จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) · PDF fileจ...

จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล

1 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน

จ ำนวนเชงซอน

(Complex Numbers)

1. จ ำนวนเชงซอน

พจารณาสมการ

012 x

12 x

จะเหนวาในระบบจ านวนจรง จะไมมจ านวนจรงใดเปน ค าตอบ เพราะวาจ านวนจรงใดกตามเมอยกกาลง

สองแลวยอมมคามากกวาหรอเทากบศนย ดวยเหตนนก คณตศาสตรจงสรางระบบจานวนขนใหมเพอให

สมการทมลกษณะดงกลาวมคาตอบ ซงเรยกจานวนท สรางใหมนวา จ ำนวนเชงซอน (complex number) บทนยำม สาหรบจ านวนเชงซอน z = (a, b) เมอ a และ b เปนจานวนจรง

เรยก a วาสวนจรง(real part) ของ z และแทนดวย Re(z) เรยก b วาสวนจนตภำพ (imaginary part) ของ z และแทนดวย Im(z)

จ านวนเชงซอน (0, 1) เขยนแทนดวยสญลกษณ 1 หรอ i ซงเรยก i วาหนวยจนตภำพ

(imaginary unit)

จำก



NOTE!!!

ตวอยำง 1. จงหาคาของ 1. 9i = ………………………………………………………………………………………………………

2. 10i = ……………………………………………………………………………………………………… 3. 75i = ……………………………………………………………………………………………………… 4. 2 3 4i i i i+ + + = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5. 13121110 iiii = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ตวอยำง

1. 4 ……………………………………… 2. 10 ………………………………………

3. 16 …………………………………… 4. 100 ………………………………………

2. สมบตกำรบวกและกำรคนของจำนวนเชงซอนทอยในรป a + bi



ตวอยำง 1. จงหาคาของ ( ) ( )4 3i 1 2i+ + - +

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาคาของ ( ) ( )2, 3 5,6+

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

3. จงหาผลคณของ ( 2 5i)(3 2i)- + +

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

4. จงหาผลคณของ ( )2

1 i+

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกหด 1.1

1. จงหาสวนจรง Re(z) และสวนจนตภาพ Im(z) ของจ านวนเชงซอนตอไปน (1) 5 – 4!

จะได สวนจรงคอ…………………………………และสวนจนตภาพคอ………………………….

(2) √ + 9i จะได สวนจรงคอ…………………………………และสวนจนตภาพ……………………………

(3) 9 จะได สวนจรงคอ………………………………และสวนจนตภาพคอ…………………………….



(4 ) 7i จะได สวนจรงคอ………………………………และสวนจนตภาพคอ……………………………..

(5) (1 – i)2

(1 – i)2 =………………………………………………………………………………………….. จะได สวนจรงคอ……………………………..และสวนจนตภาพคอ………………………………

(6) (2 +√ i)2

(2 +√ i)2 = ……………………………………………………………………………………... จะได สวนจรงคอ…………………………..และสวนจนตภาพคอ……………………………….

2. จงเขยนผลลพธใหอยในรป a +bi เมอ a, b R

(1) (3, 4) + (2, 6) จะได (3, 4) + (2, 6) = …………………………………………………………………………………

(2) (-5, 2) + (1,-3) จะได (-5, 2) + (1,-3) = ………………………………………………………………………………

(3) (4 – 3i) + (-5 + 6i) จะได (4 – 3i) + (-5 + 6i) = …………………………………………………………………………...

(4) (5 + 2i) + (1 -4i) + (-3 + i) จะได (5 + 2i) + (1 -4i) + (-3 + i) = ……………………………………………………………….... 3. จงเขยนผลลพธใหอยในรป a + bi เมอ a, b R

(1) (3,- 4) (-2, 6) จะได (3, - 4) (-2, 6) = ………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. (2) (1, -7) ( , - ) จะได (1, -7) ( , - ) = …………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

(3) (√ , -2) (-3√ , 7)

จะได (√ , -2) (-3√ , 7) = ………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………….. (4) (4 – 3i) (-5 + 6i)

จะได (4 – 3i) (-5 + 6i) = ……………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………………………..



(5) (5 + 2i) (1 – 2i) (-3 + i) จะได (5 + 2i) (1 – 2i) (-3 + i) = ………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..

(6) (-1 + 7i) (2 + 2i) (4 – 5i)

จะได (-1 + 7i) (2 + 2i) (4 – 5i) = ……………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..

(7) (6i) (7 + 4i) (8 – i) จะได (6i) (7 + 4i) (8 – i) = …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………….. 4. จงหาคาในแตละขอความตอไปน (1) i97

จะได i97 =………………...................................................................................................................... . (2) i130

จะได i130 =…………………………………………………………………………………………….. (3) i500

จะได i500 =…………………………………………………………………………………………….

