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Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
M.D 07.09.2006 22:51:00
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Formel-sammlung
Physik
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
M.D 07.09.2006 22:51:00
Inhalt 1. Kinematik 2. Kinematik der Drehbewegung 3. Massenanziehung, Gravitation 4. Der Impuls 5. .... Mechanik der Flüssigkeit 30. Wärmelehre 31. Schwingungen 47. Grundlagen der Elektrotechnik 48. Elektrostatik 49. Magnetismus 50. R-L-C Elemente 51. Schwingkreise 52. Wirk-Schein-Blindleistung 53. Transformator 54. Motoren 55. Stromversorgungen 56. Halbleiter 57. Bipolar Transistor 58. FET-Schaltungen 59. Operationsverstärker 60. Dreiphasen-Systeme 61. (Batterien) noch zu machen 62. Vierpolparameter
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 1. Kinematik
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1.1.4 Der freie Fall 1. Kinematik s
t
vg
t
a
t
1. Mechanik s g t
2
2=
⋅ - Kinematik Beschreibt den Ablauf der Bewegung
- Dynamik - Statik: Kräfte an ruhigen Körpern v g t= ⋅ - Kenetik: Zusammenhänge von Kinetik und Bewegung
1.1 Kinematik
1.1.1 Gleichförmig, Geradelinige Bewegung v :Geschwindigkeit [ m/s ] s :Weg [ m ]
v st
=ΔΔ
a vt
=ΔΔ
sv
t
v
t
a
t v :Geschwindigkeit [ m/s ] s :Weg [ m ] t :Zeit [ s ] a :Beschleunigung [ m/s2 ]
t :Zeit [ s ] g :9.91 [ m/s2 ]
1.1.5 Der senkrechte Wurf
s
s’
t’ t“
vSteigzeit:
t’ t“
v0
t
a
t
t =vg0
Steighöhe: 1.1.2 Gleichmässig beschleunigte bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit s v t v
g' '= =⋅⋅
0 02 2
s a t2
2=
⋅
v a t= ⋅
sv
½ a t2
t
v
½*at*tv
v=a*t
t t
a
a*t
t
v :Geschwindigkeit [ m/s ] s :Weg [ m ] t :Zeit [ s ] a :Beschleunigung [ m/s2 ]
Flugzeit: t"= 2 v
g0⋅
1.1.6 Der horizontale Wurf
y y atx x v t= += + ⋅
012
2
0
rvx0
y0
y
x
1.1.3 Gleichmässig beschleunigte bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit 1.1.7 Der schiefe Wurf
( )( )
y v t a t
x v t
p y
p
= ⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅
0 012
2
0 0
sin
cos
α
α
rv a
α0 xp
x0
y0
yp
s s v ta t
20 0
2
= + ⋅ +⋅
v v a t0= + ⋅
sv
t
va
v a*t v=v0+a*t
vo
t t
a
a*t
t v :Geschwindigkeit [ m/s ] s :Weg [ m ] t :Zeit [ s ] a :Beschleunigung [ m/s2 ]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 2. Kinematik
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2. Kinematik der Drehbewegung 2.3 Ungleichförmige Kreisbewegung 2.1 Gleichförmige Drehbewegung Mittlere Bahnbeschleunigung
Mittlere Bahnbeschl.=Änderung der Bahngeschwindigkeit
dazu benötigte Zeit
Bahngeschwindigkeit bei
r rv v v1 2= = gilt:
v = dsdt
v r n= ⋅2π n: Drehzahl [s-1] v: Geschwindigkeit [m/s] s: Strecke [m] t: Zeit [s]
Δs
r
rv1
rv2
t1t2t t t12 = + Δ
a tvt= Δ
Δ
Bahnbeschleunigung
att
vt=
→limΔ
ΔΔ0
Die Richtung der Bahnbeschleunigung ist tangentiel zur Kreisbahn. Mittlere Winkelbeschleunigung
Mittlere Winkelbeschl. =Änderung der Winkelgeschwindigkeit
dazu benötigte Zeit
α ω= ΔΔt
Winkelbeschleunigung Bahnbeschleundigung
r r
a v= ddt
Bem: Der betrag bleibt konstant. Nur die Richtung ändert sich.
rv1
rv2
v v vv v v
1 2
2 1
= =
= +r r r
ΔΔrv
α ω=→
lim tΔ
ΔΔt 0
Kennzeichnung des Drehsinnes
Radialbeschleunigung
r r
arv= d
dt rv const=
arvr
vr2
= = ⋅ =dvdt
dsdt
a v rrvr
22= = =ω ω
Die Radialbeschleunigung der Kreisbewegung steht immer senkrecht auf der Bahn-geschwindigkeit und zeigt in radialer Richtung auf den Kreismittelpunkt.
Δs
r
rv1
rv2
t1t2 t t t12 = + Δra r
ra r
2.4 Drehzahlmessung mittels Stropkop
Situation Eine Drehscheibe mit k markierungen wird mit einem Strophoskop abgeblitzt. Dabei gibt es blitzfrequenzen bei dem das Rad stehenbleibend zu scheint. Um die Drehzahl festzustellen braucht es zwei benachtbarte Blitzfrequenzen.
n f fk f f= −
1 2
1 2( )
2.2 Drehzahl und Winkelgeschwindigkeit
[ ]1s
Drehzahl
n Nt= n 1
T=
v = = ⋅2π πrT 2 r n
n: Drehzahl
N: Zahl der Umdreh. T: Zeit für 1 Umdreh
T
r
Mittlere Winkelgeschwindigkeit
ϖϕ
=ΔΔt
Mittlere Winkelgeschwindigkeit =gesamte überstrichener
dazu benötigte Zeit∠
ϖ :rad/sec=1/sec ϕ Momentane Winkelgeschwindigkeit :rad
ω ϕ=→
limΔ
ΔΔt t0
t :sec
ω ππ= =2 2T n
Bahngeschwindigkeit Mittlere Bahnbeschl.=
gesamte überstrichener Winkeldazu benötigte Zeit
v T= =2π ω r r
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 2. Kinematik
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2.5 Dynamik der geradlinigen Bewegung 2.6 Arbeit,Leistung,Energie
Drehmoment r
r r
M r F= × rr
rF
F: Drehmoment [Nm] r: Radius [m]
W: Arbeit [Nm] = [J] Arbeit
Federkraft
r rF D x= − ⋅F
D: Federrate
Beschleunigungskraft r
rF m a= ⋅
m: Masse [Kg]
Gewichtskraft r
rF m g= ⋅
F: Kraft [N]
Haftreibung
F FR N= ⋅μmax
μ: Haftreibungskoeffizent FN: Normalkraft [N]
Gleitreibung
F F=R N⋅μ ' μ<μ’
μ: Gleitreibungskoeffizent
Rollreibung
NF FR r= ⋅μ
μr r≈ 1
μrfr=
μr: Rollreibungskoeffizent f: Rollreibungslänge [m] BEM: Hängt von der Beschaffenheit und der
Kontaktfläche sowie vom Radius des Rades ab.
W Fr
sr s: Weg [m] = • F: Kraft [N]
m: Masse [Kg] Hubarbeit
W F h mgh= • =r
h
m
m
r g: 9.81 [m/s] r h: Hoehe [m] F
Reibungsarbeit r
W F s F sr N= • = ⋅r F
r
s
mm
Beschleunigungsarbeit r
F
W mB = ⋅2
2V1sv=0 v>0
mm
Elastische Verformungsarbeit
Δ ΔWi s=F F+
⋅1 2
2
W Wii
=∑Δ
TIP: Fläche unter der Kurve
F
D
sa
Ruhelage
sa
Δs
F
F1
F2
s
P: Leistung [J/s] = [W] Leistung
P Wt
=ΔΔ
Wirkungsgrad
η =W
N
A
W oder η =
PP
N
AWN
NutzarbeitAufgenomenearbeit
WA 0<η<1
Spannungsenergie (pot. Energie) Energie
Kinetische Energie
E mk = ⋅12
2v
Portentielle Energie E m g hp = ⋅
E D sp = ⋅21 2
Enegiesatz der Mechanik Δ Δ ΔW E Ep k= +
E [Nm] = [J]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 3. Gravitation
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3.3 Potentielle Energie 3. Massenanziehung,Gravitation Bezüglich der Oberfläche siehe Hubarbeit 3.1 Gravitationsgesetz [Benedetti 9.03] Bezüglich eines unendlich Weit entfernten Punkts und einem Punkt im Abstand r.
Fm m
r= γ 1 2
2
F : Gravitationskraft [N] m1,m2 : Beliebige Massen [kg] r : Abstand [m] γ : Gravitationskonstante 6,68E-11 m3/(kg s2)
m1
m2
r
Schwerbeschleunigung auf der Erde
gmr
E= γ 2
me : Masse Erde [kg]r : Radius von Zentrum [m]γ : Gravitationskonstante [m3/(kg s2)] Siehe auch Mende Simon p.88
Anziehungskraft in Homogener Kugel
Fm m r
R=
⋅ ⋅γ 1
3
Schwerbeschleunigung inherhalb einer Homogenen Kugel
gm rR
=⋅
γ 13
m1
R
r
m
rF
F : Kraft [N] m1 : Masse der Kugel [kg] m : Testmasse [kg] R : Radius der Kugel [m] r : Abstand der Testmasse vom Zentrum m1 [m]
3.1.1 Geostationäre Bahn
rmp=
⋅γ
ω23
ω : Winkelgeschwindigkeit [1/s] γ : Gravitationskonstante mp : Masse des Planeten [kg]
3.2 Hubarbeit Energie im Homogenes Kraftfeld
W F h mgh h = ⋅ =
m : Masse [kg]g : Schwerebeschleunigung [m/s2]h : Hoehe von der Oberfläche [m]
Energie im Inhomogenen Kraftfeld (Wie die Erde)
W m mr rh = ⋅ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟γ 1
1 2
1 1
γ : Gravitationskonstante 6,68E-11 m3/(kg s2)
ϕ ϕ γ= = − ⋅∞ mrp1
Epot bezüglich derselben Masse in einem unendlich entfernten Punkt
EPOT mmp x2 x1
ins Unendliche= ⋅ϕ
rRp
ϕ=-γ mp 1/r
mp
Rp
ϕ : Gravitationspotential γ : Gravitationskonstante mp : Masse des Planeten [kg] r : Abstand zum Zentrum [m] (Ausserhalb des Planeten)
3.4 Fluchtgeschwindigkeit
rRp
EPOT gilt für m
Rp
Etot=EKin+EPot
vm
rFLp=
⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
212γ
mvFL : Fluchtgeschwindigkeit [ / ] s
γ : Gravitationskonstante mp : Masse des Planeten kg] r : ursprünglicher Abstand [m]
(Zentrum) vom Planeten (Ausserhalb)
Rp : Grenze der Kinetischen Energie bei der ein Körper der Masse m an die Erde gebunden bleibt. [m]
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3.5 Kinematik der Rotation Massenträgheitsmoment für einfache Formen mit Schwerpunkt im Zentrum: Kugel: Vollzylinder:
3.6 Zentripetalkraft Kreisbewegung α=0 T,ω
rar
rar
rFZP
m
rFZF
rv
rar
Translation(Beschleunigt)
mra
rFRES
rFT
FZP ist die Zentripetalkraft => Verandwortlich für die
Kreisbewegeung FZF ist die Zentifugalkraft => Scheinkraft
FRES ist die resultierende Kraft => Verandwortlich für die
Beschleunigung FT ist eine Scheinkraft
Zentripedalkraft
F m am rm v
mvr
ZP r= ⋅
= ⋅= ⋅
=
r
ϖϖ
2
2
Rotationsbeschleunigung
a vrr =2
a rr = ⋅ϖ 2
ar : Radialbeschleunigung [m/s2]at : tangentialbeschleunigung [m/s2]v : Geschwindigkeit [ /m
s]r : Radius [m]ω : Kreisfrequenz [1/s]γ : Gravitationskonstante 6,68E-11 m3/(kg s2)
Rotationsenergie
E Jkinrot = 1
22ϖ
m : Masse [kg]J : Massenträgheitsmoment [kg m2]ω : Kreisfrequenz [1/s]
Massenträgheitsmoment
J r mi ii
n
= ⋅∑ ( )2 Δ
J : Massenträgheitsmoment [kg m2]
J mR= 12
2
J mR= 2
52
Hohlzylinder: Stab:
J mR= 2
J mL= 112
2
m : Masse [kg] Platte: J : Massenträgheitsmoment [kg m2] R : Radius [m] L : Länge [m]
J mL= 112
2
Satz von Steiner (Schwerpunkt verschiebung)
2 J J m ss= + ⋅ s S (Schwerpunkt)
E J mss= +12
2 2( )ω ω J : Massenträgheitsmoment [kg m2]
E : Energie [J] m : Masse [kg] ω : Kreisfrequenz [1/s] s : Verschiebung von Schw.p [m]
m : Masse [kg] Gesammt energie eines Rotierenden v : Geschwindigkeit [m/s] Körpers ω : Rotationsgeschwindigkeit [1/s]
E E E
E Jkintot
kinrot
kintrans
kintot
= +
= +12
2 12
2ϖ mv
J : Massenträgheitsmoment [kg m2] E : Energie [J]
Geschwindigkeit unter berück-sichtigung des Massenträgheits-moment
mr
h v mgh
m Jr
=+
22
2
v : Geschwindigkeit [m/s] m : Masse [kg] J : Massenträgheitsmoment [kg m2] h : Höhe [m] r : Radius der Kugel [m]
2] g : 9,81 [m/s
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3.7 Drehmoment r r r
M r F= ×
r
vω
r r
M J= × α
v r= ω ⋅ r r rv r= ω × 2α : Winkelbeschleunigung [1/s ]
v : Tangentialgeschwindigkeit [m/s]
J : Massenträgheitsmoment [kg m2] r : Radius [m] ω : Rotationsgeschwindigkeit [1/s]
3.8 Arbeit und Leistung bei Drehbewegung
M :Drehmoment [Nm] Arbeit bei M=const. W M= ⋅ ϕ ϕ :überstrichener Winkel [rad] W : Arbeit [ J ] [Nm]
P: :Leistung [Watt] Leistung
P Wt
=ΔΔ
ϕ :Drehwinkel [rad] ω :Winkelgeschwindigkeit [1/s] M :Drehmoment [Nm]
P M ft
=⋅ Δ
Δ
P M= ω
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 4.Impulse
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4.2 Der Unelastische Stoss 4. Der Impuls
m m1 2+
m2
m1
ru1
rv2rv1
rr r
um v m v
m m=
++
1 1 2 2
1 2
4.0 Der Impuls Allgemein
r rp mv=
rvm
p : Impuls [kg m/s] m : Masse [kg] v : Geschwindigkeit [m/s]
Energiebilanz des Stosses
(Deformationsenergie) Impulserhaltung Vorher = Nachher
m v m = m v m v1 0 2 0+ v1 1 2 2r r+
= r0 m v m v1 1 2 2
r r+
r rp p konst1 2+ = .
m1rv1
rv2m1 m2v0 0=
rF2 1→
rF2 1→
m2
p : Impuls [kg m/s] m : Masse [kg] v : Geschwindigkeit [m/s]
Vorher Nacher
W mv mm MDEF = −+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
12
2 1 2 2= ½ mv +W½(m+M)v DEF
4.3 Elastischer Stoss Idealerweise geht kein E in W über. Kraftstoss
r r
r r
F ma m vt
pt
= = =ΔΔ
ΔΔ
r r
F pt
=ΔΔ
tΔ Δr rp F= ⋅
p : Impuls [kg m/s] [Ns] m : Masse [kg] v : Geschwindigkeit [m/s] F : Kraft [Nm] t : Zeit [s] a : Beschleunigung [m/s2]
Kin DEF
Rückstossantrieb(Rakete)
( )
a
mt
v v
m
TR=
−ΔΔ
Δ
a
mt
v
m m
TR=
+
ΔΔ
Δ
Die Beschleunigund ist um so grösser je weniger Treibstoff übrig ist.
r r rv v m m
mvE TR= −
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ln Δ
0
m m+ Δ
rv
r r rv v vTR+ −Δ
r rv v+ ΔmΔm
Vorher
NacherTreibstoff
rvTR = Treibstoff (relativ zur Rakete) rvE Endgeschwindigkeit= rv0 = Anfangsgeschwindigkeit
Stossgesetze Für jeden Stoss gilt Impulserhaltung
r r rum mm m
vm
m mv1
1 2
1 21
2
1 22
2=
−+
++
r r rum mm m
vm
m mv2
2 1
1 22
1
1 21
2=
−+
++
rv1rv2
ruru1
ru2m2
m2
m2
m1
m1
m1
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 5.Drehimpuls
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5. Drehimpuls Siehe auch Benedetti 8.15 5.1 Drehimpuls bezüglich Ausgangspunkt
r r rL r p= ×
rpAusgangs-punkt
Flugbahn
ϕrr
m
r rL J= ⋅ω
L r p r m v
= ⋅= ⋅ ⋅
Bemerkung: rLWenn =const =>
rp L : Drehimpuls [kg m2/s] =const dh.
