135

10.504. .0,2,22 xyxy 10.505. .07,18

2

yxxy

10.506. .4,2 32 xxy 10.507. .0,4,1,4 yxxxy

10.508. .2,0,)1( 2 yxyx 10.509. .0,1,2 yxyx

10.510. .0,2,1,2 yxxxy 10.511. .0,)4( 32 xxy

10.512. .,4 2 xyxxy 10.513. .0,2,3 yxxy

10.514. .0,652 yxxy 10.515. .2,24 22 xxyxxy

10.516. .1,1,23 yxxy 10.517. .0,02,2 2 xyxxxy

10.518. .1,2,0,12 xyxxyx 10.519. .,3 xyxy

10.520. .2,1,2 xyxy 10.521. .2,2 2 xyxxy

10.522. .8,16

64 22 yx

xy

10.523. .5,0,10)52( 2 yxxy

10.524. .0,0,log2,2 2 yxxyy x 10.525. .0,1, yxexy x

10.526. .0,1, yxxey x 10.527. .0,2/0,2sin yxxy

10.528. .0,2

,sin yxxy 10.529. .0,sin,sin3 xxyxy

10.530. .2/0,0,sin,cos xyxyxy 10.531. .2/0,cos,cos5 xxyxy

10.532. .,2

sin 2xyxy

10.533. .0,,2

yaxeeay ax

ax

10.534. .242 xxy 10.535. .)0(2,222 aayayx

10.536. .,22 axaxy 10.537. .2,,0,2 axaxyaxy

10.538. .,0,22 axypxy 10.539. .0,)(2,2 22 yaxqyxpy

10.540. .2,0,)( 2 ayxaxay 10.541. .2,222 axayx

10.542. .)0(115

,1925

22

22

xyxyx 10.543. .1925

,1259

2222

yxyx

10.544. .,12

2

2

2

haxby

ax

10.545. .,12

2

2

2

hxby

ax

10.546. .12

2

2

2

by

ax

10.547. .),(0,0,)()( 222 RyRxyxRRyRx 10.548. .sin,cos tbytax

136

В задачах 10.549 – 10.582 найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной данными кривыми. 10.549. .0,2 2 yxxy 10.550. .,42 xyxy

10.551. .0,42 xxy 10.552. .8, 22 yxxy

10.553. .0,1,2 yxyx 10.554. .0,2,3 yxxy

10.555. 2,1,4 xxxy и осью Ох. 10.556. .2,4 23 yxy

10.557. .8,0,3 yxxy 10.558. .7,3,0,4 xxyxy

10.559. .38,)1(38 2 yxy 10.560. .0,)4( 32 xxy

10.561. .0,4, yxxxy 10.562. .2,422 yyx

10.563. .03,93 2 yxxy 10.564. .432,44 22 xyxy

10.565. .0,0,2 yxyx 10.566. .0,3

arccos,5

arccos yxyxy

10.567. .622 yx 10.568. .242 yyx

10.569. .3/23/23/2 ayx 10.570. .0,2

,arcsin xyxy

10.571. .145

22

yx 10.572. .1,0,arcsin xyxy

10.573. .0,1,2

0,sin xyxxy 10.574. .1,20,cos yxxy

10.575. .0,,6 2 xeyey xx 10.576. .0,0, yxayx

10.577. .)0(,,0,2 babxaxykxy

10.578. .2,)(2 22 apyaxpy 10.579. .,2

ayxaxay

10.580. .222 ayx 10.581. .12

2

2

2

by

ax

10.582. .)cos1(),sin( tayttax

10.583. Плоскость, перпендикулярная к оси параболоида вращения, отсекает от него сегмент, радиус основания которого r и высота h. Найти объем сегмента.

10.584. Определить объем бочки, высота которой равна h, диаметр каждого из оснований – d, диаметр среднего сечения – D. Осевые сечения боковой поверхности являются параболами с вершинами на окружности средне-го сечения.

137

Вычисление длины дуги кривой Если дуга кривой задана уравнением )()( bxaxfy и функция )(xf имеет непрерывную производную в промежутке ,; ba то длина дуги кривой, содержащейся между двумя точками с абсциссами ,, bxax вычисляется по формуле

b

a

b

adxydxxfl .1)(1 22

Если кривая задана уравнением )(ygx в промежутке dc; и функция )(ygx имеет непрерывную производную в этом промежутке, то длина дуги

кривой определяется по формуле

d

c

d

cdyxdyygl .1)(1 22

Длина дуги кривой, заданной параметрически )();( 21 tytx ,21 ttt где )(),( 21 tt – непрерывно дифференцируемые функции, выра-жается формулой

2

1

222

1

22

21 .)()(

t

t

t

tdtyxdtttl

Пример 10.40. Найти длину дуги линииx

ysin

1ln от 3

x до .3

2x

Р е ш е н и е. Поскольку ,,sin

1ln xctgyx

y то

.0986,13ln31ln3ln

21

1cos1cosln

21

1cos)(cos

sinsin

sinsincos1

3

32

3/2

3/2

3/2

3/2

3/2

3/

3/2

3/2

2

xx

xxd

xdxx

xdxdx

xxl

Пример 10.41. Вычислить длину дуги параболы xy 82 от вершины до точки А (8; 8).

Р е ш е н и е. Из уравнения параболы 4

,8

2 yxyx и у изменяется от 0

до 8, следовательно,

138

.52ln416415816ln416

4158

164

16

164158

164116

4

,16

,,161641

161

8

0

228

0

2

8

0 2

8

0 2

28

0 2

22

22

8

0

28

0

2

0

8

0

8

dyyyydyy

y

dydyy

ydyy

yyy

yvy

dyydudydvyudyydyyl

Мы получили уравнение, относительно 8

0

2 ,16 dyy из которого найдем, что

8

0

2 52ln851616 dyy и, значит,

.52ln2541641 8

0

2 dyyl

Пример 10.42. Найти длину дуги линии ,cos2sin22 ttttx

.)0(sin2cos2 2 ttttty

Р е ш е н и е. Найдем .sin)(,cos)( 22 tttytttx Тогда

.33

1sincos3

3

0

2

0

2424

0

tdttdtttttl

Пример 10.43. Найти длину дуги линии ,cos6sin8 ttx tty cos8sin6 от 0t до .2/t

Р е ш е н и е. Найдем ,sin8cos6)(,sin6cos8)( tttytttx

.10100

sin64cossin96cos36sin36cossin96cos64

)()(2222

22

tttttttt

tytx

Следовательно, .51010)()(0

2/2/

0

2/

0

22

tdtdttytxl


В задачах 10.585 – 10.623 найти длину дуги кривой.

10.585. .222 ayx 10.586. .)20(4

2

xxy

10.587. 24 xy между точками пересечения ее с осью Ох.

139

10.588. .)0(2

42

yxy 10.589. .)10(2 yyx

10.590. 32 xy от начала координат до точки .55;5

10.591. xy 42 от вершины до точки .2;1

10.592. .)110(2 2/3 xxy 10.593. .)90(54 4/5 xxy

10.594. .)141(12 2 xxxy 10.595. .)10(2

42 xxxy

10.596. .)320()1(32 3 xyx

10.597. 32 xy от точки (0; 0) до точки (4; 8).

10.598. .)22(42 2 xxy 10.599. .)30(32

xxxy

10.600. .)10(21 2 xxy

10.601. ,32 xy отсекаемой прямой .5x

10.602. .)10(2 xxy 10.603. .)30(32 2/3 yyx

10.604. ,32 2 xy отсеченной осью Ох.

10.605. ,)1( 32 xy отсеченной прямой .4x

10.606. 22 )3(9 xxy между точками пересечения с осью Ох.

10.607. .)31(4

ln2

2

xxxy 10.608. .)6222(ln xxy

10.609. .)7ln0( xey x

10.610. 21ln xy от начала координат до точки .43ln;

21

10.611. .)3

0(cosln yyx 10.612. .)

32

3(sinln

xxy

10.613. .)2ln7ln(arcsin xey x 10.614. .)10(arcsin xey x

10.615. )cos2ln( xy между смежными точками пересечения с осями коорди-нат Оу и Ох.

10.616. .1615

36111arccos2

xxxxy

10.617. .1690arcsin1 2

xxxy

140

10.618. .)0()cos(sin),sin(cos ttttRytttRx

10.619. Одной арки циклоиды .)cos1(),sin( tayttax

10.620. taytax 33 sin,cos (астроида).

10.621. 3/23/23/2 ayx (астроида). 10.622. .sin,cos taytax

10.623. .02

// axeeay axax

10.624. Доказать, что длина эллипса )(12

2

2

2

baby

ax

равна длине

синусоиды .)20(sin22 bxbxbay

10.5. Приложения определенного интеграла в решении физических и экономических задач

Если непрерывная функция )(tf характеризует производительность тру-да рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от 1t до 2t , выражается формулой

2

1

.)(t

tdttfV

Если в функции Кобба-Дугласа затраты труда считать линейно зависи-мыми от времени, а затраты капитала неизменными, то объем продукции V за Т лет равен

T

tdtetV0

.)(

Если проценты по вкладу начисляются непрерывно и их характеризует функция ),(tfy а удельная норма процента равна i, то дисконтированный до-ход К за время Т составляет

TitdtetfK

0.)(

Скорость оттока рабочей силы в момент времени Т можно определить при помощи уравнения восстановления

T

tdttTLtftftL

0

,)()()()(

где )(tf доля тех, кто был вначале (при 0tt ) и покинул предприятие в насто-ящий момент, при )(; tTLTt – скорость оттока людей, пришедших кому-то

141

на смену; )()( tTLtf – полная скорость оттока заместителей, покидающих предприятие в настоящий момент.

Общую сумму S текущих издержек обращения и капиталовложений, сво-димых к текущим затратам, можно определить по формуле

0

.)( dttfS

Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью ),(tvv то пройденный ею за промежуток времени от 1t до 2t путь

2

1

.)(t

tdttvS

Пример 10.44. Найти среднее значение издержек ,243)( 2 xxxK вы-раженных в денежных единицах, если объем продукции х меняется от 0 до 3 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение. Р е ш е н и е. Согласно теореме о среднем значении,

b

adxxf

abf )(1 называется средним значением функции на отрезке .; ba

В нашем случае

17)61827(3122

31243

31

0

3233

0

2 xxxdxxxf (ден.ед.),

т.е. среднее значение издержек равно 17. Определим, при каком объеме из-держки принимают это значение. Для этого решим уравнение

.0154317243 22 xxxx

Так как объем продукции не может быть отрицательной величиной, то

35

x (ед. продукции).

Пример 10.45. Найти объем продукции, произведенной рабочим за тре-тий час рабочего времени, если производительность труда описывается функ-цией .123)( 2 tttf

Р е ш е н и е. .1523

1233

2

232 tttdtttV

Пример 10.46. Найти объем произведенной продукции за 5 лет, если функция Кобба–Дугласа tettg 3)1()( .

142


.21791

05

9116

31

31

05

)1(31

31,,,1)1(

153155

0

33

335

0

3

eeedtete

evdtdudtedvtudtetV

ttt

ttt

Пример 10.47. Определить дисконтированный доход, если процентная ставка – 5 %, первоначальные вложения – 5 млн р., прирост – 1 млн р. в год. Срок – 5 лет. Р е ш е н и е. В нашем случае функция капиталовложений, согласно усло-вию задачи, является линейной и равна ,)( ltktf где ,1,5 lk т.е.

.5)( ttf Удельная норма процента .05,0i Тогда дисконтированный доход равен:

.)р. млн(72,32600500

4001052020)5(20

20,,,5)5(

25,0

05,025,05

0

05,005,0

05,005,05

0

05,0

0

5

0

5

e

eedtete

evdtdudtedvtudtetK

ttt

ttt

Пример 10.48. Определить скорость оттока рабочей силы, если ;00 t .)5()()(;24,0)(;5 2/ tetTLtftfT t

Р е ш е н и е. Так как T

tdttTLtftftL

0

,)()()()( то

.547,6424,641024,02)5(224,0

2,,,5)5(24,0)(

2/52/5

0

2/2/

2/5

0

2/2/5

0

2/

0

5

0

5

eedtete

edtevdtdudtedvtudttetL

ttt

tttt

Пример 10.49. Определить общую сумму текущих затрат, если функция, характеризующая текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет

вид .52

10)( 2

tttf


.55,5)46,057,1(521

25

21

21lim5

21

21lim10

2)1(10lim

5210

022

02 0

arctgarctgaarctg

tarctgdtttt

S

a

a

aa

a

143

Пример 10.50. Скорость движения точки 3

21 tv м/с. Найти путь S, прой-

денный точкой за время Т = 5 с. после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?

Р е ш е н и е. ,м125,7881

21

0

545

0

3 tdttS

.м/с625,155125,78

. TSvср


В задачах 10.625 – 10.632 найти среднее значение издержек K (х), выра-женных в денежных единицах, если объем продукции х изменяется от 1x до 2x . Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение. 10.625. .4,0,132)( 21

2 xxxxxK

10.626. .5,0,146)( 212 xxxxxK

10.627. .4,0,2)( 21 xxexK x

10.628. .5,2,432)( 212 xxxxxK

10.629. .5,1,42)( 211 xxxK x

10.630. .4,1,143)( 212 xxxxxK

10.631. .3,0,13)( 21 xxxK x

10.632. .3,1,126)( 212 xxxxxK

В задачах 10.633 – 10.638 найти объем произведенной продукции за ука-занные промежутки времени, если производительность труда описывается за-данной функцией времени.

10.633. 1)1(

3)( 2

2

tttttf за первый час работы.

10.634. 292832)( tttf за первую половину восьмичасового рабочего дня.

10.635. 523

3)(

t

tf за пятый час работы.

10.636. 454

3)(

t

tf за третий час работы.

10.637. 5,005,000625,0)( 2 tttf за восьмичасовой рабочий день.

10.638. 23432)( tttf за третий и четвертый часы работы.

144

В задачах 10.639 – 10.642 найти объем произведенной продукции, если задана функция Кобба-Дугласа )(tg и указан временной промежуток.

10.639. tettg )14()( за три года. 10.640. tettg 5)10()( за один год.

10.641. tettg 10)25()( за пять лет. 10.642. tettg 2)3()( за два года. 10.643. Определить дисконтированный доход К, если:

а) процентная ставка – 8 %, первоначальные вложения – 10 млн р., при-рост – 1 млн р. ежегодно. Срок – 3 года;

б) процентная ставка – 7 %, первоначальные вложения – 10 млн р., при-рост – 1 млн р. в год. Срок – 6 лет;

в) процентная ставка – 2 %, первоначальные вложения – 3 млн р., при-рост – 1 млн р. в год. Срок – 10 лет.

10.644. Определить скорость оттока рабочей силы, если:

а) ;3;0;29,0)(;1

)()( 02

Tttf

tttTLtf

б) ;6;0;21,0)(;cossin)()( 0 TttftttTLtf

в) ;4;0;26,0)(;1

)()( 0

TttfeetTLtft

t

г) .16;0;75,0)(;23)()( 0 TttftttTLtf 10.645. Найти общую сумму текущих затрат, если функция, характеризующая

текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет вид:

а) ;1

2)( 2

ttf г) ;)( 2tetf

б) ;1

1)( 2

tttf д) ;

)4(5)( 3

t

tf

в) ;1)1(

4)(

tt

tf г) .3)( 4tetf

10.646. Скорость движения тела задана формулой tv 21 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с. после начала движения.

10.647. Скорость точки 31,0 tv м/с. Найти путь S, пройденный точкой за про-межуток времени Т = 10 с., протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?

145


Вариант 1

1. Вычислить интеграл .33

0

2 dxxx

2. Вычислить интеграл .cossin6/

0

2

dxxx

3. Вычислить несобственный интеграл

0

7 dxe x или установить его рас-

ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.10,5,0,1 xxy

xy

5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры,

ограниченной кривыми .2,0,212 xyxy

Вариант 2


11

02

32

dxxxxx

2. Вычислить интеграл .2sincos3/

0

3

dxxx


2

02

5

4 xdxx или установить его рас-


.5,0,0, xyxey x 5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми .8,4,0,16 xxyxy

Вариант 3


4

0

xdx

2. Вычислить интеграл .sin6

0

5

dxx

146


35 xdx или установить его расхо-

димость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.4

0,cos,sin xxyxy

5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми .0,0,sin yxxy

Вариант 4


1

02

x

x

edxe


0

dxxx


6

32)6( x

dx или установить его рас-


.0,2

,cos xxyxy

5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми .2,)1( 32 xxy

Вариант 5


4

0 xdx

2. Вычислить интеграл .cos

sin3/

3/2 dx

xxx


0

4 dxe x или установить его рас-

ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .0,, xeyey x 5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры,

ограниченной кривыми .2,2221 2 yxxy

147

Вариант 6


1

0

xedx

2. Вычислить интеграл .cossin1

2/

0

xxdx

3. Вычислить несобственный интеграл 4

0 xdx или установить его расходи-

мость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.3

,sin,2sin

xxyxy

5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми .3,93 2 yxxy

Вариант 7


2313

12

dxxx

x

2. Вычислить интеграл .sin2/

0

4

dxx


742 xxdx или установить его

расходимость. 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.,1,0,ln exe

xyxy

5. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми .5,2 xyxy

Вариант 8

1. Вычислить интеграл .ln

1dx

xxxe


1

dxxarctgx

148


5

32 158 xx

dx или установить

его расходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.123,4 22 xyxy 5. Найти длину дуги кривой .)5ln3(ln xey x

Вариант 9


522/12/

21

2 dxxx

x


3/

23

dxxx


5

23 5 x

dx или установить его рас-

ходимость. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .2,4 232 xyxy

5. Найти длину дуги кривой .2302

xxy

Вариант 10


1

23 dxxx

2. Вычислить интеграл .sincos2/

0

3

dxxx

3. Вычислить несобственный интеграл e

xxdx

1 ln или установить его рас-


.4,0,0, xyxey x

5. Найти длину дуги кривой .23

sinln

xxy

149

Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

11.1. Основные понятия и определения

Уравнение вида 0,,,,, nyyyyxF , (11.1)

где F – функция своих аргументов, заданная в области D, x – независимая пере-менная, nyyyy ,,,, - искомая функция и ее производные, называется обыкно-венным дифференциальным уравнением.

Порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравне-ние (11.1), называется порядком этого уравнения. Дифференциальное уравнение (11.1) будет n-го порядка при условии, что ny обязательно входит в это уравне-ние.

Решением дифференциального уравнения (11.1) называется функция xy , определенная в области D, которая, будучи подставлена в уравнение

(11.1) вместе со своими производными, обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде 0, yx , то его обычно называют интегралом дифференциального уравнения.

Процесс отыскания решений называется интегрированием дифференциаль-ного уравнения. В общем случае нахождения решений уравнения (11.1) потребу-ется n последовательных интегрирований, поэтому общее решение будет содер-жать n произвольных постоянных, т.е. иметь вид

nCCCxy ,,,, 21 (11.2) или

0,,,,, 21 nCCCyx . (11.3) Соотношение (11.3) называется общим интегралом уравнения (11.1). При-

давая в соотношениях (11.2) или (11.3) произвольным постоянным nCCC ,,, 21 конкретные числовые значения, получим частное решение или частный инте-грал.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение ви-да

0,, yyxF . (11.4) Если оно разрешимо относительно y , то

yxfy , , (11.5) где функция yxf , задана в некоторой области D плоскости yx; .

150

Функция вида Cxy , называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, определенного в области D, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) при любых значениях C функция Cxy , является решением уравне-ния первого порядка;

2) для любых начальных условий Dyx 00; существует такое значение постоянной C, что выполняется равенство Cxy ,00 .

Функция 0,, Cyx , обращающая дифференциальное уравнение первого порядка в тождество, называется общим интегралом этого уравнения.

Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой се-мейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра C.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка форму-лируется следующим образом: найти решение Cxy , дифференциального порядка, удовлетворяющее начальному условию 0yy при 0xx , т.е. найти ин-тегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку с координатами 00; yx .

Могут быть случаи, когда из общего решения уравнения некоторые реше-ния не получаются ни при каких значениях C. Такие решения называются особы-ми. Признаком особого решения служит нарушение свойства единственности, т.е. если интегральная кривая является особым решением xy , то через каждую точку этой кривой будет проходить, по крайней мере, еще одна интегральная кривая того же уравнения, имеющая в этой точке ту же касательную.

Пример 11.1. Определить порядок дифференциального уравнения: а) 042IV yy ; б) 02 xyxy ; в) 02 yxy . Р е ш е н и е. Первое уравнение является дифференциальным уравнением 4-

го порядка, так как порядок старшей, входящей в него производной равен 4; вто-рое – уравнением 2-го порядка, поскольку порядок старшей производной равен 2; третье уравнение является уравнением 1-го порядка, так как оно содержит только первую производную.

Пример 11.2. Показать, что функция xey 3 является решением дифферен-циального уравнения 0183 yyy .

Р е ш е н и е. Найдем производные нужного порядка xey 3 , xey 33 , xey 39 , xey 327 и подставим их выражения в уравнение. Получим тождество

018927 333 xxx eee . Это означает, что функция xey 3 является решением данного дифференциального уравнения. Это частное решение, так как оно не со-держит произвольной постоянной.

151

Пример 11.3. Установить, является ли функция 022 Cxyx общим ин-

тегралом дифференциального уравнения 02 22 yxyxy .

Р е ш е н и е. Найдем производную 022 Cyyx , т.е. y

xCy2

2 . Из

уравнения 022 Cxyx находим x

yxC22

и подставляем его в формулу для

производной: xy

xyyy

xx

yx

y2

,2

2 22

22

. Подстановка производной в диффе-

ренциальное уравнение приводит к тождеству 02

2 2222

yxxy

xyxy .

Таким образом, неявная функция 022 Cxyx является общим интегра-лом данного дифференциального уравнения.

Пример 11.4. Показать, что функция Cxy 2 является решением диффе-ренциального уравнения xy 2 . Построить семейство интегральных кривых и выделить интегральную кривую, проходящую через точку 3;2 .

Р е ш е н и е. Найдем производную xCxy 2)( 2 и подставим ее в данное уравнение. Получим тождество xx 22 .

Следовательно, Cxy 2 является решением данного дифференциального уравнения.

Уравнение Cxy 2 (*)

определяет семейство парабол (рис. 11.1), которое и бу-дет семейством интегральных кривых. Найдем инте-гральную кривую (параболу), проходящую через задан-ную точку 3;2 . Подставив координаты этой точки в

уравнение (*), получим C 223 , откуда 1C , сле-довательно, функция 12 xy является частным реше-нием данного дифференциального уравнения, а ее график (интегральная кривая) будет проходить через заданную точку.

Пример 11.5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение 21x

y .

Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: 11,01 yy .

x

y

0

C=0 C=1

Рис.11.1

12 xy

152

Р е ш е н и е. Данное дифференциальное уравнение – 2-го порядка, следо-вательно, его необходимо дважды проинтегрировать, и общее решение будет за-

висеть от двух постоянных: 11 Cx

y , 21ln CxCxy .

Используя начальные условия, находим значения постоянных:

.2,2

.1ln0,11

2

1

21

1

CC

CCC

Следовательно, частное решение дифференциального уравнения – 22ln xxy .

Пример 11.6. Дано семейство функций 21 xCxy , где C – параметр. Найти дифференциальное уравнение с заданным семейством решений.

Р е ш е н и е. Из семейства функций легко увидеть, что 21 x

xyC

. Про-

дифференцировав 21 xCxy , получим 21

1x

Cxy

. Подставив значение

C, получим 21

1x

xyxy

или 21

1xxyy

. Это и есть искомое уравнение; его

общее решение 21 xCxy . Пример 11.7. Для семейства функций 01 xyCyx найти дифферен-

циальное уравнение.

Р е ш е н и е. Из исходного уравнения определим 1

xyyxC . Продифферен-

цируем исходное уравнение. Получим 01 yxyCy . Подставим значение

C. Тогда 01

1

xyyxyyxy , yxxyyxyyxy 21 02 yyxy .

Отсюда 011

2

2

xyy .


11.1. Определить порядок дифференциального уравнения.

а) 022 yxxyyx ; б) 0 yy ;

в) 083IV yy ; г) xqyxpy ; д) 0 yxqyxpy ; е) 0 ybyay .

153

11.2. Установить, является ли данная функция решением (интегралом) со-ответствующего дифференциального уравнения.

а) 32

4

11

2;121

xyx

yxxy ;

б) 049;7cos7sin 21 yyxCxCy ;

в) 01;1

yyyx

CCxy ;

г) 221

2 21;1 xyxyxCexy x

;

д) 022;sin yyyxCey x ;

е) 02; xyyyxeCey xx ;

ж) yxyyxx

Cxy

212;

212 ;

з) 02;0 2222 xyyxyxy ;

и) yxyyxyCye xy

22; ;

к) dyyxdxxyCyyx 42242 ; .

11.3. Дано общее решение xx eCeCy 22

1 дифференциального уравнения 02 yyy . Найти частные решения, если:

а) ;0,1 21 CC б) ;1,0 21 CC в) 5,3 21 CC .

11.4. Дано общее решение xCCey x21

2 дифференциального уравнения 044 yyy . Найти частные решения, если:

а) 00,20 yy ; б) 30,10 yy ; в) 01,1 2 yey . 11.5. Проинтегрировать дифференциальные уравнения, найти указанные

частные решения и построить их. а) 20;3 2 yxy ; б) 20,10;2 yyy ;

в) 60;30;10;6 yyyy ; г) 51;0242 yxyyx .

д) 10;2 yyy . 11.6. Составить дифференциальные уравнения заданных семейств функций.

а) Cxy ; б) 21 xCey ;

в) 2

tgln xCy ; г) xxCy

2

2 ;

д) 122 yCx ; е) 222 11 Cyyx ;

ж) Cxxy

arcsin ; з) Cxy sin .

