3 Lorem ipsum dolor rutur amet. Integer id dui sed odio imperd feugiat et nec ipsum. Ut rutrum massa non ligula facilisis in ullamcorper purus dapibus.

함수와 방정식

19

데카르트 좌표 Cartesian Coordinate

수직선 Y-축, 수평선 X-축이 만나는 점을 원점으로 (오른쪽, 위쪽)은 +, (왼쪽, 아래쪽)은 - 값으로 점을 이차원 공간에 표현

• x-축으로 a, y-축으로 b만큼 떨어진 점을 좌표 (a, b)로 표현

• 사분면 Quadrant - 이차원 공간을 4개의 부분으로 나눔

증가, 기울기

• 증가(increment)는 순 변화를 (net change) 의미하며 좌표 P로부터 Q까지 움직였을 때 좌표의 증가는 Δx = (x2 − x1), Δx = (y2 − y1) 이다.

• 수직선이 아닌 직선의 기울기(slope)는 m = r iseru n

= ΔyΔx

= (y2 − y1)(x2 − x1)

• 직선의 기울기는 직선 좌표에서나 동일하다.

• 수평선의 기울기는 0이고 수직선의 기울기는 정의 불가

거리 Euclidean Distance

좌표에서 두 점 (P, Q) 사이의 거리(distance)는 다음과 같이 정의한다.

PQ = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

경사각 Angle Of Inclination

직선의 경사각은 다음과 정의되므로 기울기 m = tan(θ ) 이다.

섹션 1

함수

20

삼각함수 (빗변 hypotenuse, 밑변 adjacent 높이 opposite)

평행과 수직

• 두 직선의 기울기가 동일하면 두 직선은 서로 평행(parallel)

• 두 직선의 기울기의 곱이 –1이면 두 직선은 서로 수직(perpendicular)

• 수평선과 수직선은 서로 수직이다.

직선 방정식

직선의 방정식은 직선의 모든 점의 좌표에 의해 만족되고 직선 외의 점 좌표에서는 만족하지 않는다.

• 직선 방정식 : y = a + bx , 상수 a는 절편 intercept, 상수 b는 기울기 slope

• 특수 방정식 x = a, ( a, y )을 통과하는 수직선(vertical line)이다.

• y = b : ( x, b )를 통과하는 수평선(horizontal line)이다.

▣ 점-기울기 방정식

직선의 기울기가 m이고 직선의 한 좌표가 (x1, y1) 이면 직선의 방정식 (y − y1) = m(x − x1)

21

▣ 점-점 방정식

▣ 기울기-절편 방정식

직선의 기울기가 m이고 절편(intercept)을 a라 하면 직선 방정식은 y = a + m x 이다. 절편은 직선이 y축과 만나는 점의 y축 좌표이다.

빛은 직선 따라 들어와 지면에 들어온 각도대로 반사된다고 한다. 반사되는 빛의 경로에 대한 직선 방정식은?

경사각이 10%인 도로가 있다. 지상에서 차가 출발하여 5km 올라갔다. 지상으로부터 얼마 높이에 있는가?

두 함수 x + y = 1, 2x + k y = 1은 수직이라 한다. k를 구하시오.

x + 2y = 3와 2x − 3y = − 1 의 교차점(intersection)과 P = (1.2) 을 지나는 직선 방정식을 구하시오.

22

함수 Function와 그래프 Graph

정의(함수) f : X → Y

• x가 가질 수 있는 값의 집합인 정의역 혹은 영역(domain) 집합으로부터 공역 혹은 치역(range)인 y가 가질 수 있는 값의 집합으로의 함수(function)는 정의역 각 원소(값)에 단 하나 (single) 공역 원소(값)를 할당하는 규칙을 의미한다.

• y = f (x) 라 쓰고 “y는 x의 함수이다(y is a function of x)”라고 말한다.

(예제1) 화씨 온도를 (Fahrenheit) 섭씨 온도로 (Centigrade) 바꾸는 식? C = 5

9 (F − 32), C = f (F ) - 정의역은 {F; − ∞ < f < ∞} 으로 F(화씨 온도)가 가질 수 있는 온도 값이고 치역은 C가 가질 수 있는 온도 값으로 {C; − ∞ < c < ∞} 이다.