Es wirken keine Kräfte auf m J : Massenträgheitsmoment [kg m2] ω : Winkelgeschwindigkeit [1/s] r : Radius [m] p : Impuls [kg m/s] v : Geschwindigkeit [m/s] m : Masse [kg]
5.2 Dremoment
r r
M Lt= Δ
Δ r r
M dLdt=
L : Drehimpuls [kg m2/s] M : Drehmoment [Nm] t : Zeit [s]
5.3 Massenträgheitsmoment
J m r= ⋅ 2
J : Massenträgheitsmoment [kg m2] r : Radius [m] m : Masse [kg]
5.4 Kreisel Precision
ω pML=
0
Drehmoment r
r
M Lt
=ΔΔ
r r rM Lp= ×ω 0
Wenn auf den Kreisel FG+F gedrückt wird zeigt M in die andere Richtung
ωp :Precision [rad] L0 :Drehimpuls [Kg m2/s] M :Drehmoment von r [Nm] r :Radius [m]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 7. Mech.d.Flüssi.
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7.1.4 Druckmessung Nanometer 7 Mechanik der Flüssigkeiten Druckdifferenz Δ =
p1p2
7.1 Ruhende Flüssigkeit 7.1.1 Allgemein
pFA
=
p : Druck [Pa] F : Kraft [N] A : Fläche auf die die Kraft wirkt [m]
7.1.2 Kompressiblität
χ = −1V
dVdp
V : Volumen [m3]
7.1.3 Druckausbreitung Kraftwandler
FAA
F22
11=
A1
F1F2
A2 Druckwandler
pAA
p12
12=
A1
p1p2
A2 Schweredruck
p h FAG( ) =
p h h g( ) = ⋅ ⋅δ
gF mg AhG = = δ δ : Dichte [Kg/m3] h : Höhe [m] g : Erdbeschleunigung 9,81 [m/s2] m: Masse [kg]
A
h
δ
Δ Δ
p p pp g h
−
= ⋅ ⋅1 2
δΔh
δ :Dichte [Kg/m3] δ
Absuluter Druck
=p g ha ⋅δ ⋅ Δ pp=0
δ : Dichte [Kg/m3] Δh
δ
Auftrieb Der Auftrieb eines Körpers ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge.
Δh
AFA
FGδFL
F V gA k FL= ⋅δ ⋅
F A g hA FL= ⋅δ ⋅ • Δ 3δFL : Dichte der Flüssigkeit [Kg/m ] 3 : Volumen des Körpers [m ] Vk
Achtung:Die Dichte nimmt nach unten zu
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 7. Mech.d.Flüssi.
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7.2 Ruhende Gase 7.3 Fluiddynamik 7.2.1 Allgemein Kontinuitätsgleichung
Bei Konstanter Temperatur p V const⋅ =
p : Druck [Pa] V : Volumen [m3]
7.2.2 Kompressibilität Bei Temp. const.
χ =1p
p : Druck [Pa]
7.2.3 Schweredruck Gesetzmässigkeit
p p h0
hδ δ=
( )( )0
dpdh p
g p h=−
⋅δ 0
0( )
Barometrische Höhenformel
p h e p( ) = ⋅00
pgh−
δ0
Luftsäule
P0/δ0
δ(h)
p(h)dh
h
p(h) : Druck in der höhe h [Pa] p0] : Druck auf dem Boden [Pa] δ(h) : Dichte in der höhe h δ0 : Dichte auf dem Boden
Für Inkompressible Fluide A v A v1 1 2 2= Die beiden Volumen sind gleich gross. S1=V1Δt
S2=V2Δt
A2
v1v2
S2
S1
A1
Bernulli Gleichung (Energie erhaltung)
{ {
{ {
p v gh
p v gh
Schweredruck
Schweredruck
1 2 12
1
212 2
22
StatischerDruck
DynamischerDruck
StatischerDruck
DynamischerDruck
+ +
=
+ +
−
−
δ δ
δ δ
123
123
1
oder
p v gh const+ + =12
2δ δ .
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 7. Mech.d.Flüssi.
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7.3.4 Druckmessungen in Strömungen 7.5 Reale laminare Strömung (mit innere Reibung ,ohne Wirbel)
Statischer Druck
p p g hstat = + ⋅ ⋅2 δ Δ
Δh
p1 p2
vv
Bewegte scheibe
Ruhende scheibe
Δv
xΔx
FR
v
Bei linearer geschw. verteilung
F A vxR = ⋅η
Bei nicht lineare geschw. verteilung
F A dvdxR = ⋅η
η : Viskosität [Pa*s] Gesammtdruck
p g hGesammt = ⋅ ⋅δ Δ
Δh
VV
p=0
: Reibungskraft [N] FR
Strömung in einem Rohr
l
vp2
rR
p1p1>p2
( )v r pl
R r( ) = −Δ4
2 2
η
Δp p p= −Dynamischer Druck
p g hDyn = ⋅ ⋅δ Δ
Strömungsgeschwindigkeit
v vpDyn
1 22
= =δ
Δh
VV
Druckdifferenzen (Venturirohr)
Δ Δp p p g h= − = ⋅ ⋅1 2 δflüssig
Strömungsgeschwindigkeit
( )v
pAA
1 22
11
2
=−
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
Δ
δ Δh
V1 V2
7.4 Volumenstrom Austritts geschwindigkeit
v gh2 2=
Volumenstrom
V Vt
A v.= = ⋅2 2
V•
: Volumenstrom [m3/s]
A1>>A2
h
A1
A2
v1 0≈
v2
1 2
v_Volumenfluss
: Mittlere Geschwindigkeit V p
lR t=
⋅⋅ ⋅
⋅πηΔ
84 v(r) : Geschwindgkeit abh. von r [m/s]
η : Viskosität [Pa* s]
v Vr
_=
•
2π
Reibungskraft auf Rohr
F p rR = ⋅ ⋅Δ 2 π
F l vR = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅8 π η_
Reibungskraft auf Kugel F r
vvvR = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅6 π η
r : Radius Kugel [m] FR : Kraft [N] v : Geschwindigkeit Flüssigk. . oder Kugerl [m/s] η : Viskosität [Pa* s]
7.8 Turbolente Strömung (Wirbelbildung) Ab kritischer Geschwindigkeit ein wechsel von laminarer zur turbolenten strömung
[l] : char. länge des Körpers [δ] : Dichte des Fluids
Reynoldszahl Re [η] : Viskosität
Re = ⋅ ⋅l vδη
[v] : rel. Geschwindigkeit zwischen Körper und Fluid
2[A] :Stirnfläche mStrömungen um oder in geom. Körpern sind
gleich, wenn die Reynoldszahlen gleich sind. [Cw] :Widerstandsbeiwert -
Strömungswiderstand
F c A vw w= ⋅ ⋅12
2δ
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 30. Wärmelehre
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30. Wärmelehre (Kalorik , Thermodynamik) 30.1 Temperatur (Mende Simon p.109, Beneteti 14.01) Absolute Temperatur (T)
Tk
EKin=⋅
⋅2
3
Mittlere kinetische Energie der Gasatome
E m vKin = ⋅12
2
T: Temperatur [K] k: Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/Km: Masse [Kg]
EKin : Mittlere kin. Energie [J]
v : Mittler geschwindigkeit der Gasmolekühle [m/s]
30.2 Temperaturscala Umrechnung:
( )
T K T CT F T C
T C T F
[ ] [ ] .[ ] [ ]
[ ] [ ]
= ° += ° +
° = −
273153232
9559
K in Kelvin C° in Celsius Frad F in Farenheit
30.3 Thermische Längen und Volumenausdehnung Feste Stoffe:
ΔΔ
l
l ∼ T
Längenausdehnungs koeffizent
α =⋅Δ
Δ
l
l T
Volumenausdehungdskoeffizent
γ α=⋅
= ⋅Δ
Δ
VV T
3
Flächenausdehungs koeffizent
γ α= ⋅2
α: Längenausdehungskoeffizent [1/K] γ: Volumenausdehungskoeffizent [1/K] ≈ (1...100) 10-6 1/Kγ : Flächenausdehungskoeffizent [1/K] T: Temperatur [K] l: Länge [m]
Flüssige Stoffe (Volumenausdehung): Dichte bei der Temperatur ϑ
δϑϑ
=m
V
δγ ϑ
δγ ϑϑ =
+ ⋅=
+ ⋅m
V0
0
1 1( )
m : Masse [Kg] Vϑ : Volumen bei Temperatur ϑ [m3] ϑ : Temperatur [K] δ0 : Dichte bei 0 C° [Kg/m3] γ : Volumenausdehungskoeffizent [1/K] Achtung: Die Dichte von Wasser ist am
grössten bei 4 C°
Dichte umrechung verschiedender Temperaturen
δ δ=⋅⋅0
0
0
p TT p
Mende Simon p.116
Gasförmiger Stoffe γ ≅ 3661⋅10−6 1/Κ
für alle idealen Gase Volumenausdehung bei p=const.
( )V V= + ⋅0 1 γ ϑ
V : Volumen [m3] V0 : Volumen bei 0 C° [m3] γ : Volumenausdehungskoeffizent [1/K] ϑ : Temperatur [K]
30.4 Zustandsgleichung für idealle Gase
p VT const m Rs⋅
= = ⋅
p VT v R⋅
= ⋅
p V R TmMr
⋅ = ⋅ ⋅
p V k N T⋅ = ⋅ ⋅
vmMr
=
ν =N
N A
p : Druck [Pa] [N/m] p0 : Normaldruck [Pa] V : Volumen [m3] m : Masse [m] T : Temperatur [K] Rs : spez. Gaskonstante [J/ ] KmolR : Allgem. Gaskonstante [J/ ] R = 8314
KmolJ/Kmol
Mr : Kilomolmasse [ Kg/Kmol] N : Anzahl Teilchen NA : Anzahl Teilchen pro Kilomol NA =6.02 E26 (Advogradozahl) k : Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/Kv : Stoffmenge (Zahl der Kilomole) ν:
30.5 Gemisch idealer Gase
p V R T⋅ = ⋅ ⋅ν
p V R Ti i⋅ = ⋅ ⋅ν p pi= ∑
mm
M M
M M
r11 1
1 12
1 2
=−
−
VV
M MM M
r1 2
1 2=
−−
pi : Partialdruck des i-ten Gases [Pa] [N/m] V : Volumen [m3] R : Allgem. Gaskonstante [J/Kmol] R = 8314 J/Kmolm : Masse [Kg] m1 : Masse des 1. Gases [Kg] Mr : Kilomolmasse [ Kg/Kmol] M1 : Kilomolmasse 1.Gases [ Kg/Kmol] M2 : Kilomolmasse 1.Gases [ Kg/Kmol] V : Volumen [m ] 3
V2 : Volumen 1. Gases [m3]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 30. Wärmelehre
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30.6 Gaskinetische deutung des Druckes Tabelle
pNV EKin=
⋅⋅
23
E m vKin = ⋅12
2
Mittlere Translationsener. eine idea. Gasmolek.
E k TKin = ⋅32
p : Druck [Pa] [N/m] N : Anzahl Teilchen [ ] T : Temperatur [K] V : Volumen [m3] k : Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/Km : Masse [Kg]
EKin : Mittlere kin. Energie [J]
v : Mittler geschwindigkeit der Gasmolekühle [m/s]
Mittlere Geschwindigkeitsverteilung
f v NmkT v edN
dvmv
kT( ) = = ⋅⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⋅ −4 2
32 2
22ππ
Eigenschaft der Maxwell Gleichung a.) 1
0
1N f v dv( ) =∞
∫
b.) Wahrscheindlichste Geschwindigkeit
vwk Tm= ⋅2
c.) Mittlere Molekühlgeschwindigkeit
v vk Tm w= = ⋅⋅⋅
8 1128π . d.) mittlere thermische Geschwindigkeit
v v vk Tm w= = = ⋅⋅2 3 1225.
Anzahlteilchen
v [m/s]
T1 <T2f(u)
T : Temperatur [K] v : Geschwindigkeit [m/s] k : Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/Km : Masse [Kg]
Mittlere freie Weglänge
l =⋅
12 nσ
σ π= ⋅d 2
n NV=
N: Anzahl Teilchen [ ] V: Volumen [m3]
l : Mittlere freie Weglänge [m] 50...200nm
d
30.7 Gleichverteilungs Gesetz Die Mittlere kinetische Energie
E k T fKin = ⋅ ⋅12
T : Temperatur [K] k : Bolzmankonstante [J/K] 1.3806619E-23 J/KEKin : Mittlere kin. Energie [J]
f : Freiheitsgrad [ ]
Freiheitsgrad Gasart Translation Rotration Total f
1 Atom 3 0 3 2 Atome 3 2 5 3 Atome 3 3 6
30.8 Innere Enerigie
E : Kinetische Energie [J] U E EKin Pot= + Kin (aus Intermolekularen Kräften)
E : Potentielle Energie [J] Pot (Aus ungeordneten wärme bewegung) Die Innere Energie U ist die gesammtheit der Kinetischen Energie und portentiellen Energie aller seiner Molekühle,seiner Atome, Elektronen, Kerne und Neutronen.
U: Innere Energie [J]
30.9 Arbeit, Energie, Wärme a.) Volumenänderungsarbeit Das System gibt Arbeit ab! F
dW F dsp A dsp dV
= •= − ⋅ ⋅= − ⋅
r r
A F : Kraft [N] W : Arbeit [Ws]
W p V dVVV
V
= − ⋅∫ ( )1
2 s : Weg [m] 2] A : Fläche [m
p : Druck [Pa] 3] V : Volumen [m
b.) Wärmeenergie:
ΔU WW : Arbeit [Ws] Q : Wärmeendergie [J]
Q>0 System nimmt Wärme auf Q<0 System gibt Wärme ab
QdU dW dQ
= += +
U : Innere Energie [J] Jc.) Wärmekapazität /
C QT
=ΔΔ
Spezifische Wärmekapazität „spez. Wärme“
c Cm
= Matrialkonstante
Δ Δ
ΔQ m c T
p V= ⋅ ⋅= − ⋅
Molare Wärmekapazität „molare Wärme“
c C Cm
M c Mm r r= = = ⋅ν
C : Wärmeenergie [ K] T : Temperatur [K] Q : Wärmeenergie [J] c : spezifische Wärmekapazität [J/kg K]
J: molare Wärmekapazität [ /cm kmol K] Kg: Kilomolmasse [ /Mr Kmol]
m : Masse [Kg]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 30. Wärmelehre
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30.10 Spezifische Wärme von Idealen Gasen 30.11 Zustandsänderung idealler Gase : „spez. Wärme“ bei V=const cBerechnung von c v v
cvR fMr
= ⋅⋅2
Molare Wärme
cmvR f= ⋅
⋅2 Berechnung von cp
( )cpR
Mf
r= +2 1
Molare Wärme
( )c Rmpf= +2 1
Abhängigkeit von cp & cv
c cp vR
Mr= + c c Rmp mv= +
cp : „spez. Wärme“ bei p=const R : Allgem. Gaskonstante [J/Kmol] R = 8314 J/Kmol f : Freiheitsgrad [ ] Mr : Kilomolmasse [Kg/Kmol]
Mende Simon p.138 Klassifikationen:
Adiabaten exponenten χ
χ = = +cc
ff
p
v
2
cv : „spez. Wärme“ bei V=const cp : „spez. Wärme“ bei p=const f : Freiheitsgrad [ ] χ : Adiabaten exponent
spez. Wärme von festen Körpern • cp ≈ cv weil dV klein
( Wärmezufuhr ergibt eine Zunahme der inneren Energie, keine Volumenarbeit )
• praktisch misst man cp Ist T klein (0...50K)
c T∼ 3
Ist T gross (>300K)
c Rmv = ⋅
≈ ⋅325 103 J
kmol K
R : Allgem. Gaskonstante [J/Kmol] R = 8314 J/KmolT : Temperatur [K]
Kaloriermetrie (Wärmemessung)
( )[ ] ( )[ ] [ ]m c T T m c T T C T Tm m G m1 1 1 0 0 0 0⋅ − = ⋅ − + −( )
( )[ ] ( )[ ]C
m c T T m c T TT TG
m m
m=
⋅ − − ⋅ −
−1 1 1 0 0 0
0( )c: spezifische Wärmekapazität [J/kg K] T: Temperatur [K] m: Masse [Kg]
Tm
m0, c0, T0
Wärme Isoliertm1, c1, T1
CG=cgmg
Prozesse Eigenschaften isochore ΔV=0 , V=const. isobare Δp=0 , p=const. isotherme ΔT=0 , T=const. isotrophe ΔQ=0 , Q=const. (adiabatisch)
30.11.1 Isochor T : Temperatur [K] Isochor ΔV=0 , V=const. Q : Wärmeendergie [J]
Q>0 System nimmt Wärme auf Q<0 System gibt Wärme ab
dWv=0, Tp const=
Δ Δ ΔU Q c m Tv= = ⋅ ⋅ U : Innere Energie [J]
Δ ΔU c V pvMR
r= ⋅ ⋅ ⋅
m : Masse [Kg] f : Freiheitsgrad [ ]
: „spez. Wärme“ bei V=const cv p : Druck [Pa]
Δ ΔU V pf= ⋅ ⋅2
3] V : Volumen [m J/R : Allgem. Gaskonstante [ Kmol] R = 8314 [J/Kmol]
siehe auch Benedetti 14.08 30.11.2 Isobar
T : Temperatur [K] Isobare Δp=0 , p=const. Q : Wärmeendergie [J]
Q>0 System nimmt Wärme auf Q<0 System gibt Wärme ab
TV const=
Δ Δ ΔU Q Wv= + U : Innere Energie [J] m : Masse [Kg]
TΔ ΔQ c mp= ⋅ ⋅ f : Freiheitsgrad [ ] 3]
Δ ΔQ m Tf RMr
= ⋅ ⋅ ⋅+22
V : Volumen [mp : Druck [Pa] J/R : Allgem. Gaskonstante [ Kmol]
R = 8314 [J
{Δ ΔQ p Vf
X
= ⋅ ⋅+22
/Kmol] χ : Adiabaten exponent siehe auch Benedetti 14.08
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30.11.3 Isotherm 30.12 Änderung von Aggregatzustände 30.12.1 Allgemein Isotherme ΔT=0 , T=const.