154

11.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Уравнения вида

yfxfy 21 , (11.6)

а также вида 02121 dyyQxQdxyPxP (11.7)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразования в

уравнение с разделенными переменными. Для (11.6) это yf

dx2

, для (11.7) –

yPxQ 21

1 . Тогда уравнения запишутся так:

dxxf

yfdy

12

,

02

2

1

1 dyyPyQdx

xQxP .

Используя инвариантность формы дифференциала, получаем общие реше-ния:

dxxf

yfdy

12

,

CdyyPyQdx

xQxP

2

2

1

1 .

Но при умножении можно потерять решения, поэтому после получения общего решения необходимо проверить, являются ли нули функций yf2 , xQ1 ,

yP2 решениями заданного уравнения и заключены ли они в общем интеграле

при каком-то значении C. Уравнения такого вида применяются в экономических исследованиях,

например, определение спроса из эластичности спроса относительно цены –

yyxyEx ; закон изменения производительности труда может быть выражен

дифференциальным уравнением первого порядка

tf

dttdy

ty

1 , и т.д.

Пример 11.8. Проинтегрировать уравнение 0 yyxy . Найти инте-

гральную кривую, проходящую через точку 3;4A .

155

Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение yx

dxdy

, 0 ydyxdx . Полу-

ченное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Интегри-

руя, получаем 1

22

22Cyx

или 122 2Cyx . Пусть 2

12 CC (так как

022 yx ), тогда общий интеграл уравнения запишется в виде 222 Cyx . Это семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом C . Найдем окружность, которая проходит через точку 3;4A . Подставляя координаты

точки в уравнение, получаем 222 34 C , т.е. 252 C и 2522 yx – искомая интегральная кривая.

Пример 11.9. Проинтегрировать уравнение 0 xxyy .

Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде xy

dxdy

. Разделяя переменные,

получим 0x

dxy

dy . Интегрируя, находим 1lnln Cyx . Постоянную 1C мож-

но представить в виде 0ln1 CCC . Подставляя 1C в решение и преобразуя

его, получим 0lnln CCxy , т.е. 0 CCxy . Разделяя переменные, пред-полагалось, что 0y , следовательно, могло быть потеряно решение 0y . Но оно может быть получено из общего интеграла при 0C . Таким образом, общий интеграл выражается формулой RCCxy .

Пример 11.10. Проинтегрировать уравнение xyxyy 22 .

Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде yyxdxdy 22 . Разделим пере-

менные, для этого умножим данное уравнение на yy

dx22

. Получаем

022

xdx

yydy . Интегрируя, получаем 1

2

22ln

21 Cx

yy

или 2

2

12

x

x

CeCey

(где

12CeC ) – общее решение. Так как уравнение умножалось на выражение

yydx

22 , то могли быть потеряны решения 0y и 2y . Решение 0y получа-

ется из общего решения при 0C , а 2y – при C , так как

21

2222

CeCeCy

xx при C . Это частные решения.

156

Пример 11.11. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 01 22 dyxydxxxy .

Р е ш е н и е. Вынесем соответствующие множители за скобки, получим уравнение с разделяющимися переменными 011 22 dyxydxyx . Разделив

уравнение на 011 22 xy , получим 011 22

y

ydyx

xdx . Интегрируя это урав-

нение, находим: Cyx ln1ln1ln 22 , 22 1ln1ln xCy .

Таким образом 011 22 xCy – общий интеграл данного дифференци-ального уравнения.

Решения 1x получаются из общего интеграла при C , так как

1112

2

C

yx при C . Это частные решения.

Пример 11.12. Проинтегрировать уравнение x

yy 1 .

Р е ш е н и е. Умножив данное уравнение на 1y

dx , получим

xdx

ydy

1

. Проинтегрировав, будем иметь Cxy ln12 – общий интеграл

в области 1y , ;00;x . Есть решение 1y , которое не получается из общего. Его называют особым.


В задачах 11.7 – 11.30 проинтегрировать уравнения, в отмеченных случаях найти частное решение. 11.7. .012 dxydyx 11.8. .yxey

11.9. .21 22 xyyx 11.10. .2cos12 yyx

11.11. .cos2 xyy 11.12. .01 2 dyxdx

11.13. .01 2 ydydxy 11.14. .0sin y

dyxdx

11.15. .11

2

2

xyy

11.16. .0cossin 6 xdyxdxy

11.17. .123;32

2

yx

xyy 11.18. .2π0;

1sin

2

yxyy

157

11.19. .10;32 yexy x 11.20. .12 yyx

11.21. .019 22 dxyxydyx 11.22. .10;012 2 yydydxyx

11.23. .0 dxxyydyxyx 11.24. .0421 22 dyxxdxxy

11.25. .0923 32 dyxydxx 11.26. .0 ydydxe yx

11.27. .0ln 2 xdxxydy 11.28. .011 222 yeyey xx

11.29. .01arccos1 22 dyxydxxy 11.30. .0ln1 2 dxxdyxe y

11.31. Предположим, что все цены на товары, кроме одного, и доходы потребите-лей фиксированы, а эластичность спроса на товар относительно цены на данный

товар выражена функцией x

xyEx1

. Определить функцию спроса на дан-

ный товар. 11.32. Полные издержки K есть функция объема производства x. Найти функцию издержек, если известно, что предельные издержки для всех значений x равны средним издержкам. 11.33. Пусть темп изменения производительности труда характеризуется функци-ей tf . Определить функцию производительности труда tyy , если:

а) 10,1

22

yt

ttf ; б) 1,ln1

eytt

tf .

11.3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение вида

yxfy , (11.8) называется однородным, если yxfz , – однородная функция нулевой степени, т.е. при любом 0t выполняется тождество yxftytxf ,, . Аналогично диф-ференциальное уравнение

0,, dyyxQdxyxP (11.9) называется однородным, если yxP , и yxQ , – однородные функции одной степени, т.е.

yxPttytxP m ,, , yxQttytxQ m ,, . Однородное уравнение можно привести к виду

xyy , (11.10)

158

следовательно, с помощью замены ),( uxuyxyuxuy оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно x и новой функции xu :

uudxduxuuxu , .

К однородным уравнениям сводятся уравнения вида

222

111

cybxacybxafy , (11.11)

для которого 022

11

baba

, преобразованием 00, yYyxXx , где постоян-

ные 0x и 0y являются решением системы уравнений

.0,0

222

111

cybxacybxa

При 0 уравнение (11.10) сводится к уравнению с разделяющимися перемен-ными преобразованием tybxa 11 .

Пример 11.13. Проинтегрировать уравнение 22 42 xyyxy . Р е ш е н и е. Уравнение однородное. Положим xuy . Тогда

2222 42 xuxuxuux , т. е. 422 22 uuxuu , 42 2 udxduxu или

0,4

22

xx

dxu

udu . Проинтегрировав, получим xCu ln4ln 2 или 42 uxC .

Подставив xyu , получим

42

2

xyxC или 04 22 Cxxy – общий интеграл.

При решении уравнения мы полагали, что 0x . Но 0x – решение урав-нения. Это частное решение. Оно может быть получено из общего интеграла

xxyC 221 4 , где

CC 1

1 при 01 C .

Пример 11.14. Проинтегрировать однородное уравнение 022 3434 dyxyxdxyxy . Р е ш е н и е. Пусть xuy , тогда xduudxdy . И уравнение (после со-

кращения на 04 x ) примет вид 021 34 xduudxuu или

1,0

131,21

3

2

4

3

uudu

uu

uxdx

uuduu

xdx .

159

Интегрируя, получаем Cuux ln1lnlnln 3 , откуда Cuux 31 .

Подставляя xyu , получим Cxyyx 33 – общий интеграл.

При 1u получается решение xy . Это частное решение может быть получено из общего при 0C . При 0u получаются решения 0y , 0x . Они

могут быть получены из общего интеграла xyyxC 331 при 01 C .

Пример 11.15. Проинтегрировать уравнение 0115382 dyxydxx . Р е ш е н и е. Составляем систему:

.01153,082

xyx

Ее решение 3,4 00 yx . Делаем замену 3,4 YyXx . Получаем

0532 dYXYXdX или 053

2

XYX

dXdY – однородное уравнение. Полагаем

XuY . Получается 053

532 2

uuu

dXduX . Разделяем переменные

0253

532

XdXdu

uuu и интегрируем 0ln23ln31ln2 CXuu или

23 123 uXuC . Подставляя XYu , получим 2323 XYXYC . Следо-

вательно, 23 1123 xyxyC – общий интеграл исходного уравнения.

Решения 1 xy и 3

12

xy (при 1u и 32

u соответственно) являют-

ся частными, так как получаются из общего при 0C и C .


В задачах 11.34 – 11.73 проинтегрировать уравнения, в отмеченных случаях

найти частное решение.

11.34. .022 dxyxyxdy 11.35. .0222 xydydxyx

11.36. .044 22 yxxyy 11.37. .0tg xyxyyx

11.38. .0tg

dy

yxyxydx 11.39. .2

2

xeyxyy

yx

160

11.40. .0coscos

dy

xyxdx

xyyx 11.41. .01, y

xyey xy

11.42. .21,0 ydxyxxdy 11.43. .332 dxyxdyxy

11.44. .01, yyx

xyy 11.45. .11,0ln ydx

xyyxdy

11.46. .1,lnln1 2eyxyxyy 11.47. .022 22 dyxxydxyxy

11.48. .2yxyxy

11.49. .02 22 dyyxdxyxx

11.50. .22 ydxdxyxxdy 11.51. .0 dyyxdxyx

11.52. .222 dyxdxxyyx 11.53. .11,0 yydxdyxxy

11.54. .ydyydxxdy 11.55. .02 222 dyxdxyx

11.56. .042 22 yxyyx 11.57. .2

2

xyxyy

11.58. .0222 xydxdyyx 11.59. .023 22 xydxdyxy

11.60. .065 22 dxydyxxy 11.61. .223 2xxyxyyx

11.62. .lncos

xyyyx 11.63. .π2,sin yy

xyxyx

11.64. .373773 yyxxy 11.65. .03258512 xyyxy 11.66. .2534 dyyxdxyx 11.67. .3314 dyyxdxyx 11.68. .03642 dyyxdxyx 11.69. .02312 dyxdxyx 11.70. .0122 dyxydxx 11.71. .02416 dyyxdxyx

11.72. .432

yxyxy 11.73. .

122

2

yxyy

11.74. Пусть динамическая функция предложения товара имеет вид

,,,dtdp

pxpx

dtdppxF t

ttt

tttt

где tx – запас товара, tp – цена товара, dtdpt – ве-

личина, характеризующая изменение цены. Определить, как изменяется цена то-вара в зависимости от его количества, если динамическая функция предложения товара равна скорости изменения запаса товара.

11.75. Определить функцию изменения цены товара в зависимости от его

количества, если динамическая функция предложения товара

dtdppxF t

tt ,,

161

dtdp

px t

t

t пропорциональна скорости изменения запаса товара с коэффициентом

пропорциональности, равным величине tt xp lnln1 , при условии, что e

p 11 .

11.4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Уравнения, которые можно записать в виде xqyxpy (11.12)

или

yqxypdydx

, (11.13)

называются линейными, (11.12) – относительно dxdyy, , (11.13)– относительно

dydxx, . Если 0xq 0yq , то уравнение называется линейным однородным,

иначе – линейным неоднородным. Линейное однородное – это уравнение с разделяющимися переменными,

его общее решение выражается формулой dxxpCey .

Для решения линейного неоднородного уравнения можно применять ме-тод вариации произвольной постоянной, тогда общее решение неоднородного

уравнения получается в виде dxxpexCy .

Линейное неоднородное уравнение может быть сведено к решению двух уравнений с разделяющимися переменными при помощи подстановки xvxuxy . Тогда уравнение (11.12) приводится к виду

xquvxpvvu . В качестве v выбирают одну из функций, удовлетворяю-щих уравнению 0 vxpv (частное решение), а функция u определяется из уравнения xqvu (общее решение). Тогда xvCxuxy , даст общее реше-ние исходного уравнения.

Уравнением Бернулли называется уравнение вида yxqyxpy , (11.14)

где – действительное число. В случае 1,0 уравнение (11.14) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному при помощи под-становки 1yu , но его можно решать также подстановкой uvy . Записав

162

уравнение в виде vuxquvxpvvu , находим частное решение уравне-

ния 0 vxpv и общее решение уравнения 1 vuxqu . Тогда xvCxuxy , даст общее решение уравнения Бернулли.

Пример 11.16. Решить уравнение xexyy sincos .

Р е ш е н и е. Для решения используем метод вариации произвольной по- стоянной. Для этого решим линейное однородное уравнение 0cos xyy .

0cos xydxdy , 0cos xdx

ydy , Cxy lnsinln , т. е. xCey sin .

Решение неоднородного уравнения ищем в виде xexCy sin , тогда

xx xexCexCy sinsin cos . Подставляя y и y в уравнение, получаем

1 xC , значит, CxxC . Следовательно, xeCxy sin – общее решение

линейного неоднородного уравнения.

Пример 11.17. Найти общее решение линейного уравнения 3xyyx .

Р е ш е н и е. Решение будем искать в виде uvy , тогда vuvuy .

Уравнение можно записать в виде 3xvuxvvxu . Значит, 0 vvx , xv –

частное решение, 32 xux или xu , Cxu 2

2

– общее решение. Следователь-

но, xCxy

2

2

– общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 11.18. Найти общий интеграл уравнения 043

yx

dydx .

Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным относительно dydxx, .

Полагаем uvx , тогда vuvudydx

, 043

yvvuvu , 03

yvv , 3

1y

v ,

34yu , Cyu 4 . Следовательно, 3yCyx – общий интеграл.

Пример 11.19. Найти решение уравнения 1 yyx , удовлетворяющее

начальному условию 01 y .

163

Р е ш е н и е. Если рассматривать x как функцию от y , учитывать, что

xy

1 , то получим линейное уравнение yxx . Пусть uvx , vuvux ,

тогда yvvuvu , 0 vv , yev , yeu y , Ceyedyyeu yyy

.

Значит, 1 yCex y – общее решение.

Подставляем начальные значения 11 C , 0C . Следовательно, иско-мое частное решение имеет вид 1 yx или 1 xy .

Пример 11.20. Проинтегрировать уравнение xxyyyx 32 2 .

Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде 12 22 xyxyy . Это уравне-

ние Бернулли, 2 . Применим подстановку 11 yyu . Тогда u

y 1 ,

2uuy

и уравнение принимает вид 12 2 xxuu . Это линейное уравнение.

Решим его методом вариации произвольной постоянной. Однородное уравнение

0xuu имеет решение Cxu . Значит, решение неоднородного уравнения

ищем в виде xxCu . Тогда xCxxCu , 12 2 xxxC , x

xxC 12 ,

CxxxC ln2 . Значит, Cxxxxu ln3 и xxxCx

yln

13

– общее

решение исходного уравнения.

Пример 11.21. Найти общий интеграл уравнения 021sin2 yyxyx .

Р е ш е н и е. Рассмотрим это уравнение относительно dydx . Тогда

yxxdydxy sin2 3 . Это уравнение Бернулли. Пусть uvx , тогда vuvu

dydx

,

yvuvvyuvuy sin22 33 , 02 vvy , yv 2 , yuu sin2 3 , yC

ucos12

.

Следовательно, yC

yxcos

2

или 22 cos Cxyyx – общий интеграл.

164


В задачах 11.76 – 11.121 найти общее решение линейных дифференциаль-ных уравнений, в отмеченных случаях найти частное решение.

11.76. .11

2 22 xy

xxy

11.77. .1

1 2

yx

xy

11.78. .cos2tg

xxxyy 11.79. .1sincos xyxy

11.80. .02 xyxy 11.81. .121

2 22

xxy

xxy

11.82. .11,233 y

xxyy 11.83. .14

xxyy

11.84. .2 2xeyy 11.85. .xeyyx

11.86. .1,00,5 5 yeyy x 11.87. .22xxexyy

11.88. .01,31 2 yexyxyx x 11.89. .2xxexyy

11.90. .10,122

2

y

xx

eyxyxx

11.91. .20,1 2

yx

eyyx

11.92.

.1

11

6422

xxxyy 11.93. .122 xxexyyx

11.94. .12π,sin

1ctg yx

xyy 11.95. .10,2ctg yyxy

11.96. .30,2sin2cos yxyxy 11.97. .2sintg xxyy

11.98. .32π,sinsin cos yxexyy x 11.99. .1 2 x

xxyy

11.100. .1

arcsin2xxyyx

11.101. .12π,cos1sin yxyxy 11.102. .sincossin 3 xyxxy 11.103. .02π,cos1sin yxyxy

11.104. .00,

1133 3

22

y

exeyxy

xx

x

11.105. .0,2ln1 eyyxyx 11.106. .ln

5ln

2

xx

xyyx

11.107. .1,ln22 eyxxyyx 11.108. .2 xyy

165

11.109. .2 2 yxxy 11.110. .3412

y

xxy

11.111. .2 yxy 11.112. .10,2 yydxdyyx

11.113. .12,34 23 yyyxxy 11.114. .10,3 2

y

yxyy

11.115. .00,12 yyxey 11.116. .3

2 2

ye

yxyx

11.117. .4π0,sincos2cos yydyyxydx 11.118. .10,121 yyyyxy

11.119. .2π0,1ctgsin2 yyyxy

11.120. .10,ln42 yydyydxdyyx 11.121. .02 dxdyyx В задачах 11.122 – 11.133 проинтегрировать уравнения Бернулли.

11.122. .2xyyyx 11.123. .4 2 yxyyx

11.124. .2 32 xxyyyx 11.125. .02 2 xyyy

11.126. .cos22

2 xy

xyy 11.127. .ln2 yxyyx

11.128. .33 xyyxy 11.129. .0142 xxyyy

11.130. .yxyy

11.131. .021 22 yxxyyxx

11.132. .2yxxxy 11.133. .ln2 2 yyxyyx Простейшая модель воспроизводства национального дохода имеет вид

tCdtdyBty , где B – коэффициент капиталоемкости национального дохода,

т.е. отношение производственного накопления к приросту национального дохода; tC – непроизводственное потребление, прирост материальных оборотных

средств, государственных материальных резервов, потери.

11.134. Найти функцию, характеризующую изменение национального дохода tyy , если известно, что величина потребления задается функцией tC 2 , ко-

эффициент капиталоемкости прироста дохода 5,0B , 20 y .

11.135. Найти функцию дохода tyy , если известно, что величина потребления задается функцией tC 4 , коэффициент капиталоемкости 25,0B , 40 y .

166

11.136. Функция предложения промышленной продукции предприятия, являю-

щаяся функцией цены предшествующего года, имеет вид dtdptpS 2183 .

Спрос на данный товар определяется ценой на промышленную продукцию этого

года, т.е. функция спроса имеет вид dtdptpq 7 . Определить цену равнове-

сия на товар (цену, при которой спрос равен предложению).

11.137. Цена товара А в начале года составляла 36 денежных единиц, а через t

недель – tp . Спрос определяется уравнением dtdppq 52120 , а предложение

– уравнением dtdppS 50303 , где q и S выражены в тыс. денежных единиц.

Как должна изменяться цена товара, чтобы для каждого значения t равновесие сохранялось?

11.5. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения вида

xfyxayxayxayxa nnnn

1)1(

1)(

0 , (11.15)

где xfnixai ,,0 – непрерывные на ba; функции, 00 xa , называется ли-

нейным дифференциальным уравнением n-го порядка. Оно всегда имеет общее решение, но нахождение его при 2n затруднительно. При 2n уравнение можно записать так:

xfyxqyxpy . (11.16)

При 0xf уравнение называется линейным однородным, при 0xf –

неоднородным. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

xyCxyCy 2211 , (11.17)

где xyxy 21 , – два линейно независимых частных решения.

Решения являются линейно независимыми, если их отношение – не посто-янное число.

Для неоднородного линейного уравнения общее решение имеет вид xxyCxyCy 2211 , (11.18)

167

где xyxy 21 , – два линейно независимых частных решения линейного одно-

родного уравнения, соответствующего неоднородному; x – частное решение неоднородного уравнения; или

xYy , где Y – общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному.

Все частные решения получаются из общего при фиксированных 1C , 2C . Частное решение может быть задано начальными условиями (Коши) 0x ,

00 xyy , 00 xyy , где bax ;0 , 00, yy – произвольные. Если qxqpxp , – постоянные, то линейное дифференциальное урав-

нение xfqyypy (11.19)

называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффици-ентами. Для нахождения xyxy 21 , этого уравнения при 0xf составляют

квадратное уравнение 0λλ2 qp , которое называется характеристическим. Для этого уравнения возможны три случая.

1. 0D , корни уравнения 21 λ,λ вещественные различные. Общее решение

однородного уравнения xx eCeCy 21 λ2

λ1 .

2. 0D , корни λλλ 21 вещественные одинаковые. Общее решение од-

нородного уравнения xCCey x21

λ .

3. 0D , корни уравнения )1(λ 2,1 iiβα комплексные. Общее реше-

ние однородного уравнения βxCβxCey αx cossin 21 . Пример 11.22. Проинтегрировать уравнение 065 yyy и найти

частное решение, если 5,3,0 000 yyx .

Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 06λ5λ2 . Корни этого уравнения 3λ,2λ 21 . Значит, общее решение этого уравнения

xx eCeCy 32

21

. Найдем производную xx eCeCy 32

21 32 .

Для нахождения частного решения подставляем в функцию и производную начальные условия, получаем систему уравнений

.5323

21

21

CCCC

Решая систему, получим 1,4 21 CC . Значит, частное решение xx eey 324 .

168

Пример 11.23. Найти общее решение уравнения 03612 yyy .

Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 036λ12λ2 . Уравнение имеет кратный корень 6λλλ 21 . Общее решение

xCCey x21

6 .

Пример 11.24. Проинтегрировать уравнение 0106 yyy и найти частное решение, если 10,20 yy .

Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение: 010λ6λ2 .

Здесь 044036 D . Корни этого уравнения

2

46λ 2,1

i

32

126 . Значит, 1,3 βα . Общее решение

.cossin 213 xCxCey x Найдем производную xCxCey x cossin3 21

3

xCxCe x sincos 213 .

Для нахождения частного решения подставляем в функцию и производную начальные условия, получаем систему уравнений

,132

12

2

CCC

откуда 2,7 21 CC . Значит, частное решение xxey x cos2sin73 . Для нахождения частного решения неоднородного уравнения можно при-

менять метод вариации произвольных постоянных. Для этого нужно решить си-стему уравнений

,,0

2211

2211

xfxyxCxyxCxyxCxyxC

где 21, yy – линейно независимые частные решения однородного уравнения, от-носительно xCxC 21 , . Затем взять для каждой из полученных функций одну первообразную xCxC 2010 , . Тогда частное решение дифференциального урав-нения запишется xyxCxyxCx 220110 , а общее решение, согласно (11.18), запишется так:

xyxCxyxCxyCxyCy 2201102211 .

Пример 11.25. Проинтегрировать уравнение 3

2

44x

eyyyx

.

Р е ш е н и е. Линейно независимые частные решения однородного уравне-ния 044 yyy : xey 2

1 , xxey 2

2 . Получаем систему

169

.212

,0

3

22

22

1

22

21

xeexxCexC

xexCexCx

xx

xx

Находим: 211x

xC , x

xC 110 , 32

1x

xC , 220 21x

xC . Следователь-

но, общее решение уравнения xxxx xex

ex

xeCeCy 22

222

21 2

11 или

xxCCey x

21

212 .

Если функция xf имеет специальный вид, т.е. является произведением показательной функции и многочлена либо произведением показательной функ-ции, многочленов и тригонометрических функций, то существуют методы по-строения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

Если αxn exPxf , то частное решение неоднородного уравнения имеет

вид αx

n exQx , (11.20) когда α не является корнем характеристического уравнения;

или вид αx

n exxQx , (11.21) когда α – простой корень характеристического уравнения;

или вид αx

n exQxx 2 , (11.22) когда α – кратный корень характеристического уравнения, где

nnn xAxAxAAxQ 2

210 – многочлен степени n с неопределенными ко-эффициентами.

Если βxxQβxxPexf mnαx cossin , то частное решение неоднород-

ного уравнения имеет вид βxxQβxxPex ll

αx cos~sin~ , (11.23)

когда iβα не является корнем характеристического уравнения; или вид:

βxxQβxxPxex llαx cos~sin~

, (11.24)

когда iβα – корень характеристического уравнения, где xPl~ , xQl

~ – много-член степени mnl ,max с неопределенными коэффициентами.

170

Если правая часть дифференциального уравнения является суммой двух функций xfxfxf 21 , то частным решением уравнения является функция

xxx 21 , где x1 и x2 – частные решения уравнений xfqyypy 1 и

xfqyypy 2 соответственно. Пример 11.26. Определить структуру частного решения дифференциально-

го уравнения xxeyyy 334 .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 03λ4λ2 имеет корни 1λ,3λ 21 . Правая часть xαx xeexPxf 31 ; 1α – простой корень характе-

ристического уравнения. В соответствии с формулой (11.21) частное решение имеет вид xxx eBxAxeBAxxexxQx 2

1 . Пример 11.27. Определить структуру частного решения дифференциально-

го уравнения xxxyy 3cos3sin9 .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 09λ2 имеет комплексные корни i3λ 2,1 . Правая часть xxQxxPxf 3cos3sin 10 ; множитель αxe ра-

вен 1, значит 0α , 3β ; число iiβα 3 является корнем характеристического уравнения. Согласно (11.24) частное решение имеет вид xDxCxxBxAxxxQxxPxx 3cos3sin3cos~3sin~ 22

11 .

