设 A 是任一 T- 代数， (G,) 是按定理 19.1的构造方法生成的 Xn={x1,x2,…xn} 上的自由T- 代数，是 Xn→G 的映射，且 (xi)=xi 。

Xn 到 A 中的映射 ,(xi)=ai ， a1,a2,…an 为 A 中的任何元素 ( 允许 ai=aj,ij) 。

由 自 由 代 数 定 义 ， 存 在 唯 一 的 同 态 映 射 :G→A ，使得 =.

(xi)=((xi))=(xi)=(xi)=ai ， (i=1,…,n) ，当 wG 时， (w) 由 A 中元素 a1,a2,…an 唯一确定。

定义函数 fA:An→A ，使得 fA (a1,a2,…an) = (w) 。简写为 f (a1,a2,…an)

特别，当 A=G ， ai=xi(i=1,…,n) 时，因 (xi)=xi ，故是恒等映射，

有 (w)=w ，定义 19.7: 变量 x1,x2,…xn 上的 T 字 (T-

word) ，就是自由生成集 Xn ={x1,x2,…xn}上的自由 T- 代数 G 的一个元素。

定义 19.8:T- 代数 A 的元素 a1,a2,…an 上的字 (word) ，就是元素 wA(a1,a2,…an) A ，这里 w 是变量 x1,x2,…xn 上的一个 T-字。

定义 19.9: 一个 T- 代数变量 (T-algebra variable) 是一个自由 T- 代数的自由生成集的元素。

研究真假值和形式证明之间的关系构造一个简单的数学推理模型——命题

逻辑构造较为精细的模型—— 一阶谓词逻辑

§2 命题代数定 义 20.1: 设 T={F,→} ， 这 里

ar(F)=0 ， ar(→)=2 。称任何这样的 T-代数为命题代数。

例 : 对于 Z2={0,1} ，构造 T- 代数。令 FZ2

:Z20={}→Z2, FZ2

()=0,

→Z2:Z2

2→Z2, →Z2(m,n)=1+m·(1+n)

“+,·” 是模 2 加法和乘法运算 .构成了一个命题代数。 a·b 简写为 ab 。

由 可 列 集 X={x1,…,xn,…} 生 成 的 自 由 {F,→} 代 数P(X) ，这也是命题代数。

P0={F,x1,…,xn,…}

P1={(→,ai,aj)|ai,ajP0}

={(→,F,F)} {(→,F,x∪ i)|xiX}∪

{(→,xi,F)|xiX} {(→,x∪ i,xj)|xi,xjX}

P2={(→,ai,aj)|aiP0,ajP1} {(→,a∪ i,aj)|aiP1 , ajP0}

P(X) 为： P(X)=Nn

nP

按类型 T=({F,→},ar) 定义 P(X) 上的运算 :把 0 元运算 FP(X) 规定为 P(X) 中的特定元素 F

二元运算→ P(X) 定义为 :

→P(X)(p,q)=(→,p,q) ，构成了 X 上 T- 代数 [P(X),FP(X),→P(X)], 即命题代数自由代数

定义 20.2: 设 X 是可列集， X 上的自由T （ =({F,→},ar) ） - 代数称为 X 上关于命题演算的命题代数，记为 P(X) ，并称 X 为命题变量集， X 中的元素称为命题变元， P(X) 中的每个元素称为命题演算的合式公式，简记为 wff ，仅由一个命题变元符组成的合式公式称为原子公式，所有原子公式全体称为原子公式集。

在任何命题代数中，可利用 F 和→定义一元运算和其它二元运算 ,, ，定义为：

)()(

))(p)((

p)(

ppdef

pqqpqp

qqp

qqp

F

def

def

def

(p)(q) 可简写为 pq 。运算的优先次序排列为： > > > → > 在相同优先级的运算之间，先左后右。

§3 命题演算的语义一、 P(X) 的赋值定义 20.3: 设 P(X) 是 X 上关于命题演算的

命题代数，称 P(X)→Z2 的同态映射 v 为P(X) 的赋值 。对于任意的 pP(X) ，若v(p)=1 则称 p 按赋值 v 为真，若 v(p)=0 则称 p 按赋值 v 为假。

定理 20.1: 设 A 为命题代数， v0 为 X→A的映射，则 v0 可唯一扩张为 P(X)→A 的同态映射 v 。

定义 20.4: 设 v0 为 X→Z2 的映射，称 v0

为命题变元的一个指派。v(p→q)=v(p)→v(q)=1+v(p)(1+v(q)) =1+v(p)+v(p)v(q) ；v(p)=v(p→F)=v(p)→v(F)=1+v(p)(1+v(F)) =1+v(p)(1+0)=1+v(p) ；v(pq)=v(p→q)=v(p)→v(q)=1+(1+v(p))(1+v(q)) =v(p)+v(q)+v(p)v(q) ；v(pq)=v((pq))=1+v(pq)=v(p)v(q);v(pq)=v((p→q)(q→p))=1+v(p)+v(q)

二、 P(X) 中元素的解释和真值表把 P(X) 中的每个元素 ( 即命题演算的合

式公式 ) 解释为可判断真假的语句原子公式集中的每个原子公式 ( 命题变

元 x) 表示任意的简单命题 ( 即原子命题 )P(X) 中的其它元素表示复合命题。对任意 pP(X) 和给定的赋值 v:P(X)→Z2 ，

若 v(p)=1 ，则说 p 所表示的命题为真，简称 p 为真；若 v(p)=0 ，则说 p 所表示的命题为假，简称 p 为假。

在 P(X) 上所定义的一元和二元运算 ,,, →,, 可分别解释为命题联结词“非”，“合取”，“析取”，“蕴含”和“等价”。

列出下述表格 ( 在表中 p 表示 v(p)) ：

v(p) v(p) 0 1 1 0

v(p) v(q) v(p→ q) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

v(p) v(q) v(pq) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

通过对 P(X) 的解释 , 命题代数 P(X)所建立的形式系统就可以表示我们所熟悉的命题 .