dU=0, U=const p V const⋅ =
− = +W Qv
VQ p dV
V
= ⋅∫1
2
Q R T dVmM V
V
V
r= ⋅ ⋅ ∫ 1
1
2
Q R TmM
VVr
= ⋅ ⋅ ⋅ ln( )2
1
Q R TmM
ppr
= ⋅ ⋅ ⋅ ln( )1
2
( )( )( )( )
Q p V
p V
p V
p V
pp
pp
VV
VV
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
1 1
2 2
1 1
2 2
2
1
2
1
1
2
1
2
ln
ln
ln
ln
V1, p1V2, p2
F
T : Temperatur [K] R : Allgem. Gaskonstante [J/kmol K] R = 8314 [J/kmol K] f : Freiheitsgrad [ ] Mr : Kilomolmasse [ kg/kmol] Wv : Arbeit [J] [Ws] Q : Energie [J] [Ws] m : Masse [Kg] p : Druck [Pa] p1 : Druck am Anfang [Pa] p2 : Druck am Ende [Pa] V : Volumen [m3] V1 : Volumen am Anfang [m3] V : Volumen am Ende [m2
3]
mMr
= ν :Stoffmenge:
siehe auch Benedetti 14.07
• Die siede Temperatur ist stark druckabhängig
gasförmigflüssigfest
kondensieren
desublimieren
sublimieren
erstarren Verdampfen
erstarren
• Verflüssigen von Gasen durch kompression ist nur möglich falls T < T ist k
MENDE SIMON p.143 Benedeti p.14.03
30.11.4 Isotroph Isotrophe (adiabatisch) ΔQ=0 ,Q =const. dU=dWv
( ) ( )cvTT
RM
VVr
⋅ = − ⋅ln ln2
1
2
1
Adiabatische Zustandsgleichung
p V const⋅ =Χ
tT p consΧ Χ⋅ =−1
Χ =cc
p
v Adiabatenexponent
Arbeit bei adiabatischen Zustandsänderung
ΔΧ
Wp V p V
=⋅ − ⋅
−2 2 1 1
1
cv: „spez. Wärme“ bei V=const cp: „spez. Wärme“ bei p=const χ : Adiabaten exponent T : Temperatur [K] p : Druck [Pa] p1 : Druck am Anfang [Pa] p2 : Druck am Ende [Pa] V : Volumen [m3] V1 : Volumen am Anfang [m3] V2 : Volumen am Ende [m3] ΔW : Arbeit [Ws] R : Allgem. Gaskonstante [J/Kmol]
R = 8314 J/Kmol
X :1.402 für Luft (Mende Simon p122) siehe auch Benedetti 14.07
Fest ⇔ Flüssig
Q m qs s= ⋅
QS: Schmelzwärme [J]
fest &flüssig
Ts
Schm.Temp.T
Q
fest
flüssig
Qs
: Schmelztemp [K] Ts: Schm. enthalpie [J/Kg] qs
m: Masse [Kg]
Flüssig ⇔ Gasförmig
Q m qV V= ⋅
QV: Verdampfwärm. [J]
flüssig& gas
flüssig
TV
Siede.Temp.T
Q
gas
QV
Tv: Siedetemp. [K] qV: Verdampf. enthalp.[J/Kg]m: Masse [Kg]
30.12.2 Zusammenhang zwischen Dampfdruck und Temperatur
: molare Verdampfungswärme qdpdT
qT v v= −
1 2
2 1
,
( )
1,2 3: molare Volument [m ] v 1,2
p : Druck (Sättigung) [pa] T : Temperatur [K]
30.14 Luftfeuchte Allgemein
• Luftfeuchte = gehalt an Wasserdampf • Luft löst Wasser nicht
Gesättigte Luft partialdruck des Wasserdampfes = Sättigungsdampfdruck zur betrefenden Temp Taupunkt Relative Luftfeuchte = 100% 30.14.1 Absolute Luftfeuchte
V : Volumen [m3]
ϕ =m
VDampf m : Masse Dampf [g]
3] ϕ : Abs. Luftfeuchte [g/m
30.14.2 Relative Luftfeuchte ϕ : Abs. Luftfeuchte [g/ 3]
ϕϕ
ϕrelsattigung
pp
= =max &&
m
: Max. abs. Luftfeuchte [g/ 3] ϕ max mp : partialdruck des Wasserdam. [pa]
: Sättigungs Dampfdruck [pa] psättigung
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 30. Wärmelehre
M.D 07.09.2006 22:53:00 Seite: 5
30.15 Wärmetransport 30.16 Wärmestrahlung Mende Simon p.319 P : Leistung [W] Konvektion
Wärmeübertragung durch Matrialstransport
Man unterscheidet: Freie Konvektion
Durch Temperatur und damit Dichteunterschied Erzwungene Konvektion
Durch Pumpen Wärmestrom
P QP c T
dQdt
dmdt
= =
= ⋅ ⋅
&
Δ
m : Masse [kg] c : Spezifische Wärmekapazität [J/ (Kg K)] ΔT : Temperaturdifferenz [K] &Q : Wärmeenergie änderung
Wärmestrom=Energiestrom=> Die pro Zeiteinheit transportierte Wärme(Energie)
Auftreffen von Strahlung (Anteile) α
α(λ) : Absorptionsgrad (schwarz=1) ρ τ+ + = 1 ρ(λ) : Reflexionsgrad (weiss=1)
τ(λ) : Transmisionsgrad λ : Wellenlänge [m]
Emisionsvermögen eines Körpers
( )α(λ,T) : Absorptionsgrad
( )ε λ α λ, ,T T= ε(λ,T) : Emisionsgrad (Senkrecht zur Fläche) λ : Wellenlänge [m]
T : Temperatur [K] ε = α h : Plankische Wirkumsquantum 6.625⋅10
Planckisches Strahlungsgesetz -34 [Js] (Spektralverteilung eines schwarzen Körpers ε=α=1)
dPh c Ae
dh ck T
=⋅ ⋅ ⋅⋅ −
⋅⋅ ⋅
21
2
5
πλ
λλ
λ : Wellenlänge [m] Wärmeleitung Wärmetransport innerhalb eines Stoffes ohne Matrialtransport
Imstationäre Zustand gilt:
P Q
PA
T
=
= ⋅
&
λl
Δ
A
T2T1
l λ : Wärmeleitungskoeffizent [W/(K m)]] MENDE SIMON p.127 A: : Querschnitt [ m2 ] l : Stablänge [ m ] ΔT : Temperaturdifferenz [K]
-23 [J/K] k : Bolzmankonstante 1.39⋅10 8 [m/s] c : Lichtgeschwindigkeit 2.998⋅10T : Temperatur [K]
2] A : Fläche [mStefan-Bolzmann-Gesetz
Tu
T
A
P/m(Spektralverteilung eines schwarzen Körpers ε=α=1)
P A T= ⋅ ⋅ ⋅ε σ 4
Wärmestrahlung Wärmeübertragung durch elektromagnetische Strahlung
P Q
P A T== ⋅ ⋅
&
α Δ
P k A T= ⋅ ⋅ Δ
PTR
=Δ
RA
=⋅l
λ
LuftFest
ΔT α : Wärmeübergangszahl [W/(m2 K)] R : WärmeLeitwiederstand [ K/W ] k : Wärmedurchgangszahl [ W/(m2K)] A: : Querschnitt [ m2 ] l : Stablänge [ m ] ΔT : Temperaturdifferenz [ K ]
Bei Bestrahlung von der Umgebung
( )ΔP A T Tu= ⋅ −ε σ 4 4 -2 -4σ : Stefan-Bolzmann-Konst [Wm K ] -8 σ:=5.67⋅10 Wm-2 -4K
T : Absorbierende Temperatur [K[ Tu : Umgebungstemperatur [K] P : Leistung [W] ΔP : Abgestrahlte Leistung [W] ε : Emsissionsvermögen
Wiensiches Verschiebungsgesetz
λmax .⋅ = =T K mmK2 8978
30.16.1 Strahlungsflussdichte Mende Simon p.274
2] ϕ : Strahlungsflussdichte [W/mϕ φ=
⊥A φ : Strahlungsfluss [W] 2 : Bestrahlte Fläche [m ] A⊥Für die Sonne gilt: 2] S : Solarkonstante [W/m2 ϕ=S=1.37E3 W/m
30.16.2 Strahlungsfluss
Q : Strahlungsenergie [J] [Ws] φ = Q
t =P t : Zeit [s] φ : Strahlungsfluss [W]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 30. Wärmelehre
M.D 07.09.2006 22:53:00 Seite: 6
30.16.3 Gleichgewichts Temperatur
A A Ts s s e eε ϕ ε= 0
T0 : Gleichgewichtstemperatur [K] εe : Emisionsgrad Empfänger
: Emisionsgrad Sender εs : Fläche der einfallenden As
2] Energierstrahlen [mAe : Oberfläche des Körpers [m2]
30.16.4 Abkühlung ohne Wärme einstrahlung
( )T tTAm c= + ⋅
−103
133 σε
T0 : Temperatur am Anfang [K] A : Oberfläche des Körpers [m2] t : Abkühlzeit [s] m : Masse [kg] c : spezifische Wärmekapazität [J/kg K] T : Endtemperatur [K]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 31.Schwingungen
M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 1
31.1.2 Flüssigkeitspendel 31. Schwingungen Kreisfrequenz A
31.1 Ungedämpfte Schwingung ω
δ0
2=
⋅ ⋅ ⋅A gm Bewegungsgleichung
&&x x+ ⋅ =ω02 0
Kreisfrequenz
ω02 2= D
m Frequenz ist unabhängig von derLage. Dh. von der Schwerkraft.
Periode
T02
0= π
ω
Frequenz,Eigenfrequenz
f T01
20= = ωπ
x : Auslenkung [m] D : Federrate [N/m] m : Masse [Kg] ω0 : Kreisfrequenz [Hz] ϕ0 : Phase (Anfangsbed.) [rad] A : Amplitude(Anfangsb.) [ ]
mD
D
xx=0
3δ : Dichte [Kg/m ] mm : Gesammtmasse [Kg]
2 ] g : 9,81 [m/s2] A : Querschnittsfläche [m
31.1.3 Doppelmasse Bewegungsgleichung
Amplitude f(t)
( )( ) ( )
x t A t
x t tv
( ) cos
cos sin
= ⋅ −
= +
ω ϕ
ω ωω
0 0
0 0 00
0
Anfangsbedingungen
A x v202 0
2
02= + ω
( )cos ϕ = xA
0
( )sin ϕ ω= ⋅v
A0
0
( )tan ϕ ω= ⋅v
x0
0 0
x t x( )= =0 0 (Ort)
& ( )x t v= =0 0 (Geschwindigkeit)
31.1.1 Drehpendel Bewegungsgleichung
&&*
ε ε+ =DJ 0
Kreisfrequenz
ω0 =∗D
J
D* : Federrate [ ]Nmrad
&&ε : Winkelbeschleunigung [Rad/s] J : Massenträgheitsmoment [ Kgm2 ]
ε
&& ( )&& ( )
ϕ
ϕ ϕ ϕ1 1 2
2
2 2 12
2 02 0
+ − =
+ −
Dm
Dm
ϕ ϕ
=
r
r
ϕ2
ϕ1
D1
D2
D3
m
m
r :Radius [m]ϕ1 :Auslenkung [rad]ϕ2 :Auslenkung [rad]m :Masse [Kg]J :Trägheitsmom. [Kgm2]
Kreisfrequenz
ω12= Dm Gleichphase
ω26= Dm D1 D2 D3
m m
Gegenphase
Massenträgkeitsmoment:
J m r= ⋅1 22
31.1.4 Hohlkörper in Flüssigkeit
3Bewegungsgleichung
m x⋅δ : Dichte [Kg/m ]
A g x= − ⋅ ⋅ ⋅&& δ m : Gesammtmasse [Kg] 2] g : 9,81 [m/s2] A : Querschnittsfläche [mKreisfrequenz
ωδ
0 =⋅ ⋅A gm δ
A
mx
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 31.Schwingungen
M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 2
31.1.5 Schiefer Wagen 31.3 Mathematisches Pendel
Kreisfrequenz
ω20 = m
D
Anfangsbedingungen:
( )x m g
D0 =⋅ sin α
( )& sinx v s g2= = ⋅ ⋅ α0 0
Amplitude:
A x x= +02 0
2
02&
ω
α
s
a g
D
m
x0
Bewegungsgleichung
(
31.2 Zusammenschaltung von Federn Serie-Schaltung
1 1 1
1 2D D D= + +...