Пример 11.28. Проинтегрировать уравнение 5189 2 xyy .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 09λ2 имеет корни 3λ,3λ 21 . Значит, общее решение соответствующего однородного уравне-

ния xx eCeCY 32

31

. Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая

часть является многочленом второй степени 518 22 xxPxf ; множитель

αxe равен 1, значит 0α – не является корнем характеристического уравнения. В соответствии с формулой (11.20) частное решение имеет вид

CBxAxxQx 22 . Подставляя выражения для x , BAxx 2 ,

Ax 2 в данное уравнение, получаем: 51892 22 xCBxAxA , или

5189299 22 xCABxAx . Так как x – решение дифференциального уравнения, то последнее ра-

венство должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Поэтому ко-эффициенты при одинаковых степенях x, стоящие в разных частях, равны между

171

собой:

.59209189

CABA

Из полученной системы уравнений находим, что

1,0,2 CBA , поэтому 12 2 xx – частное решение неоднородного уравнения.

Значит, общее решение неоднородного уравнения 12 23

23

1 xeCeCy xx .

Пример 11.29. Проинтегрировать уравнение xeyyy 2622 .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 02λ2λ2 имеет ком- плексные корни ii 1λ,1λ 21 . Значит, общее решение соответствующего од-

нородного уравнения xCxCeY x sincos 21 . Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая

часть имеет вид xx exPexf 20 6 , значит 2α – не является корнем характе-

ристического уравнения. В соответствии с формулой (11.20) частное решение имеет вид

xx AexQex 20

2 . Подставляя выражения для x , xAex 22 ,

xAex 24 в данное уравнение, получаем: xxxx eAeAeAe 2222 6244 , т.е. xx eAe 22 62 .

Так как x – решение дифференциального уравнения, то последнее ра-венство должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Следователь-но, 3A . Поэтому xex 23 – частное решение неоднородного уравнения, а

общее решение xx exCxCey 221 3sincos .

Пример 11.30. Проинтегрировать уравнение xxyyy 2cos242sin1644 .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 04λ4λ2 имеет кратный корень 2λλλ 21 . Значит, общее решение соответствующего однородного

уравнения xCCeY x21

2 . Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая

часть имеет вид xxxxQxxPxf 2cos242sin16cossin 00 , множитель xe равен 1, значит, 0α , 2 , число ii 2 не является корнем характери-

стического уравнения. В соответствии с формулой (11.22) частное решение имеет вид

xBxAxxQxxPx 2cos2sin2cos~2sin~00 . Подставляя выражения для

172

x , xBxAx 2sin22cos2 , xBxAx 2cos42sin4 в данное уравне-ние, получаем:

xxBxAxBxAxBxA 2sin162cos42sin42sin82cos82cos42sin4x2cos24 , т.е. xxxBxA 2cos242sin162sin82cos8 .

Так как x – решение дифференциального уравнения, то последнее ра-венство должно выполняться для всех x, т.е. является тождеством. Следователь-но, 168,248 BA . Значит, 2,3 BA . Поэтому xx 2sin3

x2cos2 – частное решение неоднородного уравнения, а общее решение

xxxCCey x 2cos22sin3212 .

Пример 11.31. Проинтегрировать уравнение xxeyyy 38127 xe12 . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

20,00 yy .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение 021λ7λ2 имеет различ-ные корни 4λ,3λ 21 . Значит, общее решение соответствующего однородного

уравнения xx eCeCY 42

31 .

Находим частное решение исходного уравнения. В данном случае правая часть является суммой двух функций

xx xexPexf 311 8 , xx exPexf 1202 .

Рассмотрим первую функцию xx xexPexf 311 8 , 3α является про-

стым корнем характеристического уравнения. В соответствии с формулой (11.21) частное решение уравнения

xxeyyy 38127 имеет вид BxAxexQxex xx 231

31 . Подставляя вы-

ражения для x1 , BxABAxex x 233 231 , 23

1 9Axex x

ABxAB 26129 в данное уравнение, получаем: xABAxe x 1299 23

xxx xeBxAxeBxABAxeAB 32323 812233726 , BAxe x 2(3 xxeA 38)2 . Значит, 82 A , 02 AB , т.е. 4A , 8B . Следовательно,

xxexxex xx 2484 23231 .

Рассмотрим вторую функцию xx exPexf 1202 , 1α – не является корнем характеристического уравнения.

В соответствии с формулой (11.20) частное решение уравнения xeyyy 12127 имеет вид: xx AexQex 02 . Подставляя выражения для

x2 , xAex 2 , xAex 2 в данное уравнение, получаем: xxxx eAeAeAe 12127 , xx eAe 126 .Значит, 126 A , т.е. 2A . Следователь-

173

но, xex 22 . Частное решение исходного уравнения равно сумме двух найден-

ных, т.е. xx exxexxx 224 2321 .

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения xxxx exxeeCeCy 224 234

23

1 . Найдем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее

заданным начальным условиям, т.е. значения постоянных 1C и 2C : 00 y : 0221 CC .

xxxxx exexxeeCeCy 222421243 32342

31 ,

20 y : 2643 21 CC .

Получилась система

8432

21

21

CCCC

, из которой 161 C , 142 C .

Следовательно, частное решение xxxx exxeeey 2241416 2343 .


В задачах 11.138 – 11.167 найти общие решения однородных дифференци-альных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. 11.138. 034 yyy . 11.139. 082 yyy . 11.140. 023 yyy . 11.141. 016 yy . 11.142. 090 yyy . 11.143. 0214 yyy . 11.144. 03512 yyy . 11.145. 03613 yyy . 11.146. 02 yyy . 11.147. 0168 yyy . 11.148. 0256 yyy . 11.149. 09 yy . 11.150. 016 yy . 11.151. 0204 yyy . 11.152. 0134 yyy . 11.153. 04 yy . 11.154. 010020 yyy . 11.155. 0816 yyy . 11.156. 096 yyy . 11.157. 01025 yyy . 11.158. 04914 yyy . 11.159. 01449 yyy . 11.160. 044 yyy . 11.161. 0 yyy . 11.162. 03 yy . 11.163. 04 yy . 11.164. 0107 yyy . 11.165. 02 yyy . 11.166. 0172 yyy . 11.167. 0106 yyy .

В задачах 11.168 – 11.178 проинтегрировать уравнения методом вариации произвольных постоянных.

174

11.168. 1

x

x

eeyy . 11.169.

xyy

2cos14 .

11.170. 3

2

44xeyyy

x

. 11.171. xx eeyy cos2 .

11.172. xyy tg . 11.173. x

eyyyx

cos54

2

.

11.174. 132 xeyyy x . 11.175. x

yy 2sin2

.

11.176. xx

xexeyyy 12 .

11.177. 3

2 222x

xxyyy . 11.178.

xxxyy 14 .

В задачах 11.179 – 11.192 записать структуру частного решения неодно-родного уравнения. 11.179. xxyyy 3sin3cos23103 . 11.180. xyy 4cos34 .

11.181. xxyyy 2295 3 . 11.182. xeyyy x cos .

11.183. xxyy 449 3 . 11.184. xxyy 523 2 .

11.185. xexyyy 312372 . 11.186. xexyyy 265 .

11.187. xxxyyy 2sin2cos54 . 11.188. xxeyyy 42168 .

11.189. xexyyy 22sin44 . 11.190. xxeyyy x sin22 .

11.191. xxxyy 6cos6sin236 . 11.192. xexyyy 723 . В задачах 11.193 – 11.218 найти общие решения неоднородных уравнений.

11.193. xyyy 1682 . 11.194. xyy 124 .

11.195. 1843 2 xyyy . 11.196. 34xyy .

11.197. xxyyy 610102 2 . 11.198. xeyyy 42 .

11.199. xeyyy 25149 . 11.200. xeyyy 645 .

11.201. xeyyy 1844 . 11.202. xeyyy 42 .

11.203. xxeyyy 2334 . 11.204. 34156 22 xxeyyy x . 11.205. xyyy sin522 . 11.206. xyyy cos265 . 11.207. xxyyy cos34sin1782 . 11.208. xyyy 2sin39256 . 11.209. xyyy 2sin13102 . 11.210. xyyy 3cos3696 . 11.211. xxxyy cos4sin2 . 11.212. xxxyy 3cos123sin29 .

11.213. xeyyy x 2cos1052 . 11.214. xxeyyy x sin422 .

11.215. 2162486 22 xeyyy x . 11.216. xexyy 32 123 .

11.217. xeyy x cos42 . 11.218. xxyy 2cos9sin2 .

175

В задачах 11.219 – 11.227 найти решения, удовлетворяющие начальным условиям. 11.219. 02π,12π, yyxyy .

11.220. 00,00,644 2 yyeyyy x .

11.221. 40,30,42223 2 yyxxyyy . 11.222. 00,20,2cos122sin92 yyxxyyy .

11.223. 70,00,145942535314 23 yyxxxyyy .

11.224. 10,00,sin2 yyxeyy x . 11.225. xxxxyyy 3cos12363sin1232256 , 40 y , 00 y .

11.226. 00,00,223 32 yyexyyy x .

11.227. 60,20,2sin852 yyxeyyy x .

11.6. Контрольные задания к главе 11 1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1. xdxdyxe yx 3 . 2. 0cos

tgcostg

22 dyy

xdxx

y .

3. yxyy

221 . 4.

yey

x

ln

2

.

5. 23 1 yyyxxy . 6. 02 yyy .

7. yxyxyy 2cos2coscos3 . 8. 02223 yyyxxxy .

9. yxyxy 21 . 10. xyxyyx 22 11 .

11. 04 xydxdyx . 12. 01ln2 xdyyxdxy .

13. 02 2 yyy . 14. 022 dxyydxdyxyx .

15. yxyxy 213 . 2. Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравне-

ния.

1. 00,3412 yxyyx . 2. 00,cos

1tg yx

xyy .

3. 00,1 yeyyx x . 4. 01,1ln yxyyx .

5. e

yxeyyx x

211,0

2 . 6. 01, yeyyx x .

7. 0,2ln1 eyyxyx . 8. 01,31 2 yexyxyx x .

176

9. 00,1 23 yxxyyx . 10. 01,02 2 yxyyx .

11. 12,1 32 yxxxyyx . 12. e

yx

exyy

x

211,2

2

.

13. 00,ctgcos2ctg 2 yxxyxy .

14. 01,24 ydxyxxdy . 15. 01,0123 yxyxyx .

3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. 1. 0 dyyxdxyx . 2. yxyyxy 22 .

3. 02 22 dyxdxxyy . 4. xdydxxyy .

5. x

yxyxyyx ln . 6.

2

4

xy

xyy .

7. 0222 xydydxyx . 8. 22 2 yxyyxyx .

9. 01ln

xyyyx . 10. 02 xdydxyx .

11. yxyxyxy 22 2 . 12. 223 22 yxyyx .

13.

0sin

1

xyxyy . 14. 02 dyxydxyx .

15. 04922 222 dyxyxdxxyxy .

4. Найти частное решение дифференциального уравнения. 1. 00,20,7265 yyxyyy . 2. 10,00,126136 yyxyyy . 3. 00,70,212 yyxyy . 4. 60,5,50,824 yyxyy . 5. 20,2,00,2cos yyxyy .

6. 20,00,24552 2 yyxxyyy .

7. 20,20,32 2 yyxxeyy x .

8. 00,10,23 2 yyeyyy x . 9. 832π,42π,3cos yyxyy .

10. 20,10,2 yyeyy x .

11. 30,00,34 yyxeyy x . 12. 340,00,sin4 yyxyy . 13. 00,00,222 yyxyyy .

14. 00,00,834 5 yyeyyy x .

15. 10,00,124886 2 yyxxyyy .

177

Раздел VI РЯДЫ

Глава 12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

12.1. Числовой ряд и его сходимость

Пусть задана последовательность чисел .,,,,, 321 naaaa Выражение

1

321n

nn aaaaa (12.1)

называется числовым рядом. Числа ,,, 321 aaa называются членами ряда. 1a первый член,

2a второй член,

3a третий член и т.д. Член na ряда, стоящий

на n-ом месте, называется n-ым членом или общим членом ряда. Ряд (12.1) счи-тается заданным, если известен его общий член. Пример 12.1. Написать четыре первых члена ряда, если задан его общий

член .32

)1( 1

na

n

n

Р е ш е н и е. Если 1n , то .51

312)1( 11

1

a Если 2n , то

.71

322)1( 12

2

a Если 3n , то .91

332)1( 13

3

a Если 4n , то

.111

342)1( 14

4

a Следовательно, .32

)1(111

91

71

51

1

1

n

n

n

Если задан ряд (12.1), то можно составить последовательность сумм ,;;;;; 321321321211 nn aaaaSaaaSaaSaS

которые называются частичными или частными суммами ряда. Сумма первых n членов ряда nn aaaS 21 (12.2) называется n-ой частичной суммой. Если последовательность частичных сумм nS имеет конечный предел S, т.е. ,lim SSnn

то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ря-

да и пишут ,1

n

n Sa в противном случае ряд называется расходящимся.

178

Разность nr между его суммой S и частичной суммой nS nn SSr (12.3) называют остатком ряда (12.1) после n-го члена или n-ым остатком ряда. По-дробнее, .2121 knnnn aaaaaaS Тогда

.1

321

nmmknnnnn aaaaar

Теорема. Для того, чтобы ряд (12.1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы .0lim

nn

r (12.4)

Свойства сходящихся рядов

1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду ко-нечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда.

2. Если ряд

1nna сходится и его сумма равна S, то будет сходиться также

и ряд ,1

nnca где с – любое действительное число, а его сумма будет равна сS.

3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, причем сумма вновь образованного ряда равна сумме или разности исходных рядов, т.е.

если San

n

1 и ,0

1Sb

nn

то .01

SSban

nn

Пример 12.2. Исследуем вопрос о сходимости ряда по определению

.)1(

143

132

121

1

nn

Р е ш е н и е. Составим частичную сумму

43

132

121

1nS .

)1(1

nn

Преобразуем общий член ряда ,1

11)1(

1

nnnn

тогда

;11

111

41

31

31

21

211

;,...41

31

431;

31

21

321;

21

11

211

nnnSn

.111limlim

nS

nnn Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 1.

179

Пример 12.3. Изучим вопрос о сходимости ряда, составленного из членов геометрической прогрессии. Ряд, составленный из членов геометрической про-грессии со знаменателем q и первым членом ,0, 11 aa вида

1

11

11

2111

n

n

n qaqaqaqaa , (12.5)

в дальнейшем для простоты будем называть рядом геометрической прогрессии.

Р е ш е н и е. Частичная сумма ряда .1,0,1 1

11

qa

qqaaS

n

n

Рассмотрим 4 случая. 1. Пусть ,1q тогда

0lim

n

nq и ,

111limlim 1

11

qa

qqa

qaS

n

nnn

т.е. ряд сходится и его сумма .1

1

qaS

2. Пусть ,1q тогда nq при n и, следовательно, .nS По-этому ряд расходится и суммы не имеет. 3. Пусть ,1q тогда ряд принимает вид .1111 aaaa Тогда

,1naSn при n .nS Значит, ряд расходится. 4. Пусть ,1q тогда ряд принимает вид 1111 aaaa

.)1( 11 an Его частичные суммы попеременно будут равны то 0, то а1, в

зависимости от того, будет ли n четным или нечетным числом. Очевидно, что при n частичные суммы nS не стремятся ни к какому пределу. Ряд расхо-дится. Таким образом, ряд геометрической прогрессии

.1если,расходится

1если,1

11

11

q

qq

aqa n

n (12.6)

Гармонический ряд Ряд вида

,131

2111

1

nnn (12.7)

называется гармоническим. Можно строго доказать, что он расходится.

180

Обобщенный гармонический ряд, или ряд, Дирихле – это ряд вида

,11

n n (12.8)

где – любое действительное число. Ряд

.1если,расходится1если,cхходитс1

1

n n (12.9)

Например, если 1 это гармонический ряд, который расходится.

Если ,121 то получаем расходящийся ряд

.13

12

111111 2

1

nnn nn

Если α равно, например 2, то получаем сходящийся ряд

,131

2111

2221

2

nnn так как 12 .

Необходимый признак сходимости

Если ряд сходится, то его общий член na стремится к нулю при ,n т.е.

.0lim

nna (12.10)

Необходимый признак сходимости не является достаточным. Выполне-ние условия (12.10) еще не означает сходимость ряда. Так, например, для рас-

ходящегося гармонического ряда

1

1n n

условие 0lim

nna выполняется. Дей-

ствительно, ,1n

an поэтому .01lim nn

Однако если условие 0lim

nna нарушается, то ряд расходится.

Следствие. (Достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда na не стремится к нулю при ,n т.е. ,0lim

nn

a (12.11)

то ряд расходится.

181

Например, для ряда

1 14273

n nn его общий член ,

14273

nnan при n

.023

14273limlim

nna

nnn Значит, ряд расходится.

Пример 12.4. Исследовать сходимость ряда ...1064

727

481 .

Р е ш е н и е. Обозначим общий член ряда nU . Определим формулу обще-го члена ряда. Рассмотрим последовательности числителей. Числители дробей, членов ряда, можно представить в виде ,...4,3,2,1 3333 и т.д., т.е. показатель степени каждого члена равен трем, а основание степени совпадает с номером этого члена. Тогда общий член последовательности числителей .3nbn Знаме-натели дробей ...,10,7,4,1 образуют арифметическую прогрессию с первым членом 11 a и разностью 3d , поэтому общий член арифметической про-грессии 23331)1(31)1( nnnndaa nn .

Общий член ряда 23

3

nn

abU

n

nn . Найдем

23limlim

3

nnU

nnn. Необхо-

димый признак не выполняется. Ряд расходится.

Пример 12.5. Исследовать сходимость ряда

1

11n

n

n.

Р е ш е н и е. Общий член ряда n

n na

11 . Вычислим

011limlim

e

na

n

nnn. Необходимый признак не выполняется. Ряд расхо-

дится.


2 1ln2)2ln(

n nn .

Р е ш е н и е. Общий член ряда na1ln2)2ln(

nn .

Вычислим

nnn

a limlim

1ln2)2ln(

nn . Для вычисления предела отношения

двух бесконечно больших функций натурального аргумента правило Лопиталя непосредственно применить нельзя, так как для таких функций не определено понятие производной. Чтобы вычислить предел na такого выражения, обозна-

чим его )(nf и заменим более общим выражением ,1ln2)2ln()(

xxxf x .

182

Здесь дискретный аргумент п заменен непрерывным аргументом х. Доказано, что если существует )(lim xf

x конечный или бесконечный x , то )(lim nf

n

тоже существует и равен )(lim xfx

, поэтому вычислим x

lim

1ln2)2ln(

xx

xlim

)1ln2())2(ln(

xx

x

xx 2

21

lim )2(2

limxx

x .

211

21

)2(lim

21

xx

x Тогда

021lim

nx

a . Необходимый признак не выполняется. Ряд расходится.

Задачи для самостоятельного решения 12.1. Дан общий член ряда. Написать первые четыре члена ряда.

а) ;312

nnan б) .

!2)1( 1

na

nn

n

12.2. Найти сумму ряда .)12()12(

175

153

131

1

nn

Доказать сходимость следующих рядов и найти их сумму.

12.3. .21

31

121

61

31 1

n

12.4. .51

51

511 32

12.5. .6

431

nn

nn

12.6. .31

02

nn 12.7. .

)14()34(1

1391

951

511

nn

Исследовать сходимость ряда, используя следствие из необходимого при-знака сходимости.

12.8. .172

1

n nn 12.9. .51

1

n

n

n 12.10. .

354

1

n nn 12.11. .

531

n nn

12.12. .512

12

2

n nn 12.13. .

552

1

n nn 12.14. .

321

12

2

n nnn

183

12.2. Исследование сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения

Ряд naaaa 321 (12.12) называется положительным, если все его члены положительны, т.е. 0na , и неотрицательным, если 0na .

Первый признак сравнения

Пусть даны два неотрицательных ряда

1

0,n

nn aa и ,0,1

n

nn bb при-

чем nn ba для всех n. Тогда:

1) если сходится ряд

1,

nnb то сходится и ряд

1;

nna

2) если расходится ряд

1,

nna то расходится и ряд

1.

nnb

Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме).

Если

1nna и

1nnb 0,0 nn ba ряды с положительными членами и су-

ществует конечный и отличный от нуля предел

,),0(lim

lllba

n

nn

то ряды

1nna и

1nnb сходятся или расходятся одновременно.


1 251

nn .

Р е ш е н и е. Запишем ряд в виде 25

1...127

1271

71

n . Сравним

члены данного ряда с членами ряда

151

nn , который запишем в виде

;51...

1251

251

51

n nn 51

251...,,

1251

1271,

251

271,

51

71

. Но ряд

151

nn сходится, как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

1

51 ьзнаменател q . Следовательно, исходный ряд

1 251

nn по первому

признаку сравнения тоже сходится.

184


1 341

n n.

Р е ш е н и е. Запишем ряд в виде 34

1...171

131

91

511

n и срав-

ним его с гармоническим рядом ,11...1...51

41

31

211

n ,

51

21

,91

31 ,

131

41 ...,

3411,...,

171

51

nn . Гармонический ряд расходится, по-

этому расходится и данный ряд по первому признаку сравнения.


12

13n n

n .

Р е ш е н и е. Общий член ряда 213

nnan

. Для больших п общий член

ряда nn

nnn 3313

22 . Поэтому сравним данный ряд с гармоническим рядом

1

1n n

, применив второй признак сравнения. Итак, 213

nnan

, n

bn1

.

0313lim)13(lim1:13limlim 22

nn

nnn

nnn

ba

xxxn

nx

. Мы сравнивали исход-

ный ряд с расходящимся рядом. По второму признаку сравнения данный ряд расходится.


132n n

n .

Р е ш е н и е. 32 nnan

. Для сравнения возьмем обобщенный гармони-

ческий ряд

1

1n n

, который сходится при 1 и расходится при 1 . Для

больших п 2331

2 nnn

nnan

. Ряд

12

1n n

сходится, как обобщенный гармо-

нический ряд при 12 . Положим 21n

bn . Применяя второй признак срав-

нения, вычислим предел 012

lim1:2

limlim 3

3

23

nn

nnn

ba

xxn

nx

.

Мы сравнивали данный ряд со сходящимся рядом. По второму признаку сравнения данный ряд сходится.

185


1 325

nn

n

.

Р е ш е н и е. Применим второй признак сравнения. В этом примере

n

n

na3

25 . Для больших п

n

n

n

n

n

na

32

32

325 . Поэтому сравним данный

ряд с рядом

1 32

n

n

. Это ряд геометрической прогрессии со знаменателем

132q и, значит, сходится. Обозначим п-й член этого ряда

n

nb

32 . Тогда

01125lim

225lim

233)25(lim

32:

325limlim

nxn

n

xnn

nn

xn

n

n

n

xn

nx b

a .

Мы сравнивали исходный ряд со сходящимся рядом. Поэтому исходный ряд по второму признаку сравнения сходится.


Исследовать сходимость ряда с помощью признаков сравнения.

12.15. .5

11

n n 12.16. .

423

1

n n 12.17. .

535

12

nn

n

12.18. .53

11

n n

12.19. .1

31

4

2

n nn 12.20. .

21

13

n nn 12.21. .

42

12

n nn 12.22. .

)2(ln1

1

n n

12.3. Признак сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости

Признак Даламбера

Если для положительного ряда 0,1

n

nn aa существует

,lim 1 la

an

nn

то при 1l ряд сходится, при 1l – расходится. В случае 1l признак вопрос о сходимости ряда не решает. В этом случае следует применять другие призна-ки.

186

Пример 12.12. Исследовать сходимость ряда .!

21

1

n

n

n

Р е ш е н и е. Символ n! означает произведение натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. .321! nn Считается, что ;1!0 ;21!2;1!1

321!3 и т.д. Применим признак Даламбера: ,!

2 1

na

n

n

!1

2 2

1

na

n

n и, следо-

вательно, 1

22!)1(!2 2

1

nnn

aa

n

n

n

n . Тогда .101

2limlim 1

naa

nn

nn

По признаку

Даламбера ряд сходится.


1 !n

n

nn по признаку Далам-

бера.

Р е ш е н и е. Применяя признак Даламбера, получаем ,!n

nan

n

nn

n

n

n

n

n

nn

n nnn

nn

nnnn

aa

nna

111)1(!)1(

!)1(,!)1(

)1( 11

1

1 .

.111limlim 1

e

naa n

nn

nn

Ряд расходится.


1 521

n nn .

Р е ш е н и е. Исследуя по признаку Даламбера ряд ,52

11

n nn получа-

ем:

72

52)1()2(lim

)1(7252)2(limlim,

722,

521 1

1 nn

nn

nnnn

aa

nna

nna

nnn

nnnn

11172

52lim11

21lim

7252lim

12lim

n

n

n

nnn

nn

nnnn.

Предел ,1l признак Даламбера вопрос о сходимости этого ряда не решает. Но в данном случае ряд расходится, так как нарушается необходимый признак

сходимости ряда,

521limlim

nna

nnn и не равен нулю.

187


1 237

n

n

n.

Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера. Так как ,23

7

n

an

n

537 1

1

na

n

n , то x

lim

537237lim

237:

537lim

111

nn

nnaa

n

n

x

nn

xn

n

171753

23lim7

5323lim7

53237lim

n

nnn

nn

xxx. По признаку Далам-

бера ряд расходится.


1 )!2(n

n

nn .

Р е ш е н и е. Применим признак Даламбера.

)!22()1(

))!1(2()1(,

)!2(

11

1

nn

nna

nna

nn

n

n

n . x

limn

n

aa 1 =

xlim

)!2(:

)!22()1( 1

nn

nn nn

=

=x

lim

)!22()!2()1( 1

nnnn

n

n

)22)(12(2...212...21)1(1lim

nnnnn

nn n

x

= 102)12(

111lim

nn

n

x. По признаку Даламбера ряд сходится.