对任意的 v1,v2,vnZ2, 将 v1,v2,vn 分别指派给 x1,x2,xn

由定理 20.1 知此指派可唯一扩张为赋值v:P(Xn)→Z2,

此 时 对 任 意 pP(Xn), 都 有 确 定 的 真 值v(p)Z2

由此定义 n 元真值函数 fp:Z2n→Z2, 使得

fp(v1,v2,vn)=v(p).

定义 20.5: 函数 f: Z2n→Z2 称为 n 元真值函

数

定义 20.6: 设 pP(X) ，定义 p 的 n 元真值函数 fp:Z2

n→Z2 为： fp=v(p) ，称 fp 为 p 的真值函数。由 p 的真值函数所建立的函数值表称为 p 的真值表。

例 : 写出合式公式 (x1x2)→(x3→x1)真值表

v1 v2 v3 v3 v1 v2 v3 v1 (v1 v2) ( v3 v1) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1

以后可简写为 :

(x1 x2 ) ( x3 x1) 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1

三、语言蕴含定义 20.7 ：设 AP(X),qP(X) ，若对所

有使得 v(p)=1( 对一切 pA) 的赋值 v ，都有 v(q)=1 ，则称 q 是假设集 A 的后件，或称 A 语义蕴含 q ，记为 A╞q ，用 Con(A)表示 A 的后件全体，即 Con(A)={pP(X)|A╞p} 。

注意： A 是 P(X) 的子集，但 A 本身不是命题公式。

由定义知，对于 A 中的任意元素 p ，对所有使得 A 中元素的赋值为 1 的赋值 v ，都有 v(p)=1 ，因此 ACon(A).

又因为不存在赋值 v 使得 v(F){1} ，所以对任意的 pP(X) 总有 pCon(F) 。

即对任意 qP(X) ，有 {F}╞q 。定义 20.8: 设 pP(X) ，若对 P(X) 的任意

赋值 v 都有 v(p)=1 ，则称 p 是有效的，也称为重言式。若对 P(X) 的任意赋值 v都有 v(p)=0 ，则称 p 是永假式。

因此若╞ p ，则 p 就是重言式，简记为╞ p

注意 A╞p 是命题逻辑元语言中的陈述句，但它本身不是 P(X) 中的元素。

例： {p}╞p→q例： {x1→(x2→x3),x2}╞x1→x3

引理 20.1:Con 有如下性质：(i)ACon(A)(ii) 若 A1A2 ，则 Con(A1) Con(A2)

(iii)Con(Con(A))=Con(A)定义 20.9 ：设 p,qP(X) ，若对 P(X) 的

任意赋值 v 有 v(p)=v(q) ，则称 p,q 等值。

定理 20.2: 下述结论是等价的。(1)p,q 等值。(2)╞pq 。(3)p,q 有相同的真值函数和真值表。定理 20.3: 对任意 p,q,rP(X) 有下述结

论：(1)╞pp ；(2)╞(pq)pq ；(3)╞(pq)pq ；(4)╞(p1p2…pn)p1p2…pn

(5)╞(p1p2…pn)p1p2…pn

四、析取范式和合取范式

定义 20.10: 形式为

)(11

ji

n

j

m

iy

的合式公式称为

析取范式，形式为 )(11

ji

n

j

m

iy

的合式公式称

为合取范式，这里 yij 为某个命题变元xk 或其否定 xk 。

例 ： (x1x2)(x1x2)(x1x2x3) 是 析取范式，而 (x1x2) (x1 x3) 是合取范式。

定理 20.4: 任何命题合式公式 ( 即 P(X) 中的元素 ) 都有只含命题变元及 ,, 这三种运算的合式公式与该命题合式公式等值

证明 : 对任意 p=p(x1,x2,…xn)P(Xn)1. 对 P(Xn) 中任一赋值 v 恒有 v(p(x1,x2,…xn))

=02. 存在 P(Xn) 中的赋值 v 使得 v(p(x1,x2,…xn))

=1构造与该指派所对应的合式公式 y1y2… yn,

使得 :

0)(

1)(

ii

iii xvx

xvxy

目标是 v(yi)=1

定义 20.11: 一个合式公式若不是永假式，则用定理 20.4 的证明方法得到的等值析取范式称为该合式公式的标准析取范式。

推论 20.1: 每个非重言式必等值于一个合取范式。

定义 20.12: 一个合式公式若不是重言式，则用推论 20.1 的证明方法得到的等值合取范式称为该合式公式的标准合取范式。

例：求与 (x1→x2)→(x3) 等值的标准析取范式和标准合取范式。

作业 : P400 5,6,7