D1 D2
Parallel-Schaltung
D D= D+ +1 2 ... D1 D2
)&& sinϕ ϕ+ =gl 0
ϕ Ff
mg sin
α
l
m
FG=mgFür kleine Winkel sin(ϕ)≈ϕ
&&ϕ ϕ+ =gl 0
g : Gewichtskraft [kg] Frequenz l : Stangenlänge [m]
ω0 =gl
ϕ : Auslenkwinkel [rad] siehe auch Benedetti p.10.05 siehe auch Mede Simon p.253
31.4 Physikalisches Pendel Drehmoment
( )M s FG= ⋅ ⋅sin ϕAufhängepunkt
Schwerpunktϕ
s
Bewegungsgleichung
( )&& sinϕ ϕ+ =⋅ ⋅m g sJA
0 FG=mg
Ruhelage
Für kleine Auslenkung sin(ϕ)≈ϕ
&&ϕ ϕ+ =⋅ ⋅m g sJA
0 2
Kreisfrequenz
ω0 =mgsJA
Trägheitsmoment
s J J mA Sp= + ⋅ 2
JA : Trägheitsmoment [kg m ] 2 : Trägheitsm. im Schwerpunkt [kg m ] JSp
m : Masse [kg] ϕ : Auslenkwinkel [rad] ω : Kreisfrequenz [ 1/rad]
2] g : Gravitationsbeschl. 9.81 [m/sFG : Gewichtskraft [N] s : Abstand Drehpunkt-Schwerpunkt [m] siehe auch Benedetti p.10.05 siehe auch Mede Simon p.253
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 47. Grundlagen
M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 1
47.5 Potential (Volt) 47. Grundlagen U : Spannung [V]
47.1 Beweglichkeit der Ladungsträger
bE
=ν
b :Beweglichkeit der Ladungsträger
ν :Driftgeschwindigkeit [ mVs
2
] E: :Feldstärke [V/m]
47.2 Strom(Ampere)
IQt
=ΔΔ
I n q A n q A b E= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ν
Q : Ladung [C] I : Strom [A] n : Freie Elektronen [ ] q : Elementarladung 1.602E-19 A : Querschnitt [m2] b : Beweglichkeit der Ladungsträger E : Feldstärke [V/m]
ν : Driftgeschwindigkeit [ mVs
2
] 47.3 Stromdichte
JIA
=
J n q b EJ E= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅γ
J : Stromdichte [A/m2] γ : Spez. Leitwert b : Beweglichkeit n : Freie Elektronen [ ] q :
E : Feldstärke [ Vm ]
47.4 Energie/Arbeit (Joule)
W F s= ⋅
W Q U= ⋅
W U I t= ⋅ ⋅
Stromkosten K
K k W= ⋅
t
W
W : Energie [J] [Ws] [Nm] F : Kraft [N] s : Weg [m] Q : Ladung [C] U : Spannung [V] I : Strom [A] t : Zeit [s] k : Kosten pro Ws [Fr/Ws] K : StromKosten [Fr]
UWQ
= W : Energie [Ws] [J] Q : Ladung [C]
47.6 Feldstärke
r Q : Ladung [C]
EFQ
=r
EFQ
=E : Feldstärke [N/C] [V/m]
47.7 Leistung(Watt)
W : Energie [Ws] [J]
PWt
=ΔΔ
t : Zeit [s] P : Leistung [W]
U : Spannung [V] P U I= ⋅ I : Strom [A]
47.8 Wirkungsgrad
η : Wirkungsgrad [ ]
η =PP
ab
auf
P : Leistung abgegeben [W] ab : Leistung aufgenommen [W] Pauf
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 47. Grundlagen
M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 2
47.15 VRD 47.10 Zweipole
I
U
Aktiv wirkender Zweipol Gibt Energie ab
Passiv wirkender Zweipol Nimmt Energie auf U C IB= ⋅
C ,B :Bauteilspezifisch 47.11 Passiver Zweipole 47.11.1 Widerstand / Glühlampe
Widerstand
RUI
=
differentieller Widerstand
r =ΔUΔI
Leitungswiderstand
RA
=⋅ρ l
U
I
ΔI
ΔU
ρ : Spezifischer Widerstand l : Leiterlänge [m] A : Querschnitt [m2] R : Wiederstand [Ω] U : Spannung [V] I : Strom [A]
47.16 Temperaturabhangikeit von Widerständen
Für „ kleine“ Temperaturen gilt
( )R Rϑ α= ⋅ + ⋅20 1 Δϑ Δϑ :Temperaturdifferenz (<150K) α :Temperaturkoeffizent
Δ
47.12 Diode differentieller Widerstand
rU
=Δ
IΔ
UFUS
IF
47.13 Kaltleiter(PTC)
(α>0)
R f A e= = ⋅( )ϑ ϑB
A ,B :Bauteilspezifisch ϑ :Temperatur in [K] α :Temperaturkoeffizent
ϑ
R
47.14 Heissleiter(NTC)
(α<0) (Negativ)
R f A e= = ⋅( )ϑ ϑB
A ,B :Bauteilspezifisch ϑ :Temperatur in [K] α :Temperaturkoeffizent
ϑ
R
ΔϑR R= ⋅α ⋅20
Für „grosse“ Temperaturen
( ) ( ){ }R Rϑ α β= ⋅ + ⋅ + ⋅2021 Δϑ Δϑ
Δϑ :Temperaturdifferenz (>150K) α :Temperaturkoeffizent
47.20 Aktiver Zweipol 47.21 Spannungs und Stromquelle Spannungsquelle: IRi
U0U
RUI
RUIi
ki= =0 Δ
Δ
Stromquelle
Ri
I0
U
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 47. Grundlagen
M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 3
47. 22 Elektrolyse 47.21 Gesetz von Faraday
m: Masse des abgeschiedenen Stoffes [kg] Masse des abgeschiedenen Stoffes
m = M: Molare Masse [kg/mol] ⋅ ⋅ ⋅Ä Q = Ä I t Q: Ladung [C] Ä: elektrochem Äquivalent
Ä =M
z F⋅z: Wertigkeit
(Wieviele e- können abgegeben / aufgenommen werden)
NAeC
mol= ⋅9 65 104. F: Faradaykonstante 47.22 Peltierelement (Kühlelement)
Q : Wärmemenge [J] Wärmemenge I : Strom [A] Q I t= ⋅ ⋅Π t : Zeit [s] Π ≈ −10 3 J
C
47.23 Wellenlänge In Luft und Vakuum c : Lichtgeschwindigkeit [m/s]
: 3E8 [m/s]
λ =cf
f : Frequenz [1/s] [Hz] λ : Wellenlänge [m] T : Periodendauer [s]
λ = ⋅c T
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 48. Elektrostatik
M.D 07.09.2006 22:54:00 Seite: 1
48.3.2 E-Feld einer geladenen Kugel 48. Elektrostatik Im innern:
r
E
E = 0
48.1 Elementarladung Ausserhalb:
e C= ⋅ −1602 10 19. rr
48.2 Elektrische Leitung im Vakuum (Glühemission)
j A T eWAk T= ⋅ ⋅ − ⋅2
j: Elektronenemisionsstrom A: Richardson-Konstante (Materiealabhängig) T: Temperatur und Kelvin k: Bolzmankonstante ( k Nm
K= ⋅ −1381 10 23. ) WA: Austrittsarbeit (Material und Oberflächenabhängig)
48.2 Das Gesetz von Columb
FQ Q
r= ⋅
⋅14
1 220πε
r r
FQ Q
rrr= ⋅
⋅⋅1
41 2
20πε
Bei mehren Punktladung müssen die Kraftvektoren addiert werden.
Q1 Q2rrF: Kräfte zwischen ruhenden
Punktladungen im Vakum ε0 : Influenzkonstante
ε0 8854 10 212
2= ⋅ −. C
Nm
Q: Ladung [As]=[C] 48.3 Elektrisches Feld
r rr r r
E r QF rQ
Qr
rr
( , )( )
= = ⋅0 0
24πε Quelladung Q
Probeladung Q0
rr
48.3.1 E-Feld mehrer Punktladungen
Q1
Q2
rE1
rE2
rE
Superposition oder überlagerung der Felder. Vek. addition.
r r rE E E= +1 2
EQ
rrr
= ⋅4 0
2πε
r: Kugelradius [m] 48.4 Verschiebungsarbeit in einem Stationären Feld
W Q UAB= ⋅
Feldstärke zwischen 2 Platten s
Es
=U U: Spannung [V]
E: elek. Feldstärke [ V ] m W: Arbeit [Ws] Q: Ladung [As] [C]
48.5 Kraft zwischen Kondensatorplatten
FdWds
QA
= =2
02ε
48.6 Potential einer Punktladung Bezugspunkt ist im Unendlichen
+Q0 Punkt im unendlichen
+Qϕ(r)
ϕ( )rEQ
pot=0
ϕπε
( )rQ
r=
4 0
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 48. Elektrostatik
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48.7 Feldfluss und Satz von Gauss 48.14 Kapazität
rA
rE
A
ϕ
Feldfluss durch Fläche A
Φ A E E A= ⋅ ⋅ = •cos( )ϕA
r r
Feldfluss durch beliebige Fläche
ΦA E df= •∫A
r r
Satz von Gauss
ΦA Q=1
0ε
Q: Ladung inerhalb von A [As]
48.9 Flächenladungsdichte σ
σ =QA
Q =Ladung [C] [As] A =Öberfläche [m2]
48.10 Feld einer unendlich langen, geladen Geraden
E r( ) = ⋅1
r2 0πελ
≈1r
Linienladungsdichte:
λ =sQ
E(r )
r
s
48.11 Feld einer unendlich ausgedehnten,ebenen, homogenen Flächenladung
E x( ) = σε2 0
σ =Flächenladungsdichte
A
x
48.12 Feld einer Doppelschicht
EAussen = 0
EInnen =σε0
EInnen
EInnen EAussen
σA
σ 21 48.13 Elektisches Feld im innern und an der Oberfläche eines Leiters
EInnen = 0 EAussen =σε0
CQU
=
C: Kapazität [F] Q: Ladung [As]
Reelles C Idealles C U: Spannung [V] Seriegeschaltet Kondensator tragen die gleiche Ladung
UQ Ctot= ⋅
Q C U C U= ⋅ = ⋅ 1 1 2 2
Formelbuch S.59f Plattenkondensator C : Kapazität [F]
CAd
= ⋅ε ε0
ε0 : elek.Feldkonstante [ AsVm ]
: Permitivitätszahl [ ] εr2] A : Oberfläche [m
d : Durchmesser [m] C : Kapazität [F] Kugelkondensator
C r
r r=
−0
1 11 2
4πε ε
ε0 : elek.Feldkonstante [ AsVm ]
: Permitivitätszahl [ ] εr2] A : Oberfläche [m
d : Durchmesser [m] r1 : Radius innere Kugel [m] r2 : Radius äussere Kugel [m] C : Kapazität [F] Zylinderkondensator
C rr
r=
l⋅ ⋅2 02
1
π ε εln( )
ε0 : elek.Feldkonstante [ AsVm ]
: Permitivitätszahl [ ] εr 2] A : Oberfläche [m
d : Durchmesser [m] : Radius innen [m] r1 : Radius aussen [m] r2
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 48. Elektrostatik
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48.15 Energie im elektrischen Feld
C : Kapazität [F] W U C= ⋅1
22
U : Spannung [V] W : Energie [J ][Ws]
3V : Volumen [m ] EnergieDichte W : Energie [Ws]
wWV
= wdWdV
= Wsm3 ] w : Energiedichte [ AsVm: elek.Feldkonstante [ ] ε
w Er=ε ε0 2
2
0
: Permitivitätszahl [ ] ε r
Vm ] E : elek. Feldstärke [
Q :Ladung [As] Energie einer geladenen Kugel R : Radius [m]
WQ
Rr=
2
08πε ε
48.16 Endgeschwindigkeit eines Ions/Elektrons in einer Ionen / Elektronenkanone
m : Masse [Kg]
v UQm
= ⋅2Q : Ladung [C] U : Spannung [V]
: Energie [J] EKin
Mende Simon p.225,327
vEmKin= ⋅2
Ladung eines Elektrons Q=e=1.6021773E-19 C
Masse eines Elektrons me=9.10939E-31 kg
Mende Simon p.394 c: v-Licht=2.9979246E8 m/s An der Grenze der Lichtgeschwindigkeit m: Masse in ruhe [Kg]
v cm c
QU m c= ⋅ −
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1 0
2
02
2 Q: Ladung [C] U: Spannung [V] v: Geschwindigkeit [m/s]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 49. Magnetismus
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49.5 Magnetische Feldstärke 49. Magnetismus r
r
HB
r=
⋅μ μ0
H : Feldstärke [A/m]
49.1 Magnetische Flussdichte B (Induktion) Die wirkende Kraft F auf einen Leiter der länge l im mag.Fluss B und einem Strom I.
BF
I=
⋅l
Einheit: F : Kraft [N] I : Strom [A] l : Strecke [m] B : Flussdichte [T] [Vs/m2] [ ]B TeslaN
AmVsm= = =2
Kraftwirkung im homogenen mag.Feld:
F I B= ⋅ ⋅ ⋅l sin( )α Allgemein:
r r
lr
F I B= ⋅ ×( ) l zeitg in Stromrichtung I
α
SNB
49.2 Magnetischer Fluss φ Im homogenen mag. Feld
Φ = ⋅B A Allgemein
Φ = •∫r rB dA
A
B H= ⋅μ Einheit:
φ : Fluss [Vs] [Wb] B : Flussdichte [T] [Vs/m2] A : Fläche senkr. zu B [m2] H : Feldstärke [A/m] μ0 : 4π10-7 [Vs/Am]
49.3 Magnetische Feldkonstante μ0
μ π
μ0
7
06
4 101257 10
= ⋅
= ⋅
−
−
VsAm
VsAm.
49.4 Permeabilität μ
μ μ μ= ⋅0 r
μr : Permeablitätszahl (mat. abhängig)
μ : Permeablität VsAm
Θ = ⋅l H Θ : Durchflutung [A] B : Flussdichte [T] [Vs/m2]
H ist eine Rechenhilfsgrösse
Im inneren einer Kreisringspule
dr
l
H N I=
⋅l
l = 2πr
Magnetfeld in der Umgebung eines langen, geraden, zylindrischen Leiters.
H Ir
=⋅2π
Magnetfeld im Innern eines langen, geraden, zylindrischen Leuters.
H I rra
=⋅⋅2 2π
Magnetfeld in einer langen Koaxialleitung 1.Innenleiter 0 ≤ r ≤ r1
HI r
r=
⋅⋅2 1
2π
2.Zwischenraum r1 ≤ r ≤ r2
HI
r=⋅2π
3.Aussenleiter r2 ≤ r ≤ r3
H Ir
r rr r
= ⋅−−2
32 2
32
22π
4.Aussenraum r3 ≤ r ≤ ∞ H = 0
Magnetfeld im Metallrohr 1. r < a 3. r>b 2. a ≤ r ≤ b H = 0 H I
rr ab a
= ⋅−−2
2 2
2 2πH I
r=
2π ba
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49.6 Gesetz von BIOT-SAVART 49.7 Kräfte auf stromdurchflossen Leiter im magn. Feld
Das Gesetz von BIOT-SAVART
H H Q vr
= =⋅ ⋅
⋅
r sin( )απ4 2
( )r r rH Q
rv r=
⋅⋅ ×
4 3π
Q
rH
rr
rv
α
P
+
Q : Punktladung [As] v : Geschw. der Punktladung [m/s]
Für l>>a gilt: I1 I2
F F
l
a
Fla
I INA≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−0 2 10 6
1 22.
49.8 Kraft auf eine bewegte Ladung im magn. Feld (Lorenzkraft)
rAllgemein:
H Ir
dl= ⋅ ⋅∫4 2παsin
l
H I dr rr
dl= ⋅×
⋅∫4 3π
r r
l
r r
Q
rv
-
rBrF
rF
Q
rB
rv
+
F Q v B= ⋅ ×( )
[Q] = As (Ladung) [v] =m/s (Geschw. der Ladung)
[B] = Vsm2 (Flussdichte)
Magnetfeld eines dünnen, geraden Leiters beliebiger länge.
( )H Ia
=⋅
−4 1 2π
α αcos( ) cos( )
Spezialfall: Unendlich langer Leiter
H Ia
=⋅2π
49.9 Durchflutungsgesetz / Magnetische Spannung
Θ
Θ
= •
=•
∫
∫
r r
r rH ds
B dsμ
Θ : Durchflutung [A] 2] B : Flussdichte [Vs/m
H : Feldstärke [A/m] ds : Intergrationsweg [m] I : Strom [A] N : Windungen [ ] μ : Permeablität [Vs/Am]
Magnetfeld im Mittelpunkt einer kreisförmigen,dünnen Leiterschleife
H Ir
=⋅2
H
r I
I
Θ = ⋅N I Θ = ⋅l H
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49.10 Hysterese eines Ferrormagn. stoffes 49.12 Berechnen des Arbeitspunktes
Remanenzflussdichte BrKoerzitivfeldstärke -Hc
Daten aus der Neukurve: (erst magentisierung) Anfangspermeablität μa -> H=0
maximale Permeablität ( )μmax max= B
H Magnetostriktion: Änderung der Abmessung des Stoffes. Werkstoffarten: Harte Stoffer: Hc gross Weichestoffe: Hc klein
HcH
-Hc
-Br
Br
B
Neukurve
Hystereseschleife
Allgemein
Magentisierungskurve oder Kommutierungskurve bei magn. weichen Stoffen: (Hc gering) weicht nur geringfügig von der Neukurve ab. Sie wird für die technischen rechungen verwendet.
