ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ...
Transcript of ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ...
![Page 1: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/1.jpg)
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
Л. В. Борисова, В. В. Новиков, С. В. Тышкевич, А. В. Шаталина
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие для студентов механико-математического, физического
и геологического факультетов
Издание второе, исправленное и дополненное
ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2004
![Page 2: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/2.jpg)
2
УДК 517.55(075.8) ББК 22.161.5я73 Б82
Борисова Л. В., Новиков В. В., Тышкевич С. В., Шаталина А. В. Б82 Теория функций комплексной переменной: Учеб. пособие для сту-
дентов мех.-мат., физ. и геол. фак. 2-е изд., испр. и доп. – Сара-тов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с.: ил. (Б-ка "Основы математики"; Вып. 26).
ISBN 5-292-03290-5
Пособие содержит краткие теоретические сведения, задачи и упражнения по тео-рии аналитических функций. Особое внимание уделено изучению элементарных функ-ций в комплексной области, конформным отображениям, которые могут осуществить эти функции. К некоторым задачам и упражнениям даны полные решения.
Для студентов механико-математического, физического, геологического факуль-тетов.
Р е к ом е н д ую т к п е ч а т и :
Кафедра теории функций и приближений механико-математического факультета
Саратовского государственного университета Доктор физико-математических наук В. Ю. Ольшанский
УДК 517.55(075.8) ББК 22.161.5я73
Работа издана в авторской редакции
ISBN 5-292-03290-5 © Борисова Л. В., Новиков В. В., Тышкевич С. В., Шаталина А. В., 2004
![Page 3: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/3.jpg)
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вв е д е н и е ...................................................................................................................... 4 Программа курса по теории функций комплексной переменной ............................... 5 Глава 1. Методические указания к программе ....................................................... 7 Глава 2. Комплексные числа ....................................................................................... 9 Глава 3. Конформные отображения ........................................................................... 12
3.1. Дробно-линейная функция ..................................................................... 12 3.2. Показательная и тригонометрические функции комплексного аргумента .................................................................................................. 15 3.3. Логарифмы комплексных чисел. Степень с действительным показателем .............................................................................................. 18 3.4. Функция Жуковского .............................................................................. 25 3.5. Конформные отображения, определяемые комбинациями ос- новных элементарных функций ............................................................ 28
Глава 4. Интеграл от функции комплексной переменной .................................... 31 4.1. Понятие интеграла от функции комплексной переменной .................. 31 4.2. Интегральная теорема Коши ................................................................... 32 4.3. Интегральная формула Коши .................................................................. 34
Глава 5. Степенные ряды ............................................................................................. 37 5.1. Понятие степенного ряда ......................................................................... 37 5.2. Ряд Тейлора ............................................................................................... 38 5.3. Ряд Лорана ................................................................................................. 45 5.4. Классификация изолированных особых точек однозначного характера аналитической функции ......................................................... 48
Глава 6. Вычеты ............................................................................................................. 51 6.1. Вычисление вычетов ................................................................................ 51 6.2. Вычисление интегралов с помощью вычетов ........................................ 56
Контрольные работы ..................................................................................................... 63 Библиографический список .............................................................................................. 83
![Page 4: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/4.jpg)
4
ВВЕДЕНИЕ
Теория функций комплексной переменной (теория аналитических функций) в рамках университетского курса является в основном продол-жением курса математического анализа.
Основы теории функций комплексной переменной (ТФКП) были за-ложены в середине XVIII века Л. Эйлером, а как самостоятельная ветвь математики дисциплина оформилась около середины XIX века благодаря работам О. Коши, К. Вейерштрасса, Ю. В. Сохоцкого и Б. Римана.
Сейчас ТФКП является одним из важнейших разделов математики. Ее идеи и результаты проникли во многие другие математические дисцип-лины, такие как алгебраическая топология, обыкновенные дифференци-альные уравнения, математическая физика, функциональный анализ, тео-рия вероятностей, вычислительная математика и др. Методы ТФКП стали привычными и в ряде прикладных дисциплин (гидро- и аэромеханика, тео-рия упругости, теория элементарных частиц). В связи с этим курс ТФКП является обязательным на всех отделениях механико-математического, фи-зического и геологического факультетов.
Относительная легкость формального усвоения теоретического ма-териала сочетается с серьезными трудностями в овладении конкретными методами ТФКП. На экзамене же студент обязан показать свое умение ре-шать конкретные задачи.
Материал пособия авторы старались изложить так, чтобы макси-мально помочь читателю овладеть основами ТФКП. С этой целью здесь подробно разобрано большое количество примеров. Авторы надеются, что примеры помогут студентам глубже усвоить теоретический материал и приобрести навыки в решении задач. Кроме того, пособие содержит зада-чи, подобные тем, которые предлагаются в контрольных работах и на эк-заменах. В указаниях содержатся практические рекомендации к решению задач и соответствующие разъяснения. В качестве образцов в заключи-тельной части пособия приведены контрольные работы, предлагаемые сту-дентам на зачетах.
Изучение теоретического курса [4, 6] рекомендуется сопровождать решением задач из соответствующих разделов задачника [5]. В целях об-легчения усвоения материала и подготовки к экзамену в этом пособии про-грамма по ТФКП написана в основном в форме экзаменационных вопро-сов. При этом каждый вопрос снабжен ссылкой на наиболее подходящий (с точки зрения авторов настоящего пособия) учебник.
![Page 5: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/5.jpg)
5
ПРОГРАММА КУРСА ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Понятие аналитической функции действительной переменной. Пе-
реход к комплексной переменной. Предмет теории аналитических функций и роль этой теории в математике и ее приложениях [2, введение].
2. Комплексные числа, действия над ними. Их геометрическое изо-бражение на плоскости и на сфере. Бесконечно удаленная точка [1, гл. 1, §1, 2].
3. Множества точек на плоскости: открытые, замкнутые, связные. Путь, кривая, область, граница области. Теория пределов: сходящиеся по-следовательности и ряды комплексных чисел [1, гл. 1, §1 – 4].
4. Функции комплексной переменной. Предел. Непрерывность, рав-номерная непрерывность [1, гл. 2, §1, 2, гл.2, §1 – 4].
5. Понятие производной и дифференциала. Необходимое и достаточ-ное условие существования производной [1, гл. 2, §1, 4; 2, гл. 2, §5 – 7].
6. Аналитическая функция. Вещественная и мнимая части аналити-ческой функции как сопряженные гармонические функции [2, гл. 2, §13, 14; 1, гл. 2, §4, 5].
7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Кон-формные отображения [2, гл. 2, §8 – 11; 1, гл. 2, §4, 5].
8. Элементарные функции. Линейная и дробно-линейная функции. Свойства дробно-линейного преобразования [1, гл. 3, §1, п.1 – 10; 2, гл. 3, §4 – 9].
9. Показательная функция и логарифм. Степень с произвольным комплексным показателем, функция Жуковского и им обратные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Приложе-ние аналитических функций к решению прикладных задач [1, гл. 3, §3; 2, гл. 3, §1 3; 10 21].
10. Интеграл от функции комплексной переменной и его свойства. Связь с криволинейными интегралами [1, гл. 4, §1, п. 1, 2; 2, гл. 5, §1 – 3].
11. Интегральная теорема Коши для простого и сложного контуров. Интеграл и первообразная. Выражение определенного интеграла через первообразную функцию (Формула Ньютона – Лейбница) [1, гл. 4, §2; 2, гл. 5, §4 – 10].
![Page 6: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/6.jpg)
6
12. Интеграл и интегральная формула Коши. Ее следствия. Принцип максимума модуля. Интеграл типа Коши [1, гл. 4, §3, п. 3, 4, 7, гл. 5, §2, п. 5].
13. Обращение интегральной теоремы. Теорема Морера [1, гл. 4, §3, п. 5].
14. Ряды с комплексными членами. Абсолютно сходящиеся ряды. Степенные ряды. Круг сходимости и радиус сходимости [1, гл. 1, §5; 1, гл. 2, §3].
15. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Неравенст-во Коши для коэффициентов [1, гл. 5, §2, п. 1– 3, 8, 9; 2, гл. 6, §2].
16. Ряд Лорана [2, гл. 7, §1, 2]. 17. Классификация изолированных особых точек однозначного ха-
рактера. Характер поведения функции в окрестности изолированной осо-бой точки. Случай бесконечно удаленной точки. Связь между нулем и по-люсом [1, гл. 6, §1, 2; 2, гл. 7, §3, 4, 6].
18. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычета [1, гл. 6, §2; 2, гл. 8, §1, 3].
19. Применение теории вычетов к вычислению интегралов. Примеры [1, гл. 7, §2; 3, гл. 5, §2, п. 73, 74].
20. Аналитическое продолжение функции. Понятие полной аналити-ческой функции и римановой поверхности [1, гл. 2, §4, гл. 10, §1, 2; 2, гл. 9, §1 – 4, 6].
21. Понятие об общих свойствах конформных преобразований [1, гл. 12, §1, 2].
22. Приложение теории функций комплексной переменной. Краткий обзор развития теории функций комплексной переменной и важнейшие достижения отечественных ученых в этой области науки.
![Page 7: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Глава 1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОГРАММЕ
2. Компактификация комплексной плоскости состоит в присоедине-
нии к ней бесконечно удаленной точки. Плоскость с присоединенной бес-конечно удаленной точкой (расширенная комплексная плоскость) при сте-реографическом проектировании соответствует полной числовой сфере. При соответствующем определении окрестности бесконечно удаленной точки стереографическое проектирование расширенной комплексной плоскости на замкнутую числовую сферу (сферу Римана) непрерывно в обе стороны в каждой точке. Расширенная комплексная плоскость, как и замкнутая числовая сфера, являются компактами. Подчеркнем, что в рас-ширенной комплексной плоскости имеется одна бесконечно удаленная точка в отличие от числовой прямой, которая обычно дополняется двумя несобственными точками ∞−∞+ , , и от проективной плоскости, допол-няемой целой бесконечно удаленной прямой.
Стремление ∞→z означает лишь то, что +∞→z и не имеет значе-ния, каким образом, в каком направлении z удаляется от начала координат. Стереографическая проекция показывает, что в окрестности бесконечно удаленной точки расширенная комплексная плоскость устроена так же, как и в окрестности любой конечной точки.
5. Обратить внимание на то, что для наличия производной ( )0' zf функции ( ) ( ) ( )yxivyxuzf ,, += в точке 000 iyxz += необходимо и доста-точно выполнение двух условий: а) дифференцируемости ( )yxu , и ( )yxv , в точке ( )00 , yx как функций двух переменных, что означает наличие полно-го дифференциала у этих функций в точке ( )00 , yx ; б) условия Даламбера – Эйлера (Коши – Римана).
Напомним, что из существования частных производных у функции ( )yxu , в точке ( )00 , yx не вытекает ее дифференцируемость в этой точке.
7. Что касается конформных отображений, то сделаем следующее замечание: если ( )zf аналитична в некоторой окрестности точки 0z , то ус-ловие ( ) 0' 0 ≠zf является не только достаточным для конформности ото-бражения ( )zfw = в точке 0z , но и необходимым.
8. 9. Рекомендуется решение задач (см. гл. 3).
![Page 8: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Уяснить взаимоотношение понятий однозначности и однолистности. Обратить внимание на области однолистности рассматриваемых элемен-тарных функций.
При поверхностном рассмотрении элементарных многозначных функций может создаться впечатление, что все многозначные аналитиче-ские функции суть функции обратные к однозначным аналитическим. Следующие примеры показывают, что это не так:
1) при ( ) 2/3zzw = имеем ( ) 3/2wwz = ; 2) если P(z) – полином и ( )zww = определяется как решение уравне-
ния ( ) ( ) 1=wPzP , то функция ( )zww = совпадает со своей обратной ( )wz . При построении конформных отображений конкретных областей
нужно следить за тем, чтобы, во-первых, это отображение было взаимно-однозначным (т. е. однозначным и однолистным) и непрерывным. Для это-го нужно следить за тем, чтобы отображаемая (открытая) область попадала в область однолистности применяемой функции и, во-вторых, когда при-меняется многолистная функция, каким-либо условием выделить ее одно-значную аналитическую ветвь.
10. См. гл. 4. 11. Интегральная теорема Коши – центральная тема курса. Почти все
дальнейшие результаты основываются на этой теореме. 12. Интегральная формула Коши показывает, что значение аналити-
ческой функции во внутренних точках области полностью определяется ее значениями на границе области и позволяет производить соответствующие вычисления (см. гл. 4, п. 4.3).
13. Теорема Мореры вместе с интегральной теоремой Коши позволя-ет дать следующее определение аналитической функции: однозначная функция ( )zf называется ан али тич е с кой в обл а с ти G , если ( )zf непрерывна в G и равен нулю интеграл вдоль любого жорданова спрям-ляемого контура, лежащего в G вместе со своей внутренностью (т. е. с ог-раниченной областью, для которой этот контур является границей).
14. Обратить внимание на то, что степенной ряд во всем (открытом) круге сходимости может сходиться неравномерно, в то время как на каж-дой замкнутой ограниченной подобласти круга сходимости он сходится равномерно.
Затруднения вызывает применение формулы Коши – Адамара для радиуса R сходимости степенного ряда ( )nn azc −∑
( ) nnn
cR
/1lim1∞→
=
в случае, когда на самом деле приходится вычислять верхний предел, по-скольку не существует обычного предела, и в особенности, когда степен-ной ряд имеет пропуски, т. е. когда 0=nc для бесконечного числа индек-сов n . Соответствующий пример приведен в гл. 5.
![Page 9: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/9.jpg)
9
15. В процессе разложения аналитической функции
( ) ( )∫ ξ
−ξξ
π=
C
dz
fi
zf21
в степенной ряд производится разложение в степенной ряд по степеням
( )az − ядра Коши – функции z−ξ
1 :
( )( )
.10
1∑∞
=+−ξ
−=
−ξ nn
n
aaz
z
При этом z – фиксированная точка, лежащая строго внутри окружности 0,: >=−ξ ppaC , а ξ – произвольная точка окружности C . Этот ряд, а
также ряд, полученный из него умножением каждого его члена на величи-
ну ( )ξπ
fi2
1 , сходится равномерно по C∈ξ . Именно благодаря этому мож-
но последний ряд проинтегрировать почленно (при фиксированном z). На границе круга сходимости степенного ряда всегда имеется по
крайней мере одна особая точка его суммы (заметим, что сам ряд может сходиться в этой точке).
16. 17. Обратить внимание на разницу в определении главной части ряда Лорана в случае конечной точки a и в случае бесконечно удаленной точки.
Классификация изолированных особых точек однозначного характе-ра производится двумя эквивалентными способами:
1) по поведению функции вблизи рассматриваемой точки; 2) по виду лорановского разложения функции в проколотой окрест-
ности рассматриваемой точки (см. гл. 5). 18. Теория вычетов имеет многочисленные теоретические и практи-
ческие приложения. В качестве практических приложений отметим вычис-ление интегралов – контурных и сводящихся к контурным (см. п. 6.2, при-меры).
Глава 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплек сными числ ами называются выражения вида iyxz += (алгебраическая форма), где x и y – действительные числа,
i = 1− – мнимая единица, т.е. число, квадрат которого равен –1. Число x называют д ей с т ви т ел ьной ч а с т ью комплек сно го чи сл а z, чис-ло y – его мнимой ч а с т ью (обозначения zx Re= , zy Im= ). Если
0=y , то комплексное число xz = +0⋅i отождествляется с действительным числом x. Множество всех комплексных чисел обозначается C. Два комплексных числа 1z и 2z считаются р а вными , если
![Page 10: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/10.jpg)
10
21 ReRe zz = , 21 ImIm zz = . Суммой комплек сных чис ел 111 iyxz += и 222 iyxz += называется число ( ) ( )212121 yyixxzz +++=+ , а их про -и з в ед ением – число ( ) ( )1221212121 yxyxiyyxxzz ++−= . В частности, ес-ли izz == 21 , то из определения произведения получаем, что 12 −=i . Число iyx − называется сопряженным числу iyxz += и обозна-чается z . Ра зно с т ью двух комплек сных чи с ел 1z и 2z называется число 21 zzz −= , служащее решением уравнения 21 zzz += , а ч а с тным
21 / zz )0( 2 ≠z – число z , которое является решением уравнения 21 zzz = . Разность и частное вычисляются по формулам
)()( 212121 yyixxzz −+−=− ,
22
22
211222
22
2121
22
21
2
1
yxyxyxi
yxyyxx
zzzz
zz
+−
+++
== .
Комплексное число iyxz += изображается на плоскости xOy точ-кой ( )yxM , или вектором OM . Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством C и координатной плоско-стью, которую в данном случае называют комплексной плоскостью.
Длина вектора OM называется модулем комплексного числа и обо-значается z . Очевидно, что zzyxz =+= 222 . Угол ϕ , образованный век-тором OM (предполагается, что z≠0) с положительным направлением оси Ox , называется аргументом комплексного числа z и обозначается
zArg=ϕ . Он определяется с точностью до слагаемого, кратного π2 : π+= kzz 2argArg , k∈Z,
где zarg есть главное значение zArg , определяемое обычно условием π≤<π− zarg . Легко проверить, что
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≠=π
<<π−
≥<π+
>
=
.0,0 если ,sign2
;0,0 если ,arctg
;0,0 если ,arctg
;0 если ,arctg
arg
yxy
yxxy
yxxy
xxy
z
Числа zr = и zarg=ϕ можно рассматривать как полярные коорди-наты точки ( )yxM , , тогда ϕ= cosrx , ϕ= sinry , и число 0≠z допускает представление в так называемой т ри гономе трич е с кой форме :
( )ϕ+ϕ= sincos irz . Воспользовавшись известной формулой Эйлера
![Page 11: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/11.jpg)
11
ϕ+ϕ=ϕ sincos iei и переписав предыдущее соотношение в виде
ϕ= irez (z≠0), мы получим пок а з а т е л ьную форму комплек сно го числ а . Легко проверяется справедливость следующих равенств:
10 =ie , ( )ψ+ϕψϕ =⋅ iii eee , ( )ψ−ϕψ
ϕ= i
i
ie
ee ,
ϕ−== irez , 2
cosϕ−ϕ +
=ϕii ee ,
iee ii
2sin
ϕ−ϕ −=ϕ ,
( ) ,...2,1,sincos)]sin(cos[ =ϕ+ϕ=ϕ+ϕ nninrr nn (формула Муавра).