Признак Коши

Если для ряда с неотрицательными членами 0,1

n

nn aa существует пре-

дел ,lim lannn

то при 1l ряд сходится, при 1l ряд расходится.

При ,1l как и в случае признака Даламбера, вопрос о сходимости оста-ется нерешенным. На практике признак Коши удобно применять, когда извлекается корень n-ой степени из общего члена na ряда.

Пример 12.17. Исследуем сходимость ряда

1

22n

nn

nn по признаку

Коши.

Р е ш е н и е. Имеем

nn

n

n

nn

n nn

nna 22lim,22

.121221lim222lim

nnn

nn Ряд расходится по признаку Коши.

188


1

5n

n

n

n.

Р е ш е н и е. Общий член ряда n

n

n

n nna

55 . Здесь удобно применить

признак Коши, так как nn

a nn

nn

55

. Тогда

nn

nn

nn na 5limlim

.105lim nn

Следовательно, ряд сходится.


1n

nnarctg .

Р е ш е н и е. Применим признак Коши. Общий член ряда narctga nn .

.12

limlimlim

narctgnarctgan

n n

nn

nn По признаку Коши ряд расходится.

Интегральный признак сходимости Коши–Маклорена

Пусть члены ряда

1nna положительны и убывают, т.е. 321 aaa

, na и пусть )(xf непрерывная, положительная убывающая функция, определенная для 1x и такая, что ,,)(,,)2(,)1( 21 nanfafaf

тогда

1)( dxxf и ряд

1nna сходятся или расходятся одновременно.

Пример 12.20. Исследуем вопрос о сходимости ряда Rnn

,11

.

Р е ш е н и е. Применим интегральный признак сходимости, тогда

.1)(x

xf Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим

несобственный интеграл .lim11

B

B xdx

xdx

1. Если ,1 то

.1 если,

;1 если,1

11

11lim

11limlim 1

1

11

Bx

xdx

xdx

B

B

B

B

B

2. Если ,1 то .1lnlnlim1

lnlimlim11

Bxx

dxx

dxB

B

B

B

B

189

Ряд расходится. Тогда несобственный интеграл

.1 если, расходится;1 если, сходится

1

x

dx

Поэтому и ряд, который является рядом Дирихле или обобщенным гармониче-

ским

.1 если, расходится;1 если, сходится1

1

n n

Пример 12.21. Исследуем сходимость ряда

12 )1(ln)1(

1n nn

.

Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию )1(ln)1(

1)( 2

xxxf . Она удовле-

творяет условиям интегрального признака сходимости, поэтому, применяя при-знак, рассмотрим несобственный интеграл

.2ln

12ln

1)1ln(

1lim1)1ln(

1lim

)1(ln))1(ln(lim

)1(ln)1(lim

)1(ln)1( 12

12

12

Bx

xxd

xxdx

xxdx

B

B

B

BB

BB

Несобственный интеграл сходится. Значит, сходится и ряд.


Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера.

12.23. .41

1

nnn

12.24. .3

11

nnn

12.25. .1

21

n

n

n 12.26. .

!5

1

n

n

n

12.27. .!)1(1

2

n nn 12.28. .!

1

nnn

n 12.29. .!)1(11

n

n

nnn 12.30. .

23

1

n

n

n

Исследовать сходимость ряда по признаку Коши.

12.31. .121

n

n

nn 12.32. .11

1

2

n

n

n 12.33. .

)1(ln1

1

nn n

190

12.34. .11

n

n

narctg 12.35. .11

71

1

2

n

n

n n 12.36. .

131

12

2

n

n

nnn

12.37. .143

1

2

n

n

nn 12.38. .

31

1

n

n

nn 12.39. .

)1(2

1

nn

n

n

12.40. .31

21

2

n n

n

n

12.41. .21

31

2

n n

n

n

12.42. .2513

1

n

n

nn

Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака.

12.43. .)2(ln)2(

11

n nn 12.44. .

)1(ln)1(1

13

n nn

12.45. .41

3

2

n nn 12.46. .

12

n nen

12.4. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды.

Признак Лейбница

Будем рассматривать ряды с членами произвольных знаков. Ряд

1nnu (12.13)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов, т.е. ряд

1nnu . (12.14)

Теорема. Из сходимости ряда из абсолютных величин (12.14) следует сходимость исходного ряда (12.13).

Ряд

1nnu называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то

время как ряд, составленный из абсолютных величин его членов (12.14), расхо-дится.

Пример 12.22. Исследовать ряд

12222

1

...41

31

211)1(

n

n

n на абсо-

лютную и условную сходимость.

191

Р е ш е н и е. Ряд

12222

1

...41

31

211)1(

n

n

n сходится абсолютно,

так как соответствующий ряд из модулей его членов

12

12

1 1)1(nn

n

nn – ряд

Дирихле, при 12 является сходящимся. Назовем знакочередующимся ряд вида ,...)1(... 1

4321 n

n uuuuu где 0nu , т.е. ряд, в котором члены попеременно меняют знак. Например, ряд

...1)1(...41

31

211 1

nn знакочередующийся.

Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда 0...,)1...( 1

4321 nn

n uuuuuu (12.15) убывают по абсолютной величине ...... 14321 nn uuuuuu и

0lim

nnu , то ряд сходится, а его сумма S положительна и не превосходит пер-

вого члена, т.е. 1uS . Пример 12.23. Исследовать сходимость ряда

...)1(...41

31

211

1

n

n

=

1

1)1(n

n

n.

Р е ш е н и е. Ряд ...)1(...41

31

211

1

n

n

=

1

1)1(n

n

n сходится в

силу признака Лейбница, так как 1) ...41

31

211 ; 2) 01lim

nn.

В то же время ряд, составленный из абсолютных величин его членов

11

1 1)1(nn

n

nn, является гармоническим, т.е. расходящимся. Значит, ряд

12

1)1(n

n

n сходится условно.

Заметим, что знакочередующиеся ряды, удовлетворяющие условиям признака Лейбница, называются рядами Лейбница, или рядами лейбницевского типа. Следствие. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е. .1 nn ur Действительно, если сумму S сходящегося ряда (12.7) представить как сумму nn rSS , где nr – n-ый остаток ряда.

192

Подробнее

nruu

nSuuuuS n

nn

nn

n ...)1()1()1(... 21

11

321

.

Рассмотрим теперь ...)()1( 21 nnn

n uur . Остаток ряда представляет собой новый знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница, поэтому его сумма 1 nn ur , где 1nu – абсолютная величина перво-го из отброшенных членов.

Пример 12.24. Найти приближенно сумму ряда

1

1

)!12(1)1(

n

n

nn с

точностью до 0,001. Р е ш е н и е. Запишем ряд в развернутом виде.

...!94

1!73

1!52

131

1

. Ряд знакочередующийся лейбницевского типа. Он

сходится и имеет сумму 31

S . Для того, чтобы найти сумму ряда приближен-

но с заданной точностью, надо определить число n, равное количеству первых n членов ряда, которые надо оставить, чтобы заменить сумму ряда S его ча-стичной суммой nS , а остальные члены отбросить, оценив сумму отброшенных членов nr . Для ряда Лейбница 1 nn ur )( . По условию 001,0nr . Запишем, учитывая оценку )( , более сильное неравенство: 001,01 nu . Ищем член ряда, значение которого по абсолютной величине меньшей заданной точности. От-брасываем все члены ряда, начиная с него. Все предыдущие члены ряда сумми-руют. Их количество и есть искомое число п, и частичная сумма nS представ-ляет приближенную сумму ряда с заданной точностью. В нашем случае

.001,000006,015120

1,00417,02401,33334,0

31

321 uuu

Третий член меньше по абсолютной величине 0,001, поэтому, начиная с него, все остальные члены ряда отбрасываем. А для получения приближенного значения суммы с точностью 0,001 надо взять два первых члена. Округлив до тысячных долей, имеем:

.329,0;32917,000417,033334,0 SS


Исследовать на абсолютную и условную сходимость.

12.47. .3)1(

0

1

nn

n

12.48. .7

)1(0

nn

n

n 12.49. .

23)1()1(

0

n

n

nn

193

12.50. .52

)1(1

1

n

n

n 12.51. .

ln)1(

2

n

n

n 12.52. .

14)1(

03

n

nn

n

12.53. .ln

)1(2

n nn

n

12.54. .)1(ln)1(

)1(1

2

1

n

n

nn 12.55. .

2)1(

1

1

nn

n n

12.56. .!

)1()1(1

21

n

n

nn 12.57. .

5)1(

13

21

n nnn

12.58. .2

1)1(1 3

1

n

n

nn

12.59. .13413)1(

025

4

n nnnn

12.60. .)1(1

2

1

n

n

nn

Вычислить сумму ряда с точностью ε.

12.61. .01,0,12

)1(0

2

n

n

n 12.62. .01,0,

32)1(

03

n

n

n

12.63. .001,0,2

)1(1

2

1

n

n

n

n 12.64. .001,0,

3)1(

1

1

n

n

n

n

12.65. .001,0,!)1(

1

1

n

n

n 12.66. .01,0,

534)1(

03

1

n

n

nn


Исследовать сходимость рядов. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

1. .51

14

n n 1. .

41

1

n nn 1. .

526

1

n nn

2. .5

11

1

nn n

2. .2)23(

11

nnn

2. .11

nnn

3. .31212

12

2

n

n

nn 3. .

521

n

n nn

3. .

31

13

2

n nn

4. .514

1

n nn 4. .

6556

1

n nn 4. .

22

1

n

n

n

5. .!)2(1

2

nnn

n 5. .10

!1

nn

n 5. .!

51

n

n

n

194

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

1. .1

11 2

n nn 1. .

31

7

nn

n 1. .31

7

nnn

2. .11

2

n nn 2. .

ln1

23

n nn 2. .

)2ln()2(1

1

n nn

3. .31

1

nnn

3. .!)2(

71

3

n

n

n 3. .

114

n nn

4. .3223

1

n nn 4. .

1392

1

n nn 4. .

3245

1

n nn

5. .!)2(1

n

n

nn 5. .

51

n

n narctg 5. .21arcsin

1

n

n

n


1. .131 2

7

n nn 1. .

731

1

n n 1. .

21

13

n nn

2. .243

12

2

n nn 2. .

534

1

n

n

n 2. .

231

12

2

n

n

nnnn

3. .3232

1

nnn

nn

3. .!)12(

)2(1

n

n

nn 3. .

ln1

1

n nn

4. .32

11

2

n nn 4. .

13

13

2

n nn 4. .

!31

1

nn n

n

5. .21

1

2

n

n

nn 5. .

13512

1

n

n nn

5. .42

31

n nn

Вариант 10

1. .3

sin1

nn

n 2. .212

1

n

n n

3. .

!12

1

22

n nn

4. .361

1

nnn 5. .

1)13(1

12

n n

195

Глава 13. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

13.1. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости

Ряд вида

0

2210 ......

n

nn

nn xcxcxcxcc , (13.1)

где ...,,, 210 ccc – числа, называемые коэффициентами ряда, х – переменная, называется степенным рядом. Придавая переменной х определенные числовые значения, получаем числовые ряды, которые могут сходиться, а могут расходиться. Совокупность всех числовых значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Рассматривают также ряды более общего вида (по степеням разности ((х – а), где а – некоторое число), а именно

0

2210 )(...)(...)()(

n

nn

nn axcaxcaxcaxcc . (13.2)

Исследование таких рядов путем замены у = х – а сводится к исследо-ванию рядов (13.1). Поэтому в дальнейшем рассматриваем ряды по степеням х (13.1).

Теорема Абеля. Если степенной ряд

0n

nnxc сходится при значении

,00 x то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих не-равенству |||| 0xx . Если этот степенной ряд расходится в точке 1xx , то он расходится для всех значений х, для которых |||| 1xx . Для каждого степенного ряда (13.1), если он не является рядом, сходя-щимся лишь в точке х = 0, существует положительное число R такое, что при

Rx || ряд абсолютно сходится, а при Rx || расходится. (Заметим, что неко-торые ряды могут сходиться только в одной точке, тогда R = 0, а некоторые – в любой точке числовой оси, тогда R ). Число R называется радиусом сходимости, а интервал (–R, R) – интерва-лом сходимости степенного ряда (рис. 13.1). На концах интервала сходимости, т.е. в точках х = –R и x = R, степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

расходится расходится сходится х

R –R O O

? ?

. 0

Рис. 13.1

196

Для ряда (13.2) интервал сходимости ряда принимает вид Rax || или RaxRa , т.е. ),( RaRa . Радиус сходимости степенного ряда (13.1)

можно определить по формулам

1

lim

n

nn c

cR (13.3)

или

n

nnc

R||lim

1

. (13.4)

Для всех значений х, принадлежащих области сходимости степенного ряда, соответствующие числовые ряды сходятся и имеют определенные суммы, т.е. сумма сходящихся на некотором множестве степенного ряда есть функция, определенная на этом множестве. Обозначим ее ),(),( RRxxf .

)(xf

0n

nnxc .

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда )(xf непрерывна внутри его интервала сходи-мости. 2. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, це-ликом принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды, полученные почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Пример 13.1. Найти область сходимости ряда

0 32

n

nn

nx .

Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости ряда по формуле

42,

32,lim

1

11

n

cn

cccR

n

n

n

nn

nn

.

21

34lim

21

2342limlim 1

1

nn

nn

ccR

nn

n

nn

nn

.

Итак, 21

R . Интервал сходимости ряда

21,

21 . Проверим сходимость

ряда на концах интервала. При 21

R ряд принимает вид

197

00.

3)1(

3212

n

n

n

nn

nn Получим знакочередующийся ряд. Напишем его в

развернутом виде: ...5

14

13

1 . Так как ,...

51

41

31

03

1lim nn

, то по признаку Лейбница ряд сходится (условно). При 21

R

ряд имеет вид

00.

31

3212

nn

nn

nn Исследуем сходимость этого ряда с по-

мощью признака сравнения в предельной форме. Будем сравнивать его с обоб-

щенным гармоническим рядом nn

11

, который является расходящимся.

Итак, .013

lim13

1limlim1;3

1

nnn

nba

nb

na

nnn

nnnn

По признаку сравнения рядов в предельной форме ряд расходится. Таким обра-

зом, область сходимости исходного ряда принимает вид

21,

21 .


12

1

5)3()1(

nn

nn

nx .

Р е ш е н и е. Обозначим х + 3 = у и получим ряд

12

1

5)1(

nn

nn

ny . Найдем

радиус сходимости ряда.

51lim5)1(5lim)1(5

)1(5)1(limlim2

2

2

2

211

1

nn

nn

nn

ccR

nnnn

nn

nn

nn

.

Значит, 5R , а интервал сходимости будет (–5, 5). Проверим сходи-мость ряда на концах интервала. Пусть 5y , тогда ряд имеет вид

12

12

12

12

1 1)1(5

)5()1(nn

n

nn

nn

nnn.

Ряд сходится, так как

12

1n n

– сходящийся обобщенный гармонический ряд с

показателем 12 . Пусть у = 5. Тогда имеем

12

1

12

1 )1(5

5)1(n

n

nn

nn

nn.

198

Ряд знакочередующийся, сходится абсолютно, так как ряд из абсолютных ве-

личин

12

12

12 1)1(nn

n

nn – обобщенный гармонический сходящийся ряд.

Следовательно, ряд сходится для 55 y . Заменив переменную у = х + 3, получим 535 x или 28 x . Область сходимости исходного ряда 2,8 .


0!

n

nxn .

Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости.

01

1lim)!1(

!limlim1

nn

nccR

nnn

nn

.

Радиус сходимости 0R . Ряд сходится только в одной точке 0x .


Найти области сходимости степенных рядов.

13.1. .130

n nxn

13.2. .2)2(

1

n nx n

13.3. .!

20

n

nn

xn

13.4. .7

)1(1

nn

n

nx 13.5. .

1312

n nxn

13.6. .13)2(

0

nn

nx

13.7. .2

111

2

n

nn xnn

13.8. .

43)3(

1

n nxn n

13.9. .4

11

2

n

nn xn

nn

13.10. .!)2(

!)2(0

n nnx n

13.11.

.18

)1(1

2

n nnx n

13.12. .)4(21

nn

nn

nx

13.13. .12)12(

)1(1

1

n nnxnn

13.14. .22)1(

1

1

n

nnn

xn

13.15. .13)1(

13

1

n

nnn

xn

13.16. .!21

n

nn

n

xn

n 13.17. .)2(31

n nx

n

n

13.18. .!31

n nxn

n

13.19. .1

)1(1

3

1

n

nn

xn

13.20. .!1

nn

n

nxn

199

13.2. Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция )(xf является суммой степенного ряда на некотором про-межутке, то говорят, что она разлагается в степенной ряд на этом промежутке или степенной ряд сходится к функции )(xf на указанном промежутке.

Пусть функция )(xf имеет в окрестности точки х = а производные лю-бых порядков.

Степенной ряд

0

)(

)(2

)(!

)(

...)(!

)(...)(!2

)()(!1

)()(

n

nn

nn

axn

af

axn

afaxafaxafaf (13.5)

называется рядом Тейлора функции )(xf в точке х = а . Если а = 0, то ряд Тейлора принимает вид

0

)(

)(2

!)0(

...!

)0(...!2

)0(!1

)0()0(

n

nn

nn

xn

f

xn

fxfxff (13.6)

и называется рядом Маклорена. Пусть )()()( xrxSxf nn , где )(xSn – частич-ная сумма, а )(xrn – остаток ряда Тейлора. Теорема. Ряд Тейлора сходится к данной функции )(xf тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при n , т.е. для всех значений х из интервала сходимости 0)(lim

xrnn

. (13.7)

Теорема. (Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора). Если производные любого порядка п = 0, 1, 2,… функции )(xf ограничены в некоторой окрестности точки 0x одним и тем же числом 0M , т.е.

Mxf n )()( , то ряд Тейлора функции )(xf сходится к )(xf для любого х из

этой окрестности. Теорема. Если функция )(xf разложима в ряд Тейлора, то это разложе-ние единственно.

Пример 13.4. Разложить в ряд Тейлора функцию x

y 1 по степеням

(х + 2) и найти область сходимости полученного ряда.

200

Р е ш е н и е . Запишем ряд Тейлора для функции )(xf в окрестности точ-

ки х = а . ...)(!

)(...)(!2

)()(!1

)()()(

2

nn

axn

afaxafaxafaf . По усло-

вию 2a . Вычислим значения функции и ее производных в точке 2x .

;212,1)( f

xxf

.2

!)2(,!.......................................................

;2

!22,21)(

;212,1)(

1)(

1)(

33

22

nn

nn nf

xnf

fx

xf

fx

xf

Тогда составляем ряд

0114

3

3

2

214

3

3

2

2

.2

)2(...2

)2(...2

)2(2

)2(

2)2(

21...

2!)2(!...

2!3)2(!3

2!2)2(!2

2!1)2(1

21

nn

n

n

n

n

n

xxxx

xnxnxxx

Найдем радиус сходимости ряда

012n

n

ny , положив 2 xy .

21

22

1limlim2

11

n

nnn

nn c

cR .

Ряд

012n

n

ny сходится на интервале (–2, 2), т.е. для всех у, удовлетворя-

ющих неравенству 22 y . На концах интервала при у = –2 имеем ряд

...21

21

21

21

, который расходится. При у = 2 получаем ряд ...21

21

21

,

который также является расходящимся.

Итак, областью сходимости ряда

012n

n

ny будет интервал (–2, 2). Тогда

областью сходимости ряда

012)2(

nn

nx будет интервал (–4,0), так как

222,2 xxy или 04 x , или интервал (– 4, 0).

201

Разложение функций в ряд Маклорена

1. ...)!1(

...!3!2!1

1132

nxxxxe

nx , x ; (13.8)

2. ...)!12(

)1(...!5!3!1

sin12

153

nxxxxx

nn , x ; (13.9)

3. ...!)2(

)1(...!6!4!2

1cos2642

n

xxxxxn

n , x ; (13.10)

;11...,!

)1)...(1(

...!3

)2)(1(!2

)1(!1

1)1(.4 32

xxn

nmmm

xmmmxmmxmx

n

m

(13.11)

5. ...)1(...432

)1ln( 1432

nxxxxxx

nn , 11 x ;

(13.12)

6.

...53

211ln

53 xxxxx , 11 x ; (13.13)

...

7642531

54231

321arcsin.7

753 xxxxx

...122...642

)12...(531 12

nx

nn n

, ;11 x (13.14)

8.

12)1(...

753

121

753

nxxxxxxarctg

nn , 11 x . (13.15)

Пример 13.5. Разложить в ряд Маклорена функцию x

y

1

1 .

Р е ш е н и е. Разложим функцию в окрестности точки а = 0 в ряд Мак-лорена, т.е. представим в виде

...!

)0(...!2

)0(!1

)0()0()(

2

nn

xn

fxfxff .

Имеем

;1)0(,1

1

y

xy

;!21!2)0(,

)1(21)(

;10,)1(

1)(

3

2

yx

xy

yx

xy

202

.!1!)0(,

)1(...21)(

.......................................................

;!31!3)0(,

)1(321)(

)(1

)(

4

nnyx

nxy

yx

xy

nn

n

Составляем ряд

0

3232 ......1...!!...

!33

!22

!111

n

nnn xxxxxxnnxxx .

Получили ряд геометрической прогрессии со знаменателем xq и пер-вым членом 11 a . Этот ряд, как известно, сходится, если 1|||| xq . Отсюда

имеем: интервал сходимости ряда (–1, 1), а сумма ряда x

S

1

1 .

Итак, на интервале 11 x ряд сходится к функции x1

1 , т.е.

x11 = 11,......1 32 xxxxx n .

Пример 13.6. Разложить в ряд Маклорена функцию )1ln( 22 xxy .

Р е ш е н и е. Разложим в ряд Маклорена функцию )1ln( 22 xxy . Так

как для 11 x по формуле (13.12) ...)1(...32

)1ln(32

n

xxxxxnn

,

то, заменяя х на 2x , получим

....)1(...32

)1ln(

,...)1(...32

4)1ln(

22186422

21622

nxxxxxx

nxxxxx

nn

nn

Область сходимости ряда 1,1 .


Разложить в ряд Маклорена.

13.21. .1

1)(x

xf

13.22. .1

)(2

xxxf

13.23. .1)(xe

xf 13.24. .312)( 2x

xf

203

13.25. .cos)( xxxf 13.26. .3sin)(x

xxf

Разложить в ряд Тейлора.

13.27. x

xf 1)( по степеням .)2( x 13.28. 2

cos)( xxf по степеням .2

x

13.29. 3)( xxf по степеням .)1( x 13.30. 3

1)(

x

xf по степеням .)2( x

13.31. 2)(x

exf по степеням .)2( x

13.3. Применение рядов в приближенных вычислениях Представление элементарных функций в виде степенных рядов позволяет применять эти ряды для приближенных вычислений. С заданной степенью точ-ности можно вычислить значения функций, значения определенных интегра-лов, которые не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, а также можно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример 13.7. Вычислить 012cos с точностью до 0,0001, пользуясь раз-ложением xcos в ряд Маклорена.

Р е ш е н и е. Переведем 012 в радианы: .2094,0151416,3

1512

180

Используем разложение косинуса в ряд Маклорена

,

!)1(2)1(

!6!4!21cos

)1(21

642

nxxxxx

nn который сходится на

.),( Получим

.15!6

115!4

115!2

1112cos642

0

(*)

Определим, сколько первых n членов разложения функции в степенной ряд надо оставить, чтобы сумма отброшенных членов (остаток ряда nr ) не пре-восходила 0,0001.

Ряд (*) – знакопеременный ряд, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница. Тогда используется оценка ,1 nn ur где 1nu – первый из отбро-шенных членов по абсолютной величине.

0001,000219,015!2

1 2

; .0001,000008,024

00219,015!4

1 4

204

Поэтому достаточно взять два первых члена ряда

.9781,015!2

1112cos2

0

Действительно, если взять в этом равенстве два первых члена, то будем иметь

приближенное равенство ,9781,02

2094,0115

cos2

погрешность которого

равна сумме остатка 4r знакочередующегося ряда, т.е. .!8

15!6

15

86

По признаку Лейбница сумма знакочередующегося ряда не превосходит абсо-лютной величины первого члена.

В нашем случае .0001,000008,024

)2094,0( 4

nr Поэтому мы допуска-

ем ошибку меньшую 0,0001. Итак, 9781,012cos 0 с точностью до 0,0001. В случае знакопостоянного ряда оценка погрешности сложнее. Во многих случаях можно использовать прием, когда ряд из отброшенных членов сравни-вают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Пример 13.8. Вычислить ,3ln взяв первые три члена разложения функ-ции в ряд. Оценить погрешность.

Р е ш е н и е. Будем использовать разложение в степенной ряд функции

,11ln

xx

формула (13.13). .12753

211ln

12753

n

xxxxxxx n

Этот ряд

сходится при .)1,1(x Полагаем ,311

xx тогда .

21,24;331 xxxx

Эта точка принадлежит области сходимости ряда. Тогда

.92

172

152

132

12123ln 9753

По условию, надо взять три первых

члена ряда. Погрешность вычисления – остаток ряда nr .

.132

1112

192

172

12 131197

nr Этот ряд знакопостоянный положи-

тельный. Оценим каждый член ряда следующим образом: множитель, следующий

за степенью двойки ( 9, 11, 13, …) заменяем на 7: ,72

1112

1;72

192

1111199

.,72

1132

11313

Правые части неравенств увеличиваются:

205

.21

21

211

721

721

721

721

7212

1321

1121

921

7212

6426

131197131197

nr

Ряд, стоящий в скобках, представляет собой бесконечно убывающую

геометрическую прогрессию со знаменателем .41

q Его сумма ,1

1

qaS

где

,11 a т.е. .34

411

1

S

Заменяя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию ее суммой,

получим .01,0212

134

721

46

nr Таким образом, взяв три члена ряда можно

вычислить 3ln с точностью до 0,01 095,152

132

12123ln 53

, т.е.