49.10 Magnetische Kreise Magnetischer Widerstand
Rm =ΘΦ
RAm =⋅l
μ
Magnetischer Leitwert
Λ =1
Rm
Rm : Magn. Widerstand [ A
Vs Henry= 1 ]
Λ : Magn. Leitwert [ VsA Henry= ]
Θ : Durchflutung [A] Φ : Fluss [Vs] [Wb] l : Länge [m] μ : Permeablität [Vs/Am]
Magnetische Spannung V H m = ⋅ =l Θ
V N Im = ⋅ = Θ
Vm : A = 1.256 Gilbert (Gb) H : Feldstärke [A/m] N : Windungszahl [ ] I : Strom [A]
49.11 Umrechungen
1 102 24T GWb
mVsm
= = =
1 1 108Wb Vs M= =
1 11 256Gb A= .
Wb = Weber T = Tesla M = Maxwell G = Gauss Oe = Oersted Gb = Gilbert
Θ = ⋅ + ⋅= ⋅ +
H HH L
Fe Fe L L
Fe FeBL
l l
l lμ 0
Auslesen aus Magnetisierungskurve
ALuft = AEisen (BL=BFe) gleicher Querschnitt
BH
Fe
L
*
* =⋅μ0 l
l
BL
* =⋅μ0 Θl
HFe
* =Θl
ALuft ≠ AEisen (BL≠BFe) unterschiedlicher Q.sch.
BAAL
L
Fe* =
⋅⋅
μ0 Θl
HFe
* = Θl
BLuft=f(HFe)
BFe=f(HFe)
H*
B*
HFeHFe AP
BAP
Arbeits-punkt
B
lL : mit Länge des Luftspaltes [m] μ0 : 4π10-7 [Vs/Am] lFe : mit. Länge des Eisens [m] Θ : Magnetische Spannung [A] H : Feldstärke [A/m] N : Windungszahl [ ] I : Strom [A] AFe : Querschnitt Eisen [m2] AL : Querschnitt Luft [m2]
Θ = ⋅N I Θ = ⋅l H
49.12.1 Dauermagnet Berechnung des Arbeitspunktes Schnittpunkt (Luftspaltgerade,Magnetkurve)
BH
AA
Fe
Fe
D L
L D=− ⋅ ⋅
⋅μ0 l
l
AL : Fläche Luftspalt [m2] AD : Querschnittsfläche Magnet [m2] lD : Länge Magnet [m] lL : Länge Luftspalt [m]
lD
lL
AD
AL
BH
Fe
Fe
B
H
BFe
HFe
49.12.1 Achtung bei schräger Schnittfläche Bei schräger Schnittfläche ist der Eisenquerschnitt AFe nicht gleich dem Luftquerschnitt AL. d.h die Schnittfläche ist nicht gleich der aktiven Fläche.
lL
F
F
AL
AFe
Dies ist insbesondere bei grossem Luftspalt der Fall. Der Grund liegt darin, dass die Feldlinien senkrecht das Eisen verlassen.
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 49. Magnetismus
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49.13 Bewegungsspannung 49.15 Gegenseitige Induktion („Trafo“)
u B vL = • ×r r r
l( )
u B vL = ⋅ ⋅l v
l
B
I
V
B : Flussdichte [T][Vs/m2] l : Länge Stab [m] v : Geschwindigkeit [m/s] uL : Ind. Spannung [V]
Flussverkettung
Ψ
49.14 Selbstinduktion Selbstinduktive Spannung
ud
dtN d
dtm= =
⋅ψ φ
u N didt
= ⋅2 Λ Λ =⋅μ Al
u L didt
=
Für Sinusgrossen gilt: u t L t( ) cos( )= ⋅ ⋅ω ω
Selbstinduktivität
LIm=
ψ L N
I=
⋅φ
L N= ⋅2 Λ Λ =⋅μ Al
L : Induktivität [Henry] Λ : Magnetischer Leitwert I : Strom [A] N : Windungen [ ] φ : Fluss [Vs]
Ψ Ψ1 1 1 2 12 11 12= ⋅ + ⋅ = +N Nφ φ Ψ Ψ Ψ2 2 2 1 21 21 22= ⋅ + ⋅ = +N Nφ φ
LGegeninduktivität M L
,L = [ Henry H] (Gegeninduktivität) 12 21
L= =12 21 Ψ = [Vs] (Verkettungsfluss ) (M ist veraltet)
LI12
12
2=Ψ
LI21
21
1=Ψ
Gegeninduktivität von zwei einlagige Zylinderspulen nebeneinnader auf einem Kern
l
N1
N2
d
L N N d12
1 22
4=
⋅ ⋅μ πl
Gegeninduktivität von zwei Doppelleitungen
b
l
a
L ab12
02
221=
⋅+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
μπl
ln
Kopplungsfaktor Bei Idealler Kopplung (k=1) gilt:
kL
L L=
⋅12
1 2
L L L12 1 2= ⋅
Feste Kopplung: k ≈ 1 Lose Kopplung k < 0.8 Streufaktor
δ = −1 2k
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49.16 Streuung ,Skineffekt, Wirbelstrom
Wirbelstrom ohne Lamenierung
P I RWirbel wo= ⋅2
Iwo: Wirbelstrom ohne Lamenierung
Wirbelstrom mit Lamenierung
PInWirbelwo=2
IInwmwo=
Iwm: Wirbelstrom mit Lamenierung Siehe auch 53.1 Transformator
49.17 Energie im mag. Feld Im linearen Feld
W L I
H A B A
A
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ =⋅
=⋅ ⋅
12
2
12
12
2
2
2
μμ
φμ
ll
l
siehe auch 50.2 W F= ⋅l
Im nicht linearen Feld
w B H H
B EV
= ⋅ = ⋅
=⋅
=
12
12
2
2
2
μ
μ
Die Gesammte Energie W w dV= ⋅
W : Energie [J] μ0 : 4π10-7 [Vs/Am] F : Kraft [N] A : Fläche Luft [m2] H : Feldstärke [A/m] B : Flussdichte [T] [Vs/m2] φ : Fluss [Vs] [Wb]
Verluste: Eisenverluste=Hysterese+Wirbelverluste
siehe auch 53.1 Transformatoren
49.18 Eisenverluste Verluste ist die komplette Fläche unter der hysterese Kurve
P dWdV
VVerlust = ⋅
Im Wechselfeld
P dWdV
V fVerlust = ⋅ ⋅
dWdV : Energie pro Volumen [Ws/m3] [J/m3]
V : Volumen [m3] f : Frequenz [Hz] [1/s]
-Hc Hc
B
H
H-Br
Br
Hysterese-schleife
Siehe auch 53.1 Transformator
49.19 Kräfte im mag. Feld Allgemein
I
α
SNB
rl
r
l
l
F i d B
F i B
= ×⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ⋅ ⋅
→
∫0
(senkrecht)
Für l>>a gilt: I1 I2
F F
l
a
Fla
I INA≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−0 2 10 6
1 22.
B
F
I
A
Kraft an Grenzflächen
F A B=
⋅⋅
2
02 μF dW
ds=
F H A= 12
20μ
FA
=⋅ ⋅Φ2
02 μ
Für die berechnung des Arbeitspunktes B (oder H) siehe 49.12 Berechnung der Arbeitspunktes
μ0 : 4π10-7 [Vs/Am] F : Kraft [N] A : Fläche Luft [m2] H : Feldstärke [A/m]
2] B : Flussdichte [T] [Vs/m φ : Fluss [Vs] [Wb]
49.20 Fachbegriffe Magnetostriktion: Änderung der
geometrischen Abmessung im Magnetfeld. Sättigung: Punkt bei welchem das B mit μ
steigt. ( )BH = μ . Neukurve: Kurve die entsteht wenn ein nicht
magnetisierter ferrormagnetischer Stoff magnetisiert wird.
Kommutierungskurve: auch Magnetierungskurve genannt :entsteht duch
Aufnahmen mehrer hysteresenkurven mit unterschiedlichen höchstwerten.
Koerzitivfeldstärke: Das Hc in der Hysterese-schleife bei welchem das B Null wird.
Remanenzflussdichte: Das Br in der Hysterese-schleife bei welchem das H Null wird.
49.21 Ablenkung von Elektronen im Magnetischen Feld
v: : Geschwindigkeit [m/s] r m v
q B=
⋅⋅
m: : Masse der Ladung [Kg] q: : Ladung [As] B: : Flussdichte [T] r: : Radius [m]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 49. Magnetismus
M.D 07.09.2006 22:55:00 Seite: 6/6
49.22 Kreisstrom 49.27 Magentisierung
0
z
N Ir
H N I r
r z=
⋅ ⋅
⋅ +
2
2 2232( )
( )r r rB H M= +μ0
χ: Magn. Suszeptibilität M: Magnetisierung durch ausrichtung
magn. Dipole r vM Hm= ⋅χ Temperaturabhängigkeit des Paramagnetismus
χm T~
1ur m= +1 χ
49.23 Zylinderspule
( ) ( )H N I z
r z
z
r z=
⋅⋅
+
+ +−
−
+ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥2
2
22
22
22
2l
l
l
l
l I Il N I
r dH z
z=0
49.24 Helmholzspule
( ) ( )H N I r
r z r zb b=
⋅ ⋅
+ ++
+ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
2
22
22
21 1
32
32
-b2 +
b2
I⋅N I⋅Nb
rr
0
49.25 Magnetisches Moment
r r rj I A n I A= ⋅ ⋅ = ⋅
r r rM j B= ×
r r rM I A B= ⋅ ×( )
j: magnetisches Moment [Am2] n: normalen Vektor A: Fläche um den der Strom fliesst [m2] B: Fluss [T] M: Dehmoment [Nm]
49.26 Spannungsstoss Die über die Zeit integrierte Spannung nennt man Spannungsstoss. Sie ist unabhängig von der Geschwindigkeit:
u dt Nt
t
⋅ ==∫ ΔΦ
0
1
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 50. R-L-C-Elemente
50. R L C-Elemente 50.3 Widerstand Strom R
u
i50.1 Kondensator i uR= Strom:
i C dudt=
Spannung
uC
i dt Ut
t
= ⋅ +∫1
0
1
0
Energie
W C u= ⋅12
2
Kapazität
Q C U= ⋅ Wechselspannung
Z j C= 1ω
C
u
i
i: Strom i(t) [A] C: Kapazität [F] u: Spannung u(t) [V] W: Gespeicherte Energie [Ws] t0: Zeit zum Zeitpunkt 0 [s] t1: Zeit zumZeitpunkk 1 [s] U0: Spannung zum Zeitpunkt 0 [V] Q: Ladung [As] Die Spannung eilt dem strom 90° nach
Spannung u i R= ⋅ i: Strom i(t) [A] R: Widerstand [Ω]
Leistung u: Spannung u(t) [V] P U I= ⋅ W: Abgegebene Leistung [W]
50.4 RCL-Schaltungen 50.4.1 R - Schaltungen
Umrechnung Strom-Spannungsquelle <=>
R R1 2= U I Rq q= ⋅ 2Uq R2
R1
U
II
Iq
U
IURq
q=1
Umrechung Spannungsquelle mit Spannungsteilter
Uq2
Ri
I
U
U
Uq1
R2
R1
I
50.2 Spule Strom
u Ldidt
=
Spannung
iL
u dt It
t
= ⋅ +∫1
00
1
Energie (Integral i*u)
W L i= ⋅12
2
Wechselspannung
Z j L= ω
L
u
i
i: Strom i(t) [A] L: Indukivität [H] u: Spannung u(t) [V] W: Gespeicherte Energie [Ws] t0: Zeit zum Zeitpunkt 0 [s] t1: Zeit zumZeitpunkk 1 [s] I0: Strom zum Zeitpunkt 0 [A] Die Spannung eilt dem Strom 90° vorraus
R R Ri = 1 2
U UR
R Rq q2 12
1 2=
+
Umrechnung Stern - Dreieck HP [/HOME/ALGE/ELEKTR]
R22 R33
R113 2
1
R1
3 2
1
R3 R2
R R RR R
R
R R RR RR
R R RR RR
11 2 32 3
1
22 1 31 3
2
33 1 21 2
3
= + +
= + +
= + +
Umrechnung Dreieck - Stern
R22 R33
R11
R1
3 2 3 2
11
R3 R2
Datum:07.09.2006 22:55:00 Seite: 1/3
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 50. R-L-C-Elemente
R
R RR R R
RR R
R R R
RR R
R R R
122 33
11 22 33
211 33
11 22 33
311 22
11 22 33
=+ +
=+ +
=+ +
50.4.2 RC-Schaltungen Kories p.23 Laden
R CUq uC
i(t)
i tUR
eqt
RC( ) =−
iuR
q0=
τ = ⋅R C
u U eC q
tRC= ⋅ −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−1
Strom
u U eR q
tRC= ⋅
−
ti t R
UR C
q= −
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ ⋅ln
( )
( )t R CU U
Uq C
q= − ⋅ ⋅
−ln
7 t/τ
EntladenLaden
109865432
I0
I0
1
Entladen
u u u eC R
tR C= = ⋅
−⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0
Spannung uC
u0Uq
Laden Entladen
t/τ7 1098654321
i i et
RC= − ⋅−
0 iuR0
0=
tuu
RCC= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ln
0
Bei Belastetem Kondensator siehe 50.4.1 Umrechnung Spannungsteiler
R1
R2C
Uq uC
i(t)
Bemerkung:
Wenn der Kondensator bereits vorgeladen ist, dann ist in obigen Formeln Uq=Uq1-U und U =UC0 c c0+Uc1
Datum:07.09.2006 22:55:00 Seite: 2/3
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 50. R-L-C-Elemente
50.4.3 RL-Schaltung Laden
LRUq uL
i
iUR
eqt RL= −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⋅
1 i uR00=
τ = LR
u U eR q
t RL= −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⋅
1 Strom
u U eL q
t RL= ⋅
−⋅
7 t/τ
EntladenLaden
109865432
I0
1
tLR
uU
L
q= − ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ln
( )t LR
U i t RU
q
q= − ⋅
− ⋅ln
( )
Entladen
u u U eR L
t RL= = − ⋅
−⋅
0
i i et RL= ⋅
−⋅
0 i uR00=
tLR
uU
L= ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ln
0
Spannung uL
Uq
u0
Laden Entladen
t/τ7 1098654321
Bei Belasteter Spule siehe 50.4.1Umrechnung Spannungsteiler L
R2
R1
Uq uL
i
Datum:07.09.2006 22:55:00 Seite: 3/3
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 51. Schwingkreis
M.D 07.09.2006 22:56:00 Seite: 1/3
51.1.6 Bandbreite 51. Schwingkreis 3dB Grenze
BQg g= − =+ −ω ωω0
51.1 Serie-Schwingkreis 51.1.1 Resonanzfrequenz
ω0
1=
LC fLC0
12
=π
Die Dämpfung R hat keinen Einfluss auf die Resonanzfrequenz
51.1.2 Kreisgüte
QI XI R
XR
L L=⋅
=2
2
QL
R=
ω0 Q
LR LR
=
Q RLC= 1
I
U
ULUC
R LC
UR
I UR
UX UZ
R
XC+XL
51.1.3 Dämpfung oder Verlustfaktor Dämpfung:
DQ
=1
2
Verlustfaktor:
dQ
= =σ1
Q : Kreisgüte [ ] D: : Dämpfung [ ]
51.1.4 Verstimmung Relative Frequenzabweichung
v = −ωω
ωω0
0
Normierte Frequenzabweichung
v = −Ω Ω1
Bei der Verstimmung v=1/Q besteht ein phasenverhältnis von 45° ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] ω : Ist Frequenz 2πf [Hz] v : Verstimmung [ ]
51.1.5 Grenzfrequenz
ω ωg Q Q± = ± + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟0
212
11
2
u
ω
B
3dB
ωg- ωg+ω0
ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] ωg+ : Obere Grenzfrequenz 2πf [Hz]
: Untere Grenzfrequenz 2πf [Hz] ωg-Q : Kreisgüte [ ]
51.1.7 Impedanz
[ ]Z R jQvSer = ⋅ +1
51.1.8 Der Stromverlauf I : Resonanzstrom
[ ]I
I
QvSer
R=+1
2
R
51.1.9 Phasenverschiebung
( ) tg Q vϕ = ⋅
VV
V
= −∞ ⇒ = − °= ⇒ = − °
= +∞ ⇒ = + °
ϕϕ
ϕ
900 0
90
ϕ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟arccos
Re
II s
I : Strom bei Resonanz Res U : Spannung über X +XX C L
U : Spannung über R R
ϕ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟arctan
UU
X
R
51.1.10 Spannung über der Induktivität und Kapazität Spule:
I
U
ULUC
R LC
UR
( )U U Q
QvL = ⋅ ⋅ ⋅
+
ωω0
2
1
1
Bei Resonanz
U U QL = ⋅ Kondensator:
( )U U Q
QvC = ⋅ ⋅
⋅ +
1
10
2ωω
?