Примеры
1. Представить комплексное число i
iiz+
+−=1
23 в алгебраической
форме. Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное
знаменателю, получим ( )
( ) ( )( ) 4132123
11123 =++−=
−+−=
−+−
+−= iiiiiii
iiiz ,
т.е. 4Re =z , 0Im =z . 2. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовле-
творяющих условию 11
22 <
+ zz .
Согласно определению модуля комплексного числа имеем
( ) 22222
22
2241
21
21
2
yxyx
yxz
zzz
+−+
+=
+=
+.
По условию получаем
( )1
41
222222
22<
+−+
+
yxyx
yx.
Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем его в квад-рат:
( ) ( ) 2222222 414 yxyxyx +−+<+ или ( ) 041 2222 >−−− yyx . Тогда
( )( ) ( )( ) 02121 2222 >−−+−++ yxyx . Искомое множество точек будет определяться двумя системами не-
равенств
![Page 12: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/12.jpg)
12
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
>−+
>++
21
,2122
22
yx
yx
и
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<−+
<++
,21
,2122
22
yx
yx
решения которых изображены на рис. 1 (за-штрихованная часть комплексной плоскости).
Глава 3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
3.1. Дробно-линейная функция Определение 1. Функция вида
0, ≠−++
= bcaddczbazw , (1)
где dcba ,,, – комплексные числа, называется дробно-линейной. Отображение, задаваемое этой функцией, называется дробно-
линейным. Условие 0≠− bcad означает, что constw ≠ . Функция (1) осуществ-
ляет конформное отображение расширенной комплексной плоскости Z на расширенную комплексную плоскость w, так как производная
( )∞≠∀≠
+
−= z
dczbcazw ,0' 2 .
Для 0≠c предполагаем, что ( )caw
cdw =∞∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− , , для 0=c функция (1)
становится линейной, т. е. bazw += и ( ) ∞=∞w . Функция
0, ≠−+−−
= bcadacw
bdwz ,
является обратной к функции (1). Она также является дробно-линейной и однозначной на расширенной комплексной плоскости, т. е. здесь функция (1) является однолистной.
Каждое дробно-линейное отображение может быть получено в ре-зультате последовательного выполнения трех отображений: линейного,
отображения z
w 1= и снова линейного отображения.
Дробно-линейные отображения переводят: 1) окружность или прямую в окружность или прямую (круговое
свойство);
Рис. 1
![Page 13: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/13.jpg)
13
2) пару точек, симметричных относительно окружности, – в пару то-чек, симметричных относительно образа этой окружности (свойство со-хранения симметрии). Здесь "окружность", в частности, может быть пря-мой, если под последней понимать окружность бесконечного радиуса.
Существует единственное дробно-линейное отображение, которое три разных точки 321 ,, zzz переводит соответственно в три разные точки
321 ,, www . Это отображение задается формулой
13
23
2
1
13
23
2
1zzzz
zzzz
wwww
wwww
−−
⋅−−
=−−
⋅−− . (2)
Если одна из точек kz или kw ( 3,2,1=k ) является бесконечно удаленной точкой, то в формуле (2) разности, в которые входит kz или kw , требуется заменить единицами.
Существует бесконечно много дробно-линейных отображений, кото-рые заданную окружность γ отображают на заданную окружность Г, при-чем область D, для которой γ является границей, отображается на одну из областей, для которой Г является границей.
Для обеспечения единственности дробно-линейного отображения достаточно выполнение одного из условий:
1) заданная точка Dz ∈0 отображается в заданную точку '0 Dw ∈ , а любая кривая, выходящая из точки 0z , поворачивается на заданный угол α
( ) ( )( )( )000 'arg, zfzfw =α= ; 2) точки Dz ∈0 и γ∈1z отображаются соответственно в заданные
точки '0 Dw ∈ и Γ∈1w .
Примеры 3. Найти образ окружности, заданной уравнением
014222 =+−++ yxyx ,
при отображении z
w 1= .
Решение. На основании кругового свойства дробно-линейного отображения окружность переходит в окружность. Для ее нахождения на заданной окружности 014222 =+−++ yxyx выберем три точки, напри-мер: ,11 −=z iz 212 += , iz 233 +−= , образами которых при отображении
zw 1= будут точки
1323,
521,1 321
iwiww −−=
−=−= . Точками 321 ,, www од-
нозначно определяется образ данной окружности, уравнение которой: ( ) ( ) ( )ivuwvu +==+++ 421 22 . (3)
Для отображения z
w 1= имеем
![Page 14: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/14.jpg)
14
2222 ,yx
yvyx
xu+
−=+
= .
Выразив отсюда ( )vuyvuxx ,),,( == и подставив в уравнение задан-ной окружности, получим искомый образ (3).
4. Найти образ области D при отображении 1−
=z
zw , где
( ) ( ){ }1Im0,1Re0, <<<<= zzzD . Решение. Выделим действительную и мнимую части функции w.
Имеем: ( )( ) ( ) 2222
2
1,
11
yxyv
yxyxxu
+−−=
+−
+−= .
Будем искать образ границы области D (рис. 2). Сторона 10,0: ≤≤= xyOA отображается на отрицательную часть
действительной оси ( 0,0 ≤<∞−= uv ) (рис. 3).
Сторона 10,1: ≤<= yxAB , отображается в линию 1,1 −≤<∞−= vu . Сторона 01,1: ≥≥= xyBC , отображается в линию, параметрическое
уравнение которой имеет вид ( )( ) ( )
10,11
1,1111
22 ≤≤+−
−=+−
+−= x
xv
xxxu .
Исключив параметр x , получим
( )211,
211,
41
211
22 ≥≥−≥≥=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++− vuvu .
Аналогично образ стороны CO определяется уравнением
021,0
21,
41
21 2
2
≤≤−≥≥=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − vuvu .
В соответствии с принципом соответствия границ образом квадрата будет заштрихованная область на рис. 2.
5. Найти дробно-линейное отображение, которое точки 11 =z и 12 −=z оставляет неподвижными, а точку iz =3 переводит в точку 03 =w .
1
B C
O x
y
A
0
v C
B′C′
21
-i
-i/2
Область D
Рис. 2
Образ области D
Рис. 3
ui
![Page 15: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Найти образ полуплоскости ( ) 0Im >z при данном отображении. Решение. По условию имеем три пары соответствующих точек
.0,1,1,,1,1
321
321
=−===−==
wwwizzz
Применяя формулу (2), получим искомое дробно-линейное отобра-
жение .1iz
izw++
=
Найдем теперь образ верхней полуплоскости, границей которой яв-ляется действительная ось. Согласно круговому свойству действительная ось отображается в окружность. Чтобы найти ее, на действительной оси выберем три точки, например: 1,0,1 321 −=== zzz , образами которых бу-дут точки 1,,1 321 −=−== wiww . Они лежат на окружности 1=w . По принципу соответствия границ получаем, что образом верхней полуплос-кости будет область { }1,' <= wwD .
6. Найти дробно-линейное отображение, которое круг 24 <− iz ото-бражает на полуплоскость uv > так, что ( ) ( ) 02,44 =−= iwiw .
Решение. Условие задачи определяет две пары соответствующих точек. Третью пару найдем, пользуясь свойством симметрии дробно ли-нейного отображения, согласно которому точки iz 41 = и ∞=3z , симмет-ричные относительно окружности 24 =− iz , перейдут в точки 41 −=w и
iw 43 −= , симметричные относительно прямой vu = . Таким образом, най-дена третья пара точек ∞=3z и iw 43 −= .
По формуле (2) найдем искомое отображение iz
izw4284
−−−−
= .
3.2. Показательная и тригонометрические функции комплексного аргумента
Определение 2. Функция ( ) ( ) ( )( )yiyezf x sincos += называется пока-зательной и обозначается zexp или ze .
Примеры 7. Доказать, что любая полоса шириной 2π, стороны которой парал-
лельны действительной оси, является областью однолистности функции ze .
Доказательство. Пусть 1z и 2z – две различные точки комплекс-ной плоскости. Очевидно, что при условии 21 zz ee = имеем 121 =−zze . От-сюда, так как 1=ze при ∈π= kikz ,2 Z, имеем
0,,221 ≠Ζ∈π=− kkikzz .
![Page 16: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Таким образом, условие однолистности нарушается для точек 1z и 2z , для которых ikzz π=− 221 , где k – любое целое число. Такому условию
не удовлетворяет множество точек z комплексной плоскости, для которых ( ) π+<< 2Im hzh , где h – любое действительное число. Отсюда следует,
что полоса шириной π2 , стороны которой параллельны действительной оси, является областью однолистности.
8. Доказать, что при отображении zew = : а) образом прямой ay = является луч, выходящий из начала коорди-
нат под углом a к положительному направлению действительной оси; b) образом прямой dx = является окружность с центром в начале
координат и радиусом de . Доказательство: а) действительно, так как ay = , то iaxz += , +∞<<∞− x , тогда ( ) ( )( )aiaeew xiax sincos +== + , что означает, что
( ) ,arg aw = xew = изменяется от 0 до ∞ , т.е. образом прямой ay = явля-ется луч ( ) aw =arg ;
b) так как dx = , то iydz += , +∞<<∞− y , тогда == + iydew ( ) ( )( )yiyed sincos += , т.е. ( )yeu d cos= , ( )yev d sin= , а это – параметриче-
ское уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом de . Тригонометрические и гиперболические функции комплексной пе-
ременной задаются формулами:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ).sh
chcth;2
sh
;chshth;
2ch
;sincosctg;
2sin
;cossintg;
2cos
zzzeez
zzzeez
zzz
ieez
zzzeez
zz
zz
iziz
iziz
=−
=
=+
=
=−
=
=+
=
−
−
−
−
9. Доказать соотношения между тригонометрическими и гиперболи-ческими функциями:
1) ( ) ( ) ( ) ( )izzizz cosch,chcos == ;
2) ( ) ( ) ( ) ( )iziziziz sinsh,shsin −=−= ;
3) ( ) ( ) ( ) ( )iziziziz tgth,thtg −=−= ;
4) ( ) ( ) ( ) ( )iziziziz ctgcth,cthctg == .
10. Пусть iyxz += . Доказать, что
1) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxzyxz shcossinIm,chsinsinRe == ;
![Page 17: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/17.jpg)
17
2) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxzyxz sinchshIm,cosshshRe == ;
3) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxzyxz shsincosIm,chcoscosRe −== ;
4) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxzyxz sinshchIm,coschchRe == .
11. Найти образы прямых ayax == , при отображении ( )zw sin= . Решение. Для отображения ( )zw sin= имеем ( ) ( )yxu chsin= ,
( ) ( )xyv cossh= (см. пример 8). При этом отображении прямая ax =
( Zkka ∈π
≠ ,2
) переходит в кривую, параметрическое уравнение которой
( ) ( ) ( ) ( ) +∞<<∞−== yyavyau ,shcos,chsin .
Исключая параметр y , получаем
( ) ( )1
cossin 2
2
2
2=−
av
au ( Zkka ∈
π≠ ,
2), (4)
причем координата u сохраняет знак, равный ( )( )asinsign , а координата v
пробегает всю числовую ось. Тогда образом прямой ax = ( Zkka ∈π
≠ ,2
)
является одна ветвь гиперболы (4) с полуосями |sin(a)| и |cos(a)| и с фоку-сами в точках ±1. Если Zkka ∈π= , , то прямая ax = превращается в кри-
вую, параметрическое уравнение которой ,0=u ( ) ( ),sh1 yv k−=
+∞<<∞− y , т.е. в мнимую ось плоскости w. Если Zkka ∈π
+π= ,2
, то
прямая ax = переходит в кривую, параметрическое уравнение которой ( ) ( ) +∞<<∞−−== yyuv k ,ch1,0 , т. е. в луч 0,1 =−≤ vu при нечетном k
и в луч 0,1 =≥ vu при четном k. Аналогично образом прямой ay = , 0≠a является эллипс
( ) ( )1
shch 2
2
2
2=+
av
au
с полуосями ( )ach и ( )ash и с фокусами в точках ±1. Если 0=a , то обра-зом действительной оси в плоскости z является отрезок [ ]1,1− действи-тельной оси плоскости w .
12. Доказать, что: 1) функция ( )zw sin= полосу ( )2
Re2
π<<
π− z ото-
бражает на всю плоскость w с разрезами по лучам [ [+∞;1 и ] ]1,−∞− дейст-вительной оси Ou ; 2) функция ( )zw cos= полосу ( ) π<< zRe0 отображает на всю плоскость w с разрезами по лучам [ [+∞;1 и ] ]1,−∞− действительной оси Ou .
![Page 18: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/18.jpg)
18
3.3. Логарифмы комплексных чисел. Степень с действительным показателем
Определение 3. Логарифмической функцией комплексного аргумен-та называется функция, обратная к показательной, т.е. определяемая урав-нением
zew = , 0≠z , и обозначаемая ( )zw Ln= . Справедлива формула
( ) ( ) ( )( )π++= kzizz 2arglnLn , Zk∈ (7). Логарифмическая функция определена на всей комплексной плоско-
сти с выколотой точкой 0=z , она бесконечнозначна и разные ее значения отличаются на ikπ2 , Ζ∈k .
Каждое значение функции ( )zLn называется логарифмом комплекс-ного числа z .
Значение логарифма комплексного числа z , 0≠z , которое соответ-ствует ( ) ( )ziz argln + , называется г л а вным з н ач ением ( )zLn и обо-значается через ( )zln :
( ) ( ) ( )zizz arglnln += , ( ) π<<π− zarg . Тогда формула (7) принимает вид
( ) ( ) ikzz π+= 2lnLn , Zk ∈ . Определение 4. Однозначной непрерывной ветвью многозначной
функции ( )zf в области D называется однозначная непрерывная функция ( )zϕ , значение которой в каждой точке Dz∈ совпадает с одним из значе-
ний функции ( )zf . В области D , которая является комплексной плоскостью с разрезом
вдоль луча, выходящего из начала координат под углом 1α к действитель-ной оси, существует бесчисленное множество разных однозначных ветвей функции ( )zw Ln= . Каждая из этих ветвей отображает область D на одну из полос:
( ) ( ){ }π++α<<π+α= 12Im2, 11 kwkwDk , Zk∈ . Для выделения однозначной ветви логарифмической функции ( )zw Ln= достаточно определить полосу kD , на которую эта ветвь ото-
бражает область D . Для определения полосы kD достаточно вычислить лишь значение логарифмической функции в какой-нибудь точке Dz ∈0 .
Через ( )zkLn обозначим ту ветвь логарифмической функции ( )zLn , которая отображает область D на полосу kD . Тогда
( ) ( ) ikzzk π+= 2LnLn 0 , Zk∈ , где ( ) ( ) ( )zizz 00 ArglnLn += , ( ) π+α<<α 2Arg 101 z .
Очевидно, что каждая ветвь ( )zkLn удовлетворяет теореме о произ-водной обратной функции, по которой
![Page 19: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/19.jpg)
19
( )( )z
zk1'Ln = , ∈k Z, Dz∈ .
Отсюда, отображение, осуществляемое каждой ветвью логарифмиче-ской функции, является конформным для всех точек Dz∈ .
В связи с тем, что главное значение аргумента комплексного числа выбирается из промежутка ] ]ππ− , , в формуле (5) берут π−=α1 . Тогда
( ) ( ) ( ){ }π+<<π−= 12Im12, kwkwDk , Zk∈ , а область D будет плоскостью с разрезом по лучу ] ]0,∞− .
Ветвь логарифмической функции, отображающая область D на по-лосу 0D , является главной ветвью ( )zln . Все остальные однозначные не-прерывные ветви функции ( )zw Ln= в этой области имеют вид
( ) ( ) ikzzk π+= 2lnLn , Zk∈ . Значение ( )zLn , равное ( )zkLn , при однократном обходе точки z
вокруг начала координат вдоль какой-нибудь окружности rz = переходит в число ( )zk 1Ln + , так, что ( )zLn непрерывно изменяется и обход соверша-ется против движения часовой стрелки, и в число ( )zk 1Ln − – при обходе по часовой стрелке.
Точка, при обходе которой по какой-нибудь окружности достаточно малого радиуса многозначная функция, непрерывно изменяясь, переходит от одного значения к другому, называется т о чкой в е т вл ения функ -ции . Точки 0=z и ∞=z являются точками ветвления функции ( )zw Ln= .
Примеры 13. Найти все значения логарифмов следующих чисел:
1; e;1− ; i+1 ; i2 ; i− ; ( ) ( )ϕ+ϕ sincos i , π≤ϕ<π− ; ( )ii
+11 ; ii
−+
11 .
14. Решить уравнения:
1) ( ) 1ln =+ iz ; 2) ( ) 0ln =− zi ; 3) 11ln =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
iz ;
4) ( ) iz =ch ; 5) ( ) iz π=sin . 15. Найти образы плоскости с разрезом вдоль отрицательной части
действительной оси при отображениях ветвями логарифмической функции ( )zw Ln= такими, что: а) точка 10 =z переходит в точку iw π= 40 ;
b) точка iz −=0 переходит в точку 2
30
iw π= ;
с) точка iz =0 переходит в точку 27
0iw π−
= .