.095,13ln

Пример 13.9. Вычислить число е с точностью до 0,00001. Р е ш е н и е. Воспользуемся разложением функции xe в ряд Маклорена:

.,!!3!2!1

132

xnxxxxe

nx Полагая 1x , имеем

.!

1!3

1!2

1!1

11 n

e Этот ряд положительный. Остаток ряда nr имеет

вид

!)3(

1!)2(

1!)1(

1nnn

rn или

.)3()2()1(

1)2()1(

11

1!

1

nnnnnnnrn Заменяя каждый из

сомножителей ,5,4,3,2 nnnn меньшей величиной 1n , получим

неравенство .)1(

1)1(

11

1!

132

nnnnrn В скобках получаем беско-

нечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 11

1

nq и

первым членом 1

11

na , сумма S которой равна

111

1)1(

11

1

nnq

aS

206

.1)11()1(

1nnn

n

Получаем .

!1nn

rn Путем подбора определяем. при ка-

ком n будет выполняться неравенство .00001,0nr Положим, например, .4n

;010417,04!4

14 r ;001667,0

5!51

5 r ;000231,06!6

16 r

;000028,07!7

17 r .00001,0000003,0

8!81

8 r

Итак, принимаем 8n

,718279,2000025,0000198,0001389,0

008333,0041667,0166667,05,02!8

1!7

1!6

1!5

1!4

1!3

1!2

111

e

или 71828,2e с точностью до 0,00001.


5,0

0

2dxe x с точностью до 0,001.

Р е ш е н и е. Разложение в ряд функции xe :

,!!2!1

12

nxxxe

nx . x

Заменим х на ,2x получим разложение ,!3!2!1

1642

2 xxxe x

.001,00002,05376

1;001,00031,03201

1105921

53761

3201

241

21

29241

2761

5221

231

21

92476523!3!2!11

9753

2197535,0

0

6425,0

0 0

2

xxxxxdxxxxdxe x

Поэтому, начиная с четвертого члена, отбрасываем все оставшиеся члены

ряда, 4614,00031,00417,05,03201

241

215,0

0

2

2

dxex

или 0,461 с точно-

стью до 0,001.

Пример 13.11. Вычислить с точностью до 0,001 1

0.sin dx

xx

Р е ш е н и е. Разложим в подынтегральном выражении xsin в ряд

207

Маклорена

dxxxxdxx

xxxxdx

xx 1

0

6421

0

753

1

0 !7!5!31!7!5!3sin

0

1352806001850401206

17531

0

642

xxxxdxxxx

35280

16001

1811 . Так как ,001,0000028,0

352801

то

9461,06001

1811sin1

0 dx

xx с точностью до 0,0001.


Вычислить, взяв три члена соответствующего ряда Маклорена и оценить погрешность ε. 13.32. .3 e 13.33. .18sin 0

13.34. .1,15 13.35. .04,1ln


1 – 2. Найти области сходимости степенных рядов. 3. Разложить в ряд Маклорена. 4. Вычислить приближенно с точностью 001,0 .


1. .131

n

n

nx 1. .

!2

1

n

nn

nx 1. .

1212

n

n

nx

2.

.13)2(

1

nn

n

nx 2. .

3)4(

1

nn

n

nx 2. .)3(

!2!)12(

1

n

nn xn

n

3. .2

xx eey

3. .4cos3 xxy 3. .sincos2x

xxxy

4. .10,15,0

0

33

dxx 4. .10,sin5,0

0

3

dxx

x 4. .18/1

0

3 dxx

208


1. .71

nn

n

nx 1. .

531

n

n

nx 1. .

141 2

n n

n

nx

2. .43)2(

1

nn

nx 2. .)4(!1

n

nn x

nn

2.

.183

)1(1

nnn

nx

3. .2

xxarctgy 3. .

11ln1

xxy

3. .

21

xy

4. .1

5,0

04

xdx 4. .cos

1

0

3 dxxx 4. .375


1. .14

51

n

nn

n

x

1. .

545

1

nn

nn

nx 1. .

932

1

n

nn xn

2. .)1(31

n

n

n

xn

n

2. .)5(321

1

2

n

nn xn 2. .

)3()2(

1

nn

nn

nxn

3. .85 3xy 3. .5cos5sin xxy 3. .1

13 3x

y

4. .4sin1

0 dx

x

x

4. .1,0arctg 4. .2,0

1,03

dxxe x

Вариант 10

1. .4)23(1

nn

n

nx 2. .)3(3!

1

n

nn

n

xn

n 3. .4

sin

xy

4. .102410

209

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

Задания к главе 8 № Задание Варианты ответов Ответ 1

Если xyxz ln , то yz 1) xy ; 2)

yx2

; 3) 2yx ; 4)

yx ;

5) xx

y 1ln

4)

2 Если xyxyxz 442 , то xz

1) 142 xyx ; 2) 442 yx ; 3) 142 yx ; 4) 44 y ; 5) другой ответ

2)

3 Если xxyyxz 322 , то xxz

1) x2 ; 2) 22 yy ; 3) y2 ; 4) xy2 ; 5) 32 y

3)

4 Если

yxyz ln , то xyz 1) 1

xy ; 2)

x1 ; 3) 2x

y ; 4) 2y

x ;

5) yy

x 1ln

2)

5 Если zyxeu 32 , то xzu 1) zyxe 323 ; 2) zyxe 32 ; 3) zyxe 326 ; 4) zyxe 322 ; 5) другой ответ

1)

6 Найти xz в точке 4;3M , если

423 yxz

–12

7 Найти yz в точке

2;2 M , если

yxz 4sin2

16

8 Найти yyz в точке

21;4M , ес-

ли 4yxz

6

9 Найти yxz 5 в точке 0;1M , если

yxxyz 23 25

20

10 Полный дифференциал функ-ции 22 3 yxyxz в точке

2;1M равен…

1) dydx 87 ; 2) dydx 78 ; 3) dydx 78 ; 4) dydx 912 ; 5) dydx 712

3)

210

№ Задание Варианты ответов Ответ 11 Полный дифференциал функ-

ции 522 xyxyz в точке 1;2M равен…

1) dydx 4 ; 2) dydx ; 3) dydx 4 ; 4) dydx 5 ; 5) dydx 5

1)

12 Полный дифференциал функ-ции 2332 22 yyxxz в точке

1;2M равен…


3)

13 Полный дифференциал функ-ции 293 22 xxyyz в точ-ке 3;1M равен…


2)

14 Полный дифференциал функ-ции 7242 xxyyz в точке

3;4M равен…


2)

15 Если 67233 xyyxz , 0x , 0y , то минимум этой

функции minz

3

16 Если yxyxyz 62 , то максимум этой функции

maxz

12

17 Если 188

yx

xyz , 0x ,

0y , то минимум этой функ-ции minz

13

18 Если yxyxyxz 847 22 ,

то максимум этой функции maxz

23

19 Если функция 79622 yxyxyxz ,

имеет в точке 000 ; yxM экс-тремум, то 2

020 yx

17

20 Если функция

1339 yx

yxz , имеет кри-

тическую точку 000 ; yxP , то 00 yx

4

211

Задания к главе 9

№ Задание Варианты ответов Ответ 1 Найти интеграл

dxxxx 787 245 1) ;738

57

51 356 cxxxx

2) ;738

57

61 355 cxxxx

3) cxxxx 738

57

61 355

2)

2 Найти интеграл

dxxx

642

2

1) ;

88ln4 c

xxx

2) ;88ln4 c

xxx

3) cxxx

88ln4

1)


dxx6

cos2 1) ;

3cos

23

21 cxx

2) ;3

sin23

21 cxx

3) cxx 3

sin23

21

3)


dx

xx 22 85

13

1) ;22

arcsin53 cxarcctgx

2) ;22

arcsin53 cxarctgx

3) cxarctgx 23

arcsin53

2)

5 Найти интеграл dxx 9)21( 1) ;)21(

201 10 cx

2) ;)21(201 10 cx

3) cx 10)21(201

1)

6 Найти интеграл dxxx

52 13 1) ;)12(

181 62 cx

2) ;)13(91 52 cx

3) cx 62 )13(361

3)

212


222 xx

dx

1) ;)1( cxarctg 2) ;)1( cxarctg

3) cxarctg )1(21

2)


2942 xx

dx 1) ;

52

51 cxarctg

2) ;52

51 cxarctg

3) cxarctg

52

51

1)


542 xx

dx

1) ;)2( cxarctg 2) ;)2( cxarcctg 3) cxarctg )2(

3)


dx

xx

12

1) ;|1|ln21 2 cx

2) ;|1|ln21 2 cx

3) cx |1|ln31 2

1)


)15(xxdx

1) ;15

ln151 c

xx

2) ;15

ln151 c

xx

3) cx

x

15ln151

1)


122 xx

dx

1) ;34ln

71 c

xx

2) ;43ln

71 c

xx

3) cxx

34ln

71

2)


)9()1( xx

dx 1) ;

19ln

101 c

xx

2) ;19ln

101 c

xx

3) cxx

19ln

101

1)

213


1032 xx

dx 1) ;

52ln

71 c

xx

2) ;52ln

71 c

xx

3) cxx

52ln

71

3)


dxxx

221 1) ;

52

542 4

2

cxxx

2) ;52

942 4

2

cxxx

3) cxxx

4

2

92

542

3)

16 Найти интеграл dxx)32sin( 1) ;)32cos(

21 cx

2) ;)32cos(31 cx

3) cx )32sin(31

2)

17 Найти интеграл dxxx 7cossin 1) ;6cos

1218cos

161 cxx

2) ;6cos16116cos

81 cxx

3) cxx 6sin1218sin

161

1)

18 Найти интеграл dxxx 5sin5sin 1) ;10sin

101

3cxx

2) ;10sin201

2cxx

3) cxx 5sin

101

10

2)

19 Найти интеграл dxxx 9sin2sin 1) ;7sin

2217cos

141 cxx

2) ;11sin2217sin

141 cxx

3) cxx 11cos2217sin

141

2)

214


.2cos4cos dxxx 1) .2sin416sin

121 cxx

2) .2sin1213sin

41 cxx

3) .2sin413cos

41 cxx

1)

21. Найти интеграл

dxxx

2cos7sin

1) ;2

sin37cos71 cxx

2) ;2

cos27cos71 cxx

3) cxx 2

sin27cos71

3)


xdx

2

1) ;)2ln(42 cxx 2) ;)2ln(43 cxx 3) cxx )2ln(24

1)


2x

x

edxe

1) ;|2|ln cex 2) ;|2|ln 2 ce x

3) cex |2|ln21

1)


x

dx52

1) ;15ln253 cxx

2) ;25ln452 cxx

3) cxx 25ln52

2)


xxdx

9ln

1) ;ln71

7 cx

2) ;ln71

8 cx

3) cx 8ln8

1

3)


№ Задание Варианты ответов Ответ 1 Вычислить интеграл

7

226 dxxx

211

215


4

2

292832 dxxx

64

3 Вычислить интеграл

3

1

3 dxx

20


3

1 43 dxx

7


1

0

22 130 dxxx

4


4

2

3 dxxx

66


22

228dx

xx

2


9

4

13 dxx

x

40


2/

0cos

dxx

1


3

1

213 dxx

56


3

0

22 95 dxxx

162


2

14

2 18 dxx

x

21


2

0

2 23 dxxx

4

216


2/

02sinsin12

dxxx

2


2/

0

23 cossin15

dxxx

2


8/

03coscos128

dxxx

1


5/

0

2 5sin30

dxx

3


6/

8/2 2cos

134

xdx

4


e

xdx

1

1


6

1 33 dx

xx

20


10

32 586

84xxdx

3


1

0

5 dxee

x

5


4/

02cos

xdx

1


3

2224xdx

4


3/

1)sin(ln6

e

xdxx

3

217


№ Задание Варианты ответов Ответ 1 Определить порядок дифференци-

ального уравнения 22 yyx

3

2 Определить порядок дифференци-ального уравнения

033 yy

2


xxy 2sinsin 4

3


xyyy cos5584

2


2yyyx

1


0IV yy

4

7 1ln33 xxCy – общее решение дифференциального уравнения 022 xdxdyyxy . Найти C, если 30 y

9

8 Cx

yy

2

2ln – общее решение

дифференциального уравнения xyxyy 22 . Найти C, если

10 y

0

9 22 2

12

1lnx

xCy

y –

общее решение дифференциаль-ного уравнения 011 3233 dyxydxyx . Найти C, если 11 y

0

218

№ Задание Варианты ответов Ответ 10 xx eCeCy 3

22

1 – общее решение дифференциального уравнения

065 yyy . Найти частное решение, если 00 y , 40 y . В ответ указать значение 212 CC

4

11 xCxCy 3sin3cos 21 – общее решение дифференциального уравнения 09 yy . Найти частное решение, если 10 y , 60 y . В ответ указать значение

214 CC

2

12 xx xeCeCy 21 – общее решение дифференциального уравнения

02 yyy . Найти частное решение, если 30 y , 50 y . В ответ указать значение 213 CC

7

13 Уравнением с разделяющимися переменными является…

1) 9

62

x

y ;

2) 222yx

xyy

;

3) 02 xyy ;

4) 03 xyyy ; 5) 034 yyy

1)

14 Линейным уравнением первого порядка является…

1) 9

62

x

y ;

2) 222yx

xyy

;

3) xeyyy 65128 ;

4) 02 xyy ; 5) 034 yyy

4)

219

№ Задание Варианты ответов Ответ 15 Уравнением Бернулли является…

1) 9

62

x

y ;

2) 222yx

xyy

;

3) 02 xyy ; 4) 03 xyyy ; 5) 034 yyy

4)

16 Однородным уравнением первого порядка является… 1)

96

2 x

y ;

2) 222yx

xyy

;

3) 02 xyy ; 4) 03 xyyy ; 5) 034 yyy

2)

17 Линейным однородным уравнени-ем второго порядка с постоянны-ми коэффициентами является…

1) 222yx

xyy

;

2) xyyy 4cos8 ; 3) 02 xyy ; 4) 03 xyyy ; 5) 034 yyy

5)

18 Линейным неоднородным уравнением второго порядка с по-стоянными коэффициентами явля-ется…

1) 9

62

x

y ;

2) 222yx

xyy

;

3) xyyy 4cos528 ; 4) 02 xyy ; 5) 034 yyy

3)

19 Найти общее решение (общий ин-теграл) дифференциального урав-нения yxy ctg12 .

1) Cxxy 2cosln ; 2) Cxxy 2cosln ;

3) Cxxy

22cos

1 ;

4) Cxxy

22sin

1 ;

5) Cxy

2cos

12

2)

220

№ Задание Варианты ответов Ответ 20 Найти общее решение (общий ин-

теграл) дифференциального урав-нения xdxyxdyy sincoscossin .

1) xCy coscos ; 2) xCy sinsin ; 3) Cxy coscos ;

4) Cxy 22 coscos ; 5) Cxy tgtg

1)

21 Найти общее решение (общий ин-теграл) дифференциального урав-нения 21

2yxey x .

1) ysinarc Cex 2

5,0 ;

2) yarctg Cex 2

;

3) yarctg Cex 2

2 ;

4) 1ln 2y Cex 2

5,0 ;

5) yarctg Cex 2

5,0

5)

22 Найти общее решение (общий ин-теграл) дифференциального урав-нения 0cos1 22 yxy .

1) xCy arccostg ;

2) 21lntg xxCy ; 3) xCy arcsinctg ; 4) xCy arcsintg ; 5) xCy arccosctg

4)

23 Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения

4π0,11

2

2

y

xyy

1) 1arctgarctg xy ;

2)4

xy ;

3) 3arctgarctg xy ; 4) 1arctgarctg xy ;

5) 3arctgarctg xy

4)

24 Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения

30,2ctg yyxy

1) xy cos2 ; 2) xy cos21 ; 3) xy sin3 ; 4) xy sin2 ; 5) xy cos2

1)

25 Найти общее решение дифферен-циального уравнения

322 xyyx

1) xCxy 12 ; 2) xCy 1 ;

3) xCxy 12 ; 4) xCy 1 ;

5) 32 3xCxy

1)

221

№ Задание Варианты ответов Ответ 26 Найти общее решение дифферен-

циального уравнения

323x

yx

y

1) Cxy 22 ; 2) 3252 Cxxy ; 3) Cxy 252 ; 4) xCxy 21 ; 5) 322 xCxy

5)


xxyy tgtg

1) Cy 1 ; 2) xCy cos1 ; 3) 1sin xCy ; 4) 1cos xCy ; 5) 1cos xCy

4)


xxyy coscos

1) 1sin xCey ; 2) Cey x sin ; 3) 1sin xCey ; 4) 1cos xCey ; 5) 1Cy

3)


xxyxy cos

1) Cxxy sin ; 2) Cxxy sin ; 3) Cxxy cos ; 4) Cxxy sin ; 5) Cxxy sin

4)

30 Найти частное решение линейного дифференциального уравнения

10, yeyy x

1) xexy 1 ; 2) 1 xxey ; 3) xexy 12 ; 4) xexy 1 ; 5) 1 xxey

1)


01,012 yxyyx

1) xxy ln ; 2) xxy ln ; 3) xxy ln ; 4) xxy ln ; 5) xxy 11 2

4)


01,22 4 yxyyx . В ответ записать 2y

12

222

№ Задание Варианты ответов Ответ 33 Найти частное решение линейного

дифференциального уравнения

01,3 yxy

xy . В ответ за-

писать 3y

18

34 Найти общее решение (общий ин-теграл) однородного дифференци-ального уравнения первого порядка

xyxyxy

cos

1) xCxy lncos ; 2) xCxy lnsin ; 3) 21sin xCxy ; 4) 21cos xCxy ; 5) xCy lnsin

2)


xyxeyyx

1) xCe xy ln ; 2) Cxe xy ln ; 3) Cxe y ln ; 4) Cxe xy ln ; 5) Cxe xy 21

4)

36 Найти общее решение (общий ин-теграл) однородного дифференци-ального уравнения первого порядка 02 xdydxyxy

1) Cxxy 2ln ; 2) Cxxy 2ln ; 3) Cxy 2ln ; 4) Cxxy 21 ; 5) Cxxy ln

1)


yxyyx 2

1) Cxxy ln ; 2) Cxy ln ; 3) Cxxy ln ; 4) xCxy ln ; 5) Cxxy ln

5)

38 Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами

0168 yyy

1) xx eCeCy 42

41 ;

2) xCxCy 4sin4cos 21 ; 3) xCCey x

214 ;

4) xeCCy 421 ;

5) xCCey x21

4

5)


054 yyy

1) xx eCeCy 22

31 ;

2) xCxCey x 5sin5cos 21 ;

3) xeCy 1xeC 5

2 ; 4) xCxCey x sincos 21

5 ; 5) xeCy 5

1xeC2

3)

223

№ Задание Варианты ответов Ответ 40 Найти общее решение линейного

однородного дифференциального уравнения второго порядка с по-стоянными коэффициентами

025 yy

1) xCxCy 5sin5cos 21 ; 2) 2

251 CeCy x ;

3) 225

1 CeCy x ; 4) xx eCeCy 5

25

1 ;

5) xCxCey x 5sin5cos 21

5

1)


07 yy

1) xCCey x21

7 ; 2) xeCCy 7

21 ; 3) xCxCy 7sin7cos 21 ; 4) xx eCeCy 7

27

1 ;

5) xx eCeCy 721

2)


054 yyy

1) xx eCeCy 221 ;

2) xCxCey x 2sin2cos 21 ;

3) xx eCeCy 23

1 ; 4) xCey x cos1

2 xC sin2 ; 5) xx eCeCy 2

41

4)


06416 yyy

1) xx eCeCy 82

81

; 2) xCxCy 8sin8cos 21 ; 3) xCCey x

218 ;

4) xeCCy 821

; 5) xCCey x

218

5)


№ Задание Ответ 1 Записать общий член ряда

10004

41003

3102

2111

2 Пользуясь определением сходимости ряда, найти его сумму

2564

483

162

41

31

3 Если ряд n3

5275

95

35 сходится, то

его сумма равна 25

224

№ Задание Ответ 4 Найти сумму ряда по определению

)52()12(

1115

193

171

1nn

9023

5 Найти сумму ряда по определению

n

nn

963

729243

81451

3

6 Записать общий член ряда

222 41

413131

21211

7 Записать общий член ряда

42

725

23

21

32

8 Найти сумму ряда

)13()23(

11071

741

411

nn 3

1

Исследовать сходимость рядов

9

1 12n nn

Расход.

10

1

1n n

Расход.

11

1 11

1n

n

n

Сход.

12

1

1n nn

Сход.

13

1 52

n

n

Сход.

14

1 1427

nn

nn

Сход.

15

1 743

n nn

Расход

16

13 42

n nn

Сход.

17

1n ntg

Расход.

18

1n ntg

Расход.

225

№ Задание Ответ 19

15

2

4n nn

Сход.

20

1 2sin

nn

Сход.

21

1 231

n n

Расход.

22

1 )4ln(1

n n

Расход.

23

1 3sin

n n

Расход.

24

1 )2()3(1

n nn

Сход.

25

1

1n narctg

Расход.

26

1 13n

n

nn

Сход.

27

1 !2

n nn

Сход.

28

1 61

nnn

Сход.

29

1 7arcsin

n

n

n

Сход.

30

1 ))1(ln(1

nnn

Сход.


№ Задание Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки 0x

1 3

1

x

y в окрестности точки 30 x

2 3 xy в окрестности точки 10 x

3 xy ln в окрестности точки 20 x

226

№ Задание 4 xey в окрестности точки 30 x 5

21

x

y в окрестности точки 50 x

6 xey 1 в окрестности точки 10 x 7

6sin xy

в окрестности точки 30 x

8 3 2xy в окрестности точки 10 x 9

xy 1 в окрестности точки 30 x

10 xy ln в окрестности точки 30 x Разложить в ряд Маклорена 11

3 321x

y

12 x

xx

y

1

1ln1

13 xarctgy 14 xy 3cos1 15 xy 2sin 16

241x

y

17 x

y

11

18 2arcsinxy 19 xxy cos 20 22ln xy

227

ОТВЕТЫ

Глава 8

8.1. а) ;3)3;1(;34)1;2( zz б) .

611

31;

21;34

3;2

zz

8.2. а) ;922 yx б) ;xy в) ;xy г) ,1 xy х – любое;

д) ;22,22 yx е) ;11 yx ж) ;44,4,4 yxx

з)

0cos0x

y или ;

0cos0

xy

и) ;2 xy к) ;1,1 xyxy л) ;, xyxy

м) ;),3,2,1,0()12(2 22 nnyxn н) ;xy о) .0,5 yx

8.3. а) ;0,0,0 zyx б) ;0xyz в) ,1,1 yx ;1z г) .1222 zyx

8.4. а) )0(22 ccyx окружности; б) cxy 1c гиперболы или пара

прямых ;0,0 yx в) )0(4 22 ccyx – эллипсы; г) )0( ccxy – гипербо-

лы или пара прямых 0,0 yx ;)0( c д) 2cxy )0,0( xc – параболы с выколотой точкой (0; 0) или 0x )0( y – ось Оу с выколотой точкой (0; 0); е)

cyx 22 49 )0( c – гиперболы или пара прямых xy 32 , .)0(32 cxy 8.5. а) yxcz – плоскости в пространстве; б) yxcz – плоскости

в пространстве; в) )0(,222 cczyx – сферы; г) 22 yxcz – поверх-ности уровня. 8.6. а) 6; б) 27; в) – 4; г) – 1; д) е; е) 1 ж) предел не существует; з) предел не существует; и) 0; к) 0.

8.7. а) О (0; 0) – точка разрыва; б) 922 yx – окружность; в) xy – прямая; г) 0x или 0y – ось Ох и ось Оу; д) М (2; – 3) – точка разрыва; е) xy – прямая; ж) yxz – плоскость; з) 0x или 0y или 0z – коорди-натные плоскости.

8.8. а) ;33;33 22 xyyzyx

xz

б) ;)42cos()42sin(2 yxxyxxxz

;)42cos(4 2 yxxyz

в) ;

)3(

4;)3(

422 yx

xyz

yx

yxz

г) ;1

yyxxz

228

;ln xxyz y

д) ;4;3

2

4

xy

yz

x

yxz

е) ;cos

;cos

2

sinsin

yyxxe

yz

yyxe

xz

yx

yx

ж) ;22

322

yx

xyxz ;22

322

2

yx

xyz з) ;1

yaxctg

yxz

;2 3 y

axctgy

axyz

и) ;1;2 xy

z

x

yxz

к) ;

2

25

32

2

yx

yx

xz

;53

2

yx

xyyz л) ;

22 yx

yxz

;22 yx

xyz

м) ;sin2 2

yxx

xz

;cos2

2

y

xyz

н) ;)( 1

zxyyzxu ;)( 1

zxyxzyu ;)ln()( xyxy

zu z

о) ;ln zyzxu xy

;ln zxzyu xy

.)( 1

xyzxyzu

8.9. а) dxxyxdz

103 2 ;54 23 dyxy

б) ;32 2

dyxydxyxydz

в) ;342

22

dyxydxyx

xydz

г) ;2sin2sin dyydxxdz д) dxxydz y 12

;)ln1( dyxyx y е) ;3

33

22

yx

dyydxxdz

ж) ;1

dy

yxdx

yxdz

з) ;)(222 yx

dyxdxydz

и) ;2sin

2

dyyxdx

yxy

dz к) ;dzxydyxzdxyzdu

л) ;3

2333

222

zyx

dzzdyydxxdu м) .)( dzdyxzdxyzedu xy

229

8.10. а) 1,01; б) 0,272; в) 5,014; г) 9,26; д) 0,805; е) 4,40;

8.11. 2

39 . 8.12. 1. 8.13.