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 51. Schwingkreis
M.D 07.09.2006 22:56:00 Seite: 2/3
51.2 Parallelschwingkreis 51.1.11 Frequenz für die maximalwerte für U und UL C
51.2.1 Resonanzfrequenz Die Abweichung zur Stromresonanz beträgt weniger als 2.5% wenn R ≤ 0.1*X
fL C R CL ⋅ ⋅ −2 2 2π
= ⋅1 2
2Resonanz.
( )fLC
RLC = ⋅ ⋅
⋅1
21
2
2
2π
Der Verlustwiderstand R
51.1.12 Funktionen UR = f(UX) U=konst.
ϕ =⎛⎜
⎞⎟arccos
I⎝ ⎠ReI s
ϕUX
U
UR
I
Ungefähr: L bewirkt dass die Resonanzfrequenz niedriger wird
ω0
1≅
LC
U
IL
IC
p
L
CI
IRR
Exakt:
ω0
21= −
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥LC
RL
L
ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz]
51.2.2 Umwandeln Reihenwiderstand R in Parallelwiderstand RL P
R
RL
C RPL
=⋅
L : steht in serie zu L (Spulenwiderstand)
Rp : Spulenwiderstand
51.2.3 Strom im Resonanzfall U : Spannung bei Resonanz [V]
IU
Res =RP
: Strom bei Resonanz [A] IRes Rp : Paralellwiderstand [Ω]
51.2.4 Dämpfung oder Verlustfaktor
δω
= =⋅
0
0R C RP P
ω ⋅=
1LR
LC
P
δ = 1Q
ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] Rp : Paralellwiderstand [Ω] Q : Kreisgüte [ ] δ : Dämpfung [ ]
51.2.5 Kreisgüte Eventueller Vorwiederstand wirkt parallel zu RQ R C= ω0 p
p
Q RpCL=
Q = =δ
RPLC
1 Q
RLP=
ω0
ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] Rp : Paralellwiderstand [Ω] Q : Kreisgüte [ ] δ : Dämpfung [ ]
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 51. Schwingkreis
M.D 07.09.2006 22:56:00 Seite: 3/3
51.2.6 Verstimmung 51.2.13 Strom duch die Induktivität und Kapaziät
Relative Frequenzabweichung
v = −ωω
ωω0
0
Normierte Frequenzabweichung
v = −Ω Ω1
Ω =ωω0
Bei der Verstimmung v=1/Q besteht ein phasenverhältnis von 45° ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] ω : Ist Frequenz 2πf [Hz] v : Verstimmung [ ]
Spule:
U
IL
IC
R
L
CI
IR
( )II
L =+ −
Res
δ δ2 2
51.2.7 Grenzfrequenz
ω ωg Q Q± = ± + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟0
212
11
2
u
ω
B
3dB
ωg- ωg+ω0 51.2.8 Bandbreite
BQg g= − =+ −ω ωω0
Qg g
=+ −−ω
ω ω0
ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz] ωg+ : Obere Grenzfrequenz 2πf [Hz] ωg- : Untere Grenzfrequenz 2πf [Hz] Q : Kreisgüte [ ]
51.2.9 Impedanz
ZRjQvP=
+1 v : Verstimmung [ ] Q : Kreisgüte [ ] Rp : Paralellwiderstand [Ω]
51.2.10 Spannungsresonanz
[ ]
UU
Qv=
+
02
1
U0 : Spannung im Resonanzfall [V] v : Verstimmung [ ] Q : Kreisgüte [ ]
51.2.11 Der Stromverlauf
( )( )
( )[ ]I =+ − −
⋅ + −
δ δ
δ δ δ
2 2 2 2 3
2 2 2
1 1
1
Ω Ω
Ω
Ω =ωω0
δ : Dämpfung [ ]
51.2.12 Phasenverschiebung
( ) ( )tan( )ϕ
δδ
=−
⋅ −1
13
2Ω Ω Ω =
ωω0
δ : Dämpfung [ ]
21Ω
Kondensator: I C U
IC = ⋅ ⋅
= ⋅ΩΩ
ω0
Res
δ : Dämpfung [ ] ω0 : Kreisfrequenz (res.) 2πf [Hz]
51.2.14 Frequenz für die maximalwerte für I und IL C
Die Abweichung zur Spannungsresonanz beträgt weniger als 2.5% wenn R ≤ 0.1*Xf
L C R CC = ⋅⋅ ⋅ −
12
22 2 2π Resonanz.
( )f
LCR
LL = ⋅ ⋅⋅
12
12
2
2π
R=Rp : Paralellwiderstand [Ω]
51.3 Spezialfall Frequenzunabhängig und
C
LR
RImpedanz Reel
RLC
=
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 52. B-S-W-Leistung
52. Wirk-Schein-Blindleistung 52.4 Scheinleistung (Kories p.193ff) Für beliebige Spannungen und Ströme
S U I=52.1 Effektivwert / quadratischer Mittelwert /true r.m.s S: Scheinleistung [VA] Spannung
U u dtEff T
T
= ⋅∫1 2
0
Strom
I i dtEff T
T
= ⋅∫1 2
0
t
u
Der Effektivewert orientiert sich an der Leistung u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]
Messinstrumente die den eff.Wert messen Weitere Messgeräte Kories p.210 Dreheisen
( )α = f I2 Messgrösse I , U
Elektrostatisch ( )α = f U 2
Messgrösse: U
52.2 Gleichrichtwert Spannung
u u dtT
T
= ⋅∫1
0
Strom
i i dtT
T
= ⋅∫1
0
t
ui
u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]
Messinstrumente die den gl.ri.Wert messen Weitere Messgeräte Kories p.210
Drehspul mit gleichrichter α = ⋅k i
Messgrösse: U , I
52.3 Gleichwert / arithmeischer Mittelwert Spannung
u u dtT
T
= ⋅∫1
0
Strom
i i dtT
T
= ⋅∫1
0
t
ui
Messinstrumente die den Gleichwert messen
Weitere Messgeräte Kories p.210
Drehspul α = ⋅k i
Messgrösse: U , I
Drehmagnet α = ⋅k i
Messgrösse: U , I
Eff Eff⋅ : Effektivspannung [V] UEff
( ) ( )S u dt i dT T
TT
= ∫∫1 2 1 2
00
*
I
t
Eff: Effektivstrom [A] u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]
52.5 Wirkleistung
P: Wirkleistung [W] Für beliebige Spannungen und Ströme : Effektivspannung [V] U
P u i dtT= ⋅ ⋅∫1
0
T EffIEff: Effektivstrom [A] u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]
Für Sinusgrössen
( )P U IEff Eff= ⋅ ⋅ cos ϕi
u
ϕ
cos(ϕ) Leistungs- oder Wirkfaktor [ ]
52.6 Blindleistung
P: Wirkleistung [W] Für beliebiege Spannungen und Ströme S: Scheinleistung [VA]
Q S P= −2 2 Q: Blindleistung [VAr]
: Effektivwert der spannung [V] UEffFür Sinusgrössen zusätzlich IEff: Effektivwert des stromes [A] ( )Q U IEff Eff= ⋅ ⋅sin ϕ u: Spannung u(t) [V] i: Strom i(t) [A]
sin(ϕ) Blindfaktor [ ]
Datum:07.09.2006 22:56:00 Seite:1
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 52. B-S-W-Leistung
52.7 Leistungs- oder Wirkfaktor cos(ϕ) Leistungs- oder Wirkfaktor [ ]
cos( )ϕ =PS
52.7.1 Blindfaktor
sin(ϕ) Blindfaktor [ ] sin( )ϕ =
QS
52.8 Scheitelfaktor = 1.414 Sinus ks
1.732 Dreieck
kU
Useff
=$ 1.000 Rechteck
2.000 Einweggleichrichter 1.414 Doppelweggleichrichter 1.190 Dreiphasengleichrichtung 1.732 Sägezahn
52.8 Formfaktor = 1.111 Sinus kf
1.155 Dreieck
kUUf
eff= 1.000 Rechteck 1.571 Einweggleichrichter
1.111 Doppelweggleichrichter 1.017 Dreiphasengleichrichtung 1.155 Sägezahn
Drehspul-Messinstrument mit vorgeschaltetem Gleichricheter werden mit dem Formfaktor geeicht. Das Messinstrument zeigt den Gleichrichtwert an.
U k U Siehe auch 52.2 eff f= ⋅Somit:
Datum:07.09.2006 22:56:00 Seite:2
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 53. Transformator
M.D 07.09.2006 23:04:00 Seite: 1
53. Transformator Unter Last
P I R I RCU P P S S= ⋅ + ⋅2 2
53.1 Eigenschaften Kupferverluste Im Leerlauf
Trafo wirk wie eine Drosselspule cos(ϕ)=0.1...0.4 Leerlaufstrom Es treten die Eisenverluste PFE auf. Sie sind belastungsunabhängig.Weil der Arbeitspunkt
nicht verändert wird => P P PFE H W= +
Die Hysteresenverluste sind abhängig von = Induktion B [T] = Frequenz f [Hz] = Eisenqualität δH
=> P f BH H≅ ⋅ ⋅δ 2
Wirbelstromverluste sind abhängig von = Induktion B [T] = Frequenz f [Hz] = Eisenqualität δW = Konstruktion
=> P f BW W≅ ⋅ ⋅δ 2 2 Wirbelverluste steigen im Quadrat
der Frequenz
Im Beispiel des Netzes 50 / 60Hz steigen die Wirbelverluste um 2 Bemerkung: Bei sehr kleinen Frequenzen ( fast Gleichspannung) hat man nur noch hysterese
Verluste. dh. PW ≈ 0
Die Kupferverluste sind Quadratisch von der Belastung abhängig
P P P Gesammtverluste FE
f
f2
k*B2
50 Hz0
3000
2500
2000
1500
1000
500
604030200 10
V CU= +
Im Kurzschluss Die Kurzschlussspannung Uk ist ein mass für Spannungsfestigkeit/Spannungsänderung bei
belastungsänderung des Trafos
Relative kurzschlussspannung [ ]ε = ⋅UU
k
1100 %
Uk Eingangsspannung(Primärspannung) wenn im ausgang (Sek.) Nennstrom fliesst. BEISPIELE • Grosser Trafo ε = 3...10% • Kleintraffo ε = 15% • Klingeltrafo ε = 40% • Schweistrafo ε = 100%
53.2 Übersetzungsverhältnis (Linder p.162) Übertragungsfaktor
&&uN
UU
II
= = =1
2
1
2
2
1
N
Impedanzverhältnis
Z ZNN
Z u2 21
2
2
22' &&=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅
Z2’ N2N1
I1 I2
Z2
53.3 Induzierte Spannungen Eingangsspannung (Prim.)
U N feff12
2 1= ⋅ ⋅π $Φ U1 N2N1
Primär Sekundär
I1 I2
U2
Ausgangsspannung (Sek.)
U N feff22
2 2= ⋅ ⋅π $Φ
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 54. Motoren
54.4 Asynchronmaschine (Linder p223) 54. Motoren Der Asynchronmotor kann nicht oder nur wenn
die Statorwicklung mit Strom durchflossen ist als Generator betrieben werden, da das Erre-gerfeld via Induktion aus der Ständerwicklung genommen wird.
Eigenschaften: Kleines Anlaufmoment bei grosser Strom-
aufnahme 54.1 Allgemein (Lindner p.199) Folgende Motorarten haben sich durchgesetzt
Spannungsversorgung Motorart Für geregelten Antieb geeignet Kurzschlussläufermotor Gleichstrom Kollektormotor JA Kurzgeschlossene Drehstromwicklung in Stern-schaltung.
Drehstrom Asynchronmotor Synchronmotor
JA Frequenzumrichter
Besitzt einen grossen an Anlaufstrom. Einphasen Wechselstrom Kollektormotor Kleine Leisung (Universalmo-tor) Grosse Leistung (Antrieb)
NEIN Schleifringläufermotor Der Läufer(Rotor) enthält eine Drehstromwick-lung mit gleicher polzahl wie der Ständer und ist in Sterngeschaltet. Die Wicklungsenden werden über Schleifringe nach aussengeführt und zu einem Anlasser geführt.
54.2 Lastmoment Beharrungsmoment (Losbrechmoment) Beschleunigungsmoment
Arten von Lastmomenten M = konst P ~ n M ~ n P ~ n2
M ~ n2 P ~ n3 M ~ 1/n P = konst. f: Frequenz der Spannung [Hz] Drehzahl:
M=konst
P~n
M
n
P~n2
M~n
M
n
P~n3
M~n2
M
n
M~1/n
P=konst
M
n 54.3 Synchronmaschiene (Lindner p217) Generator
Erregerleistung beträgt weniger als 2% und muss von aussen zugeführt werden
Vorwiegend verwendet in der Energieer-zeugung.
Synchronisation mit Netz bei gleicher Fre-quenz,Phase und Spannung F2F1
G
W1U1 V1
GS3~
L3L2L1
Motor
Drehzahl enspricht dem Drehfeld Braucht eine Anfahrhilfe Verwendet Drehstrom
Drehzahl
nf
ps =⋅60
f: Frequenz der Spannung [Hz] p: Polpaarzahl [ ] ns: Synchrondrehzahl [min-1]
nf
ps =⋅60
Die ist Drehzahl ist kleiner als ns
Leistung:
P M= ⋅ω
P M n= ⋅ ⋅2π Schlupf:
sn n
ns
s=
− f f si = ⋅
fi: Frequenz der Rotorspannung p: Polpaarzahl [ ]
: Synchrondrehzahl [min-1] ns Diese wird normalerweise nie erreicht. n: Ist Drehzahl [min-1] s: Schlupf [ ] M: Drehmoment [Nm] ω: Winkelgeschwindigkeit [rad] s<0 Generator betrieb s>0 Motorbetrieb
Schlupfkennlinie Drehzahlkennlinie
Bremse Motor
Losbrechmoment
Generator
LastenkennlinieAP
Abeits-bereich
Kippunkt
Instabil
Stabiler AP
ns
P~M
n
Bremse Motor
Losbrechmoment
Generator
LastenkennlinieAP
Kippunkt
Abeits-bereich
Instabil
Stabiler AP
n=nss=0
P~M
n=0s=1s -s
Datum:07.09.2006 23:05:00 Seite:1
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 54. Motoren 54.5.2 Drehzahl / Drehmoment Induktionsregeler:
Die Rotorspannung wird über Schleifringe nach Aussen geführt. Der Rotor wird blockiert und steht in einem Winkel zum Stator. Die dabei vom Fluss durchflossenen Fläche A ist die Stellgrösse.
U f N B A consts20 24 44= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅. $ f: Netzfrequenz [Hz]
Amax
B: Flussdichte [T] N2: Rotorwindungen [ ] A: Fläche vom Fluss durchflossen [m2] U20: Spannung vom Rotor abgegeben [V] s: Schlupf [ ]
Umax Umin
Amin
StatorStator
Rotor
StatorStator
U U s2 20= ⋅
UNebenschlussmotor: Fremd err.
i: Induzierte Spannung [V]
M
IA I: Aufgenommer Strom [A] : Maschienen konstante [ ] kM k Im= ⋅ ⋅Φ m
Drehzahlregelung: polpaarumschaltung (Dahlanderschaltung) Variable Spannung
Frequenzumrichter Schlupfsteuerung
54.5 Gleichstrommaschine / Kollektormaschinen / Einphasenmotor Diese Art von Motoren kann so wohl für Gleich-spannung wie auch für Einphasen-Wechselspannung verwendet werden, sofern kein Permament Magnet verwendet werden
Erregung
Rotor Wicklung
Die maximale Drehzahl ist durch die mechani-sche Festigkeit, insbesondere durch den Kol-lektor, bestimmt.
0..5kW <20'000 min-1
5...100kW < 5'000 min-1
100... kW < 2'000 min-1
54.5.1 Schaltungsarten Nebenschluss (Regelungsaufgaben) Feld
Anker
IA
UA
M
n
UA=konst
M
IA
Hauptschluss (Traktionsaufgaben) Besitzt ein grosses Anzugsmoment. ( Laststrom und Erregerstrom sind gleich )
Anker
Feld IA
nUM
~
M
n
IA ~ M2
M
IA
Doppelschluss Nur bei gesteuertem Antrieb. Beeinflussun-ge der Lastromabhän-gigen Drehzahlände-rung.