Решение: а) полоса kD , являющаяся образом плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, определяется ветвью
![Page 20: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/20.jpg)
20
( )zkLn логарифмической функции, которую найдем из условия ( ) ik π= 41Ln . Имеем:
( ) ( ) ( ) ikzizzk π++= 2arglnLn , Zk∈ . Положив в этом равенстве 1=z , получим iki π=π 24 , т.е. 2=k . От-
сюда условием ( ) ik π= 41Ln определяется ветвь ( ) ( ) izz π+= 4lnLn2 , кото-рая согласно формуле (5) указанную область отображает на полосу:
( ){ }π<<π= 5Im3,2 wwD . Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно. 16. Найти образ области D при отображении ветвью логарифмиче-
ской функции ( )zw Ln= , которая определяется ее значением 0w в данной точке 0z (при выборе ветви логарифмической функции комплексную плоскость разрезать по отрицательной части действительной оси):
a) [ ]{ }2,4,42, −−∉<<= zzzD , 10 =z , iw π−= 20 ;
b) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<=3
arg0,1, zzzD , 10 =z , iw π= 20 ;
c) ( ){ }π<<<= zzzD arg0,3, , iz =0 , 20iw π
= ;
d) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
−=3
arg6
, zzD , iz =0 , 2
50
iw π= .
Решение: b) ветвь, определяемая условием ( ) iπ= 21Ln , имеет вид ( ) ( ) ( ) izizz π++= 2arglnLn1 .
При этом отображении образом отрезка ( ) 0arg =z , 10 << z , являет-
ся луч π= 2v , 0<<∞− u , а образом отрезка ( )3
arg π=z , 10 << z , является
также луч 3
7π=v , 0<<∞− u . Образом дуги окружности 1=z ,
( )3
arg0 π<< z , является отрезок 0=u ,
372 π
<<π v . По принципу соответст-
вия границ образом области D является полуполоса 0<<∞− u ,
372 π
<<π v .
Пункты а), с), d) рассмотреть самостоятельно. Определение 5. Функция nzw = , ,...3,2=n , называется целой степен-
ной. Она определена и однозначна на всей комплексной плоскости. Ее
производная 1' −= nnzw существует во всех точках плоскости, поэтому функция nzw = аналитична во всей комплексной плоскости. Очевидно, производная 'w обращается в нуль лишь в точке 0=z . Таким образом, отображение nzw = конформно в каждой точке комплексной плоскости,
![Page 21: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/21.jpg)
21
кроме точки 0=z . Положив ϕ= irez и ψρ= iew , найдем nr=ρ , ϕ=ψ n . От-сюда следует, что отображение nzw = каждый вектор 0≠z поворачивает на угол ( ) ( )zn arg1− и растягивает его в ( )1−n раз. Это означает, что обра-зом луча, выходящего из начала координат, является луч, также выходя-щий из начала координат; образом окружности Rz = является окруж-
ность nRz = . Функция nzw = отображает взаимно-однозначно и кон-формно внутренность любого угла с вершиной в точке 0=z и раствора α ,
nπ
<α<20 , на внутренность угла с вершиной в точке 0=w и раствора αn ,
π<α< 20 n . При nπ
=α2 функция nzw = отображает область
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
+ϕ<<ϕ=n
zzD 2arg, 00 на плоскость с разрезом вдоль луча
( ) 0arg ϕ= nw . Если 00 =ϕ , то область ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=n
zzD 2arg0, отображается
на плоскость с разрезом вдоль положительной части действительной оси. 17. Определить, какие из данных функций осуществляют взаимно-
однозначное отображение заданных областей:
1) 2zw = , ( ){ }0Re, >zz ; 3) 14 += zw , ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<2
arg0, zz ;
2) 3zw = , ( ){ }0Re, <zz ; 4) 10zw = , ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
3arg
6, zz .
18. Найти образы заданных множеств при отображениях ( )zfw = :
1) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=8
arg0,2, zzz , 3zw = ;
2) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<<4
arg0,21, zzz , 4zw = ;
3) ( ){ }2Re, =zz , 2zw = ;
4) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<2
arg0,1, zzz , 12 += zw .
Функция n zw = , обратная к функции nwz = , определена на всей комплексной плоскости, n -значна при 0≠z .
За область D возьмем комплексную плоскость с разрезом по лучу, выходящему из начала координат под углом 0ϕ к положительному на-правлению действительной оси. В этой области существует n различных ветвей
![Page 22: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/22.jpg)
22
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
nzi
nzzz kkn
kn ArgsinArgcos , 1,...,1,0 −= nk , (6)
где ( ) ( )12Arg2 00 +π+ϕ<<ϕ+π kzk k , функции n zw = . Каждая из ветвей взаимно-однозначно отображает область D на
один из секторов
( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
π+
ϕ<<
ϕ+
π= 12Arg2, 00 k
nnw
nk
nwDk , 1,...,1,0 −= nk .
Для выделения ветви ( )kn z , 1,...,1,0 −= nk , достаточно определить сектор kD , на который эта ветвь отображает область D . При проведении разрезов в комплексной плоскости чаще всего берут 00 =ϕ (разрез по по-ложительному направлению оси Ox ), либо π−=ϕ0 (разрез по отрицатель-ной части действительной оси).
В результате однократного обхода вокруг начала координат вдоль какой-либо окружности rz = значения n z , непрерывно изменяясь, пере-
ходят от ветви ( )kn z к ветви ( ) 1+kn z при обходе против часовой стрелки и
к ветви ( ) 1−kn z при обходе по часовой стрелке. После n -кратного обхода
вокруг начала координат в одном направлении значение функции n z , пе-реходя с одной ветви к другой, придет к исходному.
Точки 0=z и ∞=z являются точками ветвления функции n zw = . Каждая ветвь функции n zw = удовлетворяет теореме о производной
обратной функции, по которой
( ) ( ) 11
−=′ nk
nkn
znz , 1,...,1,0 −= nk , Dz∈ ,
и поэтому осуществляет конформное отображение области D на одну из областей kD .
19. В указанной области выделить однозначную ветвь заданной мно-гозначной функции и найти, если необходимо, ее значение в точке:
а) в плоскости z с разрезом по положительной части действительной оси найти значение ветви функции 3 z в точке iz 8= при условии
113 −=− ; b) в плоскости z с разрезом по отрицательной части действительной
оси найти значение ветви функции 4 z в точке iz −= при условии i=4 1 ; с) выделить ветвь функции 3 1−z в области [ [{ }+∞∉= ;1, zzD при
условии 113 −=− . Решение: а) по формуле (6)
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
3Argsin
3Argcos33 zizzz kk
k , ,2,1,0=k
![Page 23: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/23.jpg)
23
где ( ) ( )12Arg2 +π<<π kzk k , так как 00 =ϕ . Из условия 113 −=− имеем ( ) ( ) 1
31Argsin
31Argcos −=
−+
− kk i .
Отсюда ( ) 13
1Argcos −=−k и ( ) π=− 31Argk .
Таким образом, 1=k и искомая ветвь имеет вид
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
3Argsin
3Argcos 113
13 zizzz , ( ) π<<π 4Arg2 1 z ,
а ее значением в точке iz 8= будет
( ) ( ) ( ) iiiiii +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 3
65sin
65cos2
38Argsin
38Argcos28 11
13 .
Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно. 20. Найти образ: а) верхней полуплоскости при отображении той ветвью функции
3 z , которая точку i переводит в точку 22
3 i+− ;
b) нижней полуплоскости при отображении ветвью функции z при условии i−=−1 ( )00 =ϕ ;
с) области ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
−4
arg4
, zz при отображении ветвью функции
3 z при условии 113 = ( )π−=ϕ0 . Решение: а) возьмем 00 =ϕ . По формуле (6)
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
3Argsin
3Argcos33 zizzz kk
k , 2,1,0=k ,
из условия 22
33 ii +−= имеем 1=k . Тогда
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
=3
4Arg3
2,1 wwD
является образом плоскости z с разрезом по положительной части действи-тельной оси при отображении ветвью ( )13 z .
Итак, образом верхней полуплоскости при этом отображении будет
область ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π<<
π ww arg3
2, .
Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно. Определение 6. Степенной функцией комплексного аргумента z ,
0≠z , с показателем α , ∈α C, называется функция, определяемая равенст-вом ( )zez Lnαα = .
![Page 24: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Если α не является рациональным числом, то функция αz беско-нечнозначна. Точки 0=z и ∞=z являются ее точками ветвления.
Пусть ϕ= irez . Тогда ( ) ( ) ( )π+ϕ+= kirz 2lnLn , ∈k Z,
и ( )( ) ( ) ikzikz eeez απαπ+αα == 2ln2ln , ∈k Z.
Беря все возможные значения k , получим все ветви этой функции в области ] ]{ }0;, ∞−∈= zzD .
Производная каждой ветви функции αz определяется по формуле ( ) ( )kk zz 1−αα α=′ , ∈k Z
и существует во всех точках области D . Это означает, что каждая ветвь функции αz аналитична во всех точках области D .
Определение 7. Показательная функция определяется равенством ( )azz ea Ln= , 0≠a .
Рассматривая все возможные значения ( )aLn , получим все ветви функции za . Чтобы получить отдельную ветвь, достаточно фиксировать одно из значений ( )aLn . Многозначная функция za не имеет точек раз-ветвления и ее ветви не могут непрерывно переходить одна в другую. Все ветви показательной функции являются аналитичными на всей комплекс-ной плоскости, и имеет место формула
( ) ( )aaa zz Ln'= .
Примеры 21. Найти: а) найти модуль функции azw = и выделить ее действительную и
мнимую части; b) значение выражения: ( ) ( ) ( ) ( )ieiiiii ieii 1,1,1,1,1,,1, 131 −+−− −π− . 22. Доказать: а) выражение ba принимает только одно значение, если b – целое, и
конечное число значений, если b – рациональное; d) при фиксированном z разные значения степенной функции
iqpzw +=α= α , : 1) лежат на окружностях, радиусы которых образуют бесконечную
геометрическую прогрессию, а аргументы их значений – бесконечную арифметическую прогрессию, если 0,0 ≠≠ pq ;
2) лежат на окружностях радиуса pz , а аргументы этих значений образуют бесконечную арифметическую прогрессию, если 0,0 ≠= pq .
![Page 25: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/25.jpg)
25
3.4. Функция Жуковского Определение 8. Функция
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 (7)
называется функцией Жуковского.
Эта функция аналитична в точках ∞≠ ,0z , причем ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 2
1121'
zzw
однолистна, в частности, в следующих областях: а) 1>z – внешность единичного круга, b) 1<z – единичный круг, с) ( ) 0Im >z – верхняя полуплоскость, d) ( ) 0Im <z – нижняя полуплоскость. Положив в (7) ivuwrez i +== ϕ , , получим
( ) ( )ϕ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ϕ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += sin1
21,cos1
21
rrv
rru . (8)
Отсюда следует, что образом окружности 0,20( >π≤ϕ≤= ϕ ppez i – фиксировано) является эллипс
( ) ( )ϕ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ϕ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= sin1
21,cos1
21
ppv
ppu (9)
с полуосями p
pP
p 121,1
21
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + и с фокусами в точках 1±=w .
Исключая из уравнений (9) параметр ϕ при 1≠p , получим уравне-ние эллипса в каноническом виде
11
411
41
2
2
2
2=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
pp
v
pp
u . (10)
При замене р на ( )11 ≠pp эллипс (10) остается тем же самым, но его ориентация меняется на противоположную.
Таким образом, окружности 1, >= ppz , ориентированные по часо-вой стрелке, переходят в эллипсы (10), ориентированные также по часовой стрелке. При отображении окружностей 10, <<= ppz , ориентация ме-няется на противоположную.
При 1=p эллипс (9) вырождается в отрезок ]1,1[− , проходимый дважды, т.е. окружность 1=z переходит в отрезок ]1,1[− , проходимый дважды. Таким образом, функция Жуковского конформно отображает внешность (внутренность) единичного круга на внешность отрезка ]1,1[− (рис. 4).
![Page 26: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Из (8) следует, что образом луча α= irez , +∞<< r0 , (α – фиксиро-вано), является кривая
( )α⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += cos1
21
rru , ( )α⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= sin1
21
rrv , +∞<< r0 . (11)
Исключая параметр r , при 2π≠α k ( k – целое), получаем
( ) ( )1
sincos 2
2
2
2=
α−
αvu . (12)
Рис. 4
Кривая (12) – гипербола с фокусами в точках 1±=w и с асимптотами ( )α⋅±= tguv . Если 20 π<α< , то кривая (11) является правой ветвью ги-
перболы (12), т.е. луч α= irer , 20 π<α< переходит в правую ветвь ги-перболы (ориентация показана на рис. 5), при π<α<π 2 – в левую ветвь (в (11) заменяем α на α−π ). При замене в (11) α на α− получаем ту же ветвь гиперболы, но с противоположной ориентацией. При 0=α (луч
( ) 0arg =z ) кривая (11) вырождается в луч [ )+∞,1 , проходимый дважды, луч ( ) π=zarg переходит в луч ] ]1,−∞− , проходимый дважды, лучи ( ) 2arg π=z
и ( )2
3arg π=z переходят в мнимую ось ( ) 0Re =w . Отсюда следует, что
функция Жуковского конформно отображает верхнюю полуплоскость ( ) 0Im >z на плоскость w с разрезами по лучам ] ]1,−∞− и [ [+∞,1 (анало-
гично нижнюю полуплоскость ( ) 0Im <z ).
1-1
(z) (w)
1-1
(z)
1 -1
(w)
1-1
![Page 27: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Рис. 5
Любой эллипс (10) пересекается с любой гиперболой (12) под пря-мым углом.
Примеры
23. Найти образы заданных областей при отображении ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 :
1) ( ){ }1,0Im, >> zzz ; 8) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
32arg
3, zz ;
2) ( ){ }0Im,21, ><< zzz ; 9) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎢⎣⎡
⎢⎣⎡∉< 1,21,1, zzz ;
3) ( ){ }20,arg, π<α<α−π<<α zz ; 10) [ [{ }1,0,1, ∉< zzz ;
4) ( ){ }20,arg0, π<α<α<< zz ; 11) ( ){ }1,0Im, << zzz ;
5) [ ] [ ]{ }+∞∪−−∉> ,11,2,1, zzz ; 12) { }1, >ρ>zz .
6) ( ){ }2arg0,1, π<<< zzz ;
7) ( ){ }20,1,arg0, π<α<>α<< zzz ;
Функция 12 −+= zzw является обратной к функции Жуковского, она аналитична в плоскости z с выколотыми точками 1±=z , а в плоскости z с разрезом, соединяющим точки 1±=z , распадается на две регулярные ветви ( )zf1 и ( )zf2 , где ( ) ∞=∞1f , ( ) 02 =∞f . Из свойств функции Жуков-ского следует, что функция ( )zfw 1= конформно отображает плоскость z с разрезом по отрезку [ ]1,1− на внешность единичного круга, а функция
( )zfw 2= – на круг 1<w .
Примеры
24. Найти образы области D : 1) при отображениях ветвями ( )zfw 1= и ( )zfw 2= , где ( ) if =01 ,
( ) if −=02 и D – плоскость Z с разрезами по лучам ] ]1,−∞− и [ [+∞,1 ;
(w) (z)
1 -1
![Page 28: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/28.jpg)
28
2) ( ){ }0Im, >= zzD , 12 −+= zzw , ( ) iw =0 ;
3) ( ){ }0Im, >= zzD , 12 −+= zzw , ( ) iw −=0 ;
4) ( ){ }0Im, >= zzD , 12 −+= zzw , ( ) 0=∞+ iw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>−
+<−
+= 11
,11
, 2
2
2
2
2
2
2
2
by
bx
ay
axzD ( )1>> ba , 12 −+= zzw ,
( ) 1>zw при azb << ;
6) ( ) ( ) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>>>α
+α
= 0,0,1sincos
, 2
2
2
2
yxyxzD , 12 −+= zzw ,
( ) 0=∞+w , ( )20 π<α< ;
7) [ ] [ ]{ }+∞∪−∞−∉= ,11,, zzD , 12 −+= zzw , ( ) iw =0 .
3.5. Конформные отображения, определяемые комбинациями основных элементарных функций
Основные задачи теории конформных отображений имеют следую-щий вид: даны области D и G , требуется найти функцию ( )zf , осуществ-ляющую конформное отображение области D на область G .
Один из методов поиска функции ( )zf , если такую функцию можно найти, основан на подборе надлежащим образом элементарных функций, рассмотренных ранее.
Примеры 25. Найти конформное отображение области D на область G, если:
1) ( ){ }0Im,1, >>= zzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
2) ( ){ }20,Arg0,, <α<πα<<<= zRzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
3) { }1,1, <−<= izzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
4) ( ) [ [{ }αα +∞∉π<α<α<<= ii eezzzD ;,0,2Arg0, , ( ){ }1Im0, <<= zwG ;
5) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=2
Im0, zzD , ] ] [ [{ }+∞∪−∞−∉= ,11,, wwG ;
6) [ ]{ }1,0,1, ∉<= zzzD , { }1, <= wwG ;
7) ( ){ }0Im,1, ><= zzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
8) { }1,11, <+<−= izzzD , ( ){ }0Re, >= wwG ;
9) ( ){ }11,0Re, >−>= zzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
![Page 29: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/29.jpg)
29
10) ( ){ }0Im,11,11, >>+>−= zzzzD , ( ){ }0Re,1, >>= wwwG ;
11) { }44,22, <−>−= zzzD , ( ){ }π<<= wowG Im, .