(4) i635 จะได i635 =……………………………………………………………………………………………. (5) i5 + i6 + i7 + i8 + i9 +i10

จะได i5 + i6 + i7 + i8 + i9 +i10 =…………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………..

(6) i10 . i11 . i12 . i13 . i14 . i15 จะได i10 . i11 . i12 . i13 . i14 . i15 =…………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………..



3. เอกลกษณและตวผกผน (อนเวอรส) กำรบวกในระบบจำนวนเชงซอน

เอกลกษณกำรบวก

ตวผกผน (อนเวอรส) กำรบวก

ตวอยำง จงหาอนเวอรสการบวกของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. อนเวอรสการบวกของ z 3 4i= + คอ ………………………………………………….

2. อนเวอรสการบวกของ z 5 7i= + คอ …………………………………………………. 3. อนเวอรสการบวกของ z 2 9i= - + คอ ………………………………………………….

4. อนเวอรสการบวกของ z 5 0i= + คอ …………………………………………………. 5. อนเวอรสการบวกของ z 0 2i= + คอ ………………………………………………….

4. เอกลกษณและตวผกผน(อนเวอรส) กำรคณในระบบจำนวนเชงซอน เอกลกษณกำรคณ

ตวผกผน (อนเวอรส) กำรคณ



ตวอยำง จงหาอนเวอรสการคณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. z 2 3i= + ………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………

2. z 4 i= - +

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………

3. z 3=

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………

5. กำรลบและกำรหำรจ ำนวนเชงซอน

ตวอยำง 1. จงหา (6 4i) (8 3i)+ - -

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

2. จงหา 10i (7 6i)- +

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….



ตวอยำง จงหาผลหารของจ านวนเชงซอนตอไปน

1. ( )

( )

3 2i

5 4i

-

+

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………/

2. ( )

( )

2 4i

3 i

+

+

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………

3. ( )

( )

1 i

1 i

+

-

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………


1. ผกผนการบวกของจ านวนเชงซอน z ในแตละขอตอไปน

(1) z = (-5 , 2)

จะได ผกผนการบวกของ (-5 , 2) คอ …………………………………………………………………

(2) z = 4 – 3i

จะได ผกผนการบวกของ 4 – 3i คอ…………………………………………………………………...



(3) z = -3 + √ i

จะได ผกผนการบวกของ -3 + √ i คอ……………………………………………………………..

6. ตวผกผนการคณของจ านวนเชงซอน z ในแตละขอตอไปน

(1) z = (-5 , 2)

จะได ผกผนการคณของ (-5 , 2) คอ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………

(2) z = 4 – 3i

จะได ผกผนการคณของ 4 – 3i คอ…………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………

(3) z = -3 + √ i

จะได ผกผนการคณของ -3 + √ i คอ……………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………

7. จงหาคาของจ านวนเชงซอนตอไปน ในรป a + bi เมอ a , b R

(1)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(2)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



(3)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. สงยค (conjugate) ของจำนวนเชงซอน

ตวอยำง ก าหนดให 1z 2 i= - และ

2z 3 2i= - + จงหา 1.

1z = ……………………………………………………………………………………………………… 2.

2z = …………………………………………………………………………………………………….. 3. 1 2z z = …………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………… 4. 1 2z z =…………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………… 5. 1 2z z× =………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 6. 1 2z z+ =………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 7. 1 2z z+ =………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 8. 1 2z z+ =………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

9. จงใชสงยคของตวหารชวยในการหาผลหารของ 2 3i

4 2i

+

-

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



Note!!!!

ตวอยำง จงหา 1z เมอก าหนดให z 2 4i= -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


1. ก าหนดให z = 4 – 3i จงเขยนจ านวนในขอตอไปนใหอยในรป a + bi เมอ a , b R (1)

จะได =………………………………………………………………………………………… (2) z

จะได z =………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………..

(3) z + จะได z + =……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. (4) z(z + )

จะได z(z + ) =…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………….

(5) z - จะได z - =……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

(6) (z - )i

จะได (z - )i =……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….



(7)

จะได =……………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

(8)

จะได

=…………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….. 2. ก าหนดให z1 = 3 – i และ z2 = -2 + 3i จงหา (1) 1

.......................................................................................................................................................................... (2) 2

…………………………………………………………………………………………………………...….. (3) z1 z

………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..

(4) 2 ………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..

(5) 1 . 2 ………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..

(6) Z1 + z2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

(7) 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..



