高观点下的初等数学选讲— 兼析选修 4 － 2 《矩阵与变换》

福建师范大学数学与计算机科学学院陈清华

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一、矩阵代数（从代数的角度看变换）

1 、定义

2 、低阶矩阵

3 、零矩阵、单位矩阵与纯量矩阵（数量阵）

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一、矩阵代数（从代数的角度看变换）

4 、矩阵运算 （ 1 ）加法（减法） （ 2 ）乘法（除法？未必都有意义？何时有意

义？类似整数除法） 注：矩阵乘法的几何意义：变换的合成！ （ 3 ）数乘“。”（这不同于数与行列式的乘

法） （ 4 ）转置（共轭转置）

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一、矩阵代数（从代数的角度看变换）

5 、数域 F 的 n*n 阶矩阵（即 n 阶方阵，关于以上定义的加法、乘法、数乘构成数域F 上的一个 n2维非交换，有零因子的代数，即运算律！）

6 、可逆矩阵与矩阵求逆 （ 1 ）定义： （ 2 ）可逆阵的判定 :

（ 3 ）基本性质

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一、矩阵代数（从代数的角度看变换）

（ 4 ）可逆阵求逆法 （ i ）初等变换法 （ ii ）公式法 （ iii ）根据变换的几何意义求逆

矩阵 （ iv ）特别地 n=2 时7 、矩阵的特征值、特征向量与特征多项式

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二、线性变换（从几何角度看变换）

1 、向量空间（线性空间）定义回顾 2 、低维向量空间 3 、基与维数 4 、线性变换的定义 5 、线性变换与矩阵的一一对应关系

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二、线性变换（从几何角度看变换）

6 、可逆线性变换的性质 （ 1 ）将直线变成直线 （ 2 ）将线段变成线段 （ 3 ）将平行四边形变成平行四边

形

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三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵

1 、旋转变换 设平面上建立了直角坐标系，所有的点

绕原点沿着逆时间方向旋转同一个角度 α ，则这个变换是线性变换，求这个线性变换及对应的矩阵

2 、关于原点的中心对称变换是特殊的旋转变换

3 、恒等变换是特殊的旋转变换

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三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵

4 、反射变换 证明关于直线 Ax+By=0 的反射变换是

线性变换，试求出该变换对应的矩阵，它是可逆矩阵吗？

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三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵

例：平面上建立了直角坐标系，直线 l1,l2绕原点 O ，倾斜角分别是 α ， β ，设 A,B分别是表示直线 l1,l2的反射变换，求

（ 1 ） A,B 复合变换 BA 的矩阵 （ 2 ） BA 的复合 AB 的矩阵 （ 3 ）根据矩阵说明 BA,AB 是什么

变换？这两个变换是否相同。

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5 、位似变换6 、伸压变换7 、投影变换 注：平面上的变换 T 有逆变换，必须满足两个条件： （ 1 ）平面上不同的点被 T 变到不同的点 （ 2 ） T 将平面变到整个平面。 （由此可知：投影变换不是可逆变换？平面变到一条

直线）

三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵

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8 、根据变换的几何意义求矩阵的逆思考：保持长度不变（内积不变，距离

不变）的线性变换是什么变换？

三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵

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1 、定理 2 、推论 3 、定理　 例 1 ：求下面图形的面积 （ 1 ）平行四边形 OABC ，其中 A(1,1),B(-2,1) （ 2 ）三角形 OAB ，其中 A(1,1),B(-2,1) （ 3 ）平面四边形 ABCD ，其中 A(1,1),B(2,0),C(3,

2)　　　

四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用

dc

ba

dc

ba

dc

ba

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（ 4 ）已知矩形 OBCD 的顶点 A(t,0),B(0,k) ，矩阵

T ＝

代表的变换个将矩形 OABC 变到图形 OA’B’C’ ，求变换后的图形 OA’B’C’ 与变换前的图形 OABC 的面积比。　　　　

四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

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4 、定理：线性变量将平面上所有的图形的面积放大同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝对值。

例 2 、求椭圆 x2/a2+ y2/b2 =1 （其中 a>b>0 ）的内接菱形的面积的最大值，以及何时取得最大值。

例 3 、利用伸缩变换将某个圆变成椭圆 x2/a2+ y2/b2 =1 ，利用圆面积公式得出椭圆面积公式

　　　　　　　　

四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用

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谢谢！