(예제2) 아이 IQ(Y)는 엄마 IQ(X)에 의존할 가능성이 있다. 만약 y의 값이 전적으로 x에 의해서만 결정된다면 y는 x의 함수이라 (function) 한다- CIQ = f (MIQ) . 그러나 아이 IQ는 전적으로 엄마 IQ에만 의존하는 것은 아니므로 이를 다루는 회귀분

석에서는 CIQ = f (MIQ) + e (통계모형) 관계를 다룬다. 여기서 오차 e는 백색잡음(팬턴 없음)인 정규분포를 따른다고 가정한다.

정의역 domain 공역 range

대부분의 정의역과 공역은 구간(Interval)으로 되어 있으며 가질 수 있는 가능한 모든 값들의 모임이다. 구간의 양 끝 값을 경계 값(boundary point) 이라 하고 구간 내의 값은 내부 값(interior point)이라 한다.

• Open interval (열린 구간)- (a, b)-구간의 양 끝 값을 모두 포함하지 않는다.

• Closed interval (닫힌 구간)- [a, b]-구간의 양 끝 값을 모두 포함한다.

• Half-open interval (반 열린 구간)- [a, b) -한쪽 값만 포함한다.

23

함수 그래프 그리기

함수 y = f (x)의 관계를 2차원 공간(x-축, y-축) 좌표에 표현한 것을 그래프라 하는데, 정의역 값을 X-축에 그에 대응하는 값을 Y-축에 나타낸 좌표 점들을 연결하여 놓은 것이다.

(예제) y = x2, − 2 ≤x ≤2

• [STEP1] 계산이 용이한 x값을 선택하여 x = ( − 2, − 1, 0, − 1, − 2), y값을 y = (4, 1, 0, 1, 4) 구한다.

• [STEP2] 2차원 공간에 좌표를 표시한다.

• [STEP3] 좌표를 연결하여 그래프를 그린다.

(예제) y = 4 − x

• [STEP1] 함수의 Domain을 결정해야 한다. Root 안의 값은 0보다 커야 하므로 4 − x ≤0, 즉 4 ≤x 이 함수의 Domain은 이다.

• [STEP2] 계산이 용이한 x값을 선택하여 y값을 구한다.

• [STEP3] 좌표를 연경하여 그래프를 그린다.

다음 함수를 그리시오.

① y = − 1x2 + 2 ② y = − 1

x+ 3

③ y = 12π

e− x22 , − 6 < x < 6

함수의 합성 Composition Of Functions

[정의] 두 함수 f : X → Y, g : Y → Z라 할 때, 두 함수의 합성 함수는 g ∘ f : X → Z이다. (즉) g ∘ f (x) = g ( f (x))

*) f의 공역이 g의 공역과 일치해야 한다.

예제 : f (x) = 2x − 1, g (x) = x

g ∘ f = 2x − 1 f ∘ g = 2 x − 1

24

f (x) = x + 2, g (x) = 1x − 2인 경우 g ∘ f (x)의 정의역(domain) 을 구하시오.

역함수 Inverse Function

(정의) f −1(y), y의 역함수

1) y = f (x) = 3(x − 1) + 12) 좌변과 우변을 교환하고 좌변에 x만을 남기고 우변을 정리한다.

3) 3(x − 1) + 1 = y => x = (y − 1)/3 + 14) f −1(y) = (y − 1)/3 + 1 : 역함수

25

우함수(even Function)와 기함수(odd)

• 만약 f ( − x) = f (x) 이면 함수 f (x) 는 우함수(even function)라 한다 - y-축 기준 데칼코마니

• 만약 f ( − x) = − f (x)이면 함수 f (x)는 기함수(odd function)라 정의 - y = − x 기준 데칼코마니

• (참고) 역함수 y = f (x) ⇒ f −1(y) = f −1 f (x) = x - y = x 기준 데칼코마니

•

연습문제

1) 다음 함수 형태가 우함수 , 기함수, 일반 함수(Neither)인지 밝히시오.

(1)y = x + x3 (2)y = x + x2 (3)y = xx2 − 1

(4)y = 1x − 1 (5)y = x2

x2 − 1

2) f (x) 기함수, g (x) 우함수 일 경우

(1)두 함수의 곱은 어떤 함수?

(2)두 함수의 합은?

3) f (x)기함수, g (x) 기함수 일 경우

(1)두 함수의 곱은 어떤 함수?

(2)두 함수의 합은?

4) 다음 마술을 함수로 나타내 보시오. 마음으로 숫자(x)를 생각하시오. “그 숫자에 5를 더하고 2를 곱하시오. 결과에 6을 빼고 2로 나눈 후 2을 다시 2를 빼시오. 이제 숫자를 말하시오. “참여자가 5라고 말했다” 이 마술에서 숫자를 어떻게 맞출 수 있을까?

