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Examen de Admisión UNI 2012-1 Segunda Prueba 15/2/2012
Pág. 1 Tema QMatemática
SEGUNDA PRUEBA DE ADMISIÓN UNI 2012-1
TEMA: QEXAMEN
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Examen de Admisión UNI 2012-1 Segunda Prueba 15/2/2012
Pág. 2 Tema QMatemática
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Pág. 3 Tema QMatemática
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Pág. 4 Tema QMatemática
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Pág. 5 Tema QMatemática
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1
SEGUNDA PRUEBA DE ADMISIÓN UNI 2012-1
TEMA: Q SOLUCIONARIO
Desigualdades
1. Observamos x > 0 ...(a)
x+1|x – 1|
£2xx
x+1 £ 2|x – 1| por teorema: x ≠ 1
2(x – 1) ³ x+1 Ú 2(x – 1) £ –x – 1
x ³ 3 Ú x £ 13
...(b)
S = (a) Ç (b) = á0, 1/3] È [3, +¥ñ
\ S \ [–1, 4] ≠ Æ
Clave B
Funciones
2. Por desigualdad triangular:
|5 – logx+logx+1| £ |5 – logx|+|logx+1|
6 £ f(x)
\ Ran(f) = [6, +¥ñ
Clave A
3.
1 1
2 2
1 22 1
x xx x
; x1 ≠ 0, x2 ≠ 0
Efectuando:x1+2x2 = lx1 ...(1)
2x1+x2 = lx2 ...(2)
Despejamos x2 de (1) y (2) e igualamos:
lx1 – x1
2=
2x1
l – 1l2x1 – lx1 – lx1+x1 = 4x1
l2x1 – 2lx1 – 3x1 = 0
x1(l2 – 2l – 3) = 0
x1(l – 3)(l+1) = 0
l = 3 Ú l = –1
\ La suma de valores de l es 2.
Clave D
Ecuaciones
4. Si – 1 es una raíz de la ecuación:x4 – ax2 + b = 0
Entonces: (– 1)4 – a (– 1)2+b= 01 – a+b =0 ® a – b = 1
Clave C
Números complejos
5.(1 )( 2
Ei
)
2
i 2(1 ) (1 3 )4
(1 3 )2
3E (1 ) ... (*)2 2
i i i
i
ii
Efectuando:
1 3 1 3E
2 2i
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2
Entonces:
Re(E) = 31 –2
y Im(E) = 3– 1 –2
También en (*):
4 6
17 712 12
E ( 2 )( )
E 2 E 2
i i
i i
ie e e
e e
Clave D
Series
6.1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 43 4 3 4 3 4 3 4
S ...12 12 12 12
Desdoblando y agrupando:2 3
2 3
2 3
2 3
3 3 3S ...
12 12 12
4 4 4 ...12 12 12
1 1 1S ...
4 4 4
1 1 1 ...3 3 3
Aplicando suma límite:1 14 3S
1 11 14 3
1 14 3S3 24 3
S = 13
+ 12
\ S = 56
Clave D
7. Como 27 = 128 ® (P Ç Q) tiene 7 ele-mentos.
Como 26 = 64 ® (P - Q) tiene 6 elemen-tos.
Graficando:
P
6 7
Q
7
Como P × Q tiene 182 pares y P tiene13 elementos ® Q tiene 14 elementos, yaque, 13 × 14 = 182.Q P = Q – P tiene 7 elementos.
Clave C
Álgebra de funciones
8. F(x) = ïx – 1ï+ ïx + 1ï
Redefiniendo:
F(x) =x – 1 + x + 1, x≥ 11 – x + x + 1, – 1 < x < 11 – x – x – 1, x≤ – 1
F(x) =2x , x≥12 , – 1 < x < 1– 2x , x≤ – 1
Clave C
9. Sea el número:abcde × 101 = ...8513
Luego:abcde00 +
abcde...8513
e = 3d = 1c = 2b = 7
Como las cifras son diferentes y ya usamos4 cifras, sólo quedan: 4, 5, 6, 8 y 9.\ a asume 5 valores.
Clave C
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3
10. Sea la proporción geométrica:
5 5 54 4 4
a ba b
Razón
Datos:• 5a + 4a + 5b + 4b = 45 ® a+b = 5• 4a – 4b = 4 ® a – b =1
La proporción es: 15 1012 8
\ El mayor término es 15.Clave B
11.
N.° de litros: a bPeso de un litro: 1,032 kg 1 kgSegún el enunciado:
17 ...........(1)1,032 1 17,32...(2)a b
a b
(2) – (1) 0,032a = 0,32 ® a = 10\ b = 17 – 10 = 7
Lechepura
Agua
Clave C
12. Según los datos:Año de nacimiento: 19ab (ab £ 50)Además:x2 – 19ab =
4x
432 = 1849 , 452 = 2025
442=1936 ® 44 eso4
Luego x = 441936 – 19ab = 11 ® ab = 25\ 2008 – 1925 = 83
Clave A
13. Como:
MCM(125, 625, 200, 2000, 4000) = 10 000
y 23» 1,2599305...