Решение: 1) область D ограничена полуокружностью 1=z , ( ) 0Im >z и лучами ] ]1;−∞− и [ [+∞;1 , которые пересекаются с полуокруж-
ностью в точках 1±=z под прямым углом (рис 6, а). Дробно-линейная функция
11
1 +−
=zzw (13)
точку 1−=z переводит в точку ∞=1w , а точку 1=z – в точку 01 =w . Пользуясь свойством сохранения углов при конформном отображе-
нии, получим, что область D отображением (13) переводится на внутрен-ность прямого угла с вершиной в точке 0=w . Одна из сторон этого угла – положительная часть мнимой оси (образ полуокружности), другая – поло-жительная часть действительной оси (образы лучей ] ]1;−∞− и [ [+∞;1 ) (рис 6, б).
Функция ( )21ww = переводит квадрант на верхнюю полуплоскость,
т.е. функция 2
11⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=zzw осуществляет отображение области D на верх-
нюю полуплоскость (рис. 6, в);
Рис. 6
2) с помощью степенной функции α= 11 zw данный сектор (рис. 7, а)
переводится на верхний полукруг радиуса α1R (рис. 7, б). Легко видеть,
что дробно-линейная функция α
α
−+
−= 11
11
2 RwRww внутренность полукруга
α< 11 Rw , ( ) 0Im 1 >w (рис. 7, б), отображает на первый квадрант плоскости
2w (рис. 7, в).
Отображением ( )22ww = этот квадрант переводится на верхнюю по-луплоскость (рис. 7, г).
(z)
i
a 1 -1 A
B C
F E
(w1)
i
б
1A′
B′
C′F ′E′
(w)
в
![Page 30: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Рис. 7
Итак, искомое отображение имеет вид 2
11
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
=αα
αα
RzRzw ;
4) область D является внутренностью угла с разрезом по лучу [ [αα +∞ ii ee ; (рис. 8, а). Отображение απ= zw1 переводит область D на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам ] ]1,−∞− и [ [+∞,0 (рис. 8, б), а
отображение 11
12 +=
www , ( ) 12 =∞w переводит эту область на верхнюю
полуплоскость (рис 8, в). Тогда отображение ( )2ln1 wwπ
= переводит верх-
нюю полуплоскость плоскости 2W на полосу ( ) 1Im0 << w (рис 8, г). То
есть функция 21
1ln1−
απ
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π= zw осуществляет искомое отображение
(рис. 8, а и г).
Рис. 8
α 0
a R
(z) (w2)
в
(w)
г
(w1)
в
α1Rα1R− 0 б
0-1
(w1)
б
(w2)
в
(w)1
г
αααie
0 a
(z)
![Page 31: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Глава 4. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.1. Понятие интеграла от функции комплексной переменной
Пусть ( )ξf – непрерывная функция в области D комплексной плос-
кости; L – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D с началом в точ-ке 0z и концом в точке z .
Разобьем кривую L произвольным образом на n элементарных час-
тей 110 ,...,, −γγγ n точками zzzz n =,...,, 10 . Составим сумму ( )∑−
=Δξ
1
0
n
kkk zf , где
kk γ∈ξ , kkk zzz −=Δ +1 , 1,...,1,0 −= nk . Пусть kl , 1,...,1,0 −= nk – длина ду-ги кривой kγ , a { }
kklmax=λ . Тогда
( ) ( )∫∑ ξξ=Δξ−
=→λ L
n
kkk dfzf
1
00lim
называется интегралом от функции ( )ξf по кривой L . Если кривая L задается уравнением ( )tzz = , [ ]βα∈ ,t , то вычисление
интеграла от функции ( )zf по кривой L (в порядке возрастания парамет- ра t ) сводится к вычислению определенного интеграла по формуле
( ) ( )( ) ( )∫∫β
α
= dttztzfdzzfL
' . (14)
Если ( ) ( )yxivyxuzf ,),( += , то интеграл (19) сводится к вычислению криволинейных интегралов
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ++−=LLL
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ,,,, . (15)
Примеры
26. Вычислить ∫L
dzzz , где L – часть окружности 1=z ,
( ) π≤≤ zarg0 , выбрав за начало L точку 1=z . Решение. Запишем уравнение кривой L в виде itez = , π≤≤ t0 .
Тогда itez −= , dtiedz it= . Используя формулу (14), имеем:
idtidtieedzzz itit
Lπ=== ∫∫∫
ππ−
00.
27. Вычислить ( )∫ +L
dzzzz 2 , где L – дуга параболы 2xy = , 10 ≤≤ x ,
0=z – начало кривой. Решение. Выпишем действительную и мнимую части подинте-
гральной функции:
![Page 32: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/32.jpg)
32
( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
==
⇒+=−+++=+.2,222
2222
xyvxuxyixiyxiyxiyxzzz
Воспользовавшись формулой (15), имеем ( )xdxdyxy 2,2 == ( ) =++−=+ ∫∫∫
LLLdyxxydxixydydxxdzzzz 222 2222
( )23
152622
1
0
31
0
42 idxxidxxx +−=+−= ∫∫ .
28. Вычислить ( ) ( )∫ +L zzdz
ReIm, где L – квадрат с вершинами в точ-
ках 1, i , 1− , i− (рис. 9). Решение. Поскольку на сторонах квадрата ABCD выполняется ра-
венство |Re(z)|+|Im(z)|=|x|+|y|=1, получаем
∫∫ =+ LL
dzzz
dz)Re()Im(
.
Подсчитаем интеграл вдоль отрезка AB: y=1-x, 0≤x≤1, dy = – dx, Dz = dx + idy = (1– i)dx, откуда
∫∫ +−=−=0
1.1)1( idxxdz
AB
Аналогично, ,1 idz
BC−−=∫ ,1 idz
CD−=∫ .1 idz
DA+=∫
Окончательно,
.0)Re()Im(=
+∫L zz
dz
4.2. Интегральная теорема Коши ТЕОРЕМА (Интегральная теорема Коши). Если функция ( )zf – ана-
литическая в односвязной области D, то интеграл от нее по произвольному замкнутому жордановому кусочно-гладкому контуру L, целиком лежаще-му в области D, равен нулю:
∫ =L
zdzf 0)( . (16)
Из этой теоремы вытекает: а) если ( )zf аналитична в области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования, т.е. если γ1 ⊂D и γ2 ⊂D – две кривые, имеющие общие начало и конец, то
∫ ∫γ γ
=1 2
)()( dzzfdzzf ;
b) если функции ( )zf и ( )zg вместе со своими производными пер-
x1 -1 A
B
C
D
i
-i
y
Рис. 9
![Page 33: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/33.jpg)
33
вого порядка аналитические в односвязной области D, то справедлива формула
∫ ∫ ξξξ′−ξξ=ξξ′ξz
z
z
z
z
zdgfgfdgf
0 00
)()()()()()( ; Dzz ∈,0 ;
Примеры
29. Определить, когда для интеграла ∫ −L zdz
42 можно применить ин-
тегральную теорему Коши, если L:
a) | z | =21 ; b) | z -
21 | =
41 ; c) | z - 1| = 4; d) | z | = 3.
Решение. Подинтегральная функция ( )4
12 −
=z
zf имеет осо-
бенности в точках z = ± 2,∞. Следовательно,
a) круг 21
≤z полностью входит в область аналитичности ( )zf и
(16) имеет место; b) рассуждая аналогично п. а), имеем (16); c) в круге с центром z = 1 и радиуса 4 функция ( )zf имеет особенно-
сти и не является аналитической, следовательно, теорема Коши не приме-нима;
d) рассуждая аналогично п. с), получаем, что теорема Коши также не применима.
30. Доказать, что ∫∞
−π=−
0
22
2)2(cos bx edxxbe .
Решение. Функция ( )2zezf −=
– аналитична на всей комплексной плоскости. Проинтегрируем ( )zf по контуру прямоугольника Rx ≤ ,
by ≤≤0 (рис. 10). Из (16) следует, что
∫ =−
γ0
2dze z . Тогда
∫ ∫ ∫ ∫∫γ
+++−
−−−−−− =+++==R
R
R
R b
iyRbixb
yiRxz idyedxeidyedxedze0
)()(
0
)( 222220
∫ ∫∫−
−−−−−
− +++= ++b R
R
xibbxyRiyRR
R
x dxeedyeeidxe0
22 22222
-R R 0 x
y
bi
Рис. 10
![Page 34: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/34.jpg)
34
∫ +−+0
222
b
yiRyR dyeei .
Если объединить второй и четвертый интегралы, разбить третий ин-теграл на два и воспользоваться формулами Эйлера
ieex
xixi
2)(sin
−−= ,
2)(cos
xixi eex−+
= ),
то полученную сумму интегралов можно будет записать в виде
.0)2(cos2
)2(sin
)2(sin
0
00
2
0
02
22
22222
22222
∫
∫∫∫
∫ ∫∫
=−
−+=+
+++
+
++
++
−
−
−
−−
−−
−−−
−
−
Rbx
byR
R
R
xR
xibbx
b
R
xibbxyRR
R
x
dxxbe
dyyReidxedxeei
dxeedyRyeidxe
При R→ ∞ ∫ =+∞→
−b
yRR
dyRye0
0)2sin(lim22
.
Таким образом,
∫ ∫ ∫∞
∞
∞ ∞+
−
−−− ==0 0
.)2cos(2)2cos(222222
dxxbeedxxbedxe xbbxx
Зная, что π=∞
∞
−∫−
dxxe2
(интеграл Эйлера – Пуассона), оконча-
тельно имеем
∫∞
−− π=
0
22
2)2(cos bx edxxbe .
4.3. Интегральная формула Коши Пусть функция ( )zf аналитическая в ограниченной замкнутой одно-
связной области D с кусочно-гладкой жордановой границей L. Тогда для любой точки Dz ∈0 справедлива формула
∫ −π=
L zzzdzf
izf
00
)(21)( . (17)
Формула (17) называется инт е г р а л ьной формулой Коши . Для производной n-го порядка справедливо обобщение (17):
∫ +−π=
L
n dzzz
zfi
nzf n 10
0 )()(
2!)()( . (18)
![Page 35: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Примеры
31. Вычислить ∫ −+Ldz
zz
zze)1)(1( 2 , где
а) L={z, 1−z =1}; b) L={z,21
=z }; c) L={z, 21 =+− iz }.
Решение: а) перепишем интеграл в виде
∫∫=−=− −
+=−+ 1111 )1(
)1()1()1(
2
2z
z
z
zdz
zz
ez
dzzz
ez ,
функция ( ))1( 2 +
=z
ezzfz
– аналитическая в области 11 <−z , а точка
}11{10 <−∈= zz , тогда из (25) имеем
iez
ezidzzz
ezz
z
z
zπ=
+π=
−+=
=−∫ 1
11 12
)1()1( 22 ;
b) в области | z | = 21 подынтегральная функция
)1()1( 2 −+ zzez z
–
аналитическая, поэтому из интегральной теоремы Коши (16) имеем
0)1)(1(
21
2∫=
=−+
z
zdz
zzez ;
с) в области | z – 1 – i | < 2 лежат две точки, в которых знаменатель обращается в ноль: izz == 21 ,1 , поэтому воспользоваться непосредственно формулой (17) невозможно. Разложим функцию на сумму простых дробей
)1(21
)1(21
)1()1( 22 −+
+
−−=
−+ zzz
zzz .
Тогда, применяя (25) к каждому из интегралов, имеем
∫ ∫∫ =−
++
−−=
−+L L
z
L
zzdz
zedz
zezdz
zzez
)1(21
1)1(
21
)1()1( 22
∫ ∫ =−
+−+
−
−=L L
zz
dzzedz
izizeiz
)17(
121
)(
21
ieeieiizezi i
zz
iz
zπ+−
π=π+
+−
π−===
)1(2
)1(1
.
![Page 36: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/36.jpg)
36
32. Доказать, что ∫π
−
π=
ϕ+ϕ2
0 1
2)(cos 2aa
d ( 1>a ).
Решение. Заменой ϕ= iez сведем интеграл ∫π
ϕ+ϕ2
0 )(cosad к инте-
гралу по контуру от функции комплексной переменной. Так как zizdd =ϕ ,
воспользовавшись формулой )1(21)(
21)(cos
zzee tt +=+=ϕ ϕ−ϕ , имеем
∫∫=
π
++=
ϕ+ϕ
1
2
0 122
)(cos 2z zaz
dzia
d .
Разложим знаменатель на множители:
)()()1()1()12( 21222 zzzzaazaazzaz −−=−−+−++=++ .
Точка },1{122 <∈−+−= zaaz точка }1{12
1 >∈−−−= zaaz ,
таким образом, функция 12 )1( −−++ aaz – аналитическая в },1{ <z и из формулы (17) имеем
=++
∫=1 12
22
z zazdz
i
∫= −+−=
−
π=
−++
π=
−−+
−++=
1 11
2
1
22
1
1
1
22
222
2
z aazaaaz
ii
dzaaz
aazi
.
33. Вычислить ∫= −3 )2(
)(sin3
zdz
zzz .
Решение. Воспользовавшись (17), имеем
∫=
===−π=′′⋅
π=
−3
22))(sin)(cos2())(sin(
!22
)2()(sin3
zzz
zzzizzidzz
zz
))2(sin)2((cos2 =π= i .
34. Вычислить ∫π2
0)(sin 6 dxx .
![Page 37: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Решение. Сделав замену xiez = и используя формулу
( ) )1(21sin
zz
ix −= ,
имеем
[ ]8
5)1(!664
2)1(641)(sin
01
2
0
)6(627
626 π
=−⋅π
−=−
−===
π
∫∫zz
zdzz
zi
dxx .
Глава 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
5.1. Понятие степенного ряда
Определение 9. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
∑∞
=−
0)( 0
n
nn zzc , (18)
где ∈ncz ,0 C, n = 0,1,2,... – фиксированные числа. Определение 10. Радиусом сходимости степенного ряда называется
число R, ∞+<< R0 , обладающее тем свойством, что при любом z, для которого Rzz <− 0 , этот ряд сходится, а при любом z, для которого
Rzz >− 0 , ряд расходится. Круг { }Rzzz <− 0, , где R – радиус сходи-мости степенного ряда, называется его кругом сходимости. Если ряд схо-дится только при 0zz = , то по определению полагают 0=R , если же ряд сходится при всех z∈C, то считают что R = +∞. Для радиуса сходимости степенного ряда (18) справедлива формула Коши – Адамара
nn nc
R ∞→= lim1 . (19)
Примеры 35. Найти радиусы сходимости рядов:
1) ∑∞
=0 !n
nn
znn ; 4) ∑
∞
=0
!
n
nz ;
2) ∑∞
=0
33
n
nn z ; 5) ;20
!∑∞
=n
nn z
3) ∑∞
=1 2n
nn zn ; 6) ∑
∞
=0
2
n
nz .
![Page 38: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Решение: 1) по формуле (19) имеем nn
n
nn
nn
R nn !lim
!lim1
∞→∞→== ,
для вычисления последнего предела воспользуемся формулой Стирлинга
)1,0(,2! 12/∈θ⋅π=
θ+−n
n nnn ennn , тогда
en
e
enn
nR n
n
nn nnnn
n
n=
π=
⋅π=
θ−
∞→θ+−∞→ 2
12/1
12/ 2lim
2lim1 ,
откуда 1−= eR ;
2) ∑∞
= 0
33
n
nn z – степенной ряд, у которого многие коэффициенты
равны нулю. Прежде, чем воспользоваться формулой Коши – Адамара, за-
пишем выражения коэффициентов kc этого ряда ∑∞
= 0k
kk zc через но-
мер коэффициента kc (здесь kc – коэффициент при k-й степени z):
⎩⎨⎧
= ==≠
,...;1,0,3,3.3,0
nnknk
nkc
Так как требуется найти верхний предел неотрицательной последо-вательности, можно не рассматривать ее нулевые члены. Поэтому
1)3(limlimlim1 333
1
====∞→∞→∞→
nnn
nnn
kkk
ccR
.
5.2. Ряд Тейлора Пусть ( )zf однозначна и аналитична в области D, точка Dz ∈0 и R
– кратчайшее расстояние от точки 0z до границы области D. Тогда в круге Rzz <− 0 функция разлагается в степенной ряд по степеням
0zz − :
∑∞
=−=
0)()( 0
n
nn zzczf , (20)
где коэффициент nc вычисляется по формуле
0
0
10
0)(
,,)()(
21или
!)(
ZnRrdzzz
zfi
cn
zfc
rzznn
n
n ∈<−π
== ∫=−
+ .
Определение 11. Степенной ряд (20) называется рядом Тейлора функции ( )zf в окрестности точки 0z .
![Page 39: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Как правило, прямое вычисление коэффициентов рядов Тейлора че-рез вышеприведенные формулы затруднительно и приходится прибегать к различным искусственным приемам. При этом важную роль играет теоре-ма единственности разложения функций в степенной ряд: если функция f представима в круге Rzz <− 0 как сумма степенного ряда, то коэффици-енты этого ряда определяются однозначно.
Приведем разложение некоторых элементарных функций в точке 00 =z :
)(!0
∞+<= ∑∞
=z
nze
n
nz , (21)
)(!)12(
)1()(sin1
121∞+<
−−
= ∑∞
=
−−z
nzz
n
nn, (22)
)(!)2(
)1()(cos0
2∞+<
−= ∑
∞
=z
nzz
n
nn, (23)
)(!)12(
)(sh1
12∞+<
−= ∑
∞
=
−z
nzz
n
n, (24)
)(!)2(
)(ch0
2∞+<= ∑
∞
=z
nzz
n
n, (25)
)1()1()1(ln1
1<
−=+ ∑
∞
=
−z
nzz
n
nn (26)
(здесь ln (z) – главная ветвь логарифма),
)1()1(0
<=+ ∑∞
=α
α zzCzn
n n , (27)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+−α−αα
=α0если,1
...,,2,1если,!