구간함수 Interval Function

정의역의 구간에 따라 다른 함수 형태를 갖는 함수를 구간 함수(function defined in pieces)라 한다

26

절대값 함수

임의의 실수 x의 절대값은 x 로 표현하고 다음과 같이 정의한다.

x = { x i f x ≥0−x i f x < 0

실수 a, b에 대하여 (1) −a = a , (2) ab = a b

절대값 수식

(1) | − a | = |a | (2) |ab | = |a | |b | (3) |a /b | = |a ||b |

절대값과 구간 - a는 실수, D는 양의 실수

(1) a ≤D ⇔ − D ≤a ≤D

(2) a ≥D ⇔ a ≤− D, a ≥D

삼각 부등식 triagular ineqaulity

a + b ≤ a + b (만약 a, b의 부호가 같으면 =, 그렇지 않으면 < 성립

연습문제

5) 다음 방정식의 해를 구하시오.

(1) 2x − 3 = 7

(2) x /2 − 1 = 1

6) 다음 부등식을 만족하는 x 의 구간을 구하시오.

정수함수 Intger Function

, x를 넘지 않는 최대정수

27

정의

• 방정식(equation)은 미지수(unknown)가 포함된 식으로 미지수에 특정한 값에 따라 참/거짓이 결정되는 등식

• 방정식을 참이 되게 하는 특정 문자의 값을 해 solution 또는 근 root

• 방정식의 해는 (1) 없을 수도 있고 2x2 + x − 4 (no solution, 불능), (2) 한정된 개 수일 수도 있고(항등식), (3) 모든 값일 수도 있음(부정 infinite)

직선 방정식 y = a + m x

(x, y)는 변수, (절편 intercept a, 기울기 slope m)은 상수 constant

• m = ΔyΔx

• 직선 상의 모든 점은 (x0, y = a + m x0)으로 표현된다.

다항 방정식 Polynomial Equation

• P(x) = a1xn+ a2xn−1 + ⋯ : n이 2보다 큰 정수이거나 소수인 경우 - 비선형 nonlinear 이라고 한다.

• P(x) = 0을 구한다.

일차 방정식 : 최고차 항의 차수가 1 a x + b = 0

• (x)는 변수, (a, b)은 상수 constant

• 해 : x = − ba

(항상 존재, a ≠0)

2차 방정식 a x2 + bx + c = 0

• 근의 공식 - x = −b ± b2 − 4ac2a

• 해를 가질 조건 - 판별식 b2 − 4ac > 0

• 인수분해 Factoring : (a x + b)(cx + d ) = acx2 + (ad + bc)x + bd

• 근의 공식의 제곱근 안의 결과가 음인 경우 허수 i = −1

x2 − 6x + 8 = 0 의 해를 구하시오.

(순서1) 상수를 곱으로 표현한다, (1, 8), (2, 4)

(순서2) 두 숫자를 더하거나 빼서 1차항 x의 계수(6)를 만들 수 있는지 계산한다.

(순서3) (-2)X(-4)=8

(순서4) (x − 2)(x − 4) = 0

섹션 2

방정식 Equation

28

(연습문제) (1)x2 − 3x − 4 = 0 (2)x2 + x − 4 = 0

3차방정식 ax3 + bx2 + cx + d = 0

인수분해를 활용하여 1차식과 이차식으로 분해하여 해를 구한다.

1) 우선 ± 1 넣어 방정식이 0을 만족하는지 본다.

2) ± (상수 d의 약수)/(고차항 계수 a의 약수) 넣어 본다.

2x3 + 3x2 − x − 2 = 0 해를 구하자

1) ± 1 중 -1이 방정식을 만족하므로 위의 방정식을 (x + 1) 항으로 인수분해가 가능하다.

2) (2x3 + 3x2 − x − 2)을 (x + 1)으로 나누어 보자. (다음 조립제법)

해 : (-0.78, -1, 1.28)

4차방정식 ax4 + bx3 + cx2 + d x + e = 0"

http://mathbang.net/341

29

Newton-Rahpson : {x; f (x) = 0}

f ′�(x1) = f (x1)(x1 − x2) ⇒ x2 = x1 − f (x1)

f ′�(x1)⇒ xn+ 1 = xn− f (xn)

f ′�(xn)

만약 f (xn+ 1) ≈ 0 => xn+ 1이 해가 된다.

