具体数学Concrete Mathematics

赵启阳

2023年4月21日

北京航空航天大学计算机学院

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2.6 Finite and Infinite Calculus差和分与微积分

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差分算子与求导算子• 通常意义上的微积分， CM 中称（无限）微

积分，其基础是求导算子 D （ derivative operator ）：

• 离散求和时用到的差和分， CM 中称“有限”微积分，其基础是差分算子∆（ difference operator ）：

h

xfhxfxDf

h

)()(lim)(

0

)()1()( xfxfxf

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差分算子与微分算子• 差分算子是求导算子在“有限”离散集上

的原型；• 求导算子是差分算子在“无穷”连续集上

的推广；• D 、∆定义在函数上，得到的结果是新的函

数，因此可称为“函数的函数”——算子（泛函——无限维向量的函数）；

• 若 f 是从实数到实数的光滑函数，则 Df 也是从实数到实数的函数，∆ f 的也如此。

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差和分中的“幂”—阶乘幂• 在微分算子下，幂具有很良好的计算方面

的性质。在差分算子下，对应有一类“ m次阶乘幂”，在∆下具有很好的变换性质：

• 由于在形式上与阶乘函数 n!=n(n–1)…1 很相近，因此称为下降阶乘幂和上升阶乘幂。

个数

个数

m

m

m

m

mxxxx

mxxxx

)1()1(

)1()1(

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差分算子下的下降阶乘幂

• 幂函数在求导算子下的计算：D(xm) = nxm-1

• 下降幂在差分算子∆下的计算：

1

)2()1(

)2()1()1()1(

)1()1()2()1(

)1()(

m

mmm

xm

mxxxm

mxxxmxx

mxxxmxxx

xxx

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差和分基本定理• 在微积分中，在求导算子 D 和积分记号∫ 下，函数

及其导函数之间有如下基本定理：g(x) = Df(x) iff. ∫g(x)dx = f(x) + C （ C 是常数）

• 与∫ dx 相对应，差和分中的记号是∑ δx 。函数及其差分函数之间有如下基本定理：

g(x) = ∆f(x) iff. ∑g(x)δx = f(x) + C

• 注 1 ：这里的 C 不必是常数，可以是任意满足 p(x+1) = p(x) 的周期函数 p 。推论： C 在所有整数上是常数。

• 注 2 ：∑ g(x)δx 中的∑并不是前面的求和操作，也不能独立于 δ 而出现。 ∑ -δ 记号在这里表示所有差分函数为g(x) 的函数。

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定和分• 在微积分的定积分中：若 g(x)=Df(x) ，则有

• 在差和分的定和分中：若 g(x)=∆f(x) ，则有

• 同样地，记号也不是指求和计算，也不能独立于 δ 出现。 ∑ b

a-δ 记号在这里表示差分函数为 g(x) 的函数在数值 a 、 b 上的函数值之差。

)()(|)()( afbfxfdxxg bb

b

a

)()(|)()( afbfxfxxg bb

b

a

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定和分的性质• 从差和分的定义和记号本身出发，定和分

的计算具有如下性质：• 1 、 b = a 时，• 2 、 b = a + 1 时，• 3 、对于 (a, b) 和 (a, b + 1) 上的定和分，

0)()()( afbfxxgb

a

)()()1()( agafafxxgb

a

)()()1(

)()()()1(

)()(1

bgbfbf

afbfafbf

xxgxxgb

a

b

a

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如何由定和分转换到求和计算• 综合以上观察，可以得到定和分 在

整数 a 和 b 上的含义：

• 换句话说，除了不包括上限下标上的被加项之外，定和分可以被看做是具有上下界的求和。（定和分记号到求和记号的转换）

• 注意：目前仅定义了 b ≥ a 情形的定和分。

b

axxg )(

bka

b

ak

b

akgkgxxg )()()(

1

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定和分的性质• 回想定积分中，积分上下限顺序的变化会带来

符号的变化：

• 同样在定和分中，若 b ≤ a 会有什么结果？

• 此外还容易得到

• 至此，我们在不同的计算上看到了“定和分”与“定积分”之间的相似性。下面来看上述性质的应用。

a

b

b

axxgbfafafbfxxg )())()(()()()(

b

a

a

bdxxgafbfbfafdxxg )())()(()()()(

c

a

c

b

b

axxgxxgxxg )()()(

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定和分性质的应用• 下降阶乘幂的求和：

• 特别地，对于前 n – 1 个正整数的求和

• 此外还有 ，容易看出，可以结合上面的等式计算 2 次方和和 3 次方和。事实上，对一般 n 次幂，可以采用Stirling 数计算在下降阶乘幂上的展开形式。

11

1

0

1

0

m

n

m

kk

mnm

nk

m

2

)1(

11

2

0

1

0

nnnkknknk

1233122 3, kkkkkkk

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负指数的下降阶乘幂• 在讨论下降幂的和分之前，需要先引入负指数幂。• 注意到：

• 顺着可以写出：

• 因此，定义负指数的下降阶乘幂为

1

)1(

)2)(1(

0

1

2

3

x

xx

xxx

xxxx

)3)(2)(1(

1

)2)(1(

1,1

1

3

21

xxxx

xxx

xx

每次除以递减1

的因子

)()2)(1(

1

mxxxx m

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下降阶乘幂的运算性质• 1 、幂的乘法与指数的加减法

• 注：在引入负指数的下降阶乘幂之后，上面的 m 、 n 可以取任意整数。

• 举例：

nmnm mxxx )(

1

3232

1

1

)1()1(

1)1(

)2(

xx

xxxxx

xxx

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下降阶乘幂的运算性质• 2 、任意指数的下降阶乘幂的差分计算