21 . 8.14.

33

. 8.15. 1368 . 8.16. ji 49 .

8.17. ji43

45

. 8.18. kji 236 . 8.19. 103arccos .

8.20. а) ;242 2 tttttdtdz

б) ;0dtdz в) ;

tt ee

dtdz

г) .1

3

112

433

44 2

2

22

2

t

tctgtt

tt

dtdz

8.21. а) ;1 22yx

xeydxdz x

б) ;)(4

22

yx

yxxdxdz в) ;)(1 xxe

dxdz y г) .21

3x

ydxdz

8.22. а) ;)2(2y

xyxuz

;)3(22y

xyxvz

б) ;sincos22 yx

vyvxuz

;)sincos(22 yx

vxvyuvz

в) ;1ln1

vxxvyx

uz yy

;ln2

1

v

uxxuyxvz yy

г) ;222 22 uyxxyxyuz

.222 22

yxxvyxyvz

8.23. а) ;54

23

yx

dxdy б) ;3

xy

dxdy

в) ;3

333

33

xy

yx

exe

eyedxdy

г) .

43

342

2

axy

xaydxdy

8.24. а) ;23

322

2

xz

xzxz

;23

32

2

xz

yyz

б) ;31

xz ;

32

yz

в) ;33

322 xyz

yzxxz

;33

3342 xyz

xzyyz

г) ;cossinsincosxzyxzy

xz

.cossin

cossinxzyzyx

yz

8.25. а) ;2

22

2

2

2

yx

xy

x

z ;22

2

2

yx

xyxz ;1

22

2

2

yxy

z

230

б) ;1

22

22

2

x

x

x

z ;02

yxz ;

1

22

22

2

y

y

y

z в) ;

23

2

2

2

2

yxy

y

x

z

;

23

2

2

yxy

xyyxz ;

23

2

2

2

2

yxy

x

y

z г) ;)1(

)1(232

2

x

y

x

z

;)1(

12

2

xyxz ;0

2

2

y

z д) ;)cos(2

2

yxx

z

;)sin()cos(2

yxxyxyxz

;)sin(

2

2

yxxy

z

е) ;)1( 2

2

2

2

x

y

x

z

;1

22

xy

yxz .)1ln(2

2

2

xy

z

8.26. а) 2

5

32 12 dx

x

yzd ;618 2

34

2

dyx

ydxdyx

y б) ;12 22

2

2 dyy

dxdyx

dxx

yzd

в) 22

22 yxezd

;12412 2222 dyyxydxdydxx

г) .cos

sin2sin2 2

3

22 dyydxxzdy

8.27. а) ;1)1;4(min z б) ;12)4;4(max z в) ;3)21;1(min z г) ;2)0;2(min e

z

д) ;3ln1810)3;1(min z е) ;1)0;1(min z ж) ;1)0;0(max z з) экстремума нет.

8.28. а) ;2)1;1(min z б) ;4)2;2(max z ;4)2;2(min z в) )1;1(minz

;1)1;1(min z ;1)1;1()1;1( maxmax zz г) .13102)

1312;

1318(min z

8.29. а) наибz33

2 при

32

x , 31

y , 33

2наимz при

32

x , 31

y ;

б) 13наибz при 2x , 1y (краевой максимум), 1наимz при 1 yx

(внутренний минимум) и при 0x , 1y (краевой минимум); в)

52;1 наимz , 113;2 наибz ; г) 112;3 наимz , 92;1 наибz ; д)

40;2 наимz , 63;3 наибz .

231

8.30. 3 2V , 3 2V , 3 25,0 V . 8.31. 4 3/2 Abl , 3/ , где l – боковая сто-рона трапеции, b – основание, – угол наклона боковой стороны, A – дан-ная площадь сечения. 8.32. 2/5hR , 2/hH , где R – радиус основания палатки, H – высота цилиндрической части, h – высота конической верхушки.

8.33. S2 , S2 , S2 . 8.34. 3/ SR .

Глава 9

9.1. .74221

51 2345 cxxxxx 9.2. .8ln7523 c

xxxxx

9.3. 3

31 x .12 c

xx 9.4. .

33

222 cxbabxxa

9.5. .42

3 43

32223 cxbxabbxaxa 9.6. .12 cxx

9.7. .2||ln231

61 2 c

xxxx

9.8. .232||ln 2 cxx

x 9.9. x1

.111753 cxxx

9.10. .35

251

35 c

xx

9.11. .213||ln3 2 cxx

xx 9.12. .14||ln7663 223 c

xxxxxx

9.13. .1||ln21

31 23 c

xxxx 9.14. .

212||ln32

21

22 c

xxxxx

9.15. .321 2 cxx 9.16. .

3232ln

121 c

xx

9.17. .55ln

521 c

xx

9.18. .24

1 cxarctg 9.19. .221 cxarctg 9.20. 2

21 x .

332 cxarctg

9.21. .11ln

25 c

xxx

9.22. .cxarctgx 9.23. .

11ln

21 c

xxx

9.24. .31 3 cxarctgxx 9.25. .ln

2c

axaxax

9.26. .

31 3 cxxxarctg

9.27. .||ln cxarctgx 9.28. .21

5123 223 cxxxx 9.29. xxxx

332

23 3

.5 cx 9.30. .1526 2 cxxx 9.31. .

43

32 3 cxxxx 9.32. .42 4 cxx

9.33. .ln6332 cxxxxx 9.34. .)4(

43 3 cxx

232

9.35. .2

387

3 27 c

xxx 9.36. .3

712

236

2

cxxxx 9.37.

.9242 2 cx

xx 9.38.

1242nxxn

.14

2 2

cnx n

9.39. .3

32 cxxa

9.40. .23arcsin

31 cx

9.41. xarctg3 .arccos7 cx

9.42. .2

arcsin322

5 cxxarctg 9.43. .8arcsin2 carctgxx

9.44. .arcsin3 cxx 9.45. .1ln5 2 cxxx 9.46. 23ln xx

.3

arcsin cx 9.47. .15 3 c

xex 9.48. .

21

2 cx

ex 9.49. .cxex

9.50. .2250ln

2250 cx

9.51. .3ln3

33

ce xx

9.52.

.3

5ln3

5

3ln3 c

xx

9.53. 7ln7

25x

.5ln5

7 cx 9.54.

.5ln5

3

152ln2

152

cx

x

9.55. .3

22ln

2 cxx

x

9.56. a

a x

ln.44 cx 9.57. .sin

21

21 cxx 9.58. .cxxtg

9.59. .cxxctg 9.60. .sin4cos3 cxx 9.61. .cos3 ctgxx

9.62. .sin78 cxtgx 9.63. .sin3 cxxxtg 9.64. .41

41 ctgxxctg

9.65. .21

21 cxtgxctg 9.66. .3cos2

31 3 cexx x 9.67. .43 cxctgxtg

9.68. .5cos32 cxxxctg 9.69. .21 cxxctg 9.70. .

21 ctgx

9.71. .21 cctgx 9.72. .cos cxx 9.73. .94 cxctgxtgx

9.74. .23 cctgxtgx 9.75. .)(21 cbctgxatgxc

9.76. .)(1 cbtgxactgxc

9.77. .)25(141 7 cx 9.78. .)21(

321 44 cx 9.79. .|53|ln

51 cx

9.80. .|35|ln61 2 cx 9.81. .

)1(41

22 cx

9.82. .33

1)9ln(23 2 cxarctgx

9.83. .3

123

2 cxarctg 9.84. .

32ln c

xx

9.85. .4

341 cxarctg

233

9.86. .1ln cxx

9.87. .|53|ln 2 cxx 9.88. 32ln x .23 2 cxx

9.89. .553

1 3

cxarctg 9.90. .)2(21 2 cxarctg 9.91. .

52

542 2

cxarctg

9.92. .12

1 cx

9.93. .7272 cx 9.94. .13)13(

92 cxx

9.95. .21)21(83 3 cxx 9.96. .1)1(

31 22 cxx

9.97. .3)3(41 3 33 cxx 9.98. .1 2 cx 9.99. .32

92 3 cx

9.100. .)1(23 3 2 cx 9.101. .221ln 2 cxxx

9.102. .21arcsin cx

9.103. .2

2arcsin cx

9.104. .5

34arcsin2

1 cx

9.105. .3

arcsin335 2 cxx 9.106. .133ln32

1 42 cxx

9.107. .1ln1 22 cxxx 9.108. .2

arcsin2 2 cxx

9.109. .493ln3149

92 22 cxxx 9.110. .1ln

31 63 cxx

9.111. .1

12

cx

9.112. xx 1)1(32 .1)1(

52 2 cxx

9.113. .)3(2)3(52 35 cxx 9.114. cxx 3)1()73(

152

9.115. .)1(92 33 cx 9.116. .)1(

31)1(

51 3252 cxx

9.117. 532 x .553553ln5 c

xx

9.118.

.2222ln

212

2

22 c

xxx

9.119. x2 .)1ln(2 cx 9.120.

.11ln212 cxx

9.121. 33 2 13)1(23

xx .11ln3 3 cx 9.122. .12 cxarctg

9.123. .3

9232 cxarctg

9.124. .33

2 cxarctg 9.125. .22ln

21 c

xx

234

9.126. cxx 33 )1(31)1(

31 9.127. .12 cxarctg 9.128. .11ln

2

cx

x

9.129. 442 xx .)1ln(4 4 cx

9.130. tttttt 4812835

1276 23457 2ln24 2t

.1,22

96 6 xtctarctg 9.131. .1

ln6 6

6c

xx

9.132. .

51 5 ce x

9.133. .3 33 ceexx

9.134. .21 2

ce x 9.135. .31 13

cex 9.136. .41 4

cex

9.137. .25ln

2510ln

1024ln

4 cxxx

9.138. .)7ln( cex 9.139. .4221 2 cxee xx

9.140. .66ln

641

2

2

ceex

x

9.141. .552

1 2

cearctgx

9.142. .|32|ln61 2 ce x

9.143. .sin ce x 9.144. .)1ln(51 5 cex x 9.145. .

1111ln c

eex

x

9.146. .2

22 cearctgx

9.147. .2 ce x 9.148. .

4arcsin2

2ce

x

9.149. .ln2

1x

x

eeee

ec

9.150. .)1(

34)1(

74 4 34 7 cee xx

9.151. .|ln|ln cx 9.152. .|ln3|ln cx 9.153. .)1ln2(81 4 cx

9.154. .|)13ln(|ln31 cx 9.155. .

ln1 cx 9.156. .)ln2(

32 3 cx

9.157. .|ln|lnln cx 9.158. 3)ln2(

32

x .ln24 cx

9.159. .2

1lnarcsin2lnln21 c

xxx

9.160. xln

.|2ln2ln|ln2ln cx 9.161. .2

sin2 cx 9.162. .3cos

31 cx

9.163. .)cos(1 bxab

c 9.164. .)sin(1 cbxab

9.165. .331 cxtg

9.166. .221 cxctg 9.167. .sin

21 2 cx 9.168. .)1sin(

31 3 cx

235

9.169. .6sin1214sin

81 cxx 9.170. .cos

215cos

101 xxc

9.171. .12sin2412sin

41 cxx 9.172. .3

3sin2

31 3

cx

9.173. .2

cos121 4

xc 9.174. .8sin3216sin

2414sin

1612sin

81 cxxxx

9.175. .sin31 3 cx 9.176. .cos

41 4 cx 9.177. .|cos|ln cx

9.178. .|sin|ln cx 9.179. .|2sin|ln21 cx 9.180 .|5cos|ln

51 cx

9.181. .cos51cos

32cos 53 cxxx 9.182. .sin

51sin

32sin 53 cxxx

9.183. .cos2 cx 9.184. xx 2sin41

165

.2sin4814sin

643 3 cxx

9.185. .23sin4814sin

6432sin

41

165

cxxxx

9.186. .4sin412sin|sin|ln cxxx 9.187. .|sin|ln2

214

41 cxxctgxctg

9.188. .|cos|ln21 2 cxxtg 9.189. .

sin21

2 cx 9.190. .

cos31

3 cx

9.191. .1sin cx 9.192. .2cos1ln cx 9.193. .

sincos2 cxx

9.194. .|2cos21|ln41 cx 9.195. .|cos31|ln

31 cx 9.196. .

cos2sin cx

x

9.197. .)cos31ln(31 2 cx 9.198. .|sin21|ln

21 cx 9.199. |sin|ln2 x

.2 cctgx 9.200. .|2sin|ln cx 9.201. .)2(cos cxarctg 9.202. cctgxx cos . 9.203. .cos32 cxctgx 9.204. .sin45 cxtgx

9.205. .cos21

2cx

bctgxba

9.206. .7

cosarcsin2

cx

9.207. .21coscosln

21 2 cxx 9.208. .53

52 xсosc

9.209. .cos21 cx 9.210. .sin32arcsin

21 cx

9.211. c .)sin74(143 3 2x 9.212. .

23 3 2 cxctg 9.213. .

32 3 cxtg

236

9.214. xx cossin2 .c 9.215. .cossin1 222222 cxbxaba

9.216. .)cos(ln cx 9.217. .2arcsin4141

41 22 xxc 9.218. .|arcsin|ln cx

9.219. .)( 2 cxarctg 9.220. .arcsin31 3 cx 9.221. .)1(2 cxe x

9.222. .)1( cxex 9.223. .)1( cex x 9.224. .)2( cex x

9.225. .)43(3 23 cxxex

9.226. .)53275(2 22 cxxex

9.227. .)4(2 cxe x

9.228. .)13(32 3 cxe x 9.229. .61613)1(4 44 314

cxxxe x

9.230. .91

31 33 cexe xx 9.231. .)14(

161 4 cxe x 9.232. .

)2(ln2

2ln2

2 cx xx

9.233. .)7(ln

77ln7

2 cx xx

9.234. .)(2 cabaxe x

9.235. .)12(4 32

2

cxnne xn

9.236. cxxex )22( 2 . 9.237. .)22( 2 cxxe x

9.238. .)21025(125

1 25 cxxe x 9.239. .)186(3 23 cxxex

9.240. .)522(41 22 cxxe x 9.241. xe2

21 .

31)1(2 3 cxxex

9.242. .31

212 232 cxxxexe xx 9.243. 23 3xxe x .66 cx

9.244. .)3664(81 232 cxxxe x 9.245. .)1(

21 22

cxex

9.246. .)663()663( 23123 cxxxexxxe xx

9.247. .)22(21 242

cxxex 9.248. .)212(2 1 cxxe x

9.249. )22(343

23

31 2223 xxeexee xxxx .

41 4 cx

9.250. .)cos(sin21 cxxex 9.251. .)3cos63(sin

372 2 cxxe

x

9.252. .)5cos55sin2(29

2

cxxe x

9.253. .)cossin2(5

2

cxxe x

9.254. .2

cos52

2sin

51

21 cxxex

9.255. .)22sin2(cos

8

2

cxxe x

237

9.256. .2cos2sin14 22

2

cba

bxabxba

e ax

9.257. .)3cos3sin3(10

cxxex

9.258. .sin)cos(sin)cos2(sin51 2 cxxxexxe xx

9.259. cxxe x

2cos4

2sin

172 2

. 9.260. .)cos()sin(21 222 ceee xxx

9.261. .)cos()sin(22 cbxabxbba

eax

9.262. .cos

21)cos(sin

21 cxexxxe xx

9.263. .5

arcsin252521 2 c

xxx

9.264. .24

6

)4(

162561

222 cx

arctgx

x

x

x

9.265. .21

)1(2 2 carctgxxx

9.266. .9ln9921 22 cxxxx

9.267. .7ln7721 22 cxxxx

9.268. .ln21 22222 caxxaaxx 9.269. .ln cxxx

9.270. xc .|2|ln)2( xx 9.271. .5ln cxxx

9.272. .)9ln()9( cxxx 9.273. .33ln

312)1ln( 2 c

xxxxx

9.274. .21ln21

2ln1 cxxx

9.275. .

41ln

21 22 cxxx

9.276. .413ln

21 22 cxxx 9.277. )1ln()1(

21 2 xx .

21

41 2 cxx

9.278. .32ln

32 3 cxx

9.279. cxxxxx 2

21)1ln()2( 22 .

9.280. .91ln

31 33 cxxx 9.281. .

91

3ln

31 33 cxxx 9.282. )2ln()8(

31 3 xx

.34

31

91 23 cxxx 9.283. .2

21

91ln2

31 2323 cxxxxxxx

9.284. .4

2789

41

161)3ln()81(

41 2344 cxxxxxx

9.285. xxx 2ln84

4

.8

16

4

cxx 9.286. .2ln2ln 2 cxxxxx

9.287. .213ln3ln

22

2

cxxx

9.288. .

89ln

23ln

43 23

4

cxxx

238

9.289. xxxxxxxx ln292ln

32322

3

.2

21

272 23 cxxx

9.290. .43

91ln

23

323

23

cxxxxx

9.291. cx

x )1(ln1

9.292. .)1ln2(41

2 cxx

9.293. .)12ln2(41

2 cxx

9.294. cxxx 43ln2 .

9.295. .14)1ln(12 cxxx 9.296. .49ln

23 3 23 2 cxxx

9.297. .2ln3ln49

278 2

3cxx

x

9.298. .)2ln2(ln1 2 cxx

x

9.299. .43ln

23ln

23ln

21 23

2 cxxxx

9.300. .ln)1ln(ln cxx

9.301. .2sin2cos2 cxxx 9.302. .cossin cxxx

9.303. x4sin161 .4cos

4cxx

9.304. .5cos525cos

55sin

251 cxxxx

9.305. .2sin412cos

23 cxxx

9.306. .sin)2(6cos)6(2 cxxxxx

9.307. cxxxxx cos2sin2cos2 .

9.308. .7cos34327sin

4927cos

7

2

cxxxxx

9.309. xxxx 2sin2cos2 .2cos2 cx

9.310. cxaxxxx 2cos)21(

412sin

22cos

2

2

.

9.311. )12(2

sin4 xx .)5(2

cos2 2 cxxx

9.312. )25918(3cos271 2xxx .)1(3sin

92 cxx

9.313. .sin6cos6sin3cos 23 cxxxxxxx

9.314. .cossin21 222 cxxx 9.315. .

2ln

sincxtg

xx

9.316. .sin2

12 cctgxx

x

9.317. cxctgxx |sin|ln)1( .

9.318. .66|6sin|ln361 cxxctgx

9.319. .)5cos(ln)5sin(ln2

cxxx 9.320. .

3lncos

3lnsin

2cxxx

239

9.321. .9

lncos9

lnsin2

cxxx

9.322. .)cossin(2 cxxx

9.323. .cos)73(2sin)7(2 cxxxxx 9.324. .cossin cxxx

9.325. .3cos913sin

3cxxx

9.326. xx 2sin)19(21

.2cos49 cx

9.327. .2

cos12

sin2

122 cxn

nxn

nx

9.328. xxxx cos2sin2 .sin2 cx

9.329. .)5sin25cos105sin25(125

1 2 cxxxxx 9.330. xx cos)14(

.sin)32( 2 cxxx 9.331. .sin2cos2sin 32

2

cxaxbaxxcbxax

9.332. .cos)12(3sin)133( 223 cxxxxxxx 9.333. .|cos|ln cxtgxx

9.334. .)4cos4sin48(321 2 cxxxx 9.335. .)(

21 2 cxtgxxtgx

9.336. .)2sin2)cos(sin42(41 2 cxxxxee xx 9.337. .)lnsinln(cos

2cxxx

9.338. .3

lnsin3

lncos2

cxxx

9.339. .))ln3sin(3)ln3(cos(

10cxxx

9.340. .21|cos|ln 2xxtgxxc 9.341. .1arcsin 2 cxxx

9.342. .42

arcsin 2 cxxx 9.343. .21arcsin

21 2 cxxxx

9.344. .42412arcsin

41 2 cxxxx

9.345.

.14

arcsin41

22

2

cxxxx

9.346. .91

123arcsin

361

22

2

cxxxx

9.347. .1911

49arcsin)3662(

61 2

223 cxxxxxxx

9.348. .arcsin12)2(arcsin 22 xxxxc 9.349. .2arcsin12 cxxx

9.350. .3arcsin31332 cxxx 9.351. .2

41

2sin2 2 cxctgx

x

9.352. .2

arcsin2224 cxxx 9.353. .)1ln(21

1arcsin 2

2cx

xxx

9.354. .42ln21

2arcsin1 2

cx

xxx

9.355. .1arccos 2 cxxx

9.356. .42

arccos 2 cxxx 9.357. .91313arccos 2 cxxx

240

9.358. x .1

arccos cxarctgxxx

9.359. .1)11(91arccos

322

3

cxxxxx

9.360. .212arccos2 cxxx 9.361. .14arccos12 cxxx

9.362. .2arccos12 cxxx 9.363. .arccos1 2 cxxx

9.364. .)1ln(21 2 cxarctgxx 9.365. .)25ln(

25

52 cxxarctgx

9.366. .)361ln(1216 2 cxxarctgx 9.367. .)1( cxxarctgx

9.368. .122112)1( cxxarctgx 9.369. .

21)1(

21 2 cxarctgxx

9.370. .1819)181(

1621 2 cxxarctgx 9.371. .

2)(

21 22 cax

axarctgax

9.372. .61)1ln(

65)6(

31 223 cxxarctgxxx 9.373. .2

2)4( cxxarcctgx

9.374. .2

222322

2

cxarctgxxxxarcctgx 9.375. 1

22

2

xarcctgx

.121 2 cx 9.376. .

4)41ln(2)1324(

81 22 cxxxarcctgxx

9.377. .|7|ln cx 9.378. .|3|ln cx 9.379. .|21|ln23 cx

9.380. x2|ln25

+ .|3 c 9.381. .1111

1 cxarctg 9.382. .44ln

161 c

xx

9.383. .33ln

181 c

xx

9.384. .113

331 cxarctg 9.385. .

192192ln

3821 c

xx

9.386. .3ln31 c

xx

9.387. .

4ln

81 c

xx

9.388. .7

ln71 c

xx

9.389. .2

1 cx

9.390. .5

1 cx

9.391. .2121ln

221 c

xx

9.392. .23ln

51 c

xx

9.393. .22432243ln

2221 c

xx

9.394. .19ln

101 c

xx

9.395. .322322ln

341 c

xx

9.396. .21ln

31 c

xx

9.397. .1636ln

81 c

xx

9.398. .31ln

41 c

xx

9.399. .6313ln

51 c

xx

9.400. .10272ln

171 c

xx

241

9.401. .3

331 cxarctg

9.402. .785

72 cxarctg

9.403. .23

34232 cxarctg

9.404. .5

125

2 cxarctg 9.405. .

)1(2ln 3 c

xx

9.406. .|1|ln21

512512ln

521 2 cxx

xx

9.407. |84|ln21 2 xx –

.322322ln

341 c

xx

9.408. .

6ln

61|6|ln

21 2 c

xxxx

9.409. 22|ln41 x

– .72227222ln

1425|18 c

xxx

9.410. .

)2(

)3(ln 2

3

cx

x

9.411. ||ln

32 x

– .|3|ln35 cx 9.412. .

1)2(ln

3

cxx

9.413. .32)1(ln cxx 9.414. 2|ln21 x

– .24ln|82 c

xxx

9.415. .

31

21)102ln(

45 2 cxarctgxx

9.416. 22|ln

41 x

+ .5

1252

9|32 cxarctgx

9.417. .2

125|52|ln

21 2 cxarctgxx

9.418. .23

12233|6|ln

21 2 cxarctgxx

9.419. .)74ln(

21 2 cxx

9.420. .14

131435)523ln(

61 2 cxarctgxx

9.421. )84ln(

23 2 xx

– .2

225 cxarctg

9.422. .4

11020)17,02,0ln(8 2 cxarctgxx

9.423.

53ln32

xx .|158|ln3 2 cxx

9.424. .2

1552)125ln(

101 2 cxarctgxx

9.425. .3

1265)522ln(

45 2 cxarctgxx

9.426. )2910ln(

21 2 xx

– .2

55

11 cxarctg

9.427. .3552

3251

255)5(ln

1501

2

2

cxarctgxx

x

9.428. .322

3161

164)4(ln

961

2

2

cxarctgxxx

9.429. .4

||ln41

2c

xx

242

9.430. .)2(2

12 c

x

9.431. .|13|ln

113|32|ln

332||ln

31 cxxx

9.432. .334

1)3ln(81|1|ln

41 2 cxarctgxx 9.433.

43|1|ln

81

2 xxx

– .7

3278

5 cxarctg 9.434. .

)1(31

12ln

91 c

xxx

9.435. .12ln

)1(21 c

xx

x

9.436. .

)32(41

2 cx

9.437. .11ln

41

21 c

xxxarctg

9.438.

2221

21 xarctgx

+ .c

9.439. .41

33ln

381 carctgx

xx

9.440. .)2(16

116

12

ln161 c

xxxx

9.441. .33ln

3101

2251 c

xxxarctg

9.442. |1|ln

261|3|ln

581 xx

+ .2

275411)84ln(

3774 2 cxarctgxx

9.443. .

42

2161

2 cxxxarctg

9.444. .9

3354

12 cxxxarctg

9.445. .

43ln

701

12ln

301 c

xx

xx

9.446. .2

1161

)52(89

2 cxarctgxx

x

9.447. .)1(22

241

2 cxarctgxx

x

9.448. .3

1181

)102(61

)102(29

22 cxarctgxx

xxx

9.449. 2

1321

xarctg – .