-
-
+
Anker
+
Wendepole
IA FeldKompund
Mitkompoundschal-tung
M
Doppelschluss
Nebenschlussn
Durch die Kompound-schaltung verliert die Momentenkenlinie ihre proportionalität zum Laststrom.
kp Z
am =⋅⋅2π
nU
kg≅
⋅Φ
kZ pag =⋅⋅60
U
n
kg: Maschienen konstante [ ] M: Drehmoment [Nm] Φ: Fluss [Vs][Wb] a: Anzahl parallele Rotorwicklungs- zweigpaare. [ ] p: Polpaarzahl [ ] Z: Anzahl Leiter im Rotor [ ] Sollte der Fluss aus irrgend einem Grund verschwinden wird sich die Maschinen eine zerstörerische Geschwindigkeit erreichen
Dieser Motor darf nur unter Lastbetrieben werden da es sonst zu einer zerstörerischen Drehzahl kommen kann.
Hauptschlussmotor: n
UM
~
M
n
nUM
~
54.5.3 Aufbau
8
5
4
9
110
8
32 (1) Stator, Jochring (2) Hauptpole (3) Feldwicklung (4) Rotor (Anker) (5) Rotorwicklung (8) Wendepole (9) Wendepolewicklung (10) Kompensationswicklung (Kompound)
Wendepol Bewirken eine Verbesserung der Kommutie- rung.
Die Bürsten schalten dann nahezu stromlos. Erregung erfolgt durch den Laststrom Für mehr als 200W standard Wird vom Laststrom durchflossen. Kompoundwicklung Es wird eine Lastromabhängige Komponente der Erregung hinzugefügt.
Siehe auch Ankerrückwirkung. Für mehr als 100kW standardmässig vorhan-den.
Datum:07.09.2006 23:05:00 Seite:2
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 54. Motoren
54.6 Brushless DC-Motor / Schrittmotor (Lindner p.241) 54.5.4 Ankerrückwirkung Deformation des Erregerfeldes auf Grund der Last. Bei reduziertem Erregerfluss tritt die Anker-rückwirkung stärker auf.
54.7 Linearmotor (Lindner p.239) Auswirkungen: Reduktion & beseitigung:• Verschiebung der neutralen Zone. Strom-
wendung findet nicht mehr bei 0 statt. Ver-schlechterung der Komutierung
• Erhöhung der Lamellenspannung. Darf nicht grossernals 20-25V werden. Rund-feuergefahr
• Sättigungserscheinungen an den Polkanten und Ankerzähnen
• Verschieben der Bürsten in die Neutralen-zone(einstellung auf mittlere Leistung)
• Konstruktive massnahme. Geeignet pol-schuhform verwenden.
• Einsetzen von Wendepolen. Hierbei wird die neutrale Zone für die komutierung si-chergestellt. (Die AR bleibt bestehen)
• Verwendung von Kompesationswicklungen. Nur P>100kW. Mit ihr wird die Ursache der Ankerrückwirkung eliminiert
Kurzstatormotor Langstatormotor
54.5.5 Kommutator / Stromwender Während der der neutralen Zone ändert im Stromleiter die von +I
Kommutierungsverlauf: a auf -Ia. Dieser Wechsel
erfolgt während der kommutierungsphase Tk.
Tbvk
k
k=
bk: Bürstenbreite : Umfangsgeschwindigkeit Kollektor
Idealekommutierung
Überkommutierung
t
Unterkommutierung
i
-Ia
+Ia
Tk
vk Während der Kommutierungsphase sind min-destens zwei Lamellen kurzgeschlossen.
54.5.6 Generatorbetrieb
t
UADurch das Umschalten des Kommutators erhält man am ausgang immer eine Pulsierende Gleichspannung
t
UABei besseren Spulenanordung erhält man eine weichere Ausgangsspannung
UDie Induzierte Spannung beträgt i: Induzierte Spannung [V]
U k ni g= ⋅ ⋅Φ
kZ pag =⋅⋅60
kg: Maschienen konstante [ ] n: Drehzahl [min-1] Φ: Fluss [Vs][Wb] a: Anzahl parallele Rotorwicklungs- zweigpaare. [ ] p: Polpaarzahl [ ] Z: Anzahl Leiter im Rotor [ ]
Datum:07.09.2006 23:05:00 Seite:3
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 55.Stromversorgung
55. Stromversorgung 55.2 Gleichrichterschaltungen (Lindner p.648 ,Kories p.483)
55.1 Brumspannung (Kories p.483) Für Vollweg Gleichrichter gilt:
$Uif CBr = ⋅ ⋅4
$Uu
R f CBr = ⋅ ⋅ ⋅4
Ua
Tt
ÛBr
ÛBr: Brumspannung [V] i: mittlere Strom [A] u : mittlere Spannung [V] f: Frequenz der Trafospannung [Hz] C: Kapazität [F] R: Lastwiederstand [Ohm]
Halbweg Gleichrichter
$Uif CBr = ⋅ ⋅2
$Uu
R f CBr = ⋅ ⋅ ⋅2
Ua
Tt
ÛBr
Faustformeln für Spannungen > 10V Einweg
UI 2.1 I
P 3.1
GL
eff GL
Trafo
≈ ⋅≈ ⋅≈ ⋅
115. U
P
InEff
GL
UOutGL
UInEff
RL
IL_Eff
Zweiweg
UI 1.1 I
P 1.5
GL
eff GL
Trafo
≈ ⋅≈ ⋅≈ ⋅
13. U
P
InEff
GL
UinEff
UGLRL
IL
Brückenschaltung
U I 1.57 I
P 1.23
GL
eff GL
Trafo
≈ ⋅≈ ⋅≈ ⋅
13. U
P
InEff
GL
UGL
UInEff
RL
IL
Einwegschaltung
U
UInEff= 0 45.
Welligkeitsfaktor
k UUw
out= =~ .121
Brummfrequenz:
f fBr = Max. Repetive Diodenspannung
$ $U URRM In= Mittelwert des Durchlassstromes der Diode
I I=F RL
UOutEff
UInEff
RL
IL_Eff
uout
UÛ
UEff
2ππ ωt
$U In
UInEff
Spizenspannung Trafo [V] : Effektivspannung Trafo [V]
U Mitterlwertspannung Trafo [V] Uou
$URRM
~U
t Mittelwertspannung über RL [V] max. period. Sperrspannung [V]
Effektivwert der Summe der Fourierwechselspannungen [V]
I Mittelwertstrom der Diode [A] FIRL Mittelwertstrom der Last [A]
Zweiweg-Mittelpunktschaltung
UUInEff
= 0 9. Welligkeitsfaktor
k UUw
out= =~ .0 48
Brummfrequenz:
f fBr = ⋅2 Repetive Diodenspannung
$ $U URRM In= ⋅2
UTRU0
RL
IL
u
UÛ
UEff
2ππ ωt
Mittelwert des Durchlassstromes der Diode
I IF RL= ⋅0 5.
Zweiweg-Brückenschaltung
UUInEff
= 0 9.
Welligkeitsfaktor
k UUw
out= =~ .0 48
Brummfrequenz:
f fBr = ⋅2 Repetive Diodenspannung
$ $U URRM In=
U0
UTR
RL
IL
u
UÛ
UEff
2ππ ωt
Mittelwert des Durchlassstromes der Diode
I IF RL= ⋅0 5.
Datum:07.09.2006 23:05:00 Seite:
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 56. Halbleiter
M.D 07.09.2006 23:05:00 Seite: 1
56.3 Thyristor 56. Halbleiter Nach dem Zünden kann der Tyristor nur duch einen Stromunterbruch gelöscht werden.
Phasenanschnittsteuerung mit Tyristor
56.1 Diode IL
Symbol:
Grenzwerte: UR: max. zulässige Spannung IF: max. zulässiger Flussstrom PV: max. zulässige Verlustleistung
Näherung:
RD
UD
Kennwerte: charakteristisch IR (UR): Sperrstrom bei angegeben. Sperrsp. UF(IF): Flussspannung beim ang. Flussstr. α (IF): Temp koeefizent bei geg. Flussstrom Kennwerte: dynamisch CD(UR): Sperrsch. kapaz. bei geg. Sperrsp. rd(IF): dyn. diff Wiederstand qs (IF): gesp. Ladung beim geg. Flussstrom trr (IF): Sperrerholzeit (anstelle von qs)
Es gibt sie als IL
UL
• kathodenseitiges Gate • anodenseitiges Gate
t Siehe auch Lindner p.344
56.4 Triac
Nach dem Zünden kann der Triacstor nur duch einen Stromunterbruch gelöscht werden.
Phasenanschnittsteuerung mit Triac
Durchlassspannung
( )U n u R IF TII F
F
S= ⋅ + ⋅ln
n=1 :nach Model. In der Praxis 1..3 uT: 26mV bei Raumtemperatur IS: Sättigungsstrom der Diode IF: Strom in Flussrichtung UF: Spannung in Flussrichtung R: Seriewiderstand der Diode
Thermospannung in Druchlassrichtung (Shockwell Formel)
U n UII
R IF TF
SD F= ⋅ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + ⋅ln
Uk TqT =⋅
≈26mV/25°C
n: Qualitätsparameter UT: Termospannung IS: Sperrstrom IF: Vorwärtstrom k: Bolzmankonstante q: Elementarladung T: Temperatur
56.2 Z-Diode In Durchlassrichtung verhalten einer Normalen Diode. • Zenerdioden unter 5V dominiert der
Zenereffekt. Diese Dioden haben eine negativen Temperatur koeffizenten. Der Knick ist weich.
• Zenerdioden grösser als 6V dominiert der
Avelanche-Effekt. Diese Dioden haben eine positiven Temperatur koeefizenten. Der Knick ist scharf.
• Z-Dioden im übergangsgebiet (5..6 V) haben eine sehr geringen Temperatur koeefizenten
IL
Er leitet die positive wie die Negative Halbwelle Siehe auch Lindner p.350
IL
t
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 57. Bip-Transistor
57. Bipolar-Transistor 57.2.2 Emitterschaltung Arbeitspunkt Praktiker angaben Ucc
C2
C3R2
R4
R3
R5
U2
U1
C1
R1
Der Transistor besteht aus einer stark dotierten N-Schicht (Emitter) und einer schwach dotierten und sehr dünnen P-Schicht (Basis) und aus einer schwach dotierten N-Schicht (Kollektor). 57.1.1 Grenzwerte:(Ratings) UCEO zul. CE-Spannung bei offener Basis. UCBO zul. CB-Span. bei offenem Emitter. UCES zulässige CE-Spannung bei kurz-
schluss zwischen Basis und Emitter.
57.1.2 Kennwerte: ICEO(UCE) Kollektorsperrstr. bei offener Basis ICBO(UCB) Kollektorsperrstr. bei offen. Emitter ICES(UCE) Kollektorsperrstr. bei geg. Span.,
wenn Basis mit Emitter verbunden. 57.2 Transistor Kenndaten in Emitterschaltung (Kories p.334) Statische Daten Stromverstärkung B
B IIC
B= auch hFE oder HFE
IB
B B
E
Ic=B⋅IB
UBE
UCE
E
CC
Dynamische Daten
u h
i h ui h i h uBE E B E CE
C E B E CE
= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅
11 12
11 22
rBE rCE
iB ⋅β
iCiB
uBE uCE
57.2.1 h-Parameter Kurzschluss Eingangswiderstand
h rE BEui uBE
B CE11 0= = = auch hie
Ausgang kurzgeschlossen
IB
UCE=konst.
AP
ΔUBE
ΔIB
UBE Leerlauf Spannungsrückwirkung
h EdUdU i konst
CE
BE B12 0= ≈= .
Eingang offen
=0
Kurzschluss Vorwärtsstromverstärkung
h Eii uC
B CE21 0= = =β . auch hfe
Ausgang kurzgeschlossen
IC
UCE=konst.
ΔIBΔIC
UCE Leerlauf Ausgangsleitwert
h E ri
u iCE
C
CE B221
0= = = .
Eingang offen
IC ΔICAP
ΔUCE
UCE
UCE so wählen dass UR3=U /2 cc I wählen oder ist gegeben. C
UR4≈1...2V oder gegeben
7I IR B1 ≈ ⋅
I IR B2 6≈ ⋅
Widerstand R Widerstand R3 4
RUI
R
C3
3= RU
I IR
C B4
4=+
Widerstand RWiderstand R1 2
( ) R
U U UI
CC R BE
B1
4
7=
− +⋅ R
U UI
R BE
B2
4
6=
+⋅
57.2.3 Emitterschaltung Arbeitspunkt bei gegeben Komponenten
Kollektor-Strom
IU
RC
U RR R BE
R RB
CC
=−
+
⋅+
2
1 2
214
Kollektor-Emitterspannung UCE
U U I R RCE CC C= − +( )3 4
Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:1
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 57. Bip-Transistor
57.2.4 Emitterschaltung Dynamische Daten 57.3.1 Kollektorschaltung Arbeitspunkt R5 bestimmt wie stark die Stromgegenkopplung ist
und dient der AP Stabilisierung Phasendrehung 180°
rBE
R1 R2R3
R5R4
rCE
iB ⋅βiCiB
iE=iB(β+1)
u1 u2
Praktiker angaben Ucc
C2
R2
R4 U2
U1
C1
R1
U
Eingangswiderstand
( )Z R R r R RBE1 1 2 4 5≈ ⋅ + β( )
Ausganswiderstand ohne RL
( )Z r R R R
RCE2 4 5 3
3
= +
≈
Spannungsverstärkung ohne RL
( )[ ]VR
r R RuBE
=− ⋅
+ + ⋅
β
β3
4 51 ( )
Die Verstärkung hat ein negatives Vorzeichen
Stromverstärkung ohne RL
Vii
V ZZiu= =⋅1
2
1
2
CE =U /2 cc I wählen oder ist gegeben. C
7I IR B1 ≈ ⋅
I IR B2 6≈ ⋅
Widerstand R4
RU
I IR
C B4
4=+
Widerstand RWiderstand R1 2
( ) R
U U UI
CC R BE
B1
4
7=
− +⋅ R
U UI
R BE
B2
4
6=
+⋅
57.3.1 Kollektorschaltung Dynamische Daten
rBER1 R2 R4
u1 u
iEiB
2rCE
iC= iB ⋅β
Phasendrehung 0°
Eingangswiderstand ohne RL Ausganswiderstand ohne RL
( )Z R R1 1 4 1≈ + ⋅ +( )βR rBE2 Eingangswiderstand mit RL
( )Z R R r R RBE L1 1 2 4 1≈ + ⋅ +( )β
Zr R
r
BE
BE
BE
24
41=
R r⋅+ + ⋅
≈
( ( ) )β β
β
Stromverstärkung ohne RSpannungsverstärkung ohne RL L und R4
( ) ( )[ ]Vu
Rr R
=+ ⋅
+ + ⋅
β
β
11
4
BE 4
Spannungsverstärkung mit RL
( )( )[ ]V
R Rr R Ru
L
BE L
=+ ⋅
+ + ⋅
ββ1
14
4
Vii = = +2
11β
i
Stromverstärkung mit RL
Vi
RR Ri
L= =
i ⋅+
2
1
4
4
β
Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:2
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 57. Bip-Transistor
57.4 Basisschaltung Arbeitspunkt 57.5 Kopplungskondensatoren für Emitter & Kolektor & Basis-Schaltung Praktiker angaben Ucc
C3
C2
R2R4
U2U1
C1
R3R1
UCE =U /2 cc IC wählen oder ist gegeben. UR4≈1...2V oder gegeben I IR B1 7≈ ⋅
I IR B2 6≈ ⋅
: Quellenwiederstand
Widerstand R3
RUI
R
C3
3=
Widerstand R4
RU
I IR
C B4
4=+
Widerstand R1
( )
RU U U
ICC R BE
B1
4
7=
− +⋅
Widerstand R2
RU U
IR BE
B2
4
6=
+⋅
57.4.1 Basisschaltung dynamische Daten Phasendrehung 0°
rBER4 R3
rCE
iC=iB ⋅β
iB
u1 u2
Eingangswiderstand
Z RrBE
1 4 1=
+ β
Ausganswiderstand ohne RL
( )Z r R RR
CE2 4 3
3
= +
≈
Spannungsverstärkung ohne RL
( )[ ]VR
r RuBE
=⋅
+ + ⋅
β
β3
41
Stromverstärkung ohne RL
Viii = =
+1
2 1β
β
Eingangskondensator C1
( )Ca
f Z Zn
gu Q1
12=
⋅ ⋅ +π
ZQ
an: Koeefizent abhängig von Anzahl der Kondensatoren in der Schaltung
Eingangskondensator C2
( )Ca
f Z Rn
gu L2
22=
⋅ ⋅ +π
RL: Lastwiderstand an: Koeefizent abhängig von Anzahl der
Kondensatoren in der Schaltung
Emitterkondensator C3
( )Ca
f Rn
gu s3 2=
⋅ ⋅π Re
an: Koeefizent abhängig von Anzahl der Kondensatoren in der Schaltung
C3
R5
R4
( )R R R
R R hhs
ie
feRe = +
+
+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟4 5
1 2
1
C3Ze*
R5R4
( )R R R
R R hhs
ie
feRe = +
+
+
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟4 5
1 2
1C3
R5
R4 C3
R5
Ze* R4
Koeeffizent a abhängig von Anzahl Kondensatoren (Serieschaltung von Filtern) n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 an 1 1.55 1.96 2.30 2.59
Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:3
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 58. FET-Schaltungen
M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 1
58.2 Innere Widerstände 58 FET-Schaltungen
58.1 Typen IG-FET & MOS-FET Auf einem sehr schwachen dotierten p-leitendem Halbleiter („Bulk“ B ) sind zwei stark dotierte n-leitende Inseln („source“ S und „Drain“ D) vorhanden. Die Zone zwischen den beiden Inseln ist mit einem dünnen Isolator (häufig ein Oxyd) bedeckt, dessen Oberfläche mit einem elektrisch leitenden Schicht („Gate G“) überzogen ist. Unter der Oxydschicht kann ein sehr dünne schwach dotierte n-leitende Schicht (der sogenannte Kanal) sein.