)1(...)1(
n
nn
nC n
(здесь αz – главная ветвь степенной функции). В частности из формулы (27) имеем
)1(01
1<
∞
==
− ∑ zn
zz
n . (28)
Приведем примеры разложения функций в ряды с использованием формул (21) – (28).
![Page 40: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Примеры 36. Разложить в степенной ряд функции:
1) 0,1
102 =
+z
z.
Решение. Из формулы (28) для 1<z имеем
∑∑∞
=
∞
=−=−=
−−=
+ 00
2222 )1()(
)(11
11
nn
nnn zzzz
.
2) 0,)1(
102 =
−z
z.
Решение. Из теоремы о почленном дифференцировании степен-ных рядов имеем
==⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
=−
∑∑∞
=
∞
= 00)(
11
)1(1
2nn
nn zdzdz
dzd
zdzd
z
1,)1(01
1 <+== ∑∑∞
=
∞
=
− zznznnn
nn .
3) 0,1 02 =
+−z
zzz .
Решение. Записав данную функцию в виде
322 1)1(
)1()1()1(
1 zzz
zzzzz
zzz
++
=+−+
+=
+−
и воспользовавшись формулой (28), для всех 1<z имеем
...1()1()1()1(1
)1( 96333
0+−+−+=−+=
++
∑∞
=zzzzzzzz
zzz
n
nn
......))1( 1110875423 +−−++−−+=+−+ zzzzzzzzz n
...)1()1( 2313 +−+−+ ++ nnnn zz
4) 1,252
102 −=
++− z
zzz .
Решение. Воспользовавшись методом неопределенных коэффици-ентов, разложим функцию на простейшие дроби:
)12()1()1()12(
122)12()2(1
2521
2 +++++
=+
++
=++
−=
++−
zzzBzA
zB
zA
zzz
zzz ;
.1,1
12:
12:0
1
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
−=+
=+BA
BAz
BAz
Получаем
![Page 41: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/41.jpg)
41
121
21
2521
2 +−
+=
++−
zzzzz .
Применяя к каждой из дробей формулу (28), получим
∑∞
=+−=
+−−=
+ 0)1()1(
))1((11
21
n
nn zzz
, 11 <+z ,
и
∑∞
=+−=
+−−=
−+=
+ 0)1(2
)1(211
1)1(21
121
n
nn zzzz
, 211 <+z .
Отсюда
=+++−=++
−∑∑∞
=
∞
= 00)1(2)1()1(
2521
2nn
nnnn zzzz
z
∑∞
=+−+=
0)1)()1(2(
n
nnn z
для всех .211 <+z
5) iziziz
=+−
0, .
Решение. Для всех точек z окрестности точки iz =0 радиуса 2<− iz :
∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−=
−−−
−=
+−−
=+−
0 2)1(
2))2
(1(22)( n
nn
iiz
iiz
iizi
iziiz
iziziz ;
так как 12
<− iz , то имеем
=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
+−
++
++
∑∑∞
=
∞
=1
111
)1(1
2)1(
2)1(
00n
nn
nn
n iiziiz
iziz
nn
∑∞
=
−−= +
0 2)(1
n
n
nn izi .
6) 4
),(cos 0π
=zz .
Решение. Пользуясь тригонометрическими формулами, получаем
=ππ
−−ππ
−=π
+π
−= )4
(sin)4
sin()4
(cos)4
(cos)4
)4
((cos)(cos zzzz
![Page 42: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/42.jpg)
42
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
−−π
−= )4
(sin)4
(cos22
zz .
Из разложений (22), (23):
∑
∑
∞
=
∞
=
+
π−
−=π
−
π−
−=π
−
+
0
0
.!)12(
)4
()1()
4(sin
,!)2(
)4
()1()
4(cos
12
2
n
n
n
zz
n
zz
nn
nn
Окончательно имеем
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
π−
+
π−
+π
−−π
−−= ...!4
)4
(
!3
)4
()
4(
!21)
4(1
22
)(cos43
2zz
zzz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
++
π−
−++
π−
−+
+
+
+
+ ...!)22(
)4
()1(
!)12(
)4
()1(...
222
121
n
z
n
z nn
nn , ∈z C.
7) .3, 0 =zez Решение. Из разложения (21) имеем
∑∞
=
−⋅== +−
0 !)3(33)3(
n nzeee
nzz .
8) .0,)(cos)(sin 044 =+ zzz
Решение. Пользуясь тождеством
)4(cos41
43)(cos)(sin 22 zzz +=+
и формулой (28), получаем
.4!)2(
)1(1
)...!)2(
)4()1(...!4)4(
!2)4(1(
41
43
4!)2(
)1(41
43)(cos)(sin
1
0
122
242
22
44
∑
∑
∞
=
∞
=
−⋅−+=
=+−+−+−+=
=⋅−+=+
n
n
nn
n
nn
nn
n
nz
nzzz
nzzz
9) 0,)(cos)(ch 0 =zzz . Решение. Для разложения функции в степенной ряд преобразуем
ее, воспользовавшись формулами Эйлера:
![Page 43: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/43.jpg)
43
2)(cos;
2)(ch
zizizz eezeez−− +
=+
= .
Тогда
)(41)(cos)(ch )1()1()1()1( zizizizi eeeezz −−+−−+ +++=⋅ .
Замечая, что
,21,21,21
2)4
(sin)4
(cos22
12
121
43
43
4
4
iii
i
eieiei
eiii
ππ−
π−
π
=+−=−−=−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
+π
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+
получаем
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++=
π−
ππ−
π
∑∞
=
in
in
in
in
nn
eeeenzzz
n4
34
344)2(
!41)(cos)(ch
0
∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
+π
⋅=0
)4
3(cos)4
(cos2!
)2(41
n
nnnzn
n .
Кроме того:
,2)4
03(cos)40(cos0 =
π+
π=n
,022
22
)4
3(cos)4
(cos1 =−=π
+π
=n
,000)2
3(cos)2
(cos2 =−=π
+π
=n
,022
22
)4
9(cos)4
3(cos3 =+−=π
+π
=n
,211)4
12(coscos4 −=−−=π
+π=n
т.е. ( )⎩⎨⎧
⋅−=
π+
π4.кратно если,21
4;кратноне если,0)
43(cos)
4(cos 4/ n
nnnn
Отсюда окончательно имеем
.!)4(
2)1()(cos)(ch0
42∑
∞
=−=
k kzzz
kkk
10) 1, 02 =zez z .
Решение. Используя формулу (21), получаем
[ ] [ ] =−+−=+−= ∑∞
=
+−
0)1(
!21)1(1)1( 22)1(22
k
kk
zz zk
ezezez
![Page 44: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/44.jpg)
44
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+−= ∑ ∑
∞
=
∞
=
+
0 0)1(
!2)1(
!2 12
k k
kk
kk
zk
zk
e
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+++−= ∑ ∑
∞
=
∞
=
++
+
0 0
11
12 )1(!)1(
21)1(!
2k k
kk
kk
zk
zk
e
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+++= ∑
∞
=
++
0
11
2 )1(!)1(
2!
21k
kkk
zkk
e
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
++= ∑
∞
=
+
0
12 )1()3(!)1(
21k
kk
zkk
e .
При разложении в ряд некоторых функций, а именно функций, после дифференцирования которых получается рациональная дробь, целесооб-разно использовать теоремы о почленном дифференцировании и интегри-ровании равномерно сходящихся рядов (функций вида [ ])(ln zϕ ,
[ ])(arcsin zϕ , [ ] ...,)(arctg zϕ ).
Пример 37. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 00 =z функцию
)1(ln 2zz ++ . Решение. Продифференцируем функцию
[ ]222
2
1
1
11
1
1)1(ln)(zz
z
zzzzzF
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++⋅
++=
′++= .
Из формулы (27) имеем
)1()1(0
2121 <=+ ∑
∞
=− ttct
k
kk ,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=−⋅⋅⋅⋅
−=−
;0,1
...;,2,1,2!
)12(31)1(21
k
kk
kc k
kk
.)!(2
!)2()1(
2!)12(31)1(1)1(
0
1
22
21
∑
∑
∞
=
∞
=
−=
=−⋅⋅⋅⋅
−+=+ −
k
k
kk
k
kk
k
tk
k
tk
kt
Тогда
)1()!(2!)2()1()1(
0
222
212 <−=+ ∑∞
=zz
kkz
k
kk
k .
![Page 45: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Проинтегрировав почленно последнее равенство, получим
∑∫∞
= +⋅−==++
+
00 12)!(2!)2()1()()1(ln
12
222
k
z
kz
kkdttFzz
k
kk ,
где 1<z .
5.3. Ряд Лорана Если функция )(zf однозначна и аналитична в кольце
Rzzr <−< 0 , то она разлагается в нем в р яд Лорана
=−= ∑∞
∞−=n
nn zzczf )()( 0
210010
)()( ffzzczzcnn
nn
nn +=−+−= ∑∑
∞
=
∞
=
−− ,
где
Rrndzzz
zfi
czz
nn <<Ζ∈−π
= ∫=−
+ с,,)()(
21
с01
0.
При r = 0 и R < ∞ кольцо вырождается в круг с выколотым центром. Ряды 21 и ff называются соответственно правильной и г л а вной ч а с т ями ряд а Лорана .
Определение 12. Внешность круга Rz ≤ называется окрестностью бесконечно удаленной точки.
Если )( zf однозначна и аналитична в окрестности бесконечно уда-ленной точки (за исключением может быть только точки z = ∞), то она раз-лагается в ее окрестности в ряд
∑∞
∞−==
n
nn zczf )( ,
называемый рядом Лорана функции f в окр е с тно с ти т очки z = ∞. Определение 13. Ряды
∑∑∞
=
∞
==+= −
−11
)(~и)(~201
nn
nn
nn zczfzcczf
называются соответственно правильной и главной частями ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Часто нецелесообразно использовать непосредственную формулу для подсчета коэффициентов ряда Лорана, поэтому, как и в случае ряда Тейлора, прибегают к некоторым искусственным приемам.
![Page 46: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Примеры 38. Разложить функцию )( zf в ряд Лорана в окрестности точки 0z :
1) 1,32
1)( 02 =−+
= zzz
zf ; 2) babzaz
zf <−−
= ,)()(
1)( .
Решение: 1) используя метод неопределенных коэффициентов, разложим рациональную дробь )(zf на сумму простых дробей
⇒+
+−
=+−
=−+
=31)3()1(
132
1)( 2 zB
zA
zzzzzf
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨⎧
=−=+
⇒.
41
,41
13,0
B
A
BABA
Получаем
)()()3(4
1)1(4
1)( 21 zfzfzz
zf ∗∗ −=+
−−
= .
Функция )(2 zf ∗ аналитична в круге 41 <−z , (особые точки 3−=z , z = ∞ в круг не попадают) и поэтому ее можно разложить в ряд
Тейлора в окрестности 10 =z . Для этого представим )(2 zf ∗ в виде
411
1161
)4)1((1
41
)3(41
−+
⋅=+−
⋅=+ zzz
.
Учитывая что
14
131 <
−⇔<−
zz ,
имеем
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=∗
0 41)1(
161)(2
n
nn zzf .
Функция )(1 zf ∗ аналитична в кольце 01 >−z и уже записана ря-дом Лорана по степеням (z – 1). Окончательно получаем
,4
)1()1(4
)1()1()1(4
1)()()(10
2
1
221 ∑∑∞
−=
∞
=+
+
+∗∗ −−
=−−
−−
=−=nn
n
nn
n
nn zzz
zfzfzf
где 410 <−< z .
39. Разложить функцию )( zf в ряд Лорана: a) в кольце bza << ; b) в окрестности бесконечно удаленной точки.
Решение: а) с помощью метода неопределенных коэффициентов
![Page 47: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/47.jpg)
47
)( zf можно представить в виде
))()((1)(
1)(
11)( 21 zfzfbabzazba
zf ∗∗ −−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
= .
Функция )(1 zf ∗ аналитична во внешности круга 1<⇔<za
za ,
поэтому
∑∑∞
=
∞
=
−∗ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
−=
10
1
11
)1(
11)(nn
n
nn
za
za
zzazaz
zf .
Для функции .1:)(2 <⇔<∗
bzbzzf
∑∑∞
=
∞
=+
∗ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−
−=
−=
0012
1
)1(
111)(nn
n
nn
bz
bz
bbzbbz
zf .
Окончательно
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−= ∑∑
∞
=
∞
=+
−
011
11)(nn
n
n
n
n
bz
za
bazf .
Решение: b) окрестностью бесконечно удаленной точки будет кольцо ∞<< zb , поэтому из условия zba << имеем
.1<<zb
za
Получаем
∑∞
=+−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=
11
1
)1(
1
)1(
11)(n
n
nn
zba
bazbz
zazba
zf .
40. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки 0z :
1) 1,)1
(cos 0 −=+
zz
z ; 2) .0,103 =
− −z
ze z
Решение: 1) запишем дробь 1+z
z в виде .1
11+
−z
Тогда
.)1
1(sin)1(sin)1
1(cos)1(cos)1
11(cos)1
(cos+
⋅++
⋅=+
−=+ zzzzz
Воспользовавшись стандартными формулами (22) и (23) для )(cos z и )(sin z , получаем
![Page 48: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/48.jpg)
48
,)1(1
!)12()1()1(sin
)1(1
!)2()1()1(cos)
1(cos
00122 ∑∑
∞
=
∞
=+++
−⋅+
+−
⋅=+ nn
n
n
n
n
znznzz
где 01 >+z .
Решение: 2) представим дробь 31
ze z−− в виде )1(1
3ze
z−− и вос-
пользуемся стандартным разложением (21):
.!
)1(!
)1(1!)(11)1(1
110
311
333 ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
−−−− −=−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=−
nnn nz
nz
znz
ze
z
nn
nn
nz
Так как особые точки функции: z = 0 и z = ∞, то мы получили разло-жение в кольце ∞<< z0 .
Разложить функцию ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=11ln)(
zzzf в ряд Лорана в области
∞<< z1 .
.12111
121
211ln)(
10222222 ∑∑
∞
=
∞
=−=−=
−=
−=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
= −nn
nn zzzzzzzzzF
Этот ряд равномерно сходится на любой гладкой кривой, соединяю-щей точку z c ∞. Интегрируя почленно, находим
∑∑ ∫∫∞
=
∞
= ∞∞ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ −
11 121122)(
11ln
12
2kk
zz
kztdtdttF
zz k
k .
5.4. Классификация изолированных особых точек однозначного характера аналитической функции
Определение 14. Точка ∞≠0z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции )( zf , если в некоторой окрест-ности этой точки Rzz <−< 00 однозначная функция )( zf аналитична, а в самой точке 0z не определена или не аналитична.
Бесконечно удаленная точка называется и золиров анной осо -бой т о чкой одно зн ачно го х ар ак т ер а функции )( zf , если в кольце ∞<< zR однозначная функция )( zf аналитична.
Точки ветвления многозначной функции называются о собыми т очк ами много зн ачно го х ар а к т е р а . В дальнейшем будем рас-сматривать только изолированные особые точки однозначного характера.
Классификация изолированных особых точек может быть проведена двумя эквивалентными способами:
![Page 49: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/49.jpg)
49
по виду лорановского разложения функции в окрестности особой точки 0z ;
по характеру поведения функции в окрестности этой точки. Определение 15. Точка 0z называется устранимой особой точкой
функции )( zf если: 1) в разложении в ряд Лорана функции )( zf в окрестности 0z от-
сутствует главная часть ряда, т.е.
∞≠−= ∑∞
=00 ,)()(
0zzzczf
n
nn ,
∞== ∑∞
=
−− 0,)(
0zzczf
n
nn ;
2) ∞≠=→
const)(lim0
zfzz
.
Определение 16. Точка 0z называется полюсом порядка n функции )( zf , если:
1) в разложении в ряд Лорана в функции )( zf окрестности 0z глав-ная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, т.е.
+−
++−
+−
= −−
+−−
0
11
0
1
0...
)()()(
zzc
zz
c
zz
czf n
nn
n
∞≠≠−+ −∑∞
=00 ,0,)(
0zczzc n
kk
k, (29)
;;0,0
...)( 011
1 ∞=≠∞
=++++= ∑ −
−−
− zck
zczczczczf nk
kn
nn
n (30)
2) ∞=→
)(lim0
zfzz
.
Порядок полюса 0z функции )( zf равен по определению кратности
нуля функции )(
1)(zf
z =ϕ в точке 0z . Доказывается, что если в окрест-
ности 0z справедливо представление (29) или (30), то порядок полюса ра-вен числу n.
Определение 17. Точка 0z называется существенно особой точкой )( zf , если:
1) в разложении в ряд Лорана )( zf в окрестности 0z главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много слагаемых, т.е.
![Page 50: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/50.jpg)
50
∞≠−+−= ∑∑∞
=
−
∞−=000
0
1,)()()( zzzczzczf
kk
kk
kk ,
∞=+= ∑∑∞
=∞−=
−− 0,)(
1
0zzczczf
kk
kk
kk ;
2) )(lim0
zfzz→
не существует.
Примеры 41. Определить характер изолированной особой точки 0z для функ-
ции )( zf :
1) ;1,)2
(tg)1()( 0 =π
−= zzzzf 2) ∞=−= 01 ,)1()( zezzf z .
Решение: 1)
=−−π
−−=π
−→→
))11(2
(tg)1(lim)2
(tg)1(lim10
zzzzzzz
=−π
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
−−π
−−=→→
))1(2
(ctg)1(lim)2
)1(2
(tg)1(lim11
zzzzzz
,2))1(2
(cos2lim
2))1(
2(sin
2)1(
))1(2
(coslim11 π
=−π
π=
π⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
π
π−
⋅−π
=→→
zz
zz
zz
10 =z – устранимая особая точка )( zf ; Решение: 2)
;1lim1
1
lim1
))1((lim)1(lim 12
11
1 ==′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′−=−
∞→∞→∞→∞→
zz
z
z
z
zz
ze
z
ze
z
ezez
0z – устранимая особая точка )( zf . 42. Найти полюсы функции )( zf и определить их кратности:
1) 253
)( 234 −+−−=
zzzzezzf
z; 2)
))(cos1(1)( 3 zz
zf−
= .