• 注： m 可以取任意整数。• 举例：

1)1( mm xmx

3

222

2

)3)(2)(1(

2

)3)(2)(1(

)1()3(

)2)(1(

1

)3)(2(

1

)1(

x

xxxxxx

xx

xxxx

xxx

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下降幂的和分的完整讨论 • 对 m ≠ -1 的任意 m ，下降幂的定和分如下：

• 对于 m=-1 时，与微积分中的情形相似，需要提供一个非幂函数 f ，使之满足

• 显然在 x 为正整数时，调和数 Hx 即满足条件：

。这里 1,1

1

-mm

xxx

b

a

mb

a

m

)()1()(1

11 xfxfxfx

x

xH x

1

2

1

1

1

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下降幂的和分的完整讨论 • Hx 不仅是 ln 的对应，事实上在 x 足够大时，

Hx 与 ln(x) 之差几乎不超过 1 （见 Chap. 9 ）。• 现在对所有整数指数，给出下降幂和分的

完整描述：

.1,

;1,1

1

mH

-mm

x

xxb

ax

b

a

m

b

a

m

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差和分中的指数函数• 微积分中还有一个特殊的函数 ex ：导函数

等于自身，那么在差和分中能否找到对应呢？

• 令 ，则• 因此有 。这是很简单的递归关

系，易得到一个解为 。• 对于一般指数函数 cx ：• 这与微积分中的情形有所不同。

)()( xfxf )()()1( xfxfxf

)(2)1( xfxf xxf 2)(

xxxx ccccc )1(1

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基于定和分的几何级数求和• 根据一般指数函数的差分计算，可知 cx 的

不定和分为

• 这个结论可以用于计算几何级数的求和：1c

c x

11

c

cc

c

cxcc

abb

a

xb

a

x

bka

k

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定和分的其他问题• 在差和分中，复合函数的差分没有简洁的计算法则，

无法对应微分计算的链式法则。• 然而对于分部积分，仍然存在优美的对应：

• 注意：• 1 、函数 v(x+1) 而非 v(x) ；• 2 、上式还可写成 u(x+1) v(x) + v(x) u(x)⊿ ⊿ ；• 3 、 CM 引入平移算子 E 来化简公式。

)()1()()(

)()()1()(

)1()()1()1(

)()()1()1())()((

xuxvxvxu

xvxuxvxu

xvxuxvxu

xvxuxvxuxvxu

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分部和分的例子• 1 、• 2 、

• 3 、

因此有

Cxxxxx xxxxx 11 22222

22)1(2222 11

0

11

00

nnxxn x

n

k

k nxxxk

Cx

Hx

xxHx

xxx

Hx

xxH

xx

xx

422

1

2

2

)1(

222

12

122

)2

1(

2

2

00

x

n

xnk

k Hn

xxHkH

可对照多重求和

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2.7 Infinite Sums无限和

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2.7 无限和• 前面处理的都是有限求和。事实上，被加

项有无限个的无限求和情形，也是非常重要的求和问题。

• Bad News ：面对无限和时，此前处理∑时所用的方法并不总是成立。

• Good News ：对于很多常见的无限求和问题，此前的运算法则都是完全适用的。

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无限求和的正例和反例• 正例：对无限和

double 一下得到

因此有 S=2 。• 反例：对无限和

double 一下得到

因此有 T = -1………..What???......You serious???

32

1

16

1

8

1

4

1

2

11S

SS 232

1

16

1

8

1

4

1

2

1122

32168421T

16432168422 TT

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一般和的定义• 问题出在对无限求和的理解上。下面较为严格

地定义在非负项上的一般性求和：

• 如果不存在这样的确定的值 A ，则该求和问题的结果为∞ 。（注：不考虑下标在 F 中的顺序）

• 因此，在所有非负整数下标上的无限求和可以写成

• 例子：

Fk kKk k AaFAa 有对任意有限下标集合 ,|min

n

kk

nk

k aa00

lim

11

limlim)2)(1(

1

0

1

0

2

0

2

0

n

n

n

kn

kk

kkk

kk

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含有负项的无限求和• 对于• 1 、如果写成因此得到结果为 0 ；• 2 、如果写成因此得到结果为 1 ；• 3 、如果采用代入 x=-1 ，因此得到结果为 1/2???!!!为什么会出现 3种不同的结果？

111111)1(0k

k

000)11()11()11(

001)11()11(1

)1/(10

xxk

k

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含有负项的无限求和• 事实上，上面的问题涉及到“条件收敛”的问题，沿着这个思路的讨论将把我们引入到级数理论。 CM 不需要引入条件收敛，而简洁地解决该矛盾。

• 对每个被加项 xk ，将其写作xk = x+ - x- ，这里 x+ = x·[x > 0] ， x- = x·[x < 0]

• 显然 x+ 和 x-都是非负数，因此可以在非负项无限求和的基础上定义一般的无限求和

Kk

kKk

kKk

k aaa

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一般无限求和的定义• 假设 ，如果两个数值均为

有限的确数，则称一般无限求和 绝对收敛到确数 。否则称无限和为发散的。

• 如何用该定义去厘清前面的矛盾问题？• 多重无限求和的结论：对于在两个或更多

下标上绝对收敛的无限求和，总是可以在任意的一个下标上开始求和计算。换言之，从任意下标还是的计算过程中不会出现求和的发散情形。

Kk

kKk

k aAaA ,

Kk

ka

AA

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Recommended Exercises

• 不需要提交2.18 ， 2.29 ， 2.32 ， 2.35