(8) 1 + 2 ……………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………….. 9 จงหาคาของจ านวนเชงซอนตอไปนในรป a + bi เมอ a , b R

(1) √

√

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...................................................................................................................................................................................

(2)

+

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

สมบตทส ำคญ!!!ของสงยคของจำนวนเชงซอนมดงน



ตวอยำง ก าหนด iz 21 และ iz 232 จงหา

1. 21 zz = ………………………………………………………………………………………………....

………………………………………………………………………………………………………………..2.

21zz = ………………………………………………………………………………………………........

………………………………………………………………………………………………………………..

ตวอยำง

1. (4 + 5i) . (4 – 5i) = ………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

2. (1 + 3 i) . (1 – 3i) = ……………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………..

7. รำกทสองของจ ำนวนเชงซอน



ตวอยำง จงหารากทสองของ z 8 6i= - ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… จงหารากทสองของ z 7 24i= + ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… จงหารากทสองของ z = 18i

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เราจะน าความรเรองรากทสองของจ านวนจรงลบไปใช เพอหาค าตอบของสมการก าลงสองได ดงตวอยางตอไปน

ตวอยำง จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน 1. 0324 2 xx ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………



2. 092 x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………


1. จงหารากทสองของจ านวนเชงซอนตอไปน (1) 8 – 6i ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(2) 5 – 12i ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(3) 1 - 2√ i ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



2. จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน (1) x2 = -72 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(2) 5x2 + 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(3) x2 – 2x + 40 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(4) x2 + 2x + 1 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



8. กรำฟ และ คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน จ านวนเชงซอนทอยในรปคอนดบ (a, b) หรอ a + bi โดยท a เปนสวนจรง และ b เปนสวนจนตภาพ

เราสามารถแทนจานวนเชงซอน (a, b) ดวยจดบนระนาบในระบบแกนมมฉากได เรยกแกนนอนวา แกนจรง(real axis) และเรยกแกนตงวา แกนจนตภ ำพ(imaginary axis) ระนาบทเกดจากแกนจรงและแกนจนตภาพ จะเรยกวา ระนาบเชงซอน(complex plane)

เพอความสะดวกจะใชแกน X แทนแกนจรง และแกน Y แทนแกนจนตภาพ ดงรป

ถาก าหนดจานวนเชงซอน z = (a, b) = a + bi กราฟของ z อาจเขยนได 2 แบบ ดงน 1. เขยนจด (a, b) ลงในระนาบเชงซอนไดดงรป

2. เขยนเวกเตอรท มจเรมตนจด (0, 0) และจดสนสดทจด (a, b) ดงรป



ตวอยำง จงเขยนจดแทนจ านวนเชงซอนตอไปนในระนาบเชงซอน Z1 = (5 , 0), z2 = (3, 6), z3 = (3, 6), z4 = (3, 6), z5 = (3, 6), z6 = (3, 6), และ z7 = (3, 6)

2 จงเขยนเวกเตอรแทนจ านวนเชงซอนตอไปนในระนาบเชงซอน Z1 = (5 , 0), z2 = (3, 6), z3 = (3, 6), z4 = (3, 6), z5 = (3, 6), z6 = (3, 6), และ z7 = (3, 6)



คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน ตวอยำง จงหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. │4 + 3i│= ……………………………………………………………………………………….........

………………………………………………………………………………………………………………

2. │ 6 – i│= ……………………………………………………………………………………….........

………………………………………………………………………………………………………………

3.│8│= ……………………………………………………………………………………….................

………………………………………………………………………………………………………………

4.│-7│= ……………………………………………………………………………………….................

………………………………………………………………………………………………………………

5. │5i│= ……………………………………………………………………………………….................

………………………………………………………………………………………………………………

6.│3i│= ……………………………………………………………………………………….................

………………………………………………………………………………………………………………

7. │-8i│= ……………………………………………………………………………………….................

………………………………………………………………………………………………………………

8. i2

5

2

1 = ………………………………………………………………………………………...........