Решение: 1) запишем функцию )( zf в виде
.)2()1(
)( 3 +−=
zzezzf
z
Имеем
∞=+−
∞=+− −→→ )2()1(
lim,)2()1(
lim 3231 zzez
zzez z
z
z
z.
![Page 51: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Точки 1=z и 2−=z – нули знаменателя, причем 1=z – нуль третье-го порядка, а 2−=z – простой нуль. Числитель в этих точках в нуль не обращается, поэтому точки 1=z и 2−=z будут соответственно полюсами 3-го и 1-го порядка функции )( zf .
Решение: 2) нулями знаменателя будут точки Znnz ∈π= ,2 . Разложим знаменатель )( zf в ряд:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=−=ϕ ∑
∞
=...
!4!21
!)2()1(1))(cos1()(
23
233
0
zzk
zzzzzk
kk .
Точка 0=z – нуль пятого порядка функции )( zϕ , поэтому 0=z – полюс пятого порядка )( zf . Точки 0,,2 ≠Ζ∈π= nnnz , – простые нули знаменателя, поэтому они будут простыми полюсами )( zf .
43. Определить характер точки 10 −=z для функции
)1
cos()(+
=z
zzf .
Решение. Докажем, что )(lim1
zfz −→
не существует. Выберем две
последовательности:
{ } { } 1)12(1
)12(,121
2−→
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
π+−π+
=′′−→⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
π−π
=′∞→∞→ n
nn
n nnz
nnz .
Для них
.1)12(coslim)(lim
.1)2(coslim)21(
)21(2coslim
1)21(
2:)21(
2coslim)(lim
−=π+=′′
=π=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡π−π−π
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π−π
π−π
=′
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
nzf
nn
nn
nn
nnzf
nnn
nn
nnn
Таким образом, )(lim)(lim nnnnzfzf ′′≠′
∞→∞→.
Значит, 10 −=z – существенно особая точка )( zf .
Глава 6. ВЫЧЕТЫ
6.1. Вычисление вычетов
Пусть ∞≠0z – изолированная особая точка однозначной аналитиче-ской в проколотой окрестности точки 0z функции )( zf , L – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку 0z и лежащий целиком в окрестности 0z .
![Page 52: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Определение 18. Вычетом функции )( zf в точке 0z называется ин-теграл:
∫π=
= Lzzdzzf
izf )(
21)(Res
0. (31)
Вычет функции )( zf в точке 0z равен коэффициенту 1−c при пер-
вой отрицательной степени 10 )( −− zz в разложении функции )( zf в ряд
Лорана в окрестности 0z , т.е. 1)(Res
0−
== czf
zz.
Если ∞=0z , то
∫∫ π−=
π=
−∞= LLz
dzzfi
dzzfi
zf )(21)(
21)(Res ,
где −L – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внут-ри себя начало координат и полностью лежащий в окрестности бесконечно удаленной точки, где )( zf аналитична, причем −L означает, что обход осуществляется в отрицательном направлении. Кроме того
1)(Res −∞=
−= czfz
.
В зависимости от типа изолированных особых точек приведем фор-мулы для вычисления вычетов )( zf .
1. Пусть 0z – устранимая особая точка функции )( zf . Тогда
0)(Res0
==
zfzz
, если ∞≠0z ;
))()((lim)(Res zffzzfzz
−∞=∞→∞=
, если ∞=0z . (32)
2. Пусть 0z – полюс n-го порядка, ∞≠0z , тогда
[ ])()(lim!)1(
1)(Res 01
1
00zfzz
zdd
nzf n
n
n
zzzz−
−= −
−
→=, (33)
в частности при n = 1 )()(lim)(Res 0
00zfzzzf
zzzz−=
→=.
Если 0z – простой полюс и )()()(
zzzf
ψϕ
= , где )( zϕ и )(zψ – анали-
тические функции в точке 0z , причем 0)(,0)(,0)( 000 ≠ψ′=ψ≠ϕ zzz , то
)()()(Res
0
0
0 zzzf
zz ψ′ϕ
==
, (34)
![Page 53: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/53.jpg)
53
если mzzzzf
)()()(
0−ϕ
= , где )(zϕ аналитична в точке 0z , то
.)(!)1(
1)(Res 0)1(
0z
mzf m
zz
−
=ϕ
−=
3. Если 0z – существенно особая точка )( zf , то, раскладывая )( zf в ряд Лорана по степеням )( 0zz − , находим 1−c , тогда
11 )(Res,)(Res0
−∞=
−=
−== czfczfzzz
.
Заметим еще, что, если )( zf – четная функция, то
)(Res)(Res00
zfzfzzzz −==
−= и 0)(Res)(Res0
==∞==
zfzfzz
,
если )( zf – нечетная, то )(Res)(Res
00zfzf
zzzz −=== . (35)
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. Если nzzz ,...,, 21 – изоли-рованные конечные особые точки функции )( zf , аналитической, кроме этих точек во всей комплексной плоскости, то
( )∑= ∞==
=+n
k zzzzfzf
k00sRe)(Res . (36)
Примеры 44. Вычислить вычет функции )( zf в точке 0z :
1) izz
ezzfzi
=+
= 02 ,1
)( .
Решение. Точка iz =0 – простой полюс )( zf , так как
∞=−+
=→→ )()(
lim)(limiziz
ezzfzi
iziz.
Поэтому из формулы (48)
eiiei
izizezizzf
zi
iziz 21
)()()(lim)(Res
1=
+=
−+−
=−
→=.
2) izez
eezzf z
zazπ=
−+−
= 2,)1(
1)( 0 .
Решение. Точка iz π= 20 – полюс 1-го порядка, так как знаменатель функции имеет в точке 0z нуль первого порядка, так как:
0)1)2(sin)2(cos()1( 2 =−π+π=−π ie i и ( ) 01 ≠=′
− zz ee .
![Page 54: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Представим
)()()(
zzzf
ψϕ
= , где ,1)(,1)( −=ψ+−
=ϕ zzaz
ezz
eezz
причем 1)2(,0)2(,0)2( 2 ==πψ′=πψ≠πϕ π ieiii , из (34) имеем
iaiia
ize
ieei
iizf π
ππ
π==
π+−π
=πψ′πϕ
= 222
2 212
)2()2()(Res .
3) 0,)(ctg)( 02 == zzzf .
Решение. Точка 00 =z – полюс 2-го порядка, так как знаменатель )(sin2 z в точке 00 =z имеет нуль 2-го порядка. Из формулы (33) имеем
.0)(cos)(sinlim2
)(cos)sin(2))(sin2lim2
)(cos)sin(2)1)(cos()(sinlim2
))(sin())(sin)(cos(lim2
)(sin)(sin)(cos)ctg(lim2
)(sin)ctg(2)(ctg2lim))(ctg(lim)(Res
0
2
0
22
0
2020
2
22
022
000
=−=
=⋅
−=⋅
−+−=
=′
′−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅⋅⋅=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅==
→
→→
→→
→→=
zz
zzz
zzzz
zzzz
zzzzzz
zzzzzzz
dzdzf
z
zz
zz
zzz
4) .0,)1(
1)( ≠−
= − hez
zf zh Подсчитать вычеты во всех особых
точках.
Решение. Точки ∈π
= nh
inzn ,2 Z, 0≠n – простые полюсы, из
формулы (32) имеем ))1()(,1)(( zhezz
z −−=ψ=ϕ
∈π
−=⋅⋅π
=⋅
= −=n
ni
hinh
ehzzf
nnzh
nzz,
2121)(Res Z, 0≠n .
Точка 00 =z – полюс второго порядка, так как знаменатель в 0z имеет нуль второго порядка. Разложим )( zf в ряд Лорана в окрестности
00 =z :
....!3!2!1
13322++−=− − zhzhzhe zh
Выполняя деление рядов
![Page 55: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/55.jpg)
55
– ...
211...
!21
...!3!2!1
13322
+++−
++−
zhzh
zhzhzh
–
...42
...!32
22
22
+−
+−
zhzh
zhzh
...!34
222 +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
hhz
получаем
...211
)1(1
2 ++=− − zzhez zh )20(
hz π<< .
Отсюда: 21
1 =−c и 21)(Res
0=
=zf
z.
5) .,1
)1(sin)( 0 ∞=
−= z
zzzf
Решение. Так как
01
1)1cos(lim
)1(
)1(sinlim)(lim
2=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=′−
′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=∞→∞→∞→
zzz
zzfzzz
,
то ∞=0z – устранимая особая точка. Воспользовавшись формулой (32), найдем
.01
11
)1(sinlim
1
)1(sin0lim)(Res =
−⋅=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
∞→∞→∞= zz
zz
zzzfzzz
6) .1,1
1sin)(ln)( 0 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅= z
zzzf
Решение. Точка 10 =z – существенно особая точка. Разложим функцию в ряд, воспользовавшись формулами (22) и (26):
...3
)1(2
)1()1()1()1()(ln32
1
1 +−
+−
−−=−
−= ∑∞
=
− zzzk
zzk
kk ,
,
![Page 56: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/56.jpg)
56
...)1(!5
1)1(!3
11
1!)12(
11
1)1(1
1sin 50
3
12
−−
+−
−−
=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−∑∞
=
+
zzzkzz k
kk
Перемножая два ряда, найдем коэффициенты при первой отрица-тельной степени 1)1( −−z :
∑∞
=
−
− +−
=−⋅
+⋅
−⋅
=1
1
1 !)12(2)1(...
!761
!541
!321
n
n
nnc .
6.2. Вычисление интегралов с помощью вычетов I. Если однозначная функция )( zf аналитична в замкнутой области
D , за исключением конечного числа изолированных особых точек Dzk ∈ , nk ,...,2,1= , область D ограничена замкнутой жордановой кусочно-
гладкой кривой Г, то
∑∫= =Γ
π=n
k zzzfidzzf
k1)(Res2)( , (37)
где контур Г обходится в положительном направлении относительно об-ласти D.
Примеры 45. Вычислить интегралы:
1) { }ε=−++=Γ−+
∫Γ
11,:;)2(
12
2zzzDdz
zzz .
Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются 01 =z – полюс второго порядка, 22 =z – простой полюс, ∞=3z –
устранимая особая точка. Точки DzDzz ∉∈ 321 ,, , воспользовавшись фор-мулой (33), подсчитаем вычеты в точках 21 , zz :
41
)2(14lim
)2(1lim
)2(1Res 2
2
0
2
02
2
0−=
−−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
=−+
→→= zzz
zz
dzd
zzz
zzz,
451lim
)2(1Res 2
2
22
2
2=
+=
−+
→= zz
zzz
zz.
Тогда из (37) имеем
iidzzz
zπ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −π=
−+
∫Γ
241
452
)2(1
2
2.
2) .4511,:;
)(cos)1()(ch
2 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =+−=Γ
−∫Γ
zzzDdzzz
z
![Page 57: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются точки 12,1 ±=z (простые полюса), которые лежат внутри контура Г, и точ-
ки ∈π+π
= nnzn ,2
~ Z, лежащие вне контура Г.
Подсчитаем вычеты в точках 21 , zz :
)1(cos2)1(ch
)(cos)1()(chRes,
)1(cos2)1(ch
)(cos)1()(chRes 2121 −
=−
=− −== zz
zzz
zzz
.
Из (53) имеем
0)1(cos2
)1(ch)1(cos2
)1(ch2)(cos)1(
)(ch2 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−π=
−∫Γ
idzzz
z .
3) ∫= −2
4
3
1zdz
zz .
Решение. В круге 2≤z лежат четыре особых точки подинте-
гральной функции 4,1,1 == kz kk (полюсы). Вне круга лежит только одна
особая точка – ∞=5z (устранимая особая точка). Воспользовавшись ос-новной теоремой о вычетах (см. формулу (36))
1Res
1Res 4
34
14
3
5 −−=
− == =∑
zz
zz
zzk zz k
и формулой (32), имеем
iz
ziz
zidzz
zzzzz
π=−
−⋅π−=
−⋅π−=
− ∞→==∫ 2
1lim2
1Res2
1 4
4
4
3
24
3
5.
4) ∫=−− +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21 1
1cos
izdz
ziz .
Решение. Внутри контура интегрирования лежат две особые точки подынтегральной функции: iz = – простой полюс, 0=z – существенно особая точка, для вычисления вычета в которой формул не существует и, следовательно, подсчитывать вычет сложно. Вне контура лежит только од-на особая точка ∞=z , причем вычет в ней достаточно легко считается по формуле (32). Отсюда
.221
1coslim2
1
1cosRes2
1
1cos
21π=
π=
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
⋅π−=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅π−=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→∞==−−∫ i
izi
zz
izi
zidzzi
zzziz
![Page 58: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/58.jpg)
58
II. Теорию вычетов можно применять для вычисления интегралов вида
∫π2
0,))(sin,)(cos( xdxxR (38)
где ( )vuR , – рациональная функция аргументов u и v, не имеющая особен-ностей на окружности 122 =+ vu .
Пусть ixez = , тогда
zidzdx
zz
ix
zzx =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ,1
21)(sin,1
21)(cos . (39)
Когда x меняется от 0 до 2π , точка z пробегает окружность 1=z в положительном направлении. Интеграл (38) такой заменой сводится к ин-тегралу по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента, ко-торый легко вычисляется с помощью вычетов (см. (37)).
Примеры 46. Вычислить интегралы:
1) ρ≠ρρ+ρ−∫
π
,1,)(cos21
2
02x
dx – комплексное число.
Решение. Сделаем замену переменной (57):
∫∫=
π
ρ+ρ+−ρ=
ρ+ρ− 122
2
02 )1()(cos21 z zz
dzix
dx .
Точки ρ
=ρ=1, zz – простые полюсы подынтегральной функции,
причем только один лежит в круге .1<z Если 1<ρ , то в круге 1<z лежит полюс ρ=z и
222
2
02 1
2)1(
Res2)(cos21 ρ−
π=
ρ+ρ+−ρ⋅π=
ρ+ρ− ρ=
π
∫ zzii
xdx
z.
Если 1>ρ , то в круге 1<z лежит полюс ρ
=1z и
.1
2)1(
Res2)(cos21 2221
2
02 −ρ
π=
ρ+ρ+−ρ⋅π=
ρ+ρ−ρ
=
π
∫ zzii
xdx
z
2) ∫π
ϕ+ϕ⋅−
ϕ=
2
02
2
)(cos21)3(cos d
aaJ , ∈a C , 1≠a .
Решение. После замены переменных (39) имеем
![Page 59: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/59.jpg)
59
∫= −−
+−=
1 6
26
)1()(
)1(41
zdz
azazz
zia
J .
Особыми точками подынтегральной функции )( zF будут точки
01 =z (полюс шестого порядка), a
zaz 1, 32 == (простые полюсы). Пусть
1<a , тогда в круге 1<z лежат полюсы 1z и 2z . Вычислим
)1()1(
)1(
)1(lim)(Res 25
26
6
26
−+
=−
+=
→= aaa
azz
zzFazaz
.
Для вычисления вычета в 01 =z можно было бы воспользоваться формулой (33), но тогда пришлось бы искать производную пятого порядка от сложной дроби. Это нецелесообразно, поэтому разложим каждый из множителей )( zF в ряд по формуле (27):
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
++=
−−
+= ...112
)1(1
)1(
1)1()( 2
2
6
612
6
26
az
az
zzz
zaazz
zzF
.)...1(...112)...1( 222
2
6622 +++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=+++× zaza
az
az
zzzaza
Перемножая ряды, соберем все коэффициенты при 1−z :
.111)(Res 5335
0 aaaaaazF
z+++++=
=
Тогда
2
6
5335
25
26
11111
)1()1(
2 aa
aaaaaa
aaa
aJ
−+
π=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++
−+π
−= .
Аналогично при 1>a :
11
2
2
6 −+π
=a
aa
J .
3) 0,)(tg0
≠+= ∫π
adxaixJ – действительное число.
Решение. Так как функция )(tg x – периодичная с периодом π, то имеем
∫∫ππ
+=+2
00)(tg
21)(tg dxaixdxaix .
![Page 60: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Пользуясь тригонометрическими тождествами и сделав замену axiez −= , получаем
∫∫−=
π
+−
−=+aez
dzzz
zdxaix)1(
121)(tg
21
2
22
0.
Если 0>a , то 1<− ae и в круге aez −< лежит лишь одна особая точка 0=z (полюс первого порядка). Поэтому
izz
zidzzz
zz
ez aπ−=
+−
⋅π=+−
==∫
−
2)1(
1Res2)1(
12
2
02
2 и iJ π= .
Если 0<a , то 1>− ae , тогда в круге aez −< лежат три особые точ-ки: 0; ±i, а вне круга – лишь одна ∞=z (устранимая особая точка), следо-вательно
1)1(
1Res 2
2−=
+−
∞= zzz
z.
По основной теореме о вычетах имеем iJ π−= . Объединяя случаи 0>a и 0<a , имеем
.)(sign aiJ ⋅π=
4) 1,1)(
J1
12
>−−
= ∫−
axxa
dx .
Решение. Заменой переменных )(cos ϕ=x сведем интеграл J к ви-ду (38):
,)(cos2
1)(cos
J2
00∫∫ππ
ϕ−ϕ
=ϕ−
ϕ=
ad
ad
стандартной заменой (39) и по формуле (36) подсчитаем
∫∫=
π
−
π=
+−−=
ϕ−ϕ
=1
22
2
0 1121
)(cos21
z azazdz
iadJ .