Secant Method : {x; f (x) = 0}

Brent's Method

Brent (1973) proposed a small modification to avoid this problem. He inserted an additional test which must be satisfied before the result of the secant method is accepted as the next iterate.

if the previous step used the bisection method, the inequality

30

예제 f (x) = x4 + x3 − 3x2 − x + 2

그래프 그리기 - 시각적 표현, 함수 해? 최대, 최소 등

함수 그래프를 보고 해가 존재할 것 같은 값의 범위나 부근 값을 초기 값으로 예상하여 넣는다.

• 방정식 해 = (-2.095, -0.738, 0.4773, 1.356)

np.roots 함수 사용 (다항식 가능) 위와 동일함

섹션 3

EQ in Python

31

연립방정식

2개 이상의 미지수와 함수를 가진 방정식

(1 2 00 3 22 0 3) (

xyz) = (

415317)

linalg 모듈이용

서로 독립인 방정식의 개수(행렬의 rank)와 미지수의 개수가 같아야 유일 해가 존재한다. 만약 rank가 미지수보다 작으면 다수의 해가 존재하거나 해를 구할 수 없다.

파이썬 코드

def f(x): return x**4 + x**3 - 3*x**2 -x +1

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx = np.linspace(-2.5,2,100)plt.plot(x, f(x))plt.axhline(0,color='k')plt.show()

from scipy.optimize import brentq, newtonbrentq(f, -3, -2), brentq(f, -1, 0), brentq(f, 0, 1), brentq(f, 1,2) #brentq method

newton(f, -2), newton(f, -1), newton(f, 0), newton(f, 1) #secant method

fprime = lambda x: 4*x**3 + 3*x**2 - 6*x -1 #Newton Raohson Methodnewton(f, -2, fprime), newton(f, -1, fprime), newton(f, 0.5, fprime), newton(f, 1.5, fprime)

import numpy as npnp.roots([1,1,-3,-1,1])

import numpy.linalg as laa = np.array([[1,2,0], [0,3,2], [2,0,3]])b = np.array([41,53,17])la.solve(a, b)

la.matrix_rank(a) #full rank?

la.inv(a)@b #solution

4 Although implicit in the development of calculus of the 17th and 18th centuries, the modern idea of the limit of a function goes back to Bolzano who, in 1817, introduced the basics of the epsilon-delta technique to define continuous functions. [위키피디아]

극한 Limit

33

함수 극한 (Limits Of Function Values)

[정의] 임의의 ε > 0 가 주어졌을 때, 모든 x 에 대해 0 < x − a < δ 을 만족하는 δ > 0가 존재한다고 하자. 위의 조건을 만족하는 경우 x 가 a에 가까워지면 (접근하면, approach) 함수 f (x) 극한은 존재하며 극한값은 L => lim

x→af (x) = L

3)우극한 right-hand limit, 좌극한 left-hand limit

• x 가 우측에서 c 에 접근할 때 극한 값을 우극한(right-hand limit)이라 한다. lim

x−> c+f (x)

• x 가 좌측에서 c 에 접근할 때 극한 값을 좌극한(right-hand limit)이라 한다. lim

x−> c−f (x)

• (정리) 좌극한과 우극한 값이 L로 동일하면 함수 f (x)는 c에서 극한이 존재하고 극한값은 L이다 .

다음 각 4개 점에서 우극한, 좌극한, 극한값을 구하시오.

x = 0, 1, 2, 3

섹션 1

정의

34

극한값 구하기 규칙 limx→c

f (x) = L1, limx→c

g (x) = L2

L’Hopital’s Rule

분수함수의 극한 값을 구할 때 분모가 0이 되는 경우 사용되는 규칙이다.

섹션 2

극한값 구하기

35

무한대 있는 극한 : 상수 a > 0

(1) limx→± ∞

1x

= 0 (2) limx→± ∞

x = ± ∞ (3) limx→0

ax

= ∞

삼각함수 극한

로그 및 지수 극한

36

연속 함수 (continuous Function)

정의

만약 함수 f (x) 가 x = c 에서 다음이 성립하면 함수는 x = c 연속이다.

(1) f (c) 가 존재한다.

(2) limx→c

f (x) 극한 값이 존재한다.

(3) limx→c

f (x) = f (c)이다.

연속함수와 미분

• 미분 가능하면 연속함수이지만, 연속함수라고 미분 가능한 것은 아니다. 위의 그래프에서 x = 3 에서는 연속이나 미분 가능하지는(꺾인 점) 않다.

• 함수 f (x), g (x)가 연속이면 f (g (x)), g ( f (x)) 모두 연속이다.

섹션 3

극한과 연속