)52(169

2 cxx

x

9.450. .3

323

13)33(6

72392 cxarctg

xxx

9.451. x1

+ .3

123

1)1(

1ln61

2

2

cxarctgxxx

9.452 .1

ln)1(3

132

6.12 c

xx

xxx

9.453. .

661

)6()10(

961

22

2

cxarctgxxx

243

9.454. .55

3)5(

)253(2001

22

2

cxarctgxxx

9.455. .)3(3)106(

)32183)(3(81

22

2

cxarctgxx

xxx

9.456. |1|ln23

x – .|3|ln21|2|ln2 cxx 9.457. .

)4)(1()3(ln

21

4

5

cxx

x

9.458.

1)2(ln

51

2

2

xx – .9 carctgx

9.459. .

21

||52ln

23 2

cxarctgxxx

9.460.

||36ln

61 2

xx + .

6cxarctg

9.461. .7||

49ln71 2

cxarctgx

x

9.462. ||

9ln31 2

xx

– .33

1 cxarctg 9.463. .323ln

91 c

xxx

9.464. cxarctgxx

x

)1(

23

22||ln

21

2. 9.465. .

1912

191 2

cxarctg

9.466. |2|ln1213|2|ln

41|1|ln

34 xxx .c 9.467. .

321

13ln5 c

xxx

9.468. .12ln 2

2

cxx

9.469.

282

)2(42

2xarctg

xx .c

9.470. .11ln 2 cxx

xx

9.471. .

222ln

41

2 cx

xx

x

9.472. .43ln

23

2

2

cxx

9.473. .33

122

1232ln

21

2

2

cxarctgxarctgxx

9.474.

11ln

21

2

2

xxx

– .3

123

1 carctgxxarctg 9.475. .

51ln

161

2

2

cxx

9.476. .)1(2

12 cx

9.477. .)1(4

1|1|1ln

41

2

2

cxx

xx

9.478.

)1(4)1(41

|1|1ln

41

2

2

xx

xxx

– .41 carctgx 9.479. .

41

11ln

81 carctgx

xx

9.480. .)1(

1ln 3 cxxx

9.481. 1

2x

+ .|)1(|ln cxx 9.482. .|2|ln47||ln

121|3|ln

617 cxxx

9.483. )1(4

3x

– .|2|ln97|1|ln

920 cxx

244

9.484. .27

77275|20147|ln

27 2 cxarctgxx

9.485. .)4ln(41|1|ln

21 2 cxx

9.486. |2|ln23)1ln(

41 2 xxx

312

321 xarctg .c

9.487. .|4|ln5|1|ln4|3|ln7 cxxx 9.488. .)4()1(

)2(ln 53

7

cxx

x

9.489. .4

82

224ln4 c

xxxx

9.490. 23

2 xarctg .31 carctgx

9.491. .4

3)4(2

1324ln2 2 c

xxxx

9.492. .)1(12

1464

2

cxxx

9.493. .2

127

22

524ln4 2

2

cxarctgxarctgxx

x

9.494. .2

123

1 3

cxarctg

9.495. .)2(2

15)54ln(21

)54(2113 2

2 cxarctgxxxx

x

9.496. )2ln(21 2x .

223)4ln(

223 2 cxarctgxxarctg

9.497. .|2|ln3|1|ln2)1(2

12 cxx

x

9.498. .3

234)134ln(

231 2 cxarctgxx

x

9.499.

|1|ln41

)1(42

2 xxx .)1ln(

81 2 carctgxx

9.500. .43)1ln(

41

)1(41 2 carctgxxx

9.501. .|2|ln)2(2

12 cx

x

9.502. .

223

14)4)(1(ln 2 cxarctgx

xx

9.503. .1)1(ln11

21 2

2 cxxxx

9.504. cxarctgxx

xx

312

38

112|32|ln 2 .

9.505. .)1(16

32103571657

22

24

cxxxxarctgx

9.506. .|32|ln

41

23 cxx

9.507. .|1|ln2

2

cxxx 9.508. .|3|ln103

2

2

cxxx

245

9.509. xx2

2

.|4|ln10 cx 9.510. .|5|ln1852

2

cxxx

9.511. .|5|ln62

2

cxxx 9.512. .|1|ln

21|3|ln

29 cxxx

9.513. .7

327

9)43ln(25 2 cxarctgxxx

9.514. .15

52155)105ln(

25 2 cxarctgxxx

9.515. .|1|ln21

31 23 cxxxx

9.516. .|1|ln3232 23 cxxxx 9.517. .|1|ln

21

22

2

cxx

9.518. 2

21 x .

221)2ln(

233 2 cxarctgxx

9.519. .|1|ln43|5|ln

41517

21 2 cxxxx

9.520. .)1ln(21

21 22 carctgxxx

9.521. .|3|ln445|1|ln

414

21 2 cxxxx

9.522. .)1(

||ln42 8

2

cxxxx

9.523. .3

1232

2

cxarctgx

9.524. ||ln23 xx – .1ln 2 cx 9.525. .2|1|ln3||ln2 cx

xxx

9.526. .3

3

carctgxxx 9.527. .

284

3

3

cxarctgxx

9.528. .83

3

carctgxxx 9.529. arctgxx

2

2

.|1|ln cx

9.530. .38

2733ln

43 cxarctg

xxx

9.531. |2|ln32

12921 2 xx .

)2(1633|2|ln

32127

)2(1631 c

xx

x

9.532. .)2()2(ln4

21

31

3

5223 c

xxxxxx

9.533. .21|2|ln

3231|2|ln

3233)4ln(

2161 22 cxxxxxarctg

246

9.534. .24

141 cxtgarctg

9.535. .22

36

1 cxtgarctg

9.536. .27

2141 cxtgarctg

9.537. .

65

3021 ctgxarctg

9.538. .53

22

532

2ln

51 cxtg

xtg

9.539. .

3372

4

3372

4ln

331 cxtg

xtg

9.540. .11

52

6

112 c

xtgarctg

9.541. .42

cxtg

9.542. .12

ln cxtg

9.543. .32

2ln

31 cxtg 9.544. .

32

9

2 cxtg

9.545. .532

27

5322

7ln

531 cxtg

xtg

9.546. .31

12

4

311 c

xtgarctg

9.547. .

74

2ln

71 cxtg

9.548. .1421

25

14212

5ln

1421 cxtg

xtg

9.549. .

32

)74(

2 cxtg

9.550. .51

22

5

511 c

xtgarctg

9.551. .

23

2 cxtg

9.552. .103

2

1032ln

101 cxtg

xtg

9.553. .

242

1 cxtg

9.554. .325

2

3252ln

321 cxtg

xtg

9.555. .

32

32

3

321 c

xtgarctg

9.556. .28

12

ln41 2 cxtgxtg 9.557. .

21

4 cxxtg

247

9.558. .2

343

2 cxxtg

9.559. .221

2cos21 cxxtgx

9.560. .2

5301

25

101 3 cxctgxctg 9.561. .

2121ln

221 c

tgxtgx

9.562. .322

341 cxtgarctg 9.563. .

34sin

323

81 cxx 9.564. .)2( ctgxarctg

9.565. .|2cos42sin|ln136

1|2sin|ln81

171 cxxxx

9.566. .31 3 cxctg 9.567. .

2sin

34sin

161 3 cxxx

9.568. xtgxtg 51515

52 3 .

551 cxtg 9.569. .||ln1

41

24 ctgxxtgxtg

9.570. .||ln2)(21 22 ctgxxctgxtg

9.571. .3

12

2

332

122

12ln

3 2

32

c

xtgarctg

xtgxtg

xtg

9.572. .3

235

2 5 ctgxxtg 9.573. .4

16 4 cxtg 9.574. .1434ln

161 c

tgxtgx

9.575. .)21(2

1 cxtg

9.576. )1sin( x .)1(sin

31 3 cx

9.577. .)(sin6sin

2sin cxarctgx

x 9.578. .)32(sin31)32sin(

21 3 cxx

9.579. .3sin61|3sin|ln

32

3sin61 2

2 cxxx

9.580. .1

2sin2

12

sin2ln

83

2sin

21 cx

xx

9.581. .2sin12sin1ln

81

2sin41 c

xx

x

9.582. .

2sin

21

2sin2

2sinln2 42 cxxx

9.583. .sin1sin1ln

21)(sin

21 c

xxxarctg

9.584. .sin

31sin2

sin1 3 cxxx

9.585. .sin|sin|ln cxx 9.586. .3

sinsin3

cxx

9.587. .2

5sin52

2sin

34

2sin2 3 cxxx

248

9.588. xxx 4sin2034sin

414sin

41 53 .4sin

281 7 cx

9.589. .2sin2sinln

221sin c

xxx

9.590. .

3sin3

3sin

3 cxx

9.591. .2cos2

1 cx 9.592. .

3cos121

4 cx 9.593. .|cos|lnsin

21 2 cxx

9.594. .2cos

12cos21 c

xx

9.595. .

2cos6

1

2cos8

1268

cxx

9.596. xcos21 .

1cos21cos2ln

223 c

xx

9.597. .ln41

2sin42cos2 ctgxxx

9.598. xx cos3cos21 2 .|3cos|ln8 cx 9.599. .

sin81

sin61

86 cxx

9.600. .||ln ctgxtgx 9.601. .261 3 cxtg 9.602. .5ln

51 c

tgxtgx

9.603. .3

221

34 c

xtgarctgx

9.604. .

cos21||ln 2 cx

tgx

9.605. .

2sin2

12

ln22

cxxtg

9.606. ||ln2 tgx .)(21 22 cxctgxtg

9.607. .3

3sin

1ln3 cxctgx 9.608. xx

xx

2sin162cos3

2sin82cos

24 .22sin

1ln163 cxctg

x

9.609. .sin

1ln165

sincos

165

sincos

245

sin6cos

246 cctgxxx

xxx

xx

9.610. .22cos

1ln21 cxtg

x 9.611. .

44

cos

1ln2

4cos

4sin2

2cxtgxx

x

9.612. 2

ln21 xtg .

42ln

21 cxtg

9.613. .5cos

1019cos

181 cxx

249

9.614. .2

5cos51

27cos

71 cxx

9.615. .5cos10111cos

221 cxx

9.616. .)52cos(41)510cos(

201 cxx

9.617. .6

11cos223

67cos

143

65cos

103

6cos

23 cxxxx

9.618. .10sin2016sin

121 cxx 9.619. .10sin

2014sin

81 cxx

9.620. .3

5sin103sin

21 cxx 9.621.

56sin

121 x .

5cos

21 cx

9.622. .1258sin

161

42 cxx

9.623. .10

12sin241 cx

9.624. .41

32sin

41 cxx

9.625. .

42

42sin

41 cxx

9.626. x13sin261 .7sin

141 cx 9.627. .

20sin10

209sin

910 cxx

9.628. .4sin818sin

161 cxx 9.629. .

4sin

43sin

31

45sin

51

47sin

71 cxxxx

9.630. .4cos81

62sin

41 cxx

9.631. .

103

34sin

83

1032sin

43 cxx

9.632. .)38sin(161)14sin(

81 cxx 9.633. .

52sin

45

21 cxx

9.634. .16sin321

21 cxx 9.635. .

326sin

121

21 cxx

9.636. .3

8sin161

21 cxx

9.637. .4sin

321

81 cxx

9.638. 2

sin81

161 xx .

4sin

61 3 cx

9.639. .12sin9616sin

121

83 cxxx

9.640. .8sin6414sin

81

83 cxxx

9.641. .16sin128

14sin32110sin

4016sin

241

4cxxxxx

9.642. xx 4sin128

1128

3 .8sin1024

1 cx

9.643. .4sin1218sin

1634sin

25 3 cxxxx

250

9.644. xx 2sin41

12835 .8sin

102412sin

2414sin

1287 3 cxxx

9.645. .2sin4814sin

641

161 3 cxxx 9.646. .

27sin

72

2sin

54

2sin

32 53 cxxx

9.647. 5 185 8

3sin

915

3sin

815 xx .

3sin

2815

5 28 cx 9.648. .sin

51sin

31 53 cxx

9.649. .5

sin75

5sin 75 cxx

9.650. .sin91sin

72sin

51 975 cxxx

9.651. .sin101sin

41sin

61 1086 cxxx 9.652. .cos

51 5 cx

9.653. .coscos31 3 cxx 9.654. .4cos

1214cos

201 35 cxx

9.655. .2cos2cos103

2cos23 3 2

3 cxxx

9.656. .16cos716cos

21 23 cxx

9.657. .2

sin31 6 cx

9.658. .|cos|ln1cos2

12 cxx

9.659. .4

221 cxxtg

9.660. .|2cos|ln

212

41 2 cxxtg

9.661. .|5sin|ln515

101 2 cxxctg 9.662. .

66

62 3 cxtgxtgx

9.663. .31

51 35 cxctgxxctgxctg

9.664. xtg6

61 .|cos|ln

21

41 24 cxxtgxtg

9.665. xctgxctgxctgxctgx 2212

612

1012

141 357 .

23 c

9.666. .91

72

51 975 cxtgxtgxtg 9.667. .2

722

52 75 cxtgxtg

9.668. .3 3 cctgx 9.669. .51515

51 3 cxctgxctg 9.670. .7

717

211 3 cxtgxtg

9.671. .25

223

42

2 53 cxtgxtgxtg 9.672. .21012

312

21 53 cxctgxctgxctg

9.673. .)cos1(562cos2cosln

51|cos1|ln

52 2 cxarctgxxx

9.674. .cos382sin3cos147 3 cxxxx

9.675. .3sin986sin3sin

3147 3 cxxxx

251

9.676. .2sin49sin6

211 cxxx 9.677. .

2ln cxxtg

9.678. .coscos

1 ctgxxx

9.679. .221|2sin|ln cxctgx

9.680. .cos9sin2581 22 cxx 9.681. xsin

21 .

82ln

221cos

21 cxtgx

9.682. 22

cos22

cosln54

2cos1ln

54 2 xxx .

2cos1

512 cxarctg

9.683. 1) .sin165sin

245sin

61cos

165 35 cxxxxx

2) .cos165cos

245cos

61sin

165 35 cxxxxx

9.684. .41132

13ln 2 cxxx 9.685. .842ln 2 cxxx

9.686. .842ln 2 cxxx 9.687. .)13arcsin(3

1 cx

9.688. .3

1arcsin cx

9.689. 1112225 2 xx .

21163ln

213 2 cxxx

9.690. .arcsin1313 2 cxx 9.691. .)5arcsin(1324103 2 cxxx

9.692. |1|ln21|1|ln 2 ttt .

24,

312

33

3

xxtctarctg

9.693. .1

ln6 6

6c

xx

9.694. .23)12(

61 3 cxx

9.695. .152ln2352

23)52(

43)52(

21 333 2 cxxxx

9.696. |3|ln x .3631ln3 63 cxarctgx

9.697. .1,76

23

56

83 6741016 xtctttt

9.698. .7,|1|ln34

34 433 xtctt

9.699. .)1ln(6632 663 cxxxx

252

9.700. .23232)2(53 666 5 cxarctgxxx 9.701. .

213

4

43

c

xx

9.702. .57

283

57

163

37

34

cxx

xx

9.703. .)1(2

323 c

x

9.704. .3

1323

232

)13(ln2

cxarctgxx

x

9.705. 63 5235223 xx

.152ln3 6 cx 9.706. .127ln3273272327 663 cxxxx

9.707. .129ln229229 44 cxxx 9.708. .)16()1(52 3 2 cxx

9.709. .12)1(31 cxx 9.710. .)143()3(

51 3 2 cxx

9.711. 62 x .2

62 cxarctg

9.712. .)11ln(12

)1(43 3 43 4

3 24

cxxx

9.713. .32)32(31 22 cxxxx 9.714. .)23(

152 22 cxaaaxx

9.715. .5

arcsin5521 2 cxxx

9.716. .

2arcsin2

21 2 cxxx

9.717. .23arcsin76)3(

21 2 cxxxx

9.718. 225)1(

21 xxx

.61arcsin3 cx

9.719. .

72arcsin743)2(

21 2 cxxxx

9.720. .23)21)(1(41

21arcsin2 22 cxxxxxx

9.721.

22arcsin2 x

.4)24)(2(41 22 cxxxxx 9.722.

.)12(71)12(

52 7252 cxxxx

9.723. .)24(71)24(

52 7252 cxxxx 9.724. .

13643

2c

xxx

9.725. .)2(2

)1(36

12 cxx

xarctg

9.726. .)86(2

)3(36

12

cxx

xarctg

253

9.727. .)3(9 32

3

cx

x

9.728. .

)6(108 52

3

cx

x

9.729. .

)22(3)1(

52

3

cxx

x

9.730. .21arcsin

211

2cx

xxx

9.731. .22arcsin

242

2cx

xxx

9.732. .222

caxa

x

9.733. .

)1(6)12(

3

32

cxxx

9.734. xxx 21ln 2

.22

42

cxxx

9.735. .

1421514215ln

1541

2

2

cxxxx

9.736. cx

xx

5

)2

)1(4528(

5

9.737. .221ln12441244ln

221 2

2

2

cxxxxxxxxx

9.738. .1ln11 22

cxxxx

9.739. ""и1 при""

11arcsin

xcx

.1при x 9.740. .332 c

xx

9.741. .12 c

xx

9.742. .11

112 c

xx

9.743. .5622

1ln2

cxxx

x

9.744. .11

ln2

cxx

9.745. .242

21 2

cxx

9.746. .2 cx

x

9.747. .)1(3

arcsin cxx

9.748. .31 c

xx

9.749. .3

240285ln2

cx

xxx

9.750. 32112

11ln21 2 xxx .32113 2 cxx

9.751. .2

4422ln2221ln2

2 cx

xxxxxx

9.752. .3

4arcsin13785 2 cxxx

9.753. 7525ln3 2 xxx .

)2(2752ln

2

cx

xx

254

9.754.

2ln)3(2

11082ln22

xx

xxx .542 cxx

9.755. .1,3

123

1121ln

61 3 3

2

2

xxtctarctg

tttt

9.756. .132

1111ln

31 4 3

4 3

4 3

cxarctgxx

9.757.

.11

1ln3333 c

x

xx

9.758. .|)2(|

1)2(1ln31

3

23

cxx

9.759.

.11

1ln2

3333 c

x

xx

9.760. .3332

133133ln

31 4 23

4 23

4 23

cxxxarctgxxxxxx

9.761. .4

)2(2

3 23

cxx

9.762. .1

212

2

cxxx

9.763. .

32934

2

2

cxx

9.764. .7549

7102

2

cxx

9.765. .)2(4

)6126(2

3 223

cxxxx

9.766. .1)2(311ln3

21 222 cxxxx

9.767. .21,3

12321

|1|ln26 32

xtctarctgtt

tt

9.768. .1)12(32)12(

51124 2 cxxx

9.769.

84 112

1

x .

119

494

cx

9.770. .111ln41

4

4

2

4

cxx

xx

9.771. .5

)41(5

3 53

cxx

9.772. .1,176

58

1336

1124

32 6171513119 xtcttttt

9.773. .35101

3

34

cx

9.774. .31

8131

141 3

43 23

73 2 cxx

9.775. cxxarctg

xxxx

4 4

4 4

4 4 121

11ln

41 .

255

Глава 10

10.1. .21 10.2. .

31 10.3. .1e 10.4. .

2740 I 10.5. .53 I 10.6. .10 I

10.7. .1612 I 10.8. .4 4I 10.9. .3272

I 10.10. .

31 10.11. .

41

10.12. .)2(5

10.13. .6ln65,17 10.14. .

3218 10.15. .5,4 10.16. .14

631 7

10.17. 60. 10.18. 36. 10.19. 32,5. 10.20. .3

16 10.21. .3

19 10.22. .231

10.23. 2. 10.24. .2ln45,2 10.25. .5ln2 10.26. .2ln75,5 10.27. .81

10.28. .34ln 10.29. .

312 10.30. .

612 10.31. .

324 10.32. .

12

10.33. .25ln

41 10.34. .

20 10.35. .

151ln

41 10.36. .

71arctg 10.37. .3ln

10.38. .8 10.39. .

251ln

31 10.40. .

16 10.41. .

62 10.42. .

6

10.43. .22

10.44. .5152ln

10.45. .6 10.46. 1. 10.47. 1. 10.48. .1

61 3 e

10.49. .2ln

7 10.50. .3ln3

4 10.51. .155ln2

1 2

10.52. .199ln

9 3 10.53. )1(2 e .

10.54. .ee 10.55. .eee 10.56. .4

earctg 10.57. )1(151 6 e .

10.58. .34ln 10.59. .

4 10.60. .

31 10.61. .122

43 3 10.62. 0. 10.63. .

21

10.64. .8

2 10.65. .2 10.66. 1. 10.67. .

213 10.68. .

31

10.69. .20

10.70. .32 10.71. .

1225 10.72. .

32 10.73. .

83 10.74. .

163 10.75. 0. 10.76. .

10.77. .31 10.78. .

31 10.79. 0. 10.80. 0. 10.81. .155

83 3 10.82. .

1433

10.83. .3ln 10.84. .218 10.85. .2sin 10.86. .24 10.87. .

32

2 10.88. .2ln

10.89. .3

4 10.90. .1514 10.91. .

15506 10.92. .22 arctg 10.93. .)2ln1(

32

256

10.94. .2ln24 10.95. .137233321 10.96. .

33 10.97. 0,553. 10.98. .62

10.99. .4

3 10.100. .4

7 10.101. .128

3 10.102. 0,733. 10.103. .

4

10.104. .8 10.105. 0,4772. 10.106. .36 10.107. .15

2116

10.108. .25112ln 10.109. Положить .

22;sin2 2

tx 10.110. .

121

23ln

21

10.111. Положить .2;sin4 2 tx 10.112. .612ln

32

10.113. .3

2 10.114. .2x

10.115. Положить .4

)2(;sin2

atax 10.116. .232ln

25 10.117. .

631arcsin

10.118. .2

23 10.119. .6

17 10.120. .26 10.121. .9

727ln 10.122. .4

1

10.123. .33 10.124. .4 10.125. .23

3

10.126. .12ln2

10.127. .3122ln

10.128. .72

3 10.129. .12 10.130. .42

1

earctg

10.131. .4 10.132. .2

1ln42

eearctg 10.133. .

22 10.134. .

4

10.135. .9

34 10.136. .6

12

12

1

arctgarctg 10.137. .

21

10.138. .5

15

2 arctg 10.139. .53

10.140. 0,074. 10.141. .4ln32

10.142. .33

10.143. .91 10.144. .

232 10.145. .1247

163 3

10.146. .3510

43ln

10.147. .34ln 10.148. 0. 10.149. 0. 10.150. 0.

10.151. .4

2e

e 10.152. .322 e 10.153. –2,437. 10.154. 2/2/

52 ee .

10.155. 4

1e . 10.156. .10

13 e 10.157. 161 2/ e . 10.158.

1346 e .

10.159. –8,258. 10.160. 8,389. 10.161. .12ln2 10.162. .12 e

257

10.163. .2816ln3

128 10.164. 1,2585. 10.165. .

956

32ln64 10.166. 1,123.

10.167. .12/ e 10.168. .2518

2 10.169. .

49 10.170. .18

2 10.171. 1

2

10.172. .16 10.173. .4 10.174. 0,089. 10.175. 384

3 .64 10.176. .9616 3

10.177. .22ln

4

10.178. .9

sin6 10.179. 3

4 .125ln2 tg

10.180. .32

334

10.181. .

21 10.182. .13

65

10.183.

38 .32

10.184. 1,349. 10.185. 0,916. 10.186. 0,693. 10.187. 2,320. 10.188. 0,882. 10.189. 0,69377. 10.190. 0,56078. 10.191. 0,46442. 10.192. 0,40551. 10.193. 0,36231. 10.194. 0,32906. 10.195. 0,30257. 10.196. 0,28089. 10.197. 0,26280. 10.198. 0,24744. 10.199. 0,78458. 10.200. 0,23176. 10.201. 0,10723. 10.202. 0,06124. 10.203. 0,03948. 10.204. 0,02752. 10.205. 0,02027. 10.206. 0,01554. 10.207. 0,01229. 10.208. 0,00996. 10.209. 0,84259. 10.210. 0,45261. 10.211. 0,31055. 10.212. 0,23661. 10.213. 0,19119. 10.214. 0,16043. 10.215. 0,13821. 10.216. 0,12140. 10.217. 0,10824. 10.218. 0,09766. 10.219. 0,949. 10.220. 0,6938. 10.221. .37n 10.222. .12n 10.223. .48n 10.224. .24n 10.225. .18n

10.226. .25n 10.227. .13n 10.228. .13n 10.229. .1)6(;31

10.230. .068,0)8(;265,5 10.231. .1)6(;91 10.232. ;5,25 .61)8(

10.233. .6001)10(;1399,3 10.234. .0088,0)8(;916,0 10.235. .с/м25,83 3Q

10.236. .м239 2 10.237. .21 10.238. Расход. 10.239. .

2 10.240. .

4 10.241. .

10.242. . 10.243. Расход. 10.244. Расход. 10.245. .31

2 10.246. .2ln32

10.247. .33

2 10.248. 11

11

a если ;1 расход., если .1 10.249.

11n

,

если 1n ; расход., если 1n . 10.250. 4 . 10.251. Расход. 10.252. .2ln1

10.253. .3

2 10.254. .3 10.255. .104 4 10.256. Расход. 10.257. Расход.

258

10.258. .6 10.259. .

82 10.260. 2. 10.261. .2ln 10.262. 1. 10.263. .

31

3e

10.264. 1. 10.265. .2ln

12 10.266. Расход. 10.267. 1. 10.268. Расход. 10.269. .