III. Теорию вычетов можно использовать при вычислении несобст-венных интегралов по вещественной оси, если методы действительного анализа оказываются неэффективными.
1. Пусть f(z): а) аналитична в верхней полуплоскости, за исключением конечного
числа особых точек kz , 0)Im( >kz , nk ...,,2,1= , непрерывна в замкнутой полуплоскости за исключением тех же точек и
b) 0)(lim =∞→
zfzz
, 0)Im( ≥z .
![Page 61: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Тогда
∫ ∑+∞
∞− = =π=
n
k zzzfidxxf
k1)(sRe2)( (40)
(аналогично для нижней полуплоскости, но в (40) правую часть нужно брать со знаком «минус»).
2. Если ( )zf : а) аналитична в верхней полуплоскости, за исключением конечного
числа особых точек kz , 0)Im( >kz , nk ...,,2,1= , непрерывна в замкнутой полуплоскости за исключением тех же точек и
b) 0)(lim =∞→
zfz
, 0)Im( ≥z .
Тогда
∫ ∑∞
∞− = =>π=
n
k
imx
xx
imx mexfidxxfek1
0),)((sRe2)( . (41)
Если кроме того ∈)(xf R, при ∈x R, то
0,))((sReIm2)cos()(1
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡π−= ∑∫
= =
∞
∞−
mezfdxmxxfn
k
imx
zz k, (42)
0,))((sReRe2)(sin)(1
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡π= ∑∫
= =
∞
∞−
mezfdxmxxfn
k
imx
zz k. (43)
Примеры 47. Вычислить интегралы:
1) 0,0,)( 22
2>>
+∫∞
∞−
babxadxx ;
2) ∫∞
∞−
>+
0,1 2 mdx
xex imx
;
3) 0,sin
022
2>
+= ∫+∞
adxaxxJ .
Решение: 1) рациональная функция 22
2
)()(
zbazzR
+= аналитична
в верхней полуплоскости, за исключением точки baiz =1 (полюс второго
порядка) и 0)(lim =∞→
zRzz
.
![Page 62: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/62.jpg)
62
322
2
4
1lim)(sRe11 bai
baizb
zdzdzR
zzzz=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=→=
.
Из (40) ∫∞
∞−
π=π=
+ 3322
2
44
12)( babai
ibxadxx .
Решение: 2) функция 21)(
zzzf+
= – аналитическая в верхней по-
луплоскости, включая действительную ось, кроме точки iz = (полюс); 0)(lim =
∞→zf
z, поэтому из формулы (41):
m
imx
iz
imx
ei
zzeidx
xxe π
=+
π=+ =
∞
∞−∫ 22 1
sRe21
.
Решение: 3) преобразуем J:
∫∫∫+∞∞
∞−
+∞
+−
+=
+−
=0
22220
22)2(cos
21
41)2(cos1
21 dx
axx
axdxdx
axxJ .
Первый интеграл – табличный
aax
aaxaxd
axdx π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
+∞∞−
∞
∞−
+∞
∞−∫∫ |acrtg1
1)/()/(
21
222 .
При вычислении второго интеграла воспользуемся формулой (42), учиты-
вая, что 221)(
axxf
+= – четная функция:
ae
iae
azedx
axxdx
axx aazi
az i 22ImsReIm)2cos(
21)2cos( 22
22
2
220
22
−−
=
∞
∞−
∞π=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛π−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+π−=
+=
+ ∫∫ .
Окончательно: )1(444
22
aa
eaa
aa
J −−
−π
=ππ
= .
![Page 63: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/63.jpg)
63
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа 1
З ад ание к к аждому в ари ан ту 1. Представить комплексное число z в алгебраической форме. 2. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовле-
творяющих данному условию. 3. Записать комплексное число z в тригонометрической и показа-
тельной формах. 4. Используя формулу Муавра, вычислить. 5. Найти корни уравнения и отметить их на комплексной плоскости.
Вариант 1
1. )21)(1()22)(1(
12
iiii
iz
−−−+
−+
=
2. 11 +≤− zz 3. iz 21+=
4. 15
131⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+i
i
5. 02)2(2 =++− iziz
Вариант 2
1. 7
)23)(1(32
3 iii
iz ++−
−+
=
2. 1Re 2 <z 3. iz += 3
4. 9
131⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−i
i
5. 055)25(2 =+++− iziz Вариант 3
1. i
iii
iiz+
−−−
−++
=2
)2()1(2
)2()1(
2. zz −<+ 21
3. 31 iz +=
4. 7
11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
ii
5. 014 =+z
Вариант 4
1. )1()21()21()1(
11
iiii
iz
+−+−
−+
=
2. 2Im1;4
3arg4
≤≤π
≤≤π zz
3. 31 iz +−=
4. 8
133⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
ii
5. 03 =− ziz
![Page 64: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Вариант 5
1. )1()21()33()1(
13
iiii
iz
−+++
−−
=
2. 32
12
<+
+−z
zz
3. iz 21+−=
4. 4
133⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−i
i
5. 04 =+ iz
Вариант 6
1. iii
iiz
23)21(
233
++
−−−
=
2. 0)1Re( =−z
z
3. iz −= 3
4. 5
33
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−−
ii
5. iz =+13
Вариант 7
1. i
iii
iz++
−−−
=1
)23(323
2. 2)Im( ≥− iz 3. 31 iz −−=
4. 7
133⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
ii
5. 02322 =+− iz
Вариант 8
1. )22)(1()1)(21(
11
iiii
iiz
−+−−
−+−
=
2. 2311 <−++< zz 3. iz 21−=
4. 6
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
ii
5. 04 =− iz Вариант 9
1. )1)(3(
33
32iii
iz−+
−−+
=
2. 0)( =−+++⋅ zzizzzz
3. iz +−= 3
4. 10
223
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
ii
5. 02322 =−+ iz
Вариант 10
1. )1)(21()1)(21(
31
iiiiiz
−++−
−−
=
2. ( ) zzz Im2Im 2 −=− 3. 31 iz −=
4. 8
13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ii
5. 014 =−z
Вариант 11
1. iii
iiz
)1(32
332
−−
−−+
=
2. zz =− 2
3. iz 21−−=
4. 8
13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−ii
5. 03 =− iz
Вариант 12
1. 2)1()2)(1(
21
iiiiz
−++
−−
=
2. 1ImRe −≥+ zz 3. iz −= 3
4. 7
13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ii
5. 0332 =+− iz
![Page 65: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Вариант 13
1. )1(
)2)(1(2
1i
iii
iz−
−+−
+−
=
2. 111≤
+−
zz
3. iz −=1
4. 10
311
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++i
i
5. 03 =+ iz
Вариант 14
1. )22)(1()22)(1(
11
iiii
iiz
−−++
+−+
=
2. izz +<−1
3. 33 iz +=
4. 8
311
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−i
i
5. 0222 =++ iz
Вариант 15
1. i
iii
iiz+
−−−
−++
=3
)3)(4(3
)3)(4(
2. 4212 <+−< iz 3. iz 22 −=
4. 8
331
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
ii
5. 14 =+ iz
Вариант 16
1. iii
iiz
23)1(
233
++
+−
−=
2. 1Im0,5Re1 <<<<− zz
3. 22 iz +=
4. 6
331
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
ii
5. 03 =+ ziz Вариант 17
1. )21)(1()21)(1(
1 iiii
iiiz
+−−+
−+−
=
2. zz <− 3
3. 322 iz +−=
4. 5
331
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
ii
5. 02322 =+− iz
Вариант 18
1. i
iii
iz2
)1)(3(32
3 −+−
+−
=
2. zz Im2 +>
3. 33 iz −−=
4. 10
331
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
ii
5. 013 =−− iz
Вариант 19
1. )21)(1()1)(21(
13
iiii
iz
+−+−
−+
=
2. 8114 ≤++−≤ zz 3. iz +=1
4. 3
232⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
ii
5. 0164 =−z
Вариант 20
1. iii
iiz
32)1(
323
−+
++−
=
2. 4>++− iziz
3. 33 iz +−=
4. 5
232⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
− ii
5. 332 =+ iz
![Page 66: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Вариант 21
1. ii
iiiz)1(
)22)(1(2
1−
+++
+=
2. zz 414 −<−
3. iz 22 −−=
4. 10
131⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
ii
5. 0222 =+− iz
Вариант 22
1. )2(
)2)(1(2
)2)(1(i
iii
iiz+
−+−
−+−
=
2. 47Im
43 2 <+< zz
3. iz 322 +=
4. 5
131⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+i
i
5. 0164 =+z Вариант 23
1. i
ii
z+−
−−
=1
)1(2
2 2
2. iziz −<+
3. 22 iz −=
4. 7
11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
ii
5. 02322 =−− iz
Вариант 24
1. )22)(1()22)(1(
11
iiii
iiz
++−−
−−+
=
2. 311 <−−≤ iz 3. iz +−= 1
4. 6
133⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−i
i
5. 13 =− iz Вариант 25
1. i
iii
iz )1)(3(323 +−−
++
=
2. zz Re1−>
3. 33 iz −=
4. 8
322⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +i
i
5. iz =+14
Контрольная работа 2
З ад ание к к аждому в ари ан ту 1. Найти вычеты следующих функций во всех их конечных особых
точках и в бесконечности. Дать характеристику особых точек. 2. Вычислить интегралы по замкнутому контуру D∂ . 3. Вычислить следующие несобственные интегралы.
![Page 67: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Вариант 1
1. ( )2
16 −zz
2. ∫∂ −D
dzz 1
1sin , 11: >−zD
3. а) ( )∫∞+
∞− +−− dx
xxex ix
221
2 ;
б) ∫π
ϕ+ϕ2
0 sin2d
Вариант 2
1. ( )22 1
sin
+z
z
2. ∫∂ −D z
dzz1
1exp , 622: <++− zzD
3. а) ( )∫
∞
+0 42
4
bxa
dxx , 0>a , 0>b ;
б) ∫+
π2
0
2
cos45sin dx
xx
Вариант 3
1. z
z 1sinsin
2. ∫∂ +D
dzz
zz1
cos , 2: >zD
3. а) ∫∞+
∞− +dx
xeix
12 ;
б) ∫+
π2
0 66 cossin xxdx
Вариант 4
1. ( )22 1
cos
+z
z
2. ∫∂ −D ze
zdz
12 , 4: >zD
3. а) ( )∫∞+
∞−
−
+−+ dx
xxex ix
521
2
3;
б) ∫ ϕϕ−ϕ+π2
0 sin2cos2 d
Вариант 5
1. ( )21−z
e z
2. ∫∂ +D
dzz
z1
sin , 3: >zD
3. а) ( )∫∞+
∞− +++ dx
xxxxx22
sin524
3;
б) ( )∫
− −−
1
1212 xx
dx
Вариант 6
1. z
z πsin2
2. ∫∂ −
+D
dzzzz
11sin , 2: <zD
3. а) ( )∫∞+
∞− +++ xdxxx
xx sin5.43
13224
3;
б) ∫− +
−1
1
2
321 dx
xx
Вариант 7
1. 11−zze
2. ( )( )∫∂ −−D
dzzz
zz
21
1sin22
, 3: <zD
Вариант 8
1. 12
2
+n
z
ze
2. ∫∂ −D
dzz
z14
3, 2: <zD
![Page 68: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/68.jpg)
68
3. а) ∫∞
++024 22
cos dxxxax , 0>a ;
б) ( )∫π
+0
4tg dxix
3. а) ∫+∞
∞− ++dx
xxxx
84sin
24
3;
б) ( )∫π
−2
01ctg dxx
Вариант 9
1. ( ) zzz
z cos1
144
8
++
2. ∫∂ +D
z dzez
z 31
3, 4: >zD
3. а) ∫+∞
∞− +−dx
xxxx
102cos
2 ;
б) ∫+
π2
0
2
cos45sin
xxdx
Вариант 10
1. ( )2
16
8
++zz
z
2. ( )
∫∂ +D
dzz
z31
sin , 32
32
32
2: <+ yxD
3. а) ( )∫
+∞
∞− +dx
ax
xx222
sin , 0>a ;
б) ∫+
π2
0 22 cos3sin2dx
xxdx
Вариант 11 zπctg.1
( )4:1
.2 2
3<
−∫∂
zDe
dzz
Dz
( )∫+∞
∞−
>+
;0a).3 244
6a
ax
dxx
( )∫
−
1
1-213
б)x-x
dx
Вариант 12
( )( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
π
+
−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
>
<−
π
0
22
2
2
8tgб)
45a).3
0Im1:
2.2
ctg.1
dxix
ixx
dxx
zzD
dziz
e
z
D
z
Вариант 13
21.1−ze
∫∂ −D z
dzz1
1exp.2
( )622: <++− zzD
∫+∞
∞− −−;
12a).3 2 ixx
dxeix
Вариант 14
zz2
2cos.1 +π
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<
−∫∂
π3
2
2
27:
1.2 3 zD
e
dzz
D iz
∫+∞
∞− −−;
12a).3 2 ixx
dx
![Page 69: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/69.jpg)
69
∫ +
1
1-
2
89dxx-1б)x
( )∫π
−2
09ctgб) dxx
Вариант 15
( )
( )
( )∫
∫
∫
−+
+−−
>+
+
∞+
∞−
∂
1
1-2
2
2
11213б)
;1096
3a).3
2:1
cos.2
11.1
dxxx
x
xxdxex
zDdzz
zz
e
xiD
z
Вариант 16
( ) ( )( )
∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
ϕ−ϕϕ
++
<−−−
π
2
02
2
2
3
sin2cosб)
;102
sina).3
11:1
sin.2
sin1.1
d
dxxx
xx
zDizz
zdzz
D
Вариант 17
( )
( )∫
∫
∫
π
∞∂
−
+
+
<−
2
066
0244
6
11
cossindxб)
;2
a).3
3:1
.2
.1
2
xx
x
dxx
zDe
zze
Dz
z
Вариант 18
( )
( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
ϕ+ϕ
+
>−
π
2
0
32
2
sin8б)
;1
a).3
5:1
.2
cos.1
2
d
x
dx
zDdze
zz
z
D z
Вариант 19
( )
∫
∫
∫
+−
++
>
∞∂
1
1-
2
024
741б)
;22
2cos)a.3
1:.2
.1
dxx
x
dxxx
x
zDz
ctgzez
D
za
n
Вариант 20
( ) ( )( )
( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
−
++
<−−−
2
0
2
3
2
2ctgб)
;102
sin)a.3
11:1
sin.2
sin1.1
dxix
xxxdxx
zDizz
dzzz
D
Вариант 21
π+ze2.1
Вариант 22
zz2
2cos.1 +π
![Page 70: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/70.jpg)
70
( )2:11sin.2 >
−+
∫∂
zDdzzzz
D
( )
( )∫
∫π
+∞
∞−
+
+−−
0
2
3tgб)
;54
2cos1a).3
dxix
xxxx
( ) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
>>
<
−∫∂
π
0Im0Re1:
2.2 2
zzzD
dziz
e
D
z
( )∫
∫π
+∞
∞−
−−
+−2
02
2
17б)
;102
cosa).3
xa
dx
dxxx
xx
Вариант 23
( )( ) ( )
( )∫
∫
∫
π
∞∂
ϕ+ϕ
−+
<−+
π−
2
0
022
2
2
sin6dб)
;45
a).3
4:13
.2
4
cos.1
xix
dxx
zDez
z
z
z
Dz
Вариант 24
( )
( ) ( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂π
+
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛>
−
−
2
022
222
32
2
2
cos5sinб)
;14
a).3
29:
1.2
1.1
3
xxdx
xx
dx
zDdze
z
ze
D iz
z
Вариант 25
( )( ) ( )
( ) ( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
++
+
>−−
π
2
023
2
22
2
sin81cos31cos2xб)
;1
a).3
3:21
1sin.2
4cos.1
dxxx
dxx
e
zDdzzz
zz
z
ixD
Вариант 26
( )( )( )
( )
( )
∫
∫
∫
π
∞+
∞−
−∂
ϕϕ−ϕ+
+−+
>
−+
2
0
2
3
65
10
sin2cos2б)
;52
1a).3
1:ctg.2
12
1cos1.1
d
xxdxex
zDdzz
zzz
zz
ixD
Вариант 27
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−−2
1
1.12 zez
Вариант 28
1
1sin.1
−zz
![Page 71: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/71.jpg)
71
( )
( )∫
∫
∫
−+
+
<−−
∞∂
1
1-2
02
4
3
14б)
;4
2sina).3
5.11:1
.2
xx
dx
dxx
xx
zDdzz
z
D
( )
( )
( )∫
∫
∫
−+
+++
>+
∞+
∞−
∂
1
1-22
24
3
11б)
;84
sin5a).3
2:1
cos.2
xa
dx
xxdxxxx
zDdzz
zzD
Контрольная работа 3
Вариант 1 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }iz
z-iwyxzD+
=>>= ,0 ,0: ;
2) { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=>>>=
zzwyxzzD 1
21 ,0 0, ,2/3: ;
3) { } zewzzD =π<= ,2/Im: ;
4) { } ( ) ( )0 1 , ,0 Re ,9: 0 =ϕ==<<= i-wzwzzzD ; 5) [ ){ } z;ln ,;0: =∞∉= wzzD
2
5 , ,3
10 ,2
31z 02020101iwiziwi π
==π
=−−
= .
2. Доказать: iziz ctg ctg = ; ( ) yxz sinch sh Im ⋅= . Вычислить: ii; 7 1+i . 3. Найти функцию, осуществляющую конформное отображение области D на верхнюю полуплоскость.