J-FET Das Gate ist hier nicht eigentlich isoliert, sondern bestehend aus einem p-leitendem Material. Gegenüber dem eingebauten n-Kanal ist es durch einen gesperrten pn-Übergang „isoliert“, solange das Gate negativ ist gegenüber dem Kanal. J-FET gibt es nur als „Verarmungstyp“ (Depletion-Mode)
58.1.1 Enhanced-Mode „Anreicherungstype“ (Selbstsperrend)
U(T)GS UGS
ID ID
UDS
UGS=2V
UGS=3V
UGS=1V
Ub
ID
+
+
58.1.2 Depletion-Mode“Verarmungstyp“ (Selbstleitend)
I IU
UD DSSGS
P GS= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( )1
2
UDSS
U(P)GS
ID
UGS
IDSS
ID
UDS
UGS=0V
UGS=1V
UGS=-1V
Ub
ID
+/-
+
58.1.3 Grenzwerte (Ratings):
UDS zulässige DS-Spannung (unabhängig von der Beschattung des Gates). UGSO zulässige GS-Spannung bei offenem Drain. UDGO zulässige DG-Spannung bei offenem Source. ID zulässige Drainstrom IG zulässige Gatestrom
58.1.4 Kennwerte:
IDSS (UDS) Drainstrom bei UGS=0 V. Beim Verarmungstyp (Depletionmode) ist dies der maximal mögliche Arbeitsstrom, beim Anreicherungstyp (Enhancement-Mode) dagegen ein Sperrstrom.
IGSS (UGS) Gate-Sperrstrom bei angegebener GS-Spannung (Drain auf Source kurzgeschlossen).
U(P)GS (ID) Pinch-off-Voltage (Abschnürspannung) beim verarmungstyp. Nötige GS-Spannung, um den Drainstrom auf den angegeben (sehr kleinen) Wert zu reduzieren.
U(T)GS (ID) Treshold-Voltage (Schwellspannung) beim Anreicherungstyp. Nötige GS-Spannung, um den Drainstrom auf den angegeben (sehr kleinen) Wert zu erhöhen.
(Kurzschluss- ) Transadmitanz (auch Steilheit genannt)
yU Ufs
D
GS
d
gs= =
I i
Eingeschalteter Widerstand:
RIDS on
DS
D( ) =
U
(UGS=const)
58.2.1 Kleinsignalparameter Übertragungsadmitanz iDSG D
S
uGS uDSyos
ix=yfs⋅uGS
y SI
Uiufs
D
GS
D
GS= = =
ΔΔ
UDS=const. Höchsterwert bei UGS=0
yI
UfsDSS
P GS(max)
( )=−2 ⋅
Für andere Werte
y yI
Ifs fsD
DSS= (max)
Ausgangsadmitanz
yI
Ui
Uos rD
DS
d
dsDS
= = =1 ΔΔ
UGS=0
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 58. FET-Schaltungen
M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 2
58.3 Übertragungs- und Ausgangs-Kennlinie (n -verarmungstype) 58.4 Sourceschaltung Arbeitspunkt (Kories p.386)
Gatespannung UDD
U1
U2C1
R3
C2GD
S
UGS
ID C3
R5R4R2
R1U U UGS G S= − Widerstand R4
U I RS D= ⋅
Übertragungskennlinie
( )
II U U
DDSS GS P GS
=− ( )
2
2U P GS( )
oder einfacher geschrieben
I IU
UD DSSGS= −
⎛⎜
⎞⎟1
2
P GS⎝ ⎠( )
Anlaufgebiet:
( )
II U U U U
UDDSS DS GS P GS DS
P GS=
⋅ ⋅ − −2 2
2( )
( )
Widerstand:
RUIDS
DS=D
oder
( )[ ]1 2
2R
I U U U
UDS
DSS GS P GS DS
P GS=
⋅ − −( )
( )
58.3.1 Temperaturverhalten im Sättigungsbereich Mit steigender Temperatur nimmt die Beweglichkeit der Ladungsträger ab; Die Übertragungskennlinie wird vert. zusammengestaucht. Wegen Änderung von Kontakt- und Diffusions-spannung verschiebt sich die Übertragungskennlinie nach links (<-- ) vorwiegend bei kleinen strömen.
-UGS
ID-20°C
25°C
100°C
4 Widerstand R1,R2
UU RR RG
DD=⋅+
2
1 2
Widerstand R : I3D
( )U U I R RDS DD D= − +3 4ID aus der Transverkennlinie oder mit der Formel (58.1.2) weiter vorne!
58.4.1 Sourceschaltung Dynamische Daten Eingangswiderstand
u2
u1 R3R5R4
iD
iG
R2R1
Z R R1 1= 2
Ausgangswiderstand ohne RL
( )( )Z
y y R Ry
R
Z R
fs os
os2
4 53
2 3
1=
+ + ⋅
≈
Strom ohne Gegenkopplung R5=0
i y uStrom mit Gegenkopplung
DS fs GS= ⋅
( ) iy uy y RDS
fs GS
os fs S
=⋅
+ +1
Spannungsverstärkung ohne RL
( ) ( )( )Vu
y Ry R y y R Ru
fs
os fs os
= =u − ⋅
+ ⋅ + +2
1
3
3 4 51
In den meisten Fällen reicht:
Vy R Ru
fs
fs
=y R− ⋅
+ ⋅3
4 51
Stromverstärkung ohne RL
Vii
VR R
Ri
uR
uR R
u= = =2
1
1 2
3
23
1
1 2
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 58. FET-Schaltungen
M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 3
58.5 AC-Verstärker in Drain-Schaltung Ähnliches vorgehen wie bei S-Schaltung zs*zg*
ug0
Ud
Us
ZD
ZGZS
( )uy Z
y Z y y Zsfs S
os D fs os S
=⋅
+ + +1
vuuu
s
g=
viiid
g= = −∞
58.6 AC-Verstärker in Gate-Schaltung
( )( ) ( )u
u Y y yY y Y Y y yd
so S fs os
S os D D fs os
=⋅ +
+ + +
is id
Us
ZG
UdZDZS
us0
zS* zD*
( )v
uu
y y Zy Zu
d
s
fs os D
os D= =
++ ⋅1
viiid
s= = −1
58.7 Berechnung der Kondensatoren SIEHE Transistoren weiter vorne
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 59. Operationsver.
59. Operationsverstärker 59.5 Integrator Ausgangsspannung
Kories p.404 Lindner p.452 59.1 Nichtinvertierender Verstärker Verstärkung
VUU
RRu
a
e= = +1 1
2
Eingangswiderstand
Z in ≈ ∞
−
+
Ua
Ue Ui=0
R2
R1
59.2 Invertierender Verstärker Verstärkung
VUU
RRu
a
e= = − 2
1
Eingangswiderstand
Z R in = 1
−
+
R2
R1
UeUi=0
Ua
59.3 Addierer Verstärkung
( )U U Ua eRR e
RR
N N= − + +1 21 2......
Eingangswiderstand
Z R R Rin n= 1 2 ....
−
+
RN
Rn
R1
Uen
Ue1Ui=0
Ua
59.4 Subtrahierer Verstärkung
( )U U Ua e eRR= −1 2
2
1
Eingangswiderstand
Z R in1 1=
Z Rin2 1=
−
+
R2
R2
R1
R1
Ue1
Ue2
Ui=0
Ua
URC
u t dt U ta et
t
= − +∫1
00
1
( ) ( )a−
+
R
C
Ie
UeUi=0
Ua
59.6 Differenzierer Ausgangsspannung
U RCadUdt
e= − −
+
R
Ie C
UeUi=0
Ua
Eingangsstrom
I CedUdt
e=
59.7 Invertierender Schmitt-Trigger Schaltschwellen
−
+ UR
R RUeein a= −
+1
1 2max
Ua
Ue
Ui=0
R1
R2
UR
R RUeaus a= +
+1
1 2max
59.8 NichtInvertierender Schmitt-Trigger Schaltschwellen
URR
Ueein a= + 1
2max
−
+
R2
R1
UeUi=0
Ua
URR
Ueaus a= − 1
2max
Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 59. Operationsver. 59.10 Multivibrator Frequenz
−
+
R3
C1 R1
R2
Ui=0Ua
( )fR C R
R
=⋅ ⋅ + ⋅
12 11 1
2 2
3ln
59.11 Dreieck-Rechteckgenerator Frequenz
fRR R C
= ⋅⋅
3
2 1 1
14 −
+
R3R2R1 C1
U1 U2−
+
Schmitt-TriggerIntegrator
59.12 Spannungsgesteuerte Stromquelle Konstantstrom
−
+ Ia
Ue
Ue
Ui=0
R
RL
IURa
e=
Datum:07.09.2006 23:06:00 Seite:
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 60. 3Ph-Systeme
M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 1/2
60.1.3 Symetrische Belastung (Vierleiter-,Dreileitersystem) 60. Dreiphasensysteme 60.1.4 Spannung,Strom 60.1 Vierleiternetz Alle Werte sind komplex U U U
U U UI I II I I
R S T
RS ST TR
+ + =+ + =
+ + =
+ + =
0000
1 2 3
1 2 3* * *
I* : Konjugiertkomplex siehe Math. 10
60.1.1 Allgemein Stern
U UU UU U
R
S
T
= ∠ °= ∠− °= ∠ °
0120
120
Dreieck
U U
U U
U U
RS
ST
TR
= ∠ °
= ∠− °
= ∠ °
3 30
3 90
3 150
U URS R= 3
Alle Werte sind komplex
U U U U U U
U U U
RS R S
ST S T
TR T R
= −= −= −
N IN
I2
I1
I3L3
L2
N
T
S
UT
US
UR UTR
UST
URS
R L1
U: Betrag der Spannung UR
120°120°
120°
UT
UR
UTR
URSUS
USTRe
Im
UR,US,UT: Strangspannung URS,UST,UTR: Verkettete Spannung, Phasenspannung
Umrechnung:
I I1 12 3= ⋅
60.1.5 Leistung bei symetrische Belastung Stern
Z1
L3
L2
L1
UR
I1
I3I2
Z3Z2
(
60.1.2 Umrechnung der Lasten von Stern <--> Dreieck siehe 50.4.1
R22 R33
R113 2
1
R1
3 2
1
R3 R2
60.1.2.1 Umrechnung Ströme Leiterströme
I I II I II I I
1 12 31
2 23 12
3 31 23
= −= −= −
L3
L2UTR
UST
URS
L1
Z23I31
I23 I3
I2
I1
I12Z31
Z12
)P U IR= ⋅ ⋅ ⋅3 1 cos ϕ
Die Wirkleistung ist nicht komplex
S U IR∠ = ⋅ ⋅ ∠ϕ3 1
Dreieck
L3
L2
L1
( )P U IRS= ⋅ ⋅ ⋅3 1 cos ϕ
Z23I31
I23
I12Z31
Z12
( )P U IRS= ⋅ ⋅ ⋅3 12 cos ϕ
Wirkleistung ist nicht komplex
Umschaltung von Stern auf Dreieck
S S= 3 Δ
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 60. 3Ph-Systeme
M.D 07.09.2006 23:06:00 Seite: 2/2
60.2 Unsymetrische Belastung 60.2.1 Vierleiterssystem
Alle Werte komplex Nullleiterstrom (Stern)
I I Bem: Ist I
I IN = + +1 2 3N=0 so muss nicht eine Symetrische
Belastung vorliegen, es kann aber
INUI
UI
UI
R
R
S
S
T
T= + +
60.2.2 Leistung Vierleiternetz
S U I U I U IR R S S T T∠ = + +* * * Alle Werte Komplex S : Komplexe Leistung I* : Konjugiertkomplex siehe Math. 10
60.2.3 Dreileitersystem Berechnung der Nullleiterspannung 1.Virtueller Nullleiterstrom:
IU U UR
R R RS T
0 = + +R S T
Nullleiterspannung: (Sternpunktspannung)
[ ]U I R I R R RR S T= ⋅ = ⋅
Re
Im
UR
UT
US
UR’
U0
UT’
US’
0 0 0 0
UBerechnung der Strangspannungen U U U=
0=0 Bedeutet nicht das eine symetrische Belastung vorliegt.
U U UU U U
R R
S S
T T
'
'
'
−= −= −
0
0
0
Alle Werte sind komplex
60.2.4 Leistung Dreileiternetz Stern
Z1
L3
L2
L1
UT’US’
UR’
I1
I
TS U I U I U IR S∠ = + +' ' '1 2 3* * *
Alle Werte sind komplex I* : Konjugiertkomplex siehe Math. 10
32I
Z3Z2
S : Komplexe Scheinleistung UR’,U ,U : Strangspannung aus 60.2.3 S’ T’
Stern und Dreieck
S U I U IU I U IU I URS S= −1 3
* *I
ST TR
TR RS
T
∠ = −
= −2 1
3 2
* *
* *
I I I1 2 3 0* * *+ + = Alle Werte sind komplex.
L3
L2UTR
US
URS
L1
T
Z23I31
I23 I3
I2
I1
I12Z31
Z12
I* Konjugiertkomplex siehe Math 10 Bem: Es müssen nur Aussenleiter grössen bekannt sein
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik 61. Batterie
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61.Batterie Zellenspannung
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
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62. Vierpol Parameter rrLindner p.403 Z→EINEingangswiderstand
Allgemein
AusgangEingang
Rechnen mit den Vierpolparameter (HP48) Selbst geschriebene Funktionen [HOME/ALGEMEIN/ELEKTR/VIERPOL] Alle Parameter auf den Stack x11,x12,x21,x22 Hilfsfunktionen Parameter -> Array
rr →ARR Array - Parameter
rr ARR→ Umrechnender Vierpolparameter Umrechnen z-Parameter Parameter Z→Y Z→A Z→H
z11 z12 z21 z22
Umrechnen y-Parameter Parameter Y→Z Y→A Y→H
y11 y12 y21 y22
Umrechnen a-Parameter Parameter A→Y A→Z A→H
a11 a12 a21 a22
Umrechnen h-Parameter Parameter H→Y H→A H→Z
h11 h12 h21 h22
Funktion Parameter (RL=Lastwiderstand) z z z Z ZEIN z11 12 21 22 L
rrZ→AUSAusgangswiderstand Funktion Parameter (R =Quellenwiderstand) G
z z z Zz ZAUS 11 12 21 22 G
rrVUSpannungsverstärkung Funktion Parameter (RL=Lastwiderstand
a a a Za A 11 12 21 22 L
y y y y Z Y 11 12 21 22 L
rrVIStromverstärkung Funktion Parameter (RL=Lastwiderstand
a a a Za A 11 12 21 22 L
z z z z Z Z 11 12 21 22 L
h h h Zh H 11 12 21 22 L