Homogenizamos todas las fracciones condenominador 10 000, luego:
De las fracciones:12 56010 000
, 12 57610 000
, 12 65010 000
, 12 59510 000
Buscamos las que pertenecen al intervalo:
12 575 12 599,
10 000 10 000
Éstas son 12 57610 000
y 12 59510 000
.
\ Sólo son dos números.
Clave C
14. Sea A el número de modelos:
{7 6 5
A A 1 A 2 210
\ A = 7
Clave D
15. Observe:
d d d2520 md d
d d d2000 md d
donde:
d: lo mayor posible (para que se coloquenla menor cantidad de murales)
d: divisor común de 2520 y 2000
® d = MCD(2520, 2000) = 40
Hallando el número de murales:
2520 20001 1 115
40 40
Para colocar cada mural se requiere almenos 3 trabajadores (mínimo 3).
\ El mínimo número de trabajadores es
115 ´ 3 = 345
Clave C
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4
16. Como: a+b+c = 12 está garantizado queabc =3.Sólo debemos garantizar que:abc = 4
ólo debemos garantizar que:ólo debemos garantizar que:® bc =4
ólo debemos garantizar que:
Luego: bc = 4 y 2 < b +c <12
De los 24 valores que podría tomar bc = 4:bc Ï{20, 48, 68, 76, 84, 88, 96}
Es decir, son 7 valores menos.\ Son: 24 – 7 =17 números.
Clave E
Sucesiones
17. Si n impar: lim (– 1)n
1+n2= 0
Si n par: lim 11+n3
= 0
\ an converge a cero.Clave B
Matrices
18. Si multiplicamos A por la derecha con
1 0 00 0 10 1 0
se intercambian las columnas
2 y 3.
1 0 00 0 1 B0 1 0
a b c a c bd e f d f eg h i g i h
A la matriz B multiplicamos por la izquierda
por1 0 00 0 10 1 0
se intercambian las filas 2 y 3.
1 0 00 0 10 1 0
a c b a c bd f e g i hg i h d f e
\ P =1 0 00 0 10 1 0
Clave B
19. Programación lineal
Caso I
z = 5x + 6yzmín = 5(0) + 6(0) = 0® (x0, y0) = (0, 0) solución I
Caso II
z = 5x + 6yzmín = 5(0) + 6(0) = 0
® (x0, y0) = (0, 0) solución II
Entonces: I VII FIII F
Clave A
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5
20. 25 3 –4
5 3
c c cb a b
b c b d b c
c – c30 22 3 –42 3
c cb a bc b d b c
0 23 –2
3
c cb a bc b d b c
c – 3c1 0 20 –2
c cb ac b d b
c – c1 00 –2
c cb ac d b
Intercambiando c1 y c2:
00 2
c ca bd c b
Clave C
21. Caso: I
Caso: II
Por resolución de triángulos rectángulos:
En (I): 2a=2r senn
® r=a cscn
En (II): 2a=2R tgn
® R=actgn
Luego:
R+r = a csc ctgn n
\ R+r =a ctg 2n
Clave D
22. Tenemos la función: f(x)=|cos4x – sen4x|2 2 2 2
1
( ) |(cos sen )(cos sen )|f x x x x x 1442443
f(x)=|cos2x|
La grafica de la función es:
Del gráfico: T2
Clave D
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6
23. Condiciones:tg(xk + xy) = atg(xk – xy) = bAsí:* tg(2xk) = tg((xk + xy) + (xk – xy))
tg( ) tg( – )tg(2 )
1– tg( ) tg( – )xk xy xk xy
xkxk xy xk xy
tg(2 )1 –a b
xkab
* tg(2xy) = tg((xk + xy) – (xk – xy))tg( ) – tg( – )tg(2 )
1 tg( ) tg( – )xk xy xk xyxy
xk xy xk xy
–tg(2 )
1a b
xyab
Luego:tg(2xk) + tg(2xy) =
2
2 22 (1 )
1 –
a b
a b
Clave E
24. Tenemos: – (1 3 ) – (1– 3 ) 12z z i z i z Sea:z = x + yi
–z x yi
Reemplazando:( x+ y i) ( x– y i)– (1+3 i) ( x+ y i)– (1–3 i)(x–yi)=12
(x2+y2)–(2x–6y)=12Completamos cuadrados:(x – 1)2 + (y + 3)2 = 22La ecuación obtenida le corresponde auna circunferencia.
Clave A
25. Condiciones para el ángulo:
3
3
1S – ...........(1)
191C ...........(2)
19
k
k
Restamos (2) – (1): 2C– S
19 .... (3)
Se conoce:
R RC 200 y S 180
Reemplazamos en (3):R 2
2019
R190
Clave C
26. Sea la longitud de la escalera: L=5 2k
Del gráfico: 4 2 k – 5k=(8 – 5 2)m
k(4 2 – 5)= 2 (4 2 – 5) m
k= 2 m
Luego: L=5 2 ( 2 m)\L=10m
Clave B
27. Se debe pedir el mayor valor de k y la des-igualdad debe ser:
1sen2x
+ 1cos2x
³ k .... (1)
Sea: M = 1sen2x
+ 1cos2x
Equivale a:M = 4csc22x
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7
Pero:csc22x ³ 14csc22x ³ 4
M ³ 4
En (1): M ³ kPor lo tanto, el mayor valor que tomó k es 4.