สมบตทส ำคญ!!!ของคำสมบรณของจำนวนเชงซอนมดงน

ตวอยำง จงหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. z = (4 –5i) – (–1 + 7i) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. z = (4 + 3i)(4 – 3i) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. i

iz

3

52

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………




1. จงเขยนจดในระนาบเชงซอน ซงแทนจ านวนเชงซอนตอไปน 1) (0,2),( 1, 0),(2, 4),( 3, 2),(1, 4),( 3,2)- - - - - 2) 1 i, 2 3i, 4 2i, 3 5i, 2i, 4+ - - - + - -

1) วธท ำ แทนในกราฟดงน

2. วธท ำ แทนในกราฟดงน



2. จงหาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. z 3 4i= +

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. z 4 3i= - …………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………… 3. z 6 8i= - -

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. z 12 5i= - + ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ( )z 1,2= …………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………… 3. จงหาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน

1. ( )( )3 4i 1 3i+ -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ( )( )6 8i 3 i- -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ( )( )( )3 i 1 3i 3 4i+ - +

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. 6 8i

4 3i

+

-

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



5. ( )( )3 4i 1 3i

8 6i

+ +

-

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ถา z 3 4i= + แลว จงหา 2z ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. ถา z 6 8i= - แลว จงหา 3z ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. จ ำนวนเชงซอนในรปเชงขว (Porlar Form) ถา z = (a, b) = a + bi เปนจ านวนเชงซอน เราสามารถเขยน z ดวยเวกเตอรบนระนาบเชงซอน

ไดดงน

NOTE!!!!

ในการเปลยนจ านวนเชงซอนในรปเชงขว สงทตองระวงคอ มม ( )



ส ำคญมำกๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

ตวอยำง 1. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปเชงขว

(1) z = 1 + i

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(2) z = -√ + i

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



(3) 2 2i- +

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

(4) 4 4 3i-

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………


1. จงเขยนจ านวนเชงชอนตอไปนใหอยในรปเชงขว

(1) - √ - √ i

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….

(2) 12 – 12 √ i

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



(3) -

+

i

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….

(4) 1 3i- +

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

10. กำรคณ และกำรหำร จ ำนวนเชงซอนในรปเชงขว

ตวอยำง 1. จงหาผลคณของจ านวนเชงซอนตามทก าหนด โดยตอบในรป a bi+ ( ) ( )1 2z 2 cos120 i sin120 , z 8 cos330 i sin 330= ° + ° = ° + °

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



2. จากจ านวนเชงซอน 1z และ

2z จงหา 1

2

z

z

( ) ( )1 2z 24 cos300 i sin 300 , z 8 cos75 i sin 75= ° + ° = ° + °

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………


1. จงหาคาของจ านวนเชงชอนตอไปนใหอยใน a + bi

(1) [3( + i )] [2( + i )]

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

(2)

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

(3) [9( + i )] [3( + i )] ………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



(4) [2(cos

+ i sin

)] [√ (cos

+ i sin

)]

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

(5)

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

(6) √

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

(7)

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

(8) cos 40 i sin 40

cos10 i sin 10

° + °

° + °

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



11. กำรยกก ำลง จ ำนวนเชงซอน

ตวอยำง 1. ก าหนดให ( )1z 2 cos20 i sin 20= ° + ° จงหา 6

1z ………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาคาของ 9)3( i ในรปของ a + bi

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาคาของ 8)31( i ในรปของ a + bi

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………


1. จงหาคาของ (√ +√ 5 ในรป a + bi เมอ a, b r

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



2. ก าหนดให z = 2(cos

+ i sin

) จงเขยน z10 ใหอยในรป a + bi

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาเขยนจ านวนเชงซอนในแตละขอตอไปนในรป a + bi เมอ a, b R

(1) (√ - i)7

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

(2) (

+ √

12

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

4. จงใชทฤษฎบทเดอรมวหาคาของ 1) ( )

51 i+

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



(2) ( )10

1 i- +

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

(3) ( )7

2 3 i+

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………



12. กำรถอดรำกจ ำนวนเชงซอนในรปเชงขว



ตำรำงกำรสงงำนเรองจ ำนวนเชงซอน

วน/เดอน/ป งาน ลายเซนผปกครอง ลายเซนคร แบบฝกหดท 1.1 แบบฝกหดท 1.2 แบบฝกหดท 1.3 แบบฝกหดท 1.4 แบบฝกหดท 1.5 แบบฝกหดท 1.6 แบบฝกหดท 1.7 แบบฝกหดท 1.8

ประโยชนของกำรตรงตอเวลำ

1.ท าใหเรามนสยขยนขนแขงเอาการเอางานอยางจรงจง

2.ฝกใหเราเปนคนกระตอรอรนมชวตชวา

3.ท าใหเรามความซอตรงตอตวเองรกษาเกยรตยศของตนเอง

4.ท าใหเราท างานไดสะดวกรวดเรวเรยบรอยและมผลด

5.หนาทการงานประสบความส าเรจชวตกาวหนา

6.สามารถก าหนดกจกรรมตางๆ ทเราจะกระท าไดในแตละวนท าใหชวตมระเบยบและมวนยกบตนเอง

7.เปนทเชอถอและไวใจของคนอน

จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) · PDF fileจ...

Documents

Transcript of จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) · PDF fileจ...