21

10.270. 16. 10.271. 0,012. 10.272. .22ln

4

10.273. .8

2 10.274. 0,31. 10.275. .52

10.276. Расход. 10.277. Расход. 10.278. Расход. 10.279. 0,14. 10.280. .12

10.281. ;0 если ,1p

p расход., если .0p 10.282. Сход. 10.283. Расход.

10.284. Расход. 10.285. Расход. 10.286. Сход. 10.287. Сход. 10.288. Расход. 10.289. Сход. 10.290. Сход. 10.291. Сход. 10.292. Сход. 10.293. Сход. 10.294. Сход. 10.295. Сход. 10.296. Сход. 10.297. Расход. 10.298. Расход. 10.299. Сход. 10.300. Расход. 10.301. Сход. абс. 10.302. Сход. 10.303. Сход. абс. 10.304. Расход. 10.305. Сход. 10.306. Сход. абс. 10.307. 2. 10.308. .3ln2

10.309. .263 10.310. 6. 10.311. . 10.312. . 10.313. 1. 10.314. .2 10.315. .

316

10.316. 22 . 10.317. .1325 5 10.318. – 1,768. 10.319. 7,712. 10.320. .

49

10.321. .187625 10.322. 0. 10.323. 4а. 10.324.

2a . 10.325. .

38 10.326. .

3

10.327. .23 10.328. .1254 10.329. .

15256 10.330. .

2ln1 10.331. –1. 10.332. .

91

10.333. .2e

10.334. .41 10.335. .

8

2 10.336. .8

3 2 10.337. .23 10.338. ,

11

;1 если Расход., если .1 10.339. Расход. 10.340. Расход. 10.341. Расход. 10.342. Расход. 10.343. Расход. 10.344. Расход. 10.345. Расход. 10.346. Расход. 10.347. Расход. 10.348. Расход. 10.349. Расход. 10.350. Сход. 10.351. Сход. 10.352. Расход. 10.353. Сход. 10.354. Расход. 10.355. Расход. 10.356. Расход. 10.357. Расход. 10.358. Расход. 10.359. Сход. 10.360. Сход. 10.361. Сход. 10.362. Сход. 10.363. Сход. 10.364. Расход. 10.365. Расход. 10.366. Расход. 10.367. Расход. 10.368. Сход. абс. 10.369. Сход. 10.370. Расход. 10.371. Сход.

10.372. Расход. 10.373. Расход. 10.374. Расход. 10.375. Расход. 10.376. .34

10.377. 121,5. 10.378. .3

32 10.379. .34 10.380. .

310 10.381. .

29 10.382. .

332

259

10.383. .29 10.384. .

281 10.385. .

61 10.386. 9. 10.387. 9. 10.388. .

34 10.389. .

31

10.390. 4,5. 10.391. .32 10.392. .

37 10.393. .

6328 10.394. .

38 10.395. .

31

10.396. 9. 10.397. .35 10.398. .

47 10.399. .

364 10.400. .

34 10.401. .

6125 10.402. .

34

10.403. .67 10.404. .

38 10.405. .

98 10.406. .

61 10.407. .

61 10.408. .

382

10.409. .158 10.410. 13. 10.411. .

12125 10.412. 9. 10.413. .

316 10.414. .

29

10.415. 8. 10.416. .810534

10.417. .382

10.418. .

3632 10.419. .

332

10.420. .3

32 10.421. .34 10.422.

316 .

334 10.423. 2 .

34 10.424. .

316

10.425. .3

32 10.426. .38 10.427. .

6125 10.428. 36. 10.429. .

332 10.430. .

364

10.431. .6

125 10.432. .6

125 10.433. .6

125 10.434. .6

125 10.435. .61 10.436. .

29

10.437. .21 10.438. .

316 10.439. .

316 10.440. 36. 10.441. 36. 10.442. .

332

10.443. .29 10.444. 27. 10.445. .

42ln1615 10.446. .

356 e 10.447. .12 e

10.448. .31 10.449. .2ln 10.450. .

58 10.451. .

23 10.452. .5ln512 10.453. 4 .3ln3

10.454. .23ln6

25 10.455. .

21

56ln5 10.456. .2ln

23 10.457. .3ln9

29

10.458. 18. 10.459. .125 10.460. .2ln4

229

10.461. .2ln23 10.462. .1 3 e

10.463. .2ln

12 10.464. .2ln

2ln1 10.465. .2ln2

123 10.466. 1. 10.467. .32 e

10.468. .12 e 10.469. .1ee 10.470. .

34

10.471. .29

49

10.472. .)2(49

10.473. .143

10.474. 2. 10.475. .21

4

10.476. .31 10.477. 2.

10.478. .3ln232 10.479. 16. 10.480. .169 10.481. .27 10.482. .6

260

10.483. .3

16 10.484. .3

128 10.485. .49 10.486. .

49 10.487. .3ln34 10.488. 18.

10.489. .34 10.490. .

34 10.491.

62 9e .

6101

10.492. .16

21624

10.493. .3

4312 10.494. .48

125 10.495. .12125

10.496. .4arcsin2 22

22

ababarctg

babaab

10.497. .2ln34025

10.498. .27 10.499. .16125

10.500. .3,0 10.501. .354 10.502. .

65

10.503. .3125128 10.504. .4 10.505. 1394,24. 10.506. .32 10.507. .12

10.508. .6

7 10.509. .2 10.510. .2 10.511. .64 10.512. .6,21 10.513. .

7128

10.514. .30 10.515. .

516 10.516. .

744 10.517. .

59 10.518. .5 10.519. .

145

10.520. .5

26 10.521. .5 10.522. .

5)85(16 10.523. .

48875

10.524. .42ln2

52ln

62

10.525. .1

42 e 10.526. .1

42 e 10.527. .

4

2

10.528. .4

2 10.529. .4 2 10.530. .4

)2( 10.531. .6 2 10.532. .103

10.533. .44

223

eea 10.534. .154 10.535. .

34 3a 10.536. .3a 10.537. .

2

3a

10.538. .2pa 10.539.

.20

4

5

gp

a

10.540. .67 3a 10.541. .

38 3a

10.542. .20 10.543. .70 10.544. .3

)3(2

22

aahhb 10.545. .

3)3(2

2

222

aahhb

10.546. .3

4 2ab 10.547. .6

)310(3 R 10.548. .34 2ab 10.549. .

38 10.550. .

15128

10.551. .15

512 10.552. 4,876. 10.553. .5

4 10.554. .5

64 10.555. .8 10.556. .

10.557. .2,19 10.558. .32 10.559. . 10.560. .5,58 10.561. .7

512

261

10.562. .3

64 10.563. .2

9 10.564. .6 10.565. .158 10.566. .4 2 10.567. .68

10.568. .154 10.569. .

10532 3a 10.570. .

2

2 10.571. .3

40 10.572. .4

2

10.573. .4

82 10.574. .4 3 10.575. .3ln)13ln2(3 10.576. 15a .

10.577. .)(2 2 abk 10.578. .3

4 4

pa 10.579. .

6

3a 10.580. .3

4 3a 10.581. .3

4 2ba

10.582. .6 33a 10.583. .2

2hr 10.584. .60

348 22 dDdDh 10.585. .2 a

10.586. .12ln2 10.587. .174ln21172 10.588. .223ln26

10.589. .4

52ln52 10.590. .271112 10.591. .21ln2 10.592. 74.

10.593. .15232 10.594. .

43arcsin 10.595. .

41 10.596. .

314 10.597. .11010

278

10.598. .52ln52 10.599. .3

14 10.600. .2

21ln2 10.601. .27

670

10.602. 21ln2 . Указание: при вычислении интеграла dxxx

1

0

1 приме-

нить подстановку 2

2

tt eex . 10.603. .3

14 10.604. .32ln32

10.605. .27

670 10.606. .34 10.607. .43ln4 10.608. .

34ln

212

10.609. 7

249ln .24 10.610. .213ln 10.611. .32ln 10.612. .3ln

10.613. .32ln 10.614. .1ln 2 ee 10.615. .32ln 10.616. .67

10.617. .2

1 10.618. .2

2R 10.619. .8a 10.620. .8

3 2a 10.621. .6a 10.622. .2 a

10.623. .2

1 eea 10.625. ;23 .318541

10.626. .19131;61

10.627. .4

1ln;741 4

4

ee 10.628. ;5,40 .330141

10.629. .log15log;42ln

1542 e 10.630. .

3297;32

262

10.631. 13ln3

26 .log26log; 273 e 10.632. .1181

61;31 10.633. .

4

10.634. 160. 10.635. 51417ln 10.636. .4

1317ln

43

10.637. .1568 10.638. 32.

10.639. .1316 3 e 10.640. 25

54 5e .2549 10.641. .249299

1001 50 e

10.642. .5941 4 e 10.643. а) 30,5; б) 62,7; в) 715.

10.644. а) ;71,010 б) ;6sin2121,0 2 в) ;21226,0 4 e г) .

125641

10.645. а) ; б) ;33

2 в) 8; г) ;21 д) ;

325 е) .

43 10.646. 31,73 м;

10.647. 250 м; 25 м/с.

Глава 11 11.1. а) 1; б) 2; в) 4; г) 1; д) 2; е) 3. 11.2. а) да; б) да; в) нет; г) да; д) да; е) нет;

ж) да; з) да; и) да; к) да. 11.3. а) xey 2 ; б) xey ; в) xx eey 53 2 .

11.4. а) xey x 422 . б) xey x 12 ; в) xey x 232 . 11.5. а) 23 xy ;

б) 21 xy ; в) 31 xy ; г) 42 xy ; д) x

y

1

1 . 11.6. а) xyy ;

б) 01 2 xyxy ; в) yyxy lnsin ; г) 0 yxyx ; д) 01 2 yyy ;

е) 22 11 yxyxy ; ж) 022 yxxyyx ; з) yyyx arcsin1 2 .

11.7. 12 xCy . 11.8. Cey x ln . 11.9. 1ln1

2

xCy .

11.10.

x

Cy 2arctg . 11.11. xC

ysin1

. 11.12. ,arcsin Cxy 1x .

11.13. ,122 yxC 1y . 11.14.

4cos 2xCy

. 11.15. CxCxy

1.

11.16. 1lncos5 5 Cyx . 11.17. 32 xCy ; 32 xy .

11.18. ;2

tg arctgxCey xey arctg

2tg . 11.19. Cey x 3

31

34

31 3

xey .

11.20. Cxy lnarctg . 11.21. 3

arctg31ln xxCyy .

263

11.22. ,1 22 Cyx ;1y 12y ,4x 1y . 11.23. yxCxy ln .

11.24. ,arctg42 Cyxx ,0x 4x . 11.25. ,39 xCey 3 9x .

11.26. Cyee yx 1 . 11.27. Cxy 32 ln23 .

11.28.

3452

325 yyy xeCyyy x

2

211ln

2.

11.29. 1x , 2

arccos32 23 yyxC 1ln y .

11.30. xxx 2ln1lnlnarcsin21 Ce y . 11.31. x

xCey

12

. 11.32. CxK .

11.33. а) ;12 2 tCey 212 2 tey ; б) ;ln tCy ty ln . 11.34. 22 2 CCyx .

11.35. Cxyx 22 . 11.36. Cx

xy

ln

4 . 11.37. Cxyx sin . 11.38. C

yxy sin .

11.39. Cxe yx ln . 11.40. Cxyx sinln . 11.41. xCxy lnln ;

xxy ln1ln . 11.42. Cxxy ln ; 2ln xxy . 11.43. Cxxy ln3 33 .

11.44. Cxxy ln2 22 ; xxy ln2 22 . 11.45. 1 Cxxey ; xxey 1 .

11.46. Cxxey ; xxey 2 . 11.47. Cyxxy . 11.48. Cxxyy 22 22 .

11.49. Cxyxy 323 3 . 11.50. ,lnarcsin Cxxy xy .

11.51. xyCeyx arctg222 . 11.52. xyCex arctg .

11.53. yxCey 2 ; yxey 22

. 11.54. Cyxy ln .

11.55. xCyxx ln2 . 11.56. 02 2 Cyxyx . 11.57. Cye xy .

11.58. 2x Cyy 2 . 11.59. 3y 22 xyC . 11.60. 66 yxCyx .

11.61. ,1 2 Cxxxy xy . 11.62.

xyCx ln

21ctgln .

11.63. Cxxy arctg2 ; 2

arctg2 xxy . 11.64. 21 xy Cxy 51 .

11.65. Cxyxy 22 414516 .

11.66.

Cxxyxxyxxyy

6322

9616596165995255 .

264

11.67.

Cxyxyxy

3622

213213413 . 11.68. 23 12 xyCxy .

11.69. 325432ln

xyCx . 11.70.

121ln

xyxCxy .

11.71. 232xy 5,23 xyC .

11.72.

Cxyxyxy

2222

721172117211 .

11.73. Cxyy

32arctg2ln . 11.74.

ttt x

Cxp 2ln . 11.75. txtt exp

.

11.76. 21 xCxy . 11.77. 21arcsin xCxy . 11.78. xCxy

cos

2 .

11.79. xCxy cossin . 11.80. xCxy . 11.81. 122 xCxy .

11.82. ;23 Cxyx 312

xxy

. 11.83. 414 Cxy . 11.84. xeCxy 2 .

11.85. Cxey x ln . 11.86. ;1,0 55 xx eCey xey 51,0 .

11.87.

Cxey x

2

22

. 11.88. ;3 Cxyxex 13 xyxex .

11.89. xCey x 22 . 11.90. Cey x (2

x ; xey x arctg12

.

11.91. ;arctg Cxey x 2arctg xey x . 11.92. 32 1xy Cx arctg .

11.93. Ceey xx 1 . 11.94. ;cossin xxCy xxy cossin . 11.95. ;cos2 xCy xy cos32 .

11.96. xxy sin2cos2 ;C 3sin2cos2 xxy . 11.97. xxCy coscos2 .

11.98. Cey xcos xcos ; xey x cos3cos . 11.99. 22 11 xCxy .

11.100. Cx

y 1 x2arcsin5,0 . 11.101. ;2

tg xCxy 2

tg2π1 xxy

.

11.102. xCy tg xsin . 11.103. ;2

ctg xCxy 2

ctg2π xxy

.

11.104. xxx eey 33

ln C1 ; 2

1ln3

3xx

x eey

.

11.105. ;lnln 2 xxCy xxy lnln 2 . 11.106. Cxxxy ln10ln2 2 .

11.107. ;ln2 Cxxxyx 22 ln exxxyx . 11.108. xCexy 1 .

11.109. 122 xCey x . 11.110. 414 6xeCxy x 23 36 xx .

265

11.111. 222 xxCey x . 11.112. ;2 Cyyx yyx 2 .

11.113. 3yx ;2 yCy 23 yyx . 11.114. ;23 yCyx 32 yyx .

11.115. ;yy Ceex yy eex . 11.116. Cexe yy 3ln222

.

11.117. ;2coscos2 yCyx yxcos2 y2cos . 11.118. ;ln1 2 Cyyyx

1ln1 2 yyyx . 11.119. ;cossin yCyx yyx cossin .

11.120. ;1ln22 yyCyx 1ln2 yyx . 11.121. 222 yyCex y .

11.122. xCx

yln

1

. 11.123. 24 ln Cxxy ; 0y .

11.124. xxxCx

yln

13

. 11.125. xCexy 12 .

11.126. xy tg2cosln

xCx

; 0y .

11.127. 1ln1 xCxy . 11.128. 11 22 xCey x . 11.129. xCeyx 2224 .

11.130. 22 2 xCey x , 0y . 11.131. 11

2

xCxy .

11.132. yCyx ln1 . 11.133. yCyx 2ln1 . 11.134. 12 2 tety .

11.135. 134 4 tety . 11.136. 34

1677

415 tCetp . 11.137. 9630 tep .

11.138. xx eCeCy 23

1 . 11.139. xx eCeCy 22

41 . 11.140. xx eCeCy 2

21 .

11.141. xx eCeCy 42

41

. 11.142. xx eCeCy 92

101

. 11.143. xx eCeCy 32

71 .

11.144. xx eCeCy 52

71

. 11.145. xx eCeCy 42

91 . 11.146. xCCey x

21 .

11.147. xCCey x21

4 . 11.148. xCxCey x 4sin4cos 213 .

11.149. xCxCy 3sin3cos 21 . 11.150. 4

sin4

cos 21xCxCy .

11.151. xCey x 4cos12 xC 4sin2 . 11.152. xCxCey x 3sin3cos 21

2 .

11.153. 1Cy xeC 42 . 11.154. xCCey x

2110 . 11.155. xCCey x

2125,0 .

11.156. xCCey x21

3 . 11.157. xCCey x21

2,0 .

11.158. xCCey x21

7 . 11.159. xCCeyx

2171

.

266

11.160. xCCey x21

2 . 11.161.

xCeyx

23cos1

21

xC

23sin2 .

11.162. xeCCy 321

. 11.163. xCxCy 2sin2cos 21 . 11.164. xx eCeCy 22

51 .

11.165. xx eCeCy 22

1 . 11.166. xCey x 4cos1 xC 4sin2 .

1.167. xCxCey x sincos 213 .

11.168. xx eCeCy 21 xxxxx eeeeex 1ln1ln5,0 . 11.169. xCxCy 2sin2cos 21 xxxx 2cosln2cos25,02sin5,0 .

11.170. xCCey x21

2

x21 . 11.171. xx eeCCy cos21 .

11.172.

4π

2tglncossincos 21

xxxCxCy .

11.173. xCxexCxey xx 22

12 sincoslncos . 11.174. xCCey x

21

335121212,1 xxxx . 11.175. 2sincos 21 xCxCy

2tglncos2 xx . 11.176. xxxxx exexxexexCCey 25,025,0ln21 .

11.177. x

xCCey x 121 . 11.178. xeCeCy xx 421 . 11.179. x

xBxA 3sin3cos . 11.180. xBxAx 4sin4cos . 11.181. 23 BxAxx

DCx . 11.182. xBxAex x sincos . 11.183. 23 BxAxx DCx .

11.184. CxBxAxx 23 . 11.185. BxAxex x 23 .

11.186. 3Axex x CxBx 2 . 11.187. xDCxxBAxx 2sin2cos .

11.188. 34 Axex x 2Bx . 11.189. xCexBxAx 2sin2cos .

11.190. xBxAxex x cos2 xDxCx sin2 .

11.191. xBxAxx 6cos2 xDxCx 6sin2 .

11.192. xCxeBAxx . 11.193. xx eCeCy 22

41 5,02 x .

11.194. xeCeCy xx 322

21 . 11.195. 2

24

1 2xeCeCy xx 33 x .

11.196. 1Cy xxxxeC x 24124 2342 .

11.197. xxy 2 xCxCe x cossin 21 .

11.198. xxx eeCeCy 2221 . 11.199. xeCy 2

1 xx xeeC 272 .

11.200. xeCy 41

xx xeeC 22 . 11.201. xCCey x21

2 xe2 .

11.202. 221 2xxCCey x . 11.203. xxx xeeCeCy 23

21 3 .

267

11.204. xxxeeCeCy xxx 23232

21 .

11.205. xxCxCey x sincossin 21 xcos2 .

11.206. xx eCeCy 22

31 xx sincos2,0 .

11.207. xeCy 4

1 xxeC x cos4sin22 .

11.208. xCey x 4sin13 xxC 2sin4,14cos2 x2cos8,0 .

11.209. xxCxCey x 2sin5,13cos3sin 21 x2cos .

11.210. xxCCey x 3sin2213 . 11.211. xxxCxCy sincossin 2

21 .

11.212. xxxCxCy 3sin3cos3sin 221 .

11.213. xx exCxCey 2cos2sin 21 xx 2cos5,02sin .

11.214. xxCxxCey x cossin 221 .

11.215. 232 2242

21 xxeeCeCy xxx .

11.216. 3321 2 xeeCCy xx xx 63 2 .

11.217. xxexCxCy x sin2cossin 21 . 11.218. xCy sin1 x2cos3 .

11.219. xxxy cossin2π1 . 11.220. xexy 223 .

11.221. 224 xeey xx x2 . 11.222. xxeey xx 2sin342 .

11.223. xxxey x 37 2sin3 . 11.224. xx exxey 75,0cos2sin1,0 2 xe55,0 .

11.225. xxxxey x 3sin24sin34cos43 .

11.226. xey 24 5,335,0 23 xxee xx .

11.227. xxey x 2sin32cos2 xxe x 2cos2 .

Глава 12

12.1. а) ;79

67

55

43

б) .!4

2!3

2!2

2!1

2 432

12.2. 21 . 12.3.

32 . 12.4.

9023 . 12.5. 3.

12.6. 89 . 12.7.

41 . 12.8. Расход. 12.9. Расход. 12.10. Расход. 12.11. Расход.

12.12. Расход. 12.13. Расход. 12.14. Расход. 12.15. Расход. 12.16. Расход.

268

12.17. Сход. 12.18. Расход. 12.19. Сход. 12.20. Сход. 12.21. Расход.

12.22. Расход. 12.23. Сход. 12.24. Сход. 12.25. Расход. 12.26. Сход. 12.27. Сход.

12.28. Сход. 12.29. Расход. 12.30. Расход. 12.31. Сход. 12.32. Расход.

12.33. Сход. 12.34. Сход. 12.35. Сход. 12.36. Сход. 12.37. Расход.

12.38. Сход. 12.39. Сход. 12.40. Сход. 12.41. Расход. 12.42. Сход.

12.43. Расход. 12.44. Сход. 12.45. Расход. 12.46. Сход. 12.47. Сход. абс.

12.48. Сход. абс. 12.49. Расход. 12.50. Сход. усл. 12.51. Сход. усл. 12.52. Расход.

12.53. Сход. усл. 12.54. Сход. абс. 12.55. Сход. абс. 12.56. Сход. абс.

12.57. Сход. усл. 12.58. Сход. усл. 12.59. Сход. усл. 12.60. Сход. абс.

12.61. 0,78. 12.62. 0,16.12.63. 0,45.12.64. 0,287. 12.65. 0,625. 12.66. 0,318.

Глава 13

13.1. 1,1 . 13.2. 1,3 . 13.3. ),( . 13.4. 8,6 . 13.5. 1,1 . 13.6. 1,5 .

13.7. )2,2( ee . 13.8. )2,4( . 13.9. )/4,/4( ee . 13.10. ),( . 13.11. 0,2 .

13.12. ),( . 13.13. 1,1 . 13.14.

21,

21 . 13.15.

31,

31 . 13.16.

2,

2ee .

13.17. 3,3 . 13.18. ),( . 13.19. 1,1 . 13.20. ),( ee . 13.32. 01,0;39,1 .

13.33. 0000001,0;3050,0 . 13.34. 001,0;0122,1 . 13.35. 001,0;3413,0 .

269

ЛИТЕРАТУРА

1. Астровский А.И., Воронкова Е.В., Степанович О.П. Высшая математика. 2-е изд. В 2 кн. Кн.1: Учебно- методический комплекс. – Мн.: Изд-во МИУ, 2007. – 384с.

2. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. – М.: Физматлит, 2004. – 464 с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т.1. М., Дрофа, 2004. – 284 с.

4. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие/Под ред. В. Ф. Бутузова. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 248 с.

5. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: В 2 ч. Ч. 1.: Для ву-зов. – 2-е изд., перераб. – Мн.: Высш. шк., 1988. – 247 с.: ил.

6. Гуринович С.Л. Математика. Задачи с экономическим содержанием: пособие. – Мн. Новое знание, 2008. – 264с.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Л. Высшая математика в упражнени-ях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч.1. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высш.шк., 1986. – 304с.

8. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика: [Учеб. пособие для втузов]. Ч. II. – Мн.: Высш. шк., 1985. – 221 с.: ил.

9. Кастрица О.А. Высшая математика: Учебное пособие. – Мн.: Новое знание, 2005. – 491с.

10.Кастрица О.А. Высшая математика: примеры, задачи, упражнения: Учебное пособие для вузов. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 254с.

11.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005. – 464 с.: ил. – (Серия «Учебное пособие»).

12.Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образо-вании /М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2006.

13.Красс, М.С. Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2004.

14.Кремер Н.Ш., Путько Б.А., Тришина И.М., Фридман М.Н. Высшая матема-тика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть I) / Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Высшее образование, 2005. – 486 с.

270

15.Кремер Н.Ш., Путько Б.А., Тришина И.М., Фридман М.Н. Высшая матема-тика для экономических специальностей: Учебник и Практикум (часть II) / Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Высшее образование, 2005. – 407 с.

16.Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике и математической статистике. Мн., 1976. – 456 с.: ил.

17.Лунгу К.Н., Письменный Д.Г., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001. – 576 с.

18.Малугин В.А. Линейная алгебра. – М., Эксмо, 2006. – 215 с.

19.Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2005. – 272 с.

20.В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике. – М., 1969. – 352 с.: ил.

21.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М., Айрис-пресс, 2006. – 608 с.

22.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учеб. по-собие / А.В.Кузнецов, Д.С.Кузнецова, Е.И.Шилкина и др. – Мн.: Высш. шк., 1994. – 284 с.: ил.

23.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. Учебник. В 2-х частях. – М.: Финансы и статистика, 2000, 224с., 376 с.

24.Справочник по математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И. – М.: Высш. шк., 1997. – 384 с.

25. Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике: учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 1. – Мн.: Выш. шк., 1993. – 416 с.: ил.

26.Сухая Т.А., Бубнов В.Ф. Задачи по высшей математике: учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 2. – Мн.: Выш. шк., 1993. – 303 с.: ил.

27.Шилкина, Е.И. Высшая математика. /Е.И. Шилкина. – Минск: БГЭУ, 2003. – Ч.1.

28.Шилкина, Е.И. Высшая математика / Е.И. Шилкина, М.П. Дымков. – Минск: БГЭУ, 2005. – Ч.2.

Сборник задач и упражнений по высшей...

Documents

Transcript of Сборник задач и упражнений по высшей...