Clave D
28. La función2
cos – 1 –2
xy x
es par ($
simetría con eje Y), equivale a:
2 2
2 – sen2 2x x
y
Analizando para 0, :2
x
Se observa que:
2 2
sen2 2
sen2 2
x x
x x
de donde:2 2
2 – sen 02 2x x
es decir: y≥0La gráfica que representa mejor a lafunción es la alternativa D.
Clave D
29.
Piden S1 + S2 = ?
Clave D
30.
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8
Piden (x + y)máx – (x + y)mín = ?
Dato: d1 + d2 = 15
CT // BD ® BCTD: paralelogramoBC = DT = y, BD = CT = d2
DACT (desigualdad triangular)
d1 – d2 < x + y < d1 + d2
0 < x + y < 15
® (x + y)máx = 14
y (x + y)mín = 1
\ (x + y)máx – (x + y)mín = 13
Clave B
31.
12
15
9 nA
B C
P
F
Q
E
6
3k
2k
53º 37º
8
4
D
xPide:AD = x
*BE 3ABE ECP:EP 2
:V V
*2 6
EPF BPQ: BQ 155 BQkk :V V
* ABQ: notable (37º y 53º): AQ = 9
* QPD: notable (37º y 53º): 163
n
16 439
3 3x x
Clave C
32.
53º90º –2
53º90º –
26k
R = 5k
3k
53º/2
D
A B
C
37º53º
R = 5kO
5k
E
3 5k
ADE
ADE
ADE
ADE
ADE
Piden: 2 ?
2 AE ED AD 6 3 3 5
2 (9 3 5)
RPero: 10 2R5
R2 (9 3 5)
59 3 5
Pero: 3,14165
2 R
p
p k k k
p k
k k
p
p
VVV
V
VClave D
33.
S2S1
r3
r2
r1 3
4
A
B
CSegún el gráfico, pide la suma de las áreasde las regiones sombreadas (lúnulas).Teorema (lúnulas de Hipócrates)Área( ABC)=S1+S2Pero:Área ( ABC)= 23 4
6 cm2
Luego:S1+S2=6 cm2
Clave C
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9
34.L2L1
a+1
2l
l
AP
F
E
Q D
B
C
m
3a 2m
Piden: BC=3aTrazamos PQ perpendicularmente a losplanos P1, P2 y P3 respectivamente.Por teorema de Tales:
13 2
a la l
® a=2
\ BC=3(2)=6Clave D
35.
aa
O
A
B
P
H
C
q
60º60º
3a 2a
Piden: tgqSiendo q: medida del ángulo entre OA yla cara BOCOP: proyección ortogonal de OR sobre lacara BOCOP: bisectriz del <) BOC (teorema de trie-dro isósceles)
OPH: notable 45º y 45º
AHO: notable 30º y60º
Finalmente OAP:2
tg 12
a
a
\ tg q=1
Clave C
36.
a
a
a
a
A
B
C
2
3
Piden: diagonal del cubo=a 3
ABC:R.métricas:a.a 2 =a 3 . 2
a= 3a 3 = 3 . 3 = 9
Clave E
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10
37.
r
a
n lados
Sx
Sea el prisma oblicuo cuya base es unpolígono de n lados.
Pide el área del círculo inscrito en lasección recta:
Sx=p r2
Dato:1) ASL=50 m2
(2p)a=50 m2 (2p: perímetro de lasección recta)p.a=25 m2
2) Volumen=150 m3
ASR.a=150 m3
p.r.a=150 m3
® 25 m2.r=150 m3 ® r=6 mLuego:
Sx=p(6 m)2=36p m2
Clave E38.
rRO
15º
Cuñaesférica
Sean las esferas cuyos radios miden r y R.
Pide el volumen de la cuña esférica:3
cuña esférica15º RV
270º
Dato:
esfera menor
esfera mayor
V 8V 27
3
3
48 23
4 27 R 3R3
r r kk
r=2kR=3k
Luego:3 3
cuña esferica15ºV (3 ) 1,5270º
k k
Si k=1, la respuesta es 1,5p.Clave E
39.
Piden OO1 = x = ?
Dato: S = ASL tronco de cono
p(3k)2 = p(3k+6)(10 – 5k)
9k2 = 30k – 15k2+60 – 30k
® k =102
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11
x = 8 – 4k = 8 – 4102
\ x = 8 – 2 10
Clave B
40.
Piden h.
Se deduce que la pirámide es trirrectánguloen el vértice B.
Por propiedad en el triedro trirrectángulo:
1h2 =
1242+
1122+
1122
Operando: h = 8Clave C
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