Вариант 2
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }21,1Re0:
+−
=<<=zzw zzD ;
2) { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=π<<<=
zzwzzD 1
21 ,/4z arg0 ,2/1: ;
3) [ ){ } ,ln ,;0: zwzzD =+∞∉=
••h Re z
Im z
0
D
![Page 72: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/72.jpg)
72
23 , ;4 ,1 02020101
iwiziwz π=−=π== ;
4) { } 1 ,2z Re 1: 2 +=<<= zwzD ;
5) 1, ,0 ,11
: 2
2
2
2>
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
><−
+= aya
yaxzD ( ) 1 ,0 2 −+==+ zzwiiw .
2. Доказать: zzz
−+
=11ln
21arth . Вычислить: (1+i)i; 8 1−i ; arccos 2.
3. { }0z Im ,1: ><= zzD ; { }0 wIm: >= wG . GD f⎯⎯ →⎯ =? .
Вариант 3 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }1
,4/arg0:z-zwzzD =π<<= ;
2) { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=π<<π<=
zzwzzzD 1
21 ,2/arg/4 ,1: ;
3) { } zwzzD sin ,2z Im0 ,2/Re2/: =<<π<<π−= ; 4) [ ]{ } ( ) iwzwzzD π−=+−=∉<= 01 ,ln ,0;1z ,1: ;
5) { } 1 ,8/arg0 ,2: 3 −=π<<== zwzzzD . 2. Доказать: ( )( ) yxx ch coscosRe ⋅= ; ( ) yyz sinsh ch Im ⋅= . Найти все значения функций: arcctg 3; )ln( i− .
3. { }0 Im:? >=⎯⎯ →⎯ = wwGD f .
Вариант 4 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }31 ,0Re ,21:
+−
=><+=zzwzzzD ;
2) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∉<<=
zzwzzD 1
21 ,1;
41z ,1
41: ;
3) z
wzzD 1,4рargz0,
41: =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<>= ;
2i
(z)
-2ix
y
![Page 73: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/73.jpg)
73
4) [ ] 1, ,1;1 ,11
: 2
2
2
2>
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−∉<−
+= aza
yaxzD
;1,0)i( 2 −+=−=+ zzwiw
5) { }22
3 , , ,0Im: 003 iwizzwzzD +−===>= .
2. Доказать: x
z2cos2ych
2ysh ctg Im−
−= . Вычислить: )3arccos(− ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+
ii
11ln .
3. ( ] [ ){ }+∞∪−∞−∉= ;42;z:zD ; { }0 Im: >= wwG . GD f⎯⎯ →⎯ =? .
Вариант 5 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }21 ,1Re0:
z-z-wzzD =<<= ;
2) { } zwzzD ch ,Im0: =π<<= ; 3) { } 2 , ,9: zwyxzzD =<<= ;
4) ( ) iwzwzzzD =−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π5
<<π
>= 1 , ,4
arg4
3 ,1: ;
5) [ ]{ } ( ) iр-wzwzzzD −=+=∉<= 01 ,ln ,1;0 ,1: .
2. Доказать: iziz
iziziiz
−+
=−+
=11ln
21ln
2 arctg .
Решить уравнение: izz =− cossin . 3. { }0 Im:? >=⎯⎯ →⎯ = wwGD f .
Вариант 6
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=π<<π>=
zzwzzzD 1
21 ,4/3arg/4 ,2: ;
2) { } zewzzzD =π<<<= ,2/Im0 ,1Re: ;
3) { }z
zwzzD 1 ,1Re0: −=<<= ;
•
•
2i y
• ••
(z)
x 2 D
![Page 74: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/74.jpg)
74
4) { }2
12
, ,0 Im ,1: iiwzwzzzD +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=><= ;
5) [ ]{ } ( ) iwzwzzzD π−==−−∉<<= 21 ,ln ,2;4 ,42: . 2. Доказать:
( )1lnarcsin 2 −+−= zziiz . Найти все значения функций:
arcctg 2i; ( ) ( )π≤ϕ<πϕ+ϕ -i ,sincosln .
3. { }0 Im:? >=⎯⎯ →⎯ = wwGD f .
Вариант 7 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π<<π<=
23arg,2: zzzD ,
21−
=z
w ;
2) { }0Im: >= zzD , ( ) 0=∞+ iw , 12 −+= zzw ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∉π<<
π<=
2;0,
32arg
3,1: izzzzD , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ><<−= 0Im,
21Re
21: zzzD ,
zw π= sin ; 5) { }π<−<<= 2,Im: 1221 aaazazD , zew = .
2. Доказать:
yxxz
2ch2cos2sintgRe+
= ;
Решить уравнение: iz =sin .
3. { }0Im?
>→=
wDf
.
Вариант 8 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) [ ]{ }iizzzD 2,,1: −−∉>= , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<
π−
π<<= 0Im
2,
2Re0: zzzD , zw sin= ;
0 1 2
-i -2i
x
y (z) D
•
-2i
y
•
• x 2
D
•
•i
1
![Page 75: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/75.jpg)
75
3) [ ]{ }1;: +∞−∉= zzD , zw = , ( ) 24 =w ;
4) { }0Im,21: <<−= zzzD , 31
−+
=zzw ;
5) { }),0[: ∞+∉= zzD , zw Ln= ; 2
310
iz −−= ,
310
0iw π
= , iz =0 ,
2
50
iw π= .
2. Решить уравнение: 2cossin =+ zz . Доказать: ( )1LnArch 2 −+= zzz .
3. { } { }0Re,1:0Im,11,11:?
>>=→>>+>−==
wwwGzzzzDf
.
Вариант 9 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ <<
π−=∉<= 0arg
3,1,0Im: zzzzzD ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
2) { }1,11: ><++= zizzD ; iz
zw++
=32 ;
3) { }0Im: <= zzD ; zw = , ( ) ( )0,1 0 =ϕ−=− iw ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<<=2
arg0,221: zzzD ; 12 += zw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
π<<
π= 0Im,
2Re
4: zzzD ; zw sin= .
2. Доказать: iziz artharctg −= . Вычислить: ( )1Ln,sinArc −i .
3. { } { }0Im:0Im,1: ? >=⎯⎯ →⎯>>= = wwGzzzD f .
Вариант 10 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ( ){ }4Re4Im,0Im: 2 +>>= zzzzD ; ( ) iwzw =−= 1, ;
2) { }1,11: <<++= zizzD ; 11
+−
=zzw ;
3) [ ){ }0Re,;1,1: >∞+∉>= zzzzD ; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<−
π<<= 0Im2,
4Re0: zzzD ; zw sin= ;
5) { }0Im,1: ><= zzzD ; ( )2
30,Ln iiiwzw π−=−= .
2. Вычислить: ( ) ei i Ln,1 1+− . Доказать: ziz arccosarch = .
![Page 76: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/76.jpg)
76
3. Найти дробно-линейное отображение такое, чтобы точки ( )1,0,1− пере-ходили в точки ( )1,,1 i− и образом нижней полуплоскости была внутрен-ность единичного круга с центром в начале координат.
Вариант 11 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }0Im,2: <>−= zizzD , z
w 1 ;
2) { }1Im2: −<<−= zzD , 2zw = ;
3) { }),2[,2: ∞+∉>= zzzD , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
≠=4
Arg:zD , 3 zw = ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
<<−=2
Im3
,0Re1: zzzD , zew = .
2. Вычислить: ii ; 1Ln ; i2Arcctg . Решить уравнение: ( ) 1Ln =+ iz .
3. { } { }2Re:2:?
>=→<−==
wwGizzDf
, ( ) 2=− iw , ( ) 30 =w .
Вариант 12 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }zzzD Re2Im: == , 33
+−
=zzw ;
2) [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∉π<<
π= izzzD ;0,
32arg
3: , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π<<=2
Im0,Re0: zzzD , zw cos= ;
4) ( ){ }1Re2Im: 2 +>= zzzD , zw = , ( ) iw −=−1 ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π<<
π<=
83arg
8,1: zzzD , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 .
2. Вычислить: ( )i21Arcth + , ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + i
i11Ln . Решить уравнение: ( ) 0ln =− zi .
3. { } { }1:0Im:?
<−=→<==
iwwGzzDf
.
Вариант 13 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
![Page 77: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/77.jpg)
77
1) { }4Im1: <<= zzD ; 11+=
zw ;
2) { }0Im: <= zzD ; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) { }0Re,Im: >π<= zzzD ; zw sh= ;
4) { }0Im: <= zzD ; ( )01, 0 =ϕ=−= izw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
π<<= 0Re,
2Im0: zzzD ; zew 2= .
2. Решить уравнение: iz =cos . Доказать: iziz arctgarctg −= .
3. [ ] [ ]{ } { }1:2;11;2,1: ? <=⎯⎯ →⎯∪−−∉>= = wwGzzzD f .
Вариант 14 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }3Re1: <<= zzD ; ( ) 11 ++= ziw ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
−<<π−<=2
arg83,1: zzzD ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) { }π<<<= zzzD Im0,0Re: ; zew = ;
4) [ ){ }∞+∉= ;1: zzD ; 11,1 33 −=−−= zw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=4
Re0: zzD ; zw ctg= .
2. Доказать: iziz artharcctg −= . Вычислить: ( )ei Ln,Arth .
3. ( ] [ ){ }∞+∪−∞−∉=⎯⎯ →⎯⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<= = ;11;:2
Im0: ? wwGzzD f .
Вариант 15
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }0Re,1: ><= zzzD ; 2
1+−
=z
zw ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ <<
π−=∉<= 0arg
4,1,0Im: zzzzzD ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<<=2
Im0,3Re1: zzzD ; zew = ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
<=3
arg3
2;1: zzzD ; 34
zw = ;
![Page 78: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/78.jpg)
78
5) 1,11
,11
: 2
2
2
2
2
2
2
2>>
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>−
+<−
+= bab
ybx
ay
axzD ;
при 1, 2 −+=<< zzwazb .
2. Вычислить: ( ) 1Arctg;1 ie− . Решить уравнение: 11ln =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
iz .
3. { } { }0Im:0,Re0: ? >=⎯⎯ →⎯><<= = wwGaazzD f .
Вариант 16 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }1Im0: <<= zzD , iz
zw−
= ;
2) ( ] ( ]{ }∞+∪∞−∉= ;10;: zzD , ( )2
,ln iiwzw π== ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
−π
<<π
−=4
Im4
,3
Re3
: zzzD , zw sin= ;
4) { }ezezzD <<<<= arg0,1: , 1ln += zw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π<<
ππ<<=∉>= zzzzzzD arg
43,
4arg0,1,0Im: , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 .
2. Вычислить: iei,sinArc . Решить уравнение: iz =ch .
3. { } { }1:0Im: ? <=⎯⎯ →⎯>= = wwGzzD f ,
( ) ( ) ( ) ( ) 02arg,02,2
arg,0 =′=π
−=′= iwiwiwiw .
Вариант 17
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }2Im1: <<= zzD , 12
−+
=z
izw ;
2) { }π<<<<∞−= zzzD Im0,0Re: , zew = ; 3) { });1[: ∞+∉= zzD , 3 1−= zw , 113 −=− ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=4
Re0: zzD , zw ctg= ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
−<<π−<=8
arg83,
43: zzzD , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 .
2. Доказать: iziziz
+−
= Ln2
Arcctg . Решить уравнение: 01cos2 =−z .
![Page 79: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/79.jpg)
79
3. ( ) ( ){ }π=′=<=→⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<==
1arg,01,1:4
arg:?
wwwwGzzDf
.
Вариант 18
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }21: <−= zzD , 3
2+
=z
izw ;
2) { }1Im0: <<= zzD , 2zw = ;
3) [ ]{ });1[1;2,1: ∞+−−∉>= UzzzD , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>α
−α
= 1sincos
: 2
2
2
2 yxzD , 12 −+= zzw , ( ) 0=∞+w (2
0 π<α< );
5) { }0,2,0Im,0,Re0: <π<<<><<= bbzbaazzD , zew = . 2. Доказать: yxz sinshchIm = .
Найти все значения функций: 10arcsin ; ( )1Ln ; 31− .
3. { } { }0Im:0Re,0Im,1:?
<=→>><==
wwGzzzzDf
.
Вариант 19 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }),1[: +∞∉= zzD , 3 1−= zw , 113 −=− ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=4
Re0: zzD , zw ctg= ;
3) { }π<<<= zzzD Im0,0Re: , zew = ; 4) { }ezezzD <<<<= arg0,1: , 1ln += zw ;
5) { }0Re,0Im: <<= zzzD , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 .
2. Вычислить: iπ1 , ( )i2Ln , ( )i+2cos . Решить уравнение iz π=sin .
3. [ ] { }0Im1,210;1,1
?<=→
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈<=
=GzzD
fU .
Вариант 20
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }0Im,0Re,2: ><>= zzzzD , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
![Page 80: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/80.jpg)
80
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=2
Re0: zzD , zw cos= ;
3) { }0Im,0Re,1: <><= zzzzD , 122++
=z
zw ;
4) { }0Re,9: <<= zzzD , zw = , i=−1 ( 00 =ϕ );
5) { }π<<= zzD Im0: , zw cth= .
2. Доказать: iziz arsharcsin ⋅−= . Решить уравнение: 02sinsin =+ zz .
3. { } { }0Im0),,[,0Im:?
>=→>∞+∉>==
wGaiiazzzDf
.
Вариант 21 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<
π−
π<<= 0Im
4,
4Re0: zzzD , zw sin= ;
2) { }1Re0,2: <<<= zzzD , 11
−+
=zzw ;
3) { }0Im: >= zzD , 12 −+= zzw , ( ) iw −=0 ;
4) { }0Re,Im0: >π<<= zzzD , zw cth= ;
5) { }δ<<γβ<<α= zzzD Im,Re: , π≤γ−δ 2 , zew = .
2. Доказать: iziz arcsinarsh ⋅−= . Решить уравнение: 11ln =+i
z
3. { } { }0Im),0[,Re:?
>=→π∉π<<π−==
wGzzzDf
.
Вариант 22 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }),0[: +∞∉= zzD , 3 zw = , ( ) 11 −=−w ;
2) { }],(),,[: iiziizzD −∞−∉∞+∉= , zw Arsh= ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=4
Re0: zzD , zw tg= ;
4) [ ]{ }2121 ,,: rrzrzrzD ∉<<= , zw ln= ;
5) { }21 <<= zD , 1−
=z
zw .
![Page 81: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/81.jpg)
81
2. Решить уравнение: 01cos2 =−z . Вычислить: ( ) 12 +− i , ( )i2Arsh , ( )i32Ln − .
3. { } { }0Im:0Im:?
>=→>==
wwGzzDf
, ( ) 10 =w , ( ) 21 =w , ( ) ∞=2w .
Вариант 23 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }1,Re2Im: <<= zzzzD , 33
+−
=zzw ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=2
Im0: zzD , zw ch= ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
−=4
arg4
: zzD , 3 zw = , 113 = ( π−=ϕ0 );
4) { }0Im,1: ><= zzzD , 1
1+
=z
w ;
5) { }π≤α<<<= 2Im0,0Re: zzzD , zew = .
2. Доказать: ( )iziz +⋅−= tgth . Вычислить: ( ) ii −+ 11 , iz π=sin , zw tg= .
3. [ ]{ } { }0Im:0,,0,0Im:?
>=→>∉>==
wwGhihzzzDf
.
Вариант 24 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }2Re0,1Im0: <<<<= zzzD , 2zw = ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >><<= 0Re,0Im,1: zzRz
RzD , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) { }1: <= zzD , 1+
=z
zw ;
4) { }]1,(,0Re: −−∞∉<= zzzD , zw arcsin= ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
π<<= 0Im,
2Re0: zzzD , zw cos= .
2. Найти: ( )12Ln +i , ( )i1− , ( ) 21+ . Решить уравнение: iz =ch . 3. Найти дробно-линейное отображение, которое область { }0Im: <= zzD отображает на область { }1: <= wwG так, что множество ( )1;0;1− пере-ходит в множество ( )1;;1 i− .
![Page 82: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/82.jpg)
82
Вариант 25 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<<=8
arg0,21: zzzD , z
zw 1+= ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π=2
3Re: zzD , zw sin= ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎢⎣⎡∉<= iizzzD ,2
,1: , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) { }0Im: >= zzD , 3 zw = , ( )22
3 iiw +−= ;
5) { }π<<= 2Re0: zzD , zw tg= . 2. Найти: ( )i+2ln , 2/1 iπ , 1+ie . Решить уравнение: iz π=sin .
3. { } { }π<<=→<−>−==
wwGzzzDf
Im0:44,22:?
.
![Page 83: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/83.jpg)
83
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексной переменной. М., 1977.
2. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. М., 1978. 3. Лаврентьев М. А., Шабат В. В. Методы теории функций комплексной пере-
менной. М., 1973. 4. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций
комплексной переменной. М., 1989. 5. Евграфов М. А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций. М.,
1972. 6. Долженко Е. П., Николаева С. И. Теория функций комплексной переменной.
М., 1983.
![Page 84: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙe-maxx.ru/sgu/files/tfkp_3_1_metodichka.pdf · 5.3. Ряд Лорана ... в степенной ряд производится](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020214/5b1c4ff97f8b9af2348b7a51/html5/thumbnails/84.jpg)
84
Учебное издание
Борисова Лариса Владимировна, Новиков Владимир Васильевич, Тышкевич Сергей Викторович, Шаталина Анна Васильевна
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие для студентов
механико-математического, физического и геологического факультетов
Издание второе, исправленное и дополненное
Библиотека "Основы математики"
Выпуск 26
Ответственный за выпуск О. Л. Б а г а е в а Технический редактор Л. В. Аг а л ь ц о в а
Корректор Г. А. Р о г о в а
Подписано в печать 29.11.2004. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 4,88(5,25). Уч.-изд. л. 4,2. Тираж 600 экз. Заказ
Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.
Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.